Pravdˇ epodobnost a statistika 1
N´ ahodn´ e pokusy a n´ ahodn´ e jevy
ˇ Cinnostem, jejichˇz v´ ysledek nen´ı jednoznaˇcnˇe urˇcen podm´ınkami, za kter´ ych prob´ıhaj´ı, a kter´e jsou (alespoˇ n teoreticky) neomezenˇe opakovateln´e, ˇr´ık´ame n´ahodn´e pokusy. Klasick´ ymi pˇr´ıklady jsou hod hrac´ı kostkou nebo hod minc´ı. N´ahodn´ ym pokusem vˇsak m˚ uˇze b´ yt i sledov´an´ı doby ˇzivotnosti ˇz´arovky, mˇeˇren´ı hodnoty urˇcit´e fyzik´aln´ı veliˇciny, vyroben´ı v´ yrobku s urˇcit´ ymi technick´ ymi parametry, apod. N´ahodn´ym jevem naz´ yv´ame jak´ekoliv tvrzen´ı o v´ ysledku n´ahodn´eho pokusu, o kter´em lze po proveden´ı pokusu rozhodnout, zda je ˇci nen´ı pravdiv´e. Napˇr´ıklad, pˇri hodu hrac´ı kostkou m˚ uˇze j´ıt o tvrzen´ı: padne stˇena se sud´ ym poˇctem teˇcek. Nebo jin´ y pˇr´ıklad, pokud n´ahodn´ y pokus spoˇc´ıv´a ve v´ ybˇeru pˇeti v´ yrobk˚ u z celkov´ ych dvan´acti, mezi nimiˇz jsou ˇctyˇri vadn´e, potom n´ahodn´ ym jevem m˚ uˇze b´ yt tvrzen´ı: mezi vybran´ ymi pˇeti v´ yrobky budou pr´avˇe dva vadn´e. Jednotliv´e v´ ysledky n´ahodn´eho pokusu obvykle oznaˇcujeme jako element´arn´ı jevy. Mnoˇzinu vˇsech element´arn´ıch jev˚ u nazveme prostor element´arn´ıch jev˚ u a budeme ji oznaˇcovat Ω. N´ahodn´ y jev je pak podmnoˇzina (ne nutnˇe kaˇzd´a) prostoru element´arn´ıch jev˚ u. N´ahodn´e jevy budeme oznaˇcovat velk´ ymi p´ısmeny latinsk´e abecedy. Prov´ad´ıme s nimi stejn´e operace jako s mnoˇzinami (definujeme sjednocen´ı a pr˚ unik n´ahodn´ych jev˚ u, disjunktn´ı jevy, doplˇ nkov´y jev, rozd´ıl jev˚ u). Nemoˇzn´emu jevu, kter´ y nem˚ uˇze v dan´em pokusu nikdy nastat, odpov´ıd´a pr´azdn´a mnoˇzina, jist´emu jevu cel´a mnoˇzina Ω.
2 2.1
Pravdˇ epodobnost Pravdˇ epodobnost a relativn´ı ˇ cetnost
Pˇredstavme si posloupnost velk´eho poˇctu n realizac´ı n´ahodn´eho pokusu. Relativn´ı ˇcetnost n´ahodn´eho jevu (struˇcnˇe jevu) A definujeme vztahem h(A) = 1
n(A) , n
kde n(A) je poˇcet tˇech realizac´ı n´ahodn´eho pokusu, pˇri kter´ ych nastal jev A. Pro relativn´ı ˇcetnost n´ahodn´eho jevu A plat´ı, ˇze 0 ≤ h(A) ≤ 1. D´ale, jsou-li A1 , A2 , . . .,Am navz´ajem disjunktn´ı jevy a A jejich sjednocen´ı, potom m X h(Ai ). h(A) = i=1
Na relativn´ıch ˇcetnostech je zaloˇzena tzv. statistick´a definice pravdˇepodobnosti : Pravdˇepodobnost jevu A je ˇc´ıslo P (A) pˇriˇrazen´e jevu A, kter´e m´a tu vlastnost, ˇze relativn´ı ˇcetnost h(A) jevu A se s rostouc´ım poˇctem realizac´ı pokusu bl´ıˇz´ı ˇc´ıslu P (A). Protoˇze pravdˇepodobnosti jsou ˇc´ısla, jejichˇz empirick´ ym protˇejˇskem jsou relativn´ı ˇcetnosti, mus´ı pˇriˇrazen´ı pravdˇepodobnost´ı jev˚ um splˇ novat obdobn´e podm´ınky, tzv. axiomy pravdˇepodobnosti: (i) 0 ≤ P (A) ≤ 1, (ii) je-li A1 , A2 , . . . koneˇcn´ y nebo spoˇcetn´ y syst´em navz´ajem disjunktn´ıch jev˚ u, pak pro pravdˇepodobnost jeho sjednocen´ı plat´ı [ X Ai = P P (Ai ), i
i
(iii) pravdˇepodobnost jist´eho jevu je rovna jedn´e, tj. P (Ω) = 1. Z uveden´ ych axiom˚ u lze odvodit dalˇs´ı vlastnosti pravdˇepodobnosti, napˇr. nkov´ y jev k jevu A, (iv) P (A) = 1 − P (A), kde A je doplˇ (v) P (∅) = 0, (vi) pravdˇepodobnost sjednocen´ı dvou (obecnˇe nedisjunktn´ıch) jev˚ uAaB je rovna P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
2
2.2
Pravdˇ epodobnost v koneˇ cn´ ych prostorech
Uvaˇzujme nyn´ı n´ahodn´e pokusy, kter´ ym pˇr´ısluˇs´ı prostor element´arn´ıch jev˚ u s koneˇcn´ ym poˇctem N prvk˚ u. Pˇr´ıkladem je hod hrac´ı kostkou, kdy Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ω6 } a kde ωi znaˇc´ı padnut´ı ˇc´ısla i. Je-li kostka naprosto pravideln´a, oˇcek´av´ame, ˇze v dlouh´e ˇradˇe opakov´an´ı pokusu se kaˇzd´ y z element´arn´ıch jev˚ u ω1 , ω2 , . . . , ω6 bude vyskytovat pˇribliˇznˇe stejnˇe ˇcasto, tj. budou m´ıt pˇribliˇznˇe stejn´e relativn´ı ˇcetnosti. Je tedy pˇrirozen´e pˇriˇradit jim stejn´e pravdˇepodobnosti. Protoˇze pravdˇepodonost cel´eho prostoru mus´ı b´ yt rovna 1, je pak P ({ωi }) =
1 6
pro vˇsechna i = 1, . . . , 6. Zobecnˇen´ım t´eto u ´vahy z´ısk´ame klasickou definici pravdˇepodobnosti: Necht’ n´ahodn´emu pokusu pˇr´ısluˇs´ı prostor element´arn´ıch jev˚ u s N prvky. Jestliˇze nen´ı d˚ uvod pˇredpokl´adat, ˇze nˇekter´ y element´arn´ı jev nastane sp´ıˇse neˇz jin´ y, pak pravdˇepodobnost jevu A, kter´ y je sjednocen´ım NA element´arn´ıch jev˚ u, je rovna NA P (A) = . N Pˇ r´ıklad. V s´erii 100 v´ yrobk˚ u je 5 vadn´ ych. Vybereme n´ahodnˇe 10 v´ yrobk˚ u. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze mezi nimi budou pr´avˇe 3 vadn´e? V´ ysledkem n´ahodn´eho pokusu je vybr´an´ı 10 v´ yrobk˚ u z celkov´ ych 100. Poˇcet vˇsech moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u pokusu je d´an poˇctem vˇsech kombinac´ı 10 prvk˚ u ze 100, tj. ˇc´ıslem 100 . Poˇcet tˇech v´ ysledk˚ u, kdy pr´avˇe 3 v´ yrobky 10 jsou vadn´e (ozn. jako jev A), z´ısk´ame n´asleduj´ıc´ı u ´vahou: Vzhledem k tomu, ˇze s´erie obsahuje 5 vadn´ ych v´ yrobk˚ u , poˇ c et moˇ znost´ı pro vybr´an´ı trojice 5 vadn´ ych v´ yrobk˚ u je d´an ˇc´ıslem 3 . Ke kaˇzd´e takov´e trojici existuje 95 7 moˇ z nost´ ı, jak vybrat zb´ y vaj´ ıc´ ıch 7 v´ y robk˚ u , kter´ e vadu nemaj´ ı, tedy celkovˇ e 5 95 v´ y sledk˚ u vede k tomu, ˇ z e nast´ a v´ a jev A. Podle klasick´ e definice 3 7 pravdˇepodobnosti je P (A) =
3
5 3
95 7 100 10
.
2.3
Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost a nez´ avislost jev˚ u
Pˇredstavme si nyn´ı n realizac´ı nˇejak´eho n´ahodn´eho pokusu a uvaˇzujme dvˇe mnoˇziny (n´ahodn´e jevy) A a B v prostoru element´arn´ıch jev˚ u Ω. Z posloupnosti realizac´ı vyberme nyn´ı ty, pˇri kter´ ych nastal jev B. Takov´ ych realizac´ı je n(B). Relativn´ı ˇcetnost jevu A podm´ınˇenou jevem B potom definujeme vztahem n(A ∩ B) h(A|B) = , n(B) kde n(A ∩ B) je poˇcet realizac´ı pokusu, pˇri kter´ ych nastaly souˇcasnˇe oba jevy A a B. Podm´ınˇen´e relativn´ı ˇcetnosti d´avaj´ı d˚ uleˇzitou informaci o vz´ajemn´e souvislosti jev˚ u. Napˇr´ıklad, je-li (pˇribliˇznˇe) h(A|B) = h(A), jevy A a B povaˇzujeme za nez´avisl´e. Relativn´ı ˇcetnost jevu A podm´ınˇenou jevem B lze zapsat tak´e takto: h(A|B) =
n(A ∩ B)/n h(A ∩ B) = . n(B)/n h(B)
S rostouc´ım poˇctem realizac´ı n´ahodn´eho pokusu se relativn´ı ˇcetnosti bl´ıˇz´ı k odpov´ıdaj´ıc´ım pravdˇepodobnostem, definujeme tedy (za pˇredpokladu P (B) 6= 0) pravdˇepodobnost jevu A podm´ınˇenou jevem B jako pod´ıl P (A|B) =
P (A ∩ B) . P (B)
Uvaˇzujme nyn´ı speci´aln´ı pˇr´ıpad, kdy prostor element´arn´ıch jev˚ u je koneˇcn´ y s N prvky. Omez´ıme-li mnoˇzinu vˇsech moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u na nepr´azdnou mnoˇzinu B, potom pravdˇepodobnost toho, ˇze nastane A (za podm´ınky, ˇze B nastal) je (podle klasick´e definice pravdˇepodobnosti) P (A|B) =
NA∩B , NB
kde NA∩B je poˇcet v´ ysledk˚ u, pˇri kter´ ych nast´avaj´ı souˇcasnˇe jevy A i B, NB je poˇcet vˇsech v´ ysledk˚ u, pˇri kter´ ych nast´av´a jev B. Jednoduchou u ´pravou dojdeme opˇet k z´avˇeru, ˇze P (A|B) =
NA∩B NA∩B /N P (A ∩ B) = = . NB NB /N P (B)
Pokud plat´ı (za pˇredpokladu P (B) 6= 0) P (A|B) = P (A), 4
jevy A a B jsou nez´avisl´e. Rozep´ıˇseme-li tento vztah, dostaneme P (A ∩ B) = P (A) P (B) a n´aslednˇe P (A ∩ B) = P (A)P (B). Pr´avˇe t´ımto posledn´ım vztahem se v teorii pravdˇepodobnosti definuje nez´avislost jev˚ u A a B. Pro v´ıce neˇz dva n´ahodn´e jevy definujeme tzv. skupinovou nez´avislost n´ahodn´ych jev˚ u n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: Jevy A1 , A2 ,. . . , An se naz´ yvaj´ı navz´ajem nez´avisl´e, jestliˇze pro libovolnou skupinu index˚ u 1 ≤ i1 < i2 . . . ir ≤ n plat´ı P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Air ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Air ). Znamen´a to, ˇze ˇz´adn´ y z jev˚ u A1 , A2 ,. . . , An nez´avis´ı na libovoln´em pr˚ uniku jev˚ u ostatn´ıch. Slabˇs´ı je tzv. nez´avislost po dvou (pro r = 2). Mohou nastat situace, ˇze libovoln´e dva jevy ve skupinˇe jsou nez´avisl´e, ale skupina jako celek nen´ı skupinou navz´ajem nez´avisl´ ych jev˚ u. To lze ilustrovat na n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad. V osud´ı jsou 4 l´ıstky oznaˇcen´e 4, 9, 25, 30. Necht’ jev A znamen´a, ˇze n´ahodnˇe vytaˇzen´e ˇc´ıslo je dˇeliteln´e 2, jev B, ˇze n´ahodnˇe vytaˇzen´e ˇc´ıslo je dˇeliteln´e 3 a jev C, ˇze vytaˇzen´e ˇc´ıslo je dˇeliteln´e 5. Plat´ı, ˇze A = {4, 30}, B = {9, 30}, C = {25, 30}, tedy podle klasick´e definice pravdˇepodobnosti je 1 P (A) = P (B) = P (C) = . 2 Protoˇze A ∩ B = B ∩ C = A ∩ C = {30}, plat´ı P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = P (A ∩ C) 1 = = P (A)P (B) = P (B)P (C) = P (A)P (C), 4 jevy jsou tedy po dvou nez´avisl´e. Naproti tomu, 1 1 6= P (A)P (B)P (C) = , 4 8 jevy A, B, C tedy nejsou skupinou navz´ajem nez´avisl´ ych jev˚ u. P (A ∩ B ∩ C) = P ({30}) =
5
2.4
Vˇ eta o u ´ pln´ e pravdˇ epodobnosti
Pˇri v´ ypoˇctu pravdˇepodobnosti b´ yv´a nˇekdy uˇziteˇcn´e n´asleduj´ıc´ı pravidlo, oznaˇcovan´e jako vˇ ou ´pln´e pravdˇepodobnosti: Seta n Necht’ A ⊂ i=1 Bi , P (Bi ) > 0 pro i = 1, . . . , n, Bi jsou navz´ajem disjunktn´ı jevy. Potom P (A) =
n X
P (Bi )P (A|Bi ).
i=1
S D˚ ukaz: Protoˇze A ⊂ ni=1 (A ∩ Bi ) a A ∩ Bi jsou vz´ajemnˇe disjunktn´ı, plat´ı n n X X P (A) = P (A ∩ Bi ) = P (Bi )P (A|Bi ). i=1
i=1
Pˇ r´ıklad. Uvaˇzujme 10 osud´ı, v kaˇzd´em je 10 koul´ı, v i-t´em osud´ı je i koul´ı ˇcern´ ych a 10 − i koul´ı b´ıl´ ych. N´ahodnˇe vybereme osud´ı a potom z vybran´eho osud´ı n´ahodnˇe jednu kouli. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze vybran´a koule je ˇcern´a? Jako A oznaˇcme jev, ˇze vytaˇzen´a koule je ˇcern´a , Bi necht’ je jev, ˇze bylo vybr´ano osud´ı s i ˇcern´ ymi koulemi. Podle klasick´e definice pravdˇepodobnosti lze spoˇc´ıtat, ˇze pro i = 1, . . . , 10 je P (Bi ) =
1 10
a
i . 10 Podle vˇety o u ´pln´e pravdˇepodobnosti plat´ı P (A|Bi ) =
P (A) =
10 X i=1
2.5
10 X 1 i P (Bi )P (A|Bi ) = = 0, 55. 10 10 i=1
Bayesova formule
Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym vztahem v teorii pravdˇepodobnosti je tzv. Bayesova forSn mule: Necht’ A ⊂ i=1 Bi , P (A) > 0, P (Bi ) > 0 pro i = 1, . . . , n, Bi jsou 6
navz´ajem disjunktn´ı jevy. Potom pro kaˇzd´e j plat´ı P (Bj )P (A|Bj ) P (Bj |A) = Pn . i=1 P (Bi )P (A|Bi ) D˚ ukaz: Staˇc´ı pouˇz´ıt definici podm´ınˇen´e pravdˇepodobnosti a uvˇedomit si, ˇze v ˇcitateli je pravdˇepodobnost P (Bj ∩ A) pr˚ uniku jev˚ u A a Bj a ve jmenovateli (podle pˇredchoz´ı vˇety o u ´pln´e pravdˇepodobnosti) pravdˇepodobnost P(A) jevu A. Pˇ r´ıklad. Mˇejme 3 osud´ı, v prvn´ım jsou 4 ˇcerven´e a 3 b´ıl´e koule, v druh´em 5 b´ıl´ ych a 2 modr´e koule a v tˇret´ım je 7 modr´ ych a 3 ˇcerven´e koule. Z nˇekter´eho osud´ı jsme vybrali b´ılou kouli. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze byla vybr´ana z prvn´ıho osud´ı, kdyˇz vybr´an´ı koule z kter´ehokoli osud´ı je stejnˇe pravdˇepodobn´e? Jako A oznaˇcme jev, ˇze byla vytaˇzena b´ıl´a koule, Bi necht’ oznaˇcuje vytaˇzen´ı koule z i-t´eho osud´ı. Podle Bayesovy formule je 1 3 . P (B1 )P (A|B1 ) 3 3 7 P (B1 |A) = P3 = 1 3 1 5 1 = . 8 . + 3 . 7 + 3 .0 3 7 i=1 P (Bi )P (A|Bi )
2.6
Bernoulliho sch´ ema
Uvaˇzujme n-n´asobn´e nez´avisl´e opakov´an´ı nˇejak´eho n´ahodn´eho pokusu, napˇr. n-n´asobn´e h´azen´ı hrac´ı kostkou, minc´ı apod. To znamen´a, ˇze libovoln´ y jev A, kter´ y m˚ uˇze pˇri realizaci pokusu nastat, nez´avis´ı na nastoupen´ı libovoln´eho pr˚ uniku jev˚ u pˇri jin´ ych realizac´ıch (lze tedy pouˇz´ıt pravidlo o n´asoben´ı pravdˇepodobnost´ı). Necht’ tedy A ⊂ Ω je n´ahodn´ y jev, kter´ y m˚ uˇze nastat pˇri uvaˇzovan´em n´ahodn´em pokusu, P (A) = p. Jako B oznaˇcme jev, ˇze pˇri n-n´asobn´em nez´avisl´em opakov´an´ı pokusu nastal jev A pr´avˇe k-kr´at. Potom plat´ı n k P (B) = p (1 − p)n−k . k
7
2.7
Axiomatick´ a teorie pravdˇ epodobnosti
V t´eto kapitole zavedeme pravdˇepodobnost jako abstraktn´ı matematick´ y pojem, kter´ y je vymezen pouze sv´ ymi z´akladn´ımi vlastnostmi, tzv. axiomy pravdˇepodobnosti (Kolmogorov, 1933). Pojem pravdˇepodobnosti tak pˇrestane b´ yt v´az´an na praktick´e experimenty. Rovnˇeˇz pˇredpoklad koneˇcn´eho prostoru element´arn´ıch jev˚ u, tak jak to vyˇzadovala klasick´a definice pravdˇepodobnosti, nebude potˇrebn´ y. Pˇredchoz´ı definice pravdˇepodobnosti, tedy statistick´a a klasick´a definice, slouˇz´ı sp´ıˇs k praktick´emu urˇcen´ı pravdˇepodobnosti sledovan´eho jevu. Pravdˇepodobnost se v axiomatick´e teorii form´alnˇe definuje jako zobrazen´ı, kter´e podmnoˇzin´am z´akladn´ıho prostoru Ω (n´ahodn´ ym jev˚ um) pˇriˇrazuje ˇc´ıslo z intervalu [0, 1], splˇ nuj´ıc´ı urˇcit´e z´akladn´ı podm´ınky. Pˇritom nen´ı nutn´e, abychom kaˇzdou podmnoˇzinu mnoˇziny Ω povaˇzovali za n´ahodn´ y jev, kter´emu pˇr´ısluˇs´ı urˇcit´a pravdˇepodobnost. D˚ uleˇzit´e je, abychom s dan´ ymi podmnoˇzinami (jevy), kter´e jsou v dan´e situaci d˚ uleˇzit´e a jejichˇz pravdˇepodobnosti n´as zaj´ımaj´ı (coˇz m˚ uˇze b´ yt i ot´azka subjektivn´ı volby), brali v u ´vahu a umˇeli pˇriˇradit pravdˇepodobnost i tˇem podmnoˇzin´am (jev˚ um), kter´e mohou z jiˇz uvaˇzovan´ ych vzniknout pouˇzit´ım nˇejak´e poslupnosti z´akladn´ıch mnoˇzinov´ ych (logick´ ych) operac´ı (doplˇ nky, sjednocen´ı, apod.). Definice. Necht’ Ω je nepr´azdn´a mnoˇzina a S je syst´em podmnoˇzin ˇ mnoˇziny Ω. Rekneme, ˇze S je σ-algebra, jestliˇze (i) Ω ∈ S (ii) A ∈ S ⇒ A = Ω\A ∈ S (iii) An ∈ S, n = 1, 2, . . . ⇒
S∞
n=1
An ∈ S
Z uveden´ ych axiom˚ u lze odvodit dalˇs´ı vlastnosti syst´emu S. Tvrzen´ı. Necht’ S je σ-algebra podmnoˇzin mnoˇziny Ω. Potom plat´ı: (i) ∅ ∈ S (ii) A, B ∈ S ⇒ A ∪ B, A ∩ B, A\B ∈ S T (iii) An ∈ S, n = 1, 2, . . . ⇒ ∞ n=1 An ∈ S Definice. Pravdˇepodobnost je zobrazen´ı P : S → [0, 1] definovan´e na σ-algebˇre S podmnoˇzin mnoˇziny Ω, pro kter´e plat´ı: 8
(i) P (Ω) = 1 S (ii) P An ∈ S, n = 1, 2, . . . a An ∩ Am = ∅ pro n 6= m ⇒ P ( ∞ n=1 An ) = ∞ n=1 P (An ) Trojice (Ω, S, P ) se naz´ yv´a pravdˇepodobnostn´ı prostor. Uvedeme zde dva jednoduch´e pˇr´ıklady pravdˇepodobnostn´ıch prostor˚ u: 1. Necht’ Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωN } a S je syst´em vˇsech podmnoˇzin mnoˇziny Ω. Pro A ∈ S poloˇz´ıme NA , P (A) = N kde NA je poˇcet prvk˚ u mnoˇziny A. Trojice (Ω, S, P ) je pravdˇepodobnostn´ı prostor. 2. Necht’ Ω = [0, 2] × [0, 2] je ˇctverec v rovinˇe, definujme mnoˇzinu x2 A = (x, y) ∈ Ω|0 ≤ y ≤ . 2 Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodnˇe zvolen´ y bod ˇctverce padne do mnoˇziny A? V dan´em pˇr´ıkladˇe staˇc´ı vz´ıt S = {∅, A, A, Ω} a pro B ∈ S poloˇzit P (B) =
m(B) , m(Ω)
kde m(B) a m(Ω) jsou ploˇsn´e obsahy mnoˇzin B a Ω. Snadn´ ym v´ ypoˇctem 4 zjist´ıme, ˇze m(B) = 3 . Protoˇze m(Ω) = 4, dost´av´ame 1 P (A) = . 3
Pozn´ amka. V uveden´em pˇr´ıkladˇe jsme pouˇzili tzv. geometrickou definici pravdˇepodobnosti.
9
Z uveden´ ych axiom˚ u σ-algebry a pravdˇepodobnosti lze odvodit nˇekter´e dalˇs´ı vlastnosti: (i) P (∅) = 0 (ii) je-li A1 , . . . , A posloupnost navz´ajem disjunktn´ıch mnoˇzin z Sn koneˇcn´a P S, potom P ( ni=1 Ai ) = ni=1 P (Ai ) (iii) je-li A ∈ S, potom P (A) = 1 − P (A) (iv) jsou-li A, B ∈ S, potom P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B) (v) jsou-li A, B ∈ S, potom P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (vi) jsou-li A, B ∈ S a A ⊂ B, potom P (A) ≤ P (B) (vii) jsou-li A, B ∈ S a A ⊂ B, potom P (B\A) = P (B) − P (A) (viii) jestliˇze An ∈ S a An ⊂ An+1 pro n = 1, 2, . . . , potom ! ∞ [ P An = lim P (An ) n→∞
n=1
(ix) jestliˇze An ∈ S a An+1 ⊂ An pro n = 1, 2, . . . , potom ! ∞ \ P An = lim P (An ) n→∞
n=1
D˚ ukazy uveden´ ych tvrzen´ı lze naj´ıt v doporuˇcen´e studijn´ı literatuˇre (Z. Rieˇcanov´a a kolekt´ıv: Numerick´e met´ody a matematick´a ˇstatistika). Pozn´ amka. V kapitole 2.1 jsme do syst´emu axiom˚ u zahrnuli i koneˇcnou aditivitu (v souladu s t´ım, jak se to nˇekdy dˇel´av´a). Tento pˇredpoklad n´am umoˇzn ˇuje bezprostˇrednˇe snadno odvodit zde uvedenou vlastnost (iii) a n´aslednˇe vlastnost (i). Nicm´enˇe, staˇc´ı pˇredpokl´adat pouze spoˇcetnou aditivitu, koneˇcn´a aditivita je pak jej´ım d˚ usledkem (vlastnost (ii)). Napˇred je ale nutno dok´azat, ˇze P (∅) = 0 (viz Z. Rieˇcanov´a a kolekt´ıv: Numerick´e met´ody a matematick´a ˇstatistika).
10
