Stacionární elektrické pole Stacionární elektrické pole všechny veličiny pole jsou nezávislé (konstantní) na čase
Elektrický proud
I=
dQ [A ] dt
uspořádaný pohyb elektrických nábojů velikost kladného náboje prošlého průřezem vodiče za jednotku doby •
pohyb elektrických nábojů musí být vyvolán vnějšími silami
•
směr proudu – pohyb kladných nábojů
Stacionární elektrické pole Vektor proudové hustoty velikost proudu posuzujeme podle proudové hustoty
r r dI = j dS
ρ … prostorová
dI 1 ⎛ dQ ⎞ j= = ⎜ ⎟ dS d S ⎝ dt ⎠
dQ = ρ dV = ρ dS dl = ρ dS v d dt
hustota náboje ρ= n0 e
j=
r dS
I
dS
1 ⎛ ρdS v d dt ⎞ ⎜ ⎟ = ρ.vd d S ⎝ dt ⎠
−
r r j = ρvd dl = vd dt
r r r j = ρvd = n0e vd
vd… driftová rychlost
−
Stacionární elektrické pole Příklad: (driftová rychlost v měděném vodiči) prostorová hustota vodivostních elektronů
n0 = nV V ≈ 9 ⋅10 28 m −3
počet atomů (iontů) v 1 m3
nV =
mu =& 1,66 ⋅10 −27 kg ρ Cu = 8963 kg / m 3
ρCu ρ = Cu mCu M Cu u
M Cu = 63,54
driftová rychlost (Cu) jmax
I = max ≈ 10 A/mm 2 S
I
S tepelný pohyb volných elektronů
v ≈ 10 m/s 6
r j
V
I vd = max ≈ 0,7 mm/s Sn0 e
e
−
vd
l = vd t
Stacionární elektrické pole Zákon zachování náboje
r r dQ d I = ∫∫ j dS = − = − ∫∫∫ ρdV dt dt V S
r r j = f (r , t )
r dS
V
dS
r j
proud, který z uzavřené plochy vytéká, je roven úbytku náboje uvnitř této plochy za jednotku času
S r d j V = − ρ dV div d ∫∫∫ ∫∫∫ d t V V
Rovnice kontinuity
r dρ + div j = 0 dt
Stacionární elektrické pole I.Kirchhoffův zákon
r r j = f (r )
v případě stacionárního elektrického pole: dρ = 0 ⇒ div j = 0 r
dt
r r n ∫∫ j dS = ∑ I k = 0 S
k =1
uzel – místo, kde se setkávají dva nebo více různých vodičů
algebraický součet proudů, které do uzlu přitékají, je roven nule
S
I5 I4
I1
I3 I2
Stacionární elektrické pole Ohmův zákon volné elektrony ve vodiči jsou urychlovány působením síly elektrického pole r r r eE v =− t + vo m
r r dv r = F = −e E m dt střední rychlost elektronů
r 1r v = vmax 2
r r ⎛ 1 eE ⎞ ⎛ 1 ne 2t r j = ρv = − ne⎜⎜ − t ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ 2 m ⎠ ⎝2 m
r r j = γE
r ⎞r ⎟⎟ E = γ E ⎠
Ohmův zákon v diferenciálním tvaru
r 1 eE =− t 2 m
γ … měrná elektrická vodivost [Ω-1m -1]
Stacionární elektrické pole Ohmův zákon pro homogenní vodič 2
l l r r 2 j I U = ∫ E dr = ∫ E dr = ∫ dr = ∫ dr γ γS 1 1 0 0
S1, S2 jsou ekvipotenciální plochy a integraci provádíme po siločáře r E
S2
S1
l l
I = konst.
R=∫ 0
dr γS
[ Ω]
elektrický odpor
U = R⋅I
γ = konst.
S = konst.
R=
l l =ρ γ.S S
Ohmův zákon v integrálním tvaru
ρ=
1 γ
měrný odpor (rezistivita) ρ [Ωm]
U2 R= P
Stacionární elektrické pole Měrný odpor pro různé materiály
Stacionární elektrické pole Elektromotorické napětí pro zajištění ustáleného elektrického proudu je nutné, aby na koncích vodiče bylo přiloženo stálé napětí pohyb nositelů náboje v případě stacionárního proudu musí být zajištěno pomocí tzv. vtištěných (elektromotorických) sil vtištěné síly
r E
r* r* F = eE
S2
S1
l
Ohmův zákon
(
r r* r j =γE+E
)
integrujme podél proudové čáry mezi dvěma ekvipotenciálními plochami
2
2 r 2 r r 1r r * r j d r = E d r + E ∫1 γ ∫1 ∫1 dr
I R = U12 + ε12 elektromotorické napětí
Ohmův zákon pro nehomogenní vodič
Stacionární elektrické pole 2
II.Kirchhoffův zákon platí pro stacionární vedení proudu uzavřeným obvodem
ε2
R1
I1 R1 = ϕ1 − ϕ 2 + ε1
R2
ε1
I 2 R2 = ϕ 2 − ϕ3 + ε 2 I 3 R3 = ϕ3 − ϕ1 + ε 3
ε3
I1
I2 R3
I3
3
1 I
−
+ 2
1
ε12 > 0 n
n
∑ R I = ∑ε i =1
i i
i =1
i
I
+
−
1
2 ε12 < 0
V uzavřeném obvodu je součet součinů z odporů a proudů roven součtu elektromotorických napětí v jednotlivých větvích obvodu.
Stacionární elektrické pole Sériové spojení vodičů
A
I
n
n
i =1
i =1
n
U = ∑ U i = ∑ IRi
R1
R = ∑ Ri i =1
Rn
R2
B U1
L
U2
Un
U
Paralelní spojení vodičů n
n
i =1
i =1
I = ∑ Ii = ∑
B
1 U U =U∑ = Ri R i =1 Ri n
R1 n 1 1 =∑ R i =1 Ri
R2
I1
L
I2
A
Rn In
I
U
Stacionární elektrické pole Řešení složených elektrických ohmických obvodů uzly n
∑I i =1
i
=0
uzavřené obvody n
n
∑ R I = ∑ε i =1
i i
i =1
i
Kirchhoffovy zákony Postup řešení složených obvodů zvolíme libovolně směry proudů v jednotlivých částech složeného obvodu pro K uzlů složeného obvodu napíšeme (K - 1) nezávislých rovnic podle 1. Kirchhoffova zákona napíšeme soustavu rovnic podle 2. Kirchhoffova zákona pro vybrané uzavřené obvody směr obcházení uzavřených obvodů volíme libovolně při výběru obvodů postupujeme tak, aby každý nový obvod obsahoval alespoň jednu část sítě, která není částí již dříve uvažovaných obvodů vypočteme neznámé hodnoty proudu v jednotlivých částech obvodu
Stacionární elektrické pole I.Kirchhoffův zákon
I1 = I 2 + I G
I 4 = I3 + IG
I2
I1
Příklad: (řešení obvodů)
R1
R2
I = I1 + I 3
G
IG
I3
I4
II.Kirchhoffův zákon
I1R1 + I 2 R2 = U E
I 3 R3 + I 4 R4 = U E I1R1 + I G RG + I 4 R4 = U E
R3
+ −
UE
R4
I
I1R1 + ( I1 − I G ) R2 = U E v případě, že znaménko některého z vypočtených proudů vyjde záporné, znamená to, že skutečný směr proudu je právě opačný nežli jsme zvolili
( I 4 − I G ) R3 + I 4 R4 = U E I1R1 + I G RG + I 4 R4 = U E
IG
Stacionární elektrické pole Elektrický odpor – závislost na teplotě u kovů se vztah odporu na teplotě dá vyjádřit přibližně lineární závislostí u kovů měrný odpor roste s teplotou, zatímco u polovodičů klesá Materiál
α [K-1]
stříbro
4,1·10-3
měď
4,3·10-3
hliník
4,4·10-3
konstantan
0,03·10-3
křemík
-70·10-3
R =R0 (1 + α∆t )
Stacionární elektrické pole Elektrolyty -elektrolýza látky, které vedou proud pomocí makroskopického pohybu iontů elektrolyty mohou být kapalné, pevné i plynné látky kapalné roztoky (H2SO4, NaCl, CuSO4, NaOH,…) v roztocích dochází k disociaci (rozštěpení) molekul na ionty opačné polarity, které složí k vedení el.proudu
Stacionární elektrické pole pH faktor i chemicky čistá voda (H2O) je slabě disociována (na kladné ionty H+ a záporné ionty OH–) stupeň disociace molekul ∼ 1,7·10-9 koncentrace iontů H+ ∼ 10-7 kmol/m3
pH = − log [ H + ]
pH = 7 … neutrální látka pH < 7 … kyselá látka pH > 7 … zásaditá látka
Stacionární elektrické pole 1.Faradayův zákon elektrolýzy
množství látky vyloučené na elektrodě závisí přímo úměrně na množství prošlého náboje Q m = AQ = AIt
A … elektrochemický ekvivalent látky I … elektrický proud t … čas
2.Faradayův zákon elektrolýzy
k vyloučení 1 kilovalu jakékoliv látky je potřeba tzv. Faradayova náboje F0 7 F0 = 9,65222 ⋅10 C
A=
mi mi N A M m = = νe νeN A νF
A … elektrochemický ekvivalent látky F … Faradayova konstanta ν… mocenství látky mi … hmotnost iontu F = eN ⋅107 C/mol A = 9,65222 Mm … molární hmotnost látky
1 kval =
1 kmol mocenství
Stacionární elektrické pole Příklad: (elektrolytické pokovování) - určete přibližně, jaká vrstvička stříbra se vyloučí při elektrolytickém postříbření na elektrodě o ploše S , jestliže elektrolytem protéká proud I po dobu τ stříbro:
ρ = 10500 kg/m 3 S = 100 cm 2
Ar =& 107,9 I =5A
F = 9,6485 ⋅ 104 C/mol τ = 10 hod
Mm Ar ⋅ 10−3 m = AIt = It = It = 0,201 kg νF νF
d = m /( Sρ) =& 1,92 mm
Stacionární elektrické pole Rozsah ampérmetru a voltmetru
A
R1
I1
RA
I0
I
U = RA I 0 I = nI 0
U
I1 = (n − 1) I 0
bočník
R1 =
R U = A I1 n − 1
U UV
RV
V
U = U V + U 2 = nU V
U2
R2
U V = IRV
I U 2 = IR2 = (n − 1)UV
předřadný odpor
R2 = (n − 1) RV
Stacionární elektrické pole Jouleův zákon r r r r r rr r d A = F dr = d Q E d r = j dS E dr d t
práce A, kterou vykonají elektrické síly se při srážkách volných elektronů s částicemi kovové mřížky transformuje na teplo r E
dS
r r r r A = ∫ dt ⋅ ∫∫ j dS ⋅ ∫ E dr = UI t t
0
S
dl
K
výkon el.proudu
U2 P = I .U = I .R = R
dA P= dt
2
t
t
0
0
W = ∫ Pdt = ∫ UI dt
U = konst. I = konst.
WQ = U I t = R I 2t
energie dodaná elektrickým proudem za dobu t teplo WQ vyvinuté při průchodu elektrického proudu I vodičem s odporem R za dobu t
Stacionární elektrické pole Využití Jouleova tepla pro ohřev, tepelné zdroje světla
WQ = U I t = R I 2t
Stacionární elektrické pole Příklad: (výpočet Jouleova tepla) - určete, za jak dlouho se uvaří m = 1 kg vody o teplotě t0 = 20°C s pomocí spirálového vařiče, jehož spirála má odpor R = 20 Ω, vařič má tepelnou účinnost η = 35 % a je připojen na napětí U = 220 V. Q mc∆t η= = Pτ τU 2 / R
τ=
Q mc∆tR = ≈ 6 min 36 s Pτ ηU 2
Stacionární elektrické pole Příklad: (žárovka – odpor vlákna) - určete, jak je velký nárazový proud I0 v okamžiku rozsvícení 60 W žárovky
(při teplotě t0 = 20°C), je-li teplotní součinitel odporu wolframového vlákna α=0,0045 K-1, žárovka je zapojena na síť 220 V a teplota rozžhaveného vlákna je t1 = 2500°C
I1 =
P = 0,27 A U
R1 = R0 [1 + α(t1 − t0 )]
nárazový proud
I0 =
U = 3,3 A R0
U U2 = 806,7 Ω R1 = = I1 P
R0 =
R1 = 66,3 Ω [1 + α(t1 − t0 )]
Stacionární elektrické pole Termoelektrické jevy v určitých zvláštních případech lze uskutečnit přeměnu tepla na elektrický proud (termoelektrické jevy) využívá teplotní závislosti kontaktního napětí mezi dvěma různými kovy (popř. kovu a polovodiče), které mají různou teplotu Seebeckův jev při nerovnoměrné teplotě na kontaktní ploše vzniká termoelektrické napětí (používá se např. při měření teploty) Peltierův jev inverzní jev k jevu Seebeckovu, kontakt se zahřívá resp. ochlazuje při průchodu elektrického proudu Thomsonův jev vznik termoelektrického napětí v objemu vodiče nebo polovodiče s teplotním spádem (mezi dvěma místy s různou teplotou)
Stacionární elektrické pole Proudy volné
r r j = γE
elektrický proud
Proudy kondukční - náboje se přemisťují v látkovém prostředí pod vlivem elektrického pole Proudy konvekční - náboje se přemisťují ve vakuu jako proud nabitých částic nebo jsou vázány na makroskopická tělesa
náboje vykonávají makroskopický pohyb v prostoru
Proudy vázané
náboje vykonávají mikroskopický, prostorově omezený pohyb (např.polarizační proud v dielektriku)
Proud posuvný není zprostředkován pohybem nábojů, ale proměnným elektromagnetickým polem posuvný proud Ip =
dQ d ⎛ r r ⎞ = ⎜⎜ ∫∫ D dS ⎟⎟ dt dt ⎝ S ⎠
Celkový proud
r r r r r ∂D ∂E ∂P r jp = = εo + = jM + j pol ∂t ∂t ∂t r r r r jc = j + jM + j pol
Stacionární elektrické pole R-C obvod
vybíjení kondenzátoru
nabíjení kondenzátoru
Stacionární elektrické pole Vybíjení kondenzátoru U R +UC = 0
R
dQ Q + =0 dt C
Q = Q0 e − t / RC
I=
dQ ⎛Q ⎞ = −⎜ 0 ⎟ e −t / RC dt ⎝ RC ⎠
I=
dQ dt
Stacionární elektrické pole Nabíjení kondenzátoru U R +UC = ε RI +
R
I=
dQ dt
Q =ε C
dQ Q + =ε dt C
(
Q = Cε 1 − e − t / RC I=
)
dQ ε −t / RC = e dt R
(
U C = ε 1 − e − t / RC
)
