POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE
ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ
ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrická potenciální energie Newtonův zákon pro gravitační sílu
Coulombův zákon pro elektrostatickou sílu
m1m2 F =G 2 r
Q1Q2 F =k 2 r
Pro elektrostatickou sílu platí řada stejných obecných závěrů jako pro sílu gravitační: Elektrostatická síla je síla konzervativní. Existuje tedy elektrostatická (elektrická) potenciální energie (pro systém dvou nebo více částic).
Změní-li se poloha nabité částice, vykoná na ní elektrostatická síla práci. Pak změně potenciální energie odpovídá
∆E p = E p , f − E p ,i = −W Protože je elektrostatická síla konzervativní, platí, že práce touto silou vykonaná nezávisí na trajektorii. Pro jednoznačné určení potenciální energie je nutno zvolit konfiguraci, pro níž pokládáme potenciální energii za nulovou. Elektrostatickou potenciální energii nabité částice pokládáme za nulovou, je-li částice od systému nekonečně vzdálená. Práci, kterou vykonají elektrostatické síly při přesunu nabité částice z nekonečna do místa, kde chceme znát potenciální energii, označíme symbolem W∞ . Pak je potenciální energie
E p = −W∞
.
Elektrický potenciál Elektrický potenciál neboli potenciál elektrického pole definujeme:
G Ep ϕ (r ) = Q Potenciál • nezávisí na náboji testovací částice Q0 ,
G • charakterizuje elektrické pole v místě s polohovým vektorem r , • je skalární veličina – skalární funkce prostorových proměnných.
G ϕ =ϕ (r ) =ϕ (x, y, z)
Volíme-li v nekonečnu E p ,i = 0 , pak také potenciál v nekonečnu ϕ i = 0 . Protože E p = −W∞ je hodnota v libovolném místě elektrického pole
W∞ ϕf = − Q
Elektrické napětí, definice Rozdíl potenciálů mezi dvěma libovolnými body nazýváme elektrické napětí mezi těmito body.
E p, f
E p ,i
∆E p
W U = ∆ϕ = ϕ f − ϕ i = − = =− Q Q Q Q
Î
W U =− Q
Jednotka napětí
1J [U ] = 1V= = 1JC-1 , 1 volt 1C Umožňuje zavést používanější jednotku pro intenzitu elektrického pole.
G Vhodnější jednotka pro E :
G G G F N Jm -1 V E = , [ E ] = 1 = 1 -1 = 1 = 1Vm-1 C JV m Q
Poznámka: Často užívaná jednotka pro energii elektronů, děr, elementárních částic:
1 elektronvolt = 1 eV = e (1V) = 1,6.10-19 C. J. C-1 = 1,6.10-19 J
Důležitá poznámka z HRW.
Ekvipotenciální plocha Plochu, na níž má potenciál stejnou hodnotu. nazveme ekvipotenciální plocha Přemístí-li se po libovolné dráze náboj mezi dvěma body téže ekvipotenciální plochy, nevykoná elektrické pole žádnou práci. Plyne to z dříve uvedeného vztahu pro napětí Části čtyř ekvipotenciálních ploch Čtyři trajektorie nabité testovací částice Naznačeny dvě elektrické siločáry
W (U = ϕi − ϕ f = − ). Q Je-li ϕ i = ϕ f , musí být W = 0 .
Elektrické siločáry a příčné řezy ekvipotenciálních ploch
Homogenní elektrické pole
Elektrické pole bodového náboje (centrální pole)
Pole elektrického dipólu
Výpočet potenciálu ze známé intenzity elektrického pole Kladný testovací náboj Q0 se pohybuje v elektrickém poli z bodu (i) do bodu (f). Hledáme G práciG elektrostatické síly F = Q0 E .
G dr
G G G G Platí, že dW = F ⋅ dr = Q0 E ⋅ dr .
Protože elektrostatická síla je konzervativní, vedou všechny možné cesty z (i) do (f) ke stejnému výsledku. Nemusíme integrovat po určité křivce, stačí uvést výchozí a koncový bod.
G G W = ∫ dW = Q0 ∫ E ⋅ dr f
i
Vyjádříme rozdíl potenciálů f G G Q0 G G W ϕ f − ϕ i = − = − ∫ E ⋅ d r = − ∫ E ⋅ dr ⇒ Q0 Q0 i i f
G G (U ) = ϕ f − ϕi = − ∫ E ⋅ dr f
i
Potenciál bodového náboje
G dr ′ G G ′ E d r ↑↑ ∞
N áboj Q vyvolává v bodě PG elektrické pole o intenzitě E a potenciálu ϕ . Potenciál v bodě P určujeme pomocí testovacího náboje Q0 , který přemísťujeme z bodu P do nekonečna.
P ∞ ∞ G G ϕ f − ϕi = ϕ (∞) − ϕ (r ) = − ∫ E ⋅ dr ′ = − ∫ E dr ′ cos 0° = − ∫ E dr ′ = r
∞
r
∞
1
Q Q 1 Q = −∫ dr ′ = − dr ′ = − 2 2 ∫ 4πε 0 r ′ 4πε 0 r r ′ 4πε 0 r ∞
r
∞
⎡ 1⎤ ⎢⎣ − r ′ ⎥⎦ = r
Q ⎡1⎤ Q ⎛ 1 1⎞ Q ⎛ 1⎞ 1 Q =+ = − ⎟= 0− ⎟ = − ⎜ ⎜ ⎢ ⎥ 4πε 0 ⎣ r ′ ⎦ r 4πε 0 ⎝ ( ∞) r ⎠ 4πε 0 ⎝ r⎠ 4πε 0 r
Odvodili jsme
1 Q ϕ (∞) − ϕ ( r ) = − . Nulovou hladinu volíme v ∞ , tj. ϕ ( ∞ ) = 0 , 4πε 0 r potom
1 Q ϕ (r ) = 4πε 0 r
Potenciál pro kladný náboj v bodě P
Pro více nábojů (soustavu) platí princip superpozice. Počítačem vytvořený prostorový diagram průběhu elektrického potenciálu ϕ v bodech roviny z = 0 v závislosti na vzdálenosti r od kladného bodového náboje v počátku roviny
xy. Hodnoty potenciálu v bodech této roviny jsou vyneseny svisle. Nekonečná hodnota potenciálu ϕ není samozřejmě zobrazena.
Soustava bodových nábojů – princip superpozice n
n
Qi ϕ = ∑ ϕi = ∑ 4πε 0 i =1 ri i =1 Nabité těleso dϕ P
ρ R
1
1 dQ 1 ρ dV = dϕ = 4πε 0 R 4πε 0 R
ϕ=
dQ=ρdV
1
∫ dϕ = 4πε 0 ∫
(V )
(V )
ρ dV R
Výhoda: při výpočtu potenciálu stačí spočítat jen jeden integrál (ϕ je skalární Gfunkce). Po nalezení potenciálu ϕ lze snadno určit souřadnice vektoru E G jak uvidíme dále ze vztahu: E = − grad ϕ (což je pouhé derivování).
(V)
Příklad HRW 25.21. Částice na obr. mají náboje Q1= +Q, Q2= -3Q. Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete na ose x všechny body, v nichž je potenciál jimi vytvořeného elektrického pole roven nule.
Hledaný bod se může nacházet: a) mezi náboji Q1, Q2, nebo b) vlevo od náboje Q1.
Vzdálenost tohoto bodu od náboje Q1 označíme x.
ad a) Vpravo od náboje Q1
y Q2
Q1 x
d-x
x
d Platí princip superpozice, proto potenciály sečteme. Platí tedy
−3Q ϕ = ϕ1 + ϕ2 = + =0 ⇒ 4πε 0 x 4πε 0 ( d − x ) Q
Q
Odtud je
3Q = 4πε 0 x 4πε 0 ( d − x ) d d − x = 3x ⇒ x = . 4
ad b) Podobně pro bod vlevo od náboje Q1
y Q1
Q2
x
d
x
−3Q + =0 ⇒ ϕ = ϕ1 + ϕ2 = 4πε 0 ( x ) 4πε 0 ( d + x ) Q
Q
3Q = 4πε 0 x 4πε 0 ( d + x ) d d + x = 3x ⇒ x = 2
nalevo, tj. v poloze
d x=− . 2
Výpočet intenzity elektrického pole ze známého potenciálu
G Známe ϕ = ϕ (r ) = ϕ ( x, y, z )
v každém místě elektrického pole.
G G ∆ϕ = ϕ f − ϕi = − ∫ E ⋅ dr , f
Víme, že G dr
i
pro elementární změnu pakG platí G G dϕ = − E ⋅ dr . Hledáme E . Protože ϕ je skalár, platí tento vztah
G i pro jednotlivé složky vektoru E , tj.: G G dϕ =−Ex⋅ dx i =−Ex dx , dϕ =−E y dy , dϕ =−Ez dz G ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ Odtud složky E : Ex = − Ez = − Ey = − ∂y ∂z G ∂x Složka intenzity pole E v libovolném směru je rovna poklesu potenciálu v tomto směru připadajícímu na jednotkovou vzdálenost.
Z předchozí strany:
Ex = − ∂ϕ ∂x
E y = − ∂ϕ ∂y
Ez = − ∂ϕ ∂z
Nyní můžeme intenzitu elektrického pole vyjádřit vektorově:
G G G G ∂ϕ G ∂ϕ G ∂ϕ G ⎞ ⎛ E = E i + E j + E k = −⎜ i + j+ k⎟= x y z ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂ G ∂ G ∂ G⎞ ⎛ j + k ⎟ ϕ = − gradϕ = −⎜ i + ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
grad
G E = −grad ϕ G Známe-li potenciál ϕ = ϕ ( r ) = ϕ ( x, y, z ) ve všech bodech elektrického pole, G lze určit složky intenzity Ex , E y , Ez a tím také vektor E v libovolném bodě pole.
Elektrická potenciální energie soustavy bodových nábojů
Vyjdeme z definičního vztahu pro potenciál, tj
Ep G ϕ (r ) = Q a potenciální energii budeme hledat ze vztahu
G E p = ϕ (r ) Q
.
Dva bodové náboje Q1 a Q2 ve vzdálenosti r
Bodový náboj Q1 , vytvoří elektrické pole, které má v místě bodového náboje Q2 potenciál
1 Q1 ϕ (r ) = . 4πε 0 r
Přítomnost náboje Q1 se projevuje elektrostatickou silou působící na náboj Q2 . Bude-li náboj Q2 přemísťován, bude práce při přemísťování rovna ϕ Q2 . Elektrická potenciální energie této dvojice nábojů je potom
E p = ϕ (r ) Q2 =
1
QQ
4πε
r
1
0
2
.
Soustava bodových nábojů: a) Stanoví se elektrická potenciální energie každé dvojice nábojů. b) Výsledná potenciální energie soustavy je jejich součtem.
Potenciál nabitého vodiče Ve všech vnitřních bodech izolovaného vodiče se volný náboj rozmístí vždy pouze po jeho vnějším povrchu. G Pak z Gaussova zákona plyne, že uvnitř vodiče je E = 0, tj. platí:
G E = −grad ϕ = 0
⇒
ϕ = konst. Tzn., že vodič musí mít všude stejný potenciál (uvnitř i na povrchu).
Nabitá kulová plocha
a) Závislost potenciálu na vzdálenosti r od středu izolované kulové vodivé plochy. Vně koule se celkový náboj jeví jako bodový, umístěný ve středu koule. Při přenesení náboje dovnitř koule (malým otvorem) nekonáme práci, protože na náboj uvnitř koule nepůsobí elektrická síla. Potenciál má tedy ve všech bodech uvnitř koule stejnou hodnotu jako na povrchu. G b) Průběh velikosti intenzity elektrického pole E (r) stejné kulové plochy. Na povrchu koule je intenzita nespojitá.
Rozložení náboje na povrchu vodiče, který není kulově symetrický 9 Je-li izolovaný vodič vsunut do vnějšího elektrického pole, pak bude G ve všech jeho bodech stejný potenciál ( ⇒ E je ve všech bodech vodiče nulová). Volné náboje vodiče se rozdělí po jeho vnějším povrchu. 9 Rozložení náboje není obecně rovnoměrné, závisí na tvaru vodiče. Hustota náboje roste se zakřivením povrchu. V místech s velkou G křivostí (hrany, hroty) bývá hustota náboje (a tím i E ) velmi vysoká. 9 Siločáry výsledného pole těsně nad povrchem vodiče jsou kolmé k jeho povrchu. 9 Hrot je místo s vysokou koncentrací náboje ⇒ je zde vysoká intenzita pole a tím může dojít k ionizaci vzduchu a poté ke koronovému výboji, předzvěsti blesku.
Koronové výboje mohou vypadat jako
zježené vlasy. Koronové výboje, jako předzvěsti blesku mohou vidět také např. hráči golfu na koncích golfových holí, horolezci na koncích cepínů, turisté na koncích větví keřů apod.
G Uvnitř vodiče je vždy pole E nulové. Užití: ochrana před vnějším elektrickým polem v dutině vodivého předmětu (tzv. Faradayova klec). Příkladem je karosérie auta, kterou zasáhla mohutná elektrická jiskra. Ta přeskočila přes izolující levou přední pneumatiku do země. Je vidět, že osoba v autě nezraněna.
