Jaroslav Michálek A STATISTIKA

ˇ ´ Í VUT BRNO • FAKULTA STROJNÍHO INZEN YRSTV

´ lek Jaroslav Micha ˇ PRAVDEPODOBNOST A STATISTIKA

BRNO 2006

preprint

Kapitola 1 ´ Uvod Prudký rozvoj výpoˇcetn´ı techniky, jehoˇz jsme v posledn´ıch desetilet´ıch svˇedky, podstatnˇe zasahuje a ovlivˇ nuje vˇsechny stránky naˇseho ˇzivota. V souˇcasné dobˇe je velmi snadné poˇr´ıdit a shromáˇzdit velké mnoˇzstv´ı u ´ daj˚ u o prvc´ıch rozsáhlých soubor˚ u, které jsou stˇredem naˇseho zájmu ˇci výzkumu. Takové u ´daje ˇcasto maj´ı charakter ˇ hromadných dat. R´ıkáme, ˇze hromadná data jsou výsledkem pozorován´ı tzv. hromadn´ ych jev˚ u, tedy jev˚ u, které sledujeme na velkých skupinách prvk˚ u, pˇriˇcemˇz nen´ı naˇs´ım c´ılem analyzovat, jaký jev byl pozorován u toho kterého prvku, ale naopak popsat sledovaný jev z hlediska anonymn´ıho prvku uvaˇzovaného souboru. Je-li napˇr. pˇredmˇetem naˇseho zájmu sledován´ı nezamˇestnanosti v daném souboru obyvatel, nezaj´ımá nás pˇri zkoumán´ı tohoto hromadného jevu, zda daná osoba sledovaného souboru je ˇci nen´ı nezamˇestnaná, ale zaj´ımáme se o to, jakou ˇsanci má daná anonymn´ı osoba v tomto souboru být zamˇestnána. K z´ıskán´ı urˇcitých poznatk˚ u a vysloven´ı závˇer˚ u o zkoumaném jevu nestaˇc´ı jednotlivá pozorován´ı, ale jsou nutná pozorován´ı hromadná, jejichˇz výsledkem je hromadný jev. Analýzou hromadných jev˚ u o sledovaném souboru je moˇzné z´ıskat velké mnoˇzstv´ı informace, kterou lze vyuˇz´ıt pˇri dalˇs´ım rozhodován´ı. Snahu shromaˇzd’ovat hromadná data a analyzovat hromadné jevy lze pozorovat jiˇz v dávné historii. Jedny z prvn´ıch hromadných jev˚ u, které byly v minulosti sledovány, byly u ´ daje o popisu státu”, tedy u ´ daje spoˇc´ıvaj´ıc´ı ve zobrazen´ı daného zemˇepisného, ” hospodáˇrského a politického stavu. Protoˇze status” je stav, ale také stát (stav ” spoleˇcenstv´ı), ujal se pojem statistika pro ˇcinnosti, souvisej´ıc´ı se shromaˇzd’ován´ım hromadných dat a analýzou hromadných jev˚ u. Jedno z prvn´ıch státovˇedných dˇel, kde je moˇzno pozorovat vznik statistiky jako oboru lidské ˇcinnosti, je d´ılo Francesca Sansoviny: Del governo et amministratione di diversi regni (O vládˇe a správˇe v r˚ uzných královstv´ıch), které vyˇslo v Benátkách v roce 1562. V 17. a 18. stolet´ı vznikla ˇrada státovˇedných dˇel zejména v Nˇemecku (Veit Ludwig von Seckendorff, Hermann Conring, Gottfried Achenwall). Tito autoˇri pˇristupovali ke statistice jako k popisné státovˇedˇe. Jejich pˇr´ıstupy ke statistice lze dodnes naj´ıt ve statistických roˇcenkách 1

2 ˇrady stát˚ u, kde se nejdˇr´ıve uvád´ı ˇrada geografických u ´ daj˚ u (napˇr. rozloha, hustota populace, nejvyˇsˇs´ı vrcholy apod). Jiný pˇr´ıstup ke statistice vznikal paralelnˇe v této dobˇe v Anglii. Graunt a Petty zaloˇzili smˇer statistiky zvaný politická aritmetika”. ” Jej´ım c´ılem byla evidence u ´ daj˚ u o narozen´ıch a u ´ mrt´ıch obyvatel a snaha provádˇet srovnán´ı tˇechto u ´ daj˚ u a popsat ˇc´ıselný vývoj obyvatelstva pro delˇs´ı ˇcasové obdob´ı. V 18. stolet´ı byl dalˇs´ı rozvoj statistiky ovlivnˇen rozvojem matematiky a zejména pravdˇepodobnosti. Prvn´ı myˇslenkové koncepce smˇerem k modern´ı statistice lze nalézt v d´ıle belgického autora Adolpha Quételeta, kde z hromadných biologických dat o lidské populaci stanovil typ pr˚ umˇerného ˇclovˇeka” ( homme moyen”) a nast´ınil ” ” tak základ pro budouc´ı statistiku - koncepci normáln´ıho rozdˇelen´ı, stˇredn´ı hodnoty a rozptylu. V 18. a 19. stolet´ı byl dalˇs´ı vývoj statistiky zásadnˇe ovlivnˇen pracemi významných matematik˚ u, zejména pracemi bratˇr´ı Bernoulli˚ u, Eulera, Laplace, de Moivrea, Gausse a Bayese. Jejich výsledky mˇely pro dalˇs´ı rozvoj tzv. matematické statistiky zásadn´ı ´ ı statistik˚ význam. Usil´ u v 19. a v prvn´ı polovinˇe 20. stolet´ı bylo vˇenováno analýze hromadných jev˚ u a zamˇeˇreno na statistickou indukci, tedy na statistické usuzován´ı z výbˇerového souboru na základn´ı soubor, z nˇehoˇz byl výbˇer poˇr´ızen. U zrodu matematických metod poˇrizovaných k provádˇen´ı statistické indukce stáli ruˇst´ı ˇ matematici Cebyˇ sev, Ljapunov a Markov. Zásadn´ım zp˚ usobem pak vývoj statistiky ovlivnila anglo – americká ˇskola, zejména práce R. A. Fishera, J. Neymanna a E. S. Pearsona. Metody zpracován´ı statistických dat, které vycházej´ı z jejich prac´ı, jsou dodnes hojnˇe vyuˇz´ıvány a s jejich jmény je moˇzno se setkat v prakticky kaˇzdém kurzu modern´ı statistiky. Vývoj modern´ıch statistických metod ve druhé polovinˇe minulého stolet´ı byl orientován do rozvoje speciáln´ıch obor˚ u statistiky. Jedn´ım z tˇechto obor˚ u jsou tzv. neparametrické statistické metody, jehoˇz spoluzakladatelem je ˇceský matematik – statistik J. Hájek. Koneˇcnˇe posledn´ı rozvoj a pouˇzit´ı statistických technik je vázáno na rozvoj poˇc´ıtaˇc˚ u, rychle se rozv´ıj´ı pomˇernˇe nový obor – poˇc´ıtaˇcová statistika (computional statistics). D˚ usledkem je, ˇze k dispozici je velká ˇrada softwareových produkt˚ u, obsahuj´ıc´ıch velmi ˇsirokou paletu statistických metod, urˇcených r˚ uzným uˇzivatel˚ um – podle stupnˇe jejich statistické vyspˇelosti. Z uvedeného struˇcného historického pˇrehledu vývoje statistiky je dobˇre patrné jej´ı ˇclenˇen´ı. Statistika vznikla jako státovˇeda”, ale v souˇcasné dobˇe slovo statistika ” chápeme ve v´ıce významech. Statistikou pˇredevˇs´ım rozum´ıme: a) ˇc´ıselné u ´ daje o hromadných jevech b) praktickou ˇcinnost spoˇc´ıvaj´ıc´ı ve sbˇeru, zpracován´ı a vyhodnocován´ı statistických u ´ daj˚ u

3 c) teoretickou vˇedn´ı discipl´ınu, která se zabývá metodami pro analýzu hromadných jev˚ u a statistickou indukc´ı, tedy statistickým usuzován´ım, jak informaci z´ıskanou náhodným výbˇerem ze základn´ıho souboru zpˇet zobecnit na základn´ı soubor. V tˇechto skriptech budeme pˇredevˇs´ım vycházet z pojet´ı statistiky uvedené v pˇredcházej´ıc´ım bodˇe c) a statistiku budeme chápat jako vˇedn´ı obor. Jeho souˇcást´ı je tzv. popisn´ a statistika, která se pˇredevˇs´ım zabývá popisem statistických dat pomoc´ı r˚ uzných tabulek, graf˚ u, diagram˚ u a pomoc´ı r˚ uzných funkcionáln´ıch charakteristik, které lze z datových soubor˚ u snadno stanovit pomoc´ı elementárn´ıch matematických prostˇredk˚ u. C´ılem tohoto statistického popisu je zpˇrehlednˇen´ı informace obsaˇzené v datových souborech (ˇcasto velmi rozsáhlých). Dalˇs´ı souˇcást´ı statistiky jako vˇedn´ıho oboru je tzv. matematick´ a statistika, která matematickými prostˇredky, zejména pomoc´ı teorie pravdˇepodobnosti, systematicky buduje metody pro analýzu statistických dat a pro provádˇen´ı statistické indukce. Souˇcást´ı matematické statistiky je a) teorie odhadu, která se zabývá metodami pˇribliˇzného stanoven´ı (odhadem) parametr˚ u základn´ıho souboru (výchoz´ı populace) pomoc´ı dat z´ıskaných náhodným výbˇerem. Studuj´ı se r˚ uzné pˇr´ıstupy ke z´ıskán´ı tˇechto odhad˚ u a konstruuj´ı se odhady bodové a intervalové. b) testov´ an´ı statistick´ ych hypot´ ez, kde jsou vytváˇreny matematické postupy pro ovˇeˇren´ı hypotéz o základn´ım souboru a rozv´ıj´ı se metody pro srovnán´ı statistických soubor˚ u z r˚ uzných hledisek. c) statistick´ a predikce, kde se rozv´ıjej´ı statistické techniky umoˇzn ˇ uj´ıc´ı na základˇe sledované dynamiky nˇejakého hromadného jevu kvalifikovanˇe odhadnout jeho budouc´ı vývoj. Koneˇcnˇe dalˇs´ımi d˚ uleˇzitými speciáln´ımi statistickými obory, s nimiˇz se ˇctenáˇr tˇechto skript jistˇe setká, je ekonomick´ a statistika, která se zabývá metodami popisné statistiky a matematické statistiky pro zpracován´ı pˇredevˇs´ım národohospodáˇrských dat. Dále v´ ypoˇ cetn´ı statistika, která se zabývá rozvojem výpoˇcetn´ıch metod matematické statistiky a konstrukc´ı poˇc´ıtaˇcovˇe orientovaných nových statistických postup˚ u napˇr. konstrukce nových algoritm˚ u pro z´ıskán´ı informace z dat (tzv. data ” mining” technologie) a koneˇcnˇe vytváˇren´ım nových velkých softwareových produkt˚ u pro statistickou analýzu rozsáhlých statistických dat nebo statistických dat speciáln´ıch vlastnost´ı. Jak bylo ˇreˇceno slouˇz´ı soudobá statistika k z´ıskáván´ı informac´ı z rozsáhlých datových soubor˚ u. Pouˇz´ıvá pˇritom postup˚ u, které vycházej´ı z matematické statistiky a jsou zamˇeˇreny na z´ıskán´ı optimáln´ı informace z dat a ˇsiroká je také nab´ıdka softwareových produkt˚ u, které zpˇr´ıstupˇ nuj´ı tyto pomˇernˇe sloˇzité statistické metody prakticky vˇsem

4 zájemc˚ um o jejich pouˇzit´ı. V této situaci je lehce moˇzné zvolit pro zpracován´ı daného souboru dat metodu, která nen´ı optimáln´ı nebo dokonce metodu, která informaci o datovém souboru zkresl´ı. M˚ uˇze se to stát tak, ˇze uˇzivatel tˇechto metod dostateˇcnˇe nerozum´ı pouˇz´ıvané metodˇe ˇci vstup˚ um a výstup˚ um pouˇz´ıvaného softwareového produktu nebo dokonce zámˇernˇe a s ohledem na sledován´ı vlastn´ıch c´ıl˚ u, komentuje výsledek statistického zkoumán´ı tak, aby tento výsledek podpoˇril jeho argumenty. Pˇr´ıklad˚ u pouˇzit´ı statistiky ke z´ıskáván´ı zkreslených závˇer˚ u je celá ˇrada. Zde uvedeme ilustrativn´ı pˇr´ıklad z knihy [17, str.45-47], která pˇribliˇzuje bohatost a krásu statistiky ˇctenáˇri s menˇs´ı nebo ˇzádnou pˇredstavou o statistice. Pˇr´ıklad je také struˇcnˇe popsán v u ´ vodu citované knihy na str. 9, autorem u ´ vodu je R. Frische, nositel Nobelovy ceny. Z tohoto u ´ vodu cituji: Pˇr´ıbˇeh muˇze, který zamýˇsl´ı koupit ve Zbohatl´ıkovˇe pozemek. Tento muˇz dostane r˚ uzné, vzájemnˇe zcela si odporuj´ıc´ı u ´daje o pr˚ umˇerném roˇcn´ım pˇr´ıjmu obyvatel Zbohatl´ıkova. Zprostˇredkovatel uvedl 82 320 tolar˚ u a vysvˇetloval, ˇze 20 % obyvatel prý má pr˚ umˇerný roˇcn´ı pˇr´ıjem 309 400 tolar˚ u. Bankovn´ı ˇreditel informoval, ˇze v´ıce neˇz polovina obyvatel má roˇcn´ı pˇr´ıjem pˇres 29 000 a nejˇcastˇejˇs´ı roˇcn´ı pˇr´ıjem je asi 18 000 tolar˚ u. M´ıstn´ı uˇcitel, velmi zbˇehlý ve statistice, tvrdil, ˇze vˇetˇsina obyvatel m´ a pˇr´ıjem niˇzˇs´ı neˇz 7 500 tolar˚ u. A nakonec statistický u ´ˇrad na dotaz sdˇelil, ˇze vˇsechny tyto zdánlivˇe si tak odporuj´ıc´ı u ´daje jsou pravdivé. Vysvˇetlilo se to t´ım, ˇze v tomto malém mˇestˇe bydlel milionáˇr a ˇze matematické vlastnosti medi´ anu, aritmetického pr˚ umˇeru, harmonického pr˚ umˇeru, geometrického pr˚ umˇeru a nejˇcetnˇejˇs´ı hodnoty souboru se navzájem podstatnˇe liˇs´ı. V souvislosti s uvedeným pˇr´ıkladem je u ´ˇcelné uvést ˇcasto parafrázovaný v´ıce neˇz 100 rok˚ u starý výrok o statistice, nejˇcastˇeji pˇrisuzovaný Benjaminu Disraelimu: Jsou tˇri druhy lˇz´ı: lˇzi, odsouzenihodné lˇzi a statistiky. Je s podivem, ˇze se ˇcasto tento výrok cituje nekriticky, bez znalosti nebo témˇeˇr bez znalosti toho, co vlastnˇe statistika je. Nav´ıc uvedený pˇr´ıklad velmi názornˇe ukazuje, ˇze statistická data lze interpretovat r˚ uznými subjektivn´ımi zp˚ usoby a aby se ˇctenáˇr dobˇre orientoval v r˚ uzných moˇznostech takové interpretace, má smysl zabývat se statistickou teori´ı hloubˇeji. C´ılem tˇechto skript je uvést ˇctenáˇre do základn´ıch technik popisné statistiky a pomoc´ı n´ı motivovat základn´ı pojmy pravdˇepodobnostn´ıho poˇctu. Dále vyloˇzit základy teorie pravdˇepodobnosti v rozsahu, který umoˇzn´ı studovat modern´ı metody matematické statistiky a umoˇzn´ı zvládnut´ı základn´ıch postup˚ u pouˇz´ıvaných pˇri vyhodnocován´ı zejména národohospodáˇrských dat a dat v oblasti sociálnˇe správn´ı. Tedy studovat bez problému metody a postupy ekonomické statistiky a umˇet je uˇz´ıt pˇri ˇreˇsen´ı konkrétn´ıch praktických u ´ loh.

Kapitola 2 Pravdˇ epodobnost a ˇ cetnost 2.1

N´ ahodn´ y pokus a n´ ahodn´ y jev

Základn´ım pojmem, z nˇehoˇz budeme vycházet, je pojem pokus. Pokusem budeme rozumˇet uskuteˇcnˇen´ı urˇcitého souboru podm´ınek. Podle toho, zda výsledek pokusu je moˇzné z realizovaných podm´ınek pokusu jednoznaˇcnˇe urˇcit nebo nikoliv, rozdˇelujeme pokusy na pokusy deterministick´ e a na pokusy stochastick´ e neboli n´ ahodn´ e. Deterministické pokusy jsou takové pokusy, kdy oˇcekávaný výsledek se dostav´ı vˇzdy, kdyˇz jsou správnˇe dodrˇzeny podm´ınky pokusu. Typickými pˇr´ıklady takových pokus˚ u jsou ˇskolské pokusy provádˇené ve fyzice nebo chemii. Napˇr. pˇri zahˇrát´ı vody na 100 ◦ C pˇri atmosférickém tlaku 760 torr˚ u vˇzdy pozorujeme, ˇze voda vˇre. Nebo pˇri ponoˇren´ı elektrod do roztoku CuSO4, zaˇcne se na katodˇe hromadit mˇed’. Oˇcekávaný výsledek se nedostav´ı jen tehdy, kdyˇz nejsou správnˇe dodrˇzeny podm´ınky pokusu. Naproti tomu náhodné (stochastické) pokusy jsou takové pokusy, kdy realizace podm´ınek pokusu m˚ uˇze vyvolat r˚ uzné následky, výsledek pokusu nen´ı jednoznaˇcnˇe urˇcen jeho podm´ınkami. Pˇri opakovaném provádˇen´ı daného náhodného pokusu, se z´ıskané výsledky chaoticky mˇen´ı, nelze je pˇredpovˇedˇet ani pˇresto, ˇze podm´ınky takového pokusu jsou pˇr´ısnˇe dodrˇzovány. Na výsledek pokusu maj´ı vliv také náhodn´ı ˇcinitelé, kteˇr´ı jsou mimo naˇsi kontrolu. Takové pokusy se velmi podobaj´ı u ´ kon˚ um z hazardn´ıch her jako je házen´ı hrac´ımi kostkami nebo mincemi, rozdáván´ı karet, tahán´ı los˚ u z osud´ı ˇci roztáˇcen´ı kola rulety. Pokusy z uvedené oblasti se pro ilustraci základn´ıch princip˚ u pravdˇepodobnostn´ı teorie zvláˇst hod´ı pro malý poˇcet moˇzných výsledk˚ u, jejich jednoduchý a pˇresný popis a dokonalou znalost podm´ınek pokusu. V mnoha odvˇetv´ıch lidské ˇcinnosti bývá pˇredstava pokusu nejˇcastˇeji spojována s výzkumnou ˇcinnost´ı. My budeme pojem pokusu, zejména náhodného pokusu, chápat mnohem ˇs´ıˇreji, napˇr. nab´ıdka zboˇz´ı zákazn´ıkovi, stanoven´ı délky fronty u nˇejakého zaˇr´ızen´ı hromadné obsluhy, poskytnut´ı sluˇzby, zjiˇstˇen´ı hodnoty kurzu koruny k euru, 5

6 výbˇer respondenta pro pr˚ uzkum poptávky, velikost u ´ rody v dané oblasti apod. Dále budeme uvaˇzovat pevnˇe daný náhodný pokus. Jakékoliv tvrzen´ı o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze po uskuteˇcnˇen´ı pokusu jednoznaˇcnˇe rozhodnout, zda pˇri dané realizaci pokusu je ˇci nen´ı pravdivé, nazveme n´ ahodn´ ym jevem. Spoˇc´ıvá-li náhodný pokus v nab´ıdce zboˇz´ı zákazn´ıkovi, m˚ uˇze být pˇr´ıkladem náhodného jevu skuteˇcnost, ˇze zákazn´ık nab´ızené zboˇz´ı zakoupil. Je-li uvaˇzovaným náhodným pokusem zjiˇstˇen´ı hodnoty kurzu korunu k euru, m˚ uˇze být náhodným jevem tvrzen´ı, ˇze kurz pˇrekroˇcil hodnotu 30 korun za 1 euro apod. V teorii pravdˇepodobnosti je c´ılem ˇc´ıselnˇe ohodnotit náhodné jevy tak, abychom se mohli pˇri opakovaném provádˇen´ı pokusu lépe orientovat v tvrzen´ıch typu jev ” nastává velmi ˇcasto” nebo jev prakticky nenastává” ˇci jev nastává pomˇernˇe ˇcasto” ” ” ˇ ıselnou kvantifikaci náhodných jev˚ apod. C´ u chceme provést v souladu s naˇsimi zkuˇsenostmi. Budeme pˇredpokládat, ˇze daný pokus lze libovolnˇekrát nezávisle opakovat. Jednotlivé realizace pokus˚ u mohou p˚ usobit zcela chaoticky, ale pˇri pozorován´ı velkého poˇctu tˇechto realizac´ı, tedy pˇri tzv. hromadném pozorován´ı, se mohou objevit zjevné zákonitosti. Tak napˇr´ıklad, kdyˇz budeme opakovanˇe házet minc´ı, zjist´ıme, ˇze l´ıc padá pˇribliˇznˇe v padesáti procentech hod˚ u. Budeme-li opakovanˇe házet kostkou, zjist´ıme, ˇze ˇc´ıslo 6 padá pˇribliˇznˇe v 16,66 % hod˚ u. Budeme-li sledovat poˇcty narozených chlapc˚ u v daném státˇe, bude jejich pomˇer k poˇctu vˇsech narozených dˇet´ı kol´ısat kolem dané hodnoty (tˇreba bl´ızké jedné polovinˇe). Viz Tab. 2.1. pˇrevzatá z [4]. Rok Celkový poˇcet narozených dˇet´ı Poˇcet narozených chlapc˚ u Relativn´ı ˇcetnost

1927

1928

1929

1930

1931

1932

958 733 990 993 994 101 1 022 811 964 573 934 663

496 544 513 654 514 765

528 072

496 986 482 431

0,5179

0,5163

0,5152

0,5183

0,5178

0,5162

Tabulka 2.1: Tabulka Pˇrehled dˇet´ı narozených v Polsku v letech 1927–1932 Kdyˇz pro uvaˇzovaný náhodný jev plat´ı, ˇze pˇri dlouhodobých nezávislých opakován´ıch pokusu se relativn´ı ˇ cetnost nastoupen´ı daného jevu, tj. pomˇer poˇctu nastoupen´ı sledovaného jevu a poˇctu opakován´ı pokusu, ustaluje kolem pevných hodnot, ˇr´ıkáme, ˇze relativn´ı ˇcetnosti tohoto jevu jsou statisticky stabiln´ı. Jsou-li statisticky stabiln´ı relativn´ı ˇcetnosti vˇsech v daném pokusu uvaˇzovaných náhodných jev˚ u, mluv´ıme o statisticky stabiln´ım n´ ahodn´ em pokuse. V teorii pravdˇepodobnosti se potom zabýváme matematickým modelován´ım statisticky stabiln´ıch pokus˚ u. V prvn´ı ˇradˇe jde o ˇc´ıselné ohodnocen´ı jednotlivých statisticky stabiln´ıch jev˚ u, které by bylo

7 v souhlasu s vlastnostmi relativn´ıch ˇcetnost´ı. Toto kvantitativn´ı ohodnocen´ı povede k zaveden´ı pravdˇepodobnosti. Dˇr´ıve neˇz pˇrikroˇc´ıme k definici pravdˇepodobnosti náhodných jev˚ u, pop´ıˇseme základn´ı operace, které m˚ uˇzeme s náhodnými jevy provádˇet.

2.2

Operace s n´ ahodn´ ymi jevy

V pˇredchoz´ım odstavci jsme zavedli náhodný jev jako tvrzen´ı o výsledku náhodného pokusu, o nˇemˇz lze po proveden´ı pokusu jednoznaˇcnˇe ˇr´ıci, zda je pravdivé ˇci nikoliv. V tomto textu budeme dále s náhodnými jevy pracovat. Pro struˇcnˇejˇs´ı vyjadˇrován´ı budeme m´ısto u ´ slov´ı náhodný jev ˇr´ıkat pouze jev. Dále budeme jevy znaˇcit velkými p´ısmeny ze zaˇcátku abecedy, pˇr´ıpadnˇe s indexy. Napˇr. A, B, A1 , A2 , . . . , An , B0 , C apod. V dalˇs´ı práci s jevy budeme potˇrebovat zavést dva speciáln´ı jevy: Jev jist´ y, který nutnˇe nastane pˇri kaˇzdém proveden´ı pokusu. Budeme jej znaˇcit Ω. Jev nemoˇ zn´ y, který nem˚ uˇze v daném pokusu nikdy nastat, oznaˇc´ıme jej ∅. Dále zavedeme dva vztahy mezi jevy: Implikace – ˇrekneme, ˇze jev A implikuje jev B nebo ekvivalentnˇe, ˇze jev A m´ a za n´ asledek jev B, jestliˇze jev B nastane vˇzdy, kdyˇz nastane jev A. Vztah jev A má za následek jev B” oznaˇc´ıme A ⊂ B. ” Ekvivalence – ˇrekneme, ˇze jevy A a B jsou si rovny nebo téˇz, ˇze jevy A a B jsou ekvivalentn´ı, kdyˇz A ⊂ B a zároveˇ n B ⊂ A. Rovnost jev˚ uAaB oznaˇc´ıme A = B. Protoˇze jevy pˇredstavuj´ı výroky o výsledc´ıch pokusu, lze vytváˇret nové výroky tedy jevy pomoc´ı logických spojek. Zavád´ıme tak následuj´ıc´ı jevy: Sjednocen´ı jev˚ u. Jsou-li A1 , A2 , . . . , An jevy, pak jev, který nastane, právˇe kdyˇz nastane alespoˇ n jeden z jev˚ u A1 , A2 , . . . , An , nazveme sjednocen´ u S ım jev˚ A1 , A2 , . . . , An a budeme jej znaˇcit A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An nebo téˇz ni=1 Ai . Sjednocen´ı jev˚ u m˚ uˇze obsahovat i nekoneˇcný poˇcet jev˚ u. Je-li jich spoˇcetný poˇcet, tj. lze je uspoˇrádatSdo nekoneˇcné posloupnosti A1 , A2 , . . ., budeme jejich sjednocen´ı oznaˇcovat ∞ i=1 Ai .

Pr˚ unik jev˚ u. Jsou-li A1 , A2 , . . . , An jevy, pak jev, který nastane, právˇe kdyˇz v realizaci pokusu nastane kaˇzdý z jev˚ u A1 , A2 , . . . , An , nazveme pr˚ u T unikem jev˚ A1 , A2 , . . . , An a oznaˇc´ıme jej A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An nebo téˇz ni=1 Ai . Tedy

8 pr˚ unik jev˚ u A1 , A2 , . . . , An znaˇc´ı souˇcasný výskyt vˇsech u A1 , A2 , . . . , An . T∞jev˚ Pro spoˇcetnou posloupnost jev˚ u A1 , A2 , . . . , oznaˇcme i=1 Ai jejich pr˚ unik.

Rozd´ıl jev˚ u. Jsou-li A1 a A2 jevy, pak rozd´ılem jev˚ u A1 a A2 rozum´ıme jev, který nastane, právˇe kdyˇz jev A1 nastane a zároveˇ n jev A2 nenastane. Rozd´ıl jev˚ u A1 a A2 oznaˇc´ıme A1 − A2 . Dále zavedeme: Jev opaˇ cn´ y k jevu A. Je to jev, který nastane právˇe tehdy, kdyˇz nenastane jev A. Budeme jej znaˇcit A. Jev opaˇcný se nˇekdy nazývá jev komplement´ arn´ı nebo téˇz jev doplˇ nkov´ y. ˇ Nesluˇ citeln´ e jevy. Rekneme, ˇze jevy A1 a A2 jsou nesluˇcitelné, jestliˇze nemohou nastat souˇcasnˇe, tj. v pˇr´ıpadˇe, ˇze jejich pr˚ unik je nemoˇzný jev. Tedy plat´ı, ˇze A1 ∩ A2 = ∅. Nˇekdy m´ısto rˇcen´ı, ˇze A1 a A2 jsou nesluˇcitelné jevy ˇr´ıkáme, ˇze jevy A1 a A2 se vz´ ajemnˇ e vyluˇ cuj´ı nebo ˇze jsou disjunktn´ı. ˇ Rozklad jevu A. Rekneme, ˇze jevy A1 , A2 , . . . , An tvoˇr´ı rozklad jevu A, jestliˇze kaˇzdé dva jsou nesluˇcitelnéStj. Ai ∩ Aj = ∅ pro i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n a jejich sjednocen´ı tvoˇr´ı jev A, tj. ni=1 Ai = A.

Pˇri práci s jevy lze ˇcasto s výhodou pouˇz´ıt nˇekterý z následuj´ıc´ıch vzorc˚ u

Vyj´ adˇ ren´ı opaˇ cn´ eho jevu k pr˚ uniku. Pro libovolné jevy A1 , A2 , . . . , An plat´ı n \

i=1

Ai =

n [

Ai

i=1

Vyj´ adˇ ren´ı opaˇ cn´ eho jevu ke sjednocen´ı. Pro libovolné jevy A1 , A2 , . . . , An plat´ı n n [ \ Ai = Ai i=1

i=1

Posledn´ı dva uvedené vzorce plat´ı i pro spoˇcetné sjednocen´ı a spoˇcetný pr˚ unik jev˚ u. V teorii mnoˇzin se tyto vzorce nazývaj´ı de Morganova pravidla. Dále lze snadno nahlédnout, ˇze pˇri práci s jevy lze s výhodou pouˇz´ıvat Komutativn´ı z´ akony: A1 ∪ A2 = A2 ∪ A1 a A1 ∩ A2 = A2 ∩ A1 Asociativn´ı z´ akony: (A1 ∪ A2 ) ∪ A3 = A1 ∪ (A2 ∪ A3 ) a (A1 ∩ A2 ) ∩ A3 = A1 ∩ (A2 ∩ A3 )

9 Distributivn´ı z´ akony: (A1 ∪ A2 ) ∩ A3 = (A1 ∩ A3 ) ∪ (A2 ∩ A3 ) a (A1 ∩ A2 ) ∪ A3 = (A1 ∪ A3 ) ∩ (A2 ∪ A3 ) Vyj´ adˇ ren´ı rozd´ılu pomoc´ı pr˚ uniku: A1 − A2 = A1 ∩ A2 . Pozorný ˇctenáˇr si jistˇe vˇsimnul, ˇze terminologie pouˇzitá pˇri práci s jevy d˚ uslednˇe odpov´ıdá mnoˇzinové terminologii a rovnˇeˇz uˇzité oznaˇcen´ı jevových operac´ı je stejné jako bˇeˇznˇe uˇz´ıvané oznaˇcen´ı mnoˇzinových operac´ı. V dalˇs´ım textu ukáˇzeme, ˇze tato shoda nen´ı náhodná, zavedeme pojem elementárn´ıho jevu a pˇrejdeme k mnoˇzinovému vyjádˇren´ı (náhodného) jevu. Element´ arn´ı jev. Jev A nazveme elementárn´ım jevem, jestliˇze neexistuj´ı jevy B a C r˚ uzné od A takové, ˇze A = B ∪ C. To znamená, ˇze jev A nelze vyjádˇrit jako sjednocen´ı dvou jiných jev˚ u r˚ uzných od A. Jinými slovy, elementárn´ı jev A nelze dále rozloˇzit a rozum´ı se j´ım nejjednoduˇsˇs´ı moˇzný” výsledek pokusu. El” ementárn´ı jevy budeme znaˇcit ˇreckým p´ısmenem ω pˇr´ıpadnˇe s indexem (napˇr. ω1 nebo ωi apod.). Prostor element´ arn´ıch jev˚ u. Mnoˇzinu vˇsech elementárn´ıch jev˚ u, které mohou nastat jako výsledek daného náhodného pokusu, naz´ yváme prostorem elementárn´ıch jev˚ u. Budeme jej znaˇcit Ω. Prostor elementárn´ıch jev˚ u m˚ uˇze být koneˇcná mnoˇzina, tedy Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } nebo nekoneˇcná spoˇcetná mnoˇzina tvoˇrená posloupnostmi prvk˚ u, tedy Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , . . .} nebo nekoneˇcná nespoˇcetná mnoˇzina daná nˇejakou vlastnost´ı V elementárn´ıch jev˚ u, pak p´ıˇseme Ω = {ω : ω maj´ı vlastnost V }. Je-li Ω prostor elementárn´ıch jev˚ u, pak libovolný jev A lze chápat jako podmnoˇzinu mnoˇziny Ω tj. A ⊂ Ω. Dˇr´ıve provedené jevové operace (sjednocen´ı, pr˚ unik, rozd´ıl, komplement) pˇresnˇe odpov´ıdaj´ı známým mnoˇzinovým operac´ım (sjednocen´ı, pr˚ unik, rozd´ıl, komplement), jev nemoˇzný ∅ odpov´ıdá prázdné mnoˇzinˇe, tedy mnoˇzinˇe, která nemá ˇzádné prvky, jev jistý je roven prostoru elementárn´ıch jev˚ u Ω. Proto v dalˇs´ım lze na náhodné jevy pohl´ıˇzet jako na podmnoˇziny prostoru elementárn´ıch jev˚ uΩa lze nimi provádˇet vˇsechny známé mnoˇzinové operace. Vybrané pojmy budeme ilustrovat na pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklad 2.1 Náhodný pokus spoˇc´ıvá v jednom hodu ideáln´ı hrac´ı kostkou. Budeme uvaˇzovat následuj´ıc´ı náhodné jevy. A1 . . . padne sudé ˇc´ıslo A2 . . . padne liché ˇc´ıslo B2 . . . padne ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz dva B3 . . . padne ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz tˇri C . . . nepadne liché ˇc´ıslo

10 Ei . . . padne ˇc´ıslo i, i = 0, 1, 2 . . . , 6, 7. Lze snadno vzhlénout, ˇze pro uvedené jevy plat´ı: E0 a E7 jsou jevy nemoˇzné S Ω = E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 ∪ E5 ∪ E6 = 6i=1 Ei je jev jistý B2 ⊂ B3 , tj. B2 má za následek B3 B2 = E3 ∪ E4 ∪ E5 ∪ E6 . . . padne ˇc´ıslo vˇetˇs´ı nebo rovno neˇz 3 B3 = E4 ∪ E5 ∪ E6 . . . padne ˇc´ıslo vˇetˇs´ı nebo rovno neˇz 4 B3 ⊂ B2 tj. B3 má za následek B2 B2 = E1 B2 a E1 jsou ekvivalentn´ı, B1 ⊂ E1 a zároveˇ n E1 ⊂ B2 A1 = C tj. A1 a C jsou ekvivalentn´ı jevy, protoˇze A1 ⊂ C a C ⊂ A1 . A2 ∩ B2 = E1 tj. A2 ∩ B2 je jev, ˇze padne ˇc´ıslo 1 A1 ∩ A2 = ∅ tj. A1 a A2 nemohou nastat souˇcasnˇe, tedy A1 a A2 jsou nesluˇcitelné jevy A1 ∪ A2 = Ω tj. sjednocen´ı jev˚ u A1 a A2 je jev jistý, A1 , A2 tvoˇr´ı rozklad jistého jevu, podobnˇe E1 , . . . , E6 také tvoˇr´ı rozklad jistého jevu Ω. A1 − B2 = A1 ∩ B2 = E4 ∪ E6 tj. rozd´ıl jev˚ u A1 − B2 je jev, ˇze padne sudé ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 2 A2 ∩ B2 = A2 ∪ B2 = Ω − E1 = E2 ∪ E3 ∪ E4 ∪ E5 ∪ E6 je jev, ˇze nepadne ˇc´ıslo 1 A2 ∪ B2 = A2 ∩ B2 = E3 ∪ E5 je jev, ˇze padne liché ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 2 (A1 ∪ A2 ) ∩ B2 = (A1 ∩ B2 ) ∪ (A2 ∩ B2 ) = ∅ ∪ (A2 ∩ B2 ) = A2 ∩ B2 = E1 je jev, ˇze padne ˇc´ıslo 1. E1 , E2 , . . . , E6 jsou elementárn´ı jevy, protoˇze je nelze dále rozloˇzit. V uvedeném oznaˇcen´ı m˚ uˇzeme psát, ˇze ω1 = E1 , ω2 = E2 , . . . , ω6 = E6 a prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5, ω6 }. Jednotlivé jevy uvedené dˇr´ıve lze zapsat v mnoˇzinovém tvaru A1 = {ω2 , ω4 , ω6 } A2 = {ω1 , ω3 , ω5 } B2 = {ω1 } = ω1 B3 = {ω1 , ω2 } C = {ω2 , ω4 , ω6 } E0 = {} = ∅, E7 = {} = ∅. Pˇ r´ıklad 2.2 Náhodný pokus spoˇc´ıvá v trojnásobném hodu minc´ı. Zavedeme náhodné jevy Ai . . . v i-tém hodu padne l´ıc, i = 1, 2, 3 Bj . . . l´ıc padne právˇe j krát, j = 0, 1, 2, 3. Pak zˇrejmˇe moˇzné výsledky pokusu – elementárn´ı jevy jsou jevy ω1 = [L, L, L] . . . jev, ˇze ve vˇsech hodech padl l´ıc ω2 = [L, L, R] . . . jev, ˇze v prvn´ıch dvou hodech padl l´ıc a ve 3. hodu padl rub ...

11 ω7 = [L, R, R] . . . jev, ˇze v prvn´ım hodu padl l´ıc a v ostatn´ıch rub ω8 = [R, R, R] . . . jev, ˇze ve vˇsech hodech padl rub. Pouˇzit´ı hranatých závorek v pˇredchoz´ım oznaˇcen´ı naznaˇcuje, ˇze jde o výsledky uspoˇrádané posloupnosti hod˚ u. Tedy výsledek pokusu [L, R, L] znaˇc´ı, ˇze v 1. hodu padl l´ıc, ve druhém rub a ve tˇret´ım l´ıc. Prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω je mnoˇzina Ω = {ω1 , . . . , ω8} = {[L, L, L], . . . , [R, R, R]} a uvaˇzované jevy lze mnoˇzinovˇe zapsat ve tvaru A1 = {[L, L, L], [L, L, R], [L, R, L], [L, R, R]} A2 = {[L, L, L], [L, L, R], [R, L, L], [R, L, R]} A3 = {[L, L, L], [R, L, L], [L, R, L], [R, R, L]} Zˇrejmˇe A1 ∩ A2 ∩ A3 = {[L, L, L]} = {ω1 } = ω1 B0 = {[R, R, R]} = ω8 B1 = {[L, R, R], [R, L, R], [R, R, L]} B2 = {[L, L, R], [L, R, L], [R, L, L]} B3 = {[L, L, L]} = ω1 Je zˇrejmé, ˇze B0 , B1 , B2 a B3 tvoˇr´ı rozklad jistého jevu Ω A1 ∩ B1 = {[L, R, R]} = ω7 je jev, ˇze l´ıc padne právˇe jednou a to v prvn´ım hodu A1 ∪ A2 ∪ A3 = B0 je jev, ˇze padne aspoˇ n v jednom hodu l´ıc tedy jev, ˇze nepadne v kaˇzdém hodu rub.

V pˇredchoz´ıch dvou pˇr´ıkladech byl prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω koneˇcnou mnoˇzinou. Jak ukazuj´ı následuj´ıc´ı dva pˇr´ıklady, nemus´ı tomu tak být vˇzdycky. Pˇ r´ıklad 2.3 Náhodný pokus spoˇc´ıvá v opakovaném hodu minc´ı a pokus konˇc´ı, jakmile padne rub. Pak zˇrejmˇe prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω je spoˇcetná mnoˇzina Ω = {ω∞ , ω1 , ω2 , ω3, . . .}, kde elementárn´ı jev ωi znaˇc´ı, ˇze rub padl poprvé v hodu ˇc´ıslo i, i = 1, 2, 3 . . . a ω∞ je elementárn´ı jev, ˇze vˇzdy padne l´ıc a rub nepadne nikdy. Jednotlivé elementárn´ı lze zapsat ve tvaru: ω1 = [R], ω2 = [L, R], ω3 = [L, L, R], . . . , ωi = [L, L, . . . , L, R], . . . , ω∞ = [L, L, L, . . .]. | {z } (i−1)×L

Jako pˇr´ıklad náhodných jev˚ u, které lze uvaˇzovat spolu s t´ımto pokusem uvedeme: A1 = {ω1 , ω2 , . . . , ω10 } . . . rub padne nejpozdˇeji v desátém hodu A2 = {ω1 , ω2 } . . . v prvn´ım nebo ve druhém hodu padne rub A3 = {ω∞ , ω3 , ω4 , . . .} = A2 . . . v prvn´ıch dvou hodech rub nepadne A4 = {ω1 , ω3 , ω5 , . . . } . . . poprvé padne rub, kdyˇz poˇcet hod˚ u bude liché ˇc´ıslo

Pˇ r´ıklad 2.4 Pˇredpokládejme, ˇze sledujeme situaci v dané pojiˇst’ovnˇe, sledován´ı zaˇc´ınáme v ˇcase t = 0 a výsledkem sledován´ı je pˇresnˇe mˇeˇrený ˇcasový okamˇzik (napˇr.

12 v hodinách), kdy byla nahláˇsena prvn´ı pojistná událost. Výsledek takového sledován´ı m˚ uˇzeme (v rozˇs´ıˇreném chápán´ı slova pokus) povaˇzovat za realizaci náhodného pokusu. Za pˇredpokladu, ˇze provoz pojiˇst’ovny sledujeme neomezenou dobu a jej´ı provoz je stále v ustáleném reˇzimu, lze si pˇredstavit, ˇze tento pokus je statisticky stabiln´ı. Mnoˇzina moˇzných výsledk˚ u tohoto pokusu pak m˚ uˇze být mnoˇzina vˇsech ˇcasových okamˇzik˚ u, kdy mohla být nahláˇsena prvn´ı pojistná událost, tedy interval h0, ∞). Proto prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω = h0, ∞) je mnoˇzina, která má nekoneˇcný poˇcet prvk˚ u a nen´ı ani spoˇcetná. Pˇr´ıkladem náhodných jev˚ u mohou být mnoˇziny (intervaly) A1 = h0, 10) . . . prvn´ı pojistná událost nastane do deseti hodin od zaˇcátku sledován´ı A2 = h15, 25i . . . prvn´ı pojistná událost nastane mezi 15. a 25. hodinou A3 = (10, ∞) . . . prvn´ı pojistná událost nastane aˇz po desáté sledované hodinˇe Je zˇrejmé, ˇze libovolný ˇcasový interval odpov´ıdá nˇejakému náhodnému jevu. Dokonce kaˇzdá podmnoˇzina intervalu h0, ∞) pˇredstavuje nˇejaký náhodný jev. Z posledn´ıho uvedeného pˇr´ıkladu je patrné, ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy mnoˇzina urˇcitých výsledk˚ u daného pokusu nen´ı koneˇcná a nen´ı ani spoˇcetná, lze uvaˇzovat velké mnoˇzstv´ı náhodných jev˚ u, které z praktického hlediska maj´ı pramalý význam. Proto je uˇziteˇcné v pˇr´ıpadˇe, kdy prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω nen´ı spoˇcetná mnoˇzina, omezit se na nˇejaký systém náhodných jev˚ u – tedy na vhodný systém podmnoˇzin mnoˇziny Ω, který je z praktického hlediska dostaˇcuj´ıc´ı, obsahuje s danými jevy také jevy, které vzniknou pomoc´ı výˇse uvedených jevových operac´ı. V uvedeném pˇr´ıkladˇe 2.4 je moˇzné omezit se jenom na jevy, které lze vytvoˇrit z interval˚ u pomoc´ı mnoˇzinových operac´ı sjednocen´ı, pr˚ unik, rozd´ıl, doplnˇek. Naznaˇceným zp˚ usobem lze postupovat obecnˇe. Pro kaˇzdý systém jev˚ u spojených s daným pokusem který je uzavˇrený vzhledem k zavedeným mnoˇzinovým operac´ım se zavád´ı název jevová algebra pˇr´ıpadnˇe σ – algebra. Dále ji budeme formálnˇe definovat. Definice 2.1. Necht’ Ω je prostor elementárn´ıch jev˚ u pˇriˇrazených danému pokusu a A systém náhodných jev˚ u (systém podmnoˇzin mnoˇziny Ω), které v souvislosti s daným pokusem uvaˇzujeme. Pak ˇr´ıkáme, ˇze systém jev˚ u A tvoˇr´ı jevovou algebru, jestliˇze plat´ı následuj´ıc´ı axiomy: 1. Ω ∈ A tj. jev jistý patˇr´ı do systému A 2. A ∈ A ⇒ A ∈ A, tj. pro kaˇzdý jev z A plat´ı, také jev k nˇemu opaˇcný patˇr´ı do A 3. A1 , A2 ∈ A ⇒ A1 ∪ A2 ∈ A, tj. sjednocen´ı dvou jev˚ u z A je také jevem z A. (Tj. systém A je uzavˇrený vzhledem ke sjednocen´ı jev˚ u.) V pˇr´ıpadˇe, ˇze plat´ı axiomy 1 a 2 a nav´ıc plat´ı axiom 3 pro spoˇcetnou posloupnost jev˚ u A1 , A2 . . . , tj. plat´ı axiom

13 S 3*. Ai ∈ A, i = 1, 2 . . . ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ A ˇ e p´ısmeno σ naznaˇcuje, Pak systém jev˚ u A nazýváme jevovou σ-algebrou. (Reck´ ˇze jde o spoˇcetné sjednocen´ı jev˚ u.) Dvojici (Ω, A) pak nazýváme jevov´ e pole. Kdyˇz se pˇri provádˇen´ı daného pokusu omez´ıme na jevy z dané jevové σ-algebry A, je potˇreba zaruˇcit, ˇze pˇri konstrukci nových jev˚ u, kterou provád´ıme aplikován´ım operac´ı koneˇcné nebo spoˇcetné sjednocen´ı, koneˇcn´ y nebo spoˇcetný pr˚ unik, rozd´ıl apod. na posloupnosti jev˚ u z A, dostaneme opˇet jevy z jevové σ-algebry A. Tato skuteˇcnost plyne z vlastnosti jevové σ-algebry ATviz [13]. Kromˇ e jiného odtud plyne, T∞ n ˇze pro posloupnost jev˚ u A1 , A2 , . . . z A plat´ı, ˇze i=1 Ai ∈ A, i=1 Ai ∈ A, A1 −A2 ∈ A, ∅ ∈ A apod. Z praktického hlediska pˇredstavuje jevové pole (Ω, A) matematický model náhodného pokusu. Ω je mnoˇzina vˇsech moˇzných výsledk˚ u pokusu a A systém náhodných jev˚ u, které jsou v souvislosti s konán´ım pokusu prakticky uˇziteˇcné. V pˇr´ıpadˇe, ˇze mnoˇzina Ω je koneˇcná, obvykle se za A vol´ı jevová σ-algebra, která obsahuje vˇsechny podmnoˇziny mnoˇziny Ω. V pˇr´ıpadˇe, ˇze Ω je mnoˇzina nespoˇcetná a je tvoˇrena intervalem reálných ˇc´ısel (jako tomu bylo v pˇr´ıpadˇe 2.4), lze pˇr´ısluˇsnou σ-algebru jev˚ u vytvoˇrit pomoc´ı polouzavˇrených interval˚ u typu (a, bi ⊂ Ω, a < b. Takováto σ-algebra se potom nazývá borelovsk´ a σ-algebra a odpov´ıdaj´ıc´ı jevové pole se nazývá borelovsk´ e jevov´ e pole. Kromˇe naznaˇcených praktických d˚ uvod˚ u pro redukci systému vˇsech náhodných jev˚ u na jevovou σ-algebru A, je tˇreba zd˚ uraznit, ˇze existuj´ı také dalˇs´ı teoretické d˚ uvody k této redukci. Jedn´ım z podstatných teoretick´ ych d˚ uvod˚ u této redukce je, ˇze na jevovém poli (Ω, A) lze pomoc´ı vhodnˇe zvolených axióm˚ u, snadno definovat pravdˇepodobnost. Zavedená pravdˇepodobnost, která dobˇre popisuje reálné situace je po matematické stránce zvláˇst’ elegantn´ı a jednoduchá v situaci, kdyˇz moˇzné jevové pole je borelovské. Zaveden´ım pravdˇepodobnosti náhodných jev˚ u se budeme vˇenovat v dalˇs´ım odstavci.

2.3

Pravdˇ epodobnost a ˇ cetnost

V tomto odstavci budeme vycházet ze statisticky stabiln´ıho náhodného pokusu. Matematickým modelem tohoto pokusu bude jevové pole (Ω, A), kde Ω je mnoˇzina vˇsech moˇzných výsledk˚ u pokusu (prostor elementárn´ıch jev˚ u) a A je jevová σalgebra, tedy mnoˇzina vˇsech náhodných jev˚ u, kterou v souvislosti s provádˇeným pokusem uvaˇzujeme. C´ılem bude jednotlivé jevy ˇc´ıselnˇe ohodnotit, tj. pˇriˇradit kaˇzdému jevu ˇc´ıslo, které by postihlo moˇznost nastoupen´ı toho jevu (jeho ˇsanci) pˇri daném provádˇen´ı pokusu. Takové numerické ohodnocen´ı jednotlivých jev˚ u z hlediska moˇz-

14 nosti jejich nastoupen´ı se nazývá pravdˇepodobnost´ı. Zaveden´ı pravdˇepodobnosti by mˇely být v souladu s empirickými zkuˇsenostmi, tedy pravdˇepodobnost nastoupen´ı jevu A v daném pokuse by mˇela odpov´ıdat relativn´ı ˇcetnosti jevu A ve velkém poˇctu nezávislých opakován´ıch tohoto pokusu. Uvedenou souvislost relativn´ı ˇcetnosti a pravdˇepodobnosti budeme nejdˇr´ıve ilustrovat na situaci známé z výzkumu veˇrejného m´ınˇen´ı. Pˇri zkoumán´ı veˇrejného m´ınˇen´ı v daném souboru napˇr. dospˇelých obyvatel státu se vyˇsetˇruje malá skupina náhodnˇe vybraných obyvatel a z jejich odpovˇed´ı na dané otázky se potom usuzuje za názory vˇsech dospˇelých obyvatel státu. V této souvislosti mluv´ıme o souboru vˇsech obyvatel státu jako o z´ akladn´ım souboru a o souboru vybraných obyvatel, kteˇr´ı byli náhodnˇe vybráni a dotazováni, jako o souboru v´ ybˇ erov´ em. Budeme pˇredpokládat, ˇze základn´ı soubor má N prvk˚ u a poˇcet prvk˚ u výbˇerového souboru oznaˇc´ıme n. Budeme uvaˇzovat dva základn´ı pˇr´ıstupy k poˇr´ızen´ı výbˇerového souboru: a) v´ ybˇ er s opakov´ an´ım – postupnˇe náhodnˇe vyb´ıráme (po jednom) prvky základn´ıho souboru a vybrané prvky pˇred dalˇs´ım výbˇerem do základn´ıho souboru vrac´ıme. b) v´ ybˇ er bez opakov´ an´ı – postupnˇe náhodnˇe vyb´ıráme prvky základn´ıho souboru a vybrané prvky do základn´ıho souboru nevrac´ıme. Je zˇrejmé, ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy je rozsah výbˇerového souboru n malý ve srovnán´ı s rozsahem základn´ıho souboru N, je málo pravdˇepodobné, ˇze by se pˇri výbˇeru s opakován´ım nˇekterý prvek ve výbˇeru opakoval. Budeme proto pro v dalˇs´ıch u ´ vahách vycházet z výbˇerového souboru, který byl z´ıskán náhodným výbˇerem s opakován´ım. Výbˇery bez opakován´ı se budeme zabývat pozdˇeji. Pˇredpokládejme pro jednoduchost, ˇze prvky základn´ıho souboru, který je tvoˇren vˇsemi dospˇelými obyvateli státu rozdˇel´ıme podle pohlav´ı na soubor muˇz˚ u, pˇredpokládejme, ˇze jich je K1 a na soubor ˇzen, kterých je N −K1 . Podle názoru jednotlivých obyvatel, m˚ uˇzeme základn´ı soubor rozdˇelit na dva podsoubory, v prvn´ım podsouboru je K2 obˇcan˚ u levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch a N − K2 obˇcan˚ u pravicovˇe smýˇslej´ıc´ıch. Plat´ı tedy, ˇze v základn´ım souboru je pod´ıl muˇz˚ u p1 = KN1 a pod´ıl levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch obˇcan˚ u p2 = KN2 . Pod´ıl p1 lze interpretovat jako pravdˇepodobnost” tedy numerické ” ohodnocen´ı moˇznosti, ˇze náhodnˇe vybraná osoba ze základn´ıho souboru bude muˇz. Podobnˇe lze interpretovat pod´ıl p2 . Bude-li náhodný pokus spoˇc´ıvat v náhodném vylosován´ı jedné osoby ze základn´ıho souboru, m˚ uˇzeme s t´ımto pokusem uvaˇzovat následuj´ıc´ı jevy: A1 . . . náhodnˇe vylosovaná osoba je muˇz A2 . . . náhodnˇe vylosovaná osoba je levicovˇe smýˇslej´ıc´ı. A1 ∩ A2 . . . náhodnˇe vybraná osoba je muˇz levicovˇe smýˇslej´ıc´ı

15 A1 ∪ A2 . . . náhodnˇe vybraná osoba je muˇz nebo osoba pravicovˇe smýˇslej´ıc´ı ˇ ısla p1 a p2 pak lze interpretovat jako pravdˇepodobnosti jev˚ C´ u A1 a A2 , tedy budeme psát p1 = P (A1 ) a p2 = P (A2 ). Odhad pravdˇepodobnost´ı lze z´ıskat pomoc´ı ˇcetnost´ı stanovených z výbˇerového souboru. Je-li výbˇerový soubor (poˇr´ızený výbˇerem s opakován´ım) rozsahu n oznaˇc´ıme n(A1 ) ˇcetnost muˇz˚ u ve výbˇeru, tj. poˇcet muˇz˚ u ve výbˇeru a n(A2 ) ˇcetnost levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch 2) 1) a fn (A2 ) = n(A odpov´ıdaj´ıc´ı relobˇcan˚ u ve výbˇeru. Dále oznaˇc´ıme fn (A1 ) = n(A n n ativn´ı ˇcetnosti. Ze zkuˇsenosti lze usoudit, ˇze pro velká n bude relativn´ı ˇcetnost fn (A1 ) kol´ısat kolem p1 = P (A1 ) a relativn´ı ˇcetnost fn (A2 ) kolem P (A2 ). Pˇri provádˇen´ı rozsáhlých výbˇerových ˇsetˇren´ı se skuteˇcnˇe neznámé pravdˇepodobnosti p1 a p2 odhaduj´ı relativn´ımi ˇcetnostmi fn (A1 ) a fn (A2 ). Snadno lze také stanovit relativn´ı ˇcetnosti fn (A1 ∪A2 ) nebo fn (A1 ∩A2 ) a odhadnout pˇr´ısluˇsné pravdˇepodobnosti P (A1 ∪ A2 ) a P (A1 ∩ A2 ) apod. Podobné chován´ı relativn´ıch ˇcetnost´ı jev˚ u lze pozorovat také pˇri opakovaném provádˇen´ı libovolného statisticky stabiln´ıho náhodného pokusu. Bude-li napˇr. pokus spoˇc´ıvat v hodu kostkou, pak za pˇredpokladu, ˇze kostka, kterou ház´ıme je ideálnˇe symetrická, lze oˇcekávat, ˇze s rostouc´ım poˇctem hod˚ u n bude relativn´ı ˇcetnost fn (A) jevu A = po hodu padne ˇc´ıslo 6”, kol´ısat kolem ˇc´ısla p = 16 . ” ˇ C´ıslo p = P (1) = 16 lze interpretovat jako pravdˇepodobnost nastoupen´ı jevu A (tj. pravdˇepodobnost, ˇze po hodu padne ˇc´ıslo 6). V situaci, kdy kostka nen´ı ideálnˇe symetrická se relativn´ı ˇcetnosti fn (A) opˇet budou pro velká n ustalovat kolem nˇejakého ˇc´ısla p = P (A), které ovˇsem m˚ uˇze být neznámé a ˇcetnost fn (A) bude jeho odhadem. Lze si tedy pravdˇepodobnost pˇredstavit jako limitn´ı hodnotu relativn´ı ˇcetnosti, kdyˇz nekoneˇcnˇe roste poˇcet opakován´ı pokusu n. Tedy pravdˇepodobnost jevu A je v tomto pojet´ı zavedena vztahem p = P (A) = lim fn (A). n→∞

Uvedený vztah pˇredstavuje tzv. statistickou definici pravdˇ epodobnosti a v minulosti se s touto definic´ı pravdˇepodobnosti ˇcasto pracovalo viz [14]. Jej´ı nevýhodou je, ˇze nen´ı moˇzné ovˇeˇrit existenci uvedené limity. Nicménˇe podstatná je skuteˇcnost, ˇze pravdˇepodobnost by mˇela pˇri velkém poˇctu opakován´ı pokusu korespondovat s relativn´ı ˇcetnost´ı a proto se také modern´ı axiomatická definice pravdˇepodobnosti o vlastnosti relativn´ı ˇcetnosti podstatnˇe op´ırá. Dˇr´ıve neˇz budeme pravdˇepodobnost axiomaticky definovat, pˇripomeˇ nme vlastnosti relativn´ı ˇcetnosti. Vyjdeme ze statisticky stabiln´ıho náhodného pokusu, jemuˇz odpov´ıdá jevové pole (Ω, A) a budeme uvaˇzovat jevy A, A1 , A2 ∈ A, jev nemoˇzný ∅ a jev jistý Ω. Relativn´ı ˇcetnost jevu A, kterou z´ıskáme z n nezávislých opakován´ıch pokusu oznaˇc´ıme fn (A). Pak lze snadno nahlédnout, ˇze relativn´ı ˇcetnost má následuj´ıc´ı vlastnosti: V1 fn (∅) = 0 tedy ˇcetnost nemoˇzného jevu je 0

16 V2 fn (Ω) = 1 tedy ˇcetnost jistého jevu je 1 V3 fn (A) ≥ 0 pro kaˇzdý jev A ∈ A tedy ˇcetnost je nezáporná V4 fn (A) ≤ 1 pro kaˇzdý jev A ∈ A V5 fn (A1 ∪ A2 ) = fn (A1 ) + fn (A2 ) − fn (A1 ∩ A2 ) V6 fn (A1 ∪ A2 ) = fn (A1 ) + fn (A2 ), kdyˇz jevy A1 a A2 jsou nesluˇcitelné V7 fn (A1 ) ≤ fn (A2 ), kdyˇz A1 ⊂ A2 V8 fn (A2 − A1 ) = fn (A2 ) − fn (A1 ), kdyˇz A1 ⊂ A2 Axiomatická definice pravdˇepodobnosti potom pˇriˇrazuje kaˇzdému jevu A ∈ A reálné ˇc´ıslo P (A), které vyjadˇruje moˇznost nastoupen´ı” jevu A v daném pokusu a toto ” pˇriˇrazen´ı mus´ı být v souladu s vlastnostmi relativn´ı ˇcetnosti V1-V8. Lze ukázat, ˇze rozhoduj´ıc´ı pro axiomatické zaveden´ı pravdˇepodobnosti jsou vlastnosti relativn´ıch ˇcetnost´ı V2,V3 a V6. Dalˇs´ı vlastnosti pravdˇepodobnosti, analogické zbylým vlastnostem relativn´ı ˇcetnosti, lze odvodit ze základn´ıch axiom˚ u. Dále uvedená axiomatická definice pravdˇepodobnosti pocház´ı od Kolmogorova viz [9]. Definice 2.2. Axiomatick´ a definice pravdˇ epodobnosti. Necht’ (Ω, A) je jevové pole pˇr´ısluˇsné uvaˇzovanému pokusu. Potom zobrazen´ı P , které kaˇzdému jevu A ∈ A pˇriˇrazuje ˇc´ıslo P (A) nazveme pravdˇepodobnost´ı na jevovém poli (Ω, A), kdyˇz toto zobrazen´ı vyhovuje následuj´ıc´ım axiom˚ um: A1 P (A) ≥ 0 pro kaˇzdý jev A ∈ A. (Pravdˇepodobnost je nezáporná) A2 P (Ω) = 1. (Pravdˇepodobnost je normovaná) A3 Je-li A1 , A2 , A3 , . . . koneˇcná nebo spoˇcetná posloupnost po dvou disjunktn´ıch jev˚ u z A (tj. Ai ∈ A, Ai ∩ Aj = ∅ pro i 6= j, i, j = 1, 2 . . .), pak pro koneˇcnou posloupnost jev˚ u A1 , A2 , A3 , . . . An plat´ı P (∪ni=1 Ai ) =

Pn

i=1

P (Ai ) (Pravdˇepodobnost je aditivn´ı)

Pro spoˇcetnou posloupnost jev˚ u A1 , A2 , . . . plat´ı P(

S∞

i=1

Ai ) =

P∞

i=1

P (Ai) (Pravdˇepodobnost je σ-aditivn´ı).

Pro daný jev A pak ˇc´ıslo P (A) nazýváme pravdˇepodobnost´ı jevu A. Trojici (Ω, A, P ) pak nazýváme pravdˇ epodobnostn´ı prostor. Poznamenejme, ˇze axiomy A1, A2 a A3 nen´ı pravdˇepodobnost P urˇcena jednoznaˇcnˇe, to je ale jej´ı výhoda, protoˇze pro konkrétn´ı pokus m˚ uˇzeme volbu pravdˇepodobnosti P zavést tak, aby dobˇre korespondovala s relativn´ı ˇcetnost´ı. Ukáˇzeme si to na pˇr´ıkladˇe:

17 Pˇ r´ıklad 2.5 Pokus spoˇc´ıvá v hodu minc´ı. Pak Ω = {L, R} a A = {∅, {L}, {R}, Ω}. Podle toho, zda mince je ideálnˇe symetrická nebo ne, lze pravdˇepodobnost na jevovém poli (Ω, A) zavést dvoj´ım zp˚ usobem: a) Pˇredpokládejme, ˇze mince je ideáln´ı. Pak lze poloˇzit P (∅) = 0, P ({L}) = P ({R}) = 21 a P (Ω) = 1. Je zˇrejmé, ˇze zvolené zobrazen´ı P vyhovuje axiom˚ um A1, A2, A3, jde tedy o pravdˇepodobnost na jevovém poli (Ω, A). Uvedená pravdˇepodobnost pˇriˇrazuje jevu padne l´ıc” pravdˇepodobnost 12 tedy stejnou ” jako jevu padne rub”. ” b) Pˇredpokládejme, ˇze mince nen´ı ideáln´ı a pomoc´ı opakovaných hod˚ u touto minc´ı bylo vypozorováno, ˇze l´ıc padá v 55 % vˇsech hod˚ u. Pak lze na (Ω, A) zavést pravdˇepodobnost, která tuto skuteˇcnost respektuje, staˇc´ı poloˇzit P (∅) = 0, P ({L}) = 0, 55, P ({R}) = 0, 45, P (Ω) = 1. Snadno lze opˇet ovˇeˇrit, ˇze zvolené zobrazen´ı P vyhovuje axiom˚ um A1, A2, A3 a jde tedy o pravdˇepodobnost. Dále se budeme zabývat vlastnostmi axiomatické pravdˇepodobnosti. Vlastnosti, ˇ aˇr si m˚ které uvedeme lze snadno odvodit z axiom˚ u A1-A3. Viz [13]. Cten´ uˇze ovˇeˇrit, ˇze tyto vlastnosti odpov´ıdaj´ı vlastnostem relativn´ıch ˇcetnost´ı V1-V8. Vlastnosti pravdˇ epodobnosti. Pro libovolné jevy A, A1 , A2 , . . . , An z A plat´ı VP1 P (∅) = 0 VP2 0 ≤ P (A) ≤ 1 VP3 Je-li A1 ⊂ A2 , pak P (A1 ) ≤ P (A2 ) VP4 Je-li A1 ⊂ A2 , pak P (A2 − A1 ) = P (A2 ) − P (A1 ) VP5 P (A) = 1 − P (A) VP6 P (A1 − A2 ) = P (A1) − P (A1 ∩ A2 ) VP7 P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ) VP8 P(

n [

Ai ) =

i=1

n X i=1

+

P (Ai) −

n−2 X n−1 X n X

i=1 j=i+1 k=j+1

VP9 P (

Sn

i=1 Ai )

≤

Pn

i=1

n−1 X n X

i=1 j=i+1

P (Ai ∩ Aj )

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − . . . + (−1)n−1 P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An )

P (Ai)

Uvedené vlastnosti pravdˇepodobnosti budou potˇrebné pˇri dalˇs´ım výkladu, hojnˇe se pouˇz´ıvaj´ı ve statistických u ´ vahách. V dalˇs´ım odstavci ukáˇzeme jejich pouˇzit´ı pˇri ˇreˇsen´ıch pravdˇepodobnostn´ıch u ´ loh.

18

2.4

Specifick´ e pˇ r´ıpady axiomatick´ e pravdˇ epodobnosti

Ve vybraných experimentáln´ıch situac´ıch (jak bylo naznaˇceno v pˇr´ıkladu 2.5) lze pravdˇepodobnost P na daném jevovém poli (Ω, A) vybrat tak, aby co nejlépe odpov´ıdala podm´ınkám pokusu. Touto volbou pak dosp´ıváme ke speciáln´ım pˇr´ıpad˚ um axiomatické pravdˇepodobnosti. Klasick´ a pravdˇ epodobnost Pˇredpokládáme, ˇze prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω je koneˇcná mnoˇzina, obsahuj´ıc´ı N prvk˚ u a vˇsechny elementárn´ı jevy ω ∈ Ω jsou stejnˇe moˇzné”. Pak lze libovolnému ” jevu A ⊂ Ω pˇriˇradit pravdˇepodobnost P (A) =

card(A) card(A) = , card(Ω) N

kde card(A) znaˇc´ı poˇcet prvk˚ u mnoˇziny A. Uvedené pˇriˇrazen´ı vyhovuje axiom˚ um A1, A2 a A3 z definice axiomatické pravdˇepodobnosti. Takto zkonstruované zobrazen´ı je tedy speciáln´ım pˇr´ıpadem axiomatické pravdˇepodobnosti definované na σ-algebˇre A, která je tvoˇrena vˇsemi podmnoˇzinami Ω. Tato pravdˇepodobnost pˇriˇrazuje kaˇzdému elementárn´ımu jevu ω pravdˇepodobnost P (ω) = N1 . Kdyˇz elementárn´ı jev ω ⊂ A nazveme výsledek pokusu pˇr´ıznivý jevu A, pak lze zavedenou pravdˇepodobnost jevu A definovat jako pod´ıl poˇctu výsledk˚ u pokusu pˇr´ıznivých jevu A a poˇctu vˇsech moˇzných výsledk˚ u pokusu. Pravdˇepodobnost zavedená t´ımto zp˚ usobem se nazývá klasick´ a pravdˇ epodobnost. Jej´ı pouˇzit´ı si ukáˇzeme na nˇekolika pˇr´ıkladech. Zd˚ uraznˇeme, ˇze jej´ı pouˇzit´ı je moˇzné, kdyˇz mnoˇzina moˇzných výsledk˚ u pokusu je koneˇcná a jednotlivé elementárn´ı jevy maj´ı stejnou pravdˇepodobnost. Pˇ r´ıklad 2.6 Hod´ıme ideáln´ı hrac´ı kostkou. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze a) padne sudé ˇc´ıslo? b) padne liché ˇc´ıslo? ˇ sen´ı: Protoˇze uvaˇzujeme ideáln´ı hrac´ı kostku, pouˇzijeme klasickou pravdˇepodobReˇ nost. Poloˇz´ıme Ω = {ω1 , . . . ω6 }, kde ωi je elementárn´ı jev, ˇze padne ˇc´ıslo i, i = 1, 2, . . . , 6. Zavedeme jevy A – padne sudé ˇc´ıslo a B – padne liché ˇc´ıslo. Pak A = {ω2 , ω4 , ω6 }, Card(Ω)= N = 6, Card(A) = 3 a uˇzit´ım klasické pravdˇepodobnosti dostaneme P (A) = 36 = 21 . Protoˇze B = A dostaneme uˇzit´ım vlastnosti pravdˇepodobnosti VP5 P (B) = P (A) = 1 − P (A) = 1 − 12 = 12 . Pˇ r´ıklad 2.7 Ház´ıme dvˇema stejnými mincemi, které nedovedeme rozliˇsit. Jaká je pravdˇepodobnost jevu A, ˇze na obou minc´ıch padne l´ıc. ˇ sen´ı: Reˇ

19 a) Zavedeme elementárn´ı jevy ω1 . . . na obou minc´ıch padne l´ıc ω2 . . . na obou minc´ıch padne rub ω3 . . . na jedné minci padne l´ıc a na jedné rub. Pak Ω = {ω1 , ω2 , ω3 }, A = ω1 a uˇzit´ım klasické pravdˇepodobnosti bychom dostali P (A) = 31 . b) Mince formálnˇe oˇc´ıslujeme, abychom je byli schopni rozliˇsit a zavedeme elementárn´ı jevy ω1∗ = [L, L] na prvn´ı minci padne l´ıc a na druhé l´ıc ω2∗ = [L, R] na prvn´ı minci padne l´ıc a na druhé rub ω3∗ = [R, L] na prvn´ı minci padne rub a na druhé l´ıc ω4∗ = [R, R] na prvn´ı minci padne rub a na druhé rub Pak Ω = {ω∗1 , ω∗2, ω∗3, ω∗4}, A = ω∗1 a klasická pravdˇepodobnost jevu A je P (A) = 14 . D˚ uvodem rozd´ılných výsledk˚ u v ˇreˇsen´ı a) a b) je neoprávnˇené pouˇzit´ı klasické pravdˇepodobnosti v bodˇe a). Ze zkuˇsenosti v´ıme, ˇze elementárn´ı jev ω3 nastává pˇri opakovaném hodu dvˇema mincemi pˇribliˇznˇe dvakrát ˇcastˇeji neˇz elementárn´ı jev ω1 . Pˇ r´ıklad 2.8 Hod´ıme n krát ideáln´ı hrac´ı kostkou. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze a) ˇsestka padne právˇe jednou (náhodný jev A1 ) b) ˇsestka padne v kaˇzdém hodu (náhodný jev B) c) ˇsestka padne právˇe i krát (náhodný jev Ai ) i = 1, 2, . . . , Ai d) ˇsestka padne aspoˇ n jednou (náhodný jev A) e) ˇseska nepadne (náhodný jev A0 ) ˇ sen´ı: Protoˇze jde o nezávisle opakované hody ideáln´ı kostkou, pouˇzijeme klasickou Reˇ pravdˇepodobnost. V kaˇzdém hodu je 6 moˇzných výsledk˚ u, tud´ıˇz v n hodech je 6n moˇzných a stejnˇe pravdˇepodobných výsledk˚ u a tedy card(Ω) = 6n . a) Zavedeme jev Bi , ˇze ˇsestka padne v hodu ˇc´ıslo i a v ostatn´ıch hodech nepadne, i = 1, 2 . . . , n. Zˇrejmˇe card(Bi) = 5n−1 , protoˇze v i-tém hodu mus´ı padnout ˇc´ıslo 6 a v ostatn´ıch n − 1 hodech m˚ uˇze padnout kterékoliv z ˇc´ısel 1,2,3,4,5. Jevy B1 , . . . , Bn jsou nesluˇcitelné n−1 i) A1 = B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn a P (Bi) = card(B = 5 6n . Proto uˇzit´ım axiomu A3 card(Ω) dostaneme n n n [ X X 5n−1 n5n−1 P (A1 ) = P ( Bi ) = P (Bi ) = = . 6n 6n i=1 i=1 i=1

20 b) Zˇrejmˇe B je elementárn´ı jev a proto P (B) =

1 . 6n

c) Poˇcet pˇr´ıznivých výsledk˚ u jevu Ai stanov´ıme tak, ˇze nejdˇr´ıve ni zp˚ usoby vybereme z n hod˚ u i hod˚ u, v nichˇz padne ˇc´ıslo 6 a v ostatn´ıch n − i hodech m˚ uˇze padnout kterékoliv z ˇc´ısel 1, 2, . . . , 5. Tedy v tˇechto n − i hodech m˚ uˇze n−i nastat 5 r˚ uzných výsledk˚ u a kdyˇz tyto výsledky kombinujeme s výbˇerem i-hod˚ u, kde padnou ˇsestky dostaneme n card(A) = · 5n−i. i Odtud P (Ai ) =

n i

· 5n−i = 6n

i = 1, 2, . . . , n.

i n−i n 1 5 , i 6 6

d) Protoˇze B = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An a jevy A1 , . . . , An jsou po dvou nesluˇcitelné dostaneme uˇzit´ım axiomu A3 n n n i n−i [ X X n 1 5 P (B) = P ( Ai ) = P (Ai ) = i 6 6 i=1 i=1 i=1 Odtud pomoc´ı binomické vˇety dostaneme P (B) =

n i n−i X n 1 5 i=0

i

6

6

n n n n 5 1 5 5 5 − = + − = 1− . 6 6 6 6 6

e) Poˇcet pˇr´ıznivých výsledk˚ u jevu A0 je 5n , protoˇze v kaˇzdém hodu m˚ uˇze padnout kterékoliv ˇc´ıslo 1, 2, . . . , 5, aby nastal výsledek pˇr´ıznivý jevu A0 . Proto P (A0 ) = 5n = ( 56 )n . 6n Srovnán´ım výsledk˚ u v bodˇe d) a e) je vidˇet, ˇze pravdˇepodobnost jevu B bylo moˇzné poˇc´ıtat jednoduˇseji. Protoˇze B = A0 dostaneme uˇzit´ım vlastnosti VP5, ˇze P (B) = P (A0 ) = 1 − P (A0 ) = 1 − ( 56 )n . Pˇ r´ıklad 2.9 Urna obsahuje N koul´ı, K b´ılých a N − K ˇcerných. Z urny náhodnˇe bez opakován´ı vybereme n koul´ı. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze mezi vybranými je právˇe x koul´ı b´ılých (jev Ax ) ˇ sen´ı: Reˇ a) Pˇredpokládejme, ˇze koule vyb´ıráme po jedné. Pak prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω je tvoˇren variacemi bez opakován´ı n-té tˇr´ıdy vybraných z N prvk˚ u a tedy N! cardΩ = N(N − 1) . . . (N − n + 1) = (N −n)! . Jev Ax nastane, kdyˇz v dané posloupnosti vybraných n prvk˚ u bude právˇe v x taz´ıch vytaˇzena b´ılá koule a

21 ˇ ısla tah˚ v n − xtaz´ıch vytaˇzena ˇcerná koule. C´ u x b´ılých koul´ı lze vybrat z n n tah˚ u x zp˚ usoby. V uvedených x taz´ıch lze vytáhnout b´ılé koule K! K(K −1) . . . (K −x+1) = (K−x)! zp˚ usoby a ˇcerné koule v n−x taz´ıch lze vybrat

(N −K)! zp˚ usoby. Je proto (N − K)(N − K − 1) . . . (N − K − (n − x) + 1) = (N −k−(n−x))! (N −K)! (N −K)! (N −n)! K! K! card(Ax ) = nx (K−x)! a P (AX ) = nx (K−x)! (N −K−(n−x))! (N −K−(n−x))! N !

b) Pˇredpokládejme, ˇze zároveˇ n náhodnˇe vybereme z urny n koul´ı. Pak Ω je tvoˇreno mnoˇzinou kombinac´ı bez opakován´ı K-té tˇr´ıdy z N prvk˚ u a tedy card(Ω) = Nk . Dále výbˇer x b´ılých koul´ı z K b´ılých lze provést Kx zp˚ usoby n−k a výbˇer n − x ˇcerných koul´ı z N − k ˇcerných koul´ı lze provést n−x zp˚ usoby. k n−k Tedy celkem dostáváme Card(Ax ) = x n−x a pro pravdˇepodobnost P (AX ) (K)(n−k) máme P (Ax ) = x Nn−x . (x) ´ Upravou výsledku uvedeného v bodˇe a) postupnˇe dostaneme K! (N −K)! (N −n)! (N −K)! n!(N −n)! K! = x!(k−x)! = P (AX ) = nx (K−x)! (N −K−(n−x))! N ! (n−x)!(N −K−(n−x))! N! K N−K ( )( ) = x Nn−x . (n)

A tedy výsledky v bodˇe a) a b) jsou shodné. Je lhostejno, zda v daném pokuse koule vyb´ıráme zároveˇ n nebo po jedné a nevrac´ıme. Uvedený model se vyuˇz´ıvá v teorii výbˇerových ˇsetˇren´ı. Jeho speciáln´ı pˇr´ıpad pro N = 49, K = 6 a n = 6 odpov´ıdá losován´ı ve Sportce, jev A6 odpov´ıdá výhˇre v prvn´ım poˇrad´ı, A5 ve druhém poˇrad´ı atd. Jev A2 ∪ A1 ∪ A0 odpov´ıdá situaci, kdy daná sázenka nevyhrává. Pˇ r´ıklad 2.10 Urna obsahuje a koul´ı b´ılých a b koul´ı ˇcerných. Dvakrát po sobˇe vytáhneme po jedné kouli, pˇriˇcemˇz prvn´ı vytaˇzenou kouli nevrac´ıme zpˇet. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze druhá vytaˇzená koule je b´ılá. ˇ sen´ı: Zavedeme jevy A1 – prvn´ı vytaˇzená koule je b´ılá a A2 , ˇze druhá vytaˇzená Reˇ koule je b´ılá. Pak postupnými u ´ pravami dostaneme P (A2 ) = P (A2 ∩ Ω) = P (A2 ∩ (A1 ∪ A1 )) = P ((A2 ∩ A1 ) ∪ (A2 ∩ A1 )) = = P (A1 ∩ A2 ) + P (A1 ∩ A2 ). a(a−1) b·a Snadno zjist´ıme, ˇze P (A1 ∩ A2 ) = (a+b)(a+b−1) a P (A1 ∩ A2 ) = (a+b)(a+b−1) . Odtud dosazen´ım do vztahu pro P (A2 ) dostaneme a(a−1) a·b a P (A2 ) = (a+b)(a+b−1) + (a+b)(a+b−1) = a+b . a Vˇsimnˇeme si, ˇze plat´ı P (A2 ) = a+b = P (A1 ) a tedy pravdˇepodobnost vytaˇzen´ı b´ılé koule ve druhém tahu je stejná, jako pravdˇepodobnost vytaˇzen´ı b´ılé koule v prvn´ım tahu. Pˇ r´ıklad 2.11 Nˇekdo napsal m dopis˚ u pro m r˚ uzných osob, vloˇzil do obálek pak na obálky náhodnˇe napsal m odpov´ıdaj´ıc´ıch adres. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze ani jeden dopis nepˇrijde osobˇe, j´ıˇz byl napsán?

22 ˇ sen´ı: Oznaˇcme A náhodný jev, ˇze ani jeden dopis nepˇrijde osobˇe, j´ıˇz byl napsán. Reˇ Budeme poˇc´ıtat pomoc´ı opaˇcného jevu A = aspoˇ n jededen dopis pˇrijde osobˇe j´ıˇz ” byl napsán”, který vyjádˇr´ıme pomoc´ı náhodnýchSjev˚ u Aj = j-tý dopis pˇrijde osobˇe, ” m j´ıˇz byl S napsán”,j = 1, 2, . . . , m, ve tvaru A = A . Pak P (A) = 1 − P (A) = j j=1 Sm m 1 − P ( j=1 Aj ). Pro výpoˇcet P ( j=1 Aj ) vyuˇzijeme vlastnosti pravdˇepodobnosti VP8, protoˇze náhodné jevy A1 , A2 . . . . , Am nejsou nesluˇcitelné. Nejdˇr´ıv pomoc´ı klasické pravdˇepodobnosti vypoˇcteme pravdˇepodobnosti P (Ai ) pro i = 1, 2, . . . , m. P (Ai ∩ Aj ) pro 1 ≤ i < j ≤ m, P (Ai ∩ Aj ∩ Ak ) pro 1 ≤ i < j < k ≤ m, ... P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Am ) Elementárn´ı jevy jsou uspoˇrádané m-tice, j-tý ˇclen této m-tice obsahuje adresu pˇriˇrazenou j-tému dopisu. Poˇcet tˇechto m-tic je roven poˇctu permutac´ı vˇsech m adres, a tedy poˇcet elementárn´ıch jev˚ u je m!. Náhodnému jevu Aj jsou pˇr´ıznivé ty elementárn´ı jevy, kdy j-tému dopisu je pˇriˇrazena adresa osoby, j´ıˇz byl dopis urˇcen a zbylých m − 1 adres m˚ uˇze být zbylým m − 1 dopis˚ um pˇriˇrazeno libovolnˇe. Je tedy poˇcet pˇr´ıznivých elementárn´ıch jev˚ u Aj roven card(Aj ) = (m − 1)!, j = 1, 2, . . . , m. Podobnˇe náhodnému jevu Ai ∩ Aj , 1 ≤ i < j ≤ m, jsou pˇr´ıznivé ty elementárn´ı jevy, kdy i-tému a j-tému dopisu jsou pˇriˇrazeny adresy osob, j´ımˇz byly dopisy urˇceny a zbylých m − 2 adres je zbylým m − 2 dopis˚ um pˇriˇrazeno libovolnˇe. Je tedy card(Ai ∩ Aj ) = (m − 2)!. Analogicky snadno stanov´ıme, ˇze card(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = (m − 3)! pro 1 ≤ i < j < k ≤ m, . . . , card(Ai ∩ Aj ∩ . . . ∩ Am ) = (m − m)! = 0! = 1. Protoˇze adresy byly dopis˚ um pˇriˇrazeny náhodnˇe, lze pˇredpokládat, ˇze vˇsechny elementárn´ı jevy jsou stejnˇe pravdˇepodobné a uˇzit´ım klasické pravdˇepodobnosti dostáváme P (Ai ) = (m−1)! pro i = 1, 2, . . . , m m! (m−2)! P (Ai ∩ Aj ) = m! pro 1 ≤ i < j ≤ m P (Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = (m−3)! pro 1 ≤ i < j < k ≤ m m! ... 0! P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Am ) = (m−m)! = m! . m! Dosad´ıme-li odtud do vlastnosti VP8, dostaneme P(

Sm

i=1

Pm Pm−1 Pm i=1 P (Ai ) − j=i+1 P (Ai ∩ Aj ) + Pm−2 Pm−1 Pi=1 m m−1 + i=1 P (A1 ∩. . .∩Am ) k=j+1 P (Ai ∩Aj ∩Ak )−. . .+(−1) Pm (m−1)!j=i+1Pm−1 Pm (m−2)! = i=1 m! − i=1 + m! Pm−2 Pm−1 Pm j=i+1 (m−3)! + i=1 − . . . + (−1)m−1) (m−m)! j=i+1 k=j+1 m! m!

Ai ) =

23 = m1 (m−1)! − m2 (m−2)! + m! m! Pm (m−i)! m = Pi=1 (−1)i−1 i m! i−1 1 . = m i=1 (−1) i!

m (m−3)! 3 m!

− . . . + (−1)m−1

m (m−m)! m m!

Odtud S Pm (−1)i−1 Pm (−1)i P (A) = 1 − P ( m = i=0 i! . i=1 Ai ) = 1 − i=1 i! Snadno lze nahlédnout, ˇze s rostouc´ım m konverguje uvedená pravdˇepodobnost k . ˇc´ıslu e−1 = 0, 368.

Geometrick´ a pravdˇ epodobnost Geometrickou pravdˇepodobnost je moˇzné povaˇzovat za zobecnˇen´ı klasické pravdˇepodobnosti pro pˇr´ıpad, ˇze prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω nen´ı koneˇcná mnoˇzina, ale je tvoˇrena nˇejakým intervalem na pˇr´ımce s kladnou délkou nebo mnoˇzina v rovinˇe s kladným obsahem nebo mnoˇzina v prostoru (trojrozmˇerném) s kladným objemem apod. Oznaˇcme symbolem m(A) délku respektive obsah respektive objem mnoˇziny A, je-li A interval na pˇr´ımce respektive podmnoˇzina roviny respektive podmnoˇzina prostoru. Obecnˇe se m(A) nazývá m´ırou mnoˇziny A. Pak geometrickou pravdˇepodobost jevu A ⊂ Ω zavád´ıme v pˇr´ıpadˇe, ˇze 0 < m(Ω) < ∞ vztahem pro A ∈ A, pˇriˇcemˇz jevová σ-algebra A je borelovská (viz odstavec P (A) = m(A) m(Ω) 2.2 pro pˇr´ıpad, ˇze Ω je interval na pˇr´ımce nebo viz [13] v obecném pˇr´ıpadˇe). Z vlastnosti m(A) plyne, ˇze zavedená geometrická pravdˇepodobnost vyhovuje axiom˚ um A1, A2, A3 a je tedy speciáln´ım pˇr´ıpadem axiomatické pravdˇepodobnosti. Jej´ı pouˇzit´ı ukáˇzeme na pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklad 2.12 Dvˇe osoby X a Y se domluvily, ˇze se setkaj´ı na smluveném m´ıstˇe. Pˇritom kaˇzdá z nich pˇrijde na toto m´ısto nezávisle na druhé v náhodném okamˇziku mezi 19. a 20. hodinou, poˇcká 20 minut, a jestliˇze se druhá osoba bˇehem této doby nedostav´ı, odejde. Naleznˇete pravdˇepodobnost a) ˇze se osoby setkaj´ı (jev A) b) ˇze pˇrijdou zároveˇ n (jev B) ˇ sen´ı: Ulohu ´ Reˇ budeme ˇreˇsit pomoc´ı geometrické pravdˇepodobnosti. Necht’ x je okamˇzik pˇr´ıchodu osoby X na smluvené m´ısto, mˇeˇreno v minutách od 19. hodiny a necht’ y znaˇc´ı tutéˇz veliˇcinu pro osobu Y . Potom prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω je zˇrejmˇe tvaru Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 60, 0 ≤ y ≤ 60}. Potom jev A= osoby se setkaj´ı” lze zapsat ” ve tvaru A = {(x, y) ∈ Ω :| x − y |≤ 20} a jev B= osoby pˇrijdou zároveˇ n” lze zapsat ” ve tvaru B = {(x, y) ∈ Ω : x = y}. Jevy A a B jsou znázornˇeny na obr. 2.1. Snadno stanov´ıme obsahy m(A) = 602 − 402 , m(B) = 0 a m(Ω) = 602 . Odtud dostaneme P (A) = m(A) = 95 a P (B) = 0. m(Ω)

24

Obrázek 2.1: Pˇ r´ıklad 2.13 (Buffonova u ´ loha o jehle) V rovinˇe jsou narýsovány rovnobˇeˇzky, jejichˇz vzdálenost je d. Na tuto rovinu náhodnˇe ház´ıme jehlu délky L, L < d. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze jehla pˇretne nˇekterou z rovnobˇeˇzek? ˇ sen´ı: Oznaˇcme x vzdálenost stˇredu jehly od nejbliˇzˇs´ı pˇr´ımky a ϕ u Reˇ ´ hel, který sv´ırá jehla s rovnobˇeˇzkami (viz obr.2.2). Pak zˇrejmˇe prostor elementárn´ıch jev˚ u je

Obrázek 2.2: Ω = {ϕ, x) : 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ x ≤ d2 }. Z d˚ uvod˚ u symetrie nen´ı nutno uvaˇzovat π ≤ ϕ ≤ 2π. Jev A= jehla pˇretne nˇekterou rovnobˇeˇzku” je tvaru (viz obr. 2.2) ” A = {ϕ, x) ∈ Ω : x ≤ L2 sin ϕ}. Obˇe mnoˇziny Ω a A jsou znázornˇeny na obr. 2.3. Rπ Snadno vypoˇcteme m(Ω) = π d2 a m(A) = L2 sinϕ dϕ = L a odtud uˇzit´ım geomet0

rické pravdˇepodobnosti ihned dostaneme Pm (A) =

m(A) m(Ω)

=

2L . πd

Z´ıskaný vzorec nˇekteˇr´ı autoˇri v minulosti pouˇzili pro pˇribliˇzné stanoven´ı ˇc´ısla π. Postupovali tak, ˇze po proveden´ı n hod˚ u jehlou stanovili ˇcetnost m hod˚ u, kdy jehla pˇretla nˇekterou rovnobˇeˇzku a potom pomoc´ı relativn´ı ˇcetnosti m odhadli pravdˇepodobnost n

25

Obrázek 2.3: ˇ ıslo π potom bylo poˇc´ıtáno ze vzorce m ≈ Pm (A) = 2L . Tedy π ≈ Pm (A). C´ n πd zaj´ımavost dále uvád´ıme tabulku nˇekterých takto z´ıskaných výsledk˚ u. Experimentátor Rok Poˇcet hod˚ u-n Odhad π = 2Ln md

2Ln . md

Pro

Volf Smith Fuchs Lazarini 1850 1855 1894 1901 5 000 3 204 1 120 3 408 3, 1596 3, 1553 3, 1419 3, 1415929

Výsledky Fuchse a Lazariniho bud´ı ponˇekud ned˚ uvˇeru, snadno lze zjistit (viz napˇr. [5]), ˇze pravdˇepodobnost obdrˇzen´ı výsledku, který z´ıskal Lazarini pˇri pomˇernˇe ma1 lém poˇctu hod˚ u, je menˇs´ı neˇz 30 . Ale i pˇres tuto skuteˇcnost si podobné výpoˇcetn´ı postupy dochovaly svou aktuálnost dodnes. Jednotlivé pokusy (jako v uvedeném pˇr´ıkladˇe bylo házen´ı jehlou) se neprovádˇej´ı pˇr´ımo, ale simuluj´ı se na vysoce výkonných poˇc´ıtaˇc´ıch. Tak se stanov´ı relativn´ı ˇcetnost sledovaného jevu a tou se potom aproximuje s potˇrebnou pˇresnost´ı odpov´ıdaj´ıc´ı pravdˇepodobnost. Takto aproximované hodnoty pravdˇepodobnosti se pak vyuˇz´ıvaj´ı pˇri numerických výpoˇctech v´ıcerozmˇerných integrál˚ u, pˇri numerickém ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic apod. Metody numerické matematiky, které se touto problematikou zab´ yvaj´ı, se nazývaj´ı metody Monte Carlo. Pravdˇ epodobnost definovan´ a pomoc´ı pravdˇ epodobnosti element´ arn´ıch jev˚ u Budeme vycházet ze situace, ˇze prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω je koneˇcná nebo spoˇcetná mnoˇzina, kterou zap´ıˇseme ve tvaru Ω = {ω1 , ω2 , . . .}. Dále budeme pˇredpokládat, ˇzP e elementárn´ı jevy ω maj´ı známé pravdˇepodobnosti P (ω) ≥ 0, ω ∈ Ω a plat´ı, ˇzP e ω∈Ω P (ω) = 1. Pak náhodnému jevu A lze pˇriˇradit pravdˇepodobnost P (A) = ω∈A P (ω), kde se sˇc´ıtaj´ı pravdˇepodobnosti vˇsech elementárn´ıch jev˚ u, které jsou pˇr´ıznivé jevu A. Lze ukázat, ˇze takto zavedená pravdˇepodobnost splˇ nuje axiomy A1, A2 a A3 a je tedy pravdˇepodobnost´ı ve smyslu axiomatické definice. Pouˇzit´ı této pravdˇepodobnosti ukáˇzeme na pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 2.14 Pˇredpokládejme, ˇze ház´ıme nesymetrickou kostkou, kde ˇc´ıslo 1 padá s pravdˇepodobnost´ı 19 , ˇc´ıslo 6 s pravdˇepodobnost´ı 92 a kaˇzdé z ostatn´ıch ˇc´ısel s

26 pravdˇepodobnost´ı 16 . Stanovte pravdˇepodobnost jevu A, ˇze po hodu padne sudé ˇc´ıslo. ˇ sen´ı: Zˇrejmˇe Ω = {ω1 , . . . , ω6 } a P (ω1) = 1 , P (ω2) = P (ω3 ) = P (ω4) = P (ω5) = 1 Reˇ 9 6 a P (ω6 ) = 29 . Pak A = {ω2 , ω4 , ω6 } a pro P (A) dostaneme P (A) = P (ω2 ) + P (ω4) + P (ω6 ) = 61 + 16 + 29 = 59 . Je zˇrejmé, ˇze uvedená pravdˇepodobnost vznikla rozˇs´ıˇren´ım klasické pravdˇepodobnosti opuˇstˇen´ım pˇredpokladu stejné moˇznosti” elementárn´ıch jev˚ u, tj. pˇripuˇstˇen´ım ” 1 moˇznosti, ˇze aspoˇ n pro jedno ω ∈ Ω je P (ω) 6= N . Nav´ıc nen´ı nutné pˇredpokládat, ˇze Ω je koneˇcná mnoˇzina, ale Ω m˚ uˇze být mnoˇzinou nekoneˇcnou, ale spoˇcetnou.

Kapitola 3 Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost V pˇredchoz´ım odstavci jsme zavedli pravdˇepodobnost náhodného jevu jako numerické ohodnocen´ı moˇznosti nastoupen´ı jevu pˇri provádˇen´ı urˇcitého pokusu. Kdyˇz po proveden´ı pokusu máme nˇejakou doplˇ nuj´ıc´ı informaci o výsledku sledovaného pokusu, lze tuto informaci vyuˇz´ıt a pomoc´ı n´ı pˇrehodnotit numerické ohodnocen´ı moˇznosti nastoupen´ı sledovaného jevu za této doplˇ nuj´ıc´ı informace. Kdyˇz napˇr. pokus spoˇc´ıvá v hodu kostkou, je pravdˇepodobnost jevu A = padne sudé ” ˇc´ıslo” rovna 12 . Kdyˇz ale máme nyn´ı informaci, ˇze po proveden´ı pokusu padlo ˇc´ıslo ” menˇs´ı neˇz 4” (jev B) je potom pravdˇepodobnost, ˇze padlo sudé ˇc´ıslo za podm´ınky, ˇze ˇc´ıslo, které padlo je menˇs´ı neˇz 4 rovna (pˇri pouˇzit´ı klasické pravdˇepodobnosti) 13 , protoˇze mezi tˇremi ˇc´ısly menˇs´ımi neˇz 4 je jenom jedno sudé. Pro pravdˇepodobnost jevu A za podm´ınky, ˇze jev B nastal uˇz´ıváme oznaˇcen´ı P (A|B). C´ılem tohoto odstavce je podm´ınˇenou pravdˇepodobnost formálnˇe definovat. Stejnˇe jako v pˇredchoz´ım odstavci se budeme op´ırat o souvislost pravdˇepodobnosti a relativn´ı ˇcetnosti.

3.1

ˇ Cetnostn´ ı motivace

Vyjdeme z dat, která popisuj´ı výsledky jednoduchého pr˚ uzkumu veˇrejného m´ınˇen´ı, jehoˇz se z´ uˇcastnilo n respondent˚ u. Kaˇzdý odpovˇedˇel na otázku (a), zda je levicového smýˇslen´ı (2 typy odpovˇed´ı - ano, ne) a v odpovˇedi na otázku (b) uvedl pohlav´ı (ˇzena, muˇz). Výsledky pr˚ uzkumu lze jednoduˇse popsat absolutn´ımi ˇcetnostmi: n11 . . . poˇcet odpovˇed´ı na otázku (a) ano a na otázku (b) muˇz n21 . . . poˇcet odpovˇed´ı na otázku (a) ano a na otázku (b) ˇzena n12 . . . poˇcet odpovˇed´ı na otázku (a) ne a na otázku (b) muˇz n22 . . . poˇcet odpovˇed´ı na otázku (a) ne a na otázku (b) ˇzena 27

28 Výsledné ˇcetnosti lze potom zapsat do tabulky Tab. 3.1, která se nazývá kontingenˇ cn´ı tabulka. Otázka (b) Otázka (a) Souˇcet Pohlav´ı Levicové smýˇslen´ı ano Levicové smýˇslen´ı ne muˇz n11 n12 n1. ˇzena n21 n22 n.2 Souˇcet n.1 n.2 n Tabulka 3.1: Kontingenˇcn´ı tabulka popisuj´ıc´ı výsledky pr˚ uzkumu veˇrejného m´ınˇen´ı V uvedené tabulce jsme oznaˇcili: n.1 = n11 + n21 , n.2 = n12 + n22 , n1. = n11 + n12 , ˇ ısla n.1 , n.2 , n1. a n2. , která se nacházej´ı na okraji tabulky se n.2 = n21 + n22 . C´ nazývaj´ı margin´ aln´ı ˇ cetnosti. Pomoc´ı absolutn´ıch ˇcetnost´ı lze zavést relativn´ı ˇcetnosti vztahy f11 = nn11 , f21 = nn21 , f12 = nn12 , f22 = nn22 , margináln´ı relativn´ı ˇcetnosti f.1 = f11 + f21 , f.2 = f12 + f22 , f1. = f11 + f12 , f.2 = f21 + f22 . Zˇrejmˇe f.1 = nn.1 je relativn´ı ˇcetnost levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch respondent˚ u v daném souboru, n.2 f.2 = n je relativn´ı ˇcetnost respondent˚ u, kteˇr´ı nemaj´ı levicové smýˇslen´ı. Podobnˇe n1. f1. = n je relativn´ı ˇcetnost muˇz˚ u v daném souboru a f2. je relativn´ı ˇcetnost ˇzen v daném souboru. Dále zavedeme s ohledem na kontingenˇcn´ı tabulku Tab. 3.1 relativn´ı ˇcetnosti ˇrádk˚ u n12 n21 n22 r11 = nn11 , r = , r = , r = . Vˇ s imnˇ e me si, ˇ z e souˇ c et relativn´ ıch 12 21 22 n1. n2. n2. 1. ˇrádkových ˇcetnost´ı je v kaˇzdém ˇrádku roven 1. Tedy r11 + r12 = 1 a r21 + r22 = 1. , s12 = nn12 , s21 = nn21 , s22 = Podobnˇe zavedeme relativn´ı ˇcetnosti sloupc˚ u s11 = nn11 .1 .2 .1 n22 . Opˇ e t plat´ ı, ˇ z e souˇ c et sloupcov´ y ch relativn´ ıch ˇ c etnost´ ı je v kaˇ z d´ e m sloupci rovna n.2 1, tedy s11 + s21 = 1 a s12 + s22 = 1. Vˇsechny uvedené relativn´ı ˇcetnosti lze zapsat do tabulky. Dostaneme pak tabulku Tab. 3.2. Nˇekdy se uvedené ˇcetnosti udávaj´ı v procentech. Otázka(b) Otázka (a) Souˇcet Pohlav´ı Levicové smýˇslen´ı ano Levicové smýˇslen´ı ne muˇz f11 (r11 ) [s11 ] f12 (r12 ) [s21 ] f1. (1) [−] ˇzena f21 (r21 ) [s12 ] f22 (r22 ) [s22 ] f2. (1) [−] Souˇcet f.1 (−) [1] f.2 (−) [1] 1 (−) [−] Tabulka 3.2: Tabulka relativn´ıch ˇcetnost´ı, relativn´ıch ˇcetnost´ı ˇrádkových (uvedeny v kulaté závorce) a relativn´ıch ˇcetnost´ı sloupcových (uvedeny v hranaté závorce) Pˇredpokládejme, ˇze pˇri konkrétn´ım pr˚ uzkumu provedeného u n = 100 respondent˚ u byly z´ıskány výsledky uvedené v kontingenˇcn´ı tabulce Tab. 3.3. Z hodnot tabulky Tab. 3.3 byla stanovena tabulka relativn´ıch ˇcetnost´ı Tab. 3.4.

29 Otázka (b) Otázka (a) Pohlav´ı Levicové smýˇslen´ı ano Levicové smýˇslen´ı ne muˇz 20 40 ˇzena 30 10 Margináln´ı 50 50 ˇcetnost

Margináln´ı ˇcetnost 60 40 100

Tabulka 3.3: Kontingenˇcn´ı tabulka z´ıskaná pˇri pr˚ uzkumu veˇrejného m´ınˇen´ı Otázka(b) Pohlav´ı muˇz ˇzena Souˇcet

Otázka (a) Souˇcet Levicové smýˇslen´ı ano Levicové smýˇslen´ı ne 0, 20 (0, 33) [0, 40] 0, 40 (0, 67) [0, 80] 0, 60 (1) [−] 0, 30 (0, 75) [0, 60] 0, 10 (0, 25) [0, 20] 0, 40 (1) [−] 0, 50 (−) [1] 0, 50 (−) [1] 1 (−) [−]

Tabulka 3.4: Relativn´ı ˇcetnosti pˇr´ısluˇsné ke kontingenˇcn´ı tabulce Tab. 3.3.

Z tabulky Tab. 3.4 je dobˇre patrné, ˇze ze vˇsech n = 100 respondent˚ u je 50% levicového smýˇslen´ı (f.1 = 0, 5) a 50% respondent˚ u nen´ı levicového smýˇslen´ı (f.2 = 0, 5). Mezi muˇzi je levicového smýˇslen´ı 33% respondent˚ u (r11 = 0, 33) a mezi ˇzenami je levicového smýˇslen´ı 75% respondent˚ u (r12 = 0, 75). Kdyˇz oznaˇc´ıme A náhodný jev, ˇze náhodnˇe vybraná osoba ze základn´ıho souboru je levicového smýˇslen´ı, pak pravdˇepodobnost P (A) lze odhadnout relativn´ı ˇcetnost´ı f.1 = 0, 5. Oznaˇc´ıme-li dále jev B, ˇze náhodnˇe vybraná osoba ze základn´ıho souboru je muˇz, lze pravdˇepodobnost P (B) odhadnout relativn´ı ˇcetnost´ı f1. = 0, 6. Koneˇcnˇe se lze ptát, jaká je pravdˇepodobnost jevu A, ˇze náhodnˇe vybraná osoba je levicového smýˇslen´ı, kdyˇz bude vybrána pouze z muˇz˚ u základn´ıho souboru. Tedy jaká je pravdˇepodobnost jevu A za podm´ınky jevu B, oznaˇcme ji P (A|B). Zˇrejmˇe lze tuto podm´ınˇenou pravdˇepodobnost odhadnout ˇrádkovou relativn´ı ˇcetnost´ı r11 = 0, 33. Postupnˇe dostaneme, ˇze podm´ınˇenou pravdˇepodobnost, ˇze náhodnˇe vybraná osoba je levicového smýˇslen´ı, za ¯ lze odhadnout ˇrádkovou podm´ınky, ˇze byla vybrána ze souboru ˇzen tedy P (A|B), relativn´ı ˇcetnost´ı r21 = 0, 75. Vid´ıme, ˇze doplˇ nuj´ıc´ı podm´ınka specifikuj´ıc´ı podsoubor respondent˚ u z nˇehoˇz vyb´ıráme, m˚ uˇze zásadn´ım zp˚ usobem relativn´ı ˇcetnost sledovaného jevu ovlivnit. Je také patrné, ˇze v uvedeném pˇr´ıkladˇe ˇrádková relativn´ı ˇcetnost r11 je s podm´ınˇenou pravdˇepodobnost´ı P (A|B) v podobném vztahu jako relativn´ı f.1 s pravdˇepodobnost´ı P (A) nebo f1. a pravdˇepodobnost´ı P (B). Tohoto vztahu m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt k formáln´ımu zaveden´ı podm´ınˇené pravdˇepodobnosti P (A|B). Pomoc´ı vztah˚ u, jimiˇz byly relativn´ı ˇcetnosti zavedeny, postupnˇe dostaneme r11

n11 = = n1.

n11 n n1. n

=

f11 f1.

(3.1)

30 Protoˇze P (A|B) lze odhadovat ˇrádkovou relativn´ı ˇcetnost´ı r11 , P (B) relativn´ı ˇcetnost´ı f1. a P (A∩B) relativn´ı ˇcetnost´ı f11 , m˚ uˇzeme na základˇe vztah˚ u mezi ˇcetnostmi 3.1 definovat podm´ınˇ enou pravdˇ epodobnost jevu A za podm´ınky B vztahem P (A|B) =

P (A ∩ B) P (B)

(3.2)

za pˇredpokladu, ˇze P (B) > 0. Uvedená definice také dobˇre odpov´ıdá situaci, kdy nastoupen´ı jevu B pˇredstavuje dodateˇcné podm´ınky na provedený experiment nebo redukci prostoru elementárn´ıch jev˚ u Ω. Lze to dobˇre demonstrovat na pˇr´ıkladu s kostkou, který jsme diskutovali v u ´ vodu tohoto odstavce. Hod´ıme-li hrac´ı kostkou a jev A bude, ˇze padne sudé ˇc´ıslo” a jev B, ˇze padne ˇc´ıslo ” ” menˇs´ı neˇz 4”, pak v u ´ vodu tohoto odstavce jsme usoudili, ˇze P (A|B) = 13 . Protoˇze P (A ∩ B) = 61 a P (B) = 12 dostaneme z definice podm´ınˇené pravdˇepodobnosti P (A|B) = 61 / 12 = 13 , jak jsme oˇcekávali. V dalˇs´ım odstavci budeme vycházet z definice podm´ınˇené pravdˇepodobnosti 3.2 a budeme se zabývat jej´ımi vlastnostmi.

3.2

Vlastnosti podm´ınˇ en´ e pravdˇ epodobnosti

Budeme uvaˇzovat pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω, A, P ) a nˇejaký pevnˇe daný náhodný jev B ∈ A, P (B) > 0. Potom podm´ınˇenou pravdˇepodobnost P (A|B), kterou povaˇzujeme za ˇc´ıselné ohodnocen´ı jevu A pˇri pevné podm´ınce B splˇ nuje axiomy A1, A2 a A3 z definice 2.2. Snadno nahlédneme, ˇze plat´ı: 1. P (A|B) =

P (A∩B) P (B)

≥0

2. P (Ω|B) =

P (Ω∩B) P (B)

=

P (B) P (B)

=1

2 )∩B) 2 ∩B)) 3. P (A1 ∪ A2 |B) = P ((A1P∪A = P ((A1 ∩B)∪(A = (B) P (B) = P (A1 |B) + P (A2 |B) pro libovolné dva nesluˇcitelné jevy A1 , A2 ∈ A.

P (A1 ∩B) P (B)

+

P (A2 ∩B) P (B)

=

Je tud´ıˇz podm´ınˇená pravdˇepodobnost P (A|B) speciáln´ım pˇr´ıpadem pravdˇepodobnosti axiomatické a má proto také vˇsechny vlastnosti axiomatické pravdˇepodobnosti VP1 - VP8. VPP1: P (∅|B) = 0 VPP2: 0 ≤ P (A|B) ≤ 1

31 VPP3: Je-li A1 ⊂ A2 , pak P (A1 |B) ≤ P (A2|B) VPP4: Je-li A1 ⊂ A2 , pak P (A2 − A1 |B) = P (A2 |B) − P (A1 |B) ¯ VPP5: P (A|B) = 1 − P (A|B) VPP6: P (A1 − A2 |B) = P (A1 |B) − P (A1 ∩ A2 |B) VPP7: P (A1 ∪ A2 |B) = P (A1 |B) + P (A2 |B) − P (A1 ∩ A2 |B) S P P Pn VPP8: P ( ni=1 Ai |B) = ni=1 P (Ai|B) − n−1 i=1 j=i+1 P (Ai ∩ Aj |B) + · · · + T + (−1)n−1 P ( ni=1 Ai |B) S P VPP9: P ( ni=1 Ai |B) ≤ ni=1 P (Ai |B) Dále lze snadno odvodit, ˇze plat´ı VPP10: P (B|B) = 1 VPP11: P (A|Ω) = P (A) T VPP12: Vzorec pro pravdˇ epodobnost pr˚ uniku. Kdyˇz P ( n−1 i=1 Ai ) > 0, pak plat´ı P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 )P (A2|A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) · . . . · ·P (An |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 ) Uvedené vlastnosti se pˇri poˇc´ıtán´ı s podm´ınˇenými pravdˇepodobnostmi daj´ı s výhodou pouˇz´ıt. V následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu ukáˇzeme dvoj´ı pˇr´ıstup k výpoˇctu podm´ınˇené pravdˇepodobnosti. Pˇ r´ıklad 3.1 Urna obsahuje 10 koul´ı, 6 b´ılých a 4 ˇcerné. Dvakrát po sobˇe náhodnˇe vybereme jednu kouli z urny, prvn´ı vybranou nevrac´ıme. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze druhá vybraná koule je ˇcerná kdyˇz prvn´ı vybraná koule byla ˇcerná. ˇ sen´ı: Oznaˇcme A1 náhodný jev, ˇze prvn´ı vybraná koule z urny je b´ılá a A2 Reˇ jev, ˇze druhá vybraná koule z urny je b´ılá. Pak c´ılem je spoˇc´ıtat podm´ınˇenou pravdˇepodobnost P (A2 |A1 ). Ukáˇzeme dva pˇr´ıstupy k ˇreˇsen´ı a) ˇreˇsen´ı pomoc´ı prostoru elementárn´ıch jev˚ u Ω, který se vztahuje k celému ” pokusu” s vyuˇzit´ım definice podm´ınˇené pravdˇepodobnosti 3.2. Pouˇzijeme klasickou pravdˇepodobnost a definici 3.2. Protoˇze v prvn´ım tahu je moˇzné vybrat kteroukoli z deseti koul´ı a v druhém kteroukoli ze zbylých dev´ıti koul´ı je card(Ω) = 10 · 9. Protoˇze b´ılou kouli je moˇzné v prvn´ım tahu 6·9 vybrat ˇsesti zp˚ usoby, je card(A1 ) = 6 · 9 a P (A1 ) = 10·9 = 35 . Dále protoˇze

32 prvn´ı b´ılou kouli je moˇzno vybrat 6-ti zp˚ usoby a druhou b´ılou kouli je moˇzno vybrat 5-ti zp˚ usoby (vybraná koule se nevrac´ı), je card(A1 ∩ A2 ) = 6 · 5 a 6·5 30 2 ∩A1 ) P (A1 ∩ A2 ) = 10·9 = 90 = 13 . Odtud P (A2 |A1 ) = P (A = 1/3 = 95 . P (A1 ) 3/5 b) ˇreˇsen´ı na redukovaném prostoru elementárn´ıch jev˚ u Ω2 . Máme stanovit podm´ınˇenou pravdˇepodobnost P (A2|A1 ). Je-li podm´ınka splnˇena a pˇri pokusu nastal jev A1 , m˚ uˇzeme pˇri výpoˇctu P (A2 |A1 ) vyj´ıt z prostoru elementárn´ıch jev˚ u Ω2 , který vznikne redukc´ı prostoru elementárn´ıch jev˚ u Ω, který jsme uvaˇzovali pˇri ˇreˇsen´ı (a). Je-li totiˇz prvn´ı vytaˇzená koule z urny b´ılá, obsahuje urna pˇred druhým tahem 9 koul´ı, z toho 5 b´ılých a 4 ˇcerné. Prostor elementárn´ıch jev˚ u pro druhý tah Ω2 obsahuje card(Ω2 ) = 9 elementárn´ıch jev˚ u a z toho je pˇet pˇr´ıznivých jevu A2 . Je proto P (A2 |A1 ) = 95 . Z uvedeného pˇr´ıkladu je dobˇre patrné, ˇze ˇreˇsen´ı uvedené v bodˇe (b) je podstatnˇe jednoduˇsˇs´ı a proto se postup uvedený v bodˇe (b) pˇri poˇc´ıtán´ı podm´ınˇených pravdˇepodobnost´ı ˇcasto pouˇz´ıvá. Na závˇer tohoto odstavce budeme jeˇstˇe ilustrovat pouˇzit´ı vlastnosti podm´ınˇené pravdˇepodobnosti VPP12. Pˇ r´ıklad 3.2 Ve spoleˇcnosti 2n osob je stejný poˇcet muˇz˚ u a ˇzen. Tyto osoby náhodnˇe obsad´ı 2n m´ıst kolem stolu. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze ˇzádné dvˇe osoby stejného pohlav´ı nebudou sedˇet vedle sebe? ˇ sen´ı: Oˇc´ıslujme m´ısta za stolem ˇc´ısly 1, 2, . . . , 2n a oznaˇc´ıme Ai náhodný jev, ˇze Reˇ i-té m´ısto obsad´ı ˇzena a Bi náhodný jev, ˇze i-té m´ısto obsad´ı muˇz, i = 1, 2, . . . , 2n Náhodný jev C, ˇze ˇzádné dvˇe osoby stejného pohlav´ı nebudou sedˇet vedle sebe, lze vyjádˇrit pomoc´ı náhodných jev˚ u Ai a Bi takto C = (A1 ∩ B2 ∩ A3 ∩ B4 ∩ · · · ∩ A2n−1 ∩ B2n ) ∪ (B1 ∩ A2 ∩ B3 ∩ A4 ∩ · · · ∩ A2n ). Náhodné jevy, které vystupuj´ı na pravé stranˇe uvedeného vztahu ve sjednocen´ı, nemohou nastat souˇcasnˇe (obsad´ı-li napˇr. prvn´ı m´ısto muˇz, nem˚ uˇze je souˇcasnˇe obsadit ˇzena) a jsou tedy nesluˇcitelné. Nav´ıc ze symetrie u ´ lohy ve vztahu k obˇema pohlav´ı plyne, ˇze jsou oba tyto náhodné jevy stejnˇe pravdˇepodobné a tedy staˇc´ı spoˇc´ıtat pravdˇepodobnost pouze jednoho z nich. Uˇzit´ım vlastnosti VPP12 dostaneme P (A1 ∩ B2 ∩ A3 ∩ B4 ∩ · · · ∩ A2n−1 ∩ B2n ) = P (A1 )P (B2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ B2 )· ·P (B4|A1 ∩ B2 ∩ A3 ) · . . . · P (B2n |A1 ∩ B2 ∩ A3 ∩ B4 ∩ · · · ∩ A2n−1 ). n Dále pomoc´ı klasické pravdˇepodobnosti snadno nalezneme P (A1 ) = 2n , P (B2 |A1 ) = n (nebot’ nastane-li náhodný jev A1 a prvn´ı m´ısto obsad´ı ˇzena, vyb´ıráme náhodˇe 2n−1 z 2n − 1 osob mezi nimiˇz je n muˇz˚ u a n − 1 ˇzen jednoho muˇze, který obsad´ı druhé n−1 m´ısto), P (A3 |A1 ∩ B2 ) = 2n−2 (nebot’ kdyˇz nastane A1 ∩ B2 , vyb´ıráme náhodnˇe z

33 2n − 2 osob mezi nimiˇz je n − 1 muˇz˚ u a n − 1 ˇzen, jednu ˇzenu, která obsad´ı tˇret´ı m´ısto) atd. Tedy celkem dostaneme P (A1 ∩B2 ∩A3 ∩B4 ∩· · ·∩A2n−1 ∩B2n ) = Odtud

n n n−1 n−1 1 1 (n!)2 · · · ·. . .· · = . 2n 2n − 1 2n − 2 2n − 3 2 1 (2n)!

2(n!)2 . (2n)! Z výsledku je ihned patrné, jak bylo moˇzné u ´ lohu rychle ˇreˇsit bez pouˇzit´ı podm´ınˇené pravdˇepodobnosti. Uvedený delˇs´ı postup výpoˇctu ilustruje vlastnost VPP12 a ukazuje vyuˇzit´ı podm´ınˇených pravdˇepodobnost´ı, které v dané u ´ loze explicitnˇe vystupuj´ı a nepoˇc´ıtaj´ı se z definiˇcn´ıho pˇredpisu. P (C) =

3.3

Vzorec pro celkovou pravdˇ epodobnost

Vyjdeme z pravdˇepodobnostn´ıho prostoru (Ω, A, P ) a budeme pˇredpokládat, ˇze náhodné jevy B1 , . . . , Bk ∈ A tvoˇr´ı rozklad jistého jevu (Bi ∩ Bj = ∅ pro i 6= j S a ki=1 Bi = Ω). Uvaˇzujme dále jev A a pˇredpokládejme, ˇze existuj´ı podm´ınˇené pravdˇepodobnosti P (A|B1), . . . , P (A|Bk ), tedy ˇze pravdˇepodobnosti P (Bi) > 0 pro i = 1, 2, . . . , k. Pak plat´ı Vzorec pro celkovou pravdˇ epodobnost P (A) =

k X

P (Bi )P (A|Bi)

(3.3)

i=1

Abychom ukázali vyuˇzit´ı vlastnost´ı pravdˇepodobnosti a podm´ınˇené pravdˇepodobnosti, vzorec 3.3 odvod´ıme pro pˇr´ıpad k = 2. Nejdˇr´ıve zap´ıˇseme jev A ve tvaru A = A ∩ Ω = A ∩ (B1 ∪ B2 ) = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ). Protoˇze jevy A ∩ B1 a A ∩ B2 jsou nesluˇcitelné a pravdˇepodobnost je aditivn´ı dostáváme odtud P (A) = P (A ∩ B1 ) + P (A ∩ B2 ). (3.4)

Z vlastnosti VPP12 plyne P (A∩B1 ) = P (B1 )P (A|B1 ) a P (A∩B2 ) = P (B2 )P (A|B2) a odtud dosazen´ım do 3.4 dostaneme P (A) = P (B1)P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2 )

¯2 a proto coˇz je vzorec 3.3 pro k = 2. Vˇsimnˇeme si, ˇze v pˇr´ıpadˇe kdy k = 2 je B1 = B ¯ pro libovolný jev B ∈ A, P (B) > 0 a P (B) > 0, lze vzorec 3.3 pˇrepsat do tvaru ¯ (A|B). ¯ P (A) = P (B)P (A|B) + P (B)P

Jeho pouˇzit´ı si ukáˇzeme na pˇr´ıkladˇe.

(3.5)

34 Pˇ r´ıklad 3.3 Uvaˇzujeme zadán´ı z pˇr´ıkladu 3.1 a c´ılem je spoˇc´ıtat pravdˇepodobnost jevu A2 , ˇze druhá vytaˇzená koule z urny je b´ılá. ˇ sen´ı: Poloˇzme A = A2 a B = A1 a vyuˇzijeme modifikovaný vzorec pro celkovou Reˇ 6 ¯ = 1 − P (B) = 4 a pravdˇepodobnost 3.5. Protoˇze P (B) = P (A1 ) = 10 , P (B) 10 ¯ = P (A2 |A¯1 ) = 6 dostaneme ze vzorce 3.5 P (A|B) = P (A2|A1 ) = 95 a P (A|B) 9 ¯ (A|B) ¯ = 6 · 5 + 4 · 6 = 54 = 6 P (A2 ) = P (A) = P (B)P (A|B) + P (B)P 10 9 10 9 90 10 Výsledek je zaj´ımavý, protoˇze P (A2 ) = P (A1 ) a tedy pravdˇepodobnost vytaˇzen´ı b´ılé koule ve druhém tahu, kdyˇz prvn´ı vybranou kouli nevrac´ıme, je stejná jako pravdˇepodobnost vytaˇzen´ı b´ılé koule v prvn´ım tahu. Následuj´ıc´ı dva pˇr´ıklady pˇredstavuj´ı u ´ lohy, které jsou typické pro pouˇzit´ı vzorce pro celkovou pravdˇepodobnost. Pˇ r´ıklad 3.4 (Pˇr´ıklad je volnˇe zpracován podle [7]) Vláda a banka provádˇej´ı nezávislou finanˇcn´ı politiku. Zavedeme náhodné jevy A . . . ”Stabiln´ı ekonomický r˚ ust zemˇe” B1 . . . ”Politika banky i vlády je správná” B2 . . . ”Jen politika vlády nebo jen politika vlády je správná” B3 . . . ”Ani politika banky ani politika vlády nen´ı správná” Pˇredpokládejme, ˇze jsou známé pravdˇepodobnosti P (B1 ) = 0, 64, P (B2 ) = 0, 32, P (B3 ) = 0, 04 a podm´ınˇené pravdˇepodobnosti P (A|B1 ) = 0, 95; P (A|B2 ) = 0, 70; P (A|B3 ) = 0, 40. Jaká je pravdˇepodobnost stabiln´ıho ekonomického r˚ ustu (jevu A)? ˇ sen´ı: Pro ˇreˇsen´ı uˇzijeme vzorec pro celkovou pravdˇepodobnost (3.3). Zˇrejmˇe k = 3, Reˇ jevy B1 , B2 , B3 tvoˇr´ı rozklad jistého jevu a po dosazen´ı do (3.3) dostaneme P (A) = P (B1 )P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2) + P (B3 )P (A|B3 ) = 0, 64 · 0, 95 + 0, 32 · 0, 70 + 0, 04 · 0, 40 = 0, 848. Pˇ r´ıklad 3.5 Urna obsahuje m koul´ı, z nichˇz nˇekteré jsou b´ılé a nˇekteré ˇcerné. Sloˇzen´ı urny nen´ı pˇresnˇe známe, v´ıme jen, ˇze byla naplnˇena takto: m-krát po sobˇe nˇekdo hodil minc´ı, kdyˇz padl l´ıc, byla do urny vloˇzena b´ılá koule, kdyˇz padl rub, byla do urny vloˇzena ˇcerná koule. Z takto naplnˇené urny byla náhodné vybrána jedna koule. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze tato náhodnˇe vytaˇzená koule z urny je b´ılá? ˇ sen´ı: Oznaˇcme A náhodný jev, ˇze vytaˇzená koule je b´ılá a Bi náhodný jev, ˇze Reˇ urna po naplnˇen´ı obsahovala právˇe i b´ılých koul´ı, i = 0, 1, 2, . . . , m. Ze zadán´ı u ´ lohy je patrné, ˇze lze snadno stanovit pravdˇepodobnosti P (Bi ) a P (A|Bi ) pro i =

35 0, 1, . . . , m. Proto bude výhodné poˇc´ıtat podle vzorce Smpro celkovou pravdˇepodobnost. Náhodné jevy B0 , B1 , . . . , Bm jsou nesluˇcitelné. i=0 Bi = Ω a pomoc´ı klasické pravdˇepodobnosti snadno vypoˇcteme m P (Bi ) = · 2−m , i = 0, 1, . . . , m. i nebot’ pˇri m hodech minc´ı je 2m stejnˇe moˇzných výsledk˚ u a mezi nimi je mi takových, ˇze právˇe i-krát padl l´ıc. Tedy P (Bi) > 0 pro i = 0, 1, . . . , m a pˇredpoklady pro pouˇzit´ı vzorce pro celkovou pravdˇepodobnost jsou splnˇeny. Dále vypoˇcteme P A|Bi), tedy pravdˇepodobnost, ˇze koule náhodnˇe vytaˇzená z urny je b´ılá za podm´ınky, ˇze táhneme z urny, která obsahuje i b´ılých a m − i ˇcerných koul´ı. Tato pravdˇepodobnost je zˇrejmˇe P (A|Bi) = mi , i = 0, 1, . . . , m. Dosazen´ım do vzorce pro celkovou pravdˇepodobnost dostáváme m m m m X X i 1 X m i i · = m · = P (A) = P (Bi )P (A|Bi) = m 2 m 2 i m i=0 i=0 i=1 m m 1 X m! i 1 X (m − 1)! = m · = m = 2 i=1 i!(m − i)! m 2 i=1 (i − 1)!(m − 1 − (i − 1))! m m−1 1 X m−1 1 1 1 X m−1 = m = m 2m−1 = . = m 2 i=1 i − 1 2 j=0 j 2 2

3.4

Bayes˚ uv vzorec

Stejnˇe jako v pˇredchoz´ım odstavci vyjdeme z pravdˇepodobnostn´ıho prostoru (Ω, A, P ) a budeme pˇredpokládat, ˇze náhodné jevy B1 , . . . Bk ∈ A tvoˇr´ı rozklad jistého jevu, P (Bj ) > 0, j = 1, . . . , k a pro dalˇs´ı náhodný jev A ∈ A rovnˇeˇz plat´ı P (A) > 0. Pak plat´ı Bayes˚ uv vzorec P (A|Bj )P (Bj ) P (Bj |A) = Pk , j = 1, 2, . . . , k. i=1 P (A|Bi )P (Bi )

(3.6)

Vzorec ihned plyne z vlastnosti podm´ınˇené pravdˇepodobnosti VPP12 a vzorce pro celkovou pravdˇepodobnost. Z definice podm´ınˇené pravdˇepodobnosti a VPP12 dostaneme pro libovolné i = 1, 2, . . . , k. P (Bj |A) =

P (A ∩ Bj ) P (A|Bj )P (Bj ) = P (A) P (A)

Po dosazen´ı za P (A) ze vzorce 3.3 hned dostaneme 3.6.

36 Pˇ r´ıklad 3.6 (Pokraˇcován´ı pˇr´ıkladu 3.3). Jestliˇze jsme z urny, která p˚ uvodnˇe obsahovala 6 koul´ı b´ılých a 4 ˇcerné koule, vytáhli ve druhém tahu b´ılou kouli, pˇriˇcemˇz koule vytaˇzená v prvn´ım tahu nebyla do urny vrácena, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze koule vytaˇzená v prvn´ım tahu byla b´ılá? ˇ sen´ı: Pˇri vyuˇzit´ı oznaˇcen´ı z pˇr´ıkladu 3.3, je tˇreba spoˇc´ıtat podm´ınˇenou pravdˇeReˇ podobnost P (A1 |A2 ). Z Bayesova vzorce plyne P (A1 |A2 ) = Po dosazen´ı P (A1 ) = = 59 . P (A1 |A2 ) = 30 54

6 , 10

P (A2 |A1 )P (A1) . P (A2 |A1 )P (A1) + P (A2 |A¯1 )P (A¯1)

P (A¯1 ) =

4 , 10

P (A2 |A1 ) = 59 , P (A2 |A¯1 ) =

6 9

dostaneme

Pˇ r´ıklad 3.7 (Pokraˇcován´ı pˇr´ıkladu 3.4). Pˇredpokládejme, v rámci textu pˇr´ıkladu 3.4 o finanˇcn´ı politice státu, ˇze ve sledovaném obdob´ı skuteˇcnˇe doˇslo ke stabiln´ımu ekonomickému r˚ ustu. Pˇri uplatnˇen´ı této nové informace je tˇreba zjistit pravdˇepodobnost, ˇze jak politika vlády tak politika státu byla ve sledovaném obdob´ı skuteˇcnˇe správná. ˇ sen´ı: C´ılem je spoˇc´ıtat podm´ınˇenou pravdˇepodobnost P (B1 |A). Uˇzit´ım Bayesova Reˇ vzorce a dosazen´ım za P (Bi ) a P (A|Bi ), i = 1, 2, 3 hodnoty uvedené v pˇr´ıkladu 3.4 dostaneme P (B1 |A) = 0,64·0,95 = 0717. Analogicky lze dále stanovit P (B2 |A) = 0,848 0, 264 a P (B3 |A) = 0, 019. Doporuˇcujeme ˇctenáˇri porovnat pravdˇepodobnosti P (Bi) a P (Bi|A), i = 1, 2, 3 a interpretovat jejich zmˇenu. Pˇ r´ıklad 3.8 Z urny jej´ıˇz naplnˇen´ı bylo popsáno v pˇr´ıkladˇe 3.5, bylo n-krát po sobˇe náhodnˇe vytaˇzeno vˇzdy po jedné kouli, vytaˇzená koule byla po kaˇzdém tahu vrácena zpˇet a koule v urnˇe byly po tahu prom´ıchány. Po proveden´ı tˇechto n tah˚ u se ukázalo, ˇze vˇsechny vytaˇzené koule byly b´ılé. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze urna obsahovala jen b´ılé koule? ˇ sen´ı: Stejnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 3.5 oznaˇc´ıme Bi náhodný jev, ˇze urna obsahovala právˇe Reˇ i b´ılých koul´ı, i = 0, 1, . . . , m. Dále oznaˇc´ıme A náhodný jev, ˇze vˇsech n vytaˇzených koul´ı bylo b´ılých. ame vypoˇc´ıtat pravdˇepodobnost P (Bm |A). Z pˇr´ıkladu 3.5 v´ıme, M´ m m ˇze P (Bi) = i /2 a pomoc´ı klasické pravdˇepodobnosti snadno vypoˇcteme podm´ınˇené pravdˇepodobnosti P (A|Bi) = in /mn pro i = 0, 1, . . . , m. Odtud plyne, ˇze bude výhodné poˇc´ıtat podm´ınˇenou pravdˇepodobnost P (Bm |A) pomoc´ı Bayesova vzorce. Pˇredpoklady pro jeho pouˇzit´ı jsou zˇrejmˇe splnˇeny. Postupnˇe dostaneme m mn m /2 mn 1 m in = Pm m i n . P (Bm |A) = Pm m /2m mn i=0 i=0 i i m n −m Pro vypoˇctenou pravdˇepodobnost P (Bm |A) plat´ı P (Bm |A) ≥ 1 + e− m (viz [13] −10 −10 str. 30). Pro m = 10 a n = 100 dostaneme P (B10 |A) ≥ (1 + e ) > 0, 99994.

37 Tento výsledek je zcela pˇrirozený a bylo jej moˇzno oˇcekávat. Kdyˇz si uvˇedom´ıme, ˇze náhodný jev B10 znamená, ˇze urna obsahovala jen b´ılé koule (tj. ˇze v deseti hodech minc´ı padl vˇzdy l´ıc), pak jeho pravdˇepodobnost je bl´ızká nule. Zjist´ıme-li na druhé stranˇe, ˇze z takto náhodnˇe naplnˇené urny byla 100-krát po sobˇe s opakován´ım vytaˇzena vˇzdy b´ılá koule (jev A), pak usoud´ıme, ˇze s pravdˇepodobnost´ı bl´ızkou 1 urna obsahuje jen b´ılé koule. Na závˇer odstavce jeˇstˇe uvedeme poznámku, která osvˇetluje ˇcasté pouˇzit´ı Bayesova vzorce v aplikac´ıch. Náhodné jevy B1 , B2 , . . . , Bk , které vystupuj´ı v Bayesovˇe vzorci, se obvykle nazývaj´ı hypotézy. Na základˇe pokusu, jehoˇz výsledkem je náhodný jev A, se pak rozhoduje, která z hypotéz B1 , B2 , . . . , Bk plat´ı. Rozhodnut´ı se provád´ı pomoc´ı hodnot pravdˇepodobnost´ı P (Bi |A), i = 1, 2, . . . , k, které se nazývaj´ı aposteriorn´ı pravdˇepodobnosti, protoˇze se stanovuj´ı aˇz po proveden´ı pokusu. Proti tomu pravdˇepodobnosti P (Bi ), i = 1, 2, . . . , k se nazývaj´ı apriorn´ı, nebot’ se poˇc´ıtaj´ı jeˇstˇe pˇred proveden´ım pokusu, jehoˇz výsledkem je náhodný jev A. Bayes˚ uv vzorec tedy umoˇzn ˇ uje výpoˇcet aposteriorn´ıch pravdˇepodobnost´ı pomoc´ı pravdˇepodobnost´ı apriorn´ıch. V matematické statistice dal tanto vzorec podnˇet ko vzniku tzv. bayesovských odhad˚ u, které jsou dnes v mnoha ekonomických aplikac´ıch hojnˇe vyuˇz´ıvány.

3.4.1

Nez´ avislost n´ ahodn´ ych jev˚ u

ˇ Castou u ´ lohou, s n´ıˇz se setkáváme pˇri analýze ekonomických jev˚ u, je provést rozhodnut´ı, zda mezi studovanými jevy je nˇejaká statistická vazba. Tedy je tˇreba rozhodnout zda nastoupen´ı jednoho jevu m˚ uˇze zvýˇsit pravdˇepodobnost nastoupen´ı druhého nebo naopak ji sn´ıˇzit, pˇr´ıpadnˇe nastoupen´ı jednoho jevu nemá na pravdˇepodobnost nastoupen´ı druhého ˇzádný vliv. V posledn´ım pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze jevy jsou nezávislé. Problematiku statistické vazby mezi jevy osvˇetl´ıme na datech. Uvaˇzujme hypotetickou situaci, ˇze na tˇrech m´ıstech: I - v zemˇedˇelské oblasti, II - v pr˚ umyslové oblasti a III - ve velkomˇestˇe byli náhodnˇe vybran´ı respondenti tázáni v rámci pr˚ uzkumu veˇrejného m´ınˇen´ı, zda jejich smýˇslen´ı je sp´ıˇse levicové nebo ne a zároveˇ n bylo zaznamenáno, zda dotazovaná osoba je ˇzena ˇci muˇz. Výsledky tohoto pr˚ uzkumu jsou uvedeny v Tab. 3.5. Tato tabulka sestává ze 3 kontingenˇcn´ıch tabulek pro oblasti I, II, III. Nejdˇr´ıve pro jednotlivé oblasti vypoˇcteme relativn´ı ˇcetnosti levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch respondent˚ u, oznaˇc´ıme je fn (L) a potom opˇet pro jednotlivé oblasti spoˇcteme relativn´ı ˇcetnosti levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch ˇzen fn (L|Z) a relativn´ı ˇcetnosti levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch muˇz˚ u fn (L|M). Výsledky jsou uvedeny v tabulce Tab. 3.6. Z této tabulky je patrné, ˇze pro oblasti I plat´ı fn (L) < fn (L|M) a fn (L) > fn (L|Z). Ukazuje se, ˇze v této oblasti je z muˇz˚ u levicového smýˇslen´ı asi 66, 6% a z tˇech je levicového smýˇslen´ı pouze 25%, pˇriˇcemˇz pro celou oblast plat´ı, ˇze v n´ı je 50% levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch. Ukazuje se

ˇ MUZ ˇ ZENA Souˇcet

ANO 20 5 25

NE 10 15 25

30 20 50

Levicové sm´ yˇslen´ı

ANO 10 40 50

NE 20 10 30

30 50 80

III Levicové sm´ yˇslen´ı

ANO 30 20 50

NE 30 20 50

Souˇcet

I Levicové sm´ yˇslen´ı

Oblast II

Souˇcet

Pohlav´ı

Souˇcet

38

60 40 100

Tabulka 3.5: Hypotetické výsledky pr˚ uzkumu veˇrejného m´ınˇen´ı Oblast

Rozsah souboru n

ˇ Cetnost fn (L)

ˇ Cetnost fn (L|Z)

ˇ Cetnost fn (L|M )

I II III

50 80 100

0,500 0,625 0,500

0,250 0,800 0,500

0,666 0,333 0,500

Tabulka 3.6: Relativn´ı ˇcetnosti a podm´ınˇené relativn´ı ˇcetnosti pˇr´ısluˇsné k tabulce Tab. 3.5 tedy, ˇze v této oblasti existuje statistická vazba mezi pohlav´ım respondent˚ u a jejich levicovým smýˇslen´ım. V oblasti II je situace podobná jenom statistická vazba mezi pohlav´ım respondent˚ u a jejich smýˇslen´ım má oproti oblasti I opaˇcný smˇer. V oblast´ı III plat´ı fn (L) = fn (L|M) = fn (L|Z).

(3.7)

Tedy ˇcetnost levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch v celém souboru respondent˚ u je stejná jako v souboru respondent˚ u muˇzského pohlav´ı a stejná jako v souboru respondent˚ u ˇzenského pohlav´ı. Lze tedy o této oblasti prohlásit, ˇze levicové smýˇslen´ı respondent˚ u nezávis´ı na jej´ıch pohlav´ı. Lze si také vˇsimnout, ˇze souˇcin relativn´ıch ˇcetnost´ı fn (L)·fn (M) = 0, 5 · 0, 6 = 0, 3 coˇz je relativn´ı ˇcetnost levicovˇe smýˇslej´ıc´ıch muˇz˚ u v oblasti III. M˚ uˇzeme ji oznaˇcit fn (L ∩ M). Pak tedy plat´ı, ˇze fn (L ∩ M) = fn (L) · fn (M).

(3.8)

Protoˇze existuje souvislost mezi (podm´ınˇenou) relativn´ı ˇcetnost´ı a (podm´ınˇenou) pravdˇepodobnost´ı, mohou vztahy 3.7 a 3.8 poslouˇzit k definici nezávislosti náhodných jev˚ u. Dˇr´ıve neˇz tuto definici vyslov´ıme, uvedeme jeˇstˇe jeden jednoduchý pˇr´ıklad. Pokus bude spoˇc´ıvat v jednom hodu kostkou a zavedeme jevy A = padne sudé ˇc´ıslo” B = ” padne ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz 3” a C = padne ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz 4”. Zˇrejmˇe P (A) = 12 , ” ” P (A|B) = 21 a P (A|C) = 13 . Tedy P (A) = P (A|B) a tutu rovnost lze interpretovat tak, ˇze pˇri nastoupen´ı jevu B nedostáváme novou informaci a pravdˇepodobnosti nastoupen´ı jevu A. Ale protoˇze P (A) > P (A|C), dostaneme pˇri nastoupen´ı jevu

39 C dodateˇcnou informaci, ˇze pravdˇepodobnost nastoupen´ı A (za podm´ınky C) se sn´ıˇzila. Lze usoudit, ˇze mezi jevy A a B nen´ı statistická vazba, mezi jevy A a C statistická vazba existuje. Pˇrejdeme k definici nezávislých náhodných jev˚ u. Budeme uvaˇzovat pravdˇepodobˇ nostn´ı prostor (Ω, A, P ) a náhodné jevy A, B ∈ A, P (A) > 0 a P (B) > 0. Rekneme, ˇze jev A je nezávislý na jevu B, kdyˇz plat´ı P (A|B) = P (A).

(3.9)

Vˇsimnˇeme si, ˇze tato vlastnost odpov´ıdá vlastnosti 3.7 relativn´ı ˇcetnosti. Vztah 3.9 lze dále pˇrepsat a postupnˇe dostaneme P (A) = P (A|B) =

P (A ∩ B) P (B|A)P (A) = P (B) P (B)

a odtud plyne, ˇze P (B|A) = P (B) a tedy také jev B je nezávislý na jevu A. Tedy vlastnost, ˇze jeden jev je nezávislý na druhém je symetrická, kdyˇz A je nezávislý na B, je také B nezávislý na A. Nav´ıc pˇri nezávislosti A na B plat´ı P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) = P (A)P (B). Pomoc´ı této rovnosti se nezávislost náhodných jev˚ u obvykle definuje, nav´ıc pˇri pouˇzit´ı tohoto vztahu jiˇz nen´ı potˇreba pˇredpokládat, ˇze P (A) > 0 a P (B) > 0. Taková definice pak odpov´ıdá vlastnosti ˇcetnost´ı 3.8. Definice 3.1 Náhodné jevy A a B definované na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P ) naz´ yv´ ame nez´ avisl´ e (vzhledem k pravdˇepodobnosti P ), kdyˇz plat´ı P (A ∩ B) = P (A) · P (B). Jak plyne z definice nezávislosti náhodných jev˚ u, je nezávislost jev˚ u A a B vlastnost´ı pravdˇepodobnosti P . Je moˇzné, ˇze jevy A a B, které jsou pˇri dané pravdˇepodobnosti P nezávislé by mohly být pˇri jiné volbˇe pravdˇepodobnosti závislé. Tato moˇznost je nast´ınˇená v u ´ vodn´ım pˇr´ıkladu s pr˚ uzkumem veˇrejného m´ınˇen´ı, kdy v oblastech I a II byly statistické vazby mezi levicovým smýˇslen´ım a pohlav´ım respondenta, zat´ımco v oblasti III taková vazba pozorována nebyla. Pojem nezávislosti jev˚ u se nˇekdy pro svou slovn´ı podobnost neoprávnˇenˇe zamˇen ˇ uje s pojmem nesluˇcitelnosti jev˚ u, která je mnoˇzinovou vlastnost´ı jev˚ u. Pro nesluˇcitelné jevy A a B plat´ı plat´ı, ˇze A ∩ B = ∅ a pro nezávislé jevy A a B plat´ı P (A ∩ B) = P (A)P (B). Proto je zˇrejmé, ˇze nesluˇcitelné jevy jsou nezávislé právˇe kdyˇz aspoˇ n jeden z nich má pravdˇepodobnost rovnu nule. Uved’me si dále vlastnosti nezávislých náhodných jev˚ u A a B definovaných na (Ω, A, P ). Snadno nahlédneme, ˇze plat´ı: ¯ nezávislé, dále jevy A¯ a B N1: Jsou-li jevy A a B nezávislé jsou také jevy A a B ¯ jsou nezávislé jsou nezávislé a rovnˇeˇz jevy A¯ a B

40 N2: Jev nemoˇzný ∅ a libovolný jev A jsou nezávislé N3: Jev jistý Ω a libovolný jev A jsou nezávislé ¯ plat´ı právˇe kdyˇz A a B jsou N4: Kdyˇz 0 < P (B) < 1, pak P (A|B) = P (A|B) nezávislé. Dále se budeme zabývat otázkou nezávislosti v´ıce neˇz dvou náhodných jev˚ u. Zaˇcneme pˇr´ıkladem. Pˇ r´ıklad 3.9 Dvakrát hod´ıme minc´ı a zavedeme 3 náhodné jevy A . . . v prvn´ım hodu padne l´ıc B . . . v druhém hodu padne l´ıc C . . . v obou hodech padne l´ıc nebo v obou hodech padne rub. Vyˇsetˇrete nezávislost náhodných jev˚ u A, B, C. ˇ sen´ı: Snadno nahlédneme, ˇze plat´ı P (A) = P (B) = P (C) = Reˇ P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 41 a tedy

1 2

a P (A ∩ B) =

P (A ∩ B) = P (A)P (B) P (A ∩ C) = P (A)P (C) P (B ∩ C) = P (B)P (C) Tud´ıˇz kaˇzdé dva z jev˚ u A, B a C jsou nezávislé. Dále vyˇsetˇr´ıme nezávislost jev˚ u A a B ∩ C. Zˇrejmˇe P (A) = 21 , P (B ∩ C) = 14 a P (A ∩ (B ∩ C)) = P (A ∩ B ∩ C) = 0. Tedy P (A ∩ (B ∩ C)) 6= P (A)P (B ∩ C) a proto jevy A a B ∩ C nejsou nezávislé, existuje mezi nimi statistická vazba i kdyˇz kaˇzdé dva z jev˚ u A, B, C nezávislé jsou. Budeme proto definovat nezávislost n ≥ 2 náhodných jev˚ u, která bude zobecnˇen´ım nezávislosti dvou jev˚ u. ˇ Definice 3.2 Rekneme, ˇze náhodné jevy A1 , A2 , . . . , An definované na (Ω, A, P ) jsou skupinovˇ e nez´ avisl´ e, kdyˇz plat´ı následuj´ıc´ı vztahy: P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj ) pro i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n P (Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = P (Ai)P (Aj )P (Ak ) pro i 6= j, i 6= k, j 6= k, i, j, k = 1, 2, . . . , n ··· P (A1 ∩ A2 ∩ . . . An ) = P (A1 )P (A2 ) · . . . · P (An ). Z definice skupinovˇe nezávislých jev˚ u ihned plyne, ˇze skupinovˇe nezávislé jevy jsou také nezávislé po dvou, opak ovˇsem neplat´ı, jak ukazuje pˇr´ıklad 3.9. Dále uvedeme vlastnosti skupinovˇe nezávislých jev˚ u.

41 SN1: Jsou-li A1 , A2 , . . . , An skupinovˇe nezávislé jevy, potom také kaˇzdá aspoˇ n dvouprvková podmnoˇzina tˇechto jev˚ u je mnoˇzina skupinovˇe nezávislých jev˚ u. SN2: Kdyˇz libovolných k jev˚ u k = 1, 2, . . . , n v n-tici skupinovˇe nezávislých jev˚ u A1 , . . . An nahrad´ıme jevy opaˇcnými, dostaneme opˇet n-tici skupinovˇe nezávislých jev˚ u. Napˇr. kdyˇz jevy A1 , A2 , . . . , An jsou skupinovˇe nezávislé, jsou skupinovˇe nezávislé také jevy A¯1 , A2 , . . . , An nebo jevy A¯1 , A¯2 , . . . , A¯n . SN3: Pro sjednocen´ı skupinovˇe nezávislých jev˚ u A1 , A2 , . . . , An plat´ı P(

n [

i=1

Qn

Ai ) = 1 −

n Y (1 − P (Ai )), i=1

pˇriˇcemˇz i=1 znaˇc´ı souˇci ˇc´ısel a1 , a2 , . . . , an . Speciálnˇe pro n = 2 plat´ı

P (A1 ∪ A2 ) = 1 − (1 − P (A1 ))(1 − P (A2 )) a pro n = 3 plat´ı P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 1 − (1 − P (A1 ))(1 − P (A2))(1 − P (A3 )). Pˇ r´ıklad 3.10 Odvod’te tvrzen´ı SN3. ˇ sen´ı: Pomoc´ı de Morganových pravidel a uˇzit´ım vlastnost´ı pravdˇepodobnosti a Reˇ vlastnosti SN2 dostaneme ! ! ! n n n n n [ \ \ Y Y ¯ ¯ ¯ P Ai = P Ai = 1 − P Ai = 1 − P (Ai ) = 1 − (1 − P (Ai )) . i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

Na závˇer odstavce vypoˇcteme ilustrativn´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 3.11 Profesor zapomene deˇstn´ık pˇri kaˇzdé návˇstˇevˇe obchodu s pravdˇepodobnost´ı 14 . a) Jestliˇze mus´ı se svým deˇstn´ıkem navˇst´ıvit ˇctyˇri r˚ uzné obchody, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze jej zapomene ve ˇctvrtém obchodˇe? b) Jestliˇze pˇrijde dom˚ u bez deˇstn´ıku, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze jej zapomnˇel ve ˇctvrtém obchodˇe? ˇ sen´ı: Oznaˇcme Ai náhodný jev profesor zapomene deˇstn´ık v i-tém obchodˇe Reˇ ” pˇri jeho jednorázové návˇstˇevˇe”, i = 1, 2, 3, 4. Pˇredpokládáme, ˇze náhodné jevy A1 , A2 , A3 , A4 mohou být výsledky ˇctyˇr d´ılˇc´ıch nezávislých pokus˚ u a proto je budeme pokládat za nezávislé.

42 a) Oznaˇcme A = A¯1 ∩ A¯2 ∩ A¯3 ∩ A4 náhodný jev, jehoˇz pravdˇepodobnost máme stanovit. Potom z nezávislosti náhodných jev˚ u A1 , . . . , A4 plyne P (A) = P (A¯1 ∩ A¯2 ∩ A¯3 ∩ A4 ) = P (A¯1)P (A¯2 )P (A¯3 )P (A4 ) = (1 − P (A1 ))(1 − P (A2 ))(1 − 3 . P (A3 ))P (A4 ) = 14 · 34 = 0, 11.

b) Oznaˇcme B = A1 ∪A2 ∪A3 ∪A4 . Máme stanovit podm´ınˇenou pravdˇepodobnost S4 (A) . Potom P (B) = P P (A|B). Protoˇze A ⊆ B je P (A|B) = PP (B) i=1 Ai = 1 − Q4 . 1 4 . ı dostáváme P (A|B) = 0, 15. i=1 (1−P (Ai )) = 1−(1− 4 ) = 0, 64. Po dosazen´

Kapitola 4 ´ Uvod do popisn´ e statistiky Vˇsude kolem nás se setkáváme se shromaˇzd’ován´ım velkého poˇctu u ´ daj˚ u o nejr˚ uznˇejˇs´ıch objektech. Mohou to být národohospodáˇrské u ´ daje o vývoji ekonomiky dané zemˇe sb´ırané v pravidelných ˇcasových intervalech, u ´daje o klientech dané banky, u ´ daje o pˇr´ıjmech a výdaj´ıch pojiˇst’ovny, u ´ daje o zdravotn´ım stavu pacient˚ u oˇsetˇrených ve vybrané nemocnici, personáln´ı u ´ daje o studentech a u ´ daje o jejich prospˇechu na urˇcité univerzitˇe v daném roce, u ´ daje o výrobc´ıch daného podniku a podobnˇe. Souhrnˇe, tyto u ´ daje vytváˇrej´ı rozsáhlé datové soubory, které obsahuj´ı velké mnoˇzstv´ı informace. Informace obsaˇzená v takových rozsáhlých datových souborech se m˚ uˇze lidskému pozorovateli jevit jako nepˇrehledná a pro jej´ı utˇr´ıdˇen´ı se zavád´ı speciáln´ı aparát – popisn´ a statistika. C´ılem popisné statistiky je informaci z datových soubor˚ u zhuˇstˇenˇe a pˇrehlednˇe popsat tak, aby byla snadnˇeji vn´ımatelná. K pˇrehlednému popisu rozsáhlých datových soubor˚ u se v popisné statistice ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı r˚ uzné typy tabulek, graf˚ u, diagram˚ u a r˚ uzné funkcionáln´ı charakteristiky jednoduˇse stanovené pomoc´ı elementárn´ıch matematických prostˇredk˚ u. Ukázat základn´ı metody popisné statistiky je c´ılem této kapitoly.

4.1

Z´ akladn´ı pojmy

Datové soubory obvykle poˇrizujeme pozorován´ım, mˇeˇren´ım, nebo jiným zjiˇst’ován´ım hodnoty sledovaného ukazatele ˇci promˇenné na mnoˇzinˇe k tomu u ´ˇcelu vybraných prvk˚ u. Tyto prvky nazýváme statistick´ e jednotky a jejich mnoˇzinu, která je pˇredmˇetem provádˇeného sledován´ı nazýváme statistick´ y soubor. Statistický soubor je obvykle dobˇre vymezen z hlediska vˇecného, prostorového a ˇcasového. Napˇr. pˇri pr˚ uzkumu názor˚ u student˚ u na placen´ı ˇskolného m˚ uˇze být statistický soubor tvoˇren vˇsemi studenty studuj´ıc´ımi prvn´ı roˇcn´ık Masarykovy univerzity v Brnˇe v roce 2005. Vymezen´ı statistického souboru mus´ı být jednoznaˇcné a nemˇely by vznikat pochybnosti, zda daný prvek do statistického souboru patˇr´ı ˇci nikoliv. V uvedeném pˇr´ıkladˇe 43

44 by tedy mˇelo být ˇreˇceno, zda se soubor vztahuje také na studenty distanˇcn´ıho studia nebo jenom na studenta ˇrádného studia apod. Zjiˇst’ovaný ukazatel, který na jednotlivých prvc´ıch statistického souboru pozorujeme nebo mˇeˇr´ıme, se nazývá statistick´ y znak. Statistické znaky budeme oznaˇcovat velkými p´ısmeny z konce abecedy, napˇr. X m˚ uˇze být na výˇse zm´ınˇeném souboru ukazatel názor na placen´ı ˇskolného” ” zakodovaný takto: 1 – ano, souhlas´ı, 2 – ne, nesouhlas´ı, 3 – nev´ı, Y m˚ uˇze být fi” nanˇcn´ı situace jeho rodiny” zakódovaná následuj´ıc´ım zp˚ usobem: 1 – výborná, 2 – dobrá, 3 – uspokojivá, 4 – neuspokojivá; Z m˚ uˇze být mˇes´ıˇcn´ı výˇse kapesného v ” 1000 Kˇc” apod. Na pˇr´ıkladu pˇredchoz´ıch tˇr´ı znak˚ u X, Y a Z je dobˇre patrné, ˇze se tyto znaky od sebe svým charakterem mohou znaˇcnˇe liˇsit. Zat´ımco znak X m˚ uˇze nabývat pouze 3 hodnot z mnoˇziny {1, 2, 3} a znak Y m˚ uˇze nabývat pouze ˇctyˇr hodnot z mnoˇziny {1, 2, 3, 4}, m˚ uˇze znak Z nabývat pˇri dostateˇcnˇe pˇresném sledován´ı znaku, kterékoliv hodnoty v intervalu h0, ∞). (Pˇr´ıliˇs vysokých hodnot nabývá prakticky s nulovou pravdˇepodobnost´ı.) Moˇzné hodnoty znaku se nazývaj´ı varianty, nebo téˇz obmˇ eny znaku a tvoˇr´ı mnoˇzinu, kterou oznaˇc´ıme V . Je-li mnoˇzina V koneˇcná, nebo spoˇcetná (tj. jej´ı prvky lze uspoˇrádat do posloupnosti), mluv´ıme o diskr´ etn´ım znaku. Je-li mnoˇzina variant diskrétn´ıho znaku X koneˇcná, oznaˇc´ıme ji VX = {x[1] , x[2] , . . . , x[r] }. ˇ ıslo r je poˇcet moˇzných variant diskrétn´ıho znaku X. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe, kdyˇz je C´ mnoˇzina V tvoˇrena intervalem, mluv´ıme o spojit´ em znaku. V uvedeném pˇr´ıkladˇe je znak Z spojitý a obor jeho hodnot je VZ = h0, ∞). Znaky X a Y jsou diskrétn´ı. Jiné dˇelen´ı znak˚ u dostaneme podle stupnˇe jejich kvantifikace. Vyjdeme ze statiˇ ıslo n budeme nazývat stického souboru, který obsahuje n statistických jednotek. C´ rozsahem statistick´ eho souboru a hodnoty znaku X zjiˇstˇené na jednotlivých statistických jednotkách oznaˇc´ıme x1 , x2 , . . . , xn . Potom podle obsahové kvantifikace hodnot znaku rozdˇelujeme znaky na: a) nomin´ aln´ı, které pˇripouˇstˇej´ı mezi hodnotami x1 , x2 , . . . , xn pouze relaci rovnosti, napˇr. x1 = x2 , x2 6= x3 apod. Jednotlivé hodnoty znak˚ u pˇredstavuj´ı pouze ˇc´ıselné kódy kvalitativn´ıch pojmenován´ı. Napˇr. znak X – názor na placen´ı ˇskolného je nomináln´ı znak. Jiným pˇr´ıkladem m˚ uˇze být oˇc´ıslován´ı mˇestských tramvaj´ı, zakódován´ı profese zamˇestnance apod. Nomináln´ı znak, který m˚ uˇze nabývat pouze dvou hodnot se nazývá alternativn´ı v opaˇcném pˇr´ıpadˇe mnoˇ zinn´ y. b) ordin´ aln´ı, které pˇripouˇstˇej´ı kromˇe relace rovnosti také obsahovou interpretaci relace uspoˇrádán´ı x1 < x2 (nebo x1 > x2 ). Uspoˇrádán´ı vyjadˇruje vˇetˇs´ı nebo menˇs´ı intenzitu popisované vlastnosti. Napˇr. znak Y je ordináln´ı, pro hodnoty znaku y1 = 1, y2 = 3 a y3 = 1 plat´ı, ˇze prvn´ı a tˇret´ı student uvaˇzovaného statistického souboru maj´ı stejnˇe ohodnocenou finanˇcn´ı situaci rodiny, ale finanˇcn´ı situace rodiny prvn´ıho studenta je lepˇs´ı neˇz finanˇcn´ı situace rodiny druhého studenta (y1 = y3 , ale y1 < y2 ).

45 c) kardin´ aln´ı znaky pˇripouˇstˇej´ı obsahovou interpretaci nejen relac´ı rovnosti a uspoˇrádán´ı ale také operac´ı souˇctu x1 + x2 a rozd´ılu x1 − x2 . To znamená, ˇze v pˇr´ıpadˇe kdy x1 − x2 = x2 − x3 , je interval (x2 , x1 ) stejnˇe dlouhý jako interval (x3 , x2 ) a tato stejná délka obou interval˚ u pˇredstavuje u obou dvojic x1 , x2 a x2 , x3 také stejný rozd´ıl v extenzitˇe zkoumané vlastnosti. Napˇr. znak Z – mˇes´ıˇcn´ı výˇse kapesného studenta je kardináln´ı znak, je-li z1 = 1.8, z2 = 2 a z3 = 2.2, je stejný rozd´ıl mezi kapesným student˚ u 2 a 1 jako mezi kapesným student˚ u 3 a 2. Má-li u kardináln´ıho znaku smysluplnou obsahovou interpretaci také operace pod´ılu, tj. x1 /x2 , pak se kardináln´ı znak nazývá pomˇ erov´ y. V pˇr´ıpadˇe, ˇze operace pod´ılu nemá smysluplnou obsahovou interpretaci, nazývá se tento kardináln´ı znak intervalov´ y. Pˇr´ıkladem pomˇerového znaku je znak Z – mˇes´ıˇcn´ı výˇse kapesného studenta, kdy pro z1 = 3.2 a z2 = 6.4 lze smysluplnˇe prohlásit, ˇze druhý student dostává 2x vyˇsˇs´ı kapesné nˇeˇz prvn´ı. Pˇr´ıkladem intervalového znaku m˚ uˇze být napˇr. teplota mˇeˇrená ve stupn´ıch Celsia, kde nula na dané stupnici vznikla pouhou konvenc´ı. Lze proto u teploty namˇeˇrené ve tˇrech dnech ve stupn´ıch Celsia t1 = 2, t2 = 4, t3 = 6 ˇr´ıci, ˇze z prvn´ıho na druhý den teplota vzrostla o 2 stupnˇe Celsia a ˇze rovnˇeˇz ze druhého na tˇret´ı den teplota vzrostla o 2 stupnˇe Celsia. Chybná interpretace tˇechto u ´ daj˚ u by byla, kdybychom ˇrekli, ˇze teplota z prvn´ıho na druhý den vzrostla dvakrát, kdeˇzto ze druhého na tˇret´ı den pouze jedenap˚ ulkrát.

4.2

Rozdˇ elen´ı ˇ cetnost´ı statistick´ eho znaku

Budeme uvaˇzovat statistický znak X, který na daném statistickém souboru nabyl hodnot x1 , x2 , . . . , xn . Pˇredpokládejme, ˇze mnoˇzina jeho variant je koneˇcná, tedy VX = {x[1] , x[2] , . . . , x[r] }. Pak zavedeme následuj´ıc´ı pojmy: nj . . . absolutn´ı ˇcetnost varianty x[j] v daném souboru pj = nj /n . . . relativn´ı ˇcetnost varianty x[j] v daném souboru Je-li znak X ordináln´ı nebo kardináln´ı a varianty x[j] lze uspoˇrádat, tj. kdyˇz x[1] < x[2] < . . . < x[r] m˚ uˇzeme zavést kumulativn´ı ˇcetnosti P Nj = ji=1 ni . . . absolutn´ı kumulativn´ı ˇcetnost do varianty x[j] v daném souboru P Pj = ji=1 pi . . . relativn´ı kumulativn´ı ˇcetnost varianty x[j] v daném souboru

Uvedené ˇcetnosti lze uspoˇrádat do tabulky viz Tabulka 4.1., která má 3 nebo 5 sloupc˚ u (podle typu znaku)a nazývá se tabulka rozdˇ elen´ı ˇ cetnost´ınaku X. Tabulka rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı pˇrehlednˇe informuje, jak jsou v uvaˇzovaném statistickém souboru jednotlivé varianty sledovaného znaku zastoupeny.

46 Varianta

x[1] x[2] .. . x[r] Souˇcet

Absolutn´ı Relativn´ı Absolutn´ı Relativn´ı ˇcetnost ˇcetnost kumulativn´ı kumulativn´ı ˇcetnost ˇcetnost n1 p1 N1 P1 n2 p2 N2 P2 .. .. .. .. . . . . nr pr Nr Pr n 1 – –

Tabulka 4.1: Tabulka rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znaku X Pro jeˇstˇe lepˇs´ı pˇredstavu o namˇeˇreném znaku X se data z tabulky rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znázorˇ nuj´ı graficky. Podle zp˚ usobu grafického znázornˇen´ı tabulky rozdˇelen´ı ˇcetnosti m˚ uˇzeme mluvit o sloupcovém diagramu absolutn´ıch (relativn´ıch) ˇcetnost´ı, polygonu absolutn´ı (relativn´ıch) ˇcetnost´ı, kruhovém diagramu absolutn´ıch (relativn´ıch) ˇcetnost´ı. Pˇr´ısluˇsná grafická znázornˇen´ı jsou na Obr. 4.1. Podobnˇe lze pro kardináln´ı nebo ordináln´ı znak z´ıskat sloupcový diagram nebo polygon kumulativn´ıch ˇcetnost´ı (absolutn´ıch nebo relativn´ıch). Pˇ r´ıklad 4.1 Na náhodnˇe vybraném souboru student˚ u rozsahu n = 100 byly zjiˇst’ovány statistické znaky X– názor na placen´ı ˇskolného, Y – finanˇcn´ı situace rodiny a Z – mˇes´ıˇcn´ı výˇse kapesného, které byly detailnˇeji popsány v odstavci 4.1. Výsledkem je ˇ uvedeno poˇradové ˇc´ıslo tabulka hodnot Tab. 4.2. V uvedené tabulce je ve sloupci PC vybraného studenta a v dalˇs´ıch sloupc´ıch jsou postupnˇe uvedeny hodnoty znak˚ u X, Y a Z. Dále v tabulce Tab. 4.3 je uvedeno rozdˇelen´ı ˇcetnosti znaku X a v tabulce Tab. 4.4 je uvedeno rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znaku Y . Grafické znázornˇen´ı znaku X pomoc´ı kruhového diagramu je na obrázku Obr. 4.2. Na Obr. 4.3 jsou uvedena vybraná grafická znázornˇen´ı znaku Y . Z grafických znázornˇen´ı rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı je dobˇre patrné, ˇze je pˇrehledné a lze jej s výhodou uˇz´ıt v pˇr´ıpadˇe, kdy uvaˇzovaný znak m˚ uˇze nabývat menˇs´ıho poˇctu variant. V pˇr´ıpadˇe, kdy diskrétn´ı znak m˚ uˇze nabývat velkého poˇctu variant nebo pro spojitý statistický znak se ˇcastˇeji m´ısto rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı pouˇz´ıvá tzv. skupinové rozdˇelen´ı, které uvaˇzovaný znak lépe popisuje. Bude o nˇem pojednáno v následuj´ıc´ım odstavci.

4.3

Skupinov´ e rozdˇ elen´ı ˇ cetnost´ı

Rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı diskrétn´ıho statistického znaku, který m˚ uˇze nabývat velkého poˇctu variant nebo spojitého statistického znaku jiˇz nen´ı výhodné znázorˇ novat pomoc´ı rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı, protoˇze absolutn´ı ˇcetnosti bývaj´ı velmi n´ızké, ˇcasto rovny 1 a poˇcet variant r m˚ uˇze být bl´ızký rozsahu souboru n. V tomto pˇr´ıpadˇe se moˇzné

47 (p4 ) n4

(p4 ) n4

(p3 ) n3

(p3 ) n3

(p2 ) n2

(p2 ) n2

(p1 ) n1

(p1 ) n1 x[1]

x[2]

x[3]

x[4]

Obr 4.1a) Sloupcov´ y diagram absolutn´ıch (relativn´ıch) ˇcetnost´ı pro r = 4

x[1]

x[2]

x[3]

x[4]

Obr 4.1b) Polygon rozdˇelen´ı absolutn´ıch (relativn´ıch) ˇcetnost´ı pro r = 4

n1 (p1 ) .............................................. . . . . . . . . . ....... ... ... ...... .... ......... ..... ... . . ... .. ... .....PP ... PP . ... P ..... . ... ... . ... . . . ... . ... ... .... ... . . ..... . . n3 (p3 ) .......... ..... ....... ............ ....................................... n4 (p4 )

n2 (p2 )

Obr 4.1c) Kruhov´ y diagram absolutn´ıch (relativn´ıch) ˇcetnost´ı pro r = 4

Obrázek 4.1: Grafická znázornˇen´ı tabulky rozdˇelen´ı ˇcetnosti hodnoty znaku rozdˇel´ı do interval˚ u (nˇekdy se ˇr´ıká do tˇr´ıd nebo do tˇr´ıdn´ıch interval˚ u) a do tabulky rozdˇelen´ı ˇcetnosti se vypisuj´ı ˇcetnosti pˇr´ısluˇsné tˇemto interval˚ um. Mluv´ıme pak o skupinov´ em rozdˇ elen´ım ˇ cetnost´ı. Pˇredpokládejme, ˇze mnoˇzina variant kardináln´ıho znaku X (obor hodnot znaku X) je interval (a, b), −∞ < a < b < ∞. Tento interval m˚ uˇzeme zapsat jako sjednocen´ı k podinterval˚ u I1 = (a0 , a1 i, I2 = (a1 , a2 i, . . . , Ik = (ak−1 , ak ), a0 = a, ak = b,Skteré se nepˇrekrývaj´ı a jejichˇz sjednocen´ım je interval (a, b). Tedy Ii ∩Ij = ∅, i 6= j, kj=1 Ij = (a, b), a = a0 < a1 < a2 < . . . < ak = b. Dále oznaˇc´ıme di = ai − ai−1 délku intervalu Ii a si = 12 (ai + ai−1 ) stˇred intervalu Ii , i = 1, 2, . . . , k. Nabývá-li znak X na daném statistickém souboru hodnoty x1 , x2 , . . . , xn , m˚ uˇzeme stanovit ˇcetnosti jednotlivých interval˚ u a vynést je do tabulky rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı, kde v prvn´ım sloupci budou m´ısto variant znaku tˇr´ıdn´ı intervaly. Dostaneme tak tabulku skupinov´ eho rozdˇ elen´ı ˇ cetnosti znaku X. Oznaˇcen´ı ˇcetnost´ı ponecháme stejné jako v pˇredchoz´ım odstavci. Tedy znaˇc´ıme

48 ˇ X PC 1 3 2 3 3 3 4 2 5 1 6 2 7 3 8 2 9 1 10 2 11 1 12 2 13 2 14 3 15 3 16 2 17 2 18 2 19 2 20 3 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2

Y 2 3 2 3 1 3 2 3 3 3 2 4 3 1 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 4

Z 7 3 6.8 2.9 8.9 3.8 4.2 4.1 2 2.5 7.6 1.2 2.6 9.1 1.9 7.3 0.8 1.9 5.9 3.2 6.4 2.9 6.5 6.6 0.9

ˇ X PC 26 2 27 2 28 2 29 2 30 2 31 1 32 2 33 3 34 2 35 2 36 1 37 2 38 1 39 1 40 3 41 2 42 2 43 2 44 2 45 2 46 2 47 2 48 2 49 3 50 2

Y 3 2 3 2 3 3 4 2 3 3 1 3 1 2 2 3 2 3 1 3 3 2 3 1 3

Z 2.4 6.8 2.5 7.3 3.2 3 0.5 7.4 3.9 2.4 7.4 1.8 10.1 7.5 8 2.3 4.2 2.1 5.2 3.3 3.4 3.9 3.5 9.6 4.1

ˇ X PC 51 3 52 2 53 2 54 2 55 2 56 3 57 2 58 2 59 1 60 2 61 2 62 1 63 2 64 2 65 2 66 2 67 2 68 1 69 2 70 2 71 2 72 3 73 2 74 2 75 1

Y 4 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 1 2 2 2 3 3 1 3 3 3 2 3 3 3

Z 1 1.9 2.6 2.7 2.3 7.6 2 3.4 7.5 3.5 3 11.2 7.3 7.2 7.1 3.3 3.2 8.4 3.1 2.8 2.9 7 1.9 2.8 2.5

ˇ X PC 76 2 77 2 78 1 79 2 80 1 81 2 82 2 83 3 84 2 85 2 86 2 87 3 88 3 89 2 90 2 91 2 92 1 93 3 94 3 95 2 96 1 97 1 98 3 99 2 100 2

Y 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 2 2 3 3 1 1 3 2 2

Z 6.8 2 6.9 2.4 6.6 5.2 8.4 3.1 7.1 7 3 1.2 3 6.9 6.8 3.1 7.2 7.3 3.2 2.9 8.9 9 3 7.1 7

Tabulka 4.2: Datový soubor rozsahu n = 100 se tˇremi zjiˇst’ovanými znaky X, Y, Z. ˇ je uvedeno poˇradové ˇc´ıslo statistické jednotky (studenta) Ve sloupci PC

ni . . . absolutn´ı ˇcetnost i-tého intervalu (tj. poˇcet tˇech hodnot z x1 , . . . , xn , které padnou do intervalu Ii , i = 1, . . . , k) pi = ni /n . . . relativn´ı ˇcetnost i-tého intervalu P Ni = ij=1 nj . . . absolutn´ı kumulativn´ı ˇcetnost intervalu Ii P Pi = ij=1 pj . . . relativn´ı kumulativn´ı ˇcetnost intervalu Ii

Kromˇe toho zavád´ıme jeˇstˇe tzv. ˇ cetnostn´ı hustotu. Oznaˇc´ıme fi = pi /di . . . ˇcetnostn´ı hustota i-tého intervalu Ii

49 Slovn´ı varianta znaku X ANO NE NEVÍ Souˇcet

Zakódované varianty x[i] 1 2 3

Absolutn´ı ˇcetnosti ni 15 65 20 100

Relativn´ı ˇcetnosti pi 0.15 0.65 0.20 1

Tabulka 4.3: Rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znaku X ANO

.................................................. ...... ......... . . . . . ..... .... . . . p1 =0.15 ....... ... . .. . . ...... .. .... ... .. p3 =0.2 .... ... ... Z .. ... p2 =0.65 ... Z . ... . Z .... ... .... Z ... ..... .... NE ............. ..... . . . . . .............. .... .................................

NEVÍM

Obrázek 4.2: Kruhový diagram relativn´ıch ˇcetnost´ı znaku X a funkci

  fi ∗ f (x) = fk   0

pro ai−1 < x ≤ ai , i = 1, 2, . . . , k − 1, pro ak−1 < x <≤ ak , jinak.

nazveme ˇcetnostn´ı hustotou. Uvedené ˇcetnosti a ˇcetnostn´ı hustotu lze uspoˇrádat do tabulky Tab. 4.5. Tato tabulka se pak nazývá tabulkou skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znaku X. Obecnˇe nen´ı tˇreba volit tˇr´ıdn´ı intervaly stejné délky. V pˇr´ıpadˇe, ˇze d1 = d2 = . . . = dk , mluv´ıme o ekvidistantn´ıch intervalech. Grafickým znázornˇen´ım tabulky skupinového rozdˇelen´ı je histogram nebo polygon. Polygon skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı (absolutn´ıch, relativn´ıch, absolutn´ıch kumulativn´ıch nebo relativn´ıch kumulativn´ıch) konstruujeme stejnˇe jako polygon rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı, jenom na osu x se m´ısto variant znaku x[1] , . . . , x[r] vynáˇsej´ı stˇredy tˇr´ıdn´ıch interval˚ u s1 , . . . , sk . Polygon ˇcetnostn´ı hustoty z´ıskáme tak, ˇze u ´ seˇckami spoj´ıme body o souˇradnic´ıch [si , fi ], i = 0, 1, 2, . . . , k, k + 1, pˇriˇcemˇz klademe f0 = fk+1 = 0 a s0 = a0 − 12 d1 , sk+1 = ak + 12 dk . Histogramemrozum´ıme graf, který z´ıskáme, kdyˇz na osu x vyneseme hranice tˇr´ı-

50 ni

pi

n1 = 50

50

0.5

n1 = 35

40

0.4

30 20 10 0

0.3 0.2

n1 = 10

1

n1 = 5 2

3

0.1 0

4

1

2

3

4

y[i]

Obr 4.3a) Sloupcov´ y ˇcetnost´ı znaku Y

diagram

absolutn´ıch

pi

y[i]

Obr 4.3b) Polygon relativn´ıch ˇcetnost´ı znaku Y pi

1

100

0.8

80

0.6

60

0.4

40

0.2

20

0

1

2

3

0

4

1

2

3

y[i]

Obr 4.3c) Sloupcov´ y diagram kumulativn´ıch relativn´ıch ˇcetnost´ı znaku Y

4 y[i]

Obr 4.3d) Polygon kumulativn´ıch absolutn´ıch ˇcetnost´ı znaku Y

Obrázek 4.3: Grafické znázornˇen´ı rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znaku Y dn´ıch interval˚ u a nad kaˇzdým tˇr´ıdn´ım intervalem znázorn´ıme u ´ seˇcku rovnobˇeˇznou s osou x ve výˇsce fi nad intervalem Ii . Kdyˇz potom svislými u ´ seˇckami spoj´ıme hranice tˇr´ıdn´ıch interval˚ u s krajn´ımi body u ´ seˇcek, které jsme z´ıskali vynesen´ım ˇcetnostn´ı hustoty, z´ıskáme obdéln´ıky a obsah i-tého z takto z´ıskaných obdéln´ık˚ u je pi . Schodovitá ˇcára, která shora omezuje histogram je grafem ˇcetnostn´ı hustoty f ∗ (x) a obsah plochy pod ˇcetnostn´ı hustotou je 1, protoˇze p1 + p2 + · · · pk = 1. Pˇr´ıklad histogramu je pro k = 4 na Obr. 4.4. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze v mnoha praktických situac´ıch se kromˇe uvedeného histogramu pouˇz´ıvá také histogram absolutn´ıch nebo relativn´ıch ˇcetnost´ı, pˇr´ıpadnˇe histogram absolutn´ıch kumulativn´ıch ˇcetnost´ı nebo histogram relativn´ıch kumulativn´ıch ˇcetnost´ı. Tyto varianty histogramu se z´ıskaj´ı tak, ˇze se pˇri konstrukci histogramu na osu y vynáˇs´ı m´ısto ˇcetnostn´ı hustoty fi nˇekterá z ˇcetnost´ı ni , pi , Ni nebo Pi . Takto konstruované histogramy také dávaj´ı dobrou pˇredstavu o skupinovém rozdˇelen´ı sledovaného znaku, ovˇsem jiˇz neplat´ı, ˇze obsah plochy pod takovým histogramem je jedna. Pˇri stanoven´ı skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı se ve vˇetˇsinˇe praktických situac´ı vol´ı tˇr´ıdn´ı intervaly ekvidistantn´ı, tedy o stejné délce. Pro ekvidistantn´ı tˇr´ıdn´ı intervaly pak histogram konstruovaný pomoc´ı ˇcetnostn´ı hustoty a histogram konstruovaný

51 Slovn´ı varianta znaku Y Výborná Dobrá Uspokojivá Neuspokojivá Souˇcet

Zakódované varianty znaku Y y[i] 1 2 3 4

Absolutn´ı Relativn´ı Kumulativn´ı Kumulativn´ı ˇcetnosti ˇcetnosti absolutn´ı relativn´ı ˇcetnosti ˇcetnosti ni pi Ni Pi 10 0.10 10 0.10 35 0.35 45 0.45 50 0.50 95 0.95 5 0.05 100 1.00 100 1.00 – –

Tabulka 4.4: Tabulka rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znaku Y . Tˇr´ıdn´ı interval I1 = (a0 , a1 i I2 = (a0 , a2 i .. .

Stˇred intervalu s1 s2 .. .

ni n1 n2 .. .

Ik = (ak−1 , ak ) Souˇcet

sk

nk n

ˇ Cetnosti pi Ni Pi p1 N1 P1 p2 N2 P2 .. .. .. . . . pk Nk Pk 1 – –

ˇ Cetnostn´ ı hustota f1 f2 .. . fk –

Tabulka 4.5: Tabulka skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı a ˇcetnostn´ı hustoty pomoc´ı absolutn´ıch nebo relativn´ıch ˇcetnost´ı liˇs´ı pouze stupnic´ı na svislé ose. Pˇri vhodné volbˇe této stupnice je jejich celkový vzhled shodný. Otázkou z˚ ustává, jak volit poˇcet tˇr´ıdn´ıch interval˚ u k, který m˚ uˇze vzhled histogramu podstatnˇe ovlivnit. Názornˇe je tato situace demonstrována na Obr. 4.5 pro znak Z z pˇr´ıkladu 4.1 (Tab. 4.2). V literatuˇre se pro volbu poˇctu tˇr´ıd doporuˇcuj´ı r˚ uzné postupy. Nejˇcastˇeji se uˇz´ıvá tzv. Sturgersovo pravidlo, které doporuˇcuje volit optimáln´ı poˇcet tˇr´ıd podle vzorce (viz. [6]) . k = 1 + 3.332 log10 (n), kde k je poˇcet tˇr´ıdn´ıch interval˚ u a n je zde poˇcet r˚ uzných hodnot sledovaného znaku. Jiné pravidlo pro volbu poˇctu tˇr´ıd je tzv. Yulleovo pravidlo √ . k = 2.5 4 n. Podle jiného pˇr´ıstupu se pro kardináln´ı znak doporuˇcuje volit délku ekvidistantn´ıch tˇr´ıd d od 0.08R do 0.12R, kde R je tzv. rozpˇet´ı definované vztahem R = x(n) − x(1) , pˇriˇcemˇz x(1) je nejmenˇs´ı a x(n) nejvˇetˇs´ı pozorovaná hodnota znaku X v souboru. . Pak se poˇcet tˇr´ıd k stanov´ı podle pˇribliˇzného vzorce k = Rd .

52

f2

f1 p2 f3 p1 f4

p3 p4 s0 s1 s2 s3 s4 s5 a = a0 a1 a2 a3 a4 = b I1 I2 I3 I4

x

Obrázek 4.4: Histogram rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı je vynesen plnými ˇcarami. Polygon ˇcetnostn´ı hustoty je znázornˇen pˇreruˇsovanou ˇcarou. Optimáln´ı poˇcet tˇr´ıd stanovený podle Sturgersova a Yulleova pravidla lze naj´ıt v závislosti na n v tabulce Tab. 4.6.

ni

ni 38

40

40

40

35

30

30

30 23

20

20

10 0

10

4 0

3

6

14 7

7 2

9

12

0 z

Obr 4.5a) Histogram znaku Z ekvidistantn´ı délka tˇr´ıd d = 3, poˇcet tˇr´ıd k = 4

0

2

4

6

8

10

12

z

Obr 4.5b) Histogram znaku Z ekvidistantn´ı délka tˇr´ıd d = 2, poˇcet tˇr´ıd k = 6

ni

ni

40

40 32 30 20

20 10 0

30

27

20 8

6 0

3

4.5

3 6

7.5

16

9

4

1 10.5 12

0 z

Obr 4.5c) Histogram znaku Z ekvidistantn´ı délka tˇr´ıd d = 1.5, poˇcet tˇr´ıd k = 8

14

16

10

10

3 1.5

24

0

5

4 3 2

4

6

8

2 1 1 10

12

z

Obr 4.5d) Histogram znaku Z ekvidistantn´ı délka tˇr´ıd d = 1, poˇcet tˇr´ıd k = 12

53

Obrázek 4.5: Vliv poˇctu tˇr´ıdn´ıch interval˚ u k na vzhled histogramu znaku Z

54 Poˇcet r˚ uzných hodnot znaku podle Sturgersova pravidla

Poˇcet r˚ uzných hodnot znaku podle Yulleova pravidla

Optimáln´ı poˇcet tˇr´ıd

3–5 6–11 12–22 23–45 46–90 91–181 182–362 363–724 ···

3–6 7–16 17–33 34–61 62–104 105–167 168–256 257–374 ···

3 4 5 6 7 8 9 10 ···

Tabulka 4.6: Optimáln´ı poˇcet tˇr´ıd podle Sturgersova a Yulleova pravidla

4.4

Empirick´ a distribuˇ cn´ı funkce a empirick´ e kvantily

V pˇredchoz´ıch odstavc´ıch jsme se zabývali popisem rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı statistického znaku na daném statistickém souboru. V tomto odstavci zavedeme dalˇs´ı moˇzný pˇr´ıstup k popisu rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı daného statistického znaku. Budeme pˇredpokládat, ˇze uvaˇzovaný znak X je ordináln´ı nebo kardináln´ı a na daném souboru rozsahu n nabývá hodnot x1 , x2 , . . . , xn , které lze uspoˇrádat do koneˇcné neklesaj´ıc´ı posloupnosti x(1) ≤ x(2) ≤ · · · ≤ x(n) . Tedy x(1) je nejmenˇs´ı a x(n) nejvˇetˇs´ı hodnota mezi pozorován´ım x1 , x2 , . . . , xn . Nejdˇr´ıve zavedeme charakteristickou funkci mnoˇziny A (tzv. indikátor mnoˇziny A) vztahem ( 1 kdyˇz x ∈ A, IA (x) = 0 kdyˇz x ∈ / A. Potom pro libovolné x ∈ (−∞, ∞) poloˇz´ıme A = (−∞, xi a snadno stanov´ıme I(−∞,xi (xi ) = 1, kdyˇz xi ≤ x a I(−∞,xi (xi ) = 0, kdyˇz xi > x, i = 1, 2, . . . , n. Potom funkce n 1X ∗ Fn (x) = I(−∞,xi(xi ) n i=1

pro dané x udává poˇcet pozorován´ı v souboru x1 , x2 , . . . , xn , která jsou nejvýˇse rovna x dˇelený rozsahem souboru n. Funkce Fn∗ (x) se nazývá empirick´ a distribuˇ cn´ı

55 funkce. Pro daný statistický soubor dává o rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı podobnou informaci jako tabulka rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı nebo tabulka skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı. Graf empirické distribuˇcn´ı funkce Fn∗ (x) snadno z´ıskáme tak, ˇze na vodorovnou osu naneseme uspoˇrádané hodnoty znaku x(1) ≤ x(1) ≤ · · · ≤ x(n) . T´ım z´ıskáme tzv. diagram rozpt´ ylen´ı. Funkce Fn∗ (x) se potom zkonstruuje tak, ˇze je po ˇcástech konstantn´ı, neklesaj´ıc´ı, zprava spojitá a v kaˇzdém bodˇe x(i) má skok velikosti n1 (plat´ı-li, ˇze hodnota x(i) je v daném souboru zastoupena ni -krát, je skok v bodˇe ˇ aˇr jistˇe vid´ı souvislost mezi F ∗ (x) a kumulativn´ımi x(i) roven velikosti nni ). Cten´ n relativn´ımi ˇcetnostmi Ni , i = 1, 2, . . . , k. Empirická distribuˇcn´ı funkce znaku Y z pˇr´ıkladu 4.1 je znázornˇena na Obr. 4.6. F (x)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4 x

Obrázek 4.6: Empirická distribuˇcn´ı funkce znaku Y Empirickou distribuˇcn´ı funkci lze také konstruovat pro spojitý kardináln´ı znak s ˇ velkým poˇctem hodnot. Casto se ale v této situaci pouˇz´ıvá jej´ı aproximace pomoc´ı ∗ ˇcetnostn´ı hustoty f (x) tvaru Z x ∗ FA (x) = f ∗ (t)dt. −∞

Aproximace FA∗ (x) závis´ı na zvolených tˇr´ıdn´ıch intervalech, zat´ımco empirická distribuˇcn´ı funkce Fn∗ (x) nikoliv. Jsou-li data rozdˇelena do tabulky skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnosti, pak aproximace FA∗ (x) empirické distribuˇcn´ı funkce Fn∗ (x) lze vyjádˇrit ve tvaru   0 pro x < a0    P + (x − a )f = j−1 j−1 j Pj−1 FA∗ (x) =  = i=1 pi + pj (x − aj−1 ) d1 pro x ∈ Ij = (aj−1 , aj i, j = 1, . . . , k,  j   1 pro x ≥ a k

56 Pomoc´ı empirické distribuˇcn´ı funkce lze zavést tzv. kvantilovou funkci, kterou si lze pˇredstavit jako zobecnˇenou inverzn´ı funkci k empirické distribuˇcn´ı funkci Fn∗ (x). Zavád´ı se pro p ∈ (0, 1) vztahem ∗ F−1 (p) = inf{x : Fn∗ (x) ≥ p},

kde inf{A} znaˇc´ı tzv. infimum ˇc´ıselné mnoˇziny A (viz. [?]) (Pˇripomeˇ nme, ˇze pro koneˇcnou mnoˇzinu A znaˇc´ı inf{A} jej´ı nejmenˇs´ı prvek a pro nekoneˇcnou mnoˇzinu se jedná o zobecnˇen´ı pojmu minimáln´ıho prvku na nekoneˇcnou mnoˇzinu.) ∗ Pro dané ˇc´ıslo p ∈ (0, 1) se potom ˇc´ıslo xp = F−1 (p) nazývá p-kvantilem znaku X na souboru x1 , . . . , xn . Ze zavedené kvantilové funkce je dobˇre patrné, ˇze p-kvantil xp je ˇc´ıslo, které rozdˇeluje uspoˇrádanou ˇradu pozorován´ı x(1) ≤ x(2) ≤ · · · ≤ x(n) na dvˇe ˇcásti. Prvn´ı ˇcást hodnot obsahuje alespoˇ n 100p% hodnot z celého souboru, které jsou nejvýˇse rovné kvantilu xp a druhá ˇcást obsahuje alespoˇ n 100(1 − p)% hodnot, které jsou vˇetˇs´ı nebo rovné neˇz kvantil xp . Kvantil xp je d˚ uleˇzitou charakteristiku statistického souboru a pro r˚ uzná p poskytuj´ı kvantily o statistickém souboru podobnou informaci jako tabulka rozdˇelen´ı nebo skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı. Dˇr´ıve neˇz uvedeme ilustrativn´ı pˇr´ıklad poznamenejme, ˇze posledn´ı slovn´ı charakteristikou nen´ı kvantil xp urˇcen jednoznaˇcnˇe. Zaveden´ı kvantilu pomoc´ı kvantilové funkce uˇz je jednoznaˇcné.

Pˇ r´ıklad 4.2 Urˇcete kvantily x0.1 , x0.25 , x0.50 a x0.75 pro znak Y z pˇr´ıkladu 4.1. ∗ Z grafu na Obr. 4.6 vid´ıme, ˇze nejmenˇs´ı ˇc´ıslo x”, pro které plat´ı, ˇze F100 (x) ≥ 0.1 ” je ˇc´ıslo x0.1 = 1. Podobnˇe stanov´ıme x0.25 = 2, x0.5 = 3 a x0.75 = 3. Zároveˇ n vid´ıme, ˇze procento hodnot znaku Y , které jsou nejvýˇse rovny x0.25 = 2 je 35%, coˇz je v´ıce neˇz 100p%=25% a zároveˇ n procento hodnot znaku Y , které jsou vˇetˇs´ı nebo rovny neˇz kvantil x0.25 = 2 tvoˇr´ı 90% hodnot souboru a to je procento vˇetˇs´ı nebo rovno neˇz 100(1 − p)%=75%. Také je dobˇre patrné, ˇze kdybychom m´ısto kvantilu x0.25 = 2 zvolili libovolné ˇc´ıslo z intervalu h2, 3i, poˇrád by platilo, ˇze pˇred x0.25 a vˇcetnˇe x0.25 leˇz´ı alespoˇ n 25% hodnota a za x0.25 vˇcetnˇe x0.25 také leˇz´ı alespoˇ n 75% hodnot. To je pˇr´ıklad nejednoznaˇcnosti ve volbˇe kvantilu zm´ınˇené v pˇredchoz´ım odstavci.

4.5

Charakteristiky rozdˇ elen´ı ˇ cetnost´ı

Rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı nebo skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı statistického znaku X udává pˇrehlednou pˇredstavu, jakých hodnot m˚ uˇze tento znak nabývat a jak jsou pro daný statistický soubor tyto hodnoty poˇcetné. Pˇresto, ˇze rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı nebo skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı dává velmi názornou pˇredstavu o pravdˇepodobnostn´ım chován´ı uvaˇzovaného znaku a informaci o hodnotách znaku x1 , x2 , . . . , xn , které byly zjiˇstˇeny na statistickém souboru velkého rozsahu n podstatnˇe shrnuje, je ˇcasto ˇzádouc´ı informaci, kterou o chován´ı znaku X lze vyˇc´ıst z rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı popˇr´ıpadˇe ze

57 skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı, dále zhuˇstˇenˇe popsat. Pouˇz´ıvaj´ı se k tomu charakteristiky rozdˇ elen´ı ˇ cetnost´ı. C´ılem tohoto odstavce bude zavést ˇc´ıselné charakteristiky pro popis polohy rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı nebo skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı a dále ˇc´ıselné charakteristiky pro popis variability hodnot statistického znaku. Je zˇrejmé, ˇze pˇri zavádˇen´ı tˇechto mˇer je potˇreba brát ohled na charakter popisovaného statistického znaku. Pro nomináln´ı znak napˇr. nen´ı moˇzné jeho hodnoty sˇc´ıtat, obecnˇe nen´ı moˇzné dát rozumnou interpretaci pr˚ umˇeru jeho hodnot, zat´ımco pro znak kardináln´ı, pr˚ umˇer zjiˇstˇených hodnot znaku poskytuje v mnoha pˇr´ıpadech velmi kvalitn´ı informace o poloze rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı na vodorovné ose, tedy o jakési stˇredn´ı velikosti zjiˇstˇených hodnot znaku. Proto dále zavedeme charakteristiky polohy a charakteristiky variability zvláˇst’ pro znaky nomináln´ı, zvláˇst’ pro znaky ordináln´ı a zvláˇst’ pro znaky kardináln´ı.

4.5.1

Charakteristiky rozdˇ elen´ı nomin´ aln´ıho znaku

Jak bylo uvedeno v u ´ vodu, jednotlivé varianty x[1] , . . . , x[m] nomináln´ıho znaku X pˇredstavuj´ı obvykle pouze ˇc´ıselné kódy pro kvalitativn´ı pojmenován´ı tˇechto variant. Nˇekdy se variantám ˇr´ıká kategorie hodnot znaku X. Pˇri popisu rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı jsou tyto kategorie znázornˇeny body na ose x (viz Obr. 4.1a resp. Obr. 4.1b), ovˇsem jednotlivé znázornˇené kategorie nejsou uspoˇrádány, m˚ uˇzeme je libovolnˇe permutovat a výpovˇedn´ı informace obsaˇzené ve sloupcovém diagramu rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı se nikterak nezmˇen´ı. Nemá proto smysl zavádˇet m´ıru polohy rozdˇelen´ı na ose x, ale lze zavádˇet nejˇcetnˇejˇs´ı hodnotu znaku, nazveme ji modus a oznaˇc´ıme xˆ. Je tedy xˆ rovna té variantˇe x[m] , pro kterou plat´ı, ˇze ˇcetnost nm je maximáln´ı ze vˇsech ˇcetnost´ı n1 , n2 . . . , nr . Tedy: nm = max{n1 , n2 . . . , nr }. Modus pak ˇrad´ıme mezi charakteristiky polohy, které oznaˇcuj´ı typickou hodnotu rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı. Rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı m˚ uˇze m´ıt dvˇe i v´ıce modáln´ıch kategori´ı. Mluv´ıme pak o unimod´ aln´ım, bimod´ aln´ım, trimod´ aln´ım, resp. k-mod´ aln´ım ˇ rozdˇelen´ı. Ctenáˇr snadno zjist´ı z tabulky Tab. 4.3, ˇze znak X, jehoˇz hodnoty byly prezentovány v tabulce Tab. 4.2 je unimodáln´ı a jeho modus xˆ = 2. Slovnˇe charakterizováno, ve sledovaném souboru student˚ u, který byl popsán v odstavci 4.1, byl nejˇcetnˇejˇs´ı názor na placen´ı ˇskolného názor ”neplatit ˇskolné”. Kdyˇz pop´ıˇseme rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı nomináln´ıho znaku modem, m˚ uˇzeme se dále zaj´ımat jak poˇcetné jsou ostatn´ı kategorie vzhledem k absolutn´ı ˇcetnosti nm nebo relativn´ı ˇcetnosti fm modáln´ı kategorie, do jaké m´ıry je modáln´ı kategorie xˆ typická pro celý soubor a dále jaká je variabilita (promˇenlivost) ˇcetnost´ı daného znaku v celém souboru. Tedy zda jsou ˇcetnosti pˇribliˇznˇe stejné pro jednotlivé varianty (kategorie) znaku nebo zda napˇr. modáln´ı kategorie má ˇcetnost znaˇcnˇe pˇrevyˇsuj´ıc´ı vˇsechny ostatn´ı ˇcetnosti. Zavád´ıme proto následuj´ıc´ı charakteristiky variability pro nomináln´ı znak.

58 1. Variaˇ cn´ı pomˇ er v = v(X) = 1 −

nm n

= 1 − fm ,

kde m je index nejˇcetnˇejˇs´ı varianty znaku. Tedy x[m] = xˆ. Oznaˇcen´ı v = v(X) naznaˇcuje, ˇze jde o varianˇcn´ı pomˇer znaku X. Tuto symboliku budeme pouˇz´ıvat i pˇri zavádˇen´ı dalˇs´ıch mˇer variability. 2. Nomin´ aln´ı variance vnom =P vnom (X) = 1 − =P 1 − ri=1 fi2 = ri=1 fi (1 − fi )

Pr

ni 2 i=1 ( n )

3. Normalizovan´ a nomin´ aln´ı variance ∗ ∗ vnom = vnom (X) =

r v r−1 nom

4. Entropie H = H(X) = −

Pr

i=1 fi

ln fi ,

kde ln znaˇc´ı pˇrirozený logaritmus a klademe 0 ln 0 = 0. 5. Normalizovan´ a entropie H ∗ = H ∗ (X) =

H . ln r

Spoleˇcné vlastnosti uvedených charakteristik variability lze shrnout do následuj´ıc´ıch bod˚ u.

a) Charakteristika nomináln´ı variability je rovna nule, právˇe kdyˇz jsou vˇsechny hodnoty souboru soustˇredˇeny do jedné (modáln´ı) kategorie. Tedy kdyˇz nm = n nebo ekvivalentnˇe fm = 1. V pˇr´ıpadˇe nulové variability (tj. v pˇr´ıpadˇe u ´ plné homogenity hodnot znaku) plat´ı pro hodnoty znaku X, ˇze x1 = x2 = . . . = xn = x[m] = xˆ.

59 b) Charakteristika nomináln´ı variability nabývá maximáln´ı hodnoty, kdyˇz ˇcetnosti n1 , . . . , nr jednotlivých variant x[1] , . . . , x[r] jsou stejné. Tedy kdyˇz n1 = . . . = nr nebo ekvivalentnˇe pro relativn´ı ˇcetnosti plat´ı f1 = f2 = . . . = fr = 1r . Jde o pˇr´ıpad maximáln´ıho rozptýlen´ı. c) Charakteristika nomináln´ı variability roste od nuly do jej´ı maximáln´ı hodnoty a ˇc´ım vˇetˇs´ı je hodnota této charakteristiky, t´ım vyˇsˇs´ı je heterogenita (rozptýlenost) daného souboru. d) Uvedené charakteristiky nomináln´ı variability maj´ı následuj´ıc´ı obory hodnot: ∗ i; vnom ∈ h0, r−1 i; vnom = h0, 1i; H = h0, ln ri a H ∗ = h0, 1i. v ∈ h0, r−1 r r Celkovˇe lze varianˇcn´ı pomˇer doporuˇcit pro jeho rychl´ y výpoˇcet ovˇsem tato m´ıra neodráˇz´ı celé rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı, vycház´ı pouze z modáln´ı ˇcetnosti. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je potˇreba charakterizovat celou strukturu tabulky rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı (v praxi nejˇcastˇejˇs´ı pˇr´ıpad) je vhodné uˇz´ıt charakteristiku vnom nebo H, které maj´ı podobné vlastnosti. V pˇr´ıpadˇe, kdy chceme porovnávat variabilitu soubor˚ u o r˚ uzných, ale pˇredem daných ∗ poˇctech variant, je vhodné pouˇz´ıt ke srovnán´ı normované charakteristiky vnom nebo ∗ H . Pˇ r´ıklad 4.3 V [16] jsou uvedena data o zp˚ usobu z´ıskáván´ı denn´ıho tisku a týden´ık˚ u zjiˇstˇená na statistickém souboru n = 1298 náhodnˇe vybraných pravidelných ˇctenáˇr˚ u. ˇ ast tˇechto dat je uvedena v tabulce Tab. 4.7. V této tabulce statistický znak C´ pˇredstavuje zp˚ usob z´ıskáván´ı daného periodika. Uvaˇzujeme tˇri periodika X, Y a Z a s nimi spojené tˇri statistické znaky X, Y a Z. Tedy statistické znaky oznaˇcujeme stejnými p´ısmeny jako periodika. Znak X byl sledován na podsouboru rozsahu n = 414, znak Y na podsouboru rozsahu n = 230 a znak Z na podsouboru rozsahu n = 116 ˇctenáˇr˚ u periodik X, Y a Z. U vˇsech tˇechto znak˚ u je rozliˇsováno r = 5 variant (kategori´ı): x[1] = 1: ˇctenáˇr si periodikum pˇredplác´ı, x[2] = 2: ˇctenáˇr si periodikum kupuje, x[3] = 3: ˇctenáˇr má periodikum k dispozici v zamˇestnán´ı, x[4] = 4: ˇctenáˇr si periodikum p˚ ujˇcuje, x[5] = 5: ˇctenáˇr má periodikum k dispozici jiným zp˚ usobem. Hodnoty uvedené v ˇrádc´ıch tabulky Tab. 4.7 pˇredstavuj´ı relativn´ı ˇcetnosti jednotlivých variant. Jinými slovy, ˇrádky tabulky Tab. 4.7 udávaj´ı v procentech rozdˇelen´ı relativn´ıch ˇcetnost´ı uvaˇzovaných statistických znak˚ u X, Y a Z. Charakteristiky polohy modus a spolu s n´ım vˇsechny charakteristiky variability jsou uvedeny v tabulce Tab. 4.8. Pˇr´ıklad výpoˇctu tˇechto charakteristik ukáˇzeme pro znak (periodikum) Z. Postupnˇe dostaneme: Modus zˆ znaku Z je nejˇcetnˇejˇs´ı hodnota a odpov´ıdá kategorii x[1] = 1: ”pˇredplác´ı” Dále v = v(Z) = 1 − 0, 483 = 0, 517

60 Periodikum (statistický znak) X Y Z

Varianta znaku - kategorie k dispozici pˇredplác´ı kupuje p˚ ujˇcuje si v práci 2,6 82,9 0,7 12,1 4,8 67,4 3,5 21,7 48,3 24,1 6,9 16,4

z´ıskává jinak 1,7 2,6 4,3

rozsah souboru n 414 230 116

Tabulka 4.7: Data k pˇr´ıkladu 4.3 vnom = vnom (Z) = 1 − 0, 4832 − 0, 2412 − 0, 0692 − 0, 1642 − 0, 0432 = 0, 675 ∗ ∗ vnom = vnom (Z) = 54 · 0, 675 = 0, 844 H = H(Z) = −0, 483 ln 0, 483 − 0, 241 ln 0, 241 − 0, 069 ln 0, 069 − 0, 164 ln 0, 164 − 0, 043 ln 0, 043 = 1, 3107 H ∗ = H ∗ (Z) = 1,3107 = 0, 813 ln 5 Z výsledk˚ u uvedených v tabulce Tab. 4.7 je vidˇet, ˇze nejvˇetˇs´ı variabilitu vykazuje znak Z, nejmenˇs´ı vykazuje znak X. Periodikum X kupuje 82, 9 % ˇctenáˇr˚ u a ostatn´ı kategorie tohoto znaku jsou málo poˇcetné. Proti tomu nejˇcetnˇejˇs´ı kategorie znaku Z (modáln´ı kategorie) je ”pˇredplác´ı” a tuto variantu volilo ve výbˇeru 48,3 % ˇctenáˇr˚ u, ˇcetnost´ı ostatn´ıch kategori´ı tohoto znaku jsou od 0,43 do 0,241. Proto znak Z vykazuje nejvˇetˇs´ı variabilitu, zat´ımco znak X nejmenˇs´ı. Je to vidˇet ze vˇsech vypoˇctených mˇer variability. Periodikum X Y Z

Medián modáln´ı xxx nm kupuje 82,9 kupuje 67,4 pˇredplác´ı 48,3

∗ v vnom vnom H H∗ 0,171 0,297 0,371 0,6099 0,3790 0,326 0,494 0,618 0,9554 0,5936 0,517 0,675 0,844 1,3107 0,8144

Tabulka 4.8: Charakteristiky nomináln´ıch znak˚ u z tabulky Tab. 4.7

4.5.2

Charakteristiky rozdˇ elen´ı ordin´ aln´ıho znaku

Ordináln´ı znak se od nomináln´ıho liˇs´ı t´ım, ˇze varianty (kategorie) jeho moˇzných hodnot jsou uspoˇrádané. Proto je moˇzné pro popis polohy i variability ordináln´ıho znaku uˇz´ıt vˇsechny charakteristiky pouˇz´ıvané pro popis rozdˇelen´ı nomináln´ıho znaku. Kromˇe toho, protoˇze hodnoty ordináln´ıho znaku jsou uspoˇrádané, dostávaj´ı relativn´ı ˇcetnosti fi , i = 1, . . . r tohoto znaku nový význam vzhledem ke svému postaven´ı na ordináln´ı stupnici. Analýza ordináln´ıch dat pak je zaloˇzena právˇe na ˇcetnostech sousedn´ıch hodnot znaku a bude se podstatnˇe op´ırat o kumulativn´ı rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı Fi , i = 1, 2 . . . , r, které u nomináln´ıho znaku nemˇely rozumnou interpretaci. Pomoc´ı kumulativn´ıch relativn´ıch ˇcetnost´ı Fi lze snadno konstruovat empirickou distribuˇcn´ı funkci Fn∗ , kdyˇz jednotlivé uspoˇrádané kategorie ordináln´ıho znaku kódujeme 1, 2, . . . , r, tedy klademe x[1] = 1, x[2] = 2, . . . , x[r] = r. Tak to bylo provedeno pro znak Y v

61 pˇr´ıkladu 4.1, viz téˇz tabulka Tab. 4.4. K empirické distribuˇcn´ı funkci Fn∗ lze pˇriˇradit ∗ kvantilovou funkci F−1 a pomoc´ı n´ı stanovit empirické p-kvantily, které byly zavedeny v odstavci 4.4. Pro p-kvantil znaku X budeme uˇz´ıvat oznaˇcen´ı xp , p ∈ h0, 1i. Pomoc´ı p-kvantil˚ u pak zavedeme m´ıru polohy ordináln´ıho znaku - medián a nˇekteré m´ıry variability. Medi´ an rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znaku X definujeme jako 0,5-kvantil x0,5 empirické distribuˇcn´ı funkce. Budeme jej znaˇcit x˜. Tedy plat´ı x˜ = x0,5 . Takto zavedený medián x˜ oznaˇcuje ordináln´ı kategorii pˇred n´ıˇz leˇz´ı ménˇe neˇz 50 % hodnot znaku X ze vˇsech zjiˇstˇených hodnot x1 , x2 , . . . , xn a aˇz do této kategorie vˇcetnˇe této kategorie spadá v´ıce neˇz 50 % hodnot znaku X. Zapsáno jinak je pˇri zaveden´ı celoˇc´ıselného kódován´ı kategori´ı, medián x˜ definován jako ˇc´ıslo kategorie m (tj. x˜ = x[m] = m), pro nˇeˇz plat´ı Fm−1 < 0, 5 a Fm ≥ 0, 5. V nˇekterých aplikac´ıch se nespokojujeme jenom s urˇcen´ım mediánu jako hodnoty mediánové kategorie x[m] = m, ale jeˇstˇe se zaj´ımáme o pod´ıl statistických jednotek v mediánové kategorii, které jeˇstˇe patˇr´ı k doln´ı polovinˇe souboru. Tento pod´ıl je roven Fm −0,5 ˇ ıslo x˜med a pomoc´ı tohoto pod´ılu lze zavést ˇc´ıslo x˜med = x˜ + 21 − Fmf−0,5 . C´ fm m se nˇekdy nazývá medi´ an ordin´ aln´ıho znaku a obvykle nemá význam varianty znaku (uspoˇrádané kategorie), ale vzniká interpolac´ı poˇradových hodnot mediánové kategorie a kategorie následuj´ıc´ı. V pˇr´ıpadˇe, kdy Fm = 0, 5 je x˜med = x˜ + 21 . Medián ordináln´ıho znaku x˜med má následuj´ıc´ı vlastnosti:

a) Medián x˜med je vˇzdy definován a jeho hodnota leˇz´ı mezi 1 a r (poˇcet variant znaku - kategori´ı) b) x˜med = 1 právˇe kdyˇz vˇsechny hodnoty x1 , . . . , xn leˇz´ı v kategorii x[1] = 1 c) x˜med = r právˇe kdyˇz vˇsechny hodnoty x1 , . . . , xn leˇz´ı v kategorii x[r] = r d) x˜med = x˜ = m právˇe kdyˇz f1 + . . . + fm−1 = fm+1 . . . + fr e) x˜med vyjadˇruje posunut´ı padesátiprocentn´ıho kvantilu podél ordináln´ı stupˇ ım vyˇsˇs´ı je x˜med t´ım vyˇsˇs´ıch hodnot (kategori´ı) nabývaj´ı hodnoty souboru nice. C´ x1 , x2 , . . . , xn . ˇ Pˇ r´ıklad 4.4 Cetnost ˇcten´ı týden´ık˚ u (data z [16]). Bylo sledováno, jak jsou ˇcteny týden´ıky X,Y,U,V,W,Z. Soubor ˇctenáˇr˚ u kaˇzdého z uvedených týden´ık˚ u tvoˇril statistický soubor a pro tento soubor byl sledován statistick´ y znak (oznaˇcený shodnˇe s oznaˇcen´ım týden´ıku), jak je tento týden´ık ˇcten. Hodnoty kaˇzdého znaku byly ˇc´ıselnˇe kódovány na pˇetistupˇ nové ordináln´ı ˇskále (r=5) následuj´ıc´ım zp˚ usobem: 1 - ˇctenáˇr týden´ık neˇcte nebo ˇcte vyj´ımeˇcnˇe, 2 - ˇcte obˇcas, 3 - ˇcte asi 1x za mˇes´ıc, 4 - ˇcte asi 1x za 14 dn´ı, 5 - ˇcte ˇcastˇeji. Rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı udané v procentech pro kaˇzdý znak X, . . . , Z je v ˇrádc´ıch tabulky Tab. 4.9.

62 1 - neˇcte 2 - ˇcte 3 - ˇcte asi Týden´ık ˇcte vyj´ımeˇcnˇe obˇcas 1x za mˇes´ıc X 8,2 10,0 10,9 Y 6,1 10,0 23,0 U 42,3 31,1 14,9 V 33,0 9,7 5,0 W 4,6 6,9 20,2 Z 6,9 20,1 45,5

4 - ˇcte asi 5 - ˇcte n - rozsah 1x za 14 dn´ı ˇcastˇeji souboru 60,0 10,9 558 35,9 25,0 560 8,9 2,8 562 15,0 37,3 561 35,2 33,1 563 22,8 4,7 556

Tabulka 4.9: Frekvence (v procentech) ˇcten´ı vybraných týden´ık˚ u. Výpoˇcet mediánu budeme ilustrovat na týden´ıku U. Kumulativn´ı relativn´ı ˇcetnosti jsou F1 = 0, 423, F2 = 0, 734, F3 = 0, 883, F4 = 0, 972, F5 = 1. Dále ukáˇzeme pˇr´ıklad numerického výpoˇctu mediánu. Medián (mediánová kategorie) u˜ = u[2] = 2 nebot’ F F1 = 0, 423 < 0, 5 a F2 = 0, 743 > 0, 5. Dále u˜med = m + 12 − 2−0,5 = 2+ f2 0,743−0,5 1 − 0,311 = 1, 75. Pro data z tabulky byly dále stanoveny charakteristiky polohy 2 modus uˆ, mediány u˜ a u˜med . Výsledky vˇcetnˇe relativn´ıch kumulaticn´ıch ˇcetnost´ı jsou uvedeny v tabulce Tab. 4.10. Z tabulky je vidˇet, ˇze podle ˇcetnost´ı lze den´ıky seˇradit do uspoˇrádané ˇrady W,X,Y,V,Z,U, kdyˇz týden´ık W je nejˇctenˇejˇs´ı, w˜med = 4, 02 aˇz po nejménˇe ˇctený U, jeho medián je u˜med = 1, 75. Dále budou uvedeny charakteristiky variablity ordináln´ıho znaku: 1. Ordin´ aln´ı variance znaku X vord = vord (X) = 2

Pr

i=1

P P P Fi (1 − Fi ) = 2[ ri=1 Fi − ri=1 Fi2 ] == 2 n12 ri=1 ni (n − ni ).

Ordináln´ı variance vord (X) znaku X je vˇzdy definována, nabývá hodnot mezi 0 a r−1 , je rovna nule, právˇe kdyˇz vˇsechny hodnoty x1 , . . . , xn jsou soustˇredˇeny v jedné 2 kategorii a je rovna maximálnˇe hodnotˇe r−1 , právˇe kdyˇz 50 % hodnot x1 , . . . , xn je v 2 ˇ ım vyˇsˇs´ı je hodnota vord (X), kategorii x[1] a 50 % tˇechto hodnot je v kategorii x[r] . C´ t´ım vyˇsˇs´ı je variabilita dat. 2. Normalizovan´ a ordin´ aln´ı variance ∗ ∗ vord = vord (X) =

2 v (X). r−1 ord

∗ Normalizovaná ordináln´ı variance vord (X) leˇz´ı v intervalu h0, 1i a lze ji pouˇz´ıt ke srovnán´ı ordináln´ıch varianc´ı pro ordináln´ı znaky, které maj´ı odliˇsné poˇcty moˇzných variant r. ∗ Výpoˇcet mˇer variability vord (X) a vord (X) budeme ilustrovat na datech z pˇr´ıkladu 4.3 pro promˇenou U. Vyjdeme z relativn´ıch kumulaticn´ıch ˇcetnost´ı F1 , . . . , F5 stanovených pˇri poˇc´ıtán´ı mediánu (viz tabulka Tab. 4.10). Pro ordináln´ı varianci vord (U) postupnˇe

63 dostaneme vord (U) = 2[0, 423(1 − 0, 423) + 0, 733(1 − 0, 733) + 0, 822(1 − 0, 822) + 0, 971(1 − 0, 971) = 1, 144. ∗ Pro jej´ı normalizovanou verzi pak dostaneme vord (U) = 24 · 1, 144 = 0, 572. Týden´ık X Y U V W Z

kumulativn´ı relativn´ı ˇcetnosti F1 F2 F3 F4 F5 0,082 0,182 0,291 0,891 1 0,061 0,161 0,391 0,750 1 0,423 0,734 0,883 0,?71 1 0,330 0,427 0,477 0,627 1 0,046 0,115 0,317 0,669 1 0,069 0,270 0,725 0,953 1

x e x emed 4 3,85 4 3,80 2 1,75 4 3,65 4 4,02 3 3,01

x b 4 4 1 5 4 3

vord 1,053 1,236 1,144 1,898 1,167 1,011

∗ vord 0,526 0,618 0,572 0,949 0,583 0,505

v 0,400 0,641 0,578 0,627 0,648 0,545

Tabulka 4.10: Charakteristiky ordináln´ıch znak˚ u z tabulky Tab. 4.9 Srovnán´ım charakteristik variability uvedených v tab. Tab. 4.10. snadno nahlédneme, ˇze nejhomogenˇejˇs´ı rozdˇelen´ı (rozdˇelen´ı s nejniˇzˇs´ı ordináln´ı varianc´ı vord ) má znak Z, jehoˇz rozdˇelen´ı je témˇeˇr symetrické kolem mediánové (ale i modáln´ı) kategorie. N´ızká hodnota vord (X) = 1, 053 je zp˚ usobena výrazným modem xˆ = 4 jemuˇz odpov´ıdá vysoká modáln´ı relativn´ı ˇcetnost f4 = 0, 60. Tato vysoká modáln´ı ˇcetnost také zp˚ usobuje, ˇze pˇri popisu rozdˇelen´ı znaku X má modáln´ı kategorie x[4] samostatný interpretaˇcn´ı význam, který ihned plyne z n´ızké hodnoty variaˇcn´ıho pomˇeru v, která je v(X) = 0, 400. Je to nejniˇzˇs´ı hodnota variaˇcn´ıho pomˇeru mezi vˇsemi sledovanými znaky X, . . . , Z. Nejvyˇsˇs´ı ordináln´ı variabilitu vykazuje znak V, vord (V ) = 1, 898. Je to zp˚ usobeno rozˇstˇepen´ım ˇctenáˇr˚ u tohoto týden´ıku na dva extrémn´ı typy (dvouvrcholové rozdˇelen´ı relativn´ıch ˇcetnost´ı). Medián zde má jen orientaˇcn´ı význam a ukazuje, ˇze skupina ˇctenáˇr˚ u um´ıstˇených na ordináln´ı ˇskále vpravo má poˇcetn´ı pˇrevahu. Koneˇcnˇe relativn´ı pomˇery (nomináln´ı m´ıry variability) v(V ) = 0, 627 a v(W ) = 0, 648 jsou si pomˇernˇe bl´ızko, ale ordináln´ı m´ıry variability vord (V ) = 1, 898 a vord (W ) = 1, 167 ukazuj´ı na zcela jinak rozptýlená rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı. Rozdˇelen´ı znaku V má daleko vˇetˇs´ı vnitˇrn´ı heterogenitu neˇz rozdˇelen´ı znaku W, které je prakticky koncentrováno na mnohem niˇzˇs´ı u ´ sek ˇskály. Za zm´ınku stoj´ı, ˇze odpov´ıdaj´ıc´ı m´ıry nomináln´ı variability jsou vnom (V ) = 0, 718 a vnom (W ) = 0, 719 a tedy zcela selhávaj´ı pˇri popisu variability ordináln´ıch promˇenných V a W.

4.5.3

Charakteristiky rozdˇ elen´ı kardin´ aln´ıho znaku

Kardináln´ı znak se liˇs´ı od ordináln´ıho t´ım, ˇze jeho hodnoty maj´ı význam reálných ˇc´ısel, která jsou pˇrirozenˇe uspoˇrádána a nav´ıc s nimi lze provádˇet obvyklé ˇc´ıselné operace (souˇcet, rozd´ıl, souˇcin, pod´ıl). V pˇr´ıpadˇe, ˇze obor hodnot tohoto znaku je interval reálných ˇc´ısel nebo v pˇr´ıpadˇe, kdy poˇcet variant sledovaného znaku je velký, uˇz´ıvá se pro zhuˇstˇený popis informace obsaˇzená v datovém souboru sp´ıˇse

64 skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı neˇz rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı. Jednotlivé intervaly skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı odpov´ıdaj´ı uspoˇrádaným kategori´ım ordináln´ıho znaku, obvykle jsou reprezentovány svým stˇredem, lze jim pˇriˇradit absolutn´ı, relativn´ı i kumulativn´ı ˇcetnosti a je proto moˇzné charakterizovat skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnosti kardináln´ıho znaku stejnými charakteristikami polohy i variability, jako tomu bylo u ordináln´ıho znaku. Je proto moˇzné mluvit o modáln´ım intervalu, intervalu s mediánem a podobnˇe lze zavádˇet i interpretovat charakteristiky variability. Kromˇe toho lze pro ordináln´ı znak zavést dalˇs´ı charakteristiky polohy a variability, které vycházej´ı ze skuteˇcnosti, ˇze s hodnotami kardináln´ıho znaku lze provádˇet ˇc´ıselné operace. V dalˇs´ı ˇcásti tohoto odstavce zavedeme jednotlivé m´ıry polohy a variability. Uvedeme vˇzdy vzorec, který bude vycházet z pozorovaných hodnot x1 , x2 . . . , xn znaku X a dále vzorec, který bude vycházet se skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znaku X. Hodnoty znaku X budou nahrazeny stˇredy si interval˚ u skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı Ii , i = 1, . . . , r. Stˇredy si pak budou odpov´ıdat variantám x[i] sledovaného znaku u ordináln´ıch promˇenných. Nejdˇr´ıve se budeme zabývat charakteristikami polohy. 1. Aritmetick´ y pr˚ umˇ er x¯ =

1 n

Pn

i=1

xi

Pro skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı lze aritmetický pr˚ umˇer poˇc´ıtat podle pˇribliˇzného vzorceP P . x¯ = n1 ri=1 ni · si = rj=1 fj · sj Vlastnosti aritmetického pr˚ umˇeru: a) Aritmetický pr˚ umˇer je vˇzdy definován a jeho hodnota leˇz´ı mezi x1 = min{x1 , . . . , xn } a xn = max{x1 , . . . , xn } P b) Souˇcet odchylek od aritmetického pr˚ umˇeru je nula. Tj. plat´ı ni=1 (xi − x¯) = 0. c) x¯ je stˇredem rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı v tom smyslu, ˇze souˇcet ˇctverc˚ u odchylek vˇsech pozorován´ı od aritmetického pr˚ umˇeru je nejmenˇs´ı moˇzný. To znamen´ Pa ˇze P mina ni=1 (xi − a)2 = ni=1 (xi − x¯)2

d) Kdyˇz zavedeme nový znak Y jako lineárn´ı transformaci znaku X, tedy poloˇz´ıme Y = a + bX, kde a, b jsou reálné konstanty, plat´ı pro pr˚ umˇer y¯ hodnot y1 = a + bx1 , . . . , yn = a + bxn znaku Y vztah y¯ = a + b¯ x. e) Aritmetický pr˚ umˇer je vhodnou m´ırou polohy, kdyˇz skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı znaku X je jednovrcholové a pˇribliˇznˇe symetrické kolem modáln´ıho intervalu.

65 Pro bimodáln´ı rozdˇelen´ı nereprezentuje x¯ typickou hodnotu, ale zpravidla je um´ıstˇen mezi obˇema vrcholy. Koneˇcnˇe pro asymetrické rozdˇelen´ı je x¯ posunut smˇerem k protáhlému konci tohoto rozdˇelen´ı. Je moˇzné ukázat, ˇze na hodnotu x¯ maj´ı také velký vliv hodnoty, které jsou od stˇredu modáln´ıho intervalu znaˇcnˇe odlehlé (zejména x(1) nebo x(n) ). 2. Geometrick´ y pr˚ umˇ er Q 1 √ x¯G = ( ni=1 xi ) n = n x1 · x2 , . . . , xn

Pro data uspoˇrádaná do skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı lze x¯G poˇc´ıtat podle pˇribliˇzného vzorceQ qQ . r fj x¯G = j=1 sj = n rj=1 snj i Vlastnosti x¯G

a) Geometrický pr˚ umˇer je definován pro znak, který m˚ uˇze nabývat pouze kladných hodnot. b) Výpoˇcet geometrického pr˚ umˇeru se obvykle provád´ı tak, ˇze se vypoˇcte aritmetický pr˚ umˇer y¯ hodnot yi = ln xi (ln znaˇc´ı pˇrirozený logaritmus) a potom pomoc´ı exponenciáln´ı funkce se vypoˇcte geometrický pr˚ umˇer podle vzorce y¯ x¯G = e . c) x¯G je vhodným ukazatelem polohy pro rozdˇelen´ı, která nejsou symetrická, jsou ˇ unimodáln´ı s ”protaˇzeným koncem”. Casto se pouˇz´ıvá pro pomˇerová data a v situaci, kdy je vhodnˇejˇs´ı porovnávat pod´ıly pozorován´ı xxji sp´ıˇse neˇz jejich rozd´ıly xi − xj . 3. Harmonick´ y pr˚ umˇ er Pro kladn´ an´ı x1 , . . . , xn definujeme harmonický pr˚ umˇer x¯H vztahem Pan pozorov´ 1 −1 x¯H = n( i=1 xi ) . Pro data uspoˇrádaná do tabulky skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı plat´ı pˇribliˇzný vzorec . P x¯H = n( ri=1

ni −1 ) . si

Harmonický pr˚ umˇer se pouˇz´ıvá pˇri nˇekterých specifických situac´ıch napˇr. pˇri výpoˇctu pr˚ umˇerné rychlosti. 4. Kvadratick´ y pr˚ umˇ er Definujeme vztah x¯K =

q P n 1 n

i=1

x2i

66 Pro data uspoˇrádaná do skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı plat´ı pˇribliˇzný vzorec . x¯K =

q P r 1 n

i=1 ni · si =

pPr

i=1

fi · s2i

Kvadratický pr˚ umˇer se ˇcasto pouˇz´ıvá pˇri popisu variability chyb mˇeˇren´ı. Mezi uvedenými charakteristikami polohy plat´ı vztahy (viz[1]) x(1) ≤ x¯H ≤ x¯G ≤ x¯ ≤ x¯K ≤ x(n) . V pˇr´ıpadˇe, ˇze x1 = . . . = xn plat´ı v uvedených nerovnostech rovnost. Nejsou-li si vˇsechna pozorován´ı rovna, jsou vˇsechny uvedené nerovnosti ostré. Jinou charakteristikou polohy, která nen´ı ovlivnˇena nejvˇetˇs´ımi a nejmenˇs´ımi pozorovanými hodnotami znaku je jak jiˇz bylo ˇreˇceno v u ´ vodu odstavce 4.5.2 medián x˜. Jeho výpoˇcet pro skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı se provád´ı analogicky jak v pˇr´ıpadˇe ordináln´ıho znaku, tedy pomoc´ı p-kvantilu xp empirické distribuˇcn´ı funkce Fn∗ . Klademe x˜ = x0,5 . V pˇr´ıpadˇe, ˇze rozsah souboru n je liché ˇc´ıslo, tedy n = 2k − 1, lze medián x˜med stanovit jako hodnotu prostˇredn´ıho pozorován´ı xk uspoˇrádané ˇrady x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(k) ≤ . . . ≤ xn hodnot x1 . . . xn . Tedy x˜ = x(k) . Je-li n ˇc´ıslo sudé tedy n = 2k, poˇc´ıtáme medián jako pr˚ umˇer dvou prostˇredn´ıch hodnot, tedy podle x +x vzorce x˜med = k 2(k+1) . Upozornˇeme jeˇstˇe na vztah mediánu x˜ poˇr´ızeného pomoc´ı kvantilu a x˜med poˇr´ızeného z uspoˇrádané ˇrady hodnot x(1) , . . . , x(n) . Zˇrejmˇe x˜ = x˜med , kdyˇz n je liché. Je-li n sudé, n = 2k je medián x˜ poˇc´ıtaný pomoc´ı kvantilu roven hodnotˇe x(k) , tj. x˜ = x(k) , x +x zat´ımco medián poˇc´ıtaný pomoc´ı vzorce x˜med = k 2(k+1) nenabývá v pˇr´ıpadˇe, ˇze x(k) < x(k+1) ˇzádné pozorované hodnoty x1 . . . xk . Z teoretického hlediska je lépe pouˇz´ıvat sp´ıˇse x˜med neˇz x˜. Charakteristiky variability 1. Empirick´ y rozptyl s2 =

1 n

Pn

i=1 (xi

− x¯)2

Pro skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı lze s2 poˇc´ıtat podle pˇribliˇzného vzorce . s2 =

1 n

Pr

j=1

nj · (sj − x¯)2

Vlastnosti rozptylu: a) s2 = 0 právˇe kdyˇz plat´ı x1 = x2 = . . . = xn = x¯. b) Pˇri poˇcP ´ıtán´ı rozptylu lze vyuˇz´ıt vzorce 1 2 s = n ni=1 x2i − x¯2 = x¯k − x¯2 Uvedený vzorec je výhodný pro výpoˇcet rozptylu na datových souborech velkého

67 rozsahu. c) Rozptyl s2 lze vyjádˇrit ve tvaru s2 =

1 2n2

Pn Pn i=1

j=1 (xi

− xj )2

d) Kdyˇz znak Y = a + bX je lineárn´ı transformace znaku X, pak pro rozptyl s2y hodnot y1 = a + bx1 , . . . , yn = a + bxn plat´ı s2y = b2 s2x . e) Z definice rozptylu plyne, ˇze rozptyl hodnot znaku X popisuje kol´ısán´ı (variabilitu) hodnot x1 . . . , xn kolem aritmetického pr˚ umˇeru. Ze vztahu pro rozptyl uvedeného v bodˇe c) plyne, ˇze rozptyl hodnot x1 . . . , xn charakterizuje variabilitu, které je mezi dvojicemi pozorován´ı xi a xj , i, j = 1, 2 . . . , n. Tedy variabilita hodnot x1 , . . . , xn mezi sebou je charakterizována rozptylem bez ohledu na m´ıru polohy x¯. 2. Empirick´ a smˇ erodatn´ a odchylka Empirickou√smˇerodatnou odchylku s zavád´ıme pomoc´ı empirického rozptylu s2 vztahem s = s2 . Protoˇze smˇerodatná odchylka s je u ´ zce svázána s rozptylem, má podobné vlastnosti jako rozptyl. Jej´ım hlavn´ım kladem je, ˇze jej´ı fyzikáln´ı rozmˇer je ve stejných jednotkách jako jsou jednotlivé hodnoty x1 , x2 . . . , xn . Dalˇs´ı m´ıry variability, které zavedeme a budou vycházet z uspoˇrádané ˇrady pozorován´ı x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) hodnot x1 , . . . , xn a z kvantil˚ u xp pˇr´ısluˇsných ∗ empirických distribuˇcn´ıch funkc´ı Fn . 3. Rozpˇ et´ı Rozpˇet´ı ˇrady hodnot x1 , . . . , xn definujeme vztahem R = x(n) − x(1) Jaho výpoˇcet je velmi rychlý, umoˇzn ˇ uje jednoduˇse posoudit variabilitu ovˇsem na druhé stranˇe, jeho hodnota je znaˇcnˇe zat´ıˇzená nejmenˇs´ı a také nejvˇetˇs´ı pozorovanou hodnotou. 4. Decilov´ a odchylka Pro danou ˇradu hodnot x1 , . . . , xn znaku X nazýváme empirické kvantily x0,1 , x0,2 , . . . , x0,9 empirick´ e decily struˇcnˇe jenom decily. Pomoc´ı nich pak definujeme decilov´ e rozpˇ et´ı RD = x0,9 − x0,1

a decilovou odchylku

1 QD = RD 2

68 . 5. Kvartilov´ a odchylka Podobnˇe jako decily zavád´ıme kvartily x0,25 , x0,50 , x0,75 . Kvartil x0,25 nazýváme doln´ı ˇ ıslo kvartil, x0,50 je medián a x0,75 nazýváme horn´ım kvartilem. C´ Rk = x0,75 − x0,25 pak nazýváme kvartilov´ e rozpˇ et´ı a ˇc´ıslo Qk = 12 Rk nazýváme kvartilovou odchylkou. Výhodou decilového a kvartilového rozpˇet´ı a decilové a kvartilové odchylky je, ˇze variabilitu sledované ˇrady hodnot x1 , . . . , xn mˇeˇr´ı bez ohledu na odlehlá krajn´ı pozorován´ı.

15 7,1688 7,5 6,75 8,9 2 65 3,9622 3,2 2,475 6,425 0,5 20 5,0842 4,2 3 7,375 1

Smˇerodatná odchylka s

Rozptyl s2

Maximum z(n)

Minimum z(1)

Horn´ı kvartil z0,75

Doln´ı kvartil z0,25

Median ze

ano ne nev´ım

Pr˚ umˇer z

Hodnota znaku X

1 2 3

Rozsah n

Podsoubor

Pˇ r´ıklad 4.5 Pouˇzit´ı uvedených charakteristik polohy a variability statistického znaku budeme ilustrovat na datech tabulky 4.2. pro znak Z - mˇes´ıˇcn´ı výˇse kapesného. Histogram rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı tohoto znaku pro r˚ uzné délky tˇr´ıdn´ıch interval˚ u je na obr. 4.5. Toto skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı pop´ıˇseme pomoc´ı charakteristik. jednotlivé charakteristiky vypoˇcteme podle vzorc˚ u uvedených v pˇredchoz´ıch odstavc´ıch. Výsledky jsou uvedeny v tabulce Tab. 4.11.

11,2 6,4034 2,5305 8,4 4,2207 2,0544 9,6 7,2982 2,7015

Tabulka 4.11: Charakteristiky polohy a variability znaku Z z datového souboru z tabulky Tab. 4.2 pro podsoubory vytvoˇrené podle variant znaku X. Z Tab. 4.11 i Obr. 4.6 je patrné, ˇze studenti, kteˇr´ı jsou pro placen´ı ˇskolného maj´ı hodnoty kapesného (hodnoty znaku Z) vyˇsˇs´ı neˇz studenti nerozhodnut´ı a studenti, kteˇr´ı nejsou pro placen´ı ˇskolného. Tito posledn´ı pak maj´ı hodnoty znaku Z nejniˇzˇs´ı. Kromˇe toho nejvyˇsˇs´ı variabilitu dosahuje znak Z v souboru nerozhodných a nejniˇzˇs´ı variabilita je v souboru student˚ u, kteˇr´ı si placen´ı ˇskolného nepˇrej´ı. Pˇri porovnáván´ı variability znak˚ u, které jsou mˇeˇreny v r˚ uzných jednotách se nˇekdy pouˇz´ıvá variaˇ cn´ı koeficient. Definuje se vztahem s v= . x

69 Jeho výhodou je, ˇze je bezrozmˇerné ˇc´ıslo. Koneˇcnˇe pˇri detailnˇejˇs´ım popisu rozdˇelen´ı ˇcetnosti nelze vystaˇcit s charakteristikami polohy a variability, ale zavádˇej´ı se dalˇs´ı charakteristiky. Snad nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı z nich jsou momenty (pro popisnou statistiku se sp´ıˇse hod´ı term´ın empirické momenty). Pro libovolné pˇrirozené ˇc´ıslo k seP momenty zavádˇej´ı následuj´ıc´ım zp˚ usobem: n k k-t´ y obecn´ y moment: m′k = n1 P x i=1 i k-t´ y centr´ aln´ı moment mk = n1 ni=1 (xi − x)k . Je zˇrejmé, ˇze prvn´ı obecný moment je roven aritmetickému pr˚ umˇeru, tedy m′1 = x a druhý centráln´ı moment je roven empirickému rozptylu tedy m2 = s2 . Jsou-li data uspoˇrádána do tabulky skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı, lze uvedené momenty poˇc´ıtat podle pˇribliˇzných vzorc˚ u r

m′k a

r

X . 1X = nj skj = fj skj n j=1 j=1

r

r

X 1X nj (sj − x)k = fj (sj − x)k . m1 = n j=1 j=1

Koneˇcnˇe lze pomoc´ı moment˚ u zavést m´ıru asymetrie souboru a3 (téˇz zvanou ˇ sikmost) a m´ıru koncentrace kolem pr˚ umˇeru a4 zvanou ˇ spiˇ catost. Zavád´ı se vztahy a3 = a4 =

m3 3/2 m2

=

m3 s3

m4 m4 − 3 = 4 − 3. 2 m2 s

Soubory, jejichˇz skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnosti je pˇribliˇznˇe symetrické maj´ı koeficient ˇsikmosti a3 bl´ızký mule, jsou-li jejich skupinové rozdˇelen´ı protaˇzen´ı doprava, je a3 > 0 a pˇri protaˇzen´ı doleva je a3 < 0.

70

Kapitola 5 N´ ahodn´ e veliˇ ciny Výsledkem pˇredchoz´ı kapitoly byl popis rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı nebo skupinového rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı statistického znaku pomoc´ı vhodné tabulky nebo pomoc´ı grafického znázornˇen´ı. Ukázalo se, ˇze hodnoty statistického znaku zjiˇst’ované na r˚ uzných jednotkách daného statistického souboru mohou kol´ısat, nˇekteré hodnoty znaku ve statistickém souboru jsou v´ıce jiné ménˇe pravdˇepodobné. Pˇredstavu o tomto kol´ısán´ı dává rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı nebo skupinové rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı sledovaného znaku. V této kapitole naváˇzeme na výsledky pˇredchoz´ı kapitoly, pojem statistického znaku jakoˇzto numerické ohodnocen´ı jednotek daného statistického souboru zpˇresn´ıme, zavedeme m´ısto nˇeho náhodnou veliˇcinu. Dále podobným zp˚ usobem jako jsme na základˇe vlastnost´ı ˇcetnosti zavedli axiomaticky pravdˇepodobnost zavedeme m´ısto rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı statistického znaku rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny. Pak pop´ıˇseme vlastnosti rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti a uvedeme základn´ı modelová rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, která jsou v aplikac´ıch – zejména ekonomického charakteru, ta nejˇcastˇejˇs´ı.

5.1

N´ ahodn´ a veliˇ cina a jej´ı distribuˇ cn´ı funkce

Vyjdeme z pravdˇepodobnostn´ıho prostoru (Ω, A, P ) a jednotlivým elementárn´ım jev˚ um ω ∈ Ω pˇriˇrad´ıme ˇc´ıselné ohodnocen´ı. Takové ˇc´ıselné ohodnocen´ı lze matematicky popsat pomoc´ı zobrazen´ı X, které elementárn´ımu jevu ω ∈ Ω pˇriˇrad´ı reálné ˇc´ıslo x ∈ (−∞, ∞). Formálnˇe zapsáno X(ω) = x. Pomoc´ı zobrazen´ı X lze zapisovat podmnoˇziny mnoˇziny Ω. Napˇr. je-li Ω mnoˇzina vˇsech jedinc˚ u dané (hypotetické) populace a zobrazen´ı X pˇriˇrazuje danému jedinci ω jeho výˇsku x = X(ω) v centimetrech, lze uvaˇzovat podmnoˇziny Ω tvaru: {ω : X(ω) ≤ 150} = mnoˇzina jednotlivc˚ u s nejvyˇsˇs´ı výˇskou 150 cm {ω : 160 ≤ X(ω) ≤ 180} pˇredstavuje mnoˇzinu jedinc˚ u dané populace s výˇskou alespoˇ n 160 cm a s nejvyˇsˇs´ı výˇskou 180 cm. 71

72 {ω : X(ω) > 200} pˇredstavuje mnoˇzinu jednotlivc˚ u vyˇsˇs´ıch neˇz 200 cm apod. V situac´ıch, kdy prostor elementárn´ıch jev˚ u Ω nen´ı koneˇcná mnoˇzina, existuje obrovské mnoˇzstv´ı zp˚ usob˚ u, jak numerické ohodnocen´ı výsledk˚ u experimentu provést, tedy jak vybrat zobrazen´ı X. Z hlediska aplikac´ı jsou uˇziteˇcná pouze taková zobrazen´ı X, pro která jsou mnoˇziny z výˇse uvedeného pˇr´ıkladu náhodné jevy na jevovém poli (Ω, A) a lze jim pˇriˇradit pravdˇepodobnost. Zobrazen´ı, která tuto vlastnost maj´ı, se nazývaj´ı náhodné veliˇciny. Definice 5.1 Zobrazen´ı X, které kaˇzdému elementárn´ımu jevu ω ∈ Ω pˇriˇrazuje reálné ˇc´ıslo x = X(ω) nazveme n´ ahodnou veliˇ cinou na jevovém poli (Ω, A), kdyˇz pro libovolný interval reálných ˇc´ısel I plat´ı, ˇze {ω : X(ω) ∈ I} ∈ A. Dále pro podmnoˇziny Ω typu {ω : X(ω) ∈ I} zavedeme oznaˇcen´ı [X ∈ I]. Z definice náhodné veliˇciny plyne, ˇze následuj´ıc´ı mnoˇziny typu [X ≤ x] = {ω : X(ω) ≤ x}, [X > x] = {ω : X(ω) > x}, [X = x] = {ω : X(ω) = x} pro libovolné reálné x jsou náhodné jevy, tedy prvky jevové σ–algebry A. Lze jim proto pˇriˇradit pravdˇepodobnosti. Dále zavedeme zjednoduˇsené oznaˇcen´ı. M´ısto P ({ω : X(ω) ∈ I}) = P ([X ∈ I]) budeme struˇcnˇe psát P (X ∈ I) nebo m´ısto P ({ω : X(ω) ≤ x}) budeme psát P (X ≤ x) apod. Pravdˇepodobnosti uvedeného typu lze pouˇz´ıt k popisu pravdˇepodobnostn´ıho chován´ı náhodné veliˇciny. Lze to provést zaveden´ım distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny. Definice Necht’ (Ω, A, P ) je pravdˇepodobnostn´ı prostor a X náhodná veliˇcina definovaná na jevovém poli (Ω, A). Pak funkci F (x) = P (X ≤ x) definovanou pro kaˇzdé reálné x nazýváme distribuˇ cn´ı funkc´ı náhodné veliˇciny X. Uved’me si jednoduchý pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 5.1 Uvaˇzujme jednoduchý pokus spoˇc´ıvaj´ıc´ı ve 3 hodech minc´ı a uvaˇzujme náhodnou veliˇcinu X, která kaˇzdé trojici hod˚ u pˇriˇrad´ı poˇcet l´ıc˚ u, které v tˇechto tˇrech hodech padly. Naleznˇete a graficky znázornˇete distribuˇcn´ı funkci náhodné veliˇciny X. ˇ sen´ı: Prostor elementárn´ıch jev˚ Reˇ u Ω pop´ıˇseme obvyklým zp˚ usobem Ω = {[L, L, L], [L, L, R], . . . , [R, R, L], [R, R, R]}. Protoˇze Ω je koneˇcná mnoˇzina zvol´ıme za σ–algebru A systém vˇsech podmnoˇzin Ω a pravdˇepodobnost P zvol´ıme klasickou. Náhodnou veliˇcinu X pak lze popsat zobrazen´ım: X([R, R, R]) = 0 X([L, R, R]) = X([R, L, R]) = X([R, R, L]) = 1 X([R, L, L]) = X([L, R, L]) = X([L, L, R]) = 2 X([L, L, L]) = 3 Pro distribuˇcn´ı funkci F (x) = P (X ≤ x) náhodné veliˇciny X pak pomoc´ı klasické pravdˇepodobnosti dostaneme: pro x < 0 je F (x) = P (X ≤ x) = P (∅) = 0 pro 0 ≤ x < 1 je F (x) = P (X ≤ x) = P (X = 0) = P ([R, R, R]) = 81 pro 1 ≤ x < 2 je F (x) = P (X ≤ x) = P ([X = 0] ∪ [x = 1]) = P (X = 0)

73 + P (X = 1) = P ([R, R, R]) + P ({[L, R, L], [R, L, R], [R, R, L]}) = 81 + 38 = 48 pro 2 ≤ x < 3 je F (x) = P (X ≤ x) = P ([X = 0] ∪ [X = 1] ∪ [X = 2]) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 81 + 38 + 38 = 87 pro 3 ≤ x je F (x) = P (X ≤ x) = P ([X = 0] ∪ [X = 1] ∪ [X = 2] ∪ [X = 3]) = P (Ω) = 1. Grafické znázornˇen´ı distribuˇcn´ı funkce F (x) je na obr. 5.1 Obr. 5.1 Z obrázku 5.1 jsou dobˇre patrné obecné vlastnosti distribuˇcn´ı funkce. Dále jsou tyto vlastnosti uvedeny pˇrehlednˇe, pˇr´ısluˇsný d˚ ukaz lze nalézt napˇr. v [13], [18] nebo v [3]. Vlastnosti distribuˇ cn´ı funkce. Pˇredpokládejme, ˇze X je náhodná veliˇcina definovaná na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P ) a F (x) je jej´ı distribuˇcn´ı funkce. Pak plat´ı: VDF 1. 0 ≤ F (x) ≤ 1 pro kaˇzdé x ∈ (−∞, ∞) VDF 2. F (x) je neklesaj´ıc´ı funkc´ı VDF 3. F (x) je funkce zprava spojitá VDF 4. limx→∞ F (x) = 1 a limx→−∞ F (x) = 0 VDF 5. Pro libovolná reálná ˇc´ısla x1 , x2 , x1 < x2 plat´ı P (x1 < X2 ≤ x2 ) = F (x2 ) − F (x1 ) VDF 6. Pro kaˇzdé reálné x plat´ı, ˇze P (X = x) = F (x) − lim F (y). y→x−

(Oznaˇcen´ı limy→x− F (y) znaˇc´ı, ˇze se jedná o limitu funkce F (y) pro y, které konverguje k bodu x zleva). Uvedenou vlastnost distribuˇcn´ı funkce lze slovnˇe charakterizovat tak, ˇze velikost skoku distribuˇcn´ı funkce F v bodˇe x je rovna pravdˇepodobnosti, s n´ıˇz náhodná veliˇcina X hodnotu x m˚ uˇze nabýt. Z vlastnosti distribuˇcn´ı funkce uvedené v bodˇe 5 je patrné, ˇze distribuˇcn´ı funkce F (x) náhodné veliˇciny X umoˇzn ˇ uje pro libovolný interval I = (x1 , x2 i stanovit pravdˇepodobnost P (X ∈ I) = P (x1 < X ≤ x2 ). Odtud pomoc´ı dalˇs´ıch vlastnost´ı distribuˇcn´ı funkce (zejména vlastnost´ı 2, 3 a 4) lze ukázat, ˇze distribuˇcn´ı funkce F umoˇzn ˇ uje jednoznaˇcnˇe popsat vˇsechny pravdˇepodobnosti P (X ∈ B), kde mnoˇzina

74 B je libovolná borelovská mnoˇzina (viz [13]). Lze proto pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce F (x) náhodné veliˇciny X zavést PX (B) = P (X ∈ B). PX (B) je pak axiomatickou pravdˇepodobnost´ı definovanou na borelovském jevovém poli (R, B) (viz odstavec 2.2). Pravdˇepodobnost PX (B), B ∈ B se nazývá rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti náhodné veliˇciny X. Je-li borelovská mnoˇzina B interval reálných ˇc´ısel I, pˇriˇrazuje rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost PX tomuto intervalu pravdˇepodobnost s jakou náhodná veliˇcina X nabude své hodnoty z tohoto intervalu. Protoˇze mezi distribuˇcn´ı funkc´ı náhodné veliˇciny X a jej´ım rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti PX je vzájemnˇe jednoznaˇcný vztah ˇr´ıkáme, ˇze distribuˇcn´ı funkce F urˇcuje nebo popisuje rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı náhodné veliˇciny X. Podle toho, jaký tvar má distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny, lze provést kategorizaci náhodných veliˇcin a pro náhodné veliˇciny, které maj´ı distribuˇcn´ı funkce podobného typu lze zavést speciáln´ı názvy. Provedeme to v odstavci 5.3. V nˇekterých aplikac´ıch je tˇreba konstruovat náhodnou veliˇcinu, která by mˇela rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı s pˇredem danými vlastnostmi. Protoˇze rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı je jednoznaˇcnˇe urˇceno distribuˇcn´ı funkc´ı, naskýtá se otázka, kdy je daná funkce F (x) distribuˇcn´ı funkc´ı nˇejaké náhodné veliˇciny X. Ukazuje se (viz [13]), ˇze funkce F (x) je distribuˇcn´ı funkc´ı vˇzdy, kdyˇz je neklesaj´ıc´ı, zprava spojitá a limx→∞ F (x) = 1, limx→−∞ F (x) = 0 (tedy, aby funkce F splˇ novala vlastnosti VF2, VF3 a VF4 uvedené výˇse).

5.2

Transformovan´ e n´ ahodn´ e veliˇ ciny

V mnoha praktických situac´ıch je mnohdy výhodné pouˇz´ıvat m´ısto náhodné veliˇciny X jej´ı transformaci. Tak napˇr. pˇri popisu ekonomických ukazatel˚ u se ˇcasto pracuje s jejich logaritmem nebo s jejich lineárn´ı transformac´ı, predikce dané veliˇciny se provád´ı pomoc´ı kvadratické, kubické exponenciáln´ı nebo hyperbolické funkce nˇejaké jiné náhodné veliˇciny apod. Zavád´ıme proto následuj´ıc´ı terminologii. Je-li X náhodná veliˇcina na jevovém poli (Ω, A) a g(x) taková libovolná reálná funkce, ˇze zobrazen´ı Y = g(X) (tj. sloˇzené zobrazen´ı Y (ω) = g(X(ω)) je opˇet náhodná veliˇcina na jevovém poli (Ω, A), ˇr´ıkáme, ˇze Y je transformovan´ a náhodná veliˇcina. Lze ukázat, ˇze kdyˇz funkce g je spojitá nebo funkce po ˇcástech spojitá, je Y = g(X) transformovaná náhodná veliˇcina. Speciálnˇe odtud dostáváme, ˇze funkce náhodné veliˇciny Y = log X (log znaˇc´ı pˇrirozený algoritmus), Y = a + bX, kde a,b jsou dané reálné konstanty, Y = X 2 , Y = sin X, Y = eX apod jsou opˇet náhodné veliˇciny na (Ω, A). V nˇekterých situac´ıch je potˇreba pracovat zároveˇ n s v´ıce náhodnými veliˇcinami X1 , X2 , . . . , Xn nˇekdy dokonce s posloupnost´ı náhodných veliˇcin definovaných na stejném pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A). Pak lze zavést transformovanou náhodnou veliˇcinu obecnˇeji vztahem

75 Y = g(X1, X2 , . . . , Xn ) (tj: Y (ω) = g(X1 (ω), X2(ω), . . . , Xn (ω)), kde g je reálná funkce n promˇenných taková, ˇze Y = g(X1 , . . . , Xn ) je náhodná veliˇcina na jevovém poli (Ω, A). Lze ukázat viz [3], ˇze souˇcet, souˇcin, rozd´ıl a pod´ıl (pokud je definován) náhodných veliˇcin definovaných na (Ω, A) je opˇet náhodná veliˇcina definovaná na (Ω, A). Dalˇs´ım c´ılem bude naj´ıt distribuˇcn´ı funkci transformované náhodné veliˇciny Y = g(x), kdyˇz známe distribuˇcn´ı funkci náhodné veliˇciny X nebo obecnˇeji, naj´ıt distribuˇcn´ı funkci transformované náhodné veliˇciny Y = g(X1 , . . . , Xn ), kdyˇz známe distribuˇcn´ı funkce F1 (x), F2 (x), . . . , Fn (x) náhodných veliˇcin X1 , . . . , Xn . Vyjdeme nejdˇr´ıve z jednoduˇsˇs´ı situace, kdy Y = g(X). Pak distribuˇcn´ı funkci transformované náhodné veliˇciny Y znaˇc´ıme FY (y) a vypoˇcteme ji pomoc´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti PX . Postupnˇe dostaneme FY (g) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) = P (X ∈ By ) = PX (By ), kde By = {x : g(x) ≤ y}. Je-li By interval nebo sjednocen´ı interval˚ u pak je výpoˇcet jednoduchý. Obecný pˇr´ıpad m˚ uˇze být komplikovanˇejˇs´ı. Výpoˇcet osvˇetl´ıme na pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 5.2 Pˇredpokládejme, ˇze náhodná danou pˇredpisem  0 pro  F (x) = x pro   1 pro

veliˇcina X má distribuˇcn´ı funkci F (x) x ≤ −1 −1<x<1 x ≥ 1.

Naleznˇete distribuˇcn´ı funkci náhodné veliˇciny Y = X 2 . ˇ sen´ı: Oznaˇcme FY (y) = P (Y ≤ y) distribuˇcn´ı funkci náhodné veliˇciny Y. Pak Reˇ postupnˇe dostaneme FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X 2 ≤ y). Protoˇze X 2 ≥ 0 plat´ı: pro y < 0 : FY (y) = P (X 2 ≤ y) = 0 a pro y ≥ 0 dostaneme pomoc´ı vlastnost´ı distribuˇcn´ı funkce VDF5 a VDF6 FY (y) = P (X 2 ≤ y) = P (|x| ≤

√

√ √ y) = P (− y ≤ X ≤ y) =

√ √ √ = P (X = − y) + P (− y < X ≤ y) = √ √ √ √ = F ( y) − F (− y) + F (− y) − limt→−√y F (t) = F ( y) − limt→−√y F (t). √ √ Je-li y ≥ 1, je y ≥ 1 a − y ≤ −1 a √ FY (y) = F ( y) − limt→−√y F (t) = 1 − 0 = 1

76 √ √ √ Je-li 0 ≤ y ≤ 1 plat´ı také −1 ≤ ± y ≤ 1 pak F ( y) = y a limt→−√y F (t) = √ √ √ √ √ √ F (− y) = − y. Odtud FY (y) = F ( y) − limt→−√y F (t) = y − (− y) = 2 y. Celkem dostáváme   0 √ FY (y) = 2 y   1

pro y < 0 pro 0 ≤ y ≤ 1 pro y > 1.

Nalezen´ı distribuˇcn´ı funkce transformované náhodné veliˇciny Y = g(X1 , X2 , . . . , Xn ) je u ´ loha komplikovanˇejˇs´ı. Tuto u ´ lohu budeme v obecném pˇr´ıpadˇe ˇreˇsit pozdˇeji, aˇz budeme mluvit o sdruˇzených rozdˇelen´ıch pravdˇepodobnosti. Zde se budeme vˇenovat jednoduˇsˇs´ımu pˇr´ıpadu, c´ılem bude stanovit rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti Y pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce F1 (x), . . . , Fn (x) náhodných veliˇcin X1 , . . . , Xn pouze ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe, kdyˇz náhodné veliˇciny X1 , X2 , . . . , Xn jsou nezávislé. Proto budeme nezávislost náhodných veliˇcin nejdˇr´ıve definovat. ˇ Definice 5.2 Rekneme, ˇze náhodné veliˇciny X1 , X2 , . . . , Xn definované na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P ) jsou nez´ avisl´ e, jestliˇze pro libovolná reálná ˇc´ısla x1 , x2 , . . . , xn plat´ı, ˇze jsou nezávislé náhodné jevy [X1 ≤ x1 ], [X2 ≤ x2 ], . . . , [Xn ≤ xn ]. Jsou-li X1 , X2 . . . , Xn nezávislé náhodné veliˇciny lze ukázat, ˇze také náhodné jevy [X1 ∈ I1 ], [X2 ∈ I2 ], . . . , [Xn ∈ In ] jsou nezávislé pˇri libovolné volbˇe interval˚ u I1 , I2 , . . . , In a dokonce, ˇze jsou nezávislé náhodné jevy [X1 ∈ B1 ], [X2 ∈ B2 ], . . . , [Xn ∈ Bn ] pro libovolné borelovské mnoˇziny B1 , B2 . . . , Bn (viz [13]). Pak lze distribuˇcn´ı funkci FY (y) transformované náhodné veliˇciny Y = g(X1 , X2 , . . . , Xn ) napsat ve vztahu FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X1, X2 , . . . , Xn ) ≤ y) a k výpoˇctu pravdˇepodobnosti uvedené na pravé stranˇe lze v nˇekterých situac´ıch vyuˇz´ıt vlastnosti funkce g a nezávislosti náhodných veliˇcin X1 , X2 , . . . , Xn . Obecný pˇr´ıstup pro stanoven´ı této pravdˇepodobnosti uvedeme pozdˇeji. Zde ukáˇzeme pouze ilustrativn´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 5.3 Pˇredpokládejme, ˇze náhodná veliˇcina T udává dobu ˇcekán´ı na prvn´ı pojistnou událost i-tého pojiˇstˇence, Ti má distribuˇcn´ı funkci ( 1 − e−3t pro t > 0 Fi (T ) = P (Ti ≤ t) = 0 pro t ≤ 0

pro i = 1, 2, . . . , n a doby ˇcekán´ı T1 , T2 , . . . , Tn povaˇzujeme za nezávislé. Oznaˇc´ıme T(1) = min{T1 , T2 , . . . , Tn } nejkratˇs´ı dobu ˇcekán´ı na prvn´ı pojistnou událost mezi vˇsemi pojiˇstˇenci a T(n) = max{T1 , T2 , . . . , Tn } nejdelˇs´ı dobu ˇcekán´ı na prvn´ı pojistnou událost mezi vˇsemi pojiˇstˇenci. Stanovte distribuˇcn´ı funkce náhodných veliˇcin T(1) a T(n) .

ˇ sen´ı: Pro distribuˇcn´ı funkci F(1) (t) náhodné veliˇciny T(1) a T(n) dostaneme s Reˇ vyuˇzit´ım nezávislosti náhodných veliˇcin T1 , T2 , . . . , Tn a pomoc´ı vlastnosti skupinovˇe

77 nezávislých jev˚ u SN3 F(1) (t) = P (T(1) ≤ t) = P (min{T1 , T2 , . . . , Tn } ≤ t) = = P ([T Sn1 ≤ t] ∪ [T2 ≤ t] ∪ . . . ∪ [Tn ≤ t]) = = P ( i=1 [Ti ≤ t]) = = 1 − ⊓ni=1 (1 − P (Ti ≤ t)) = = 1 − ⊓ni=1 (1 − Fi (t)) Odtud pro t ≤ 0 dostaneme Fi (t) = 0 a F(1) (t) = 0. Pro t > 0 je Fi (t) = 1 − e−3t a po dosazen´ı dostaneme F(1) = 1 − ⊓ni=1 (1 − (1 − e−3t )) = 1 − e−3nt Podobnˇe pro distribuˇcn´ı funkci F(n) (t) náhodné veliˇciny T(n) dostaneme uˇzit´ım definice nezávislosti náhodných veliˇcin T1 , . . . , Tn : F(n) (t) = P (T(n) ≤ t) = P (max{T1 , T2 , . . . , Tn } ≤ t) = = P ([T1 ≤ t] ∩ [T2 ≤ t] ∩ . . . ∩ [Tn ≤ t]) = = P (T1 ≤ t) · P (T2 ≤ t) · . . . · P (Tn ≤ t) = F1 (t) · F2 (t) · . . . · Fn (t) = = (1 − e−3t )n pro t > 0 a F(n) (t) = 0 pro t ≤ 0

78

Literatura [1] Andˇel, J.: Statistické metody. Matfyzpross. Praha 1993. ˇ a Osecký, P.: Popisná statistika. MU Brno, 2001. [2] Bud´ıková, M., Mikoláˇs, S. ISBN 80-210-1831-3. [3] Dupaˇc, V. a Huˇsková, M.: Pravdˇepodobnost a matematická statistika. UK v Praze, Nakladatelstv´ı Karolinum, Praha 1999. ISBN 80-246-0009-9. [4] Fiss, M:: Rachunek prawdopodobie´ nstwa Warszawa. PWN 1967.

i statystyka

matematyczna.

[5] Gnˇedˇenko, B. V.: Kurs téorii verojatnostˇej. Moskva 1954. (rusky) [6] Hanousek, J., Charamca, P.: Modern´ı metody zpracován´ı dat - matematická statistika pro kaˇzdého. GRADA a. s. Praha 1992 ISBN 80-85623-31-5. ˇ Praha, 1993. [7] Hebák, P.: Rozhodován´ı podnikatel˚ u pˇri riziku VSE ˇ [8] Jarn´ık, V.: Diferenciáln´ı poˇcet I. NCSAV. Praha, 1963. [9] Kolmogorov, A. N.: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. SpringerVerbag, Berlin, 1933. [10] Likeˇs, J. a Machek, J.: Poˇcet pravdˇepodobnosti. SNTL Praha 1981. [11] Lord, W.: Die Titanic Katastropphe. M¨ unchen: Heyene Verbung 1998 [12] McClave, J. T. and Dietrich, F. H.: Statistics. Dellen Publishing Company. San Francisco, 1991. Fifth edition. ´ [13] Michálek, J.: Uvod do teorie pravdˇepodobnosti a matematické statistiky. SPN Praha, 1984. [14] Mises von, R.: Mathematical Theory of Probability and Statistics. Edited and complemented by H.Geiringer. New York and London. Acad. Press 1964. ISBN 0-02-379185-3. [15] Novák, I. a kol.: Statistika v obchodˇe. SNTL Praha 1973. 79

80 ˇ ak, J. a Reh´ ˇ aková B.: Analýza kategorizovaných dat v sociologii. Academia [16] Reh´ ˇ Praha, 1993. Praha.1986 VSE [17] Swoboda, H.: Modern´ı statistika. Svoboda, Praha 1974. [18] Tutubatin, V. N.: Teorie pravdˇepodobnosti. SNTL praha, 1978. [19] Wonnacot T.H., Wonnacot R.J.: Statistika pro obchod a hospodáˇrstv´ı. Victoria Publishing. Praha ISBN 80-85605-09-0.

Jaroslav Michálek A STATISTIKA

Recommend Documents