2-1
PERTEMUAN 2 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) E-mail :
[email protected] Judul Pokok Bahasan
Tujuan Pembelajaran
Nama Dosen Pengampu HP
: Dr. Suparman : 081328201198
: 2. Logika Matematika 2.1. Proposisi Bersyarat dan Proposisi Bikondisional 2.2. Konvers dan Kontrapositif : a) Mengerti apa yang dimaksud dengan proposisi bersyarat dan mengetahui nilai kebenaran proposisi bersyarat. b) Mengerti apa yang dimaksud dengan konvers dari proposisi bersyarat dan mengetahui nilai kebenaran konvers. c) Mengerti apa yang dimaksud dengan proposisi bikondisional dan mengetahui nilai kebenaran proposisi bikondisional. d) Mengerti apa yang dimaksud dengan kontrapositif dari proposisi bersyarat dan mengetahui nilai kebenaran kontrapositif. e) Dapat mencari negasi dari proposisi bersyarat.
2. Logika Matematika 2.1 Proposisi Bersyarat dan Proposisi Bikondisional Definisi 2.1 : Proprosisi bersyarat Andaikan p dan q adalah proposisi, proposisi majemuk jika p maka q disebut proposisi bersyarat dan dinotasikan sebagai p q Proposisi p disebut hipotesis (antesenden) dan proposisi q disebut konklusi (konsekuen). Catatan : Cara lain menyatakan “p jika dan hanya jika q” adalah : “p adalah syarat cukup untuk q” “q adalah syarat perlu untuk p” Nilai kebenaran dari proposisi bersyarat diberikan oleh tabel kebenaran berikut. p q p q B B B B S S S B B S S B Tabel 2.1 Dalam percakapan sehari-hari, hipotesis dan konklusi dalam proposisi bersyarat biasanya berhubungan, tetapi dalam logika, hipotesis dan konklusi dalam proposisi bersyarat tidak harus merujuk pada permasalahan yang sama. Logika memperhatikan bentuk proposisi dan hubungan antar proposisi tetapi tidak memperhatikan pokok permasalahan dari proposisi itu sendiri. Perhatikan bahwa proposisi bersyarat yang benar berbeda dengan proposisi bersyarat dengan konklusi yang benar. Contoh 2.1: Misalkan
2-2
p : 1>2 q : Satu meter sama dengan 100 cm Tentukan nilai kebenaran dari proposisi bersyarat p
q.
Penyelesaian : Karena p salah dan q benar, maka menurut Tabel kebenaran 2.1 proposisi bersyarat p benar. Contoh 2.2: Perlihatkan bahwa proposisi bersyarat p
q ekuivalen secara logika dari p q
Penyelesaian : Kita harus menunjukkan bahwa p q p q Tabel kebenaran untuk p q dan p q adalah p q p q p B B S B B S S S S B B B S S B B Tabel 2.2 Dari kolom ke 4 dan ke 5 tabel tersebut terlihat bahwa p kebenaran yang sama. Jadi p q p q. Contoh 2.3: Tentukan negasi dari proposisi bersyarat p
q
p q B S B B q dan p q mempunyai nilai
q.
Penyelesaian : Dari contoh 2.2 kita dapatkan bahwa p q p q Sehingga negasi dari p q dapat dinyatakan sebagai
p q p q Karena menurut hukum De Morgan pertama p proposisi bersyarat p q adalah p
q
p
q
p
q dan karena p
p maka negasi
q
Definisi 2.2 : Bikondisional Andaikan p dan q adalah proposisi, proposisi majemuk p jika dan hanya jika q disebut proposisi bikondisional (dwisyarat) dan dinotasikan sebagai p q Nilai kebenaran dari proposisi p
q didefinisikan dengan tabel kebenaran berikut. p q p q B B B
2-3 B S S
S B S Tabel 2.3
S S B
Catatan : Cara lain menyatakan “p jika dan hanya jika q” adalah “p adalah syarat perlu dan cukup untuk q”. Contoh 2.4 : Misalkan p : 1>2 q : 4<8 Tentukan nilai kebenaran dari proposisi p
q.
Penyelesaian : Karena p salah dan q benar, maka menurut Tabel kebenaran 2.3 proposisi p Contoh 2.5: Perlihatkan bahwa proposisi p
q ekuivalen secara logika dari (p
q ) (q
q salah.
p)
Penyelesaian : Kita harus menunjukkan bahwa p q ( p q ) (q p ) Tabel kebenaran untuk p q dan (p q) (q p) adalah p q p q q p p q ( p q ) (q p) B B B B B B B S S B S S S B B S S S S S B B B B Tabel 2.4 Dari tabel tersebut terlihat bahwa p q dan (p q) (q p) mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jadi p q ( p q ) (q p )
Latihan Soal 2.1
Misalkan p : Saya mengambil kuliah Kalkulus 1 q : Saya mengambil kuliah Matematika Diskrit r : Saya mengambil kuliah Kalkulus 2 Nyatakanlah a. Proposisi p r dengan kata-kata. b. Proposisi jika saya mengambil kuliah Matematika Diskrit maka saya mengambil kuliah Kalkulus 1dengan simbol. c. Negasi proposisi p q dengan simbol. d. Proposisi q
r dengan kata-kata.
2-4 2.2
Dengan mengasumsikan p salah, q benar, dan r salah, tentukanlah nilai kebenaran dari setiap proposisi yang diberikan. a. p q g. (p (q r )) ((p (q r )) p) b. p c. p d. (p e. (p
2.3
h. (p q) r i. [( p q ) (q r )] (r q ) j. [p (q r )] [r (q p)] k. [p ( p (q r ))] (p (r q))
q
q q ) (q q)
r)
r
f. p (q r ) Perlihatkanlah bahwa q p p q
2.2 Konvers dan Kontrapositif Definisi 2.3 : Konvers Konvers (kebalikan) dari proposisi bersyarat p Nilai kebenaran dari proposisi q
q adalah proposisi q
p.
p didefinisikan dengan tabel kebenaran berikut. p q q p B B B B S B S B S S S B Tabel 2.5
Contoh 2.6: Misalkan p : 1>2 q : 4<8 Tentukan nilai kebenaran dari proposisi q
p.
Penyelesaian : Karena p salah dan q benar, maka menurut Tabel kebenaran 2.2 proposisi q Definisi 2.4 : Kontrapositif Kontrapisitif (atau transposisi) dari proposisi bersyarat p Nilai kebenaran dari proposisi q
p salah.
q adalah proposisi q
p didefinisikan dengan tabel kebenaran berikut. p q q p B B B B S S S B B S S B Tabel 2.6
p.
2-5 Contoh 2.7 : Misalkan p : 1>2 q : 4<8 Tentukan nilai kebenaran dari proposisi q
p.
Penyelesaian : Karena p salah dan q benar, maka menurut Tabel kebenaran 2.4 proposisi q Contoh 2.8: Perlihatkan bahwa proposisi bersyarat p q p. Penyelesaian : Kita harus menunjukkan bahwa p q q p Tabel kebenaran untuk p q dan q p q B B B S S B S S Dari tabel tersebut terlihat bahwa p Jadi p q q p
p benar.
q ekuivalen secara logika dari kontrapositifnya
p adalah p q q p p q S S B B S B S S B S B B B B B B Tabel 2.7 q dan q p mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Latihan Soal 2.4
2.5
Tuliskan konvers dan kontrapositif dari setiap pernyataan dengan simbol dan dengan kata-kata. a. Jika Budi rajin belajar maka ia akan lulus kuliah Matematika Diskrit. b. Jika Cici telah mendapatkan 160 SKS maka ia bisa lulus sarjana. Perlihatkan untuk setiap proposisi P dan Q yang diberikan, nyatakan apakah P Q atau tidak. a. P q p, Q p q c. P q p, Q p q b. P
q
p, Q
p
q
d. P
q
p, Q
Daftar Pustaka R. Johnsonbaugh, Matematika Diskrit Jilid 1, Prenhallindo, 1998.
p
q
