S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Vybraná rozdělení diskrétní NP Degenerované rozdělení – D( ) Náhodná veličina X s degenerovaným rozdělením X ~D() , R má základní prostor Z = { } a pravděpodobnostní funkci:
1 x p ( x) 0 x Charakteristiky: střední hodnota: E ( X ) rozptyl:
D( X ) 0
Poznámka: Jedná se o konstantní náhodnou proměnnou.
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Vybraná rozdělení diskrétní NP Alternativní (Bernoulliovo) rozdělení – A(p) Náhodná veličina X s alternativním rozdělením X ~A(p) , p (0, 1) má základní prostor Z = {0,1} a pravděpodobnostní funkci:
p(0) 1 p p(1) p Charakteristiky: střední hodnota:
E( X ) p
rozptyl:
D ( X ) p (1 p )
koeficient šikmosti: A3 ( X )
1 2 p p(1 p)
koeficient špičatosti: A4 ( X )
1 6 p (1 p ) p (1 p )
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Vybraná rozdělení diskrétní NP Klasické rozdělení (diskrétní rovnoměrné rozdělení) – C(n) Náhodná veličina X s klasickým rozdělením X~C(n) , n N má základní prostor Z = {1, 2, …, n} a pravděpodobnostní funkci:
p ( x) Charakteristiky: n 1 střední hodnota: E ( X ) rozptyl: medián:
1 n
2 n2 1 D( X ) 12 n 1 2 n liché ~ x n n sudé 2
koeficient šikmosti: A3 ( X ) 0
x Z
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Vybraná rozdělení diskrétní NP Binomické rozdělení – Bi(n,p) Náhodná veličina X s binomickým rozdělením X~Bi(n,p) , n N , p (0, 1) má základní prostor Z = {0,1, 2, …, n} a pravděpodobnostní funkci:
n x p( x) p (1 p) n x x
Charakteristiky: střední hodnota:
E ( X ) np
rozptyl:
D ( X ) np(1 p )
medián:
~ x (n 1) p 1, (n 1) p
koeficient šikmosti: A3 ( X )
1 2 p np(1 p)
koeficient špičatosti: A4 ( X )
1 6 p (1 p ) np(1 p )
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Vybraná rozdělení diskrétní NP Binomické rozdělení – Bi(n,p) Binomické rozdělení – výběr s vracením Název rozdělení pochází ze skutečnosti, že pravděpodobnosti p(x) jsou členy binomického rozvoje
1 1n ( p (1 p))n p( x)
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Vybraná rozdělení diskrétní NP Binomické rozdělení – Bi(n,0.5) střední hodnota: rozptyl:
koeficient šikmosti:
A3 ( X ) 0
koeficient špičatosti: A4 ( X ) 2 n
E( X ) n
2 D( X ) n 4
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Vybraná rozdělení diskrétní NP Binomické rozdělení – Bi(n,p)
Ad2) Pro náhodnou proměnnou popisující počet padnutí 6 při 10pokusech je jedno zda hodím jednou kostkou 10x - A(1/6), nebo 10 kostkami 1x -Bi(10,1/6).
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Vybraná rozdělení diskrétní NP Zobecněné binomické rozdělení – Bi(n1,…,nk,p1,…,pk) Náhodné veličiny X1, …, Xk s zobecněným binomickým rozdělením, n1,…,nk N , p1,…,pk (0, 1)
k
n i 1
funkci:
i
n
k
p i 1
i
1 má pravděpodobnostní
n! p( x1 ,, xk ) p x1 p x2 p xk n1!n2 !nk !
Charakteristiky: střední hodnota:
E ( X 1,, X k ) (np1 ,, npk )
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Vybraná rozdělení diskrétní NP Geometrické rozdělení– Ge(p) Náhodná veličina X s geometrickým rozdělením X~Ge(p) , p (0, 1) má základní prostor Z = {0,1, 2, …, n, …} a pravděpodobnostní funkci:
p( x) p(1 p) x Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. p(x) je pravděpodobnost, že provedeme x neúspěšných pokusů. Charakteristiky: střední hodnota:
E( X )
1 p p
rozptyl:
D( X )
1 p p2
medián:
~ x 0
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Vybraná rozdělení diskrétní NP Negativní binomické (Pascalovo) rozdělení – NB(k,p) Náhodná veličina X s negativně binomickým rozdělením X~NB(k,p) , kN, p(0, 1) má základní prostor Z = {0,1, 2, …, n, …} a pravděpodobnostní funkci: x k 1 k p (1 p) x p( x) x Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane k úspěchů. p(x) je pravděpodobnost, že provedeme x neúspěšných pokusů před k-tým úspěšným pokusem. Charakteristiky:
1 p p 1 p D( X ) k 2 p ~ x k 1
střední hodnota: E ( X ) k rozptyl: medián:
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Vybraná rozdělení diskrétní NP Pascalovo (negativní binomické ) rozdělení – Ps(k,p) Pojmenováno podle Blaise Pascala (1623–1862).
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Vybraná rozdělení diskrétní NP Zobecněné Pascalovo (negativní binomické) rozdělení – Ps(k,p) Náhodná veličina X s pascalovým rozdělením X~Ps(k,p) , kR, k >0, p(0, 1) má základní prostor Z = {0,1, 2, …, n, …} a pravděpodobnostní funkci: x k 1 k p (1 p) x p( x) x kde místo faktoriálu použijeme Gama funkci:
k! (k 1) t k e t dt 0
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Vybraná rozdělení diskrétní NP Hypergeometrické rozdělení – H(N,M,n) Náhodná veličina X s hypergeometrickým rozdělením X~H(N,M,n) , kde N – libovolné celé číslo, 1 ≤ M < N , 1 ≤ n
M N M x nx p ( x) N n
Charakteristiky: střední hodnota: rozptyl: medián:
M N M M D( X ) n 1 N N E( X ) n
N n N 1 M 1n 1 1, M 1n 1 ~ x N 2 N 2
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Vybraná rozdělení diskrétní NP Hypergeometrické rozdělení – H(N,M,n) Hypergeometrické rozdělení – výběr bez vracením
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Vybraná rozdělení diskrétní NP Poissonovo rozdělení – Po(λ) Náhodná veličina X s Poissonovým rozdělením X~Po(λ) , λ R , λ>0 má základní prostor Z = {0,1, 2, …, n, …} a pravděpodobnostní funkci:
p( x) e Charakteristiky: střední hodnota:
E( X )
rozptyl:
D( X )
medián:
~ x 1,
koeficient šikmosti: A3 ( X )
1
x x!
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Vybraná rozdělení diskrétní NP Poissonovo rozdělení – Po(λ) Poissonovo rozdělení – rozdělení, které popisuje výskyt náhodného jevu v předem daném časovém úseku. λ – lze považovat jako „průměrný počet událostí “ za časový úsek
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Vybraná rozdělení diskrétní NP Poissonův proces zkoumá pravděpodobnost, že se v časovém intervalu délky t stane právě x událostí . Podmínky: 1) počet událostí v disjunkních intervalech jsou nezávislé 2) pravděpodobnost, že se během intervalu délky dt stane právě jedna událost je rovna λdt 3) pravděpodobnost, že se během intervalu délky dt stane dvě a více událostí je rovna 0dt Hustota pravděpodobnosti, že se v časovém intervalu délky t stane právě x událostí.
f x (t ) e
t
t x x!
Pro pevný časový interval délky t označme: λt=τ f x (t ) t e
x
x!
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Aproximace diskrétních rozdělení Za vhodných podmínek lze jedno rozdělení nahradit jiným – aproximace Binomického rozdělení:
V praxi můžeme Binomické rozdělení Bi(n,p)nahradit Poissonovým Po(λ) za těchto podmínek: p < 0.1 a n > 30. Tedy λ=np. Bi(n,p) → Po(np) Chyba aproximace je < 10-2.
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Aproximace diskrétních rozdělení Za vhodných podmínek lze jedno rozdělení nahradit jiným – aproximace Binomického rozdělení:
Libor Žák
S1P –Náhodná proměnná – vybraná rozdělení
Libor Žák
Aproximace diskrétních rozdělení Aproximace Hypergeometrického rozdělení: Binomické rozdělení – výběr s vracením Hypergeometrické rozdělení – výběr vez vraceni Pokud budeme mít velký počet prvků N a počet vybraných prvků n bude malý, tak výsledek pokusu bude málo ovlivněn vracením. Pokud
n 0,1 , tak lze Hypergeometrické rozdělení nahradit Binomickým. N H(N,M,n) → Bi(n,
M ) N