Pengantar Statistika Matematik(a)

Catatan Kuliah

Pengantar Statistika Matematik(a) “Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika”

disusun oleh

Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Tentang Pengantar Statistika Matematik(a) A. Jadwal kuliah: • Senin, 13.00-17.00 • Rabu, 08.00-12.00 B. Silabus: • Peubah acak dan distribusi • Distribusi diskrit • Distribusi kontinu • Fungsi peluang bersama • Peluang dan ekspektasi bersyarat C. Buku teks: • Sheldon M Ross; A First Course in Probability. • Mathematical Statistics. D. Penilaian: 1. Ujian 1 (45%) - Rabu, 2.4.2014 2. Ujian 2 (45%) - Rabu, 21.5.2014 3. PR/Kuis (10%)

Pengantar Statistika Matematik(a)

i

K. Syuhada, PhD.

D. Matriks kegiatan perkuliahan: Table 1: Matriks perkuliahan Analisis Data. Minggu1-2 3-4 5-6 7 8 9-10 11-12 13 14

Materi Keterangan Pengantar Penjelasan kuliah Peubah acak dan distribusi Distribusi diskrit Distribusi kontinu UTS Rabu, 2.4.2014 “Praktik Nyata Peluang” Nyoblos! Fungsi peluang bersama Peluang dan ekspektasi bersyarat UAS

Pengantar Statistika Matematik(a) ii

Rabu, 21.5.2014

K. Syuhada, PhD.

Daftar Isi 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi 1.1 Peubah Acak Diskrit dan Kontinu . 1.2 Tentang Fungsi Distribusi . . . . . 1.3 Ekspektasi . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fungsi Pembangkit Momen . . . .

iii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1 1 4 6 7

BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, fungsi distribusi, fungsi peluang. Statistika Matematik(a) adalah perkuliahan yang menitikberatkan pada kajian peluang secara matematik. Untuk itu, peluang yang harus ditekankan adalah peluang pada nilai peubah acak. Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari peubah acak dan distribusi adalah: 1. memahami dan membedakan peubah acak diskrit dan kontinu 2. menghitung peluang pada nilai peubah acak 3. menentukan fungsi distribusi 4. menentukan transformasi peubah acak dan distribusi peluang yang menyertainya

1.1

Peubah Acak Diskrit dan Kontinu

Apa yang dapat kita katakan tentang peubah acak? • Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah” • Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan ruang sampel S ke bilangan real R

1

Definisi Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga (∪ ) ∑ P {X = ai } = P (X = ai ) = 1 i

i

Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga ∑ pi = 1 i

dan FX (x) =

∑

pi

ai ≤x

Jika diberikan himpunan ∑ terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif {pi , i = 1, 2, . . . } sdh i pi = 1, fungsi peluang pX (x) adalah pX (x) = pi = P (X = ai ), dengan x = ai Catatan: • P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) • P (X ≤ b) ̸= P (X < b) •

(

{

1 P (X < b) = P lim X ≤ b − n→∞ n ( ) 1 = lim P X ≤ b − n→∞ n ( ) 1 = lim F b − n→∞ n


2

})

K. Syuhada, PhD.

Definisi Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi (densitas) peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi, fX (x) =

d FX (x); f (x) ≥ 0, ∀x dx

atau dengan kata lain ∫ x FX (x) = fX (t) dt −∞

Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi (densitas) peluang ada maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan:

∫ 1 = FX (∞) =

∞

−∞

fX (t) dt ∫

P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = ∫ a P (X = a) = fX (t) dt = 0

b

fX (t) dt a

a

LATIHAN: 1. Misalkan X ∼ Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah... 2. Misalkan X peubah acak dengan ‘support’ S = [a, b], b > 0. Misalkan peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain, P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = λ (x2 − x1 ), untuk a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. Untuk menentukan λ, misalkan x1 = a dan x2 = b. Maka, P (a ≤ X ≤ b) = 1 = λ (b − a) ⇒ λ = 1/(b − a). Fungsi distribusinya adalah... Fungsi peluangnya adalah...


3

K. Syuhada, PhD.

1.2

Tentang Fungsi Distribusi

Fungsi distribusi berperan dalam kajian peluang pada peubah acak. Jika kita memiliki fungsi distribusi maka fungsi peluang dapat (dengan mudah) ditentukan. Namun, hal sebaliknya tidak berlaku. Pada kajian statistika lanjut, seperti konsep Copula, fungsi distribusi akan “lebih bermanfaat” dibandingkan dengan fungsi peluang. Sifat-sifat fungsi distribusi: • F (−∞) = 0 dan F (∞) = 1 • F merupakan fungsi tidak turun; F (a) ≤ F (b) untuk a ≤ b • F adalah fungsi kontinu kanan; lim+ F (x + ϵ) = F (x) ϵ→0

Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x). • Jika b ≥ a, maka P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) • Untuk setiap x, P (X = x) = lim+ P (x − ϵ < X ≤) = F (x) − F (x−) ϵ→0

(Perhatikan notasi F (x−) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu kiri) Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x). • Misalkan g(X) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X). Fungsi distribusi dari Y adalah... • Misalkan g(X) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X). Fungsi distribusi dari Y adalah... • Misalkan X mempunyai fungsi peluang f (x) = 1 dan Y = g(X) = hX + k, h < 0. Maka X = g −1 (Y ) = · · · FX (x) = · · · FY (y) = · · · Y ∼ ··· Pengantar Statistika Matematik(a)

4

K. Syuhada, PhD.

LATIHAN: 1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi FX (x) yang naik murni. Misalkan Y = FX (X). Tentukan distribusi dari Y . 2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U (0, 1). Misalkan FX (x) fungsi distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah acak FX−1 (U ). 3. Misalkan U1 , U2 , . . . , Un sampel acak dari U (0, 1). Bangkitkan sampel acak dari FX (x) (ambil contoh misalnya untuk FX (x) = 1 − e−λ x , x > 0) Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x). Misalkan Y = g(X) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi yang monoton, FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g −1 (y) digunakan untuk menentukan FY (y) dengan menggunakan FX (g −1 (y)). Untuk X ∼ U (−1, 2) dan g(X) = Y = X 2 , kita dapatkan fungsi distribusi dari Y : FY (y) = · · · LATIHAN: 1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 − e−λx , maka f (x) = · · · 2. *Misalkan f (x) = c/(1 + x2∫) untuk −∞ < x < ∞ dan c konstanta. ∞ Fungsi f (x) tak negatif dan −∞ (1 + x2 )−1 dx = π. Berapa nilai c agar f (x) menjadi fungsi peluang? Tentukan fungsi distribusinya. Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f (x) dan Y = g(X) fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y : d −1 −1 fY (y) = fX (g (y)) g (y) dy untuk ‘support’ Y = g(X). Komponen J(y) =

d −1 g (y) dy

adalah transformasi Jacobian. Pengantar Statistika Matematik(a)

5

K. Syuhada, PhD.

Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X ∼ U (−1, 2) dan Y = g(X) = X 2 . Maka untuk y ∈ [0, 1], terdapat 2 fungsi invers yaitu · · · , dan satu fungsi invers untuk y ∈ (1, 4] yaitu · · · . Fungsi peluang dari Y adalah f (y) = · · ·

1.3

Ekspektasi

Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f (x). Nilai harapan atau ekspektasi dari X, jika ada, adalah ∫ ∞ E(X) = µX = f (x)dx −∞

Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga. Misalkan X p.a. dengan f.p. f (x). Maka nilai harapan/ekspektasi dari g(X), jika ada, adalah ∫ ∞ E[g(X)] = g(x)f (x)dx. −∞

Operator integral bersifat linier. Jika g1 (X) dan g2 (X) fungsi-fungsi yang memiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka E[ag1 (X) + bg2 (X) + c] = aE[g1 (X)] + bE[g2 (X)] + c LATIHAN: 1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapannya ada maka E(X) = c. 2. Misalkan X ∼ U (a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrik disekitar (a + b)/2. 3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang f (x) =

[

1

σπ 1 +

(x−µ)2 σ2

],


6

K. Syuhada, PhD.

dengan µ, σ konstanta yang memenuhi |µ| < ∞ dan σ ∈ (0, σ). Tunjukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinya bukanlah µ. 4. Misalkan X ∼ Exp(λ). Nilai harapan/ekspektasi dari X adalah...

1.4

Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah ∫ ∞ tX MX (t) = E(e ) = etx f (x)dx, −∞

asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidak ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit momen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang MX (t) = GX (et ) asalkan GX (t) ada untuk t disekitar 1. Jika MX (t) adalah fungsi pembangkit peluang maka MX (0) = 1. Contoh/Latihan: 1. Jika fX (x) = λe−λx I0,∞ (x), maka MX (t) = · · · 2. Jika MX (t) ada maka Ma+bX (t) = · · · 3. Jika ∑ Xi , i = 1, . . . , n saling bebas, MXi (t) ada untuk setiap i, dan S = Xi , maka MS (t) = · · · 4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memiliki fungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkit momen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jika fungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebut secara unik menentukan distribusinya. Beri contoh.


7

K. Syuhada, PhD.

5. Pandang turunan dari MX (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apa yang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen orde tinggi? 6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contoh distribusi Geometrik dengan parameter p. 7. Misalkan Y ∼ U (a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mendapatkan momen pusat )r ) (( a+b 2 E((Y − µY ) ) = E Y − 2


8

K. Syuhada, PhD.

Pengantar Statistika Matematik(a)

Recommend Documents