Pravděpodobnost a matematická statistika

ˇ ´ VYSOKE ´ UCEN ˇ Í TECHNICKE ´ V PRAZE CESK E Fakulta dopravn´ı

Pravdˇ epodobnost a matematick´ a statistika

RNDr. Jana Novoviˇcová, CSc.

1999 ˇ Vydavatelstv´ı CVUT

Lektor : Doc. Ing. Miloslav Voˇsvrda, CSc. (c) RNDr. Jana Novoviˇcová, CSc., 1999

Obsah Pˇ redmluva

3

Oznaˇ cen´ı

4

1 Podstata statistiky 1.1 Dva základn´ı typy statistiky . 1.2 V´ ybˇer a základn´ı soubor . . . 1.2.1 Prost´ y náhodn´ y v´ ybˇer 1.2.2 Jiné metody v´ ybˇeru . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

2 Popisn´ a statistika 2.1 Veliˇciny a data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Elementárn´ı zpracován´ı statistick´ ych dat . . . . . 2.2.1 Tˇr´ıdˇen´ı dat . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Statistické grafy . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Tvar rozdˇelen´ı ˇcetnost´ı; symetrie a ˇsikmost 2.3 Popisné m´ıry statistick´ ych soubor˚ u . . . . . . . . 2.3.1 Kvantily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 M´ıry polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 M´ıry rozpt´ ylenosti . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 M´ıry ˇsikmosti a ˇspiˇcatosti . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

3 Poˇ cet pravdˇ epodobnosti 3.1 Pojem pravdˇepodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Náhodné jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Vztahy mezi jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Vzájemnˇe nesluˇcitelné jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Axiomatická definice pravdˇepodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Pravidla pro poˇc´ıtán´ı s pravdˇepodobnostmi . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Pravidlo o sˇc´ıtán´ı pravdˇepodobnost´ı . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Pravidlo pro pravdˇepodobnost opaˇcného jevu . . . . . . . 3.4.3 Pravidlo o podm´ınˇené pravdˇepodobnosti . . . . . . . . . . 3.4.4 Pravidlo pro násoben´ı pravdˇepodobnost´ı; nezávislost jev˚ u. 3.4.5 Vzorec u ´plné pravdˇepodobnosti a Bayes˚ uv vzorec . . . . . 3.5 Jiné pohledy na pravdˇepodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . .

9 9 10 11 12

. . . . . . . . . .

13 13 14 14 18 21 22 23 24 27 30

. . . . . . . . . . . .

31 31 33 34 35 36 37 37 37 38 39 42 43

OBSAH Obsah

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

4 N´ ahodn´ a veliˇ cina 4.1 Náhodná veliˇcina a jej´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . 4.1.1 Distribuˇcn´ı funkce a hustota . . . . . . . . . 4.1.2 V´ıcerozmˇerná rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı . 4.1.3 Nezávislost náhodn´ ych veliˇcin . . . . . . . . 4.2 Charakteristiky náhodn´ ych veliˇcin . . . . . . . . . . 4.2.1 Stˇredn´ı hodnota . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Kvantily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Kovariance a korelace . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Vektor stˇredn´ıch hodnot, kovarianˇcn´ı matice 4.3 Nˇekterá rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı . . . . . . . . . 4.3.1 Diskrétn´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Spojitá rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Nˇekteré limitn´ı vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Zákon velk´ ych ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Centráln´ı limitn´ı vˇety . . . . . . . . . . . . .

Next

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

5 N´ ahodn´ y v´ ybˇ er 5.1 Pojem náhodného v´ ybˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 V´ ybˇerové charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Rozdˇelen´ı v´ ybˇerov´ ych charakteristik . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Rozdˇelen´ı v´ ybˇerového pr˚ umˇeru . . . . . . . . . . 5.3.2 Rozdˇelen´ı v´ ybˇerového rozptylu . . . . . . . . . . . 5.3.3 Rozdˇelen´ı v´ ybˇerového pod´ılu . . . . . . . . . . . . 5.4 Nezávislé náhodné v´ ybˇery . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Dva nezávislé v´ ybˇery z normáln´ıho rozdˇelen´ı nebo 5.4.2 Dva nezávislé v´ ybˇery z alternativn´ıho rozdˇelen´ı . 5.5 Párové náhodné v´ ybˇery . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

Goto

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

44 44 45 49 50 51 51 53 53 54 55 56 56 59 64 64 66

68 . . . . . . . . . . . 68 . . . . . . . . . . . 69 . . . . . . . . . . . 69 . . . . . . . . . . . 70 . . . . . . . . . . . 71 . . . . . . . . . . . 72 . . . . . . . . . . . 73 velké rozsahy v´ ybˇer˚ u 73 . . . . . . . . . . . 75 . . . . . . . . . . . 75

6 Z´ aklady teorie odhadu parametr˚ u 6.1 Bodové a intervalové odhady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Vlastnosti bodov´ ych odhad˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Nestranné odhady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Konzistentn´ı odhady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Vydatnost odhad˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Nˇekteré metody bodov´ ych odhad˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Metoda moment˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Metoda maximáln´ı vˇerohodnosti . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Intervaly spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Sestrojen´ı intervalu spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Intervaly spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Intervaly spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu pˇri známém rozptylu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Intervaly spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu pˇri neznámé odchylce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Intervaly spolehlivosti pro rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

. . . . . . . . . . . . . . . .

Previous

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . smˇerodatné . . . . . . . . . . . . . .

77 77 78 78 79 80 81 82 82 85 85 86 86 89 90

OBSAH Obsah

6.7

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Intervaly spolehlivosti pro pod´ıl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

7 Z´ aklady testov´ an´ı statistick´ ych hypot´ ez 7.1 Podstata testován´ı hypotéz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Formulace hypotéz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Volba testového kriteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Základn´ı pojmy a terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Testová statistika, obor pˇrijet´ı, obor zam´ıtnut´ı, kritické hodnoty . . 7.2.2 Chyba prvn´ıho a druhého druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Závˇery pˇri testován´ı hypotéz a jejich interpretace . . . . . . . . . . 7.2.4 Kritick´ y obor pro zadanou hladinu v´ yznamnosti . . . . . . . . . . . 7.2.5 Formulace procesu testován´ı hypotéz . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.6 Klasick´ y pˇr´ıstup k testován´ı hypotéz . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 P -hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Pˇr´ıstup k testován´ı hypotéz zaloˇzen´ y na P -hodnotˇe . . . . . . . . . 7.4 Nˇekteré testy parametrick´ ych hypotéz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Test hypotézy o stˇredn´ı hodnotˇe µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Test hypotézy o rozptylu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Testy hypotézy o pod´ılu p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Testy hypotéz o shodˇe dvou stˇredn´ıch hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Testy hypotézy o shodˇe dvou stˇredn´ıch hodnot pro nezávislé v´ ybˇery 7.5.2 Testy hypotézy pro dvˇe stˇredn´ı hodnoty uˇzit´ım párov´ ych v´ ybˇer˚ u . . 7.6 Test hypotézy o shodˇe dvou pod´ıl˚ u pˇri nezávisl´ ych v´ ybˇerech . . . . . . . . 7.7 Ch´ı-kvadrát test dobré shody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Ch´ı-kvadrát test nezávislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 96 97 97 97 97 99 99 100 101 101 102 103 103 106 107 108 109 112 113 115 118

8 Regresn´ı a korelaˇ cn´ı anal´ yza 8.1 Lineárn´ı rovnice s jednou nezávislou promˇennou . . . . . . 8.2 Regresn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Extrapolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Odlehlá a vlivná pozorován´ı . . . . . . . . . . . . . 8.3 Koeficient determinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Lineárn´ı korelace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Lineárn´ı regresn´ı model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Bodov´ y odhad rozptylu σ 2 . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Testy hypotéz a intervaly spolehlivosti pro parametr 8.5.3 Odhad a predikce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Testy hypotéz o korelaˇcn´ım koeficientu . . . . . . . . . . . 8.7 Obecn´ y regresn´ı model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1 Maticové vyjádˇren´ı modelu lineárn´ı regrese . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

120 121 121 125 125 127 129 131 133 134 137 140 141 144

Statistisk´ e tabulky

. . . . . . . . . . . . . . . . β1 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

146

Pˇ r´ıloha

i

5

6

Kapitola 4 N´ ahodn´ a veliˇ cina Dosud jsme se zab´ yvali v podstatˇe jen otázkou, zda uvaˇzované náhodné jevy nastanou nebo nenastanou. V mnoha pˇr´ıpadech je vˇsak takov´ y kvalitativn´ı v´ yrok nepostaˇcuj´ıc´ı, a je nutné i kvantitativn´ı vyˇsetˇren´ı. Jin´ ymi slovy, k popisu hromadn´ ych náhodn´ ych jev˚ u budeme obecnˇe potˇrebovat také ˇc´ıselné u ´daje; pˇritom tyto ˇc´ıselné u ´daje nejsou konstantn´ı, ale vykazuj´ı náhodné v´ ychylky. Takovou náhodnou ˇc´ıselnou hodnotou je napˇr´ıklad poˇcet aut, které vlastn´ı náhodnˇe vybraná praˇzská domácnost, zrovna tak jako mnoˇzstv´ı spotˇrebované elektˇriny za mˇes´ıc ve vybrané domácnosti. Obˇe tyto veliˇciny jsou numerické a jejich hodnota závis´ı na tom, která domácnost byla vybraná. M˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze v´ ysledek náhodného pokusu, dan´ y reáln´ ym ˇc´ıslem, je hodnotou veliˇciny, kterou nazveme n´ ahodn´ a veliˇ cina. Jinak ˇreˇceno, náhodná veliˇcina je veliˇcina, jej´ıˇz hodnota je jednoznaˇcnˇe urˇcena v´ ysledkem náhodného pokusu. Rozliˇsujeme dva základn´ı typy náhodn´ ych veliˇcin: diskrétn´ı a spojité. Diskr´ etn´ı (ˇcili nespojit´ a) náhodná veliˇcina m˚ uˇze nab´ yvat pouze koneˇcnˇe nebo spoˇcetnˇe nekoneˇcnˇe mnoha hodnot. Poˇcet aut, které vlastn´ı domácnost, je pˇr´ıklad diskrétn´ı veliˇciny. Spojit´ a náhodná veliˇcina m˚ uˇze nab´ yvat vˇsech hodnot z nˇejakého koneˇcného nebo nekoneˇcného intervalu. Mnoˇzstv´ı elektˇriny spotˇrebované za mˇes´ıc je pˇr´ıklad spojité náhodné veliˇciny.

4.1

N´ ahodn´ a veliˇ cina a jej´ı rozdˇ elen´ı

Nyn´ı uvedeme matematickou definici náhodné veliˇciny. Definice 4.1

´ ´ VELI CINA ˇ N AHODN A

Nahodn a´ veliˇcina ´

je kaˇzdé zobrazen´ı X : Ω → R takové, ˇze pro kaˇzdé x ∈ R je A = {ω|X(ω) ≤ x} ∈ A.

Jestliˇze A je systém vˇsech podmnoˇzin Ω, pak kaˇzdá reálná funkce X definovaná na Ω je náhodná veliˇcina. Náhodné veliˇciny budeme oznaˇcovat velk´ ymi p´ısmeny z konce abecedy, napˇr. X, Y, Z nebo X1 , X2 , · · · . Jejich konkrétn´ı hodnoty pak mal´ ymi p´ısmeny x, y, z nebo x1 , x2 , · · · . Poˇcet ˇclen˚ u domácnosti v souboru praˇzsk´ ych domácnost´ı je náhodná veliˇcina napˇr. X, zat´ımco v urˇcité náhodnˇe vybrané tˇreba ˇctyˇrˇclenné domácnosti jde uˇz o konkrétn´ı hodnotu této náhodné veliˇciny, o konkrétn´ı poˇcet ˇclen˚ u této domácnosti, tud´ıˇz X = 4. Oznaˇcen´ı [X = 4] 44

´ ´ VELI Cˇ INA A JEJÍ ROZD Eˇ LENÍ 4.1 N AHODN A Obsah

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

bude vyjadˇrovat jev, ˇze vybraná domácnost má 4 ˇcleny, zat´ımco oznaˇcen´ı P (X = 4) je zjednoduˇsené oznaˇcen´ı pro pravdˇepodobnost tohoto jevu. Náhodnou veliˇcinu povaˇzujeme za danou, známe-li vˇsechny jej´ı moˇzné hodnoty a pravdˇepodobnosti v´ yskytu kaˇzdé z nich. Pravidlo, které kaˇzdé hodnotˇe nebo mnoˇzinˇe hodnot z kaˇzdého intervalu pˇriˇrazuje pravdˇepodobnost, ˇze náhodná veliˇcina nabude této hodnoty nebo hodnoty z urˇcitého intervalu, se naz´ yvá z´ akon rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny nebo krátce rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny.

4.1.1

Distribuˇ cn´ı funkce a hustota

Základn´ı formou popisu zákona rozdˇelen´ı je distribuˇcn´ı funkce. Distribuˇ cn´ı funkce náhodné veliˇciny udává pravdˇepodobnost, ˇze náhodná veliˇcina X nabude hodnoty menˇs´ı nebo rovné neˇz zvolené x. Znaˇc´ıme ji F (x). Definice 4.2

ˇ Í FUNKCE D ISTRIBU CN

Distribuˇcn´ı funkce

náhodné veliˇciny X je funkce F : R → h0, 1i definovaná vztahem F (x) = P (X ≤ x).

Z´ akladn´ı vlastnosti distribuˇ cn´ıch funkc´ı 1. F (x) je neklesaj´ıc´ı funkce, tj. pro kaˇzdou dvojici x1 < x2 plat´ı F (x1 ) ≤ F (x2 ). 2. F (x) je zprava spojitá, tj. pro libovolnou distribuˇcn´ı funkci plat´ı lim F (x + h) = F (x).

h→0+

3. Pro kaˇzdou distribuˇcn´ı funkci plat´ı lim F (x) = 0 a

x→−∞

lim F (x) = 1,

x→∞

zkrácenˇe F (−∞) = 0 a F (∞) = 1. Jestliˇze moˇzné hodnoty náhodné veliˇciny X patˇr´ı do intervalu (a, b) pak F (a) = 0, F (b) = 1. Kaˇzdou funkci, která má vˇsechny vlastnosti 1.–3. m˚ uˇzeme pokládat za distribuˇcn´ı funkci. Pozn´ amka: Definujeme-li distribuˇcn´ı funkci vztahem F (x) = P (X < x) (tj. vynecháme znaménko (=)), pak F je zleva spojitá. ˇ Casto se pouˇz´ıvá i dalˇs´ı vlastnost distribuˇcn´ıch funkc´ı: necht’ x1 < x2 , potom plat´ı P (x1 < X ≤ x2 ) = P ([X ≤ x2 ] ∩ [X > x1 ]) = P ([X ≤ x2 ]) − P ([X ≤ x1 ]) = F (x2 ) − F (x1 ). 45

K APITOLA 4 Obsah


Index

N

Tabulky:

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Distribuˇcn´ı funkce nemus´ı b´ yt spojitá, ale bod˚ u nespojitosti m˚ uˇze m´ıt nanejv´ yˇs spoˇcetnˇe mnoho. Dva nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı typy distribuˇcn´ıch funkc´ı, které maj´ı nejvˇetˇs´ı uplatnˇen´ı v matematické statistice, jsou diskrétn´ı distribuˇcn´ı funkce a absolutnˇe spojité distribuˇcn´ı funkce. Diskr´ etn´ı distribuˇ cn´ı funkce Distribuˇcn´ı funkce F (x) se naz´ yvá diskr´ etn´ı, existuje-li koneˇcná nebo spoˇcetná posloupnost P bod˚ u {xn } a posloupnost nezáporn´ ych ˇc´ısel {pn } splˇ nuj´ıc´ıch podm´ınku n pn = 1 taková, ˇze F (x) =

X

pn , pro x ∈ R.

(4.1)

{n:xn ≤x}

Diskrétn´ı distribuˇcn´ı funkce má schodovit´ y tvar se skoky velikosti pn v bodech xn . Má-li náhodná veliˇcina X diskrétn´ı distribuˇcn´ı funkci (??), tj. pn = P (X = xn ), ˇr´ıkáme, ˇze X má diskr´ etn´ı rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnost´ı, struˇcnˇe diskr´ etn´ı rozdˇ elen´ı. Grafu diskrétn´ı distribuˇcn´ı funkce odpov´ıdá v popisné statistice graf kumulativn´ıch ˇcetnost´ı. Diskrétn´ı zákon rozdˇelen´ı lze vedle distribuˇcn´ı funkce popsat i tzv. pravdˇ epodobnostn´ı funkc´ı P (x) = P (X = x), (4.2) která kaˇzdému x pˇriˇrazuje jeho pravdˇepodobnost P (x). Tyto pravdˇepodobnosti P (x) splˇ nuj´ı P podm´ınku x P (x) = 1. Pomoc´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce P (x) m˚ uˇzeme stanovit s pouˇzit´ım pravidla o sˇc´ıtán´ı pravdˇepodobnost´ı pro nesluˇcitelné jevy pravdˇepodobnost, ˇze náhodná veliˇcina nabude hodnoty z intervalu hx1 , x2 i. Tato pravdˇepodobnost je rovna souˇctu pravdˇepodobnost´ı hodnot z tohoto intervalu x P (x1 ≤ X ≤ x2 ) =

2 X

P (x).

(4.3)

x=x1

Specifikace diskrétn´ıho rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny X pomoc´ı pravdˇepodobnost´ı P (x) a pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce je rovnocenná. Ze znám´ ych pravdˇepodobnost´ı P (x) je moˇzno odvodit distribuˇcn´ı funkci F (x) a naopak, jak vypl´ yvá z definice ??. Pravdˇepodobnostn´ı funkci odpov´ıdaj´ı v popisné statistice relativn´ı ˇcetnosti. Pˇ r´ıklad 4.1 Diskretn´ a´ veliˇcina, distribuˇcn´ı funkce ´ ı nahodn ´ ´ ıme-li tˇrikrat ´ po sobˇe minc´ı, dostaneme osm stejnˇe moˇzných výsledku ˚ jak ukazuje nasleduj´ ´ Haz´ ıc´ı tabulka ??

Tabulka 4.1 Moˇzné výsledky pˇri tˇrech hodech minc´ı Pokus Moˇzné výsledky

ω

LLL

´ ´ jednou minc´ı Hazen´ ı 3krat LLR LRL RLL LRR RRL RLR

´ a´ celkovy´ poˇcet l´ıcu ˚ pˇri tˇrech hodech jednou minc´ı. Pak Necht’ X udav ˚ ze nabyvat ´ ktera´ muˇ hodnot 0, 1, 2 a 3.

RRR

´ X je nahodn a´ veliˇcina,

´ rete pomoc´ı nahodn´ ´ ´ e dva l´ıce. Urˇcete P (X = 2), tj. a ) Vyjadˇ e veliˇciny jev, zˇe padly pravˇ ´ e dva l´ıce. pravdˇepodobnost, zˇe padnou pravˇ ´ b ) Najdˇete rozdˇelen´ı nahodn´ e veliˇciny X . ´ rete pomoc´ı nahodn´ ´ ´ se dva l´ıce. Vypoˇc´ıtejte P (X ≤ 2), tj. c ) Vyjadˇ e veliˇciny jev, zˇe padnou nejvyˇ ´ se dva l´ıce. pravdˇepodobnost, zˇe padnou nejvyˇ ´ d ) Urˇcete distribuˇcn´ı funkci nahodn´ e veliˇciny X .

46


Index

N

Tabulky:

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

´ rete pomoc´ı nahodn´ ´ ˚ které padnou, je nejvy´ sˇ e roven tˇrem e ) Vyjadˇ e veliˇciny jev, zˇe poˇcet l´ıcu, a vˇetˇs´ı neˇz jedna. Vypoˇc´ıtejte P (1 < X ≤ 3).

ˇ sen´ı: Reˇ ´ e dva l´ıce lze vyjadˇ ´ rit [X = 2]. P (X = 2) je pravdˇepodobnost, zˇe padnou a ) Jev, zˇe padnou pravˇ ´ e dva l´ıce. Z tabulky ?? vid´ıme, zˇe jsou tˇri zpusoby ˚ pravˇ jak dostat celkovˇe dva l´ıce a zˇe je ´ ´ ˚ Tud´ızˇ podle klasického pravidla výpoˇctu pravdˇepodobnost´ı celkem osm moˇznych vysledk u. dostaneme

P (X = 2) =

3 = 0.375. 8

´ ˚ b ) Zby´ vaj´ıc´ı pravdˇepodobnosti pro X jsou vypoˇc´ıtany stejny´ m zpusobem a jsou uvedeny ´ v nasleduj´ ıc´ı tabulce ??.

Tabulka 4.2 Rozdˇelen´ı veliˇciny X ud´ avaj´ıc´ı poˇcet l´ıc˚ u pˇri tˇrech hodech minc´ı. Poˇcet l´ıcu˚ x Pravdˇepodobnost

0

P (X = x) 0.125

1 0.375

2 0.375

3 0.125

´ se dva l´ıce lze vyjadˇ ´ rit jako c ) Jev [X ≤ 2], zˇe padnou nejvyˇ

[X ≤ 2] = ([X = 0] ∪ [X = 1] ∪ [X = 2]). ´ Protoˇze tˇri jevy na pravé stranˇe rovnice jsou vzajemnˇ e nesluˇcitelné, dostaneme aplikac´ı ´ ı pravdˇepodobnost´ı a z tabulky ?? pravidla pro sˇc´ıtan´

P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0.125 + 0.375 + 0.375 = 0.875 Tud´ızˇ pravdˇepodobnost, zˇe padnou nejvýsˇ e dva l´ıce je rovna 0.875.

d ) Distribuˇcn´ı funkci F (x) vypoˇcteme podle vzorce F (x) =

x X

P (X = n) pro x = 0, 1, 2, 3.

n=0

Hodnoty

´ F (x) jsou uvedeny v tabulce ??. a jej´ı graf na obrazku ??

Tabulka 4.3 Distribuˇcn´ı funkce rozdˇelen´ı poˇctu l´ıc˚ u pˇri 3 hodech minc´ı ˚ x Poˇcet l´ıcu Distribuˇcn´ı funfce

F (x)

0 0.125

1 0.500

2 0.875

3 1.000

Obr´ azek 4.1 Graf distribuˇcn´ı funkce 1.000 0.875

F (x)

Distribuˇcn´ı funkce ma´ schodovity´ tvar se skoky velikosti 0.375 v bodech x = 1 a x = 2 a se skoky velikosti 0.125 v bodech x = 0 a x = 3.

0.500 0.125

0

1

2

3

x

47

K APITOLA 4 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

´ se tˇri l´ıce a v´ıce neˇz 1 l´ıc muˇ ˚ ze byt ´ vyjadˇ ´ ren jako e ) Jev, zˇe padnou nejvyˇ

[1 < X ≤ 3] = ([X ≤ 3] ∩ [X > 1]) = ([X ≤ 3] − [X ≤ 1]). Protoˇze, plat´ı [X ≤ 1] ⊂ [X ´ ctu P (1 < X ≤ 3): k vypoˇ

≤ 3] pouˇzijeme vlastnost 2. pravdˇepodobnosti (viz kapitola ??)

P (1 < X ≤ 3) = P (X ≤ 3) − P (X ≤ 1) = 1.000 − 0.500 = 0.500. ´ se tˇri l´ıce a v´ıce neˇz jeden l´ıc je rovna 0.5. Tud´ızˇ pravdˇepodopbnost, zˇe padnou nejvyˇ

Absolutnˇ e spojit´ a distribuˇ cn´ı funkce Zvláˇstn´ı pozornost zasluhuj´ı distribuˇcn´ı funkce, které jsou nejen spojité, ale dokonce absolutnˇe spojité. Distribuˇcn´ı funkce F se naz´ yvá absolutnˇ e spojit´ a, jestliˇze existuje nezáporná funkce f (x) taková, ˇze plat´ı F (x) =

Z x

f (u) du

−∞

pro kaˇzdé x ∈ R.

(4.4)

Funkce f (x) se naz´ yvá hustota rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnost´ı, definovaného distribuˇcn´ı funkc´ı F (x), struˇcnˇe hustota pravdˇepodobnosti nebo jen hustota. Má-li náhodná veliˇcina X absolutnˇe spojitou distribuˇcn´ı funkci, ˇr´ıkáme, ˇze má spojit´ e rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnost´ı, zkrácenˇe spojit´ e rozdˇ elen´ı. Hustota f (x) splˇ nuje rovnost Z ∞

f (x) dx = 1.

(4.5)

−∞

Existuje-li derivace F 0 distribuˇcn´ı funkce v bodˇe x, je F 0 (x) = f (x). Tato hustota pravdˇepodobnosti je definována jako P (x < X ≤ x + ∆x) F (x + ∆x) − F (x) = lim , ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x

f (x) = lim

tj. jako limita pravdˇepodobnosti, ˇze veliˇcina X padne do velmi malého intervalu (x, x + ∆x), vydˇelená délkou tohoto intervalu v pˇr´ıpadˇe, ˇze se tato délka ∆x bl´ıˇz´ı nule. Souˇcin ∆xf (x) pak pˇribliˇznˇe vyjadˇruje pravdˇepodobnost, ˇze náhodná veliˇcina X padne do velmi malého intervalu (x, x + ∆x), a to t´ım pˇresnˇeji, ˇc´ım je ∆x menˇs´ı. Pro a, b ∈ R, a < b plat´ı P (a < X ≤ b) =

Z b a

f (x) dx = F (b) − F (a).

Pravdˇepodobnost je tedy plocha pod kˇrivkou hustoty. Odtud plyne, ˇze pro náhodnou veliˇcinu se spojit´ ym rozdˇelen´ım je P (X = a) = 0 pro libovolné a ∈ R. Pˇ r´ıklad 4.2 Distribuˇcn´ı funkce a hustota pravdˇepodobnosti spojiteho rozdˇelen´ı ´ −λx ˇ Funkce F (x) = 1 − e pro x > 0 a F (x) = 0 pro x ≤ 0, kde λ > 0 je konstanta, splnuje ´ ´ zakladn´ ı vlastnosti 1. – 3. distribuˇcn´ı funkce a je distribuˇcn´ı funkc´ı nˇejaké nahodn´ e veliˇciny X ´ rozdˇelen´ım. Odpov´ıdaj´ıc´ı hustota je f (x) = λe−λx pro x > 0 a f (x) = 0 pro x ≤ 0. se spojitym R P (1 < X ≤ 2) = λ 12 e−λx dx = 1 − e−2λ − 1 + e−λ = e−λ (1 − e−λ ).

48


4.1.2

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

V´ıcerozmˇ ern´ a rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnost´ı

ˇ Casto se neomezujeme pouze na jednu náhodnou veliˇcinu, ale zkoumáme cel´ y systém náhodn´ ych veliˇcin, tak zvanou v´ıcerozmˇernou pˇresnˇeji n-rozmˇernou n´ ahodnou veliˇcinu. V´ıcerozmˇ ernou n´ ahodnou veliˇ cinou X = (X1 , X2 , · · · , Xn ) budeme naz´ yvat n-rozmˇern´ y vektor, jehoˇz vˇsechny sloˇzky Xi jsou náhodné veliˇciny. Pro v´ıcerozmˇernou náhodnou veliˇcinu se také pouˇz´ıvá název n´ ahodn´ y vektor. Nadále budeme podle potˇreby pouˇz´ıvat obou názv˚ u. Vˇsimneme si podrobnˇeji dvourozmˇerné náhodné veliˇciny (X, Y ). Zákon rozdˇelen´ı této náhodné veliˇciny m˚ uˇze b´ yt dán ve formˇe sdruˇ zen´ e (simult´ ann´ı) distribuˇ cn´ı funkce F (x, y), která je definovaná jako pravdˇepodobnost, ˇze náhodná veliˇcina X, nabude hodnoty menˇs´ı neˇz x a souˇcasnˇe náhodná veliˇcina Y nabude hodnoty menˇs´ı neˇz y. Definice 4.3

ˇ A´ DISTRIBU CN ˇ Í FUNKCE N AHODN ´ ´ HO VEKTORU (X, Y ) S DRU ZEN E

Sdruˇzena´ distribuˇcn´ı funkce

náhodného vektoru (X, Y ) je funkce definovaná vztahem F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y)

pro kaˇzdé x ∈ R, y ∈ R. Z´ akladn´ı vlastnosti distribuˇ cn´ı funkce F (x, y) 1. F (x, y) je neklesaj´ıc´ı v kaˇzdé své promˇenné. 2. limx,y→∞ F (x, y) = 1. 3. limx→−∞ F (x, y) = 0, limy→−∞ F (x, y) = 0. 4. F (x, y) je zprava spojitá v kaˇzdé promˇenné. Kromˇe tˇechto triviáln´ıch vlastnost´ı má kaˇzdá dvourozmˇerná distribuˇcn´ı funkce jednu dalˇs´ı charakterizuj´ıc´ı vlastnost, kterou je moˇzné vyjádˇrit ve tvaru P (x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 ) = F (x1 , y1 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 ) + F (x2 , y2 ) pro kaˇzdé x1 < x2 , y1 < y2 . Sdruˇzená distribuˇcn´ı funkce F (x, y) se naz´ yvá diskr´ etn´ı, jestliˇze F (x, y) =

X X

P (X = xi , Y = yj ),

(4.6)

xi ≤x yj ≤y

kde {xi } respektive {yj } jsou koneˇcné nebo spoˇcetné posloupnosti vˇsech hodnot, kter´ ych nab´ yvá X respektive Y . Pravdˇepodobnosti P (X = xi , Y = yj ) se naz´ yvaj´ı sdruˇ zen´ e pravdˇ epodobnosti a plat´ı XX P (X = xi , Y = yj ) = 1. xi

yj

Náhodn´ y vektor (X, Y ) s diskrétn´ı distribuˇcn´ı funkc´ı má diskr´ etn´ı sdruˇ zen´ e rozdˇ elen´ı (diskrétn´ı rozdˇelen´ı). Souˇcty sdruˇzen´ ych pravdˇepodobnost´ı PX (xi ) =

X

P (X = xi , Y = yj ) resp. PY (yj ) =

yj

X xi

49

P (X = xi , Y = yj )

K APITOLA 4 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

se naz´ yvaj´ı margin´ aln´ı pravdˇ epodobnosti náhodné veliˇciny X respektive Y a vyjadˇruj´ı pravdˇepodobnosti r˚ uzn´ ych hodnot jedné z veliˇcin bez ohledu na hodnotu veliˇciny druhé. Zákon rozdˇelen´ı, kter´ y popisuj´ı, se naz´ yvá margin´ aln´ı z´ akon rozdˇ elen´ı. Omez´ıme-li se na dvˇe diskrétn´ı náhodné veliˇciny X a Y , m˚ uˇzeme pravdˇepodobnosti souˇcasného v´ yskytu r˚ uzn´ ych kombinac´ı dvojic hodnot (xi , yj ), i = 1, 2, · · · , r, j = 1, 2, · · · , s obou veliˇcin uspoˇra´dat do dvourozmˇerné kombinaˇ cn´ı tabulky??. Tabulka 4.4 Kombinaˇcn´ı tabulka X \Y x1 · xi · xr PY (yj )

y1 · · · yj · · · ys PX (xi ) P (x1 , y1 ) · · · P (x1 , yj ) · · · P (x1 , ys ) PX (x1 ) P (xi , y1 ) · · · P (xi , yj ) · · · P (xi , ys )

PX (xi )

P (xr , y1 ) · · · P (xr , yj ) · · · P (xr , ys ) PX (xr ) PY (y1 ) · · · PY (yj ) · · · PY (ys ) 1

Distribuˇcn´ı funkce F (x, y) se naz´ yvá absolutnˇ e spojit´ a, jestliˇze existuje nezáporná funkce f (x, y) naz´ yvaná sdruˇ zen´ a hustota pravdˇ epodobnosti taková, ˇze F (x, y) =

Z x Z y −∞

f (u, v) dudv.

(4.7)

−∞

Hustota sdruˇzeného rozdˇelen´ı má tyto základn´ı vlastnosti: 1.

Z ∞ Z ∞ −∞

2.

f (x, y) dx dy = 1.

−∞

∂ 2 F (x, y) = f (x, y) pokud derivace funkce F existuje. ∂x∂y

3. P (x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 ) =

Z x2 Z y 2 x1

f (x, y) dx dy

y1

pro x1 < x2 , y1 < y2 .

Náhodn´ y vektor (X, Y ) s absolutnˇe spojitou distribuˇcn´ı funkc´ı má spojit´ e sdruˇ zen´ e rozdˇ elen´ı. Z distribuˇcn´ı funkce F (x, y) m˚ uˇzeme odvodit margin´ aln´ı distribuˇ cn´ı funkce náhodné veliˇciny X respektive Y FX (x) = P (X ≤ x) = y→∞ lim F (x, y), resp. FY (y) = P (Y ≤ y) = x→∞ lim F (x, y).

(4.8)

Podobnˇe z hustoty pravdˇepodobnosti f (x, y) m˚ uˇzeme odvodit margin´ aln´ı hustoty rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnost´ı náhodné veliˇciny X respektive Y fX (x) =

4.1.3

Z ∞

−∞

f (x, y) dy, resp. fY (y) =

Z ∞

f (x, y) dx.

(4.9)

−∞

Nez´ avislost n´ ahodn´ ych veliˇ cin

Budeme ˇr´ıkat, ˇze náhodné veliˇciny X a Y jsou nez´ avisl´ e, jestliˇze pro vˇsechna x,y ∈ R plat´ı P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y), 50

´ ´ ˇ IN 4.2 C HARAKTERISTIKY N AHODN YCH VELI C Obsah

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

tj. jestliˇze se dvourozmˇerná distribuˇcn´ı funkce náhodn´ ych veliˇcin X a Y rovná souˇcinu distribuˇcn´ıch funkc´ı náhodné veliˇciny X a náhodné veliˇciny Y. Pro diskrétn´ı rozdˇelen´ı to znamená totéˇz jako P (X = xi , Y = yj ) = PX (xi )PY (yj ),

i = 1, 2, · · · , r,

j = 1, 2, · · · , s

a pro rozdˇelen´ı s hustotou f (x, y) f (x, y) = fX (x)fY (y) pro vˇsechna x, y ∈ R. Nezávislost v´ıce náhodn´ ych veliˇcin je moˇzno definovat obdobnˇe. Náhodné veliˇciny X1 , X2 , · · · , Xn jsou nez´ avisl´ e, jestliˇze pro kaˇzdou n-tici x1 , x2 , · · · , xn reáln´ ych ˇc´ısel plat´ı P (X1 ≤ x1 , · · · , Xn ≤ xn ) =

n Y

P (Xi ≤ xi ).

i=1

Pro nezávislé náhodné veliˇciny plat´ı: 1. Jestliˇze X1 , X2 , · · · , Xn jsou nezávislé náhodné veliˇciny, a hk (x), k = 1, 2, · · · , n funkce reálné promˇenné, pak náhodné veliˇciny Yk = hk (X), k = 1, 2, · · · , n jsou také nezávislé. 2. Jestliˇze náhodné veliˇciny X1 , X2 , · · · , Xn jsou nezávislé, a kaˇzdá z nich má hustotu, pak plat´ı f (x1 , · · · , xn ) =

n Y

fi (xi ),

(4.10)

i=1

kde fi (xi ) je hustota náhodné veliˇciny Xi , i = 1, 2, · · · , n a f (x1 , · · · , xn ) je hustota nrozmˇerné náhodné veliˇciny (X1 , X2 , · · · , Xn ). Ze vztahu (??) plyne naopak nezávislost náhodn´ ych veliˇcin X1 , X2 , · · · , Xn .

4.2

Charakteristiky n´ ahodn´ ych veliˇ cin

Distribuˇcn´ı funkce podává o náhodné veliˇcinˇe u ´plnou informaci. Známe-li tuto funkci, v´ıme jak´ ych hodnot m˚ uˇze uvaˇzovaná náhodná veliˇcina nab´ yvat a jaké jsou pravdˇepodobnosti jednotliv´ ych hodnot. V praxi ˇcasto potˇrebujeme koncentrovanˇejˇs´ı a pˇrehlednˇejˇs´ı vyjádˇren´ı této informace. K tomu pouˇz´ıváme podobnˇe jako v popisné statistice, ˇc´ıselné hodnoty, které naz´ yváme charakteristiky n´ ahodn´ ych veliˇ cin. Nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ ymi charakteristikami jsou stˇredn´ı hodnota, která popisuje polohu (´ uroveˇ n) náhodné veliˇciny, a rozptyl kter´ y popisuje variabilitu (rozpt´ ylenost) náhodné veliˇciny. Struˇcnˇe se zm´ın´ıme i o dalˇs´ıch charakteristikách.

4.2.1

Stˇ redn´ı hodnota

Necht’ X je náhodná veliˇcina s distribuˇcn´ı funkc´ı F (x). Pak máme následuj´ıc´ı definice stˇredn´ı hodnoty náhodné veliˇciny X s diskrétn´ım respektive spojit´ ym rozdˇelen´ım. Budeme ji znaˇcit E(X). 51

K APITOLA 4 Obsah


Index

Definice 4.4

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

ˇ Í HODNOTA N AHODN ´ ´ VELI CINY ˇ S T REDN E

X s diskretn´ ym pravdˇepodobnostn´ı ´ ım rozdˇelen´ım dan´ funkc´ı P (x) je definována vztahem Stˇredn´ı hodnota nahodn e´ veliˇciny ´

E(X) =

X

xP (x).

x

Stˇredn´ı hodnota nahodn e´ veliˇciny se spojitym ´ ´ rozdˇelen´ım hem Z ∞

s hustotou f (x) je definována vzta-

xf (x) dx.

E(X) =

−∞

V diskrétn´ım pˇr´ıpadˇe jde v podstatˇe o jak´ ysi váˇzen´ y pr˚ umˇer moˇzn´ ych hodnot veliˇciny X s vahami odpov´ıdaj´ıc´ımi jednotliv´ ym pravdˇepodobnostem. Ve spojitém pˇr´ıpadˇe je stˇredn´ı hodnota náhodné veliˇciny X definována obdobnˇe (souˇcet je nahrazen integrálem). Pozn´ amka: V dalˇs´ım textu budeme oznaˇcovat stˇredn´ı hodnotu náhodné veliˇciny X také symbolem µx . Stˇredn´ı hodnota se nˇekdy naz´ yvá prvn´ı obecn´ y moment. Obecnˇe, k-t´ y obecn´ y moment E(X k ) náhodné veliˇciny X je definován jako  X  xk P (x)     x

E(X k ) =  Z    

∞

pro diskrétn´ı rozdˇelen´ı

xk f (x) dx pro spojité rozdˇelen´ı.

−∞

Pro práci se stˇredn´ımi hodnotami jsou d˚ uleˇzité nˇekteré jej´ı matematické vlastnosti, které uvedeme. Z´ akladn´ı vlastnosti stˇ redn´ı hodnoty 1. Stˇredn´ı hodnota konstanty je rovna konstantˇe, E(c) = c. 2. Stˇredn´ı hodnota souˇcinu konstanty a náhodné veliˇciny je rovna souˇcinu této konstanty a stˇredn´ı hodnoty dané veliˇciny, E(cX) = cE(X). 3. Stˇredn´ı hodnota souˇctu n náhodn´ ych veliˇcin je rovna souˇctu jejich stˇredn´ıch hodnot, n X

E(

Xi ) =

i=1

n X

E(Xi ).

i=1

Pojem stˇredn´ı hodnoty zobecn´ıme na nˇejakou funkci h(X) náhodné veliˇciny X E(h(X)) =

X

h(xj )P (xj ),

resp.

E(h(X)) =

Z ∞

−∞

j

52

h(x)f (x) dx.


4.2.2

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Rozptyl

Rozptyl je m´ırou variability náhodné veliˇciny. Definice 4.5

´ ´ VELI CINY ˇ ROZPTYL N AHODN E

Rozptyl nahodn e´ veliˇciny s diskretn´ ´ ´ ım rozdˇelen´ım

s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı P (x) je defi-

nován vztahem D(X) =

(x − E(X))2 P (x).

X x

Rozptyl nahodn e´ veliˇciny se spojitym ´ ´ rozdˇelen´ım

D(X) =

Z ∞

−∞

s hustotou f (x) je definován vztahem

(x − E(X))2 f (x) dx.

Rozptyl se také naz´ yvá druh´ y centráln´ı moment. Obecnˇe, k-t´ y centr´ aln´ı moment E(X − µx )k náhodné veliˇciny X je definován jako  X  (x − µx )k P (x)     x

E((X − µx )k ) =  Z    

∞

−∞

pro diskrétn´ı rozdˇelen´ı

(x − µx )k f (x) dx pro spojité rozdˇelen´ı.

Rozptyl lze poˇc´ıtat podle vzorce D(X) = E(X − E(X))2 = E(X 2 − 2XE(X) + (E(X))2 ) = E(X 2 ) − [E(X)]2 .

(4.11)

Pozn´ amka: V dalˇs´ım textu budeme oznaˇcovat rozptyl náhodné veliˇciny X také symbolem σx . Mˇerné jednotky, ve kter´ ych je vyjádˇren rozptyl D(X) jsou ˇctverce jednotek náhodné veliˇciny X. V p˚ uvodn´ıch jednotkách mˇeˇr´ı variabilitu odmocnina rozptylu, kterou naz´ yváme q smˇ erodatnou odchylkou a znaˇc´ıme σx = D(X). Z´ akladn´ı vlastnosti rozptylu 1. Rozptyl konstanty je rovna nule, D(c) = 0. 2. Rozptyl souˇcinu konstanty a náhodné veliˇciny je roven souˇcinu ˇctverce této konstanty a rozptylu dané veliˇciny, D(cX) = c2 D(X). 3. Rozptyl souˇctu nezávislých náhodn´ ych veliˇcin je roven souˇctu rozptyl˚ u tˇechto náhodn´ ych veliˇcin, n X

D(

Xi ) =

i=1

4.2.3

n X

D(Xi ).

i=1

Kvantily

Vedle uveden´ ych charakteristik náhodné veliˇciny se pˇri popisu spojité náhodné veliˇciny velmi ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı kvantily. S t´ımto pojmem jsme se jiˇz seznámili v popisné statistice v ˇcásti ??. Nyn´ı tuto charakteristiku uvedeme do souvislosti se spojitou náhodnou veliˇcinou. 53


K APITOLA 4 Obsah

Index

Definice 4.6

N

Tabulky:

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

K VANTIL

Necht’ X je náhodná veliˇcina s distribuˇcn´ı funkc´ı F (x) a hustotou pravdˇepodobnosti f (x). p-kvantilem nahodn e´ veliˇciny X nebo 100p procentn´ım kvantilem je ˇ c´ıslo Qp , pro které plat´ı ´ P (X ≤ Qp ) = F (Qp ) =

Z Qp

f (x) dx = p, 0 < p < 1.

−∞

50% kvantil naz´ yváme medi´ an. Medián Q0.5 náhodné veliˇciny je jednoznaˇcnˇe urˇcen podm´ınkou F (Q0.5 ) = 21 . Pˇ r´ıklad 4.3 Stˇredn´ı hodnota a rozptyl diskretn´ ´ ıho rozdˇelen´ı ´ Urˇcete E (X ) a D (X ) nahodn´ e veliˇciny, ktera´ nabýva´ hodnot z mnoˇziny {0, 1} s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p, 0 < p < 1. ˇ sen´ı: E (X ) = 1p + 0(1 − p) = p a D (X ) = (1 − p)2 p + (0 − p)2 (1 − p) = p(1 − p) Reˇ Pˇ r´ıklad 4.4 Stˇredn´ı hodnota, rozptyl a median rozdˇelen´ı ´ spojiteho ´ ´ ´ této Uvaˇzujme nahodnou veliˇcinu z pˇr´ıkladu ??. Urˇcete stˇredn´ı hodnotu, rozptyl a median veliˇciny. ˇ sen´ı: K výpoˇctu pouˇzijeme gama funkci : Reˇ Z ∞

Γ(a) =

0

E (X ) = λ

xa−1 e−x dx, a > 0, Γ(a + 1) = aΓ(a), Γ(1) = 1.

Z ∞ 0

xe−λx dx =

1

λ

Z ∞

ue−u du =

0

Γ(2)

λ

=

1

λ

.

´ Rozptyl vypoˇc´ıtame pomoc´ı vzorce (??), tud´ızˇ mus´ıme spoˇc´ıtat E (X 2 ). Z ∞ Z Γ(3) 2 1 ∞ 2 −u 2 2 −λx E (X ) = λ x e dx = 2 u e du = 2 = 2 . D(X ) = λ22 λ 0 λ λ 0 ´ Median

4.2.4

− ( λ1 )2 =

1 . λ2

Q0.5 se nalezne rˇeˇsen´ım rovnice 1 − e−λQ0.5 = 0.5, z n´ızˇ dostaneme Q0.5 =

1 λ

ln 2.

Kovariance a korelace

Kovariance a korelaˇcn´ı koeficient (koeficient korelace) patˇr´ı mezi nejˇcastˇeji pouˇz´ıvané charakteristiky sdruˇzeného rozdˇelen´ı dvou náhodn´ ych veliˇcin. Kovariance je stˇredn´ı hodnota souˇcinu odchylek obou náhodn´ ych veliˇcin X a Y od jejich stˇredn´ıch hodnot. Definice 4.7

KOVARIANCE

σxy dvou náhodn´ ych veliˇcin X a Y se stˇredn´ımi hodnotami µx a µy je definována vztahem σxy = E(X − µx )(Y − µy ).

Kovariance

K v´ ypoˇctu kovariance veliˇcin X a Y lze pouˇz´ıt stˇredn´ı hodnotu E(XY ) naz´ yvanou sm´ıˇ sen´ y obecn´ y moment a definovou vztahem :  X  xyP (X     x,y

E(XY ) =  Z    

∞

−∞

Z ∞

= x, Y = y)

pro diskrétn´ı rozdˇelen´ı (4.12)

xyf (x, y) dxdy pro spojitá rozdˇelen´ı.

−∞

54


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Z definice ?? a z (??) plyne, ˇze σxy = E(XY ) − µx µy .

(4.13)

Z definice nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin a ze vztahu (??) plyne, ˇze pro nezávislé náhodné veliˇciny plat´ı E(XY ) = E(X)E(Y ). Kovariance dvou nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin je tud´ıˇz rovna nule. Pomoc´ı kovariance m˚ uˇzeme v´ yjádˇrit rozptyl souˇctu dvou náhodn´ ych veliˇcin X a Y . Je roven souˇctu rozptyl˚ u obou náhodn´ ych veliˇcin a dvojnásobku kovariance obou veliˇcin. D(X + Y ) = E(X + Y − µx − µy )2 = E(X − µx )2 + E(Y − µy )2 + 2E(X − µx )(Y − µy ) = D(X) + D(Y ) + 2σxy . (4.14) Korelaˇcn´ı koeficient dává urˇcitou informaci o stupni závislosti dvou náhodn´ ych veliˇcin. Je definován jako pomˇer kovariance k souˇcinu smˇerodatn´ ych odchylek obou náhodn´ ych veliˇcin. Definice 4.8

ˇ Í KOEFICIENT KORELA CN

Korelaˇcn´ı koeficient

ρxy dvou náhodn´ ych veliˇcin X a Y s rozptyly σx2 > 0 a σy2 > 0 je

definován vztahem ρxy =

σxy . σ x σy

Je-li σx2 = 0 nebo σy2 = 0 pokládáme ρxy = 0. Pro korelaˇcn´ı koeficient plat´ı: 1. Hodnota korelaˇcn´ıho koeficientu je ˇc´ıslo z intervalu h−1, 1i, tj. −1 ≤ ρxy ≤ 1. 2. Jsou-li X a Y nezávislé, je ρxy = 0. Poznámka: Opaˇcné tvrzen´ı neplat´ı. Ze vztahu ρxy = 0 obecnˇe nevypl´ yvá, ˇze veliˇciny X a Y jsou nezávislé. Je-li ρxy = 0, ˇr´ıkáme, ˇze náhodné veliˇciny X a Y jsou nekorelovan´ e. 3. |ρxy | = 1 právˇe tehdy, kdyˇz s pravdˇepodobnost´ı 1 plat´ı Y = a + bX, kde a, b, b 6= 0 jsou reálné konstanty. Pˇritom je ρxy = 1 nebo −1 podle toho, je-li b > 0 nebo b < 0. S interpretac´ı a v´ ypoˇctem korelaˇcn´ıho koeficientu se podrobnˇeji seznám´ıme v kapitole o regresi a korelaci.

4.2.5

Vektor stˇ redn´ıch hodnot, kovarianˇ cn´ı matice

Z charakteristik n-rozmˇerného náhodného vektoru X = (X1 , X2 , · · · , Xn ) jsou nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı stˇredn´ı hodnoty jednotliv´ ych veliˇcin Xi µi = E(Xi ), i = 1, 2, · · · , n, dále jejich rozptyly σi2 = D(Xi ), i = 1, 2, · · · , n a koneˇcnˇe kovariance dvojic veliˇcin σij = E(Xi − µi )(Xj − µj ), 55

i = 1, 2, · · · , n; i 6= j.

K APITOLA 4 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Stˇredn´ı hodnoty zapisujeme ˇcasto ve formˇe vektoru stˇ redn´ıch hodnot µ = (µ1 , µ2 , · · · , µn )T a kovariance spolu s rozptyly ve formˇe kovarianˇ cn´ı matice σ12 . . . σ1n  . . . . ..  Σ= .  .  .. 2 σn1 . . . σn 



Kovarianˇcn´ı matice je symetrická a positivnˇe definitn´ı.

4.3

Nˇ ekter´ a rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnost´ı

Rozdˇelen´ı jednorozmˇern´ ych i v´ıcerozmˇern´ ych náhodn´ ych veliˇcin se pouˇz´ıvaj´ı jako pravdˇepodobnostn´ı modely pˇri popisu konkrétn´ıch praktick´ ych problém˚ u. V této ˇcásti se seznám´ıme s nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ ymi pravdˇepodobnostn´ımi rozdˇelen´ımi.

4.3.1

Diskr´ etn´ı rozdˇ elen´ı

Alternativn´ı rozdˇ elen´ı A(p) Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı na Ω = {0, 1} s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı P (x) = px (1 − p)1−x ,

(4.15)

kde p ∈ (0, 1) se nazýv´ a alternativn´ı rozdˇelen´ı s parametrem p. Stˇredn´ı hodnota tohoto rozdˇelen´ı je E(X) = p a rozptyl D(X) = p(1 − p). Interpretace: Uvaˇzujme náhodn´ y pokus. Nastane-li sledovan´ y náhodn´ y jev A, nabude náhodná veliˇcina X hodnoty x = 1, nenastane-li tento jev A, nabude náhodná veliˇcina X hodnoty x = 0. Náhodná veliˇcina X tedy vyjadˇruje, kolikrát jev A v pokusu nastane. Binomick´ e rozdˇ elen´ı B(n, p) Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı na Ω = {0, 1, ..., n} s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı P (x) =

n x

!

px (1 − p)n−x

(4.16)

pro p ∈ (0, 1) a n ∈ N+ se nazývá binomické rozdˇelen´ı s parametry n a p. Stˇredn´ı hodnota je E(X) = np a rozptyl D(X) = np(1 − p). Binomické rozdˇelen´ı je obecnˇe nesymetrické. S r˚ ustem n (n → ∞) nebo pˇribliˇzován´ım p k hodnotˇe 0.5 se stává postupnˇe symetriˇctˇejˇs´ım. Pro p = 0.5 je symetrické. Pro n = 1 dostaneme A(p)-rozdˇelen´ı. Interpretace: Pˇredpokládejme, ˇze provád´ıme n nezávisl´ ych pokus˚ u, pˇri nichˇz m˚ uˇze nastat jev A s pravdˇepodobnost´ı p a nenastat s pravdˇepodobnost´ı q = 1 − p. Pravdˇepodobnost, ˇze se v takové sérii pokus˚ u objev´ı jev A právˇe x-krát, je dána v´ yrazem (??). 56

4.3 N Eˇ KTER A´ ROZD Eˇ LENÍ PRAVD Eˇ PODOBNOSTÍ Obsah

Index

N

Tabulky:

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Pravdˇepodobnosti jednotliv´ ych hodnot náhodné veliˇciny s binomick´ ym rozdˇelen´ım jsou obecn´ ym ˇclenem binomického rozvoje n

(p + q) =

n X

x=1

n x

!

px (1 − p)n−x .

Hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı Hg(N, M, n) Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı s Ω = {0, 1, ..., min{M, n}} a pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı

P (x) =

M x

!

N −M n−x N n

!

!

, max(n − N + M, 0) ≤ x ≤ min(M, n)

(4.17)

se nazýv´ a hypergeometrické rozdˇelen´ı s parametry N, M, n. M M N −n Stˇredn´ı hodnota je E(X) = n M , a rozptyl D(X) = n 1 − . N N N N −1 Interpretace: Uvaˇzujme situaci, kdy v souboru N prvk˚ u je jich M (N ≥ M ) s urˇcitou vlastnost´ı a zbyl´ ych N − M tuto vlastnost nemá. Postupnˇe vybereme ze souboru n prvk˚ u, z nichˇz ˇzádn´ y nevrac´ıme zpˇet. Poˇcet prvk˚ u se sledovanou vlastnost´ı mezi n vybran´ ymi prvky je náhodná veliˇcina X maj´ıc´ı hypergeometrické rozdˇelen´ı. Jestliˇze N je velké a n a M se nemˇen´ı, bl´ıˇz´ı se hypergeometrické rozdˇelen´ı binomickému. To N znamená, ˇze m˚ uˇzeme pro velká N zanedbat rozd´ıl mezi v´ ybˇerem bez vracen´ı a s vracen´ım. Prakticky postupujeme tak, ˇze vypoˇc´ıtáme pomˇer Nn a je-li tento pomˇer vˇetˇs´ı neˇz 0.05, lze hypergeometrické rozdˇelen´ı nahradit rozdˇelen´ım binomick´ ym s parametry n a M . N Aplikace: Hypergeometrické rozdˇelen´ı se vyskytuje napˇr´ıklad ve statistické kontrole jakosti v pˇr´ıpadech, kdy zkoumáme jakost malého poˇctu v´ yrobk˚ u nebo kdyˇz kontrola má charakter destrukˇcn´ı zkouˇsky, tj. v´ yrobek je pˇri zkouˇsce zniˇcen. Dále jako pravdˇepodobnostn´ı model nˇekter´ ych her jako Sportky. Geometrick´ e rozdˇ elen´ı G(p) Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı na N+ s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı P (x) = p(1 − p)x−1 = pq x−1

(4.18)

pro p ∈ (0, 1) se nazýv´ a geometrické rozdˇelen´ı s parametrem p. Stˇredn´ı hodnotu vypoˇc´ıtáme: E(X) =

∞ X

x=1

xpq

x−1

=p

∞ X

x=1

xq

x−1

∞ X

∞ dq x d X d 1 p p 1 =p =p qx = p = = 2 = . 2 dq x=0 dq 1 − q (1 − q) p p x=1 dq

Rozptyl tohoto rozdˇelen´ı je D(X) = 1−p . Medián leˇz´ı mezi 0 a 1 pro p < 0.5 a je roven nule p pro p ≥ 0.5. Interpretace: Provádˇejme pokus se dvˇema moˇzn´ ymi v´ ysledky, které nazveme u ´spˇech“ ” a ne´ uspˇech“. Pravdˇepodobnost u ´spˇechu necht’ je p. Poˇcet nezávisl´ ych opakován´ı pokus˚ u ” do prvn´ıho u ´spˇechu je náhodná veliˇcina, která má geometrické rozdˇelen´ı. P (x) udává pravdˇepodobnost, ˇze prvn´ıch x pokus˚ u bude ne´ uspˇeˇsn´ ych a ˇze k u ´spˇechu dojde teprve v (x + 1)-n´ım pokusu. 57

K APITOLA 4 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Pˇ r´ıklad 4.5 Geometricke´ rozdˇelen´ı ´ ´ ´ ıme vybˇ ´ er s vracen´ım. Necht’ X znaˇc´ı nahodnou ´ Mezi N vyrobky je M vadnych. Provad´ ´ veliˇcinu, zˇe prvn´ıch x výrobku˚ bude dobry´ ch a v (x + 1)-n´ım tahu jsme vytahli vadny´ ´ ´ vyrobek. Pak ma´ nahodn a´ veliˇcina X geometrické rozdˇelen´ı s parametrem p = M . N Poissonovo rozdˇ elen´ı P(λ) Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı na N s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı λx p(x) = e−λ , x! kde λ > 0 je konstanta, se nazývá Poissonovo rozdˇelen´ı s parametrem λ.

(4.19)

Stˇredn´ı hodnotu vypoˇc´ıtáme následuj´ıc´ım zp˚ usobem: E(X) =

∞ X

x=0

xe−λ

∞ X λx λx = λe−λ x = λe−λ eλ = λ x! (x − 1)! x=1

Rozptyl D(X) = λ. Jestliˇze je poˇcet pokus˚ u n dosti velk´ y (prakticky staˇc´ı n > 30) a p → 0 (prakticky p ≤ 0.01), pak lze binomické rozdˇelen´ı aproximovat Poissonov´ ym rozdˇelen´ım s parametrem λ = np. Aplikace: Toto rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı se ˇcasto uˇz´ıvá k modelován´ı ˇcetnost´ı s jakou urˇcitá událost nastane bˇehem urˇcitého ˇcasového u ´seku. Na pˇr´ıklad poˇcet telefonn´ıch volán´ı v urˇcitém ˇcasovém intervalu, poˇcet zákazn´ık˚ u obslouˇzen´ ych za jednotku ˇcasu u pokladny v obchodˇe, poˇcet poruch nˇejakého zaˇr´ızen´ı za ˇcasovou jednotku, poˇcet vad na v´ yrobku. Pˇ r´ıklad 4.6 Poissonovo rozdˇelen´ı ´ ´ ˚ doˇslých bˇehem 1 hodiny na ustˇ ´ rednu v jedné malé Pˇredpokladejte, zˇ e poˇcet telefonickych hovoru firmˇe, ma´ Poissonovo rozdˇelen´ı s parametrem λ = 5.2. Vypoˇc´ıtejte pravdˇepodobnost, zˇe bˇehem ´ rednu a ) pravˇ ´ e dva hovory; b ) nejvy´ sˇ e sˇ est a nejménˇe 4 hovory; jedné hodiny pˇrijdou na ustˇ ˇ jeden hovor. d ) Jaky´ je prumˇ ˚ erny´ poˇcet hovoru ˚ za jednu hodinu? c ) aspon ˇ Reˇsen´ı: (5.2)2 a ) Protoˇze λ = 5.2 je podle (??) P (X = 2) = e−5.2 2! = 0.0746. b ) P (4 < X ≤ 6) = P (X ≤ 6) − P (X ≤ 4) = 0.7323 − 0.4060 = 0.3263. c ) P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − e−5.2 = 0.994. ˚ erny´ poˇcet hovoru ˚ za jednu hodinu je roven stˇredn´ı hodnotˇe Poissonova rozdˇelen´ı d ) Prumˇ s parametrem λ = 5.2, tud´ızˇ je roven 5.2.

Diskr´ etn´ı rovnomˇ ern´ e rozdˇ elen´ı DU(m) Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı na Nm , kde m ∈ N+ , s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı 1 p(x) = , m se nazýv´ a diskrétn´ı rovnomˇerné rozdˇelen´ı nebo DU(m)-rozdˇelen´ı. Distribuˇcn´ı funkce    0 pro x < 1 x pro 1 ≤ x < m F (x) =  m  1 pro x ≥ m. Stˇredn´ı hodnota E(X) = m+1 , rozptyl D(X) = 2 a Q0.5 = [ m+1 ] pro m sud´ e . 2 58

m2 −1 , 12

(4.20)

medián Q0.5 = [ m2 ] + 1 pro m liché


4.3.2

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Spojit´ a rozdˇ elen´ı

V dalˇs´ım v´ ykladu se zamˇeˇr´ıme na nˇekterá spojitá rozdˇelen´ı. Rovnomˇ ern´ e rozdˇ elen´ı U(a, b) Rovnomˇerné rozdˇelen´ı na reálném intervalu (a, b) m´ a hustotu f (x) =

(

0 1 b−a

pro x < a a pro b < x pro a < x < b.

(4.21)

Pro pˇr´ısluˇsnou distribuˇcn´ı funkci plat´ı

F (x) =

  

0

 

1

pro x < a pro a ≤ x < b pro x ≥ b.

x−a b−a

(4.22)

Základn´ı charakteristiky U(a, b)-rozdˇelen´ı jsou stˇredn´ı hodnota E(X) = 1 (b − a)2 a medián Q0.5 = b+a . 12 2

a+b , 2

rozptyl D(X) =

Obr´ azek 4.2 Hustota a distribuˇcn´ı funkce U(a, b)-rozdˇelen´ı f (x)

F (x)

1 1 b−a

0

a

b

x

a

0

(a) hustota

b

x

(b) distribuˇcn´ı funkce

Interpretace: Rovnomˇern´ ym rozdˇelen´ım se ˇr´ıd´ı takové náhodné veliˇciny, které maj´ı stejnou moˇznost nab´ yt kterékoliv hodnoty z nˇejakého intervalu. Jsou to napˇr. chyby pˇri zaokrouhlován´ı ˇc´ısel, chyby pˇri odeˇc´ıtán´ı u ´daj˚ u z lineárn´ıch stupnic mˇeˇr´ıc´ıch pˇr´ıstroj˚ u, doby ˇcekán´ı na uskuteˇcnˇen´ı jevu opakuj´ıc´ıho se v pravideln´ ych ˇcasov´ ych intervalech. Pˇ r´ıklad 4.7 Rovnomˇerne´ rozdˇelen´ı ´ m´ıstem vyrobn´ ´ ´ ı kaˇzdých 5 minut polotovar. Pracovn´ık technické kontroly Urˇcitym ı linky prochaz´ ´ za den jeden polotovar, aby ho vyzkouˇsel. Pravdˇepodobnost pˇr´ıchodu praodeb´ıra´ nˇekolikrat ´ Jaka´ je pravdˇepodobnost, zˇe bude cˇ ekat na covn´ıka k lince je pro kaˇzdý cˇ asovy´ okamˇzik stejna. ´ se jednu minutu? polotovar nejvyˇ ˇ sen´ı: Poˇzadovanou pravdˇepodobnost udav ´ a´ distribuˇcn´ı funkce (??), pˇriˇcemˇz a = 0, b = 5. Reˇ

P (X ≤ 1) = F (1) = 51 . Normovan´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı N (0, 1) Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı na R s hustotou 1 1 ϕ(z) = √ exp − z 2 , 2 2π

59

(4.23)

K APITOLA 4 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

se nazýv´ a normované normáln´ı (Gaussovo) rozdˇelen´ı nebo N (0, 1)-rozdˇelen´ı. Náhodná veliˇcina s N (0, 1)-rozdˇelen´ım se naz´ yvá normovaná normáln´ı náhodná veliˇcina. Hustota N (0, 1)-rozdˇelen´ı má tvar zvonovité kˇrivky a naz´ yvá se normovan´ a norm´ aln´ı (Gaussova, gaussovsk´ a) kˇrivka. Z´ akladn´ı vlastnosti N (0, 1)-rozdˇ elen´ı 1. Plat´ı limz→±∞ ϕ(z) = 0. To znamená, ˇze pro z → ±∞ se normovaná normáln´ı kˇrivka asymptoticky pˇribliˇzuje k nule. 2. Hustota ϕ(z) je sudá funkce: ϕ(−z) = ϕ(z). Tud´ıˇz normovaná normáln´ı kˇrivka je symetrická kolem 0. Hustota N (0, 1)-rozdˇelen´ı nab´ yvá svého maxima pro z = 0. 3. E(Z) = 0, D(Z) = 1, Q0.5 = 0. Stˇredn´ı hodnota tohoto rozdˇelen´ı charakterizuj´ıc´ı polohu rozdˇelen´ı je rovna nule, a rozptyl charakterizuj´ıc´ı rozpt´ ylen´ı hodnot kolem nuly je roven jedné. 4. P (−3 < Z ≤ 3) ≈ 0.997. To znamená, ˇze vˇetˇsina plochy pod normovanou normáln´ı kˇrivkou leˇz´ı mezi −3 a +3. Distribuˇcn´ı funkce N (0, 1)-rozdˇelen´ı se obvykle znaˇc´ı Φ Φ(z) =

Z z

ϕ(u) du,

−∞

z∈R

(4.24)

a b´ yvá tabelována pouze pro hodnoty z > 0. Protoˇze vˇsak hustota ϕ je sudá, plat´ı Φ(−z) = 1 − Φ(z).

(4.25)

Obr´ azek 4.3 Hustota a distribuˇcn´ı funkce N (0, 1)-rozdˇelen´ı f (x)

F (x) 1

√1 2π

1 2

x

0

-3

(a) hustota

-2

-1

0

1

2

3

x


Zároveˇ n lze dokázat, ˇze pro kvantily Qp normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı plat´ı: Qp = −Q1−p

(4.26)

Symbolem zα budeme znaˇcit hodnotu pro kterou plat´ı: α=

Z ∞

ϕ(z) dz.

zα

60

(4.27)


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı N (µ, σ 2 ) Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı na R se nazýv´ a norm´ aln´ı (Gaussovo) rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hod2 2 notou µ a rozptylem σ nebo N (µ, σ )-rozdˇelen´ı, jestliˇze m´ a hustotu 1 (x − µ)2 f (x) = √ exp − , 2σ 2 2πσ !

µ ∈ R, σ 2 ∈ R+ .

(4.28)

Normáln´ı rozdˇelen´ı má tvar zvonovité kˇrivky, která nab´ yvá maxima v bodˇe x = µ a pˇri n → ±∞ se pˇribliˇzuje k ose x. V´ ypoˇcet distribuˇcn´ı funkce tohoto rozdˇelen´ı je obt´ıˇzn´ y. Proto transformujeme náhodnou veliˇcinu X na normovanou norm´ aln´ı veliˇ cinu Z, kde Z=

X −µ . σ

(4.29)

Veliˇcina Z má pak N (0, 1)-rozdˇelen´ı. Distribuˇcn´ı funkci F (x) lze vyjádˇrit pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce N (0, 1)-rozdˇelen´ı x−µ F (x) = Φ . σ Obr´ azek 4.4 Hustota a distribuˇcn´ı funkce N (µ, σ 2 )-rozdˇelen´ı f (x)

F (x) 1

√ 1 2πσ 2

1 2

0

µ

x

0

(a) hustota

µ

x


Empirick´ e pravidlo pro norm´ alnˇ e rozdˇ elen´ e n´ ahodn´ e veliˇ ciny Pro kaˇzdou normálnˇe rozdˇelenou náhodnou veliˇcinu X plat´ı: (a) P (µ − σ < X < µ + σ) = 0.6826, (b) P (µ − 2σ < X < µ + 2σ) = 0.9544, (c) P (µ − 3σ < X < µ + 3σ) = 0.9974. Tyto vlastnosti jsou graficky znázornˇeny na obr. ??. Obr´ azek 4.5 Empirická pravidla pro norm´ alnˇe rozdˇelenou n´ ahodnou veliˇcinu 0.9544

0.6826 µ−σ

µ

µ+σ

µ − 2σ

µ

0.9974 µ + 2σ

µ − 3σ

µ

µ + 3σ

Aplikace: Normáln´ı rozdˇelen´ı má v teorii pravdˇepodobnosti mimoˇrádn´ y v´ yznam. Slouˇz´ı jako pravdˇepodobnostn´ı model chován´ı velkého mnoˇzstv´ı náhodn´ ych jev˚ u v technice, pˇr´ırodn´ıch 61

K APITOLA 4 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

vˇedách a v ekonomii. Mnoho náhodn´ ych veliˇcin vyskytuj´ıc´ıch se v praktick´ ych aplikac´ıch má alespoˇ n pˇribliˇznˇe normáln´ı rozdˇelen´ı. Normáln´ı rozdˇelen´ı b´ yvá nˇekdy naz´ yváno zákonem ” chyb“. Pˇri opakovaném mˇeˇren´ı téˇze veliˇciny za stejn´ ych podm´ınek zp˚ usobuj´ı náhodné vlivy odchylky od skuteˇcné hodnoty mˇeˇrené veliˇciny. Tyto náhodné chyby maj´ı ˇcasto normáln´ı rozdˇelen´ı. Velk´ y v´ yznam normáln´ıho rozdˇelen´ı spoˇc´ıvá také v tom, ˇze za urˇcit´ ych podm´ınek lze pomoc´ı nˇej aproximovat ˇradu diskrétn´ıch i spojit´ ych rozdˇelen´ı. Pˇ r´ıklad 4.8 Normaln´ ´ ı rozdˇelen´ı ´ ı testu na vysoké sˇ kole ma´ normaln´ ´ ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou Doba potˇrebna´ na vypracovan´ 110 minut a smˇerodatnou odchylkou 20 minut. ˚ dokonˇc´ı test do dvou hodin? b ) Jak dlouho by mˇel test trvat, aby ho a ) Kolik procent studentu ´ e 90% studentu? ˚ dokonˇcilo pravˇ ˇ sen´ı: Necht’ X znaˇc´ı dobu potˇrebnou na vypracovan´ ´ ı testu. Pak X ∼ N (110, 400). Reˇ 120−110 10 ˚ a ) P (X ≤ 120) = F (120) = Φ( 20 ) = Φ( 20 ) = Φ(0.5) = 0.6915. Pouze 69.15% studentu 110 ´ dokonˇc´ı test do dvou hodin. b ) P (X ≤ t) = F (t) = Φ( t−20 ) = 0.90. V tabulkach najdeme, 110 zˇe pro z = 1.28 je P (X ≤ 1.28) = 0.90. Tud´ızˇ t−20 = 1.28 a z toho dostaneme t = 135.6. ´ e 90% studentu˚ je 2hodiny a 15 minut. Doba potˇrebna´ k tomu, aby test dokonˇcilo pravˇ

Exponenci´ aln´ı rozdˇ elen´ı E(λ) Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı na R+ se nazýv´ a exponenci´ aln´ı rozdˇelen´ı s parametrem λ > 0 nebo E(λ)-rozdˇelen´ı, jestliˇze má hustotu f (x) =

(

λe−λx pro x > 0 0 pro x ≤ 0.

(4.30)

1 − e−λx pro x > 0 0 pro x ≤ 0.

(4.31)

Distribuˇcn´ı funkce je F (x) =

(

Stˇredn´ı hodnota tohoto rozdˇelen´ı E(X) = 1/λ, rozptyl E(X) = 1/λ2 a medián Q0.5 = ln 2/λ. Obr´ azek 4.6 Hustota a distribuˇcn´ı funkce E(λ)-rozdˇelen´ı f (x)

F (x) 1

λ

λe−λx

x

0 (a) hustota

0

x


Aplikace: Toto rozdˇelen´ı má uplatnˇen´ı v teorii spolehlivosti a v teorii hromadné obsluhy, zejména pˇri v´ ypoˇctu pravdˇepodobnosti ˇzivotnosti v´ yrobk˚ u a zaˇr´ızen´ı. Typick´ y pˇr´ıklad náhodné veliˇciny s E(λ)-rozdˇelen´ım je doba mezi v´ yskytem dvou po sobˇe následuj´ıc´ıch náhodn´ ych jev˚ u. Ve fyzice je hodnota mediánu Q0.5 = 1/λ ln 2 známá jako poloˇcas rozpadu radioaktivn´ıho prvku. 62


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Pˇ r´ıklad 4.9 Exponencialn´ ´ ı rozdˇelen´ı ˚ erna´ doba cˇ ekan´ ´ ı zakazn´ ´ Prumˇ ıka na obsluhu v urˇcité prodejnˇe je 50 sekund, pˇriˇcemˇz doba ´ ı se rˇ´ıd´ı exponencialn´ ´ ım rozdˇelen´ım. Jaka´ je pravdˇepodobnost, zˇe nahodn ´ ´ cˇ ekan´ y´ zakazn´ ık bude obslouˇzen za dobu ne delˇs´ı neˇz 30 sekund? ˇ sen´ı: Protoˇze λ = 1/50 = 0.02 je P (X ≤ 30) = 1 − e−(0.02).30 = 1 − e−0.6 ≈ 0.451. Reˇ

S normáln´ım rozdˇelen´ım jsou spjata nˇekterá dalˇs´ı d˚ uleˇzitá rozdˇelen´ı, která budeme pouˇz´ıvat v dalˇs´ıch kapitolách. Jejich hustotu zde nebudeme uvádˇet. ch´ı-kvadr´ at rozdˇ elen´ı χ2 (n) Jestliˇze Z1 , Z2 , · · · , Zn je posloupnost nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin, z nichˇz kaˇzdá má N (0, 1)-rozdˇelen´ı, pak souˇcet ˇctverc˚ u tˇechto veliˇcin, tj. veliˇcina χ2 =

n X

Zi2 ,

i=1

má ch´ı–kvadr´ at rozdˇ elen´ı s n stupni volnosti. Poˇctem stupˇ n˚ u volnosti se rozum´ı poˇcet nezávisl´ ych sˇc´ıtanc˚ u. Je jedin´ ym parametrem rozdˇelen´ı. Stˇredn´ı hodnota tohoto rozdˇelen´ı je E(χ2 ) = n a rozptyl D(χ2 ) = 2n. Pro r˚ uzné poˇcty stupˇ n˚ u 2 2 2 volnosti ν jsou tabelovány hodnoty χα , splˇ nuj´ıc´ı vztah P (χ > χα ) = α, 0 < α < 1. Se vzr˚ ustaj´ıc´ım poˇctem stupˇ n˚ u volnosti se χ2 -rozdˇelen´ı bl´ıˇz´ı normáln´ımu rozdˇelen´ı. Obr´ azek 4.7 Hustota χ2 -rozdˇelen´ı a t-rozdˇelen´ı

ν=5 ν = 10 ν = 19

χ2 (a) χ2 -rozdˇelen´ı

(b) t-rozdˇelen´ı

Studentovo t-rozdˇ elen´ı t(n) 2 Jestliˇze Z a χ jsou dvˇe nezávislé náhodné veliˇciny takové, ˇze Z má N (0, 1)-rozdˇelen´ı a χ2 má χ2 (n)-rozdˇelen´ı, pak veliˇcina Z √ T =√ 2 n χ má Studentovo t-rozdˇ elen´ı s n stupni volnosti. Poˇcet stupˇ n˚ u volnosti je jedin´ y parametr tohoto rozdˇelen´ı. Pro n → ∞ se t-rozdˇelen´ı bl´ıˇz´ı normovanému normáln´ımu rozdˇelen´ı. Pˇri praktick´ ych aplikac´ıch pro n > 30 povaˇzujeme rozdˇelen´ı jiˇz za normáln´ı.

63

K APITOLA 4 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Z´ akladn´ı vlastnosti t-rozdˇ elen´ı s n stupni volnosti 1. Hustota gn (t) je sudá funkce: gn (t) = gn (−t). 2. Distribuˇcn´ı funkce splˇ nuje podm´ınku Gn (t) = 1 − Gn (−t). 3. Pro kvantily plat´ı Qp (n) = −Q1−p (n), n = 1, 2, · · · , 0 < p < 1. Dvourozmˇ ern´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı Náhodn´ y vektor (X, Y ) má dvourozmˇerné normáln´ı rozdˇelen´ı s vektorem stˇredn´ıch hodnot µ, a kovarianˇcn´ı matic´ı Σ T

µ = (µx , µy ) ,

Σ=

σx2 σxy σxy σy2

!

,

jestliˇze jeho hustota f (x, y) má tvar (

1 1 √ f (x, y) = exp − 2 2(1 − ρ2 ) 2πσx σy 1 − ρ

(x − µx )2 (x − µx )(y − µy ) (y − µy )2 − 2ρ + σx2 σx σy σy2

!)

kde (x, y) ∈ R2 , a ρ = σxy /σx σy je korelaˇcn´ı koeficient sloˇzek X a Y náhodného vektoru (X, Y ). Pro |ρ| = 1 nen´ı hustota definována. Jestliˇze ρ = 0, pak veliˇciny X a Y jsou nekorelované, ale v tomto pˇr´ıpadˇe také i nezávislé.

4.4

Nˇ ekter´ e limitn´ı vˇ ety

Limitn´ı vˇety teorie pravdˇepodobnosti se zab´ yvaj´ı chován´ım posloupnost´ı náhodn´ ych veliˇcin. Jsou d˚ uleˇzité pro popis pravdˇepodobnostn´ıch model˚ u v pˇr´ıpadˇe rostouc´ıho poˇctu náhodn´ ych pokus˚ u. V tomto odstavci zformulujeme zákon velk´ ych ˇc´ısel a centráln´ı limitn´ı vˇety jen v jejich nejjednoduˇsˇs´ı podobˇe bez formáln´ıho d˚ ukazu, pouze s ohledem na jejich vˇecn´ y obsah.

4.4.1

Z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel

Obecné znˇen´ı zákona velk´ ych ˇc´ısel je moˇzné zformulovat takto: Jestliˇze zvˇetˇsujeme poˇcet nezávisl´ ych pokus˚ u, pˇribliˇzuje se empiricky zjiˇstˇená charakteristika, popisuj´ıc´ı v´ ysledky tˇechto pokus˚ u, charakteristice teoretické. Podm´ınky p˚ usoben´ı tohoto zákona specifikuj´ı ˇ d´ılˇc´ı vˇety, z nichˇz nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı uvedeme. D´ılˇc´ı vˇety se dokazuj´ı pomoc´ı tzv. Cebyˇ sevovy nerovnosti. ˇ Cebyˇ sevova nerovnost. Necht’ X je náhodná veliˇcina se stˇredn´ı hodnotou E(X) a rozptylem D(X). Pak pro kaˇzdé reálné ˇc´ıslo > 0 plat´ı D(X) . (4.32) P (| X − E(X) |≥ ) ≤ 2 ˇ Pˇ r´ıklad 4.10 Ilustrace Cebyˇ sevovy nerovnosti ’ ´ Necht nahodn a´ veliˇcina X ma´ libovolné rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µ = 2 a rozptylem ´ σ 2 = 1. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇe nahodn a´ veliˇcina nabude hodnoty, ktera´ se bude liˇsit od

64

,

4.4 N Eˇ KTER E´ LIMITNÍ V Eˇ TY Obsah

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

µ o ménˇe neˇz ±2. ˇ sen´ı: V tomto pˇr´ıpadˇe je Reˇ

= 2. Poˇzadovana´ pravdˇepodobnost je

P (| X − 2 |< 2) = 1 − P (| X − 2 |≥ 2) ≥ 1 − 1/4 = 0.75. Pˇristoup´ıme nyn´ı k jedné z d´ılˇc´ıch vˇet zákona velk´ ych ˇc´ısel, a sice k Bernoulliho vˇetˇe. Bernoulliho vˇ eta (Bernoulliho z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel). Necht’ X1 , X2 , · · · je posloupnost nezávisl´ ych stejnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin s alternativn´ım rozdˇelen´ım A(p). Oznaˇcme P Sn = ni=1 Xi . Pak pro kaˇzdé > 0 plat´ı:

lim P | n→∞

Sn − p |> = 0. n

ˇ Bernoulliho vˇeta je jednoduch´ ym d˚ usledkem Cebyˇ sevovy nerovnosti. V´ yraz Sn /n v pˇredchoz´ı vˇetˇe je relativn´ı ˇcetnost jevu A = [Xi = 1] v n nezávisl´ ych opakován´ıch pokusu. Zákon velk´ ych ˇc´ısel potvrzuje, ˇze pro n → ∞ konverguje relativn´ı ˇcetnost ke konstantˇe a sice k pravdˇepodobnosti p jevu A. Pojem konvergence posloupnosti náhodn´ ych veliˇcin lze definovat r˚ uzn´ ym zp˚ usobem, v Bernoulliho vˇetˇe jde o konvergenci podle pravdˇepodobnosti. ˇ Rekneme, ˇze posloupnost X1 , X2 , · · · náhodn´ ych veliˇcin konverguje podle pravdˇ epodobnosti ke konstantˇe c, jestliˇze pro kaˇzdé > 0 plat´ı lim P (| Xn − c |> ) = 0.

n→∞

Bernoulliho vˇetu m˚ uˇzeme nyn´ı pomoc´ı pojmu konvergence podle pravdˇepodobnosti formulovat takto: Relativn´ı ˇcetnost sledovaného jevu v posloupnosti nez´ avislých pokus˚ u konverguje podle pravdˇepodobnosti k pravdˇepodobnosti sledovaného jevu, roste-li poˇcet pokus˚ u nade vˇsechny meze. Jinak ˇreˇceno, pˇri dostateˇcnˇe velkém poˇctu nezávisl´ ych pokus˚ u velké odchylky relativn´ı ˇcetnosti od pravdˇepodobnosti jsou velmi nepravdˇepodobné. Praktick´ y v´ yznam této vˇety spoˇc´ıvá mimo jiné v moˇznosti experimentálnˇe odhadovat neznámou pravdˇepodobnost pomoc´ı napozorované relativn´ı ˇcetnosti. Pˇ r´ıklad 4.11 Ilustrace Bernoulliho vˇety ´ ´ ˚ pˇri urˇcitém procesu vyroby ´ ´ Z 2500 nezavisle vyrobeny´ ch vyrobk u jich bylo 100 vadnych. Pod´ıl ´ 100/2500 = 0.04 je bl´ızky´ cˇ´ıslu p, které vyjadˇruje neznamou pravdˇepodobnost vyroben´ı vadného ´ ´ vyrobku pˇri daném procesu vyroby.

Následuj´ıc´ı vˇeta ˇr´ıká, ˇze aritmetick´ y pr˚ umˇer konverguje ke stˇredn´ı hodnotˇe. To je zobecnˇen´ı Bernoulliho vˇety, nebot’ relativn´ı ˇcetnost je pr˚ umˇerem veliˇcin s alternativn´ım rozdˇelen´ım a pravdˇepodobnost jevu A je jejich stˇredn´ı hodnotou. Chinˇ cinova vˇ eta Necht’ X1 , X2 , · · · je posloupnost nezávisl´ ych stejnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin se stˇredn´ı hodnotou µ. Pak pro kaˇzdé > 0 plat´ı n 1X lim P | Xi − µ |> = 0. n→∞ n i=1

!

65

K APITOLA 4 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Podle zákona velk´ ych ˇc´ısel m˚ uˇzeme vypoˇcten´ım relativn´ı ˇcetnosti respektive aritmetického pr˚ umˇeru (pokud se vztahuj´ı k dostateˇcnˇe velkému poˇctu pozorován´ı) z´ıskat velmi pˇresnou informaci o pravdˇepodobnosti nˇejakého jevu respektive o stˇredn´ı hodnotˇe nˇejaké náhodné veliˇciny. Pˇ r´ıklad 4.12 Ilustrace Chinˇcinovy vˇety ˚ erna´ doba zˇivotnosti Necht’ doba zˇivotnosti X urˇcitého výrobku ma´ P (λ)-rozdˇelen´ı. Potom prumˇ Pn ´ ´ ´ ˚ se jen velmi malo ´ ´ e doby X = vyrobenych vyrobk u liˇs´ı od neznam´ i=1 Xi nezavisle zˇivotnosti 1/λ.

4.4.2

Centr´ aln´ı limitn´ı vˇ ety

Centráln´ı limitn´ı vˇety tvrd´ı, ˇze souˇcty a tedy i pr˚ umˇery velkého poˇctu nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin maj´ı za velmi obecn´ ych podm´ınek pˇribliˇznˇe normáln´ı rozdˇelen´ı. Tyto vˇety vysvˇetluj´ı, proˇc se v r˚ uzn´ ych oborech setkáváme tak ˇcasto s normáln´ım nebo pˇribliˇznˇe normáln´ım rozdˇelen´ım. Typick´ ym pˇr´ıkladem jsou nepˇresnosti pˇri mˇeˇren´ı; v´ ysledná chyba mˇeˇren´ı je sloˇzena z mnoha r˚ uzn´ ych mal´ ych chyb. Centráln´ı limitn´ı vˇety nám umoˇzn ˇuj´ı pˇredpokládat, ˇze rozdˇelen´ı chyb mˇeˇren´ı je normáln´ı. Proto se normáln´ımu zákonu rozdˇelen´ı ˇr´ıká zákon chyb. Zm´ınili jsme se o tom jiˇz v odstavci ??, kde jsme uvádˇeli definici a vlastnosti normáln´ıho rozdˇelen´ı. Pozn´ amka: O náhodn´ ych veliˇcinách, jejichˇz limitn´ım zákonem je normáln´ı rozdˇelen´ı ˇr´ıkáme, ˇze maj´ı asymptoticky norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı. Nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad centráln´ı limitn´ı vˇety je tzv. Moivreova-Laplaceova vˇeta, která vyjadˇruje konvergenci binomického rozdˇelen´ı k rozdˇelen´ı normáln´ımu a dává tak moˇznost aproximovat binomické rozdˇelen´ı rozdˇelen´ım normáln´ım. Moivreova-Laplaceova vˇ eta. Necht’ X1 , X2 , · · · je posloupnost nezávisl´ ych stejnˇe rozdˇeP len´ ych náhodn´ cin s alternativn´ım rozdˇelen´ım A(p). Poloˇzme Sn = ni=1 Xi a Zn = q ych veliˇ (Sn − np)/ np(1 − p). Potom plat´ı lim P (Zn ≤ x) = Φ(x), x ∈ R.

n→∞

Pˇ r´ıklad 4.13 Aproximace binomickeho rozdˇelen´ı normaln´ ´ ´ ım rozdˇelen´ım ´ Student se podrob´ı zkouˇsce ve formˇe testu s 10 otazkami, na které odpov´ıda´ ano nebo ne. ´ a´ odpovˇedi na vˇsechny otazky. ´ Student had Uˇzijte binomické rozdˇelen´ı ke stanoven´ı pˇresné ´ ´ e. Pak pouˇzijte aproximaci bipravdˇepodobnosti, zˇe student odpov´ı na 7 nebo 8 otazek spravnˇ ´ ım rozdˇelen´ım. nomického rozdˇelen´ı normaln´ ˇ sen´ı: Necht’ S10 je poˇcet spravn ´ y´ ch odpovˇed´ı na 10 otazek. ´ ´ a´ odpovˇedi, je Reˇ Protoˇze student had ´ e odpovˇedi p = 0.5, S10 ∼ B (10, 0.5). Z tabulky binomického rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost spravn´ ´ výpoˇctem dostaneme nebo pˇr´ımym

P (S10 = 7 ∨ 8) = P (7) + P (8) = 0.1172 + 0.0439 = 0.1611. ∨ 8 oznaˇcuje výrok X se rovna´ 7 nebo 8). E (S10 ) = np = 10 · 0.5 = 5 a D(Sn ) = √ ´ ı aproximace provést np(1 − p) = 1.58. Protoˇze n nen´ı pˇr´ıliˇs vysoké, je tˇreba pˇri pouˇzit´ı normaln´

(X = 7

66

4.4 N Eˇ KTER E´ LIMITNÍ V Eˇ TY Obsah

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

´ korekci pro nahrazen´ı diskrétn´ıho rozdˇelen´ı spojity´ m, tzv. korekci na spojitost. Ulohu lze totiˇz ’ formulovat jako urˇcen´ı P (6.5 ≤ S10 ≤ 8.5), nebot plat´ı

P (6.5 ≤ S10 ≤ 8.5) = P (S10 ≤ 8.5) − P (S10 < 6.5) = P (S10 ≤ 8) − P (S10 ≤ 6) = P (S10 = 8) + P (S10 = 7). Pouˇzit´ım Moivreova-Laplaceovy vˇety dostaneme

P

6.5 − 5 8.5 − 5 ≤ Z10 ≤ 1.58 1.58

= P (0.95 ≤ Z10 ≤ 2.22) = Φ(2.22) − Φ(0.95) = 0.9868 − 0.8289 = 0.1579.

´ ım této hodnoty s hodnotou P (S10 = 7 Porovnan´ dobrou aproximac´ı binomického rozdˇelen´ı.

´ ı aproximace je velice ∨ 8) vid´ıme, zˇe normaln´

Centráln´ı limitn´ı vˇetu, která je pˇr´ım´ ym zobecnˇen´ım Moivreovy-Laplaceovy vˇety, lze vyslovit takto: Linderbergova-L´ evyho vˇ eta Necht’ X1 , X2 , · · · jsou nezávislé náhodné veliˇciny se stejn´ ym rozdˇelen´ım, které maj´ √ ı Pn 2 koneˇcnou stˇredn´ı hodnotu µ a rozptyl σ . Poloˇzme Yn = i=1 Xi a Zn = (Yn − nµ)/σ n. Potom plat´ı lim P (Zn ≤ x) = Φ(x), x ∈ R. n→∞ Podle této vˇety konverguje distribuˇcn´ı funkce normovan´ ych souˇct˚ u k distribuˇcn´ı funkci N (0, 1)-rozdˇelen´ı pro libovolné v´ ychoz´ı rozdˇelen´ı s koneˇcnou stˇredn´ı hodnotou a koneˇcn´ ym rozptylem. Jinak ˇreˇceno souˇcet a t´ım i pr˚ umˇer n nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin, které maj´ı stejné (libovolné) rozdˇelen´ı s koneˇcnou stˇredn´ı hodnotou a koneˇcn´ ym rozptylem má pro dosti velké n pˇribliˇznˇe normáln´ı rozdˇelen´ı. Pˇ r´ıklad 4.14 Ilustrace Linderbergovy-Levyho vˇety ´ ’ ´ ˚ eru Necht doba zˇivotnosti X urˇcitého vyrobku ma´ P (λ)-rozdˇelen´ı. Potom normovany´ tvar prumˇ P ´ ´ enych ´ ˚ je X = n1 ni=1 Xi dob zˇivotnosti X1 , X2 , · · · , Xn nezavisle vyrabˇ výrobku Zn =

X − 1/λ √ . 1/λ n

Zn se da´ pro dostateˇcnˇe velké n aproximovat rozdˇelen´ım N (0, 1).

67

Kapitola 5 N´ ahodn´ y v´ ybˇ er V pˇredcházej´ıc´ıch kapitolách jsme se zab´ yvali popisnou statistikou, pravdˇepodobnost´ı, náhodn´ ymi veliˇcinami, nˇekter´ ymi rozdˇelen´ımi pravdˇepodobnost´ı a limitn´ımi vˇetami. Nyn´ı si ukáˇzeme, ˇze tyto zdánlivˇe r˚ uzné pojmy jsou základem inferenˇcn´ı statistiky. Zavedeme pojem náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı, kter´ y má v matematické statistice u ´stˇredn´ı postaven´ı a spojuje vˇetˇsinu teoretick´ ych v´ ysledk˚ u s praktick´ ymi situacemi.

5.1

Pojem n´ ahodn´ eho v´ ybˇ eru

Uvaˇzujme náhodn´ y pokus, jehoˇz v´ ysledkem je hodnota x jednorozmˇerné náhodné veliˇciny X, která má distribuˇcn´ı funkci F (x). Opakujeme-li náhodn´ y pokus nezávisle n krát, dostaneme hodnoty x1 , x2 , · · · , xn . Pˇritom xi , i = 1, 2, · · · , n lze povaˇzovat za hodnotu náhodné veliˇciny Xi . Protoˇze n uvaˇzovan´ ych pokus˚ u je n nezávisl´ ych opakován´ı téhoˇz pokusu, jsou náhodné veliˇciny X1 , X2 , · · · , Xn vzájemnˇe nezávislé a vˇsechny maj´ı stejné rozdˇelen´ı, jaké má náhodná veliˇcina X (tj. vˇsechny maj´ı tutéˇz distribuˇcn´ı funkci F (x), jakou má náhodná veliˇcina X). Posloupnost nezávisl´ ych a stejnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin X1 , X2 , · · · , Xn naz´ yváme n´ ahodn´ ym v´ ybˇ erem o rozsahu n z rozdˇelen´ı, které má kaˇzdá uvaˇzovaná náhodná veliˇcina X1 , X2 , · · · , Xn (tj. z rozdˇelen´ı maj´ıc´ıho distribuˇcn´ı funkci F (x); m´ısto distribuˇcn´ı funkc´ı F (x) m˚ uˇzeme ovˇsem diskrétn´ı rozdˇelen´ı popsat pravdˇepodobnostmi P (x) a spojitá rozdˇelen´ı hustotou pravdˇepodobnosti f (x)). Náhodn´ y v´ ybˇer budeme znaˇcit X = (X1 , X2 , · · · , Xn ). Posloupnost hodnot x1 , x2 , · · · , xn , které nab´ yvaj´ı náhodné veliˇciny X1 , X2 , · · · , Xn nazveme v´ ybˇ erov´ ymi hodnotami nebo realizac´ı n´ ahodn´ eho v´ ybˇ eru. Mnoˇzina V hodnot, které nab´ yvaj´ı náhodné veliˇciny X1 , X2 , · · · , Xn , se naz´ yvá v´ ybˇ erov´ ym prostorem. V´ ybˇerov´ y n prostor V je podmnoˇzinou R . Protoˇze náhodné veliˇciny X1 , X2 , · · · , Xn jsou vzájemnˇe nezávislé a maj´ı stejné rozdˇelen´ı, plat´ı pro distribuˇcn´ı funkci H(x) náhodného v´ ybˇeru H(x) = F (x1 )F (x2 )...F (xn ),

xi ∈ R.

Pˇ r´ıklad 5.1 Distribuˇcn´ı funkce nahodn eho vybˇ ´ ´ ´ eru ’ ´ Necht X = (X1 , X2 , · · · , Xn ) je nahodn y´ výbˇer ze spojitého rovnomˇerného rozdˇelen´ı na intervalu ´ ´ eru X. (0,1). Urˇcete distribuˇcn´ı funkci H (x) nahodn´ eho vybˇ ˇ Reˇsen´ı: Xi ∼ U (0, 1) H (x) = H (x1 , x2 , · · · , xn ) = x1 · x2 · · · xn . 68

´ Eˇ ROV E´ CHARAKTERISTIKY 5.2 V YB Obsah

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Pravdˇepodobnostn´ı funkce q(x) náhodného v´ ybˇeru v pˇr´ıpadˇe diskrétn´ıho rozdˇelen´ı náhodn´ ych veliˇcin X1 , X2 , · · · , Xn je q(x) = P (X1 = x1 , X2 = x2 , · · · , Xn = xn ) = p(x1 )p(x2 ) · · · p(xn ) Pˇ r´ıklad 5.2 Pravdˇepodobnostn´ı funkce nahodn eho vybˇ ´ ´ ´ eru ´ Necht’ X = (X1 , X2 , · · · , Xn ) je nahodn y´ vy´ bˇer z Poissonova rozdˇelen´ı s parametrem λ. Urˇcete pravdˇepodobnostn´ı funkci q (x). x ˇ sen´ı: Xi ∼ P (λ), f (xi ) = λ i e−λ , xi = 0, 1 · · · , i = 1, 2, · · · , n Reˇ xi ! Pn

q (x) = λ

i=1

xi −nλ

e

1 . x1 !x2 !...xn !

Hustota rozdˇelen´ı h(x) náhodného v´ ybˇeru z rozdˇelen´ı s hustotou f (x) je h(x) = h(x1 , x2 , · · · , xn ) = f (x1 )f (x2 ) · f (xn ), xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n. Pˇ r´ıklad 5.3 Hustota rozdˇelen´ı nahodn eho vybˇ ´ ´ ´ eru ’ ´ ´ ıho rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ). Najdˇete hustotu Necht X = (X1 , X2 , · · · , Xn ) je nahodn y´ výbˇer z normaln´ h(x). ˇ sen´ı: Xi ∼ N (µ, σ 2 ) Reˇ h(x) =

n Y

i=1

5.2

n 1 xi − µ 2 1 1 X exp{− ( ) }= exp {− (xi − µ)2 }, n/ 2 n 2 2 σ (2π ) σ 2σ i=1 2πσ

√

1

xi ∈ R.

V´ ybˇ erov´ e charakteristiky

Jak jiˇz v´ıme, statistick´ y soubor lze popsat pomoc´ı r˚ uzn´ ych popisn´ ych charakteristik. Mezi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı charakteristiky patˇr´ı aritmetick´ y pr˚ umˇer, rozptyl a relativn´ı ˇcetnost. U spoˇcetn´ ych statistick´ ych soubor˚ u bychom mˇeli sp´ıˇse hovoˇrit o parametrech rozdˇelen´ı sledovaného znaku. K tˇemto charakteristikám a parametr˚ um m˚ uˇzeme naj´ıt ve v´ ybˇerovém souboru pˇr´ısluˇsné protˇejˇsky, tj. v´ ybˇ erov´ e charakteristiky neboli statistiky. Zat´ımco charakteristiky základn´ıho souboru a parametry rozdˇelen´ı sledovaného znaku jsou pevné hodnoty, statistiky se mˇen´ı od jednoho náhodného v´ ybˇeru ke druhému. Z pravdˇepodobnostn´ıho hlediska maj´ı charakter náhodn´ ych veliˇcin, nebot’ jsou vypoˇcteny z hodnot náhodného v´ ybˇeru, které jsou samy hodnotami náhodn´ ych veliˇcin. Tyto náhodné veliˇciny neobsahuj´ı parametry rozdˇelen´ı. Pˇr´ıklady v´ ybˇerov´ ych charakteristik jsou: výbˇerový pr˚ umˇer, výbˇerový rozptyl a výbˇerový pod´ıl.

5.3

Rozdˇ elen´ı v´ ybˇ erov´ ych charakteristik

Chceme-li na základˇe v´ ybˇerové charakteristiky dˇelat závˇery o charakteristice základn´ıho souboru nebo o parametru rozdˇelen´ı, je nutné vˇzdy znát pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı v´ ybˇerové charakteristiky, které se naz´ yvá v´ ybˇ erov´ e rozdˇ elen´ı. V´ ybˇerová rozdˇelen´ı jsou teoretick´ ym základem pro zpracován´ı v´ ysledk˚ u v´ ybˇerov´ ych ˇsetˇren´ı, jejich poznán´ı je rozhoduj´ıc´ım krokem, kter´ y teprve umoˇzn ˇuje aplikovat zákonitosti poˇctu pravdˇepodobnosti na hodnocen´ı kvality u ´sudk˚ u op´ıraj´ıc´ıch se o náhodn´ y v´ ybˇer. 69

K APITOLA 5 Obsah

´ ´ V YB ´ Eˇ R N AHODN Y

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

V této ˇcásti uvedeme v´ ybˇerová rozdˇelen´ı statistik, na jejichˇz základˇe budeme v kapitole 6 odhadovat neznámé parametry rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı a v kapitole ?? testovat hypotézy o tˇechto parametrech.

5.3.1

Rozdˇ elen´ı v´ ybˇ erov´ eho pr˚ umˇ eru

Je-li (X1 , X2 , · · · , Xn ) náhodn´ y v´ ybˇer o rozsahu n, pak v´ ybˇ erov´ y pr˚ umˇ er (nebo také v´ ybˇerov´ y 1. obecn´ y moment) je statistika definovaná jako X=

n 1X Xi . n i=1

(5.1)

Obecnˇe, v´ ybˇ erov´ y k-t´ y obecn´ y moment je statistika n 1X Mk = Xik . n i=1 0

(5.2)

Necht’ (X1 , X2 , · · · , Xn ) je náhodn´ y v´ ybˇer o rozsahu n z rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µ 2 a rozptylem σ , pak pro stˇredn´ı hodnotu µx¯ a rozptyl σx2¯ v´ ybˇerového pr˚ umˇeru X plat´ı n n 1X 1X Xi ) = E(Xi ) = µ n i=1 n i=1

(5.3)

n n 1 X 1 1X Xi ) = 2 D(Xi ) = σ 2 . n i=1 n i=1 n

(5.4)

µx¯ = E( σx2¯ = D(

Známe-li rozdˇelen´ı, z nˇehoˇz náhodn´ y v´ ybˇer pocház´ı, m˚ uˇzeme stanovit rozdˇelen´ı v´ ybˇerového pr˚ umˇeru jako rozdˇelen´ı lineárn´ı funkce náhodn´ ych veliˇcin. Je-li napˇr. (X1 , X2 , · · · , Xn ) náhodn´ y v´ ybˇer z N (µ, σ 2 )-rozdˇelen´ı, pak X ∼ N (µ, σ 2 /n). Pokud náhodn´ y v´ ybˇer nepocház´ı z normáln´ıho rozdˇelen´ı, pak z centráln´ı limitn´ı vˇety (viz odst. ??) vypl´ yvá, ˇze náhodná veliˇcina X má pˇribliˇznˇe normáln´ı rozdˇelen´ı za pˇredpokladu, ˇze rozsah v´ ybˇeru je relativnˇe velk´ y. Vˇseobecnˇe vzato, ˇc´ım v´ıce se rozdˇelen´ı, z nˇehoˇz v´ ybˇer pocház´ı, liˇs´ı od normáln´ıho, t´ım vˇetˇs´ı rozsah v´ ybˇeru potˇrebujeme pro adekvátn´ı aproximaci rozdˇelen´ı v´ ybˇerového pr˚ umˇeru. Na základˇe experimentáln´ıch v´ ysledk˚ u se doporuˇcuje, aby rozsah v´ ybˇeru n byl alespoˇ n 30. Tud´ıˇz máme následuj´ıc´ı poznatek. Tvrzen´ı 5.1

ˇ Í V YB ´ EROV ˇ ´ ˚ ERU ˇ ROZD ELEN EHO PR UM

Pˇredpokládejme, ˇze máme náhodn´ y v´ ybˇer o rozsahu n ≥ 30 z rozdˇelen´ı se stˇredn´ı 2 hodnotou µ, a rozptylem σ . Pak bez ohledu na rozdˇelen´ı, z nˇehoˇz v´ ybˇer pocház´ı, má náhodná veliˇcina X pˇribliˇznˇe normáln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µx¯ = µ a rozptylem σx2¯ = σ 2 /n. V kapitolách 6 a ?? budeme pouˇz´ıvat normovan´ y tvar náhodné veliˇciny X, to je veliˇcinu Z=

X − µx¯ X −µ √ , = σx¯ σ/ n

(5.5)

která má v d˚ usledku centráln´ı limitn´ı vˇety rozdˇelen´ı specifikované pˇri r˚ uzn´ ych podm´ınkách ve následuj´ıc´ım tvrzen´ı. 70

´ Eˇ ROV YCH ´ 5.3 ROZD Eˇ LENÍ V YB CHARAKTERISTIK Obsah

Index

Tvrzen´ı 5.2

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

ˇ Í NORMOVAN EHO ´ ´ EROV ˇ ´ ˚ Eˇ RU ROZD ELEN TVARU V YB EHO PR UM

Pˇredpokládejme, ˇze máme náhodn´ y v´ ybˇer o rozsahu n z rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µ a smˇerodatnou odchylkou σ 2 . Pak normovaný tvar výbˇerového pr˚ umˇeru X Z=

X −µ √ σ/ n

1. má bez ohledu na rozsah v´ ybˇeru normované normáln´ı rozdˇelen´ı, pokud v´ ybˇer pocház´ı z normáln´ıho rozdˇelen´ı; 2. má pro n ≥ 30 pˇribliˇznˇe normované normáln´ı rozdˇelen´ı bez ohledu na rozdˇelen´ı, z nˇehoˇz v´ ybˇer pocház´ı.

5.3.2

Rozdˇ elen´ı v´ ybˇ erov´ eho rozptylu

Je-li (X1 , X2 , · · · , Xn ) náhodn´ y v´ ybˇer o rozsahu n, pak v´ ybˇ erov´ y rozptyl je statistika definovaná jako n 1 X S2 = (Xi − X)2 . (5.6) n − 1 i=1 Pozn´ amka : V´ ybˇ erov´ y k-t´ y centr´ aln´ı moment je statistika Mk =

n 1X (Xi − X)k . n i=1

(5.7)

Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe v´ ybˇerového pr˚ umˇeru, chceme-li z´ıskat informaci o rozptylu rozdˇelen´ı prostˇrednictv´ım v´ ybˇerového rozptylu, mus´ıme znát jeho rozdˇelen´ı. Tvrzen´ı 5.3

ˇ Í V YB ´ EROV ˇ ´ ROZD ELEN EHO ROZPTYLU

Pˇredpokládejme, ˇze máme náhodn´ y v´ ybˇer o rozsahu n z normáln´ıho rozdˇelen´ı s rozptylem σ 2 . Pak náhodná veliˇcina n−1 2 χ2 = S σ2 má χ2 -rozdˇelen´ı s n − 1 stupni volnosti. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze máme náhodn´ y v´ ybˇer o rozsahu n z normáln´ıho rozdˇelen´ı se X−µ √ ∼ N (0, 1) stˇredn´ı hodnotou µ a s neznám´ ym rozptylem. Jelikoˇz náhodná veliˇcina Z = σ/ n 2

a veliˇ cina χ2 = n−1 S 2 ∼ χ2 (n − 1), pak z definice t-rozdˇelen´ı vypl´ yvá ˇze náhodná veliˇcina σ q Z/ χ2/n − 1 má t-rozdˇelen´ı s n − 1 stupni volnosti. Vzhledem k tomu, ˇze plat´ı relace √ X −µ n−1 X −µ σ X −µ q √ ·q √ · = √ = = n−1 σ/ n σ/ n S S/ n S2 χ2 /n − 1 σ2 Z

dostáváme pro statistiku T =

X −µ √ , S/ n

kterou budeme naz´ yvat t-statistikou, následuj´ıc´ı tvrzen´ı. 71

K APITOLA 5 Obsah


Index

Tvrzen´ı 5.4

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

ˇ Í t- STATISTIKY ROZD ELEN

Mˇejme náhodn´ y v´ ybˇer o rozsahu n z normáln´ıho rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µ. Pak má náhodná veliˇcina X −µ √ T = S/ n t-rozdˇelen´ı s n − 1 stupni volnosti.

5.3.3

Rozdˇ elen´ı v´ ybˇ erov´ eho pod´ılu

Uvaˇzujme náhodn´ y v´ ybˇer ze základn´ıho souboru, v nˇemˇz sledovan´ y statistick´ y znak nebo sledovaná náhodná veliˇcina nab´ yvá pouze hodnot nula a jedna. V tomto pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o v´ ybˇeru z alternativn´ıho rozdˇelen´ı. T´ımto rozdˇelen´ım kvantifikujeme napˇr´ıklad takové situace, kdy hodnotˇe statistického znaku, kter´ y nás zaj´ımá, pˇriˇrad´ıme ˇc´ıselnou hodnotu 1 a vˇsem dalˇs´ım ˇc´ıselnou hodnotu 0 a zaj´ımá nás, jaké procento statistick´ ych jednotek ze základn´ıho souboru má urˇcitou sledovanou vlastnost. Jde o tzv. dvoukategori´ aln´ı základn´ı soubor. Napˇr´ıklad, jestliˇze základn´ı soubor o rozsahu N , kter´ y uvaˇzujeme, tvoˇr´ı vˇsechny domácnosti ˇ v CR, sledovaná vlastnost je vlastnictv´ı osobn´ıho poˇc´ıtaˇce“, (1 – domácnost má osobn´ı ” poˇc´ıtaˇc, 0 – domácnost nemá osobn´ı poˇc´ıtaˇc), poˇcet domácnost´ı vlastn´ıc´ıch osobn´ı poˇc´ıtaˇc je ˇ které vlastn´ı osobn´ı Nv , pak pod´ıl z´ akladn´ıho souboru je pod´ıl vˇsech domácnost´ı v CR, poˇc´ıtaˇc, tj. Nv /N . Pˇredpokládejme, ˇze rozdˇelen´ı v základn´ım souboru je alternativn´ı a ˇze p znaˇc´ı bud’ relativn´ı ˇcetnost hodnoty 1 (pod´ıl statistick´ ych jednotek s hodnotou sledovaného znaku 1) v koneˇcném základn´ım souboru, nebo pravdˇepodobnost hodnoty 1, uvaˇzujeme-li nekoneˇcn´ y základn´ı soubor. M˚ uˇze-li sledovan´ y znak nebo sledovaná náhodná veliˇcina nab´ yvat pouze hodnot 0 a 1, pak také v´ ybˇerov´ ymi hodnotami x1 , x2 , · · · , xn mohou b´ yt bud’ jedniˇcky nebo nuly. Protoˇze v´ ybˇer je náhodn´ y, je poˇcet jedniˇcek x ve v´ ybˇeru hodnotou náhodné veliˇciny X, která se naz´ yvá v´ ybˇ erovou absolutn´ı ˇ cetnost´ı. Pod´ıl pˆ = x/n, kde x znaˇc´ı poˇcet jednotek v´ ybˇeru maj´ıc´ıch specifikovanou vlastnost (naz´ yvan´ y ˇcasto poˇcet u ´spˇech˚ u“ a n − x poˇcet ” ” ne´ uspˇech˚ u“) a n je rozsah v´ ybˇeru, je pak hodnotou náhodné veliˇciny X Pˆ = , n která se naz´ yvá v´ ybˇ erovou relativn´ı ˇ cetnost´ı nebo ˇcastˇeji v´ ybˇ erov´ ym pod´ılem. Z toho, co bylo ˇreˇceno je zˇrejmé, ˇze v´ ybˇerov´ y pod´ıl je roven v´ ybˇerovému pr˚ umˇeru náhodného v´ ybˇeru z alternativn´ıho rozdˇelen´ı. Pozn´ amka: V dalˇs´ım textu budeme pouˇz´ıvat stejné oznaˇcen´ı pˆ pro náhodnou veliˇcinu Pˆ i jej´ı hodnotu pˆ . Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe stˇredn´ı hodnoty, mus´ıme znát v´ ybˇ erov´ e rozdˇ elen´ı pod´ılu, (pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny pˆ) , abychom mohli dˇelat závˇery o pod´ılu p. Z Moivreovy-Laplaceovy limitn´ı vˇety (viz odst. ??) vypl´ yvá následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Tvrzen´ı 5.5

ˇ Í V YB ´ EROV ˇ ´ ROZD ELEN EHO POD Í LU

Pˇredpokládejme, ˇze máme náhodn´ y v´ ybˇer velkého rozsahu n z alternativn´ıho rozdˇelen´ı s pod´ılem p. Pak náhodná veliˇcina pˆ máqpˇribliˇznˇe normáln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µpˆ = p a smˇerodatnou odchylkou σpˆ = p(1 − p)/n.

72

´ ´ N AHODN ´ ´ V YB ´ Eˇ RY 5.4 N EZ AVISL E E Obsah

Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Z tvrzen´ı 5.4 lze odvodit, ˇze normovaná náhodná veliˇcina Z=q

pˆ − p p(1 − p)/n

(5.8)

má pro velká n pˇribliˇznˇe normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Pˇresnost normáln´ı aproximace závis´ı na n a p. Pro p bl´ızké 0.5 je aproximace dostateˇcnˇe ˇ ım se p v´ıce liˇs´ı od 0.5, t´ım vˇetˇs´ı n potˇrebujeme k tomu, aby pˇresná pro rozumné n. C´ aproximace byla pˇresná. B´ yvá zvykem pouˇz´ıvat aproximaci normáln´ım rozdˇelen´ım, pokud np ≥ 5 a zároveˇ n n(1 − p) ≥ 5, neboli min(np, n(1 − p)) ≥ 5.

5.4

Nez´ avisl´ e n´ ahodn´ e v´ ybˇ ery

Nˇekteré metody, kter´ ymi se budeme v kapitole ?? zab´ yvat, nevyˇzaduj´ı pouze, aby v´ ybˇery byly náhodné, ale také aby byly nez´ avislé, zhruba ˇreˇceno, aby v´ ybˇer z jednoho rozdˇelen´ı nemˇel ˇzádn´ y vliv na v´ ybˇer z jiného rozdˇelen´ı. Necht’ X1 = (X11 , X12 , · · · , X1n1 ) je náhodn´ y v´ ybˇer rozsahu n1 z rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı F1 (x) a X2 = (X21 , X22 , · · · , X2n2 ) je náhodn´ y v´ ybˇer rozsahu n2 z rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı F2 (x). Náhodné v´ ybˇery X1 a X2 jsou nez´ avisl´ e, jestliˇze náhodné veliˇciny X11 , X12 , · · · , X1n1 , X21 , X22 , · · · , X2n2 jsou nezávislé, pˇriˇcemˇz veliˇciny X11 , X12 , · · · , X1n maj´ı distribuˇcn´ı funkc´ı F1 (x) a X21 ,X22 ,· · · , X2n maj´ı distribuˇcn´ı funkc´ı F2 (x) (viz odst. ??). Jsou-li distribuˇcn´ı funkce F1 (x) a F2 (x) identické, jedná se o dva nezávislé v´ ybˇery z téhoˇz rozdˇelen´ı.

5.4.1

Dva nez´ avisl´ e v´ ybˇ ery z norm´ aln´ıho rozdˇ elen´ı nebo velk´ e rozsahy v´ ybˇ er˚ u

Mˇejme náhodn´ y v´ ybˇer X1 = (X11 , X12 , · · · , X1n1 ) rozsahu n1 z rozdˇelen´ı N (µ1 , σ12 ) a náhodn´ y 2 ’ v´ ybˇer X2 = (X21 , X22 , · · · , X2n2 ) rozsahu n2 z rozdˇelen´ı N (µ2 , σ2 ). Necht v´ ybˇery X1 a X2 jsou nezávislé. Potom statistiky X1 a X2 jsou nezávislé (viz odstavec ??), X1 ∼ N (µ1 , σ12 /n1 ), X2 ∼ N (µ2 , σ22 /n2 ) a statistika X 1 −X 2 má rozdˇelen´ı N (µ1 −µ2 , σ12 /n1 +σ22 /n2 ) (viz odstavec 5.3.1). Bezprostˇredn´ım d˚ usledkem je následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Tvrzen´ı 5.6

ˇ Í ROZD Í LU V YB ´ EROV ˇ ´ ˚ ER ˇ U˚ ( NEZ AVISL ´ ´ V YB ´ Eˇ RY ) ROZD ELEN YCH PR UM E

Pˇredpokládejme, ˇze máme dva nezávislé náhodné v´ ybˇery o rozsaz´ıch n1 a n2 z rozdˇelen´ı se stˇredn´ımi hodnotami µ1 a µ2 a smˇerodatn´ ymi odchylkami σ1 a σ2 . Dále pˇredpokládejme, ˇze bud’ obˇe rozdˇelen´ı jsou normáln´ı nebo oba v´ ybˇery maj´ı velk´ y rozsah. Pak náhodná aln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µ(¯x1 −¯x2 ) = µ1 − µ2 veliˇcina X 1 − X 2 má (pˇribliˇznˇe) norm´ q a smˇerodatnou odchylkou σ(¯x1 −¯x2 ) = σ1 /n1 + σ2 /n2 . Tud´ıˇz normovaná náhodná veliˇcina Z=

(X 1 − X 2 ) − (µ1 − µ2 ) q

(σ12 /n1 ) + (σ22 /n2 )

(5.9)

má alespoˇ n pˇribliˇznˇe normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Toto tvrzen´ı tvoˇr´ı teoretick´ y základ pro odvozen´ı statistick´ ych indukˇcn´ıch metod pro porovnán´ı stˇredn´ıch hodnot dvou základn´ıch soubor˚ u. 73

K APITOLA 5 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Dva nez´ avisl´ e v´ ybˇ ery z rozdˇ elen´ı se shodn´ ymi rozptyly Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze σ12 = σ22 = σ 2 a rozptyl σ 2 nen´ı znám, coˇz je obvyklé v praktick´ ych 2 2 2 pˇr´ıpadech. Dosazen´ım hodnoty σ za σ1 a σ2 do definice náhodné veliˇciny Z ve vztahu (5.9) dostaneme náhodnou veliˇcinu Z=

(X 1 − X 2 ) − (µ1 − µ2 ) q

.

(5.10)

σ (1/n1 ) + (1/n2 ) V´ ybˇerové rozptyly S12 a S22 pouˇzijeme k sestrojen´ı tzv. sdruˇ zen´ eho v´ ybˇ erov´ eho rozptylu SP2 SP2 =

(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22 . n1 + n2 − 2

(5.11)

Sdruˇzen´ y v´ ybˇerov´ y rozptyl m˚ uˇzeme chápat jako váˇzen´ y rozptyl, ve kterém jednotlivé v´ ybˇerové 2 2 rozptyly S1 a S2 jsou váˇzeny odpov´ıdaj´ıc´ımi stupni volnosti. (Index P“ pocház´ı z anglického ” term´ınu pooled sample variance“, kter´ y znamená sdruˇzen´ y v´ ybˇerov´ y rozptyl). Nahrazen´ım ” neznámého rozptylu σ 2 v rovnici (5.10) sdruˇzen´ ym v´ ybˇerov´ ym rozptylem SP2 , dostaneme náhodnou veliˇcinu (X 1 − X 2 ) − (µ1 − µ2 ) q , (5.12) SP (1/n1 ) + (1/n2 ) která na rozd´ıl od náhodné veliˇciny definované v (5.10), nemá normované normáln´ı rozdˇelen´ı, ale t-rozdˇelen´ı. Náhodnou veliˇcinu definovanou v (5.12) budeme naz´ yvat sdruˇ zen´ a t-statistika. Jej´ı rozdˇelen´ı specifikuje následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Tvrzen´ı 5.7

ˇ Í SDRU Zˇ EN E´ t- STATISTIKY ROZD ELEN

Pˇredpokládejme, ˇze máme dva nezávislé náhodné v´ ybˇery o rozsaz´ıch n1 a n2 z rozdˇelen´ı se stˇredn´ımi hodnotami µ1 a µ2 . Dále pˇredpokládejme, ˇze smˇerodatné odchylky obou rozdˇelen´ı jsou shodné. Pak náhodná veliˇcina T =

X 1 − X 2 − (µ1 − µ2 ) q

,

SP 1/n1 + 1/n2 kde SP je definováno v (5.11), má t-rozdˇelen´ı s n1 + n2 − 2 stupni volnosti. Dva nez´ avisl´ e v´ ybˇ ery z rozdˇ elen´ı s r˚ uzn´ ymi rozptyly Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe diskutovaném v´ yˇse budeme pˇredpokládat, ˇze standardn´ı odchylky v obou v´ ybˇerech jsou neznámé. Nahrad´ıme σ1 a σ2 v´ ybˇerov´ ymi smˇerodatn´ ymi odchylkami S1 a S2 a dostaneme náhodnou veliˇcinu, (X 1 − X 2 ) − (µ1 − µ2 ) q

(S12 /n1 ) + (S22 /n2 )

,

(5.13)

která jiˇz nemá normované normáln´ı rozdˇelen´ı, ale má pˇribliˇznˇe t-rozdˇelen´ı. Tuto statistiku budeme naz´ yvat nesdruˇ zen´ a t-statistika . 74

´ ´ N AHODN ´ ´ V YB ´ Eˇ RY 5.5 P AROV E E Obsah

Index

Tvrzen´ı 5.8

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

ˇ Í NESDRU ZEN ˇ E´ t- STATISTIKY ROZD ELEN

Pˇredpokládejme, ˇze máme dva nezávislé v´ ybˇery o rozsahu n1 a n2 z normáln´ıch rozdˇelen´ı se stˇredn´ımi hodnotami µ1 a µ2 . Pak má náhodná veliˇcina (X 1 − X 2 ) − (µ1 − µ2 ) T = q (S12 /n1 ) + (S22 /n2 ) pˇribliˇznˇe t-rozdˇelen´ı s poˇctem stupˇ n˚ u volnosti δ, kde δ=

[(s21 /n1 ) + (s22 /n2 )]2 (s21 /n1 )2 n1 −1

+

(s22 /n2 )2 n2 −1

,

zaokrouhleno dol˚ u na nejbliˇzˇs´ı celé ˇc´ıslo.

5.4.2

Dva nez´ avisl´ e v´ ybˇ ery z alternativn´ıho rozdˇ elen´ı

Máme-li dva nezávislé náhodné v´ ybˇery o rozsahu n1 a n2 z alternativn´ıch rozdˇelen´ı s parametry (pod´ıly) p1 a p2 , pak je v´ ybˇerov´ y pod´ıl pî , i = 1, 2 roven v´ ybˇerovému pr˚ umˇeru Xi . Z tvrzen´ı 5.5 a 5.6 plyne následuj´ıc´ı tvrzen´ı 5.9, které tvoˇr´ı teoretick´ y základ nutn´ y pro odvozen´ı statistick´ ych indukˇcn´ıch metod pro porovnán´ı dvou dvoukategoriáln´ıch základn´ıch soubor˚ u. Tvrzen´ı 5.9

ˇ Í ROZD Í LU DVOU V YB ´ Eˇ ROV YCH ´ ˚ ( NEZ AVISL ´ ´ V YB ´ Eˇ RY ) ROZD ELEN POD Í L U E

Pˇredpokládejme, ˇze máme dva nezávislé náhodné v´ ybˇery o rozsaz´ıch n1 a n2 z alternativn´ıch rozdˇelen´ı s pod´ıly p1 a p2 . Pak pro velké v´ ybˇery má náhodná veliˇcina pˆ1 − pˆ2 pˇribliˇznˇe normáln´ı q rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µ(ˆp1 −ˆp2 ) = p1 − p2 a smˇerodatnou odchylkou σ(ˆp1 −ˆp2 ) = p1 (1 − p1 )/n1 + p2 (1 − p2 )/n2 , kde pî = xi /ni je v´ ybˇerov´ y pod´ıl i-té populace, xi je poˇcet u ´spˇech˚ u v i-té populaci, i = 1, 2. Tud´ıˇz normovaná náhodná veliˇcina (ˆ p1 − pˆ2 ) − (p1 − p2 )

Z=q

p1 (1 − p1 )/n1 + p2 (1 − p2 )/n2

má pˇribliˇznˇe normované normáln´ı rozdˇelen´ı.

5.5

P´ arov´ e n´ ahodn´ e v´ ybˇ ery

Necht’ X1 = (X11 , X12 , · · · , X1n ) je náhodn´ y v´ ybˇer rozsahu n z rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodno2 y v´ ybˇer stejného rozsahu n tou µ1 a rozptylem σ1 , a X2 = (X21 , X22 , · · · , X2n ) je náhodn´ 2 z rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µ2 a rozptylem σ2 . Z tˇechto dvou v´ ybˇer˚ u utvoˇr´ıme v´ ybˇer n dvojic (X11 , X21 ), (X12 , X22 ), ..., (X1n , X2n ). Kaˇzdé dvojici veliˇcin (X1j , X2j ), j = 1, 2, · · · , n pˇriˇrad´ıme náhodnou veliˇcinu Dj = X1j − X2j , j = 1, 2, · · · , n, tzv. p´ arovou diferenci, kterou z´ıskáme odeˇcten´ım pˇr´ısluˇsné párové hodnoty v druhém v´ ybˇeru od párové hodnoty v prvn´ım v´ ybˇeru. Na posloupnost párov´ ych diferenc´ı D1 , D2 , · · · , Dn náhodnˇe vybran´ ych n dvojic se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı vˇsech moˇzn´ ych párov´ ych diferenc´ı. Oznaˇcme stˇredn´ı hodnotu takového rozdˇelen´ı párov´ ych diferenc´ı µd . 75

K APITOLA 5 Obsah


Index

Tabulky:

N

t

chi

Back

Forward

Next

Goto

Previous

Pak lze ukázat, ˇze µd = µ1 − µ2 .

(5.14)

O vztahu rozptylu σd2 rozdˇelen´ı párov´ ych diferenc´ı k rozptyl˚ um σ12 a σ22 nem˚ uˇzeme vzhledem k moˇzné závislosti veliˇcin nic pˇredpokládat. Oznaˇcme D v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer párov´ ych diferenc´ı, tud´ıˇz D = X 1 −X 2 , kde X i je v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer náhodného v´ ybˇeru z i-tého rozdˇelen´ı, i = 1, 2. Dále oznaˇcme Sd v´ ybˇerovou smˇerodatnou odchylku párov´ ych diferenc´ı pro kterou plat´ı Sd =

v u u t

n 1 X (Dj − D)2 . n − 1 j=1

(5.15)

Je-li rozdˇelen´ı párov´ ych diferenc´ı normáln´ı, pak m˚ uˇzeme aplikovat tvrzen´ı 5.3, pouˇz´ıt rovnost (5.14) a dostaneme následuj´ıc´ı v´ ysledek. Tvrzen´ı 5.10

´ ´ t- STATISTIKY ROZD Eˇ LEN Í P AROV E

Pˇredpokládejme, ˇze máme náhodn´ y v´ ybˇer n dvojic z rozdˇelen´ı se stˇredn´ımi hodnotami µ1 a µ2 . Dále pˇredpokládejme, ˇze rozdˇelen´ı vˇsech párov´ ych dvojic je normáln´ı. Pak náhodná veliˇcina D − (µ1 − µ2 ) √ T = Sd / n má t-rozdˇelen´ı s n − 1 stupni volnosti.

76

Tabulka I: Distribuˇcn´ı funkce normovaného norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı N (0, 1)

z

0

Pro z < 0.0 pouˇzijte vztah Φ(z) = 1 − Φ(−z). z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.000 0.500 0.540 0.579 0.618 0.655 0.691 0.726 0.758 0.788 0.816 0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.945 0.955 0.964 0.971 0.977 0.982 0.986 0.989 0.992 0.994 0.995 0.997 0.997 0.998

0.010 0.504 0.544 0.583 0.622 0.659 0.695 0.729 0.761 0.791 0.819 0.844 0.867 0.887 0.905 0.921 0.934 0.946 0.956 0.965 0.972 0.978 0.983 0.986 0.990 0.992 0.994 0.995 0.997 0.998 0.998

0.020 0.508 0.548 0.587 0.626 0.663 0.698 0.732 0.764 0.794 0.821 0.846 0.869 0.889 0.907 0.922 0.936 0.947 0.957 0.966 0.973 0.978 0.983 0.987 0.990 0.992 0.994 0.996 0.997 0.998 0.998

0.030 0.512 0.552 0.591 0.629 0.666 0.702 0.736 0.767 0.797 0.824 0.848 0.871 0.891 0.908 0.924 0.937 0.948 0.958 0.966 0.973 0.979 0.983 0.987 0.990 0.992 0.994 0.996 0.997 0.998 0.998

0.040 0.516 0.556 0.595 0.633 0.670 0.705 0.739 0.770 0.800 0.826 0.851 0.873 0.893 0.910 0.925 0.938 0.949 0.959 0.967 0.974 0.979 0.984 0.987 0.990 0.993 0.994 0.996 0.997 0.998 0.998

0.050 0.520 0.560 0.599 0.637 0.674 0.709 0.742 0.773 0.802 0.829 0.853 0.875 0.894 0.911 0.926 0.939 0.951 0.960 0.968 0.974 0.980 0.984 0.988 0.991 0.993 0.995 0.996 0.997 0.998 0.998

0.060 0.524 0.564 0.603 0.641 0.677 0.712 0.745 0.776 0.805 0.831 0.855 0.877 0.896 0.913 0.928 0.941 0.952 0.961 0.969 0.975 0.980 0.985 0.988 0.991 0.993 0.995 0.996 0.997 0.998 0.998

0.070 0.528 0.567 0.606 0.644 0.681 0.716 0.749 0.779 0.808 0.834 0.858 0.879 0.898 0.915 0.929 0.942 0.953 0.962 0.969 0.976 0.981 0.985 0.988 0.991 0.993 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999

0.080 0.532 0.571 0.610 0.648 0.684 0.719 0.752 0.782 0.811 0.836 0.860 0.881 0.900 0.916 0.931 0.943 0.954 0.962 0.970 0.976 0.981 0.985 0.989 0.991 0.993 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999

Tabulka II: Kritické hodnoty normovaného norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı N (0, 1) α zα

0.2 0.842

0.1 1.282

0.05 1.645

0.025 1.960

0.01 2.326

0.005 2.576

77

0.0025 2.807

0.001 3.090

0.090 0.536 0.575 0.614 0.652 0.688 0.722 0.755 0.785 0.813 0.839 0.862 0.883 0.901 0.918 0.932 0.944 0.954 0.963 0.971 0.977 0.982 0.986 0.989 0.992 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999

z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Tabulka III: Kritické hodnoty t-rozdˇelen´ı α

0

ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

t0.2 1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.876 0.873 0.870 0.868 0.866 0.865 0.863 0.862 0.861 0.860 0.859 0.858 0.858 0.857 0.856 0.856 0.855 0.855 0.854 0.854 0.851 0.849 0.848 0.847 0.846 0.846 0.845

t0.1 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.299 1.296 1.294 1.292 1.291 1.290

t0.05 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.676 1.671 1.667 1.664 1.662 1.660

t0.025 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984

t0.01 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 2.423 2.403 2.390 2.381 2.374 2.368 2.364

78

tα

t0.005 63.656 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.704 2.678 2.660 2.648 2.639 2.632 2.626

t0.0025 127.321 14.089 7.453 5.598 4.773 4.317 4.029 3.833 3.690 3.581 3.497 3.428 3.372 3.326 3.286 3.252 3.222 3.197 3.174 3.153 3.135 3.119 3.104 3.091 3.078 3.067 3.057 3.047 3.038 3.030 2.971 2.937 2.915 2.899 2.887 2.878 2.871

t0.001 318.289 22.328 10.214 7.173 5.894 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385 3.307 3.261 3.232 3.211 3.195 3.183 3.174

ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

Tabulka IV: Kritické hodnoty χ2 -rozdˇelen´ı

α 0

ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

χ20.995 0.000 0.010 0.072 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.260 9.886 10.520 11.160 11.808 12.461 13.121 13.787 20.707 27.991 35.534 43.275 51.172 59.196 67.328

χ2α

χ20.99 0.000 0.020 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.647 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.408 7.015 7.633 8.260 8.897 9.542 10.196 10.856 11.524 12.198 12.878 13.565 14.256 14.953 22.164 29.707 37.485 45.442 53.540 61.754 70.065

χ20.975 0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 24.433 32.357 40.482 48.758 57.153 65.647 74.222

79

χ20.95 0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.672 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338 13.091 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 26.509 34.764 43.188 51.739 60.391 69.126 77.929

χ20.9 0.016 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.041 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.041 14.848 15.659 16.473 17.292 18.114 18.939 19.768 20.599 29.051 37.689 46.459 55.329 64.278 73.291 82.358

ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

Tabulka IV: Kritické hodnoty χ2 -rozdˇelen´ı (pokraˇcov´ an´ı)

ν χ20.1 1 2.706 2 4.605 3 6.251 4 7.779 5 9.236 6 10.645 7 12.017 8 13.362 9 14.684 10 15.987 11 17.275 12 18.549 13 19.812 14 21.064 15 22.307 16 23.542 17 24.769 18 25.989 19 27.204 20 28.412 21 29.615 22 30.813 23 32.007 24 33.196 25 34.382 26 35.563 27 36.741 28 37.916 29 39.087 30 40.256 40 51.805 60 74.397 50 63.167 70 85.527 80 96.578 90 107.565 100 118.498

χ20.05 3.841 5.991 7.815 9.488 11.070 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 55.758 79.082 67.505 90.531 101.879 113.145 124.342

χ20.025 5.024 7.378 9.348 11.143 12.832 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 41.923 43.195 44.461 45.722 46.979 59.342 83.298 71.420 95.023 106.629 118.136 129.561

80

χ20.01 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892 63.691 88.379 76.154 100.425 112.329 124.116 135.807

χ20.005 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.300 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.558 46.928 48.290 49.645 50.994 52.335 53.672 66.766 91.952 79.490 104.215 116.321 128.299 140.170

ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 50 70 80 90 100

Literatura [1] M. Aldrin (1995). A statistical approach to the modelling of daily car traffic. Traffic Engineering and Control, Vol. 36, Nb. 3, pp. 489–493. [2] J.Andˇel (1985). Matematická statistika. SNTL, Alfa. [3] V. Beneˇs, G. Dohnal (1993). Pravdˇepodobnost a matematická statistika. Vydavatelstv´ı ˇ CVUT. [4] P. Brémaud (1994). An Introduction to Probabilistic Modeling. Springer Verlag, New York. [5] J.Hátle, J. Likeˇs (1972). Základy poˇctu pravdˇepodobnosti a matematické statistiky. SNTL/Alfa, Praha [6] A.Rényi (1972). Teorie pravdˇepodobnosti. Academia, Praha. [7] J. Seger, R. Hindls (1995). Statistické metody v trˇzn´ım hospodáˇrstv´ı. Victoria Publishing, Praha. ˇ epán (1987). Teorie pravdˇepodobnosti. Matematické základy. Akademia, Praha. [8] J.Stˇ [9] N.A. Weiss (1996). Elementary Statistics, Addison-Wesley Publishing Company. [10] T.H. Wonnacott, R.J. Wonnacott (1995). Statistika pro obchod a hospodáˇrstv´ı. (pˇreklad z amerického originálu Introductory Statistics for Business and Economics), J. Wiley & Sons, New York.

81

Pravděpodobnost a matematická statistika

Recommend Documents