Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B

ČÁST 5

Najděte totální diferenciál d (ℎ) pro ℎ = (ℎ , ℎ ) v příslušných bodech pro následující funkce:

Příklad 1 a)

b) c)

(, ) = cos ,

= 1;

(, ) = arctg() ,

= 1; 0

(, ) = ln( + ) , 1

= 2; 0

, = 1; −1 + ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… d)

(, ) =

'

Máme nalézt totální diferenciál d (ℎ) pro ℎ = (ℎ , ℎ ) v bodu = 1; pro funkci (, ) = cos Totální diferenciál v ) je dle definice * * ()ℎ + ()ℎ d (ℎ) = * * Vypočteme parciální derivace * = − cos * * = − sin * Vypočteme hodnoty parciálních derivací v bodu = 1; * 1 1 () = − cos = − (−1) = * 1 * () = − sin = − 0 = 0 * Tyto parciální derivace dosadíme do totálního diferenciálu a dostáváme výsledek 1 1 d (ℎ) = ℎ + 0ℎ = ℎ Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál vyjádřit jako 1 1 d (ℎ) = + 0 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1a

Máme nalézt totální diferenciál d (ℎ) pro ℎ = (ℎ , ℎ ) v bodu = 2; 0 pro funkci (, ) = ln( + ) Totální diferenciál v ) je dle definice * * ()ℎ + ()ℎ d (ℎ) = * *

Řešení 1b

∀∃

1


ČÁST 5

2 * = * + * 2 = * + Vypočteme hodnoty parciálních derivací v bodu = 2; 0 * 2∙2 4 2 () = = = =1 * + 2 +0 4 * 2 2∙0 0 () = = = =0 * + 2 +0 4 Tyto parciální derivace dosadíme do totálního diferenciálu a dostáváme výsledek d (ℎ) = 1ℎ + 0ℎ = ℎ Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál vyjádřit jako d (ℎ) = 1 + 0 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Vypočteme parciální derivace

Máme nalézt totální diferenciál d (ℎ) pro ℎ = (ℎ , ℎ ) v bodu = 1; 0 pro funkci (, ) = arctg() Totální diferenciál v ) je dle definice * * ()ℎ + ()ℎ d (ℎ) = * * Vypočteme parciální derivace * = * 1 + * = * 1 + Vypočteme hodnoty parciálních derivací v bodu = 1; 0 * 0 0 0 () = = = =0 * 1+1 0 1+0 1 * 1 1 1 () = = = =1 * 1+1 0 1+0 1 Tyto parciální derivace dosadíme do totálního diferenciálu a dostáváme výsledek d (ℎ) = 0ℎ + 1ℎ = ℎ Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál vyjádřit jako d (ℎ) = 0 + 1 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1c

Máme nalézt totální diferenciál d (ℎ) pro ℎ = (ℎ , ℎ ) v bodu = 1; −1 pro funkci 1 (, ) = ' + Totální diferenciál v ) je dle definice

Řešení 1d

∀∃

2


Vypočteme parciální derivace

ČÁST 5 d (ℎ) =

* * ()ℎ + ()ℎ * *

. * 1 = − ( + ) 2 = − * 2

. * 1 = − ( + ) 2 = − * 2

.

( + ) .

( + )

Vypočteme hodnoty parciálních derivací v bodu = 1; −1 * 1 1 1 1 () = − =− =− .=− . . * 2√2 (1 + (−1) ) (1 + 1) 2 * 1 1 1 −1 () = − = = .= . . * (1 + (−1) ) (1 + 1) 2 2√2 Tyto parciální derivace dosadíme do totálního diferenciálu a dostáváme výsledek 1 1 1 d (ℎ) = − ℎ + ℎ = (ℎ − ℎ ) 2√2 2√2 2√2 Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál vyjádřit jako 1 d (ℎ) = ( − ) 2√2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀∃

3


ČÁST 5

Určete hodnotu směrové derivace *012 v bodě 0, 0 pro obecný vektor 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1 :

Příklad 2 a)

b)

(, ) = ' . + . 5

(, ) = '||

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Máme určit hodnotu směrové derivace *012 v bodě 0, 0 pro obecný vektor 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1 a funkci:

Řešení 2a

(, ) = ' . + . Pro počítání směrové derivace v bodě ∈ ) 8 za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1, platí: 5

8

V našem konkrétním případě tedy

*012 () = 9 3:

*012 () = 3

:;

* () *:

* * (0, 0) + 3 (0, 0) * *

Vypočteme parciální derivace nejprve obecně * 1 . = ( + . ). 3 * 3 * 1 . = ( + . ). 3 * 3 Nyní dosadíme souřadnice bodu 1 * (0, 0) = (0. + 0. ). 3 ∙ 0 , =>?>@ * 3 * 1 (0, 0) = (0. + 0. ). 3 ∙ 0 , =>?>@ * 3 Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 0, 0. Hodnotu směrové derivace tedy není možné tímto způsobem zjistit. Zkusíme tedy výpočet podle definice

'( + ℎ3 ). + ( + ℎ3 ). − ' . + . B→D ℎ Konkrétně pro bod 0, 0 dostáváme po úpravách výsledek *012 (, ) = lim

5

5

'(0 + ℎ3 ). + (0 + ℎ3 ). − √0. + 0. 'ℎ.3 . + ℎ. 3 . − √0 + 0 = lim B→D B→D ℎ ℎ 5 5 . . . . ℎ '3 + 3 − 0 ℎ '3 + 3 5 5 = lim = lim = lim '3 . + 3 . = '3 . + 3 . B→D B→D B→D ℎ ℎ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… *012 (0,0) = lim

∀∃

5

5

5

5

4


ČÁST 5

Máme určit hodnotu směrové derivace *012 v bodě 0, 0 pro obecný vektor 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1 a funkci:

Řešení 2b

(, ) = '|| Pro počítání směrové derivace v bodě ∈ ) 8 za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1, platí: 8


*012 () = 9 3:

*012 () = 3

:;

* () *:

* * (0, 0) + 3 (0, 0) * *

Vypočteme parciální derivace nejprve obecně * 1 * 1 = || pro ≥ 0, = − || pro < 0 * 2 * 2 * 1 * 1 = || pro ≥ 0, = − || pro < 0 * 2 * 2 Nyní dosadíme souřadnice bodu * 1 (0, 0) = |0 ∙ 0| 0, =>?>@ * 2 * 1 (0, 0) = |0 ∙ 0| 0, =>?>@ * 2 Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 0, 0. Hodnotu směrové derivace tedy není možné tímto způsobem zjistit. Zkusíme tedy výpočet podle definice '|( + ℎ3 )( + ℎ3 )| − '|| B→D ℎ Konkrétně pro bod 0, 0 dostáváme po úpravách výsledek *012 (, ) = lim

ℎ'|3 3 | − 0 '|(0 + ℎ3 )(0 + ℎ3 )| − '|0 ∙ 0| '|ℎ3 ℎ3 | − '|0| = lim = lim B→D B→D ℎ ℎ ℎ ℎ'|3 3 | = lim = lim '|3 3 | = '|3 3| B→D B→D ℎ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… *012 (0,0) = lim

B→D

∀∃

5


ČÁST 5

Určete, zda funkce (, ) v bodě ve směru vektoru 3 12 roste či klesá a určete rychlost změny, je-li následující funkce:

Příklad 3

a)

(, ) = ln( + 1) , (, ) = − 2 ,

= 1; 2,

= 3; 4,

3 12 = (1; −1)

3 12 = (1; 1)

Hroste rychlostí

Hklesá rychlostí

1

√2 −10

√2 −15

M M

2 + 3 − 5 Hklesá rychlostí M , = 2; 0, 3 12 = (2; −3) −+2 16√13 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… b) c)

(, ) =

Máme určit, zda funkce (, ) v bodě ve směru vektoru 3 12 roste či klesá a určit rychlost změny, je-li: = 1; 2, 3 12 = (1; −1) (, ) = ln( + 1) , 8 Pro počítání směrové derivace v bodě ∈ ) za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1, platí:

Řešení 3a

8

*012 () = 9 3: :;

* () *:

V našem konkrétním případě vidíme, že velikost směrového vektoru není normovaná, upravíme ho tedy. Nejprve zjistíme velikost našeho směrového vektoru.

‖3 3 12 = (1; −1), 12‖ = '1 + (−1) = √1 + 1 = √2 Nyní z něj odvodíme směrový vektor stejného směru, ale normované velikosti. 1 −1 R2 = S ; T √2 √2 Tento nový směrový vektor použijeme v dalším výpočtu. Výše uvedený vzorec pro směrovou derivaci v bodě se nám změní (změna označení vektoru) na 8


*U12 () = 9 R:

*U12 () = R

:;

* () *:

* * (1, 2) + R (1, 2) * *

Vypočteme parciální derivace nejprve obecně * 2 = * + 1 * = * + 1 Nyní dosadíme souřadnice bodu * 2∙1∙2 4 (1, 2) = = * 1 ∙2+1 3

∀∃

6


ČÁST 5

1 1 * (1, 2) = = 1 ∙2+1 3 * Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 1, 2. Hodnotu směrové derivace tedy zjistíme dosazením do vzorce. 1 4 1 1 4 1 3 1 *U12 () = ∙ + S− T ∙ = − = = √2 3 √2 3 3√2 3√2 3√2 √2 Tato hodnota udává hledanou rychlost změny. Současně z toho, že je kladná, vidíme, že naše funkce v daném bodě při zadaném směru je rostoucí. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Máme určit, zda funkce (, ) v bodě ve směru vektoru 3 12 roste či klesá a určit rychlost změny, je-li: (, ) = − 2 , = 3; 4, 3 12 = (1; 1) 8 Pro počítání směrové derivace v bodě ∈ ) za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě 12‖ = 1, platí: spojité a je dán směr 3 12 = (3 , 3 ), ‖3

Řešení 3b

8

*012 () = 9 3: :;

* () *:

V našem konkrétním případě vidíme, že velikost směrového vektoru není normovaná, upravíme ho tedy. Nejprve zjistíme velikost našeho směrového vektoru.

‖3 3 12 = (1; −1), 12‖ = '1 + 1 = √1 + 1 = √2 Nyní z něj odvodíme směrový vektor stejného směru, ale normované velikosti. 1 1 R2 = S ; T √2 √2 Tento nový směrový vektor použijeme v dalším výpočtu. Výše uvedený vzorec pro směrovou derivaci v bodě se nám změní (změna označení vektoru) na 8


*U12 () = 9 R:

*U12 () = R

Vypočteme parciální derivace nejprve obecně

Nyní dosadíme souřadnice bodu

:;

* () *:

* * (3, 4) + R (3, 4) * *

* = 2 * * = −4 *

* (3, 4) = 2 ∙ 3 = 6 * * (3, 4) = −4 ∙ 4 = −16 * Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 3, 4. Hodnotu směrové derivace tedy zjistíme dosazením do vzorce.

∀∃

7


ČÁST 5 *U12 () =

1

∙6+

1

∙ (−16) =

6

−

16

=−

10

√2 √2 √2 √2 √2 Tato hodnota udává hledanou rychlost změny. Současně z toho, že je záporná, vidíme, že naše funkce v daném bodě při zadaném směru je klesající. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Máme určit, zda funkce (, ) v bodě ve směru vektoru 3 12 roste či klesá a určit rychlost změny, je-li: 2 + 3 − 5 , = 2; 0, 3 12 = (2; −3) (, ) = −+2 Pro počítání směrové derivace v bodě ∈ ) 8 za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1, platí:

Řešení 3c

8

*012 () = 9 3: :;

* () *:

V našem konkrétním případě vidíme, že velikost směrového vektoru není normovaná, upravíme ho tedy. Nejprve zjistíme velikost našeho směrového vektoru. ‖3 3 12 = (2; −3), 12‖ = '2 + (−3) = √4 + 9 = √13 Nyní z něj odvodíme směrový vektor stejného směru, ale normované velikosti. 2 −3 R2 = S ; T √13 √13 Tento nový směrový vektor použijeme v dalším výpočtu. Výše uvedený vzorec pro směrovou derivaci v bodě se nám změní (změna označení vektoru) na 8


*U12 () = 9 R:

*U12 () = R

:;

* () *:

* * (2; 0) + R (2; 0) * *

Vypočteme parciální derivace nejprve obecně * 2( − + 2) − (2 + 3 − 5)1 2 − 2 + 4 − 2 − 3 + 5 −5 + 9 = = = ( − + 2) ( − + 2) ( − + 2) * * 3( − + 2) − (2 + 3 − 5)(−1) 3 − 3 + 6 + 2 + 3 − 5 5 + 1 = = = ( − + 2) ( − + 2) ( − + 2) * Nyní dosadíme souřadnice bodu * −5 ∙ 0 + 9 9 9 (2; 0) = = = (2 − 0 + 2) * 4 16 * 5∙2+1 11 11 (2; 0) = = = (2 − 0 + 2) 4 16 * Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 1, 2. Hodnotu směrové derivace tedy zjistíme dosazením do vzorce. 2 9 −3 11 18 33 15 *U12 () = ∙ +S = − =− T∙ 16√13 √13 16 √13 16 16√13 16√13

∀∃

8


ČÁST 5

Tato hodnota tedy udává rychlost změny. Současně z toho, že je záporná, vidíme, že naše funkce v daném bodě při zadaném směru je klesající. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀∃

9


ČÁST 5

Pro funkci (, ) určete směr X2 ve kterém funkce v bodě nejvíce roste a určete rychlost růstu: 1 a) (, ) = 2 − 3 + 5, = 1; 2 HX2 = (4; −3), rychlost je 5M 5 1 Z (2; −1), rychlost je √5M b) HX2 = (, ) = [ , = 1; −1 √5 1 1 1 2√5 c) (2; 1), rychlost je (, ) = arcsin(2 + ) , = H ; − M \X2 = ] 2 2 √5 √3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Příklad 4

Máme pro funkci (, ) určit směr X2 ve kterém funkce v bodě nejvíce roste a určit rychlost růstu: (, ) = 2 − 3 + 5, = 1; 2 8 Pro počítání směrové derivace v bodě ∈ ) za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě 12‖ = 1, platí: spojité a je dán směr 3 12 = (3 , 3 ), ‖3

Řešení 4a

8


*012 () = 9 3:

*012 () = 3

Vypočteme parciální derivace nejprve obecně

Nyní dosadíme souřadnice bodu

:;

* () *:

* * (1; 2) + 3 (1; 2) * * * = 4 * * = −3 *

* (1; 2) = 4 ∙ 1 = 4 * * (1; 2) = −3 * Dosadíme do vzorce pro směrovou derivaci *012 () = 3 ∙ 4 + 3 (−3) = 43 − 33 Nyní je třeba najít 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1 tak, aby *012 () = 43 − 33 bylo maximální. Podmínka normovanosti směrového vektoru vyjadřuje vztah Odtud postupně vyjádříme

'3 + 3 = 1 3 + 3 = 1 3 = 1 − 3

3 = ±'1 − 3 Dosadíme do naší funkce pro směrovou derivaci. Přitom máme dvě možnosti použití znaménka. Je třeba uvažovat oba případy.

∀∃

10


ČÁST 5

*012 () = 43 ∓ 3'1 − 3 Máme hledat největší růst neboli maximum. Budeme tedy hledat 3 takové, že derivace této funkce je nulová. Tedy b

`43 ∓ 3'1 − 3 a = 0

Tuto rovnici vyřešíme postupnými úpravami 1 1 (−23 ) = 0 4∓3∙ ∙ 2 '1 − 3

4 ∙ 2 ∙ '1 − 3 ∓ 3 ∙ 1 ∙ 1 ∙ (−23 ) = 0 ∙ 2 ∙ '1 − 3

8'1 − 3 ± 63 = 0 3 '1 − 3 = ∓ 3 4 Umocníme a oba případy zvažování různého znaménka se nám zase sejdou v jediný 9 1 − 3 = 3 16 9 3 + 3 1= 16 25 3 1= 16 16 3 = 25 4 3 = ± 5 Nalezli jsme první složku směrového vektoru. Opět má dvě možnosti dané různými znaménky. Dosadíme a získáme druhou složku 4 16 9 3 3 = ±c1 − S± T = ±c1 − = ±c = ± 5 25 25 5

Pro 3 i 3 jsme získali po dvou hodnotách. Nalezli jsme tedy celkem čtyři možné kombinace. Vybereme dle zadání tu, pro kterou naše funkce více roste pomocí námi již výše odvozeného vztahu pro směrovou derivaci. *012 () = 43 − 33 Jednotlivé případy pro přehlednost uspořádáme do tabulky. Případ de df

gd12 h(i)

1 4 5 3 5 7 5

2 4 5 3 − 5 5

3 4 − 5 3 5 −5

4 4 − 5 3 − 5 7 − 5

Pro úplnost uvedeme výpočty pro jednotlivé případy zvlášť, neb v tabulce působí poněkud nepatřičně: ∀∃

11


ČÁST 5

1. 4 ∙ − 3 ∙ = 2. 4 ∙

k l k l

m n m n o − = − = l l l l l . m n l − 3 `− la = l + l = l = 5 k . m n l . l

3. 4 `− a − 3 ∙ = − l l

l

− =−

4. 4 `− a − 3 `− a = − l l k

.

l m l

l

+ =− n

l

směr je 3 12 = ` , − a a rychlost růstu je 5. l l k

.

= −5 o l

Jasně vidíme, že druhý případ dává nejvyšší hodnotu, která současně udává rychlost růstu. Proto hledaný

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Máme pro funkci (, ) určit směr X2 ve kterém funkce v bodě nejvíce roste a určit rychlost růstu:

Řešení 4b

(, ) = [ , = 1; −1 Pro počítání směrové derivace v bodě ∈ ) 8 za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1, platí: Z

8

*012 () = 9 3: :;

* () *:

* * (1; −1) + 3 (1; −1) * * Vypočteme parciální derivace nejprve obecně * Z = 2 [ * * Z = − [ * Nyní dosadíme souřadnice bodu * Z (1; −1) = 2 ∙ 1 ∙ ( ) = 2 * * Z (1; −1) = − ( ) = − * Dosadíme do vzorce pro směrovou derivaci *012 () = 3 ∙ 2 + 3 (− ) = 2 3 − 3 Nyní je třeba najít 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1 tak, aby *012 () = 2 3 − 3 bylo maximální. Podmínka normovanosti směrového vektoru vyjadřuje vztah V našem konkrétním případě tedy

*012 () = 3

Odtud postupně vyjádříme

'3 + 3 = 1 3 + 3 = 1 3 = 1 − 3

3 = ±'1 − 3 Dosadíme do naší funkce pro směrovou derivaci. Přitom máme dvě možnosti použití znaménka. Je třeba uvažovat oba případy. ∀∃

*012 () = 2 3 − `±'1 − 3 a 2 3 ∓ '1 − 3

12


ČÁST 5

Máme hledat největší růst neboli maximum. Budeme tedy hledat 3 takové, že derivace této funkce je nulová. Tedy b

`2 3 ∓ '1 − 3 a = 0

1 1 (−23 ) = 0 ∙ 2 '1 − 3 1 (−3 ) = 0 2∓ '1 − 3 3 2± =0 '1 − 3

Tuto rovnici vyřešíme postupnými úpravami

2 ∓ ∙

2 ∙ '1 − 3 ± 3 = 0 ∙ '1 − 3

2'1 − 3 ± 3 = 0 1 '1 − 3 = ∓ 3 2 Umocníme a oba případy zvažování různého znaménka se nám zase sejdou v jediný 1 1 − 3 = 3 4 1 1 = 3 + 3 4 5 1 = 3 4 4 3 = 5 4 1 3 = ±c = ±2c 5 5

Nalezli jsme první složku směrového vektoru. Opět má dvě možnosti dané různými znaménky. Dosadíme a získáme druhou složku

4 4 1 3 = ±p1 − q±c r = ±c1 − = ±c 5 5 5

Pro 3 i 3 jsme získali po dvou hodnotách. Nalezli jsme tedy celkem čtyři možné kombinace. Vybereme dle zadání tu, pro kterou naše funkce více roste pomocí námi již výše odvozeného vztahu pro směrovou derivaci. *012 () = 2 3 − 3 = (23 − 3 ) Jednotlivé případy pro přehlednost uspořádáme do tabulky. Případ 1 2 3 4 de

∀∃

df

2c c

1 5

1 5

2c

1 5

−c

1 5

1 −2c 5 c

1 5

1 −2c 5 −c

1 5

13


ČÁST 5 1 3 c 5

gd12 h(i)

1 5 c 5

1 −5 c 5

−3 c

1 5

Pro úplnost uvedeme výpočty pro jednotlivé případy zvlášť, neb v tabulce působí poněkud nepatřičně: 1. s2 ∙ 2tl − tlu = 3 tl

2. v2 ∙ 2t − s−t uw = 5 t l l l

3. s2 s−2tlu − tlu = −5 tl

4. v2 s−2t u − s−t uw = −3 t l l l

Jasně vidíme, že druhý případ dává nejvyšší hodnotu, která současně udává rychlost růstu. Proto hledaný směr je 3 12 = s2t , −t u a rychlost růstu je 5 t = √5. l l l

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Máme pro funkci (, ) určit směr X2 ve kterém funkce v bodě nejvíce roste a určit rychlost růstu: 1 1 (, ) = arcsin(2 + ) , = H ; − M 2 2 Pro počítání směrové derivace v bodě ∈ ) 8 za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1, platí:

Řešení 4c

8

*012 () = 9 3: :;

* () *:

* 1 1 * 1 1 S ; − T + 3 S ; − T * 2 2 * 2 2 Vypočteme parciální derivace nejprve obecně * 2 = * '1 − (2 + )


*012 () = 3

* 1 = * '1 − (2 + )

Nyní dosadíme souřadnice bodu * 1 1 2 2 2 2 2 2 4 = = = = = = S ; − T = * 2 2 √3 √3 t1 − `1 − 1a t1 − `1a t1 − 1 t3 2 c1 − s2 ∙ 1 + `− 1au 4 4 2 2 2 2 ∀∃

14

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B 1 * 1 S ; − T = 2 * 2

ČÁST 5 1

c1 − s2 ∙ 1 + `− 1au 2 2

=

Dosadíme do vzorce pro směrovou derivaci

1

t1 − `1 − 1a 2 4

2

=

1

t1 − `1a 2

2

=

1

t1 − 1 4

=

1

t3 4

=

1

√3 2

=

2

√3

(23 + 3 ) √3 √3 √3 Nyní je třeba najít 3 12 = (3 , 3 ), ‖3 12‖ = 1 tak, aby *012 () = (23 + 3 ) bylo maximální. *012 () = 3 ∙

+ 3 ∙

=

√.

'3 + 3 = 1

Podmínka normovanosti směrového vektoru vyjadřuje vztah 3 + 3 = 1 3 = 1 − 3

Odtud postupně vyjádříme

3 = ±'1 − 3 Dosadíme do naší funkce pro směrovou derivaci. Přitom máme dvě možnosti použití znaménka. Je třeba uvažovat oba případy. 2 *012 () = `23 ± '1 − 3 a √3 Máme hledat největší růst neboli maximum. Budeme tedy hledat 3 takové, že derivace této funkce je nulová. Tedy 2

b

`23 ± '1 − 3 aw = 0 √3 Tuto rovnici vyřešíme postupnými úpravami v

1 1 (−23 )r = 0 q2 ± ∙ 2 '1 − 3 √3 2

1 1 (−23 ) = 0 2± ∙ 2 '1 − 3 3 2∓ =0 '1 − 3

2 ∙ '1 − 3 ∓ 3 = 0 ∙ '1 − 3

2'1 − 3 ∓ 3 = 0 1 '1 − 3 = ± 3 2 Umocníme a oba případy zvažování různého znaménka se nám zase sejdou v jediný 1 1 − 3 = 3 4 1 1 = 3 + 3 4 5 1 = 3 4

∀∃

15


ČÁST 5 4 5

3 =

4 1 3 = ±c = ±2c 5 5

Nalezli jsme první složku směrového vektoru. Opět má dvě možnosti dané různými znaménky. Dosadíme a získáme druhou složku

4 4 1 3 = ±p1 − q±c r = ±c1 − = ±c 5 5 5

Pro 3 i 3 jsme získali po dvou hodnotách. Nalezli jsme tedy celkem čtyři možné kombinace. Vybereme dle zadání tu, pro kterou naše funkce více roste pomocí námi již výše odvozeného vztahu pro směrovou derivaci. 2 (23 + 3 ) *012 () = √3 Jednotlivé případy pro přehlednost uspořádáme do tabulky. de

2c

1 5

g1d2 h(i)

2c

5 3

Případ

1

df

c

2c

1 5

1 −2c 5

1 −2c 5

2c

3 5

5 −2c 3

3 −2c 5

2

1 5

−c

3

1 5

c

1 5

4

−c

1 5

Pro úplnost uvedeme výpočty pro jednotlivé případy zvlášť, neb v tabulce působí poněkud nepatřičně: 1. 2. 3. 4.

√.

√.

√.

√.

s2 ∙ 2tl + tlu = 5

√.

t =

v2 ∙ 2tl + s−tluw = 3

l

s2 s−2tlu + tlu = −3

√.

√.

√l √.

t = l

√. √l

l .

= 2t

. l

t = −2t = −2t

v2 s−2tlu + s−tluw = −5

= 2t

l

√.

. l

t =− l

√l √.

. l

= −2t

l .

Jasně vidíme, že první případ dává nejvyšší hodnotu, která současně udává rychlost růstu. Proto hledaný směr je 3 12 = s2t , t u a rychlost růstu je 2t . l l .

l

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀∃

16


ČÁST 5

Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce v obecném bodě a vyčíslete je v daných bodech a) (, ) = ln( + ) , = 1; 0 ∂ 2( − ) ∂ −4 ∂ 2( − )

Příklad 5

b) (, ) = ' + , = −2; 3 c)

(, ) = arctg() , = 1; −1

\ = , ( + ) *

∂ \ = , * '( + ).

∂ −2 . \ = , (1 + ) *

**

=

( + )

∂ − = , ** 2'( + ).

,

∂ 1 − = , ** (1 + )

*

=

( + )

]

∂ −1 = ] * 4'( + ). ∂ −2 . = ] * (1 + )

Poznámka Obecně lze v těchto případech (pracujeme v prostoru ) ) uvažovat čtyři typy parciální derivace druhého řádu. Jedná se o tyto situace: y z 1. poprvé derivujeme podle , podruhé derivujeme podle , tedy počítáme { Z Z

y z 2. poprvé derivujeme podle , podruhé derivujeme podle , tedy počítáme {{[ Z

y z 3. poprvé derivujeme podle , podruhé derivujeme podle , tedy počítáme {[{ Z

y z 4. poprvé derivujeme podle , podruhé derivujeme podle , tedy počítáme {[ Z Z

Protože pořadí parciálních derivací můžeme zaměňovat, je nutně druhý a třetí případ stejný – dává stejný výsledek. Proto se v našich výpočtech omezíme na tři případy. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 5a Máme určit všechny parciální derivace druhého řádu funkce v obecném bodě a vyčíslit je v daném bodě pro (, ) = ln( + ) , = 1; 0 Nejprve si připravíme parciální derivace prvního řádu v obecném bodě. 2 * = * + * 2 = * + Nyní dalším derivováním těchto derivací vypočteme parciální derivace druhého řádu v obecném bodě. * 2( + ) − 22 2 + 2 − 4 − = = = 2 ( + ) ( + ) ( + ) * * 0( + ) − 22 0 − 4 + 0 −4 = = = ( + ) ( + ) ( + ) ** ) * 2( + − 22 2 + 2 − 4 − = = = 2 ( + ) ( + ) ( + ) * Nyní můžeme vyčíslit tyto parciální derivace v daném bodě. * 0 − 1 0−1 −1 −1 (1; 0) = 2 = 2 = 2 = 2 = −2 (1 + 0 ) (1 + 0) * 1 1 * −4 ∙ 1 ∙ 0 −4 ∙ 1 ∙ 0 0 0 (1; 0) = = = = =0 (1 + 0) (1 + 0 ) ** 1 1 ∀∃

17


ČÁST 5

1 − 0 1−0 1 1 * (1; 0) = 2 =2 =2 =2 =2 (1 + 0 ) (1 + 0) * 1 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 5b Máme určit všechny parciální derivace druhého řádu funkce v obecném bodě a vyčíslit je v daném bodě pro (, ) = ' + , = −2; 3 Nejprve si připravíme parciální derivace prvního řádu v obecném bodě. * 1 2 = ∙ = * 2 ' + ' +

* 1 1 1 = ∙ = * 2 ' + 2' + Nyní dalším derivováním těchto derivací vypočteme parciální derivace druhého řádu v obecném bodě. * = *

1' + − `'

* = **

* = *

=

' +

+ a

+

'

`' + a

0' + −

=

' + −

=

`'

`' + a

0 ∙ 2' + − 1 ∙ 2 ∙

`2' + a

=

1 2' +

+ a

`' + a

1 2' +

' + .

−

=

=

' +

'( + ).

1 2' +

`' + a

=

`' + a

−1 ' +

=

`2' + a

`'

−

' +

+ a

−

2`' + a =

−1

.

=

4`' + a

.

=

+ − ' + `' + a

−

2'( + ). =

−1

4'( + ).

Nyní můžeme vyčíslit tyto parciální derivace v daném bodě. * 3 3 3 (−2; 3) = = = * '((−2) + 3). '(4 + 3). √7. 2 2 1 * −(−2) (−2; 3) = = = = ** 2'((−2) + 3). 2'(4 + 3). 2√7. √7.

* −1 −1 −1 (−2; 3) = = = * 4'((−2) + 3). 4'(4 + 3). 4√7. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 5c Máme určit všechny parciální derivace druhého řádu funkce v obecném bodě a vyčíslit je v daném bodě pro (, ) = arctg() , = 1; −1 ∀∃

18


ČÁST 5

Nejprve si připravíme parciální derivace prvního řádu v obecném bodě. * = = () 1 + * 1 + * = = * 1 + () 1 + Nyní dalším derivováním těchto derivací vypočteme parciální derivace druhého řádu v obecném bodě. * 0(1 + ) − 2 −2 . = = (1 + ) (1 + ) * ) * 1(1 + − 2 1 − = = (1 + ) (1 + ) ** * 0(1 + ) − 2 −2 . = = (1 + ) (1 + ) * Nyní můžeme vyčíslit tyto parciální derivace v daném bodě. (−2) ∙ 1 ∙ (−1) * −2 ∙ 1 ∙ (−1). 2 1 (1; −1) = = = = (1 + 1 (−1) ) (1 + 1 ∙ 1) * 2 2 * 1 − 1 (−1) 1−1∙1 0 (1; −1) = = = =0 (1 + 1 (−1) ) (1 + 1 ∙ 1) 2 ** (−2) ∙ 1 ∙ (−1) 2 1 * −2 ∙ 1. (−1) (1; = = = −1) = (1 + 1 ∙ 1) (1 + 1 (−1) ) 2 2 * ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀∃

19


ČÁST 5

Najděte diferenciál druhého řádu d (ℎ) pro ℎ = (ℎ , ℎ ) v příslušných bodech pro funkci:

Příklad 6

∂2

1

~ = 2 − 2 ( + 2 + 1)2 } * 2 2 } ∂ } ** = 2 − ( + 2 + 1)2 a) (, ) = + ln( + 2 + 1) , = 0; 0 } ∂2 −4 } 2= ( + 2 + 1)2 * } | d (ℎ) = − − 4 − 4 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Máme najít diferenciál druhého řádu d (ℎ) pro ℎ = (ℎ , ℎ ) v příslušných bodech pro funkci (, ) = + ln( + 2 + 1) , = 0; 0 Diferenciál druhého řádu v ) je dle definice * * * ()ℎ ℎ + ()ℎ d (ℎ) = ()ℎ + * ** * Vypočteme první parciální derivace v obecném bodě * 1 = 2 + * + 2 + 1 * 2 = + * + 2 + 1 Z prvních parciálních derivací vypočteme druhé parciální derivace v obecném bodě 1 * = 2 − ( + 2 + 1) * 2 * = 2 − ( ** + 2 + 1) −4 * = ( + 2 + 1) * Vypočteme hodnoty druhých parciálních derivací v bodu = 0; 0 * 1 1 1 (0; 0) = 2 ∙ 0 − =0− = − = −1 (0 + 2 ∙ 0 + 1) (0 + 0 + 1) 1 * * 2 2 2 (0; 0) = 2 ∙ 0 − =0− = − = −2 (0 (0 ** + 2 ∙ 0 + 1) + 0 + 1) 1 * −4 −4 4 (0; 0) = = = − = −4 (0 + 2 ∙ 0 + 1) (0 + 0 + 1) * 1 Tyto parciální derivace dosadíme do vzorce diferenciálu druhého řádu a dostáváme výsledek d (ℎ) = −ℎ − 2ℎ ℎ − 4ℎ Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál druhého řádu vyjádřit jako d (ℎ) = − − 2 − 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 6a

∀∃

20

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Recommend Documents