4.
ELEKTROMAGNETICKÉ POLE
4.1
ELEKTROSTATICKÉ POLE
Náboj Každý náboj je celistvým násobkem elementárního náboje: kde
a je celé číslo.
Coulombův zákon Mezi dvěma náboji působí elektrostatická síla dána vztahem:
Zde
je konstanta úměrnosti, kde je permitivita prostředí.
Pro vakuum je tato konstanta: , Pro dielektrikum zavádíme relativní permitivitu
Intenzita elektrostatického pole bodového náboje je dána vztahem: ⃗
⃗⃗⃗
Elektrická intenzita v poli bodového náboje je:
Intenzita pole soustavy bodových nábojů: ⃗( )
∑
⃗
Gaussův zákon elektrostatiky Znění zákona: „Tok vektoru intenzity E libovolnou uzavřenou plochou je úměrný náboji uzavřenému v této ploše.“ Jeho tvar je tedy:
Důsledek: uvnitř nabité kulové plochy je elektrické pole Práce sil elektrostatického pole je obecně: ∫ ⃗
∮ ⃗
130
kde je dráha pohybu náboje
v poli ⃗ .
Elektrická potenciální energie bodového náboje je:
je jednotkový testovací náboj.
kde
Změna elektrické potenciální energie je dána vztahem: ( Elektrický potenciál Je podíl elektrické potenciální energie
) a kladného bodového náboje
, tedy:
Potenciál soustavy bodových nábojů je ∑ Potenciál vně vodivé kulové plochy o poloměru
se spojitě rozloženým nábojem:
Elektrické napětí Je rovno rozdílu potenciálů mezi dvěma body ∫⃗
jednotka napětí a elektrického potenciálu je V (volt):
Elektrostatické pole v látkách a) látka obsahující volné elektrické náboje – vodič Pro homogenní pole:
kde
⃗
⃗ , ⃗ je elektrická indukce
( ⃗
) ⃗
b) látka bez volných elektrických nábojů – nevodič (dielektrikum, izolant) Výsledné pole uvnitř dielektrika: míra zeslabení pole: ⃗ ⃗ permitivita prostředí (jehož permitivita je ), ⃗ 131
– relativní
Kapacita vodiče: bylo experimentálně prokázáno: ⁄ .Jednotkou kapacity je F (farad)
kde konstanta úměrnosti senazývá kapacita vodiče a rozměr této jednotky je:
Kapacita kondenzátoru: Kondenzátor tvoří soustava dvou vodičů, které jsou od sebe odděleny nevodivým prostředím (dielektrikem). Jeho kapacita je dána vztahem:
deskový kondenzátor Pro deskový kondenzátor platí, že jeho kapacita je:
kde je vzdálenost elektrod a
jejich plocha.
Kondenzátory spojené paralelně a sériově a) Sériové zapojení (za sebou) Obecně pro
zapojených kondenzátorů: ∑
Pro napětí na kondenzátorech platí:
b) Paralelní zapojení (vedle sebe) Napětí na celé skupině kondenzátorů je stejné jako napětí na každém z nich Pro dvojici kondenzátorů platí: Obecně pro zapojených kondenzátorů: ∑
Energie elektrostatického pole , kde W-odevzdaná práce; W´-přijatá práce. Pro zvýšení potenciální energie platí: ( 132
)
Energie elektrického pole kondenzátoru:
V homogenním elektrostatickém poli platí:
energie homogenního pole je:
PŘÍKLADY: 4.1-1.
Dvě stejné kuličky, které jsou nabity stejným elektrickým nábojem , jsou zavěšeny na nitích stejné délky. Nitě spolu svírají úhel 2α (viz Obr. 4.1-1). Vypočítejte hustotu látky, která byla použita na výrobu kuliček, víte-li, že při ponoření kuliček do benzenu o hustotě a jeho relativní permitivitě se úhel nití nezměnil.
Řešení: Výpis veličin:
Na každou kuličku ve vzduchu působí síly: Tíhová
;
Elektrického odpuzování (Coulombův zákon)
Obr. 4.1-1
133
(
)
.
Podmínka rovnováhy ve vzduchu (A) je: (
)
=>
(
)
Pro ponoření do benzenu (B) přibude vztlaková síla
kde
je hustota benzenu.
Síla elektrického odpuzování v benzenu se zmenší
krát, odtud )(
( )(
(
)
)
Porovnáním obou tangent obdržíme vztah ( kde
)
je hustota materiálu kuličky.
a
Dosazením získáme vztah (
)
Po číselném dosazení . Hustota materiálu každé z kuliček je 4.1-2.
.
Ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o stranách velikosti jsoucího ve vakuu máme umístěny bodové náboje o velikosti . Jak veliký bodový náboj musíme umístit do středu tohoto trojúhelníka, aby náboje byly v rovnováze? (viz obr. 4.1-2).
Obr. 4.1-2 Řešení: Vybereme si např. náboj v poloze 3, na který působí i náboje silami , přičemž . 134
v polohách 1 a2
Podmínka rovnováhy: . je síla, kterou působí náboj umístěný v poloze 4 na náboj musí tedy mít opačné znaménko než náboj .
v místě 3. Náboj
Z Coulombova zákona a silových relací nábojů v trojúhelníku plyne √
.
Po dosazení vztahů do podmínky rovnováhy hodnotu pro velikost náboje : √
a porovnáním rovnicdostáváme
.
Stejná úvaha platí pro náboje Q v polohách 1 a2. 4.1-3.
Ve vzdálenosti jsou umístěny náboje a Určete intenzitu a potenciál elektrického pole obecně (obr. 4.1-3. A), poté pro vzdálenosti od obou nábojů (obr. 4.1-3. B), (náboje jsou ve vakuu):
a) mají-li oba náboje stejné velikosti i znaménka, b) mají-li oba náboje stejné velikosti, ale opačná znaménka.
Obr. 4.1-3 Řešení: Pro obecný výpočet položme počátek souřadné soustavy do středu vzdálenosti mezi náboje (obr. 4.1-3. A) a hledáme potenciál v bodě C:
√ [ (
√(
)
Intenzitu elektrostatického pole získáme ze vztahu 135
)
]
⃗
.
Intenzita ⃗⃗⃗ je funkcí x a y a tedy:
( {
[(
) )
( ]
[(
) )
{
]
}
}. [(
)
]
[(
)
]
V případě rovnostranného trojúhelníka (obr. 4.1-3. B) má bod C souřadnice: √
; ; √ (
; a)
)
.
; ; √
;
.
Uvážíme-li, že √
√ kde
;
je velikost intenzity v bodě pole buzeného nábojem
(
).
b)
;
.
Celková intenzita má v případě a) směr osy y v případě b) směr osy x.
4.1-4.
Určete intenzitu a potenciál elektrostatického pole s konstantní plošnou hustotou σ v nekonečné rovině umístěné ve vakuu.
136
Obr. 4.1-5
Obr. 4.1-4 Řešení:
Použijeme Gaussovy věty. Uzavřenou plochu volíme ve tvaru válce se základnami S po obou stranách roviny, které jsou rovnoběžné s rovinou s nábojem (obr. 4.1-4). K celkovému toku intenzity přispívají jen obě základny. Plášť nepřispívá, neboť všude na něm platí: ⃗
.
Celkový tok můžeme psát . Intenzita a potenciál jsou: ;
4.1-5.
.
Vypočtěte kapacitu kulového kondenzátoru vytvořeného dvěma soustřednými vodivými kulovými plochami o poloměrech a mezi kulovými plochami je vakuum.
Řešení: Napětí mezi kulovými plochami je ∫
∫
.
Kapacita kulového kondenzátoru potom bude .
4.1-6.
Dvě
stejně
veliké kuličky . Určete:
nesou
elektrické
náboje
a
a) Velikost a směr sil působících mezi kuličkami ve vakuu, je-li jejich vzdálenost 6 cm. b) Velikost a směr sil působících mezi kuličkami ve vakuu, když byly předtím uvedeny do vzájemného styku. 137
a) [kuličky se přitahují silou b) [kuličky se odpuzují silou
4.1-7.
]
Dva stejné bodové náboje umístěné ve vzdálenosti působí na sebe ve vzduchu silou . V jaké vzdálenosti by musely být umístěny v oleji o , aby se velikost síly nezměnila?
[ 4.1-8.
Kde na spojnici nábojů a vzdálených je třeba umístit třetí náboj tak, aby na něj nepůsobila žádná síla? Ve kterém místě na spojnici daných nábojů bude intenzita pole nulová?
4.1-9.
Elektrické náboje Stanovte:
jsou umístěny viz. obr. 4.1-5.
a
a) intenzitu elektrostatického pole v bodech A, B, C , b) potenciály v bodech A, B, C , c) potenciální energii bodového náboje A, B, C . a) b) c)
; ;
, je-li postupně umístěn v bodech
; ;
;
] ;
]
]
4.1-10. Tři kondenzátory, z nichž jeden má kapacitu , dávají při paralelním zapojení kapacitu , při sériovém zapojení . Jakou kapacitu mají zbylé dva kondenzátory? [
]
4.1-11. Tři kondenzátory mají kapacitu a) maximální, b) minimální kapacitu? [paralelně
;sériově
,
a
. Při kterém spojení dávají
]
4.1-12. Napětí mezi bouřkovým mrakem a zemí dosáhlo v okamžiku vzniku blesku hodnoty . Bouřkový mrak měl náboj Jaká energie se uvolnila zábleskem při blesku? V jaké formy se při tom elektrická energie přeměnila? [
; světelnou, zvukovou, chemickou, mechanickou, aj.]
138
4.2
ELEKTRICKÝ PROUD
Elektrický proud Zde je náboj, který za dobu proudu je ampér (A).
projde průřezem vodiče. Jednotkou elektrického
Hustota proudu Proud (skalár) souvisí s vektorem hustoty proudu vztahem: ∫ kde je vektor kolmý k elementu plochy o obsahu a integruje se přes celý průřez vodiče. Orientace je stejná jako orientace intenzity elektrického pole, která vyvolává proud. Driftová rychlost Je-li ve vodiči elektrické pole o intenzitě ⃗ , (kladné) nosiče náboje se pohybují driftovou rychlostí ve směru intenzity ⃗ . Rychlost souvisí s hustotou proudu vztahem: ( kde
)
je objemová hustota náboje.
Odpor vodiče Odpor neboli rezistance
vodiče (součástky) je definován vztahem:
definice odporu kde
je napětí přiložené na vodič a proud procházející vodičem. Jednotkou je ohm ( ): Rezistivita
a konduktivita
materiálu jsou definovány jako:
definice kde je velikost intenzity elektrického pole. Jednotkou rezistivity je předchozího vztahu je vektorová rovnice:
. Zobecněním
⃗ Odpor
vodiče o délce
a průřezu
určíme podle vztahu:
Změna rezistivity s teplotou Rezistivita většiny materiálů se mění s teplotou. Pro řadu materiálů, včetně kovů, lze závislost rezistivity na teplotě aproximovat lineárním vztahem: ( 139
)
kde je rezistivita při teplotě , (v určitém teplotním intervalu).
je referenční teplota a
je teplotní součinitel rezistivity
Závislost odporu kovu na teplotě (
)
Závislost odporu polovodiče na teplotě:
Ohmův zákon Pro vodič (součástku) platí Ohmův zákon tehdy, jestliže jeho odpor ⁄ ) nezávisí na přiloženém napětí . v rovnici pro odpor vodiče(
definovaný
Pro materiál platí Ohmův zákon tehdy, jestliže jeho rezistivita definovaná příslušnou ⁄ ) nezávisí na velikosti a směru elektrické intenzity ⃗ . rovnicí ( Ohmův zákon v diferenciálním tvaru
⃗
Rezistivita kovů Za předpokladu volně se pohybujících vodivostních elektronů (jako molekuly v plynu) lze odvodit vztah pro rezistivitu kovu:
Zde je objemová koncentrace elektronů a je střední doba mezi srážkami elektronu s atomy kovu. Protože je prakticky nezávislé na , platí pro kovy Ohmův zákon. Soustava rezistorů zapojených sériově ∑ kde
jsou hodnoty jednotlivých odporů a
je celkový odpor.
Soustava rezistorů zapojených paralelně ∑ kde
jsou hodnoty jednotlivých odporů a
je celkový odpor.
Výkon elektrického proudu Výkon přenosu energie v součástce, na níž je napětí roven: výkon el. proudu
140
a kterou prochází proud , je
Disipace energie rezistorem Je-li součástkou rezistor, lze psát předešlou rovnici pro výkon ve tvaru: disipace energie rezistorem V rezistoru je elektrická potenciální energie disipována prostřednictvím srážek nosičů náboje s atomy. Elektromotorické napětí ( ) Je-li práce, kterou zdroj vykoná při průchodu kladného náboje vnitřkem zdroje od záporného pólu ke kladnému, je jeho elektromotorické napětí (nebo také , tj. práce vztažená na jednotkový náboj) rovno: definice EMN Jednotkou EMN je volt, tedy stejná jednotka jako napětí. Ideální zdroj EMN má nulový vnitřní odpor. Napětí na jeho svorkách je stále rovno elektromotorickému napětí . Reálný zdroj EMN má nenulový vnitřní odpor. Napětí na jeho svorkách je rovno elektromotorickému napětí pouze v případě, že zdrojem neprochází žádný proud. Spojování zdrojů elektromotorického napětí:
1 2
1 2
Kirchhoffovy zákony Uzlové pravidlo (ze zákona zachování elektrického náboje): Součet proudů vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících. ∑ Smyčkové pravidlo (ze zákona zachování energie): Algebraický součet úbytků napětí při průchodu libovolnou uzavřenou smyčkou je nulový. ∑
∑
Jednoduché obvody Proud v jednoduchém obvodu tvořeném jedinou smyčkou, kde je zapojen rezistor o odporu a zdroj elektromotorického napětí s vnitřním odporem , je:
V případě ideálního zdroje EMN (
) přecházi tento vztah do tvaru 141
⁄ .
Obvody stejnosměrného elektrického proudu Základní pojmy: -
uzel: místo vodivého spojení, ve kterém se setkávají alespoň tři vodiče (proud se rozděluje do jednotlivých větví) větev: část obvodu mezi dvěma uzly jednoduchý elektrický obvod síť (soustava jednoduchých elektrických obvodů)
Zásady a postup výpočtů při řešení stejnosměrných elektrických sítí použitím 1. a 2. Kirchhoffova zákona: počet rovnic pro řešení elektrické sítě je dán počtem větví rovnice vybíráme tak, aby byly nezávislé zvolit předpokládané směry proudů v jednotlivých větvích (tento směr volíme libovolně, nesmíme ho však v průběhu řešení obvodu měnit) - zvolit směr postupu v jednotlivých vybraných smyčkách (tento směr volíme libovolně, nesmíme ho však v průběhu řešení obvodu měnit) - vyznačíme směr od záporného ke kladnému pólu ve zdrojích napětí (tj. ve směru růstu potenciálu) EMN a úbytková napětí dosazujeme do rovnic včetně znamének: -
R
0
0
RI 0
I
R
I
RI 0
Výkon a elektromotorické napětí Jestliže reálnou baterií o elektromotorickém napětí s vnitřním odporem protéká proud , pak výkon , který dodává baterie prostřednictvím nosičů náboje do zbytku celého zapojení, je: kde
je napětí na svorkách baterie. Ztrátový výkon
(uvnitř baterie) je:
Výkon zdroje EMN
(tj. rychlost, s jakou ubývá chemická energie baterie) je roven: .
142
Hmotnost látky vyloučené při elektrolýze kde m je hmotnost vyloučené látky, náboj, je protékající proud a je čas.
je hmotnost iontu vylučované látky,
jeho
Pozn.: Krokové napětí je elektrické napětí, které vznikne mezi dvěma došlapy v poli s proměnným elektrickým potenciálem (spadlý drát vysokého napětí). Nebezpečí spočívá v tom, že elektrický potenciál se vyrovnává průchodem elektrického proudu přes tělo člověka, který krok učinil. Elektrický generátor (alternátor) přeměňuje kinetickou energii rotačního pohybu na energii elektrickou ve formě střídavého proudu. Elektrický motor je elektrický stroj, který slouží k přeměně elektrické energie na mechanickou práci. Běžné elektrické přístroje a zařízení: žárovka (15-100) W, napětí 230 V, výbojky, „bílá elektronika“-pračky, ledničky, žehličky…, spotřební elektronika televize, audio, video, počítač…, elektromotory… Snaha o minimální spotřebu (Pozor na pohotovostní polohu!) a maximální užitečnost. PŘÍKLADY: 4.2-1.
Vodičem protéká stálý proud . Jaký je celkový náboj částic a počet elementárních nábojů, které projdou průřezem vodiče za .
Řešení: Výpis veličin:
Elektrický proud je dán množstvím náboje, který projde vodičem za jednotku času:
Celkový náboj : po dosazení: Počet elementárních nábojů kde
je elementární náboj
Po dosazení Vodičem projde celkový náboj
. .
elementárních nábojů.
143
4.2-2. Když byl spotřebič připojený na napětí , protékal jim proud elektrického vedení poklesl proud na . Jaké bylo napětí v síti při poruše?
. Při poruše
Řešení: Výpis veličin:
Odpor spotřebiče je dán vztahem: ; => Po dosazení číselných hodnot . Při poruše bylo v síti napětí 121 V.
4.2-3.
Jaké napětí je mezi dvěma body tlustého měděného drátu, které jsou od sebe vzdáleny , protéká-li drátem proud ?
Řešení: Výpis veličin:
Odpor vodiče vypočítáme ze vztahu , kde
.
Po dosazení .
Napětí vypočítáme z Ohmova zákona .
Dosadíme číselné hodnoty: (
Napětí mezi body vodiče bylo
.
)
. 144
4.2-4.
Akumulátorová baterie má elektromotorické napětí . Zapnutím přístroje při odběru proudu pokleslo svorkové napětí na . Jakébude svorkové napětí při odběru proudu ?
Řešení: Výpis veličin:
Po zapojení obvodu vznikne úbytek napětí vlivem změny vnitřního odporu akumulátorové baterie. Důsledkem změny odporu se zmenší svorkové napětí . Úbytek napětí na vnitřním odporu akumulátorové baterie lze vyjádři vztahem ;
.
Když obvodem poteče proud svorkové napětí vypočítáme podle vztahu
, svorkové napětí bude
, potom
. Po dosazení: . Při odběru proudu
4.2-5.
bude svorkové napětí
.
Vypočítejte proudy v jednotlivých větvích elektrického obvodu (Obr. 4.2-1. A; B; C), kde odpory jsou ; a a elektromotorická napětí zdrojů jsou . Vnitřní odpory zdrojů zanedbáme.
Obr. 4.2-1 145
Řešení: Výpis veličin:
Pro zadané zapojení si můžeme schéma libovolně upravit; schéma zapojení na obr. 4.2-1. jsou rovnocenná pro požadovaný výpočet (zadané schéma si můžeme libovolně překreslovat při zachování zapojení). Zvolíme!: a) směr ve smyčkách I. a II.; b)pravděpodobný směr toku proudu uzly A a B. Vyznačíme směry elektromotorických napětí
; c)
.
Pro uzel A sestavíme rovnici dle 1. Kirchhoffova zákona: .
(a)
Pro smyčku I. sestavíme rovnici dle 2. Kirchhoffova zákona: .
(b)
Pro smyčku II. sestavíme rovnici dle 2. Kirchhoffova zákona: .
(c)
Poznámka: získali jsme 3 rovnice (a), (b)a (c) pro 3 neznámé . Znaménko mínus (–) u neznámé udává, že orientace toku elektrického proudu je opačná, než jsme zvolili. Dosadíme numerické hodnoty: . . Z rovnice (b) vyjádříme
(b) (c)
( ) a z rovnice (c) vyjádříme
( ):
. Dosadíme do rovnice (a) a vypočítáme
. má opačný než námi
zvolený směr.
146
vypočítáme z rovnic (b) a (c), do nichž dosadíme za proud
Proudy :
( (
) )
, .
(b) (c)
Z čehož plyne: . Proudy v uzlu A mají tyto hodnoty: odpovídají původní volbě, proud
, směry proudů má opačný směr.
4.2-6.
Vodičem o odporu prošel za minuty náboj . Kolik elektronů prošlo vodičem, jaké bylo napětí na koncích vodiče a jaký proud procházel vodičem?
4.2-7.
Vodičem délky a průřezu prochází proud odpor vodiče, je-li napětí na jeho koncích ?
4.2-8.
Stanovte vnitřní odpor galvanického článku s napětím naprázdno zatížení odporem svorkové napětí .
4.2-9.
Žárovka pro napětí a proud se má připojit k baterii o napětí odpor musíme přidat do obvodu, aby se žárovka nezničila?
4.2-10. Dva rezistory mají při sériovém zapojení odpor Jaké odpory mají zapojené rezistory?
. Jak velký je měrný
, má-li při
a při paralelním odpor
. Jaký
.
4.2-11. Akumulátor s napětím dodává v automobilu proud stop – světlům s odporem , houkačce s odporem a reflektoru s odporem . Jaký proud se bude celkově z akumulátoru odebírat, jsou-li uvedené spotřebiče zapojeny paralelně?
147
4.2-12. Stanovte hodnotu odporu v zapojení podle obr. 4.2-2 tak, aby galvanometrem neprocházel proud. Hodnoty napětí a odporu jsou , a . Vnitřní odpory zdrojů můžeme zanedbat.
Obr. 4.2-2
4.2-13. Vypočítejte: a) proud jdoucí odporem polaritě napětí .Je dáno Vnitřní odpory zdrojů zanedbáváme.
v síti podle obr. 4.2-3., b)při obrácené .
Obr. 4.2-3 ) [
)
]
4.2-14. V obvodu podle obr. 4.2-4. jsou zapojeny dva články o elektromotorických napětích a vnitřních odporech a odpory Určete celkový proud, proudy ve větvích a svorková napětí jednotlivých článků a baterie.
Obr. 4.2-4
148
4.2-15. Stanovte velikost a směr proudu procházejícího odporem v zapojení podle obr. 4.2-5. Hodnoty odporů jsou hodnoty elektromotorických napětí . Vnitřní odpory zdrojů zanedbejte.
Obr. 4.2-5 [
]
4.2-16. Elektromotor byl zapojený , elektroměr ukázal spotřebu výkon daného elektromotoru při účinnosti .
. Určete
4.2-17. Při odchodu z domu jste zapomněli vypnout žárovku. Zbytečně svítila . Určete hmotnost vody, která by se využitím této energie dala vyčerpat čerpadlem s účinností ( )do výšky .
4.2-18. Vlákno svítící žárovky o výkonu při napětí má teplotu teplotní koeficient odporu tohoto vlákna, je-li jeho odpor za studena (při
. Stanovte )
4.2-19. Kolik kilogramů mědi je zapotřebí k instalaci vedení tvořeného dvěma vodiči délky , je-li napětí zdroje , přenášený výkon a úbytek napětí na vedení nemá překročit , když víme, že měrný odpor mědi je a měrná hustota .
149
4.3
MAGNETICKÉ POLE A JEHO VLASTNOSTI, MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
Magnetická indukce Magnetická indukce ⃗ je definovaná pomocí síly působící na zkušební částici s nábojem , která se pohybuje rychlostí v magnetickém poli: (
působící síla na částici
)
.
Jednotkou indukce v soustavě jednotek SI je tesla (T):
Magnetická intenzita a indukce v izotropním prostředí Vztah mezi magnetickou indukcí a intenzitou magnetického pole v izotropním prostředí je následující: ⃗
⃗
Hallův jev Umístíme-li do magnetického pole ⃗ vodič průřezu a šířky , kterým protéká elektrický proud , usadí se část nosičů náboje na bočních stranách vodiče a tím se vytvoří napětí . Polaritu určuje znaménko nosičů náboje. Počet nosičů náboje v objemové jednotce vodiče (koncentrace nosičů náboje) lze vypočítat ze vztahu: (síla dostředivá) koncentrace nosičů náboje
Nabitá částice pohybující se v magnetickém poli Nabitá částice o hmotnosti s nábojem , která se pohybuje rychlostí kolmou na indukci homogenního magnetického pole ⃗ , koná rovnoměrný pohyb po kružnici. Použijemeli Newtonova zákona na případ rovnoměrného pohybu po kružnici, dostaneme:
Odtud můžeme určit poloměr kružnice :
Frekvence , úhlová frekvence
a perioda
pohybu jsou spojeny vztahy:
Ampérova síla Na přímý vodič délky s proudem , nacházející se v homogenním magnetickém poli ⃗ , působí síla: (
); 150
Síla, kterou působí magnetické pole o indukci ⃗ na element proudem , je: ( Směr vektoru , resp.
vodiče protékaného
)
, je souhlasný se směrem proudu .
Moment síly působící na cívku s proudem Na cívku protékanou proudem působí magnetické pole o indukci ⃗ momentem síly ⃗⃗ : ⃗⃗
⃗
Zde je magnetický dipólový moment cívky. Jeho směr je dán pravidlem pravé ruky a velikost je , kde je počet závitů cívky a je obsah plochy jednoho závitu. Potenciální energie magnetického dipólu Magnetický dipól s momentem má v magnetickém poli ⃗ potenciální energii závisí na orientaci vůči ⃗ : ⃗
( ) kde
, která
je úhel sevřený vektory a ⃗ .
Hopkinsonův zákon: Magnetický odpor: Biotův-Savartův zákon Magnetické pole vodiče, kterým protéká elektrický proud, můžeme určit dle BiotovaSavartova zákona. Podle něj je magnetická indukce ⃗ vytvořená elementem ve vzdálenosti od tohoto elementu dána vztahem: Biotův-Savartův zákon
⃗
Zde je vektor, který směřuje od elementu indukci. Veličina
;
.
do bodu, v němž určujeme magnetickou je permeabilita vakua.
Vztah můžeme přepsat do tvaru pro magnetické pole: ⃗ kde
;
,
jejednotkový vektor ve směru polohového vektoru.
Magnetické pole dlouhého přímého vodiče Velikost magnetické indukce pole přímého dlouhého vodiče ve vzdálenosti dlouhý přímý vodič
151
od něj je:
Magnetické pole vodiče ve tvaru kruhového oblouku Velikost magnetické indukce ve středu kruhového oblouku vodiče se středovým úhlem a poloměrem , kterým protéká elektrický proud je: ve středu kruhového oblouku Síla působící mezi dvěma rovnoběžnými vodiči, kterými protéká proud Rovnoběžné vodiče ( a ), kterými protéká souhlasně orientovaný proud, se vzájemně přitahují. Mají-li proudy opačnou orientaci, vodiče se odpuzují. Velikost síly, která působí na jednotku délky každého z vodičů, je:
kde
je vzdálenost obou vodičů,
jsou proudy tekoucí vodiči
a .
Ampérův zákon Vztah mezi elektrickým proudem a magnetickou indukcí vyjadřuje vedle BiotovaSavartova zákona také Ampérův zákon, který má tvar: Ampérův zákon ∮ ⃗
;∮
.
Křivkový integrál počítáme podél uzavřené orientované křivky, která se nazývá Ampérova křivka. Proud je celkový elektrický proud, obepnutý křivkou (to je celkový proud, který prochází libovolnou plochou mající za hranici tuto uzavřenou křivku). Magnetické pole solenoidu a toroidu Uvnitř solenoidu, kterým protéká elektrický proud I, je v bodech vzdálených od konce solenoidu velikost magnetické indukce: ideální solenoid (uvnitř) kde
je počet závitů připadající na jednotku délky solenoidu. Uvnitř toroidu s
závity je velikost magnetické indukce:
toroid kde je vzdálenost mezi středem toroidu a bodem, v němž indukci určujeme. Vně toroidu je magnetická indukce nulová. Pole magnetického dipólu Cívka, kterou protéká elektrický proud, tvoří magnetický dipól. V bodě cívky je magnetická indukce: magnetický dipól kde
je dipólový moment cívky a
ležícím na ose
( )
je souřadnice bodu
152
na ose cívky (závitu).
PŘÍKLADY: 4.3-1.
Volný elektron vletí do homogenního magnetického pole s indukcí rychlostí . Směr rychlosti je kolmý na směr indukčních čar. Určete poloměr kruhové dráhy elektronu, víte-li, že náboj elektronu je a hmotnost elektronu je .
Řešení: Výpis veličin:
Magnetické pole bude na elektron působit silou (Lorencovou), danou vztahem: . Tato síla zakřivuje dráhu elektronu. Poloměr zakřivení určíme porovnáním sil – magnetické a dostředivé, které působí na elektron, tj.: kde
odtud .
Po dosazení číselných hodnot: (
)
.
Poloměr zakřivení dráhy volného elektronu v homogenním magnetickém poli je 4.3-2.
.
Nabitá částice se pohybuje rychlostí po kružnici o poloměru v rovině kolmé na směr indukčních čar magnetického pole o indukci . Pohybová energie částice je . Vypočítejte elektrický náboj částice a hmotnost částice.
Řešení: Výpis veličin:
Na pohybující se částici v magnetickém poli působí síla 153
. Tato síla zakřivuje dráhu elektronu. Poloměr zakřivení určíme porovnáním sil – magnetické a dostředivé, které působí na elektron kde
odtud .
Hmotnost částice vyjádříme pomocí kinetické energie:
Dosadíme číselné hodnoty: ( Po dosazení za
)
do předešlé rovnice určíme náboj : , číselně
.
Elektrický náboj částice má hodnotu 4.3-3.
a hmotnost částice je
.
Vypočítejte, jaký proud poteče vodičem délky , který je kolmý na indukční čáry magnetického pole s indukcí , přičemž magnetické pole působí na vodič s proudem silou .
Řešení: Výpis veličin:
Magnetické pole bude působit na vodič silou danou vztahem Úpravou pro tekoucí proud dostaneme . Po dosazení . Vodičem poteče proud 25 A. 4.3-4.
Svislým vodičem dlouhým protéká proud . Vypočítejte sílu, jakou na vodič s proudem působí magnetické pole Země. (Horizontální složka magnetické indukce magnetického pole Země je ). 154
Řešení: Výpis veličin:
Síla, kterou magnetické pole působí na vodič je dána vztahem . Po dosazení Magnetické pole Země působí na vodič silou 4.3-5.
.
Vypočítejte indukci a intenzitu magnetického pole v okolí dlouhého přímého vodiče s proudem v kolmé vzdálenosti .
Řešení: Výpis veličin:
Pro indukci magnetického pole v okolí magnetického pole ve vakuu platí vztah: . . Vztah mezi indukcí a intenzitou magnetického pole je následující: . Po dosazení: . Indukce sledovaného magnetického pole je 4.3-6.
. Jeho intenzita je
Vypočítejte průměr závitu, kterým protéká proud indukce v jeho středu je .
Řešení: Výpis veličin:
155
. , víte-li, že magnetická
Magnetická indukce ve středu závitu je dána vztahem . Po úpravě a dosazení . Průměr závitu bude 4.3-7.
.
Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče s poloměrem protékaného proudem .
Řešení: Výpis veličin:
, ∫
∫
, .
Magnetická indukce je 4.3-8.
a intenzita magnetického pole je
.
V homogenním magnetickém poli s magnetickou indukcí v horizontálním směru je kolmo na indukční čáry uložený v horizontálním směru vodič, jehož má tíhu a jímž prochází proud . Jakou hodnotu musí mít magnetická indukce, aby uvažovaný vodič nepadal, ale vznášel se?
Řešení: Výpis veličin:
I
156
,
Magnetická indukce musí mít velikost 4.3-9.
.
Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče s poloměrem protékaného proudem .
4.3-10. Dva dlouhé rovnoběžné vodiče jsou od sebe vzdálené . Jedním prochází proud a druhým souhlasně orientovaný proud . Ve kterém místě na kolmé spojnici obou vodičů bude magnetická indukce výsledného magnetického pole nulová?
4.3-11. Dvěma velmi dlouhými rovnoběžnými vodiči zanedbatelného průřezu umístěnými ve vzduchu ve vzájemné vzdálenosti procházejí elektrické proudy se stejnými hodnotami . Vypočtěte velikost magnetické indukce v bodě, který leží uprostřed mezi vodiči, a) procházejí-li vodiči proudy stejným směrem, b) procházejí-li vodiči proudy navzájem opačnými směry.
157
STŘÍDAVÉ PROUDY
4.4
Obvod s rezistorem Sériový obvod skládající se ze střídavého zdroje elektromotorického napětí(EMN) a rezistoru. Dle 2. Kirchhoffova zákona je: Napětí na rezistoru se mění harmonicky dle vztahu: (
)
Fázový rozdíl pro zátěž skládající se pouze z odporu je . Z toho vyplývá, že proud a napětí jsou ve fázi, jejich maxima a minima nastávají ve stejných okamžicích, vztah mezi amplitudami je: a
jsou netlumené. Obvod s rezistorem, fázorový a časový diagram:
Odporovou zátěž nazýváme rezistance. Obvod s kapacitou (kondenzátorem) Obvod skládající se z harmonického zdroje EMN a kondenzátoru o kapacitě . Napětí na kondenzátoru je: ( kde
)
je amplituda napětí na kondenzátoru. Z definice kapacity: (
)
(
)
vyplývá, že:
Definujme nyní tzv. kapacitanci
kondenzátoru:
158
Nahradíme li funkci
(
) funkcí sinus: (
)
(
)
dostaneme: (
)
(
(
)
⁄ kde je amplituda proudu, Proud tedy předbíhá napětí o čtvrt periody.
)
je fázový rozdíl mezi proudem a napětím.
Vztah mezi amplitudami napětí a proudu je:
Obvod s kapacitou, fázorový a časový diagram:
Energie dodaná zdrojem se v první čtvrt periodě spotřebuje na vytvoření elektrického pole kondenzátoru, v další čtvrt periodě elektrické pole mizí a energie se opět do zdroje nezmenšená vrací (ideální kapacita nezpůsobuje ztráty energie). Ve zbývajících dvou čtvrt periodách je proces stejný, jen s opačnou orientací znamének. Průměrný výkon proudu v obvodu v jedné periodě je roven nule. Obvod s indukčností (cívkou) Obvod skládající se z harmonického zdroje EMN a ideální cívky o indukčnosti L (odpor vinutí cívky ). Napětí na cívce je: ( kde
)
je amplituda napětí na cívce. Okamžité napětí na cívce , ve které se mění proud s rychlostí
a z toho vyplývá, že: ( 159
)
⁄
je:
Okamžitý proud je roven: (
∫ Definujme nyní tzv. induktanci (
Nahradíme-li funkci (
)
cívky:
) funkcí sinus fázově posunutou, dostaneme: )
⁄ kde je amplituda proudu, tedy předbíhá proud o čtvrt periody.
(
)
(
)
je fázový rozdíl mezi proudem a napětím. Napětí
Vztah mezi amplitudami napětí a proudu je:
Obvod s indukčností, fázorový a časový diagram:
Energie dodaná zdrojem se v první čtvrt periodě spotřebuje na vytvoření magnetického pole cívky, v další čtvrt periodě se opět do zdroje nezmenšená vrací (ideální cívka nezpůsobuje ztráty energie). Ve zbývajících dvou čtvrt periodách je proces stejný, jen s opačnou orientací znamének. Průměrný výkon v obvodu v jedné periodě je roven nule (nedochází ke ztrátám energie).
160
Přehled výsledků řešení jednoduchých obvodů střídavého proudu PRVEKOBVODU rezistor kondenzátor SYMBOL
R
IMPEDANCE
R
FÁZE PROUDU
cívka
C
L (
ve fázi s
předbíhá
) o 90°
zpožděna za
⁄
FÁZOVÝ ROZDÍL
o 90°
⁄
VZTAH MEZI AMPLITUDAMI Sériový obvod RC Náboj při nabíjení kondenzátoru: (
( kde
je ustálený náboj a
)
)
je časová konstanta sériového RC obvodu.
Proud při nabíjení kondenzátoru: (
)
Náboj při vybíjení kondenzátoru (přes rezistor): (
)
)
a proud při jeho vybíjení: (
( )
)
Sériový obvod RL Růst proudu při připojení EMN do obvodu: ( kde ⁄ je ustálená hodnota proudu a
) ⁄ je časová konstanta sériového RL obvodu.
Pokles proudu při odpojení emn od cívky (díky odporu z ustálené hodnoty
Sériový obvod RLC Obsahuje zdroj EMN ( Všemi prvky prochází tentýž proud:
):
) a sériově zapojený odpor, cívku a kondenzátor. (
)
a okamžité napětí se rozdělí mezi tyto prvky tak, aby celkové napětí v obvodu bylo: Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi (fázor napětí na rezistoru má stejný směr jako fázor proudu v obvodu), na kondenzátoru proud předbíhá napětí o 90° (fázor napětí na kondenzátoru je zpožděn za fázorem proudu o 90°) a na cívce je proud zpožděn za napětím o 90° (fázor napětí na cívce předbíhá o 90° před fázorem proudu). 161
Fázor výsledného napětí je roven vektorovému součtu fázorů napětí na jednotlivých prvcích R, L a C. Fázory na cívce a kondenzátoru mají opačnou orientaci a lze je nahradit jediným fázorem. Dle Pythagorovy věty: ( (
)
)
(
) (
√
)
kde výraz ve jmenovateli na pravé straně poslední rovnice je celkový odpor série RLC (impedance) a označujeme jej . Pro amplitudu proudu z předchozích vztahů platí:
√
(
)
Pozn.: Veškeré vztahy odpovídají ustálenému harmonickému proudu. Fázový rozdíl mezi napětím a proudem je:
Je-li a je-li
má obvod induktivní charakter, je-li má obvod kapacitní charakter obvod je v rezonanci (napěťová rezonance pro sériový RLC obvod).
Sériový RLC obvod, fázorový diagram:
Rezonance: Amplituda proudu v obvodu je maximální, jestliže:
kde
√ je takzvaná rezonanční úhlová frekvence. Impedance je rovna reaktanci (
162
).
Pozn.: Rezonanční frekvence odpovídá vlastní úhlové frekvenci (netlumených) kmitů v obvodu LC. Platí Thompsonův vztah: √ Paralelní obvod RLC Obsahuje zdroj EMN Všemi prvky prochází totéž napětí:
(
) a paralelně zapojený odpor, cívku a kondenzátor. (
)
a okamžitý proud vstupující do obvodu se rozdělí mezi tyto prvky tak, aby celkový proud v obvodu byl: Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi (fázor napětí na rezistoru má stejný směr jako fázor proudu v obvodu), na kondenzátoru proud předbíhá napětí o 90° (fázor napětí na kondenzátoru je zpožděn za fázorem proudu o 90°) a na cívce je proud zpožděn za napětím o 90° (fázor napětí na cívce předbíhá o 90° před fázorem proudu). Fázor výsledného napětí je roven vektorovému součtu fázorů napětí na jednotlivých prvcích R, L a C. Fázory na cívce a kondenzátoru mají opačnou orientaci a lze je nahradit jediným fázorem. Výsledná okamžitá hodnota proudu v paralelním RLC obvodu je: (
)
Amplituda proudu je: ( √
) (
)
kde výraz s odmocninou √
(
)
je tzv. admitance. Fázový rozdíl mezi napětím a proudem je: ( Rezonance: Admitance nabývá extrémních hodnot pro:
kde
je takzvaná rezonanční úhlová frekvence. Platí Thompsonův vztah pro rezonanci: 163
)
√ Admitance je rovna vodivosti RLC obvodu, tj.:
což je tzv. proudová rezonance. Paralelní RLC obvod, fázorový diagram:
Výkon v obvodech se střídavým proudem Okamžitý výkon je dán vztahem: z kterého po dosazení dostaneme vztah: (
)
(
)
a tedy výkon mění periodicky svoji velikost i znaménko. Pokud jsou proud a napětí téhož znaménka, výkon je kladný a do obvodu se přivádí proud, v opačném případě je to naopak. Efektivní hodnota proudu √ kde
je amplituda proudu v obvodu.
Efektivní hodnota napětí √ kde
je amplituda napětí v obvodu.
164
Efektivní hodnoty jak napětí, tak proudu nám umožňují vyjádřit střední hodnotu ztrát ve střídavém obvodu v ustáleném stavu a to ve stejném tvaru, jako pro stejnosměrné veličiny. Efektivní hodnota střídavého proudu (napětí) v určitém časovém intervalu je definována jako velikost stálého stejnosměrného proudu, který vyvine v téže době stejné teplo. Úprava vztahů pro okamžitý výkon (
)
kde první člen na pravé straně je složka činná, wattová (nezávislá na čase) a druhý člen je pro složku jalovou, bezwattovou (závislou na čase). Vyjádříme-li předchozí vztah pomocí efektivních hodnot, nabývá tvaru: (
)
Průměrný (skutečný) výkon střídavého proudu ∫
∫
(
∫∫
)
Průměrný výkon střídavého proudu je roven součinu efektivních hodnot proudu a napětí a kosinu fázového posunu mezi proudem a napětím. Člen se nazývá účiník, součin je tzv. zdánlivý výkon. Pro střídavé RLC obvody energii dodává generátor střídavého napětí, kdy část energie je uložena v elektrickém poli kondenzátoru, část v magnetickém poli cívky a část spotřebovává rezistor. V ustáleném stavu je časová střední hodnota energie v jedné periodě v cívce a kondenzátoru konstantní. Elektromagnetická energie se přenáší jen od zdroje k rezistoru. Napětí na rezistoru Napětí na ideální cívce
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂ kde
√
̂ ̂
̂ kde
√
Napětí na ideálním kondenzátoru ̂
Ohmův zákon pro obvody střídavého proudu ̂ ̂ kde ̂ je tzv. impedance. Soustava prvků zapojených sériově ̂
∑ ̂
kde ̂ je impedance jednotlivých prvků. 165
Soustava prvků zapojených paralelně ∑
̂
̂
kde ̂ je impedance jednotlivých prvků. PŘÍKLADY: 4.4-1.
Při otáčení závitu v homogenním magnetickém polije amplituda střídavého napětí a perioda . Určete hodnotu napětí v časech 0 ; ; ; .
Řešení: Výpis veličin
Okamžitá hodnota střídavého napětí v čase t je dána vztahem: kde
.
Po dosazení pro uvedené časy dostáváme:
Okamžité hodnoty napětí jsou 4.4-2.
.
Ve spotřebitelské síti je efektivní napětí
Řešení: Výpis veličin:
166
. Určete amplitudu střídavého napětí.
Mezi amplitudou napětí
a jeho efektivní hodnotou platí vztah:
.
√
Úpravou a po dosazení dostáváme √
V
V.
Amplituda střídavého napětí v síti je 325 V. 4.4-3.
Ampérmetr je zapojený v obvodu se střídavým proudem a ukazuje hodnotu Jaká je hodnota střídavého proudu?
.
Řešení: Výpis veličin:
Mezi amplitudou napětí √
a jeho efektivní hodnotou platí vztah:
.
Úpravou a po dosazení dostáváme √
,
Amplituda střídavého proudu je 28,3 A. 4.4-4.
Induktance cívky v obvodě se střídavým proudem o frekvenci . Při jaké frekvenci bude její indukce ?
Řešení: Výpis veličin:
Indukčnost cívky určíme ze vztahu po induktanci . Jestliže indukčnost cívky se nemění, porovnáním dostáváme po úpravě
.
Po dosazení číselných hodnot
167
má hodnotu
Induktance cívky bude 4.4-5.
při frekvenci
.
Vypočítejte kapacitu kondenzátoru, když víme, že v obvodu střídavého proudu o frekvenci byla jeho kapacitance stejně veliká jako induktance cívky s indukčností .
Řešení: Výpis veličin:
Pro kapacitanci
a induktanci
a
platí vztahy
.
Porovnáním dostáváme
a upravíme (
)
.
Po dosazení číselných hodnot. (
,
)
Kapacita kondenzátoru je 4.4-6.
Žárovku se jmenovitými hodnotami napětí a proudu a chceme připojit ke zdroji střídavého napětí o frekvenci pomocí tlumivky (cívky) zapojené se žárovkou do série. Určete indukčnost tlumivky (odpor zanedbejte).
Řešení: Výpis veličin:
Pro napětí v obvodu platí ž
kde
je napětí na tlumivce.
Induktance tlumivky
168
√ Odtud √ Po číselném dosazení √(
)
Indukčnost tlumivky je
(
)
,
.
4.4-7.
Elektrický motor při napětí a proudu odebral z elektrické sítě za dobu hodiny energii . Určete činný příkon ; účiník ; jalový výkon spotřebiče .
4.4-8.
Jaké musí být hodnoty elektrického odporu , kapacity a vlastní indukčnosti L v sériovém RLC obvodě, aby se obvod choval jako: a) elektrický odpor b) ideální kondenzátor o kapacitě c) bezodporová cívka s vlastní indukčností ?
)
)
)
169
ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE,
4.5
ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE Magnetický indukční tok Magnetický indukční tok
plochou
v magnetickém poli ⃗ je definován vztahem: ∮ ⃗
magnetický indukční tok
v němž se integruje přes uvažovanou plochu. Jednotka magnetického indukčního toku v jednotkách SI je weber, . Je-li pole B kolmé k uvažované ploše a je-li homogenní, zjednoduší se předešlý vztah na tvar: ⃗
⃗ je homogenní
Faradayův zákon elektromagnetické indukce Mění-li se v čase magnetický indukční tok plochou ohraničenou uzavřenou vodivou smyčkou, vytvoří se ve smyčce elektromotorické napětí (EMN) a proud. Tento děj se nazývá elektromagnetická indukce. Indukované elektromotorické napětí má hodnotu: Faradayův indukční zákon Nahradíme-li smyčku hustě navinutou cívkou o
závitech, pak indukované EMN je:
indukované EMN v cívce Kvantitativní vyjádření Faradayova zákona Uvažujme dva rovnoběžné vodiče připojené k voltmetru v homogenním magnetickém poli kolmo k indukčním čarám, jejichž vzájemná vzdálenost je . Po těchto vodičích se příčně rychlostí pohybuje další vodič a na volné nosiče náboje ve vodiči působí magnetická síla, která způsobuje pohyb elektronů ve vodiči. Elektrony se ve vodiči tedy pohybují, jako kdyby byly v elektrickém poli o intenzitě ⃗ Indukuje se tedy elektrické pole. Konfigurace popisovaného děje je na následujícím obrázku.
Obr. 4-5.0 Konfigurace pro kvalitativní vyjádření Faradayova zákona. Při pohybu vodiče působí na každý volný elektron ve vodiči síla: (
⃗)
Toto silové působení je ekvivalentní působení elektrického pole o intenzitě: 170
⃗ Intenzita
tohoto indukovaného elektrického pole je rovna potenciálovému spádu:
Z toho vyplývá, že: Následně mohou nastat dva obecné případy: a) Vodič se pohybuje stálou rychlostí: a indukované napětí je tedy: b) Vodič se pohybuje nerovnoměrnou rychlostí, tj.: a indukované napětí je tedy: Což je Faradayův zákon elektromagnetické indukce. Indukované elektromotorické napětí se tedy rovná (jak již bylo zmíněno výše) časové změně indukčního toku procházejícího plochou vymezenou obvodem. Indukovaný proud Uzavřeným vodičem, na kterém se indukovalo elektromotorické napětí, prochází indukovaný elektrický proud. Lenzův zákon (Lenzovo pravidlo) Indukovaný proud má takový směr, aby jeho magnetické pole brání změně magnetického pole, která tento proud vyvolává. Přímý vodič: Flemingovo pravidlo pravé ruky „Položíme ruku nad vodič tak, aby indukční čáry vstupovaly do dlaně a odchýlený palec ukazoval směr pohybu vodiče, pak prsty ukazují směr indukovaného proudu.“ Indukované elektrické pole Indukované EMN je vytvořeno v čase se měnícím magnetickým indukčním tokem, a to i když smyčka, uvnitř níž se tok mění, není skutečný vodič, ale jen myšlená uzavřená křivka. Měnící se indukční tok indukuje elektrické pole ⃗ v každém bodě takové křivky, a to bez ohledu na to, zda se tento bod sám nachází v magnetickém poli či nikoli (podstatné je, že se mění tok magnetického pole plochou, na jejímž obvodu bod leží). Indukované EMN se váže k ⃗ vztahem: ∮⃗
∮
; 171
,
kde se integruje podél myšlené uzavřené křivky. S užitím této rovnice můžeme Faradayův zákon psát v nejobecnějším tvaru: Faradayův zákon
∮⃗
Podstata tohoto zákona je, že měnícím se magnetickým indukčním tokem indukuje elektrické pole ⃗ .
⁄
se
Smyčka v homogenním magnetickém poli Indukční tok, který prochází plochou smyčky je roven: kde
je úhel mezi normálou k ploše smyčky a směrem vektoru magnetické indukce. Při otáčení smyčky se magnetický tok mění, a tedy dochází k indukci EMN dle rovnice: ( Pro konstantní
kde
)
(
)
platí:
je maximální hodnota indukovaného elektromotorického napětí – amplituda napětí a vztah můžeme psát ve tvaru:
Cívka a indukčnost Cívka (induktor) je zařízení, kterým můžeme vytvořit magnetické pole v jisté oblasti. Teče-li elektrický proud každým z N závitů cívky, sčítá se jejich magnetický tok . Indukčnost cívky pak je: definice indukčnosti Jednotkou indukčnosti v jednotkách SI je henry (H): Indukčnost připadající na jednotku délky dlouhého solenoidu, který má průřez jednotku délky l (to je v oblasti, kde se neuplatní rozptyl na koncích), je:
a
závitů na
solenoid Vlastní indukce (samoindukce) Mění-li se proud v cívce s indukčností , indukuje se v ní EMN. Toto indukované EMN je:
Směr najdeme pomocí Lenzova zákona: indukované elektromotorické napětí brání změně, která jej vyvolává. Sama velikost proudu nemá vliv na indukované EMN, závisí pouze na rychlosti změny proudu v cívce. Indukované EMN má opačnou polaritu vzhledem k EMN zdroje. 172
Vlastní indukčnost jednotlivých cívek závisí na jejich tvaru, rozměrech a magnetických vlastnostech prostředí. Vlastní indukčnost solenoidu Solenoid délky o přůřezu indukční tok
mající
závitů vytvoří při průchodu proudu vinutím ( )
kde
je počet závitů na jednotku délky solenoidu. Jelikož pro pole uvnitř solenoidu platí:
je indukčnost rovna: ( )
( )(
)
Sériový obvod RL Připojíme-li zdroj konstantního EMN do obvodu s rezistorem o odporu a cívkou o indukčnosti , pak proud roste (exponenciálně se blíží) do ustálené (stacionární) hodnoty ⁄ podle vztahu: ⁄
(
růst proudu
)
⁄ určuje rychlost růstu proudu a nazývá se časová konstanta kde -obvodu. Odpojíme-li zdroj konstantního EMN, klesá (exponenciálně) proud z hodnoty k nule podle vztahu: ⁄
pokles proudu
⁄
Jevy vlastní indukce se projevují při zapnutí a vypnutí proudu (sepnutí a přerušení obvodu). Při sepnutí spínače se nejprve vytváří magnetické pole v okolí vodiče a proud tedy nenabývá okamžitě své maximální hodnoty. K indukci EMN dochází vlivem vlastní indukce a okamžitá hodnota elektromotorického napětí v obvodu je:
Vzájemná indukčnost Jsou-li dvě cívky (označené 1 a 2) blízko sebe, pak proměnný proud v jedné z nich indukuje EMN ve druhé cívce. Tato vzájemná indukce je vyjádřena vztahy: (
kde
)
(
)
(měřená v henry) je vzájemná indukčnost daného uspořádání cívek ( a proto tedy můžeme rovnice zapsat výše uvedeným způsobem).
173
Energie magnetického pole Magnetická energie odpovídá práci nutné ke vzniku magnetického pole, která se při jeho zániku uvolní. Pokud uvažujeme jednoduchý obvod s cívkou o indukčnosti , tak v důsledku vlastní indukce se v obvodu indukuje EMN:
Celkové EMN v obvodu tedy je: Práce elektrického proudu za čas
:
(
)
kde první výraz na pravé straně rovnice je energie dodaná zdrojem a druhý je energie spotřebovaná na vytvoření mag. pole. Teče-li cívkou o indukčnosti
proud , má vzniklé magnetické pole celkovou energii: ∫
mag. energie cívky
pro Vztah neplatí pro cívky s feromagnetickým jádrem, neboť zde je indukčnost funkcí protékaného proudu ( ( )). Je-li B velikost magnetické indukce v libovolném bodě, je hustota energie magnetického pole v tomto bodě rovna: hustota energie mag. pole (vakuum) PŘÍKLADY: 4.5-1.
Magnetická indukce homogenního magnetického pole je magnetický indukční tok kruhovou plochou o poloměru svírá se směrem indukce úhel .
. Vypočítejte pro případ, že
Řešení: Výpis veličin:
Magnetický indukční tok je dán vztahem , kde α je úhel, který svírá normála plochy s vektorem magnetické indukce, proto . Po úpravě 174
, po dosazení číselných hodnot (
)
Magnetický indukční tok danou plochou je 4.5-2.
V homogenním magnetickém poli s intenzitou se kolmo na indukční čáry pohybuje vodič délky rychlostí . Vypočítejte, jaké napětí se indukuje na vodiči, víte-li, že .
Řešení: Výpis veličin:
Indukované napětí je dáno vztahem . Vztah mezi indukcí a intenzitou magnetického pole ve vakuu je Po úpravě , a po číselném dosazení
Na vodiči se indukuje napětí 4.5-3.
.
Kolik závitů musíme navinout na papírový válec o průměru cívka měla indukčnost (
Řešení: Výpis veličin:
Pro jeden závit platí vztah
175
a délce )
, aby
Pro N závitů je z toho . Do vztahu dosadíme: , potom je plošný obsah průřezu cívky.
,kde Úpravou získáme √
,
Dosazením číselných hodnot získáme √
Musíme navinout 955 závitů. 4.5-4.
Vypočítejte energii magnetického pole válcové cívky, jenž má 500 závitů, délku a poloměr . Cívkou protéká proud .( )
Řešení:
Energie magnetického pole je dána vztahem . Za
dosadíme vztah
a tím získáme výraz
. Dosazením číselných hodnot dostáváme ( m Energie magnetického pole cívky je
. 176
m)
( A)
J
4.5-5.
Vypočítejte magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti od velmi dlouhého vodiče, kterým protéká proud .
Obr. 4-5.1 Řešení: Výpis veličin:
Vyjdeme z definice pro magnetickou indukci ⃗
∫
d
Můžeme uvažovat nekonečně dlouhý vodič viz. obr. 4.5-1. V souladu s tímto obrázkem, můžeme psát ∫ , odtud
Potom hodnota magnetické indukce je ∫
∫
Po dosazení číselných hodnot dostáváme
Intenzita magnetického pole v místě A bude
177
d
sin
Indukce je a intenzita magnetického pole je na nákresnu v bodě A jejích orientace je ve směru za nákresnu. 4.5-6.
. Jsou kolmé
Nejnápadněji se jevy vlastní indukce projevují při spojení spínače nebo přerušení proudu. Vyjádřete matematicky nárůst proudu při zapojení elektromotorického napětí do sériového obvodu s cívkou o indukčnosti a činném odporu .
Řešení: Po zapojení napětí
do obvodu se v cívce vlivem vlastní indukce indukuje elektromotorické d d
,
celkové elektromotorické napětí v obvodu bude . Při odporu R prochází obvodem proud
Za předpokladu, že
,
můžeme diferenciál
(
vyjádřit ve tvaru
)
Proto můžeme psát (
)
.
Po integraci dostáváme (
)
,
je integrační konstanta. Její hodnotu určíme z počátečních podmínek – pro , tedy
kde je ln
ln
Platí tedy ln a odtud pro časový průběh proudu vyjádříme (
).
Po zapojení elektromotorického napětí do obvodu, má proud v obvodu časový průběh daný vztahem
4.5-7.
(
).
Přímý vodič délky , kterým protéká proud je umístěn v magnetickém poli s indukcí , kolmo na její směr. Jaká síla působí na vodič?
178
4.5-8
Vodič délky se pohybuje kolmo na směr homogenního magnetického pole s indukcí a kolmo na směr své délky rychlostí . Určete elektromotorické napětí, které se ve vodiči indukuje?
4.5-9.
Cívkou, která má 100 závitů s vlastní indukčností indukční tok procházející plochou jednoho závitu.
, protéká proud
. Určete
4.5-10. Jak veliká je energie magnetického pole cívky o 2500 závitech s průměrem délkou při průchodu proudu ?
179
a
