BAHAN KULIAH LOGIKA MATEMATIKA
O L E H
A. Rahman H., S.Si, MT & Muhammad Khaidir
STTIKOM Insan unggul Jl. S.A. tirtayasa no. 146 Komp. Istana Cilegon blok B 25-28 Cilegon Banten 42414 http://didir.co.cc
Pertemuan Jumat ... Materi
:1 : perkenalan
1. Logika (3 sks) : mata kuliah wajib II Penilaian Absen :
10%
Quis
:
10%
Tugas :
20%
UTS
:
30%
UAS
:
30% 100%
Grade : A >= 85 B = 70 – 84 C = 55 – 69 D = 40 – 54 E = < 40 F = tidak ikut ujian 2. Referensi • Purcell, edwin , 1993. Kalkulus & Geometri analitis penerbit erlangga jakarta. • Yahya , yusuf dkk. 1999 matematika dasar. • Rinaldy M, 2005. Mat. Diskrit penerbit informatika, bandung
Pertemuan : 2 dan 3 Jumat ... Materi : LOGIKA
1. Pengantar Logika merupakan studi penalaran (reasoning) yaitu cara berfikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi, bukan dengan perasaan atau bukan dengan pengalaman. Logika pertama kali dikenalkan oleh filusuf Yunani Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu. Saat ini, logika mempunyai aplikasi yang luas didalam ilmu komputer, misalnya dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran algoritma, perancangan komputer dan sebagainya.
2. Proposisi Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.
Contoh 1.
a. b. c. d. e. f. g. h.
3 adalah bilanngan ganjil. 4>=-9 Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. Serahkan uangmu sekarang! Jam berapa anda sampai di STTIKOM IU? X+2=8 Ibu kota provinsi Sulawesi Selatan adalah Makassar X>5
Catatan : secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,... misalnya,
P : 3 adalah bilangan ganjil q : 4>= -9 r : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil dst...
3. Operator Logika Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or) yang disebut operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi. Sedangkan operator ketiga adalah tidak (not) yang disebut operator uner karena hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Misalkan p dan q adalah proposisi. 1. konjungsi (conjunction) p dan q dinyatakan oleh notasi p 8 q 2. Disjungsi (disjunction) p dan q dinyatakan oleh notasi p 7 q 3. Ingkaran (negasi) dari p dinyatakan oleh notasi ~p
Contoh 2. Diketahui proposisi – proposisi berikut : P : Hari ini ujian q : Mahasiswa diharuskan belajar 1.
Nyatakanlah proposisi di atas ke dalam ekspresi logika a. Hari ini tidak ujian b. Hari ini ujian dan mahasiswa diharuskan belajar c. Mahasiswa diharuskan belajar atau hari ini ujian d. Tidak benar hari ini ujian atau mahasiswa tidak diharuskan belajar. e. Tidak benar hari ini tidak ujian dan mahasiswa tidak diharuskan belajar.
2. Nyatakan ke proposisi a. ~q b. ~(~p)
c. q 8~ p
d. ~p 8~q
4.
Tabel Kebenaran Misalkan p dan q adalah poroposisi, maka :
1) konjungsi p 8 q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah. 2) disjungsi p 7 q bernilai salah jika p q keduanya salah, selain itu nilainya benar. 3) Negasi p, yaitu p bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar. Kasus 1 : 1. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan 1, 2 dan 3 di atas. 2. Tuliskan tabel kebenaran dari
i. (p 8 q ) 7~ p
ii. ~(p 7 q) 8 (~q 7 p)
OPERASI LOGIKA DIDALAM KOMPUTER
Ekspresi logika di sebut juga dengan operasi boolean sering di butuhkan dalam pemrograman baik bahasa pascal maupun bahasa foltran. Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR dan NOT dimana hanya menghasilkan salah satu dari dua nilai, true (T) atau false (F). Misalkan x1, x2, dan x3. Adalah perubahan boolean dalam bahasa pascal, maka ekspresi boolean dibawah ini adalah valid :
x1 and x2 x1 or x2 (not (x2 and x3)) 5. Proposisi bersyarat Proposisi bersyarat termasuk proposisi majemuk yang disebut juga dengan implikasi atau kondisional dan dilambangkan dengan p → q (dibaca jika p, maka q).
Contoh 3. 1) Jika anda membayar uang uts, maka anda boleh ikut ujian. 2) Jika abang menyerahkan uang Rp. 3juta, maka saya mencintai abang. 3) Jika saudara datang ke pesta saya, maka saya wajib menjamu anda.
Tabel kebenaran implikasi
p
q
p→q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
Contoh 4
Tunjukkan bahwa p → q ekivalen secara logika dengan ~p 7 q Catatan:
Ada 3 variasi proposisi bersyarat, yaitu : Convers (kebalikan) Invers Kontraposisi
: q→p
: ~p → ~q : ~q → ~p
Implikasi dalam Bahasa Pemrograman
Contoh 5. Misalkan didalam sebuah program dituliskan dalam bahasa pascal terdapat pernyataan berikut : If x > y then y := x + 8; Berapa nilai y setelah pelaksanaan pernyataan if-then diatas jika nilai x dan y sebelum pernyataan adalah: i. x = 2 dan y = 1 ii. x = 3 dan y = 4
6. bikondisional ( Bi-implikasi ) Defenisi : misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk p jika dan hanya jika q disebut bikondisional yang dilambangkan dengan p → q Tabel kebenaran bikondisional p
q
p↔q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Terdapat sejumlah cara dalam menyatakan bikondisional dalam kata – kata yaitu : a. p jika dan hanya jika q ( p if and only if q ) b. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q ( p is necessary and sufficient for q ) c. jika p maka q, dan sebaliknya ( if p then q, and converselly )
KASUS 2 :
Tentukan tabel kebenaran dari ~ ( p 8 q ) ↔ ~p 7~q
Pertemuan : 4 Jumat .... Materi : Penarikan kesimpulan
A. INFERENSI Inferesi (inference ) adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi (proposition). Di dalam kalkulus proposisi, terdapat sejumlah kaidah inferensi,
Beberapa diantaranya seperti : 1. 2. 3. 4. 5. 6.
modus ponen (law of detachment) modus tollen silogisme hipotetis silogisme disjungtif simplifiasi dll
1. modus ponen atau law of detachment kaidah ini didasarkan pada tautology ( p 8 ( p → q )) →q, yang dalam hal ini, p dan p → q adalah hipotesis, sedangkan q kongklusi. Kaidah ini dapat dituliskan : p→q p _____ ...q contoh : misalkan implikasi 1. jika 40 habis dibagi 10, maka 40 adalah bilangan genap. 2. jika ( x + y )3 , maka koefisien dari x3 adalah 1 tentukan modus ponen. 2. modus tollen kaidah modus tollen dituliskan dengan cara :
p→q ~q _____ ...~p contoh : 1. jika n bilangan ganjil, maka n2 adalah bilangan ganjil. 2. jka kamu mencintai dia, maka dia tidak saying kamu. Pertanyaan : tentukan modus tollen. Jawaban :
3. silogisme hipotetis kaidah silogisme dituliskan dengan cara : p→q q→r _____ ...p → r
contoh : 1. jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian. 2. jika saya lulus, maka saya cepat menikah. Jawaban :
4. silogisme dijungtif silogisme disjungtif ditulis dengan cara : p8q ~p ____ .. . q
contoh : interferensi: saya belajar dengan atau saya menikah tahun depan. Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu saya menikah tahun depan. Jawaban :
5. simflikasi kaidah simflikasi ditulis dengan cara :
p8q ____ ...p
contoh : khaidir adalah mahasiswa sttikom iu dan mahasiswa stak. Karena itu khaidir adalah mahasiswa sttikom. Jawaban :
6. konjungsi kongjungsi dituliskan dengan cara: p8q ____ ...p
heri mengambil kuliah logika. heri mengulang kuliah logika. karena itu, Heri mengambil kuliah logic dn mengulang kuliah logika. heri mengambil kuliah logika heri mengulang kuliah logika ________________________ heri mengambil kuliah logika dan mengulang kuliah logika
Pertemuan : 5 dan 6 Jumat .... Materi : RELASI DAN FUNGSI 1. Pengantar Hubungan ( relationship ) antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lainnya sering dijumpai pada banyak masalah.misalnya hubungan antara mahasiswa dengan mata kuliah yang di ambil , hubungan antara orang dengan kerabatnya. Di dalam ilmu komputer, contoh hubungan itu misalnya hubungan antara program komputer dengan peubah yang digunakan, hubungan antara bahasa pemrograman dengan pernyataan ( statement ) yang sah dan sebagainya. Jadi relasi adalah hubungan antara elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur. Fungsi adalah jenis khusus dari relasi. Relasi dapat direpresentasikan dengan : a. Tabel b. Matriks c. Graf berarah
2. Perkalian kartesian ( cartesian product ) Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua terurut (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. Dapat dituliskan dengan notasi : A x B = { ( a, b) } | a € A dan B
( 6.1 )
Himpunan A disebut daerah asal ( domain ) Himpunan B disebut daerah hasil ( range atau codomain ) 3. Relasi Inversi Defenisi : Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R-1 , adalah relasi dari B ke A yang di defenisikan oleh : R-1 = { (a,b) | (a,b) € R} Contoh : Misalkan P = {2,3,4} dan Q = {2,4,8,9,15} tentukan : a. ( p,q ) € R jika habis membagi q b. R-1 Jawaban :
(6.2)
4. Mengkombinasikan Relasi Kombinasi relasi terdiri atas : a. b. c. d.
Irisan, R1 ∩ R2 Gabungan R1 ∪ R2 Selisih, R1 – R2 Beda setangkup, R1 ∅ R2
Contoh :
Misalkan R1 = {(a,a), (b,b), (c,c)} dan R2 = {(a,a), (a,b),),(a,c), (a,d)} adalah relasi dari himpunan A = {a,b,c} dan B{a,b,c,d} tentukanlah : a. R1 ∩ R2 5. Fungsi Fungsi adalah relasi yang khusus. Kekhususan ini tercakup pada dua hal penting : 1. Tiap elemen di dalam himpunan A, yang merupakan daerah asal f, harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefenisikan f 2. Frasa “ dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika ( a,b) elemen f dan ( a,c ) elemen f, maka b=c. Contoh : Misalkan M adalah himpunan mahasiswa di STTIKOM IU. Manakah dari pemetaan berikut yang mendefenisikan sebuah fungsi pada himpunan M ? i. ii. iii. iv. v.
Setiap mahasiswa memetakan NIM. Setiap mahasiswa memetakan nomor HP-nya. Setiap mahasiswa memetakan orang tuanya. Setiap mahasiswa memetakan pacarnya. Setiap mahasiswa memetakan dompetnya.
6. Fungsi Inversi Jika f adalah fungsi berkoresponden satu – satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan atau inversi ( invers ) dari f. Fungsi invers dari f dilambangkan dengan f1. Contoh : Tentukan inversi fungsi f(x) = x-1 Jawaban :
7. Komposisi Fungsi Karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, kita juga dapat melakukan komposisi dari dua buah fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f O g, adalah fungsi dari A dan C yang didefenisikan oleh : (f O g ) ( a ) = f ( g ( a )).
(6.3)
Latihan : 1. Tuliskan pasangan terurut pada relasi R dari A = { 0,1,2,3,4} ke B = {0,1,2,3} yang dalam hal ini pasangan terurut ( a, b ) C R jika dan hanya jika a>b. 2. Misalkan R = {(1,2), (2,3), (3,4) dan S = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,4) adalah relasi dari { 1,2,3} ke{1,2,3,4}. Tentukan : a. R ∪ R b. R ∩ R c. R – S d. S – R e. R ∅ S 3. Tentukan apakah setiap fungsi berikut satu ke satu? a. Setiap orang di bumi memetakan jumlah usianya. b. Setiap negara di dunia memetakan letak garis lintang dan garis bujur ibukotanya. c. Setiap buku yang di tulis oleh pengarangnya memetakan nama pengarangnya. d. Setiap negara di dunia yang mempunyai presiden memetakan nama presidennya. e. Setiap mahasiswa STTIKOM IU memetakan komputernya. 4. Misalkan g = {( 1,b), (2,c),(3,a),(4,b)} adalah fungsi dari A = {1,2,3,4} ke B ={a,b,c,d} dan f = {(a,x), (b,y), (c,w), (d,z)} adalah fungsi dari B ke C = {w,x,y,z}. a. Tuliskan f O g sebagai himpunan pasangan berurutan. b. Tuliskan g O f sebagai himpunan pasangan berurutan. 5. Tentukan fungsi invers dari : a. f ( x ) = x2 + 1 b. f ( x ) =
௫ାଵ ௫ିଶ
Pertemuan : 7 Jumat .... Materi : MATRIKS
1. Pengantar Matriks adalah susunan skalar elemen – elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom ( m x n ) adalah :
ܽଵଵ ܽଶଵ A൦ ⋮ ܽ ଵ
ܽଵଶ … ܽଵ ܽଶଶ … ܽଶ ⋮ ⋮ ൪ … ܽଶ ܽ
Matriks diatas dituliskan dengan notasi ringkas A = ൣܽ ൧ 2. Beberapa Matriks Khusus
a. Matriks diagonal
Matrik diagonal adalah matriks bujur sangkar dengan ܽ = 0 untuk i ≠ j.
Dengan kata lain, seluruh elemen yang tidak terdapat pada posisi i ≠ j bernilai 0 Contoh : Dibawah ini adalah contoh matriks diagonal yang berukuran 3 x 3 : 1 0 0 0 2 0൩ 0 0 3
b. Matriks Identitas
2 0 0 0 0 0
0 0൩ −1
Matriks identitas di lambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1. c. Matriks segitiga atas / bawah Matriks segitiga atas / bawah adalah matriks jika elemen – elemen diatas / di bawah diagonal 0, yaitu ܽ = 0 jika 1 5 ൦ 6 2
0 0 7 0 0 3 4 −2
0 0 ൪ 0 6
2 0 ൦ 0 0
6 3 0 0
6 −4 7 3 ൪ 0 2 0 8
d. Matriks 0/1 (zero – one ) Matriks 0/1 adalah matriks yang setiap elementnya hanya bernilai 0 dan 1.
3. Matriks transpose Matriks transpose adalah matriks yang di peroleh dengan mempertukarkan baris - baris dan kolom – kolom. Misalkan A= ൣܽ ൧ berukuran m x n , maka transpose dari matriks A, dituliskan AT
4. Operasi Aritmetika Matriks a. Penjumlahan matriks Dua buah matriks dapat di jumlahkan jika ukuran keeduanya sama.
Misalkan A = ൣܽ ൧ dan B = ൣܾ ൧ yang masing – masing berukuran m x n. Jumlah A dan B, dilambangkan dengan A + B, menghasilkan matriks C = ൣܿ ൧ yang berukuran m x n, yang dalam hal ini ܿ = ܽ + ܾ untuk setiap i dan j
Contoh :
Catatan :
1 2 3 1+5 5 6 8 0 5 −2൩ + 7 −3 9൩ = 0 + 7 4 7 8 4+6 6 2 1
2+6 5−3 7+2
3+8 6 8 −2 + 9൩ = 7 2 8+1 10 9
11 7൩ 9
Operasi pengurangan sama dengan operasi penjumlahan, tetapi dengan mengganti operator + dengan – b. Perkalian dua buah matriks Dua buah matriks dapat di kalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Misalkan A=ൣܽ ൧ adalah matriks m x n dan B= ൣܾ ൧ adalah matriks n x p
. Maka, perkalian A dan B , di lambangkan dengan AB, menghasilkan matriks C=ൣܿ ൧ Contoh :
Sifat – sifat operasi perkalian matriks : 1. Perkalian matriks tidak komunitatif, yaitu AB ≠BA 2. Hukum asosiatif berlaku pada operasi matriks (AB)C=A(BC) 3. Hukum distributif berlaku pada operasi matriks. i. A ( B + C) = AB +AC ( hukum distributive kiri ) ii. (B + C) A = BA + CA (hukum distributive kanan)
4. Perkalian matriks dengan matriks identitas I tidak mengubah matriks, yaitu AI = IA = A 5. Perpangkatan matriks di defenisikan sebagai berikut : A0 = I, Ak = AA..A 6. A adalah matriks orthogonal jika AAT = AT A =I
5. Perkalian Matriks Dengan Skalar Misalkan k adalah sebuah skalar. Perkalian matriks A dengan skalar k adalah mengalikan setiap elemen matriks dengan k
ܽଵଵ ܽଶଵ A=൦ ⋮ ܽ ଵ
Contoh :
݇ܽଵଵ ݇ܽ KA=൦ ଶଵ ⋮ ݇ܽ ଵ
ܽଵଶ … ܽଵ ܽଶଶ … ܽଶ ⋮ ⋮ ൪ … ܽଶ ܽ
݇ܽଵଶ … ݇ܽଶଶ … ⋮ … ݇ܽଶ
݇ܽଵ ݇ܽଶ ൪ ⋮ ݇ܽ
Kasus : 1. Diketahui matriks A yaitu ( 2, 5 ) , ( 3 , 2 ) dan matriks B ( 3 , 1 ) , ( 6 , 4 ) Tentukan : a. AT b. BT c. A + B d. A2 e. B2 f. AB g. BA 2. Dari matriks A diatas, buktikan sifat no 6 3. Dapatkah anda mengalikan { ( 1 , 3 ) , ( 2 , -1 ) } dengan { ( 2, 0 , - 4), (3, 2, 6 )}. 4. Tentukan hasil perkalian dari : {(2,3,4) , (1,2,6),(5,0,-1)} dan {(2,1,0), (4,-2,3), (4,6,1)}
