PERHITUNGAN REGRESI LINIER BERGANDA DENGAN METODE LEAST SQUARE DAN ELIMINASI GAUSS DALAM PEMROGRAMAN PASCAL 7.00

ISSN 1411-0393

PERHITUNGAN REGRESI LINIER BERGANDA DENGAN METODE LEAST SQUARE DAN ELIMINASI GAUSS DALAM PEMROGRAMAN PASCAL 7.00 Yudha Herlambang*)

ABSTRAK Dalam suatu permasalahan yang kita amati tidak jarang antara variabel yang diteliti dengan faktor-faktor yang mempengaruhinya terdapat hubungan saling keterkaitan. Hubungan antara variabel yang diamati dengan faktor-faktor yang mempengaruhinya seringkali dinyatakan dalam bentuk persamaan regressi. Hanya saja tingkat sampai sejauh mana hubungan antara variabel yang diamati dengan faktor-faktor yang mempengaruhinya tadi lebih mudah dinyatakan dalam bentuk persamaan regressi linier. Karena hal-hal yang mempengaruhi terhadap suatu variabel yang diteliti terdiri dari banyak fakor, maka seringkali kita nyatakan dalam bentuk persamaan regressi linier berganda atau multiple regression. Tulisan ini mengemukakan suatu program komputer dalam bahasa Pemrograman Pascal untuk mencari nilai-nilai parameter regressi linier berganda, bila variabel bebas yang mempengaruhi terhadap variabel terikat adalah lebih dari satu, sehingga membentuk persamaan regressi linier multiple. Program komputer yang dirancang di sinis akan diuji validitasnya terhadap software aplikasi statistik yang lain yang telah menjadi standar pemakaian, misalkan Microstat atau Minitab, sehingga bila diberikan input nilai variabel dari permasalahan yang sama dan nantinya dapat diperoleh hasil pemrosesan yang sama atau mendekati sama.

1. PENDAHULUAN Regressi linier dan non linier untuk pengamatan yang terdiri atas dua variabel telah dibahas dalam bagian-bagian yang lalu. Namun dalam kenyataan di lapangan, tampak bahwa pengamatan seringkali terdiri atas lebih dari dua variabel. Misalnya harga beras tidak saja hanya ditentukan oleh faktor adanya persediaan beras, tetapi juga oleh faktorlain misalkan harga bensin, upah buruh, dan sebagainya. Demikian juga misalkan produksi telur ayam tidak saja tergantung banyaknya ayam petelur yang ada, namun juga banyak ma*)

Yudha Herlambang, SE,ST., adalah dosen Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi Indonesia (STIESIA) Surabaya.



196

Ekuitas Vol.3 No.4 Desember 1999 : 196-213

kanan atau tingkat kualitas makanan ternak yang diberikan dan barangkali masih ada faktor lainnya. Sehingga dengan demikian, umumnya kita sekarang akan berhadapan dengan hasil pengamatan variabel Y yang terjadi karena “pengaruh“ k buah variabel-variabel bebas X1,X2,.................,Xk. Salah satu hal yang dapat dilakukan adalah menentukan hubungan antara antara variabel terikat yang diamati (Y) terhadap faktor-faktor yang mempengaruhinya berupa variabel-variabel bebas (X1, X2, X3,.....Xk), yang dinyatakan dalam bentuk garis linier Y atas X1, X2,.......,Xk. Maka persamaan umum untuk regressi linier multiple ini adalah : Y = a0 +a1X1 + a2X2 + a3X3+........................akXk Di mana a0, a1, a2,........ak harus ditentukan dari data hasil observasi. Maka tampak bahwa bahwa model regressi multiple di atas adalah merupakan perluasan dari model regresi linier yang telah dibahas pada tulisan lalu. Untuk menentukan nilai parameter a0, a1, a2, a3, dan seterusnya, dapat dipergunakan metode least squares (kuadrat terkecil). Bila ditemui kasus yang melibatkan 1 variabel terikat dan 2 variabel bebas, maka model yang akan diregressikan adalah sebagai berikut : Y = a1X1 + a2X2 + a2X3, sehingga: F = Y-a0-a1X1-a2X2, syarat metode least squares 

dF  0 , maka dapat disusun da0

persamaan :

0  2  (Y  a 0  a1X 1  a 2 X 2)  (1) 0  2  (Y  a 0  a1X 1  a 2 X 2) 2  Y  2  a 0  2a1  X 1  2a 2  X 2  Y  a 0n  a1  X 1  a 2  X 2 dF Kemudian syarat selanjutnya :   0 , akan menjadikan penurunan persamaan da1 berikut:

0  2  (Y  a 0  a1X 1  a 2 X 2)  ( X 1). 0  2  X 1Y  2a 0  X 1  2a1  X 1X 1  2a 2  X 1X 2 2  XiY  2a 0  X 1  2a1  X 1X 1  2a 2  X 1X 2  X 1Y  a 0  X 1  a1  X 1X 1  a 2  X 1X 2 dF Terakhir adalah syarat :   0 , yang menjadikan penurunan persamaan berikut: da2 0  2  (Y  a 0  a1X 1  a 2 X 2)  ( X 2). 0  2  X 2Y  2a 0  X 2  2a1  X 1X 2  2a 2  X 2 X 2 2  X 2Y  2a 0  X 2  2a1  X 1X 2  2a 2  X 2 X 2  X 2Y  a 0  X 2  a1  X 1X 2  a 2  X 2 X 2



Perhitungan Regresi Linier Berganda (Yudha Herlambang)

197

Maka dengan demikian terbentuklah 3 persamaan linier simultan sebagai berikut :

 Y  a 0n  a1  X 1  a 2  X 2  X 1Y  a 0  X 1  a1  X 1X 1  a 2  X 1X 2  X 2Y  a 0  X 2  a1  X 1X 2  a 2  X 2 X 2

Tiga persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks koefisient (A) & matriks konstanta (B) sebagai berikut :

 X1  X2   n   X 1  X 1X 1  X 1X 2   A    X 2  X 1 X 2  X 2 X 3

 Y    X 1Y  = B    X 2Y 

Selanjutnya bila terdapat kasus dengan 3 variabel bebas dan 1 variabel terikat, maka terdapat 4 penurunan persamaan linier simultan yaitu dengan model regressi sebagai berikut : Y = a0 + a1X1 + a2X2 + a3X3, sehingga : F = Y-a0-a1X1-a2X2-a3X3, syarat metode least squares 

dF  0 , maka dapat disusun da0

0  2  (Y  a 0  a1X 1  a 2 X 2  a 3X 3)  (1) 0  2  (Y  a 0  a1X 1  a 2 X 2  a 3X 3) 2  Y  2  a 0  2a1  X 1  2a 2  X 2  2a 3  X 3  Y  a 0n  a1  X 1  a 2  X 2  a 3  X 3 dF Kemudian syarat selanjutnya   0 , akan menjadikan penurunan persamaan : da1 0  2  (Y  a 0  a1X 1  a 2 X 2  a 3X 3)  ( X 1). 0  2  X 1Y  2a 0  X 1  2a1  X 1X 1  2a 2  X 1X 2  2a 3  X 1X 3 2  XiY  2a 0  X 1  2a1  X 1X 1  2a 2  X 1X 2  2a 3  X 1X 3  X 1Y  a 0  X 1  a1  X 1X 1  a 2  X 1X 2  a 3  X 1X 3 dF Kemudian adalah syarat :   0 , yang menjadikan penurunan persamaan : da2 0  2  (Y  a 0  a1X 1  a 2 X 2  a 3X 3)  ( X 2). 0  2  X 2Y  2a 0  X 2  2a1  X 1X 2  2a 2  X 2 X 2  2a 3  X 2 X 3 2  X 2Y  2a 0  X 2  2a1  X 1X 2  2a 2  X 2 X 2  2a 3  X 2 X 3  X 2Y  a 0  X 2  a1  X 1X 2  a 2  X 2 X 2  a 3  X 2 X 3



198


dF  0 , yang menjadikan penurunan persamaan : da3 0  2  (Y  a 0  a1X 1  a 2 X 2  a 3X 3)  ( X 3).

Yang terakhir adalah syarat: 

0  2  X 3Y  2a 0  X 3  2a1  X 1X 3  2a 2  X 2 X 3  2a 3  X 3X 3 2  X 3Y  2a 0  X 3  2a1  X 1X 3  2a 2  X 2 X 3  2a 3  X 3X 3  X 3Y  a 0  X 3  a1  X 1X 3  a 2  X 2 X 3  a 3  X 3X 3 Sehingga dengan demikian terbentuklah 4 persamaan linier simultan sebagai berikut :

 Y  a 0n  a1  X 1  a 2  X 2  a 3  X 3

 X 1Y  a 0  X 1  a1  X 1X 1  a 2  X 1X 2  a 3  X 1X 3  X 2Y  a 0  X 2  a1  X 2 X 1  a 2  X 2 X 2  a 3  X 2 X 3  X 3Y  a 0  X 3  a1  X 1X 3  a 2  X 2 X 3  a 3  X 3X 3 Empat persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks koefisien (A) dan matriks konstanta (B) sebagai berikut :

 X1  X2  X3   n   X 1  X 1X 1  X 1X 2  X 1X 3  A  X 2  X 2 X 1  X 2 X 2  X 2 X 3     X 3  X 3 X 1  X 3 X 2  X 3 X 3

 Y    X 1Y   B=   X 2Y      X 3Y 

Dalam struktur pemrograman dalam bahasa Pascal yang dirancang oleh penulis, bentuk persamaan-persamaan linier simultan di atas akan diinputkan dalam bentuk matriks A dan matriks B 2. KASUS DAN PERMASALAHAN Dalam setiap kasus berikut, penulis akan menyelesaikan dengan memakai software aplikasi statistik yang sudah biasa dipakai secara umum, yaitu : Minitab, SPSS for Windows, dan Microstat, serta dengan memakai cara manual yang mempergunakan pendekatan metode Eliminasi Gauss. Dari hasil simulasi software tersebut akan dibandingkan dengan hasil output dari listing program yang telah disusun penulis. Bila diperoleh hasil pemrosesan data yang sama atau mendekati sama, maka dikatakan program yang disusun penulis adalah terjamin validitasnya. Akan dicari persamaan regressi linier multipel yang mencerminkan hubungan antara Jumlah Omzet Sales / Penjualan alat berat [dalam U$$] atau variabel terikat (Y) terhadap faktor-faktor yang mempengaruhinya antara lain var bebas : X1 = lama pengalaman sales engineer (bln) dan X2 = Tingkat Penilaian Intelligence Quotient (IQ) dan logika dari calon sales engineer saat test Recruitment.




199

Tabel 1 Hasil Penjualan terhadap Lama Pengalaman Sales Engineer dan Tingkat Kecerdasannya No. Sales Engineer

Lama Pengalaman Sales Engineer (X1)

Hasil Test Kecerdasan & Logika Calon Sales Engineer

Hasil Omzet Penjualan (Y)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

34 38 45 39 30 37 27 38 39 32 40 44 33 35

12 14 17 14 15 20 19 22 18 17 15 23 14 18

18.4 20.1 22.7 19.6 21.8 23 19.8 25.7 28.4 29.1 31 36.9 27.8 29.7

Bila persoalan di atas kita selesaikan dengan memakai pendekatan metode least square, maka kita tabulasikan dengan bantuan spreadsheet Lotus for Window atau Excell, akan menjadi : Tabel 2 Tabulasi Data untuk 2 variabel bebas N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Total

X1 34 38 45 39 30 37 27 38 39 32 40 44 33 35 511

X2 12 14 17 14 15 20 19 22 18 17 15 23 14 18 238

Y 18.4 20.1 22.7 19.6 21.8 23 19.8 25.7 28.4 29.1 31 36.9 27.8 29.7 354

X1 kuadrat 1156 1444 2025 1521 900 1369 729 1444 1521 1024 1600 1936 1089 1225 18.983

X2 kuadrat 144 196 289 196 225 400 361 484 324 289 225 529 196 324 4.182

X1.X2 408 532 765 546 450 740 513 836 702 544 600 1012 462 630 8.740

X1.Y 625.6 763.8 1021.5 764.4 654 851 534.6 976.6 1107.6 931.2 1240 1623.6 917.4 1039.5 13.050,8

X2.Y 220.8 281.4 385.9 274.4 327 460 376.2 565.4 511.2 494.7 465 848.7 389.2 534.6 6.134,5



200


Dari hasil tabulasi di atas, bila diterapkan pada persamaan linier simultan untuk 2 variabel bebas seperti pada persaman hal 3 di atas, adalah sebagai berikut: 14a0 + 511a1 + 238a2 = 354 511a0 + 18.983a1 + 8740a2 = 13.050 238a0 + 8740a1 + 4.182a2 = 6.134

(a) (b) (c)

Maka dengan demikian bila deretan persamaan tersebut diatas diselesaikan dengan metode Eliminasi Gauss secara manual, akan diperoleh prosedur-prosedur berikut : a. Persamaan (b) dinormalkan dengan membaginya terhadap 511, akan menjadi : a0 + 37,148 a1 + 17,1 a2 = 25,538 (d) b. Persamaan (d) di atas dikalikan dengan 14, akan menjadi : 14a0 + 520.072 a1 + 239,4 a2 = 357,532. (e) c. Langkah selanjutnya adalah mengurangkan persamaan (a) dengan (e), menjadi : -9,072a1-1,4a2 =-3,532. (f) d. Sekarang persamaan (c) dinormalkan dengan membaginya terhadap 238, akan menjadi : a0 + 36,722a1 + 17,571428 a2 = 25,7731 (g) e. Persamaan (g) di atas dikalikan dengan 14, akan menjadi : 14 a0 + 514,108 + 245,98 a2 = 360,8234 (h) e. Persamaan (a) dikurangi persamaan (h), menjadi persamaan berikut : -3,108 a1-7,98 a2 =-6,8234. (i) f. Dengan mensubstitusi persamaan (f) ke dalam (I), maka diperoleh hasil a1 dan a2 berikut : a1 = 0,27382 dan a2 = 0,7485 g. Dari hasil a1 dan a2 di atas, kita dapat memperoleh parameter a0 = 2,566 Sehingga dari hasil perhitungan manual dengan metode Eliminasi Gauss secara manual ini akan diperoleh persamaan regressi linier berganda untuk kasus diatas : Y = 2,566 + 0.27382X1 + 0,7485 X2 Bila kasus di atas diselesaikan dengan menggunakan bantuan software Microstat, diperoleh hasil pemrosesan / output sebagai berikut : DEPENDENT VARIABLE : Y VAR. REGRESSION COEFFICIENT STD.ERROR T(DF=11) PROB PARTIAL r^2 X1 0,2715 0,2735 0,993 0,34224 0,0822 X2 0,7508 0,4271 1,758 0,10649 0,2193 CONSTANT 2,6117 Maka hal ini berarti persamaan regressinya adalah : Y= 2,6117 + 0,2715 x1 + 0,7508 x2 Sekarang bila kasus di atas diselesaikan dengan menggunakan bantuan software Minitab maka akan diperoleh hasil pemrosesan / output sebagai berikut : The Regression Equation is : Y= 2,6 + 0,272 x1 + 0,751 x2 


201

Predictor Constant x1 x2

Coef 2,61 0,2715 0,7508

Stdev 10,86 0,2735 0,4271

t-ratio 0,24 0,99 1,76

p 0,814 0,342 0,106

Dan bila kasus di atas diselesaikan dengan bantuan software SPSS for Windows, akan diperoleh hasil sebagai berikut : * * * MULTIPLE REGRESSION * * * ----------------------------------------Variables in the Equation-------------------------------------Variable B SE B Beta T Sig T VAR00001 0.271515 0.273540 0.254080 0.993 0.3422 VAR00002 0.750807 0.427064 0.450020 1.758 0.1065 (Constant) 2.611701 10.856682 0.241 0.8143 Yang berarti menurut Software SPSS tsb, persamaan regressi mulitiple yg dicari adalah: Y = 2.611701 + 0.271515 X1 + 0.750807 X2

3. PENYELESAIAN DENGAN SOFTWARE MATLAB 3.00 ( Software multiguna untuk kasus matematik , ekonomi , statistik dan engineering ) >> menginputkan matrik A >> A=[ 14 511 238; 511 18983 8740 ; 238 8740 4182 ] >> menginputkan matrik B >> B=[ 354 ; 13050 ; 6134] >> PARAMETER = A \ B >> PARAMETER = 2.7324 , 0.2696 , 0.7479 >> PARAMETER = inv(A)*B >> PARAMETER = 2.7324 , 0.2696 , 0.7479 Maka hal ini berarti persamaan regressinya adalah : Y=2.7324 + 0.2696 X1 + 0.7479 X2 Dan bila kasus di atas diselesaikan dengan program Pascal yang disusun penulis yang listingnya tampak pada bagian berikut ini : { GAUSS ELIMINATION } { PROGRAMMED BY YUDHA HERLAMBANG } uses crt; type matrix=array [1..10,1..10] of real; var matrix1,matrix2 : matrix; A : array [1..10,1..10] of real; B,X : array [1..10] of real; jawab : char; 

202


normal,subs : real; i,j,k,n,t : integer; Begin repeat clrscr; repeat gotoxy(2,2);write('Ordo matriks A (nxn) = '); {$I-} readln(n); {$I+} until((ioresult=0)and(n<=10)and(n>0)); gotoxy (2,3); write ('matrix A: '); for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do begin repeat {$I-} gotoxy(j*5,4+i);readln(A[i,j]); {$I+} until ioresult=0; end; end; gotoxy(2*j+50,3);write('matriks B: '); for i:=1 to n do begin repeat {$I-} gotoxy(j*3+50,4+i);readln(B[i]); {$I+} until ioresult=0; end; for i:=1 to n-1 do for k:=i+1 to n do begin normal:=A[k,i]/A[i,i]; for j:=i+1 to n do A[k,j]:=A[k,j]-normal*A[i,j]; 


203

B[k]:=B[k]-normal*B[i]; A[k,i]:= 0; end; for i:=n downto 1 do begin subs:=b[i]; for j:=i+1 to n do subs:=subs-A[i,j]*X[j]; X[i]:=subs/A[i,i]; end; for i:=1 to n do begin gotoxy(32,14+i);writeln('a(',i-1:4,') = ',X[i]:19:14); end; writeln; repeat write('Ulangi lagi ?: ');readln(jawab); until jawab in['Y','y','T','t']; Until jawab in['T','t']; end. Apabila program di atas dijalankan dengan menekan tombol ALT-RUN akan diperoleh hasil pemrosesan sebagai berikut : Ordo matrix A (nxn) = 3 14 511 511 18.983 238 8.740

238 8.740 4.182

matrix B : 354 13.050,8 6.134,5

Coefficient Regression a(0)= 2,61170127600 Coefficient Regression a(1)= 0,27151507982 Coefficient Regression a(2)= 0,75080662330 Ulangi lagi < Ya/ Tidak>?: Penjelasan :

Hal ini berarti persamaan regressinya : Y = 2.61170127600 + 0.27151507982 X1 + 0.75080662330 X2 matrik A dan matrik B di atas diisi terlebih dahulu berdasarkan hasil tabulasi.



204


Tabel 3 Perbandingan hasil koefisien persamaan regressi berganda untuk kasus A dengan berbagai macam software aplikasi Software yang dipergunakan Cara Manual ( Eliminasi Gauss ) Microstat Minitab SPSS for Windows Matlab ver 3.00 Listing Program Pascal Buatan Penulis

Konstanta

Variabel X1

Variabel X2

2.566

0.27382

0.7485

2.6117 2.6 2.611701 2.7324 2.61170127600

0.2715 0.272 0.271515 0.2696 0.27151507982

0.7508 0.751 0.750807 0.7479 0.75080662330

Tampak bahwa dari berbagai pemecahan di atas, baik dari cara manual, dengan soft-ware aplikasi Statistik, maupun dengan memakai program buatan penulis di atas adalah menghasilkan output yang hampir sama untuk kasus yang sama, atau dengan kata program di atas menghasilkan persamaan regressi yang tidak jauh berbeda nilainya dengan bila kita memakai cara manual atau software statistik yang lain, maka dikatakan program yang telah disusun penulis di atas adalah teruji validitasnya. Dan sekarang akan diadakan pengujian validitas untuk kasus yang melibatkan variabel bebas yang lebih banyak (3 variabel bebas) yaitu pada permasalahan sebagai berikut : Sekarang akan dicari persamaan regressi linier multiple yang mencerminkan hubungan antara Prestasi Hasil Omzet Penjualan (Y) terhadap Lama Pengalaman Sales Engineer (X1), Hasil Penilaian Kecerdasaan dan Logika Calon Sales Engineer (X2), serta Kemampuan Komunikatif (Personal Approach) dari Sales Engineer (X3), dengan data tabulasi pada halaman berikut.




205

Tabel 4 Tabel Prestasi Hasil Omzet Penjualan, Lama Pengalaman, Hasil Penilaian Kecerdasaan dan Logika, serta Kemampuan Komunikatif (Personal Approach) dari Sales Engineer No Sales

Lama Pengalaman (Bulan) [X1] 34 38 45 39 30 37 27 38 39 32 40 44 33 35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Hasil Penilaian Kecerdasaan & Logika [X2] 12 14 17 14 15 20 19 22 18 17 15 23 14 18

Kemampuan Komunikatif (Personal Approach) [X3] 14 15 19 98 78 59 65 28 49 39 34 43 13 69

Hasil Omzet Penjualan (Y) 18.4 20.1 22.7 19.6 21.8 23 19.8 25.7 28.4 29.1 31 36.9 27.8 29.7

Bila persoalan di atas kita selesaikan dengan memakai pendekatan metode least square, maka kita tabulasikan dulu dengan bantuan spreadsheet Lotus for Window atau Excell, akan menjadi : Tabel 5 Tabulasi Data Untuk 3 Variabel Terikat X1 34 38 45 39 30 37 27 38 39 32 40 44 33 35

X2 12 14 17 14 15 20 19 22 18 17 15 23 14 18

X3 14 15 19 98 78 59 65 28 49 39 34 43 13 69

Y 18 20 22 19 21 23 19 25 28 29 31 36 27 29

X1Y 625 763 1021 764 654 851 534 976 1107 931 1240 1623 917 1039

X2Y 220 281 385 274 327 460 376 565 511 494 465 848 389 534

X3Y 257 301 431 1920 1700 1357 1287 719 1391 1134 1054 1586 361 2049

X1X2

X2X3 168 210 323 1372 1170 1180 1235 616 882 663 510 989 182 1242

X1X1 1156 1444 2025 1521 900 1369 729 1444 1521 1024 1600 1936 1089 1225

X2X2

X3X3

144 196 289 196 225 400 361 484 324 289 225 529 196 324

196

462 630

X1X3 476 570 855 3824 2340 2183 1755 1064 1911 1248 1360 1892 429 2415

511

238

623

354

13050

613

15553

8740

22320

10742

18983

4182

408 532 765 546 450 740 513 836 702 544 600 1012

225 361 9604 6084 3481 4225 784 2401 1521 1156 1849 169 4761 36817



206


Bila kasus di atas diselesaikan dengan menggunakan bantuan software Microstat, diperoleh hasil pemrosesan / output sebagai berikut : DEPENDENT VARIABLE : Y VAR. REGRESSION COEFFICIENT STD.ERROR T(DF=11) PROB PARTIAL r^2 X1 0,2341 0,2967 0,789 0,44842 0,0586 X2 0,7924 0,4536 1,747 0,11124 0,2338 X3 -0,0243 0.0554 -0,440 0,66948 0,0190 CONSTANT 4,3547 Maka hal ini berarti persamaan regressinya adalah : Y= 4,3547 + 0,2341 X1 + 0,7924 X2-0,0243X3. Sekarang bila kasus di atas diselesaikan dengan menggunakan bantuan software Minitab maka akan diperoleh hasil pemrosesan / output sebagai berikut : Predictor Constant x1 x2 x3

Coef 4,351 0,2341 0,7924 -0,02434

Stdev 11,95 0,2967 0,4536 0.05536

t-ratio 0,36 0,79 1,75 -0,44

p 0,723 0,448 0,111 0,669

Hal ini berarti mempunyai persamaan regressi multipel : Y = 4,351 + 0,2341 X1 +0, 7924 X2-0,02434 X3. Dan bila kasus di atas diselesaikan dengan bantuan software SPSS for Windows, akan diperoleh hasil sebagai berikut : * * * MULTIPLE REGRESSION * * * ----------------------------------------Variables in the Equation----------------------------------Variable B SE B Beta T Sig T VAR00001 0.234053 0.296652 0.219023 0.789 0.4484 VAR00002 0.792435 0.453627 0.474971 1.747 0.1112 VAR0004 -0.024344 0.055360 -0.119314 -0.440 0.6695 (Constant) 4.354690 11.954303 0.364 0.7232 Hasil ini berarti menurut Software SPSS tsb, persamaan regressi mulitiple yg dicari adalah : Y = 4.354690 + 0,234053 X1 + 0,792435 X2-0,024344 X3 Sedangkan bila kasus 3 tersebut di atas dikerjakan dengan cara manual yang memakai metode least squares dan Eliminasi Gauss, maka berdasar hasil tabulasi tabel 2 di atas, adalah sebagai berikut :




207

14a0 + 511a1 + 238a2 + 623 a3 = 354 511a0 + 18.983a1 + 8740a2 + 22.320 a3 = 13.050 238a0 + 8740a1 + 4.182a2 + 10.742 a3 = 6.134,5 623a0 + 22.320a1 + 10.742 a2 + 36.817 a3 = 15.553,1

(a) (b) (c) (d)

a. Persamaan (b) dinormalkan dengan membaginya terhadap 511 dan mengalikannya dengan 14, sehingga persamaan (b) akan menjadi : 14a0 + 520,0821918a1 + 239,4520548 a2 + 611,506849 a3 = 357,5561644 (e) c. Langkah selanjutnya adalah mengurangkan persamaan (a) dengan (e), menjadi : -9,0821918a1-1,45205448 a2 + 11,4931507a3 =-3,555161437 (f) d. Sekarang persamaan (c) dinormalkan dengan membaginya terhadap 238, dan mengalikannya dengan 14, sehingga persamaan (c) akan menjadi : 14a0 + 514,1176471a1 + 246 a2 +631,8823529a3 = 360,8529412 (g) e. Persamaan (a) dikurangi persamaan (g), menjadi persamaan berikut : -3,1176471 a1-8 a2-8,8823529 a3 =-6,8529412 (h) d. Sekarang persamaan (d) dinormalkan dengan membaginya terhadap 623, dan mengalikannya dengan 14, sehingga persamaan (d) akan menjadi : 14a0 + 501,5730337a1 + 241,3932584 a2 + 827,3483146a3 = 349,5078652 (i) e. Persamaan (a) dikurangi persamaan (i), menjadi persamaan berikut : 9,4269663 a1-3,3932584 a2-204,348314 a3 = 4,4921348 (j) f. Persamaan (h) dinormalkan dengan membaginya thdp-3,1176471 dan mengalikannya dengan-9, 0821918, maka akan menjadi persamaan berikut : -9,0821918a1-23,30524657 a2-25,87567806 a3 =-19,96368555 (k) g.Persamaan (j) dinormalkan dengan membaginya thdp 9,4269663 dan mengalikannya dengan-9,0821918, maka akan diperoleh persamaan baru sebagai berikut : -9,0821918a1 + 3,269156018 a2 + 196,8746384a3 =-4,327842972 (l) h. Persamaan (f) dikurangi dengan persamaan (k), akan diperoleh persamaan berikut : 21, 85319177 a2 + 37,36882876 a3 = 16,41207118 (m) i. Persamaan (f) dikurangi persamaan (L), akan diperoleh persamaan berikut : -4,721210818 a2-185,381487a3 = 0,776228602 (n) j. Persamaan (n) dibagi dengan-4,721210818 dan dikalikan dengan 21,85319177, akan menjadi: 21,85319177a2 + 858,0801259 a3 =-3, 592949595 (0) k. Persamaan (m) dikurangi persamaan (o) diperoleh persamaan berikut : -820, 711297 a3 = 20, 00502078.========> a3 =-0,024375222 Dengan demikian, paramater-parameter yang lain dapat dicari dengan mudah, yaitu : a2 = 0, 79269632 a1 = 0,23346826 a0 = 4,372982729



208


Sehingga dari hasil perhitungan manual dengan metode Eliminasi Gauss ini diperoleh persamaan regressi linier berganda untuk kasus diatas : Y = 4,372982729 + 0,23346826 X1 + 0,79269632 X2-0,024375222 X3

4. PENYELESAIAN DENGAN SOFTWARE MATLAB 3.00 >> menginputkan matrik C >> A=[ 14 511 238 623 ; 511 18983 8740 22320 ; 238 8740 4182 10742 ; 623 22320 10742 36817 ] >> menginputkan matrik D >> B=[ 354 ; 13050 ; 6134 ; 15553,1 ] >> PARAMETER = C \ D >> PARAMETER = 4.4423 , 0.2312 , 0.7917 ,-0.0245. >> PARAMETER = inv(A)*B >> PARAMETER = 4.4423 , 0.2312 , 0.7937 ,-0.0245. Maka hal ini berarti persamaan regressinya adalah : Y= 4.4423 + 0.2312 X1 + 0.7917 X2-0.0245 X3. Dan bila kasus 3 tersebut di atas diselesaikan dengan program Pascal yang telah dibuat di muka, dengan menekan tombol ALT + RUN akan tampak hasil pemrosesan data sbb.: Ordo matrix A (nxn) = 4 14 511 511 18.983 238 8.740 623 22.320

238 8.740 4.182 10.742

623 22.320 10.742 36.817

matrix B : 354 13.050,8 6.134,5 15.553,1

Coefficient Regression a (0) = 4.35468971900 Coefficient Regression a (1) = 0.23405322201 Coefficient Regression a (2) = 0.79243474876 Coefficient Regression a (3) =-0.02434401720 Ulangi lagi < Ya/ Tidak>?:T Dengan demikian, tampak bahwa persamaan regessi linier multipel menurut hasil pemrosesan dari program buatan penulis tersebut adalah : Y = 4.35468971900 + 0.2340532201 X1 + 0.79243474876 X2-0.02434401720 X3




209

Tabel 6 Perbandingan hasil koefisien persamaan regressi berganda untuk kasus A dengan berbagai macam software aplikasi Software yang dipergunakan Cara Manual ( Eliminasi Gauss ) Microstat Minitab SPSS for Windows Matlab ver 3.00 Listing Program Pascal Buatan Penulis

Konstanta 4.372982729

Variabel X1 0.23346826

Variabel X2 0.79269632

Variabel X3 -0.024375222

4.3547 4,351 4.354690 4.4423 4.354689719

0.2341 0.2341 0.23405 0.2312 0.23405322

0.7924 0.7924 0.792435 0.7917 0.79243474

-0.0243 -0.02434 - 0,024344 - 0.0245 -0.0243440172

Karena program ini dirancang untuk mencari persamaan regressi linier berganda, maka sebenarnya program ini adalah kelanjutan dari program terdahulu, sehingga dapat dikatakan bahwa program ini dapat pula untuk mencari persamaan regressi linier tunggal dengan 1 variabel bebas (X) dan 1 variabel terikat (Y), dengan prosedur yang sama dengan pemecahan 2 kasus di atas tadi. Dan program ini memang sudah dirancang untuk dapat menyelesaikan hingga 9 variabel bebas (X1 s/d X9) dan 1 variabel terikat (Y). 5. PENJELASAN LISTING PROGRAM Baris 1-2. 4 5 6 7 8 9 10 11-19

Penjelasan Statement (Perintah) Hanya Judul & Keterangan Pencipta Program (tidak diproses / unprocessed) dlm perhitungan Matrik A dan B yang diisikan nanti maksimum berisi 10 kolom dan 10 baris yg terdiri dari bilangan pecahan (decimal) dan bulat. Nantinya variabel matrix akan ada matrix 1 dan matrix 2 Matriks A maksimal berisi deretan angka 10 baris dan 10 kolom dalam bentuk bilangan pecahan dan bulat. Matrik B dan X akan berisi maksimal 10 baris dan 1 kolom membujur ke bawah nantinya Mendefinisikan bahwa variabel “ jawab” tergolong data type character (abjad/ alphabet) Sedangkan variabel “ normal “ & “ subs” tergolong type real (bilangan bulat & pecahan) Mendefiniskan variabel i,j,k,n (variabel penunjuk / penghitung baris dan kolom matriks) tergolong type integer (bil. bulat) Sederetan perintah untuk menginputkan isi matriks A (bersambung)



210


15

16-18

19

20-32 20-21

Perintah untuk menampilkan kalimat “ Orde Matriks A (nxn)” pada koordinat 2 baris dari atas pada layar monitor---> menyuruh user utk menginputkan ukuran matrik A (kolom & baris) Memerintahkan memory komputer untuk membaca dan menyimpan data yang kita isikan sehubungan dengan baris 15 (berupa jawaban kita tentang dimensi atau ukuran banyak kolom dan baris pada matriks A yg ditanyakan oleh komputer pada kita) Memerintahkan komputer untuk menolak hasil data yg kita inputkan,bila ukuran matrik di luar ukuran dimensi (lebih dari 10 kolom & baris) atau kurang dari 1 (negatif & nol) Sederetan perintah prosedur pemasukan data berupa elemen-elemen matriks A oleh user agar siap dibaca dan direkam memory komputer. Memerintahkan komputer menuliskan tulisan “ matriks A “ pada koordinat 3 baris dari atas pada layar monitor, agar user memulai prosedur pengisian elemen matriks A tersebut

22-32

Memerintahkan memory komputer membaca, menyimpan serta mengingat data berupa elemen matrik A yang diisikan oleh user, menurut baris 1 kol 1, baris 1 kol 2, baris 1 kol 3...dst, baris 2 kol 1, baris 2 kol 2, baris 3 kol 3,......dst, baris 3 kol 1, baris 3 kol 2,...........dst

33-41

Sederetan perintah prosedur pemasukan data berupa elemen-elemen matriks B oleh user agar siap dibaca dan direkam memory komputer. Memerintahkan komputer menuliskan tulisan “ matriks B “ pada koordinat 3 baris dari atas pada layar monitor, agar user memulai prosedur pengisian elemen matriks B tersebut

33

34-41

Memerintahkan memory komputer membaca, menyimpan serta mengingat data berupa elemen matrik B yang diisikan oleh user,menurut baris 1, baris 2. baris 3,baris 4.....dst, tanpa kolom. Karena memang matriks B adalah matriks kolom yang elemennya terdiri hanya 1 kolom saja

42-50

Prosedur Perhitungan Eliminasi Gauss (menormalkan persamaan, mengalikannya dengan elemen pertama, menguranginya dengan persamaan ke satu, dan seterusnya) hingga terjadi hasil parameter An, yang kita cari. Prosedur selengkapnya dpt dilihat pd sajian manual Prosedur Eliminasi Gauss hal 5, 6, & 11 Prosedur untuk mencari paramater yg lain a0, a1, a2, a3, yg kita cari, sehingga semua parameter terjawab hasilnya. Prosedur itu dilakukan dengan cara substitusi persamaan. Prosedur untuk menampilkan hasil parameter a0,a1, a2,.....a10 yg kita cari ke layar monitor Prosedur untuk menanyai user apakah ingin mengulangi perhitungan ? Perintah menuliskan pertanyaan “ Ulangi lagi “ di layar monitor. Jawaban yg kita berikan (Y atau T)disimpan dalam variabel “jawab” oleh memory komputer.

51-57

58-63 64-67 64




211

6. KETERKAITAN DENGAN ILMU EKONOMI 7. Dengan disusunnya program Regressi Linier Berganda ini sebagai alternatif lain di samping software Statistik yang sudah ada (Microstat, Minitab, SPSS for Window), maka dapat diperoleh persamaan regressi linier berganda. Dengan diperolehnya persamaan linier berganda ini, kita dapat memperkirakan/memprediksi “Response“ dari suatu variabel terikat, bila diinputkan variabel–variabel bebas yang telah diketahui. Sebagai contoh dari kasus di atas misalkan : kita dapat memprediksi omzet sales (pendapatan penjualan) untuk salesman- salesman yang lain setelah kita mendapatkan persamaan linier berganda yang memuat hubungan antara omzet (Y) sales tersebut dengan faktor-faktor yang mempengaruhinya antara lain lama pengalaman kerja seorang salesman (X1), penilaian skill dan logika saat recruitment (X2), serta kemampuan komunikatif seorang salesman yang bersangkutan (X3). Sedangkan yang disebut prediksi (forecast) memang belum tentu benar, namun dapat dipergunakan sebagai patokan atau pedoman dalam pengambilan suatu keputusan.

8. SIMPULAN Telah berhasil dirancang suatu program yang berfungsi untuk melakukan regressi linier multiple dari sekumpulan data yang mengandung variabel terikat dan beberapa variabel/faktor lain yang mempengaruhinya. Terhadap program tersebut telah dilakukan pengujian validitas dengan cara membandingkan hasil pemrosesan berupa parameterparamater regressi linier berganda, dengan parameter- parameter serupa yang telah diperoleh dari cara manual ataupun memakai software-software standard untuk aplikasi Statistik Ekonomi yang lain. Ternyata dari contoh kasus yang diberikan, diperoleh hasil output (parameter) yang mendekati sama antara hasil pemrosesan yang diperoleh dari program buatan penulis dengan hasil yang diperoleh dari cara manual atau Software Statistik yg lain (Microstat, Minitab, SPSS for Window) sebagai pembandingnya. Sehingga dapat dikatakan bahwa validitas program telah diuji terhadap kasus yang sama. Dengan selesainya program yang disusun penulis ini, maka diharapkan dapat membantu dalam memecahkan persoalan – persoalan untuk mencari persamaan regressi linier berganda. (multiple). Kelebihan yang didapat dari program ini adalah kita dapat “mensetting “ (mengubah) supaya dapat menampilkan hasil pengolahan data yang kita inginkan. Misalkan kita menginginkan hasil yang mengandung beberapa digit di belakang koma, dengan maksud memperoleh tingkat ketelitian tertentu sesuai kehendak kita. Di samping itu kita dapat “mensetting“ (mengubah) program tersebut untuk masukan yang lebih dari 10 variabel bebas, yang selanjutnya secara otomatis akan mengubah dimensi/ ukuran matriks A dan B nya.



212


9. DAFTAR PUSTAKA Bambang Trihatmodjo, Dr, Ir, DEA, Metode Numerik, Balai Pustaka Jakarta 1998 Jogiyanto, Turbo Pascal, Andi Offset Yogyakarta, 1988 Sudjana, Dr, MA, MS, Statistik untuk Ekonomi dan Niaga, Tarsito Bandung 1982 Rudy Badrudin, Bambang Kustituanto, Statistik Ekonomi, Penerbit STIE YKPN, Yogyakarta, 1995 




213

PERHITUNGAN REGRESI LINIER BERGANDA DENGAN METODE LEAST SQUARE DAN ELIMINASI GAUSS DALAM PEMROGRAMAN PASCAL 7.00

Recommend Documents