PJS – Přednáška číslo 2 Jednoduché elektromagnetické přechodné děje Předpoklady: • Konstantní rychlost všech točivých strojů (časové konstanty delší než u el.-mg. dějů) a v důsledku toho i frekvence elektrických veličin. • Popis systému bude proveden pomocí prvků se soustředěnými parametry. • Zjednodušené respektování rotorových vinutí (především tlumících obvodů). • Lineární charakter všech prvků (zanedbání např. sycení magnetických obvodů). • Sinusové rozložení magnetického napětí ve vzduchové mezeře točivých strojů. • Symetrické uspořádání statorů točivých strojů, navíc bez vlivu drážkování (zdroje tedy mají čistě sinusový charakter bez vyšších harmonických). Vlastnosti vytvořeného modelu ovlivňuje: • Volba souřadného sytému a koeficientů případných transformačních vztahů • Použití a volba systému poměrných souřadnic • Volba kladné orientace os a směru otáčení souřadnic • Zjednodušené respektování rotorových vinutí (především tlumících obvodů) • Způsob linearizace všech prvků (zanedbání např. sycení, hystereze magnetických obvodů) Lze tedy jedno reálné zařízení charakterizovat nepřeberným množstvím různých matematických popisů. Vzhledem k praktickým časovým konstantám (určeným poměry L/R) má obvykle smysl vyšetřovat tyto přechodné děje v rozmezí 0.01 až 0.2 sec. Řešení spočívá v určení časových průběhů proudů, z nichž lze následně odvodit veškeré další aktivní parametry (napětí, magnetické toky, …). Výpočtovou metodiku komplikuje: • Složitá struktura elektrického schématu. • Vnitřní napětí a reaktance alternátorů jsou proměnné a řešení jejich hodnot není triviální. Důvody vyšetřování průběhů proudů vzniklých při el.-mg. přechodných dějích: • Určení nadproudů (dynamické a tepelné účinky) a přepětí (narušení izolačních vlastností) • Dopad na stabilitu lokálních systémů i celé ES • Vyhodnocení rušivých a nebezpečných vlivů • Dimenzování nových zařízení (např. vypínačů) • Nastavení jistících a dalších zabezpečovacích systémů (hladina reakce, vzájemná koordinace, selektivita, zálohování)
Výpočet zkratového proudu Uvažujeme zpočátku ideálně tvrdý zdroj a zcela symetrické uspořádání (řešení pouze pro jednu fázi). Pro určení velikosti ustálené hodnoty se běžně zanedbávají příčné prvky (jejich impedance je obvykle vysoká a příslušné proudy zanedbatelné oproti zkratovému:
1 1 1 = ≈ y0 i0 0.01 1 1 1 ≈ 0.4 Ω / km << ≈ ≈ −6 Ω / km Y0 BP 10
•
Transformátor z K = u K ≈ 0.1 <<
•
Vedení Z K
u A (t ) = u M sin (ωt + α ) = 2 ⋅U sin (ωt + α ) di (t ) di (t ) di (t ) Vzhledem k symetrii: u A (t ) = Ri A (t ) + LV A + M B + C dt dt dt di Protože i A (t ) = −[iB (t ) + iC (t )] , potom u A = Ri A + L A , kde L = LV − M dt V předporuchovém stavu:
I PP =
U Z PP
RPP = R + R2
2 ⋅U
i PP (t ) = RPP LPP = L + L2
2
+ (ωLPP )2
sin (ωt + α − ϕ PP )
ϕ PP = arctg
ωLPP RPP
= arctg
X PP RPP
Zkrat nastal v čase t = 0:
i PP (0 ) =
u A (0) = u (0 ) = 2 ⋅U sin (α )
2 ⋅U RPP 2 + (ωLPP )2
sin (α − ϕ PP )
Řešení časového průběhu zkratového proudu:
i A (t ) = i (t ) = iU (t ) + iV (t ) iU (t ) řešení partikulární – řešení odpovídající ustálenému stavu iV (t ) řešení homogenní rovnice – řešení obvodu bez napěťového buzení IU =
U Z
iU (t ) =
ϕ = arctg
ωL R
0 = RiV (t ) + L
= arctg
2 ⋅U R + (ωL )
sin (ωt + α − ϕ )
X R
diV (t ) dt
R λ=− L
2
2
τ =−
iV (t ) = C ⋅ e λt 1
λ
iV (t ) = C ⋅ e
−
0 = R ⋅ C ⋅ e λt + λ ⋅ L ⋅ C ⋅ e λ t
t
τ
Integrační konstantu C získáme pro podmínku spojitosti proudu:
iPP (0 ) = iU (0 ) + iV (0 )
i PP (0 ) = i(0 ) 2 ⋅U
RPP + (ωLPP ) 2
2
sin (α − ϕ PP ) =
2 ⋅U
R + (ωL ) 2
2
sin (α − ϕ ) + C
1 1 C = 2 ⋅U sin (α − ϕ PP ) − sin (α − ϕ ) RPP 2 + (ωLPP )2 R 2 + (ωL )2 t sin (α − ϕ ) sin (α − ϕ ) −τ PP e iV (t ) = 2 ⋅ U − 2 2 2 2 RPP + (ωLPP ) R + (ωL ) Celkový průběh zkratového proudu:
i (t ) =
2 ⋅U R 2 + (ωL )2
t sin (α − ϕ ) sin (α − ϕ ) −τ PP e − sin (ωt + α − ϕ ) + 2 ⋅ U 2 2 RPP 2 + (ωLPP )2 R + (ωL )
−t sin ( − ) α ϕ α ϕ sin ( ) 1 − PP τ e + i (t ) = 2 ⋅ U sin (ωt + α − ϕ ) − 2 2 2 2 R 2 + (ωL )2 R + (ωL ) R + (ωL ) PP PP
V průběhu proudu jsou na obrázku: 1. Výsledný zkratový proud i (t ) 2. Ustálený zkratový proud iU (t )
3. Stejnosměrná (volná) složka zkratového proudu iV (t ) 4. Předporuchový proud i PP (t )
Ustálený zkratový proud v jednotlivých fázích je až na fázový posun stejný. Počáteční hodnota stejnosměrné složky je závislá na okamžiku vzniku zkratu a nebude tedy stejná pro všechny fáze. Její největší absolutní hodnota je dosažena za podmínky dosažení maxima výrazu:
sin (α − ϕ PP )
RPP 2 + (ωLPP )2
−
sin (α − ϕ )
R 2 + (ωL )2
Pro chod naprázdno a s předpokladem převážně induktivního charakteru impedance, přes kterou se zkrat uzavírá je maxima dosaženo pro úhel
α =−
Naopak stejnosměrná složka se zcela nevyvine pokud
π 2
+ ϕ ≈ 0.
α =ϕ ≈
π 2
.
Parametry průběhu zkratového proudu Rázový (počáteční) proud I´´K - efektivní hodnota střádavé složky proudu na počátku:
I ' 'K =
U R 2 + (ωL )2
Nárazový zkratový proud (ekvivalentní dynamický) IKM - největší okamžitá hodnota
∂i (t ) =0 ∂t I KM =
∂i (t ) = 0 , což nastává přibližně pro t = 0.01 ∂α 0.01 0.01 − − 2 ⋅U 1 + e τ = 2 ⋅ I ' ' 1 + e τ = 2 ⋅ I ' ' ⋅ K K K 2 2 R + (ωL )
K =1+ e
−
0.01
τ
je nárazový činitel (dynamický součinitel)
Pro složité sítě by bylo nutné vyhodnocovat časové konstanty pro každý prvek náhradního schématu:
iVC (t ) = ∑ iVi (0 )e
−
t
τi
,
i
proto zjednodušeně určíme pouze časovou konstantu pro ekvivalentního zkratového obvodu:
iVC (t ) = iV (0 )e
−
t
τE
, kde τ E =
LE RE
Pro orientační výpočty potom určíme τ E z odhadnutého koeficientu K: −
KE = 1+ e
0.01
τE
, tedy τ E = −
0.01 ln(K E − 1)
Hodnoty nárazového činitele KE:
Za alternátory do 55 MW V soustavě vvn, zvn V soustavě vn V soustavě nn V kabelovém rozvodu nn Za transformátory vvn/vn nebo vn-nn vn/nn do 1600 kVA včetně vn/nn do 630 kVA včetně vn/nn do 250kVA včetně
K
τE
1,95
0,194957
1,7
0,028037
1,6
0,019576
1,4
0,010914
1,3
0,008306
1,7
0,028037
1,6
0,019576
1,5
0,014427
1,3
0,008306
Efektivní hodnota zkratového proudu IK
Efektivní hodnota střídavé složky:
I kp =
I pm 2
≈ I ' 'K 2
2
tedy I K (t 0 ) = I kp + I ka Příslušnou hodnotu stejnosměrné složky lze odhadnout pro čas 0.01 na základě znalosti koeficientu K:
I ka = iV (t0 )
iV (0.01) = 2 I ' ' K (K − 1) I K (0.01) = I ' 'K + I ka 0.01 = I ' 'K +(iV (0.01)) = I ' 'K 1 + 2(K − 1) 2
2
2
2
2
Ekvivalentní oteplovací proud IKE tK
R ⋅ I KE ⋅ t K = R ∫ i (t ) dt 2
0
I KE = K E ⋅ I ' ' K
2
I KE
1 = tK
tK
∫ i(t ) 0
K E = f (t K ,τ )
2
dt
Hodnoty činitele KE: Místo zkratu
tK = 0,05
0,1
0,5
1
3
Na svorkách alternátoru > 55 MW Na svorkách alternátoru < 55 MW Soustava vvn, zvn vn nn
2,76 2,05 1,25 1,18 1,1
2,07 1,61 1,13 1,09 1,05
1,29 1,15 1,03 1,02 1,01
1,15 1,08 1,01 1,01 1
1,05 1,03 1 1 1
nn (kabelové sítě)
1,08
1,04
1,01
1
1
Zkratový výkon (fiktivní) S´´K
S ' ' K = 3 ⋅ U SN ⋅ I ' ' K
