´ ´I MOTORY MOLEKULARN Petr Chvosta 1. Automobil v krupobit´ı aneb brzdˇ en´ım k pohybu
Uvaˇzme automobil stoj´ıc´ı na m´ırn´em svahu a bombardovan´ y rovnomˇernˇe ze vˇsech stran obrovsk´ ymi kroupami. Svah stoup´a smˇerem doprava a automobil je orientov´an pˇredn´ı stranou proti svahu. Pod zadn´ı pneumatiku um´ıst´ıme cihlu a zabr´an´ıme tak zpˇetn´emu pohybu ˇ doleva, po svahu. N´arazy krup, kter´e pˇril´etaj´ı shora a po svahu nemaj´ı ˇza´dn´ yu ´ˇcinek. Cas od ˇcasu vˇsak naraz´ı zezadu (zleva) dostateˇcnˇe rychl´a kroupa a postrˇc´ı automobil proti svahu. Kdybychom v tomto okamˇziku rychle posunuli cihlu proti svahu a zablokovali tak zadn´ı kolo v nov´e poloze, zv´ yˇs´ıme potenci´aln´ı energii automobilu. Opakov´an´ım tohoto man´evru lze dos´ahnout systematick´eho pohybu automobilu proti svahu. Navrˇzen´a metoda vˇsak zˇrejmˇe vyˇzaduje velmi rychlou reakci a synchronizaci. Pokus´ıme se ji vylepˇsit. Um´ıst´ıme pevnˇe na osu zadn´ıch kol ozuben´e kolo. Pneumatiky na vozovce neprokluzuj´ı a tak si m˚ uˇzeme dokonce pˇredstavit, ˇze nekoneˇcn´ y p´as identick´ ych zub˚ u (rohatka) je pevnˇe spojen s vozovkou. V dalˇs´ı u ´vaze je velmi d˚ uleˇzit´e, ˇze zuby rohatky jsou asymetrick´e. Prvn´ı segment zubu, ˇreknˇeme ˇc´ast B1 , stoup´a smˇerem doprava, je strmˇejˇs´ı a kratˇs´ı. Pros´ım kreslete! Pˇri pr˚ umˇetu do vodorovn´e roviny zab´ır´a u ´sek ˇs´ıˇrky l1 . Druh´ y segment B2 kles´a smˇerem doprava, je pozvolnˇejˇs´ı a zab´ır´a u ´sek ˇs´ıˇrky l2 > l1 . Uvaˇzme koneˇcnˇe tyˇc pevnˇe spojenou s konstrukc´ı automobilu a pohyblivou ve smˇeru kolm´em k rohatce. Na horn´ım konci je tyˇc opatˇrena pruˇzinou, kter´a m˚ uˇze tlaˇcit spodn´ı konec mezi zuby. Tyˇc je po dobu τA zablokov´ana ve vysunut´e poloze. Pot´e je po dobu τB uvolnˇena a pruˇzina ji tedy tlaˇc´ı mezi zuby. Tato dvojice operac´ı se periodicky opakuje. V pr˚ ubˇehu ˇcasov´eho intervalu τA sj´ıˇzd´ı automobil pomalu doleva, po svahu. Kromˇe tohoto pomal´eho systematick´eho pohybu vˇsak p˚ usob´ı u ´dery krup. V jejich d˚ usledku se tyˇc vzhledem k rohatce pohybuje skoky orientovan´ ymi se stejnou pravdˇepodobnost´ı na obˇe strany. Podle pˇredpokladu je tento dif´ uzn´ı pohyb velmi podstatn´ y. Celkovˇe vzato, hustota pravdˇepodobnosti pro horizont´aln´ı polohu tyˇce se rychle rozˇsiˇruje a stˇredn´ı hodnota horizont´aln´ı souˇradnice tyˇce se souˇcasnˇe pomalu posunuje smˇerem doleva. V pr˚ ubˇehu ˇcasov´eho intervalu τB je pruˇzina aktivov´ana a m˚ uˇze postupnˇe vtlaˇcit tyˇc aˇz do m´ısta, kde se st´ ykaj´ı dva sousedn´ı zuby. Pak je automobil v podstatˇe zabrzdˇen (aˇz na m´alo pravdˇepodobnou moˇznost u ´deru zvl´aˇstˇe velk´e kroupy a pˇreskoku tyˇce o jeden zub). Protoˇze vˇsak vpravo sestupn´ y segment zubu je v p˚ udorysu ˇsirˇs´ı neˇz segment sestupn´ y vlevo, bude pravdˇepodobnost toho, ˇze se tyˇc na poˇca´tku intervalu τB nach´az´ı nad vpravo sestupn´ ym segmentem vˇetˇs´ı neˇz pravdˇepodobnost toho, ˇze se nach´az´ı nad strmˇejˇs´ım, vlevo sestupn´ ym segmentem. V prv´em pˇr´ıpadˇe se pˇri brzdˇen´ı, tj. v pr˚ ubˇehu intervalu τB , pohybuje automobil spolu s tyˇc´ı smˇerem doprava a uraz´ı vzd´alenost, kter´a je menˇs´ı nebo rovna l2 . V druh´em pˇr´ıpadˇe se posune doleva o vzd´alenost, kter´a je menˇs´ı nebo rovna l1 . Periodick´ ym stˇr´ıd´an´ım intervalu typu A, v jehoˇz pr˚ ubˇehu je tyˇc vysunuta nad rohatku, uˇzeme dos´ahnout systematick´eho a intervalu typu B, kdy je pruˇzina tlaˇcena mezi zuby, m˚ pohybu automobilu doprava, proti svahu. Zhruba ˇreˇceno, pohyb vznik´a periodickou eliminac´ı vlivu n´ahodn´e s´ıly okol´ı. Energetick´ y vstup souvis´ı s nutnost´ı stlaˇcit na konci intervalu typu τB pruˇzinu, tj. vysunout tyˇc nad rohatku. Energetick´ y v´ ystup odpov´ıd´a zv´ yˇsen´ı potenci´aln´ı energie automobilu pˇri jeho pohybu proti svahu. Kr´asa syst´emu spoˇc´ıv´a v
tom, ˇze postup nevyˇzaduje ˇza´dn´e pˇresn´e mˇeˇren´ı a synchronizaci. Z hlediska oper´atora se poˇzaduje jedin´e: periodick´e vysouv´an´ı tyˇce a uvolˇ nov´an´ı pruˇziny. Lze se domn´ıvat, ˇze uveden´a konstrukce patˇr´ı sp´ıˇse do oblasti vˇedecko-fantastick´e literatury. Ve skuteˇcnosti jsme ilustrovali vˇsechny nezbytn´e prvky ˇcinnosti mechanism˚ u, kter´e operuj´ı na bunˇeˇcn´e u ´rovni, a kter´e jsou v uplynul´ ych deseti letech st´ale intenzivnˇeji studov´any. Ukazuje se, ˇze prostorovˇe-ˇcasov´a a energetick´a mˇeˇr´ıtka, kter´a panuj´ı na molekul´arn´ı u ´rovni, ˇcin´ı v´ yˇse uvedenou konstrukci naprosto re´alnou. C´ılem dalˇs´ıch odstavc˚ u nen´ı detailn´ı rozbor biofyzik´aln´ı a biochemick´ y. Zamˇeˇr´ım se sp´ıˇse na dvˇe matematicky zaloˇzen´e formulace v´ yˇse uveden´eho principu. 2. Parrond˚ uv paradox
V z´akladn´ı variantˇe Parrondova paradoxu se nejprve uvaˇzuj´ı dvˇe individu´alnˇe prohr´avaj´ıc´ı hry, hra A a hra B. Jejich stˇr´ıd´an´ım podle jist´eho sc´en´aˇre, kter´ y upˇresn´ıme n´ıˇze, vznik´a sloˇzen´a hra, hra C. Paradox spoˇc´ıv´a v tom, ˇze za jist´ ych okolnost´ı je hra C vyhr´avaj´ıc´ı. Obecnˇe ˇreˇceno, stˇr´ıd´an´ım dvou negativn´ıch tendenc´ı lze z´ıskat pozitivn´ı efekt. Uvaˇzme hr´aˇce s jist´ ym vstupn´ım kapit´alem. V kaˇzd´e jednotliv´e hˇre se v pˇr´ıpadˇe v´ yhry jeho kapit´al zvˇetˇs´ı o jedniˇcku, v pˇr´ıpadˇe prohry o jedniˇcku sn´ıˇz´ı. Hra A je velmi jednoduch´a. Spoˇc´ıv´a v jednom hodu nepravidelnou minc´ı. Pravdˇepodobnost v´ yhry necht’ 1 1 ˇcin´ı p = 2 − ², kde ² je jist´e mal´e kladn´e ˇc´ıslo, napˇr´ıklad ² = 100 . Prohra m´a pravdˇepodobnost 1 − p. Je-li hr´ana posloupnost her A, stˇredn´ı hodnota kapit´alu kles´a. V tomto smyslu je hra A evidentnˇe prohr´avaj´ıc´ı. Hra B je ponˇekud sloˇzitˇejˇs´ı. Podle sv´eho aktu´aln´ıho kapit´alu h´aˇze hr´aˇc bud’ minc´ı B1 , nebo minc´ı B2 . Konkr´etnˇe, je-li jeho aktu´aln´ı kapit´al ˇc´ıslo dˇeliteln´e tˇremi, h´aˇze silnˇe 1 nepˇr´ıznivou minc´ı B1 u n´ıˇz je pravdˇepodobnost v´ yhry p1 = 10 − ². V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe h´aˇze pˇr´ıznivou minc´ı B2 . Pro ni je pravdˇepodobnost v´ yhry p2 = 43 − ². Je hra B skuteˇcnˇe prohr´avaj´ıc´ı? Chybn´ yu ´sudek by mohl zn´ıt takto. Pˇri opakov´an´ı hry B h´aˇzeme v jedn´e tˇretinˇe pˇr´ıpad˚ u minc´ı B1 a ve dvou tˇretin´ach pˇr´ıpad˚ u minc´ı B2 . V´aˇzen´a pravdˇepodobnost 16 v´ yhry ve hˇre B je tedy P (B) = 31 p1 + 23 p2 = 30 − ². Pro dostateˇcnˇe mal´e ² je P (B) > 21 . Hra ´ B je tedy vyhr´avaj´ıc´ı. Usudek je chybn´ y, nebot’ nev´ yhodn´a mince B1 nen´ı ve skuteˇcnosti pouˇz´ıv´ana v jedn´e tˇretinˇe hod˚ u, ale ponˇekud ˇcastˇeji. Jestliˇze je aktu´aln´ı kapit´al n´asobkem 9 tˇr´ı, ˇreknˇeme 9, pak mus´ıme pouˇz´ıt minci B1 a s velkou pravdˇepodobnost´ı 1 − p1 = 10 +² prohrajeme. Pak bude n´aˇs kapit´al 8 jednotek. Mus´ıme tedy pouˇz´ıt minci B2 . Pˇri hodu touto minc´ı s pravdˇepodobnost´ı p2 = 34 − ² vyhrajeme a n´aˇs kapit´al bude opˇet 9 jednotek. Oscilace mezi kapit´alem 3n jednotek a 3n−1 jednotek maj´ı tedy velkou pravdˇepodobnost. V d˚ usledku toho je skuteˇcn´a frekvence pouˇzit´ı mince B1 v dlouh´e s´erii opakov´an´ı hry B vˇetˇs´ı neˇz jedna tˇretina (a menˇs´ı neˇz jedna polovina). Spr´avnou hodnotu pravdˇepodobnosti v´ yhry ve hˇre B z´ısk´ame n´asleduj´ıc´ım postupem. Necht’ n´ahodn´a promˇenn´a X(n) popisuje kapit´al hr´aˇce po n-t´e opakov´an´ı hry B. rejmˇe tvoˇr´ı Markov˚ uv ˇretˇezec. Soustˇred´ıme se vˇsak sp´ıˇse na Posloupnost {X(n)}∞ n=0 zˇ Markov˚ uv ˇretˇezec n´ahodn´ ych promˇenn´ ych Y(n) = X(n) mod 3. Jeho stavy vyjadˇruj´ı tˇri moˇzn´e a vz´ajemnˇe se vyluˇcuj´ıc´ı moˇznosti pˇri dˇelen´ı kapit´alu tˇremi. Pˇri oznaˇcen´ı pj (n) = Prob{ Y(n) = j }, j = 0, 1, 2, n = 0, 1, . . ., znamen´a tedy napˇr´ıklad p0 (5) pravdˇepodobnost toho, ˇze po p´at´em opakov´an´ı hry B je kapit´al hr´aˇce dˇeliteln´ y tˇremi. V´ yˇse uveden´a pravidla ych pravdˇepodobnost´ı W(B) . Pˇri evihry B lze nyn´ı vyj´adˇrit pomoc´ı matice pˇrechodov´
dentn´ım uspoˇra´d´an´ı stav˚ u ˇretˇezce m´ame
p(n + 1) = W(B) p(n)
,
W(B)
0 1 − p2 p2 0 1 − p2 , = p1 1 − p1 p2 0
(1)
kde p(n) je sloupcov´ y vektor pravdˇepodobnost´ı stav˚ u, p(n) = [p0 (n), p1 (n), p2 (n)]T . Pˇri opakov´an´ı hry B pˇrech´az´ı dan´ y Markov˚ uv ˇretˇezec postupnˇe do jist´eho stacion´arn´ıho stavu, (B) ˇreknˇeme do stavu e . Form´alnˇe jej obdrˇz´ıme jako limitu e(B) = limn→∞ p(n). Stejnˇe tak jej lze z´ıskat ˇreˇsen´ım homogenn´ı soustavy line´arn´ıch rovnic W(B) e(B) = e(B) , jestliˇze nav´ıc (B) (B) (B) poˇzadujeme normalizaci ˇreˇsen´ı e0 + e1 + e2 = 1. V´ ysledkem cel´eho postupu je vektor (B) e0 1 − p2 + p22 1 1 − p2 + p1 p2 . e(B) = e(B) (2) = 1 3 − p1 − 2p2 + 2p1 p2 + p22 (B) 1 − p1 + p1 p2 e2 Pˇri dlouh´e s´erii opakov´an´ı hry B se tedy dostaneme do situace kdy je v kaˇzd´e dalˇs´ı jed(B) yhodn´a mince B1 (a pravdˇepodobnost notliv´e hˇre pouˇzita s pravdˇepodobnost´ı e0 nev´ (B) yhodn´a mince B2 v´ yhry je potom p1 ), zat´ımco s pravdˇepodobnost´ı 1 − e0 je pouˇzita v´ (a pravdˇepodobnost v´ yhry je potom p2 ). Skuteˇcn´a pravdˇepodobnost v´ yhry ve hˇre B je (B) (B) (B) ych kroc´ıch zjist´ıme, ˇze tedy nakonec P = e0 p1 + (1 − e0 )p2 . Po nˇekolika algebraick´ 1 (B) 2 podm´ınka P < 2 je ekvivalentn´ı nerovnosti (1 − p1 )(1 − p2 ) > p1 p22 . Tato nerovnost je pro v´ yˇse uveden´e konkr´etn´ı hodnoty pravdˇepodobnost´ı p1 a p2 skuteˇcnˇe splnˇena. Pˇri mnoha opakov´an´ıch hry B m´a tedy stˇredn´ı hodnota kapit´alu sestupnou tendenci. V tomto smyslu je hra B prohr´avaj´ıc´ı. Dodejme jeˇstˇe, ˇze podobn´ ym zp˚ usobem bylo moˇzn´e analyzovat tak´e hru A. Matici pˇrechodov´ ych pravdˇepodobnost´ı W(A) dostaneme z rovnice (1), jestliˇze na prav´e stranˇe nahrad´ıme p1 i p2 symbolem p. Stacion´arn´ı vektor pravdˇepodob£ ¤T nost´ı pro hru A bude zˇrejmˇe e(A) = 13 , 31 , 13 . Pˇrejdˇeme nyn´ı k anal´ yze sloˇzen´e hry C. Budeme pˇredpokl´adat n´ahodn´e stˇr´ıd´an´ı hry A a hry B. Pˇresnˇeji ˇreˇceno, s pravdˇepodobnost´ı γ = 12 hrajeme hru A a s pravdˇepodobnost´ı 1 − γ hru B. Hra C m´a tedy n´asleduj´ıc´ı pravidla. Je-li aktu´aln´ı kapit´al hr´aˇce ˇc´ıslo dˇeliteln´e tˇremi, je pravdˇepodobnost v´ yhry q1 = γp + (1 − γ)p1 . To je pravdˇepodobnost toho, ˇze bude hr´ana hra A, n´asoben´a pravdˇepodobnost´ı v´ yhry v t´eto hˇre, plus pravdˇepodobnost toho, ˇze bude hr´ana B, n´asoben´a pravdˇepodobnost´ı v´ yhry v t´eto hˇre pˇri kapit´alu 3n. Podobnˇe, nen´ı-li aktu´aln´ı kapit´al dˇeliteln´ y tˇremi, je pravdˇepodobnost v´ yhry ve hˇre C rovna q2 = γp + (1 − γ)p2 . Tak´e hru C lze popsat Markovov´ ym ˇretˇezcem a reprezentovat pr´avˇe uveden´a pravidla matic´ı pˇrechodov´ ych pravdˇepodobnost´ı W(C) . Dostaneme ji opˇet z rovnice (1), jestliˇze na prav´e stranˇe nahrad´ıme vˇsude p1 symbolem q1 a p2 symbolem q2 . Vektor stacion´arn´ıch pravdˇepodobnost´ı e(C) bude urˇcen rovnic´ı (2), jestliˇze na druh´e prav´e stranˇe opˇet zamˇen´ıme p1 symbolem q1 a p2 symbolem q2 . Nakonec m´ame opˇet moˇznost vyj´adˇrit stacion´arn´ı pravdˇepodobnost v´ yhry v individu´aln´ı hˇre C bez ohledu na (C) (C) aktu´aln´ı kapit´al. Je j´ı P (C) = e0 q1 + (1 − e0 )q2 . Po nˇekolika u ´prav´ach se pˇresvˇedˇc´ıme, 1 (C) 2 2 > 2 m´a tvar (1 − q1 )(1 − q2 ) < q1 q2 . ˇze podm´ınka P Parrond˚ uv paradox spoˇc´ıv´a v tom, ˇze pro vhodnˇe volen´e parametry p, p1 , p2 , napˇr´ıklad pro v´ yˇse uveden´e konkr´etn´ı hodnoty, lze souˇcasnˇe splnit nerovnosti P (B) < 12 , a P (C) > 1 . Poˇc´ıtaˇcov´a simulace potvrzuje uveden´ y analytick´ y rozbor. Pˇritom je vznik rostouc´ı 2
tendence kapit´alu pˇri hˇre C nez´avisl´ y na sc´en´aˇri stˇr´ıd´an´ı her A a B. M˚ uˇzeme je napˇr´ıklad stˇr´ıdat periodicky podle sch´ematu AAABBAAABBAAABB . . .. Nelze pˇrehl´ednout analogie mezi u ´vahami v t´eto a v pˇredchoz´ı kapitole. Poloha automobilu je analogi´ı kapit´alu. Tyˇc vysunut´a nad rohatku odpov´ıd´a s´erii, ve kter´e hrajeme pouze hru A. Pravidla pro hru B popisuj´ı tvar zubu rohatky v minul´e kapitole. Hra silnˇe nepˇr´ıznivou minc´ı B1 pˇredstavuje segment zubu, kter´ y ostˇre kles´a smˇerem doleva. Vyhr´avaj´ıc´ı mince B2 posune kapit´al “proti svahu” a odpov´ıd´a delˇs´ımu segmentu zubu. Kl´ıˇcovou rol´ı hry A je r˚ ust rozptylu kapit´alu pˇredt´ım, nˇeˇz je v r´amci hry B jeho velikost pˇrechodnˇe stabilizov´ana (zabrzdˇena) v nov´e poloze, tj. mezi hodnotami 3n a 3n − 1. 3. Brownovsk´ a rohatka
Uvaˇzme jednodimenzion´aln´ı dif´ uzn´ı pohyb ˇca´stice v ˇcasovˇe a prostorovˇe promˇenn´em potenci´alu U (x, t). Stav ˇca´stice v ˇcase t je pops´an hustotou pravdˇepodobnosti p(x, t) pro jej´ı polohu, tj. pro n´ahodnou promˇennou X(t). V aproximaci pˇretlumen´eho pohybu, tj. jestliˇze pomineme vˇsechny setrvaˇcn´e efekty, je dynamika stavu ˇr´ızena Smoluchowsk´eho rovnic´ı ½ · ¸ ¾ ∂U (x, t) ∂ ∂ ∂ p(x, t) = − −D p(x, t) − Γ p(x, t) . (3) ∂t ∂x ∂x ∂x Zde Γ je pohyblivost ˇc´astice, D oznaˇcuje intenzitu term´aln´ı Langevinovy s´ıly p˚ usob´ıc´ı na ˇca´stici ze strany prostˇred´ı. Parametr D z´avis´ı line´arnˇe na absolutn´ı teplotˇe, D = ΓkB T , kB je Boltzmannova konstanta. Kromˇe n´ahodn´e term´aln´ı s´ıly p˚ usob´ı na ˇc´astici v m´ıstˇe x ∂ a v ˇcase t potenci´alov´a s´ıla F (x, t) = − ∂x U (x, t). Z matematick´eho hlediska pˇredstavuje poloha ˇc´astice X(t) ˇcasovˇe nehomogenn´ı Markov˚ uv proces (infinitezim´aln´ı pˇrechodov´e pravdˇepodobnosti z´avis´ı na ˇcase). Pr´avˇe tato skuteˇcnost komplikuje pˇresn´e ˇreˇsen´ı Smoluchowsk´eho rovnice. Pˇritom ˇcasov´a z´avislost potenci´alu U (x, t) je v naˇs´ı formulaci fundament´aln´ı. V podstatˇe bude vyjadˇrovat pˇrep´ın´an´ı mezi dvˇema pr˚ ubˇehy potenci´alu, podobnˇe jako jsme u Parrondovy konstrukce stˇr´ıdali hry A a B. Pˇresnˇeji ˇreˇceno, po dobu τA bude v platnosti ˇcasovˇe nez´avisl´ y potenci´al UA (x) = −F² x, kde F² < 0 je s´ıla p˚ usob´ıc´ı doleva. V pr˚ ubˇehu n´asleduj´ıc´ıho ˇcasov´eho intervalu τB je dif´ uze ˇr´ızena ˇcasovˇe nez´avisl´ ym potenci´alem UB (x). Jeho tvar pˇresnˇe odpov´ıd´a rohatce z prvn´ı kapitoly, tj. popisuje periodicky se opakuj´ıc´ı asymetrick´e zuby: potenci´al UB (x) v u ´seku ˇs´ıˇrky l1 strmˇe roste se smˇernic´ı −F1 > 0, pot´e v u ´seku ˇs´ıˇrky l2 > l1 pozvolna kles´a se smˇernic´ı −F2 < 0. N´ar˚ ust potenci´alu ve smˇeru zleva doprava v pr˚ ubˇehu u ´seku ˇs´ıˇrky l = l1 +l2 (tj. celkov´e stoup´an´ı jednoho zubu) ˇcin´ı K = |F1 |l1 −F2 l2 . Pˇredpokl´adejme, ˇze tento n´ar˚ ust je stejn´ y jako u potenci´alu UA (x), tj. K = −F² l > 0. Podobnˇe jako u rozboru Parrondova paradoxu budeme implementovat periodick´e okrajov´e podm´ınky v intervalu [−l1 , l2 ]. To znamen´a, ˇze v libovoln´em ˇcase poˇzadujeme p(−l1 , t) = p(l2 , t). Hustota pravdˇepodobnosti Rbude potom normov´ana v r´amci uveden´e prostorov´e periody, tj. l pro libovoln´ y ˇcas bude −l2 1 dx p(x, t) = 1. Z hlediska fyzik´aln´ıho je centr´aln´ı veliˇcinou ˇcasovˇe asymptotick´a rychlost ˇca´stice. V naˇs´ı redukovan´e formulaci ji z´ısk´ame takto. Nejprve ˇreˇs´ıme Smoluchovsk´eho rovnici s jistou poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou a s uveden´ ymi okrajov´ ymi podm´ınkami. T´ım dostaneme ych ˇcasovˇe a prostorovˇe rozliˇsen´ y proud pravdˇepodobnosti j(x, t). Je j´ım veliˇcina ve sloˇzen´ z´avork´ach na prav´e stranˇe rovnice (3). V druh´em kroku proud integrujeme pˇres z´akladn´ı
prostorovou periodu a pot´e stˇredujeme pˇres ˇcasovou periodu zmˇen potenci´alu τ = τA +τB . Definujme tedy ½ · ¸ ¾ Z l2 Z t+τ 1 ∂ ∂U (x, t) 0 dx D V = − lim dt p(x, t) + Γ p(x, t) . (4) τ t→∞ t ∂x ∂x −l1 Necht’ je nyn´ı po celou dobu pohybu v platnosti potenci´al UA (x). Potom m˚ uˇzeme pˇri ˇreˇsen´ı pouˇz´ıt napˇr´ıklad metodou Laplaceovy transformace. Z rovnice (4) dostaneme VA = ΓF² < 0. Necht’ je naopak po celou dobu pohybu v platnosti potenci´al UB (x). Tak´e v tomto pˇr´ıpadˇe dostaneme jistou z´apornou rychlost VB < 0. V´ ysledn´ y vzorec, kter´ y pro struˇcnost neuv´ad´ım, vyjadˇruje intuitivnˇe zˇrejm´ y z´avˇer—znamen´ı rychlosti VB je opaˇcn´e ke znamen´ı n´ar˚ ustu potenci´alu K. Uvaˇzme nakonec alternaci potenci´al˚ u UA (x) a UB (x). Pˇri jejich stˇr´ıd´an´ı nen´ı ˇz´adn´ yz nich v platnosti dostateˇcnˇe dlouho pro to, aby vznikl stacion´arn´ı pohyb s rychlost´ı VA , popˇr. VB . V tomto smyslu je tedy ˇc´astice udrˇzov´ana st´ale v nerovnov´aˇzn´em stavu. Souhra potenci´al˚ u nakonec vede k tomu, ˇze v´ ysledn´a rychlost (4) m˚ uˇze b´ yt orientov´ana smˇerem doprava, proti glob´alnˇe p˚ usob´ıc´ı s´ıle F² . Pro ˇcinnost “motoru” je kritick´a srovnatelnost ˇcasov´eho mˇeˇr´ıtka pro pˇrep´ın´an´ı potenci´al˚ u a ˇcasov´eho mˇeˇr´ıtka pro dif´ uzn´ı pohyb napˇr´ıˇc jednotliv´ ymi segmenty potenci´al˚ u. Druh´e mˇeˇr´ıtko z´avis´ı mimo jin´e na teplotˇe. Z´avˇerem, v pˇr´ıspˇevku jsem naznaˇcil matematick´e modelov´an´ı transportn´ıho reˇzimu, kter´ y vznik´a na z´akladˇe nerovnov´aˇzn´e rektifikace term´aln´ıch fluktuac´ı. Zamˇeˇril jsem se pouze na kinematick´ y rozbor. Cel´a u ´loha m´a vˇsak i zaj´ımav´ y aspekt energetick´ y, zamˇeˇren´ y na v´ ypoˇcet energetick´e u ´ˇcinnosti motoru a na jej´ı optimalizaci. N´asleduj´ıc´ı tabulka srovn´av´a z´akladn´ı operaˇcn´ı principy v diskr´etn´ı a ve spojit´e formulaci probl´emu. Parrond˚ uv paradox
Brownovsk´ a rohatka
Zdroj potenci´alu
Pravidla her, parametry p, p1 , p2
Elektrostatick´a energie, parametry l1 , l2 , s´ıly F² , F1 , F2
Pˇrep´ın´an´ı
Stˇr´ıdav´a aplikace pravidel pro hru A a hru B
Chemick´e reakce, stˇr´ıdav´a aplikace potenci´alu UA (x) a UB (x)
Zdroj fluktuac´ı
N´ahoda pˇri h´azen´ı mince
Interakce s prostˇred´ım, Langevinova s´ıla
Mˇeˇren´a veliˇcina
Stˇredn´ı kapit´al hX(n)i, rychlost jeho zmˇeny
Stˇredn´ı poloha ˇc´astice hX(t)i, stˇredn´ı rychlost V
Matematick´ y popis
Markovovy ˇretˇezce diskr´etn´ı v ˇcase a diskr´etn´ı v prostoru stav˚ u
Langevinova rovnice a Smoluchowsk´eho rovnice
Literatura
Peter Reimann, Brownian motors: noisy transport far from equilibrium, Phys. Rep., 361, 57-256, (2002).
