Stacionární magnetické pole Magnetické pole magnetické pole je jedna z forem projevu elektromagnetického pole magnetické pole působí pouze na pohybující se nabité částice a tělesa, na vodiče protékané proudem a na částice a tělesa s nenulovým magnetickým momentem zdrojem magnetického pole jsou pohybující se nabité částice a tělesa, vodiče jimiž protéká proud, částice a tělesa s magnetickým momentem a časově proměnné elektrické pole
Stacionární magnetické pole Magnetická indukce B magnetická indukce B popisuje silové působení magnetického pole na náboj Q pohybující se rychlostí v
(
r r r F =Q v×B
(
)
Lorentzova síla
)
rr r r r P = Fv =Q v×B v =0
magnetická síla nekoná práci, pouze zakřivuje dráhu částice
Magnetické indukční linie
čáry, jejichž tečna v daném bodě prostoru má směr vektoru magnetické indukce B indukční linie tvoří uzavřené čáry
Stacionární magnetické pole síla, kterou magnetické pole o indukci B působí na proudový element vodiče I=
dQ dt
r r dl v= dt
Ampérův zákon síly
r r r ⎛ dl r ⎞ r dF = dQ v × B = I dt ⎜⎜ × B ⎟⎟ ⎝ dt ⎠
(
(
)
r r r dF = I dl × B
(
)
r r r F = ∫ I dl × B L
umožňuje určit sílu, kterou na vodič protékaný proudem I působí magnetické pole o indukci B
I
r v
dQ
r dl
)
Stacionární magnetické pole r r r r µ o I (dl × rr ) µ o I (dl × rro ) = dB ( r ) = 4π r3 4π r2
Biot-Savartův zákon umožňuje určit magnetickou indukci B od liniového vodiče konečné délky
µ0…permeabilita vakua µo =
(
I
r dl A
r r0
1 = 4π ⋅10 −7 H m −1 2 ε 0c
r r r
r dB
r r r r µ o I (dl × rr ) µ o I dl × rro B(r ) = = r3 r2 4π ∫L 4π ∫L
)
princip superpozice r r B = ∑ Bi
Stacionární magnetické pole Biot-Savartův zákon pro objemový element vodiče lze psát
dV ( x′, y′, z ′) r r0 r j ( x′, y′, z ′) V
r r
r r I dl = j dV
A( x, y, z )
r r r r µ o ( j × rr ) µ o ( j × rro ) = B(r ) = 3 ∫ 4π L r 4π ∫L r 2
Stacionární magnetické pole Magnetické indukční čáry
magnetické indukční linie jsou uzavřené křivky
Stacionární magnetické pole Příklad: (magnetické pole tenkého přímého vodiče)
r=
x sin ϕ
y=−
x tg ϕ
dy =
x dϕ sin 2 ϕ
dlouhý přímý vodič
ϕ1 = 0 ϕ 2 = π x = d
µ I B= B = 0 4π
∫
dl × r r3
µ I = 0 4π
ϕ
B=
µ0 I 2πd
µ0 I sin ϕ dy µ 0 I 2 = sin ϕ d ϕ = (cos ϕ1 − cos ϕ 2 ). ∫y r 2 ∫ϕ x x 4 π 4 π 1 1
y2
Stacionární magnetické pole Příklad: (magnetické pole kruhové smyčky) dB =
µ 0 I dl × r µ 0 I dl µ 0 I dl = = 4π r 3 4π r 2 4π ( R 2 + x 2 )
dBx = dB cos θ
B = B x = ∑ dB x
dB y = dB sin θ
B y = ∑ dB y = 0
cos θ =
R R2 + x2
µ I B = ∫ dB x = 0 4π
2 πR
∫ 0
R dl µ0 I 2πR 2 µ0 I R2 µ0 I = = = cos 3 θ 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 (R + x ) 4π ( R + x ) 2 (R + x ) 2R
Stacionární magnetické pole Příklad: (magnetické pole solenoidu)
L
x=
R tg ϕ
R dx = − 2 dϕ sin ϕ dI =
r
R
α2
α1
ϕ
A x
NI dx L
dx
µ 0 sin 3 ϕ dB = dI 2 R α
µ 0 2 sin 3 ϕ IN µ 0 IN 2 IN d = − sin ϕ d ϕ = µ (cos α 2 − cos α1 ) B= x 0 2 ∫x1 R L 2 L α∫1 2L x
Stacionární magnetické pole Příklad: (magnetické pole solenoidu) dlouhá cívka L >> R
B =& µ 0
IN L
Stacionární magnetické pole Příklad: (magnetické pole Země) je buzeno el.proudy tekoucími uvnitř Země, v atmosféře a feromagnetickými horninami v zemské kůře magnetická indukce ∼ 30-50 µT působí velmi přibližně jako magnetický dipól
Stacionární magnetické pole elektromagnet 1 B2 F = 2 wS = 2 BHS = S µ0 2
∫ H dl = ∫
B B dl = ∫ dl = NI µ µ
dl dΦ ⋅ ∫ = dΦ ⋅ Rm = NI µdS
Φ = NI / Rm
Rm =
B=
dΦ dS
S
Hopkinsonův zákon
l µ 0µ r S
nosivost elektromagnetu
Φ2 N 2 I 2 µ 0µ 2r N 2 I 2 S = = F= 2 µ 0 S µ 0 SRm l2
jádro
magnetický odpor
d
F′ F′
r
e
kotva F = 2F ′
F′ F′
Stacionární magnetické pole Magnetický indukční tok
r r dΦ = B dS
r r Φ = ∫∫ B dS S
magnetické indukční linie jsou uzavřené křivky, proto je tok uzavřenou plochou nulový nezřídlové pole
r r ∫∫ B dS = 0
r div B = 0
S
4.Maxwellova rovnice
Stacionární magnetické pole r r B dl = B dl cos θ = Br dθ
pole dlouhého vodiče B=
r r µo I B d l = ∫C ∫C 2π dθ = µo I
r r B ∫ dl = µ o I
C
Cirkulace vektoru magnetické indukce podél libovolné uzavřené křivky C obepínající vodič jímž protéká proud I
µo I 2πr
Stacionární magnetické pole r r µ o I θ0 ∫C B dl = 2π θ∫ dθ = 0 0
Cirkulace vektoru magnetické indukce podél libovolné uzavřené křivky C, závisí na tom, zda křivka obepíná vodič jímž protéká proud
magnetické pole nelze jednoznačně charakterizovat potenciálem jako pole elektrické
zákon celkového proudu (Ampérův zákon)
r r ∫ B dl = µ o ∑ I k
Ck
Stacionární magnetické pole prochází-li křivkou C prostorový proud r r r r ∫ Bdl = µo ∫∫ jcelk dS
C
S
r r r r rot B d S = µ j d S o ∫∫ celk ∫∫ S
magnetické pole je vírové
S
r r rot B = µ o jcelk
r n dS
C
r jcelk
r B r dl
Stacionární magnetické pole Vliv prostředí na magnetické pole při vložení tělesa do magnetického pole se obecně mění velikost a směr pole – nastává tzv. magnetizace (magnet.pole odlišné od vakua) příčinou tohoto jevu jsou magnetická pole atomů látky (pohybujících se elektronů) jestliže nepůsobí vnější pole – tato elementární pole se ve většině případů vzájemně v látce ruší (látka je navenek nemagnetická) vnější magnetické pole bude ovlivňovat vnitřní magnetická pole jednotlivých atomů
Magnetický dipól elementární proudová smyčka, která budí ve svém okolí jako magnet se dvěma póly
pro modelování elementárních proudů v atomech
Stacionární magnetické pole Magnetický dipól v homogenním magnetickém poli r r S = S n vnější magnetické pole působí na proudovou smyčku silami
(
r r r dF2 = I dl × B2
)
r B2
r dF2 = IB2dl
R
kolmá složka indukce B2 způsobí pouze napínání smyčky
r -dF2
r B2
r B
α
r B1 I
r dF2
Stacionární magnetické pole Magnetický dipól v homogenním magnetickém poli
(
r r r dF1 = I dl × B1
r -dF1
)
r B
r B1
r r m = IS
α
r dF1 = I B1dl sin ϕ= I B1 R sin ϕ dϕ
dM mech = dF1 R sin ϕ = IB1 R 2 sin 2 ϕ dϕ
r dF1
rovnoběžná složka indukce B1 způsobí otáčení smyčky
B1 = B sin α
I
r dl
π
M mech = 2∫ dM mech = IB1S = IBS sin α 0
r r m = I .S
r r r r r M mech = IS × B = m × B
magnetický dipólový moment
R
ϕ
r B1
Magnetické pole Magnetizace látky vložíme-li atom do vnějšího magnetického pole, na jednotlivé proudové elementy bude působit mechanický moment a bude se snažit uspořádat dráhy elektronů tak, aby se směr a smysl magnetického pole elementárních proudů ztotožňoval s polem vnějším
vektor magnetizace
r r dm [A/m] M= dV
makroskopická objemová hustota dipólového momentu
popisuje stav zmagnetovaného prostředí závisí na velikosti magnetické indukce B
Ie Elementární proudy Ie se vzájemně ruší uvnitř látky, na povrchu zůstává nevykompenzovaný (plošný) magnetizační proud Im
Im
Magnetické pole do magnetického pole o velikosti magnetické indukce B, které je vytvářeno proudovou smyčkou, je vložen váleček z látky r r B ∫ dl = µo (I + I m )
zákon celkového proudu
L
r r r dm dI m d S n d I m r n M= = = dV dS dh dh
r r r dm = dI m dS = dI m dS n r r dI m nr r M dl = dl = d I m dh r r⎞ r ⎛B ⎜ ∫C ⎜⎝ µo − M ⎟⎟⎠ dl = I
r r I m = ∫ M dl
dI m
C
r r H ∫ dl = I
r n r dl
dh
C
I vektor intenzity magnetického pole
r 1 r r H = .B − M µo
[A/m]
C
Magnetické pole Ampérův zákon
r r ∫ H dl = I
C
umožňuje vypočítat intenzitu magnetického pole H v látce r ⎛ r ∂D ⎞ r ⎟ dS I = ∫∫ ⎜⎜ j + ∂t ⎟⎠ S ⎝
proud kondukční, konvekční a posuvný
r r r ⎛ r ∂D ⎞ r ∫C H dl = ∫∫S ⎜⎜⎝ j + ∂t ⎟⎟⎠ dS
r r r ∂D rot H = j + ∂t
1.Maxwellova rovnice
Magnetické pole Příklad: (magnetické pole dlouhého přímého vodiče) r>R
r r ∫ H dl =H ∫ dl =2πrH = I
H=
I 2πr
r2 I′ = 2 I R
H=
I r 2πR 2
L
r
L
H H=
I r 2πR 2 H=
I 2πr
r
Stacionární magnetické pole Příklad: (magnetické pole uvnitř toroidu) r r H ∫ dl =H ∫ dl =2πrH = NI L
L
H=
NI 2πr
Magnetické pole Magnetické látky pro malé hodnoty magnetické indukce B lze závisí vektor magnetizace B r r lineárně na magnetické intenzitě M = χm H
magnetická indukce
(
r r B = µH
)
r r r r r r B = µ o H + M = µ o (1 + χ m ) H = µ oµ r H = µH relativní permeabilita
χm … magnetická susceptibilita
µ = µ o (1 + χ m ) = µ oµ r
charakterizuje magnetické vlastnosti látek
χm < 0, µr< 1 – diamagnetické látky
(mírně zeslabují magnetické pole)
χm > 0, µr > 1 – paramagnetické látky
(mírně zesilují magnetické pole)
χm >> 1, µr >> 1 – feromagnetické látky
(výrazně zesilují magnetické pole)
Magnetické pole Relativní permeabilita prostředí
Material
Permeabilita µr
feromagnetické látky
Max.relativní permeabilita µr
železo
10,000
200,000
permalloy
8,000
100,000
100,000
1,000,000
kobalt
70
250
nikl
110
600
ocel
50
100
superpermalloy
Magnetické pole Magnetický moment elektronu každý elektron v atomu má vzhledem ke své rotaci a obíhání tzv. spinový a orbitální magnetický moment výsledný magnetický moment atomu je dán součtem orbitálních a spinových momentů elektronů jádro
elektrony
Magnetické pole diamagnetické látky jsou složena z atomů a molekul v nichž je výsledný orbitální a spinový moment nulový magnetické pole na ně tedy silově nepůsobí
paramagnetické látky nemají vykompenzovány vnitřní magnetické momenty, mají magnetický moment i v případě, že nejsou ve vnějším magnetickém poli magnetické pole na ně tedy silově působí
Magnetické pole feromagnetické látky nemají vykompenzovány spinové momenty ve vhodně uspořádané krystalické mřížce (např. železo, kobalt, nikl,…) feromagnetikum je složeno z takzvaných domén (10-5 - 104m) , v nichž mají spinové magnetické momenty souhlasnou orientaci působením vnějšího magnetického pole dochází ke stáčení magnetických momentů domén do směru vnějšího pole po vyjmutí feromagnetika z vnějšího pole se chová stejně jako permanentní magnet (vykazuje hysterezi)
Magnetické pole feromagnetické látky po vyjmutí feromagnetika z vnějšího pole se chová stejně jako permanentní magnet (vykazuje hysterezi) hystereze
bez vnějšího magnetické pole
vnější magnetické pole
