Aplikace teorie her V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek
Co je teorie her a její využití • Teorie her – obor aplikované matematiky a operační analýzy, sloužící k analýze konfliktních a strategických situací, tj. situací, v nichž výsledek závisí na jednaní a interakci dalších subjektů • Využití – psychologie, sociální psychologie, ekonomika, politika, politologie, vojenství, historie, biologie, mezinárodní vztahy
Rozhodovací situace
Nekonfliktní
Více inteligent. účastníků
2 inteligentní účastníci
Antagonistický konflikt
Neantagonist ický konflikt
Nekooperati vní teorie
Konfliktní
Nekooperati vní teorie
kooperativní teorie
Přenosná výhra
Kooperativní teorie
Přenosná výhra
Nepřenosná výhra
Neinteligent ní účastníci
Rozhodování při riziku
Nepřenosná výhra
Rozhodování při neurčitosti
Rozdělení her Podle počtu účastníků – 2 hráči, více hráčů Podle výsledku – hry s nulovým, nenulovým součtem Podle možnosti kooperace – nekooperativní, kooperativní Podle inteligence dalšího účastníka – proti inteligentním hráčům, proti přírodě • Podle doby akcí – simultánní, sekvenční • Podle informovanosti účastníků – s úplnou, neúplnou informací • • • •
Řešení her • Hry s nulovým součtem – simplexová metoda lineárního programování • Hry s nenulovým součtem – Wolfeho algoritmus kvadratického programování (rovnovážné body)
Důležité pojmy maticových her • • • • • •
Výplatní matice Sedlový bod – řešení v čistých strategiích Dominance jedné strategie nad druhou Čisté strategie vs. Smíšené strategie Každá hra má řešení ve smíšených strategiích Optimální strategie se nezmění, přičteme-li ke všem prvkům matice libovolné reálné číslo
Příklady maticových her Dominování strategií a sedlový bod
2
0
4
2
• Sedlovým bodem je bod A(2,2), cena hry je 2 • Strategie 2 hráče A dominuje strategii 1 • Strategie 2 hráče B dominuje strategii 1
Příklady maticových her • Kámen – papír – nůžky Kámen
Papír
Nůžky
Kámen
0
-1
1
Papír
1
0
-1
Nůžky
-1
1
0
• Prsty
1
2
1
2
-3
2
-3
4
Formulace hry prsty jako úlohy LP Je třeba, aby všechny prvky výplatní matice byly kladné Úloha LP má potom tvar (z pozice hráče B): maximalizovat 1y1’ + 1y2’ Za podmínek 6y1’ + 1y2’ <= 1 1y1’ + 8y2’ <= 1
kde y1’, y2’ =y1/v , y2/v
• Hry kámen – papír – nůžky i prsty mají řešení ve smíšených strategiích – nemají sedlový bod • Při řešení maticových her lze využít analytický doplněk „Řešitel“ v MS Excelu
Řešení hry 2x2 ve smíšených strategiích • Prsty – sestavíme 2 rovnice o 2 neznámých • Máme strategie hráče A – x1 a x2 • Chceme, aby výsledek byl stejný pro obě strategie protihráče • Sestavíme 2 rovnice o 2 neznámých: • 2x1 – 3x2 = -3x1 + 4x2 • x1 + x 2 = 1
Řešení maticové hry 2x2 pokračování • Pro hráče 2 analogicky • 2y1 – 3y2 = -3y1 + 4y2 • y1 + y 2 = 1
Dvojmaticové hry t1
t2
s1
2;
0
2;
-1
s2
1,
1
3;
-2
•
V dvojmaticových hrách hledáme rovnovážné body – V čistých strategiích – Ve smíšených strategiích – Jedná se o tzv. Nashovu rovnováhu
• • • • •
Bod (s1, t1) je rovnovážný, protože pokud by druhý hráč zvolil svou první strategii t1 a první hráč se od strategie s1 odchýlil, tj. zvolil by strategii s2, pak by si nepolepšil: získal by 1 místo 2. Pokud by naopak první hráč zvolil strategii s1 a druhý hráč se od t1 odchýlil, pak by si nepolepšil: obdržel by −1 místo 0.
Hledání rovnovážného bodu ve smíšených strategiích ve hře 2x2
• Analogie s jednomaticovou hrou • Mějme hru s výplatní maticí:
-2, 2
0, -1
-1, 0
-2, 2
Rovnovážný bod, smíšené strategie, pokračování • Hra nemá rovnovážný bod v čistých strategiích • Sestavíme soustavu rovnic o 2 neznámých pro hráče A: • -2x1 – x2 = 0x1 – 2x2 • x1 + x 2 = 1 • Výsledek: x1 = 0,3333, x2 = 0,666666 • Va = -1,3333
Rovnovážný bod, smíšené strategie, pokračování • Sestavení rovnic pro hráče B: • 2y1 – y2 = 2y2 • y1 + y 2 = 1
• Řešení: y1 = 0,6 y2 = 0,4 vb = 0,8
Vězňovo dilema kooperovat
nekooperovat
kooperovat
3,
3
-10,
10
nekooperovat
10,
-10
0,
0
Vězňovo dilema – řešení. • Vězňovo dilema má 1 rovnovážný bod – nekooperovat - nekooperovat • Hraje se jednou nebo se známým počtem tahů– vždy volit nekooperativní strategii • Při opakované hře s neznámým počtem tahů – je přijatelná možnost se sejít na vzájemné kooperaci, volbou nekooperativní strategie je možné přimět partnera ke kooperaci
Vězňovo dilema – možné strategie • • • • • •
Vždy kooperovat V prvním tahu kooperovat, později hrát tak, jak hrál protihráč v předchozím tahu V prvním tahu kooperovat, později hrát tak, jak hrál protihráč v předchozím tahu, ale občas „trest odpustit“ – nabídnout ruku ke smíru V zásadě kooperovat, občas si risknout nekooperaci – machiavellistický přístup Nikdy nekooperovat A další -
Vězňovo dilema – aplikace v praxi • • • • • •
Jednání o odzbrojení Konflikt Izrael – Hamas Pronikání cizích vlivů do Evropy (Evropané volí sebevražednou kooperativní strategii) Ekonomické aplikace – investice do reklamy Kartelové dohody vs. cenové války (udržet ceny na určité úrovni) - duopoly Právo – přiznání viny výměnou na nižší trest
Příklad - podniky • Viz. Dokument Word
Další dvojmaticové hry • Kuře (zbabělec)
kooperovat
kooperovat
nekooperovat
3, 3
-5, 10
nekooperovat 10, -5
-100, -100
• Souboj pohlaví Ž, Fotbal
Ž, Divadlo
M, Fotbal
2, 1
0, 0
M, Divadlo
0, 0
1, 2
• Tragédie společného vlastnictví Skupina kooperuje
Skupina nekooperuje
Jednotlivec kooperuje
5, 5
1, 2
Jednotlivec nekooperuje
10, 5
2, 2
• Lov na jelena Lov na jelena
Lov na zajíce
Lov na jelena
10, 10
0, 0
Lov na zajíce
0, 0
2, 2
Černý pasažér Více, než 1000 spolupracuje
999 spolupracuje
Méně než 999 spolupracuje
Jednotlivec spolupracuje
1000,
1000
-1000
Jednotlivec nespolupracuje
2000
0
0
Oceňování výsledků her • Oceňování v absolutní výši – nesprávné a často nemožné • Nutno oceňovat pomocí teorie užitku • Kardinalistická teorie – mezní užitek • Ordinalistická teorie (Pareto) – seřazení výsledků a jejich ocenění podle pořadí (0 – 3)
Kooperativní hra 2 hráčů – jádro hry • Viz. příklad Podniky
Kooperativní hry – tvorba koalic • Příklad – tři účastníci projektu • Celkový zisk projektu 12 • Přínos účastníka A = 6, účastníka B = 4, účastníka C = 2 • 2 hráči mohou uzavřít koalici a dohodnout se na redistribuci výplat • Jací dva hráči se pravděpodobně spojí?
Tvorba koalic - pokračování • Spojí se hráči B a C – mohou si nejvíce polepšit a rozdělit se o přínos hráče A • Toto je matematický důkaz proč často dochází ke spiknutí průměrných a podprůměrných proti těm nejlepším • Prostor pro vyjednávání formou podbízení • Vede v případě úplné racionality k vytvoření Nashovy rovnováhy
Příklad – příběh bitvy o Eger • • • • • • • • •
Bitva o Eger - 1552 tureckou ofenzívu a obléhání města odrazil István Dobó Po svém vítězství byl obviněn z překročení čerpání denních limitů zásob (!) Poté obviněn z vlastizrady, rok ve vězení Proč byl obviněn? Maďarská elita se dohodla s Turky na ústupcích výměnou za zachování alespoň části majetku a vlivu Dobó ukázal, že turecká armáda je k poražení a že je nutné se opřít o prosté lidi Stal se tudíž nebezpečím pro vládnoucí elitu – vstoupil do vyššího levelu mocenské hry Analogie se situacemi z běžného života je zřejmá
Nashova rovnováha • •
•
Dominantní strategie je pro agenta nejlepší strategie nezávisle na zvolených strategiích ostatních účastníků. Racionální účastník pak volí vždy dominantní strategii. Nashova rovnováha Strategií skupiny je tzv. Nashova rovnováha, pokud každá ze strategií je nejlepší individuální strategií příslušného účastníka vzhledem ke strategiím zvoleným ostatními účastníky. Nashova rovnováha ve vězňově dilematu N – N (při jedné nebo konečném počtu opakování K – K při nekonečném počtu opakování
Dělení dědictví • • • • • •
5 bratrů dělí dědictví podle následujícího schématu: Nejprve navrhuje způsob dělení nejstarší bratr (A1) Bratři potom hlasují Schválí – li mu daný způsob nadpoloviční většina hlasů, je rozhodnuto Ne-li, je nejstarší bratr zabit a na stejném principu navrhuje další dělení bratr A2 Preference bratrů jsou: – Přežít – Získat co největší podíl na dědictví – Zabít co nejvíce bratrů
•
Jak dopadne dělení?
Kurasův problém padouchů • • • • • •
•
•
Rozdělení společnosti na třídy: Všemocní – třída kněží (padouši) Velemocní – vládci zmocňující se vlády a vládnoucí za pomoci všemocných s podporou pečlivě zvolené ideologie padouši Polomocní – hlídací psi (watchdogs), v očích malomocných a bezmocných se jedná o hlavní příčinu jejich trápení padouši Bezmocní – otroci a nevolníci, rádi by se padouchy stali, kdyby k tomu byli připuštěni Malomocní – střední třída (pracující inteligence, řemeslníci) – hlavní objekt zájmu padouchů. Lze si přivlastnit výsledky její práce (viz. Tvorba koalic). Rádi by se stali padouchy, kdyby věděli jak se mezi ně dostat. Dynamika společnosti: pokud se malomocným podaří zvítězit, je to proto, že mezi ně proniknou jako jejich vůdci padouši, s jejich pomocí svrhnou stávající režim a dohodnou se s dosavadními poraženými špičkami na nějakém konsensu (nejsme jako oni). Padouch se s padouchem vždy domluví (až na určité výjimky – nedůvěra vítěze vůči poraženému a vice versa, poražený padouch byl příliš velký zloduch, takže by spolupráce s ním kompromitovala vítěze apod.)
•
[email protected] • 721 644 636 •
[email protected]
