PŘÍRODNÍ VĚDY POD DROBNOHLEDEM

Přírodovědec – Rozvoj odborných kompetencí talentovaných studentů středních škol ve vědecko-výzkumné práci v oblasti přírodních věd reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0040

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

PŘÍRODNÍ VĚDY POD DROBNOHLEDEM Sborník příspěvků přednesených na seminářích projektu ve školním roce 2009/2010

Olomouc 2012

Redakční rada: Tomáš Opatrný (předseda) Libor Kvítek (výkonný redaktor) Členové: Karla Slavíčková, Věra Poláková, Lenka Copková Ediční rada sborníku: doc. RNDr. Libor Kvítek, CSc. prof. RNDr. Josef Molnár, CSc. doc. RNDr. Taťjana Nevěčná, CSc. Mgr. Lukáš Richterek, Ph.D.

Neoprávněné užití tohoto díla je porušením autorských práv a může zakládat občanskoprávní, správněprávní, popř. trestněprávní odpovědnost.

1. vydání Editor © Libor Kvítek, 2012 © Univerzita Palackého v Olomouci, 2012 ISBN 978-80-244-2962-5

Obsah Úvodní slovo editora ......................................................................................................5 Sekce

Chemie Nanočástice stříbra ve školní laboratoři .........................................................................9 Jana Soukupová, Markéta Vaníčková Základní pojmy z krystalografie ..................................................................................13 Jiří Kameníček Pohled do vývoje antivirotik a cytostatik.....................................................................16 Lucie Brulíková Volumetrické stanovení vícesytných kyselin ...............................................................21 Pavlína Baizová Katalyzátory chemických a biochemických reakcí......................................................25 Ludmila Zajoncová Efektní pokusy v chemii ..............................................................................................28 Marta Klečková, Jiří Kameníček Sekce

Fyzika Lasery pro holografii ....................................................................................................39 Tomáš Medřík Optické mikromanipulace ............................................................................................45 Tomáš Medřík Moment hybnosti v teorii i v přírodě ...........................................................................50 Lukáš Richterek Keplerovy zákony po 400 letech..................................................................................56 Lukáš Richterek

3

Zapojení do projektu Eratosthenes...............................................................................61 Lukáš Richterek, František Látal Interactive Physics .......................................................................................................65 Jan Říha Přírodovědný experiment ve fyzice .............................................................................73 Renata Holubová Sekce

Matematika Něco málo z historie matematiky aneb jak taky počítali naši předkové ......................81 Josef Molnár Logika ..........................................................................................................................88 Vladimír Vaněk Myslím, tedy jsem… matematik ..................................................................................95 Jiří Hátle Matematika jako hra ....................................................................................................99 Jiří Hátle Fraktály na střední škole ............................................................................................104 Vladimír Vaněk Vybrané zajímavosti z teorie čísel.............................................................................. 111 Jaroslav Švrček

4

Úvodní slovo editora Odklon mladé generace od studia přírodních věd a spolu s tímto trendem spojený nízký zájem o kariéru vědecko-výzkumného respektive vývojového pracovníka představuje závažný problém dalšího rozvoje moderní společnosti. I když se tento společenský trend začal projevovat ke konci 70. let dvacátého století nejprve v nejrozvinutějších zemích světa jako je USA a Kanada či země západní Evropy, se společenskými změnami probíhajícími v posledních dvou desetiletích v zemích střední a východní Evropy se obdobné trendy projevují stále intenzivněji i mezi mladou generací v těchto zemích. Zvrátit nezájem mladé generace o náročné studium přírodovědných oborů v dnešní společnosti, preferující rychlý úspěch namísto soustavné cílevědomé činnosti vyžaduje velké úsilí vynaložené celou společností a zejména pedagogy na všech úrovních vzdělávání. Aby vynaložená energie nebyla vyplýtvána zbytečně, je nutné zaměřit ji na ty nejúčinnější formy výchovy mladé generace směřující k vytvoření kladného vztahu nejen k přírodě samotné, ale i k jejímu hlubšímu studiu. Nalézat takové metody, to je důležité zadání pro činnost mnoha výzkumných týmů z oblasti sociologie, pedagogiky i odborných přírodních věd, z nichž mnohé působí i ve střední Evropě. A právě výměně zkušeností při výzkumu a realizaci nových metod propagace přírodních věd mezi mládeží je věnován tento sborník, sdružující názory a zkušenosti odborníků z řady vysokých škol České republiky a Slovenské republiky. Jak ediční rada sborníku, tak i její autoři věří, že zde publikované příspěvky skutečně napomohou vzájemné spolupráci širokého spektra odborníků, která je nutná pro zdárné splnění nelehkého úkolu – naučit mladou generaci mít přírodu nejen rád, ale i pro ni pracovat. RNDr. Libor Kvítek, CSc.

5

Sekce

Chemie

NANOýÁSTICE STěÍBRA VE ŠKOLNÍ LABORATOěI

Jana Soukupová, Markéta Vaníþková Katedra fyzikální chemie Univerzity Palackého v Olomouci, 17. listopadu 12, Olomouc 771 46 , ýeská republika. E-mail: [email protected]

1. Úvod StĜíbro je jedním z neintenzivnČji studovaných kovĤ v oblasti dnešních nanotechnologií. Nanoþástice stĜíbra se staly objektem výzkumu díky svým specifickým fyzikálnČchemickým a biologickým vlastnostem, které se projevují až právČ v rozmČrech nČkolik jednotek þi desítek nanometrĤ. V této velikostní dimenzi již stĜíbro nevykazuje kovový lesk, jak je tomu u stĜíbra makroskopického, zato vyniká takovými vlastnostmi, které nalezly široké uplatnČní v rĤzných oblastech lidské þinnosti. Významné postavení zaujímají nanoþástice stĜíbra v povrchem zesílené RamanovČ spektroskopii, kde lze za jejich asistence detekovat dokonce i jednotlivé molekuly.1,2 Své uplatnČní v katalýze3 nachází díky velkému specifickému povrchu (v Ĝádu jednotek až desítek m2/g) a nezĤstávají pozadu ani jako biosenzory, využívající povrchového plazmonu tČchto þástic.4,5 Použití v mnoha odvČtvích lidské þinnosti naznaþuje, že syntéza, modifikace, stabilizace a s tím spojená aplikovatelnost nanoþástic stĜíbra je velmi dobĜe prostudovanou problematikou. Neustále jsou ovšem publikovány další a další odborné þlánky zabývající se právČ syntézou a možnými zpĤsoby modifikace s cílem pĜipravit nanoþástice stĜíbra tzv. „na míru“. Tím je mínČna velikost þástic, jejich velikostní distribuce, morfologie þi povrchový náboj. Nanoþástice stĜíbra lze obecnČ pĜipravit pomocí dvou zcela odlišných syntetických metod – metodami oznaþovanými „top-down“ (pĜekl. dispergaþní metody) nebo „bottom-up“ (pĜekl. kondenzaþní metody). PrvnČ jmenované dispergaþní metody jsou založené na dispergaci tzv. bulk materiálu (tzn. materiál v makroskopické formČ; klasickým pĜíkladem tohoto materiálu je plíšek daného materiálu, kovová fólie atd.) v elektrickém oblouku þi pomocí laserového záĜení. Volbou použitého dispergaþního zaĜízení a média, ve kterém je materiál dispergován, lze pĜipravit nanoþástice rozliþných velikostí a ostatních þásticových charakteristik.6 Druhá skupina metod využívá naprosto opaþný pĜístup. Místo rozmČlĖování makroskopického materiálĤ skládá jednotlivé atomy do finální velikosti nČkolika jednotek nanometrĤ þi desítek nanometrĤ. Tento druh metod je v souþasné dobČ, z hlediska aplikovatelnosti a variability, þetnČjší. Využívá totiž dobĜe dostupné prekurzory v podobČ stĜíbrných solí (AgNO37,8 etc. þi AgCIO49) a rozliþná redukþní þinidla, z nichž jmenujme alespoĖ ta nejpoužívanČjší - tetrahydridoboritan sodný10,11 etc., citrát sodný12, vodík13, hydrazin14, formaldehyde15, redukþní sacharidy16,17 etc. . Pomocí volby prekurzoru, redukþní látky a jejich koncentrací lze tímto zpĤsobem pĜipravit þástice stĜíbra v Ĝádu od nČkolika jednotek až po stovky nanometrĤ. Po pĜípravČ je nutné získané þástice charakterizovat. Pro tyto úþely je klasický optický mikroskop zcela nedostaþující technikou. Z tohoto dĤvodu byl sestrojen transmisní elektronový mikroskop (TEM), který místo fotonĤ využívá rychle letící elektrony. Charakterizace þástic pomocí této metody je ovšem pomČrnČ nákladnou záležitostí, jak 9



po finanþní, tak po þasové stránce. Již samotná pĜíprava vzorku pro TEM je na rozdíl od pĜípravy vzorku pro optický mikroskop, pomČrnČ nároþnou procedurou. Rozlišovací schopnost tohoto zaĜízení je od jednotek angströmĤ (Å) až po desítky mikrometrĤ. Z dĤvodu nároþnosti elektronové mikroskopie jsou k charakterizaci nanoþástic stĜíbra rutinČ používány další dvČ metody, které mohou poskytnout informace o þásticích v pomČrnČ krátkém þase – jedná se o UV-VIS spektroskopii a metodu založenou na dynamickém rozptylu svČtla (DLS). UV-VIS spektroskopii lze použít pro charakterizaci nanoþástic stĜíbra díky existenci povrchového plasmonu. Pozice absorpþního píku nám tedy mĤže podat orientaþní informaci o pĜítomnosti nanoþástic a dokonce i o jejich velikosti þi morfologii.18,19 Dynamický rozptyl svČtla je další metodou, která je použitelná pro charakterizaci nanoþástic stĜíbra a jiných nanomateriálĤ. Velkou pĜedností této metody je její relativní nenároþnost. Pro kompletní charakterizaci, tedy zjištČní velikosti þástic, hodnoty polydisperzity, náboje þástic (tzn. hodnoty zeta potenciálu) postaþí cca 20 minut a 5 ml vzorku disperze. Velkou výhodou je fakt, že se jedná, na rozdíl od TEM, o nedestruktivní metodu. V souþasné dobČ prožívají nanoþástice stĜíbra opravdovou renesanci. DĤvodem je jejich antibakteriální aktivita, která je cenČna pĜedevším ve svČtle stále se zvyšující rezistence nČkterých bakteriálních kmenĤ vĤþi antibiotikĤm.20 Díky antibakteriální aktivitČ mohou být tedy nanoþástice stĜíbra využity v lékaĜství, jakožto povrchová modifikace protetických a kloubních náhrad a jiných zdravotnických potĜeb (napĜ. bvazy, náplasti, respiraþní roušky), ve farmacii a kosmetice (napĜ. masti, gely, zubní kartáþky). Nanoþástice stĜíbra ovšem pronikly i do textilního prĤmyslu a ponožky obsahující stĜíbro v nanoþásticové podobČ, dĜíve vyvinuté pouze pro armádní úþely, jsou dnes bČžnČ k dostání. Tento produkt by mČl zbavit spoustu lidí problémĤ se zapáchajícíma nohama, prostĜednictvím potlaþení bazálního metabolismu bakterií a následného vzniku zapáchajících bakteriálních metabolických produktĤ. KromČ textilního prĤmyslu nalezly nanoþástice stĜíbra uplatnČní i v jiných odvČtvích, které vyžadují vytvoĜení jakési antibakteriální ochrany. Nanoþástice stĜíbra se staly souþástí domácích spotĜebiþĤ21 (chladniþky, praþky) nebo slouží také k úpravČ pitné vody. Všechny tyto produkty modifikované nanoþásticemi stĜíbra ovšem vykazují „omezenou životnost“, která se dotýká pĜedevším pĤsobení antibakteriálního obalu. Praním þi þištČním se nanesená vrstviþka „vymývá“ a nejen, že produkt ztrácí svou deklamovanou antibakteriální funkci, ale þástice, tímto zpĤsobem uvolnČné, se dostávají do životního prostĜedí. Z tohoto dĤvodu je aktuálním tématem studia nanoþástic stĜíbra jejich úþinek na živé organismy a tím i na naše životní prostĜedí. 2. PĜíprava nanoþástic stĜíbra v laboratorních podmínkách Pracovní postup: Syntéza vodné disperze nanoþástic stĜíbra, pomocí kondenzaþní metody, je velmi citlivá na reakþní podmínky (napĜ. teplotu), koncentraci jednotlivých reakþních komponent a poĜadí jejich pĜídavku. Z tohoto dĤvodu je nutné dodržet následující postup a pipetovat s co nejvČtší pĜesností.

10



Po napipetování 10 ml komplexního kationtu [Ag(NH3)2]+ a 5 ml H2O umístíme reakþní nádobku spolu s magnetickým míchadlem na magnetickou míchaþku a intenzivnČ promícháváme. Za stálého míchání pĜidáme 5 ml NaOH o koncentraci 0,05 mol.dm-3. OpČt necháme promíchat a poté pĜidáme 5 ml D-glukózy, o koncentraci 0,05 mol.dm-3, která vyredukuje požadované nanoþástice. Jejich vznik lze pozorovat zmČnou barvy obsahu reakþní kádinky. 10 ml 5 ml 5 ml 5 ml

[Ag(NH3)2]+ (obsahující AgNO3 v koncentraci 0,0025 mol.dm-3 a NH3 o koncentraci 0,0125 mol.dm-3) H 2O NaOH o koncentraci 0,05 mol.dm-3 D-glukóza o koncentraci 0,05 mol.dm-3

PĜíprava a charakterizace pĜipravených nanoþástic stĜíbra 1. PĜíprava nanoþástic stĜíbra _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 2. Interakce vodné disperze nanoþástic stĜíbra s laserovým paprskem PĤsobením laserového paprsku na kádinku s vodnou disperzí nanoþástic stĜíbra dochází k ___________________________________________________________________ 3. Charakterizace pomocí dynamického rozptylu svČtla (DLS) Námi pĜipravená vodná disperze nanoþástic stĜíbra obsahuje þástice o velikosti ______________________________ a hodnota polydisperzity systému je rovna _______________________. Z tohoto mČĜení vyplývá, že charakterizovaná disperze je monodisperzní/polydisperzní. (nehodící se škrtnČte) 4. Charakterizace pomocí UV-VIS absorpþní spektroskopie Vzorek pro UV-VIS spektroskopii bylo nutné 10x zĜedit. Proto jsem do kyvety napipetoval/la _________________ vodné disperze nanoþástic stĜíbra a _________________ vody. Díky existenci povrchového plazmonu bylo možné

11



identifikovat pĜítomnost nanoþástic pomocí absorpþního píku, jehož maximum bylo lokalizováno pĜi vlnové délce _________________ nm. 3. Použitá literatura 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

12



B S. Nie, S.R. Emory, Science. 275 (1997) 1102. Ch.L. Haynes, A.D. McFarland, R.P. Van Duyne, Anal Chem. 77 (2005) 338A. Z-J. Jiang, Ch-Y. Liu, L-W. Sun, J Phys Chem B. 109 (2005) 1730. C. Voisin, N. Del Fatti, D. Christofilos, F. Vallee, J Phys Chem B. 105 (2001) 2264. R. Slistan-Grijalva, J.F. Herrera-Urbina, M. Rivas-Silva, F.F. Ávalos-Borja, A. Castillón-Barraza, Posada – Amarillas, Physica E. 27 (2005) 104. Mafune, F.; Kohno, J; Takeda Y.; Kondow, T.; Sawabe, H. J.Phys. Chem. B. 104 (2000) 9111. Tai, C.; Wang, Y.; Liu, H. AIChE J. 54 (2008) 445. Kvítek, L.; Prucek, R.; Panáþek, A.; Novotný R.; Hrbáþ, J.; ZboĜil R. J. Mater. Chem. 15 (2005)1099. Van Hyning, D. L.; Zukoski, C. F. Langmuir. 14 (1998) 7034. Cason, J. P.; Khambaswadkar, K.; Roberts, C. B. Ind. Eng. Chem.Res. 39 (2000) 4749. Li, X.; Zhang, J.; Xu, W.; Jia, H.; Wang, X.; Yang, B.; Zhao, B.; Li, B.; Ozaki, Y. Langmuir. 19 (2003) 4285. Pillai, Z.S.; Kamat P.V. J. Phys Chem. B. 108 (2004) 945. Evanoff, E.D.; Chumanov, J. J. Phys. Chem. B. 108 (2004) 13948. Leopold, N.; Lendl, B. J. Phys. Chem. B. 107 (2003) 5723. Nersisyan, H.H.; Lee, J.H.; Son, H.T.; Won, C.W., Maeng, D.Y. Mater. Res. Bull. 38 (2003) 949. Yu, D.; Yam, V. J. Phys. Chem B. 109 (2005) 5497. Peterson, M.SM.; Bouwman ‚J.; Chen. A.; Deutsch, M. J. Colloid Inter. Sci. 306 (2007) 41. Slistan-Grijalva, A.; Herrera-Urbina, R.; Rovas-Silva, J.F.; Ávalos-Borja, M.; Castullón-Barraza, F.F.; Posada-Amarillas, A. Physica E. 27 (2005) 104. Wiley, B.J.; Im, S.H.; Li, Z.; McLellan, J.; Siekkinen, A.; Xia, Y. J. Phys. Chem. B. 110 (2006) 15668. Panáþek, A.; Kvítek, L.; Prucek, R.; KoláĜ M.; VeþeĜová, R.; Pizúrová, R.; Sharma, V.; NevČþná, T.; ZboĜil, R. J. Phys. Chem. B. 110 (2006) 16248. Samsung Silver Nano [online]. 2008 [cit. 2009-10-9]. Dostupný z WWW: .

ZÁKLADNÍ POJMY Z KRYSTALOGRAFIE

JiĜí Kameníþek Katedra anorganické chemie PĜF UP Olomouc, 17.listopadu 12, ýeská republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Krystalografii se na školách nevČnuje pĜíliš pozornosti a odtud pramení i Ĝada mylných názorĤ, tvrzeni i chyb, jakož i nepochopení základních pojmĤ z této oblasti. Cílem pĜednášky je uvést vybrané vČci na pravou míru a zpopularizovat je mezi žáky i širokou veĜejností. 1. Celkové schéma pĜednášky Úvod – historie Základní pojmy z krystalografie: Definice krystalu RozdČlení látek z hlediska struktury Krystalová mĜíž(ka), Millerovy indexy BuĖky – druhy, zásady výbČru Bravaisovy buĖky Krystalografické soustavy Shrnutí, kontrolní otázky 2. Vybrané cíle a obsah pĜednášky Po krátkém úvodu (nejvýznamnČjší milníky v historii krystalografie, nositelé Nobelových cen v oboru a jeho široký dopad na fyziku, chemii) byly diskutovány vybrané základní pojmy z krystalografie. Zvláštní dĤraz byl kladen už na samou definici krystalu, kde byly podrobnČ vysvČtleny þtyĜi definice od klasické mineralogické (homogenní anizotropní diskontinuum) až po moderní definici zahrnující v sobČ i kvazikrystaly. Dále bylo provedeno rozdČlení látek z hlediska struktury (látky krystalické v. amorfní) vþetnČ vysvČtlující poznámky o kapalných krystalech, hojnČ užívaných v posledních letech do zobrazovacích (LCD) displejĤ. Velmi detailnČ s použitím trojrozmČrného modelu pseudosymetrie (symetrie mĜíže je vyšší než symetrie struktury, reprezentované pĜedmČtnou mĜíží) byl objasnČn þasto opomíjený rozdíl mezi krystalovou mĜíží (mĜížkou) a strukturou a dále byly diskutovány Millerovy indexy hkl, sloužící k popisu krystalografických rovin. Byl definován pojem buĖky jako základní stavební jednotky mĜíže, typy bunČk a zásady správného výbČru buĖky (tj. reprezentace maximální symetrie mĜíže, co nejvČtší poþet pravých úhlĤ a pĜi zachování pĜedešlých pravidel co nejmenší objem), jakož i (opČt s použitím trojrozmČrných modelĤ) 14 Bravaisových bunČk (viz obr. 1), což je minimální poþet, jejichž translací lze odvodit libovolnou periodicky se opakující trojrozmČrnou mĜíž. 13

Obr. 1 Bravaisovy buĖky KoneþnČ bylo pĜikroþeno k rozboru krystalografických soustav (které se struþnČ probírají i na nČkterých stĜedních školách); opČt s použitím modelĤ byly odvozeny nejen klasické mĜížkové parametry soustav, ale objasnČna i dĤležitá, vČtšinou (i v uþebnicích) opomíjená otázka minimální symetrie soustav a þetnost výskytu jednotlivých typĤ Bravaisových bunČk v soustavách (tab. 1).

14

Tab. 1 Krystalografické soustavy

BuĖka Minimální symetrie

/ MĜížkovéparametry / Typ Bravaisovy buĖky

1. Triklinická (trojklonná) / a, b, c, Į, ȕ, Ȗ identita / P 2. Monoklinická (jednoklonná) / a, b, c, ȕ, Į=Ȗ=90º 1 diáda(nebo zrcadlo) / P, C 3. Orthorombická (kosoþtvereþná) / a, b, c, Į=ȕ=Ȗ=90º 3 kolmé diády / P, C, I, F 4. Tetragonální (þtvereþná) / a = b, c, Į=ȕ=Ȗ=90º 1 tetráda / P, I 5. Romboedrická (klencová) / a = b = c, Į=ȕ=Ȗ<120º 1 triáda / R 6. Hexagonální (šestereþná) / a=b, c, Į=ȕ=90º, Ȗ=120º 1 hexáda / P 7. Kubická (krychlová) / a=b=c, Į=ȕ=Ȗ=90º 4 triády / P, I, F __________________________________________ 3. ZávČr Na závČr pĜednášky byly posluchaþĤm pĜedloženy kontrolní otázky pro ovČĜení pochopení probírané látky s patĜiþným vysvČtlením, napĜ. PROý: Neexistují Bravaisovy buĖky C, F v tetragonální soustavČ ? Není C buĖka v kubické soustavČ ? Není „dvojklonná“ soustava ? Nelze popsat pomocí hkl rovinu jdoucí poþátkem ? Nelze ztotožĖovat uzlové body mĜíže s atomy struktury ? V diskusi byl vysvČtlen i v literatuĜe þasto používaný nepĜesný pojem „mĜížková energie“. 4. Použitá literatura 1. 2.

BĜezina, F. (1994). Stereochemie a nČkteré fyzikálnČ-chemické metody studia anorganických látek, Olomouc, PĜF UP Chojnacki, J. (1979). Základy chemické a fyzikální krystalografie, Praha Academia

15

POHLED DO VÝVOJE ANTIVIROTIK A CYTOSTATIK

Lucie Brulíková Katedra organické chemie, PĜírodovČdecká fakulta Univerzity Palackého, 17. listopadu 12, Olomouc, ýeská republika. E-mail:[email protected] Abstrakt Tento text shrnuje pĜehled nČkolika významných antivirotik a cytostatik, jejich historický vývoj a souþasné použití. RovnČž je zmínČna práce prof. Antonína Holého, významného þeského chemika, kterému vdČþíme za nenahraditelné preparáty, pĜedevším v oblasti léþby chronické hepatitidy typu B a AIDS. 1. Úvod Farmaceutický prĤmysl souþasné doby smČĜuje nejvČtší procento pozornosti na výzkum a vývoj nových protinádorových a antivirových léþiv. Na trhu je dnes nepĜeberné množství etablovaných preparátĤ a celá Ĝada z nich má svĤj pĤvod i v ýeské Republice. Stále ale existuje celá Ĝada onemocnČní, které jakoukoliv úþinnou léþbu stále postrádají. Obrovským negativem mnoha léþiv, pĜedevším v onkologii, jsou také jejich vedlejší úþinky pro organismus, což inspiruje souþasný výzkum orientovat se na vývoj látek pro organismus ménČ destruktivních, pĤsobících specificky pouze na nádorové buĖky. 2. Cytostatika Zcela nejvyšší podíl v zastoupení skupiny léþiv mají ve farmaceutickém prĤmyslu protinádorová léþiva. Existuje celá Ĝada cytostatik, dČlících se do rĤzných skupin podle mechanismu úþinku, pĜiþemž tyto mechanismy souvisí s bunČþným cyklem, jeho fázemi a proteiny, které Ĝídí celý dČj bunČþného dČlení. Jedná se o skupiny napĜ. alkylaþních látek, antimetabolitĤ, rostlinných alkaloidĤ, cytostatických antibiotik, aj. Historicky významnou skupinou jsou tzv. alkylaþní cytostatika, jejichž objevení, respektive objevení protinádorového úþinku, souvisí s vojenským bojovým plynem nazývaným yperit (Obrázek 1.). Objev yperitu Frederikem Guthrie je datován do roku 1860 a jeho nechvalnČ proslulé úþinky do roku 1917, kdy byl poprvé použit v 1. svČtové válce u belgického mČsta Ypres. Tento plyn zpĤsobuje bolestivé puchýĜe a popáleniny, které se však projeví až s nČkolikahodinovým zpoždČním. KromČ tČchto pĜíznakĤ ale bylo u vojákĤ zasažených yperitem pozorováno také poškození kostní dĜenČ a úbytek lymfocytĤ, což stálo na poþátku výzkumu tČchto látek jakožto potenciálních cytostatik. PatrnČ nejpopulárnČjším lékem z této skupiny se stal cyklofosfamid (Obrázek 1.) jakožto látka, jež má nejmenší vedlejší reakce na krvetvorbu a zažívací trakt. V kombinaci s ostatními cytostatiky bývá cyklofosfamid používán napĜ. k léþbČ akutní lymfoblastické leukemie þi Hodgkinova lymfomu. Další významnou a poþetnou skupinu cytostatik pĜedstavují komplexy platiny. Efekt tČchto komplexĤ byl objeven v podstatČ náhodnČ pĜi studiu vlivu elektrolýzy na rĤst kultury Escherichia coli pĜi použití platinové elektrody a chloridu amonného jako 16

elektrolytu. Vzniklý biologicky aktivní komplex se zapsal do historie jako protinádorový lék cisplatina. ZmínČná cisplatina je nejstarší a nejpoužívanČjší z této skupiny cytostatik, jejíž hlavním nedostatkem je ale vysoká nefrotoxicita (toxický vliv poškozující ledviny). MénČ nefrotoxická je karboplatina (Obrázek 1.). Jedním z nejužívanČjších cytostatik a po biochemické stránce také velmi podrobnČ prozkoumaným je 5-fluoruracil. Používá se k léþbČ kolorektálních nádorĤ (tlusté stĜevo), karcinomĤ žaludku a jater, i k léþbČ kožních nádorĤ. Vzhledem k jeho nízké rozpustnosti ve vodČ byla vyvinuta jeho profarmaka – tegafur, floxuridin. VĤbec jedno z nejznámČjších cytostatik, užívané k léþbČ rĤzných forem leukemie, je cytarabin (Obrázek 1.). Populární skupinou cytostatik se staly i rostlinné alkaloidy. Extrakty z rostliny Catharanthus roseus byly používány po staletí jako lidový lék, ovšem až výzkum v 50. letech odhalil, že tato rostlina je složena ze 70 alkaloidĤ, z nichž je velká þást biologicky aktivní. Byla izolována celá Ĝada vinca alkaloidĤ, pĜiþemž významné uplatnČní našli pĜedevším vincristin (používaný napĜ. pĜi léþbČ Hodgkinova lymfomu) nebo vinblastin, jež je strukturnČ velmi blízký vincristinu, má ovšem širší spektrum použití, napĜ. v terapii u akutní lymfoblastické leukemie þi karcinomu prsu. NeménČ významné je i cytostatikum paclitaxel, izolovaný z kĤry pacifického tisu.

Cl

O H3N

S

H3N Cl yperit

Pt

Cl

H3N

Cl

H3N

cisplatina

Pt

O O O

karboplatina NH2

Cl

N O

O O N P NH

Cl

O

cyklofosfamid

F

HN N H

5-fluoruracil

O

N

HO HO OH cytarabin

Obrázek 1. Strukturní vzorce nČkterých cytostatik. 3. Antivirotika Viry jsou nejjednodušší formou života, jsou tvoĜeny pouze vláknem DNA þi RNA a proteinovým obalem. I pĜes svou relativnČ jednoduchou strukturu zpĤsobují velké množství významných infekþních chorob (chĜipka, spalniþky, rĤzné typy oparĤ, hepatitida, variola, …). Proti nČkterým z tČchto onemocnČní je k dispozici úþinná vakcína, proti nČkterým virĤm byla vyvinuta léþiva specificky blokující nČkterý virový

17

enzym, tzv. antivirotika (virostatika). Ovšem proti nČkterým onemocnČním zpĤsobenými viry nebyla doposud vyvinuta žádná úþinná terapie. Vzhledem k vysoké infekþnosti nČkterých virĤ dochází þasto ke vzniku epidemií a pandemií. NČkteré viry také prokazatelnČ vyvolávají nádorová onemocnČní, napĜ. virus lidské hepatitidy B a C (HBV, HCV) pĤsobí karcinomy jater. Klasifikace virĤ pocházející z roku 1999 uvádí tĜi hlavní skupiny. DNA, RNA viry a retroviry. Mezi retroviry patĜí i virus HIV zpĤsobují nespornČ nejpopulárnČjší onemocnČní posledních dekád – AIDS. NejvČtší poþet nakažených je v souþasnČ dobČ v Indii a v Africe a celkový poþet se pohybuje ĜádovČ v milionech. Klasifikace antivirotik je opČt založena na jejich mechanismu úþinku. Mohou zasahovat do rĤzných fází životního cyklu viru. Velmi zajímavou historii má variola (virus pravých neštovic). První zmínky o tomto viru jsou datovány již do 7. století. NejvýznamnČjším mezníkem v historii varioly byl však rok 1796, ze kterého pochází záznamy o první léþbČ varioly. Tehdy si anglický lékaĜ Edward Jenner všiml, že lidé, kteĜí prodČlali tzv. kravské neštovice, jsou vĤþi viru varioly imunní. Provedl první úspČšnou vakcinaci proti neštovicím osmiletému chlapci, kterému aplikoval hnis z vĜídkĤ kravských neštovic. BČhem let 1967-1977, na které SvČtová zdravotnická organizace (WHO) vyhlásila celosvČtovou akci „Smallpox Eradication“, byla prooþkována témČĜ celá populace. Dnes jsou za pĜísných bezpeþnostních podmínek uloženy kultury varioly jen na nČkolika místech na svČtČ (USA, Rusko) a stále se hledá úþinný lék. K dalším závažným virovým onemocnČním patĜí bezesporu chĜipka. ChĜipkové viry (influenzaviry) zpĤsobují každoroþnČ rozsáhlé epidemie, tyto epidemie však pro vČtšinu lidí nepĜedstavují žádnou hrozbu. Obþas však dochází k nebezpeþným mutacím influenzaviru, který se vyznaþuje zvýšenou infekþností a pro Ĝadu lidí se stává smrtelným. V historii lidstva bylo zaznamenáno nČkolik pĜípadĤ epidemií, z nichž první je datována do roku 1889-90 jako tzv. ruská chĜipka. Poþet mrtvých následkem této epidemie (asi 1 milion) však byl pouze „slabou“ formou toho, co následovalo v letech 1918-1920. V tČchto letech zasáhl celý svČt virus tzv. španČlské chĜipky, který zpĤsobil nejvČtší a nejstrašnČjší pandemii všech dob. Virem španČlské chĜipky bylo nakaženo 500 milionĤ lidí, z nichž se odhaduje, že 40 až 50 milionĤ zemĜelo. Nejstarší, ale dosud používanou látkou pĜi léþbČ influenzavirĤ je amantadin (Obrázek 2.). Tato látka byla vyvinuta v 70. letech firmou Dupont jako historicky první úþinná protivirová látka. PozdČji se však ukázalo, že je neurotoxická, proto se dnes používá spíše jako antiparkinsonikum. Amantadin bývá nahrazován rimantidinem (Obrázek 2.), který nemá vedlejší úþinky na centrální nervový systém. V souþasnosti jsou velice intenzivnČ a stále þastČji diskutovány epidemie ptaþí þi praseþí chĜipky a s tím spojený preparát obsahující úþinnou látku oseltamivir (Obrázek 2.). Látka byla vyvinuta kalifornskou firmou Gilead Sciences a na trh uveden pod znaþkou TAMIFLUTM firmou Roche. Jako úþinná látka se používá její sĤl s kyselinou fosforeþnou, oseltamivir fosfát. Nejstarším nukleosidovým antivirotikem je 5-jodo-2´-deoxyuridine, které se používá v oþním lékaĜství k léþbČ herpesvirové keratitidy (zánČt rohovky). Za zmínku stojí také acyclovir, jakožto širokospektrální antiherpetikum (k léþbČ oparĤ). První zmínka o tomto derivátu pochází z roku 1974, kdy byl pĤvodnČ vyvíjen jako inhibitor adenosindeaminasy. Dnes se prodává pod názvem ZOVIRAXTM.

18

S objevem viru HIV v roce 1983 byly hledány preparáty použitelné k léþbČ AIDS. Prvním lékem proti AIDS byl azidothymidin (Obrázek 2.). PĤvodnČ byl vyvinut Horwitzem v roce 1964 jako potenciální protinádorový preparát, ovšem po objevu HIV testován jako anti-HIV preparát. Stal se historicky prvním licencovaným lékem proti onemocnČní AIDS. O

O H3C

NH2

H2N O

NH2

N H

CH3

HN

O

O

N

HO

O

O N3

amantadine

rimantidine

oseltamivir

azidothymidin

Obrázek 2. Strukturní vzorce nČkterých antivirotik. V souvislosti s vývojem antivirotik v ýR je nespornČ spjato jméno jednoho z našich nejvýznamnČjších chemikĤ. Jde o prof. Antonína Holého z Ústavu organické chemie a biochemie AV ýR. Je to pĜedevším organický chemik, syntetik, který svĤj život zasvČtil vývoji nových antivirotik a cytostatik. K nejvýznamnČjším úspČchĤm práce prof. Holého v aplikované chemii patĜí antiherpetikum DUVIRAGELTM (Léþiva Praha), originální postup pĜípravy azidothymidinu (AZT) (Lachema Brno) a zejména antivirové preparáty VISTIDETM (cidofovir), VIREADTM (tenofovir) a HEPSERATM (adefovir) (Obrázek 3.).

NH2 N N

NH2

N N O

O P O O

N

O O

O

N O

O O

adefovir

O P OH OH

OH cidofovir

Obrázek 3. Cidofovir, adenovir. Úþinná látka antiherpetika DUVIRAGELTM je datována do roku 1976. DUVIRAGELTM je stále používán jako prostĜedek proti oparĤm. K dalším úspČchĤm prof. Holého mĤžeme pĜiþíst syntézu látek obecnČ oznaþovaných jako fosfonáty, které se projevily jako širokospektrální DNA antivirotika. Poprvé byly 19

popsány v roce 1986 a o deset let pozdČji – 1996 – byl v USA schválen pro klinické použití VISTIDETM pro léþení cytomegalovirové retinitidy (zánČt oþní sítnice). Cidofovir (úþinná látka VISTIDETM) se také projevil jako úþinný proti variole. V roce 1993 byl poprvé popsán tenofovir, jakožto derivát velmi aktivní vĤþi viru HIV. V roce 2001 bylo v USA schváleno jeho orální profarmakum VIREADTM (tenofovir disoproxil) a v souþasnosti je jedním z neúþinnČjších lékĤ proti AIDS. Používání preparátu VIREADTM je schváleno v mnoha státech svČta. Na trhu se také objevily další dva preparáty s obsahem tenofoviru – TRUVADATM a ATRIPLATM. Zatím poslední látkou pocházející z laboratoĜe prof. Holého je adefovir, který byl poprvé zmínČn v roce 1986 jako látka s významnou úþinností proti retrovirĤm. Na podzim roku 2002 bylo schváleno jeho profarmakum HEPSERATM (adefovir dipivoxil) pro léþení chronické hepatitidy typu B. 4. Vývoj léþiv V tomto textu byla zmínČna celá Ĝada preparátĤ používaných k léþbČ nádorových onemocnČní i onemocnČní virového pĤvodu. Ovšem cesta, kterou musí úspČšné preparáty urazit od objevení biologických úþinkĤ nové látky až k tomu, než se tato látka dostane na trh ve formČ etablovaného preparátu, není krátká. Musí projít nČkolika etapami vývoje. Celý proces je zahájen vstupními zkouškami, kdy je potenciální preparát testován in vitro na tkáĖových kulturách bunČk. Poté nastává preklinická fáze vývoje, bČhem které je testována toxicita potenciálního preparátu na pokusných zvíĜatech a pokud látka projde tČmito testy, nastává klinická fáze I. Zde už se látka testuje na þlovČku. U antivirotik pĜichází na Ĝadu dobrovolníci, u cytostatik pak pacienti, pro nČž jsou tyto testy mnohdy poslední nadČjí. Dále následuje klinická fáze II., kdy se testování látky rozšiĜuje na vČtší skupinu pacientĤ. Poslední klinickou fází je klinická fáze III, které se úþastní celá Ĝada pacientĤ z více zemí a po této fázi následuje þasto zdlouhavý proces schvalování nového léku komisí odborníkĤ. V koneþné IV. fázi klinických zkoušek se sledují vedlejší úþinky a nežádoucí reakce. 5. ZávČr Jak z pĜedchozího textu plyne, vývoj nových léþiv je proces zdlouhavý, vyžadující úzkou spolupráci velké skupiny lidí i farmaceutického prĤmyslu. Vývoj nových látek je proces nároþný nejen þasovČ, ale i finanþnČ, je to proces nepĜedvídatelných náhod a mnohdy i otázkou notné dávky štČstí. 6. Použitá literatura 1. 2.

20

Holý, A. (2004). Principy bioorganické chemie ve vývoji antivirotik a cytostatik. UP Olomouc. Hampl, F.; Rádl, S.; Paleþek, J. (2007). Farmakochemie. VŠCHT Praha.

VOLUMETRICKÉ STANOVENÍ VÍCESYTNÝCH KYSELIN

Baizová Pavlína PĜírodovČdecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci, TĜ. 17. listopadu 12, Olomouc , ýeská republika. E-mail:[email protected] Abstrakt Cílem semináĜe bylo rozšíĜit znalosti stĜedoškolských studentĤ z oboru kvantitativní analytické chemie o problematiku volumetrického stanovení vícesytných kyselin. Studenti byli seznámeni nejen se základními pojmy volumetrie, ale pĜedevším bylo jejich úkolem využít získané znalosti pĜi experimentu. Úkolem bylo stanovení koncentrace kyseliny trihydrogenfosforeþné titrací do prvního i druhého stupnČ. Studenti mČli pĜíležitost zdokonalit svoje experimentální dovednosti, ovČĜit si teoretické poznatky v praxi a své výsledky vyhodnotit. 1. Úvod Hlavním zámČrem semináĜe bylo pĜipravit pro studenty, kteĜí mají zájem o pĜírodní vČdy téma, které rozšíĜí jejich znalosti a dovednosti a souþasnČ zvýší jejich zájem. Mezi studenty je nejvíce oblíbena experimentální þinnost, pĜi které si mohou ovČĜit své teoretické znalosti v praxi. Proto bylo pro semináĜ vybráno volumetrické stanovení vícesytných kyselin. Studenti si rozšíĜí své základní znalosti o volumetrii o další poznatky. V rámci experimentu se studenti pĜesvČdþí o své pĜesnosti a experimentální zruþnosti. 2. Volumetrie Volumetrie (titrace) je metoda kvantitativní analýzy založená na mČĜení objemu odmČrného roztoku pĜesnČ známé koncentrace, kterého je tĜeba k tomu, aby reakce se stanovovanou složkou kvantitativnČ probČhla. Podle charakteru reakce rozdČlujeme volumetrická stanovení do nČkolika skupin : neutralizaþní (acidobazické), srážecí, komplexotvorné a oxidaþnČ-redukþní. Pro alkalimetrické titrace (stanovení kyselin) se jako odmČrná þinidla používají nejþastČji roztoky hydroxidĤ (draselného, sodného, barnatého). Roztoky používané jako titraþní þinidla nelze pĜipravit o pĜesné koncentraci. Musí se proto stanovit jejich pĜesná koncentrace titrací tzv. standardních látek, které mají definované složení. Pro standardizaci roztoku NaOH se používá kyselina šĢavelová. Konec titrace nastává v bodČ ekvivalence. Bod ekvivalence se urþuje buć vizuálnČ (barevné indikátory) nebo instrumentálními analytickými metodami (potenciometre, konduktometrie,..). Neutralizaþní indikátory se vyznaþují tím, že pĜi urþité zmČnČ pH roztoku mČní své zbarvení. Tato zmČna nastává v bodČ ekvivalence nebo v jeho tČsné blízkosti. Indikátory v neutralizaþní analýze jsou organické kyseliny nebo zásady, jejichž disociovaná forma má jinou barvu a strukturu než forma nedisociovaná. Funkþní oblast indikátoru (barevný pĜechod indikátoru) je rozsah mezi dvČmi hodnotami pH, mezi nimiž pozorujeme barevnou zmČnu. Zrakem postĜehneme zmČnu, pĜejde-li asi 10% 21

jedné formy indikátoru ve druhou a konec barevného pĜechodu postĜehneme, když se zmČnilo 90% v druhou formu. Protože citlivost lidského oka na rĤzné barvy je rozdílná, není funkþní oblast jednotlivých indikátorĤ stejnČ široká. Pro správnou volbu indikátoru musíme znát prĤbČh pH pĜi titraci a hodnotu pH roztoku v bodČ ekvivalence tzv. titraþní exponent pT. Titraþní exponenty pro vícesytné kyseliny lze urþit pomocí disociaþních konstant jednotlivých disociaþních stupĖĤ pTn = 0,5 (pKn + pKn+1) 3. Stanovení vícesytných kyselin Alkalimetricky lze stanovovat jednosytné kyseliny, smČs jednosytných kyselin a také kyseliny vícesytné. PĜíkladem titrace vícesytné kyseliny je titrace kyseliny trihydrogenfosforeþné hydroxidem sodným. V roztoku H3PO4 (trojsytné kyseliny) se ustavují 3 rovnováhy s pĜíslušnými disociaþními konstantami: H3PO4 ļ H+ + H2PO4H2PO4- ļ H+ + HPO42HPO42- ļ H+ + PO43-

K1 = 7,5.10-3 K2 = 6,2.10-8 K3 = 4,8.10-13

pK1 = 2,23 pK2 = 7,21 pK3 = 12,3

Je-li rozdíl mezi hodnotami disociaþních konstant dostateþnČ velký ( pKn+1 – pKn • 4 ) je možno pĜesnČ titrovat vícesytnou kyselinu do jednotlivých stupĖĤ. PĜi menším rozdílu v disociaþních konstantách je zmČna v okolí bodu ekvivalence pozvolná a stanovení není pĜesné. Z disociaþních konstant H3PO4 je zĜejmé, že konstanta K1 odpovídá silné kyselinČ, konstanta K2 slabé kyselinČ a konstanta K3 velmi slabé kyselinČ, která pro odmČrné stanovení nemá význam. Kyselinu fosforeþnou lze proto titrovat do prvního i druhého stupnČ. Z disociaþních konstant urþíme titraþní exponenty. PĜi titraci H3PO4 do prvního stupnČ je pT1=0,5(2,23+7,21)=4,72. Pro titraci do prvního stupnČ lze použít indikátor methyloranž, který má funkþní oblast pĜi pH roztoku v rozmezí 3,1 – 4,5. PĜi pH<3,5 pĜevažuje v roztoku nedisociovaná forma methyloranže (þervená), zatímco pĜi pH>4,5 pĜevažuje v roztoku forma disociovaná (žlutá). Aþkoliv je hodnota pT1 nad funkþní oblastí methyloranže, lze ji použít, protože pĜi výpoþtu pH v bodČ ekvivalence nebyl uvažován vliv rozpuštČného CO2 (rovnováha CO2/HCO3- ). Titraci je proto tĜeba ukonþit dĜíve. Barevný pĜechod methyloranže není náhlý, správný odstín roztoku se zjistí porovnáním barvy roztoku v titraþní baĖce se srovnávacím roztokem, který má stejné složení jako titrovaný roztok v bodČ ekvivalence. PĜi titraci H3PO4 do druhého stupnČ je pT2=0,5(7,21+12,3)=9,76. Pro titraci do druhého stupnČ lze použít indikátor fenolftalein, který má funkþní oblast pĜi pH roztoku v rozmezí 8,2-10,0. Hlavním cílem ve volumetrii je zjistit obsah stanovované složky na základČ spotĜeby titraþního þinidla. nA = nR . ft VA . cA = VR . cR . ft

22

nA…….. látkové množství stanovované látky (H3PO4) nR…… ..látkové množství titraþního þinidla (NaOH) ft.............titraþní pĜepoþítávací faktor=pĜevrácená hodnota pomČru þíselných koeficientĤ v rovnici chemické reakce Z rovnic je zĜejmé, že v pĜípadČ titrace H3PO4 do prvního stupnČ ft = 1 a do druhého stupnČ ft= ½.

pH

Titraþní kĜivka H3PO4

12

pT2

8

4

0

pT1

V O H

−

[ml]

4. Pracovní postup V rámci experimentu provedou studenti titraci H3PO4 do prvního a druhého stupnČ. Koncentrace titraþního þinidla byla pĜedem stanovena. Chemikálie: 0,1M NaOH –standardizovaný na kyselinu šĢavelovou, methyloranž, fenolftalein Titrace do prvního stupnČ Do titraþní baĖky odpipetujte 10 ml vzorku. PĜidejte 2-3 kapky methyloranže (roztok musí být zĜetelnČ þervený). Titrujte odmČrným roztokem NaOH až do oranžovČžlutého zbarvení („cibulovČ oranžový“). Zaznamenejte spotĜebu odmČrného NaOH na konci 23

titrace. Provećte 3 stanovení a vypoþtČte koncentraci kyseliny fosforeþné ve vzorku. Koncentrace titraþního þinidla (NaOH) byla stanovena titrací kyseliny šĢavelové. Titrace do druhého stupnČ Do titraþní baĖky odpipetujte 10 ml vzorku. PĜidejte 2-3 kapky fenolftaleinu. Titrujte odmČrným roztokem NaOH až do rĤžového zbarvení. Zaznamenejte spotĜebu odmČrného NaOH na konci titrace. Provećte 3 stanovení a vypoþtČte koncentraci kyseliny fosforeþné ve vzorku. 4. ZávČr Cílem semináĜe bylo pĜiblížit studentĤm problematiku stanovení vícesytných kyselin. Studenti se seznámili nejen se základy volumetrie, ale pĜedevším mČli možnost zdokonalit svoje experimentální dovednosti.

5. Použitá literatura 1. 2.

24

Vondrák D., Vulterin J.: Analytická chemie, SNTL Praha, 1985. Kotouþek M.: PĜíklady z analytické chemie, UP Olomouc, 1982.

KATALYZÁTORY CHEMICKÝCH A BIOCHEMICKÝCH REAKCÍ

Ludmila Zajoncová Katedra biochemie PĜírodovČdecké fakulty, ŠlechtitelĤ 11,Olomouc-Holice, ýeská republika. E-mail: [email protected] Abstrakt NČkteré reakce za bČžných podmínek neprobíhají, potĜebují pĜítomnost katalyzátoru. Pokud se jedná o reakce v živých organismech, pak jsou tČmito katalyzátory enzymy. Jsou to složité proteinové molekuly, které jsou schopny pĜemČĖovat jednu látku nebo skupinu látek (tzv. substrát) za vzniku produktu. Obvykle reakce probíhá za mírných podmínek. Enzymy nacházejí uplatnČní v biotechnologických procesech, pĜi výrobČ dĤležitých surovin, pĜedevším v potravináĜském a farmaceutickém prĤmyslu. Pro opakované použití enzymĤ lze využít jejich imobilizaci na pevné nosiþe, nejmodernČjšími nosiþi se stávají v poslední dobČ magnetické nanoþástice. 1. Úvod Katalyzátory umožĖují, aby nČkteré reakce probíhaly, jiné urychlují a dovolují, aby probíhaly za mírných reakþních podmínek. Katalyzátory se úþastní reakcí, ale vystupují z nich v nezmČnČné formČ. Katalyzátory snižují aktivaþní energie. Pro každou reakci existuje jistá aktivaþní energie, kterou musí mít molekuly, aby jejich srážky pĜi chemické reakci byly úþinné. PĜítomnost katalyzátoru vede reakci jiným reakþním mechanismem, u kterého je aktivaþní energie každé dílþí reakce nižší, než energie pĤvodní nekatalyzované reakce. Bez katalyzátoru by nČkterá reakce vĤbec neprobČhla, anebo by probČhla za velmi složitých podmínek (vysoká teplota, tlak, dlouhá reakþní doba apod.). Jako pĜíklad se dá uvést þasto provádČný školní pokus s kostkou cukru. Pokud chceme kostku cukru zapálit nad kahanem, nepodaĜí se nám to, cukr taje, ale nehoĜí. Pokud kostku cukru obalíme cigaretovým popelem, podaĜí se nám ji lehce zapálit. Cigaretový popel zde funguje jako katalyzátor. 2. Enzymy - katalyzátory v živých organismech Mezi vysoce selektivní katalyzátory patĜí enzymy. Enzymy katalyzují životní projevy živoþichĤ, rostlin a mikroorganismĤ. Všechny tyto projevy jsou totiž spojeny s neuvČĜitelným množstvím chemických reakcí, které probíhají v organismech za pĜítomnosti katalyzátorĤ - enzymĤ. V lidském tČle pĤsobí tisíce enzymĤ, které pomáhají obnovovat opotĜebené buĖky v tČle, pĜemČĖují výživné látky na energii a stavební souþásti, zneškodĖují odpadní látky, brání pĤsobení choroboplodných zárodkĤ, hojí poranČní. Každý enzym je v organismu specialista, který má jeden úkol a ten zvládá dokonale a pĜesnČ. Enzymy si organismy syntetizují samy, jsou to proteiny, které jsou v organismu neustále obnovovány podle jeho potĜeb. 25

Okolní prostĜedí (rostliny, živoþichové, mikroorganismy) nám poskytují širokou škálu enzymĤ, které plní své funkce v organismu, pokud jsou citlivČ izolovány z pĤvodního prostĜedí, mohou se stát významným nástrojem pro Ĝešení problémĤ v celé ĜadČ oborĤ, napĜíklad v analytické chemii þi biotechnologiích. PĜi požadavku na analýzu urþité látky se na poþátku hledá vhodný enzym, který katalyzuje pĜemČnu požadované analyzované látky. Analyzovaná látka je pak oznaþována jako substrát. enzymu. 3. Enzymy v biotechnologických procesech V biotechnologických procesech se používá celá Ĝada enzymĤ, které umožĖují provedení chemických reakcí rychle, s velkým výtČžkem a za mírných reakþních podmínek. Zde bych uvedla nČkolik biotechnologických procesĤ, které vedou k výrobČ rĤzných produktĤ. Jde napĜíklad o výrobu glukosových sirupĤ ze škrobu (glukoamylasa), výrobu glukoso-fruktosových sirupĤ ze sacharosy (invertasa) þi výrobu D-galaktosy z laktosy (ze syrovátky pomocí β-galaktosidasy). Biotechnologické postupy se využívají i v jiných odvČtvích napĜíklad ve farmaceutickém prĤmyslu pĜi výrobČ penicilinu se používá jako katalyzátor penicilin G-acylasa. Pokud použijeme volný enzym, máme po skonþení reakce problém, jak je ze smČsi eliminovat. NČkdy postaþí pouhá denaturace enzymu napĜíklad zahĜátím produktu na vyšší teplotu. Jindy se provádí srážení enzymĤ a odstranČní sraženiny ze smČsi napĜíklad filtrováním nebo centrifugací. V každém pĜípadČ tento enzym už nelze použít znovu. Pro další reakci je tĜeba vložit novou dávku enzymu. ýasto je cena enzymu pomČrnČ vysoká, což je mĤže být dáno složitou cestou získávání enzymu nebo jeho nestabilitou þi krátkou životností. Proto se vČdci snažili nČjakým zpĤsobem enzymy upevnit ukotvit na pevný materiál. OdbornČ se tomu Ĝíká imobilizace enzymĤ. Takovým materiálem na poþátku byly napĜíklad dĜevČné piliny þi dĜevČné uhlí. PozdČji se zaþaly používat rĤzné nerozpustné polymery jako je methakrylát, polystyrén, mikrokuliþky chitosanu nebo silikagel. Pokud je enzym imobilizován na pevném nosiþi lze jej po skonþení biochemické reakce odstranit od výsledného produktu napĜíklad filtrováním smČsi, sedimentací þi filtrací. Na takovém principu vyrábí enzymy pro rĤzné biotechnologie firma Lentikat´s, což je þeská firma, které znaþnou þást své produkce vyváží do zahraniþí. Enzym je v tomto pĜípadČ zabalen do struktury polymeru, þemuž se Ĝíká enkapsulace. Jako polymer využívají polyvinylalkohol. ýasto mĤže být reakþní smČs silnČ viskózní þi nehomogenní, pak pĜi odstraĖování katalyzátoru nastávají problémy pĜi filtrování nebo centrifugování. Katalyzátor obsahuje enzym uvnitĜ své struktury a je tĜeba, aby se látka, která se má pĜemČĖovat dostala póry polymeru až k enzymu. Tomuto jevu se Ĝíká difúze, je závislá na velikosti póru polymeru. Všechny tyto problémy se nyní Ĝeší s využitím navázání enzymĤ na magnetické nosiþe. Zpoþátku se využívaly nosiþe velikosti mikroþástic a v posledních letech se do popĜedí dostávají magnetické nanoþástice. 4. Magnetické nanoþástice - nosiþe enzymĤ Magnetické nanoþástice se pĜipravují celou Ĝadou postupĤ, nejþastČji se používají koprecipitaþní metody, které se osvČdþily také v Centru významu nanomateriálĤ na PĜF. 26

V poslední dobČ se výzkum zamČĜil na nanoþástice z bakterií (Magnetospirillum gryphiswaldense). Tyto bakterie produkují magnetické nanoþástice tzv. magnetosomy ve svém tČle. Magnetosomy mají mnohem lepší vlastnosti, jsou všechny stejnČ velké a narozdíl od syntetických nemají tendenci se shlukovat. Z chemického hlediska se jedná o oxidy železa Fe3O4 (magnetit) þi γ-Fe2O3 (maghemit) o velikosti jednotek až 100 nm. Pokud je velikost tČchto þástic kolem 20 nm, pak se stávají superparamagnetické, což znamená, že mohou být ovládány vnČjším magnetickým polem. Vyznaþují se velkou plochou povrchu, která mĤže být využita pro navázání velkých biomolekul. Protože nanoþástice mají tendenci se shlukovat jsou obalovány (tzv. povrchovČ modifikovány) vrstviþkou polymeru (dextran, chitosan apod.), která zabraĖuje shlukování a zároveĖ na povrch nanoþástic vnáší funkþní skupiny, které umožní navázání bioaktivních látek. Pokud je na magnetické nanoþástice navázán enzym, mĤže být souþástí reakþního prostĜedí a jakmile reakce probČhne, je možné jej pomocí magnetu vytáhnout ze smČsi, opláchnout, desinfikovat a použít znovu pro další reakci. Výhodou je snadná manipulovatelnost s enzymem, nemusí se používat další dávka enzymu, což výrobu znaþnČ zlevní. Obr. 1. Magnetické nanoþástice (a-syntetické, b-magnetosomy uvnitĜ bakterií, c izolované magnetosomy)

a

b

c

4. ZávČr DĜívČjší prĤmyslová výroba byla znaþnČ energeticky nároþná, celá Ĝada chemických reakcí probíhala za vysokých teplot a tlakĤ. Chemická pĜemČna jedné látky na druhou mČla Ĝadu mezistupĖĤ. Zvolením vhodného pĜírodního katalyzátoru - enzymu, lze mnoho reakcí provádČt za mírných podmínek. Pokud zároveĖ je enzym imobilizován na pevný nosiþ, lze jej použít opakovanČ a znaþnČ tak snížit náklady na výrobu. 5. Použitá literatura 1. 2.

KlusoĖ P., Drobek M., Bartková H., Budil I. (2007) Vítejte v „NanosvČtČ“ Chem. Listy 101, 262-272. Tartaj P., Morales M.P., González-CarreĖo T., Veintemillas-Verdaguer S., Serma C.J. (2005) Advances in magnetic nanoparticles for biotechnology applications. J.Magn. Magn. Mater. 290-291, 28-34.

27

EFEKTNÍ POKUSY V CHEMII

Marta Kleþková, JiĜí Kameníþek Katedra anorganické chemie, PĜírodovČdecká fakulta Univerzity Palackého, 17. listopadu 12, 771 46 Olomouc , ýeská republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Realizace série efektních pokusĤ umožĖuje studentĤm získat praktické zkušenosti a také bezprostĜední kontakt s probíhajícími chemickými a fyzikálnČ-chemickými dČji, které sledují a následnČ zapíší chemickými rovnicemi a vysvČtlí jejich princip. 1. Úvod Studium vlastností látek je neodmyslitelnČ spojeno s experimentální þinností. Pedagogickými výzkumy je prokázáno, že reálné experimenty podnČcují zájem mladé generace o pĜírodní vČdy1. VýraznČ také napomáhají k pochopení probíhajících zmČn nejen ve sledované soustavČ, ale i v bČžném životČ a pĜírodČ kolem nás2. ěada jednoduchých chemických experimentĤ má velmi zajímavý a mnohdy i neþekaný prĤbČh, napĜ. dochází ke zmČnČ zbarvení reakþní smČsi, vznikne velmi rychle velké množství plynných produktĤ, což je doprovázeno silným zvukovým efektem nebo dojde k intenzivnímu hoĜení látek. Tyto pokusy zaujmou pĜedevším svým efektním prĤbČhem, ale málokdo ví, jaké vlastnČ chemické reakce probíhají. Reálné experimenty podnČcují studenty k otázkám proþ daný efektní jev (výbuch, oheĖ, zmČna barvy) nastal a snaží se „záhadu“ odhalit, zdĤvodnit a vysvČtlit3. PĜevážná þást pokusĤ, pĜi kterých dochází k hoĜení a explozi je oxidaþnČ-redukþní dČj. Proto byly vybrány právČ experimenty prezentují chemické reakce oxidaþnČ-redukþní neboli redoxní a také fyzikálnČ-chemické dČje doprovázené zajímavými zmČnami soustavy4. Studenti mají za úkol pokusy provést, popsat probíhající reakce chemickými rovnicemi a struþnČ vysvČtlit jejich princip. 2. Efektní experimenty (postupy a úkoly) Pokus 1 Redukþní úþinky alkoholu PomĤcky a chemikálie: širší kádinka 100 cm3, hodinové sklo nebo vČtší Petriho miska (na pĜikrytí kádinky), plynový kahan, pinzeta; mČdČná spirála (Cu drát o pĤmČru 1mm hustČ navinutý do 18 závitĤ s vnitĜním prĤmČrem 1cm), ethanol (F) Postup: 1. Do kádinky nalij asi do výšky 0,5 cm ethanol. 2. V plameni kahanu zahĜej spirálu do þerveného žáru a rychle ji postav do kádinky s ethanolem. 3. Sleduj, zda dochází k barevným zmČnám na spirále.

28

4. Vyzkoušej, jak ovlivní probíhající chemickou reakci pĜikrytí kádinky s Cu spirálou hodinovým sklem a její opČtovné odkrytí. POZOR ! ethanol se nČkdy mĤže zapálit, v tomto pĜípadČ okamžitČ pĜikryj kádinku hodinovým sklem nebo mokrým hadrem (zabrání se tak pĜístupu vzduchu). Úkoly (1): 1. Po ukonþení reakce se þichem pĜesvČdþí o vzniku nové látky, napiš její název ................................................................................................................... 2. DoplĖ rovnici: CH3CH2OH + CuO ĺ ……………… +

Cu + H2O

3. Zkus vysvČtlit prĤbČh pozorovaných zmČn .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. Pokus 2 HoĜení kovĤ

digestoĜ

a) hoĜení hoĜþíku PomĤcky a chemikálie: stojan síĢka, plynový kahan, ochranný štít; hoĜþíkové hobliny, stĜiþka s destilovanou vodou Postup: 1. Nasać si ochranný štít! 2. Na síĢku nasyp cca malou lžiþku hoĜþíku a zapal ho (pĜímo plamenem kahanu). 3. HoĜící hoĜþík zkus zahasit vodou (stĜíkej malý proud vody do plamene ze stĜiþky). .POZOR pĜi „hašení“ mohou odlétávat jiskry hoĜícího hoĜþíku. Úkol (2a): 1. Zapiš chemickou rovnicí probíhající reakce .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. 2. ZdĤvodni, proþ se nedaĜí hoĜící Mg uhasit? .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. b) hoĜení kovĤ PomĤcky a chemikálie: tvrdý papír, lžiþka, prázdná stĜiþka, ochranné brýle, plynový kahan; práškové kovy – mČć, železo, zinek…; kovový drát (Cu, Fe…) Postup: 1. Uchop kovové dráty do kleští, vlož je do plamene a silnČ zahĜívej do þerveného žáru. Poté je odlož na nehoĜlavou položku. 2. Z tvrdšího papíru (3 x 20) cm zhotov žlábek, do kterého nasyp 1/2 malé lžiþky práškového kovu (napĜ. Zn, Cu, Fe apod.). 3. Nasać si ochranné brýle.

29

4. Pomocí prázdné stĜiþky sfoukni z papíru práškový kov pĜímo do plamene. ƒ MĤžeš vytvoĜit i smČs kovĤ a sfouknout je stĜiþkou do plamene. Úkol (2b): 1. ZdĤvodni chování kovĤ pĜi zahĜívání v plameni (drát – práškový kov). .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. 2. Zapiš chemickou rovnicí probíhající reakce. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. Pokus 3 HoĜící gumové bonbóny PomĤcky a chemikálie: zkumavka, kahan, laboratorní stojan, miska s pískem nebo porcelánová miska, ochranný štít, chemické kleštČ nebo pinzeta; chloreþnan draselný, bonbón - kousek gumového medvídka Postup: 1. Do zkumavky nasyp chloreþnan sodný asi do výšky 1 cm (maximálnČ!), zkumavku upevni ve stojanu a podlož ji miskou s pískem resp. porcelánovou miskou. Nasać si ochranný štít (brýle). 2. Chloreþnan ve zkumavce zahĜívej, až vznikne tavenina. 3. Do taveniny vhoć kousek gumového bonbónu (použijte chemické kleštČ resp.pinzetu) a sleduj reakci. Úkol (3): 1. Zapiš chemickou rovnicí termický rozklad chloreþnanu draselného. .............................................................................................................................................. Pokus 4 Výbušnost smČsi chloreþnanu draselného s hoĜlavými látkami

digestoĜ

PomĤcky a chemikálie: tenký papír (napĜ. prĤklepový) velikosti cca 10x10 cm, špachtle, kladivo, nehoĜlavá podložka (stojan), chloreþnan draselný (O,Xn), þervený fosfor (P) (F, N), ochranný štít Postup: 1. Nasać si ochranný obliþejový štít. 2. Pouhým pĜesýpáním na papíĜe smíchej na 2 špiþky špachtle chloreþnanu draselného s malým množstvím þerveného fosforu (cca 1/5 obj. množství KClO3). 3. Pak smČs zabal do kousku tenkého papíru a na nehoĜlavé podložce (betonová dlaždice, kovový stojan) do ní uhoć kladívkem. ObdobnČ reaguje síra. Úkol (4): 1. Zapiš chemickou rovnicí probíhající reakci. .............................................................................................................................................. 30

Pokus 5 Chemická sopka na stole PomĤcky a chemikálie: síĢka, špejle, porcelánová miska, váhy, lžiþka, arch filtraþního papíru; dichroman amonný (E, T+, N) Postup: 1. Na azbestovou síĢku podloženou archem filtraþního papíru nasyp „kopeþek“ dichromanu amonného (navaž 2,5 g - cca jednu rovnou lžiþku) a zapal ho hoĜící špejlí. 2. Pozorované zmČny zaznamenej. 3. Vzniklý oxid chromitý sesyp do (pĜedem zvážené) porcelánové misky opČt zvaž. 4. Vypoþítej teoretický výtČžek reakce a porovnej experimentálnČ zjištČnou hmotnost produktu. Úkol (5): 1. Zapiš chemickou rovnicí probíhající reakci .............................................................................................................................................. 2. Vypoþítej teoretický výtČžek reakce, porovnej experimentálnČ zjištČnou hmotnost produktu. teorie (výpoþet): .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. experiment (hmotnost produktu):.............................................. Pokus 6 HoĜení methylesteru kyseliny borité PomĤcky a chemikálie: stojan, držák, síĢka, vaĜiþ resp. plynový kahan, špejle, zápalky, sklenČná baĖka, zátka se sklenČnou trubiþkou (až 1 m dlouhá), lžiþka; kyselina boritá, methanol (F, T) Postup: 1. Do baĖky upevnČné na stojanu nasyp 2 lžiþky kyseliny borité a pĜidej 20 cm3 methanolu. 2. BaĖku uzavĜi zátkou se sklenČnou trubiþkou opatrnČ zahĜívej. 3. K ústí trubiþky pĜilož hoĜící špejli. 4. Pozoruj zbarvení plamene. Úkol (6): 1. DoplĖ chemickou rovnici probíhající reakce H3BO3 + 3 CH3OH ĺ ………………………………….. + 3 H2O trimethylester kyseliny borité 2. Jakou barvu má plamen hoĜícího esteru?

..........................................................

31

Pokus 7 Antimon kreslíĜ PomĤcky a chemikálie: malý porcelánový kelímek, chemické kleštČ, lžiþka, plynový kahan, velká fotografická miska (víko od krabice), filtraþní papír, ochranný štít; kousky antimonu Postup: 1. Velkou fotografickou misku nebo víko krabice vylož filtraþním papírem (papír urovnej tak, aby tvoĜil rovnou plochu s ohnutými okraji). 2. Do porcelánového kelímku vlož kousek antimonu o velikosti 1 hrachu. 3. Nasać si ochranný štít! 4. Kelímek uchop do kleští a nad plamenem kahanu antimon roztav (až se vytvoĜí stĜíbrolesklá kuliþka). 5. Roztavený antimon z výšky 40 – 50 cm vylij rychle na filtraþní papír. POZOR - kousky roztaveného antimonu mohou „vyskoþit“ z misky! Kuliþky antimonu na závČr sesyp zpČt do zásobní prachovnice. Pokus 8 Vodotrysk NH3 – rozdČlená dvojbarevná fontána digestoĜ PomĤcky a chemikálie: vČtší varná baĖka (min. 250 cm3), zátka se sklenČnou trubiþkou (min. 20 cm dlouhá, trubiþka vytažená do špiþky bude smČĜovat smČrem do baĖky), 2 velké kádinky (600 cm3), kahan; konc. vodný roztok amoniaku, 2 rĤzné acidobasické indikátory pro alkalickou oblast (bromthymolová modĜ, fenolftalein, výluh z þerveného zelí apod.), nasycený roztok chloridu sodného (asi 60 g NaCl rozpustíme v 250 cm3 vody), kyselina chlorovodíková, voda, ochranný obliþejový štít Postup: 1. Do velké kádinky naplnČné roztokem chloridu sodného pĜilij 1 cm3 acidobasického indikátoru a pĜikápni malé množství HCl až se indikátor zbarví intenzivnČ pro kyselou oblast. 2. Do druhé kádinky nalij vodu z vodovodu a pár kapek fenolftaleinu. 3. Nasać si ochranný štít. 4. Do kulaté baĖky nalij cca 3 cm3 konc. amoniaku a baĖku krátce zahĜívej nad kahanem (krouživým pohybem nad plamenem) až zaþne unikat amoniak uzavĜi ji zátkou se sklenČnou trubiþkou. 5. BaĖku ještČ chvíli zahĜívej (3-5 sec.) až zaþne unikat amoniak z trubiþky. 6. BaĖku rychle pĜevraĢ dnem vzhĤru a sklenČnou trubiþku vlož do kádinky s roztokem chloridu sodného. 7. Po chvíli zaþne voda stoupat trubiþkou vzhĤru. 8. Poþkej, až roztok v baĖce dosáhne cca 1/4 objemu baĖky (pozor - špiþka trubiþky uvnitĜ baĖky musí zĤstat nad hladinou najímaného roztoku), poté trubiþku pod hladinou peþlivČ ucpi ukazováþkem a pĜenes baĖku do druhé kádinky s vodou a fenolftaleinem a nechej ji stĜíkat opČt do baĖky. Úkol (8): 1. ZdĤvodni proþ voda prudce stĜíká do baĖky .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. 32

2. Popiš barevné zmČny vodotrysku a zdĤvodni rozvrstvení roztokĤ v baĖce závČru experimentu. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. 4. ZávČr Redoxní dČje hrají nezastupitelnou roli v biochemii i bČžném životČ (hoĜení, fotosyntéza rostlin, dýchání živoþichĤ, kvasné procesy, koroze aj.). Série zaĜazených experimentĤ názornČ pĜiblížuje studentĤm nČkolik zajímavých oxidaþnČ-redukþních reakcí. Získané praktické zkušenosti a dovednosti jim usnadní pochopení i složitČjších redoxních dČjĤ, se kterými se setkají pĜi dalším studiu. 5. Použitá literatura 1. 2. 3. 4.

Škoda, J.: Souþasné trendy v pĜírodovČdném vzdČlávání. Ústí n/Labem: Univerzita J. E. PurkynČ, 2005. Zahradník, R.: Jak to nejlépe Ĝíci mládeži. Chem.Listy 98,.823-824 (2004). Reguli, J.: Neformálne vzdČlávanie v oblasti chemie. Bratislava: STU, 2001. Kleþková, M., ŠindeláĜ, Z.: Školní pokusy z anorganické a organické chemie. Olomouc, Univerzita Palackého, 2007.

ěEŠENÍ (odpovČdi na otázky) Úkol (1): 1. Po ukonþení reakce se þichem pĜesvČdþí o vzniku nové látky, napiš název acetaldehyd - ethanal 2. DoplĖ rovnici: CH3CH2OH + CuO ĺ CH3CHO + Cu + H2O 3. Zkus vysvČtlit prĤbČh pozorovaných zmČn: Ethanol má redukþní úþinky redukuje CuO a vzniká Cu, která se za zvýšené teploty rychle po povrchu oxiduje zpČt na CuO. Pokud zabráníme pĜístupu vzduchu do reakþní smČsi (k reaktantĤm) spirála se vyþistí a zĤstává þistá mČć. DČj se opakuje, vznikající acetaldehyd je možno identifikovat þichem pĜípadnČ reakcí s Tollensovým nebo Fehlingovým þinidlem. Úkol (2a): 1. Zapiš chemickou rovnicí probíhající reakce 2 Mg + O2 ĺ 2 MgO Mg + H2O

t ⎯ ⎯→ MgO + H2

nebo

Mg + 2 H2O

t ⎯ ⎯→ Mg(OH)2 + H2

2 H 2 + O 2 ĺ 2 H 2O 33

2. ZdĤvodni, proþ se nedaĜí hoĜící Mg uhasit? Plamen se zvČtšuje, protože hoĜþík má velkou afinitu ke kyslíku, za vyšší teploty reaguje s vodou a zaþne hoĜet i uvolnČný vodík. Úkol (2b): 1. ZdĤvodni chování kovĤ pĜi zahĜívání v plameni (drát – práškový kov). Práškové kovy mají velký povrch a vzhledem k tomu, ze jsou elektropozitivní, snadno se oxidují za zvýšené teploty kyslíkem – v plameni hoĜí. 2. Zapiš chemickou rovnicí probíhající reakce. 2 Cu + O2 ĺ 2 CuO 4 Fe + 3 O2 ĺ 2 Fe2O3 2 Zn + O2 ĺ 2 ZnO Úkol (3): 1. Zapiš chemickou rovnicí termický rozklad chloreþnanu draselného. 2 KClO3 ĺ 2 KCl + 3 O2 nebo 4 KClO3 ĺ 3 KClO4 + KCl KClO4 ĺ KCl + 2 O2 Úkol (4): 1. Zapiš chemickou rovnicí probíhající reakci Chloreþnan reaguje po úderu velmi bouĜlivČ (explozivnČ) se sírou i s fosforem za vzniku jejich oxidĤ: 2 KClO3 + 3 S ĺ 2 KCl + 3 SO2 10 KClO3 + 3 P4 ĺ 10 KCl + 3 P4O10 Úkol (5): 1. Zapiš chemickou rovnicí probíhající reakci (NH4)2Cr2O7

ĺ

Cr2O3 + N2 + 4 H2O

2. Vypoþítej teoretický výtČžek reakce, porovnej experimentálnČ zjištČnou hmotnost produktu. teorie: cca 1,5 g Cr2O3 experiment: na vahách urþíme hmotnost vzniklého Cr2O3 Úkol (6): 1. DoplĖ chemickou rovnici probíhající reakce H3BO3 + 3 CH3OH ĺ B(O-CH3)3 + 3 H2O trimethylester kyseliny borité 1. Jakou barvu má plamen hoĜícího esteru?

34

.........zelenou.............

Úkol (8): 1. ZdĤvodni proþ voda prudce stĜíká do baĖky Amoniak má velkou rozpustnost ve vodČ, proto ihned po nasátí malého množství vody se rychle plynný amoniak pohltí ve vodČ a v baĖce vznikne podtlak a voda je vlivem atmosférického tlaku prudce nasávána do baĖky a stĜíká – vodotrysk. 2. Popiš barevné zmČny vodotrysku a zdĤvodni rozvrstvení roztokĤ v baĖce závČru experimentu. Nasycený roztok NaCl má vyšší hustotu, proto zĤstává ve spodní þásti baĖky a je pĜevrstvený vodným roztokem amoniaku, který má menší hustotu. Zbarvení roztokĤ odpovídá barevné zmČnČ acidobasického indikátoru v zásaditém prostĜedí (napĜ. fenolftalein – þervenofialovČ zbarvený roztok, bromthymolová modĜ – modrý roztok).

35

Sekce

Fyzika

LASERY PRO HOLOGRAFII

Tomáš MedĜík Katedra optiky a optoelektroniky Palackého univerzity,17. listopadu 12, Olomouc, ýeská republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Lasery pĜinesly do mnoha odvČtví fyziky nové podnČty, které vedly k rozvoji myšlenek do té doby velmi obtížnČ realizovatelných. Holografie pĜedstavuje právČ takovou myšlenku, která by se bez laserĤ nerozvinula do dnešní podoby. V této pĜednášce se tak budeme vČnovat holografickým uspoĜádáním pro záznam optických hologramĤ pomocí laseru. SamozĜejmČ si povíme i nČco více o principech této metody se zamČĜením na popis dvou odlišných typĤ hologramĤ, transmisního amplitudového a reflexního fázového hologramu. 1. Úvod Holografie je forma záznamu obrazu, která umožĖuje zaznamenat informaci o amplitudČ i fázi svČtelné vlny. Termín holografie vznikl složením dvou Ĝeckých slov „holos“ – úplný a „grafo“ – záznam. Za objevitele holografie je považován britský fyzik maćarského pĤvodu (emigroval pĜed nacisty) D. Gabor, který v roce 1948 realizoval první hologramy a v roce 1971 obdržel za tento objev Nobelovu cenu za fyziku. PĤvodní myšlenkou bylo zlepšit rozlišovací schopnost elektronových mikroskopĤ. Pro technické problémy se metoda nerealizovala, ale Gaborem vymyšlený dvojstupĖový proces rekonstrukce vlnoplochy se stal základem optické holografie. 2. Princip holografie Holografie je založena na dvoustupĖovém procesu, prvním stupnČm je záznam hologramu, kdy pomocí interference (skládání) svČtelných vln lze zaznamenat informaci o amplitudČ i fázi vlny, i když záznamové prostĜedí reaguje pouze na intenzitu (amplitudu). Jak již bylo uvedeno, za objevitele holografie je považován britský fyzik maćarského pĤvodu D. Gabor, který v roce 1948 získal první hologramy pomocí interference mezi svČtlem procházejícím pĜedmČtem (diapozitivem) – pĜedmČtová vlna a pozadím – referenþní vlna, obr. 1. a). PĜi záznamu hologramu tedy interferuje pĜedmČtová vlna, vzniklá záĜením rozptýleným od pĜedmČtu s referenþní vlnou, jejíž vlnoplocha je známá. Výsledný interferenþní obrazec je zapsán do záznamového prostĜedí (napĜ. speciální fotografické emulze). Po zpracování, takto zaznamenaného interferenþního obrazce, dostaneme optický prvek – hologram. OsvČtlením hologramu vhodným zdrojem svČtla (nejlépe pĤvodní referenþní vlnou) na nČm dochází k difrakci a tím k rekonstrukci zaznamenané pĜedmČtové vlny. V pĜípadČ Gaborova osového hologramu dochází ke vzniku virtuálního obrazu (na místČ pĤvodního pĜedmČtu) a

39

reálného obrazu, obr. 1. b). Nevýhodou Gaborova osového uspoĜádání je, že pĜi rekonstrukci dochází k pĜesvČtlení rekonstruovaného obrazu pozadím a k pĜekrytí virtuálního a reálného obrazu (oba se rekonstruují na ose).

Obr. 1. a) Záznam Gaborova osového hologramu, b) rekonstrukce Gaborova osového hologramu Holografie pĜedstavuje nelokalizovaný typ záznamu informace, zatímco fotografie patĜí k lokalizovanému typu záznamu informace. Lokalizovaný typ záznamu informace znamená, že se bod zobrazí v ideálním pĜípadČ v zobrazovací rovinČ jako bod. V pĜípadČ rozlehlého pĜedmČtu odpovídá každému bodu pĜedmČtu pĜíslušný bod obrazu. Existuje podobnost mezi obrazem a pĜedmČtem, pĜi poškození záznamu ztrácíme informaci. Pro nelokalizovaný typ záznamu informace platí, že se bod zobrazí na záznamovém prostĜedí jako interferenþní mĜížka, pĜi záznamu více bodĤ se vytvoĜí interferenþní obrazec, složený z více mĜížek. Neexistuje podobnost mezi obrazem a pĜedmČtem (nČkteré typy hologramĤ jsou výjimkou), pĜi poškození záznamu neztrácíme informaci (je zapsána po celé ploše, na níž došlo k interferenci vln). Existuje možnost kódování pĜímo pĜi zápisu informace, použitím speciální referenþní vlny – rekonstrukce pĜedmČtové vlny je pak možná jen s použitím této speciálním vlny. 3. Lasery pro holografii D. Gabor získal první hologramy ještČ pĜed vynálezem laseru. Pro záznam hologramu je klíþovým jevem interference záĜení. Podmínkou interference je koherence, což znamená, že záĜení musí být monochromatické (mít stejnou frekvenci) a musí mít stejnou fázi nebo fázový rozdíl v každém bodČ a þase. Pro získání takového záĜení potĜebujeme speciální zdroj. PĜed objevem laseru byly takové zdroje realizovány pomocí výbojek. Výbojky vyzaĜují þárové svČtelné spektrum, ze kterého pomocí frekvenþního filtru vybereme jednu spektrální þáru a získáme tak monochromatické záĜení. Dále provedeme prostorovou filtraci pomocí vhodné dírkové clonky s malým kruhovým otvorem. Dostaneme svČtelnou vlnu s malým, ale dostateþným stupnČm koherence pro vznik interference. JeštČ pĜed použitím laseru pro záznam hologramu navrhl ruský vČdec J. N. Denisjuk v roce 1962 jiné uspoĜádání pro záznam hologramu. V jeho holografickém uspoĜádání je pĜedmČt umístČn za záznamovým materiálem. Vlna, která prochází tímto materiálem tvoĜí referenþní vlnu a interferuje s vlnou pĜedmČtovou, která vzniká odrazem od pĜedmČtu. Interferují tedy vlny, které se šíĜí protibČžnČ. Pomocí jeho uspoĜádání se zaznamenávají takzvané objemové reflexní hologramy. V roce 1960 byly pĜedstaveny první LASERy („Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation“, „zesílení svČtla stimulovanou emisí záĜení“) – pevnolátkový rubínový pulzní laser a také plynový HeNe (hélium-neonový) kontinuální laser. Lasery 40

jsou zdrojem záĜení s vysokým stupnČm koherence, což je podmínkou interference. Díky této vlastnosti a dostateþnému výkonu se staly klíþovým prvkem pro další rozvoj holografie. V roce 1962 ameriþtí vČdci E. N. Leith a J. Upatnieks použili laser k záznamu hologramu a také navrhli nové mimoosové holografické uspoĜádání, které odstranilo nevýhody Gaborova osového holografického uspoĜádání. Holografickou soustavu uspoĜádali tak, aby vlny pocházející od pĜedmČtu neinterferovaly pouze s pozadím, ale s oddČlenou svČtelnou vlnou – referenþním svazkem. Toto mimoosové uspoĜádání umožnilo pĜi rekonstrukci prostorovČ oddČlit získané obrazy od pozadí a také první trojrozmČrný záznam pĜedmČtu. Jedna z možných variant takového holografického uspoĜádání je na obr. 2. 4. Parametry laserĤ pro holografii Mezi hlavní parametry ovlivĖující výbČr zdroje (laseru) pro holografii patĜí: koherence (koherenþní délka), režim, vlnová délka a energie (výkon) zdroje. Koherence zdroje je nejdĤležitČjší parametrem pro optickou holografii, protože bez ní by nedocházelo k interferenci mezi referenþní a pĜedmČtovou vlnou a tím ke vzniku interferenþního obrazce, který tvoĜí hologram. Tento parametr, pĜesnČji koherenþní délka, má v holografii ještČ další význam. Jestliže zaznamenáváme hologram trojrozmČrného pĜedmČtu, musí být zmČny profilu pĜedmČtu menší, než je koherenþní délka. V místech, kde tomu tak není, nebude pĜedmČtová vlna interferovat s referenþní vlnou a nedojde k vytvoĜení interferenþního obrazce. Režim zdroje mĤže být kontinuální nebo pulzní, v pĜípadČ kontinuálního režimu je záĜení ze zdroje generováno spojitČ, tzn. laser v tomto režimu svítí stále. Tento režim se používá pro vČtšinu holografických aplikací. Chceme-li použít holografii pro záznam pohybu nebo portrétu, musíme použít pulzní režim. PĜi záznamu portrétu je nutné zabránit dlouhodobému pĤsobení laseru na portrétovanou osobu a v pĜípadČ pohybu musí být pulz kratší, než je zmČna pĜedmČtu pĜi pohybu. V pĜípadČ pohybu pĜedmČtu dochází ke vzniku interferenþních proužkĤ, kterými je hologram pĜekrytý, to vede ke znehodnocení zaznamenané informace. Vlnová délka záĜení, generovaného zdrojem, má vliv na to, jakou barvu bude mít výsledný hologram. VČtšina laserĤ generuje záĜení o jedné vlnové délce (monochromatické – jednobarevné svČtlo), chceme-li vícebarevný hologram, musíme použít více laserĤ nebo frekvenþnČ pĜeladitelné lasery. Vlnová délka zdroje také ovlivĖuje výbČr záznamového materiálu. NČkteré záznamové materiály jsou citlivé pouze na urþité vlnové délky a umožĖují záznam pouze lasery pracujícími v této spektrální oblasti. Posledním parametrem je energie (výkon) zdroje, který je dĤležitý ze dvou dĤvodĤ. Pro expozici potĜebujeme dostateþné množství energie, aby došlo k pĜíslušným zmČnám uvnitĜ záznamového prostĜedí a k zápisu interferenþního obrazce. Druhý dĤvod souvisí s pĜedmČtem, jehož hologram chceme zaznamenat. ýím je pĜedmČt vČtší a þím ménČ záĜení se od nČj dostane k záznamovému materiálu, tím vČtší výkon musíme použít k jeho osvČtlení. 5. PĜíklady hologramĤ zaznamenaných HeNe laserem K záznamu následujících hologramĤ byl použit kontinuální plynový HeNe laser s výkonem 10 mW a vlnovou délkou 632,8 nm, jeho koherenþní délka je asi 15 cm. Na obr. 2. je pĜíklad mimoosového holografického uspoĜádání pro záznam plošných 41

transmisních amplitudových hologramĤ. Zdroj záĜení je v tomto pĜípadČ již výše zmínČný HeNe laser. Pro nastavení doby expozice je použita mechanická fotografická závČrka. Svazek z laseru je rozdČlen pomocí dČliþe na dvČ vČtve: pĜedmČtovou a referenþní. PĜedmČtová vČtev pokraþuje z dČliþe pĜes zrcátko na þoþku, která svazek rozšíĜí tak, aby dostateþnČ osvČtloval pĜedmČt. Od pĜedmČtu se svČtelná vlna odráží a dopadá na záznamový materiál, kde interferuje s referenþní vlnou. Ta vychází z dČliþe svazku a po odrazu na zrcátku prochází þoþkou, která ji rozšíĜí tak, aby osvČtlovala záznamový materiál. V místČ záznamového materiálu vzniká interferenþní obrazec. Provádíme záznam transmisního amplitudového hologramu, jehož amplitudová propustnost je po vyvolání úmČrná intenzitČ vzniklého interferenþního obrazce. K rekonstrukci vyvolaného hologramu používáme stejný referenþní svazek jako pĜi záznamu, obr. 3. Na obr. 4. jsou ukázky rekonstruovaných plošných transmisních amplitudových hologramĤ. Stejný HeNe laser byl použit k záznamu objemových reflexních fázových hologramĤ. Tyto hologramy zaznamenáváme pomocí upraveného Denisjukova holografického uspoĜádání, obr. 5. Svazek z laseru prochází pĜes fotografickou závČrku, kterou kontrolujeme dobu expozice, dále je rozšíĜen a filtrován pomocí prostorového filtru. Takto upravený svazek prochází skrz záznamové prostĜedí, jež tvoĜí speciální holografická emulze, urþená k záznamu reflexních hologramĤ, nanesená na sklenČné desce. Po prĤchodu záznamovým prostĜedím dopadá na pĜedmČt, od kterého se odráží zpČt smČrem k záznamovému prostĜedí. Vlna, procházející záznamovým materiálem, tvoĜí referenþní vlnu a vlna, odražená od pĜedmČtu – pĜedmČtovou vlnu. Interferují tedy vlny, které se šíĜí proti sobČ. V místČ záznamového prostĜedí vzniká interferenþní obrazec, který zaznamenáme. Abychom získali reflexní hologram, musíme použít jiný chemický proces pĜi zpracování tohoto záznamového materiálu, než jsme použili v pĜípadČ transmisního hologramu. Na rozdíl od transmisních amplitudových hologramĤ lze takto zaznamenané a zpracované reflexní objemové hologramy rekonstruovat pomocí bílého svČtla (žárovky). Na obr. 6. je znázornČna sestava pro rekonstrukci reflexních hologramĤ a na obr. 7 jsou fotografie rekonstruovaných hologramĤ.

Obr. 2. PĜíklad holografického uspoĜádání pro záznam transmisního amplitudového hologramu. 42

Obr. 3. Rekonstrukce transmisního amplitudového hologramu.

Obr. 4. Rekonstruované transmisní hologramy pomocí HeNe laseru.

Obr. 5. PĜíklad holografického uspoĜádání pro záznam reflexního objemového hologramu.

43

Obr. 6. UspoĜádání pro rekonstrukci reflexního objemového hologramu.

Obr. 7. Rekonstruované reflexní hologramy. 6. ZávČr Naším cílem bylo seznámit se s jednou z mnoha aplikací laseru – klasickou optickou holografií. Byly prezentovány základní principy optické holografie a uvedeny parametry laseru, jako klíþového zdroje pro tuto aplikaci. V poslední þásti jsme se seznámili s možností použití HeNe laseru k záznamu dvou typĤ hologramĤ a to transmisního amplitudového a reflexního objemového hologramu. 7. Použitá literatura [1] Miler, M. (1974). Holografie. Populární pĜednášky o fyzice, svazek 22, Praha: SNTL. [2] Vrbová, M. a kol. (1994). Lasery a moderní optika, Praha: Prometheus. [3] http://www.holophile.com/history.htm. [4] http://www.holography.ru/holoflash.htm. [5] Saleh, B. E. A. & Teich, M. C. (1996). Základy fotoniky 1 – 4. Praha: Matfyzpress. [6] http://vega.fjfi.cvut.cz/docs/sfbe/optika/node1.html. [7] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/optmod/lascon.html.

44

OPTICKÉ MIKROMANIPULACE

Tomáš MedĜík Katedra optiky a optoelektroniky Palackého univerzity,17. listopadu 12, Olomouc, ýeská republika. E-mail: [email protected] Abstrakt ZamČĜíme se na princip optických mikromanipulací, konkrétnČ na dynamickou holografickou pinzetu. Na úvod bude objasnČna funkce jednoduché optické pasti, vytvoĜené pĜímou fokusací laserového svazku. Dále se budeme zabývat principem laserových pinzet, kde bude vČnována nejvČtší pozornost dynamické holografické pinzetČ, která poskytuje zĜejmČ nejvyšší variabilitu optických manipulací. V praktické þásti se studenti seznámí pĜímo v laboratoĜi seznámí s dynamickou holografickou laserovou pinzetou, která pracuje v souþinnosti s poþítaþem ovládaným prostorovým modulátorem svČtla. 1. Úvod Optické mikromanipulace využívají principu pĜenosu hybnosti svČtla (fotonu) na mechanické objekty. Z elektromagnetické Maxwellovy teorie pole a Einsteinovy teorie fotoelektrického jevu vyplývá, že fotony mají nenulovou hybnost. Velikost hybnosti jednoho fotonu je dána výrazem h/Ȝ, kde h oznaþuje Planckovu konstantu (h = 3,626 · 10-34 J.s) a Ȝ vlnovou délku záĜení. Jak je zĜejmé, jedná se o velice malé hodnoty, aby se úþinek projevil, musí pĤsobit velké množství fotonĤ. PĜesto se mĤžeme setkat s mechanickými úþinky záĜení v podobČ tlaku záĜení, napĜ. tlak sluneþního záĜení se projevuje odklonem chvostu komet, v budoucnu by mohl sloužit ke stabilizaci nebo pohonu družic (sluneþní plachetnice) [1]. Dalším zaĜízením, v nČmž je možné setkat se s projevy tlaku záĜení je CrookesĤv mlýnek. Jak již bylo uvedeno, v pĜípadČ hybnosti svČtla pracujeme s velmi malými hodnotami, proto se zdá, že není možné této vlastnosti prakticky využít. Ale s pĜíchodem vhodného zdroje záĜení s dostateþnou energií – laseru a s jeho aplikací na objekty mikrometrových nebo nanometrových rozmČrĤ se otevĜel nový smČr využití tohoto jevu – optické mikromanipulace. PrĤkopníkem v této oblasti byl A. Ashkin [2], který se vČnoval optickému urychlení a zachycení þástic pomocí laserových svazkĤ. 2. Optická past Optická nebo-li laserová past tedy pracuje na základČ pĜenosu hybnosti svČtla na malé þástice. Princip optické pasti si pĜiblížíme na pĜíkladu zachycení objektu fokusovaným laserovým svazkem. Námi zachyceným objektem bude prĤhledná mikroþástice (kuliþka z polystyrénu), která bude umístČna ve vodČ. Zvolme si dva dopadající paprsky a oznaþme je P1 a P2, po jejich dopadu na mikroþástici dojde k interakci (odrazu, lomu nebo absorpci) a fotony pĜedají þást své hybnosti mikroþástici. PĜi dopadu a výstupu

45

paprsku P1 z mikroþástice vznikají vlivem interakce síly, jejichž výslednice F 1 pĤsobí v tČžišti mikroþástice a udává její zrychlení v podélném a v pĜíþném smČru. Symetrické síly vznikají pro paprsek P2, který ovšem pĤsobí v místČ s menší intenzitou záĜení. PĜíspČvek paprsku P1 (síla F 1 ) je tedy vČtší, než v pĜípadČ paprsku P2 (síla F 2 ) a kuliþka je tažena do místa s nejvČtší intenzitou záĜení. Po vektorovém souþtu sil mĤžeme výslednou sílu

F

pĤsobící na þástici rozložit na dvČ složky. Na radiaþní (rozptylovou)

F RAD

sílu a gradientní F GR AD sílu, které jsou projevem zmČn hybnosti záĜení pĜi interakci s mikroþásticí. Radiaþní složka je pĜímo úmČrná intenzitČ záĜení a pĤsobí tak, že mikroþástice je tlaþena podél osy laserového svazku, to je ve smČru šíĜení svČtla. Gradientní složka, pĤsobí v pĜíþném smČru a táhne þástici do místa s nejvČtší intenzitou záĜení. Jestliže je þástice dotažena na osu svazku, dojde k vyrovnání gradientních sil a jejich složka zaniká. Popsaná situace odpovídá optické pasti pracující v 2D prostoru, obr. 1. Odlišná situace nastane v pĜídČ, kdy laserový svazek ostĜe fokusujeme. V oblasti ohniska se vytváĜí gradientní síly F GRAD1 a F GRAD2 , jejichž úþinky se neprojeví pouze v pĜíþném smČru. Výsledná gradientní síla F GR AD mĤže pĤsobit jak ve smČru šíĜení svazku, tak proti smČru šíĜení svazku. PĤsobí-li podélná složka gradientní síly proti smČru šíĜení svazku, pĤsobí také proti radiaþní síle F RAD a táhne þástici smČrem k ohnisku. V urþitém místČ dojde k vyrovnání pĤsobících sil a þástice je držena v rovnovážné poloze, obr. 2.

Obr. 1. Síly v 2D optické pasti

46

Obr. 2. Síly v 3D optické pasti

3. Laserová pinzeta Nástrojem pro vytváĜení optických pastí je laserová pinzeta. SystémĤ a možných Ĝešení optických pinzet existuje v dnešní dobČ pomČrnČ velké množství [3, 4]. Z pĜedchozího textu je patrné, že nejjednodušší realizací optické pinzety je vytvoĜení optické pasti pĜímou fokusací laserového svazku. PĜíkladem takové pinzety je sestava využívající uspoĜádání tzv. invertovaného mikroskopu. Laserový svazek je do preparátu pĜiveden pĜes mikroskopový objektiv pomocí polopropustného zrcátka. Mikroskopový objektiv slouží jak pro fokusaci laserového svazku – vytváĜí optickou past, tak pro zobrazení preparátu. Se vrĤstajícími požadavky na aplikace laserové pinzety byly postupnČ vyvinuty složitČjší aparatury, pro jejichž realizaci je využíváno rĤzných principĤ z oblasti optiky a optoelektroniky. Vznikly systémy, využívající ke zmČnČ polohy pastí rĤzných technik navigace laserového svazku. Dalším Ĝešením vytváĜení pohyblivých pastí je aplikace prostorového modulátoru svČtla (Spatial Light Modulátor – SLM). Prostorový modulátor je tvoĜen soustavou kapalných krystalĤ, které mĤžeme Ĝídit pomocí poþítaþe. Tento elektrooptický prvek slouží k vytváĜení prakticky libovolných svazkĤ, prostĜednictvím poþítaþem generovaných hologramĤ. Laserová pinzeta s prostorovým modulátorem svČtla se nazývá dynamická holografická laserová pinzeta. Velkou výhodou tohoto systému je vytváĜení optických pastí a zmČna jejich polohy v reálném þase. V rámci projektu MPO Tandem (ve spolupráci s ÚPT Brno a podnikem Meopta s.r.o. PĜerov) byla na katedĜe optiky sestavena dynamická holografická laserová pinzeta [5, 6], jejíž fotografie je na obr. 3. a) a zjednodušené schéma na obr. 3. b). Hlavní þásti systému jsou laser Verdi V2 – pevnolátkový, vzduchem chlazený, kontinuální laser s maximální výkonem 2W (IV. laserová tĜída) a vlnovou délkou 532 nm, prostorový modulátor svČtla Boulder – reflexní fázový modulátor tvoĜený maticí kapalných krystalĤ 512 x 512 pixelĤ, mikroskopový objektiv Olympus UPlanFLN 100x/1,3 Oil – imerzní objektiv se zvČtšením 100x, kamera Logitech QuickCam USB – barevná CCD kamera s rozlišení 640 x 480 pixelĤ, osvČtlovaþ Zeiss KL 1500 LCD – zdroj studeného svČtla k osvČtlení preparátu, stolní poþítaþ s Ĝídícím a uživatelským softwarem a další optické a mechanické prvky – napĜ. optické vlákno, Ȝ/2 destiþka, þoþky, polopropustné zrcátko, zrcátko, filtr, irisová clona, posuvy a držáky. Svazek z laseru je navázán do optického vlákna, kterým je filtrován a pĜiveden na kolimátor. Kolimovaný svazek dopadá na prostorový modulátor svČtla, kde za pomoci poþítaþem generovaných hologramĤ dochází k vytváĜení speciálních tvarĤ svČtelných polí. Díky tomuto prvku mĤžeme dynamicky ovládat svČtelné pasti vytvoĜené v preparátu. Za prostorovým modulátorem je umístČn 4f systém sloužící k filtraci nežádoucích difrakþních ĜádĤ. Pomocí polopropustného zrcátka je záĜení navedeno do mikroskopového objektivu, který slouží k jeho fokusaci. Zobrazovací vČtev je tvoĜena osvČtlovaþem, který osvČtluje preparát studeným bílým svČtlem. SvČtlo prochází preparátem, mikroskopovým objektivem, který nyní plní zobrazovací funkci, stejnČ jako v mikroskopu. PĜes polopropustné zrcátko a filtr je preparát zobrazen na CCD kameru, ze které je výsledný obraz odesílán do poþítaþe. Pomocí speciálního softwaru mĤže uživatel v takto zobrazeném poli preparátu za pomoci poþítaþové myši vytváĜet pasti a pomocí nich pohybovat v daném prostoru s mikroþásticemi.

47

Obr. 3. Dynamická holografická laserová pinzeta a) reálná podoba, b) blokové schéma

48

6. ZávČr Cílem prezentace a exkurze do laboratoĜe katedry optiky bylo pĜiblížit studentĤm princip optických mikromanipulací a prakticky je seznámit s funkcí dynamické holografické pinzety. Na úvod byl popsán princip jednoduché optické pasti, vytvoĜené pĜímou fokusací laserového svazku. Dále jsme se vČnovali principu a schématickému popisu laserové dynamické holografické pinzety. V praktické þásti se studenti pĜímo v laboratoĜi seznámili s dynamickou holografickou laserovou pinzetou, která pracuje v souþinnosti s poþítaþem ovládaným prostorovým modulátorem svČtla. 7. Použitá literatura [1] http://mek.kosmo.cz/zaklady/rakety/solsail.htm. [2] Ashkin, A. (1970). Acceleration and Trapping of Particles by Radiation Pressure, Phys. Rev. Lett. 24, 156 – 159. [3] Zemánek, P. & Jákl, P. & Ježek, J. & Šerý, M. & Karásek, V. & ýižmár T. & Šiler, M. (2006). LaboratoĜ optických mikromanipulaþních technik ÚPT AVýR, JMO 1/2006. [4] http://www.isibrno.cz/omitec. [5] Bouchal, Z. & ýelechovský, R. Dokumentace k projektu MPO v programu Tandem ev. þ. FT-TA2/059: Systémy pro generaci nedifrakþních svazkĤ a pĜenos mechanických úþinkĤ svČtla, dílþí úkol: Demonstraþní jednotka laserové pinzety s prostorovým modulátorem svČtla. Dostupné z WWW: www.opto.cz/tandem/publikace_pdf/%5B48%5D.pdf. [6] ýelechovský, R. (2008). SvČtelné víry a jejich využití pro pĜenos informace. Disertaþní práce, Olomouc: UP. [7] Mikuláštík, M. SvČtlo hýbe pĜedmČty, http://www.tretipol.cz/518-svetlo-hybe-predmety.

49

020(17 +<%1267, 9 7(25,, , 9 3ěË52'ċ

/XNiã 5LFKWHUHN .DWHGUD H[SHULPHQWiOQt I\]LN\ 3ĜtURGRYČGHFNp IDNXOW\ 8QLYHU]LW\ 3DODFNpKR  OLVWRSDGX    2ORPRXF ýHVNi 5HSXEOLND (PDLO OXNDVULFKWHUHN#XSROF] $EVWUDFW 9 SĜtVSČYNX SRMHGQiYiPH R REVDKX SĜHGQiãN\ SUR VWXGHQW\ VWĜHGQtFK ãNRO NRQDQp YH ãNRO QtP URFH  Y UiPFL SURMHNWX 3ĜtURGRYČGHF 2EVDK SĜHGQiãN\ Y\FKi]HO ]H ]iNODG QtFK SRMPĤ PHFKDQLN\ WXKpKR WČOHVD QD J\PQi]LtFK YL] >@ D VPČĜRYDO N SURMHYĤP WČFKWR ]iNRQLWRVWt Y DVWURQRPLL D DVWURI\]LFH NRQNUpWQČ N SRSLVX OXQLVROiUQt SUHFHVH D QČNWHUêFK YODVWQRVWt QHXWURQRYêFK KYČ]G  ÒYRG =DWtPFR GUXKê 1HZWRQĤY SRK\ERYê ]iNRQ Y\MDGĜXMtFt Y]WDK PH]L VtORX D ]U\FKOHQtP SDWĜt N ]iNODGQtPX XþLYX VWĜHGQt ãNRO\ ]DYHGHQt PRPHQWX K\EQRVWL D SODWQRVW GUXKp LPSXOVRYp YČW\ VH MLå YČWãLQRX WDNRYp SR]RUQRVWL QHGRVWiYi 9H ]PtQČQp SĜHGQiãFH MVPH VH VQDåLOL XNi]DW åH ]GiQOLYČ MHGQRGXFKê PHFKDQLFNê ]iNRQ Pi ĜDGX ]DMtPDYêFK GĤVOHGNĤ D XSODW ĖXMH VH L Y ]DMtPDYêFK SĜtURGQtFK GČMtFK 9 SUYQt þiVWL WRKRWR SĜtVSČYNX MVRX VKUQXW\ QHMGĤOHåLWČMãt SRMP\ YH GUXKp GLVNXWXMHPH DQD ORJLH PH]L SRVXYQêP D RWiþLYêP SRK\EHP D YH WĜHWt XYiGtPH ]DGiQt QČNWHUêFK ]DMtPDYêFK ~ORK VRXYLVHMtFtFK V WpPDWHP MHå E\O\ Y PLQXORVWL ]DGiQ\ Y UiPFL I\]LNiOQt RO\PSLiG\  'ĤOHåLWp SRMP\ 3ĤYRG VORYD ÄPRPHQW³ VH QHMþDVWČML VSRMXMH V ODWLQVNêP ÄPRYLPHQWXP³ D VH VFKRSQRVWt WDNWR R]QDþHQêFK YHOLþLQ XYiGČW GR SRK\EX PRPHQW VtO\ SRSĜ WHQWR SRK\E FKDUDNWHUL]R YDW PRPHQW K\EQRVWL  PRPHQW K\EQRVWL DQJO DQJXODU PRPHQWXP ± PRPHQW K\EQRVWL ( þiVWLFH R KPRWQRVWL m Y]KOHGHP N SRþiWNX O MH XUþHQ YHNWRURYêP VRXþLQHP SRORKRYpKR YHNWRUX þiVWLFH × YHNWRU RG SRþiWNX O N PtVWX NGH VH þiVWLFH QDFKi]t D K\EQRVWL þiVWLFH Æ = mö  WM SODWt ( =× ×Æ. 0RPHQW K\EQRVWL VRXVWDY\ N þiVWLF MH YHNWRURYêP VRXþWHP PRPHQWĤ K\EQRVWL MHG QRWOLYêFK þiVWLF WM N N

( = (i = × i × Æ i. i=1

i=1 

9 VRXVWDYČ 6, MH MHKR MHGQRWNRX NJ·P ·V

−



GUXKi LPSXOVRYi YČWD DQJO DQJXODU PRPHQWXP WKHRUHP ± WDNp YČWD R PRPHQWX K\EQRVWL VRXVWDY\ þiVWLF =PČQD PRPHQWX K\EQRVWL VRXVWDY\ þiVWLF ( Y]KOHGHP

50

NH ]YROHQpPX ERGX O MH URYQD YêVOHGQpPX PRPHQWX YQČMãtFK VLO , SĤVREtFtFK QD VRXVWDYX Y]WDåHQpPX N WpPXå ERGX QHEROL ∆( =,; ∆t

G( =,. Gt

9ČWD VH WêNi FHONRYpKR PRPHQWX K\EQRVWL VRXVWDY\ D QLNROLY PRPHQWĤ K\EQRVWL MHGQRWOLYêFK þiVWLF MHå MVRX RYOLYQČQ\ L PRPHQW\ YQLWĜQtFK VLO ]iNRQ ]DFKRYiQt PRPHQWX K\EQRVWL DQJO ODZ RI FRQVHUYDWLRQ RI DQJXODU PRPHQWXP ± SO\QH ] GUXKp LPSXOVRYp YČW\ -HOL YêVOHGQê PRPHQW YQČMãtFK VLO SĤVREt FtFK QD VRXVWDYX KPRWQêFK ERGĤ Y]KOHGHP N QČMDNpPX ERGX QXORYê SDN VH FHONRYê PRPHQW K\EQRVWL VRXVWDY\ Y]KOHGHP N WpPXå ERGX V þDVHP QHPČQt WM ]DFKRYiYi VH ∆( =  VHWUYDþQtN DQJO J\URVFRSH ± REHFQČ WXKp WČOHVR NWHUp VH RWiþt NROHP SHYQpKR ERGX þDVWR YãDN WDNWR QD]êYiPH RVRYČ VRXPČUQp WČOHVR V YHONêP PRPHQWHP VHWUYDþQRVWL Y]KOHGHP N RVH VRXPČUQRVWL SUHFHVH DQJO SUHFHVVLRQ ± NURXåLYê SRK\E RV\ URWXMtFtKR WČOHVD ]SĤVREHQê PRPHQWHP VtO\ 9 SĜtSDGČ =HPČ KRYRĜtPH R W]Y OXQLVROiUQt SUHFHVL ]SĤVREHQp VLODPL 6OXQFH D 0ČVtFH ]HPVNi RVD RStãH NXåHO MHGQRX ]D W]Y SODWRQVNê URN   URN ýDVWR EêYi VSRMHQD V QXWDFt WM SHULRGLFNêP NROtViQtP RV\ URWXMtFtKR WČOHVD X =HPČ SHULRGLFNRX ]PČQRX VNORQX ]HPVNp RV\ J\URVNRSLFNê PRPHQW DQJO J\URVFRSLF PRPHQW ± Y]QLNi WHKG\ SĤVREtOL QD URWXMtFt VHWUYDþQtN NROR YUWXOL PRPHQW VLO VQDåtFt VH ]PČQLW VPČU RV\ RWiþHQt QDSĜ SĜL ]DWiþHQt  SRWRP EXGH VHWUYDþQtN SĤVRELW QDSĜ QD ORåLVND UHDNþQtP J\URVNRSLF NêP PRPHQWHP QHXWURQRYi KYČ]GD DQJO QHXWURQ VWDU ± YHOPL KXVWi KYČ]GD V SRORPČUHP RNROR  NP V SUĤPČUQRX KXVWRWRX RGSRYtGDMtFt KXVWRWČ DWRPRYêFK MDGHU WM DVL  NJ·P−  FHQWUiOQt WHSORWRX RNROR  . D PDJQHWLFNRX LQGXNFt  7 5\FKOH URWXMtFt QHXWUR QRYi KYČ]GD PĤåH EêW SHULRGLFNêP ]GURMHP UDGLRYêFK YOQ W]Y SXOVDUHP 1HXWUR QRYp KYČ]G\ SĜHGVWDYXMt NRQHþQp VWDGLXP YêYRMH KPRWQêFK KYČ]G D MHMLFK Y]QLN SURYi]t PRKXWQi H[SOR]H R]QDþRYDQi MDNR VXSHUQRYD  6URYQiQt URWDþQtKR SRK\EX V WUDQVODþQtP SRK\EHP 0H]L YHOLþLQDPL D Y]WDK\ SUR SRVXYQê SRK\E WXKpKR WČOHVD D MHKR RWiþHQt NROHP QHK\EQp RV\ MH PRåQp QDMtW DQDORJLH NWHUp PDMt KOXEãt I\]LNiOQt VRXYLVORVW 6KUQXMHPH MH Y WDEXOFH  9]WDK\ SUR YêSRþHW PRPHQWX VHWUYDþQRVWL Y]KOHGHP N RViP V\PHWULH ĜDG\ JHRPHWULFNêFK WČOHV O]H QDMtW Y ĜDGČ XþHEQLF QDSĜ > @  =DMtPDYp I\]LNiOQt ~ORK\ ] )2 D ,3K2 ÒORKD  .UDMVNp NROR  URþQtNX )2 NDWHJRULH $  3R YRGRURYQp OHGRYp SORãH NORXåH EH] WĜHQt VRXVWDYD WĜt PDOêFK NRXOt R KPRWQRVWL m VSRMHQi GUiW\ R ]DQHGEDWHOQp KPRWQRVWL GR WYDUX URYQRVWUDQQpKR WURM~KHOQtND R VWUDQČ l

51

7DEXOND  6URYQiQt YHOLþLQ Y]WDKXMtFtFK VH N WUDQVODþQtPX D URWDþQtPX SRK\EX ]SUDFRYiQR SRGOH >@ WUDQVODþQt SRK\E GpOND GUiK\ s = vt ∆s U\FKORVW v= ∆t ∆v ]U\FKOHQt a= ∆t KPRWQRVW m VtOD  K\EQRVW Æ = mö ∆Æ  LPSXOVRYi YČWD  = ∆t SRK\ERYi URYQLFH  = mY YêNRQ P =Êö mv 2 NLQHWLFNi HQHUJLH EN = 2

URWDþQt SRK\E ~KHO RWRþHQt ϕ = ωt ∆ϕ ~KORYi U\FKORVW ω= ∆t ∆ω ~KORYp ]U\FKOHQt ε= ∆t PRPHQW VHWUYDþQRVWL J PRPHQW VtO\ , =× × PRPHQW K\EQRVWL ( = JN ∆(  LPSXOVRYi YČWD , = ∆t SRK\ERYi URYQLFH , = JV YêNRQ P =,ÊN Jω 2 YêNRQ EN = 2

REU D  9 XUþLWpP RNDPåLNX VH NRXOH A SRK\EXMH U\FKORVWt ö YH VPČUX AB D RNDPåLWi U\FKORVW NRXOH B MH URYQREČåQi V ~VHþNRX BC 8UþHWH  RNDPåLWp U\FKORVWL NRXOt B D C D WČåLãWČ VRXVWDY\ T   ~KORYRX U\FKORVW VRXVWDY\  YHOLNRVWL VLO MLPLå MVRX QDPiKiQ\ GUiW\ VSRMXMtFt NRXOH ÒORKD  âNROQt NROR  URþQtNX )2 NDWHJRULH $  -H GiQ KRPRJHQQt URWDþQt NXåHO R KPRWQRVWL m SRORPČUX ]iNODGQ\ r D YêãFH h  9\SRþWČWH Y]GiOHQRVW WČåLãWČ NXåHOH RG MHKR YUFKROX 3ĜtVOXãQê Y]RUHF RGYRćWH  9\SRþWČWH PRPHQW VHWUYDþQRVWL NXåHOH Y]KOHGHP N RVH VRXPČUQRVWL 3ĜtVOXãQê Y]R UHF RGYRćWH  .XåHO SRVWDYtPH QD ãSLþNX WDN åH MHKR RVD VRXPČUQRVWL EXGH RGNORQČQD RG VYLVOL FH R RVWUê ~KHO ϑ D XGČOtPH PX URWDFL ~KORYRX U\FKORVWt N RNROR RV\ VRXPČUQRVWL REU E  9\SRþWČWH ~KORYRX U\FKORVW SUHFHVH ȍ XåLWtP SĜLEOLåQp WHRULH WM ]DQH GEiQtP SĜtVSČYNX SUHFHVQtKR SRK\EX N PRPHQWX K\EQRVWL  ěHãWH REHFQČ D SDN QXPHULFN\ SUR m =  NJ r =  P h =  P ω =  UDG·V−  ÒORKD  5RWXMtFt QHXWURQRYi KYČ]GD  ,QWHUQDWLRQDO 3K\VLFV 2O\PSLDG *URQLQJHQ 7KH 1HWKHUODQGV  0LOLVHNXQGRYê SXO]DU MH ]GURM ]iĜHQt YH YHVPtUX NWHUê Y\]DĜXMH YHOPL NUiWNp SXOV\ V SHUL RGRX RG MHGQp GR QČNROLND PLOLVHNXQG 7RWR ]iĜHQt MH Y UDGLRYpP LQWHUYDOX YOQRYêFK GpOHN D YKRGQê UDGLRYê SĜLMtPDþ O]H SRXåtW N GHWHNRYiQt RGGČOHQêFK SXOVĤ D WtP ]PČĜLW SHULR GX V YHONRX SĜHVQRVWt 7DNRYp UiGLRYp SXOV\ SRFKi]HMt ] SRYUFKX ]YOiãWQtFK W\SĤ KYČ]G W]Y QHXWURQRYêFK KYČ]G -GH R KYČ]G\ YHOPL NRPSDNWQt PDMt KPRWQRVW DVL ĜiGX YHOLNRVWL 6OXQFH DOH MHMLFK SRORPČU PČĜt SRX]H QČNROLN GHVtWHN NLORPHWUĤ QDYtF YHOPL U\FKOH URWXMt

52

2EU  . ]DGiQt ~ORK .Y$OL U\FKOp URWDFL MVRX QHXWURQRYp KY ]G\ MH PtUQ ]SORãW Op ]DREOHQp  3HGSRNOiGHM WH åH RVRYê H] SRYUFKHP MH HOLSVD V WpP  VWHMQêPL SRORRVDPL 1HFK" rS MH SROiUQt D rH URYQtNRYê SRORP U GHILQXMPH IDNWRU ]SORãW Qt MDNR =

rH − rS rS

8YDåXMWH QHXWURQRYRX KY ]GX V KPRWQRVWt · NJ SU$P UQêP SRORP UHP · P D SHULRGRX URWDFH · V  9\SRþW WH IDNWRU ]SORãW Qt MHOL GiQD JUDYLWDþQt NRQVWDQWD G -HMt KRGQRWD MH ·− 1·P ·NJ−   9 GORXKpP REGREt Y SU$E KX PQRKD OHW U\FKORVW URWDFH KY ]G\ NOHVi NY$OL ]WUiWiP HQHUJLH D WR YHGH NH ]PtUQ Qt ]SORãW Qt +Y ]GD Pi QLFPpQ SHYQRX N$UX NWHUi SODYH QD NDSDOQpP YQLWNX 3HYQi N$UD RGROiYi QHSHWUåLWpPX SL]S$VRERYiQt VH URYQRYiåQpPX WYDUX 0tVWR WRKR VH REMHYXMt RWHV\ V QiKOêPL ]P QDPL WYDUX N$U\ VP UHP N URYQRYi]H % KHP D SR WDNRYpP KY ]GRWHVHQt E\OD SR]RURYiQD ]P QD ~KORYp U\FKORVWL SRGOH REU F  9\SRþW WH SU$P UQê SRORP U NDSDOQpKR YQLWNX KY ]G\ XåLWtP GDW ] REU F  3RXåLMWH DSUR[LPDFL åH KXVWRWD N$U\ D YQLWNX KY ]G\

53

MH WDWiå ,JQRUXMWH ]PČQ\ YH WYDUX YQLWĜNX KYČ]G\ 

D

E

2EU  =iNRQ ]DFKRYiQt K\EQRVWL VH XSODWĖXMH L SĜL YêEXFKX VXSHUQRY D QiVOHGQpP Y]QLNX QHXWURQRYêFK KYČ]G D .UDEt POKRYLQD 0 REVDKXMH SUYQt REMHYHQê SXOVDU Y PtVWČ YêEXFKX VXSHUQRY\ SR]RURYDQpP Y ýtQČ URNX  SĜHY]DWR ] >@  E 6FKpPD SXOVDUX D PDMiNRYpKR HIHNWX VSRMHQpKR V URWDFt SĜHY]DWR ] >@ =iYČU &tOHP SĜHGQiãN\ E\OR XNi]DW åH SRPČUQČ MHGQRGXFKp PHFKDQLFNp ]iNRQ\ D PRGHO\ QD FKi]HMt XSODWQČQt SĜL Y\VYČWORYiQt ]DMtPDYêFK GČMĤ SĜL VWXGLX PRGHUQtFK SUREOpPĤ QDSĜ YH VSRMHQt V DVWURI\]LNiOQtPL FKDUDNWHULVWLNDPL QHXWURQRYêFK KYČ]G 3RXåLWi OLWHUDWXUD >@ %DMHU -   0HFKDQLND  2ORPRXF 3Ĝ) 83 >@ %HGQDĜtN 0 âLURNi 0   )\]LND SUR J\PQi]LD 0HFKDQLND 3UDKD 3URPHWKHXV >@ )H\QPDQ 53 /HLJKWRQ 5% 6DQGV 0 ±  )H\QPDQRY\ SĜHGQiãN\ ] I\]LN\ ± +DYOtþNĤY %URG )UDJPHQW >@ +DOOLGD\ ' 5HVQLFN 5 :DONHU -   )\]LND 9\VRNRãNROVNi XþHEQLFH REHFQp I\]LN\ ýiVW  0HFKDQLND %UQR D 3UDKD 987,80 D 3URPHWKHXV

54

>@ +DYHO 9   *\URWZLVWHU ± SULQFLS D XåLWt ,Q 9HOHWUK QiSDG$ XþLWHO$ I\]LN\  ýHVNp %XG MRYLFH  ?iiT,ffF/7XK77X+mMBX+xfp2H2i`?fb#Q`MBFfo2H2i`?ny3fy3nyNn>p2HX?iKH >@ +ODYLþND $ % OD $ .UPHãVNê - D NRO   )\]LND SUR SHGDJRJLFNp IDNXOW\  GtO 3UDKD 631 >@ 6FKXW] %  *UDYLW\ IURP WKH JURXQG XS &DPEULGJH 8QLYHUVLW\ 3UHVV ?iiT,ffrrrX;`pBiv7`QKi?2;`QmM/mTXQ`;f >@ âHGLYê 3 9ROI ,   3RK\E W OHVD SR HOLSWLFNp WUDMHNWRULL Y UDGLiOQtP JUDYLWDþQtP SROL .QLKRYQLþND )2 þ  +UDGHF .UiORYp 0$)< ?iiT,ff7QX+mMBX+xfi2tivf/`mxB+2XT/7 >@ âWROO ,   ' MLQ\ I\]LN\ 3UDKD 3URPHWKHXV >@ 7KRUQH .6   ýHUQp GtU\ D ]ERUFHQê þDV 3R]RUXKRGQi G GLFWYt (LQVWHLQRYD JpQLD  3UDKD 0ODGi IURQWD >@ 8OOPDQQ 9   *UDYLWDFH þHUQp GtU\ D I\]LND SURVWRURþDVX 2VWUDYD ý$6 ?iiT,ffrrrXbr2#X+xfbi`QLmFH6vxBFf:`pBi*2`M2.B`vX?iK >@ 9\EtUDO %   .LQHPDWLND D G\QDPLND WXKpKR W OHVD .QLKRYQLþND )2 þ  +UDGHF .UiORYp 0$)< ?iiT,ff7QX+mMBX+xfi2tivf/vMKBFXT/7 >@ 9\EtUDO %   6HWUYDþQtN\ D MHMLFK DSOLNDFH .QLKRYQLþND )2 þ  +UDGHF .UiORYp 0$)< ?iiT,ff7QX+mMBX+xfi2tivfb2i`pXT/7 >@ :LNLSHGLH 2WHYHQi HQF\NORSHGLH ?iiT,ff+bXrBFBT2/BXQ`;

55

.(3/(529< =È.21< 32  /(7(&+

/XNiã 5LFKWHUHN .DWHGUD H[SHULPHQWiOQt I\]LN\ 3ĜtURGRYČGHFNp IDNXOW\ 8QLYHU]LW\ 3DODFNpKR  OLVWRSDGX    2ORPRXF ýHVNi 5HSXEOLND (PDLO OXNDVULFKWHUHN#XSROF] $EVWUDFW -HGQD ] SĜHGQiãHN NRQDQêFK YH ãNROQtP URFH  SUR VWXGHQW\ VWĜHGQtFK ãNRO Y UiP FL SURMHNWX 3ĜtURGRYČGHF E\OD YČQRYiQD 0H]LQiURGQtPX URNX DVWURQRPLH  D Y WpWR VRXYLVORVWL .HSOHURYêP ]iNRQĤP L MHMLFK REMHYLWHOL -RKDQQX .HSOHURYL ÒYRG 9 SĜHGQiãFH E\O\ QHMSUYH ]DYHGHQ\ D SĜLSRPHQXW\ SRWĜHEQp GĤOHåLWp SRMP\ SRWp RGYR ]HQ\ QČNWHUp QHMGĤOHåLWČMãt ]iNRQLWRVWL SODQHWiUQtKR SRK\EX MHå Y\FKi]HMt ] .HSOHURYêFK ]iNRQĤ L 1HZWRQRYD JUDYLWDþQtKR ]iNRQD =tVNDQp Y]WDK\ SDN E\O\ Y\XåLW\ N ĜHãHQt PpQČ WUDGLþQtFK I\]LNiOQtFK ~ORK =PtQČQêP þiVWHP RGSRYtGDMt L RGGtO\ WRKRWR SĜtVSČYNX  'ĤOHåLWp SRMP\ DIHOLXP ± QHEROL RGVOXQt MH QHMY]GiOHQČMãt PtVWR RG 6OXQFH NWHUêP SĜL VYpP REČKX RNROR QČKR SR NXåHORVHþFH SURFKi]t SODQHWD SHULRGLFNi NRPHWD þL MLQp WČOHVR $QDORJLFNê Yê]QDP Pi DSRJHXP SUR SRK\E NROHP =HPČ D DSRDVWUXP SUR SRK\E NROHP KYČ]G REHFQČ JUDYLWDþQt PDQpYU DQJO JUDYLW\ DVVLVW ± Y NRVPRQDXWLFH D QHEHVNp PHFKDQLFH PHWRGD MDN Y\XåtW SUĤOHWX SODQHWiUQt VRQG\ JUDYLWDþQtP SROHP SODQHW\ NH ]PČQČ VPČUX D U\FKORVWL 2EY\NOH VH WRKRWR PDQpYUX SRXåtYi N GRVDåHQt YQČMãtFK SODQHW VOXQHþQt VRXVWDY\ NWHUp E\ MLQDN E\OR SĜtOLã QiNODGQp SRSĜ SĜL SRXåLWt VRXþDVQêFK WHFKQRORJLt GRNRQFH QHPRåQp 3ĜL YKRGQpP QDVWDYHQt SDUDPHWUĤ SUĤOHWX RNROR SODQHW\ GRMGH NH ]PČQČ U\FKORVWL VRQG\ YĤþL 6OXQFL KRYRĜtPH SDN R XU\FKOHQt QHER ]SRPDOHQt  DOH Y VRXVWDYČ VSRMHQp V SODQHWRX VH Y GĤVOHGNX ]iNRQD ]DFKRYiQt HQHUJLH YHOLNRVW U\FKORVWL QH]PČQt +RKPDQQRYD WUDMHNWRULH ± QHER Wpå +RKPDQQRYD HOLSVD MH ] KOHGLVND VSRWĜHE\ SDOLYD RSWLPiOQt GUiKD SUR SĜHOHW PH]L GYČPD EOt]NêPL SODQHWDPL REtKDMtFtPL VWHMQp FHQ WUiOQt WČOHVR 1D]êYi VH SRGOH QČPHFNpKR LQåHQêUD :DOWHUD +RKPDQQD NWHUê MHMt WHRULL SXEOLNRYDO Y URFH  'UiKD Pi WYDU SĤOHOLSV\ NWHUi VH YH YUFKROHFK GRWêNi GUDK RERX SODQHW YL] REU E  Y SUD[L MH PRåQp ML Y\XåtW SUR OHW\ N 0DUVX D 9HQXãL .H Y]GiOHQČMãtP SODQHWiP MH ] GĤYRGX ~VSRU\ SDOLYD YROHQD REY\NOH PQRKHP VORåL WČMãt GUiKD V ĜDGRX JUDYLWDþQtFK PDQpYUĤ 3R +RKPDQQRYČ HOLSVH VH PĤåH SRK\ERYDW QDSĜtNODG L NRVPLFNi VRQGD ] REČåQp GUiK\ NROHP =HPČ QD FHVWČ N 0ČVtFL SHULKHOLXP ± QHEROL SĜtVOXQt MH QHMEOLåãt PtVWR NH 6OXQFL NWHUêP SĜL VYpP REČKX RNROR QČKR SR NXåHORVHþFH SURFKi]t SODQHWD NRPHWD þL MLQp WČOHVR $QDORJLFNê Yê]QDP Pi SHULJHXP SUR SRK\E NROHP =HPČ D SHULDVWUXP SUR SRK\E NROHP KYČ]G REHFQČ

56

SUREOpP nWČOHV ± ~ORKD ]DEêYDMtFt VH SRK\EHP n KPRWQêFK ERGĤ SRG YOLYHP Y]iMHP QêFK SĜLWDåOLYêFK VLO =DWtPFR SUR n = 2 QDOH]O UHãHQt MLå -RKDQQ %HUQRXOOL Y URFH  SUR Y\ããt SRþHW þiVWLF REHFQp DQDO\WLFNp ĜHãHQt QHO]H QDMtW D PXVtPH VH VSROpKDW QD SĜLEOLåQp QHER QXPHULFNp YêSRþW\  .HSOHURY\ ]iNRQ\ =iNODGHP VWXGLD SRK\EX SODQHW Y NODVLFNp PHFKDQLFH MVRX ]iNRQ\ REMHYHQp QČPHFNêP PDWHPDWLNHP -RKDQQHVHP .HSOHUHP D JUDYLWDþQt ]iNRQ NWHUê QD MHMLFK ]iNODGČ RGYRGLO URNX  ,VDDF 1HZWRQ 6Yp SUYQt GYD ]iNRQ\ XYHĜHMQLO .HSOHU SĜHG  OHW\ YH VSLVH $VWURQRPLD 1RYD 1RYi DVWURQRPLH 3UDKD +HLGHOEHUJ   WĜHWt SDN R GHVHW OHW SR]GČML Y +DUPRQLFH 0XQGL +DUPRQLH VYČWD /LQHF   -HMLFK ]PČQt O]H QDOp]W YH YãHFK VWDQ GDUGQtFK XþHQtFK WH[WHFK YL] QDSĜ >  @  WDNåH SRX]H SĜLSRPtQiPH  .HSOHUĤY ]iNRQ 3ODQHW\ VH SRK\EXMt RNROR 6OXQFH SR HOLSViFK PiOR RGOLãQêFK RG NUXå QLF Y MHMLFKå VSROHþQpP RKQLVNX MH 6OXQFH  .HSOHUĤY ]iNRQ 2EVDK\ SORFK RSVDQêFK SUĤYRGLþHP SODQHW\ ]D MHGQRWNX þDVX MVRX NRQVWDQWQt  .HSOHUĤY ]iNRQ 3RPČU GUXKêFK PRFQLQ REČåQêFK GRE GYRX SODQHW VH URYQi SRPČUX WĜHWtFK PRFQLQ YHONêFK SRORRV MHMLFK WUDMHNWRULt T12 a3 = 13 . 2 T2 a2

 1ČNWHUp XåLWHþQp Y]WDK\ SUR SRK\E SR HOLSVH 1iVOHGXMtFt Y]WDK\ E\O\ RGYR]HQ\ Y UiPFL VHPLQiĜH YČWãLQD MH XYHGHQD L Y >@ 3UR SRK\E Y JUDYLWDþQtP SROL 6OXQFH SRXåtYiPH QiVOHGXMtFt R]QDþHQt YL] Wpå REU F  a « GpOND KODYQt SRORRV\ b « GpOND YHGOHMãt SRORRV\ √ e = a2 − b2 « YêVWĜHGQRVW H[FHQWULFLWD M
« KPRWQRVW 6OXQFH ε = e/a « þtVHOQi YêVWĜHGQRVW QXPHULFNi H[FHQWULFLWD 1 |ö 6 | = |× × ö | « YHNWRU SORãQp U\FKORVWL 2 rv VLQ α rv VLQ (
× ö ) = « YHOLNRVW SORãQp U\FKORVWL |ö 6 | = 2 2 vS  rS « U\FKORVW Y SHULKHOLX vD  rD «U\FKORVW Y DIHOLX rS = a − e = a (1 − ε) « Y]GiOHQRVW Y SHULKHOLX rD = a + e = a (1 + ε) « Y]GiOHQRVW Y DIHOLX 3UR WČOHVR SODQHWX GUXåLFL NRPHWX DSRG R KPRWQRVWL m SODWt ]iNRQ ]DFKRYiQt FHONRYp PHFKDQLFNp HQHUJLH E=

1 1 κmM
κmM
1 κmM
mv 2 − = mvS2 − = mvD2 − 2 r 2 rS 2 rD

D ]iNRQ ]DFKRYiQt PRPHQWX K\EQRVWL |( | = 2m |ö 6 | = mrv VLQ α = mrS vS = mrD vD .

57

D -RKDQQHV .HSOHU  ±   SĜHY]DWR ] >@

E +RKPDQQRYD HOLSVD SUR OHW ]H =HPČ Z N -XSLWHUX - SĜHY]DWR ] >@

F . QČNWHUêP SDUDPHWUĤP SRK\EX SR HOLSVH SĜHY]DWR ] >@

2EU  . YêNODGX .HSOHURYêFK ]iNRQĤ D SRK\EX SR HOLSVH Y FHQWUiOQtP JUDYLWDþQtP SROL = QLFK SDN O]H SRVWXSQČ RGYRGLW Y]WDK\
vS rD a+e κM a + e  vS =  = = vD rS a−e a a−e 
  b κM
2 1 v = κM
−  |ö 6 | = . r a 2 a 2GYR]HQp Y]WDK\ SDN QDMGRX XSODWQČQt Y ĜDGČ ~ORK QHMHQ ] GDWDEi]H I\]LNiOQt RO\PSLiG\  =DMtPDYp I\]LNiOQt ~ORK\ QHMHQ ] )2 ÒORKD  0HWHRU VH SRK\EXMH YH Y]GiOHQRVWL  $8 RG 6OXQFH U\FKORVWt  NP·V−1  MHMtå VPČU VYtUi VH VPČUHP SUĤYRGLþH ~KHO 55◦  8UþHWH UR]PČU\ WUDMHNWRULH D GREX REČKX 1iYRG YL] >@ ÒORKD  =QiPi +DOOH\RYD NRPHWD REtKi RNROR 6OXQFH SR YHOPL SURWiKOp HOLSVH 9 SHUL KHOLX VH QDFKi]t YH Y]GiOHQRVWL a RG VWĜHGX 6OXQFH NGH a MH YHOLNRVW KODYQt SRORRV\

58

3RORYLQX GUiK\ EOtåH NH 6OXQFL XUD]t NRPHWD SĜLEOLåQČ ]D  OHW 1D ]iNODGČ WČFKWR ~GDMĤ Y\SRþWČWH REČåQRX GREX +DOOH\RY\ NRPHW\ D YHOLNRVW KODYQt SRORRV\ a MHMt REČåQp GUiK\ 3UR REVDK SORFK\ RKUDQLþHQp HOLSVRX V KODYQt SRORRVRX a D YHGOHMãt b SODWt S = Æab ÒORKD  'YČ NRVPLFNp ORGL $ % VH SRK\EXMt NROHP =HPČ R= =   NP M= = · NJ Y WpåH URYLQČ SR WUDMHNWRULtFK WYDUX VRXVWĜHGQêFK NUXåQLF R SRORPČUHFK r$  r% = 6r$  9êãND ORGL $ QDG SRYUFKHP =HPČ MH  NP = Qt E\OR Y\SXãWČQR WČOHVR N ORGL % SR HQHUJHWLFN\ QHMYêKRGQČMãt +RKPDQQRYČ WUDMHNWRULL NWHUi Pi WYDU HOLSV\ GR WêNDMtFt VH RERX NUXåQLF 5DNHWRYp PRWRU\ Y\VODQpKR WČOHVD E\O\ Y SURYR]X MHQ NUiWFH SR VWDUWX ] ORGL $ D SDN D NUiWFH SĜHG SĜLVWiQtP QD ORGL %  8UþHWH U\FKORVWL D GRE\ REČKX RERX NRVPLFNêFK ORGt  8UþHWH U\FKORVW Y\SXãWČQpKR WČOHVD WČVQČ SR SĜHFKRGX QD HOLSWLFNRX WUDMHNWRULL D U\FK ORVW VH NWHURX GRUD]t N ORGL %  8UþHWH GREX OHWX WČOHVD RG ORGL $ N ORGL %  8UþHWH SRORKX ORGL % Y RNDPåLNX Y\SXãWČQt WČOHVD ] ORGL $ D SRORKX ORGL $ Y RND PåLNX SĜLVWiQt WČOHVD QD ORGL % . ĜHãHQt QDNUHVOHWH VLWXDþQt QiþUWHN ÒORKD E\OD ]DGiQD Y  NROH  URþQtNX )2 NDWHJRULH % ÒORKD  8YDåXMWH JHRV\QFKURQQt NRPXQLNDþQt GUXåLFL R KPRWQRVWL m QD HNYDWRULiOQt NUX KRYp GUi]H RNROR =HPČ V SRORPČUHP r0 D SHULRGRX MHGQRKR REČKX T0  'tN\ FK\EČ SR]HP QtKR NRQWUROQtKR VWĜHGLVND VH QD YHOPL NUiWNRX GREX QHSOiQRYDQČ ]DSQXO\ PRWRU\ D XGČOLO\ GUXåLFL U\FKORVW ∆v VPČUHP N =HPL D VDWHOLW WDN SĜHãHO QD MLQRX GUiKX 3UR GDOãt YêSRþW\ SDN ]DYHGHPH SDUDPHWU β = ∆v/v0   9\SRþtWHMWH KRGQRWX r0 D Y\MiGĜHWH U\FKORVW GUXåLFH v0 QD SĤYRGQt NUXKRYp GUi]H SRPRFt g R= D r0 D XUþHWH þtVHOQRX KRGQRWX WpWR U\FKORVWL  9\MiGĜHWH PRPHQW K\EQRVWL L0 D HQHUJLL E0 QD NUXKRYp GUi]H MDNR IXQNFH v0  m g D R=   8UþHWH H[FHQWULFLWX QRYp WUDMHNWRULH  RGSRYtGDMtFt Y]GiOHQRVWL Y SHULJHX D DSRJHX RG VWĜHGX =HPČ D QRYRX REČåQRX GREX T MDNR IXQNFH r0  T0 D β 8UþHWH þtVHOQp KRGQRW\ SUR β = 025  =MLVWČWH PLQLPiOQt KRGQRWX SDUDPHWUX βHVF  SUR NWHUê GUXåLFH XQLNQH ] JUDYLWDþQtKR SROH =HPČ D QD MDNRX QHMPHQãt Y]GiOHQRVW RG =HPČ VH SĜL WRPWR SRK\EX SĜLEOtåt ÒORKX ĜHãWH SUR KRGQRW\ R= = · P g =  P·V− D T0 =  K ýiVW ~ORK\ ]  ,QWHUQDWLRQDO 3K\VLFV 2O\PSLDG 6DODPDQFD (VSDxD  =iYČU &tOHP ]PtQČQp SĜHGQiãN\ L WRKRWR SĜtVSČYNX E\OR XNi]DW åH .HSOHURY\ ]iNRQ\ MVRX YGČþ QêP WpPDWHP Y KLVWRULL SĜtURGQtFK YČG L QiPČWHP ĜDG\ ]DMtPDYêFK I\]LNiOQtFK ~ORK 3RXåLWi OLWHUDWXUD >@ $OOHQ -$9   *UDYLWDWLRQDO DVVLVW LQ FHOHVWLDO PHFKDQLFV ± D WXWRULDO $PHULFDQ -RXUQDO RI 3K\VLFV   ± >@ %DMHU -   0HFKDQLND  2ORPRXF 3Ĝ) 83 >@ %HGQDĜtN 0 âLURNi 0   )\]LND SUR J\PQi]LD 0HFKDQLND 3UDKD 3URPHWKHXV

59

2EU  7UDMHNWRULH GUXåLF VPČĜXMtFtFK ]D KUDQLFH VOXQHþQt VRXVWDY\ Y\XåtYDMt W]Y JUDYLWDþQt DVLVWHQFH WM XU\FKOHQt Y]KOHGHP NH 6OXQFL GtN\ YKRGQČ RULHQWRYDQpP SUĤOHWX RNROR SODQHW QHMþDVWČML -XSLWHUD  =GURM 1$6$ ?iiT,ffrrrXMbX;Qpf+2Mi2`bfK2bfM2rbf`2H2b2bfkyyRfyRBK;2bfSBQM22`RyfTBQM22`RyX?iKH

>@ +RUVNê =   .HSOHU Y 3UD]H 3UDKD 0ODGi IURQWD >@ 3RGROVNê -   2G 1HZWRQD NH .HSOHURYL JHRPHWULFN\ ?iiT,ffmi7XK77X+mMBX+xf$TQ/QHbFvfL2riQMfC1oA*Ey9XT/7 >@ âHGLYê 3 9ROI ,   3RK\E WČOHVD SR HOLSWLFNp WUDMHNWRULL Y UDGLiOQtP JUDYLWDþQtP SROL .QLKRYQLþND )2 þ  +UDGHF .UiORYp 0$)< XUOKWWSIRFXQLF]WH[W\GUX]LFHSGI >@ âWROO ,   'ČMLQ\ I\]LN\ 3UDKD 3URPHWKHXV >@ 8QJHUPDQQ = 9ROI ,   3RK\E WČOHVD Y UDGLiOQtP JUDYLWDþQtP SROL 3UDKD 631 >@ :LNLSHGLH 2WHYĜHQi HQF\NORSHGLH ?iiT,ff+bXrBFBT2/BXQ`;

?iiT,ffrrrXbi`QMQKB2kyyNX+x

60

=$32-(1Ë '2 352-(.78 (5$7267+(1(6

/XNiã 5LFKWHUHND  )UDQWLãHN /iWDOE .DWHGUD H[SHULPHQWiOQt I\]LN\ 3ĜtURGRYČGHFNp IDNXOW\ 8QLYHU]LW\ 3DODFNpKR  OLVWRSDGX    2ORPRXF ýHVNi 5HSXEOLND D (PDLO OXNDVULFKWHUHN#XSROF] E (PDLO IUDQWLVHNODWDO#FHQWUXPF] $EVWUDNW 9 SĜtVSČYNX SRSLVXMHPH ]DSRMHQt GR PH]LQiURGQtKR SURMHNWX (UDWRVWKHQHV Y MHKRå UiPFL PČOL VWXGHQWL ãNRO SR FHOpP VYČWČ ]HMPpQD Y (YURSČ ]RSDNRYDW SDWUQČ SUYQt ] KLVWRULFN\ GRORåHQêFK PČĜHQt UR]PČUĤ =HPČ XVNXWHþQČQp YH  VWROHWt SĜ Q O ([SHULPHQW E\O ]DĜD ]HQ GR Ä7êGQH SĜtURGRYČGFĤ³ RUJDQL]RYDQpKR Y UiPFL SURMHNWX 3ĜtURGRYČGHF QD 3Ĝ) 83 Y 2ORPRXFL YH GQHFK  ±    ÒYRG 1D GHQ OHWQtKR VOXQRYUDWX WM  þHUYHQ  SĜLSUDYLOD (XURSHDQ $VVRFLDWLRQ IRU $VWUR QRP\ (GXFDWLRQ ($$( ]DMtPDYê SURMHNW SUR UĤ]Qp W\S\ ãNRO QD]YDQê SR VODYQpP PD WHPDWLNRYL DVWURQRPRYL D NDUWRJUDIRYL (UDWRVWKHQRYL 9H GYRX þiVWHFK QHMSUYH VKUQXMH PH SULQFLS VWDURYČNpKR RGKDGX YHOLNRVWL =HPČ SUR GDOãt LQIRUPDFH GRSRUXþXMHPH þWHQiĜL QDSĜ SUDPHQ\ > @ D SRWp YêVOHGN\ PČĜHQt SURYHGHQêFK Y EXGRYČ 3Ĝ) 83 Y 2ORPRXFL  (UDWRVWKHQRYD ~ORKD ěHFNê XþHQHF (UDWRVWKHQHV ] .\UpQ\ DVL  ±  SĜ Q O SRGOH >@ GĤP\VOQČ RGKDGO REYRG =HPČ 9ČGČO åH Y 6\HQČ PČVWČ QD REUDWQtNX 5DND GQHãQt $VXiQ VH Y SUDYp SR OHGQH Y GHQ OHWQtKR VOXQRYUDWX 6OXQFH ]UFDGOt Y KOXERNêFK VWXGQiFK 9 $OH[DQGULL OHåtFt SĜLEOLåQČ QD VWHMQpP SROHGQtNX MDNR 6\HQD SDN SRXåLO QHMMHGQRGXããt DVWURQRPLFNê SĜtVWURM JQyPRQ WM VYLVORX URYQRX W\þ ]DUDåHQRX NROPR GR =HPČ D ]MLVWLO åH Y Wêå GHQ VYtUDMt Y $OH[DQGULL VOXQHþQt SDSUVN\ V W\þt ~KHO β = ◦  WM DVL ◦  REU   -DNR VSUiYFH SURVOXOp DOH[DQGULMVNp NQLKRYQ\ YČGČO åH StVHPQp ]i]QDP\ RGKDGXMt SRGOH GRE\ Mt]G\ QD YHOEORXGHFK Y]GiOHQRVW PH]L $OH[DQGULt D 6\HQRX QD d =  VWDGLt

sluneˇcn´ı paprsky

o gn´omon β Alexandrie Syena

2EU  6FKpPD (UDWRVWKHQRYD PČĜHQt -DN SO\QH ] REU  L ] ORJLFNp ~YDK\ SRNXG VH 6OXQFH Y 6\HQČ ]UFDGOLOR Y KOXERNêFK VWXG QiFK PXVHOR EêW Y GDQê GHQ Y 6\HQČ Y ]HQLWX D SDSUVN\ GRSDGDO\ WpPČĜ NROPR N ]HP  3RXåtYiPH

]GH KRGQRW\ SRGOH GRSURYRGQêFK PDWHULiOĤ N SURMHNWX ($$( (UDWRVWKHQHV >@

61

VNpPX SRYUFKX -HGQRGXFKRX JHRPHWULFNRX ~YDKRX SUR REYRG =HPČ o ]H Y]GiOHQRVWL d PH]L 6\HQRX D $OH[DQGULt GRVWiYiPH β d = . o ◦ 2GWXG SUR REYRG =HPČ Y\FKi]t o=d

◦ ≈ 250 000 VWDGLt. β

3RXåLMHPHOL KRGQRWX HJ\SWVNpKR VWDGLD  P ≈  NP FRå VH ]Gi EêW Y]KOH GHP N KLVWRULFNpPX NRQWH[WX QHMYKRGQČMãt  Y\FKi]t REYRG =HPČ o ≈   NP 6RX þDVQi KRGQRWD SROHGQtNRYpKR REYRGX SRGOH PH]LQiURGQtKR HOLSVRLGX ] URNX  MH oV ≈   NP YL] QDSĜ >@  WDNåH FK\ED (UDWKRVWHQRYD RGKDGX E\OD DVL o − oV ≈ 15 . oV



(OHJDQWQt P\ãOHQND D L SRPČUQČ SĜHVQê YêVOHGHN VL ]DVORXåt Qiã REGLY L GQHV  0ČĜHQt D MHKR YêVOHGN\ 9]KOHGHP N WRPX åH ~VSČãQê SUĤEČK SRGREQpKR PČĜHQt Y\åDGXMH VOHGRYiQt VWtQX W\þH RVYČWOHQp VOXQHþQtPL SDSUVN\ YHOPL VLOQČ ]iYLVt QD SRYČWUQRVWQtFK SRGPtQNiFK 9 XUþH Qê GHQ OHWQtKR VOXQRYUDWX    E\OD RNROR  /6(ý WM  6(ý D  87 Y 2ORPRXFL ]DWDåHQi REORKD QHSĜHNRQDWHOQRX SĜHNiåNRX 3RY]EX]HQL SĜHGSRYČGt SRþDVt QD GDOãt GQ\ L VNXWHþQRVWt åH Y RNROt VOXQRYUDWX VH PD[LPiOQt YêãND 6OXQFH QDG RE]RUHP Y UR]PH]t QČNROLND GQt PČQt MHQ PiOR UHDOL]RYDOL MVPH H[SHULPHQW R GHQ SR]GČML 9\]NRX ãHOL MVPH MDN ÄSROQt³ XVSRĜiGiQt QD WUDYQDWpP WHUpQX SĜHG EXGRYRX 3Ĝ) 83 WDN ÄODERUD WRUQt³ SURYHGHQt QD SDUDSHWX RNQD RULHQWRYDQpKR MLKRYêFKRGQtP VPČUHP WHQWR ]SĤVREH YHGO N SRGVWDWQČ SĜHVQČMãtPX RGKDGX YL] REU  D   &K\EČMtFt ~GDM WM Y]GiOHQRVW RG REUDWQtNX 5DND E\O RGKDGQXW SRPRFt *RRJOH PDSV QD d ≈  NP 1DPČĜHQp KRGQRW\ ]tVNDQp SĜHVQČMãtP ]SĤVREHP E\O\ RGHVOiQ\ GR GDWDEi]H D ]YHĜHMQČQ\ QD VWUiQNiFK ($$( SĜHORåHQR GR þHãWLQ\  *x2+? _2Tm#HB+- SH+Fv lMBp2`bBiv- 6+mHiv Q7 Lim`H a+B2M+2b PHQKQm+ 9Nåje^ L RdǗRe^ 1 keåRy^ L pɭȊF ivÈ2 y-d8 K /öHF biŌMm y-je38 K ȯ?2H m p`+?QHm ivÈ2 keåRy^ MKúǴ2Mɭ Q#pQ/ w2Kú jNNeR-dN FK Q/TQpŌ/DŌ+Ō TQH{`MŌ TQHQKú` w2Kú ejey-Rk FK ÒKHO NWHUê VYtUDMt GRSDGDMtFt SDSUVN\ V W\þt E\O WDN QHSĜtPR XUþHQ ] YêãN\ W\þH D GpON\ MHMtKR VWtQX 3RGOH URYQLFH  PĤåHPH XUþLW UHODWLYQt RGFK\ONX QDãHKR YêVOHGNX SUR REYRG =HPČ o ≈ 39 900 NP NWHUi þLQt SĜLEOLåQČ   8YHGHQp YêVOHGN\ E\O\ Y\SRþWHQ\ SRPRFt RQOLQH NDONXOiWRUĤ QD VWUiQNiFK $$37

62

2EU  8VSRĜiGiQt PČĜHQt Y ÄODERUDWRUQtFK³ D ÄSROQtFK³ SRGPtQNiFK

2EU  =D]QDPHQiYiQt SRORK\ VWtQX W\þH

63

=iYČU , NG\å E\O QD GUXKê SRNXV GRVDåHQ YFHONX XVSRNRMLYê YêVOHGHN RYČĜLOL MVPH VL åH MH QXWQp SRORKX NRQFH VWtQX W\þH RGHþtWDW YHOPL SHþOLYČ QHERĢ NOtþRYp E\OR SĜHGHYãtP XUþHQt ~KOX GRSDGDMtFtFK VOXQHþQtFK SDSUVNĤ 1DãH SR]RURYiQt WDNp RYČĜLOR åH Y 2ORPRXFL Y GDQpP REGREt NH NXOPLQDFL NG\ MH 6OXQFH QD REOR]H QHMYêãH D VWtQ W\þH QHMNUDWãt QHGRFKi]t SĜHVQČ YH  6(ý DOH R QČFR GĜtYH SĜLEOLåQČ Y   FRå GiYi PRåQRVW SURGLVNXWRYDW VH VWXGHQW\ RWi]N\ QHSUDYLGHOQpKR ]GiQOLYpKR SRK\EX 6OXQFH SR REOR]H Y SUĤEČKX URNX D þDVRYp URYQLFH 0RWLYDFt SUR åiN\ L VWXGHQW\ MH WDNp PRåQRVW VURYQiQt YêVOHGNĤ V GDOãtPL VNXSLQDPL Y URFH  VH ]~þDVWQLOR FHONHP  ãNRO ] WRKR  ] ý5 *\PQi]LXP 2W\ 3DYOD ] 3UDK\ *\PQi]LXP äćiU QDG 6i]DYRX *\PQi]LXP =iEĜHK D 3Ĝ) 83  3RNXG PĤåHPH SRVRXGLW SURMHNW E\O ]H VWUDQ\ ($$( YHOPL GREĜH SĜLSUDYHQ LQWHUQHWRYp VWUiQN\ QDEt]HO\ GRVWDWHN GRSOĖXMtFtFK D Y\VYČWOXMtFtFK PDWHULiOĤ O]H VH WHG\ MHQ WČãLW QD GDOãt SRGREQp DNWLYLW\ 3UR XþLWHOH GRGHMPH åH þOHQVWYt Y ($$( ]DMLãĢXMtFt SĜtVWXS N GDOãtP PDWHULiOĤP L YþDVQp LQIRUPDFH R FK\VWDQêFK SURMHNWHFK MH EH]SODWQp 3RXåLWi OLWHUDWXUD >@ %DMHU -   0HFKDQLND  2ORPRXF 3Ĝ) 83 >@ %URå - 5RVNRYHF 9 9DORXFK 0   )\]LNiOQt D PDWHPDWLFNp WDEXON\ 3UDKD 617/ >@ ($$( (UDWRVWKHQHV 3URMHFW ?iiT,ffrrrX22@bi`QMQKvXQ`;f2`iQbi?2M2bf >@ +RUVNê = 3ODYHF 0   3R]QiYiQt YHVPtUX HGLFH 0DOi PRGHUQt HQF\NORSHGLH 3UDKD 2UELV >@ .UDXV ,   )\]LND Y NXOWXUQtFK GČMLQiFK (YURS\ 6WDURYČN D VWĜHGRYČN 3UDKD ý987 >@ .ĜtåHN 0   9ê]QDP ~KORYêFK PČĜHQt SĜL SR]QiYiQt YHVPtUX 3RNURN\ PDWHPDWLN\ I\]LN\ DVWURQRPLH  þ  V  ±  >@ âWROO ,   'ČMLQ\ I\]LN\ 3UDKD 3URPHWKHXV

64



 




         ! "#$ % ""&'("'!##")*+!,%  . $/0 1 2  3$ $                !     #$$%&#$'$  ( )(   * **! + ***+ , **- ** .* /-  0*! *+1 *! *+2( (3   +41 6 (78  ( (99 *4:!  -  +    46    6  ..  ** +       (     **-  ;*(    *   *2< 9 *4186 . ! 9-=2< ,  **6/ 1* (! +* 2( 4- >+69? *6  (*6!- @( *. + (*  A'1#B- ;2 *69 * */( 6 * -  6  *2<   ,   **     (    .!1    *4  6  6  9     (   2   )   *   *  * .9 *- (   *  + 6+*  !"# $% &'$"
# % ()% 06 2(  ) - "$"4 


 * +  (9* ((* 9( *




,& # +      +     6+  * -  C(      *.*  ** *.*-




- + (    * -       9  (  9  6( -




 +  * *- 16 *  6 1 (-




  + 6/ 6* 9 (-




%# + ** )+*1 +6** -

65




.& + 6/     )+    ?     *   ) , **-C(( (2 D2    2 *?+9*(*( -




.% + . * ) 5   % %-

"$'/ 


/# +    *        * -  E (    ( *  +- 16 1 -




" + *  +(* *  -




&) + *( 94  -




 + *4(  * -




0 -  + *  +(* (* + 6   -




-  -- +  !* -




0"&-% +  94-




 (& + 67:(  94-




-)  1 + (  (!( ( 4* 4  ) , **-

"$67

66




2%) + *!  )+ * )  6/9  (  4(96*9 * -




%  %# + *! )+ *  *+ * -




- %+ *! )+ *  *9* -




3 3% -+ *! )+ ** + 1 + 4* ** -




"# + *!2( * -




   +  * ..-




   + 6/  *  (.  *      9   * -  0+  ..    *      (  69          *   *-  (  !1        6  (  ..       (  *          /#-




%& 3$  + * ( (9 4* -*.  4(4*  ! 4.+* - 6 *.'1#1F1G1'H 47  &4 5  &4 6  &4 7  &4 8  &91  *  ( 9  .   4      ,( -  I   (     *.9 4(! -    & 69 * -




%#' + *       7,!!:   *        *   *  (1.6*   *  ( . *.9 4-( *( 6*  ) !$ 4  ) 5 !$ 4  ) 6 !$ 4  ) 7 !$ 4  ) 8 !$ 4  ) :5 !$   ,(     * ( 9 . *.9

4-




" + 61J 1   *1* 6 (* * -




 + 66  ( (+* -




 %# 1   -"  + (1J 1* 9( * -




 %# 1   -"  + 61J 1* 9( * *9+*  +* -




")+ *! )+  **  ** -




" #- + *! )+6/*   *1( !* -




 !  #  + *!   )+  1  6  (  (  4(  *  ) 5   % % * -

"$)8 3


;&  + *!   )+       *    4  ( (    * -
6*K




"-  + * 9( (   !-




2% <%# + * 9( (6  !




=4 . + * 9( (*+*  !-




%# + * 9( (* .*   * 




-- > + * 9( ( *  !-




& -)  #-+ * 9( ( ** * 




 .*  * -




-+  ( ( 4(9 4 * 4-




2% #&+ (4*1J 16* 2+6  -




,?  #& + (4*1  J   1  6  !  +    *     29  4   *1       4*  6-




) $  #  ! 1 + ( (1  J   1  9  *   * ** -

67




< %# + ( 1  J   1 +  *  4    * -




< #- + 1J 1  .*+   !(* -




"$  # /#% + *!   )+    6/  *2 **    6  * - 
  6  (   **  =,1 * +1**LM=1) 9 9**+-




% * %@ + 6 )+(  *   ( ( * -




>'"# - + 6(  (  -




 *  !  # 3$ + 6  (  (6  **    ( +  *  * -   4  *       ( (  ( *  +  + (6+**-




0 -   !  # 3$ + 6  (  !  (6+  ** *9(  +$ -

"$9+.:


A%# + *( + * -




&-% + ( *9 4 + -




-%%) + *! )+6/*   *.*  +-




3%%# + *!  )+  6/ 2 2    94-




1  3# + ((  +*-




#  > + ((  +(*-




--% + 6 94(+* 6* -




0  --% + (  94(9* 6 * -




3# + *!  )+  6/ (   1 *    * * * +-

"$*; 

68




  + *    6/     ( (   4 *2(  **+-N469      4( * *  * ( 9* -




   + (  *  4  9-




  0%&-) + * )+16*  * ( (9 4-




  < #'( + *   )+  1  6  (  *  +  ( (9 4  *1* (  -




 * 1 #" >"# + *! )+16 (  4(+21 6 .7 .:46* -




 * #- + *     **  41   +  (    ) 2+ .- **( (++(*  +-

"$#<%


%$ +  !16.** -

O !       ( (   9   **  4     !-  >  ***K


%%#D -




 -%)D  *-




 - %# D(  -




BB D 1  *(  -




 #  ! 1 %%#C -%)C - %#D 1  *(   +* *-




1$ #"$D*-




#'"- 1$ #"$D*-




- 3 D * 4* *-




- D" D 9* -




2%) 3 D) .* -




- % 3 D  ** -




% 3 D*   *-




3 3% -D* ( +* + -




E%# % # ')D )-




2%)  #%- D  )-

16 1**1 " *  1  + .*(+4*(K


# 3 D* (+4* ( *-




3%%# 3 D* -




% 2%) 3 D* (+) .4*-




% - % 3 D* (+  *+4*-

69

"$=7 3 0;%#** 4(16 (**2 4(+ ** 4-  9(* +


& %  + *  9  *  2(    **   + -E ( (*( +-




&& # + *!   )+  1  6     (    9 4-N46* 19 /1 16(  *    1( (+*-




2 $ ) +  ) + **( +-

5 /F@ #G I( $ -

N  6(EN*7((A'B:   *****  (!      !+      *  *  (.        (     P ! * (* 0*   *         **+   -  Q   *    FDS *1   +     *(    ** 9  *2<   , 

70

**1        *     +  2(   -     *     ***(69+K
















 *+* 6P  +P  +P * 6+*  P

(6* P ** EP  9P   9T.P  (4  9P  .** .**P +.*)+ P  **47:P  *++ + P * (47C*** (:P  * + -

( .9  #$    *         3*!!       * (!(P(9  9-

U() 2  +  + *, **7  AVB: 71

JFG 6..9 492(1(+9 9* *! 14699 /1.( - =  ***+( +   *.*16 !  )  ) +(-0*6!

 * !(9*2< 9 * "K%L @? A'B1
-W -8   >>?.%   5AB C     %  D  -
 
    A#B
.1-W -5   C   >      >5   % %< A-
     AVB, **DX-
   - AFBN  1I-
-5   % %E   %.F$G < -
     
-

72

3ěË52'29ċ'1é (;3(5,0(17 9( )<=,&(

5HQDWD +ROXERYi .DWHGUD H[SHULPHQWiOQt I\]LN\ 3ĜtURGRYČGHFNp IDNXOW\ 8QLYHU]LW\ 3DODFNpKR  OLVWRSDGX    2ORPRXF ýHVNi 5HSXEOLND (PDLO UHQDWDKROXERYD#XSROF]

$EVWUDNW 9 SĜtVSČYNX VWUXþQČ SRSLVXMHPH QČNROLN ODERUDWRUQtFK ~ORK UHDOL]RYDQêFK VH VWXGHQW\ VWĜHG QtFK ãNRO Y UiPFL SURMHNWX 3ĜtURGRYČGHF YH ãNROQtP URFH  ]DPČĜHQêFK QD VWXGL XP YODVWQRVWt PHFKDQLFNêFK NPLWĤ ÒYRG /DERUDWRUQt ~ORK\ D SURYiGČQt YODVWQtFK H[SHULPHQWĤ SDWĜLOR L SRGOH SĜHGEČåQpKR Y\MiG ĜHQt VDPRWQêFK ~þDVWQtNĤ N QHM]DMtPDYČMãtP D QHMåiGDQČMãtP þiVWt SURMHNWX 3ĜtURGRYČGHF 3URWR MVPH VH UR]KRGOL ]DĜDGLW QČNROLN MHGQRGXããtFK Y\VRNRãNROVNêFK ~ORK NWHUp QHY\åD GXMt KOXEãt WHRUHWLFNê ]iNODG QDG UiPHF VWĜHGRãNROVNp I\]LN\ DOH QD GUXKp VWUDQČ LOXVWUXMt ]DMtPDYp D YGČþQp I\]LNiOQt MHY\ =GH SRSLVXMHPH XUþRYiQt I\]LNiOQtFK YHOLþLQ Y PHFKDQL FH SRPRFt PČĜHQt GRE\ NPLWĤ SĜHGHYãtP VKUQXMHPH WHRUHWLFNê ]iNODG SRNXVĤ -HGQRWOLYp þiVWL SĜtVSČYNX MVRX SRVWXSQČ YČQRYiQ\ PČĜHQt PRPHQWX VHWUYDþQRVWL PRGXOX SUXåQRVWL D WtKRYpKR ]U\FKOHQt  7HRULH 3ĜHG ]DþiWNHP PČĜHQt E\O\ VKUQXW\ QHMGĤOHåLWČMãt I\]LNiOQt Y]WDK\ D MHY\ V QLPLå VH VWX GHQWL Y H[SHULPHQWHFK VHWNDMt  0RPHQW VHWUYDþQRVWL 3ĜL RWiþHQt WXKpKR WČOHVD NROHP QHK\EQp RV\ ]iYLVt MHKR NLQHWLFNi HQHUJLH QD UR]ORåHQt OiWN\ Y GDQpP WČOHVH 5R]ORåHQt OiWN\ Y WČOHVH Y]KOHGHP N RVH URWDFH Y\MDGĜXMH I\]LNiOQt YHOLþLQD PRPHQW VHWUYDþQRVWL - WXKpKR WČOHVD Y]KOHGHP N RVH RWiþHQt NWHUê MH GHILQRYiQ Y]WDKHP J = m1 r12 + m2 r22 + ....mn rn2  [J] = NJ · P . 3UR WČOHVD VH VSRMLWČ UR]ORåHQRX KPRWRX MH PRPHQW VHWUYDþQRVWL GiQ Y]WDKHP   J = r2 Gm = ρr2 GV  m

V

NGH GP MH KPRWQRVW HOHPHQWX R REMHPX G9  KXVWRWD OiWN\ U Y]GiOHQRVW HOHPHQWX RG RV\ 8 SUDYLGHOQpKR KRPRJHQQtKR WČOHVD O]H XUþLW PRPHQW VHWUYDþQRVWL J7 Y]KOHGHP N RVH MGRX Ft WČåLãWČP WČOHVD D SUR YêSRþHW PRPHQWX VHWUYDþQRVWL Y]KOHGHP N RVH URYQREČåQp V WRXWR RVRX SRXåtW 6WHLQHURY\ YČW\ J = J7 +md2  NGH G ]QDþt Y]GiOHQRVW RERX RV 9]GiOHQRVW RG RV\ Y Qtå E\ PXVHOD EêW VRXVWĜHGČQD YHãNHUi KPRWQRVW WČOHVD m DE\ MHMt PRPHQW VHWUYDþ QRVWL E\O VWHMQê MDNR SĜL GDQpP UR]GČOHQt KPRW\  VH QD]êYi SRORPČU VHWUYDþQRVWL J\UDþQt SRORPČU R 3RWRP J = mR2  RGWXG R =

J m

73


 ⇒

T = 2Æ

l . g

 7tKRYp ]U\FKOHQt 7tKRYi VtOD MH VtOD NWHUp KPRWQê ERG WČOHVR SRGOpKi Y ]HPVNpP WtKRYpP SROL -H VORåH QD ]H GYRX VLO JUDYLWDþQt VtO\ FJ  NWHUi Y GDQpP ERGČ ]HPVNpKR SRYUFKX PtĜt GR VWĜHGX =HPČ D RGVWĜHGLYp VtO\ FRG  NWHUi MH NROPi QD RVX URWDFH =HPČ -HMLFK VORåHQtP ]tVNiPH YêVOHGQRX VtOX NWHUi MH ]iYLVOi MDN QD Y]GiOHQRVWL RG VWĜHGX =HPČ WDN L QD ]HPČSLVQp ãtĜFH 7tKRYp ]U\FKOHQt MH Y GDQpP ERGČ SUR YãHFKQD WČOHVD VWHMQp . MHKR PČĜHQt O]H Y\XåtW UHYHU]Qt N\YDGOR WM ]YOiãWQt W\S I\]LFNpKR N\YDGOD )\]LFNp N\YDGOR MH WČOHVR NWHUp VH Y WtKRYpP SROL NêYH NROHP YRGRURYQp RV\ QHSURFKi]HMtFt MHKR WČåLãWČP

74

3RK\ERYi URYQLFH Pi WYDU

G2 ϕ + ω2 ϕ = 0 Gt2 NGH ω 2 = mga/J MH NYDGUiW NUXKRYp IUHNYHQFH N\YDGOD 'RED N\YX τ SRORYLQD GRE\ NPLWX T N\YDGOD MH URYQD

2Æ M mga 1  ω= =  T = = f ω J J   J l T =Æ =Æ . τ= 2 mga g =GH O]H ]DYpVW SRMHP UHGXNRYDQi GpOND I\]LFNpKR N\YDGOD ± MH WR GpOND l∗ PDWHPDWLFNpKR N\YDGOD NWHUp Pi VKRGQRX GREX N\YX V GDQêP I\]LFNêP N\YDGOHP = WRKR SDN SO\QH SĜHGFKR]t Y]WDK   τ =Æ

J =Æ mga

l∗ . g

 5HYHU]Qt N\YDGOR 5HYHU]Qt N\YDGOR MH I\]LFNp N\YDGOR NWHUp MH RSDWĜHQR GYČ PD URYQREČåQêPL RVDPL V EĜLW\ SURWL VREČ 1D MHGQRP NRQ FL MH ]iYDåt NWHUp O]H  SRVRXYDW SRGpO W\þH 3UR GREX N\YX J SODWt Y]WDK T = Æ mgd  NGH - MH PRPHQW VHWUYDþQRVWL N\YDGOD Y]KOHGHP N RVH MGRXFt ]iYČVHP NROPR N URYLQČ N\YĤ m KPRWQRVW N\YDGOD G Y]GiOHQRVW RV\ RG WČåLãWČ J WtKRYp ]U\FKOHQt 9\QHVHPHOL QD VSRMQLFL RV\ D WČåLãWČ WXWR UHGXNRYDQRX GpO NX GRVWDQHPH ERG W]Y VWĜHG N\YX 9HGHPHOL WtPWR ERGHP RVX URYQREČåQRX V SĤYRGQt RVRX SDN GRED N\YX N\YDGOD NROHP WpWR RV\ MH VWHMQi MDNR NROHP RV\ SĤYRGQt 1DMGHPH OL WHG\ QD I\]LFNpP N\YDGOH GYČ WDNRYp RV\ UĤ]QČ Y]GiOH Qp RG WČåLãWČ  SUR NWHUp MH GRED N\YX VWHMQi URYQi VH MHMLFK Y]GiOHQRVW O UHGXNRYDQp GpOFH I\]LFNpKR N\YDGOD 3UR GR 

EX N\YX SRWRP SODWt Y]WDK T = Æ gl  3URWRåH Y]GiOHQRVW RV QD UHYHU]QtP N\YDGOH MH VWiOi KOHGiPH WDNRYRX SRORKX SRVXYQpKR ]iYDåt YiOFH  SUR NWHURX MH GRED N\YX NROHP RERX RV VWHMQi 9]GiOHQRVW EĜLWĤ MH SDN URYQD UHGXNRYDQp GpOFH

5HYHU]Qt N\YDGOR XSUDYHQR SRGOH >@ 

 3UDNWLFNi PČĜHQt  0ČĜHQt PRPHQWX VHWUYDþQRVWL SĜtPRX PHWRGRX 3ĜtPRX PHWRGX SUR YêSRþHW PRPHQWX VHWUYDþQRVWL O]H SRXåtW Y SĜtSDGČ åH ]QiPH KPRW QRVW WČOHVD D MHKR GpONRYp UR]PČU\ 7RXWR PHWRGRX XUþtPH PRPHQW VHWUYDþQRVWL REGpO QtNRYp GHVN\   SUR NWHURX MH Y]KOHGHP N RVH MGRXFt VWĜHGHP GHVN\ NROPR N MHMt URYLQČ 1 J7 = 12 m a2 + b2  NGH P MH KPRWQRVW GHVN\ a b GpON\ MHMtFK VWUDQ

75

 0ČĜHQt PRPHQWX VHWUYDþQRVWL ] GRE\ N\YX 3UR GREX N\YX I\]LFNpKRN\YDGOD NROHP YRGRURYQp RV\ SURFKi]HMtFt YH Y]GiOHQRVWL G RG J  NGH J MH PRPHQW VHWUYDþQRVWL Y]KOHGHP N RVH RWiþHQt m WČåLãWČ SODWt Y]WDK T = Æ mgd 2

KPRWQRVW N\YDGOD 2GWXG Y\MiGĜtPH PRPHQW VHWUYDþQRVWL J = TÆ2 mgd 3RPRFt 6WHLQHUR Y\ YČW\ SDN Y\SRþWHPH PRPHQW VHWUYDþQRVWL Y]KOHGHP N URYQREČåQp RVH MGRXFt WČåLãWČP J7 = J − md2   0ČĜHQt PRPHQWX VHWUYDþQRVWL SRPRFt SĜtGDYQpKR WČOtVND 0HWRGD VH SRXåtYi Y SĜtSDGČ åH RVD RWiþHQt WČOHVD SURFKi]t WČåLãWČP 6DPRWQp WČOHVR EH] SĜtGDYQpKR WČOtVND QHNêYi SURWRåH MH Y LQGLIHUHQWQt SROR]H $E\ WČOHVR NêYDOR MH WĜHED N QČPX SĜLSHYQLW GDOãt WČOHVR MHKRå PRPHQW VHWUYDþQRVWL - 1 ]QiPH 0RPHQW VHWUYDþQRVWL WČOHVD Y\MiGĜtPH SRPRFt 6WHLQHURY\ YČW\ - 1  P1 G 1 2  NGH m1 MH KPRWQRVW SĜLGDQpKR WČOH VD G 1 MH Y]GiOHQRVW WČåLãWČ SĜLGDQpKR WČOHVD RG RV\ RWiþHQt &HONRYê PRPHQW VHWUYDþQRVWL RERX WČOHV Y]KOHGHP N RVH RWiþHQt MH - 7  - 1  P1 G 1 2  +PRWQRVW RERX WČOHV MH P  P1  m1 d1  3UR GREX N\YX SRWRP SODWt Y]GiOHQRVW WČåLãWČ RG RV\ RWiþHQt MH d = m+m 1  T =Æ

J7 + J1 + m1 d21 m1 gd1 2

D RGWXG SUR KOHGDQê PRPHQW VHWUYDþQRVWL PiPH J7 = TÆ2 m1 gd1 − J1 − m1 d21   0ČĜHQt PRGXOX SUXåQRVWL Y WDKX ] SĜtþQêFK NPLWĤ W\þH 8YHGHQi PHWRGD MH SĜtNODGHP G\QDPLFNp PHWRG\ PČĜHQt
4Æ2 K = . 2 T m1

E 1D NRQHF W\þH SĜLSHYQtPH ]iYDåt R KPRWQRVWL P WČåLãWČ ]iYDåt PXVt OHåHW SUiYČ QD NRQFL W\þH  3ĜL NPLWiQt VH XSODWQt FHOi KPRWQRVW WRKRWR WČOHVD SURWRåH MH XPtVWČQR Y PtVWČ

76

QHMYČWãtKR UR]NPLWX 3ODWt ω12 =

4Æ2 K =  2 T1 m1 + m

NGH 7 1 MH GRED NPLWX W\þH VH ]iYDåtP 2

F 9\GČOHQtP RERX URYQLF PiPH TT 2 = 1 2GWXG O]H Y\MiGĜLW KOHGDQRX KPRWQRVW m1 =

T12

m1 m+m1 

SUXåQRVW . MH Y RERX SĜtSDGHFK VWHMQi

T2 T2 m. m= 2 −T (T1 + T ) (T1 − T )

G 9êUD] SUR YêSRþHW P1 GRVDGtPH GR Y]WDKX SUR XUþHQt PRGXOX SUXåQRVWL E=

b3 c (T

16Æ2 l3 m . 1 + T ) (T1 − T )

 0ČĜHQt WtKRYpKR ]U\FKOHQt SRPRFt PDWHPDWLFNpKR N\YDGOD ÒNRO\  3UR PDOp YêFK\ON\ ϕ XUþHWH GREX NPLWX N\YDGOD Y ]iYLVORVWL QD MHKR GpOFH D Y\QHVWH JUDI WpWR ]i YLVORVWL 1D ]iNODGČ WRKRWR PČĜHQt XUþHWH GpONX VHNXQGRYpKR N\YDGOD  8UþHWH KRGQRWX WtKRYpKR ]U\FKOHQt g ] GRE\ N\  l YX T = Æ g   0ČĜHQt WtKRYpKR ]U\FKOHQt UHYHU]QtP N\YDGOHP 2 7tKRYp ]U\FKOHQt EXGHPH XUþRYDW ]H Y]WDKX g = ÆT 2l D EXGH WHG\ SRWĜHED QDMtW VSUiYQRX SRORKX ]iYDåt D WtP Y]GiOHQRVW Do  SUR NWHURX EXGRX GRE\ N\YX NROHP RERX RV VWHMQp

8UþHQt Y]GiOHQRVWL a0

 =iYLVORVW GRE\ NPLWX I\]LFNpKR N\YDGOD QD WtKRYpP ]U\FKOHQt

 J 'RED NPLWX I\]LFNpKR N\YDGOD V YRGRURYQRX RVRX MH GiQD Y]WDKHP T = 2Æ mgd  =H Y]WDKX MH ]ĜHMPp åH GRED NPLWX MH QHSĜtPR ~PČUQi RGPRFQLQČ ] WtKRYpKR ]U\FKOHQt 7t KRYp ]U\FKOHQt MH SUR GDQp PtVWR NRQVWDQWQt QHPĤåHPH MH EČKHP PČĜHQt PČQLW  PĤåHPH YãDN PČQLW URYLQX N\YX 2GNORQtPHOL URYLQX N\YX R ~KHO ϕ RG VYLVOpKR VPČUX XSODWQt VH MHQ VORåND g  WtKRYpKR ]U\FKOHQt NWHUi OHåt Y URYLQČ N\YX g  = g FRV ϕ. 'RED NPLWX VNORQČQpKR N\YDGOD MH   J J  T = 2Æ = 2Æ . mg  d mgd FRV ϕ 3RGtO GRE NPLWX VYLVOpKR D VNORQČQpKR N\YDGOD MH

T T


=

√

FRV ϕ

ÒNROHP MH H[SHULPHQWiOQt RYČĜHQt WRKRWR Y]WDKX SRPRFt 0DFKRYD N\YDGOD

77

=iYČU 9 SĜtVSČYNX E\OD SRSViQD PHFKDQLFNi PČĜHQt NWHUi SĜL VNXSLQRYp SUiFL UHDOL]RYDOL VWX GHQWL VWĜHGQtFK ãNRO Y UiPFL SURMHNWX 3ĜtURGRYČGHF QD 3Ĝ) 83 9 QiVOHGXMtFtFK OHWHFK QD QČ QDYiåHPH GDOãtPL ~ORKDPL ] UĤ]QêFK REODVWt I\]LN\ 3RXåLWi OLWHUDWXUD >@ +DOOLGD\ ' 5HVQLFN 5 :DONHU -   )\]LND 9\VRNRãNROVNi XþHEQLFH REHFQp I\]LN\ ýiVW  0HFKDQLND ± 7HUPRG\QDPLND %UQR D 3UDKD 987,80 D 3URPHWKHXV >@ +ROXERYi 5   )\]LNiOQt SUDNWLNXP , 0HFKDQLND NPLW\ D YOQ\ DNXVWLND  2ORPRXF 83 >@ +ODYLþND $ %ČODĜ $ .UPHãVNê - D NRO   )\]LND SUR SHGDJRJLFNp IDNXOW\  GtO 3UDKD 631 >@ âHGLYê 3 9ROI , +RUiNRYi 5   +DUPRQLFNp NPLW\ PHFKDQLFNêFK VRXVWDY .QLKRYQLþND )2 þ  +UDGHF .UiORYp 0$)< ?iiT,ff7QX+mMBX+xfi2tivfFKBivXT/7

78

Sekce

Matematika

NċCO MÁLO Z HISTORIE MATEMATIKY ANEB JAK TAKY POýÍTALI NAŠI PěEDKOVÉ

Josef Molnár Katedra algebry a geometrie PĜírodovČdecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci, 17. listopadu 12, 771 46 Olomouc, ýeská republika. E-mail: [email protected]

Abstrakt Historie matematiky nám mĤže objasnit vznik nČkterých pojmĤ i postupy výpoþtĤ. KonkrétnČ se seznámíme s etapami vývoje matematiky, ukázkami historických matematických artefaktĤ, procviþíme si násobení zdvojováním ze starého Egypta a poþítání pomocí tyþinek v þásteþnČ poziþní desítkové soustavČ podle starých ýíĖanĤ.

1. Etapy vývoje matematiky Historii matematiky obvykle þleníme na tyto etapy: • • • •

vzniku a formulace základních matematických poznatkĤ (do 6. stol. pĜ. n. l.), konstantních veliþin (6. stol. pĜ. n. l. – 16. stol. n. l.), promČnných veliþin (17. a 18. stol.), moderní matematiky – zobecnČných kvantitativních vztahĤ a prostorových forem (doposud).

2. Prameny a zdroje historie matematiky Základ informací o historii matematiky tvoĜí napĜ. doklady: •

hmotné:

•

písemné:

•

nepĜímé:

ƒ ƒ

vrubovky, nádoby, malby, stavby,

ƒ ƒ

papyry, hlinČné destiþky, kroniky, kalendáĜe,

ƒ ƒ ƒ

zaostalé kmeny, studium jazykĤ, srovnávání matematiky v rĤzných þástech svČta, aj.

81

3. Ukázky historických artefaktĤ Babylonský plán polí, v nČmž jsou zaznamenány plošné míry jednotlivých þástí pozemku.

VČstonická vrubovka - vlþí kost se záĜezy z paleolitu. Jedná se o první symbolické zaznamenávání poþtu.

82

Sumerská hlinČná tabulka z 28. stol. pĜ. n. l. s þíselnými znaky.

3. Z historie þísel Z poþátku se vyjadĜovala spíše kvalita, postupnČ se zaþalo pĜecházet na kvantitu, napĜíklad se poþítalo jedna, dvČ, hodnČ nebo jedna, dvČ, tĜi, dva a dva, dva a tĜi,…, postupnČ se objevovaly v rĤzných místech svČta a v rĤzných þasových obdobích þíselné soustavy o základech (vycházejících z poþtu prstĤ) 5, 10, 20, i se základem 60. (Dovedete zdĤvodnit proþ?). MĤžeme se setkat se zvláštní znaky pro polovinu, tĜetinu i þtvrtinu. StaĜí EgypĢané poþítali v adiþní desítkové soustavČ (podobnČ jako StaĜí ěímané). PĜeþtete toto þíslo?

83

NápovČda:

Tzv. Moskevský papyrus asi z 18. století pĜ. n. l. znázorĖuje výpoþet obsahu trojúhelníku starými EgypĢany.

84

4. Násobení zdvojováním Používalo se též ve starém EgyptČ. Jde o pĜevedení násobení na sþítání, v pĜíkladu je použit desítkový poziþní zápis þísel. Zdvojováním vypoþtČte souþin 21 x 38 Hodnotu násobitele postupnČ zdvojujeme a zapisujeme do sloupce pod sebe. V levém sloupci vybereme þísla dávající hodnotu násobence ( tj. 21) a seþteme jim odpovídající þísla v pravém sloupci. 21

x

38

1 38 ĸ 2 76 4 152 ĸ 8 304 16 608 ĸ -------------(21 = 1 + 4 + 16) 38 + 152 + 608 = 798 5. Sþítání a násobení pomocí tyþinek Používalo se ve staré ýínČ, kde se poþítalo v desítkové þásteþnČ poziþní soustavČ (existují Ĝády, uvnitĜ kterých se poþítá adiþnČ). Jednociferná þísla se pomocí tyþinek znázorĖovala napĜ. takto:

1

µ

6

µ

2

µµ

7

µµ

3

µµµ

8

µµµ

4

µµµµ

9

µµµµ

5

µµµµµ

0

PĜi provádČní poþetních operací se tyþinky posouvaly. 85

Pomocí tyþinek vypoþtČte souþet 29 + 58. ýísla znázorníme pod sebe a tyþinky v jednotlivých Ĝádech sesuneme do stĜední Ĝádky a upravíme.

µµ

µµµµ

µµµµµ

∼

∼

µµµµµµµ

µµµ

µµ

µµµµµµµ

µµµ

µµ

µµ

∼

Pomocí tyþinek vypoþtČte souþin 3 x 6.

µµµ

µ

∼ µ

86

µ µ

∼

µµ

∼

µ µµµ

∼

Pomocí tyþinek vypoþtČte souþin 234 x 24 (zápis pomocí arabských þíslic).

234 24

234 34 48 48 24 24

34 54 24

34 552 24

4 552 24

4 560 24

5616

PĜi násobení vČtších þísel (napĜíklad 234 a 24) þíslici násobitele (24) s nejmenším Ĝádem (4) umístíme pod þíslici násobence (234) s nejvČtším Ĝádem (2) a násobitele násobíme hodnotou této cifry násobence (dvČma). Výsledek (48) vložíme do stĜední Ĝádky. Pak posuneme násobitele (24) o jedno místo doprava a vynásobíme jej druhým þíslem násobitele (tĜemi) a pĜiþteme k mezivýsledku ve stĜední Ĝádce (ve dvou krocích) a dále pokraþujeme analogicky. 5. Použitá literatura 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

BeþváĜ, J.: Matematika ve staré ýínČ. SemináĜ z dČjin matematiky, Jevíþko 1993. BeþváĜ, J.: Matematika v EgyptČ. SemináĜ z dČjin matematiky, Jevíþko 1993. Folta, J. a kol.: DČjiny matematiky v obrazech. JýSMF, Praha 1982-90. Juškeviþ, A. F.: DČjiny matematiky ve stĜedovČku. Academia, Praha 1977. Konforoviþ, A.G.: Významné matematické úlohy. SPN, Praha 1989. Matouchová, J.: Hodiny historie matematiky profesora Želviþky, PF UJEP, Ústí nad Labem 2005. Molnár, J.: Jak možná poþítali naši pĜedkové? In: VII. Letní škola uþitelĤ matematiky a fyziky 2005, UJEP, Ústí nad Labem 2006. Struik, D. J.: DČjiny matematiky. Orbis, Praha 1963.

87

LOGIKA

Vladimír VanČk Katedra algebry a geometrie, 17 listopadu 12, Olomouc , ýeská republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Logika nepatĜí k oblíbeným oblastem matematiky, proto je tĜeba hledat možnosti, jak ji mezi žáky popularizovat a ukázat její krásu na jednoduchých úlohách ze života. V pĜíspČvku se autor pokusí pĜedložit, snad zajímavým zpĤsobem, jak ozvláštnit tuto oblast matematiky pĜi standardních vyuþovacích hodinách. 1. Úvod Logika nepatĜí k oblíbeným oblastem matematiky, proto je tĜeba hledat možnosti, jak ji mezi žáky popularizovat a ukázat její krásu na jednoduchých úlohách ze života. PomČrnČ výhodné a zábavné pro studenty je ukazovat její krásu na pĜíkladech rozporĤ mezi standardním vyjadĜovacím jazykem a logickým jazykem matematiky. Studenti pak pochopí, proþ je tak nutné vyjadĜovat se pĜesnČ, tedy tak, aby jejich výroky nebylo možné vysvČtlit jiným zpĤsobem, než zamýšlel sám autor. Je zĜejmé, že zprvu je nutné získat vČdomosti a poznatky o základních logických operacích a vyjadĜovacích pravidlech, které jsou standardním obsahem výuky logiky na stĜedních školách. Na nich pak mĤžeme stavČt zajímavé konstrukce, které mnohdy vedou ke sporĤm a žáky tak vybídnout k samostatnému myšlení, pĜípadnČ k hledání problematických partií a jejich Ĝešení. Objevuje se zde tedy velký prostor pro diskusi, pĜiþemž klasické poþítání je odsunuto do pozadí. 2. Logické základy ve zkratce Nejprve si zopakujme základní pojmy, které by studenti již mČli znát. V opaþném pĜípadČ lze použít kteroukoliv stĜedoškolskou uþebnici. Výrokem rozumíme každé tvrzení, o kterém má smysl prohlásit, že je pravdivé nebo nepravdivé, pĜiþemž nastane právČ jedna z tČchto možností. (tercium non datur – princip dvouhodnotovosti). PĜíklady výrokĤ: (1) Nikdo není dokonalý. (2) ýíslo pČt je záporné. (3) Všichni skĜeti slouží Sauronovi. (4) V Olomouci je jedna univerzita a je to druhá nejstarší univerzita v ýR. (5) Afrika je horký kontinent a ýR je malá zemČ.

88

(6) Existuje pĜirozené þíslo n, pro které platí

n 2 = −1 .

PĜíklady vČt které za výroky nepovažujeme: a) Kolik je hodin? b) Karle podej mi krumpáþ. c) Tato vČta je nepravdivá. (Teć právČ lžu.) d) Já umím matematiku. e) Souþasný francouzský král je holohlavý. f) PĜestal jste bít svou ženu. Zejména poslední tĜi tvrzení se zdají být naprosto bezproblémová, ovšem pokud se na nČ podíváme podrobnČji, bude se nám napĜíklad tČžko odpovídat na poslední vČtu, pokud nejsem ženatý, nebo jsem svou ženu nikdy nebil. Francie žádného krále nemá, tedy nemĤžeme o nČm nic soudit a zda autor umí nebo neumí matematiku, záleží na tom, kdo to Ĝíká. PĜipomeĖme zde ještČ, že optimisticky pravdivému výroku pĜiĜazujeme hodnotu 1 a nepravdivému 0. V pĜíkladech výrokĤ nalezneme takové, které se dají rozložit na þásti a ty jsou opČt výroky. Výroky lze tedy skládat do složitČjších celkĤ, které jsou opČt výroky. Pro spojení výrokĤ používáme logické spojky - ¬, ∧, ∨ , Ÿ, ⇔ . Nyní se již mĤžeme zabývat pravdivostními hodnotami složených výrokĤ. Negace výroku = výrok, který je nepravdivý, je-li výrok p pravdivý, a který je pravdivý, je-li výrok p nepravdivý. p 1 0

¬p 0 1

Konjunkce ............................... ∧ (þteme: p a q) Konjunkce výrokĤ p, q = výrok, který je pravdivý pouze tehdy, jsou-li pravdivé oba výroky p, q. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p∧q 1 0 0 0

Disjunkce ............................... ∨ (þteme: p nebo q) Disjunkce výrokĤ p, q = výrok, který je pravdivý právČ tehdy, když alespoĖ jeden z výrokĤ p, q je pravdivý.

89

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p∨q 1 1 1 0

Implikace ............................ => (þteme: jestliže p, potom q) Implikace výrokĤ p, q = výrok, který je nepravdivý pouze tehdy, když je výrok p pravdivý a výrok q nepravdivý. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pŸq 1 0 1 1

Ekvivalence ....................... <=>(þteme: p právČ tehdy, když q) Ekvivalence výrokĤ p, q = výrok, který je pravdivý pouze v pĜípadech, kdy oba výroky p, q mají stejnou pravdivostní hodnotu. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p⇔q 1 0 0 1

Uvećme zde alespoĖ dva pĜíklady (v dobČ semináĜe aktuální), ve kterých budeme Ĝešit velice praktické problémy. PĜíklad 1: Ze soudního dvora. Žalobce Ĝíká:„Pokud je obžalovaný vinen, pak mČl spoleþníka.“ Zbrklý obhájce kontruje: „To není pravda“. Vybrali byste si takového obhájce vy? ěešení 1:Oznaþme výrok p - obžalovaný je vinen, q – mČl spoleþníka, pak mĤžeme výroky žalobce a obhájce zanést do tabulky. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pŸq 1 0 1 1

¬ (pŸq) 0 1 0 0

Je zĜejmé, že takový obhájce není dobrý, protože dle jeho výroku je obžalovaný vinen a navíc delikt spáchal sám.

90

PĜíklad 2. TĜi politické strany A, B, C diskutují na tĜemi klíþovými body jednání: p: zachování výše mateĜské dovolené q: nezavedení progresivního zdanČní r: zachováme poplatek u lékaĜe. Každá ze stran vyjádĜí svĤj názor na danou problematiku. A: „Jestliže zachováme výši mateĜské, nepodpoĜíme poplatky u lékaĜe.“ B: „PodpoĜíme návrh q nebo zachování poplatkĤ, ale ne obojí.“ C: „PodpoĜíme právČ dva z navrhovaných bodĤ.“ Mohou se strany dohodnout a za jakých podmínek? ěešení: Zapišme si výroky matematickým jazykem:

A:

p Ÿ ¬r

B:

(q ∨ r ) ∧ ¬(q ∧ r )

C:

.

[ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) ∨ (r ∧ q)] ∨ ¬( p ∧ q ∧ r )

Dohledání pravdivostních hodnot výrokĤ nechám na þtenáĜi. 3. Paradoxy a pseudoparadoxy Jak uvádí Raclavský [6]: „Na pĜelomu 19. a 20. století zasáhla matematiku neþekaná rána – teorie množin je zaplevelena paradoxy. NČkteré paradoxy z tzv. naivní teorie množin se objevily už dĜíve v periferních oblastech a ta se zdálo, že jde jen o jakési okrajové anomálie. Této nadČji uþinil konec Bertrand Russel, když zformuloval tzv. RusselĤv paradox.“ Již ve starovČku najdeme velmi známý „paradox“ (lháĜský paradox). Autorství se pĜipisuje krétskému filosofovi Epimenidesovi. Ten údajnČ kdysi prohlásil, že všichni KréĢané jsou lháĜi. Nad výrokem by se asi nikdo nepozastavil, pokud by Epimenides nebyl sám KréĢanem. PĜedpokládejme, že Epimenides Ĝíkal pravdu, pak ovšem i on musel být lháĜem a tedy jeho výrok je lží. PĜedpokládáme však, že lháĜem rozumíme takového þlovČka, který nezávisle na podmínkách vždy lže. PĜestože tento pĜíbČh není pĜímo paradoxní, neboĢ v pĜípadČ, že pĜedpokládáme, že Epimenides lhal, nás další úvahy nevedou k paradoxní situaci. Jde tedy o jakýsi pseudoparadox. Podívejme se na výroky (c) z úvodu þlánku. Jedná se od tvrzení, která odkazují na sebe sama a otázka pravdivosti a nepravdivosti vede ke sporu. „Teć právČ lžu“ - má-li být pravda, to co Ĝíkám, pak opravdu mám lhát, tedy to co tvrdím je lež. Naopak má-li být to, co Ĝíkám, nepravda, pak musí být nepravda, že lžu a tak výrok sám popírám. Jedná se o ryzí paradox.

91

Takových tvrzení lze najít bezpoþet. Uvećme proto pĜíklad, kterým studenty pĜinutíme vymyslet právČ takový výrok. PĜíklad 3. PĜíbČh o zlatém stromu: Král mČl v zahradČ kouzelný strom, který plodil zlatá jablka. Protože mČl o nČ strach, naĜídil, že každý, kdo se do zahrady vkrade, bude zabit. Jednou pĜistihly stráže, jak se jeden zlodČj snaží vloupat do zahrady. Chytili jej a odvedli ke králi. Král prohlásil: „Dám ti možnost vybrat si smrt: Pokud Ĝekneš pravdu, obČsím tČ. Pokud zalžeš, utopím tČ.“ Co mČl zlodČj Ĝíct, aby se zachránil? [utopíš mČ] Velmi þasto se uvádí jako paradox známý Paradox vesnického holiþe. Ve vesnici Tombstone prý žije právČ jeden holiþ. Ten holí všechny ty vesniþany z Tombstone, kteĜí se neholí sami a žádné jiné. Otázkou je: „Holí tento holiþ sám sebe?“ Studenti si uvČdomují, že pokud holí sám sebe, tak by to dle znČní pĜíbČhu dČlat nemČl a naopak pokud se sám neholí, pak je jedním z tČch, které by holit mČl. Zkusme naznaþit, že se nejedná o typický paradox, ale o pseudoparadox, neboĢ podmínka existence holiþe (jeho definice) je sama o sobČ nesplnitelná (kontradiktorická). Podmínka definující holiþe zní: je to takové x, že pro všechna y platí, x holí y právČ tehdy, když y neholí y. To musí být splnČno pro všechna y. Ovšem otázkou zĤstává, zda mĤžeme individuum Holiþ zaĜadit mezi x i y zároveĖ. Pokud to provedeme, pak se dostáváme právČ do paradoxní situace. Tedy paradoxní je podmínka definující holiþe. NemĤže tedy existovat žádné individuum, splĖující tuto podmínku a paradox se stává pseudoparadoxem. VraĢme se k zmínČnému Russelovu paradoxu, který se zdá být paradoxu vesnického holiþe velmi blízký. Položme si otázku. Obsahuje množina všech množin, co neobsahují sebe samy, samu sebe? RozdČlme si množina na dva typy: a) normální množina je množina S = { X , X ∉ X } ( množin, co neobsahují sebe samy) b) množina, která není normální S = { X , X ∈ X } (množina všech množin, které obsahují i sebe samy) Kam patĜí S? Jestliže S je normální (nepatĜí sama do sebe), pak splnila podmínku a) tedy musí v ní být (je sama v sobČ). Jestliže S není normální (patĜí sama do sebe), pak S nepatĜí do množiny normálních množin tedy S ∉ S - splnila podmínku a) pro normální množinu S. Lze tedy usoudit, že paradox vesnického holiþe je jakousi analogií Russelova paradoxu. Je zde však jeden velmi podstatný rozdíl. Podmínka existence vesnického holiþe je kontradiktorická, tedy nesplnitelná. Ta se však u Russelova paradoxu nevyskytuje a jde 92

tedy o ryzí paradox a pĜi naivním chápání pojmu množina je podmínka její existence oprávnČná. Jedinou možností tak je definovat pojem množiny jinou cestou. 4. Jak z paradoxĤ ven? Tarski AĢ tak þi onak, paradoxy i pseudoparadoxy nás vedou k zamyšlení, jak je z jazyka vymýtit. Zatím se problém vyskytl v momentČ, kdy se výrok odkazoval sám na sebe (lháĜské paradoxy). Staþí tedy zaĜídit, aby se na sebe samy odkázat nemohly? OdpovČć nám dává následující ukázka: V1: Výrok oznaþený V2 je pravdivý. V2: Výrok oznaþený V1 je nepravdivý. Je vidČt, že ani jeden z výrokĤ na sebe sám neodkazuje a pĜesto jim nelze pĜiĜadit žádné pravdivostní hodnoty. Jak uvádí Svoboda ve svém þlánku [5]: „Tarski dospČl k názoru, že skuteþnČ jedinou spolehlivou cestou, jak tomuto paradoxu pĜedejít, je omezit vyjadĜovací možnosti logického jazyka tak, aby v nČm nebylo možné odkazovat k jeho vlastním výrazĤm a pĜipisovat jim sémantické hodnoty. Pokud bychom pĜirozený jazyk reglementovali pomocí logického jazyka, který bude respektovat toto pĜísné omezení, dospČli bychom k jazyku, který si mĤžeme oznaþit jako J0. Takové Ĝešení ovšem, jak si Tarski uvČdomoval, limituje vyjadĜovací možnosti vzniklého reglementovaného jazyka pomČrnČ zásadním zpĤsobem. Zdálo by se tedy, že musíme volit mezi tím, že se smíĜíme s používáním jazyka, v jehož rámci mohou pravdy být zároveĖ nepravdami, nebo tím, že budeme používat jazyk, jehož vyjadĜovací možnosti jsou podstatnČ omezené. Tarski ovšem nabídl zpĤsob, jak tomuto dilematu uniknout. Navrhuje nahlížet jazykové prostĜedky, kterými disponuje pĜirozený jazyk, nikoli jako jeden univerzální jazyk, ale jako soustavu propojených jazykĤ – oznaþíme ji ȍ. Je-li základem této soustavy jazyk J0, v nČmž, jak víme, mĤžeme hovoĜit o þemkoli s výjimkou jeho vlastní sémantiky, bude nad ním stát – jako další þást oné soustavy – jazyk, v jehož rámci budeme moci hovoĜit o sémantice jazyka J0. Tento jazyk – oznaþme ho J1 – nám tedy napĜíklad umožní hovoĜit o tom, které vČty J0 jsou pravdivé, a které nikoli. Jazyk J1 nemusí být s ohledem na ostatní vyjadĜovací možnosti o nic chudší než J0, bude však – stejnČ jako J0 – sémanticky neuzavĜený v tom smyslu, že v nČm nebude možné hovoĜit o jeho vlastní sémantice. O jazyku J1 pak ve vztahu k J0 hovoĜíme jako o metajazyku, zatímco jazyku J0 Ĝíkáme jazyk-objekt. V pĜípadČ, že bychom se potĜebovali vyjadĜovat i k sémantice výrazĤ jazyka J1, musíme pĜejít o další úroveĖ výš, k jeho metajazyku, který budeme oznaþovat J2. PodobnČ pokud budeme chtít pojednat o výrazech jazyka J2 a jejich sémantice, musíme pĜejít opČt o úroveĖ výše. Je zjevné, že žádná pĜirozená horní hranice této hierarchické soustavy jazykĤ neexistuje, a tato hierarchie tedy není (podobnČ jako russellovsko-churchovská hierarchie predikátĤ) nijak omezena. Soustava jazykĤ ȍ tedy sestává z neomezeného poþtu úrovní.

93

Je zĜejmé, že pĜijmeme-li jako rámec pro formulování svých teorií hierarchickou soustavu jazykĤ v té podobČ, jakou jsme právČ nastínili, nebude nám paradox lháĜe hrozit. VČtu, která by konstatovala svou vlastní nepravdivost, totiž v takové soustavČ prostČ nebude možné formulovat. Navíc jasné rozlišení toho, kdy formulujeme vyjádĜení v urþitém jazyce a kdy formulujeme vyjádĜení o tomto jazyce, se jeví jako velmi užiteþná teoretická distinkce (a to i tehdy, pĜipustíme-li možnost, že v daném jazyce mĤžeme hovoĜit o nČm samém, resp. jeho vyjádĜeních). Je ovšem otázkou, zda cena, kterou pĜijetím Tarského návrhu zaplatíme, není opČt pĜíliš vysoká. Musíme se totiž smíĜit s tím, že napĜíklad pojem pravdivosti se nám v dĤsledku rozpadá na neomezený poþet pojmĤ pravdivý v J0, pravdivý v J1, pravdivý v J2, atd.; a nemĤžeme uvažovat prostČ pravdivost jako takovou. Navíc nám pĜijetí této teorie vlastnČ striktnČ vzato znemožĖuje formulovat jakákoli obecná tvrzení o jazycích, významu nebo pravdivosti. Pokud totiž napĜíklad Tarski chce formulovat jakékoli obecné závČry platné pro všechny jazyky (vþetnČ toho jazyka, kterým hovoĜí), pak se (ze svého pohledu) okamžitČ dostává na šikmou plochu. Používá totiž jazyk, který hovoĜí (mimo jiné i) o svých vlastních vyjádĜeních, a tedy jazyk, který je podle jeho vývodĤ problematický. Zdá se tedy, že jakkoli je pĜístup založený na pĜedstavČ hierarchie sémanticky neuzavĜených jazykĤ pozoruhodný a inspirativní, je tČžké ho pĜijmout bezvýhradnČ.“ 5. ZávČr ZávČrem bych chtČl jen podotknout, že pĜedchozí staĢ není urþitČ vyþerpávající pĜednáškou o logice jako takové, ale to ani nebylo mým zámČrem. Spíše jsem na nČkolika pĜíkladech chtČl ukázat možnosti zaujmout studenty logikou a celkovČ myšlením. VždyĢ právČ v tomto tkví krása a smysl matematiky. 6. Použitá literatura 1. 2. 3. 4. 5. 6.

94

Berka, K.: K dČjinám výrokové logiky. Rozpravy ýeskoslovenské akademie vČd. Akademie vČd, Praha: 1959 Pražák, P.: Základy matematiky 1, Gaudeamus, UHK: 2005. http://absolventi.gymcheb.cz/2008/sttezka/cssmatika/matika.html http://www.cs.vsb.cz/duzi/PresentaceLogika2-06.ppt#256,1,Úvod do logiky výroková logika http://logika.flu.cas.cz/files/uploaded/UserFiles/File/svoboda/Paradoxy.pdf http://www.phil.muni.cz/~raclavsk/texty/paradox_vesnickeho_holice.pdf

MYSLÍM, TEDY JSEM… MATEMATIK

JiĜí Hátle Katedra algebry a geometrie Univerzity Palackého v Olomouci, 17. listopadu 1192/12, 771 46, Olomouc , ýeská republika. E-mail: [email protected] Abstrakt V þlánku jsou uvedeny úlohy, které lze Ĝadit do oblasti matematiky. NicménČ k jejich Ĝešení není zapotĜebí hlubších matematických znalostí a vČdomostí, ale postaþí zdravý úsudek a logické myšlení. 1. Úvod Jedením z úkolĤ matematiky, která se bohužel netČší veliké oblibČ jak na základní, tak na stĜední škole, je rozvíjet logické uvažování a myšlení. K popularizaci matematiky a dosažení výše uvedeného cíle lze dosáhnout pomocí pĜitažlivých logických úloh a zajímavých problémĤ ze života. 2. Logické úlohy Úloha 1.: V hotelu Do hotelu pĜišli tĜi lordi. V recepci si Ĝekli za jeden pokoj 10 liber, které každý z lordĤ zaplatil. Dohromady tedy 30 liber. Když mČl poslíþek odnést pánĤm zavazadla, pĜispČchal Ĝeditel hotelu, že mČli hosté zaplatit jen 25 liber. Dal tedy poslíþkovi pČt liber, aĢ je lordĤm vrátí. Poslíþek nevČdČl, jak rozdČlit 5 liber mezi tĜi osoby, tak dal každému po libĜe a dvČ si nechal. Každý lord tedy zaplatil 9 liber (deset pĤvodnČ, jednu dostal zpČt). 3x9=27. DvČ libry si nechal poslíþek. 27+2=29. Kam zmizela jedna libra? Úloha 2.: Autonehoda V autČ jede otec a syn (pokrevní). A jak to tak na silnicích chodí, najednou se pĜihodí strašná nehoda. Oba dva jsou vážnČ zranČni a sanitky je odvezou do dvou rĤzných nemocnic. Syn je na operaþním sále, pĜijde k nČmu chirurg a Ĝekne: "NemĤžu ho operovat, je to mĤj (pokrevní) syn!" Jak je to možné? Úloha 3.: Rukavice V šuplíku je 32 þervených rukavic a 32 modrých rukavic. Levá a pravá rukavice jsou k nerozeznání. Taháte potmČ rukavice z šuplíku. Kolik jich musíte vyndat, abyste mČli jistotu, že až se na nČ podíváte, máte pár stejné barvy?

95

Úloha 4.: Prsten Máte devČt prstenĤ, z nichž jeden je falešný. Nelze ho poznat pohledem, ale je trochu lehþí, než prsteny pravé. K dispozici máte rovnoramenné váhy. Dokážete ne dvČ vážení najít falešný prsten? Úloha 5.: Smažené Ĝízky Jeden Ĝízek se smaží deset minut - pČt minut z každé strany. Na pánev se vejdou dva Ĝízky vedle sebe. Za jak dlouho nejrychleji osmažíte na jedné pánvi tĜi Ĝízky? Úloha 6.: Žárovky Stojíte u tĜí vypínaþĤ. Víte, že patĜí ke tĜem žárovkám, které jsou v místnosti, kam vede dlouhá a klikatá chodba - tzn. že ze svého místa vĤbec nemĤžete vidČt, zda nČkterá svítí nebo ne. Všechny tĜi vypínaþe jsou nyní v poloze vypnuto. S vypínaþi mĤžete manipulovat jak chcete, pak jednou projít chodbou a podívat se do místnosti. Tam musíte Ĝíci, který vypínaþ je od které žárovky. Jak na to? Úloha 7.: Kanibalové a misionáĜi ěeka. Na jednom bĜehu jsou tĜi misionáĜi, tĜi kanibalové a lodiþka, do které se vejdou maximálnČ dvČ osoby. Jak se všichni pĜepraví na druhou stranu tak, aby nikdy na žádném bĜehu nebyla pĜesila kanibalĤ nad misionáĜi? Úloha 8.: Požár v domČ V hoĜícím domČ je skupina þtyĜ pĜátel. Chce se dostat za každou cenu ven, neboĢ dĤm za 12 minut spadne. Musí probČhnout chodbou, která je celá v plamenech. Pokud skrz ní chce nČkdo projít, tak musí mít u sebe hasící pĜístroj a plameny alespoĖ trochu krotit. Problém je, že pĜátelé mají jen jeden. Chodbou mohou jít zároveĖ maximálnČ dva lidé. Pak se nČkdo musí vrátit s pĜístrojem a mohou jít další dva. Mezi pĜáteli je jeden hasiþ, který se v plamenech pohybuje bČžnČ, a tak dokáže chodbou probČhnout bČhem minuty. Jeho nejlepší kamarád, také docela borec, probČhne za minuty dvČ. Pak je tam ještČ jeden starší pán, kterému to trvá þtyĜi minuty, a opilec, který se bude chodbou motat pČt minut. Pokud jde dvojice, pohybuje se rychlostí pomalejšího. Jak budou postupovat, aby se dostali ven do 12 minut, než dĤm spadne? Úlohy 9.: Ze soudní sínČ Jste obžalováni u soudu a šance na dobrý konec jsou malé. Soudce je férový chlap, takže Vám nabídne následující Ĝešení pĜípadu: "MĤžete Ĝíci jednu oznamovací vČtu na svou obranu. Pokud nám zalžete, tak Vás obČsíme. Pokud Ĝeknete pravdu, tak Vás zastĜelíme." Co Ĝeknete? Úloha 10.: Dort Dokážete rozkrojit dort tĜemi rovnými Ĝezy na osm þástí?

96

Úloha 11.: Džbán Máte dva džbány, pČtilitrový a tĜílitrový, a neomezený zdroj vody. Dokážete odmČĜit þtyĜi litry? 3. ěešení Úloha 1.: V hotelu Lordi zaplatili 27 liber, ale mČli platit jen 25 liber. Rozdíl, tedy dvČ libry, si nechal poslíþek. Úloha 2.: Autonehoda Chirurgem je žena, tedy matka zranČného. On je její syn. Úloha 3.: Rukavice Musíte vyndat tĜi rukavice. Potom aspoĖ dvČ rukavice mají stejnou barvu. Úloha 4.: Prsten Vezmeme tĜi a tĜi krabiþky, které dáme na váhu. Teć mohou nastat dvČ situace: a) váhy jsou v rovnováze, tudíž falešný prsten je ten devátý, který je stranou, b) jedna trojice prstenĤ je výše (je lehþí), takže mezi nimi bude falešný prsten. Hledáme dál. Z té trojice prstenĤ, ve které hledáme falešný, vyberu dva, které zvážím. ObdobnČ jako pĜi prvním vážení uvažuji: i) váhy jsou v rovnováze, tudíž falešný prsten je ten, který je stranou, ii) ten prsten, který je lehþí, je hledaný falešný. Úloha 5.: Smažené Ĝízky Nejrychleji usmažíte tĜi Ĝízky za 15 minut. Po pČti minutách jeden Ĝízek sundáte a druhý otoþíte, pĜidáte tĜetí Ĝízek. Po deseti minutách je jeden hotový a dva je tĜeba usmažit ještČ z druhé strany. Úloha 6.: Žárovky Zapneme první vypínaþ a chvíli poþkáme. Po chvíli vypneme první vypínaþ a zapneme druhý. Dojdeme do místnosti, kde je následující situace: jedna žárovka svítí – druhý vypínaþ, dvČ žárovky nesvítí, ale jedna z nich je horká, jak chvíli svítila – první vypínaþ. Zbývající žárovka je od tĜetího vypínaþe. Úloha 7.: Kanibalové a misionáĜi Kanibal a misionáĜ tam (nebo dva kanibalové). MisionáĜ (kanibal) zpČt. Dva kanibalové tam. Jeden zpČt. Dva misionáĜi tam. MisionáĜ a kanibal zpČt. Dva misionáĜi tam. Na druhém bĜehu jsou nyní tĜi misionáĜi a kanibal. Ten postupnČ odveze své dva kamarády. Úloha 8.: Požár v domČ Hasiþ a borec ven..............2min Hasiþ zpČt..........................1min Opilec a dĤchodce ven…..5min Borec zpČt.........................2min Hasiþ a borec ven..............2min 97

Dva nejlepší kamarádi vybíhají ze dveĜí a dĤm za nimi padá… Úlohy 9.: Ze soudní sínČ "Je jisté, že mČ obČsíte." Pokud soudce rozhodne, že jste mČl pravdu, mČl by Vás zastĜelit. Ale to by jste pravdu nemČl. A naopak. Pokud rozhodne, že jste lhal, pak by Vás mČl obČsit, ale pak jste mluvil pravdu. Úloha 10.: Dort Dort rozĜíznete dvČma pĜíþnými Ĝezy na þtvrtiny, následnČ ho tĜetím Ĝezem rozkrojíte podélnČ na požadovaných osm dílĤ. Úloha 11.: Džbán a) Naplníme pČtilitrový džbán a odlijeme z nČho tĜi litry vody do tĜílitrového. TĜílitrový džbán vylijeme a pĜelijeme do nČj zbývající dva litry vody z velkého džbánu. Naplníme opČt pČtilitrový džbán a odlijeme z nČho do tĜílitrového džbánu, ve kterém již dva litry vody máme, jeden litr vody. Tak nám zbudou v pČtilitrovém džbánu þtyĜi litry vody. b) Naplníme tĜílitrový džbán a pĜelijeme ho do pČtilitrového. Znovu naplníme tĜílitrový džbán a dolijeme z nČj pČtilitrový džbán. Protože v nČm už 3 litry vody byly, tak nám v tĜílitrovém zbude jeden litr vody. Vylijeme pČtilitrový, nalijeme do nČj odmČĜený litr a pĜidáme další tĜi litry vody, þímž máme v pČtilitrovém džbánu 4 litry vody. 4. ZávČr Obdobných a dalších úloh, které lze použít k motivaci, aktivizaci nebo rozvoje logického myšlení a uvažovaní žákĤ v hodinách matematiky, existují spousty, aĢ už v tištČných publikacích, þi na internetu. 5. Použitá literatura 1. 2.

98

http://hadanky.chytrak.cz/ http://hlavolamy.stylove.com/

MATEMATIKA JAKO HRA

JiĜí Hátle Katedra algebry a geometrie Univerzity Palackého v Olomouci, 17. listopadu 1192/12, 771 46, Olomouc, ýeská republika. E-mail: [email protected] Abstrakt V pĜíspČvku jsou návody, pĜíklady a podklady pro zpestĜení hodiny matematiky ve škole, þi náplĖ matematického kroužku. 1. Úvod Matematika jako vyuþovací pĜedmČt není jen neustálé poþítání, uþení se vzoreþkĤ, nezáživná teorie, nepĜedstavitelná geometrie a opČt neoblíbené poþítání. Matematikou se lze bavit formou her, skládaþek, hlavolamĤ a logických úloh, pĜiþemž žáci trénují logický úsudek, tvoĜivé myšlení, tvorbu strategií a algoritmĤ atd. 2. Hry, skládaþky, hlavolamy Matematico Matematico je hra, pĜi níž uþitel postupnČ vytahuje z balíþku, ve kterém jsou þtyĜi sady karet s þísly od 1 do 13, 25 karet. Žáci jednotlivá þísla na vylosovaných kartách ihned, postupnČ, tak jak jsou tažena, zapisují do tabulky 5 x 5 tak, aby získali co nejvíce bodĤ, dle následujícího hodnocení. 2 stejná þísla v Ĝádku, sloupci (dvojice) 10 bodĤ 2 a 2 stejná þísla v Ĝádku, sloupci (dvČ dvojice) 20 bodĤ 3 stejná þísla v Ĝádku, sloupci (trojice) 40 bodĤ 2 a 3 stejná þísla v Ĝádku, sloupci (dvojice a trojice) 80 bodĤ 4 stejná þísla v Ĝádku, sloupci (þtveĜice) 160 bodĤ postupka v Ĝádku, sloupci (pČt po sobČ jdoucích þísel) 50 bodĤ v Ĝádku, sloupci þísla 1, 1, 1, 13, 13 100 bodĤ v Ĝádku, sloupci þísla 1, 10, 11, 12, 13 150 bodĤ þtveĜice jedniþek v Ĝádku, sloupci 200 bodĤ V pĜípadČ, že žáci umístí nČkterou „sestavu“ na jednu ze dvou hlavních úhlopĜíþek, získávají dalších 10 bodĤ jako bonus. Poznámka: V Ĝádcích a sloupcích nezáleží na poĜadí umístČných þísel. Další možností hry je, že uþitel 25 þísel „pĜedlosuje“ þi pĜedem vybere, a pak je zadá žákĤm, aby je poskládali s co nejvČtším bodovým ziskem do tabulky. PĜíkladem mĤže být výbČr: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13. PodaĜí se vám získat více než 900 bodĤ? Sudoku Velice populární hra – hlavolam, která nepotĜebuje blíže pĜedstavovat, mĤže být vhodným prostĜedkem k vyplnČní zbytku vyuþovací hodiny matematiky nebo náplní matematického kroužku. 99

Hanojská vČž Tento známý hlavolam, který si lze vyhotovit doma nebo v hodinČ technické výchovy na základní škole, je provázen touto povČstí: „Kdysi dávno mČli v jednom klášteĜe v Hanoji, zvláštní vČž. VČž byla celá ze zlata a tvoĜilo ji 64 kamenĤ. Každý z nich byl menší než ten, který ležel pod ním. Kameny byly navleþeny na tyþi a vedle ní stála z každé strany ještČ jedna tyþ. Mniši mČli za úkol pĜesunout podle pravidel celou vČž z prostĜední tyþe na jednu z krajních tyþí. Legenda prví, že až se jim to podaĜí, nastane konec svČta.“ Pravidla: V jednom tahu lze pĜesunout pouze jeden kámen, pĜiþemž vČtší nesmí ležet na menším kameni. Hlavolam se souþty Zhotovte si podle vzoru jednotlivé þtverce a vystĜihnČte si je. Vaším úkolem je složit z nich velký þtverec tak, aby souþet každých dvou þísel, jejichž strany þtvercĤ se ve velkém þtverci spojily, byl vždy deset.

100

Tangram Tangram je skládaþka pocházející ze starovČké ýíny, která je tvoĜena sedmi geometrickými útvary: dva shodné velké trojúhelníky, jeden stĜednČ velký trojúhelník, dva shodné malé trojúhelníky, jeden þtverec a jeden kosoúhelník. Díly lze skládat do geometrických obrazcĤ nebo do obrazcĤ podobným zvíĜatĤm, lidem atd. PĜi skládání je nutné použít všechny díly, které musí ležet vedle sebe na podložce a nesmí se pĜekrývat (jeden položen pĜes druhý). Díly lze libovolnČ pĜevracet. Existují i jiné formy tangramu, napĜíklad trojúhelníkový. Zvláštním pĜíkladem tangramu je Kolumbovo vejce.

101

Pentomino Pentomino je další ze skládaþek. Tento hlavolam je tvoĜen dvanácti tvary (nČkteré jsou podobné dílkĤm hry Tetrix), z nichž každý je tvoĜen pČti þtverci, které na sebe navazují stranami. Jedna forma je rovinná, tedy skládáme na podložce jednotlivé dílky do rĤzných obrazcĤ. Tuto formu si mĤžeme zhotovit sami vystĜihnutím dílkĤ z tvrdého papíru. Další formou je prostorové pentomino, ke kterému již potĜebujeme vyrobené pentomino ze dĜeva, plastu þi jiného materiálu. Potom lze z kostek skládat kvádry a další prostorové objekty.

„Rovnosti“ Tato hra je založena na tom, že vyuþující napíše na tabuli skupinu þísel (vhodné je pČt þísel), rovnítko a výsledek. NapĜíklad: 4 2 1 3 5 = 3 Žáci mají za úkol vložit mezi þísla þtyĜi znaménka plus þi mínus (pĜípadnČ i znaménko mínus pĜed první þíslo) tak, aby rovnost platila pĜi zachování poĜadí þísel. Hru lze dále

102

modifikovat úpravou podmínek napĜíklad tak, že žáci mohou vkládat další matematické operace krát a dČleno, závorky, mocniny, odmocniny, faktoriály atd. DĤležitá je pĜíprava vyuþujícího z hlediska toho, aby pĜedložené úlohy za daných podmínek mČly Ĝešení. Kdo úlohu vyĜeší nejdĜíve, získává bod, pak mĤže vyuþující vyhlásit nejlepšího Ĝešitele a nejúspČšnČjší odmČnit. Algebrogram Cílem tohoto poþetního hlavolamu je nahradit písmena (nebo i znaky, útvary atp.) þíslicemi od 0 do 9 tak, aby naznaþený poþetní výkon byl pravdivý. RĤzná písmena pĜedstavují rĤzné þíslice. AB + CB = DAE x + x DE – DF = E GEB + DFB = BGE

TěI KRÁT TěI DEVċT

3. ZávČr V pĜíspČvku není možné obsáhnout všechny hlavolamy, hry, skládaþky atd. Je to pouze výbČr nČkterých z nich s krátkým pĜedstavením, popisem, zmínkou þi návodem, jak si ho zhotovit a použít. Mnoho dalších þtenáĜ nalezne nejen v uvedené literatuĜe, ale hlavnČ na internetu. 4. Použitá literatura 1. 2. 3. 4.

Hotová, E. (2008). Hrátky s matematikou. Olomouc: UP Trávníþek, S. (2007). Matematické hry a soutČže pro školní výlet. In MFI r. 16, þ. 9. Praha: Prometheus http://sudokuweb.cz/ http://profuvsvet.ic.cz/index.php

103

)5$.7È/< 1$ 67ě('1Ë â.2/(

9ODGLPtU 9DQČN .DWHGUD DOJHEU\ D JHRPHWULH 3ĜtURGRYČGHFNp IDNXOW\ 8QLYHU]LW\ 3DODFNpKR  OLVWRSDGX    2ORPRXF ýHVNi 5HSXEOLND (PDLO YODGLPLUYDQHN#XSROF] ÒYRG 9 QiVOHGXMtFt VWDWL E\FK UiG SĜHGVWDYLO REVDK D SUĤEČK MHGQp ] SĜHGQiãHN ] RERUX PDWHPD WLN\ ± )UDNWiO\ QD VWĜHGQt ãNROH NWHUê PČO VWXGHQWĤP QDEtGQRXW SRKOHG QD QHWUDGLþQt WpPD PDWHPDWLN\ V Y\XåLWtP ]QDORVWt ]H VWĜHGQt ãNRO\ -GH Y SRGVWDWČ R SRSLV SUĤEČKX D REVDKX SĜHGQiãN\ NWHURX O]H Y\XåtW Y KRGLQiFK PDWHPDWLN\ SUR MHMt ]DWUDNWLYQČQt  0RWLYDþQt SUREOpP 9\EUDQê URYLQQê ~WYDU PĤåHPH ]DĜDGLW GR QČNWHUp ]H WĜtG SRGOH QiVOHGXMtFtFK YODVWQRVWt    

~WYDU Pi NRQHþQê REVDK D NRQHþQê REYRG ~WYDU Pi QHNRQHþQê REVDK D QHNRQHþQê REYRG ~WYDU Pi QHNRQHþQê REVDK D NRQHþQê REYRG ~WYDU Pi NRQHþQê REVDK D QHNRQHþQê REYRG

=NXVWH QDMtW SUR NDåGRX WĜtGX UHSUH]HQWDQW\ 6WXGHQWL REY\NOH QHPDMt SUREOpP V QDOH]HQtP UHSUH]HQWDQWĤ ] SUYQtFK GYRX WĜtG 7ĜHWt WĜtGD E\OD SUREOHPDWLþWČMãt DOH SUYHN ]H þWYUWp WĜtG\ QHE\O QDOH]HQ YĤEHF 3ĜHGQiãHMtFtP E\OD QDYUåHQD VWUXNWXUD Y\WYRĜHQt ~WYDUX NWHUê E\ VSOĖRYDO SRGPtQN\ þWYUWp WĜtG\ ± NRQVWUXNFH .RFKRY\ YORþN\ 2YãHP SUR GĤND] GDQêFK YODVWQRVWt E\OR QXWQp VL SĜLSRPHQRXW ]iNODGQt SRMP\ ] WHRULH SRVORXSQRVWt D ĜDG 3RQHFKPH WHG\ SUREOpP ]DWtP VWUDQRX D SRGtYHMPH VH QD SRVORXSQRVWL D ĜDG\  3ĜLSRPHQXWt SUREOHPDWLN\ ] REODVWL WHRULH SRVORXSQRVWt D ĜDG 1D ~YRG E\O RSČW ]YROHQ PRWLYDþQt SĜtNODG MLå WUD GLþQČ VH MHGQDOR R Ä3DUDGR[ $FKLOOHV D åHOYD³ $FKLOOHV D åHOYD ± 7HQWR QHM]QiPČMãt SDUDGR[ Y\ VORYLO ĜHFNê ILOR]RI =HQyQ ] RVWURYD (OHD Y Si WpP VWROHWt SĜHG QDãtP OHWRSRþWHP &KWČO WtP GRNi ]DW SĜHGHYãtP QHPRåQRVW SRK\EX D WtP SRXNi]DW QD FK\E\ Y XþHQt 3\WKDJRUHMFĤ 3DUDGR[ $FKLOOD D åHOY\ VSRþtYi Y QiVOHGXMtFtFK ~YDKiFK $FKLOOHV Pi ]iYRGLW V åHOYRX Y EČKX QD  P 3URWRåH MH $FKLOOHV GHVHWNUiW U\FKOHMãt QHå åHOYD GRVWDQH åHO YD GHVHWLPHWURYê QiVNRN =iYRG MH RGVWDUWRYiQ D $FKLOOHV ]DþtQi åHOYX GRKiQČW $FKLOOHV XEČKQH  P D GRVWDQH VH GR PtVWD ] QČKRå VWDUWRYDOD åHOYD =D VWHMQê þDV XUD]LOD åHOYD MLå MHGHQ PHWU WDNåH Pi SĜHG $FKLOOHP QiVNRN MHGQRKR PHWUX $FKLOOHV XEČKQH WHQWR PHWU DOH 1 åHOYD MH VWiOH QDSĜHG Q\Qt R 10 P 9H FKYtOL NG\ $FKLOOHV GRViKQH L WRKRWR ERGX MH åHOYD

104

1 R 100 P SĜHG QtP $ WDN GiOH 1iVNRN åHOY\ VH VLFH VWiOH ]PHQãXMH DOH åHOYD SRĜiG YHGH D WHG\ $FKLOOHV QHPĤåH WHQWR ]iYRG Y\KUiW

2EGREQp ~YDK\ R SRGVWDWČ SURVWRUX þDVX D SRK\EX E\O\ GLVNXWRYiQ\ PQRKêPL ILOR]RI\ 'HILQLWLYQČ YãDN W\WR P\ãOHQN\ Y\YUiFHQ\ Då V QiVWXSHP PDWHPDWLFNp DQDOê]\ Y VWROHWt ěHãHQt =HQyQĤY SDUDGR[ E\O Y\ĜHãHQ QiVOHGRYQČ 9\MiGĜHPH VL QiVNRN åHOY\ SĜHG $FKLOOHP -HGQRWOLYp Y]GiOHQRVWL WYRĜt NOHVDMtFt SRVORXSQRVW 1011/101/100 . . . 7HG\ ĜHãHQt WRKRWR SDUDGR[X VRXYLVt ]ĜHMPČ V QHNRQHþQêP VRXþWHP S = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + . . . 1DEt]t VH ]iVDGQt RWi]ND ]GD PĤåH PtW QHNR QHþQi ĜDGD þtVHO NRQHþQê VRXþHW $QWLþWt ILOR]RIRYp VL P\VOHOL åH QH D SURWR E\O SUR QČ ]iYRG $FKLOOD VH åHOYRX SDUDGR[HP 8NDåPH åH L QHNRQHþQi ĜDGD PĤåH PtW NRQHþQê VRXþHW 9\QiVREPH QDãt YêãH XYHGHQRX URYQLFL GHVHWL 10S = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + . . . = 100 + S 1 9S = 100 → S = 11 . 9 7HG\ QHNRQHþQi ĜDGD Pi NRQHþQê VRXþHW D $FKLOOHV GRKRQt åHOYX SR 11 19 PHWUHFK 6WHMQê YêVOHGHN GRVWDQHPH L SRVWXSHP Y\XåLWt Y]WDKX SUR VRXþHW QHNRQHþQp ĜDG\ ]QiPê ] KRGLQ PDWHPDWLN\ QD VWĜHGQt ãNROH 9 WpWR þiVWL SĜHGQiãN\ E\O\ ]RSDNRYiQ\ ]iNODGQt SRMP\ D Y]WDK\ SUR SRVORXSQRVWL D ĜDG\ NWHUp ]GH MLå QHEXGHPH XYiGČW 1DYtF MVHP ]GH Y\XåLO YHOPL ]QiPêFK LQIRUPD Ft R )LERQDFFLKR SRVORXSQRVWL D ]ODWpP ĜH]X FRå DOH SĜHGQiãNX SRPČUQČ Yê]QDPQêP ]SĤVREHP SURGORXåt .RPSOHWQt SUH]HQWDFL D SRGNODG\ SUR VWXGHQW\ O]H QDOp]W QDSĜ QD KWWSZZZSULURGRYHGHFHXLQSDJHVHPLQDU

 1iYUDW N QDãt PRWLYDþQt RWi]FH 1\Qt MVPH VL MLå SĜLSUDYLOL SRGPtQN\ SUR GĤND] åH ~WYDU ]QiPê MDNR .RFKRYD YORþND SDW Ĝt GR þWYUWp WĜtG\ QDãHKR ~YRGQtKR SUREOpPX 3ĜLSRPHĖPH QHMSUYH NRQVWUXNFL .RFKRY\

105

YORþN\ 9\FKi]tPH ] URYQRVWUDQQpKR WURM~KHOQtNX R VWUDQČ k 1DG VWĜHGHP NDåGp VWUDQ\ VHVWURMtPH URYQRVWUDQQê WURM~KHOQtN V GpONRX VWUDQ\ k1 = k3  þtPå Y]QLNQH KYČ]GD R  VWUDQiFK 1DG VWĜHGHP NDåGp VWUDQ\ KYČ]G\ VHVWURMtPH URYQRVWUDQQê WURM~KHOQtN R GpOFH VWUDQ\ k2 = k31 = k9  9]QLNOê ~WYDU Pi  VWUDQ 2SČW QDG NDåGRX VWDQRX VHVWURMtPH URY k D WDN SRVWXSXMHPH SRĜiG GiO YL] REU  QRVWUDQQê WURM~KHOQtN R VWUDQČ GpON\ k3 = k32 = 27 D  .DåGê GDOãt ~WYDU EXGH PtW þW\ĜLNUiW YtFH VWUDQ QHå SĜHGFKR]t SĜLþHPå GpOND VWUDQ\ EXGH WĜHWLQRYi 3RGtYHMPH VH Q\Qt QD YêSRþHW REYRGX o .RFKRY\ YORþN\ o = 3k + 3

k k k 4 16 64 k + 12 + 48 + 192 + . . . = 3k + k(1 + + + + . . .) 3 9 27 81 3 9 27

NGH 3k MH REYRG SĤYRGQtKR WURM~KHOQtNX D GDOãt þOHQ\ XND]XMt ]YČW ãHQt REYRGX SĜL NDåGpP QiPL SURYHGHQpP NURNX ýOHQ\ Y ]iYRUFH WYRĜt JHRPHWULFNRX ĜDGX NGH a1 = 1 D q = 43  9]KOHGHP N KRG QRWČ NYRFLHQWX |q| > 1 JHRPHWULFNi ĜDGD GLYHUJXMH N QHNRQHþQX 7HG\ GDOãtPL NURN\ SĜL NRQVWUXNFL .RFKRY\ YORþN\ MHMt REYRG URVWH N QHNRQHþQX 9êSRþHW REVDKX QHEXGHPH H[SOLFLWQČ SURYiGČW VWDþt VL XYČGRPLW åH GDQpPX ~WYDUX O]H RSVDW NUXåQLFL NWHUi Pi ]ĜHMPČ NRQHþQê REVDK D WHG\ L REVDK .RFKRY\ YORþN\ MH NRQHþQê 'RNi]DOL MVWH WDN åH .RFKRYD YORþND SDWĜt GR QDãt þWYUWp WĜtG\  )UDNWiO\ 9 SĜHGFKR]tP SĜtNODGX MVPH VH GRVWDOL N MHGQRPX ] QHMMHGQR GXããtFK IUDNWiOĤ 6WXGLHP WČFKWR REUD]FĤ VH ]DEêYDOR PQRKR RVREQRVWt SĜHGHYãtP GYDFiWpKR VWROHWt 3ĜLSRPHĖPH QČNWHUp ] QLFK *HRUJ )HUGLQDQG /XGZLJ 3KLOLSS &DQWRU ∗  †   1LHOV )DELDQ +HOJH YRQ .RFK ∗  †   :D FáDZ )UDQFLV]HN 6LHUSLĔVNL ∗  †   *DVWRQ 0DXULFH -XOLD ∗  †   )HOL[ +DXVGRUII ∗ †   QH ER %HQRvW 0DQGHOEURW ∗   =iMHPFL PRKRX ] GČO WČFK WR PDWHPDWLNĤ SURVWXGRYDW SUREOHPDWLNX IUDNWiOĤ YHOPL SR GUREQČ 9\VORYPH Q\Qt QČNROLN GHILQLF GĤOHåLWêFK SRMPĤ Y]WDKXMtFtFK VH SUiYČ N IUDNWiOĤP )UDNWiO\ MVRX REMHNW\ NWHUp MVRX VREČSRGREQp þL VREČ SĜtEX]Qp 6REČSRGREQRVW PDWHPDWLFN\ VH WDWR YODVWQRVW QD]êYi LQYDULDQFH YĤþL ]PČQČ PČĜtW ND MH WDNRYi YODVWQRVW REMHNWX ]H REMHNW Y\SDGi SRGREQČ DĢ VH QD QČM GtYiPH Y MD NpPNROLY ]YČWãHQt 6REČSĜtEX]QRVW MH YODVWQRVW IUDNWiOĤ MHMLFKå NWHUêNROLY YêVHN MH SRGREQRX NRSLt SĤ YRGQtKR WČOHVD  2EUi]N\

106

SĜHY]DW\ ] >@

 9êVN\W D Y\XåLWt IUDNWiOĤ )UDNWiO\ O]H QDOp]W WpPČĜ YãXGH NROHP QiV 9 SĜtURGČ MVRX WR QDSĜtNODG QČNWHUp PUDN\ SĜtSDGQČ SREĜHåt SĜtPRĜVNêFK VWiWĤ EOHVN\ MVRX ]DVH SRYDåRYiQ\ ]D MHGQX ] IRUHP YČWpY NRYêFK IUDNWiOĤ

)UDNWiOQt VWUXNWXUD EOHVNĤ 1ČNWHUp W\S\ URVWOLQ 5RPDQHVTXH %URFFROL Y\ND]XMt IUDNWiOQt FKDUDNWHULVWLN\

5RPDQHVTXH %URFFROL

'LI~]H

)\]LNiOQt D FKHPLFNp MHY\ MDNR MH QDSĜtNODG GLI~]H þLOL SRVWXSQp UR]QiãHQt þiVWHþHN SHY QpKR NDSDOQpKR þL SO\QQpKR VNXSHQVWYt Y MLQp SHYQp NDSDOQp þL SO\QQp KPRWČ %URZQĤY SRK\E  =PČQD PDJQHWLVPX SHYQêFK OiWHN SĜL &RXULHURYČ WHSORWČ Y\ND]XMH IUDNWiOQt FKDUDNWHULV WLN\ 3ĜL NULWLFNp WHSORWČ &RXULHURYD SĜHFKi]t PDWHULiO ] PDJQHWLFNpKR VWDYX GR QHPDJ QHWLFNpKR D QDRSDN 3ĜL EOLåãtP ]NRXPiQt Y\ãOR QDMHYR åH HOHPHQWiUQt PDJQHW\ ] QLFKå MH PDJQHWLFNê PDWHULiO XVSRĜiGiQ QHSĜHFKi]HMt GR FKDRWLFNp RULHQWDFH VNRNRYČ YãHFKQ\  2EUi]N\

SĜHY]DW\ ] >@

107

QDMHGQRX DOH DþNROLY VH PDWHULiO ]Gi EêW QDYHQHN QHPDJQHWLFNê REMHYXMt VH ORNiOQt IOXN WXDFH HOHPHQWiUQtFK PDJQHWĤ NWHUp MVRX XVSRĜiGDQp PDJQHWLFNp  3ĜL &RXULHURYČ WHSORWČ WDN QHPĤåHPH R PDWHULiOX UR]KRGQRXW ]GD MH PDJQHWLFNê þL QLNROLY

0DJQHWLVPXV PDWHULiOĤ -HGQRGXFKp IUDNWiOQt SUYN\ YãDN QDMGHPH L Y DUFKLWHNWXĜH PČVW UR]ORåHQt VRXþiVWHN QD SORãQpP VSRML þL Y\XåLWtP QiPL ]QiPp .RFKRY\ NĜLYN\ Y SRGREČ ãLURNRVSHNWUp DQWpQ\ V PLQLPiOQtPL UR]PČU\

$QWpQD ± .RFKRYD NĜLYND 3UREOHPDWLNX D NUiVX IUDNWiOĤ PĤåHPH RYãHP Y\XåtW Y KRGLQiFK PDWHPDWLN\ SĜHGHYãtP SĜL SUREtUiQt NRPSOH[QtFK þtVHO 9HOLFH SRXWDYp REUD]FH ]tVNiWH LWHUDþQtPL PHWRGDPL ĜHãHQt MHGQRGXFKêFK URYQLF Y RERUX NRPSOH[QtFK þtVHO -HGQRX ] PRåQRVWt MH YêSRþHW NRĜHQĤ SRO\QRPX P (z) = z 3 − 1 1HZWRQRYRX PHWRGRX WHþHQ 1D REU  YLGtWH ÄFHVW\³ ĜHãHQt SUR UĤ]Qp YROE\ SRþiWHþQt KRGQRW\ z 9 WRPWR RNDPåLNX MH YKRGQp VH VWXGHQW\ ]RSDNRYDW NRPSOH[Qt þtVOD SĜtSDGQČ PHWRG\ KOH GiQt NRĜHQĤ SRO\QRPĤ  2EUi]N\

108

SĜHY]DW\ ] >@

2EU  1HZWRQRYD PHWRGD WHþHQ ÒFKYDWQp REUD]FH ]tVNiPH WDNp WYRUERX W]Y -XOLRYêFK QHER 0DQGHOEURWRYêFK PQRåLQ -XOLRY\ PQRåLQ\ MVRX MHGQRGXãH ĜHþHQR PQRåLQ\ WDNRYêFK z ∈ C SUR NWHUp SODWt åH SR ∞ VORXSQRVW (zk )k=1  NGH zk+1 = zk2 + c MH NRQYHUJHQWQt SUR NRQVWDQWQt c ∈ C +UDQLFH WČFKWR PQRåLQ WYRĜt IUDNWiOQt REUD]FH

-XOLRYD PQRåLQD 0DQGHOEURWRYD PQRåLQD MH Y SRGVWDWČ NDWDORJ -XOLRYêFK PQRåLQ NGH NDåGpPX c MH SĜLĜD ]HQD SUiYČ MHGQD -XOLRYD PQRåLQD 0DQGHOEURWRYD PQRåLQD MH RSČW IUDNWiOHP

109

0DQGHOEURWRYD PQRåLQD -HMLFK JHQHUiWRU\ QDMGHWH QDSĜtNODG QD ?iiT,ffrrrXmiQTBMbFvX+QKfH#`iQ`vf7`+iHbf ?iiT,ffFKHBMmtX7D7BX+pmiX+xfȨTmbT2i`f?iKHfbFQHf7`FiHvfbQ7iX?iK ?iiT,ffrrrX+?QbT`QX/2fb+`BTibf`2Hi2/XT?T =iYČU 9 SĜtVSČYNX MVHP VH SRNXVLO SĜLEOtåLW 9iP MHGQX ] SĜHGQiãHN NWHURX SRĜiGiPH Y UiPFL SURMHNWX Ä3ĜtURGRYČGHF³ QD 3ĜtURGRYČGHFNp IDNXOWČ 83 Y 2ORPRXFL SUR Y\EUDQp VWXGHQW\ VWĜHGQtFK ãNRO VH ]iPČUHP SĜLOiNDW MH NH VWXGLX SĜtURGQtFK YČG D VH]QiPLW MH V YČGHFNêP SURVWĜHGtP 9ČĜtP åH SĜHGORåHQê WH[W þL MHKR þiVWL 9iP SĜLQHVO\ LQVSLUDFL D Y\XåLMHWH MH WĜHED SĜL SĜtSUDYČ 9DãLFK ]DMtPDYêFK KRGLQ PDWHPDWLN\ þL PDWHPDWLFNêFK VHPLQiĜĤ 3UR YČWãLQX VWXGHQWĤ VH MHGQDOR R SUYQt VH]QiPHQt V IUDNWiO\ SURWR MVHP QHXYiGČO SĜtOLã PQRKR SRþHWQtFK RSHUDFt NWHUp E\ MH PRKO\ RGUDGLW 1DSUDYtP WR SĜtãWt SĜHGQiãNX NWHUi VH EXGH ]DEêYDW GLPHQ]HPL SĜHGHYãtP IUDNWiOQtFK REUD]FĤ 3RXåLWi OLWHUDWXUD >@ >@ >@ >@ >@ >@ >@ >@ >@ >@ >@

110

=HOLQND ,   $SOLNRYDQi LQIRUPDWLND =OtQ 87% 3DXã 3   3RþtWDþRYp PHWRG\ DQDOê]\ IUDNWiOQtFK PQRåLQ 3UDKD ý987 0DãHN 0   )UDNWiORYp NDSDFLWRU\ 3UDKD ý987 8åLWt D ]QHXåLWt IUDNWiOĤ 08 %UQR  ?iiT,ffrrrX7BiXpmi#`X+xfȨiBbMQpTf7`+ifmpQ/X?iKH ?iiT,ffrrrX`QQiX+xf+HMFvf7`FiHv@FQH2K@Mbf ?iiT,ff/;H2bXFH2MQiX+xf`B?QpfFQ+?XT/7 ?iiT,ffK`iBMX?BMM2`XBM7QfKi?f6`FiHvfD2/MQ/m+?2XT?T ?iiT,ffrrrXmiQTBMbFvX+QKfH#`iQ`vf7`+iHbf ?iiT,ff+bXrBFBT2/BXQ`;frBFBf6`FiHnL2riQM ?iiT,ffrrrXT`B`Q/Qp2/2+X2m

9<%5$1e =$-Ë0$9267, = 7(25,( ýË6(/

-DURVODY âYUþHN .DWHGUD DOJHEU\ D JHRPHWULH 3ĜtURGRYČGHFNp IDNXOW\ 8QLYHU]LW\ 3DODFNpKR  OLVWRSDGX    2ORPRXF ýHVNi 5HSXEOLND (PDLO VYUFHN#LQIXSROF] $EVWUDNW 2EVDK WRKRWR SĜtVSČYNX VH GR MLVWp PtU\ SĜHNUêYi V REVDKHP VWHMQRMPHQQp DXWRURY\ SĜHG QiãN\ NWHUi E\OD XUþHQD PODGêP ]iMHPFĤP R SĜtURGQt YČG\ Y UiPFL UHDOL]DFH SURMHNWX Ä3ĜtURGRYČGHF³ QD 3ĜtURGRYČGHFNp IDNXOWČ 83 Y 2ORPRXFL =YROHQi WHPDWLND WHRULH þt VHO SDWĜt ] SRKOHGX QDãLFK VWĜHGRãNROiNĤ N QHMREOtEHQČMãtP D QHMSĜLWDåOLYČMãtP FHONĤP W]Y ãNROVNp PDWHPDWLN\ ÒYRG 3ĜL ĜHãHQt þtVHOQČWHRUHWLFNêFK ~ORK åiFL Y\VWDþt ]SUDYLGOD V PLQLPHP SRMPĤ NWHUp PDMt YČWãLQRX GREĜH ]DåLW\ MLå RG ]iNODGQt ãNRO\ 1DGVWDQGDUGQt ~ORK\ ] WpWR REODVWL MVRX YãDN SRPČUQČ REWtåQp D SUR MHMLFK ĜHãHQt MH WĜHED RVYRMLW VL ĜDGX QHWUDGLþQtFK SRVWXSĤ D PHWRG V QLPLå VH Y UiPFL SUREtUDQpKR XþLYD QD VWĜHGQtFK ãNROiFK åiFL SUDNWLFN\ YĤEHF QHVHWNiYDMt 'R WpWR VNXSLQ\ SUREOpPĤ SDWĜt SĜHGHYãtP SUiFH V W]Y YHONêPL þtVO\ 9ODVWQt SĜHGQiãND E\OD UR]GČOHQD GR WĜt YČWãtFK WHPDWLFNêFK FHONĤ ] REODVWL HOHPHQWiUQt WH RULH þtVHO SUYRþtVOD D þtVOD VORåHQi SUiFH V þtVOLFHPL Y GHVtWNRYp VRXVWDYČ D GČOLWHOQRVW YHO NêFK þtVHO  8YHćPH QHMSUYH QČNWHUp W\S\ ~ORK YãHFK WĜt YêãH ]PtQČQêFK FHONĤ 9 NDåGpP EORNX MVRX SĜLWRP YåG\ X SUYQtFK GYRX ~ORK XYHGHQD QD XNi]NX WDNp MHMLFK SUH]HQWRYDQi ĜHãHQt 3UYRþtVOD D þtVOD VORåHQi  'RNDåWH åH H[LVWXMH QHNRQHþQČ PQRKR VORåHQêFK þtVHO WYDUX n4 + 4 NGH n MH SĜLUR ]HQp þtVOR ěHãHQt 9\XåLMHPH ]GH PHWRGX IDNWRUL]DFH UR]NODGX GDQpKR YêUD]X QD þLQLWHOH  3RVWXSQČ WDN GRVWDQHPH n4 + 4 = (n4 + 4n2 + 4) − 4n2 = (n2 + 2)2 − (2n)2 = (n2 − 2n + 2)(n2 + 2n + 2) . 3UR NDåGp SĜLUR]HQp þtVOR n > 1 SODWt n2 + 2n + 2 > n2 − 2n + 2 = (n2 − 2n + 1) + 1 = (n − 1)2 + 1  2  SURWR MH YêUD] QD SUDYp VWUDQČ UR]NODGX n4 + 4 SUR OLERYROQp SĜLUR]HQp þtVOR n > 1 VRXþL QHP GYRX SĜLUR]HQêFK þtVHO YČWãtFK QHER URYQêFK GYČPD 3UR NDåGp n SĜLUR]HQp n > 1 MH WHG\ n4 + 4 VORåHQp þtVOR D WXGtå H[LVWXMH QHNRQHþQČ PQRKR VORåHQêFK þtVHO WYDUX n4 + 4  9\KRYXMtOL SĜLUR]HQi þtVOD abcd URYQRVWL ab = cd MH þtVOR a + b + c + d VORåHQp 'RNDåWH

111

ěHãHQt = SRGPtQN\ ab = cd D ] MHGQR]QDþQRVWL UR]NODGX GDQpKR SĜLUR]HQpKR þtVOD QD SU YRþLQLWHOH SO\QH H[LVWHQFH WDNRYêFK SĜLUR]HQêFK þtVHO c1 c2 d1 d2  SUR QČå SODWt c = c1 c2  d = d1 d2 D VRXþDVQČ a = c1 d2  b = c2 d1  2GWXG a + b + c + d = c1 d1 + c2 d2 + c1 c2 + d1 d2 = (c1 + d2 )(c2 + d1 ) . 2ED þLQLWHOp QD SUDYp VWUDQČ SRVOHGQtKR YêUD]X MVRX SĜLUR]HQi þtVOD YČWãt QHER URYQD GYČPD D SURWR MH a + b + c + d VORåHQp þtVOR  5R]KRGQČWH ]GD H[LVWXMH  SR VREČ MGRXFtFK SĜLUR]HQêFK þtVHO NWHUi MVRX VORåH Qi  'RNDåWH åH þtVOR 5 6 34 + 45 MH VRXþLQHP GYRX SĜLUR]HQêFK þtVHO ] QLFKå NDåGp MH YČWãt QHå 102002  3UiFH V þtVOLFHPL Y GHVtWNRYp VRXVWDYČ  8UþHWH NROLND QXODPL NRQþt þtVOR 2010! ěHãHQt 8YDåXMPH NDQRQLFNê UR]NODG UR]NODG QD SUYRþLQLWHOH þtVOD 2010! 7RWR þtVOR EXGH NRQþLW WROLND QXODPL NROLN þLQLWHOĤ WYDUX 2 · 5 = 10 WYRĜHQêFK GYRMLFt SUYRþtVHO  D  O]H V RKOHGHP QD XYDåRYDQê NDQRQLFNê UR]NODG Y\WYRĜLW -HMLFK SRþHW MH URYHQ H[SRQHQWX α X SURYRþtVOD  Y WRPWR NDQRQLFNpP UR]NODGX H[SRQHQW X SUYRþtVOD  MH WRWLå HYLGHQWQČ YČWãt QHå α  +RGQRWX H[SRQHQWX α O]H VQDGQR RGYRGLW -H GiQ W]Y /HJHQGUHRYRX IXQNFt SRGOH Qtå SODWt 





 ∞

2010! 2010! 2010! 2010! + α= = + + · · · = 501  5i 5 52 53 i=1 NGH V\PERO x ]QDþt GROQt FHORX þiVW UHiOQpKR þtVOD x =iYČU =iSLV þtVOD 2010! Y GHVtWNRYp VRXVWDYČ NRQþt  QXODPL  1HFKĢ p MH SUYRþtVOR p > 3 D n MH WDNRYp SĜLUR]HQp þtVOR åH pn MH GYDFHWLPtVW Qp þtVOR 'RNDåWH åH PH]L SRXåLWêPL þtVOLFHPL VH Y ]iSLVX þtVOD pn MH DVSRĖ MHGQD SRXåLWD DVSRĖ WĜLNUiW ěHãHQt 'ĤND] SURYHGHPH VSRUHP 3ĜLSXVĢPH WHG\ åH VH Y ]iSLVH þtVOD pn QHY\VN\WXMH åiGQi þtVOLFH GHVtWNRYp VRXVWDY\ YtFH QHå GYDNUiW 3URWRåH MH WRWR þtVOR GYDFHWLPtVWQp PXVt EêW NDåGi þtVOLFH Y MHKR ]iSLVH SRXåLWD SUiYČ GYDNUiW 6RXþHW YãHFK þtVOLF WDNRYpKR þtVOD MH s(pn ) = 2 (0 + 1 + 2 + 3 + · · · + 9) = 90 . ýtVOR s(pn ) MH YãDN GČOLWHOQp WĜHPL SURWR MH WĜHPL GČOLWHOQp WDNp þtVOR pn  7R MH DOH VSRU V SĜHGSRNODGHP åH p MH SUYRþtVOR YČWãt QHå  7tP MVPH GRNi]DOL åH DVSRĖ MHGQD þtVOLFH GHVtWNRYp VRXVWDY\ VH Y ]iSLVH þtVOD pn PXVt REMHYLW DVSRĖ WĜLNUiW  = þtVOLF {12 . . . 9} GHVtWNRYp VRXVWDY\ VHVWDYWH GYČ SĜLUR]HQi þtVOD A D B WDN DE\ NDåGi ] XYHGHQêFK þtVOLF E\OD SRXåLWD SUiYČ MHGQRX EXć Y A QHER Y B D SĜLWRP VRXþLQ A · B QDEêYDO FR QHMYČWãt KRGQRW\

112

 ýtVOD 21000 D 51000 MVRX QDSViQD YHGOH VHEH QD MHGQRP ĜiGNX 8UþHWH FHONRYê SRþHW þtVOLF QDSVDQêFK YHGOH VHEH QD WRPWR ĜiGNX 'ČOLWHOQRVW YHONêFK þtVHO  'RNDåWH åH SUR OLERYROQp FHOp þtVOR n MH þtVOR n5 − 5n3 + 4n GČOLWHOQp  ěHãHQt 3ĜHGQČ VL XYČGRPPH åH 120 = 23 · 3 · 5 9]KOHGHP N WRPX åH þtVOD 23  3 D 5 MVRX SR GYRX QHVRXGČOQi VWDþt XNi]DW åH GDQê YêUD] MH GČOLWHOQê NDåGêP ] QLFK 5R]ORåPH Q\Qt YêUD] n5 − 5n3 + 4n QD þLQLWHOH 3ODWt SĜLWRP n5 − 5n3 + 4n = n(n2 − 1)(n2 − 4) = (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2) . 2GWXG MH SDWUQp åH GDQê YêUD] MH VRXþLQHP SČWL SR VREČ MGRXFtFK FHOêFK þtVHO = QLFK MH YåG\ SUiYČ MHGQR GČOLWHOQp DVSRĖ SČWL D GiOH DVSRĖ MHGQR ] QLFK MH GČOLWHOQp DVSRĖ WĜHPL SUYQt PRFQLQRX þtVOD   .URPČ WRKR MVRX EXć REČ NUDMQt þtVOD XYHGHQpKR VRXþLQX WM n − − 2 D n + 2 VSROX V þtVOHP n GČOLWHOQi þtVOHP  MHMLFK VRXþLQ MH WHG\ GČOLWHOQê DVSRĖ 23  QHER SUiYČ MHGQR ] þtVHO n − 1 n + 1 MH GČOLWHOQp DVSRĖ þW\ĜPL D GUXKp ] QLFK MH GČOLWHOQp þtVOHP  MHMLFK VRXþLQ MH GČOLWHOQê DVSRĖ 23  -H WHG\ VRXþLQ NDåGêFK SČWL SR VREČ MGRXFtFK FHOêFK þtVHO GČOLWHOQê VRXþLQHP 23 · 3 · 5 = 120  'RNDåWH åH þtVOR 2222 + 3333 MH GČOLWHOQp VHGPL ěHãHQt 3UR FHOi QH]iSRUQi þtVOD n VH ]E\WN\ SĜL GČOHQt PRFQLQ 2n VHGPL RSDNXMt V SH ULRGRX  SODWt WXGtå 2222 ≡ 20 = 1 PRG   3RGREQČ SUR YãHFKQD FHOi QH]iSRUQi þtVOD n VH ]E\WN\ SĜL GČOHQt PRFQLQ 3n VHGPL SHULRGLFN\ RSDNXMt V SHULRGRX  -H WXGtå 3333 ≡ 33 ≡ 6 PRG   6RXþWHP RERX þtVHOQêFK NRQJUXHQFt PiPH 2222 + 3333 ≡ 1 + 6 PRG  

WM

2222 + 3333 ≡ 0 PRG  .

ýtVOR 2222 + 3333 MH WXGtå GČOLWHOQp VHGPL MDN MVPH FKWČOL GRNi]DW  8UþHWH ]E\WHN SĜL þtVOD 1247 + 4712 VHGPL  2]QDþPH A VRXþHW YãHFK þtVOLF þtVOD 44444444 D B VRXþHW YãHFK þtVOLF þtVOD A 8UþHWH VRXþHW þtVOLF þtVOD B YãHFKQD þtVOD MVRX ]DSViQD Y GHVtWNRYp VRXVWDYČ  =iYČU ÒORK\ ] XYHGHQêFK WĜt REODVWt HOHPHQWiUQt WHRULH þtVHO NWHUp E\O\ SUH]HQWRYiQ\ Y WRP WR SĜtVSČYNX ]GDOHND QHSRNUêYDMt SHVWURX D ] KLVWRULFNpKR SRKOHGX WUDGLþQt SUREOHPDWLNX ãNROVNp WHRULH þtVHO -H SRWĜHED ]PtQLW QDSĜ WDNp NODVLFNRX GČOLWHOQRVWL Y RERUX FHOêFK þtVHO GiOH þtVHOQp IXQNFH QHER GLRIDQWRYVNp URYQLFH V QLPLå VH VHWNiYDMt ]iMHPFL R SĜtURGQt YČG\ D SĜHGHYãtP R PDWHPDWLNX Y UiPFL UĤ]QêFK PDWHPDWLFNêFK VRXWČåt D WDNp 692ý . WpWR SUREOHPDWLFH VH YUiWtPH Y QČNWHUp QDYD]XMtFt SĜHGQiãFH NWHUi EXGH UHDOL]RYDQi Y UiPFL SURMHNWX Ä3ĜtURGRYČGHF³

113

editor doc. RNDr. Libor Kvítek, CSc.

Přírodní vědy pod drobnohledem Určeno pro učitele a studenty SŠ, organizátory vzdělávacích akcí pro SŠ Výkonný redaktor prof. RNDr. Tomáš Opatrný, Dr. Odpovědná redaktorka Mgr. Jana Kreiselová Autor obálky Ivana Perůtková Tato publikace neprošla redakční jazykovou úpravou Vydala a vytiskla Univerzita Palackého v Olomouci Křížkovského 8, 771 47 Olomouc www.vydavatelstvi.upol.cz e-mail: [email protected] e-shop: www.e-shop.upol.cz Olomouc 2012 1. vydání Ediční řada – Sborník čz 2012/008 ISBN 978-80-244-2962-5 Neprodejné