PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2010

2

Pravděpodobnost a statistika

Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.


3

Obsah Pokusy, jevy ............................................................................................................................... 5 Základní pojmy ...................................................................................................................... 5 Operace s jevy ........................................................................................................................ 6 Operace s jevy Varianta A ................................................................................................. 7 Operace s jevy Varianta B ................................................................................................ 10 Operace s jevy Varianta C ................................................................................................ 14 Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................... 16 Klasická pravděpodobnost ....................................................................................................... 18 Klasická pravděpodobnost Varianta A ............................................................................. 19 Klasická pravděpodobnost Varianta B ............................................................................. 22 Klasická pravděpodobnost Varianta C ............................................................................. 25 Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................... 28 Věty o pravděpodobnostech ................................................................................................. 31 Věty o pravděpodobnostech Varianta A .......................................................................... 33 Věty o pravděpodobnostech Varianta B........................................................................... 35 Věty o pravděpodobnostech Varianta C........................................................................... 40 Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................... 42 Statistika ................................................................................................................................... 44 Důležité pojmy ..................................................................................................................... 44 Rozdělení četností a jeho grafické znázornění ..................................................................... 45 Statistické diagramy ............................................................................................................. 46 Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta A .............................................. 49 Výsledky varianta A ......................................................................................................... 55 Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta B .............................................. 61 Výsledky varianta B ......................................................................................................... 64 Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta C .............................................. 66

4


Výsledky varianta C ......................................................................................................... 69 Charakteristiky polohy a variability ..................................................................................... 71 Charakteristiky polohy a variability Varianta A .............................................................. 73 Charakteristiky polohy a variability Varianta B .............................................................. 76 Charakteristiky polohy a variability Varianta C .............................................................. 80 Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................... 82 Souhrnné příklady k procvičení - výsledky...................................................................... 85


5

Pokusy, jevy Základní pojmy náhodné pokusy - procesy, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Závisí jednak na daných podmínkách, při kterých je prováděn, jednak na náhodě množina všech možných výsledků pokusů (značíme Ω , její libovolný prvek písmenem ω ) předpokládá se, že u každého náhodného pokusu je možno předem určit všechny možné výsledky, a to tak, že se navzájem vylučují a že jeden z nich nastane vždy jev - podmnožina množiny všech možných výsledků jistý jev - jev, který při daném pokusu určitě nastane (celá množina Ω ) nemožný jev - jev, který nemůže nastat (prázdná množina ∅ )

6


Operace s jevy Nechť A ⊂ Ω , B ⊂ Ω . Pro jevy A, B platí: A⊂B

A je podjevem jevu B

A∪B

sjednocení jevů A a B nastává právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů AaB

A∩B

průnik jevů A a B nastává právě tehdy, nastanou-li oba jevy A a B současně

A´

opačný jev k jevu A nastává právě tehdy, když nenastává jev A

(A ∪ A´ = Ω , A ∩ A´ = ∅ ) Je-li A ∩ B = ∅ , nazýváme jevy A a B disjunktní (navzájem se vylučují)

Příklad:

Závodu v lukostřelbě se účastní 3 děti (Iva, Jana a Tomáš). Určete množinu všech možných výsledků závodu příznivých jevu A. Jev A značí, že Tomáš nebude poslední. Interpretujte A´ .

Řešení:

Možných výsledků je 3!−2! = 4 , lze je popsat uspořádaným čtveřicemi. Z hlediska kombinatoriky budeme tvořit uspořádané čtveřice bez opakování ze tří písmen (počáteční písmena jmen dětí).

[I , T , J ] , [J , T , I ] , [T , I , J ] , [T , J , I ] Jev A´ je opačný jev, takže značí, že Tomáš bude poslední.


7

Operace s jevy Varianta A Příklady: Pan Tupa hází třemi mincemi. Určete množinu všech možných výsledků, které mohou nastat, jestliže: a) se jedná o tři stejné mince.

b) se jedná o mince různých měn. Řešení: a) Může padnout panna nebo orel (označme písmeny p a o). Mince od sebe nelze rozlišit, takže budeme tvořit neuspořádané trojice ze dvou prvků (trojčlenné kombinace s opakováním ze dvou prvků). Možných výsledků je

⎛ 2 + 3 − 1⎞ ⎟⎟ = 4. ⎜⎜ ⎝ 3 ⎠

b) Může padnout panna nebo orel (označme písmeny p a o). Mince lze rozlišit, budeme tvořit uspořádané trojice s opakováním ze dvou prvků. (čtyřčlenné variace s opakováním ze dvou prvků). Možných výsledků je 8.

Příklad:

Výsledky řešení:

Varianta A

a) (p, p, p), (p, p, o), (p, o, o), (o, o, o)

Varianta B Varianta C

b)

[ p, p, p ] [ p, p, o] [ p, o, p ] [ p, o, o ] [o, o, o] [o, p, o ] [o, p, p ] [o, o, p ]

8


Příklady k procvičení: 1) Házíme klasickou hrací kostkou. Jev X znamená, že na kostce padlo číslo větší než dva. Jev Y znamená, že na kostce padlo liché číslo menší než šest. Určete množinu možných výsledků a množiny X a Y.

[Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, X = {3,4,5}, Y = {1,3,5}] 2) Házíme dvěma různě barevnými klasickými hracími kostkami. Určete množiny W, X, Y, Z, jestliže: jev W vyjadřuje, že na obou kostkách padne liché číslo.

[W = {[1,1], [1, 3], [1, 5], [3,1], [3, 3], [3, 5], [5,1], [5, 3], [5, 5]}] jev X vyjadřuje, že součet, který padl na kostkách, bude roven čtyřem.

[X = {[1, 3], [2, 2], [3,1] }] jev Y vyjadřuje, že součet, který padl na kostkách, bude menší než šest.

[Y = {[1, 4], [4,1], [2, 2], [2, 3], [3, 2] }] jev Z vyjadřuje, že součet, který padl na kostkách, bude dělitelný pěti.

[Z = {[1, 4], [4,1], [2, 3], [3, 2], [4, 6], [6, 4], [5, 5] }] 3) Fenka čeká tři štěňata. Vyjmenujte množinu všech možných výsledků, jestliže záleží na pořadí narození a pohlaví štěněte. ⎡Ω = { [F , F , F ], [F , F , P ], [F , P, F ], [F , P, P ], [P, P, P ], ⎤ ⎢[P, P, F ], [P, F , P ], [P, F , F ]} ⎥ ⎣ ⎦ 4) Ve vesnici jsou u příležitosti mezinárodního dne dětí pořádány různé soutěže. Jednou z nich je skákání v pytli, kterého se letos v kategorii dětí mladších deseti let účastní čtyři dětí (děti označme písmeny A až D). Vyjmenujte všechny možné výsledky závodu z hlediska pořadí prvních dvou dětí v cíli.

⎡ ⎧ [C , A], [C , B ], [C , D ], [D, A], [D, B ], [D, C ], ⎫⎤ ⎬⎥ ⎢Ω = ⎨ ⎩[ A, B ], [A, C ], [ A, D ], [B, A], [B, D ], [B, C ] ⎭⎦ ⎣ 5) V pytlíku jsou čtyři kuličky (modrá, bílá, žlutá, černá). Vytáhneme najednou dvě kuličky. Určete výsledky příznivé jevům A a B. a) Jev A vyjadřuje, že není vytažena modrá kulička. b) Jev B vyjadřuje, že je vytažena bílá kulička.

[A = {{b, ž}, {b, č }, {ž , č }}] [B = {{b, ž}, {b, č }, {b, m}}]

6) Máme tři různé pytle (1., 2., 3.) s míčky. V prvním pytli jsou červené míčky, v druhém pytli jsou modré míčky a ve třetím pytli jsou modré i červené míčky. Míčky téže barvy jsou nerozlišitelné. Volíme jeden pytel a z něj vytáhneme jeden míček. Určete všechny


9

možné výsledky, jestliže nás zajímá jak barva vytaženého míčku, tak pytel, ze které byl

[Ω = {(č ,1), (m,2), (č ,3), (m,3)}]

míček vytažen.

7) Tři různé kusy oblečení (triko, mikina, svetr) se mají umístit do tří poliček ve skříni. Do každé poličky jeden kus oblečení. Sestavte množinu všech možných výsledků pokusu.

[Ω = {[t , m, s ], [t , s, m], [m, t , s ], [m, s, t ], [s, t , m ], [s, m, t ]}] 8) Dítě má v krabici dvě modré dvě červené a jednu zelenou kostku. Kostky téže barvy jsou nerozlišitelné. Dítě vytáhne náhodně dvě kostky, jednu po druhé, přičemž první kostku do krabice nevrátí. Sestavte množinu všech možných výsledků s ohledem na barvu kostky a pořadí, ve kterém byla vytažena.

[Ω = {[m, m], [m, č ], [m, z ], [č , č ], [č , m ], [č , z ], [z , č ], [z , m ]}] 9) V botníku na zámku zbývají dva modré, dva žluté a dva červené páry přezůvek. Přezůvky téže barvy jsou nerozlišitelné. Tři příchozí lidé vytáhnou jeden po druhém náhodně přezůvky a nazují si je. Určete množiny A, B, C, které vyjadřují jevy:

[A = ∅ ]

a) A- lidé si vytáhli přezůvky stejné barvy. b) B-třetí příchozí si vytáhl červený pár přezůvek.

⎡ ⎧ [m, m, č ], [m, ž , č ], [m, č , č ], [ž , ž , č ], ⎫⎤ ⎬⎥ ⎢B = ⎨ ⎩[ž , m, č ], [ž , č , č ], [č , m, č ], [č , ž , č ] ⎭⎦ ⎣ c) C-alespoň dva příchozí si vytáhli modré přezůvky.

[C = {[m, m, č ], [m, m, ž ], [m, ž , č ], [m, č , m ], [ž , m, m ], [č , m, m ]}]

10


Operace s jevy Varianta B Příklady: 1) Vysvětlete, co znamenají jevy A´ , A ∪ B , A ∩ B , když jev A znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je menší než 10, a jev B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné dvěma. 2) Do třídy 2. B chodí 12 chlapců a 16 děvčat. Do školního představení náhodně vybereme skupinu 5 dětí. Určete počet všech výsledků příznivých jevům B´ , A ∩ B , A ∩ B´ , kde jev A spočívá v tom, že ve vybrané skupině jsou 3 chlapci a 2 dívky, a jev B spočívá v tom, že ve vybrané skupině je alespoň jedna dívka. Jevy B´ , A ∩ B , A ∩ B´ interpretujte. Řešení: 1) Jev A´ znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je větší nebo rovno deseti. Jev A ∪ B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je buď menší než deset nebo dělitelné dvěma. Jev A ∩ B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je menší než deset a zároveň dělitelné dvěma. 2) Jev B´ znamená, že ve výběru nebude žádná dívka. Počet všech výsledků příznivých jevu ⎛12 ⎞ 12! B´ je: ⎜⎜ ⎟⎟ = = 792. Z hlediska kombinatoriky jde o kombinace bez opakování. ⎝ 5 ⎠ 7!⋅5!

Jev A ∩ B znamená, že ve výběru budou 2 dívky a 3 chlapci. Počet všech výsledků ⎛12 ⎞ ⎛ 6 ⎞ 12! 6! příznivých jevu A ∩ B je: ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ = 300. Z hlediska kombinatoriky jde ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 9!⋅3! 4!⋅2!

o kombinace bez opakování. Jev A ∩ B´ znamená, že ve výběru budou buď tři chlapci a dvě dívky nebo samí chlapci. ⎛12 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛12 ⎞ Počet výsledků příznivých jevu A ∩ B´ je: ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 792 + 300 = 1092. ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 5 ⎠

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C


11

Příklady k procvičení: 1) Z výrobního pásu sjede za hodinu deset hotových aut. Dvě auta z těchto deseti mají nějakou výrobní vadu. Vysvětlete, co znamenají jevy, A` , B` , A ∪ B , A ∩ B` , (A ∩ B`)` , jestliže jev A znamená, že při náhodném výběru tří aut, bude alespoň jedno vadné a jev B znamená, že při náhodném výběru tří aut, nebude žádné vadné.

[A`= B, B`= A,

A ∪ B = Ω, A ∩ B`= A , (A ∩ B`)`= B]

2) Vysvětlete, co znamenají jevy, A´ , A ∪ B , A ∩ B , A ∩ B`, A ∪ B` , když jev A znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je sudé, a jev B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je menší než 38. [ A` -náhodně vybrané přirozené číslo je liché, A ∪ B -náhodně vybrané přirozené číslo je sudé nebo menší než 38, A ∩ B -náhodně vybrané přirozené číslo menší než 38 je sudé, A ∩ B` -náhodně vybrané přirozené číslo menší než 38 je liché, A ∪ B` -náhodně vybrané přirozené číslo je větší nebo rovno 38 nebo liché]

3) Výtvarně dramaticky kroužek navštěvuje 15 dětí, z toho je deset dívek a pět chlapců. Náhodně vybereme 4 děti. Označme jevy: A -mezi vybranými dětmi je právě jedna dívka, B-mezi vybranými dětmi je alespoň jedna dívka, C-mezi vybranými dětmi je nejvýše jeden chlapec. Interpretujte následující jevy: B`, C`, A ∩ B , C ∩ B , A ∪ B , A ∩ B ∩ C , (A ∩ B ) ∪ C`, (C ∩ B )`∪ A , (A ∩ C ) ∪ B`. [ B`-mezi vybranými dětmi není žádná dívka, C`-mezi vybranými dětmi jsou alespoň dva chlapci, A∩B= A, C ∩ B - mezi vybranými dětmi jsou alespoň čtyři dívky,

A∪B = B, A∩B∩C = ∅,

(A ∩ B) ∪ C`-mezi vybranými dětmi jsou právě čtyři chlapci, (C ∩ B)`∪ A -mezi vybranými dětmi jsou nejvýše tři dívky, (A ∩ C ) ∪ B`mezi vybranými dětmi není žádná dívka] 4) Zaměstnanec každé kanceláře musí na konci pracovní doby odevzdat klíč od své kanceláře do krabičky na vrátnici. Klíče jsou očíslovány očíslovaných čísly 1, 2, …, 49, 50. Vybereme z krabičky náhodně dva klíče. Nechť A označuje jev, kdy vybereme dva

12


klíče se sudými čísly, B označuje jev, kdy alespoň na jednom vybraném klíči je liché číslo, C označuje jev, kdy liché číslo je nejvýše na jednom vybraném klíči. Určete význam jevů A`, B`, C`, A ∩ C , A ∩ B` , A`∩ C` , (A ∩ B ) ∪ C . ⎡A`= B, B`= A, C`-na obou vybraných kl. je liché číslo, ⎤ ⎢A ∩ C = A, A ∩ B`= A, A`∩ C`= A`, (A ∩ B) ∪ C = C ⎥ ⎣ ⎦ 5) Na první poličce v knihovně je 18 různých knih. Autorem osmi z nich je Karel Čapek, deset knih napsala Agatha Christie. Šárka si vybere 5 knih. Určete počet všech výsledků příznivých jevům A, B, A`, B` kde jev A znamená, že alespoň tři vybrané knihy napsal Karel Čapek, a jev B znamená, že nejvýše tři vybrané knihy jsou od Agathy Christie. Jevy A`, B` interpretujte. ⎡3276, 6636, ⎤ ⎢ ⎥ ⎢A`-nejvýše dvě z vybraných knih napsal Karel Čapek, 5292 ⎥ ⎢B`-alespoň čtyři vybrané knihy jsou od Agathy Christie, 1932⎥ ⎣ ⎦

6) Štěpán Hází třemi různě barevnými hracími kostkami. Jev A značí, že na kostkách padla sudá čísla, Jev B značí, že součet, který padl na kostkách, je větší než čtrnáct, jev C značí, že na kostkách padla prvočísla. Určete počet všech výsledků příznivých jevům: a) A ∩ B

[4]

a) A ∩ B ∩ C

[0]

b)

(C ∩ B) ∪ A

[28] [27]

c) A`∩ C d)

(C ∩ B )`

[215]

e)

(A ∪ C ) − B

[205]

7) Házíme čtyřikrát po sobě jednoeurovou mincí. Jev A značí, že panna padne alespoň jednou, jev B značí, že panna padne víckrát než orel, Jev C značí, že orel padne právě dvakrát, jev D značí, že výsledek všech hodů bude stejný. Určete počet všech výsledků příznivých jevům: a) A ∩ B

[5; panna padne alespoň 3krát]

b) A ∩ C

[6; orel padne právě 2krát]

c) A ∩ B ∩ D d) A`∪ D e)

(B ∪ C )`

[1; panna padne právě 4krát] [2; výsledek všech hodů bude stejný] [5; orel padne alespoň 3krát]


13

f)

(A ∩ B ) − (D − A`)

[4; panna padne právě 3krát]

g)

(A ∩ B ∩ C ∩ D )`

[16; Ω]

Jevy interpretujte. 8) Pytlík obsahuje tři zelené a pět bílých kuliček. Vytáhneme čtyři kuličky-jednu po druhé, přičemž již vytažené kuličky nevracíme zpět do pytlíku. Kuličky téže barvy nelze rozlišit. Jev A znamená, že byly vytaženy kuličky stejné barvy, jev B znamená, že alespoň dvě vytažené kuličky jsou zelené, jev C znamená, že nejvýše tři vytažené kuličky jsou zelené. Určete počet všech výsledků příznivých jevům: a) A ∩ B b)

(A ∩ C ) ∪ ( A`∩ B )`

c) C − A d)

(C `∪ A)`

[0] [5] [14] [14]

14


Operace s jevy Varianta C Příklad: Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Jev X znamená, že právě na jedné kostce padne čtyřka. Jev Y znamená, že na kostkách padne součet větší než osm. Pomocí množinové symboliky vyjádřete, že a) nastane právě jeden z jevů X, Y. b) nastane alespoň jeden z jevů X, Y. c) nastane nejvýše jeden z jevů X, Y. Řešení: a) X K [4,1], [4, 2], [4, 3], [1, 4], [2, 4], [3, 4], [4, 5], [5, 4], [4, 6], [6, 4] X`= Ω − X Y K [3, 6], [6, 3], [5, 5], [6, 6], [5, 6], [6, 5][4, 5], [5, 4], [4, 6], [6, 4] Y`= Ω − Y

(X ∩ Y`)K[4,1], [4, 2], [4, 3], [1, 4], [2, 4], [3, 4] (X`∩ Y )K [3, 6], [6, 3], [5, 5], [6, 6], [5, 6], [6, 5] Průnik jevů (X ∩ Y´) a (X `∩ Y ) je prázdná množina. Proto, jestliže nastane jeden z nich, druhý z jevů nenastane, takže to, že nastane právě jeden z nich lze vyjádřit pomocí sjednocení. b) To, že nastane alespoň jeden z jevů X a Y lze vyjádřit pomocí sjednocení těchto jevů. c) Od množiny všech možných výsledků pokusu hodu dvěma kostkami odečteme ty pokusy, kde nastanou oba jevy X a Y zároveň. To, že nastanou oba jevy X a Y zároveň lze vyjádřit pomocí průnik těchto jevů: (X ∩ Y ) .

Příklad:

Výsledek řešení:

Varianta A

a)

Varianta B

b) X ∪ Y

Varianta C

c) Ω − (X ∩ Y )

(X ∩ Y´) ∪ (X´∩Y )


15

Příklady k procvičení: 1) Na soutěž v kreslení jsou ze skupiny 28 dětí vybrány 4 děti. Jev a znamená, že právě dvě z vybraných dětí jsou dívky. Jev B znamená, že nejvýše dvě z vybraných dětí jsou dívky. Pro jevy A, B pomocí množinové symboliky vyjádřete, že

[A ∩ B] [A`∩ B`] [Ω − (X ∩ Y )]

a) nastaly oba jevy. b) nenastal žádný jev. c) nastal nejvýše jeden z těchto jevů.

2) Ondra dostal od babičky k narozeninám 2000 Kč a rozhodl si za ně koupit nová DVD do své sbírky filmů. Peníze mu stačí na čtyři DVD. Jev A znamená, že všechna koupená DVD jsou z americké produkce, jev B znamená, že alespoň dvě DVD jsou z odlišné produkce, než je americká, jev C znamená, že právě dvě DVD jsou z americké produkce. Pro jevy A, B, C pomocí množinové symboliky vyjádřete, že a) nastal jen jev B. b) nastaly všechny tři jevy. c) nastaly alespoň dva jevy. d) nastaly jevy B a C a jev A nenastal. e) nenastal žádný z jevů.

[A`∩ B ∩ C`] [A ∩ B ∩ C] [(A ∩ B) ∪ (B ∩ C ) ∪ (A ∩ C )] [(B ∩ C ) ∪ A`] [A`∩ B`∩ C`]

3) Banka rozesílá druhou upomínku k hypotéce třem klientům K, L, M. Každou z upomínek náhodně vložíme do jedné ze tří obálek nadepsaných jejich adresami. Nechť jev A znamená, že žádná upomínka není ve správné obálce, jev B znamená, že ve správné obálce je jen upomínka pro klienta K, jev C znamená, že ve správné obálce je nejvýše jedna upomínka. Pro jevy A, B, C pomocí množinové symboliky vyjádřete, že a) nastal alespoň jeden jev. b) nastal jen jev C. a) nastal nejvýše jeden jev.

b) nastaly nejvýše dva jevy.

[A ∪ B ∪ C] [A`∩ B`∩ C] [Ω − {(A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C )}] [Ω − (A ∩ B ∩ C )]

16


Souhrnné příklady k procvičení 1) Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Označme jako jev A situaci, kdy na obou kostkách padne číslo větší než čtyři, a jako jev B situaci, kdy na kostkách padne sudé číslo. Určete počet všech možných výsledků příznivých jevům:

[0] [126] [12 ] [210 ] [213]

a) A ∩ B b)

(A ∩ B)`

c) A ∪ B d) A ∪ B` e)

(A ∩ B ) ∪ A`

Sestavte výčet všech možných výsledků příznivých jevu A ∪ B .

⎡ ⎧ [5, 5], [5, 6], [2, 2], [2, 4], [2, 6], [4, 2], [4, 4],⎫⎤ ⎬⎥ ⎢A ∪ B = ⎨ ⎩[4, 6], [6, 5], [6, 2], [6, 4], [6, 6] ⎭⎦ ⎣ 2) Házíme třemi korunovými mincemi. Jev A značí, že panna padla víc než jednou. Jev B značí, že orel padl právě třikrát. Určete počet a sestavte výčet všech možných výsledků příznivých jevům:

[4,

a) A ∩ B` b) A ∪ B c)

(A ∩ B ) ∪ A`

d)

(A ∩ B)`− B`

[5,

A ∩ B`= { [ p, p, o ], [ p, o, p ], [o, p, p ], [ p , p , p ] }]

A ∪ B = { [ p , p , o ], [ p, o, p ], [o, p, p ], [ p, p, p ], [o, o, o ] }]

[4, (A ∩ B) ∪ A`= {[o, o, p ], [o, p, o], [ p, o, o], [o, o, o] }] [1, (A ∩ B)`− B`= {[o, o, o] }]

3) Ve skříni jsou uskladněny hokejky na florbal. 3 jsou bílé 2 modré a 3 červené. Vytáhneme ze skříně najednou tři hokejky. Jev A značí, že vytažené hokejky měly stejnou barvy, jev B značí, že alespoň jedna vytažená hokejka byla modrá, jev C značí, že právě dvě vytažené hokejky byly modré. Určete počet a sestavte výčet všech možných výsledků příznivých jevům: a) A ∩ B`∩ C` b)

(B`∩ B ) ∪ C

c) A`∩ C` d)

(A`−C ) ∩ B`

e)

(A ∪ C ) ∩ B`

[5,

[2, A ∩ B`∩ C`= {{b, b, b}, {č , č , č }}] [2, (B`∩ B ) ∪ C = {{m, m, b}, {m, m, č }}] A `∩ C`= {{m, č , č }, {b, č , č }, {m, b, b}, {b, m, č }, {b, b, č }}] [2, (A`−C ) ∩ B`= {{b, č , č }, {b, b, č }}] [2, (A ∪ C ) ∩ B`= {{b, b, b}, {č , č , č }}]


17

4) Do vědomostní soutěže jsou ze skupiny 25 dětí vybrány tři děti. Jev A znamená, že byli vybráni samí chlapci, jev B znamená, že byly vybrány samé dívky, jev C znamená, že byly vybrány dvě dívky a jeden chlapec. Zapište v množinové symbolice následující jevy: a) nebyl vybraný žádný chlapec b) byl vybrán alespoň jeden chlapec c) byly vybrány nejvýše dvě dívky d) byli vybráni dva chlapci a jedna dívka

[B] [A`] [B`] [ (A ∪ B ∪ C )` ]

5) Sandra si v levných knihách nakoupila 4 knížky. Jev A znamená, že právě dvě mají tiskovou chybu, jev B znamená, že žádná nemá tiskovou chybu, jev C znamená, že alespoň dvě mají tiskovou chybu. Zapište v množinové symbolice následující jevy: a) nejvýše jedna kniha má tiskovou chybu b) alespoň tři knihy mají tiskovou chybu c) právě jedna kniha má tiskovou chybu d) právě tři knihy mají tiskovou chybu e) alespoň dvě nemají tiskovou chybu

[C`] [C − A ] [B`∩ C`] [ (A ∪ C )` ] [(A ∩ C ) ∪ C`]

6) Dobrodružného extrémního závodu se účastní deset družstev. Závod dokončí čtyři družstva. Jev A znamená, že členem alespoň jednoho družstva, které dokončilo závod, je žena, jev B znamená, že družstva, která dokončila závod, jsou čistě mužská, jev C znamená, že dvě družstva, která dokončila závod, obsahují ženy. a) družstva, která dokončila závod, mohou mít jakékoli složení z hlediska zastoupení mužů a žen.

[A ∪ A`]

b) z družstev, která dokončila závod, obsahují ženu alespoň tři družstva nebo právě jedno družstvo.

[A ∩ C`]


18

Klasická pravděpodobnost Pravděpodobnost P (A ) jevu A v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků, které jsou stejně možné, je rovna podílu počtu m(A ) výsledků příznivých jevu A a počtu m všech možných výsledků pokusu: P (A ) =

m (A ) . m

Platí: i)

pravděpodobnost P (∅ ) nemožného jevu je rovna nule

P (∅ ) = 0

ii)

pravděpodobnost P (Ω ) jistého jevu je rovna jedné

P (Ω ) = 1

iii) pravděpodobnost P (A ) libovolného jevu A je nezáporné číslo nejvýše rovno jedné iv)

pravděpodobnost P ( A`) jevu opačného je

Příklad:

0 ≤ P (A ) ≤ 1 1 − P (A )

Divadelní kroužek navštěvuje osm děvčat a deset chlapců, ze kterých náhodně vybereme skupinu tří osob. Jak je pravděpodobnost, že ve skupině budou dva chlapci a jedna dívka?

Řešení:

Jev A znamená, že ve výběru budou dva chlapci a jedna dívka.

⎛ 8 ⎞ ⎛10 ⎞ 8! 10! m ( A ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ = 360 ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 7! 2!⋅8! ⎛18 ⎞ 18! m = ⎜⎜ ⎟⎟ = = 816 ⎝ 3 ⎠ 15!⋅3!

P ( A) =

m( A ) 360 = = 0,4412 m 816

(44,12% )

Pravděpodobnost, že ve skupině budou dva chlapci a jedna dívka je 44,12%.


19

Klasická pravděpodobnost Varianta A Příklady:

1) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu stříbrným dolarem padne orel? 2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různě barevnými hracími kostkami padne součet větší než jedenáct? 3) V malé rodinné firmě se za den vyrobí 252 výrobků, z nichž je 5 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že vybraný výrobek, který byl vyroben v úterý, je vadný? Řešení:

1) Jev A znamená, že padl orel. m(A ) = 1 m=2

P (A ) =

m(A ) 1 = = 0,5 m 2

(50% )

2) Jev A znamená, že na kostkách padl součet větší než jedenáct. Ω = {[1,1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [2,1], [2, 2],......... .., [6,1], [6, 2], [6, 3]........., , [6, 6]} A = {[6, 6]}

m = 6 2 = 36 m(A ) = 1 P (A ) =

m (A ) 1 = m 36

(2,78% )

3) jev A znamená, že vybraný výrobek je vadný. m(A ) = 5 m = 252

P (A ) =


m (A ) 5 = = 0,0198 m 252

(1,98% )

Výsledky řešení: 1) Pravděpodobnost, že padne orel, je 50%. 2) Pravděpodobnost, že padne více než jedenáct, je 2,78%. 3) Výrobek je vadný s pravděpodobností 1,98%.

20


Příklady k procvičení:

⎡1⎤ ⎢⎣ 6 ⎥⎦

1) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo 6? 2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo větší než a) jedna

⎡5⎤ ⎢⎣ 6 ⎥⎦

b) dva

⎡2⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦

c) pět

⎡1⎤ ⎢⎣ 6 ⎥⎦

d) šest

[0] ⎡5⎤ ⎢⎣ 6 ⎥⎦

3) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou nepadne číslo šest? 4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou nepadne číslo menší než a) tři

⎡2⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦

b) pět

⎡1 ⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦

5) Martina si na zábavě koupí 5 lístků do tomboly. Jakou má pravděpodobnost hlavní výhry, jestliže v tombole je 168 lístků?

[2,98% ]

6) David si v obchodě koupil fotoaparát. V obchodě mají na skladě šest fotoaparátů, z nichž je jeden vadný. S jakou pravděpodobností si David vybere vadný fotoaparát?

[17% ] 7) V okresní soutěži se koná soutěž ve střelbě. Vítěz zasáhl z 250 výstřelů 225-krát. Jakou měl pravděpodobnost zásahu?

[90%]

8) Eva strávila celý víkend na oslavě u kamarádky a nestihla se naučit na pondělní test. Pravděpodobnost, že test nezvládne je proto 0,83. Jaká je pravděpodobnost, že test zvládne?

[0,17]

9) Pravděpodobnost správného tipu výsledku v testu je 25%. Jaká je pravděpodobnost, že tip bude špatný?

[75%]


21

10) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různými hracími kostkami padne součet

[0,17] [0,111]

a) sedm? b) pět?

11) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různými hracími kostkami padne součet menší než a) pět? b) čtyři?

[0,167 ] [0,083]

12) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různými hracími kostkami padne součet větší než a) deset?

[0,083]

b) dvanáct?

[0,027 ]

13) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne sudé číslo? 14) Jaká je pravděpodobnost, že při hrací hodu kostkou padne číslo dělitelné dvěma?

⎡1⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎡1⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

15) Z dvaceti dresů označených čísly 1 až 20 vybereme náhodně jeden. Jaká je pravděpodobnost, že jsme vybrali a) dres označený sudým číslem? b) dres označený prvočíslem? c) dres označený číslem dělitelným čtyřmi?

⎡1⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

[0,45] ⎡1⎤ ⎢⎣ 4 ⎥⎦

16) V sáčku je šest černých a osm bílých hliněných kuliček. Namátkou vybereme jednu kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá?

[0,571]

22


Klasická pravděpodobnost Varianta B Příklady:

1) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi Dolarem, Eurem a Koruně padne alespoň na jedné z těchto mincí panna? 2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu šesti různými hracími kostkami padnou samá sudá čísla? 3) V šesté třídě na druhém stupni základní školy je 28 žáků, z nichž budou dva zkoušeni. Připraveno na zkoušení je 16 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba zkoušení připraveni? Řešení:

1) Jev A znamená, že alespoň na jedné minci padla panna. m (A ) = 2 3 − 13 = 7

P (A ) =

m = 23 = 8

m(A ) 7 = = 0,875 m 8

(87,5% )

2) Jev A znamená, že na kostkách padla samá sudá čísla. m(A ) = 3 6 = 729

m = 6 6 = 46656 P(A ) =

m(A ) 3 6 = 6 = 0,015 m 6

(1,5% )

3) Jev A znamená, že oba zkoušení žáci jsou připraveni. ⎛16 ⎞ m(A ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2⎠

⎛ 28 ⎞ m = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2⎠

⎛16 ⎞ 16! ⎜ ⎟ m(A ) ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 14!⋅2! 240 P (A ) = = = = 0,317 = 28! 756 m ⎛ 28 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ 26!⋅2! Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

(31,7% )

Výsledky řešení: 1) Pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi padne alespoň na jedné

z nich panna, je 87,5% 2) Pravděpodobnost, že padnou samá sudá čísla je 1,5%. 3) Pravděpodobnost, že budou oba připraveni je 31,7%.


23


1) Ve třídě soukromého gymnázia je 26 dětí. Vybereme namátkou čtveřici žáků. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme a) jen chlapce? b) jen dívky?

[0,067 ] [0,033]

2) Ve 3. B jsou žáci na začátku pondělní hodiny zkoušeni 4 žáci. Děti o víkendu slavily osmnáctiny jednoho z nich, a tak je na zkoušení připraveno jen 18 žáků z 32 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že budou všichni čtyři zkoušení nepřipraveni?

[0,085]

3) V sáčku je šest černých korálků a osm růžových korálků. Namátkou vybereme 3 korálky. Jaká je pravděpodobnost, a) že budou všechny bílé?

[0,154 ]

b) že nebudou všechny bílé?

[0,846 ]

4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu modrou, zelenou, oranžovou, žlutou a modrou hrací kostkou padne/ou a) na všech kostkách pětka? b) samá lichá čísla? c) čísla větší než tři? d) čísla menší než tři? e) alespoň jednou šestka? f) pět stejných čísel?

[0,000129 ] [0,03125 ] [0,03125 ] [0,0041] [0,598] [0,00077 ]

5) Na fotbalový turnaj se přihlásilo deset mužstev. K dispozici je jediné hřiště, na kterém se za první den turnaje stihlo odehrát 5 zápasů. Na začátku každého zápasu se losuje právo výběru strany hodem mincí. Jaká je pravděpodobnost, že během prvního dne turnaje a) byl výsledek všech hodů mincí stejný.

⎡1⎤ ⎢⎣16 ⎥⎦

b) panna padla právě třikrát.

⎡5⎤ ⎢⎣16 ⎥⎦

c) orel padl alespoň jednou.

⎡ 31 ⎤ ⎢⎣ 32 ⎥⎦

24


6) V pouzdře je 9 černých a 6 modrých propisek. Náhodně vybereme dvě z nich. Jaká je ⎡1⎤ ⎢⎣ 7 ⎥⎦

pravděpodobnost, že vybereme dvě modré? 7) V misce je deset 20 švestek, z nichž je v pěti červ. Dušan si z misky vezme 4 švestky. Jaká je pravděpodobnost, že si vybral a) všechny dobré? b) alespoň jednu červavou?

[0,194 ] [0,806 ]

8) V obchodě je výprodej. Na hromadě triček je 8 triček velikosti M, 2 trička velikosti S a 5 triček velikosti L. jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru triček vyberu jen trička velikosti S.

[0]

9) Správnou odpověď zaslalo během prvních deseti minut po zadání otázky 5 mužů a 7 žen. Z nich budou vylosováni tři výherci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi nebude žena? ⎡1⎤ ⎢⎣ 22 ⎥⎦


25

Klasická pravděpodobnost Varianta C Příklady:

1) Házíme šesti různými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu těmito kostkami padne postupka (tj. 1, 2, 3, 4, 5, 6)? 2) V krabici jsou 4 červené a 6 bílých kostek. Vytáhneme jednu a dáme ji bokem. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená kostka je bílá? 3) V košíku na ovoce se nachází je 7 červených jablek a 5 žlutých jablek. Dítě si náhodně vybere 4 kusy ovoce. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou právě 2 žlutá jablka? Řešení:

1) Jev A znamená, že padla postupka. m(A ) = 6! = 720 P (A ) =

m = 6 6 = 46656

720 m (A ) = = 0,0154 46656 m

(1,54% )

2) Jev A znamená, že druhá vytažená kostka je bílá. ⎛9⎞ ⎛6⎞ m(A ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠ ⎝1⎠

⎛10 ⎞ ⎛ 9 ⎞ m = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝1⎠

⎛9⎞ ⎛6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ m(A ) ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ 9 ⋅ 6 54 = P(A ) = = = = 0,6 m ⎛10 ⎞ ⎛ 9 ⎞ 10 ⋅ 9 90 ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝1⎠

(60% )

3) Jev A znamená, že mezi vybranými kusy budou právě dvě žlutá jablka. ⎛7⎞ ⎛5⎞ m(A ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

⎛12 ⎞ m = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠

⎛7⎞ ⎛5⎞ 7! 5! ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ m(A ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 5!⋅2! 3!⋅2! 14 P (A ) = = = = 0,424 = 12! 33 m ⎛12 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 8!⋅4! ⎝4⎠ Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

(42,4% )

Výsledky řešení: 1) Pravděpodobnost, že padne postupka je 1,54%. 2) Pravděpodobnost, že druhá tažená kostka je bílá, je 60%. 3) Pravděpodobnost, že mezi vybranými jablky budou dvě žlutá je 42,4%.

26



1) Házíme šesti různými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou a) alespoň tři šestky b) alespoň čtyři šestky

[0,062 ] [0,0087 ]

2) Házíme pěti různými kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na kostkách padne postupka? 3) (to znamená sestava 1, 2, 3, 4, 5 nebo 2, 3, 4, 5, 6)

[0,0308 ]

4) Házíme třemi různými kostkami, jaká je pravděpodobnost, že na kostkách nepadne postupka? (tj. 1, 2, 3 nebo 2, 3, 4 nebo 3, 4, 5 nebo 4, 5, 6)

[0,889 ]

5) Sbor navštěvuje 15 dětí, z toho 10 děvčat. Dirigent vybere osm, které budou zpívat první

[0,163]

sloku písně. Jaká je pravděpodobnost, že vybere 4 chlapce a 4 děvčata.

6) V pytlíku je šest černých a osm bílých hliněných kuliček. Namátkou vybereme 3 kuličky.

[0,33]

Jaká je pravděpodobnost, že vybereme 2 černé a jednu bílou.

7) Tereza dostala sáček, v němž bylo 5 červených a 5 žlutých bonbonů. Nabídla kamarádce, která náhodně si ze sáčku vzala 4 bonbony. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou právě dva žluté.

[0,476 ]

8) Majitel obchodu s oblečením dostává každý týden dodávku nového zboží. Dodávku přijme, jestliže po namátkové kontrole pěti kusů oblečení nemá ani jeden kus vadu. Jaká je pravděpodobnost, že dodávku přijme, jestliže má odebrat 35 kusů oblečení, mezi nimiž

[0,62]

jsou tři vadné kusy. 9) Do křížovkářské soutěže poslalo správnou odpověď sedm mužů a deset žen. Budou

vylosováni čtyři výherci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou právě dvě ženy.

[0,397 ] 10) Házíme třemi rozlišitelnými kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet devět?

[0,1157 ] 11) Student se na zkoušku stihl naučit pouze 42 z 60 otázek. Na zkoušce si bude tahat 3 otázky. Jaká je pravděpodobnost, že bude umět odpovědět právě na jednu otázku.

[0,188 ] 12) Pan Vokatý si koupil náhradní díl do svého auta na vrakovišti. Neměl čas náhradní díl vyzkoušet, ale protože je stálý zákazník, tak se s majitelem vrakoviště dohodnul, že si vezme tři kusy, zkusí, který funguje, a zbývající mu další den přiveze nazpět. Jaká je


27

pravděpodobnost, že mezi třemi díly, které pan Vokatý dostal, jsou právě dva funkční, když je na vrakovišti k dispozici deset těchto náhradních dílů, z toho tři vadné?

[0,525]

13) V druhé třídě základní školy je 26 dětí. Čtyři z nich zapomněly vypracovat domácí úkol. Paní učitelka si náhodně vybere pět dětí, kterým domácí úkol zkontroluje. Jaká je pravděpodobnost, že dvě z vybraných dětí nebudou mít domácí úkol?

[0,14 ]

14) V pytlíku je 5 bílých kuliček a 6 zelených hliněných kuliček. Vytáhneme jednu a dáme ji bokem, vytáhneme druhou a dáme ji bokem. Jaká je pravděpodobnost, že třetí tažená kulička bude bílá?

[0,45]

15) V krabici je 5 modrých, 3 červené a 6 zelených kostek. Třikrát po sobě vytáhneme jednu kostku. Kostky nevracíme. Jaká je pravděpodobnost, že první tažená kostka je modrá a poslední tažená kostka je zelená?

[0,165 ]

16) Marie po příchodu do obchodu zjistila, že mají 6 souprav modrého povlečení, 4 soupravy červeného povlečení a 4 soupravy povlečení se vzorem. Náhodně vybrala tři soupravy. Jaká je pravděpodobnost, že jsou každá jiné barvy?

[0,263]

28


Souhrnné příklady k procvičení 1) Klára jede na závody a balí si zavazadla. K ukrácení volného času si zabalí 10 DVD s filmy. Vybírat může ze 42 DVD. Jaká je pravděpodobnost, že mezi DVD, která si vybrala a) bude film Boogie Woogie b) nebude film Boogie Woogie a bude film Temný rytíř.

[0,238] [0,186]

2) Zámek na kolo je možné otevřít trojmístným numerickým kódem. Určete pravděpodobnost, že se zámek v případě neznalosti kódu podaří otevřít a) jedním náhodně zvoleným trojciferným číslem. b) 25 náhodně zvolenými trojcifernými čísly.

[10 ] −3

[0,025]

3) V klobouku je 120 očíslovaných papírků (čísly 1 až 120). Jaká je pravděpodobnost, že bude vylosován papírek, na kterém je číslo dělitelné 4) jedenácti 5) pěti

⎡1⎤ ⎢⎣12 ⎥⎦ ⎡1 ⎤ ⎢⎣ 5 ⎥⎦

6) Náhodně vybereme libovolné přirozené trojciferné číslo, ve kterém se žádná číslice nesmí opakovat. Jaká je pravděpodobnost, že je vybrané číslo dělitelné a) dvěma

⎡1⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

b) pěti

⎡1 ⎤ ⎢⎣ 5 ⎥⎦

7) Jaká je pravděpodobnost, že libovolné přirozené čtyřciferné číslo, ve kterém se neopakuje žádná cifra, má na místě jednotek a) nulu b) osmičku 8) Jaká je pravděpodobnost výhry první ceny ve sportce?

⎡1 ⎤ ⎢⎣ 9 ⎥⎦ ⎡8⎤ ⎢⎣ 81⎥⎦

[7,15 ⋅ 10 ] −8

9) Je při hodu třemi různými kostkami pravděpodobnější součet 14 nebo 13? ⎡1 ⎤ ⎢⎣ 9 , 0,0972,14⎥⎦


29

10) Na hřišti se sejde 18 dětí, které se rozhodnou zahrát si volejbal, rozdělí se proto do tří skupin po šesti lidech. Jaká je pravděpodobnost, že Tomáš a Michal budou hrát ve stejné ⎡5⎤ ⎢⎣17 ⎥⎦

skupině?

11) První maturitní den si studenti první čtyřčlenné skupiny, která skládá maturitu, vylosují v češtině otázky. První student losuje jednu otázku z plného počtu 30 možných, druhý student losuje jednu otázku z 29 možných, třetí student losuje jednu otázku z 28 možných a poslední student této skupiny losuje jednu otázku z 27 možných. Jaká je pravděpodobnost, že druhý maturitní den si jiná čtyřčlenná skupina vylosuje

[1,52 ⋅ 10 ] −6

a) tytéž otázky v tomtéž pořadí?

[0,546 ]

b) jiné otázky?

12) V ošatce jsou dva druhy ovoce (jahody a švestky). Jahod je 10 Vytáhneme dva kusy ovoce. Kolik může být v ošatce švestek, jestliže je pravděpodobnost, že byla vytažena právě jedna jahoda a právě jedna švestka je

10 . 21

[5 ∨ 18]

13) V obchodě jsou tři stejné poličky s triky. V první poličce jsou 3 hnědá a 4 zelená trika s dlouhým rukávem, v druhé poličce jsou 4 hnědá a 5 zelených trik s krátkým rukávem a v poslední poličce je 6 hnědých a 3 zelená trika bez rukávu. Z náhodně zvolené poličky si vezmeme jedno triko. Jaká je pravděpodobnost, že bude zelené?

[0,487 ]

14) Učitel tělocviku si vede statistiku o výkonech dětí, které navštěvují jeho hodiny tělocviku, v běhu na 100 metrů. Jaká je pravděpodobnost, že dítě navštěvující jeho hodinu

[0,114] [0,468]

a) bude mít čas do 13 vteřin? b) bude starší deseti let? stáří dítěte

počet dětí s časem do

počet dětí s časem nad

13 vteřin

13 vteřin

do 10 let

5

168

nad 10 let

32

120

15) Hodíme třikrát po sobě hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že ve druhém a ve třetím hodu hodíme větší číslo než v prvním hodu?

[0,255]

16) Závodu v lyžování se účastní i dva největší rivalové Lukáš a Jindřich. Pravděpodobnost, že zvítězí Lukáš, je 42%, pravděpodobnost, že zvítězí Jindřich, je 46%

30


a pravděpodobnost, že zvítězí někdo jiný, je 15%. Jiný výsledek nastat nemůže. Je to

[ne ]

možné?

17) Všech 37 zaměstnanců nadnárodní firmy mluví alespoň jedním cizím jazykem (anglicky nebo francouzsky). Anglicky hovoří 30 zaměstnanců, francouzsky se domluví 15 zaměstnanců. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný pracovník mluví

[0,595] [0,189 ] [0,216 ]

a) jen anglicky b) jen francouzsky c) oběma jazyky 18) Hráč dostane 16 karet z balíčku kanastových karet (balíček čítá 104 karet). Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi je všech osm desítek?

[4,997 ⋅ 10 ] −8

19) Do osmipatrové budovy vešlo naráz pět lidí. Výtah z důvodu zatopení nefunguje, takže všichni musí jít po schodech. Jaká je pravděpodobnost, že každý jde do jiného patra.

[0,205] 20) Z balíčku kanastových karet (balíček čítá 104 karet), vybereme jednu kartu, podíváme se na ni a vrátíme ji zpět. Pak vytáhneme druhou kartu. Určete pravděpodobnost, že obě karty a) jsou stejné barvy b) jsou stejného druhu (např. dvě desítky, dvě esa atd.)

[0,25] [0,077 ]


31

Věty o pravděpodobnostech 1) Pravděpodobnost, že nastane jeden ze dvou navzájem se vylučujících jevů A, B (tj. A ∩ B = ∅ ), je rovna součtu jejich pravděpodobností: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B )

2) Pravděpodobnost, že nastane jeden z jevů A, B, je P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B )

3) Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P (B )

4) Řekneme, že jevy A, B, C jsou nezávislé, jestliže P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P (B ) ,

P ( A ∩ C ) = P ( A ) ⋅ P (C ) ,

P (B ∩ C ) = P (B ) ⋅ P (C )

a navíc P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P (C )

5) Mějme n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí buď zdarem s pravděpodobností p , nebo nezdarem s pravděpodobností q . Potom pravděpodobnost jevu, Ak , že právě k pokusů bude zdařilých, je ⎛n⎞ P ( Ak ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ q n − k , k = 0,1, 2, K , n. ⎝k ⎠

Příklad:

Na táboře je v družstvu Rychlých šneků 15 dětí. Z toho je 8 dívek a 7 chlapců. Vybereme z nich namátkou trojčlennou hlídku. Jaká je pravděpodobnost, že v hlídce budou alespoň dva chlapci?

Řešení:

⎛ 7 ⎞ ⎛8⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 1 Jev A znamená, že v hlídce jsou právě dva chlapci, P ( A) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛15 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠ ⎛7⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠ Jev B znamená, že v hlídce jsou právě tři chlapci, P (B ) = ⎛15 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠ Chceme vypočítat, že nastane jeden z jevů A a B. Jevy A a B se navzájem vylučují, takže použijeme vzorec z věty 1).

32


⎛ 7 ⎞ ⎛8⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ 2 1 3 203 = 0,446 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 455 ⎛15 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠

(44,6% )

Pravděpodobnost, že v hlídce budou alespoň dva chlapci, je 44,6%.


33

Věty o pravděpodobnostech Varianta A Příklad: Házíme zelenou a žlutou kostkou. Najděte P ( A ∪ B ) , jestliže jev A značí, že na kostkách padl součet čtyři, a jev B značí, že na žluté kostce padla pětka? Řešení: A = {[2, 2], [1, 3], [3,1]}

P ( A) =

3 1 = 2 12 6

B = {[1, 5], [2, 5], [3, 5], [4, 5], [5, 5], [6, 5]} P (B ) =

6 1 = 2 6 6

P ( A ∩ B ) = Ř , Jevy A a B se navzájem vylučují. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) =

1 1 13 + = = 0,25 12 6 4

(25% )

Jev P ( A ∪ B ) nastane s pravděpodobností 25%.


Výsledek řešení: Jev P ( A ∪ B ) nastane s pravděpodobností 25%.

34


Příklady k procvičení: 1) Házíme dvěma různě zbarvenými kostkami. Najděte P ( A ∪ B ) , jestliže a) A znamená, že na první kostce padlo sudé číslo, Jev B znamená, že na druhé kostce padlo liché číslo.

[1]

b) A značí, že na první kostce padlo číslo větší než čtyři, a jev B značí, že na kostkách ⎡5⎤ ⎢⎣12 ⎥⎦

padl součet čtyři.

c) A znamená, že na první kostce padlo číslo menší než dva, a B znamená, že na druhé kostce padlo liché číslo větší než dva.

[0,5]

2) Při hodu kostkou můžou nastat následující jevy: A- padlo sudé číslo, B- Padlo liché číslo větší nebo rovno než třem, C- Padlo liché číslo menší než tři. Vypočítejte a) P ( A ∪ B )

⎡5⎤ ⎢⎣ 6 ⎥⎦

b) P ( A ∪ C )

⎡2⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦

c) P (C ∪ B )

⎡1⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

3) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi různými kostkami padnou samá prvočísla nebo samé šestky? [0,301]


35

Věty o pravděpodobnostech Varianta B Příklady: 1) V obchodě mají na skladě 24 notebooků stejného druhu a značky, z nichž je pět vadných. Za jeden den byly prodány tři notebooky z této řady. Jaká je pravděpodobnost, že byl prodán alespoň jeden vadný? 2) Házíme třemi kostkami, jaká je pravděpodobnost, že padnou samá lichá čísla nebo samá čísla menší než 4? 3) Házíme třemi kostkami. Jev A značí, že na první kostce padne trojka. Jev B značí, že na druhé kostce padne liché číslo. Jev C značí, že na třetí kostce padne číslo větší než dva. Rozhodněte, zda jsou jevy A, B, C nezávislé. 4) Dva střelci Wang a Bonetti se v disciplíně trap rozstřelují o olympijský bronz. Pan Wang zasáhne cíl s pravděpodobností 95%. Pan Bonetti zasáhne cíl s pravděpodobností 91%. Jaká je pravděpodobnost, že při jednom výstřelu každého z nich a) zasáhnou oba. b) žádný nezasáhne cíl. c) Wang zasáhne cíl, Bonetti nezasáhne cíl. Řešení: 1) jev A znamená, že mezi třemi prodanými byl právě jeden vadný notebook, ⎛ 5 ⎞ ⎛19 ⎞ 5! 19! ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4! ⋅ 17!⋅2! 855 ⎝ = = P( A) = 24! 2024 ⎛ 24 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 21!⋅3! ⎝3⎠

jev B znamená jev A znamená, že mezi třemi prodanými byly právě dva vadné notebooky, ⎛ 5 ⎞ ⎛19 ⎞ 5! 19! ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 2 1 190 P (B ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 3!⋅2! 18! = 24! 2024 ⎛ 24 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 21 ! ⋅ 3 ! ⎝3⎠

jev C znamená, že mezi třemi prodanými byly právě tři vadné notebooky, ⎛5⎞ 5! ⎜⎜ ⎟⎟ 3 10 P (C ) = ⎝ ⎠ = 2!⋅3! = 24 ! 2024 ⎛ 24 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ 21!⋅3! Chceme vypočítat, že nastane jeden z jevů A, B, C. Jevy se navzájem vylučují.

36


P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P (B ) + P (C ) =

855 190 10 1050 + + = = 0,521 (52,1%) 2024 2024 2024 2024

Pravděpodobnost, že byl prodán alespoň jeden vadný notebook, je 52,1%.

33 2) jev A znamená, padla samá lichá čísla, P ( A ) = 3 6

jev B znamená, že padla čísla menší než čtyři, P (B ) =

33 63

jev P ( A ∩ B ) znamená, že na kostkách padla lichá čísla menší než čtyři, P ( A ∩ B ) =

23 63

Chceme vypočítat, že nastane jeden z jevů A a B. Průnik jevů A a B není prázdná množina, takže použijeme vzorec s věty 2).

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) =

33 33 2 3 46 + 3 − 3 = = 0,213 ( 21,3%) 3 216 6 6 6

Pravděpodobnost, že padnou samá lichá čísla nebo čísla menší než čtyři, je 21,3%. 3) Jestliže platí vztahy z věty 4), jevy A, B, C jsou nezávislé. Tyto vztahy ověříme.

P ( A) =

1 6

P (B ) =

3 1 = 6 2

P (C ) =

4 2 = 6 3

P( A ∩ B ) =

3 1 = 2 12 6

( A ∩ B ) = {[3,1], [3,3], [3,5] }

P( A ∩ C ) =

4 1 = 2 9 6

( A ∩ C ) = {[3,3], [3,4], [3,5][3,6]}

P (B ∩ C ) =

12 1 = 62 3

(B ∩ C ) = {[1,3], [1,4], [1,5][1,6], [3,3], [3,4].[3,5],

[3,6 ], [5,3], [5,4].[5,5], [5,6]} P( A ∩ B ∩ C ) =

12 1 ( A ∩ B ∩ C ) = {[3,1,3], [3,1,4], [3,1,5][3,1,6], [3,3,3], [3,3,4].[3,3,5], = 3 18 6

[3,3,6 ], [3,5,3], [3,5,4][. 3,5,5], [3,5,6]} P ( A ) ⋅ P (B ) =

1 1 1 ⋅ = = P(A ∩ B ) 6 2 12

P ( A ) ⋅ P (C ) =

1 2 1 ⋅ = = P(A ∩ C ) 6 3 9

P (B ) ⋅ P (C ) =

1 2 1 ⋅ = = P (B ∩ C ) 2 3 3

P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P (C ) =

1 1 2 1 ⋅ = = P( A ∩ B ∩ C ) 6 ⋅ 2 3 18


37

4) jev A znamená, že pan Wang zasáhl cíl, P ( A ) = 95 % jev B znamená, že pan Bonetti zasáhl cíl, P (B ) = 91 % jev A` znamená, že pan Wang nezasáhl cíl, P ( A`) = 1 − P ( A ) = 0,05 jev B` znamená, že pan Bonetti nezasáhl cíl, P (B `) = 1 − P (B ) = 0,09 a) Chceme spočítat, že nastanou oba dva jevy A a B zároveň. Jevy A a B jsou nezávislé (to, že jeden zasáhne, neovlivní pravděpodobnost toho, že zasáhne druhý).

Platí: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P (B ) = 0,95 ⋅ 0,91 = 0,8645 (86,45%) b) Chceme spočítat, že nastanou oba dva jevy A` a B` zároveň. Jevy A` a B` jsou nezávislé.

P ( A`∩ B `) = P ( A ∪ B )`= 1 − P ( A ∪ B ) = 1 − [P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B )] = = 1 − P ( A ) − P (B ) + P ( A ) ⋅ P (B ) = 1 − P ( A ) − P (B )(1 − P ( A )) = [1 − P ( A )] ⋅ [1 − P (B )] = = P ( A`) ⋅ P (B `)

Platí: P ( A`∩ B `) = P ( A`) ⋅ P (B `) = 0,05 ⋅ 0,09 = 0,0045 ( 4,5%) c) Chceme spočítat, pravděpodobnost, že nastanou oba dva jevy A a B` zároveň. Jevy A a B`jsou nezávislé.

P ( A ∩ B `) = P ((Ω − A)`∩ B`) = P[(Ω − A) ∪ B ]`= 1 − P ( A`∪ B ) = = 1 − P ( A`) − P (B ) + P ( A`∩ B ) = 1 − P ( A`) − P (B )(1 − P ( A`)) = [1 − P ( A`)] ⋅ [1 − P (B )] = = P ( A ) ⋅ P (B `)

P( A ∩ B`) = P( A) ⋅ P(B`) = 0,95 ⋅ 0,09 = 0.0855

(8,55%)

Výsledky řešení: Příklad:

1) Pravděpodobnost, že byl prodán alespoň jeden vadný notebook, je 52,1%.

Varianta A Varianta B

2) Pravděpodobnost, že padnou samá lichá čísla nebo čísla menší než čtyři, je 21,3%.

Varianta C

3) Jevy A, B, C jsou nezávislé. 4) a) Pravděpodobnost, že oba zasáhnou, je 86,45%. b) Pravděpodobnost, že oba dva střelci nezasáhnou cíl, je 4,5%. c) Pravděpodobnost, že pan Wang zasáhne cíl a pan Bonetti ne, je 8,55%.

38


Příklady k procvičení: 1) Závodu horských kol se účastní žáci dvou místních sportovních škol. První škola vyslala do závodu 12 dětí a druhá škola 8 dětí. Jaká je pravděpodobnost, že na stupních vítězů uvidíme alespoň dvě děti z první základní školy? Jak se změní pravděpodobnost, že na stupních vítězů uvidíme alespoň dvě děti z první základní školy, jestliže počet dětí vyslaných první školou je 8 a druhou 12? Výsledky vyjádřete v procentech.

[65,6%, zmenší se o 31,2% ]

2) Agnes zjistila, že při stěhování dala použitá a nepoužitá DVD do stejné krabice. Ví, že nepoužitých měla 66 a použitých 23. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru čtyř DVD vytáhne alespoň dvě použitá?

[0,1348]

3) Firma dodala 20 dresů velikosti M a 16 dresů velikosti L. trenér družstva dorostenců vybere náhodně 5 dresů pro své svěřence. Jaká je pravděpodobnost, že vybral alespoň dva dresy velikosti L.

[0,754]

4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padnou a) samá prvočísla nebo samá čísla menší než pět. b) samá čísla dělitelná třemi (beze zbytku) nebo samá čísla větší než tři. [a) 0,639, b)

1 ] 3

5) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi různými kostkami padne a) součet nejvýše tři nebo samá stejná čísla. b) samá sudá čísla nebo samá stejná čísla. c) součet právě jedenáct nebo samá lichá čísla větší než dva. [a)

1 , b) 0,139, c) 0,079] 216

6) Házíme dvěma různě barevnými kostkami (modrou a černou). Rozhodněte, zda jevy v následujících případech jsou nebo nejsou nezávislé. a) Jev A značí, že na kostkách padl součet šest. Jev B značí, že na kostkách padla jen lichá čísla. b) Jev A značí, že na kostkách padl součet sedm. Jev B značí, že na černé kostce padlo číslo větší než tři. c) Jev A značí, že na kostkách padl součet pět. Jev B značí, že na kostkách padla jen lichá čísla. [a) ne, b) + c) ano]


39

7) Na čtyřletém gymnáziu propad v průměru 6% žáků z angličtiny a 10% žáků z francouzštiny. Z obou jazyků najednou propadá 5% žáků. Jsou jevy „žák propadne z angličtiny“ a „žák propadne z francouzštiny“ nezávislé?

[nejsou]

8) Pravděpodobnost, že se Adriana zúčastní kurzu břišního tance je 25%, zatímco Eliška se kurzu zúčastní s pravděpodobností 42%. Pravděpodobnost, že se na kurz přihlásí obě je 10,5%. Jsou jevy „Adriana se zúčastní kurzu“ a „Eliška se zúčastní kurzu“ nezávislé? [jsou] 9) Házíme třemi různými kostkami (označme je x, y, z). Jsou následující jevy nezávislé? A: součet hodnot, které padly na kostkách x a y, je šest. B: na kostce z padla hodnota trojka C: na kostce x padla čtyřka

[nejsou]

10) Určete pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostkou padne v prvním hodu prvočíslo a ve

1 [ ] 3

druhém liché číslo.

11) Kateřina přijde na smluvenou schůzku včas s pravděpodobností 70%, Romana na ni přijde včas s pravděpodobností 85%. Jaká je pravděpodobnost, že a) přijdou obě včas. b) obě přijdou pozdě. c) Romana přijde včas a Kateřina pozdě.

[a) 0,595, b) 0,045, c) 0,255]

12) V sáčku je 7 štítků s číslem jedna a 10 štítků s číslem dva. Martin si ze sáčku vybere jeden štítek, podívá se na číslo a vrátí štítek zpět. Lukáš přijde jako druhý, vytáhne štítek, podívá se na číslo a vrátí štítek zpět. Jaká je pravděpodobnost, že a) si oba vytáhli štítek s číslem jedna. b) si oba vytáhli štítek s číslem dva. c) Martin si vytáhl štítek s číslem jedna a Lukáš si vytáhl štítek s číslem dva. [a) 0,17, b) 0,346, c) 0,242]

40


Věty o pravděpodobnostech Varianta C Příklady: 1) Na začátku hodiny jsou v matematice zkoušeni u tabule dva žáci (Martin a Libor). Libor spočítá příklad správně s pravděpodobností 70%. Martin spočítá příklad správně s pravděpodobností 61%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich spočítá příklad správně? 2) Karolína si v zahradnictví koupila cibulky okrasných květin. Pravděpodobnost, že cibulka vzejde, je 85%. Jaká je pravděpodobnost, že z pěti cibulek vzejdou právě tři? Řešení: 1) Jev A značí, že Libor spočítá příklad správně, P ( A ) = 0,7 Jev B značí, že Martin spočítá příklad správně, P (B ) = 0,61 P ( A`) = 1 − P ( A ) = 0,3

P (B `) = 1 − P (B ) = 0,39

Jevy A a B jsou nezávislé. Alespoň jeden z nich správně znamená, že příklad spočítají správně oba nebo Libor ho spočítá správně a Martin špatně nebo Libor ho spočítá špatně a Martin správně. Rovnice bude tvaru: P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B`) + P ( A`∩ B ) = P ( A ) ⋅ P (B ) + P ( A ) ⋅ P (B `) + P ( A`) ⋅ P (B ) = 0,7 ⋅ 0,61 + 0,7 ⋅ 0,39 + 0,3 ⋅ 0,61 = 0,883

(88,3% )

Další způsob řešení:

1 − P ( A`) ⋅ P (B`) = 0,883

(88,3% )

Pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich spočítá příklad správně, je 88,3%.

2) Jev A značí, že vzejdou právě tři cibulky, P ( A ) = 0,85 3 Jev B značí, že právě dvě cibulky nevzejdou, P (B ) = (1 − 0,85) = 0,15 2 2

⎛n⎞ ⎛5⎞ 5! P ( Ak ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ q n −k = = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ P ( A ) ⋅ P (B ) = ⋅ 0,85 3 ⋅ 0,15 2 = 0,138 k 2 3 ! ⋅ 2 ! ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


(13,8% )

Výsledek řešení: 1) Pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich spočítá příklad správně, je 88,3%.

2) Pravděpodobnost, že vzejdou tři cibulky je 13,8%.


41

Příklady k procvičení: 1) Martina a Aneta píšou seminární práci. Martina ji dokončí včas s pravděpodobností 25%, Aneta ji dokončí včas s pravděpodobností 65%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jedna z nich dokončí seminární práci včas? Výsledek vyjádřete v procentech. [73,75%] 2) V košíku je 5 žlutých jablek a 6 červených jablek. Namátkou vybereme 3 jablka. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň dvě vybraná budou žlutá?

[

2 ] 3

3) Matěj a Denis střílí prakem na terč. Matěj zasáhne s pravděpodobností 60% a Denis zasáhne s pravděpodobností 45%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich zasáhne terč?

[0,78]

4) Na výlet lodí jede 20 dětí, z nichž je 12 děvčat a 8 chlapců. Namátkou z nich vybereme trojici. Jaká je pravděpodobnost, že v ní budou alespoň dva chlapci?

[0,396]

5) Milan odpoví na otázku špatně s pravděpodobností 75%. Jaká je pravděpodobnost, že ze tří otázek zodpoví právě dvě špatně?

[0,42]

6) V přijímacím testu na vysokou školu je 80 otázek. Každá otázka má 4 možné odpovědi, ze kterých je právě jedna správná. V okamžiku, kdy je ohlášeno posledních deset minut na vypracování testu, Tomášovi zbývá zodpovědět ještě 20 otázek. Rozhodne se proto, volit odpovědi náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že zodpoví správně právě 6 otázek? Vyřešte příklad, jestliže každá otázka má pět správných odpovědí. [0,168, 0,109] 7) Jaká je pravděpodobnost, že z dvanácti prvních servisů jich deset bude ve správné části tenisového kurtu, jestliže a) úspěšnost tenistova prvního servisu je 65%. [0,109] b) úspěšnost tenistova prvního servisu je 72%. [0,191] 8) Úmrtnost na choleru je 50%. Jaká je pravděpodobnost, že ze 25 nakažených jich 17 nemoc přežije? [0,032] 9) Pravděpodobnost, že obchodní zástupce prodá pojištění je 36%. Jaká je pravděpodobnost, že prodá pojištění alespoň čtyřem klientům, když jich za jeden den navštíví devět? [0,226]

42


Souhrnné příklady k procvičení 1) V plátěném pytlíku je šest bílých a tři červené kuličky. Vybereme namátkou dvě kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že budou mít stejnou barvu? [0,5] 2) Terč je rozdělen na dvě pásma (černé a bílé). Zásah do černého pásma je oceněn třemi body a zásah do bílého pásma je oceněn jedním bodem. Pravděpodobnost, že se střelec trefí do černého, je 32%, že se trefí do bílého, je 58%. Jaká je pravděpodobnost, že a) zasáhne terč?

[0,9]

b) nezasáhne terč?

[0,1]

3) Pravděpodobnost, že se porouchá generátor a výroba bude muset být zastavena, je 10%. Pravděpodobnost, že se porouchá pás a výroba bude muset být přerušena, je 4%. Jaká je pravděpodobnost, že při současné práci obou těchto zařízení, a) dojde k přerušení výroby.

[0,14]

b) nedojde k přerušení výroby.

[0,86]

4) Ve školním autobuse jede 26 dětí, z toho 14 chlapců a 12 dívek. Vybereme namátkou čtveřici dětí. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou a) alespoň tři chlapci.

[0,359]

b) nejvýše dvě děvčata.

[0,76]

5) Student prvního ročníku ekonomické vysoké školy musí v prvním semestru absolvovat tyto předměty: mikroekonomie, základy účetnictví, matematika, marketing, základy informatiky. Mikroekonomii zvládne s pravděpodobností 65%, základy účetnictví zvládne s pravděpodobností 95%, matematiku s pravděpodobností 45%, marketing s pravděpodobností 60% a základy informatiky s pravděpodobností 50%. Jaká je pravděpodobnost, že student neuspěje v matematice nebo základech informatiky a v ostatních předmětech uspěje? 6) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu pěti mincemi na vše padne orel?

[0,177] [3,1%]

7) V obchodě prodají výrobek s vadou s pravděpodobností 12%. Jaká je pravděpodobnost, že sedm za sebou prodaných výrobků bude bez vady a další dva prodané budou vadné? Pokusy považujeme za vzájemně nezávislé.

[7%]

8) Střelkyně ze vzduchové pušky zasáhne devítku s pravděpodobností 95%. Jaká je pravděpodobnost, že osmkrát po sobě zasáhne devítku a poté dvakrát po sobě devítku nezasáhne? Pokusy považujeme za vzájemně nezávislé.

[0,0016]

9) Biatlonista zasáhne terč s pravděpodobností 80%. Jaká je pravděpodobnost, že z pěti terčů tři zasáhne a dvakrát mine?

[0,2048]


43

10) Článek do odborného časopisu hodnotí nezávisle na sobě dvě osoby. První dá kladné stanovisko s pravděpodobností 80%, druhá se vysloví kladně s pravděpodobností 85%. Článek bude redakcí přijat, jestliže kladné stanovisko dá alespoň jeden z hodnotitelů. Jaká je pravděpodobnost, že článek bude přijat?

[0,97]

11) Jaká je pravděpodobnost, že v rodině s pěti dětmi, mají alespoň čtyři děvčata? [0,1875] 12) Jevy A a B jsou nezávislé. Pravděpodobnost, že nastane jev B, je 20%, pravděpodobnost, že nastanou oba jevy současně, je 45%. Vypočtěte pravděpodobnost, že nastane jev A. [0,25] 13) Jevy A a B jsou nezávislé. Platí P( A ∩ B`) =

1 1 a P( A ∩ B ) = . Určete P( A) a P(B ) . 5 4 [

9 5 , ] 20 9

14) Kolik dětí je třeba porodit, aby pravděpodobnost, že se narodí chlapec, byla větší než 0,9. [4] 15) Jaká je pravděpodobnost, že v rodině s třemi dětmi, jsou právě dvě dcery? Pravděpodobnost narození dcery je 0,523.

[0,391]

16) Určete pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo je dělitelné 10 nebo 25. [0,122] 17) Tři nezávislé pokusy A a B a C nastávají s pravděpodobností 0,6 a 0,8 a 0,7. Určete pravděpodobnost, že a) nenastane jev B.

[0,2]

b) nenastane žádný z jevů A, B, C.

[0,024]

c) nastane alespoň jeden z jevů A, B, C.

[0,976]

44


Statistika Důležité pojmy • statistický soubor je neprázdná konečná množina objektů, které mají společné vlastnosti (např. skupina osob) • rozsah souboru (n) je počet prvků dané množiny • statistická jednotka je prvek statistického souboru • statistický znak (x) je společná vlastnost statistických jednotek (u osob je to například věk, barva vlasů) • hodnota znaku ( x 1 , x 2 , K , x n ) jednotlivé údaje znaku


45

Rozdělení četností a jeho grafické znázornění Absolutní četnost n j je počet statistických jednotek, jímž přísluší stejná hodnota znaku. Pozn.: součet absolutních četností je roven rozsahu souboru

r

∑n j =1

j

=n

Relativní četnost v j je podíl absolutní četnosti znaku a rozsahu souboru v j = Pozn.: součet relativních četností je roven jedné

r

∑v j =1

j

nj n

.

= 1.

Tabulka rozdělení četností:tabulka, ve které je každé hodnotě zkoumaného znaku přiřazena její četnost Znak x

x1*

x 2*

L

x r*

Absolutní četnost

n1

n2

L

nr

46


Statistické diagramy Spojnicový diagram (polygon četnosti): závislost absolutní četnosti na hodnotě znaku 4,5 4 3,5 3 y

2,5 2 1,5 1 0,5 0 1

2

3

4

5

x

Sloupcový diagram (histogram četnosti): používá se, jsou-li hodnoty znaku sdruženy v intervaly, intervaly tvoří základy sloupku, odpovídající četnosti tvoří jejich výšky 45 40 35 30

y

25 20 15 10 5 0 4

8

12 x

16


47

Kruhový diagram: hodnoty znaku jsou znázorněny kruhovými výsečemi, jejichž obsahy jsou přímo úměrné relativním četnostem

3. čtvrt. 11%

2. čtvrt. 25% 1. čtvrt. 64%

48

Pravděpodo obnost a stattistika

Příklad d:

V roce 2002 byllo v ČR zam městnaných celkem 47664,9 tisíc ossob. Z toho 228,7152 bylo zaměstnaný z ých v primárrní sféře, 399,6% lidí naašlo zaměstn nání v sekkundární sfééře, 55,5% lidí l našlo zaaměstnání v terciální sfféře a u 0,1% % lidí nebyylo možno zařadit z do žáádné z těchtto sfér. Určeete tabulku rozložení četností, č nakrreslete kruhoový diagram m.

Řešení::

Nejpprve určíme tabulku rozzložení četn ností se všem mi údaji, kteeré jsou znáámé ze zadáání. primárníí

sekundáární

terciáální

sféra

sféra

sféra

absollutní četnost

228,71522

ns

nt

no

relatiivní četnost

vp

39,6%

55,5% %

0,11%

Neznnámé údaje lze dopočíttat pomocí vzorce v vj = vp =

np n

=

228,7152 = 0,0448 47664 ,9

nj n

osttatní

.

4,8%

n s = v s ⋅ n = 0,396 ⋅ 4764 ,9 = 1886 , 90004 n t = v t ⋅ n = 0,5555 ⋅ 4764 ,9 = 2644 , 519 95 n o = v 0 ⋅ n = 0,001 0 ⋅ 4764 ,9 = 4,7649 Kom mpletní tabulkka rozložení četností je tv varu zaměstnannci zaměsttnanci

zam městnanci

v primárnní

v sekun ndární

v terciální

sféře

sféře

sfééře

absollutní četnost

228,7152

1886,9004

26444,5195

4,7649

relatiivní četnost

4,8%

39,6%

55,,5%

0,1%

m zaměstnancců podle sekttorů kruhoový diagram ostaatní 0,1 1% zzaměstnanci vv tterciální sféře 55,5%

zaměstnaanci v primární sféře % 4,8% zam městnanci v sekundární sféře 39,6%

ostatní


49

Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta A Příklady: 1) Celkový počet porodů za rok 2001 byl 89425. V tabulce jsou porody rozděleny podle počtu narozených dětí. Doplňte tabulku. Znázorněte spojnicovým diagramem počet porodů podle počtu narozených dětí. Počet narozených dětí

1

2

3

4

Počet porodů

87887

1525

11

2

vj

2) V roce 2000 bylo dokončeno 25 207 bytů. V tabulce jsou dokončené byty rozděleny podle formy výstavby. Doplňte tabulku. Znázorněte kruhovým diagramem podíl dokončených bytů podle formy výstavby. Formy výstavby

družstevní

komunální

individuální

ostatní

Dokončené byty

629

6691

3579

Podíl dokončených bytů

2,5%

26,5%

14,2%

Řešení: 1) Spočítáme relativní četnost podle vzorce v j =

nj n

, kde n je 89425 a absolutní četnosti jsou

počty porodů dle narozených dětí. v1 =

87887 = 0,983 89425

v2 =

1525 = 0,017 89425

v3 =

11 = 0,00012 89425

v4 =

2 = 0,000022 89425

doplněná tabulka: Počet narozených dětí

1

2

3

4

Počet porodů

87887

1525

11

2

vj

0,983

0,017

0,00012

0,000022


50

spojnicový diagram počtu porodů podle počtu narozených dětí: 100000 90000 80000 počet porodů

70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 1

2

3

4

počet dětí

2) Využijeme toho, že platí

r

∑nj = n a j =1

4

∑n j =1

j

r

∑v j =1

j

= 1 , kde n je celkový počet postavených bytů.

= 25207

629 + 6691 + n 3 + 3579 = 25207 n 3 = 25207 − 10899 = 14308 4

∑v j =1

j

=1

0,025 + 0,265 + v 3 + 0,142 = 1 v 3 = 1 − 0, 432 = 0,568 doplněná tabulka: Formy výstavby

družstevní

komunální

individuální

ostatní

Dokončené byty

629

6691

14308

3579

Podíl dokončených bytů

2,5%

26,5%

56,8%

14,2%


Kruhový diagram počtu dokončených bytů podle formy výstavby: družstevní 2,5%

ostatní 14,2%

komunální 26,5%

individuální 56,8%


Výsledky řešení: 1) v1 = 0,983 v 2 = 0,017 2) n 3 = 14308

v 3 = 0,568

v 3 = 0,00012

v 4 = 0,000022

51

52


Příklady k procvičení: 1) Doplňte tabulky rozdělení četností. Zakreslete polygon četností a kruhový diagram. a) velikost

1

2

3

4

Četnost

25 20 15 5

Relativní četnost

b) velikost

1

Četnost

10

2 3

4

20 25

Relativní četnost 10%

[a) výsledky, b) výsledky] 2) Tabulky udávají množství vytěžených listnatých dřevin v ČR podle druhů dřevin. Doplňte relativní četnosti a znázorněte je kruhovým diagramem. a) Druh

dub

buk

jasan

javor

lípa

olše

bříza

dřeviny

Topol,

Ostatní

vrba, osika

Množství

313521 484098 54562 16472 35961 33759 107713 46736

63999

dub

Ostatní

( m3 )

b) Druh dřeviny

buk

jasan

javor

lípa

olše

bříza

Topol, vrba, osika

Množství ( m3 )

414684 725199 73120 34266 74390 43273 194866 101416

80001


53

c) Druh

dub

buk

jasan

javor

lípa

olše

bříza

dřeviny

Topol,

Ostatní

vrba, osika

Množství

336313 573979 70264 22536 54818 24613 105909 49306

72327

( m3 )

[a) výsledky, b) výsledky, c) výsledky] 3) Tabulky uvádějí výši měsíčního kapesného žáků 5. třídy základní školy s rozdělením četností. Doplňte relativní četnosti. Nakreslete spojnicový diagram. a) výše kapesného 100 200 500 1000 počet

3

10

15

2

b) výše kapesného 200 400 700 1000 počet

5

12

10

1

[a) výsledky, b) výsledky] 4) Soukromou jazykovou školu navštěvuje 320 osob. Každá osoba se učí právě jeden jazyk. Rozdělení četností je dáno tabulkou: a) Jazyk

Angličtina Španělština francouzština Italština

Relativní četnost 46,875%

7,8125%

34,375%

10,9375%

b) Jazyk

Angličtina němčina francouzština Ruština

Relativní četnost 0,55

0,25

0,15

0,05

c) Jazyk

Angličtina němčina francouzština čínština


Doplňte absolutní četnosti.

33,75%

31,25%

0,0125

[a) výsledky, b) výsledky, c) výsledky]

54


5) U pětiset manželských párů starších třiceti let byl zkoumán počet dětí. Lidé špatně vyplnili dotazníky, a tak se podařilo získat pouze údaje uvedené v následující tabulce. a) Počet dětí

1

Četnost

2

3 jinak

350

5

2 3

jinak


b) Počet dětí

1

Četnost Relativní četnost 24%

5 0,03

Je-li to možné, tabulky doplňte. [a) výsledky, b) výsledky]


Výsledky varianta A 1Aa velikost

1

2

3

4

Četnost

25

20

15

5

Relativní četnost 0,38 0,31 0,23 0,08

četnost

spojnicový diagram 30 20 10 0 1

2

3

4

velikost

kruhový diagram 8% 38%

23%

31%

1Ab velikost

1

2

3

4

Četnost

10

45

20

25

Relativní četnost 10% 45% 20% 25%

55

56


spojnicový graf 50 četnost

40 30 20 10 0 1

2

3

4

velikost

kruhový diagram 10% 25% 20%

45%

2Aa Druh

dub

buk

jasan

javor

lípa

olše

bříza

dřeviny

Topol,

Ostatní

vrba, osika

Množství

313521 484098 54562 16472 35961 33759 107713 46736

63999

27%

6%

( m3 ) Relativní četnost

42%

5%

1%

3%

3%

9%

4%


57

míra těžby dřevin v závislosti na druhu dub

buk

jasan

javor

lípa

olše

bříza

topol, vrba, osika

ostatní

4% 6% 3% 1%

9%

27%

3% 5% 42%

2Ab Druh

dub

buk

jasan

javor

lípa

olše

bříza

dřeviny

Topol,

Ostatní

vrba, osika

Množství

414684 725199 73120 34266 74390 43273 194866 101416

80001

24%

5%

( m3 ) Relativní

42%

4%

2%

4%

2%

11%

četnost


buk

jasan

javor

lípa

olše

bříza

topol, vrba, osika

ostatní

6%

2%

11%

5% 24%

4% 2% 4%

42%

6%

58


2Ac Druh

dub

buk

jasan

javor

lípa

olše

bříza

dřeviny

Topol,

Ostatní

vrba, osika

Množství

336313 573979 70264 22536 54818 24613 105909 49306

72327

26%

6%

( m3 ) Relativní

44%

5%

2%

4%

2%

8%

četnost


buk

jasan

javor

lípa

olše

bříza

topol, vrba, osika

ostatní

8% 4%

4%

6%

2%

26%

2% 5% 43%

3Aa výše kapesného

100 200

500 1000

počet

3

15


10

0,33 0,5

2 0,07

4%


počet

spojnicový graf 16 14 12 10 8 6 4 2 0 100

200

500

1000

výše kapesného

3Ab výše kapesného

200 400 700 1000

počet

5

12

10

1

Relativní četnost

spojnicový graf počet

15 10 5 0 200

400

700

1000

výše kapesného

4Aa Jazyk

Angličtina Španělština francouzština Italština

Četnost

150


25

110

35

7,8125%

34,375%

10,9375%

59

60


4Ab Jazyk

Angličtina němčina francouzština Ruština

četnost

176


80

48

16

0,25

0,15

0,05

4Ac Jazyk

Angličtina němčina francouzština čínština

četnost

108


108

100

4

33,75%

31,25%

0,0125

5Aa Počet dětí

1

2

3

jinak

Četnost

120

350

25

5


5Ab Počet dětí

1

2

3

jinak

Četnost

120

360

15

5



61

Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta B Příklady: 1) Celkový počet rozvodů v roce 2006 byl 31 415. Tabulka zobrazuje počet rozvodů podle délky trvání manželství. Doplňte ji a nakreslete grafy. Délka trvání

0-1

2-5

6-9

10-14

15-19

20-70

manželství (roky) Počet rozvodů

1280

7331

Míra rozvodovosti

17,8%

18,1%

17,4%

Řešení: 1) Nejprve doplníme údaje tam, kde chybí pouze jeden řádek. Použijeme vzorec v j =

nj n

,

kde n je 31415. Pak doplníme absolutní a relativní četnost ve sloupečku 2-5 let pomocí vzorců

4

∑n j =1

v1 =

j

=n a

4

∑v j =1

j

= 1.

1280 7331 = 0,041 v 6 = 0,233 31415 31415

n 3 = 0,178 ⋅ 31415 = 5578 n 4 = 0,181 ⋅ 31415 = 5681 n 5 = 0,174 ⋅ 31415 = 5479 6

∑n j =1

j

= 31415

1280 + n 2 + 5578 + 5681 + 5479 + 7331 = 31415 6

∑v j =1

j

n 2 = 6066

=1

0,041 + v 2 + 0,178 + 0,181 + 0,174 + 0,233 = 1 v 2 = 0,193 Doplněná tabulka: Délka trvání

0-1

2-5

6-9

10-14

15-19

20-70

Počet rozvodů

1280

6066

5578

5681

5479

7331

Míra rozvodovosti

4,1%

19,3%

17,8%

18,1%

17,4%

23,3%

manželství (roky)

62


Vzhlledem k tom mu, že jsou hoodnoty znakuu sdruženy v intervaly, pooužijeme hisstogram pro znázzornění závisslosti počtu rozvodů r na délce trvání manželství. m H Hodnoty na oose x jsou zaokkrouhleny naa střed intervaalu. Druhý graf g bude kru uhový. Počeet rozvodů v závislosti naa délce trvánní

Míra rozvodovosti v závislosti nna délce trván ní

mannželství

manželsství 0‐1 4,1%

počet ro odů počet rozvodů

8000 6000 20‐70 23,3% 2

4000 2000

15 5‐19 17 7,4%

0 0,,5

4

7,5 12 17 45

10‐14 18,1%

manželství délka trvání m

Příkladd: Variantaa A Variantaa B Variantaa C

Výsledeek řešení: 1) v1 = 0,041 v 2 = 0,193 3

2‐5 19,,3%

v 4 = 0,2333

n 2 = 6066 n 3 = 5578 n 4 = 5681 n 5 = 5479

6 6‐9 17 7,8%


63

Příklady k procvičení: 1) Tabulka udává počet účastníků jednotlivých kategorií na mistroství republiky v jízdě na koloběžce. Zakreslete histogram.

[výsledek]

Kategorie (dle věku) 5-7 7-9 9-14 14-18 18-30 30-45 45-60 60-120 Počet účastníků

25

50

52

65

20

15

10

2

2) Rozdělení četností studentů čtvrtých ročníků sportovního gymnázia podle výšky je zachyceno v tabulce. Doplňte relativní četnosti, zakreslete histogram. a) Výška (cm) 150-160 160-170 170-180 180-190 Počet

10

40

65

35

b) Výška (cm) 160-170 170-180 180-190 190-200 Počet

38

40

50

12

[a) výsledky, b) výsledky] 3) Tabulka udává počet obyvatel ČR v roce 2003závislosti na věku. Tabulku doplňte. Zakreslete histogram. Jaký byl celkový počet obyvatel ČR v tomto roce? věk

Počet 2003 (v tis.) Relativní četnost 2003

0-14

1554

14-65

70%

65-120

15 %

[výsledek]

64


Výsled dky varianta B 1B

počet

Počet účastníků v závvisloti n na věku 70 60 50 40 30 20 10 0 7‐9

5‐7

9‐1 14

14‐18 18‐30 30‐45 5 45‐60 60 0‐120 věkk

2Ba Výška (cm))

150--160 160-170 170-180 180-190

Počet

10

Relativní čeetnost 0,077

40

65

35

0,27

0,43

0,23

Po očet studentů vv závislo osti n na výšce e počet

100 50 0 150‐160

160‐170

170‐180

180‐190

výška

2Bb Výška (cm))

160--170 170-180 180-190 190-200

Počet

38

Relativní čeetnost 0,277

40

50

12

0,29

0,36

0,08

Pravd děpodobnostt a statistikaa

Po očet studentů vv závislo osti n na výšce e počet

60 40 20 0 160‐170

170‐180

180‐190

1 190‐200

výškka

3B věk

Počet 20033 (v tis.) Relativní R četnnost 2003

0-14

1554

15 5%

14-65

7252

70 0%

65-120

1554

15 5%

celkem 10360

počet

počet obyvatel v ČR v p závislloti na vvěku 800 00 600 00 400 00 200 00 0 0‐14 4

14‐‐65 věk

65‐120

65

66


Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta C Příklady: 1) Rozběhy závodu na 100 metrů běželo 30 závodníků? Závodníci dosáhli časů: 9,86; 8.99; 9,15; 9,20; 9,06; 8,89; 9,12; 9,00; 9,65; 9,26; 9,15; 8,99; 8,98; 9,14; 9,19; 9,32; 9,40; 9,30; 9,09; 9,16; 9,33; 9,01; 9,03; 10,01; 8,95; 9,26; 9,28; 9,72; 9,55; 8,82. Zvolte délku rozpětí intervalu 0,2 sekundy a uspořádejte časy do tabulky rozdělení četností. Spočítejte relativní četnosti. Znázorněte grafy. 2) Počet zaměstnanců ve výzkumu a vývoji v roce 1995 byl 47500. Z toho 42,9% zaměstnanců bylo zaměstnáno v podnikatelské sféře, 29,1% zaměstnanců bylo zaměstnáno ve vládním sektoru, 28% zaměstnanců bylo zaměstnáno ve vysokoškolském sektoru a 0% zaměstnanců bylo zaměstnáno v soukromém neziskovém sektoru. V roce 2007 bylo ve výzkumu zaměstnáno 73081 lidí s podíly v sektorech 43,6%, 20,3%, 35,8% a 0,3%. Vypočtěte absolutní četnosti zaměstnanců pracujících v jednotlivých sektorech a sestrojte tabulku četností. Řešení: 1) Nejhorší čas je 10,01 a nejlepší je 8,82, takže intervalů bude šest. Pro výpočet relativní četnosti použijeme vzorec v j = 8 = 0,267 30 2 v5 = = 0,067 30

v1 =

nj n

. První graf bude histogram, druhý graf bude kruhový.

10 = 0,333 30 1 v6 = = 0,033 30

v2 =

v3 =

7 = 0,233 30

v4 =

2 = 0,067 30

tabulka rozdělení četností: Interval

8,82-9,02

9,03-9,23

9,24-9,44

9,45-9,65

9,66-9,86

9,87-10,07

Počet časů

8

10

7

2

2

1

Relativní

0,267

0,333

0,233

0,067

0,067

0,033

četnost


poče et závodníků v záviisloti naa čase

9,66‐9,86 7% 6,7

9,87‐ 10,07 3,3%

9,45‐9,65 6,7% 8,82‐9,02 8 26,7%

15 počet

67

10 9,24‐‐9,44 23,3 3%

5

9,,03‐9,23 33,3%

0 8,92 2 9,13 9,34 9,55 9,76 9,97 9 čaas

2) Proccenta lidí praacující v jednnotlivých sférrách jsou relaativní četnossti, absolutní četnosti dop počítáme pom mocí v j =

nj n

a sestavím me tabulku roozdělení četno ostí.

n1 / 19995 = 0,429 ⋅ 47500 = 200377 ,5 n 2 / 1995 = 0,291 ⋅ 47500 = 133822 ,5 1 n 3 / 19995 = 0,28 ⋅ 47500 4 = 133300 n 4 / 1995 = 0 n1 / 20007 = 0,436 ⋅ 73081 = 311863,316 n 2 / 2007 = 0,2003 ⋅ 73081 = 14835 ,443 n 3 / 2007 = 0,358 ⋅ 73081 = 266162 ,998 n 4 / 2007 = 0,0003 ⋅ 73081 = 219,243 2 Tabuulka rozdělenní četností: Sekttor

Počett 1995 Poččet 2007 Reelativní četnoost 1995 Relativní četnost 2007

Podnnikatelský

20377,5

31863,316

0,4 429

0,,436

Vláddní

138222,5

14835,443

0,2 291

0,,203

Vysookoškolský

13300

26162,998

0,2 28

0,,358

2199,243

0

0,,003

Soukkromý neziskkový 0

Příkladd:

V Výsledky řeešení:

Variantaa A

1) v1 = 0,267 2 v 2 = 0,333 3 v 3 = 0,233 v 4 = 0,0667 v 5 = 0067 v 6 = 0,0333

Variantaa B

2 n1 / 1995 = 20377 ,5 n 2 / 1995 = 138822 ,5 n 3 / 1995 = 13300 n 4 / 1995 = 0 2)

Variantaa C

n1 / 2007 = 31863,3166 n 2 / 2007 = 14835 1 ,443 n 3 / 2007 = 266162 ,998 n 4 / 2007 = 219,243

68


Příklady k procvičení: 1) V obchodě specializujícím se na prodej večerních šatů zaznamenávali kvůli optimalizaci objednávek velikosti prodaných šatů s tímto výsledkem: 36, 44, 38, 38, 38, 40, 42, 44, 38, 42, 38, 44, 46, 44, 38, 38, 40. Sestavte tabulku rozdělení četností jednotlivých hodnot znaku „velikost“ a určete relativní četnosti pro jednotlivé velikosti. Sestrojte odpovídající polygon četností rozdělení četností.

[výsledek]

2) Trenéři zjišťovali věk hráčů A mužstva první fotbalové ligy. Byly zjištěny tyto hodnoty: 25, 24, 17, 32, 26, 24, 25, 26, 27, 31, 19, 21, 32, 25, 36, 29, 20, 24, 25. Určete rozsah souboru, sestavte tabulku rozdělení četností jednotlivých hodnot znaku „věk“, určete relativní četnosti a znázorněte je do grafu

[výsledek]

3) V roce 2000 bylo v televizi odvysíláno celkem 17 568 hodin. Z toho 39,5% bylo zpravodajství, 4,9% byly vzdělávací pořady, 3,7% připadlo na kulturu, 40,4% vysílacího času připadlo zábavným pořadům, 0,6% náboženským pořadům, 1% připadlo na reklamu a 9,9% na ostatní blíže nespecifikované pořady. Vypočtěte absolutní četnosti vysílacích hodin jednotlivých druhů pořadů. Sestrojte tabulku četností.

[výsledek]

4) Na první stupeň školy dochází v školním roce 2001/2002 135 žáků. Pětina z nich chodí pěšky, třetinu dovezou rodiče autem a zbytek jezdí autobusem. Další školní rok (2002/2003) školu navštěvuje také 135 žáků. Počet dětí chodících pěšky se zvýší o 5, autobusem jezdí o jednoho žáka méně. Vypočtěte absolutní a relativní četnosti žáků jezdících do školy v roce 2002/2003 podle druhu dopravního prostředku.

[výsledek]


Výsledky varianta C 1C Velikost

36

38

40

42

44

46

Počet

1

7

2

2

4

1

Relativní četnost 0,06 0,41 0,12 0,12 0,23 0,06

počet prodaných šatů v závisloti na velikosti 8

počet

6 4 2 0 36

38

40

42

velikost

44

46

69

70


2C Věk

17

19

20

21

24

25 26

27

29

31

32

36

Počet

1

1

1

1

3

4

1

1

1

2

1

2

Relativní počet (%) 5,3 5,3 5,3 5,3 15,6 21 10,5 5,3 5,3 5,3 10,5 5,3

Míra zastoupení fotbalistů daného věku v mužstvu 32 3%

36 17 12% 13%

31 12%

27 12%

19 12% 20 12%

21 12% 26 25 24 3% 5% 4%

3C Typ pořadu

zpravodajství vzdělávací kultura

zábava

Počet hodin

6939,36

860,832

650,016 7097,472 105,408

175,68

1739,232

Relativní

0,395

0,049

0,037

0,01

0,099

0,404

náboženství reklama ostatní 0,006

počet (%)

4C Druh dopravního prostředku chůze

auto

Autobus

Počet žáků

32

41

62

Relativní četnost

23,7% 30,4% 45,9%


71

Charakteristiky polohy a variability Charakteristika polohy: číslo charakterizující průměrnou hodnotu sledovaného znaku (aritmetický průměr, geometrický průměr, harmonický průměr, modus, medián) Charakteristika variability: číslo charakterizující proměnlivost sledovaného znaku (rozptyl, směrodatná odchylka) _

Aritmetický průměr x je součet hodnot znaku zjištěných u všech jednotek souboru, dělený počtem všech jednotek souboru. _

x=

1 n ⋅∑ xj n j =1

Geometrický průměr x G z kladné hodnoty znaku je n-tá odmocnina ze součinu hodnot znaku. x G = n x1 ⋅ K ⋅ x n

Harmonický průměr x H z nenulových hodnot statistického souboru je podíl rozsahu souboru a součtu převrácených hodnot znaku. xH =

n

1 1 +K+ x1 xn

Modus Mod ( x ) je nejčastěji se vyskytující hodnota mezi znaky. Medián Med (x ) je prostřední člen mezi znaky, jestliže je uspořádáme podle velikosti. Pozn. je-li n liché, určíme medián podle vzorce: Med ( x ) = x⎛ n +1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

je-li n sudé, je medián aritmetickým průměrem dvou hodnot „kolem středu“: Med ( x ) =

⎞ 1 ⎛⎜ x⎛ n ⎞ + x⎛ n ⎞ ⎟ ⎜ +1 ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝2 ⎠ ⎠

72


Rozptyl s x2 je průměr druhých mocnin odchylek od aritmetického průměru. _ 1 n ⎛ ⎞ s = ⋅ ∑⎜ x j − x⎟ n j =1 ⎝ ⎠

2

2 x

Směrodatná odchylka s x je druhá odmocnina z rozptylu. s x = s x2

Příklad:

V tabulce je dán počet obyvatel ČR k 21.12. od roku 1996 do roku 2003. Vypočítejte průměrný počet obyvatel ČR za období 1996 až 2003. rok

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Počet obyvatel

10309

10299

10290

10278

10267

10206

10203

10211

k 31.12. (tis)

Řešení:

Budeme počítat aritmetický průměr za osm období, takže n=8. _

x =

1 n ⋅∑ xj n j =1

1 ⋅ (10309 + 10299 + 10290 + 10278 + 10267 + 10206 + 10203 + 10211) = 8 1 = ⋅ (82144 ) = 10268 8 =

Průměrný počet obyvatel ČR za období 1996 až 2003 byl 10268.


73

Charakteristiky polohy a variability Varianta A Příklady: 1) Tabulka udává HDP (Hrubý domácí produkt) v ČR od roku 2000 do roku 2005. Vypočtěte aritmetický geometrický a harmonický průměr HDP v ČR od roku 2000 do roku 2005. Rok

2000

2001

2002

2003

2004

2005

HDP (mil. Kč)

2189169

2352214

2464432

2577110

2814762

2983862

2) Vypočtěte modus a medián ze souboru písmen: A, B, B, C, D, E, F, E, B, C, D, E, A, B, C, D, E, F, E, E, D, C, A, B, B. Písmeno A B C D E F Počet

Řešení: 1) Půjde o dosazování do vzorců, kde n=6 a x1 = 2189169 , x 2 = 2352214 , x 3 = 2464432 , x 4 = 2577110 , x 5 = 2814762 , x 6 = 2983862 , . 1 n ⋅∑ xj n j =1 _ 1 x = ⋅ (2189169 + 2352214 + 2464432 + 2577110 + 2814762 + 2983862 ) = 2563591,5 6 _

x=

xG =

n

x1 ⋅ K ⋅ x n

xG =

6

2189169 ⋅ 2352214 ⋅ 2464432 ⋅ 2577110 ⋅ 2814762 ⋅ 2983862 =

xH =

xH =

6

2,747 ⋅ 10 38

n

1 1 +K+ x1 xn 6 1 1 1 1 1 1 + + + + + 2189169 2352214 2464432 2577110 2814762 2983862

= 2535779 ,578

74


2) Sestavíme si tabulku, kde první řádek bude písmeno a druhý jeho početní zastoupení v souboru. Písmeno A B C D E F Počet

3

6

4

4

6

2

Modus je nejčastěji vyskytující se hodnota mezi znaky, takže Mod (x ) = E . Abychom vypočítali medián, musíme znaky uspořádat podle velikosti. Písmeno F A C D E B Počet

2

3

4

4

6

6

Počet prvku souboru je 25, takže n je liché a Med ( x ) = x⎛ n +1 ⎞ = x13 = D . ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠


Výsledky řešení: 1)

_

x = 2563591,5 x G = 6 2,747 ⋅ 10 38 x H = 2535779 ,578

2) Mod ( x ) = E Med ( x ) = D


75

Příklady k procvičení: 1) Tabulka udává průměrnou ošetřovací dobu od roku 2000 do roku 2008. Vypočtěte aritmetický průměr ošetřovací doby od roku 2000 do roku 2008. rok

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Průměrná délka ošetřovací

8,7

8,5

8,3

8,3

8,1

8,0

7,8

7,7

7,4

doby ve dnech

[8,09,] 2) Tabulka udává průměrnou výši měsíčních důchodů mužů a žen v ČR od roku 1999 až do roku 2008. Vypočítejte aritmetický průměr průměrné celkové měsíční výše důchodů od roku 1999 až do roku 2008 . Rok 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Výše důchodu muži 6557 6885 7595 7622 7902 8133 8660 9157 9784 10715 Výše důchodu ženy

5391 5735 6196 6213 6429 6600 7030 7431 7938 8784

[7537,85] 3) Závodníci při skoku do dálky dosáhli těchto výkonů: 7,80, 7,65, 8,15, 8,21. Vypočítejte aritmetický, harmonický a geometrický průměr těchto hodnot a porovnejte jejich velikosti. [7,9525, 7,949, 7,946, největší je aritmetický a nejmenší harmonický průměr] 4) Vypočítejte modus a medián souboru hodnot 2, 5, 6, 3, 2, 5, 3, 6, 1, 2, 3, 1, 2. [2,3] 5) Určete median a modus znaku A z následující tabulky rozdělení četností:

Ai

1 2 3 4

ni

5 7 8 6

[2, 3] 6) Tabulka udává počet narozených štěňat v chovatelské stanici za prvních šest měsíců. Určete modus a median. a) Měsíc

leden únor březen duben květen Červen

Počet štěňat 5

8

26

30

22

25

b) Měsíc

leden únor březen duben květen Červen

Počet štěňat 5

8

26

30

21

25

[a) duben, červen,b) duben, červen]


76

Charakteristiky polohy a variability Varianta B Příklady: 1) Třetí ročníky gymnázia psali čtvrtletní práci z matematiky v jeden týden. Jedničku dostalo 5 žáků, dvojku 15 žáků, trojku 32 žáků, čtverku 21 žáků a pětku 9 žáků. Spočítejte aritmetický průměr známek. 2) Tabulka udává počet obyvatel ČR starších patnácti let s vysokoškolským vzděláním. Tabulka je z období 2004 až 2008. Spočítejte rozptyl a směrodatnou odchylku. Rok

2004

2005

2006

2007

2008

Počet (tis.) 862,2 907,1 954,6 974,8 1050,0

Řešení: 1) vytvoříme tabulku rozložení četností Známka

1

2

3

4

5

počet

5

15

32

21

9

Jestliže počítáme aritmetický průměr z tabulky rozdělen četností, musíme každou hodnotu 1 n * ⋅ ∑ x j ⋅ n j . Dále už jen dosazujeme, n j =1

_

x *j násobit její četností, takže vzoreček má tvar x =

n je počet žáků třetích ročníků, kteří psali čtvrtletní práci. 1 260 ⋅ (1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 15 + 3 ⋅ 32 + 4 ⋅ 21 + 5 ⋅ 9 ) = = 3,17 82 82

_

x=

2

2) Vzorec pro výpočet rozptylu je s x2 =

_ 1 n ⎛ ⎞ ⋅ ∑ ⎜ x j − x ⎟ , takže si nejprve spočítáme n j =1 ⎝ ⎠

aritmetický průměr, a pak dosadíme. _

x=

1 n 1 ⋅ ∑ x j = ⋅ (862,2 + 907 ,1 + 954,6 + 974,8 + 1050 ,0 ) = 949,74 n j =1 5

{

2

_ 1 n ⎛ 1 ⎞ 2 2 s = ⋅ ∑ ⎜ x j − x ⎟ = ⋅ (862 ,2 − 949 ,74 ) + (907 ,1 − 949 ,74 ) + n j =1 ⎝ 5 ⎠ 2 x

}

+ (954,6 − 949,74 ) + (974,8 − 949,74 ) + (1050,0 − 949,74 ) = 2

=

2

2

1 ⋅ (7663,2516 + 1818,1696 + 23,6196 + 628,0036 + 10052,0676 ) = 4037,0224 5

Směrodatná odchylka je druhá odmocnina z rozptylu, takže s x = s x2 = 4037 ,0224 = 63,54



Výsledky řešení: _

1) x = 3,17 2) s x2 = 4037 ,0224

s x = 63,54

77

78


Příklady k procvičení: 1) Z tabulky rozdělení četností určete aritmetický a geometrický průměr. a) xi

1

2

3

4

5 6

ni

26 31 11 12 5 8

[40,3, 38,11 ] b) xi

0,5 1

ni

26

1,5 2

31 11

2,5 3

12 5

8

[20,17, 19,06] 2) Skupina 25 brigádníků česala na letní brigádě ovoce. Tabulka uvádí rozdělení nasbíraného množství. Vypočtěte aritmetický průměr. a) Množství (kg) 20 25 30 35 40 počet

2

8

7

6

2

b) Množství (kg) 20-24 25-29 30-34 35-39 40-46 počet

2

8

7

6

2

[a) 148,b) 158,4 ] 3) V roce 2006 maturovali na církevním gymnáziu 4 třídy. Třídy označme W, X, Y, Z. Ve

třídě označené W maturovalo 27 žáků s průměrnou známkou 2,16, Ve třídě X maturovalo 30 žáků s průměrnou známkou 1,9, ve třídě Y maturovalo 28 žáků s průměrnou známkou 2,5 a v poslední třídě maturovalo 26 lidí s průměrnou známkou 2,7. Určete aritmetický průměr průměrných známek z maturity ve všech třídách dohromady.

[2,3]


79

4) Spočítejte rozptyl a směrodatnou odchylku z tabulky rozdělení četností: a) xi

A

B

C

D

ni

25 12 42 16

[133,1875, 11,54] b) xi

1

2

3

4

ni

36 22 11 8

[22,1875, 4,71] 5) Kamila házela dvacetkrát po sobě šesti kostkami. V každém hodu si zaznamenala, kolikrát padla jednička. Rozdělení četností tohoto znaku je dáno tabulkou: a) Počet jedniček 0 1 četnost

2 3 4 5 6

2 10 6 1 1 0 0

b) Počet jedniček 0 1 2 3 4 5 6 četnost

2 8 4 3 2 1 0

Určete rozptyl a směrodatnou odchylku. [a) 11,452, 3,38, b) 8,58, 2,93]


80

Charakteristiky polohy a variability Varianta C Příklady: 1) Zuzana jela na kole navštívit svoji kamarádku. První polovinu cesty se pohybuje rychlostí 30 km//h, ale na jejím konci píchne a zbytek musí dojít pěšky. Zbytek cesty se pohybuje rychlosti 6 km/h. Určete průměrnou rychlost. 2) Návštěvnost plaveckého centra se během druhého roku provozu zvýšila o dvacet procent, další rok růst pokračoval, návštěvnost se zvýšila o dalších dvanáct procent. Jaký byl průměrný roční koeficient růstu návštěvnosti za první dva roky provozu? Řešení: 1) K výpočtu průměrné rychlosti je vhodné použít vzorec pro výpočet harmonického průměru. xH =

n 1 1 + x1 x 2

=

2 1 1 + 30 6

= 10

Zuzana se pohybuje průměrnou rychlostí 10km/h. 2) K určení průměrného tempa růstu používáme geometrický průměr. V tomto případě se jedná o dvě období. první rok + 20% druhý rok +12% xG =

n

x1 ⋅ K ⋅ x n = 1,2 ⋅ 1,12 = 1,159

Průměrný roční koeficient růstu za první dva roky provozu byl 1,159.

Příklad:

Výsledek řešení:

Varianta A

1) 10km/h

Varianta B

2) 1,159

Varianta C


81

Příklady k procvičení: 1) Karel svaří dva pláty kovu za dvě minuty, Pavlovi to trvá a minutu déle. Jak dlouho trvá v průměru svaření dvou plechů dohromady? Kolik plechů svaří oba muži za deset minut? [2,4] 2) Eva ozdobí jednu vánoční baňku za 5 minut, Alena to zvládne za 3 minuty a Vlastě to trvá 6 minut. Jak dlouho trvá v průměru ozdobení jedné baňky?

[4,29]

3) Helena si vyjela na výlet na koni. První polovinu vyjížďky se pohybuje rychlostí 12 km/h, ale kůň je unavený a musí zpomalit na rychlost 7 km/h. Jakou průměrnou rychlostí Helena na vyjížďce jede?

[8,84]

4) Závodník v běhu na 1500 metrů běží první kolo rychlostí 20 km/h, v druhé pětistovce zvolní na 18 km za hodinu a v poslední pětistovce se vzepne k rychlosti 25 km/h. Jakou průměrnou rychlostí závodník běžel?

[20,6]

5) Tabulka vyjadřuje růst cen jistých komodit v roce 1993 až 1997. Vypočtěte průměrné cenové indexy jednotlivých komodit za dané období (obdobím je míněn průměr podílů hodnot za dvě po sobě jdoucí období). Rok

1993

1994

Chléb

9,6

10,22 11,29 15,74 16,2

Pivo 10 5,8 Benzin

5,94

1995 6,19

1996 6,52

1997 6,88

18,79 19,13 19,05 20,99 22,19

[1,14, 1,03, 1,04] 6) Cena lístků na hokej se v první extraligové sezoně zvýšila o 70%. Další rok byly lístky znovu zdraženy o dalších 10%. Na další sezonu zůstala cena lístků stejná. Vypočtěte roční koeficient růstu ceny lístků za první tři extraligové sezony klubu.

[1,23]

82


Souhrnné příklady k procvičení 1) Tabulka udává pořadí mužstev florbalové ligy po 22 kolech. Určete: a) průměrný počet branek obdržených všemi mužstvy v jednom kole b) průměrný počet branek obdržených jedním mužstvem ve všech 22 kolech. pořadí mužstvo

Zápasy Výhry Remízy Prohry Skóre

Body

1.

Tatran

22

19

1

2

131:71

58

2.

Vítkovice

22

17

0

5

116:71

54

3.

Boleslav

22

15

2

5

131:98

46

4.

Chodov

22

12

2

8

123:99

42

5.

Bulldogs

22

11

3

8

110:92

37

6.

Future

22

11

1

10

110:99

34

7.

Liberec

22

10

1

11

93:125

30

8.

Sparta

22

8

3

11

113:128 26

9.

Ostrava

22

6

3

13

120:135 21

10.

Pardubice 22

3

4

15

82:110

18

11.

Havířov

22

4

4

14

80:123

17

12.

Znojmo

22

3

2

17

81:139

13

[a) 58,64,b) 107,5] 2) Určete, jak se změní aritmetický průměr, jestliže se každá hodnota zmenší o pět procent. [zmenší se také o pět procent] 3) Z prvního lomu je denně vytěženo 63 tun kamene, z druhého lomu se denně vytěží 58 tun kamene. Určete průměrný výnos z obou lomů, jestliže v prvním lomu těží kámen 12 dělníků a v druhé lomu ho těží 10 dělníků. [60,73] 4) Dokažte, že pokud vynásobíme každou hodnotu znaku třemi, tak směrodatná odchylka 2 ⎡ 1 n ⎛ ⎤ _ ⎞ ⎢ vzroste třikrát. ⋅ ∑ ⎜ 3 ⋅ x j − 3 ⋅ x ⎟ = 9 s x2 = 3s x ⎥ ⎢ n j =1 ⎝ ⎥ ⎠ ⎣ ⎦


83

5) Cheemické olym mpiády se zúúčastnilo 1221 studentů,, z nichž 23 získalo vícce než 50 bo odů. Zákkladní škola z Přítluk naa olympiáduu vyslala 12 2 dětí, z nichhž dva získaali více než padesát bodůů. Je výsleddek dětí z Přřítluk v počtu dětí, kterré mají více než 50 boddů, horší neb bo lepší než výsledek vššech účastnníků? [horší] 6) Graff udává uživvatele jednootlivých druuhů prohlížeečů mezi sku kupinou 57 2238 uživatelli. Sesttrojte příslušnou tabulkku rozděleníí četností a polygon p čettností. Ostatn ní 5%

prohlíížeče Safari 2%

Opera 5%

Mozilla M 10% Intern net Explorrer 46% % FFirefox 32%

[vý ýsledky] 7) V prrodejně sleddovali počett prodanýchh učebnic ciizího jazykaa v závislostti na obtížno osti (1., 2., 3.) 3 s tímto výsledkem: v 1., 2., 1., 3.,, 3., 3., 2., 1., 1 2., 1., 3., 2., 1., 3., 2., 2., 1., 3., 1. a) určete u rozsaah souboru b) Určete U absoolutní a relaativní četnossti znaku „o obtížnost“. [[a) 19, b) vý ýsledek ] 8) Krm mná směs prro koně bylaa smíchána ze dvou dru uhů krmiva a to v poměěru 10 kg z prvního pytle v ceně 250 kč/kg a 15 kg z druhhého pytle v ceně 190 kč/kg. k Jaká bbude cena 1 kg směěsi? [214] 9) Koliik kilogram mů kukuřice v ceně 25 kč/kg k musím me smíchat s 10 kg kvaalitnější kuk kuřice v ceeně 48 kč/kgg, aby 1 kg výsledné v sm měsi byl za cenu 35 kč//kg. [13]

84


10) Házíme kostkou, než padne šestka. Znak x udává, v kolikátém hodu se to stalo. Pokus opakujeme 25krát. Toto opakování dalo následující tabulku: Počet hodů potřebných na hození šestky 1 2 3 4 četnost

5

3 5 5 10 2

a) vypočítejte aritmetický průměr a medián b) Porovnejte relativní četnosti s příslušnými pravděpodobnostmi. [a) 3,12, 3, b) výsledek ] 11) V tabulce je uveden index spotřebitelských cen v procentech oproti minulému měsíci. Jaké bylo průměrné měsíční tempo růstu cen? Měsíc l Index

ú

b

d

k

č

čc

s

z

ř

ld

p

102 103 104 105 102 106 107 108 102 101 100 104

[103,6%] 12) Novákovi spotřebovali za 4 měsíce 20, 25, 22, 20 kilogramů masa. Novotní spotřebovali 10, 12, 15, 32 kilogramů masa. O kolik se lišila průměrná spotřeba mezi oběma rodinami? [4,5 kg] 13) Spočítejte zvýšení ceny určité komodity za 9 let v procentech při ročním koeficientu růstu a) 1,025 b) 1,032 [a) 24,9%, b) 32,8%]


Souhrnné příklady k procvičení - výsledky 6) prohlížeč

Internet Explorer Firefox Opera Mozilla Safari Ostatní

četnost

26329


18316

2862

5724

1145

2862

32%

5%

10%

2%

5%

Četnost užívání jednotlivých druhů prohlížečů 30000

četnost

25000 20000 15000 10000 5000 0 Internet explorer

Firefox

Opera

Mozilla

Safari

Ostatní

prohlížeč

7b Obtížnost

1.

2.

3.

Četnost

7

6

6

Relativní četnost 36,8% 31,6% 31,6%

10b Počet hodů potřebných na hození šestky 1

2

3

4

5

Relativní četnost

12%

20%

20%

40%% 8%

P (xi )

16,7%% 13,9% 11,6% 9,6%

8%

85

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Recommend Documents