1
Matematická logika 1.1
Výroky, operace s výroky
Po prostudování této kapitoly byste • měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat , • měli být schopni přepsat slovně pojaté výroky do výrokové logiky a zapisovat je symbolicky pomocí logických spojek, • měli umět řešit jednoduché slovní úlohy pomocí sestavení výrokové formule s následným určením jejích pravdivostních hodnot pro různé kombinace výrokových proměnných. K prostudování této kapitoly budete potřebovat přibližně 3 hodiny. Vyjadřovacími prostředky matematiky, s nimiž se setkáváme v učebnicích i dalších matematických textech, jsou především běžný spisovný jazyk, speciální jazyk (terminologie a symbolika) logiky a matematiky, grafy, diagramy, schémata a tabulky. Ze složitějších jazykových výrazů mají základní význam v logice a v matematice výroky. Než přistoupíme k definici výroku, napište si pár libovolných gramaticky správných vět a pokuste se rozhodnout, které z nich by mohly být výroky, tzn. jakou obecnou vlastnost by věta měla mít, aby mohla být výrokem. Podle následující definice rozhodněte o tom, která vámi napsaná věta je výrokem a která není. Výrokem rozumíme každé srozumitelné sdělení, u něhož dovedeme rozhodnout, zda je pravdivé či nepravdivé, přičemž z obou těchto možností nastane právě jedna. 1
výrok
2
1. MATEMATICKÁ LOGIKA
Je-li výrok pravdivý, říkáme též, že platí. Je-li výrok nepravdivý, říká se také, že výrok neplatí. Pravdivému výroku přiřadíme pravdivostní hodnotu 1, nepravdivému výroku přiřadíme pravdivostní hodnotu 0. Výroky budeme označovat malými písmeny p, q, . . . Gramaticky má výrok vždy formu oznamovací věty vyjádřené slovně, anebo symbolicky (pomocí matematických, logických, eventuálně dalších symbolů). Příklady výroků: a) Pravdivé výroky: Tři plus dva je pět. 2+3=5. Praha je hlavní město České republiky. Číslo 17 je liché. b) Nepravdivé výroky: Zlín leží v Čechách. Každé liché číslo je dělitelné 2. Příklady jazykových výrazů, jež nejsou výroky: Názvy, např. fyzika, chemie, informační technologie, výrazy typu: 2 + 6, 6 · 5, rozkazovací a tázací věty. Výrazy obsahující proměnné, např.: 4 + x = 12.
Složené výroky Výroky můžeme negovat nebo různými způsoby spojovat a vytvářet tak složené výroky. K vytváření složených výroků se užívají logické spojky (operátory), jež se označují symboly (znaky) a také se vyjadřují slovně vhodnými jazykovými výrazy (v přesně dohodnutém významu). Symboly základních logických spojek spolu s jejich slovním vyjádřením jsou uvedeny základní logické spojky v tabulce 1.1.1. (operátory) Logická spojka (symbol) ¬
Čtení (jazykový význam) není pravda, že. . .
∧
a (ve významu slučovacím)
∨
nebo (ve významu nevylučovacím buď. . . nebo (ve smyslu vylučovacím)
∨
Jazykové ekvivalenty neplatí ne- (předpona) není (záměna za je) a zároveň i (v matematice zřídka použito popřípadě eventuálně nemá ekvivalent
Čtení cizího původu non
et
vel
vel podtržené
(pokračování na další straně)
1.1. VÝROKY, OPERACE S VÝROKY
3 (pokračování tabulky)
Logická spojka (symbol) ⇒ ⇔
Čtení (jazykový význam) jestliže. . . , pak. . . (potom). . . právě, když. . .
Jazykové ekvivalenty když. . . , pak je-li. . . , pak. . . tehdy a jen tehdy, když. . .
Čtení cizího původu implikuje je ekvivalentní
Tabulka 1.1.1: Základní logické spojky (operátory)
Pomocí základních logických spojek se vytvářejí z daných výroků p, q základní složené výroky, jejichž názvy a symbolická označení obsahuje tabulka 1.1.2. Název složeného výroku Negace výroku p Konjunkce výroků p, q Disjunkce výroků p, q Ostrá disjunkce výroků p, q Implikace výroku q výrokem p Ekvivalence výroků p, q
Jeho symbolické označení ¬p p∧q p∨q p∨q
Čtení (jazykový význam) Není pravda, že p paq p nebo q buď p nebo q
p⇒q
jestliže p, pak q
p⇔q
p právě když q
Tabulka 1.1.2: Základní složené výroky
Poznámka 1.1.1. V implikaci p ⇒ q se výrok p nazývá předpoklad (premisa) implikace a výrok q závěr (tvrzení) implikace. Na rozdíl od hovorového jazyka, kde nemusí jít vždy o přesné (jednoznačné) vyjadřování, je v logice a v matematice účelná volba pravdivostních hodnot implikace podle tab. 1.1.3, přičemž mezi výroky p, q spojovanými ve složený výrok p ⇒ q nemusí být žádná věcná souvislost. Slovní vyjádření implikace p ⇒ q: Z p plyne ” (vyplývá) q“, resp. q plyne z p“, bychom měli používat jen v případě věcné ” (příčinné) souvislosti výroků p, q.
základní složené výroky
4
1. MATEMATICKÁ LOGIKA Výroky p q 1 1 1 0 0 1 0 0
pravdivostní hodnoty výroků
¬p 0 0 1 1
p∧q 1 0 0 0
p∨q 1 1 1 0
p∨q 0 1 1 0
p⇒q 1 0 1 1
p⇔q 1 0 0 1
Tabulka 1.1.3: Pravdivostní hodnoty výroků
Příklad 1.1.1. Zapište symbolicky následující výroky: a) Petr přijde s Richardem. b) Pokud přijde Richard, přijde i Petr. Řešení: Označme výrok Petr přijde“ proměnnou p, ” výrok Přijde Richard“ proměnnou r, ” což nám umožní výše uvedené spojky výroky vyjádřit pomocí logických (výrokotvorných) spojek a posléze i symbolicky takto: a) b)
abeceda výrok. logiky
výroková formule
Petr přijde s Richardem. Pokud přijde Richard, přijde i Petr.
Petr přijde a přijde i Richard. Jestliže přijde Richard, potom přijde i Petr.
p∧r r⇒p
Abecedu výrokové logiky tvoří: 1. Znaky pro výrokové proměnné (výroky): p, q, r, . . . a znaky pro konstanty P , N , kde P značí výrok pravdivý a N výrok nepravdivý. 2. Znaky pro logické spojky: ¬, ∧, ∨, ∨, ⇒, ⇔. 3. Pomocné znaky (závorky): ( ), [ ], { }. Výrokovou formulí rozumíme: a) Každou výrokovou proměnnou: p, q, r, . . . , b) výrokové konstanty P , N , c) Jsou-li libovolné výrazy Φ, Ψ výrokovými formulemi, potom i (¬Φ), (Φ ∧ Ψ), (Φ ∨ Ψ), (Φ ∨ Ψ), (Φ ⇒ Ψ), (Φ ⇔ Ψ) jsou výrokové formule, d) žádné jiné výrazy výrokové formule nejsou. Příklad 1.1.2. Napište alespoň tři libovolné výrokové formule.
1.
Řešení: (p ⇒ q) ∨ r,
1.1. VÝROKY, OPERACE S VÝROKY 2. 3. 4.
5
P ∧ N, (¬p ∧ q) ⇒ r, (p ⇔ q) ∧ (q ⇒ p).
Výrokovou formuli o n výrokových proměnných p1 , p2 , . . . , pn obecně zapisujeme Φ(p1 , p2 , . . . , pn ). Tautologií nazýváme výrokovou formuli Φ(p1 , p2 , . . . , pn ), která má tu vlastnost, že z ní vznikne výrok pravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot výrokových proměnných, které v ní figurují. Kontradikcí nazýváme výrokovou formuli Φ(p1 , p2 , . . . , pn ), která má tu vlastnost, že z ní vznikne výrok nepravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot výrokových proměnných, které v ní figurují. Splnitelnou výrokovou formulí nazýváme výrokovou formuli Φ(p1 , p2 , . . . , pn ), ze které vznikne pravdivý výrok alespoň pro jednu kombinaci pravdivostních hodnot výrokových proměnných. Říkáme, že výroková formule Φ je logicky ekvivalentní s výrokovou formulí Ψ, právě když výroková formule Φ ⇔ Ψ je tautologie, což symbolicky zapisujeme Φ ∼ Ψ. Někdy se místo rčení logicky ekvivalentní říká jednoduše, že výrokové formy jsou si rovny. Pak píšeme jednoduše Φ = Ψ. Příklad 1.1.3. Určete typ výrokové formule Φ(p, q, r) = Φ{[(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ∨ q) ⇒ r]}. Řešení: Dříve, než sestavíme tabulku, uvědomme si, že výroková formule obecně může být buď tautologie, nebo kontradikce, nebo splnitelná formule. Výroková formule Φ{[(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ∨ q) ⇒ r]} obsahuje tři výrokové proměnné p, q, r. Musíme proto uvažovat 23 (proč?) možností jejich pravdivostních hodnot: tabulka bude mít 8 řádků a 9 sloupců, které postupně označíme: p, q, r, p ⇒ r, q ⇒ r, Ψ : (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r), p ∨ q, Γ : (p ∨ q) ⇒ r, Ψ ⇒ Γ. Pravdivostní hodnoty v posledním sloupci (Ψ ⇒ Γ) tabulky 1.1.4 dávají jasnou odpověď. Pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot výrokových proměnných vznikne z výrokové formule Φ(p, q, r) výrok pravdivý (samé jedničky v posledním sloupci tabulky). Závěr: Výroková formule Φ(p, q, r) je tautologie.
tautologie
kontradikce
splnitelná formule
logicky ekvivalentní formule
6
1. MATEMATICKÁ LOGIKA p 1 1 1 0 0 0 1 0
q 1 1 0 1 0 1 0 0
r 1 0 1 1 1 0 0 0
p⇒r 1 0 1 1 1 1 0 1
q⇒r 1 0 1 1 1 0 1 1
Ψ 1 0 1 1 1 0 0 1
p∨q 1 1 1 1 0 1 1 0
Γ 1 0 1 1 1 0 0 1
Ψ⇒Γ 1 1 1 1 1 1 1 1
Tabulka 1.1.4
V příkladu 1.1.3 jsme uváděli všechny složené výroky, které obsahovala výroková formule Φ(p, q, r) v závorkách. Bylo to nutné? Závorky bychom mohli vynechávat v případě, že bude známa (definována) priorita (přednost) jednotlivých logických spojek. Pro zápisy výrokových formulí budeme dodržovat tuto úmluvu: Logické operace v závorkách mají prioritu před logickými operacemi vně závorek. Pokud priorita není vyznačena závorkou, pak z logických spojek ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ v uvedeném pořadí má prioritu každá spojka předcházející před všemi následujícími. Tedy spojka negace ¬ má nejvyšší prioritu, nejnižší má ekvivalence ⇔. Příklad 1.1.4. Rozhodněte, zda dvojice výrokových formulí Φ(¬a ⇒ b), Ψ(a ∨ b) jsou logicky ekvivalentní. Řešení: Výrokové formule Φ(¬a ⇒ b), Ψ(a∨b) jsou logicky ekvivalentní, právě když výroková formule Φ(¬a ⇒ b) ⇐⇒ Ψ(a ∨ b) je tautologie, což symbolicky zapisujeme Φ(¬a ⇒ b) ∼ Ψ(a ∨ b). Rozhodnutí nalezneme podle tabulky 1.1.5, která bude mít 4 řádky (bez popisu) a 4 sloupce (bez sloupců s výrokovými proměnnými). Příklad 1.1.5. Tři kamarádi Adam, Bolek a Cyril (označme je A, B, C) se domlouvají, že půjdou do kina. Účast si omezili následujícími podmínkami: A půjde nebo B nepůjde. Když nepůjde aspoň jeden z dvojice A, C, pak
1.1. VÝROKY, OPERACE S VÝROKY a 1 1 0 0
b 1 0 1 0
¬a 0 0 1 1
¬a ⇒ b 1 1 1 0
7 a∨b 1 1 1 0
Φ⇔Ψ 1 1 1 1
Tabulka 1.1.5
půjde B. Jestliže nepůjde C, pak nepůjde také A, ale půjde B. Zjistěte všechny možnosti. Setkají se v kině všichni? Řešení: Označíme si výrokovými proměnnými následující výroky: a . . . A půjde do kina, b . . . B půjde do kina, c . . . C půjde do kina. Jednotlivé podmínky přepíšeme do jazyka logiky: • A půjde nebo B nepůjde. • Když nepůjde aspoň jeden z dvojice A, C, pak půjde B. • Jestliže nepůjde C, pak nepůjde také A, ale půjde B.
...
a ∨ ¬b
...
¬(a ∨ c) ⇒ b
...
¬c ⇒ (¬a ∧ b)
Protože podmínky musí platit zároveň, dostáváme tuto výrokovou formuli pro vyřešení úlohy: Φ(a, b, c) = Φ{[a ∨ ¬b] ∧ [¬(a ∨ c) ⇒ b] ∧ [¬c ⇒ (¬a ∧ c)]}
(?)
Pomocí tabulky zjistíme, pro které pravdivostní hodnoty výrokových proměnných a, b, c je výroková formule (?) výrok pravdivý. Protože tabulka pravdivostních výrokové formy je poměrně rozsáhlá rozdělíme si ji na dvě tabulky tab. 1.1.6 a tab. 1.1.7 (jako pokračování tabulky 1.1.6). Snad Vám to nebude činit žádné potíže. Tabulky budou mít 8 řádků (3 proměnné). Řešení nalezneme ve sloupci 13 s příslušnou poznámkou ve sloupci 14. Sloupec 13 je konjunkce formulí v 7., 10. a 12. sloupci. Pokuste se odpověď na zadání úlohy. Úloha má 2 řešení: 1. Do kina půjde A, B, C (řádek 1.). 2. Do kina půjde A a C (řádek 3.).
8
1. MATEMATICKÁ LOGIKA 1 a 1 1 1 0 0 0 1 0
2 b 1 1 0 1 0 1 0 0
3 c 1 0 1 1 1 0 0 0
4 ¬a 0 0 0 1 1 1 0 1
5 ¬b 0 0 1 0 1 0 1 1
6 ¬c 0 1 0 0 0 1 1 1
7 a ∨ ¬b 1 1 1 0 1 0 1 1
8 a∧c 1 0 1 0 0 0 0 0
9 p = ¬(a ∧ c) 0 1 0 1 1 1 1 1
10 p⇒b 1 1 1 1 0 1 0 0
Tabulka 1.1.6
1 a 1 1 1 0 0 0 1 0
2 b 1 1 0 1 0 1 0 0
3 c 1 0 1 1 1 0 0 0
4 ¬a 0 0 0 1 1 1 0 1
5 ¬b 0 0 1 0 1 0 1 1
6 ¬c 0 1 0 0 0 1 1 1
11 q = ¬a ∧ b 0 0 0 1 0 1 0 0
12 ¬c ⇒ q 1 0 1 1 1 1 0 0
13 Φ 1 0 1 0 0 0 0 0
14 poznám. řeš. řeš.
Tabulka 1.1.7
V kině se setkají všichni v případě ad 1. Kdybychom řešili tuto úlohu jako reálnou situaci, tak bychom použili pouze první řádek, neboť jen v tomto případě by se mohli všichni v kině sejít. V zadání úlohy ale byl navíc úkol prověřit všechny možnosti (z cvičných důvodů). Jak jste jistě poznali, jednalo se o kapitolu úvodní. Doufám, že jste pochopili základní pojmy uvedené v definicích. Abyste měli jistotu, že tomu tak skutečně je připravil jsem pro vás následující Cvičení . Jistě s nimi nebudete mít žádné problémy. Byl bych rád, kdybyste po splnění těchto cvičení sami vymysleli podobné příklady pro své kolegy. Pokud to takto zvládnete, nemám sebemenších pochyb, že jste probírané proble-
1.2. VÝROKOVÉ FORMY, KVANTIFIKÁTORY
9
matice stoprocentně porozuměli. Shrnutí V této kapitole jste se seznámili s velmi důležitým pojmem, a sice s výrokem. Výrok je pro matematiku a logiku základním stavením kamenem. Brzy se o tom přesvědčíte. Abychom mohli dobře pochopit matematické definice a věty bude potřebné, abyste dobře porozuměli i vytváření složených výroků a znali perfektně tabulku pravdivostních hodnot složených výroků. Rovněž pojmy výrokové formule, tautologie a logicky ekvivalentní formule mají v matematice velký význam. Klíčová slova Výrok, pravdivostní hodnota výroku, složené výroky, negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, výroková formule, tautologie, kontradikce, splnitelná formule, logicky ekvivalentní formule.
1.2
Výrokové formy, kvantifikátory
Ve cvičení, v příkladu 1.1.1. e) jsme narazili na jistý matematický výraz (2 + a = 5), o němž jsme prohlásili, že není výrokem. Uměli bychom uvést i jiné podobné matematické výrazy? Tak například x2 + y 2 ≤ 16; x + 45 < 75; x21 + 2x22 = 24; x1 + x2 + · · · + xn = 1; Paní . . . se narodila v . . . “, atd. Když ” budete na tyto matematické výrazy aplikovat definici výroku, rozhodně budete muset přiznat, že se o výroky v žádném případě nejedná. Nemůžeme totiž bez dalších upřesňujících informací o nich tvrdit jsou-li pravdivé nebo nepravdivé. V případě, že bychom však do matematických výrazů dosadili za příslušné proměnné např. reálná čísla, a do poslední věty nějaké jméno a nějaké místo narození dostaneme jistě výroky. Takovéto výrazy, nazvěme je výrokové formy, se v matematice vyskytují, a proto bude rozumné se pokusit o jejich definici. V této kapitole začínáme podrobněji zkoumat pojem výrokové formy. Při hlubším rozboru tohoto pojmu zjistíte, že bychom nejdříve měli definovat pojem množiny, který se v rozboru vyskytuje. Ale když budeme definovat pojem množiny charakteristickou vlastností všech jejich prvků je vhodné naopak použít výrokovou formu. V našem výkladu jsme zvolili první možnost. Tj. definujeme nejdříve výrokovou formu. Proto všechny pojmy, které se budou vztahovat k množinám si nastudujete v kapitole 1.4. Výrokovou formou rozumíme každé sdělení, které obsahuje alespoň jeden blíže neurčený údaj. Podle počtu neurčených výrazů, které nazýváme
výroková forma
10
1. MATEMATICKÁ LOGIKA
proměnné, hovoříme potom o výrokové formě o jedné proměnné, o výrokové formě o dvou proměnných, resp. o výrokové formě o n proměnných a označujeme je po řadě A(x);
B(x, y);
V (x1 , x2 , . . . , xn ).
Další úvahy zaměříme na výrokovou formu o jedné proměnné x. Každé výrokové formě V (x), chceme-li ji studovat přiřazujeme tři množiny (podrobně o množinách pojednáme v kap. 1.4.): • množinu O, zvanou obor proměnné x výrokové formy V (x), • množinu D, zvanou definiční obor V (x), • množinu P , zvanou obor pravdivosti V (x). obor proměnné x výrokové formy, definiční obor výrokové formy obor pravdivosti výrokové formy
Obor proměnné x výrokové formy V (x) je množina O všech prvků, které přichází v úvahu jako hodnoty proměnné x figurující ve V (x). Definiční obor výrokové formy V (x) je množina D všech prvků z množiny O, které po dosazení do výrokové formy V (x) za proměnnou x změní V (x) na výrok. Obor pravdivosti výrokové formy V (x) je množina P všech prvků z množiny D, které po dosazení do výrokové formy V (x) za proměnnou x změní výrokovou formu V (x) na výrok pravdivý. Obor proměnné x výrokové formy volíme, zbývající obory určujeme. Pro obory platí tyto inkluze P ⊂ D ⊂ O. Význam symbolu ⊂ (inkluze) objasníme v kap. 2. Příklad 1.2.1. Určete definiční obor a obor pravdivosti výrokové formy 1−x 1+x V (x) = > , je-li oborem proměnné množina všech přirozených 1+x 1−x čísel s nulou. Řešení: Určíme definiční obor D: Dosadíme-li do výrokové formy V (x) za proměnnou x libovolný prvek z množiny N0 (význam symbolu N0 uveden v kap. 1.4.) mimo číslo 1, změní se výroková forma na výrok, tedy D = {0, 2, 3, 4, . . .}. 1−x Vyřešíme-li nerovnici 1+x > 1+x 1−x po příslušných krocích obdržíme x > 1. Oborem pravdivosti je množina všech přirozených čísel větších než číslo jedna. Tuto množinu můžeme zapsat dvojím způsobem (viz kapitola 2): • výčtem prvků tj. P = {2, 3, 4, . . .} nebo • pomocí zápisu výrokové formy P = {x ∈ N0 : x > 1}.
1.2. VÝROKOVÉ FORMY, KVANTIFIKÁTORY
11
Příklady na určování oboru pravdivosti výrokové formy uvedeme až po probrání kapitoly 1.4. o množinách. Z výrokových forem V (x) můžeme vytvořit výroky tak, že dosadíme za proměnnou x prvky definičního oboru D, nebo také, že proměnnou x výrokové formy tzv. kvantifikujeme. Kvantifikace se provádí tím způsobem, že před výrokovou formu předřadíme jedno z následujících tvrzení: Existuje aspoň jeden prvek x ∈ M , pro nějž platí . . . “. Toto tvrzení se ” nazývá existenčním kvantifikátorem a symbolicky jej zapisujeme ∃x ∈ M. Tvrzení: Pro každý prvek x ∈ M platí . . . “ se nazývá obecným kvan” tifikátorem a symbolicky jej zapisujeme ∀x ∈ M . Jestliže kvantifikujeme výrokovou formu V (x) existenčním kvantifikátorem, dostaneme výrok Existuje aspoň jeden prvek x ∈ M , pro nějž platí ” V (x)“, který nazýváme existenční výrok a zapisujeme jej: ∃x ∈ M : V (x). Jestliže provedeme stejnou věc s obecným kvantifikátorem, dostaneme výrok Pro všechny prvky x ∈ M platí V (x)“, který nazýváme výrokem ” obecným. Symbolický zápis: ∀x ∈ M : V (x). Specifickým příkladem existenčního výroku je tvrzení Existuje právě ” jeden prvek x ∈ M , pro nějž platí V (x)“. Symbolicky: ∃!x ∈ M : V (x). Negování obecného a existenčního výroku je možno provádět podle následujících pravidel: ¬[∀x ∈ M : V (x)] ∼ ∃x ∈ M : ¬V (x). Obecný výrok negujeme tak, že obecný kvantifikátor nahradíme existenčním a výrokovou formu její negací. ¬[∃x ∈ M : V (x)] ∼ ∀x ∈ M : ¬V (x). Existenční výrok pak negujeme tak, že existenční kvantifikátor nahradíme existenčním a výrokovou formu její negací. Příklad 1.2.2. Zapište symbolicky následující výroky a určete jejich pravdivost: a) pro každé reálné číslo x platí: (x − 1)2 = x2 − 2x + 1, b) pro každé celé číslo x platí: 3x < 5, c) existuje aspoň jedno x ∈ R, takže platí: (x − 1)3 = x3 − 1, d) existuje takové reálné číslo x vyhovující vztahu 4x − 9 − x2 < 0. Řešení:
existenční kvantifikátor obecný kvantifikátor
existenční výrok
obecný výrok
negace obecného výroku
negace existenčního výroku
12 a) b) c) d)
1. MATEMATICKÁ LOGIKA ∀x ∈ R : (x − 1)2 = x2 − 2x + 1, výrok pravdivý; ∀x ∈ C : 3x < 5, výrok nepravdivý; ∃x ∈ R : (x − 1)3 = x3 − 1, výrok pravdivý; ∃x ∈ R : 4x − 9 − x2 < 0, výrok pravdivý.
Příklad 1.2.3. Vytvořte negace výroků z příkladu 1.2.2. a) b) c) d)
Řešení: (u všech výroků se změní pravdivostní hodnoty) ∃x ∈ R : (x − 1)2 6= x2 − 2x + 1, výrok nepravdivý; ∃x ∈ C : 3x ≥ 5, výrok pravdivý; ∀x ∈ R : (x − 1)3 6= x3 − 1, výrok nepravdivý; ∀x ∈ R : 4x − 9 − x2 ≥ 0, výrok nepravdivý.
Shrnutí V této kapitole jste se seznámili s velmi důležitým pojmem, a sice s výrokem. Výrok je pro matematiku a logiku základním stavebním kamenem. Brzy se o tom přesvědčíte. Abychom mohli dobře pochopit matematické definice a věty, bude potřebné, abyste dobře porozuměli i vytváření složených výroků a znali perfektně tabulku pravdivostních hodnot složených výroků. Rovněž pojmy výrokové formule, tautologie a logicky ekvivalentní formule mají v matematice velký význam. Klíčová slova Výroková forma, definiční obor výrokové formy, obor pravdivosti výrokové formy, existenční kvantifikátor, obecný kvantifikátor, existenční výrok, obecný výrok, negace obecného výroku, negace existenčního výroku.
1.3
axióm
Logická výstavba matematiky (axióm, definice,věta)
Jistě přemýšlíte k čemu nám vlastně v matematice všechny ty uvedené pojmy jsou dobré. Jedním z hlavních rysů dnešní matematiky je axiomatická logická výstavba matematických teorií. Děje se tak ve všech jejich vědních disciplínách (Analytická geometrie, Algebra, Matematická analýza, Elementární aritmetika, atd.). Jak tomu budeme rozumět. Základem při výstavbě matematiky jsou axiómy (postuláty) – výchozí matematické výroky, které se prohlásí za pravdivé. Obsahují základní (primitivní) pojmy, které se nedefinují, ale pokládají se za zavedené (např. bod, přímka v geometrii, přirozené číslo v aritmetice) právě soustavou axiómů. Soustava axiómů musí mít tyto vlastnosti:
1.3. AXIÓM, DEFINICE,VĚTA
13
• bezespornost (ze soustavy axiómů nelze odvodit nějaký výrok a zároveň jeho negaci),
bezespornost
• úplnost (ze soustavy axiómů je možné odvodit pravdivost nebo nepravdivost libovolného výroku budované teorie, který není axiómem),
úplnost
• nezávislost axiómů (nelze odvodit kterýkoliv axióm z ostatních axiómů).
nezávislost soustavy axiómů
Požadavek nezávislosti axiómů není nezbytný, ve školské praxi se od něj upouští pro metodické zjednodušení. Axiómy se pak nazývají základní věty. Obsah a rozsah dalších pojmů se vymezují definicemi a to pomocí primitivních pojmů a pojmů už definovaných. Definice se nedokazují. Definice stanoví název (označení) a vymezuje podstatné (charakteristické) vlastnosti pojmu. Všechny definice jsou výroky ve tvaru ekvivalence. Pokud je jasné, že nejde o matematickou větu, lze definici zapsat i ve tvaru implikace kvůli jazykovému zjednodušení. Matematická teorie své výsledky formuluje do matematických vět. Matematická věta (poučka, teorém) je pravdivý matematický výrok, který má význam v matematice nebo její aplikaci a dá se odvodit pomocí logiky na základě axiómů, definic a dříve dokázaných vět. Věty, které obsahují návod k provedení výpočtu nebo konstrukce se nazývají pravidla. Pro pomocné věty se v matematice používá název lemma. Většina matematických vět má tvar obecného výroku tzv. obecné věty ∀x ∈ D : V (x), anebo existenčního výroku tzv. existenční věty ∃x ∈ D : V (x). Výroková forma V (x) má po formální stránce tvar implikace nebo ekvivalence. Pro obecnou větu ve tvaru implikace ∀x ∈ D : A(x) ⇒ B(x) se výroková forma A(x) nazývá předpoklad věty, výroková forma B(x) se nazývá závěr nebo tvrzení věty. Protože věta představuje platný (pravdivý) výrok, a tedy implikace A(x) ⇒ B(x) musí platit pro každé x ∈ D, je platnost předpokladu A(x) postačující podmínkou pro platnost závěru B(x) a platnost závěru B(x) nutnou podmínkou pro platnost předpokladu A(x) pro každé x ∈ D. Přitom mezi oběma podmínkami se předpokládá věcná (obsahová) souvislost. Každou matematickou větu je nutné dokazovat. Důkaz matematické věty je odvození určitého výroku na základě axiómů, definic a již dokázaných výroků. My se nebudeme dokazováním vět zabývat. O hlavních typech důkazů matematických vět se můžete dozvědět v tištěných skriptech Ostravký, Křenek na str. 9.
základní věty definice
14
1. MATEMATICKÁ LOGIKA
Shrnutí Jsem přesvědčen o tom, že takto pojatá skripta vás jistě trochu překvapila. Doufám, že jste již z první kapitoly pochopili, že bez znalostí pojmů (definic) a matematických vět (což jsou jisté výroky, jak se brzy přesvědčíte) nemůžete matematice kvalitně porozumět. Měli byste se definice učit s porozuměním, např. s využitím příkladů, jak jsem se vám snažil naznačit v opakovacím cvičení, ne se je učit nazpaměť pouze odříkávat. To k ničemu nevede. Jen vás to vůbec nebude bavit. Pokud jste zvládli opakovací cvičení můžete být se sebou určitě spokojeni a můžete přejít ke kapitole druhé. Bude se týkat množin, o nichž jste jistě už hodně slyšeli. Tak si to půjdeme zopakovat.
Index A axióm, 12 F forma výroková, 9 formule, logicky ekvivalentní, 5 - -, splnitelná, 5 - výroková, 4 K kontradikce, 5 kvantifikátor, existenční 11 -, obecný 11 O obor, definiční výrokové formy, 10 - pravdivosti výrokové formy, 10 - proměnné výrokové formy, 10 P pravdivostní hodnota, 2 S spojka logická, 2 T tautologie, 5 V výrok, 1 - existenční, 11 - obecný, 11 - složený, 2
15
