Building and Environment, svazek 12, 117-125. Pergamon Press 1977. Vytisknuto ve Velké Británii
Pohyb vody v porézních stavebních materiálech I. Teorie toku v nenasyceném prostředí a její aplikace CHRISTOPHER HALL* V článku jsou probrány obecné aspekty pohybu vody ve stavebních materiálech. Jsou zde popsána termodynamická kritéria rovnováhy mezi vodou v pórech a rezervoárem. Dále jsou diskutovány rovnice toku v nanasycených porézních materiálech a některých roztocích. Úvaha klade důraz na aplikovatelnost některých koncepcí fyziky půdy v nauce o stavebnictví. Zzahrnuty jsou také počítačové výsledky ustáleného toku porézní stěnou a do polonekonečné desky.
ÚVOD JELIKOŽ mnoho konstrukčních materiálů je porézních, příjem a uvolňování vody a její transport je u stavebních technologií zdrojem řady technických problémů. Vzlínající vlhkost, vysychání stavební konstrukce, intersticiální kondenzace, vyluhování betonu a malty, smršťování dřeva a vnikání deště do zdiva jsou zjevné příklady takového procesu u nejběžnějších materiálů. Ve všech těchto případech jsme konfrontování s jediným základním procesem, pohybem vody propustným materiálem, jehož obsah vody není stejnoměrný a je obvykle nižší než při stavu nasycení. Zabýváme se zkrátka problémy toku v nenasyceném prostředí v ´porézních materiálech. Všechna tato témata byla rozsáhle studována a o některých z nich toho víme empiricky a popisně mnoho. Nicméně použití obecných metod pro kvantitativní analýzu toku vody v nenasycených stavebních materiálech je téměř zcela neprozkoumané. Pro ilustraci si vezměme jednoduchý příklad. Cihla se vysuší na konstatní hmotnost v horkovzdušné peci při 105 ºC a pak se vloží do mělké nádoby s čistou vodou. Můžeme popsat děj od okamžiku kontatku cihly s vodou následovně. Voda je absorbována porézním pevným materiálem působením kapilárních sil a distribuuje se v cihle. Vzduch vyplňující póry cihly je částečně vytlačován pohlcovanou vodou. Na těch površích, které nejsou ponořené, dochází k evaporaci. Nakonec se nastolí rovnováha mezi ztrátami evaporací a absorpcí a jak tok, tak distribuce vody v cihle se ustálí. Evaporace nese s sebou ochlazování hraničních povrchů a následkem toho dochází v cihle k tepelnému toku. Vznik teplotního gradientu naopak zase ovlivňuje tok vody. Rozpustné soli v materiálu se progresivně rozpouští a s pokračující evaporací přemisťují k povrchu. Jakkoli může být tento popis pro některé účely uspokojivý (a je možné jej samozřejmě výrazně rozvést),
*Department of Building, University of Manchester (Stavební fakulta, Univerzita v Manchesteru) Institute of Science and Technology (Vědecký a technologický institut), Manchester M60 1QD, Spojené království
chybí kvantitativní teorie, která by měla poskytnout prostředek pro výpočet (minimálně) obsahu vody a toku vody v každém bodě a v každém okamžiku z hlediska některých charakteristických vlastností cihly. Tok v nenasyceném prostředí není ovšem charakteristický jen pro stavební technologii a setkáváme se s ním i v jiných vědních oborech. Vysychání mokrých materiálů je základním procesem chemického inženýrství a energetická analýza a analýza rychlosti vysychání je na dobré úrovni [1, 2]. Chemický inženýr se setkává se situacemi, kdy je dominantním proces evaporace, silně podporovaný nucenou konvekcí nebo vytápěním. Spojení toků tepla a vody má zásadní důležitost v takových případech, kdy se vyskytují vysoké teplotní gradienty. Podobnější k procesu toku vody ve stavebních materiálech jsou toky v nenasycených půdách. Zde se věnovala relativně malá pozornost povrchové evaporaci a tepelným jevům. Cílem hydrologa je spočítat rychlost a směr pohybu vody v půdě, kde se obvykle předpokládá konstantní a stejnoměrná teplota. V posledních letech půdní fyzikové udělali značný pokrok v analýze takovýchto toků vody [3]. Tento předkládaný materiál je prvním ze zamýšlené řady popisující aplikaci teorie toku v nenasyceném prostředí u stavebních materiálů. Prostý popis cihly v nádobě kontrastuje s komplexností probíhajících fyzikálních procesů. Isotermický tok v nenasyceném prostředí jako odpověď na gradient obsahu vlhkosti v materiálu může být snad považován za ústřední jev, ale jemu nadřízené je působení teplotního gradientu a gradientu koncentrace rozpustných solí v celém vzorku. Nicméně uvažujeme v tomto článku jako výchozí bod popis toku v nenasyceném materiálu v izotermických systémech, kde se rozpustné soli nevyskytují. Kromě toho je přístup makroskopický, tj. vytvořená teorie zkoumá pouze průměrné toky rovinami, jejichž rozměry jsou mnohem větší, než rozměry pórů. Porézní materiály a voda v nich jsou charakterizovány makroskopickými parametry, jako je hydraulická konduktivita K a celkový (hydraulický) potenciál, který se musí zjistit experimentálně [4, 3]. Komplementární mikroskopický přístup se pokouší zjistit
118
C. Hall
vztah mezi permeabilitou spolu s přidruženými vlastnostmi a rozložením velikosti pórů s jejich strukturou. Toto bylo úspěšně provedeno analýzou některých problémů, zvláště toku kapalin v nasycených porézních pevných látkách [5, 6], hystereze obsahu vody a rozhodně mikrodynamiky tekutin v porézních pevných látkách obecně. Konečným cílem takové práce je dospět k mikroskopickému pochopení veličin K a Φ [6]. Ovšem mikrostruktura technických stavebních materiálů je složitá a nelze ji dosud matematicky adekvátně popsat. V současné době procesy toků ve stavebních materiálech více vyhovují makroskopické analýze. STAV VODY V PORÉZNÍM MATERIÁLU Částečně vodou nasycený porézní materiál vystavený vzduchu zřetelně tvoří systém složený z několika fází a složek. Ovšem za předpokladu, že omezíme úvahu na systémy, ve kterých je porézní materiál zcela inertní (bez transferu hmoty rozhraním pevný materiál/kapalina), za předpokladu, že se nezabýváme specifickými vlivy na tomto rozhraní a za předpokladu, že rozpustnost atmosférických plynů ve vodě je rovněž zanedbatelná, získáme značné zjednodušení. Úloha pevného materiálu se může zredukovat na poskytnutí pevného souřadnicového systému a částečně zúžit hraniční povrchy vodních fází na konkrétní tvar (pórů). Systém se pak stává systémem s jedinou složkou, vodou, ve které může být přítomna kapalná, plynná a pevná fáze. Obsah vody v tuhém porézním materiálu je nejlépe definován poměrem hmotností, tudíž specifický obsah vody (1)
u = m/md
kde, m je hmotnost vody a md hmotnost suchého materiálu. V praxi se m zjišťuje gravimetricky jako rozdíl (mw-md) celkové váhy vzorku v mokrém a suchém stavu [7]. Nominální suchý stav, stejně jako nominální stav nasycení by se měl v praxi pečlivě definovat. Poslední je definový jako maximální hodnota celkové váhy, které lze dosáhnout zvláštním postupem (např. dlouhou sorpcí vody zbavené vzduchu vzorkem). Spojitý prázdný prostor je pak do značné míry nebo zcela zaplněný. Skutečného bezvodého stavu lze obvykle dosáhnout obtížně nebo často vůbec. V nominálním suchém stavu zůstává množství zbytkové vody téměř konstantní (jako např. ve stavu vysušení na vzduchu často používaného při práci s půdami). Je důležité si uvědomit, že následkem toho odvozená poréznost objemové frakce f = ρ1 - ρ2
µ(TΦ, PΦ, z) = µΦ(TΦ, PΦ, z = 0) + Mgz
je také nominální (ρ1, ρ2 značí objemové hustory v nasyceném a suchém stavu, ρe hustotu čisté vody). Často je vhodné definovat bezrozměrný nebo redukovaný obsah vody 0≤θ≤1
(3)
kde ua a ub je minimální a maximální obsah vody dosažené v příslušném procesu.
(4)
kde, M je molární hmotnost (0,018 02 kg/mol H20). Voda absorbovaná v porézním pevném materiálu má nižší chemický potenciál, než v objemové fázi. Chemický potenciál absorbované vody, který označujeme µ', závisí také na θ. µ' = µ(T, P, z, θ)
(5)
Gravitační složka je závislá jednoduše na z, tudíž µ' = µ'(T, P, θ) + Mgz.
(6)
Volnou energii absorbované vody lze zjistit experimentálně změřením tlaku par. Molární Gibbsovu funkci pro vodní páru v plynné fázi lze zapsat jako
(2)
ρφ
θ = (u-ua)/(ub-ua)
Existuje řada metod měření obsahu vody v porézních pevných materiálech a zde nebudou probírány. Užitečný přehled uvádí Wormald a Britch [8]. Neexistuje ovšem zcela uspokojivá metoda měření obsahu vody in situ v „konkrétním bodě“ s rychlou odpovědí. Voda je spontáně absorbována porézním pevným materiálem, protože tak snižuje svou potenciální energii. Hovorově pak mluvíme o tom, že cihla saje a velikost sání lze monitorovat pomocí jednoduchého tenzometru. Obdobně se voda uvnitř nenasyceného porézního pevného materiálu přesmisťuje spontánně, aby došlo k její rovnoměrné distribuci s nejnižší potenciální energií. Pokud má porézní pevný materiál stejnoměrné složení (při absenci vnějších sil), pak to znamená odstranění gradientu obsahu vody. Pokud je materiál kompozitní (nestejnoměrné složení), pak rovnovážné rozložení vody nemusí být všude stejné. Je důležité definovat tyto myšlenky s přiměřenou termodynamickou přísností, protože parametr θ, celkový hydraulický potenciál, hraje ústřední roli v teorii toku v nenasyceném prostředí. Termodynamická kritéria rovnováhy fází jsou vyjádřena Gibbsovou funkcí G. (Pro čistou fázi jsou molární Gibbsova funkce Gm a chemický potenciál µ totožné). Proto bereme jako referenční stav kapalnou vodu při teplotě TΦ a celkový tlak PΦ při chemickém potenciálu µΦ. Abychom zohlednili gravitační působení, definujeme také nulový gravitační potenciál v horizontální rovině z = 0, kladná hodnota z směrem nahoru. Tak
µ g (T , P ) = µ θg + RT ln
P + Bp Pφ
(7)
kde B je druhý virielní koeficient µ θg (T ) standardní molární Gibbsovy funkce a PΦ je standardní tlak. (Vliv členu Bp je velmi malý, pokud hodnota p není velká. V dalších rovnicích bude zanedbána, ale lze ji snadno přidat). Pokud fáze objemové kapaliny a vody jsou v rovnováze, µ = µg
(8)
p = ps
(9)
a
119
Tok v nenasyceném prostředí ve stavebních materiálech -- I
kde ps značí tlak nasycených par při T a P (ps je téměř nezávislý na P). Tak
µ = µ θg + RT ln
ps pφ
(10)
Pokud tlak par ve fázi par v kontaktu s absorbovanou vodou je p, pak
µ ′ = µ θg + RT ln
p pφ
(11)
Tudíž rozdíl
∆µ (θ ) = µ ′ − µ = RT ln
p ps
(12)
představuje molární změnu v Gibbsově funkci, která doprovází transfer vody z objemové kapaliny do sorbentu při konstatní teplotě, celkovém tlaku, gravitačním potenciálu a obsahu vlhkosti. ∆µ je tudíž diferenciální molární Gibbsova funkce sorpce.
Obr. 1. Rovnováha mezi absorbovanou vodou a fází objemové vody. Všechny systémy jsou uzavřené a izotermické. Symboly jsou definované v textu. (a) porézní pevná látka a rezervoár ve stejné úrovni a při stejném tlaku. (b) změna hydrostatického tlaku vody v pórech. (c) a (d) změna výšky rezervoáru (viz text). Za předpokladu, že voda v pórech neobsahuje žádné rozpuštěné látky, je veličina -∆µ /Mg rovna veličině Φ, celkovému potenciálu často používanému při popisu vody v půdě. Negravitační složka Φ se obvykle separuje: -∆µ/Mg = Φ = Ψ + z
(13)
Ψ má celou řadu označení včetně kapilárního potenciálu, potenciálu matrice a nasávání vlhkosti [9]. Sorpční izoterma definující vztah mezi p a θ při konstantní teplotě tak hraje ústřední roli při zkoumání stavu absorbované vody. Z (12) plyne, že sorbent v kontaktu buď přímo s kapalnou vodou nebo prostřednictvím plynné fáze při konstantní T, P a gravitačním potenciálu může dosáhnout termodynamické rovnováhy (∆µ = 0) jen tehdy, když p = ps, stav
(obr. 1a) obvykle spojovaný s kompletním nasycením (θ = 1). Ovšem vliv hystereze má při analýze toku v nenasyceném prostředí velký význam. Pokud se zpočátku suchý vzorek porézního materiálu umístí do atmosféry s obsahem vodní páry (parciální tlak p), dojde k sorpci vody (adsorpce, kapilární kondenzace a interní tok). Vzorek nakonec dosáhne ustálené hmotnosti (obsah vody θ1). Pokud se původně mokrý vzorek ze stejného materiálu vystaví stabilním podmínkám, opět dojde k evaporaci a vnitřnímu toku a nakonec se dosáhne ustálené hmotnosti (obsah vody θ 2 > θ 1). θ 1 a θ 2 nazávisí jen na směru změny obsahu vody, ale také na počátečních hodnotách obsahu vody. Údaje tohoto druhu p(θ) definují soubor charakteristických hysterezních křivek sorpce pro každý materiál. Taková hystereze vzniká v důsledku několika různých vlivů. Zaprvé proces nastolování rovnováhy ve skutečnosti zahrnuje redistribuci jak vody, tak složek vzduchu. Uvíznutí vzduchu ve slepých pórech a otevřených pórech, které jsou uzavřeny vodou na obou stranách, stlačuje celkovou rovnováhu obsahu vody, které lze dosáhnout. Tento předpoklad byl učiněn v souvislosti s termodynamickým kritériem rovnováhy, že na vodu v pórech lze nahlížet jako na jednu složku systému. Toto je nejdůležitější předpoklad v několika ohledech, ale je důležité si uvědomit, že tok v nenasyceném prostředí je ve skutečnosti proces přemisťování dvou fází/dvou složek. Dále vzduchová složka (plynná fáze je složena výlučně z kyslíku, dusíku, oxidu uhličitého a vodní páry) je rozpustná ve vodě. Redistribuce uzavřeného vzduchu uvnitř mokrého porézního materiálu může nastat (i když pomalu) v důsledku rozpouštění, pokud vodní fáze není nasycená vzduchem. Další příčina hystereze je podstatnější. Mikroskopicky je velikost p dána v každém místě porézního pevného materiálu středním poloměrem zakřivení povrchů lokální vody. Mezi jakýmikoli sousedícími menisky, které mají různý tlak par, dochází k destilaci, dokud se nenastolí rovnováha. V každém póru nebo malé skupině pórů může existovat několik konfigurací vody v pórech s jakýmkoli středním poloměrem zakřivení. p neurčuje pouze konfiguraci vody v pórech. Toto způsobuje vznik mikroskopických ireversibilit v kapilární kondenzaci a evaporaci. Podobná hystere se objevuje při toku směrem dovnitř a ven (vlhnutí a vysušování) kapalné vody do nenasyceného porézního pevného materiálu. Důležitost vlivu hystereze zdůraznil v nedávné zprávě Bomberg [10]. Sorpční rovnováhy lze rychle dosáhnout při hodnotách θ < 1, pokud absorbovaná voda má vyšší hydrostatický nebo gravitační potenciál než objemová kapalina. Tak nárůst hydrostatického tlaku v přijímané vodě z PΦ na P zvýší tlak par (při konstantním θ ) z p na p' podle rovnice
[
p′ / p = exp Vmθ ( P − P Φ ) / RT kde
Vmθ
]
(14)
je molární objem kapalné vody při TΦ a PΦ při
zanedbání stlačitelnosti. Následkem toho voda destiluje z porézního pevného materiálu do objemové fáze. Obsah vody θ fklesá na takovou novou rovnovážnou hodnotu θ ', aby p(θ = θ ') = ps.
(15)
120
C. Hall
Konečný stav takového systému ukazuje obrázek 1(b); vztah mezi θ ', P and p´ je dán sorpční izotermou (obr. 2). Závislost tlaku par kapalné vody na hydrostatickém tlaku znázorňuje tabulka 1. Podobně může nastat rovnováha při θ < 1, pokud absorbovaná fáze má vyšší hladinu než objemová fáze. Obrázek 1(c) ukazuje takové uspořádání. Tlak vodních par v důsledku volného povrchu při z = 0 klesá s výškou podle rovnice: p(z)/ps = exp (- Mgz/RT).
(16)
Pokud se přidá nasycená porézní pevná látka (počáteční tlak par Ps) při z, dojde k destilaci z vody v pórech do objemové fáze, dokud se při rovnovážném obsahu vody θ tlak vodních par v pórech p(θ) nerovná p(z).
Tabulka 1. Závislost na hydrostatickém tlaku P u volné energie a tlaku par kapalné vody při T = 298,15 K. ∆µ= µ (P)- µΦ(PΦ = 1 atm); ps= 3,168 6 kPa = 0.03127 atm; µΦ = -237,19 kJ/mol. Chyba u ∆µ způsobená zanedbáním stlačitelnosti je úměrná P a činí 2,2 % při P = 100 MPa. p/ps p/kPa P/MPa P/atm ∆µ/J mol-1 0,2 1,97 1,783 1,001 3,172 1 9,87 16,24 1,007 3,191 10 98,7 178,9 1,075 3,406 100 987 1805 2,071 6,562 Tabulka 2. Závislost tlaku par p na výšce z nad povrchem volné vody při 298,15 K. p je také tlak par ve výšce z ve svislém vodním sloupci i (viz text). ∆µ= µ (z)- µΦ (z = 0) pro vodu ve svislém sloupci. µΦ(P = 1 atm) = -273,19 kJ/mol.
∆µ/J mol-1
z/m 1 10 100 1000
-0,1767 -1,767 -17,67 -176,7
p/ps 0,9999 0,9993 0,9929 0,9312
Teplotní závislost ps je dána Clapeyron-Clausiovou rovnicí dps/dT = (Hg - H)/T(Vg - V) kde Hg a H jsou molární entalpie parní a kapalné fáze, Vg a V molární objemy parní a kapalné fáze. ps(T) může být přesně vystiženo empirickým vzorcem ve tvaru log ps = A + B'/T+ C log T. Obr. 2. Vliv na sorpční izotermu změny hydrostatického tlaku z PΦ na P (schematicky) se zobrazením posunu rovnovážného obsahu vody θ v přítomnosti objemové vody (tlak par ps). Takovouto destilací by se samozřejmě dosáhlo rovnovážného stavu extrémně pomalu. V experimentálních zařízeních jsou porézní pevný materiál a rezervoár obvykle spojené svislým vodním sloupcem a redistribuce nastává rychle vytékáním vody z pórů při narůstajícím z (obr. 1d). Je zajímavé si povšimnout, že hydrostatický tlak vody v pórech ve druhém uspořádání je menší než PΦ o hodnotu M gz / VmΦ . Tato redukce tlaku snižuje tlak vodních par vody v pórech přesně o stejnou hodnotu, o kterou zvýšení výšky snižuje tlak vodních par volné vody. Proto je rovnováha udržována i prostřednictvím fáze par. Je nutno poznamenat, že porézní pevná látka bude v rovnováze s jakýmkoli vodným roztokem (např. solný roztok) s tlakem par p na hladině z.*
(18)
Změna teploty v částečně nasycené porézní látce vyvolává redistribuci vody mezi sorbentem a parní fází a v uzavřeném systému způsobuje změny jak p tak θ. Hodnota dµ'/dT není příliš zajímavá, protože absorbovaná voda nemůže být přivedena do rovnováhy fází s referenční fází kapalné vody rozdílné teploty. Ovšem teplotní závislost tlaku par sorbentu p při konstantním θ má zásadní význam [11], protože
∆H ∂p = θ ∂T θ TVm
(19)
nebo při zanedbání druhé viriálního koeficientu
∂ ln p ∆H = R ∂ 1 T θ
( )
(20)
kde ∆H je diferenciální molární entalpie desorpce. TOK V NASYCENÉM PORÉZNÍM MATERIÁLU Pokud se všechny prázdné prostory v porézním materiálu naplní vodou, pak zde máme případ toku v nasyceném prostředí, který je limitním případem obecnějšího toku v nenasyceném prostředí. Známá Darcyho rovnice (12) popisuje
Toto je v zásadě uspořádání osmometru s porézním diskem popsaného Williamsonem [30].*
Tok v nenasyceném prostředí ve stavebních materiálech -- I pohyb vody za takovýchto okolností. Protože obsah vody je všude konstantní, může docházet k pohybu pouze působením vnějších sil, jako je gravitace nebo rozdíly hydrostatického tlaku. Darcyho zákon lze vyjádřit
u = −K ∇ Φ
(21)
Hydrodynamickým základem zákona je to, že NavierStokesova rovnice by měla být lineární [4]. Hydraulická konduktivita K(T) je kvantitativní charakteristikou porézního materiálu. V homogenním prostředí jsou stabilní Darcyho toky popsány Laplaceovou rovnicí
∇ 2Φ = 0
(22)
TOK V NENASYCENÉM PORÉZNÍM MATERIÁLU Tradiční postupy k určení permeability stavebních materiálů měří tok vody nominálně nasycenými vzorky [12]. Ovšem obvykle k nasycení dochází zřídka. Mnohem důležitější je tok vody v materiálech při nižším obsahu vody. Rozšíření Darcyho zákona na nenasycené porézní materiály se provede zapsáním
u = − K (θ ) ∇ Φ
(23)
a odtud podle podmínky kontinuity:
∂θ = −∇ u = ∇(K ∇Φ ) ∂t
(24)
K(θ) je hydraulická konduktivita závislá na obsahu vlhkosti. Jestliže Φ = Ψ+z (25) a
s proměnlivou difuzivitou [16]. Jsou známa řešení ustáleného stavu a několik řešení přechodného stavu řešení. Podrobněji jsou probrána dále. Zdá se, že má nyní dobré postavení Dyrcyho zákon s širokou platností jeho rozšířené formy v popisování toku vody inertní homogenní půdou. Je zde ovšem řada okolností, kdy předpoklady chování podle Darcyho zákona neplatí. O tom zevrubně pojednává Scheidegger [6] a Swartzendruber [17]. V tomto kontextu je nedostatek Darcyho zákona při vysokých rychlostech toku méně důležitý než nedostatky způsobené (a) přítomností rozpuštěných látek a (b) blokováním pórů mobilními částicemi (kolmatace). U stavebních materiálů údaje K(θ) a Ψ(θ) většinou chybí a je pravděpodobně předčasné učinit jakékoli obecné závěry o rozsahu platnosti rovnice (27) pro takové materiály. ŘEŠENÍ USTÁLENÉHO STAVU Řešení ustálených stavů rovnice (27) jsou zajímavá v případech, kdy voda teče porézním materiálem mezi dvěma rezervoáry různých celkových potenciálů. To poskytuje model pro řadu zajímavých praktických případů: například pohyb vody vnitřkem B vícevrstvé kompozitní stěny, kde sousedící vrstvy A a C mají konstatní obsah vody; nebo úbytek vody stěnou zakopaného permeabilního potrubí velkého průměru. (Takovéto případy by se měly odlišovat od jiných druhů ustáleného toku v nenasyceném prostředí, který je udržován evaporací na hraničním povrchu. Tyto systémy nejsou izotermické a obecně se rovnice jak pro přenos hmoty, tak tepla, musí řešit současně). Pro horizontální tok (a situace, kde vlivy gravitace lze zanedbat) jsou řešení ustáleného stavu vyjádřena Laplaceovou rovnicí v nové proměnné θ
D = K (dΨ/dθ)
λ (θ ) = 1 D ∫ D(θ )dθ 0
(26)
pak
121
(28)
0
tudíž
dK dθ ∂θ = ∇ (D ∇ Φ ) + ⋅ dθ dz ∂t
∇ 2λ = 0
(27)
D je difuzivita vody. Rovnice (27) je základní diferenciální rovnicí toku v nenasycených porézních materiálech, jak původně formuloval Klute [13]. K a Ψ mohou být obě velmi kolísající funkce θ (a stejně tak může ovšem být i D). U těchto parametrů stavebních materiálů bylo provedeno velmi málo měření (viz Bomberg [10], Luikov [14] a Nielsen [15] s uvedením dat, která jsou dostupná). Ovšem postupy pro tato měření jsou předmětem značného úsilí v půdních laboratořích [9]. Řešením problémů izotermického toku se jeví v tomto stádiu vývoje obrátit se (a) k možnosti řešení rovnic (27), (b) k zajištění dat K, Ψ (nebo D) a (c) ke zlepšeným metodám posuzování vlivů hystereze. Rovnice (27) vyžaduje, aby Ψ a D byly jednoznačné funkce θ a obvykle se používá samostatně u procesů vlhnutí a vysychání. Pokud se gravitační vlivy nevyskytují nebo jsou zanedbatelné, pak se rovnice (27) redukuje na rovnici přenosu tepla
(29)
z rovnice (27). Pro jednorozměrnou pevnou látku s hraničními podmínkami θ = 1 při x = 0 θ = 0 při x = l (30) 1
Ddθ x λ (1) − λ (θ ) θ∫ = = l
λ (1)
(31)
1
∫ Ddθ 0
Obrázek 3 ukazuje toto řešení pro několik funkcí difuzivity v obecném tvaru D(θ) = D0 + (D1 – D0) θ m
(32)
Je pak zřejmé, že při malém poměru D0 / D1 se vytvoří v blízkosti suchého povrchu velmi vysoký gradient obsahu vody. Je to zcela pochopitelné a je to samozřejmě hydraulická analogie teplotního rozdělení v kompozitní stěně.
122
C. Hall
Složitější případy lze řešit podobně přenesením řešení z rovnice přenosu tepla pro λ [16]. Obrázek 4 ukazuje výsledky takového výpočtu pro ustálený tok v polonekonečném pásu s hraničními podmínkami
θ = 0 pro x = 0 a x = l, y ≥ 0 θ = 1 pro y = 0, 0 < x < l a
θ → 0 jestliže y → ∞. (33) Obr. 3. Ustálený stav rozdělení vody v porézní překážce, tloušťka x = l s mokrým a suchým povrchem [hraniční podmínky: rovnice (30)], spočítaná pro funkci difuzivity D(θ) = D0+(1-D0) θ m. (a) D0 = 1, m = 0. (b) D0 = 0,1, m = 1. (c) D0 = 0,01, m = 1. (d) D0 = 0,1, m = 5. (e) D0 = 0,01, m = 5. (f) D0 = 0,001, m = 5.
Obecná funkce difuzivity (32) byla použita ještě jednou. Tento tvar může účinně reprezentovat pronikání vody u jednoho mokrého povrchu do dlouhé porézní desky za předpokladu absence teplotního gradientu a
Obr. 4. Ustálený stav rozdělení vody v polonekonečné pravoúhlé desce vystavené hraničním podmínkám (33). Křivky konstatního obsahu m vody (izohygrály) spočítané pro funkci difuzivity D(θ)= D0+(1-D0) θ
4(a) D0 = 1, m = 0
4(b) D0 =0,01, m = 1
4(c) D0 =0,01, m = 5
4(d) D0 = 0,001, m = 5
Tok v nenasyceném prostředí ve stavebních materiálech -- I a zanedbání vlivu gravitace. Izo-θ (isohygrála)* křivky jsou dány y = lπ-1 sinh-1 [(sin πx/l)/tan (πλ/2)]. (34) Opět rychle se měnící funkce D(θ) vytváří vysoký gradient obsahu vody u suchých povrchů a to vede k trvalé přítomnosti vysokého obsahu vody uvnitř desky v relativně velké vzdálenosti od mokrého povrchu. To se zvláště jasně ukazuje při zakreslení axiálního profilu obsahu vody (x = 0,5 l) pro různé poměry D0 / D1 a různé hodnoty m (obr. 5).
123
sítí tepelných toků mohou být vhodné k použití u toku vody v nenasycených materiálech [18]. Jestliže gravitační člen v rovnici (27) zůstane, pak vede Kirchhoffova transformace k
1 dK ∂λ D dθ ∂z
∇ 2λ =
(35)
což bylo řešeno Philipem [19] pro lineární případ
1 dK = konst. D dθ
(36)
při K = a exp (αΨ). Rychlost toku pro ustálený vertikální tok je dána dψ u = − K 1 + dz z (ψ ) = − ∫
Obr. 5. Ustálený stav rozdělení vody v polonekonečné pravoúhlé desce. Obsah vody θ ve vzdálenosti y/l podél centrální osy normálné k mokrému povrchu (x = 1/2), spočítaný pro funkci difuzivity D(θ)= D0+(1 - D0) θ m. (a) D0 = 1, m = 0. (b) D0 = 0,l , m = l. (c) D0 = 0,01, m = l. (d) D0 = 0,l , m = 5. (e) D0 = 0,01, m = 5. (f) D0 = 0,001, m = 5.
(37)
Kdψ +C K +n
(38)
což bylo ověřeno pro několik tvarů funkce K(Ψ) [20, 17]. ČASOVĚ NEZÁVISLÁ ŘEŠENÍ Jestliže člen δθ/δ v rovnici (27) ponecháme, pak se obtíže při hledání řešení rovnice toku v nenasyceném prostředí značně prohloubí [3]. Snadno lze ukázat, že Boltzmannova transformace x = Φ(θ)t -1/2
(39)
vyděluje proměnné θ a t pro jednorozměrné absorpční těleso pro hraniční podmínky. θ (0, t) = 1, θ (x, 0) = 0. Tedy
∂θ ∂ ∂θ = D ∂t ∂x ∂x
(40)
se stává řádnou diferenciální rovnicí
2 Obr. 6. Křivky toku vody pro polonekonečnou pravoúhlou desku. Je-li D konstantní, θ klesá na hodnotu 0,055 ve vzdálenosti l od mokrého povrchu podél centrální osy. Ovšem v případě, kdy D0 /D1 = 0,01 a m = 5, θ klesá pouze na hodnotu 0,548 ve stejné vzdálenosti l od mokrého povrchu. V tomto a dalších dvou a trojrozměrných Laplaceových polích tvoří křivky hydraulického toku soubor křivek ortogonálních ke křivce izo-θ (obr. 6). Grafické a numerické metody vyvinuté pro konstrukci
d ∂θ dθ =0 D +φ dφ dφ dφ
(41)
za podmínky, že
θ (0) = 1, θ (∞) = 0.
(42)
Philip [21, 19] detailně probírá řešení této rovnice a popisuje iterační metodu konečných rozdílů pro získání φ. Je-li známo φ, pak kumulativní absorpce i je dána rovnicí (43).
i=t
1
1
2
∫ φ dθ = St
1
2
(43)
0
kde S je sorptivita (charakteristika materiálu při absenci sorpční hystereze pro dané ua a ub). Sorpční tok při x = 0 je dán u0 = ½ St -1/2. (44) Predikovaná závislost t1/2 absorpce vody byla potvrzena u stavebních cihel [28].
*Autor si není vědom žádného termínu pro geometrické místo θ = konstanta. Takový termín by byl užitečným doplnění slovníku porézních materiálů.
124
C. Hall (39), řešení pro horizontální absorpci, které vyjadřuje skutečnost, že zpočátku vlivy působení sorpčních sil výrazně převyšují působení gravitace. Řešení časových řad je platné pouze pro časy kratší než cca {S/[K(θ = 1) - K(θ = 0)]}2. Řešení časových řad u důležitého případu vertikálního toku směrem nahoru (kapilární vzlínavost) je odvozeno z rovnice (43) změnou znaménka (29): z = φ t1/2 - φ 't + φ "t3/2 - ... . . . (47)
Obr. 7. Horizontální absorpce do jednorozměrného polonekonečného pevného materiálu. Křivky (a-d) φ spočítané metodou podle Philipa pro funkci difuzivity D(θ)= D0 + (1 - D0) θ m. (a) D0 = 0,001, m = 5. (b) D0 = 0,1, m = 5. (c) D0 = 0,001, m = 1. (d) D0 = 0,l , m= 1. Křivka (e) D = konstanta = 1, 0 = erfc(φ/2). Obrázek 7 ukazuje horizontální absorpci vody vypočítanou metodou podle Philipa pro třídu funkcí difuzivity podle rovnice (32). Zdá se, že při poklesu D0/D1 roste strmost náběžné hrany postupujícího profilu obsahu vody. Současně se snižuje rychlost postupu. Oba tyto výsledky jsou intuitivně v pořádku. Nedávno Parlange [22] popsal jinou kvazianalytickou metodu řešení rovnice (40) zapsané ve tvaru ∂x ∂ D =0 + ∂x ∂t ∂θ ∂θ
(45)
s x(θ, t) jako závislé proměnné. Parlangeovu první aproximaci x1 získáme za předpokladu, že rychlost toku v těch částech materiálu, které jsou znatelně mokré je stejná, jako v hraniční oblasti. Parlangeovy vyšší aproximace kritizovali Philip [23] a Knight a Philip [24]. U vertikálních toků směrem dolů (infiltrace) lze hledat řešení jako poruchy řešení horizontálního toku a Philip [25] uvádí numerickou metodu výpočtu z jako mocninné číselné řady v t1/2: z = φ t1/2 + φ 't + φ "t3/2 + ... . . . První člen je stejný jako v rovnici
(46)
Rovnováha profilu obsahu vody pro kapilární vzlínavost je dána 1
z (θ , t → ∞ ) = ∫ θ
Ddθ K (θ ) − K (θ = 0 )
(48)
Tudíž, jestliže K(θ = 0) = 0 pak 1
z (θ , t → ∞ ) = ∫ dψ θ
Ale protože Φ= Ψ+z a z(θ = 1) = 0 a Φ (θ = 1) = 0 vyplývá z toho, že při rovnováze Φ (θ ) = z(θ ).
(49)
Konečné rozdělení obsahu vody je takové, aby došlo k vyrovnání kapilárních a gravitačních sil ve všech místech. Jakmile je znémo u materiálu Ψ(θ), lze okamžitě stanovit rovnováhu z(θ). Čím silněji se Ψ mění s θ , tím ostřejší je mokrá fronta (obr. 8). Těžko si lze představit jednodušší příklad kapilárního potenciálu, zde je to jasný rychlý postup v modelech kapilární trubice pro vzlínání vody ve stěnách založený na dobře známé rovnici h = 2σ/rpΦg.
(50)
Rovnice (50) vyjadřuje výšku h, do které voda (povrchové napětí σ ) vystoupí v kapiláře stejného
Obr. 8. Rovnovážné kapilární vzlínání v homogenním porézním materiálu. (a) model svazku kapilár (b) analýza hydraulického potenciálu.
Tok v nenasyceném prostředí ve stavebních materiálech -- I o průměru 2r. Z této rovnice nemůžeme zjistit nic o rozložení vody v závislosti na výšce. Vyjadřuje stav, kdy mokrá fronta je nekonečně strmá. Jak infiltrační tak kapilární tok byl analyzován pomocí Parlangovy metody [26, 27]. ZÁVĚREČNÉ SHRNUTÍ Na stavbě může nastat málo situací, kdy jsou nezbytné přesné numerické výpočty obsahu vody. Důležitost kvantitativní fyzikální teorie spočívá v tom, že umožňuje proniknout do složitých procesů. Aplikování modifikované Darcyho rovnice na tok vody v nenasyceném prostředí přesně odhaluje podobnosti mezi
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
125
tímto tokem a tepelným tokem. Také jasně ukazuje důležité rozdíly vyplývající z nelinearity popsané rovnice. Z několika příkladů uvedených v předloženém materiálu je patrná důležitost materiálových parametrů Ψ(θ), K(θ) a D(θ) (z nichž pouze dva jsou nezávislé). Odvozené rovnice podléhají experimentálním metodám pro své sestavení. Z vypočítaných výše diskutovaných výsledků vyplynula závislost mezi vysokými gradienty obsahu vody a rychle se měnícími parametry D(θ). Poděkování – Autor je vděčný svým kolegům Dr. W. D. Hoffovi a panu K. M. Lethermanovi za jejich připomínky.
LITERATURA R. B. Kecy, Drying:principles and practice. Pergamon, Oxford (1972). D. Berger & D. C. T. Pei, Drying of hygroscopic capillary porous solids -- a theoretical approach. Int. J. Heat Mass Transfer 16, 293-302 (1973). D. Kirkham & W. L. Powers, Advanced soil physics. Wiley-Interscience, New York (1972). J. R. Philip, Flow in porous media. Ann. Rev. FluidMech. 2,177-204 (1970). E. C. Childs, An introduction to the physical basis of soil-water phenomena. Wiley Interscience, New York (1969). A. E. Scheidegger, The physics of flow through porous media, 3rd edition. University of Toronto Press t 1974). H. van Keulen, Determination of maximum water content, RILEM/IUPAC symposium on pore structure and properties of materials, Vol. 4, pp. C279-C291. Prague (1973). R. Wormald & A. L. Britch, Methods of measuring moisture content applicable to building materials. Build. Sci. 3,135145 (1969). C. A. Black (Editor), Methods of soil analysis, Part 1. American Society of Agronomy, Madison (1965). M. Bomberg, Moisture flow through porous building materials, Report No. 52, Division of Building Technology, Lund Institute of Technology (1974). E. A. Guggenheim, Thermodynamics, Sthedition. North-Holland, Amsterdam (1967). W. H. Glanville, The permeability of Portland cement concrete, Building Research Tech. Paper No. 3 (1931). A. Klute, A numerical method for solving the flow equation for water in unsaturated materials. Soil Sci. 73,105,116 (1952). A. V. Luikov, Heat and mass transfer in capillary-porous bodies. Pergamon, Oxford (1966). A. F. Nielsen, Moisture distributions in cellular concrete during heat and moisture transfer, Report No. 29, Thermal Insulation Laboratory, Technical University of Denmark, Lyngby (1974). H. S. Carslaw and J. C. Jaeger, Conduction of heat in solids, 2nd. edition. Clarendon Press, Oxford (1959). D. Swartzendruber, The flow of water in unsaturated soils, in R. J. M. de Weist (Editor) Flow through porous media. Academic Press, New York (1969). P. J. Schneider, Conduction heat transfer. Adison Wesley, London (1955). J. R. Philip, Theory of infiltration. Adv. Hydroscience 5, 215-296 (1969). W. R. Gardner, Some steady state solutions of the unsaturated moisture flow equation with application to evaporation from a water table. Soil Sci. 85, 228-232 (1958). J. R. Philip, Numerical solutions of equations of the diffusion type with diffusivity concentration-dependent, Trans. Faraday Soc. 51, 885-892 (1955). J.-Y. Parlange, Theory of water movement in soils: 1. One-dimensional absorption. Soil Sci. 111, 134-137 (1971). J. R. Philip, On solving the unsaturated flow equation: 1. The flux-concentration relation. Soil Sci. 116, 328-335 (1973). J. H. Knight & J. R. Philip, On solving the unsaturated flow equation: 2. critique of Parlauge's method. Soil Sci. 116, 407416 (1973). J. R. Philip, Numerical solutions of equations of the diffusion type with diffusivity concentration dependent II. Aust. J. Phys. 10, 29-42 (1957). J. -Y. Parlange, Theory of water movement in soils: 2. One-dimensional infiltration. Soil Sci. 111, 170-174 (1971). J. -Y. Parlange & D. Aylor, Theory of water movement in soils: 9. The dynamics of capillary rise. Soil Sci. 114, 79-81 (1972). I. Jansson, Testing the rate of water absorption, RILEM/CIB, Symposium on moisture problems in buildings, Helsinki (1965). J. R. Philip, The dynamic of capillary rise, UNESCO, Symposium on water in the unsaturated zone, Vol. 2, pp. 559-564. Wageningen (1966). A. T. Williamson, The mechanism of isothermal distillation in the porous disk osmometer, Pro¢. Roy. Soc. A195, 97-115 (1948).
