LINEÁRNÍ ALGEBRA Maticí typu m/n rozumíme skupinu m × n komplexních čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců (m,n ∈ R ). Tato čísla nazýváme prvky matice. Označíme-li aij prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci, pak
a11 a A = 21 … a m1
… a1n … a 2 n matici typu m/n můžeme zapsat ve tvaru: . … … … a mn Posloupnost a11 , a 22 ,..., a mm se nazývá hlavní diagonála. Prvky této posloupnosti se nazývají diagonální. a12 a 22 … am2
SPECIÁLNÍ TYPY MATIC: 1) Matice typu m/1 se nazývá sloupcová.
2) Matice typu 1/n se nazývá řádková.
3) Je-li m = n , nazýváme matici čtvercovou maticí řádu n.
4) Čtvercová matice A se nazývá jednotková, když má na hlavní diagonále samé jedničky a všude jinde nuly. Označujeme ji E.
5) Čtvercová matice A řádu n se nazývá diagonální, jestliže má na hlavní diagonále alespoň jeden prvek nenulový a ostatní prvky jsou rovny nule.
6) Matici O typu m/n, jejíž všechny prvky jsou rovny nule, nazýváme nulovou maticí.
7) Matice A se nazývá dolní trojúhelníková matice, jestliže obsahuje pod hlavní diagonálou samé nuly. Matice A se nazývá horní trojúhelníková matice, jestliže obsahuje nad hlavní diagonálou samé nuly.
8) Submaticí Aik nazveme takovou matici, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a k-tého sloupce.
9) Transponovaná matice AT k matici A vznikne z matice A tak, že vyměníme řádky matice za sloupce a
( )
naopak. Jestliže je matice A typu m/n, potom je matice transponovaná typu n/m. Platí AT
10) Matice A se nazývá symetrická, jestliže A = AT . 11) Matice A se nazývá antisymetrická, jestliže A = − AT .
T
= A.
OPERACE S MATICEMI: Nechť jsou A,B matice téhož typu m/n a číslo k ∈ R . Potom: 1) A = B , mají-li stejné prvky na stejných pozicích…………rovnost matic 2) matice C = A + B je opět typu m/n a vznikne tak, že sečteme z matic A a B prvky na stejných pozicích………….součet matic 3) matice C = k ⋅ A je opět typu m/n a vznikne tak, že každý prvek matice A vynásobíme číslem k……….. …násobení matice reálným číslem
3 8 9 4 5 4 8 9 Příklad 1: Vypočítejte matici C = (5 A − 3B ) , kde A = 2 6 5 1 , B = 3 6 4 2 . 0 7 0 1 1 3 9 6 T
Nechť je A matice typu m/n a B matice typu n/p. Potom matice C = A ⋅ B je matice typu m/p. Pro součin n
matic platí cik = ∑ aij ⋅ b jk = ai1 ⋅ b1k + ai 2 ⋅ b2 k + ⋯ + ain ⋅ bnk . j =1
Pozor!
Platí:
A⋅ B ≠ B ⋅ A
( A + B )T = AT + B T = B T + AT ( A ⋅ B )T = B T ⋅ AT ≠ AT ⋅ B T A n = A ⋅ A n−1
4 5 3 − 3 0 Příklad 2: Vypočítejte součin matic A = , B = 0 2 . 2 1 4 − 3 3
3 8 Příklad 3: Vypočítejte součin matic A = [1 2 3] , B = 2 5 1 − 1
hodnost matice Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A typu m/n nazveme hodností této matice. Označujeme hod ( A) , h( A) . Hodnost nulové matice je 0.
Řádkovými elementárními transformacemi matice nazýváme tyto úpravy: 1) Výměna dvou řádků. 2) Vynásobení libovolného řádku číslem různým od nuly. 3) Přičtení k-násobku ( k ∈ R ) libovolného řádku k jinému řádku. Podobně definujeme SLOUPCOVÉ ELEMENTÁRNÍ TRANSFORMACE.
Řekneme, že matice A,B jsou ekvivalentní, lze-li jednu z nich převést na druhou konečným počtem elementárních transformací. Označujeme A ~ B . Dvě matice, které mají stejnou hodnost, nazýváme ekvivalentními. Pro matici A typu m/n platí: h( A) ≤ min(m, n) . Řádkovými elementárními transformacemi se hodnost matice nemění. Transponováním se hodnost matice nemění, tj. ani sloupcovými elementárními transformacemi se hodnost matice nemění.
PRAKTICKÝ VÝPOČET HODNOSTI MATICE: Pomocí elementárních transformací upravíme matici na trojúhelníkový (schodový) tvar. Vynecháme nulové řádky. Počet nenulových řádků této matice je roven její hodnosti.
Příklad 4: Určete hodnost matic 0 2 A= 1 2
1 0 1 3 2 6 0 1 0 1 0 2
2 1 3 − 1 B= 1 3 4 − 3
− 1 2 0 4 − 2 1 1 3
3 − 1 2 −1 0 − 2 1 3 − 3 7 C= 4 − 2 − 1 5 − 1 6 − 3 2 10 − 2
Příklad 4: Jaká může být hodnost matice A pro různé hodnoty čísla x ? 2 1 A= x 3
1 1 1 1 3 − 2 18 3 − 2 18 ~ 2 1 2 1 5 5 1 2 − 2 1 2 − 2
1
pro 4 − x = 1 x=3
1
2 1 x 3
1 2 1 1 0 − 5 15 − 5 ⋅ − 1 5 ~ 0 − 1 3 x − 4 ⋅ (− 1) 1 0 1 − 3
( )
pro 4 − x ≠ 1 x≠3
je hod ( A) = 2
1 0 ~ 0 0
2 1 −3 1 1 − 3 4 − x 1 −3 1 1
1
je hod ( A) = 3
SOUVISLOST HODNOSTI MATICE S LINEÁRNÍ ZÁVISLOSTÍ VEKTORŮ: Mějme vektory v1 = (a1 , a 2 ,..., a n ) , v2 = (b1 , b2 ,..., bn ) , ..., vr = (c1 , c 2 ,..., c n ) .
a1 b 1 Uvažujme matici A = ⋯ c1
a2 b2 ⋯ c2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
an bn , nechť hod ( A) = h . ⋯ cn
Jestliže h = r , pak jsou vektory v1 , v 2 ,..., v r lineárně nezávislé. Jestliže h < r , pak jsou vektory v1 , v 2 ,..., v r lineárně závislé a lze z nich vybrat právě h lineárně nezávislých vektorů.
Příklad 5: Zjistěte, zda jsou vektory a = (1,4,2,4) , b = (3,3,2,−5) , c = (2,1,0,−3) , d = (0,16,8,33) lineárně závislé.
1 4 3 3 A= 2 1 0 16
2 4 2 4 1 2 4 4 4 4 1 4 1 2 0 − 4 − 9 − 17 0 − 9 − 4 − 17 0 − 4 − 9 − 17 2 − 5 − 3 ⋅ 1.ř . ~ ~ ~ 0 0 0 − 7 − 4 − 11 0 − 4 − 7 − 11 − 2.ř . 0 − 3 − 2 ⋅ 1.ř . 2 6 8 28 ⋅ 1 2 4 14 0 4 8 14 + 2.ř . 0 0 − 1 − 3 0 8
4 4 1 2 0 − 4 − 9 − 17 ~ 0 0 2 6 0 0 0 0
hod ( A) = 3 < 4 , proto jsou vektory lineárně závislé konkrétně d = 5 ⋅ a − b − c
determinanty Determinant čtvercové matice A řádu n, jejíž prvky jsou komplexní čísla, je komplexní číslo. Značíme det A nebo A . VÝPOČET DETERMINANTU: • n = 1: A = a =a
a11 a 21
a12 = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21 a 22
•
n = 2:
A=
•
n = 3:
použijeme tzv. Sarrusovo pravidlo
a11
a12
a13
A = a 21 a31
a 22 a32
a 23 = a11 ⋅ a 22 ⋅ a33 + a 21 ⋅ a32 ⋅ a13 + a31 ⋅ a12 ⋅ a 23 a33 − a13 ⋅ a22 ⋅ a31 − a23 ⋅ a32 ⋅ a11 − a33 ⋅ a12 ⋅ a21
•
n ≥ 4:
Pro determinanty vyšších řádů NEPLATÍ analogie s předešlými výpočty. Tyto determinanty musíme počítat jinak. Několik možností si ukážeme:
1. možnost: Laplaceův rozvoj determinantu podle i-tého řádku, 1 ≤ i ≤ n
A = ai1 ⋅ Di1 + ai 2 ⋅ Di 2 + ⋯ + ain ⋅ Din , kde Dik = (− 1)i + k ⋅ Aik pro k = 1,2,..., n
Dik nazveme algebraický doplněk k prvku aik . Obdobně můžeme definovat Laplaceův rozvoj podle libovolného sloupce. Pomocí Laplaceova rozvoje můžeme počítat determinanty libovolného řádu.
2. možnost: Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále. K úpravě determinantu na trojúhelníkový tvar použijeme řádkové či sloupcové elementární úpravy, musíme ale dbát na některé odlišnosti: 1. Vyměníme-li v determinantu navzájem dva řádky (dva sloupce), determinant změní znaménko. 2. Vynásobíme-li JEDEN řádek (sloupec) čtvercové matice A reálným číslem c, potom determinant vzniklé matice je roven c ⋅ A . Jinými slovy, společného činitele z řádku (sloupce) lze vytknout před determinant. 3. Přičteme-li c-násobek (c ≠ 0 ) jednoho řádku (sloupce) k jinému, determinant se nemění. 3. možnost: podle mého názoru nejlepší – vybereme si řádek nebo sloupec determinantu a ten upravíme tak, aby v něm zůstalo jedno nenulové číslo a zbytek byly nuly. Poté provedeme Laplaceův rozvoj podle tohoto řádku (sloupce).
DALŠÍ VLASTNOSTI DETERMINANTŮ: • Má-li determinant dva řádky (sloupce) stejné, je roven nule. • Obsahuje-li jeden řádek (sloupec) determinantu samé nuly, pak je determinant roven nule. • Determinant se rovná nule právě tehdy, když má řádky (sloupce) lineárně závislé. • Transponováním se determinant nemění, tj. A = AT . Jsou-li A,B čtvercové matice téhož řádu, pak A ⋅ B = A ⋅ B , tj. determinant součinu dvou matic se rovná součinu determinantů těchto matic.
•
Příklad 6: Vypočítejte determinanty:
−3 =
3 2 5 4
6
5
=
9
3 2 7= 1 −3 0
1 Příklad 7: Vyřešte rovnici
1 x
x
x
x
x 2 1 = 0. 1 1 x
(
)
x 2 1 = 2x + x 2 + x − 2x + 1 + x3 = −x3 + x 2 + x − 1 1 1 x − x3 + x 2 + x − 1 = 0 x3 − x 2 − x + 1 = 0
(x + 1) ⋅ (x − 1)2 = 0 x = −1, x = 1
Příklad 8: Vypočítejte determinanty: 1
2 −1 2
2
0
1
3
−2 3 3 3
3
5
0
0
=
2
3 −2
1
4
2 −3
2
−3 4 3
2
1
5
4
−3
= −
1
3 −2
2
2
2 −3
4
5
4
1
−3
−3 2
4
3
1 −2
=
3
0
1
− 2 2 −1 1 3 0 5
3
3
2 1 3
−2
0
1
0
0
0
0
3
2
−4 0 33 − 13 3
9
=
−2 2 1 −2 3 2 0 −4 1 0 0 1 −4 0 − = 0 − 11 11 − 13 0 11 − 11 − 13 1
3
0
11
−2
9
0 −2
11
9
inverzní matice Čtvercovou matici A nazveme regulární, jestliže je její determinant nenulový. Jestliže A = 0 , potom nazveme čtvercovou matici A singulární.
2 0 Příklad 9: Určete číslo m tak, aby matice A = − 1 3
A=
2 3 −1
0 + 2 ⋅ 3.ř .
0 3
0 2
m
1
0 2 m
−1 0 3 1
3
2
3
0 − 2 + 3 ⋅ 3.ř .
=
−1 0 0 1
3 −1 2 0 1
0 m 1 byla regulární. 3 2 0 −2
5 4 1
3 2
= (− 1) ⋅ (− 1)
3+1
9 4
3
5 4
3
5 4
⋅ 2 m 1 = − 2 m 1 = 1 9 4 − 1.ř . −2 4 0
5 4
= 2 m 1 = −32 + 10 − (8m − 12) = −10 − 8m 2 −4 0
⇒
− 10 − 8m ≠ 0 m≠−
5 4
K singulární matici neexistuje matice inverzní. Inverzní matice k matici A (pokud existuje) je maticí A určena jednoznačně. (Tj. k jedné regulární matici nemůže existovat více inverzních matic.)
Inverzní maticí k regulární matici A je regulární matice A −1 , pro kterou platí A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = E . Platí • •
(A )
−1 −1
A −1
=A 1 = A
Nechť A,B jsou čtvercové matice n-tého řádu. 1. Je-li alespoň jedna z matic A,B singulární, pak je součin A ⋅ B singulární. 2. Jsou-li obě matice A,B regulární, je součin A ⋅ B regulární matice a platí ( A ⋅ B )
−1
= B −1 ⋅ A −1 .
Výpočet inverzní matice se obvykle neprovádí podle definice. Nejčastěji se používají tyto dva postupy:
1. Buď A regulární matice. Potom matice k ní inverzní A −1 =
1 ~ ⋅A. A
~ Matici A nazveme adjungovanou ke čtvercové matici A, jestliže každý prvek aik nahradíme jeho
D11 ~ D12 algebraickým doplňkem Dik a takto vzniklou matici transponujeme: A = ⋯ D1n
− 1 1 − 2 Příklad 10: Určete inverzní matici k matici A = 0 2 1 . 1 1 0
D21 D22 ⋯ D2 n
⋯ Dn1 ⋯ Dn 2 . ⋯ ⋯ ⋯ Dnn
2. Převedeme-li řádkovými elementárními transformacemi matici A v jednotkovou matici E, pak tytéž elementární transformace převedou jednotkovou matici E v matici inverzní A −1 .
2 3 1 Příklad 11: Určete inverzní matici k matici B = 1 3 2 . 3 1 2 2 3 1 1 0 0 1 3 2 0 1 0 B / E = 1 3 2 0 1 0 ~ 2 3 1 1 0 0 3 1 2 0 0 1 3 1 2 0 0 1 1 3 2 0 1 0 ~0 3 3 −1 2 0 0 − 8 − 4 0 − 3 1
1 3 2 0 1 0 ~ 0 − 3 − 3 1 − 2 0 ⋅ (− 1) ~ 0 − 8 − 4 0 − 3 1
1 3 2 0 1 0 ~ 0 3 3 −1 2 0 0 0 12 − 8 7 3
1 0 −1 1 −1 0 ~0 3 3 −1 2 0 0 0 12 − 8 7 3
Maticové rovnice: A⋅ X A ⋅ A⋅ X E⋅X X −1
=B = A −1 ⋅ B = A −1 ⋅ B = A −1 ⋅ B
X ⋅A=B X ⋅ A ⋅ A −1 = B ⋅ A −1 X ⋅ E = B ⋅ A −1 X = B ⋅ A −1
Nechť je dána maticová rovnice A ⋅ X = B , resp. X ⋅ A = B , pro neznámou matici X, kde matice A je regulární a matice B je vhodného typu. Řešením této rovnice je matice X = A −1 ⋅ B , resp. X = B ⋅ A −1 .
− 2 0 2 1 − 2 1 Příklad 12: Určete matici X z maticové rovnice A ⋅ X = B , je-li A = 1 − 1 0 , B = 0 1 0 . 0 2 1 2 0 1
soustavy lineárních rovnic Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých zapisujeme ve tvaru a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b2 ⋮ a m1 x1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = bm , kde aij nazýváme koeficienty rovnice x j nazýváme neznámé rovnice bi nazýváme pravé strany rovnice
( i = 1,2,..., m ,
j = 1,2,..., n )
Jsou-li všechna bi = 0 , potom se jedná o homogenní soustavu lineárních rovnic. Je-li alespoň jedno z čísel bi různé od nuly, potom se jedná o nehomogenní soustavu lineárních rovnic.
MATICOVÝ ZÁPIS SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: a11 a12 … a1n x1 b1 a 21 a 22 … a 2 n ⋅ x 2 = b2 , zkráceně můžeme psát A ⋅ X = B . … … … … … … a m1 a m 2 … a mn x n bm
Řešením soustavy lineárních rovnic nazveme každou uspořádanou n-tici reálných čísel ( x1′ , x ′2 ,..., x ′n ) , která po dosazení do všech rovnic soustavy tuto soustavu identicky splňuje.
Libovolnou soustavu lineárních rovnic můžeme vyřešit GAUSSOVOU ELIMINAČNÍ METODOU:
a11 a12 … a1n b1 a 21 a 22 … a 2 n b2 , kterou nazýváme Ze soustavy lineárních rovnic sestavíme matici A / B = … … … … … a m1 a m 2 … a mn bm rozšířenou maticí soustavy. Tuto matici převedeme ekvivalentními úpravami na matici v trojúhelníkovém (schodovém) tvaru. Počet řešení soustavy zjistíme určením hod ( A) a hod ( A / B ) . Z upravené matice vytvoříme novou soustavu rovnic, ze které dopočítáme jednotlivé neznámé. Ekvivalentní úpravy: 1. Napsání rovnic v libovolném pořadí. 2. Vynásobení libovolné rovnice nenulovým číslem. 3. Přičtení libovolného násobku jedné rovnice k jiné rovnici. 4. Vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice. 5. Vynechání rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic.
Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je řešitelná (tj. má alespoň jedno řešení) právě tehdy, když
hod ( A) = hod ( A / B ) . Soustava je neřešitelná právě tehdy, když hod ( A) ≠ hod ( A / B ) . Je-li hod ( A) = hod ( A / B ) = n (počet neznámých), pak má soustava právě jedno řešení. Je-li hod ( A) = hod ( A / B ) = h < n , pak má soustava nekonečně mnoho řešení. Tato řešení jsou závislá na volbě n − h parametrů.
Příklad 13: Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavu lineárních rovnic:
2x − y + z + u =
2
3 x + y + z + 2u =
0
x − 2y − z − u = − 2 2 x + y + 3 z − 4u =
1 − 2 −1 −1 − 2 2 −1 1 1 2 3 1 1 2 0 2 1 3 − 4 − 1
1 − 2 −1 −1 − 2 0 1 1 1 2 0 0 3 2 8 0 0 0 7 7
~
1 − 2 −1 −1 − 2 1 − 2 −1 −1 − 2 1 0 3 3 3 6 ⋅ 0 1 1 1 2 3 ~ 0 −7 −4 −5 −6 0 7 4 5 6 ⋅ (− 1) 0 5 5 − 2 3 ⋅ (− 1) 2 − 3 0 − 5 − 5
Příklad 14: Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavu lineárních rovnic:
1 −3 6 − 2 4 − 8 3 −2 2 1 − 2 3
1 −3 6 − 2 ~0 7 − 14 − 2 0 7 − 14 7
−1
~
3x − 2 y + 4 z = − 8 x − 3y + 6z = − 2 2x + y − 2z = 3
1 −3 6 − 2 ~0 7 − 14 − 2 0 0 0 9
Příklad 15: Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavu lineárních rovnic:
x + y + 2 z + 2u =
0
x − y − 3 z + 3u =
5
2x − y − 2z + u = − 3 4 x − y − 3 z + 6u =
2
1 1 2 1 −1 − 3 2 −1 − 2 4 −1 − 3
~
1 0 0 0
1 2 1 2 0 −1 0 −1
2 0 3 5 1 − 3 6 2 2 1 3 3
0 1 7 7
~ ~
1 0 0 0
1 1 2 2 0 0 −2 −5 1 5 0 − 3 − 6 − 3 − 3 ⋅ − 1 3 0 − 5 − 11 − 2 2
1 2 1 2 0 −1 0 0
( )
2 1 3 0
~
1 1 2 2 0 1 2 1 0 −2 −5 1 0 − 5 − 11 − 2
0 1 5 2
0 1 7 0
Řešení soustav n lineárních rovnic o n neznámých s REGULÁRNÍ maticí soustavy: I.
Užitím inverzní matice Nechť je dána soustava lineárních rovnic A ⋅ X = B , jejíž matice A je regulární. Potom existuje jediné řešení X = A −1 ⋅ B .
II. Cramerovo pravidlo Nechť je dána soustava lineárních rovnic A ⋅ X = B , jejíž matice A je regulární. Potom existuje jediné Ak řešení ( x1′ , x 2′ ,..., x n′ ) , kde x ′k = , k = 1,2,..., n , přičemž Ak je determinant matice, která vznikne A nahrazením k-tého sloupce matice A sloupcem pravých stran.
Příklad 16: Užitím inverzní matice vyřešte soustavu lineárních rovnic:
2 − 1 x − 5 − 2 −1 1 − 1 ⋅ y = − 2 2 − 3 1 z 7
− 2x + 2 y − z = − 5 −x+ y−z = −2 2x − 3y + z = 7
2 − 1 − 2 A = −1 1 − 1 2 − 3 1
A
−1
1 − 1 − 2 = −1 0 − 1 1 − 2 0
A⋅ X = B
1 − 1 − 5 1 − 2 X = A −1 ⋅ B = − 1 0 − 1 ⋅ − 2 = − 2 1 − 2 0 7 − 1
x = 1,
y = −2, z = −1
3x + 2 y − 2 z = 13 Příklad 17: Užitím Cramerova pravidla vyřešte soustavu lineárních rovnic: 2 x + y + z = 12 x − 2 y + 3z = 1 2 −2
3
1 = 9 + 8 + 2 − (− 2 − 6 + 12) = 19 − 4 = 15 3
A= 2 1 1 −2
2 −2
13
1 = 39 + 48 + 2 − (− 2 − 26 + 72) = 89 − 44 = 45 3
A1 = 12 1 1 −2 3 13 − 2
1 = 108 − 4 + 13 − (− 24 + 3 + 78) = 117 − 57 = 60 3
A2 = 2 12 1 1 3
2 13
x=
A1
A3 = 2 1 12 = 3 − 52 + 24 − (13 − 72 + 4) = −25 + 55 = 30 1 −2 1
A
=
45 =3 15
y=
A2 A
=
60 =4 15
z=
A3 A
=
30 =2 15
vektorová algebra v 3dimenzionálním prostoru E 3 body……… A = [a1 , a 2 , a3 ], B = [b1 , b2 , b3 ]
vektor…….. u = AB = (b1 − a1 , b2 − a 2 , b3 − a3 ) Mějme body A = [a1 , a 2 , a3 ], B = [b1 , b2 , b3 ] , C = [c1 , c 2 , c3 ] , vektory u = (u1 , u 2 , u 3 ) , v = (v1 , v 2 , v3 ) , w = (w1 , w2 , w3 ) , i = (1,0,0 ) , j = (0,1,0 ) , k = (0,0,1) a reálné číslo k. Potom:
velikost vektoru……..…………..……. u = u12 + u 22 + u 32 součet vektorů…………..…………..… u + v = (u1 + v1 , u 2 + v 2 , u 3 + v3 ) rozdíl vektorů……………….……...….. u − v = (u1 − v1 , u 2 − v 2 , u 3 − v3 ) k-násobek vektoru……………..……… k ⋅ u = (k ⋅ u1 , k ⋅ u 2 , k ⋅ u 3 ) opačný vektor k vektoru u ………..….. − u = (− u1 ,− u 2 ,− u 3 ) vzdálenost bodů A, B………….….……. v ( A, B ) = AB =
(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2
a + b a + b2 a 3 + b3 střed S úsečky AB……….……….……. S = 1 1 , 2 , 2 2 2 a + b + c a + b2 + c 2 a3 + b3 + c3 , těžiště T trojúhelníka ABC…………...… T = 1 1 1 , 2 3 3 3
skalární součin……………….. ….…… u ⋅ v = u1 ⋅ v1 + u 2 ⋅ v 2 + u 3 ⋅ v3 velikost úhlu nenulových vektorů……..... cos ϕ =
u ⋅v u ⋅ v i
j
vektorový součin………………………… u × v = u1 u 2 v1 v 2 velikost úhlu nenulových vektorů……....... sin ϕ =
k
u 3 = (u 2 v3 − u 3 v 2 , u 3 v1 − u1v3 , u1v2 − u 2 v1 ) v3
u ×v u ⋅ v
obsah rovnoběžníka……………….……… P = u × v obsah trojúhelníka ABC…………..….…… P =
1 ⋅ AB × AC 2
u1
u2
u3
w1
v2 w2
v3 w3
smíšený součin…………………..……….. u ⋅ (v × w ) = v1
objem rovnoběžnostěnu……………..…….. V = u ⋅ (v × w ) objem čtyřstěnu……………………………. V =
1 ⋅ u ⋅ (v × w ) 6
nenulové vektory u , v jsou rovnoběžné právě tehdy, když u = k ⋅ v , k ∈ R − {0} nenulové vektory u , v jsou kolmé ( u ⊥ v ) právě tehdy, když u ⋅ v = 0 nulový vektor je vektor, jehož všechny souřadnice jsou rovny 0 jednotkový vektor je vektor, jehož velikost je rovna 1
Příklad 18: Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, je-li A = [1,2,3], B = [3,2,1], C = [− 1,5,7] .
AB = B − A = (2,0,−2 ) , i
AB × AC =
P=
j
AC = C − A = (− 2,3,4) k
2 0 − 2 = 6k + 4 j − (− 6i + 8 j ) = 6i − 4 j + 6k = ( 6, − 4, 6 −2 3 4
)
1 1 1 1 2 ⋅ AB × AC = ⋅ 6 2 + (− 4 ) + 6 2 = ⋅ 36 + 16 + 36 = ⋅ 88 = 22 j 2 2 2 2 2
Příklad 19: Vypočítejte objem čtyřstěnu ABCD, je-li A = [1,2,3], B = [3,2,1], C = [− 1,5,7], D = [− 4,9,5].
AB = B − A = (2,0,−2 ) ,
(
)
AC = C − A = (− 2,3,4) ,
2 0 −2
4 = 12 + 28 − (30 + 56) = 40 − 86 = − 46 2
AB ⋅ AC × AD = − 2 3 −5 7 V=
AD = D − A = (− 5,7,2)
(
)
1 1 1 23 3 ⋅ AB ⋅ AC × AD = ⋅ − 46 = ⋅ 46 = j 6 6 6 3
analytická geometrie lineárních útvarů v E 3 I. Analytická geometrie přímky: 1. Symbolická rovnice přímky přímka je dána body A, B; X je libovolný bod ležící na přímce AB
X = A + t ⋅ ( B − A) ,
t∈R
pro t ≥ 0 se jedná o rovnici polopřímky AB t≤0 se jedná o rovnici polopřímky opačné k polopřímce AB t ∈ 0,1 se jedná o rovnici úsečky AB 2. Parametrické rovnice přímky a) přímka je dána dvěma body A = [a1 , a 2 , a3 ], B = [b1 , b2 , b3 ]
x = a1 + t ⋅ (b1 − a1 ) y = a 2 + t ⋅ (b2 − a 2 ) z = a3 + t ⋅ (b3 − a3 ) ,
t∈R
b) přímka je dána bodem A = [a1 , a 2 , a3 ] a tzv. směrovým vektorem přímky, což je vektor rovnoběžný s vektorem u = AB = (u1 , u 2 , u3 )
x = a1 + t ⋅ u1 y = a2 + t ⋅ u 2 z = a3 + t ⋅ u 3 ,
t∈R
3. Kanonický tvar rovnice přímky vyjádříme parametr t z parametrické rovnice přímky a dostaneme
x − a1 y − a 2 z − a3 = = u1 u2 u3 4. Implicitní vyjádření přímky přímka je průnikem dvou různoběžných rovin
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0
II. Analytická geometrie roviny: 1. Symbolická rovnice přímky rovina je dána svým jedním bodem A = [a1 , a 2 , a3 ] a dvěma lineárně nezávislými vektory
u = (u1 , u 2 , u 3 ) , v = (v1 , v 2 , v3 ) , které jsou rovnoběžné s danou rovinou (tzv. směrové vektory roviny); X je libovolný bod ležící v rovině AB X = A + t ⋅u + s ⋅v ,
s, t ∈ R
2. Parametrická rovnice roviny rovina je dána svým bodem A = [a1 , a 2 , a3 ] a dvěma lineárně nezávislými vektory u = (u1 , u 2 , u 3 ) , v = (v1 , v 2 , v3 )
x = a1 + t ⋅ u1 + s ⋅ v1 y = a2 + t ⋅ u 2 + s ⋅ v2 z = a 3 + t ⋅ u 3 + s ⋅ v3 ,
s, t ∈ R
3. Obecná rovnice roviny a) rovina je dána svým bodem A = [a1 , a 2 , a3 ] a dvěma lineárně nezávislými vektory u = (u1 , u 2 , u 3 ) , v = (v1 , v 2 , v3 )
x − a1
y − a2
z − a3
u1 v1
u2 v2
u3 v3
=0
b) rovina je dána svým bodem A = [a1 , a 2 , a3 ] a normálovým vektorem n = (a, b, c ) , kde n = u × v ;
X = [x, y, z ] je libovolný bod roviny Platí
n ⋅ AX = 0 (a, b, c ) ⋅ (x − a1 , y − a 2 , z − a3 ) = 0 a ⋅ ( x − a1 ) + b( y − a 2 ) + c ⋅ ( z − a3 ) = 0 ax + by + cz − aa1 − ba 2 − ca3 = 0 ,
zkráceně píšeme
ax + by + cz + d = 0 4. Úsekový tvar rovnice roviny vznikne z obecné rovnice roviny, jestliže nejprve převedeme d na druhou stranu rovnice a potom celou rovnici vydělíme číslem –d, abychom dostali na pravé straně číslo 1; na tento tvar lze převést pouze ty roviny, které neprocházejí počátkem souřadnicového systému (bodem [0,0,0] ) x y z + + =1 , p q r
kde p = −
d d d , q=− , r=− a b c
Čísla p, q, r určují úseky, které na osách x, y, z vytíná rovina (průsečíky s osami).
A) Vzájemná poloha dvou přímek v prostoru • mimoběžky • různoběžky • rovnoběžky • totožné přímky B) Vzájemná poloha přímky a roviny • přímka je různoběžná s rovinou • přímka je rovnoběžná s rovinou • přímka leží v rovině C) Vzájemná poloha dvou rovin • různoběžné • rovnoběžné • totožné Vzájemná poloha libovolných dvou útvarů se určuje tak, že se zjistí počet společných bodů. Tj. porovnáme rovnice obou útvarů mezi sebou.
Příklad 20: Určete vzájemnou polohu přímky p : x = 1 − t a roviny ρ : x = − s + 2t . y = 2 + 3t y = −1 + s − t z = 3 − t, t ∈ R z = 2 − s − t , s, t ∈ R
1 − r = − s + 2t 2 + 3r = − 1 + s − t 3−r = 2− s −t − r + s − 2t 3r − s + t −r +s+t
= −1 = −3 = −1
− r + s − 2t 2s − 5t 3t
= −1 = −6 = 0
t = 0, s = −3
−1 1 − 2 −1 1 −3 3 −1 − 1 1 1 − 1
−1 1 − 2 −1 ~ 0 2 −5 −6 0 0 3 0
dosadím do rovnice roviny a dostanu x = 3, y = − 4, z = 5
Soustava rovnic má právě jedno řešení, tj. přímka s rovinou mají právě jeden společný bod P = [ 3, − 4, 5 ] a proto jsou různoběžné (přímka protíná rovinu).
Příklad 21: Určete vzájemnou polohu přímky p : x = 1 − t a roviny ρ : 2 x + y + z + 1 = 0 . y = 2 + 3t z = 3 − t, t ∈ R
2 ⋅ (1 − t ) + (2 + 3t ) + (3 − t ) + 1 = 0 2 − 2t + 2 + 3t + 3 − t + 1 = 0 8=0 Rovnice nemá řešení, tj. přímka s rovinou nemají žádný společný bod a proto jsou rovnoběžné.
metrické vztahy přímek a rovin v E 3 odchylka dvou přímek ϕ , kde první přímka má směrový vektor u a druhá přímka má směrový vektor v
cos ϕ =
u ⋅v u ⋅ v
odchylka přímky od roviny, kde přímka je dána směrovým vektorem u a rovina normálovým vektorem n
sin ϕ =
u ⋅n u ⋅ n
odchylka dvou rovin, kde první rovina je dána normálovým vektorem n1 a druhá rovina je dána normálovým vektorem n2 n1 ⋅ n2 cos ϕ = n1 ⋅ n2 vzdálenost bodu M od roviny ρ , kde ρ : ax + by + cz + d = 0 a M = [x0 , y 0 , z 0 ] v (M , ρ ) =
ax0 + by 0 + cz 0 + d a2 + b2 + c2
vzdálenost dvou rovnoběžných rovin ρ : ax + by + cz + d1 = 0 , σ : ax + by + cz + d 2 = 0 v( ρ , σ ) =
d1 − d 2 a2 + b2 + c2
vzdálenost bodu M od přímky p, kde M = [x0 , y 0 , z 0 ] a přímka p je dána bodem A = [a1 , a 2 , a3 ] a
směrovým vektorem u = (u1 , u 2 , u 3 ) v (M , p ) =
u × AM u
vzdálenost dvou rovnoběžek p, q je rovna vzdálenosti libovolného bodu A přímky p od přímky q
v( p, q ) = v( A, q ) vzdálenost dvou mimoběžek: přímka p je dána bodem A = [a1 , a 2 , a3 ] a směrovým vektorem
u = (u1 , u 2 , u 3 ) ; přímka q je dána bodem B = [b1 , b2 , b3 ] a směrovým vektorem v = (v1 , v 2 , v3 ) v( p, q ) =
(
u ⋅ v × AB u ×v
)
od roviny ρ : x = − s + 2t . y = −1 + s − t
Příklad 22: Vypočítejte odchylku přímky p : x = 1 − t y = 2 + 3t z = 3 − t, t ∈ R
z = 2 − s − t , s, t ∈ R
směrové vektory roviny: u = (− 1,1, − 1), v = (2,−1,−1) normálový vektor roviny: i
j
−1 1 − 1 = − i + k − 2 j − (2k + i + j ) = − 2 i − 3 j − k = 2 −1 −1
n = u ×v =
( − 2, − 3, − 1 )
p = ( − 1, 3, − 1 )
směrový vektor přímky:
p⋅n
sin ϕ =
výpočet odchylky:
k
=
p ⋅ n
− 1 ⋅ (− 2 ) + 3 ⋅ (− 3) − 1 ⋅ (− 1)
(− 1)
2
+ 3 + (− 1) ⋅
2 − 9 +1
=
1+ 9 +1⋅
ϕ = arcsin
2
2
4 + 9 +1
=
(− 2 )
−6 11 ⋅ 14
2
=
+ (− 3) + (− 1) 2
2
=
6 154
6 154
ϕ =ɺ 28 55′ Příklad 23: Určete vzdálenost bodu A = [ 2, 3, 0 ] od roviny ρ : x = − s + 2t . y = −1 + s − t z = 2 − s − t , s, t ∈ R z parametrické rovnice roviny vytvoříme obecnou rovnici roviny:
x = − s + 2t y = −1 + s − t z = 2−s−t
buď:
nebo: normálový vektor roviny n = (− 2,−3,−1)
libovolný bod ležící v rovině, např. B = [ 0,−1, 2
x + y = −1 + t
ρ : −2 x − 3 y − z + d = 0
y + z = 1 − 2t
B ∈ ρ : −2 ⋅ 0 − 3 ⋅ (− 1) − 2 + d = 0 1+ d = 0
2 x + 2 y = −2 + 2t
y + z = 1 − 2t 2 x + 3 y + z = −1
d = −1
ρ : −2 x − 3 y − z − 1 = 0
2x + 3 y + z + 1 = 0
v ( A, ρ ) =
2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 + 1⋅ 0 + 1 2 + 3 +1 2
2
2
=
(viz Př. 22)
4 + 9 + 0 +1 4 + 9 +1
=
14 14
=
14
]
