MATE ZS 2013 KONZ 3B Matice, hodnost matice, Gaussův tvar Matice – uspořádané schéma reálných čísel:
a11 a 21 ... a m1
a12 a 22 ... am2
... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn
Toto schéma se nazývá matice typu m řádků a n sloupců.
m × n . Matice typu m × n má
Označujeme ji A, B …,někdy používáme označení A = (a ij ) , i = 1, … m, j = 1, … n. Řádky, sloupce matice, řádkové vektory, sloupcové vektory – názorné pojmy. Hlavní diagonála – prvky typu a ii . Příklad: 1 2 −3 0 1 2 4 − 1 5 A= 0 2 − 2 0 3 − 3 125 − 13
5 0 0 1
Určete: Typ matice, prvek a 32 , zapište prvky matice A rovna nule, zapište druhý řádek a třetí sloupec matice A. Zapište první řádkový a druhý sloupcový vektor matice A. Napište prvky hlavní diagonály.
Matice A, B typu m × n se rovnají, (A = B), právě když platí:
∀i = 1,..., m , j = 1,.., n : a ij = bij . (Dvě matice se rovnají, pokud jsou stejného typu a jejich prvky na odpovídajících si místech jsou si rovny) Matici A nazýváme nulovou (A = O), právě když platí
∀i = 1,..., m , j = 1,.., n : a ij = 0 . (Nulová matice má jako své prvky samé nuly) Matice, která vznikne z matice A typu m × n tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá T matice transponovaná k matici A (značí se A ). Transponovaná matice je typu n × m . T T T Platí A = (a ji ) ⇔ a ji = a ij , j = 1,..., n, i = 1,...m .
Příklad: 1.Určete transponovanou matici k matici A: 9 − 7 0 4 − 2 2 2 −7 0 5 − 3 1 A= . 4 4 − 4 − 1 8 1
Hodnost matice Hodnost matice A h(A) je číslo, které se rovná maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice A. Příklad: Určete hodnost matice A: 2 − 1 1 A = 1 − 2 2 . 4 − 2 2
Určení hodnosti matice: 1. Trojúhelníková matice: Matice typu m × n se nazývá trojúhelníková, když m ≤ n a pro i = 1, …, m platí a ii ≠ 0 ∧ a ij = 0 pro j < i. ∆ To znamená, že trojúhelníková matice (značíme A ) má na hlavní diagonále nenulové prvky a pod hlavní diagonálou samé nuly.
a11 0 ∆ A = ... 0
a12 a 22
... a1m ... a 2 m
... 0
... ... ... a mm
... a1n ... a 2 n ... ... . ... a mn
2. Převod nenulové matice na trojúhelníkovou matici – úpravy, které nemění hodnost matice: (u1) záměna pořadí řádků matice, (u2) záměna pořadí sloupců matice, (u3) násobení libovolného řádku matice nenulovým reálným číslem, (u4) přičtení lineární kombinace ostatních řádků k libovolnému řádku matice, (u5) vynechání řádku matice, který je lineární kombinací ostatních řádků (tedy i řádku nulového).
3. Je-li matice v trojúhelníkovém tvaru, pak její hodnost se rovná počtu jejích řádků.
Příklady 3. Určete hodnost matic: 2 −1 1 1 1 0 1 − 1 a) 1 4 −2 3 − 1 − 3 1 − 2
b)
2 4 0 6 3 5 2 7 2 3 2 4
c)
d)
0 3
1 2
0 2
1 3
5
0
0 4 2 0 2
4 1 4 1 2
1 3
2 2
0 2
1 1
5
0
5 1 4 1 1
Využití hodnosti matice k rozhodnutí o lineární závislosti či nezávislosti vektorů n
Je dáno m aritmetických vektorů z R . Tyto vektory zapíšeme do řádků matice, vznikne matice typu m × n , kterou označíme A. Pak platí: h( A) = m ⇒ vektory jsou lineárně nezávislé, h( A) < m ⇒ vektory jsou lineárně závislé.
Příklady: 4. Rozhodněte o lineární závislosti a nezávislosti vektorů a = (2, 0, 1, -1, 3), b = (3, 1, 0, -2, 5), c = (0, -2, 3, 2, 1).
Hodnost transponované matice Platí:
( )
h( A) = h AT
Poznámka: Při určování hodnosti matice můžeme pracovat jak s maticí danou, tak s maticí transponovanou, podle toho, co se zdá početně výhodnější. Příklady: 4
5. Rozhodněte, zda následující vektory tvoří bázi R : u = (1, 5, 4, 3), v = (1, 2, 1, 4), w = (-1, -3, -2, -1), z = (2, 1, 3, 2).
Operace s maticemi, inverzní matice Nechť A = (a ij ), B = (b ij ) jsou matice typu
m×n
.
Součet matic: A + B = (x ij ), kde x ij = a ij + bij (Součet matic je definován pouze pro matice stejného typu) Reálný násobek matice: c. A = (x ij ) , kde x ij = c.a ij (Společný činitel všech prvků matice je možno vytknout před matici)
Čtvercová matice řádu n: matice typu
m × n , kde m = n.
Jednotková matice: čtvercová matice J řádu n, kde j ik = 1 pro i = k, j ik = 0 pro i ≠ k . (jednotková matice má na hlavní diagonále všechny prvky rovny 1, mimo ni 0.
Součin matic: A je matice typu pořadí) typu n × p A.B = (x ij ) , kde x ij =
m×n,B
je matice A.B (záleží na
n
∑a k =1
ik
bkj (i = 1, …, m, j = 1, …, p) (Prvek x ij
je rovný skalárnímu součinu i – tého řádku matice A a j – tého sloupce matice B.
Příklad: 1. Jsou dány matice 1 2 0 2 1 1 2 1 A= , B = 0 1, C = 1 1 3 . Vypočtěte součiny A.B, 1 0 1 1 3 7 1 5 B.A ,B.C, C.B.
(Poznámka: Násobení matic není komutativní, proto rozlišujeme násobení matice A maticí B zprava a zleva.) 2. Vypočtěte součin matic A.B a B.A, jestliže
1 0 −2 1 0 −1 0 2 2 1 , B = 0 2 0 1 a) A = 1 −1 2 −2 1 1 0 − 2 3 1 Booleovské násobení matic (týká se například matic sousednosti (adjacency matrix) relací) Booleovské operace: . 0 1 0 0 0 1 0 1 + 0 1 0 0 1 1 1 1
Příklady: 3. Booleovsky vynásobte matice: 1 1 0 0 1 0 a) 0 1 0 • b 1 1 1 , 0 1 1 0 0 1
Inverzní matice Nechť A je čtvercová matice. Matici X, pro kterou platí A.X = J nazýváme inverzní maticí k matici A. Označení: Inverzní matici k matici A označujeme A −1 . Tato matice je čtvercová matice stejného řádu, jako A. Návod na hledání inverzní matice: Čtvercovou matici A rozšíříme o sloupce jednotkové matice J stejného řádu n (obě matice oddělíme svislou čarou). Tuto matici (typu n× 2n ) upravíme řádkovými úpravami tak, aby na místě matice A vznikla jednotková matice J. Pak na místě původní −1 jednotkové matice (napravo od svislé čáry) je inverzní matice A .
Schéma: [AJ ] ~ … ~ [J A Příklady:
−1
].
4. Vypočtěte inverzní matici k matici
1 2 a) A = 3 4 , b)
1 0 2 B = 2 1 − 1 1 1 2
Správnost výpočtu ověřte vynásobením matic.
