ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DENGAN HETEROSKEDASTISITAS MELALUI PENDEKATAN WEIGHT LEAST SQUARE (Studi Kasus Data APBN Tahun 1976-2007)
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Oleh Lina Suli Farida 104094003029
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2010 M / 1431 H
i
PENGESAHAN UJIAN Skripsi berjudul “ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DENGAN HETEROSKEDASTISITAS MELALUI PENDEKATAN WEIGHT LEAST SQUARE (Studi Kasus Data APBN Tahun 1976-2007)” yang ditulis oleh Lina Suli Farida, NIM 104094003029 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada tanggal 31 Agustus 2010, skripsi ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana strata satu (S1) Program Matematika. Menyetujui :
Penguji 1,
Penguji 2,
Taufik Edy Susanto, Msc. Tech NIP. 19740623 199312 1 001
Gustina Elfiyanti, Msi NIP. 19740125 200312 2 001
Pembimbing 1,
Pembimbing 2,
Hermawan Setiawan, M.Kom NIP. 19740623 199312 2 001
Nur Inayah, M.Si NIP. 19740125 200312 2 001
Mengetahui :
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,
Ketua Program Studi Matematika,
Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M. Sis NIP. 19680117 200112 1 001
Yanne Irene, M.Si NIP. 19741231 200501 2 018
ii
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENARBENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, Agustus 2010
Lina Suli Farida 104094003029
iii
PERSEMBAHAN Sebuah persembahan kecil, semoga menjadi arti yang besar teruntuk Kedua orang tuaku, Idolaku Mama dan Bapak tercinta, yang tak henti-hentinya berdoa dan memberikan kasih sayang dan cinta yang terus mengalir bagai darah dalam tubuhku ini, kakakku beserta suami, dan teman special yang slalu ada dihati , terimakasih untuk do’a, kasih sayang, dukungan dan semangat tiada henti yang membuat aku bertahan hingga sejauh ini...
MOTTO
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, Maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan) kerjakanlah dengan sungguh-sungguh urusan yang lain. Dan hanya kepada Tuhanmulah hendaknya kamu berharap.” (Q.S. Al – Insyirah : 6 – 8) Sesungguhnya Allah tidak merubah keadaan suatu Kaum sehingga mereka merubah keadaan yang ada pada diri mereka sendiri (Q.S. Ar Ra’d : 11) “Ketika Allah ingin menaikkan derajat manusia, pastilah ujian sebagai tiket berharga menuju sesuatu yang lebih baik, dan Allah tidak akan memberi ujian diluar kemampuan manusia itu sendiri.” “Kerjakanlah segala sesuatu dengan kesungguhan hati dan jangan setengahsetengah, sebelum datang rasa penyesalanmu” ”Non scholae, Sed vitae stedemus Kita belajar bukan demi nilai, tapi demi hidup” (IG, SUPRIYADI)
iv
ABSTRAK LINA SULI FARIDA, Analisis Regresi Linier Berganda dengan Heteroskedastisitas melalui pendekatan Weight Least Square (Studi Kasus Data APBN 1976-2007). Di bawah bimbingan Hermawan Setiawan, M.Kom dan Nur Inayah, M.Si.
Uang yang beredar dimasyarakat memiliki peranan penting dalam kegiatan ekonomi suatu negara. Hal ini disebabkan karena ada beberapa faktor yang dapat mempengaruhi uang beredar sehingga dapat melambungkan tingkat harga dan tingkat kegiatan ekonomi suatu negara. Pada skripsi ini, penulis akan meneliti apakah data APBN tahun 1976-2007 terdapat penyimpangan asumsi regresi linier berganda dan penggunaan model perbaikan dengan Weight Least Square. Weight Least Square adalah salah satu bentuk estimasi Least Square merupakan taksiran yang dibuat untuk mengatasi sifat heteroskedastisitas sehingga dapat mempertahankan sifat efisiensi penaksiran tanpa harus kehilangan sifat ketidakbiasan dan konsistensinya. Oleh Karen itu penulis melakukan pengujian terlebih dahulu dengan membatasinya pada uji white untuk mengetahui apakah terdapat masalah heteroskedastisitas pada data. Berdasarkan hasil pengujian dengan uji white, diperoleh bahwa data APBN tahun 1976-2007 terdapat masalah heteroskedastisitas sehingga diperlukan metode lain untuk memperbaikinya yaitu metode Weight Least Square. Setelah dilakukan perbaikan terdapat perubahan nilai yang mengakibatkan model ini menjadi lebih baik dari model sebelumnya. Kata kunci : Regresi linier berganda, Weight least square, estimasi, uji white, heteroskedastisitas.
v
ABSTRACT LINA SULI FARIDA, Analisis Regresi Linier Berganda dengan Heteroskedastisitas melalui pendekatan Weight Least Square (Studi Kasus Data APBN 1976-2007). Di bawah bimbingan Hermawan Setiawan, M.Kom dan Nur Inayah, M.Si. The Money available in society have role very important in economy activity state. That’s why from some factor to influence money in society. So that to rise price and economi activity stated. In this thesis, author will observation about data APBN on 1976-2007 can deviation asumtion multiple regression linear and application model improvement with Least Square Weight Least Square is one of estimation Least Square prediction to make for handle quality heteroskedastisity, so that to defand quality efisiensi estimation without to lose quality unbiased Weighted Least Square after done to improve change value which is result this model can better from before model. Key words: Multiple regression Liniear, Weight Least Square, estimation, Uji White and heteroskedastisity.
vi
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb. Bismillaahirrahmanirrahiim. Alhamdulillah, Segala puji bagi Allah SWT, Yang Maha Mulia, Sumber Cahaya Ilmu, yang senantiasa melimpahkan rahmatNya. Berkat anugerah dan ridhoNya, penulis dapat menyelesaikan skripsi “ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DENGAN HETEROSKEDASTISITAS MELALUI PENDEKATAN WEIGHT LEAST SQUARE (Studi Kasus Data APBN tahun 1976-2007)”. Shalawat dan salam teruntuk Baginda Nabi Muhammad saw, panutan paling hak di bumi ini, beserta keluarga dan para sahabatnya. Skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat menempuh ujian Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada: 1.
DR. Syopiansyah Jaya Putra, M. Sis, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah.
2.
Yanne Irene, M.Si. Ketua Program Studi Matematika dan Suma’inna, M.Si, Sekretaris Program Studi Matematika.
vii
3.
Hermawan, M.Si, selaku Pembimbing I yang selalu memberikan bimbingan, arahan, informasi, dan motivasi terbaik.
4.
Nur Inayah, M.Si, selaku Pembimbing II dan selaku Pembimbing akdemik yang telah memberikan bimbingan, arahan, informasi dan motivasi dalam penulisan skripsi ini.
5.
Taufik Edy Susanto, Msc. Tech selaku penguji I.
6.
Gustina Elfiyanti, Msi selaku penguji II.
7.
Mama dan Bapak tercinta, yang sudah mendampingi dan memberikan dukungan moral dan materil, serta kasih sayang, cinta, dan doa yang senantiasa tak henti-hentinya mengalir di setiap langkahku. Kakak ku Upik Lisa Damawati beserta suami terimakasih atas bantuan dan motivasinya.
8.
Aris Setiawan yang selalu menemani, mendukung, memberikan inspirasi, menghibur saat sedih, mengingatkan penulis untuk tetap semangat dan motivasi serta kasih sayang yang telah dicurahkan.
9.
Sahabat-sahabat terbaik seperjuangan selama penyusunan skripsi, Pandam beserta Mas Dwi, Kak Citra, Kak Mimi, Kak Dindin, Kak Dedi, Kak irfan serta adik-adik Matematika angkatan 2006 yang tidak bisa disebutkan satu persatu terima kasih untuk persahabatan, kasih sayang, dan dukungan kalian.
10.
Sahabat-sahabaku tersayang Nurul, Vay, Dije, Bilqis, Neneng, Siti Rohmah, Enu dan semua angkatan 2004 yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang tidak pernah bosan memberikan semangat dan doa kepada penulis.
viii
11.
Seluruh mahasiswa angkatan 2003, 2004, 2005, 2006 dan semua pihak baik secara langsung atau tidak langsung yang telah memberikan bantuan dan dukungan untuk penulis dalam penyusunan tugas akhir ini.
Pada akhirnya penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca pada umumnya maupun bagi penulis khususnya. Semoga perjuangan dan ikhtiar kita selalu diridhoi oleh Allah SWT.
Wassalaamualaikum Wr. Wb. Jakarta, Agustus 2010
Penulis
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i PENGESAHAN UJIAN ................................................................................ ii PERNYATAAN ............................................................................................. iii PERSEMBAHAN DAN MOTTO ................................................................ iv ABSTRAK
.................................................................................................. v
ABSTRACT .................................................................................................. vi KATA PENGANTAR ................................................................................... vii DAFTAR ISI .................................................................................................. x BAB I PENDAHULUAN
………………………………………………….1
1.1
Latar Belakang …………………………………………………1
1.2
Permalahan
1.3
Pembatasan Masalah …………………………………………..3
1.4
Tujuan Penulisan
…………………………………………..3
1.5
Manfaat Penulisan
…………………………………………..4
…………………………………………………..3
BAB II LANDASAN TEORI 2.1
2.2
…………………………………………..5
Model Regresi Linier …………………………………………..5 2.1.1
Model Regresi Linier Sederhana
…………………..5
2.1.2
Model Regresi Linier Berganda
…………………...6
Residual
…………………………………………………..10
x
………………………………….10
2.3
Ordinary Least Square
2.4
Koefisien Korelasi Berganda …………………………………..11
2.5
Standard Error
…………………………………………..14 …………………………..14
2.5.1
Standard Error Pendugaan
2.5.2
Standard Error Koefisien Regresi
…………………………………………………..15
2.6
Varians
2.7
Heteroskedastisitas 2.7.1
…………………..14
…………………………………………...16
Penyebab Heteroskedastisitas …………………………...
xi
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Sudah sejak lama orang merasakan bahwa uang sangat penting peranannya
untuk melancarkan kegiatan tukar-menukar dalam perekonomian. Hal ini disebabkan karena dengan adanya uang, kegiatan tukar- menukar barang akan jauh lebih mudah dibandingkan dengan kegiatan perdagangan secara barter. Peranan uang dalam ilmu ekonomi adalah : untuk melancarkan kegiatan tukar menukar, untuk menjadi satuan nilai, untuk ukuran bayaran yang ditunda, dan sebagai alat penyimpan uang. [10] Uang yang beredar di masyarakat memiliki peranan penting dalam kegiatan ekonomi suatu Negara. Hal ini disebabkan karena pengaruh dari perubahan uang yang beredar di masyarakat dapat melambungkan tingkat harga dan tingkat kegiatan perekonomian suatu negara. Oleh karena itu, pada penulisan skripsi ini penulis melakukan penelitian terhadap beberapa faktor yang dapat mempengaruhi uang yang beredar. Faktor tersebut antara lain, GDP (Gross Domestic Product), EXTAX (Export Tax), PTLL (Pajak Pertambahan nilai dan pajak tak langsung), (CPIG) Consument Price Index Gross, PTLL (Pajak tidak langsung) dan PPN (Pajak Pertambahan Nilai).
1
Penelitian ini menggunakan uji asumsi heteroskedastisitas dimana terjadi perbedaan varians dari error suatu pengamatan ke pengamatan lain. Terdapat beberapa metode untuk mendeteksi gejala heteroskedastisitas pada suatu kasus, namun pada skripsi ini penulis menggunakan uji white. Uji white ini dilakukan dengan meregresikan error kuadrat dengan variable bebas, variable bebas kuadrat dan perkalian variable bebas. Jika pada suatu kasus terjadi Heteroskedastisitas, maka dapat mengganggu model yang akan dibuat, yaitu menyebabkan estimasi yang dibuat tidak efisien. Mengingat secara statistik permasalahan tersebut dapat mengganggu model yang akan diestimasi, bahkan dapat menyesatkan kesimpulan yang diambil dari model regresi yang dibentuk maka diperlukan metode alternatife lain untuk mengatasi masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan metode Weight Least Square. Studi kasus yang diambil dalam skripsi ini adalah kasus uang yang beredar di masyarakat dan hubungannya dengan variabel-variabel dalam ekonomi makro. Terkait dengan masalah Heteroskedastisitas tersebut, maka dalam skripsi ini penulis menggunakan judul “Analisa Regresi Linier Berganda dengan kasus Heteroskedastisitas melalui pendekatan Weight Least Square (studi kasus data APBN tahun 1976-2007)”.
2
1.2
Permasalahan Pada
skripsi
ini
penulis
merumuskan
beberapa
permasalahan
penyimpangan asumsi pada regresi linier berganda adalah: 1.
Apakah terdapat penyimpangan asumsi heteroskedastisitas dalam regresi linear berganda pada data APBN tahun 1976-2007?
2.
Apakah metode Weight Least Square dapat digunakan untuk mengatasi gejala heteroskedastisitas pada data APBN 1976-2007?
1.3
Pembatasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi penyimpangan asumsi
heteroskedastisitas dengan menggunakan uji white untuk mendeteksi apakah data APBN 1976-2007 terdapat gejala heteroskdastisitas atau tidak. Dan model penaksir alternatif terhadap pelanggaran asumsi heteroskedastisitas yang digunakan dibatasi pada pendekatan Weight Least Square.
1.4
Tujuan Penulisan
1.
Mengetahui apakah terdapat penyimpangan pada asumsi linear berganda pada data APBN 1976-2007.
2.
Mengetahui bagaimana penggunaan metode Weight Least Square dalam mengatasi masalah heteroskedastisitas pada data APBN 1976-2007.
3
1.5
Manfaat Penelitian
1.
Memberikan informasi kepada pembaca dalam pembuatan model regresi apabila
terdapat
masalah
heteroskedastisitas
sebaiknya
masalah
heteroskedastisitas ini harus dihilangkan terlebih dahulu agar model yang digunakan dapat memenuhi asumsi-asumsi yang telah ditentukan. 2.
Sebagai masukan kepada pembaca, metode yang tepat untuk mengatasi masalah heteroskedastisitas adalah dengan menggunakan Weight Least Square.
4
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
Model Regresi Linier Model regresi merupakan suatu metode yang digunakan untuk
menganalisis hubungan antar variabel. Hubungan tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk persamaan yang menghubungkan variabel terikat X dengan variabel bebas Y.
2.1.1
Model Regresi Linier Sederhana Dalam perkembangannya ada dua jenis regresi yang sangat terkenal, yaitu
regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Regresi linier sederhana digunakan untuk menggambarkan hubungan antara satu peubah bebas satu peubah tak bebas
dengan
dalam bentuk persamaan linier sederhana yang dapat
dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:
Y 0 1 X1
2.1
dengan
= error
5
2.1.2
Model Regresi Linier Berganda Model regresi linier berganda merupakan perluasan dari model regresi
linear sederhana. Dengan memperluas model regresi linier dua atau tiga variabel, maka model regresi dengan variabel terikat Y dan k variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut: 2.2 dan
N
Dengan: = perpotongan = koefisien kemiringan parsial ke-i = koefisien kemiringan ke-k Model taksiran untuk persamaan (2.2) adalah 2.3 dan
N
Dengan: = taksiran dari = taksiran dari = taksiran dari = taksiran = jumlah observasi
6
Persamaan 2.3 adalah bentuk ringkas untuk sekumpulan n persamaan simultan sebagai berikut:
Y1 0 1 X 11 2 X 21
k X k1 1
Y2 0 1 X 12 2 X 22
k X k 2 2
Yn 0 1 X 1n 2 X 2 n
k X kn n
2.4a
Persamaan-persamaan 2.3 dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
2.4b
Y
=
X
dengan Y adalah vektor pengamatan berukuran
.
adalah matriks variabel bebas ukuran
.
adalah vektor parameter yang akan ditaksir berukuran adalah vektor random error berukuran
.
.
Menurut [2] penggunaan analisis regresi linear berganda tidak terlepas dari asumsi-asumsi error berikut: 1.
Asumsi
. berarti bahwa rata-rata atau nilai harapan vektor setiap
komponennya bernilai nol. Dengan adalah vektor nol. Maka
adalah vektor kolom n x 1 dan 0
= 0, berarti:
2.5
7
2.
Asumsi
merupakan suatu notasi yang mencakup 2 hal, yaitu
varian dan kovarian kesalahan pengganggu.
2.6
Dengan
adalah transpose dari vektor kolom
, dengan melakukan
perkalian sehingga diperoleh: 12 1 2 2 1 22 ' E E n1 n 2
1 n 2 n
2.7
n2
Dengan menggunakan nilai harapan
untuk tiap unsur dalam matriks
2.7 sehingga diperoleh
E 12 E 1 2 E 21 E 22 ' E E E n1 E n 2
E (1 n ) E 2 n E n2
2.8
Karena adanya asumsi tentang homoskedastisitas, yaitu bahwa setiap kesalahan pengganggu mempunyai varian yang sama
, untuk semua i
dan tidak ada korelasi serial, artinya antar kesalahan pengganggu yang satu dengan yang lainnya bebas,
.
8
=
=
.
2.9
Dengan I adalah matriks identitas berukuran Matriks 2.8 dan 2.9 disebut matrik varians-kovarians dari kesalahan pengganggu
Unsur pada diagonal utama dari matriks 2.8 memberikan varians,
dan unsur diluar diagonal utama memberikan kovarians,
berdistribusi normal
dengan mean nol dan varians konstan 2.10 Pada rumus parameter regresi parameter regresi berturut-turut dengan
dan
dalam regresi linier sederhana dan
dalam regresi linier berganda diduga secara dan
dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil biasa (Ordinary Least Square) Biasanya penduga metode Ordinary Least Square diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat error untuk masing-masing model regresi linier. Penduga yang dihasilkan oleh metode kuadrat terkecil ini diharapkan bersifat BLUE (Best Linear Unbiased Eestimator).
9
2.2
Residual Menurut [1] residual adalah selisih antara nilai pengamatan y dengan nilai
dugaannya
. Residual dinyatakan dengan
dan secara umum dapat
.
didefenisikan:
Residual juga dapat dikatakan sebagai error dari pengamatan pada model dengan data yang dipergunakan adalah populasi. Persamaannya dapat dituliskan menjadi :
2.3
.
Ordinary Least Square Menurut [2], untuk membuat penaksiran parameter regresi yang
sebenarnya dipergunakan metode kudrat terkecil biasa atau biasa disebut Ordinary Least Square yang disingkat OLS. 2.11 Yang dapat ditulis secara ringkas dalam notasi matrik sebagai berikut: 2.12 Dengan
adalah suatu vektor kolom k-unsur dari penaksir kuadrat terkecil
biasa parameter regresi dan
adalah suatu vektor kolom
dari
residual.
Untuk menaksir parameter model regresi berganda digunakan metode kuadrat terkecil biasa. Prosedur kuadrat tekecil biasa dilakukan dengan memilih nilai parameter yang tidak diketahui sehingga jumlah kuadrat kesalahan didapat sekecil mungkin, sehingga dapat dinyatakan dengan: 2.13 10
Dimana
adalah jumlah kuadrat residual (SRR). Dalam notasi matriks, karena:
ini sama dengan meminimumkan
2.14
Dari 2.12 diperoleh 2.15 Maka dari 2.12 dan 2.13 diperoleh:
=
2.16
Dengan
menggunakan
, dan sama dengan transposenya
sifat-sifat
transpose
suatu
matriks,
yaitu
adalah suatu skalar atau angka real, sehingga bentuk itu .
Persamaan 2.16 adalah penyajian secara matriks dari 2.13. Dalam notasi skalar metode kuadrat terkecil biasa tercapai dalam menaksir sehingga
sekecil mungkin. Ini dicapai dengan menurunkan persamaan 2.13
secara parsial terhadap
dan menyamakan hasil yang diperoleh
dengan nol. Proses ini menghasilkan k persamaan normal teori kuadrat terkecil, persamaan-persamaan ini adalah sebagai berikut:
11
nˆ ˆ ˆ ... ˆ X ˆ X ˆ ˆ X ... ˆ X X ˆ ˆ ˆ X ... ˆ X i
0
1
1i
2
2i
k
ki
2
1i
i
0
1i
1
1i
2
1i
2i
k
1i
ki
2
2i
i
0
2i
X
1
1i
ki
2i
2
2i
k
2i
ki
2 i ˆ0 ki ˆ1 ki 2i ˆ 2 ki X 2i ... ˆ k ki
2.17
Denganmenjumlahkan persamaan, untuk seluruh pengamatan n memberikan persamaan pertama dalam 2.17, kemudian mengalikannya dengan
pada kedua sisinya dan menjumlahkan untuk
seluruh n, maka dihasilkan persamaan kedua. Begitu juga persamaan ketiga dalam 2.17 mengalikan kedua sisinya dengan
dan menjumlahkan untuk seluruh n,
dan seterusnya. Dalam bentuk matriks, persamaan 2.17 dapat disajikan sebagai : n X 2i X 2i X ki
X X X X 1i 2 li
X
X X X X 2i
li
li
2i
ki
X 2i
ki
1
ki
2i
2 2i
X
ˆ0 1 ˆ li ki 1 X 21 ˆ 2 i ki 2 X 21 X ki2 ˆk X k1
X X X X X
X 2i
X 31 X 32 Xk2
1 Y1 X k1 Y2 X k 2 Y3 2.17 X kn Yn
X X ˆ X Y '
Dalam hal ini
'
adalah vektor kolom k unsur dari penaksir-penaksir
kuadratterkecil parameter regresi, atau secara ringkas 2.18 dapat dinyatakan dengan: 2.19
12
Persamaan 2.19 diperoleh dari menurunkan persamaan matriks 2.16 terhadap , maka diperoleh: 2.20 Kemudian samakan hasil 2.20 dengan nol, sehingga diperoleh: 2.21 Kalikan bentuk akhir persamaan matriks 2.21 kedua sisinya dengan , maka diperoleh:
2.22
Dengan X' X 1
2.4
n X 1n X kn
X X
1n 2
1n
X
1n
X kn
X X
kn 1n
X kn
X
2 kn
Koefisien Korelasi berganda Koefisien korelasi berganda mengukur keeratan hubungan antara variable
terikat (Y) dan k variable bebas
secara bersamaan. Koefisien
korelasi ini disebut juga koefisien determinasi. Analisis regresi berganda, nilai koefisiennya dapat diperoleh dengan mengakarkan nilai koefisien determinasi (
keseluruhan. Sehingga kuadrat korelasi ini disebut koefisien determinasi
yang merupakan korelasi antara variabel tidak bebas dengan taksiran Y
13
berdasarkan variabel-variabel bebas berganda. Koefisien determinasi berganda didefinisikan sebagai: 2.23
2.5
Standard Error Dalam analisis regresi, standard error ( e ) mencerminkan standard
deviasi yang mengukur variasi titik-titik diatas dan dibawah garis regresi populasi. Nilai standard error terutama dibutuhkan untuk keperluan inferensia.
2.5.1
Standard Error Pendugaan Pada analisis regresi, terdapat nilai populasi yang tidak diketahui. Pada
populasi yang tidak diketahui, maka e diduga dengan Se atau nilai standard error pendugaan. Sehingga Se adalah standard deviasi yang menggambarkan variasi titik-titik diatas dan dibawah regresi sampel. Se
(Y Yˆ )
2
n2
2.24
Dapat diketahui, semakin tinggi Se , berarti kesalahan penduga semakin tinggi.
2.5.2
Standard Error koefisien Regresi Bila diambil sampel pasangan X dan Y dari populasi, maka masing-masing
sampel mempunya kemiringan ( ) sendiri. Setiap nilai ( ˆ ) adalah penduga bagi ( ) . Kemiringan ( ) sampelnya akan bervariasi disekitar nilai ( ˆ ) , sehingga 14
perlu diketahui nilai variasinya. Ukuran nilai variasi ini dinotasikan sebagai Sb , yaitu standard error kemiringan. Nilai Sb dirumuskan dengan: Sb
2.6
Se
X ( X ) 2 / n 2
2.25
Varians Menurut [3], varians atau ragam dalam analisis regresi merupakan ukuran
dari penyebaran dari data. Misalkan, variabel acak X dengan rata-rata atau nilai harapan E X . Distribusi atau sebaran acak dari X sekitar dapat diukur dengan varian atau standard deviasi atau simpangan baku yang merupakan akar pangkat dua dari varian, yang didefinisikan sebagai berikut:
Dengan
= simpangan baku (standard deviasi).
Dalam perkembangannya, ada dua jenis varians dalam suatu model, yaitu varians heteroskedastisitas dan varians homoskedastisitas. Sebuah model dengan varians error yang bersifat Heteroskedastisitas, memiliki nilai error berdistribusi normal dengan varians tidak konstan meliputi semua pengamatan. Secara simbolik ditulis sebagai 2.26
15
Sebaliknya,
sebuah
model
dengan
varians
error
yang
bersifat
homoskedastik, memiliki nilai error berdistribusi normal dengan varians konstan meliputi semua pengamatan. Secara simbolik ditulis sebagai 2.27 Perbedaan antara Persamaan 2.26 dan 2.27 terletak pada indeks i yang melekat pada
, yang secara tidak langsung menyatakan bahwa nilai error yang
bersifat heteroskedastik berubah seiring perubahan pengamatan ke-i. Persamaan 2.26 dikatakan sebagai persamaan yang memenuhi asumsi error pada analisis regresi linier berganda. Semua pengamatan terhadap nilai error dapat dapat dianggap berasal dari distribusi yang sama, yaitu suatu distribusi yang memiliki rata-rata 0 dan varian
. Varian
tidak berubah untuk pengamatan-pangamatan
yang berbeda terhadap nilai error tersebut.
2.7
Heteroskedastisitas Menurut [5], salah satu asumsi penting dalam membuat model Regresi
berganda adalah
harus sama dengan
(konstan), atau dengan kata lain,
semua residual atau error mempunyai varians yang sama. Kondisi seperti ini disebut dengan Homoskedastisitas. Sedangkan apabila varians tidak konstan atau berubah-ubah disebut Heteroskedastisitas. Dalam kehidupan sehari-hari banyak ditemukan kasus-kasus dimana variansi
berubah-ubah. Contohnya penelitian untuk melihat pengaruh omset
terhadap laba. Perbedaan laba yang didapat antara perusahaan-perusahaan yang tergolong beromset kecil tentunya tidak akan besar. Berbeda dengan perusahaan16
perusahaan yang tergolong beromset besar, perbedaan tentu akan lebih besar. Perusahaan yang lebih efisien dan efektif, sehingga berhasil menekan biaya produksi, tentunya akan mempunyai peluang untuk mendapat laba lebih besar dibanding perusahaan yang dikelola kurang baik. Contoh lainnya adalah hubungan antara pendapatan dan menabung, atau pendapatan dengan konsumsi. Orang berpendapatan rendah, tentunya mempunyai variasi yang rendah dalam menggunakan pendapatannya untuk menabung atau konsumsi. Tetapi orang berpendapatan tinggi tentu mempunyai variasi lebih tinggi untuk menabung atau konsumsi. Orang berpendapatan tinggi yang boros tentunya akan mempunyai konsumsi tinggi, dan tabungan yang lebih rendah dibanding dengan orang yang tidak boros. Dalam praktiknya, Heteroskedastisitas banyak ditemui pada data crosssection karena pengamatan dilakukan pada individu berbeda pada saat yang sama. Akan tetapi bukan berarti Heteroskedastisitas tidak ada dalam data timeseries. Misalnya pada masalah produk suatu perusahaan. Perusahaan yang baru muncul, tentunya akan mempunyai produk yang relatif rendah pada saat-saat pengenalan produk tersebut. Jika ada indikasi masyarakat menerima produk tentu produksi akan diperbesar. Salah satu faktor yang mempengaruhi besar-kecilnya produksi adalah pesaing. Ketika produksi masih sedikit, pengaruh pesaing tentunya tidak akan membuat fluktuasi produk besar, tetapi ketika produk besar pengaruh pesaing akan sangat terasakan. Bila pesaing berhasil merebut pasar, maka produk akan berlebih sehingga produksi harus dikurangi. Faktor lain, mungkin saja produksi terpaksa dikurangi akibat kondisi perekonomian secara 17
makro sedang buruk, sehingga daya beli masyarakat merosot. Kondisi politik, sosial dan keamanan mungkin juga mempengaruhi pasar dari produksi tersebut. Untuk lebih jelasnya mengenai masalah Heteroskedastisitas pada data time series, dapat dilihat pada Gambar 1 dibawah ini. Pada gambar tersebut terlihat bahwa pada awalnya produksi tidak begitu berfluktuasi, sekalipun terjadi kenaikan dan penurunan produksi. Tetapi, sejak bulan ke-18 dimana produksi semakin membesar, ternyata fluktuasi yang terjadi juga membesar. Hal ini inilah berarti terjadi Heteroskedastisitas dalam data time-series, dimana semakin membesar bersamaan dengan meningkatnya waktu.
Gambar 1. Produksi berdasarkan waktu Sebuah model dengan varians residual yang bersifat heteroskedastik, memiliki nilai error berdistribusi normal dengan variansi tidak konstan meliputi semua pengamatan. Secara simbolik ditulis seperti persamaan 2.28.
18
Gambar 2.1 Varians error dengan sifat Homoskedastis
Gambar 2.2 Varians error dengan Heteroskedastis Untuk
membuat
perbedaan
antara
Heteroskedastisitas
dan
homoskeastisitas menjadi jelas, perhatikan contoh model dua regresi berikut ini: 2.28 Dengan Y menyatakan tabungan dan X pendapatan. Gambar 1 dan 2 menunjukkan bahwa kalau pendapatan naik secara rata-rata tabungan juga 19
meningkat, Tetapi dalam Gambar 1 varian tabungan meningkat dengan menaiknya pendapatan. Sedangkan dalam gambar 2 varian tabungan tetap sama untuk semua tingkat pendapatan. Bisa dilihat bahwa dalam gambar 1 keluarga berpendapatan tinggi secara rata-rata menabung lebih banyak daripada keluarga berpendapatan rendah, tetapi juga lebih bervariasi tabungan mereka karena sebab varian juga makin membesar.
2.7.1
Penyebab Heteroskedastisitas Ada beberapa alasan yang menyebabkan varians kesalahan pengganggu
menjadi variabel yang selalu berubah, antara lain sebagai berikut: 1.
Basis data dari satu atau lebih variabel mengandung nilai-nilai dengan satuan jarak yang lebar, yaitu jarak antara nilai yang paling kecil dengan yang paling besar adalah lebar.
2.
Perbedaan laju pertumbuhan antara variabel-variabel dependen dan independen adalah signifikan dalam periode pengamatan untuk data time series.
3.
Terdapat situasi error learning, misalnya kita ingin mengetahui hubungan tingkat kesalahan mengetik terhadap berbagai variabel. Jika kita menggunakan sampel yang bersifat panel/time series akan sangat mungkin model yang dimiliki akan bersifat heteroskedastis. Hal ini disebabkan kesalahan pengetikan akan menurun dari waktu ke waktu dan terjadi konvergensi diantara elemen sampel (kesalahan anggota sample yang 20
paling tidak terampil akan menurun mendekati mereka yang awalnya sudah terampil). 4.
Peningkatan diskresi. Hal ini tampak jelas pada
Gambar 2.2 dengan
menggunakan variabel pendapatan. Aktifitas oleh individu yang memiliki pendapatan tinggi akan jauh lebuh variatif dibandingkan mereka yang berpendapatan rendah. Dengan demikian suatu model regresi dengan menggunakan variabel semacam ini akan mengalami peningkatan residual kuadrat dengan semakin besarnya pendapatan. 5.
Perbaikan tehnik pengambilan data. Dampaknya
akan menurun. Jadi,
bank yang mempunyai peralatan pemprosesan data yang canggih nampaknya akan mempunyai kesalahan yang lebih kecil dalam laporan bulanan atau kuartalan untuk langganan mereka dibandingkan dengan bank yang tidak memiliki peralatan seperti itu. Didalam data itu sendiri memang terdapat Heteroskedastisitas, terutama dalam data cross-section. Misalnya, tingkat-tingkat penghasilan antar kota jarang sekali bernilai sama, harga-harga saham yang banyak dipengaruhi oleh faktorfaktor eksternal dan sebagainya.
2.7.2
Akibat Terjadinya Heteroskedastisitas Adanya Heteroskedastisitas bukan berarti suatu model regresi adalah
lemah. Jika regresi dengan Ordinary Least Square tetap dilakukan dengan adanya heteroskedastisitas maka akan diperoleh koefisien-koefisien hasil estimasi sampai
dalam persamaan tetap tidak bias, akan tetapi nilai-nilai 21
koefisien tersebut berfluktuasi lebih tajam daripada nilai-nilai normalnya. Dengan kata lain, jika model itu diperbaharui ulang dengan menambah data atau dengan sampel-sampel yang digunakan berbeda, maka koefisien-koefisien hasil estimasi akan bervariasi secara signifikan diseputar nilai rata-ratanya. Karena ayunan yang lebar pada koefisien-koefisien hasil estimasi, maka kesalahan dari suatu taksiran tunggal pada masing-masing model yang diperbaharui akan juga berubah-ubah secara lebar sehingga taksiran akan menjadi kurang efisien daripada seharusnya. Rata-rata kesalahan taksiran dalam jangka panjang akan serupa dengan rata-rata kesalahan taksiran dengan model tanpa Heteroskedastisitas. Suatu model taksiran yang baik menuntut bahwa koefisien-koefisien estimasi tidak bias dan bahwa taksiran tunggal dari suatu model berubah-ubah didalam suatu jarak yang sempit. Inilah yang disebut dengan konsep tidak bias dan estimator-estimator yang efisien. Kenyataan bahwa koefisien-koefisien taksiran tidak bias dapat dilihat pada contoh berikut ini dalam konteks model dua variabel dengan bentuk deviasi [ 2].
2.29 Perhatikan bahwa varian dari error tidak berpengaruh dalam pembuktian penaksir-penaksir dengan Ordinary Least Square adalah tidak bias. Persamaanpersamaan diatas berlaku dibawah asumsi Homoskedastisitas. Apabila asumsi tersebut dilanggar, sehingga terjadi Heteroskedastisitas maka varian penaksirnya menjadi [8] 22
2.30 Apabila Persamaan 2.30 ini digunakan untuk melakukan taksiran varian, maka selang kepercayaan hasil penaksiran untuk koefisien-koefisien, dan hitungan uji t dan uji F akan hilang tidak lagi dapat dipercaya. Menurut [2] untuk menghitung nilai t adalah 2.31 Jika standard error mengecil maka t cenderung membesar namun kelihatannya signifikan, padahal sebenarnya tidak signifikan. Sebaliknya jika standard error membesar, maka t cenderung mengecil dan tidak signifikan, padahal sebenarnya adalah signifikan. Hal ini berarti bahwa jika terdapat heteroskedastisitas dalam model regresi maka uji t menjadi tidak menentu. Sehingga dapat menyesatkan kesimpulan yang akan diambil.
2.7.3
Pendeteksian Heteroskedastisitas Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mendeteksi
heteroskedastisitas. Berikut ini adalah beberapa metode formal dan nonformal yang dapat mendeteksi adanya heteroskedastisitas. 1. Sifat persoalannya. Seringkali, sifat persoalan yang diteliti menyarankan atau menunjukkan kemungkinan adanya heteroskedastisitas. 2. Metode Grafik. Cara yang dapat digunakan untuk mendeteksi adanya heteroskedastisitas adalah dengan melihat ada tidaknya pola tertentu pada grafik, dimana sumbu 23
X adalah Y yang telah diprediksi, dan sumbu Y adalah residual (Y sesungguhnya – Y prediksi). Dasar pengambilan keputusan adalah : 1.
Ada pola tertentu, seperti titik-titik yang membentuk suatu pola tertentu
yang
teratur
(bergelombang,
melebar,
kemudian
menyempit), maka telah terjadi heteroskedatisitas. 2.
Jika tidak ada pola yang jelas, serta titik-titik menyebar di atas dan di bawah angka 0 pada sumbu Y, maka tidak terjadi heteroskedastisitas.
Salah satu kelemahan pengujian secara grafik adalah tidak jarang kita ragu terhadap pola yang ditunjukkan grafik. Keputusan secara subjektif tentunya dapat mengakibatkan berbedanya keputusan antara satu orang dengan lainnya. Oleh karena itu, kadang-kadang dibutuhkan uji formal untuk memutuskannya. 1. Untuk uji formal antara lain uji Park, uji Glejser, Uji Korelasi Rank dari Spearman,
uji
Goldfeld-Quandt,
uji
White.
Dalam
penelitian
ini
menggunakan uji White yang pada prinsipnya adalah meregresikan variabel bebas. Variabel bebas dikuadratkan terhadap residu dari regresi awal. Jika hasil regresi uji White ini signifikan maka regresi awal yang di uji mengalami gangguan Heteroskedastisitas. Dalam implementasinya, model ini relatif lebih mudah dibandingkan dengan uji-uji lainnya. Perhatikan persamaan regresi berikut: 2.32
24
Berdasarkan regresi berganda diatas, kita dapat melakukan uji White dengan beberapa tahapan prosedur, yaitu: 1.
Hasil estimasi dari model diatas akan menghasilkan nilai error, yaitu:
2.
.
Buat persamaan regresi:
(2.33) Perhatikan model diatas, uji ini mengasumsikan bahwa varian error merupakan fungsi yang mempunyai hubungan dengan variable bebas, kuadrat masing-masing variable bebas, dan interaksi antara variable bebas. 3.
Formulasi Hipotesis: H0 = tidak terdapat masalah Heteroskedastisitas dalam model. H1 = terdapat masalah Heteroskedastisitas dalam model Sampel berukuran n dan koefisien determinasi R2 yang didapat dari regresi akan mengikuti distribusi Chi-Square dengan derajat bebas jumlah variable bebas atau jumlah konferensi regresi diluar intercept. Dengan demikian, formulasi Uji White adalah sebagai berikut:
nR 2 2 4.
Jika nilai perhitungan melebihi nilai kritis dengan
yang dipilih,
diputuskan bahwa tidak terdapat heteroskedastisitas. Hal ini disebabkan
sehingga
(konstan). 25
Jika terjadi pelanggaran asumsi pada variabel bebas X, yaitu terjadinya Heteroskedastisitas, maka penggunaan metode OLS ini menyebabkan estimasi yang dihasilkan tidak efisien. Mengingat secara statistik permasalahan tersebut dapat mengganggu model yang akan diestimasi, bahkan dapat menyesatkan kesimpulan yang diambil dari model regresi yang dibuat, maka berikut ini akan dibahas salah satu cara untuk mengatasi pelanggaran asumsi tersebut.
2.7.4
Tindakan Perbaikan Menurut [5], ada beberapa prosedur yang dapat digunakan untuk
mengatasi masalah heteroskedastisitas, diantaranya metode Weight Least Square, transformasi dengan
, transformasi dengan
, Transformasi dengan
, dan
transformasi dengan logaritma. Akan tetapi alternative model estimasi yang baik untuk berhadapan dengan heteroskedastisitas adalah metode Weight Least Square. Hal ini dikarenakan, disamping Weight least Square memiliki kemampuan untuk menetralisir akibat dari pelanggaran asumsi Heteroskedastisitas, Weight Least Square juga dapat mengilangkan sifat ketidakbiasan dan konsistensi dari model estimasi OLS. Apabila efisiensi estimator dianggap lebih penting dari sifat ketidakbiasan dan
konsistensi
dari
penaksir
OLS
yang
berada
di
bawah
kondisi
Heteroskedastisitas, maka model estimasi Metode Kuadrat Terkecil Tertimbang atau Weight Least Square yang biasa disingkat WLS lebih tepat untuk digunakan dari pada model estimasi OLS. Metode WLS ini merupakan kasus khusus dari Generalized Least Square. 26
Pada pembentukan model estimasi WLS ini pada dasarnya ada dua, yaitu melakukan transformasi data dasar analisis dan menerapkan model OLS terhadap data yang telah ditranformasi tersebut. Untuk menggunakan WLS dalam kasus regresi berganda, akan definisikan ulang variabel-variabel dalam model regresi asli. 2.35
Dimana
berada dibawah kondisi heteroskedastisitas, sehingga
.
Salah satu bentuk yang paling sering digunakan dalam mengasumsikan Heteroskedastisitas adalah multiplicative constant, yaitu 2.36 Dimana x menyatakan seluruh variabel bebas dan h(x) adalah suatu fungsi dari variabel bebas yang menentukan heteroskedastisitas. Dengan demikian heteroskedastisitas dalam asumsi ini dapat dinyatakan sebagai 2.34 Selanjutnya dilakukan transformasi pada model awal 2.34
yang
mengalami heteroskedastisitas menjadi suatu model dengan residual yang homoskedastisitas. Hal ini dapat dilakukan dengan membagi seluruh regressor dan regresand dengan
yang disebut dengan pembobot atau penimbang.
Yang perlu diperhatikan adalah apabila mentransformasikan kesalahan pengganggu
melalui cara membaginya dengan
maka akan memiliki 27
kesalahan pengganggu yang baru, yaitu
, yang memiliki varian
konstan yaitu
Apabila dilakukan transformasi pada Persamaan 2.34 dalam bentuk membaginya dengan
, maka akan memiliki kesalahan pengganggu yang
bersifat homoskedastisitas.
Yang secara ringkas dapat dituliskan sebagai berikut: 2.37 Hal penting yang perlu dicatat dari persamaan 2.35 adalah bahwa persamaan tersebut sekarang tidak memiliki konstanta, karena konstanta sudah berubah menjadi variabel sebagai akibat dari proses pembagian dengan
yang
dapat dianggap sebagai penimbang.
28
Apabila dalam model estimasi OLS residualnya diminimasi, maka pada model estimasi WLS-pun residual jg terminimasi. Perbedaannya hanya terletak pada, apabila OLS terminimasi secara langsung sedangkan pada WLS terminimasi secara tidak langsung dengan menggunakan penimbang, dapat dilihat sebagai berikut:
2.38 dimana
merupakan penimbang.
29
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Metode Pengumpulan Data Data yang digunakan untuk skripsi ini adalah data time series berupa data
sekunder yang berasal dari laporan Anggaran belanja Negara (APBN) dari tahun 1976 sampai dengan tahun 2007. Data tersebut terdiri dari enam variabel bebas dan satu variabel terikat yang kemudian akan dikombinasikan sehingga membentuk beberapa model persamaan regresi untuk diketahuii model yang tepat dan dilihat pengaruh apa yang akan dihasilkan dari beberapa model tersebut. Variabel-variabel tersebut adalah sebagai berikut: 1.
Y = Currency Outside Bank (COB) COB adalah jumlah uang yang beredar dimasyarakat yang dipengaruhi oleh faktor-faktor ekonomi makro.
2.
X1 = Gross Domestic Product (GDP) GDP adalah indikator ekonomi, Gross Domestic atau ukuran yang paling luas atas kegiatan ekonomi secara menyeluruh (aggregate) dan mendorong setiap sector ekonomi.
30
3.
X2 = Export Tax (EXTAX) Export Tax adalah pajak yang dikenakan untuk setiap barang-barang yang akan diekspor ke luar negri.
4.
X3 = Pajak Pertambahan Nilai dan Pajak Tidak Langsung (PTLL) PTLL adalah pajak yang dikenakan kepada wajib pajak pada saat tertentu atau terjadi suatu peristiwa kepada wajib pajak.
5.
X4 = Consument Price Index Gross (CPIG) CPIG adalah Indeks yang mengukur rata-rata dari barang tertentu yang dibeli oleh konsumen.
6.
X5 = Pajak Tidak langsung (PTL) PTL adalah pajak yang tidak secara langsung dipungut pemerintah dari pembayar-pembayar pajak.
7.
X6 = Pajak Pertambahan Nilai (PPN) PPN adalah Pajak yang dikenakan atas penyerahan barang, import barang, penyerahan jasa, pemanfaatan barang dan jasa, dan eksport barang yang dikenakan biaya pajak.
31
3.2
Metode Pengolahan data Pengolahan data pada penelitian ini menggunakan bantuan software.
Adapun tahapan pengolahan datanya adalah sebagai berikut: Langkah pertama adalah dengan membuat model awal pada regresi linier berganda dari data asli dengan variable-variabel yang mempengaruhinya. Model awal tersebut digunakan untuk membandingkan model setelah dilakukan perbaikan. Setelah persamaan regresi didapat, kemudian dilakukan pengujian untuk melihat
apakah
terdapat
maslah
heteroskedastisitas
atau
tidak
dengan
menggunakan uji White. Pada prinsipnya, uji white digunakan untuk meregresikan variable bebas, variable bebas tersebut dikuadratkan terhadap nilai residu dari estimasi regresi awal yang diperoleh tadi. Jika hasil regresi uji white ini adalah signifikan, maka regresi awal yang diuji mengalami penyimpangan asumsi regresi linier berganda. Dan model-model yang mempunyai masalah heteroskedastisitas ini harus diperbaiki guna menghindari kesesatan pada kesimpulan analisis regresi. Tahap berikutnya adalah melakukan perbaikan pada model regresi berganda dengan cara mentransformasikan data dengan suatu faktor yang tepat. Kemudian baru menggunakan prosedur OLS terhadap data yang telah ditransformasikan tersebut. Lalu menganalisa kembali pada data yang telah ditransformasikan tersebut apakah terjadi sifat ketidakbiasn pada estimatorestimator koefisien tersebut. 32
Langkah
terakhir
yang
dilakukan
adalah
mengambil
keputusan
berdasarkan analisa-analisa yang telah dibuat. Pengambilan keputusan tersebut berupa apakah model regresi yang sudah diperbaiki layak untuk dijadikan model atau sebaliknya pada studi kasus data laporan Anggaran Pendapatan Belanja Negara (APBN) tahun 1976-2007.
33
3.3
Alur Penelitian
DATA
Pendeteksian Uji White 1
TIDAK
YA
STOP
Uji Perbaikan Weight Least Square
Pendeteksian Uji White 2
TIDAK
ANALISA
KESIMPULAN
34
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Pembuatan Model Regresi Berdasarkan data laporan Anggaran Pendapatan Belanja Negara (APBN)
tahun 1976 sampai dengan tahun 2007 terdapat enam variabel bebas yang mempengaruhi jumlah uang yang beredar (Currency Outside Banks), yaitu Gross Domestic Bruto, Export Tax, Pajak Pertambahan Nilai dan Pajak tidak Lansung, Consument Price Index Gross, Pajak tidak langsung, dan Pajak Pertambahan Nilai. Dengan menggunakan data tersebut secara garis besar akan dibuat model awal regresi linier berganda
yang berdasarkan persamaan 2.2, yaitu model
pengaruh COB terhadap enam variabel pengaruh lainnya. Maka dari model yang telah dibuat dengan estimasi OLS tersebut akan dibandingkan dengan model regresi dengan estimasi Weight Least square. Dasar dari pembuatan model ini adalah pengaruh dari ke-enam variabel terhadap jumlah uang yang beredar dimasyarakat, sehingga ke enam variabel tersebut dimasukkan ke dalam variabel X. Pada analisis Regresi ini digunakan metode OLS untuk mengestimasi parameter-peremeter regesi yang akan dibuat menjadi model regresi. Model Regresi yang akan diestimasi dengan data time series berdasarkan variabel yang mempengaruhinya adalah sebagai berikut: COB =
+
GDP +
Extax +
Ptll +
CPIG +
PTL +
PPN + .
35
Hasil estimasi dengan prosedur OLS adalah sebagai berikut: Y = 0.368 - 3.288e-10X1 + 1.57e-08X2 - 8.53e-07X3 - 0.002X4 + 6.37e- 08X5 6.2e-08X6.
2.39
Setelah didapatkan model persamaan tersebut dengan menggunakan estimasi OLS, maka langkah selanjutnya melakukan pengujian untuk mengetahui apakah data tersebut mengalami varian penyimpangan asumsi heteroskedastisitas atau tidak. Pengujian heteroskedastisitas tersebut dapat dilakukan dengan uji non formal dan uji formal. Dalam penelitian ini, penulis menggunakan uji non formal dan salah satu uji formal.
4.2
Uji Heteroskedastisitas secara non Formal dan Formal.
4.2.1
Uji non Formal Uji Heteroskedastisitas secara nonformal, digunakan untuk mendeteksi
adanya heteroskedastisitas dengan melihat ada tidaknya pola tertentu pada grafik model regresi estimasi OLS yang telah dibuat pada persamaan 2.39. Gambar grafiknya adalah sebagai berikut:
36
Scatterplot
Regression Standardized Residual
Dependent Variable: COB
2
1
0
-1
-3
-2
-1
0
1
2
Regression Standardized Predicted Value
Gambar 4.1 Plot antara estimasi Y dengan Residual
Berdasarkan
gambar 4.1 diatas, secara subyektif
dapat disimpulkan
bahwa adanya pola yang sistematik, yaitu dimana sebaran titik-titik pada awalnya berada ditengah, menurun kemudian menaik. Dari Keadaan ini dapat disimpulkan bahwa dalam model regresi terdapat permasalahan Heteroskedastisitas.
4.2.2
Uji Formal Dalam penelitian ini uji formal yang digunakan adalah uji White yang
pada prinsipnya adalah meregresikan variabel bebas. Variabel bebas dikuadratkan terhadap residu dari regresi awal. Jika hasil regresi uji White ini signifikan maka regresi awal yang diuji mengalami gangguan Heteroskedastisitas. Dalam 37
implementasinya, model ini relatif lebih mudah dibandingkan dengan uji-uji lainnya. Adanya heteroskedastisitas dalam model analisis mengakibatkan varian dan koefisien OLS tidak lagi minimum dan penaksir-penaksir OLS menjadi tidak efisien meskipun penaksir OLS tetap tidak bias dan konsisten. Dalam mendeteksi adanya heteroskedastisitas, pada penelitian ini langkah-langkah pengujiannya melalui White, antara lain: a.
Estimasi persamaan 2.2 sehingga didapat nilai errornya.
b.
Buat persamaan regresi. Y = 0.368 - 3.288e-10X1 + 1.57e-08X2 - 8.53e-07X3 - 0.002X4 + 6.37e- 08X5 - 6.2e-08X6.
c.
Formulasi hipotesis H0 = tidak terdapat masalah Heteroskedastisitas dalam model H1 = terdapat masalah Heterokedastisitas dalam model
d.
Dengan
e.
Kriteria pengujian H0 ditolak jika probabilitas H1 diterima jika probabilitas
38
f.
Kesimpulan Hasil uji White dengan eviews adalah: Tabel 4.1 Hasil Uji White White Heteroskedasticity Test: 4.541303 Probability
Fstatistic Obs*R- 23.72740 squared
Probability
0.001719 0.022148
Hasil out put menunjukkan nilai Obs*R-Squared (Chi-squares) adalah 23.72740 sedangkan nilai probabilitas pada chi-square adalah 0.022148 yaitu lebih kecil dari , dengan demikian kita dapat menolak hipotesis nol bahwa tidak terdapat masalah Heteroskedastisitas dalam model.
4.3
Usaha Perbaikan Model Berdasarkan output diatas diperoleh bahwa Ho ditolak yang menyebabkan
terdapat masalah Heteroskedastisitas dalam model, sehingga diperlukan adanya perbaikan pada model tersebut agar tidak menyesatkan analisa kesimpulan yang akan dibuat. Usaha perbaikan model tersebut diperlukan guna menganalisa model sebelum dan setelah perbaikan apakah berpengaruh terhadap ketepatan model tersebut atau tidak. Dan apakah setelah dilakukan usaha perbaikan ini pengabaian terhadap masalah heteroskedastisitas tidak bepengaruh terhadap model yang akan digunakan.
39
Persoalan heteroskedastisitas seringkali ditangani dengan dua cara. Pertama, mentransformasi data dengan suatu faktor yang tepat dengan bobot kemudian baru menggunakan prosedur OLS terhadap data yang telah ditransformasikan itu. Prosedur ini merupakan kelas khusus dari Generallize Least Square (GLS). Jika kita mengetahui bentuk spesifik dari Heteroskedastisitas misalnya linier terhadap variabel bebas, maka kita dapat memodifikasi nilai variabel terikat dan variabel bebas sesuai dengan bentuk heteroskedastisitas dan mengestimasi kembali. Dengan menggunakan data APBN tahun 1976-2007, akan dilakukan estimasi
antara
uang
yang
beredar
dengan
variabel-variabel
yang
mempengaruhinya. Hasil estimasi model regresi dengan menggunakan OLS dirangkum pada tabel berikut ini, sehingga didapatkan persamaan (4.1). Tabel 4.2 Hasil Estimasi model Regresi OLS antara Variabel Uang Beredar terhadap ke enam variabel yang mempengaruhinya. Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 06/03/10 Time: 04:02 Sample: 1976 2007 Included observations: 32 Y=C(1)+C(2)*X1+C(3)*X2+C(4)*X3+C(5)*X4+C(6)*X5 +C(7)*X6 Coefficien Std. Error t-Statistic Prob. t C(1) 0.367527 0.040002 9.187648 0.0000 C(2) -3.29E-10 2.51E-10 -1.309502 0.2023 C(3) 1.57E-08 3.58E-08 0.439604 0.6640 C(4) -8.53E-07 2.29E-07 -3.729892 0.0010 C(5) -0.002440 0.002639 -0.924539 0.3640 C(6) 6.37E-08 1.50E-08 4.235326 0.0003 C(7) -6.20E-08 1.83E-08 -3.382598 0.0024 R-squared
0.647411
Mean dependent var 0.199118 40
Adjusted Rsquared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood
0.562789
S.D. dependent var
0.128298
0.084833
Akaike info criterion
0.179916
Schwarz criterion
37.48994
Durbin-Watson stat
1.905621 1.584992 0.861181
Selanjutnya jika kita menduga bahwa Heteroskedastisitas terjadi dengan mengambil bentuk linier terhadap GDP yaitu
GDP. Sehingga model
regresi setelah dilakukan pembobotan adalah Tabel 4.3 Output Metode Weight Least square Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 07/05/10 Time: 10:53 Sample: 1976 2007 Included observations: 32 Weighting series: X1^-0.5 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Variable Coefficie Std. Error t-Statistic Prob. nt X1 X2 X3 X4 X5 X6 C Weighted Statistics R-squared
-1.41E- 5.23E-10 09 2.687491 3.58E-08 5.29E-08 0.676906 -1.42E- 2.22E-07 06 6.396096 - 0.002528 0.000732 0.289625 1.12E-07 2.15E-08 5.221709 -8.76E- 2.45E-08 08 3.575207 0.458292 0.046193 9.921345
0.976411
Mean dependent var
0.0126 0.5047 0.0000 0.7745 0.0000 0.0015 0.0000
0.292649 41
S.E. of regression Unweighted Statistics R-squared S.E. of regression
0.067568
Akaike info criterion
0.076975
Mean dependent var 0.137258 Sum squared resid
-2.360716
0.199118 0.470994
Pemilihan terhadap suatu faktor untuk transformasi atau pembobotan tergantung bagaimana
atau nilai absolut
berkorelasi terhadap X, dalam hal ini
GDP, dengan demikian, baik variable terikat COB, variable bebas EXTAX, PTLL, CPIG, PTL, dan PPN ditransformasi dengan cara mengalikan masingmasing variable tersebut dengan
. Dapat dilihat bahwa pada table diatas,
terjadi perubahan signifikan pada nilai R-squared dan standard error regresi. Pada kelas khusus General Least Square, langkah kedua adalah pengujian ulang pada hasil pembobotan tersebut untuk mengetahui apakah masih terdapat heteroskedastisitas atau sebaliknya. Tabel 4.4 Hasil Uji White pada data yang telah ditransformasi White Heteroskedasticity Test: F-statistic 4.040606 Probability Obs*R30.54619 Probability squared
0.062708 0.245604
Berdasarkan tabel 4.4, dapat diketahui setelah dilakukan pengujian kembali pada data yang telah dilakukan pembobotan sehingga sudah tidak terdapat gejala heteroskedastisitas. Dan setelah dilakukan proses transformasi pada data laporan APBN tahun 1976 sampai dengan tahun 2007 untuk kasus uang beredar didapatkan nilai standard error yang berubah-ubah, walaupun tidak 42
merusak estimator-estimator regresi namun dapat menyebabkan standard error dari parameter menjadi bias.
4.4
Analisa Model Setelah dilakukan perbaikan model dengan estimasi Weight least square,
langkah selanjutnya adalah menganalisa model tersebut. Seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, heteroskedastisitas tidak akan menyebabkan parameter estimasi tidak bias, Akan tetapi, standard error dari parameter yang diperoleh menjadi bias. Maka yang terjadi adalah varian lebih kecil atau lebih besar, dan berakibat u ji t dan uji f menjadi tidak menentu. Seperti yang telah dijelaskan pada subbab terdahulu, untuk menghitung nilai t adalah [2]
Jika standard error mengecil maka t cenderung membesar namun kelihatannya signifikan, padahal sebenarnya tidak signifikan. Sebaliknya jika standard error membesar, maka t cenderung mengecil dan tidak signifikan, padahal sebenarnya adalah signifikan. Hal ini berarti bahwa jika terdapat Heteroskedastisitas dalam model regresi maka uji t menjadi tidak menentu. Sehingga dapat menyesatkan kesimpulan yang akan diambil. Tabel 4.5 Analisa perbandingan R2 dan Se dengan dua uji estimasi
R2
Estimasi OLS
Estimasi WLS
0,976411
0,076975 43
Se
0,67568
0,137250
Nilai R2 pada table 4.5 pada model-model diatas setelah diestimasi dengan WLS nilainya mengalami perubahan yang menurun. Nilai R2 adalah 0,076975 dan nilai standard error 0,137250 merupakan angka-angka yang lebih kecil daripada angka-angka yang sama pada hasil estimasi regresi awal sebelum dilakukan pembobotan pada data asli (lihat tabel 4.2). Ini menunjukkan bahwa untuk r = 0 dapat menyatakan bahwa letak titik-titik yang didapat tidak terdapat pada garis regresi linier, karena harga X yang besar tidak menyebabkan atau berpasangan dengan harga Y yang kecil, sehingga hubungan liniernya tidak begitu kuat.
44
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1.
Kesimpulan Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui apakah terjadi penyimpangan
pada asumsi regresi linier berganda pada, juga untuk mengetahui bagaimana penggunaan
metode
Weight
least
Square
dalam
mengatasi
masalah
heteroskedastisitas pada data APBN 1976-2007. Metode analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah analisis regresi linier berganda dan pengolahan data dengan menggunakan bantuan software. Pengujian data dilakukan untuk mengetahui apakah asumsi regresi linier berganda terpenuhi atau sebaliknya. Untuk selanjutnya akan dijelaskan kesimpulan dari uji white dan Weigt Least Square. Setelah
dilakukan
pengujian
untuk
mengetahui
apakah
terdapat
penyimpangan heteroskedastisitas atau tidak dalam model regresi linier berganda pada laporan APBN tahun 1976-2007 dengan menggunakan uji white, sehingga dapat diketahui bahwa model tersebut ternyata mengalami penyimpangan asumsi heteroskedastisitas.
Sehingga
diperlukan
metode
alternafif
lain
untuk 45
memperbaikinya yaitu metode Weight Least Square agar tidak menyesatkan kesimpulan yang akan dibuat pada model regresi tersebut. Weight Least Square merupakan
model estimasi yang baik untuk
berhadapan dengan heteroskedastisitas. Hal ini dikarenakan, disamping Weight Least Square memiliki kemampuan untuk menetralisir akibat dari pelanggaran asumsi heteroskedastisitas, Weight Least Square juga dapat mengilangkan sifat ketidakbiasan dan konsistensi dari model estimasi OLS. Pada model regresi linier berganda dalam data laporan APBN tahun 19762007, setelah dilakukan uji Weight Least Square untuk menghilangkan gejala heteroskedastisitas, dapat menurunkan nilai koefisien determinasi dan kesalahan standard. Nila koefisien pada saat menggunakan model estimasi OLS adalah 0,976411, sedangkan setelah dilakukan perbaikan model dengan uji Weight least Square adalah 0,076975. Pada koefisien determinasi yang lebih kecil dari setelah dilakukan pengujian Weight Least Square menyatakan hubungan variabel bebas Y dengan taksiran Y berdasarkan variabel-variabel bebas bergandanya yang tidak terdapat pada titik-titik garis regresi linier, sehingga dapat dinyatakan bahwa hubungan liniernya tidak kuat. Pada kesalahan standard sebelum menggunakan metode Weight Least Square 0,6758, dan setelah digunakan metode Weight Least Square adalah 0,137250. Hal ini menyatakan bahwa Uji perbaikan dengan menggunakan uji Weight Least Square dapat memperkecil kesalahan standard pada model regresi tersebut.
46
Oleh karena standard jika error dari setiap parameternya tidak bias, akibatnya uji t dan uji f menjadi tidak menentu, sehingga perbaikan pada model regresi yang mengandung heteroskedastisitas sangat diperlukan. Metode
Weight
Least
square
dapat
menghilangkan
gejala
heteroskedastisitas pada data laporan APBN tahun 1976-2007 sehingga dapat menurunkan nilai koefisien determinasi dan kesalahan standard, sehingga analisis model hasil perbaikan dapat dinyatakan lebih baik dari model awal. Oleh karena jika standard dari kesalahan untuk setiap parameternya tidak bias, akibatnya uji t dan uji f menjadi tidak menentu, sehingga perbaikan pada model yang mengandung heteroskedastisitas sangat diperlukan.
5.2
Saran
1.
Apabila terdapat heteroskedastisitas pada suatu model regresi maka harus dilakukan perbaikan guna menghindari kesesatan pada kesimpulan yang akan diambil.
2.
Dapat dilakukan penelitian lanjutan dengan uji perbaikan selain dengan uji Weight Least square dengan berbagai macam uji transformasi lainnya.
47
DAFTAR PUSTAKA [1].
Greene, William H, Econometric Analyisis, third edition, Prentice Hall International inc, New Jersey 07458, 1997
[2].
Gujarati, Damodar. Ekonometrika Dasar, Terjemahan. Erlangga. 1999
[3].
J. Supranto, Ekonometrik, Jilid 1, Jakarta : Lembaga penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, 2005
[4].
Lestari, Wiji Suci. Analisis Regresi Berganda Berautokorelasi pada Anggaran Pendapatan Belanja Negara tahun 1976-2007. Universitas Islam Negri Syarif Hidayatulloh Jakarta. 2009
[5].
Nachrowi, Djalal Nachrowi dan Usman, Hardius. Pendekatan Populer dan Praktis Ekonometrika untuk Analisis Ekonomi dan Keuangan. FEUI, 2006
[6].
Nawatmi, Sri dan Nusantara, Agung, Genaral Least Square merupakan Solusi atas gejala Heteroskedastisitas, http://yohanli.wordpress.com/2007/12/18/heteroskedastisitas/, 2 April 2010, Pukul 17:20 WIB
[7].
Ruminta, Matriks Persamaan Linier dan Pemograman Linier, Bandung: Rekayasa Sains, 2009
[8].
Sarwoko. Dasar-dasar Ekonometrika. Andi, Yogyakarta. 2005
[9].
Sugiarto, Dergibson Siagian. Metode Statistika. PT.Gramedia Pustaka Utama. Jakarta, 2006
48
[10].
Sukirno, Sadono. Pengantar Teori Makro Ekonomi. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. 1997
[10].
Sumodiningrat, Gunawan. YOGYAKARTA. 2002
[11].
Winarno, Wahyu Wing. Analisis Ekonometrika dan Statistika dengan Eviews. YKPN. Yogyakarta. 2007
Ekonometrika
Pengantar.
BPFE-
49
LAMPIRAN Lampiran 1. Data asli uang yang beredar dan faktor yang mempengaruhinya. Tahun
Y
X1
X2
X3
X4
X5
X6
1976
0.423109 15466700
61675 23515.25 19.85912 297356.2
151520.8
1977
0.454987 19010700
76363
378155
193105.2
1978
0.482826 22746000 144813 15879.25 8.109458 467688.8
216594.8
15991 11.0365
1979
0.42104 32025400 333250
18500 16.26079
525500
199250
1980
0.391788 45445700 326000
26500 18.01635
684000
247500
1981
0.355556 58127200 173000
32000 12.2448
849250
299750
1982
0.36051 62475700
93750
54750 9.48131 1091250
435500
1983
0.294826 77623000
98500
54500 11.78751 1339750
550500
1984
0.260984 89885000
94250
99250 10.45514 1568750
621500
1985
0.238302 98406000
61000
141250 4.72962 2972000
1904500
1986
0.239633 1.11E+08
72000
180000 5.827199 3964750
2756750
1987
0.206446 1.29E+08 157750
214750 9.275562 4575750
3267500
1988
0.174321 1.49E+08 163000
274750 8.043161 5820000
4226250
1989
0.156223 1.80E+08 167250
280000 6.417748 7239250
5504000
1990
0.120396 2.11E+08
75750
251250 7.812395 9114750
7056500
1991
0.104183 2.50E+08
23750
285000 9.410639 10925750
8725250
1992
0.106564 2.82E+08
11000
264500 7.531187 12767750 10343000
1993
0.110345 3.30E+08
12750
275500 9.682904 15948250 13142750
1994
0.119542 3.82E+08 101750
297250 8.520465 19213000 15894500 50
1995
0.103091 4.55E+08 172250
415250 9.433306 21923750 18025500
1996
0.084492 5.33E+08 107250
556500 7.970169 24545000 19893000
1997
0.087065 6.28E+08 117000
506250 6.229985 29384750 23987000
1998
0.077229 9.56E+08 3504750
429250 58.38691 34656250 27152000
1999
0.099605 1.10E+09 1801750
561500 20.48911 42046500 31766000
2000
0.107271 1.39E+09 545750
989750 3.718409 58375750 43503750
2001
0.099441 1.68E+09 541000 1384000
2002
0.100453 1.86E+09 231000 1469000 11.8785 89811000 65153000
2003
0.109786 2.04E+09 230000 1654000 6.586025 1.05E+08 77082000
2004
0.118219 2.30E+09 297606 1832243 6.242996 1.19E+08 87567330
2005
0.115225 2.78E+09 318245 2050212 10.45262 1.37E+08 1.01E+08
2006
0.122665 3.34E+09 1091082 2287431 13.11013 1.63E+08 1.23E+08
2007
0.125648 3.96E+09 4237376 2737727 6.407234 2.02E+08 1.55E+08
11.504 74735000 55957000
51
Lampiran 2. Output hasil estimasi awal Regresi antara Variable Uang yang Beredar terhadap ke enam variable yang mempengaruhinya. Persamaan Regresinya Estimation Command: ===================== LS Y=C(1)+C(2)*X1+C(3)*X2+C(4)*X3+C(5)*X4+C(6)*X5+C(7)*X6 Estimation Equation: ===================== Y=C(1)+C(2)*X1+C(3)*X2+C(4)*X3+C(5)*X4+C(6)*X5+C(7)*X6 Substituted Coefficients: ===================== Y=0.3675272842-3.287432359e-10*X1+1.571872957e-08*X2-8.532979359e-07*X30.002439738835*X4+6.373388639e-08*X5-6.195563555e-08*X6
52
Lampiran 3. Output Hasil Uji White 1. White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*Rsquared
4.541303 23.72740
Probability Probability
0.001719 0.022148
Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 07/04/10 Time: 02:34 Sample: 1976 2007 Included observations: 32 Variable
Coefficient Std. Error 0.006126 7.76E-11 2.09E-20 1.04E-08 2.18E-15 2.42E-08 1.58E-14 0.000505 8.48E-06 3.50E-09 2.20E-17 3.28E-09 3.56E-17
t-Statistic
Prob.
2.172909 -2.762605 2.821694 2.209522 -0.356859 -2.761830 4.616546 0.296875 -1.734759 1.472018 -2.576692 -0.092290 0.918948
0.0426 0.0124 0.0109 0.0396 0.7251 0.0124 0.0002 0.7698 0.0990 0.1574 0.0185 0.9274 0.3696
C X1 X1^2 X2 X2^2 X3 X3^2 X4 X4^2 X5 X5^2 X6 X6^2
0.013310 -2.15E-10 5.90E-20 2.29E-08 -7.78E-16 -6.68E-08 7.31E-14 0.000150 -1.47E-05 5.15E-09 -5.66E-17 -3.02E-10 3.27E-17
R-squared Adjusted Rsquared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood DurbinWatson stat
0.741481 0.578206
Mean dependent var S.D. dependent var
0.005622 0.007537
0.004895
Akaike info criterion
-7.510070
0.000455
Schwarz criterion
-6.914615
133.1611
F-statistic
4.541303
1.398614
Prob(F-statistic)
0.001719
53
Lampiran 4. Output Metode Weight Least square. Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 07/05/10 Time: 10:53 Sample: 1976 2007 Included observations: 32 Weighting series: X1^-0.5 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Variable
Coefficien t
Std. Error t-Statistic
X1 X2 X3 X4 X5 X6 C
-1.41E-09 3.58E-08 -1.42E-06 -0.000732 1.12E-07 -8.76E-08 0.458292
5.23E-10 5.29E-08 2.22E-07 0.002528 2.15E-08 2.45E-08 0.046193
Prob.
-2.687491 0.676906 -6.396096 -0.289625 5.221709 -3.575207 9.921345
0.0126 0.5047 0.0000 0.7745 0.0000 0.0015 0.0000
0.976411 0.970750
Mean dependent var S.D. dependent var
0.292649 0.395072
0.067568 0.114137
Akaike info criterion Schwarz criterion
-2.360716 -2.040087
44.77146 0.931859
F-statistic Prob(F-statistic)
20.80449 0.000000
Mean dependent var S.D. dependent var
0.199118 0.128298
Sum squared resid
0.470994
Weighted Statistics R-squared Adjusted Rsquared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Unweighted Statistics R-squared 0.076975 Adjusted R-0.144551 squared S.E. of regression 0.137258 Durbin-Watson 1.171249 stat
54
Lampiran 5. Data uang yang beredar dan faktor yang mempengaruhinya setelah data ditransformasi. Y
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
2.736E-08
1
0.003987599
0.001520379
1.28399E-06
0.019225578
0.009796579
6.4655E-08
2.393E-08
1
0.004016843
0.000841158
5.80542E-07
0.019891693
0.010157714
5.2602E-08
2.12E-08
1
0.006366526
0.000698112
3.56522E-07
0.020561362
0.009522323
4.39638E-08
1.315E-08
1
0.010405803
0.000577666
5.07747E-07
0.01640885
0.006221624
3.12252E-08
8.621E-09
1
0.007173396
0.000583113
3.96437E-07
0.015050929
0.00544606
2.20043E-08
6.117E-09
1
0.002976231
0.000550517
2.10655E-07
0.0146102
0.005156794
1.72036E-08
5.77E-09
1
0.001500583
0.000876341
1.5176E-07
0.017466791
0.00697071
1.60062E-08
3.798E-09
1
0.001268954
0.000702111
1.51856E-07
0.017259704
0.00709197
1.28828E-08
2.904E-09
1
0.001048562
0.001104189
1.16317E-07
0.017452856
0.006914391
1.11253E-08
2.422E-09
1
0.000619881
0.00143538
4.80623E-08
0.03020141
0.019353495
1.0162E-08
2.165E-09
1
0.000650424
0.00162606
5.2641E-08
0.035816237
0.024903566
9.03367E-09
1.605E-09
1
0.001226386
0.001669517
7.21104E-08
0.035572961
0.025402317
7.77424E-09
1.167E-09
1
0.001091067
0.001839084
5.38382E-08
0.038957127
0.028289099
6.69366E-09
8.698E-10
1
0.000931195
0.001558951
3.5732E-08
0.040305833
0.030644515
5.56768E-09
5.71E-10
1
0.000359233
0.001191515
3.70491E-08
0.043225318
0.03346438
4.74235E-09
4.168E-10
1
9.50118E-05
0.001140141
3.76472E-08
0.04370842
0.034905328
4.0005E-09
3.774E-10
1
3.89525E-05
0.000936631
2.6669E-08
0.04521238
0.036626003
3.54114E-09
3.346E-10
1
3.86626E-05
0.000835416
2.93621E-08
0.048360857
0.039853567
3.03236E-09
3.128E-10
1
0.000266208
0.000777693
2.2292E-08
0.050266862
0.041584689
2.61629E-09
2.268E-10
1
0.000378976
0.000913613
2.07547E-08
0.048235588
0.039658844
2.20015E-09
1.587E-10
1
0.000201383
0.001044937
1.49655E-08
0.046088011
0.037352977
1.87769E-09
55
1.387E-10
1
0.000186396
0.000806522
9.92518E-09
0.046813739
0.038214419
1.59313E-09
8.08E-11
1
0.003667004
0.000449122
6.109E-08
0.036260676
0.028409014
1.0463E-09
9.057E-11
1
0.001638357
0.00051058
1.8631E-08
0.038233475
0.028885272
9.09314E-10
7.719E-11
1
0.000392691
0.000712168
2.67556E-09
0.042003893
0.031302841
7.19544E-10
5.904E-11
1
0.000321206
0.000821716
6.83022E-09
0.044372076
0.033223098
5.93726E-10
5.391E-11
1
0.000123976
0.000788399
6.37508E-09
0.048200744
0.03496702
5.36691E-10
5.391E-11
1
0.000112947
0.000812238
3.23423E-09
0.051569229
0.037853021
4.91075E-10
5.149E-11
1
0.000129629
0.000798074
2.71928E-09
0.051646692
0.038141905
4.35572E-10
4.137E-11
1
0.000114273
0.000736173
3.75324E-09
0.049050031
0.036372518
3.59072E-10
3.675E-11
1
0.000326847
0.000685229
3.92731E-09
0.048857295
0.036856947
2.99563E-10
3.175E-11
1
0.001070746
0.000691799
1.61905E-09
0.051029405
0.039047511
2.52691E-10
56
