S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence podle pravděpodobnosti Posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , konverguje podle pravděpodobnosti k číslu a R, jestliže pro každé ε R, ε > 0 platí: lim P X n a 0 lim P X n a 1 nebo n
n
Posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , konverguje podle pravděpodobnosti k náhodné veličině X, jestliže pro každé ε R, ε > 0 platí:
lim P X n X 1 n
nebo
lim P X n X 0 n
Tato konvergence se také nazývá slabá konvergence.
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence podle pravděpodobnosti Posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje slabý zákon velkých čísel, když posloupnost Y1 , Y2 ,, Yn , , kde 1 n Yn X i EX i n i 1 konverguje podle pravděpodobnosti k číslu 0: Tedy: lim PYn 0 1 nebo lim PYn 0 0 n n
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence podle pravděpodobnosti Platí: (Čebyševova věta) Nechť posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje: a) jsou nekorelované (po dvou nezávislé) b) mají konečnou střední hodnotu: EX i i 1 n 2 2 c) pro jejich rozptyly DX i i platí: lim 2 i 0 n n i 1
Pak posloupnost X 1 , X 2 ,, X n , splňuje slabý zákon velkých čísel. Pokud místo c) je : c) pro jejich rozptyly platí:DX i c , pak je splněno c) a posloupnost X 1 , X 2 ,, X n , splňuje slabý zákon velkých čísel.
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence podle pravděpodobnosti Platí: (Bernouliova věta) Nechť posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje: a) jsou po dvou nezávislé b) mají Alternativní rozdělení s parametrem p: i : X i ~ A( p)
1 n Pak posloupnost X 1 , X 2 ,, X n , , kde X n X i n i 1 konverguje podle pravděpodobnosti k číslu p.
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence podle pravděpodobnosti Platí: Nechť posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje: a) jsou po dvou nezávislé b) mají stejné rozdělení c) mají konečné střední hodnoty a rozptyly: i : EX i i : DX i 2 Pak posloupnost X 1 , X 2 ,, X n , splňuje slabý zákon velkých čísel.
Modifikace: 1 n Pak posloupnost X 1 , X 2 ,, X n ,,kde X n X i konverguje podle n i 1 pravděpodobnosti k číslu .
lim P X n 1 n
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence podle pravděpodobnosti Platí: (Markova věta) Nechť posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje:
1 n lim 2 D X i 0 n n i 1 Pak posloupnost X 1 , X 2 ,, X n , splňuje slabý zákon velkých čísel (není potřeba nezávislost). Platí: (Chinčinova věta) Nechť posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje: a) jsou po dvou nezávislé b) mají stejné rozdělení c) mají konečné střední hodnoty: i : EX i Pak posloupnost X 1 , X 2 ,, X n , splňuje slabý zákon velkých čísel.
P Xn 1. Tedy: lim n Není potřeba znát informace o rozptylu.
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Libor Žák
Konvergence skoro jistě Posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , konverguje skoro jistě k číslu a R, jestliže platí:
P : lim X n ( ) a 1 nebo symbolicky zapsané P lim X n a 1 n
n
Posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , konverguje skoro jistě k náhodné veličině X, jestliže platí:
P : lim X n ( ) X ( ) 1 nebo symbolicky zapsané P lim X n X 1 n
Tato konvergence se také nazývá silná konvergence.
n
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence skoro jistě Posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje silný zákon velkých čísel, když posloupnost Y1 , Y2 ,, Yn , , kde 1 n Yn X i EX i n i 1 konverguje skoro jistě k číslu 0.
Tedy P : lim Yn ( ) 0 1 n
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence skoro jistě Platí: (Kolmogorova věta) Nechť posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje: a) jsou po dvou nezávislé b) mají stejné rozdělení c) mají konečné střední hodnoty: i : EX i Pak posloupnost X 1 , X 2 ,, X n , splňuje silný zákon velkých čísel. Tedy posloupnost X 1 , X 2 ,, X n , konverguje skoro jistě k číslu .
P : lim X n ( ) 1 n
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence v distribuci Posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , s distribučními funkcemi Fi ( xi )i 1 konverguje v distribuci k číslu a R, jestliže platí:
x R : lim Fn ( x) Fa ( x) n
kde Fa (x) je distribuční funkce konstantní náhodné proměnné. Posloupnost náhodných proměnných sX 1 , X 2 ,, X n ,distribučními funkcemi Fi ( xi )i 1 konverguje v distribuci náhodné veličině X s distribuční funkcí F (x) jestliže platí:
x C ( F ) : lim Fn ( x) F ( x) n
kde C ( F ) I F je množina bodů spojitosti distribuční funkce F (x) *
Distribuční funkce F se nazývá asymptotická distribuční funkce.
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence v distribuci Platí (centrální limitní věta): Nechť posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje: a) jsou po dvou nezávislé b) mají stejné rozdělení c) mají konečné střední hodnoty a rozptyly: i : EX i i : DX i 2 1 n Pak posloupnost standardizovaných průměrů Yn X i n i 1 konverguje v distribuci k normovanému normálnímu rozdělení.
y C () : lim FYn ( y) ( y) n
1 X i y C () : lim P n n i 1 n
1 y e 2 y
t2 2
dt
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Konvergence v distribuci Platí (centrální limitní věta - modifikace): Nechť posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje: a) jsou po dvou nezávislé b) mají stejné rozdělení c) mají konečné střední hodnoty a rozptyly: i : EX i i : DX i 2 Pak platí: X y C () : lim P n y ( y) n n a posloupnost průměrů X 1 , X 2 ,, X n , konverguje v distribuci k 2 normálnímu rozdělení N , . n y C ( F ) : lim PX n y F ( y) n
Libor Žák
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Libor Žák
Konvergence v distribuci Platí (Ljapunovova věta): Nechť posloupnost náhodných proměnných X 1 , X 2 ,, X n , splňuje: a) jsou po dvou nezávislé b) EX i i , DX i i2 0, E X i hi3 3
2 2 c) S n 1 n
K n 3 h13 hn3
Kn 0 n S n
lim
Pak posloupnost standardizovaných průměrů Yn
1
n
X n i 1
i
konverguje v distribuci k normovanému normálnímu rozdělení.
y C () : lim FYn ( y) ( y) n
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Libor Žák
Konvergence v distribuci Platí (Integrální Moivre-Laplaceova věta): Nechť posloupnost náhodných proměnných Y1 , Y2 ,, Yn , udává počet úspěchů v n nezávislých pokusech s pravděpodobností úspěchu v 1. pokuse p. Pak posloupnost Yn np Zn np(1 p) konverguje v distribuci k normovanému normálnímu rozdělení.
y C () : lim FZn ( y) ( y) n
Poznámka: Moivre-Laplaceova věta se používá k aproximaci binomického rozdělení. 1 n p Praktické použití pro: np(1 p) 9 , n 1 n 1
S1P – Zákon velkých čísel, centrální limitní věta
Libor Žák
Konvergence v distribuci Příklad: Zaměstnanec pravidelně cestuje do zaměstnáni i ze zaměstnáni tramvaji, která jezdi každých pět minut. Jeho příchod na zastávku vzhledem k odjezdu tramvaje je zcela náhodný. S jakou pravděpodobnosti pročeká na cestě tam i zpět během 20 pracovních dnů méně než 120 minut?
Příklad: Nalezněte přibližnou hodnotu pravděpodobnosti toho, že počet šestek, které padnou ve 12 000 hodech homogenní hrací kostkou, bude mezi 1900 a 2100. Příklad: Chceme odhadnout neznámy podíl p osob s krevní skupinou A v dané velké populaci. U kolika osob musíme zjistit skupinu, abychom s pravděpodobností 0,9 odhadli neznámou pravděpodobnost s chybou nejvýše 0,05?
