PENANGANAN HETEROSKEDASTISITAS PADA REGRESI BERGANDA MELALUI PENDEKATAN WEIGHTED LEAST SQUARE SKRIPSI

PENANGANAN HETEROSKEDASTISITAS PADA REGRESI BERGANDA MELALUI PENDEKATAN WEIGHTED LEAST SQUARE

SKRIPSI

Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat sarjana (S - 1)

DESI ASTUTY F1A1 12 087

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016

i

ii

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah S.W.T atas segala rahmat, taufik, karunia dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “PENANGANAN HETEROSKEDASTISITAS PADA REGRESI LINEAR BERGANDA MELALUI PENDEKATAN WEIGHTED LEAST SQUARE” serta salawat dan salam penulis haturkan atas Nabi Muhammad Shallallahu Alaihi Wasallam, keluarga, sahabat dan para pengikutnya. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak dapat terselesaikan tanpa bimbingan dan arahan dari Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si. selaku pembimbing I dan Ibu Agusrawati, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II yang telah banyak meluangkan waktunya untuk membimbing dan mengarahkan penulis sejak dari perencanaan hingga terselesaikannya skripsi ini serta memberikan dorongan dan motivasi kepada penulis. Oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada yang tersayang Ayahanda La Kumunsi, BA dan Ibunda Wa Ipa, S.Pd yang telah membesarkan dan membimbing serta memberi dukungan dan doa yang tulus ikhlas serta kasih sayangnya kepada penulis dalam menyelesaikan studi hingga skripsi ini selesai, saudara-saudariku Kakak Erna Kumunsi, S.Pd, Kakak Asni, SE, Kakak Bripka Abdul Fajar, S.Sos dan Kakak Rachmawati, A.M.Keb beserta kakak-kakak iparku: Kakak Sri Suryaningsi, S.Gz, Kakak La Fini, A.Md dan Kakak Sugane, iii

S.Kom, serta keponakan-keponakanku: Muh. Fajri Anugrah Kumunsi, Muh. Fahmi Kumunsi, dan Aruna Saci Kanaya Fini yang tiada hentinya memberikan motivasi, dukungan, doa, dan semangat. Suatu hal yang tidak terlupakan atas dorongan dan bimbingannya, serta arahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kiranya penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak khususnya: 1.

Rektor Universitas Halu Oleo Kendari, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S.

2.

Dekan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si., M.Si.

3.

Ketua Jurusan Matematika dan sekretaris jurusan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si., dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si.

4.

Kepala Laboratorium Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muchtar, S.Si., M.Si.

5.

Kepala Perpustakaan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati, M.Si.

6.

Norma Muchtar, S.Si., M.Si. selaku penasehat akademik yang telah memberikan pengarahan dan bimbingan dalam memprogramkan mata kuliah.

7.

La Gubu, S.Si., M.Si., Dr. Ruslan, M.Si. dan Irma Yahya, S.Si., M.Si. selaku dewan penguji.

8.

Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika serta seluruh staf lingkungan F-MIPA UHO, yang telah banyak memberikan bantuan, bimbingan dan pengarahan selama studi hingga penyelesaian skripsi ini.

iv

9.

Keluarga-keluargaku: Om Negara dan istri, Om Rahman Piu dan istri, Tante Lati, Sepupu Uba, Asma, Agam, Mondo dan Fitrah yang selalu memberikan dorongan dan motivasi.

10. ChinguQ yang selalu ada selama studi hingga penyelesaian skripsi ini: Nur Yassin, Ekawati Sulistia Ningsih, Eka Fitriah Maladewi, Herdiana, Hesty Yuspita dan Wiwin Narni yang tiada henti memberi semangat dan doa kepada penulis. 11. Rekan seperjuangan Matematika Angkatan 2012: Aini, Kadek Ayu, Bertin, Obil, Ela, Astri, Virda, Ila, Suri, Yuli, Rosni, S.Mat, Rianto, S.Mat, Sarfia, Sarwiati dan seluruh mahasiswa seangkatan 012 yang telah memberikan semangat kebersamaan yang tidak terlupakan selama menyelesaikan studi. 12. Barisan senior-senior dan junior-junior Matematika yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu atas bantuan dan bimbingannya selama masa perkuliahan. 13. Guru dan rekan alumni Smandara: Pak Sahiya, Pak Herman, Amhy, Ayu, Rahmayani, Ningsih, Juliana, Dwi dan lain-lain yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu. 14. Teman-teman KKNku: Riska, Eka, Rahma, Kak Andis, Maha, Kak Erlin, Kak Sri. Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala kerendahan hati penulis menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya.

v

Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.

Kendari,

Maret 2016

Penulis

vi

DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ......................................................................................

i

HALAMAN PENGESAHAN .........................................................................

ii

KATA PENGANTAR .................................................................................... iii DAFTAR ISI .................................................................................................. vii DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ix DAFTAR TABEL ..........................................................................................

x

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... xi ABSTRAK ..................................................................................................... xii ABSTRACT ................................................................................................... xiii BAB I PENDAHULAN 1.1 1.2 1.3 1.4

Latar Belakang .................................................................................... Rumusan Masalah ............................................................................... Tujuan Penelitian ................................................................................. Manfaat Penelitian ...............................................................................

1 3 3 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 2.2 2.3 2.4

Analisis Regresi..................................................................................... 5 Analisis Regresi Linear Berganda .......................................................... 5 Metode Ordinary Least Square .............................................................. 7 Heteroskedastisitas ................................................................................ 10 2.4.1 Pendeteksian Heteroskedastisitas .................................................. 11 2.4.2 Pembobotan Model Regresi .......................................................... 13 2.5 Weighted Least Square .......................................................................... 16 2.5.1 WLS untuk Regresi Linear Sederhana........................................... 16 2.5.2 WLS untuk Regresi Linear Berganda ............................................ 17

vii

BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat ................................................................................ 19 3.2 Jenis dan Sumber Data .......................................................................... 19 3.3 Prosedur Penelitian ................................................................................ 19

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Metode Weighted Least Square ......................................................... Penaksiran Parameter Koefisien Regresi WLS dan Variansinya ........ Deskripsi Data .................................................................................. Pendeteksian Heteroskedastisitas ...................................................... Tindakan Perbaikan .......................................................................... Pengujian Kembali Heteroskedastisitas ............................................ Pembahasan .....................................................................................

21 25 27 30 34 40 43

BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 45 5.2 Saran ............................................................................................... 45 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 45 Lampiran ....................................................................................................... 46

viii

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 4.3a Plot antara Estimasi Y dengan Residual .......................................30 Gambar 4.3b Dendogram average jarak Euclidean ke-33 objek .........................31 Gambar 4.5 Plot antara Estimasi 𝑌𝑤 dengan Residual ........................................40

ix

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 2.4 Satuan-satuan Uji Bartlett

11

Tabel 4.4.2a Pengelompokkan Data

32

Tabel 4.4.2b Homogenitas Variansi

33

Tabel 4.5a Hasil Pengelompokkan Pengeluaran Berdasarkan

35

Lama Tinggal, Akomodasi dan Jumlah Objek Wisata Tabel 4.5b Rekapitulasi Hasil Analisis Regresi Terboboti

37

Tabel 4.6.2a Pengelompokkan Data

41

Tabel 4.6.2b Homogenitas Variansi

42

Tabel 4.7 Analisa perbandingan dengan dua uji estimasi

43

x

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1.

Data Pengeluaran Wisatawan di Indonesia Tahun 2012 .......... 46

Lampiran 2.

Output OLS pada Minitab ....................................................... 47

Lampiran 3.

Output Pengelompokkan dengan Analisis Komponen Utama .. 48

Lampiran 4.

Output Pengelompokkan Data dengan metode Ward ................ 48

Lampiran 5.

Output Pengelompokkan dengan Analisis Komponen Utama pada Data yang Diboboti ......................................................... 49

Lampiran 6.

Output Pengelompokkan Data dengan metode Ward pada Data yang Diboboti .......................................................... 49

Lampiran 7

Plot Normal Residual ............................................................... 50

Lampiran 8.

Output pembobotan regresi berganda ...................................... 51

Lampiran 9

Output model baru pembobotan regresi berganda .................... 52

Lampiran 10 Uji Lavene untuk Heteroskedastisitas ....................................... 53 Lampiran 11 Uji Lavene untuk Homoskedastisitas ........................................ 54

xi

PENANGANAN HETEROSKEDASTISITAS PADA REGRESI BERGANDA MELALUI PENDEKATAN WEIGHTED LEAST SQUARE Oleh:

DESI ASTUTY F1A1 12 087

ABSTRAK Metode Weighted Least Square efektif digunakan dalam mengatasi masalah heteroskedastisitas karena melalui prosedur pembobotan pada error OLS 𝜀 yang menghasilkan varian error WLS 𝑓 menjadi homoskedastisitas. Efektifitas WLS dapat juga dilihat dari studi kasus dimana pada OLS terdapat masalah heteroskedastisitas dan pada WLS menjadi homoskedastisitas. Serta nilai 𝑅2 OLS < 𝑅2 WLS dan nilai 𝑆2 OLS > 𝑆 2 WLS. Kata kunci: Heteroskedastisitas, Regresi Berganda, Weighted Least Square.

xii

THE HANDLING OF HETEROSCEDASTICITY THE MULTIPLE REGRESSION THROUGH THE WEIGHTED LEAST SQUARE APPROACH By:

DESI ASTUTY F1A1 12 087

ABSTRACT The weighted least square method is affectively used in mastering heteroscedasticity problem because of weightness procedure at error OLS 𝜀 that bears variance error WLS 𝑓 becomes homoscedasticity. The effectivity of WLS can also be seen from case research where there is heteroscedasticity in OLS and it becomes homoscedasticity in WLS. And the value 𝑅2 in OLS < 𝑅2 in WLS and the value 𝑆2 in OLS > 𝑆 2 in WLS.

Key words:: Heteroscedasticity, Multiple Regression, Weighted Least Square.

xiii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Analisis regresi merupakan suatu metode yang digunakan untuk menganalisis hubungan antar variabel. Hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan yang menghubungkan variabel dependen dengan satu atau lebih variabel independen (Nachrowi, 2008). Salah satu cara untuk mengukur pengaruh antara lebih dari satu variabel independen (variabel bebas) terhadap variabel dependen (variabel terikat) adalah dengan analisis regresi berganda. Analisis regresi linear berganda adalah hubungan secara linear antara dua atau lebih variabel independen (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) dengan variabel dependen (Y). Analisis ini merupakan alat statistik yang memanfaatkan hubungan antara dua atau lebih peubah kuantitatif sehingga salah satu peubah bisa diramalkan dari peubah lainnya. Analisis ini juga digunakan untuk mengetahui arah hubungan antara variabel independen dengan variabel dependen apakah masing-masing variabel independen berhubungan positif atau negatif dan untuk memprediksi nilai variabel apabila nilai variabel independen mengalami kenaikan atau penurunan (Neter, 1997). Dalam analisis regresi linear berganda diperlukan suatu metode untuk menduga parameter agar memenuhi sifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator), metode yang paling sering digunakan adalah Ordinary Least Square (OLS) atau sering disebut dengan Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam melakukan estimasi dengan metode

1

kuadrat terkecil. Asumsi tersebuat antara lain data harus mengikuti sebaran normal, homoskedastisitas, tidak ada multikolinearitas dan tidak ada autokorelasi. Metode kuadrat terkecil akan dapat memenuhi sifat BLUE, jika memenuhi semua asumsi tersebut. Namun jika terdapat salah satu atau lebih asumsi yang tidak terpenuhi, maka hasil estimasi yang diperoleh tidak dapat memenuhi sifat BLUE. Salah satu asumsi yang harus dipenuhi dalam melakukan estimasi adalah homoskedastisitas (homoskedasticity). Homoskedastisitas berarti varian error adalah konstan. Asumsi ini menyatakan peubah respon memiliki varian yang sama sepanjang nilai peubah bebas (Uthami et.al, 2013). Namun jika varian error menunjukkan adanya variasi (varian tak sama) maka kondisi ini disebut heteroskedastisitas. Heteroskedastisitas adalah bentuk pelanggaran terhadap asumsi homoskedastisitas. Jika pada saat melakukan estimasi dengan metode kuadrat terkecil dan kemudian terjadi heteroskedastisitas, maka hasil estimasi yang diperoleh tidak lagi memenuhi sifat BLUE sehingga diperlukan metode alternatif lain dalam melakukan estimasi parameter yang dapat mengatasi adanya heteroskedastisitas. Metode Weighted Least Square (WLS) merupakan salah satu metode yang dapat menyelesaikan masalah heteroskedastisitas. Metode estimasi WLS digunakan jika efisiensi estimator dianggap lebih penting daripada sifat unbiased dan konsisten jika dalam kondisi heteroskedastisitas.WLS memiliki kemampuan untuk mempertahankan sifat efisiensi estimatornya tanpa harus kehilangan sifat tak bias dan konsistensinya (Gujarati,2003). Metode WLS sama halnya seperti metode OLS dengan meminimumkan jumlah sisaan hanya saja pada metode WLS

2

dilakukan pembobotan suatu faktor yang tepat kemudian baru menggunakan metode OLS terhadap data yang telah diboboti. Kelebihan dari metode ini adalah bisa mengatur pentingnya setiap observasi dalam menentukan solusi akhir karena pada OLS diasumsikan bahwa nilai duga parameter regresi bernilai sama untuk setiap observasi. Berdasarkan masalah diatas, maka peneliti mengambil judul penelitian, “Penanganan

Heteroskedastisitas

Pada

Regresi

Berganda

Melalui

Pendekatan Weighted Least Square (WLS)” .

1.2 Rumusan Masalah Masalah dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut: 1.

Bagaimana konsep metode Weighted Least Square (WLS) pada Regresi Berganda untuk mengatasi heteroskedastisitas?

2.

Apakah metode Weighted Least Square (WLS) efektif digunakan pada kasus data yang ada?

1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian ini, yaitu: 1.

Untuk mengetahui teori atau konsep dari metode Weighted Least Square (WLS) pada Regresi Berganda dalam mengatasi heteroskedastisitas.

2.

Untuk mengetahui penerapan metode Weighted Least Square (WLS) pada kasus data yang ada.

3

1.4 Manfaat Penelitian Adapun manfaat penelitian ini,yaitu: 1.

Memberikan informasi kepada pembaca dalam pembuatan model regresi berganda apabila terdapat masalah heteroskedastisitas.

2.

Sebagai masukan kepada pembaca, bagaimana menggunakan metode Weighted Least Square dalam mengatasi masalah heteroskedastisitas.

4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Regresi Gujarati (2006) mendefinisikan analisis regresi sebagai kajian terhadap hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (variabel tidak bebas) dengan satu atau lebih variabel yang menerangkan (variabel bebas). Dalam kasus parametrik, peneliti biasanya menggunakan Metode Kuadrat Terkecil untuk menduga parameter-parameter regresi dengan sampel yang teramati dan melandaskan kesimpulan-kesimpulan yang menyangkut parameterparameter populasi pada asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Salah satu asumsi yang harus dipenuhi adalah kenormalan galat, yaitu bahwa galat berdistribusi normal dengan rata-rata nol dan simpangan baku tertentu. Analisis regresi terbagi menjadi 2, yakni analisis regresi sederhana dan analisis regresi berganda. Analisis regresi

sederhana

adalah

suatu metode

untuk

mengetahui

hubungan

variabel dependen dengan satu variabel independen dalam bentuk persamaan model regresi. Sedangkan analisis regresi berganda adalah suatu metode untuk mengetahui hubungan variabel dependen dengan lebih dari satu variabel independen dalam bentuk persamaan model regresi (Sembiring, 1995). 2.2 Analisis Regresi Berganda Secara umum model regresi berganda adalah sebagai berikut (Hardle, 1995): 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽0 + 𝛽𝑝 𝑋𝑖𝑝 + 𝜀𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

1

5

Selain menggunakan notasi di atas, penggunaan matriks terhadap regresi linear mempunyai banyak keuntungan yaitu menyajikan bentuk yang ringkas untuk menangani model regresi yang memuat banyak variabel . Persamaan diatas merupakan penjabaran dari himpunan n persamaan simultan : 𝑌1 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋11 + 𝛽2 𝑋12 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑋1𝑝 + 𝜀1 𝑌2 = 𝛽0 + 𝛽2 𝑋21 + 𝛽2 𝑋22 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑋2𝑝 + 𝜀2 ⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

𝑌𝑛 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑛1 + 𝛽2 𝑋𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑋𝑛𝑝 + 𝜀𝑛

(2)

Dalam lambang matriks menjadi 1 𝑌1 1 𝑌2 = ⋮ ⋮ 𝑌𝑛 1 𝑛×1

𝑋11 𝑋21 ⋮ 𝑋𝑛1

𝑋12 𝑋22 ⋮ 𝑋𝑛2

⋯ ⋯ ⋯

𝑛 × (𝑝 + 1)

𝑋1𝑝 𝑋2𝑝 ⋮ 𝑋𝑛𝑝

𝜀1 𝛽0 𝜀2 𝛽1 + ⋮ ⋮ 𝜀𝑛 𝛽𝑝 𝑝+1 ×1

(3)

𝑛 ×1

Persamaan diatas juga dapat ditulis secara sederhana, yaitu: 𝑌𝑖 = 𝑋𝛽 + 𝜀

(4)

Keterangan: 𝑌𝑖 : vektor pengamatan variabel dependen yang berukuran 𝑛 × 1 𝑋 : variabel independen yang berukuran 𝑛 × (𝑝 + 1) 𝑝 : banyaknya variabel 𝑘 = 𝑝 + 1 : banyaknya parameter 𝛽 : vektor koefisien variabel independen yang berukuran (𝑝 + 1) × 1 𝜀 : vektor galat yang berukuran 𝑛 × 1 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 menunjukkan banyaknya pengamatan

6

2.3

Metode Ordinary Least Square Menurut Sembiring (1995) metode ordinary least square adalah prosedur

penarikan garis regresi yang memilih suatu garis regresi dan membuat jumlah kuadrat jarak vertikal dari titik-titik yang dilalui garis lurus tersebut sekecil mungkin. Metode ordinary least square adalah metode yang digunakan untuk menaksir β pada persamaan regresi. Prinsip dasar metode ordinary least square adalah meminimumkan jumlah kuadrat error yaitu meminimumkan

𝑛 2 𝑖=1 𝜀𝑖

(Suryanto,1998). Langkah langkah yang dilakukan untuk mngestimasi dengan metode kuadrat terkecil adalah: Pertama meminimumkan kuadrat galat dengan mengubah linier menjadi eksplisit terhadap galat (Tirta, 2009). 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝜀𝑖

(5)

𝑌 adalah nilai taksiran dari 𝑌𝑖 . Persamaan (5) dapat dinyatakan sebagai: 𝜀𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖

(6)

Selanjutnya adalah mengkuadratkan kesalahan yang diperoleh dan menjumlahkannya untuk seluruh pasangan data. Bentuk dari kuadrat kesalahan tersebut dapat dituliskan sebagai: 𝑛 2 𝑖=1 𝜀𝑖

=

𝑛 𝑖=1

𝑌𝑖 − 𝑌𝑖

=

𝑛 𝑖=1

𝑌𝑖 −

2

𝑛 𝑗 =0 𝛽𝑗

𝑋𝑖𝑗

2

(7)

Dimana 𝑋𝑖0 = 0 dan 𝑋𝑖1 = 𝑋𝑖

7

Bentuk persamaan (7) kemudian diturunkan terhadap parameter 𝛽0 dan 𝛽1 , sehingga diperoleh: 𝜕 𝑛𝑖=1 𝜀 𝑖 2 𝜕 𝛽0 𝜕 𝑛𝑖=1 𝜀 𝑖 2 𝜕 𝛽1

= (−2) = (−2)

𝑛 𝑖=1(𝑌𝑖

− 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 )

𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 (𝑌𝑖

(8)

− 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 )

(9)

Prinsip kuadrat terkecil memilih 𝛽0 dan 𝛽1 sedemikian sehingga

𝑛 2 𝑖=1 𝜀𝑖

didapatkan nilai yang paling minimum, sehingga digunakan uji turunan kedua untuk memastikan kondisi minimum, dimana: 𝜕 𝑛𝑖=1 𝜀 𝑖 2 𝜕 𝛽1

> 0 artinya 𝛽1 meminimumkan persamaan (7)

Dari persamaan (8) dan (9) kemudian diturunkan lagi terhadap parameter 𝛽0 dan 𝛽1 , sehingga diperoleh: 𝜕 𝑛𝑖=1(−2) 𝑛𝑖=1(𝑌𝑖 −𝛽0 −𝛽 1 𝑋 𝑖 ) 𝜕 𝛽0

=2

𝜕 𝑛𝑖=1(−2) 𝑛𝑖=1 𝑋 𝑖 (𝑌𝑖 −𝛽0 −𝛽1 𝑋 𝑖 ) 𝜕 𝛽1

Dari uji turunan kedua dapat dilihat

= 2𝑋𝑖 2 𝜕 𝑛𝑖=1 𝜀 𝑖 2 𝜕 𝛽0

> 0 dan

𝜕 𝑛𝑖=1 𝜀 𝑖 2 𝜕 𝛽1

> 0, maka 𝛽0 dan

𝛽1 meminimumkan persamaan (7) Dengan menyamakan persamaan (8) dan (9) dengan nol diperoleh persamaan normal: 𝑛 𝑖=1(𝑌𝑖

− 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 ) = 0

𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 (𝑌𝑖

(10)

− 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 ) = 0

(11)

Setelah disederhanakan, 𝛽0 dan 𝛽1 yang memenuhi syarat adalah: 𝑛 𝑖=1 𝑌𝑖

− 𝑛𝛽0 − 𝛽1 𝑛𝛽0 =

𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑌𝑖

=0

− 𝛽1

𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖

8

𝛽0

1

=𝑛

𝑛 𝑖=1 𝑌𝑖

− 𝛽1

𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖

𝑌 − 𝛽1 𝑋 𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 (𝑌𝑖

− 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 ) = 0

𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑌𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖

− 𝛽0

− 𝛽1 𝛽1

(12)

2 𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 2 𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖

=0 =

𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑌𝑖

− 𝛽0

𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖

Substitusi persamaan (12) 𝛽1 =

𝑛 𝑛𝑖=1 𝑋 𝑖 𝑌𝑖 − 𝑛𝑖=1 𝑋 𝑖 𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 𝑛 𝑛𝑖=1 𝑋 𝑖 2 −( 𝑛𝑖=1 𝑋 𝑖 )2

𝑛 𝑖=1 𝑌 𝑖 𝑋 𝑖 −𝑋 𝑛 𝑋 2 −𝑛 𝑋 2 𝑖=1 𝑖

= Dengan

𝑛 𝑖=1

𝑋𝑖 − 𝑋

2

=

2 𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖

−

𝑛 2 𝑖=1 𝑋

=

2 𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖

− 𝑛 𝑋 2 , maka:

𝑛 𝑖=1 𝑌 𝑖 𝑋 𝑖 −𝑋 𝑛 2 𝑖=1 𝑋 𝑖 −𝑋

𝛽1 =

(13)

Dimana 𝑋=𝑛

1

𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖

(14)

1

𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖

(15)

𝑌=𝑛

Persamaan (12) dan (13) merupakan penaksir kuadrat terkecil. Jika memenuhi asumsi – asumsi regresi linier berganda, maka penaksir kuadrat terkecil mempunyai sifat linear, tak bias, dan variansi minimum atau biasa dikenal dengan sifat BLUE (best, linier, unbiased, estimator). Sifat BLUE adalah asumsi yang dikembangkan oleh Gauss dan Markov, yang kemudian teori tersebut terkenal dengan sebutan Gauss-Markov Theorem, dimana:

9

1. Hasil regresi dikatakan Best apabila garis regresi yang dihasilkan guna melakukan estimasi atau peramalan dari sebaran data, menghasilkan error yang terkecil. 2. Linear dalam model artinya model yang digunakan dalam analisis regresi telah

sesuai

dengan kaidah model OLS dimana variabel-variabel

penduganya hanya berpangkat satu. Sedangkan linear dalam parameter menjelaskan bahwa parameter yang dihasilkan merupakan fungsi linear dari sampel 3. Unbiased atau tidak bias. Suatu estimator dikatakan unbiased jika nilai harapan dari estimator 𝑏 sama dengan nilai yang benar dari 𝑏. Artinya, nilai rata-rata 𝑏 = 𝑏. Bila rata-rata 𝑏 ≠ 𝑏, maka selisihnya itu disebut dengan bias.

2.4

Heteroskedastisitas Heteroskedastisitas adalah kondisi dimana error term tidak memiliki

suatu varian yang konstan untuk semua observasi (Nachrowi, 2002). Menurut Widarjono (2005) terdapat konsekuensi terhadap estimator OLS jika ada masalah heteroskedastisitas namun tetap mempertahankan asumsi metode OLS dan ada kemungkinan tidak akan menghasilkan estimator linear tidak bias yang terbaik. Ada kasus dimana seluruh faktor gangguan tidak memiliki varian yang sama (varian tidak konstan), kondisi ini disebut heteroskedastisitas. Jadi, 𝜀 adalah heteroskedastisitas bila 𝑣𝑎𝑟 (𝜀𝑖 ) ≠ 𝜎𝑖 2 (suatu nilai konstan) tapi 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 = 𝜎𝑖 2 (suatu nilai yang bervariasi).

10

Dalam keadaan homoskedastik, varian dari Y sama, yaitu 𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑖 = 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 2 = 𝜎 2 . Akan tetapi dalam keadaan heteroskedastik, varian (Y) tak sama, yaitu 𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑖 = 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 2 = 𝜎𝑖 2 . Ini berarti bahwa varian (𝑌𝑖 ) atau varian (𝜀𝑖 ) dengan syarat bahwa 𝑋 = 𝑋𝑖 , tak sama untuk X yang berlainan. 2.4.1. Pendeteksi Heteroskedastisitas Menurut Nachrowi (2002), ada beberapa metode yang dapat mendeteksi adanya heteroskedastisitas, yaitu: 1. Metode grafik. Apabila tak ada informasi sebelumnya atau informasi secara empiris tentang adanya heteroskedastisitas dalam prakteknya kita dapat membuat

analisis

regresi

berdasarkan

asumsi

bahwa

tidak

ada

heteroskedastisitas dan kemudian melakukan pengecekan terhadap perkiraan kesalahan pengganggu kuadrat yaitu 𝜀𝑖 , untuk melihat kalau seluruh 𝜀𝑖 menunjukkan pola yang sistematis. Salah satu kelemahan pengujian secara grafik adalah tidak jarang kita ragu terhadap pola yang ditunjukkan grafik. Keputusan secara subjektif tentunya dapat mengakibatkan berbedanya keputusan antara satu orang dengan lainnya. Oleh karena itu, kadang-kadang dibutuhkan uji formal untuk memutuskannya. 2. Untuk uji formal salah satunya dengan menggunakan uji Bartlett. Misalkan sampel berukuran 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑛 dengan data 𝑌𝑖𝑗 dimana 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘 dan 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛𝑘). Selanjutnya sampel-sampel dihitung variansinya masing-masing, yaitu: 𝜎1 2 , 𝜎2 2 , … , 𝜎𝑘 2

11

Untuk mempermudah perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan uji Bartlett lebih baik disusun dalam sebuah tabel sebagai berikut: Tabel 2.4 Satuan-satuan uji Bartlett

No 1 2 ⋮ 𝑘

dk 𝑛1 − 1 𝑛2 − 1 ⋮ 𝑛𝑘 − 1

1/dk 1/𝑛1 − 1 1/𝑛2 − 1 ⋮ 1/𝑛𝑘 − 1

𝑆2 𝑆1 2 𝑆2 2 ⋮ 𝑆𝑘 2

𝑑𝑘 𝑆𝑖 (𝑛1 − 1)𝑆1 2 (𝑛2 − 1)𝑆2 2 ⋮ (𝑛𝑘 − 1)𝑆𝑘 2

𝑙𝑜𝑔 𝑆 2 𝑙𝑜𝑔 𝑆1 2 𝑙𝑜𝑔 𝑆2 2 ⋮ 𝑙𝑜𝑔 𝑆𝑘 2

𝑑𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑆 2 (𝑛1 − 1)𝑙𝑜𝑔 𝑆1 2 (𝑛2 − 1)𝑙𝑜𝑔 𝑆2 2 ⋮ (𝑛𝑘 − 1)𝑙𝑜𝑔 𝑆𝑘 2

Dari tabel 2.4 dihitung nilai-nilai yang dibutuhkan, yaitu: 1. Variansi gabungan dari semua sampel 𝑆2 =

(𝑛 𝑖 −1)𝑆𝑖 2

(16)

(𝑛 −1)

2. Harga satuan B, dengan rumus: 𝐵 = ( 𝑙𝑜𝑔 𝑆 2 ) (𝑛𝑖 − 1)

(17)

Uji Bartlett digunakan statistik chi-kuadrat, yaitu: 𝜒 2 = ln 10 𝐵 − (𝑛 − 1)𝑙𝑜𝑔 𝑆𝑖 2

(18)

Formulasi hipotesis 𝐻0 : tidak terdapat masalah heteroskedastisitas 𝐻1 : terdapat masalah heteroskedastisitas Dengan signifikansi: Jika 𝜒 2 > 𝜒 2

1−𝛼 (𝑘−1)

maka 𝐻0 ditolak dan jika 𝜒 2 ≤ 𝜒 2

1−𝛼 (𝑘 −1)

maka 𝐻0

diterima.

12

2.4.2. Pembobotan Model Regresi Apabila 𝜎𝑖 2 diketahui atau dapat diperkirakan, cara yang paling mudah untuk mengatasi adanya heteroskedastisitas ialah dengan metode kuadrat terkecil tertimbang

(weighted 𝑛 2 𝑖=1 𝜀𝑖

meminimumkan

least

squares).

Pada

metode

kuadrat

terkecil

untuk mendapatkan taksiran, sedangkan pada metode

kuadrat terkecil tertimbang meminimumkan jumlah kuadrat residual tertimbang . Untuk membuat minimum digunakan rumus : 𝑛 2 𝑖=1 𝑤𝑖 𝜀𝑖

=

𝑛 𝑖=1 𝑊𝑖 (𝑌𝑖

=

𝑛 𝑖=1 𝑊𝑖 [(𝑌𝑖

− 𝑌𝑖 )2 − (𝛽0 + 𝛽1 𝑥1 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑝 )]2

(19)

1

Dimana 𝑊𝑖 = timbangan (weight) dengan 𝑊𝑖 = 𝜎 2 , dan 𝛽0 , 𝛽1 adalah penaksir 𝑖

kuadrat terkecil tertimbang. Untuk menggambarkan motode ini, perhatikan model regresi sampel dua variabel berikut: 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 Dengan meminimumkan jumlah kuadrat residual tertimbang, diperoleh: 𝑛 2 𝑖=1 𝑤𝑖 𝜀𝑖

=

𝑛 𝑖=1 𝑊𝑖 (𝑌𝑖

− 𝛼 ∗ − 𝛽 ∗ 𝑋𝑖 )2

(20)

Dimana 𝑎∗ dan 𝛽 ∗ merupakan pemerkira kuadrat terkecil dengan 1

timbangan 𝑊𝑖 = 𝜎 , yaitu timbangan 𝑊𝑖 proporsional terbalik dari varian 𝜀𝑖 atau 𝑌𝑖 𝑖

dengan syarat bahwa 𝑋 = 𝑋𝑖 , perlu diketahui bahwa: 𝑣𝑎𝑟

𝜀𝑖 𝑋𝑖

= 𝐸 (𝜀𝑖

𝑋𝑖 )2

= 𝐸 (𝜀𝑖 )2 𝑋𝑖 = 𝜎𝑖 2 𝑋𝑖 𝑋𝑖 = 𝜎𝑖 2 13

Dengan mendeferensialkan (20) terhadap 𝑎∗ dan 𝛽 ∗ , diperoleh: 𝜕 𝑛𝑖=1 𝑤 𝑖 𝜀 𝑖 2

𝑛 𝑖=1 𝑊𝑖 (𝑌𝑖

= −2

𝜕𝑎∗

𝜕 𝑛𝑖=1 𝑤 𝑖 𝜀 𝑖 2

𝑛 𝑖=1 𝑊𝑖 (𝑌𝑖

=2

𝜕𝛽 ∗

− 𝛼 ∗ − 𝛽 ∗ 𝑋𝑖 )

− 𝛼 ∗ − 𝛽 ∗ 𝑋𝑖 ) (−𝑋𝑖 )

Dengan menetapkan persamaan-persamaan diatas dengan nol, maka akan diperoleh persamaan normal berikut: −2

𝑛 𝑖 =1 𝑊𝑖 (𝑌𝑖

⟺

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑌𝑖

− 𝛼∗

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

− 𝛽∗

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

⟺

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑌𝑖

= 𝛼∗

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

+ 𝛽∗

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑊𝑖 (𝑌𝑖

2

− 𝛼 ∗ − 𝛽 ∗ 𝑋𝑖 ) = 0

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖

⟺

Nyatakan

(21)

− 𝛼 ∗ − 𝛽 ∗ 𝑋𝑖 ) (−𝑋𝑖 )

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖

⟺−

=0

+ 𝛼∗

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

= 𝛼∗

𝑋∗ =

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖

2 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

𝑋𝑖 + 𝛽 ∗

2 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

𝑋𝑖 + 𝛽 ∗

dan

=0

𝑌∗ =

𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑌 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖

,

(22) maka

persamaan (21)

memberikan: 𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑌 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖

𝛼∗ =

− 𝛽∗

𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖

⟺ 𝛼 ∗ = 𝑌∗ − 𝛽∗𝑋 ∗ Dengan mensubstitusikan nilai 𝛼 ∗ kedalam persamaan (22), diperoleh: 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖

⟺

= (𝑌 ∗ − 𝛽 ∗ 𝑋 ∗ )

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖

=

𝑛

⟺

𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 𝑖=1

𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

− 𝛽∗

+ 𝛽∗

𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑌 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖

𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑌 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

2 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

2 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

+ 𝛽∗

𝑛

−𝛽

∗

𝑛

𝑤𝑖 𝑋𝑖 + 𝛽 𝑖=1

𝑤𝑖 𝑋𝑖 2 = 0

∗ 𝑖=1

14

𝑛 𝑤 𝑌 𝑛 𝑤 𝑋 𝑖=1 𝑖 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑛 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 𝑖 𝑌 𝑖 − 𝑖=1 𝑖 𝑛 𝑤 𝑋 2 𝑛 𝑤 𝑋 2 − 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖

⟺ 𝛽∗ =

(23)

Persamaan (23) dapat disederhanakan menjadi: 𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 𝑖 𝑌 𝑖 − 𝑛 𝑤 𝑋 2− 𝑖=1 𝑖 𝑖

𝛽∗ =

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖

=

𝛽∗ =

𝑌 ∗𝑋 ∗ 𝑋∗

2

𝑛 𝑛 ∗ ∗ 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑌 𝑋 − 2 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 − 2 𝑖=1 𝑤𝑖

=

=

𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑌𝑖

− 𝑋∗ −

2 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

−2

𝑛 𝑛 ∗ 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 𝑖 𝑌 𝑖 − 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 𝑌 𝑖 + 2 𝑛 𝑤 𝑋 2 −2𝑋 ∗ 𝑛 𝑤 𝑋 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖 𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 ∗2

𝑋

− 𝑌∗

𝑌∗ +

+

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

+

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 ∗2

𝑌∗𝑋 ∗

𝑋

+

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

𝑋∗

𝑌∗𝑋 ∗

2

𝑛 ∗ ∗ 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑌 𝑋 2 + 𝑛𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 ∗

𝑛 ∗ 𝑌 −𝑌 ∗ 𝑖 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 𝑖 −𝑋 𝑛 𝑤 𝑋 −𝑋 ∗ 𝑖=1 𝑖 𝑖

(24)

Heteroskedastisitas dapat diselesaikan apabila dianggap atau diasumsikan bahwa 𝑣𝑎𝑟 𝜀 = 𝑕𝑋𝑖 2 , dimana h = konstan dan 𝑕 ≠ 0, kita dapat mengoreksi adanya heteroskedastisitas dengan jalan membagi setiap suku di dalam regresi baru dengan variabel yang sudah diubah bentuknya (transformed variables). Untuk hubungan dua variabel atau regresi sederhana bentuknya sebagai berikut : 𝑌𝑖 𝑋𝑖

𝐴

𝜀

𝑖

𝑖

=𝑋 +𝐵+𝑋

(25)

Kesalahan pengganggu sekarang menjadi 𝜀 𝑋𝑖 dan variannya menjadi homoskedastik, yaitu: 𝑣𝑎𝑟

𝜀 𝑋𝑖

2

1

= 𝑋 2 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖

2

𝑖

1

= 𝑋 2 × 𝑕 × 𝑋𝑖 2 𝑖

=𝑕

(26)

15

Perlu diperhatikan, titik potong yang asli berubah menjadi variabel setelah dibagi dengan 𝑋𝑖 , yaitu 𝐴 𝑋𝑖 , sedangkan koefisien regresi β sekarang memegang peranan sebagai titik potong yang baru. Di dalam membuat interpretasi harus berhati-hati mengenai regresi yang ditimbang, berdasarkan variabel yang sudah dirubah (transformed). Di dalam hal regresi berganda, lebih dari satu variabel bebas, setiap suku dalam regresi dibagi dengan salah satu variabel bebas yang berkorelasi kuat. Berikut adalah contoh persamaan : 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1𝑖 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝜀𝑖

(27)

Setelah ditransformasi: 𝑌𝑖 𝑋 2𝑖

𝛽

= 𝑋0 +

𝛽1 𝑋 1𝑖

2𝑖

𝑋 2𝑖

𝜀

+𝑋

(28)

2𝑖

Untuk persamaan yang ditimbang, titik potong 𝛽0 berubah menjadi variabel 𝛽0 𝑋2𝑖 , sedangkan koefisien regresi 𝛽2 berubah menjadi titik potong.

2.5

Weighted Least Square (WLS)

2.5.1 WLS untuk Regresi Linear Sederhana Meminimumkan SSE pada regresi linear sederhana, yaitu : 𝑆𝑆𝐸 =

𝑛 𝐼=1

𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽𝑖 𝑋𝑖

2

(29)

Sedangkan untuk WLS, masing-masing jumlah kuadrat error akan dikali dengan penimbang atau pembobot yaitu 𝑤𝑖 , sehingga 𝑆𝑆𝐸𝑤 = 𝑄𝑤 =

𝑛 𝐼=1 𝑤𝑖

𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖

2

(30)

Sehingga diperoleh nilai dari koefisien regresinya dengan meminimalkan nilai 𝑄𝑤 . Meminimumkan kuadrat eror terhadap 𝛽0 dan 𝛽1 :

16

𝜕 𝑄𝑤 𝜕𝛽0

𝑛

𝑛

= 0 → −2

𝑤𝑖 𝑦𝑖 + 2𝛽0 𝑖=1

𝑛

𝑤𝑖 + 2𝛽1 𝑖=1

𝑤𝑖 𝑥𝑖 = 0 𝑖=1

dan

𝜕𝑄𝑤 = 0 → −2 𝜕𝛽1

𝑛

𝑛

𝑛

𝑤𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖 + 2𝛽0 𝑖=1

𝑤𝑖 𝑥𝑖2 = 0

𝑤𝑖 𝑥𝑖 + 2𝛽1 𝑖=1

𝑖=1

Sehingga diperoleh persamaan normal : 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑌𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

= 𝑏0

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖

= 𝑏0

+ 𝑏1

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑋𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤1 𝑋𝑖

+ 𝑏1

(31)

𝑛 2 𝑖=1 𝑤1 𝑋𝑖

(32)

Dari persamaan (31) diperoleh: 𝑏0 =

n w Y −b n 1 i=1 w1Xi i=1 i i n w i=1 i

(33)

Dengan mensubstitusi persamaan (32) dan (33), diperoleh: 𝑛

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑌𝑖

𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 𝑖=1

=

− 𝑏1 𝑛𝑖=1 𝑤1 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖

𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑌 𝑖 −𝑏 1 𝑖=1 𝑤 1 𝑋 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖

𝑏1 =

−

𝑛

𝑛

𝑤1 𝑋𝑖2

𝑤𝑖 𝑋𝑖 + 𝑏1 𝑖=1

𝑛 𝑖=1 𝑤 𝑖 𝑋 𝑖 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖

𝑖=1

+ 𝑏1

𝑛 𝑤 𝑌 𝑛 𝑤 𝑋 𝑛 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑤 𝑋 𝑌 − 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖 𝑛 𝑤 𝑋 2 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑛 2 𝑛 𝑤 𝑖=1 𝑤 1 𝑋𝑖 − 𝑖=1 𝑖

𝑛 2 𝑖=1 𝑤1 𝑋𝑖

(34)

2.5.2 WLS untuk Regresi Linear Berganda Menurut Wiwiek (2015), kriteria kuadrat terkecil untuk regresi linear berganda adalah sebagai berikut: 𝑆𝑆𝐸 =

𝑛 𝐼=1

𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 − ⋯ − 𝛽𝑖 𝑋𝑖

2

(35)

Sedangkan untuk WLS, masing-masing jumlah kuadrat error akan dikali dengan penimbang yaitu 𝑤𝑖 , sehingga

17

𝑆𝑆𝐸𝑤 = 𝑄𝑤 =

𝑛 𝐼=1 𝑤𝑖

𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋1 − 𝛽2 𝑋2 − ⋯ − 𝛽𝑖 𝑋𝑖

2

(36)

Parameter (𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑝 ) diperoleh melalui diferensial 𝑄𝑤 terhadap setiap parameter 𝛽 seperti pada kasus satu variabel x. Sehingga diperoleh nilai dari koefisien

regresinya dengan meminimalkan nilai 𝑄𝑤 . Meminimumkan kuadrat eror terhadap 𝛽0 dan 𝛽1 yaitu dengan cara: 𝜕 𝑄𝑤 𝛽0

,

𝜕 𝑄𝑤 𝛽1

,… ,

𝜕 𝑄𝑤 𝛽𝑝

(37)

Dari persamaan (37) akan menghasilkan p persamaan normal dan dengan melalui 𝛽0 𝛽 proses aljabar matriks, maka 𝛽 = ⋮1 diperoleh. 𝛽𝑝

18

BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Pengumpulan informasi pada penelitian ini dilaksanakan dari bulan Desember 2015 sampai dengan bulan Maret 2016, dan akan dilanjutkan pada tugas akhir perkuliahan. Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Komputasi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Halu Oleo.

3.2 Jenis dan Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diambil dari Badan Pusat Statistik yang pada penelitian ini digunakan hanya sebagai penerapan dari konsep yang ada. Data yang terdapat dalam penelitian ini adalah data mengenai Pengeluaran Wisatawan di Indonesia tahun 2012. Peubah terikat (Y) yang digunakan adalah pengeluaran wisatawan, kemudian peubah bebasnya (X) adalah lama tinggal (𝑋1 ), akomodasi (𝑋2 ) dan jumlah objek wisata (𝑋3 ). 3.3 Prosedur Penelitian 1. Melakukan penelurusan pustaka yang berhubungan dengan metode WLS pada regresi berganda. 2. Membuat uji formal dan uji nonformal untuk melihat apakah terdapat masalah heteroskedastisitas baik dalam bentuk grafik maupun dengan uji Bartlett.

19

3. Menerapkan metode WLS dengan langkah-langkah: a. Menentukan matriks rancangan X b. Menentukan matriks pembobot 𝑃−1 c. Menetukan matriks Q= 𝑃−1 𝑋 d. Menentukan koefisien regresi WLS (𝛽𝑤 ) e. Menentukan variansi (𝛽𝑤 ) 4. Mendeteksi kembali heteroskedastisitas apabila masih ada atau tidak dengan menggunakan uji Bartlett. 5. Membuat Kesimpulan

20

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 4.1

Metode Weighted Least Square Menurut Wiwiek (2015) salah satu asumsi penting dalam membuat

model regresi berganda adalah 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 harus sama dengan 𝜎 2 (konstan), atau dengan kata lain, semua residual atau error mempunyai varians yang sama. Kondisi ini disebut homoskedastisitas. Sedangkan apabila varians residual tidak identik mengakibatkan 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖

tidak sama untuk setiap i, dinotasikan

𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 = 𝜎𝑖 2 disebut heteroskedastisitas. Salah satu cara untuk mengatasi heteroskedastisitas adalah dengan pembobotan. Pada kondisi heteroskedastisitas, mula-mula 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 = 𝜎𝑖 2 pada setiap 𝜀𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, jika ditulis dalam bentuk matriks, yaitu: 𝑣𝑎𝑟 𝜀1 𝑐𝑜𝑣 𝜀2 , 𝜀1 𝑣𝑎𝑟 𝜀 = ⋮ 𝑐𝑜𝑣 𝜀𝑛 , 𝜀1 𝜎1 2 = 0 ⋮ 0 =𝑽

0 𝜎2 2 ⋮ 0

𝑐𝑜𝑣 𝜀1 , 𝜀2 𝑣𝑎𝑟 𝜀2 ⋮ 𝑐𝑜𝑣 𝜀𝑛 , 𝜀2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

𝑐𝑜𝑣 𝜀1 , 𝜀𝑛 𝑐𝑜𝑣 𝜀2 , 𝜀𝑛 ⋮ 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑛

0 0 ⋮ 𝜎𝑛 2 (38)

Karena adanya asumsi tentang homoskedastisitas, maka setiap kesalahan pengganggu mempunyai varian yang sama dan tidak ada korelasi serial, artinya antar kesalahan pengganggu yang satu dengan yang lainnya bebas, yaitu 𝑐𝑜𝑣 𝜀𝑛 , 𝜀𝑚 = 0

21

Agar 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 = 𝜎 2 maka dilakukan pembobotan/transformasi pada setiap 𝜀𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 yaitu: 𝜀

𝜀𝑖 → 𝜎 𝑖2 ; 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛

(39)

𝑖

Jika diuraikan 𝜀

𝜀1 → 𝜎 12 1

𝜀

𝜀2 → 𝜎 22 2

⋮ 𝜀

𝜀𝑛 → 𝜎 𝑛2 𝑛

Jika ditulis dalam bentuk matriks menjadi: 1 𝜎1 2

0 ⋮ 0

0

⋯

1

⋯

𝜎2 2

⋱ 0

0

𝜀1 𝜀2 0 × ⋮ , ⋮ 𝜀𝑛 1

⋱ ⋯

𝜎𝑛 2

Katakan misalnya: 1 𝜎1 2

𝑽−𝟏 =

0 ⋮ 0

0

⋯

0

1

⋯

0

⋱ ⋯

1

𝜎2 2

⋱ 0

⋮

𝜀1 𝜀2 dan 𝜀 = ⋮ 𝜀𝑛

𝜎𝑛 2

Matriks 𝑽−𝟏 berupa matriks diagonal yang berelemenkan nilai-nilai pembobot, 1

yaitu 𝜎 2 = 𝑤𝑖 , matriks ini disebut matriks pembobot. 𝑖

Dari matriks 𝑽−𝟏 maka diperoleh matriks pembobot lainnya, yaitu matriks 𝑷−𝟏 yang juga merupakan matriks diagonal, dan elemenya merupakan 1

akar elemen 𝑽−𝟏, yaitu 𝜎 = 𝑤𝑖 0,5 . 𝑖

22

1 𝜎1

𝑷−𝟏 =

0

0

⋯

0

1

⋯

0

⋱ ⋯

1

𝜎2

⋮ 0

⋱ 0

𝑤1 0,5 = 0 ⋮ 0

0 0,5

𝑤2 ⋱ 0

⋮

𝜎𝑛

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

0 0 ⋮

(40)

𝑤𝑛 0,5

Atau matriks P jika ditulis dalam matriks, yaitu: 𝜎1 𝑷= 0 ⋮ 0

0 𝜎2 ⋱ 0

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

0 0 ⋮ 𝜎𝑛

dimana matriks P ditentukan sedemikian rupa sehingga memenuhi : 𝑷𝑇 𝑷 = 𝑷𝑷 = 𝑷2 = 𝑽

(41)

Diketahui model regresi linear dirumuskan sebagai berikut: 𝑌 = 𝑋𝛽 + 𝜀 kemudian diberikan penimbang sehingga diperoleh model regresi terboboti yaitu : 𝑷−𝟏 𝒀 = 𝑷−𝟏 𝑿𝜷 + 𝑷−𝟏 𝜺

(42)

Jika vektor residual 𝑃−1 𝜀 disimbolkan dengan 𝑓, atau: 𝒇 = 𝑷−𝟏 𝜺

(43)

Kemudian 𝑃−1 𝑌 disimbolkan menjadi 𝑌𝑤 , atau: 𝒀𝒘 = 𝑷−𝟏 𝒀

(44)

Kemudian 𝑃−1 𝑋 disimbolkan menjadi 𝑄𝑤 , atau: 𝑸𝒘 = 𝑷−𝟏 𝑿

(45)

23

Maka model regresi terboboti adalah 𝑌𝑤 = 𝑄𝑤 𝛽 + 𝑓 dengan 𝑞01 𝑞11 ⋯ 𝑞𝑘1 𝑞02 𝑞12 ⋯ 𝑞𝑘2 𝑸= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑞0𝑛 𝑞1𝑛 ⋯ 𝑞𝑘𝑛 Error terboboti yaitu 𝑓 = 𝑃−1 𝜀, memiliki sifat seperti error pada regresi OLS, yaitu 𝑣𝑎𝑟 𝜀 = 𝐼𝜎 2 (homoskedastisitas). Penjabaran 𝑣𝑎𝑟 𝑓 secara rinci adalah sebagai berikut : Diketahui 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 (𝑋 − 𝐸(𝑋)𝑇 𝐸 𝜀 =0 𝑣𝑎𝑟 𝜀 = 𝜎 2 Maka 𝐸 𝑓 = E (𝑃−1 𝜀) = 𝑃−1 𝐸 𝜀 = 𝑃−1 0 =0 dan diperoleh: 𝑣𝑎𝑟 𝑓 = 𝐸 𝑓 − 𝐸 𝑓 (𝑓 − 𝐸 𝑓 )𝑇 = 𝐸(𝑓 − 0)(𝑓 − 0)𝑇 = 𝐸(𝑓𝑓 𝑇 ) = 𝐸(𝑃−1 𝜀 𝑃−1 𝜀)𝑇 = 𝐸 𝑃−1 𝜀𝜀 𝑇 𝑃−1 = 𝑃−1 𝐸 𝜀𝜀 𝑇 𝑃−1 = 𝑃−1 𝜎 2 𝑃 −1 = 𝐼𝜎 2

(46)

24

Melalui penjabaran diatas, menunjukkan bahwa error terboboti 𝑓 telah memenuhi asumsi homoskedastisitas.

4.2

Penaksiran Parameter Koefisien Regresi WLS dan Variansinya Jika menggunakan notasi matriks, meminimumkan jumlah kuadrat galat

pada WLS sama dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat pada OLS yang diberi pembobot, yaitu: 𝑃−1 𝜀

𝑇

𝑃−1 𝜀 = 𝑓 𝑇 𝑓 = 𝑓1

𝑓2

⋯

𝑓𝑛

𝑓1 𝑓2 ⋮ 𝑓𝑛

= 𝑓1 2 + 𝑓2 2 ⋯ + 𝑓𝑛 2 =

2 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖

(47)

Penaksir kuadrat terkecil 𝑏𝑤 didapatkan dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galatnya, yaitu: 𝑌𝑤 = 𝑄𝑏𝑤 + 𝑓 maka 𝑓 = 𝑌𝑤 − 𝑄𝑏𝑤 , sehingga 𝐿=

2 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖

= 𝑓𝑇 𝑓 = 𝑌𝑤 − 𝑄𝑏𝑤

𝑇

𝑌𝑤 − 𝑄𝑏𝑤

= 𝑌𝑤 𝑇 𝑌𝑤 − 𝑏𝑤 𝑇 𝑄𝑇 𝑌𝑤 − 𝑌𝑤 𝑇 𝑄𝑏𝑤 + 𝑏𝑤 𝑇 𝑄𝑇 𝑄𝑏𝑤 = 𝑌𝑤 𝑇 𝑌𝑤 − 2𝑏𝑤 𝑇 𝑄𝑇 𝑌𝑤 + 𝑏𝑤 𝑇 𝑄𝑇 𝑄𝑏𝑤

25

Penaksir kuadrat terkecil itu harus memenuhi: 𝜕𝐿 𝜕𝛽

=0

−2𝑄𝑇 𝑌𝑤 + 2𝑄𝑇 𝑄𝑏𝑤 = 0 Penyederhanaannya menjadi: 𝑄𝑇 𝑄𝑏𝑤 = 𝑄𝑇 𝑌𝑤 Kedua sisi dikalikan 𝑄𝑇 𝑄 𝑏𝑤 = 𝑄𝑇 𝑄

−1

−1

, maka diperoleh penyelesaian untuk 𝑏𝑤 , yaitu:

𝑄𝑇 𝑌𝑤

(48)

Maka penaksir parameter koefisien regresi didapatkan dengan rumus berikut : 𝑏0𝑤 𝑏 𝒃𝒘 = 1𝑤 = (𝑸𝑻 𝑸)−𝟏 𝑸𝑻 𝒀𝒘 ⋮ 𝑏𝑘𝑤 = ((𝑷−𝟏 𝑿)𝑻 𝑷−𝟏 𝑿)−𝟏 (𝑿𝑷−𝟏 )𝑻 (𝑷−𝟏 𝒀) = 𝑿𝑻 𝑷−𝟏 𝑷−𝟏 𝑿)−𝟏 𝑿𝑻 𝑷−𝟏 𝑷−𝟏 𝒀 = (𝑿𝑻 𝑽−𝟏 𝑿)−𝟏 𝑿𝑻 𝑽−𝟏 𝒀

(49)

Matrik V bukan matrik identitas, tetapi seperti ketentuan di atas pada persamaan (41). Jika 𝑌 = 𝐴𝑋, dimana 𝐴 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 Maka 𝐸 𝑌 = 𝐸 𝐴𝑋 = 𝐴𝐸 𝑋 𝑣𝑎𝑟 𝑌 = 𝐸 𝑌 − 𝐸 𝑌 (𝑌 − (𝐸 𝑌 )𝑇 = 𝐸(𝐴𝑋 − 𝐸 𝐴𝑋 )(𝐴𝑋 − 𝐸(𝐴𝑋))𝑇 = 𝐸(𝐴(𝑋 − 𝐸 𝑋 )(𝐴(𝑋 − 𝐸(𝑋))𝑇 = 𝐴𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑋) (𝑋 − 𝐸(𝑋)𝑇 𝐴𝑇 = 𝐴𝜎 2 𝑥 𝐴𝑇

(50)

26

Dengan mengacu pada persamaan (50), variansi dari 𝑏𝑤 , yaitu: 𝑣𝑎𝑟 𝑏𝑤 = 𝑣𝑎𝑟 𝑸𝑻 𝑸

−𝟏

𝑸 𝑻 𝒀𝒘

= 𝑸𝑻 𝑸

−𝟏

𝑸𝑻 𝑣𝑎𝑟(𝒀𝒘 ) 𝑸𝑻 𝑸

= 𝑸𝑻 𝑸

−𝟏

𝑸𝑻 𝝈𝟐 𝑸(𝑸𝑻 𝑸)−𝟏

= 𝑸𝑻 𝑸

−𝟏

(𝑸𝑻 𝑸)(𝑸𝑻 𝑸)−𝟏 𝝈𝟐

−𝟏

𝑸𝑻

𝑻

= 𝑰(𝑸𝑻 𝑸)−𝟏 𝝈𝟐 = (𝑸𝑻 𝑸)−𝟏 𝝈𝟐

(51)

Sehingga variansi penaksir parameter regresi OLS dalam notasi matriks, yaitu:

𝑣𝑎𝑟 𝑏𝑤

𝑣𝑎𝑟 𝑏0𝑤 𝑐𝑜𝑣(𝑏0𝑤 , 𝑏1𝑤 ) … 𝑐𝑜𝑣(𝑏0𝑤 , 𝑏𝑘𝑤 ) 𝑐𝑜𝑣(𝑏1𝑤 , 𝑏0𝑤 ) 𝑣𝑎𝑟 𝑏1𝑤 … 𝑐𝑜𝑣(𝑏1𝑤 , 𝑏𝑘𝑤 ) = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑐𝑜𝑣(𝑏𝑘𝑤 , 𝑏0𝑤 ) 𝑐𝑜𝑣(𝑏𝑘𝑤 , 𝑏1𝑤 ) … 𝑣𝑎𝑟 𝑏𝑘𝑤

= (𝑸𝑻 𝑸)−𝟏 𝝈𝟐 = (𝑿𝑻 𝑽−𝟏 𝑿)−𝟏 𝝈𝟐

(52)

Jadi, diperoleh : 𝑏𝑤 = 𝑿𝑻 𝑽−𝟏 𝑿

−𝟏

𝑿𝑻 𝑽−𝟏 𝒀

𝑣𝑎𝑟 (𝑏𝑤 ) = 𝑿𝑻 𝑽−𝟏 𝑿

4.3

−𝟏 𝟐

𝝈

Deskripsi Data Penelitian ini menggunakan 33 data propinsi mengenai pengeluaran

wisatawan mancanegara selama di Indonesia tahun 2012 sebagai variabel respon (Y), sedangkan faktor-faktor yang dianggap berpengaruh terhadap variabel respon (Y) yaitu lama tinggal (𝑋1 ), akomodasi (𝑋2 ) dan jumlah objek wisata (𝑋3 ) .

27

Tabel 4.3 Deskripsi Data No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Provinsi Aceh Sumatera Utara Sumatera Barat Riau Jambi Sumatera Selatan Bengkulu Lampung Kep Bangka Belitung Kepulauan Riau DKI Jakarta Jawa Barat Jawa Tengah DI Yogyakarta Jawa Timur Banten Bali Nusa Tenggara Barat Nusa Tenggara Timur Kalimantan Barat Kalimantan Tengah Kalimantan Selatan Kalimantan Timur Sulawesi Utara Sulawesi Tengah Sulawesi Selatan Sulawesi Tenggara Gorontalo

Pengeluaran 772,93 709,39 840,71 658,59 929,06

Lama tinggal 7,29 5,30 5,46 4,16 5,88

1114,78

5,96

46

1140,18 1137,51

7,75 6,75

5 9

1137,1

6,35

23

1161,35 793,5 922,81 1043,67 1059,04 1740,81 1711,99 1863,13

7,41 5,71 6,88 5,89 6,28 13,31 14,90 9,89

70 175 208 139 52 98 42 218

1646,66

12,92

43

1689,64

12,47

15

1487,29

10,04

25

1890,25

15,14

9

1718,21

15,26

35

1486,42

9,45

43

1632,11

14,53

28

1986,82

15,85

3

1610,97

10,14

57

1655,1

11,41

10

1454,13

9,20

1

Akomodasi Hiburan 22 42 83 31 45 300 41 489 20 80 43 43 308 47 39 219 245 117 73 8 88 67 41 51 83 94 425 126 16 88 34 47 33

28

29 30 31 32 33

Sulawesi Barat Maluku Maluku Utara Papua Barat Papua Jumlah Rata-Rata

1836,56 1617,36 1989,32 1597,52 1579,12 45614,03 1382,243333

13,03 11,07 14,02 9,08 10,24 319,0207923 9,667296735

6 19 3 19 11 1623 49,181818

39 14 23 17 20 3390 102,727

Berdasarkan Tabel 4.3. diperoleh total pengeluaran wisatawan dari 33 propinsi yang diamati yaitu sebanyak 45614,03 (𝑈𝑆 $) dengan rata-rata pengelurannya sebanyak 1382,24 (𝑈𝑆 $) dan simpangan baku 404,004 (𝑈𝑆 $) . Lama tinggal wisatawan di Indonesia selama tahun 2012 adalah 319,02 hari dengan rata-rata tinggalnya 9,67 hari dan simpangan baku 3,59. Jumlah akomodasi di Indonesia sebanyak 1623 dengan rata-ratanya 49,19 dan simpangan baku 59,403. Serta Jumlah objek wisata di Indonesia adalah sebanyak 3390 dan rata-rata 102,73 serta simpangan baku 120,69. Dapat dilihat pada variabel 𝑋1 yang mempunyai sumbangan cenderung besar terhadap variabel Y adalah Sulawesi Tengah dan yang mempunyai sumbangan terrendah adalah Riau. Pada variabel 𝑋2 yang mempunyai sumbangan cenderung besar terhadap variabel Y adalah Bali dan yang mempunyai sumbangan terrendah adalah Gorontalo. Pada variabel 𝑋3 yang mempunyai sumbangan cenderung besar terhadap variabel Y adalah Riau dan yang mempunyai sumbangan terrendah adalah Jawa Timur. Setelah mendeskripsikan data, maka langkah selanjutnya melakukan pengujian untuk mengetahui apakah data mengalami heteroskedastisitas atau tidak. Pengujian heteroskedastisitas tersebut dapat dilakukan dengan uji non

29

formal dan uji formal. Dalam penelitian ini, menggunakan uji non formal dan salah satu uji formal.

4.4

Pendeteksian Heteroskedastisitas

4.4.1 Uji non Formal Uji heteroskedastisitas secara non formal dilakukan dengan melihat ada tidaknya pola tertentu pada grafik estimasi OLS. Pengujian non formal dengan menggunakan software “Minitab 16”, maka diperoleh:

Gambar 4.4a Plot antara Estimasi Y dengan Residual Berdasarkan Gambar 4.4a maka terlihat plot residual terhadap nilai dugaan menunjukkan pola yang sistematik, yaitu dimana sebaran titik-titik pada awalnya berada ditengah, menurun kemudian naik, ini mengindikasi asumsi eror identik tidak terpenuhi, atau terjadi kondisi heteroskedastisitas. Untuk memastikan data mengalami heteroskedastisitas atau tidak, maka dilakukan uji formal.

4.4.2 Uji Formal Dalam penelitian ini uji formal dengan menggunakan uji Bartlett, digunakan untuk memeriksa apakah data percobaan sudah memenuhi asumsi kehomogenan ragam. Uji ini wajib dilakukan sebelum memeriksa ragam data. 30

Pada uji ini, pertama-tama dilakukan pengelompokkan data, lalu dihitung variansi setiap kelompok. Hasil output Minitab pengelompokkan data dapat dilihat pada Lampiran 3 dan Lampiran 4. Adapun langkah-langkah pengelompokkannya, yaitu: 

Melakukan analisis komponen utama agar antar variabel X saling bebas. Hasil analisis komponen utama dapat dilihat pada Lampiran 3.



Analisis gerombol dalam pengelompokkan pengeluaran wisatawan, yang bertujuan untuk mengelompokkan 33 unit pengamatan ke dalam beberapa gerombol berdasarkan 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 peubah, sehingga unit-unit pengamatan dalam satu gerombol mempunyai karakteristik yang lebih homogen dibandingkan unit pengamatan dalam gerombol lain. Lalu dihitung keragaman setiap kelompok yang inversnya akan menjadi pembobot bagi setiap data pengamatan. Data-data yang berada dalam satu kelompok mendapat pembobot yang sama. Analisis ini dengan software Minitab 16 menggunakan skor komponen utama yang menghasilkan suatu gerombol besar seperti diperlihatkan pada dendogram (Gambar 4.4b) dan tahapan penggerombolan dengan metode Ward dapat dilihat pada Lampiran 4.

Gambar 4.4b Dendogram metode Ward dengan jarak Euclid dari 33 propinsi. 31

Berdasarkan hasil dendogram, diperoleh 5 kelompok pengeluaran wisatawan (Tabel 4.4.2a) dan pengelompokkan ini akan digunakan juga pada tindakan perbaikan. Dari tabel 4.3.2a maka dapat ditentukan variansi pengeluaran wisatawan (Y) dari masing-masing kelompok. Tabel 4.4.2.a Pengelompokkan propinsi Kelompok Propinsi Aceh, Sumatera Utara, Jambi, Sumatera Selatan, 1 Kep. Bangka Belitung, DIY Bengkulu, Kalimantan Barat, Kalimantan Timur, Sulawesi Selatan, Sulawesi Tenggara, Gorontalo, 2 Maluku, Papua Barat, Papua Jawa Timur, Banten, NTB, NTT, Kalimantan Barat, Sulawesi Utara, Sulawesi Tengah, Sulawesi 3 Barat, Maluku Utara Sumatera Barat, Riau, Lampung, Kalimatan 4 Selatan 5 DKI Jakarta, Jawa Barat, Jawa Tengah, Bali

𝑆2 33433,99

24501,41

27440,57 215052,96 232811,49

Hipotesis statistik untuk pengujian homogenitas variansi adalah: H0 : 𝜎12 = 𝜎22 = 𝜎32 = 𝜎42 = 𝜎52 H1 : paling sedikit ada satu tanda sama dengan tidak berlaku Langkah-langkah perhitungan: 1.

Variansi dari setiap kelompok 𝑠12 =

𝑛 𝑖=1

𝑌𝑖 −𝑌 2

𝑛 −1

𝑠12 = 33433,99 Dengan cara yang sama, diperoleh variansi untuk 𝑠22 , 𝑠32 , 𝑠42 dan 𝑠52 berturutturut sebagai berikut: 𝑠22 = 24501,41 , 𝑠23 = 27440,57 , 𝑠42 = 215052,97 dan 𝑠52 = 232811,5

32

2.

Tabel proses perhitungan homogenitas variansi

Tabel 4.4.2.b Homogenitas variansi Kelompok dk 1/dk S^2 1 6 0,167 33433,99 2 8 0,125 24501,41 3 8 0,125 27440,57 4 3 0,33 215052,97 5 3 0,33 232811,5 Jum 28 0,036 3.

log S^2 4,524188208 4,389191099 4,438393101 5,332545436 5,367004425

dk log S^2 dk S^2 27,14512925 200604 35,11352879 196011 35,50714481 219525 15,99763631 645159 16,10101328 698434 129,8644524 1959733

Menghitung variansi gabungan 𝑠2 =

(𝑑𝑘 𝑠𝑖2 ) 1959733 = = 69990,47 𝑑𝑘 28

log 𝑠 2 = 4,845 4.

Menghitung nilai B 𝐵=

5.

𝑑𝑘 log 𝑠 2 = 135,66

Menghitung nilai 𝜒 2 𝜒 2 = ln 10 𝐵 −

𝑑𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖2

𝜒 2 = 2,303 × {135,66 − 129,864} 𝜒 2 = 2,303 × 5,796 = 13,35 Jadi, untuk 𝛼 = 5% dari daftar distribusi 𝜒 2 dengan 𝑑𝑘 = 5 − 1 = 4 didapat

𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 9,48773

yang

ternyata

bahwa

𝜒 2 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 (13,35) >

𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (9,48773) sehingga hipotesis yang menyatakan variansi homogen ditolak dalam taraf 𝛼 = 5%. Dengan menggunakan software Minitab 16 dapat dilihat pada Lampiran 10.

33

4.5

Tindakan Perbaikan Untuk melakukan tindakan perbaikan model regresi yang mengalami

heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan proses pemodelan regresi terboboti atau regresi WLS dengan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: 1.

Menentukan matriks rancangan X sesuai persamaan, yaitu: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑋= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7,29 5,30 5,46 4,16 5,88 5,96 7,75 6,75 6,35 7,41 5,71 6,88 5,89 6,28 13,31 14,90 9,89 12,92 12,47 10,04 15,14 15,26 9,45 14,53 15,85 10,14 11,41 9,20 13,03 11,07 14,02 9,08 10,24

22 83 45 41 20 46 5 9 23 70 175 208 139 52 98 42 218 43 15 25 9 35 43 28 3 57 10 1 6 19 3 19 11

42 31 300 489 80 43 43 308 47 39 219 245 117 73 8 88 67 41 51 83 94 425 126 16 88 34 47 33 39 14 23 17 20

34

2.

Menentukan matriks pembobot 𝑃−1 Matriks pembobot 𝑃−1 diperoleh dengan melakukan pengelompokkan.

Proses pengelompokkannya dapat dilihat pada sub bab (4.3.2) Setelah variansi variansi pengeruaran (Y) untuk setiap kelompok diperoleh sehingga pada akhirnya diperoleh nilai matriks pembobot 𝑃−1 . Tabel 4.5.a Hasil Pengelompokkan Pengeluaran Wisatawan Berdasarkan indikator Lama Tinggal, Akomodasi dan Jumlah Objek Wisata Kelompok

𝑃−1

Propinsi Aceh, Sumatera Utara, Jambi, Sumatera Selatan,

1

Kep. Bangka Belitung, DIY

0,005468974

Bengkulu, Kalimantan Barat, Kalimantan Timur, Sulawesi Selatan, Sulawesi Tenggara, Gorontalo, 2

Maluku, Papua Barat, Papua

0,006388582

Jawa Timur, Banten, NTB, NTT, Kalimantan Barat, Sulawesi Utara, Sulawesi Tengah, Sulawesi 3

Barat, Maluku Utara Sumatera Barat,

3.

Riau,

0,006036754 Lampung,

Kalimatan

4

Selatan

0,00215639

5

DKI Jakarta, Jawa Barat, Jawa Tengah, Bali

0,002072516

Merancang matriks Q Setelah diperoleh matriks X dan 𝑃−1 , maka dapat ditentukan matriks Q,

dimana: 𝑄 = 𝑃−1 𝑋 Setelah melalui proses perkalian, maka diperoleh matriks Q:

35

0,005469 0,005469 0,002156 0,002156 0,005469 0,005469 0,006389 0,002156 0,005469 0,005469 0,002073 0,002073 0,002073 0,005469 0,007191 0,007191 𝑄 = 0,002073 0,007191 0,007191 0,006389 0,007191 0,002156 0,006389 0,007191 0,007191 0,006389 0,006389 0,006389 0,007191 0,006389 0,007191 0,006389 0,006389

4.

0,039863 0,028987 0,01177 0,008974 0,032148 0,032586 0,049529 0,014551 0,034738 0,040535 0,011843 0,014268 0,0122 0,034325 0,095675 0,107115 0,020507 0,092907 0,089692 0,064162 0,108864 0,032912 0,060401 0,10447 0,113968 0,064758 0,072918 0,058775 0,093662 0,070737 0,100791 0,058031 0,065389

0,120317 0,453925 0,097038 0,088412 0,109379 0,251573 0,031943 0,019408 0,125786 0,382828 0,36269 0,431083 0,28808 0,284387 0,704701 0,302015 0,451808 0,309205 0,107862 0,159715 0,064717 0,075474 0,274709 0,201343 0,021572 0,364149 0,063886 0,006389 0,043145 0,121383 0,021572 0,121383 0,070274

0,229697 0,169538 0,646917 1,054475 0,437518 0,235166 0,274709 0,664168 0,257042 0,21329 0,453881 0,507766 0,242484 0,399235 0,057527 0,632792 0,138859 0,294824 0,366732 0,530252 0,675937 0,916466 0,804961 0,115053 0,632792 0,217212 0,300263 0,210823 0,280442 0,08944 0,165389 0,108606 0,127772

Menghitung Penaksiran Parameter Koefisien WLS

Setelah serangkaian perhitungan juga diperoleh 𝑏0𝑤 𝑏 𝑇 𝑏𝑤 = 1𝑤 ⋮ = 𝑄 𝑄 𝑏𝑝𝑤

−1

𝑄𝑇 𝑌

2,28 =

118 − 1,64 −1,83

36

dengan:

𝑣𝑎𝑟 𝑏𝑤

13838,24 −980,224 = −45,3144 −16,9447

−980,224 82,65344 1,997644 0,322922

−45,3144 1,997644 0,820774 −0,03791

−16,9447 0,322922 −0,03791 0,259729

Sehingga persamaan regresi terboboti diperoleh: 𝑌𝑤 = 2,28 + 118 X1 − 1,64 X2 − 1,83 X3

(53)

Tabel 4.5.b Rekapitulasi Hasil Analisis Regresi Berganda Terboboti

Variabel Lama Tinggal (𝑋1 ) Akomodasi (𝑋2 ) Jumlah Objek Wisata (𝑋3 ) Konstanta R square F hitung Sig F

Koefisien Regresi (𝜷) 118 -1,64 -1,83 2,28 0,956 210,76 0,000

T 23,25 -1,57 -2,66

sig 0,000 0,126 0,013

a. Pengaruh Secara Simultan Perumusan hipotesis 𝐻0 : signifikansi F > 0,05 (𝛼), artinya pengaruh prediktor pada respon tidak bermakna. 𝐻1 : signifikansi F < 0,05 (𝛼), artinya pengaruh prediktor pada respon bermakna. Hasil analisis regresi berganda : variabel lama tinggal (X1), akomodasi (X2) dan jumlah objek wisata (X3) berpengaruh terhadap pengeluaran wisatawan di Indonesia (Y) secara simultan/bersama-sama menunjukan hasil nilai Fhitung adalah sebesar 210,76 dengan Signifikan F sebesar 0.000 atau lebih kecil dari 0,05 (5%). Hasil ini menyatakan bahwa secara simultan semua variabel bebas yaitu variabel lama tinggal (X1), akomodasi (X2) dan jumlah objek wisata (X3)

37

berpengaruh signifikan secara simultan terhadap pengeluaran wisatawan di Indonesia (Y). Hasil R square didapat sebesar 0,956, angka ini menunjukkan bahwa kontribusi semua variabel bebas yaitu variabel lama tinggal (X1), akomodasi (X2) dan jumlah objek wisata (X3) terhadap pengeluaran wisatawan di Indonesia (Y) sebesar 95,6%, sisanya dipengaruhi oleh variabel lain yang tidak ada dalam penelitian ini dan 𝐻0 ditolak. b. Pengaruh Secara Parsial Berdasarkan Lampiran 8, pada uji parsial diperoleh hasil variabel bebas yaitu variabel lama tinggal (X1), akomodasi (X2) dan jumlah objek wisata (X3) terhadap pengeluaran wisatawan di Indonesia (Y) secara parsial dapat dijelaskan sebagai berikut : 1. Lama Tinggal (X1) Perumusan hipotesis berdasarkan nilai signifikansi, yaitu: H0 : sig. X1 < 0,05, artinya pengaruh prediktor pada respon bermakna. H1 :sig. X1 > 0,05, artinya pengaruh prediktor pada respon tidak bermakna. Analisis Regresi menunjukkan koefesien Regresi (B)

sebesar 118

terhadap pengeluaran wisatawan, dengan signifikansi 0,000. Hal ini berarti bahwa variabel lama tinggal (X1) memang berpengaruh secara signifikan terhadap pengeluaran wisatawan. Koefisien Regresi (B) sebesar 118 menyatakan bahwa setiap penambahan satu satuan variabel lama tinggal (X1), maka akan menambah pengeluaran wisatawan sebesar 118 dan 𝐻0 diterima.

38

2. Akomodasi (X2) Perumusan hipotesis berdasarkan nilai signifikansi, yaitu: H0 : sig. X 2 < 0,05, artinya pengaruh prediktor pada respon bermakna. H1 :sig. X 2 > 0,05, artinya pengaruh prediktor pada respon tidak bermakna. Analisis Regresi menunjukkan koefesien Regresi (B)

sebesar -1,64

terhadap pengeluaran wisatawan, dengan signifikansi 0,126. Hal ini berarti bahwa variabel akomodasi (X2) tidak

berpengaruh secara signifikan terhadap

pengeluaran wisatawan. Koefisien Regresi (B) sebesar -1,64 menyatakan bahwa setiap penambahan satu satuan akomodasi (X2), maka akan mengurangi pengeluaran wisatawan sebesar -1,64 dan 𝐻0 ditolak. 3. Jumlah Objek Wisata (X3) Perumusan hipotesis berdasarkan nilai signifikansi, yaitu: H0 : sig. X 3 < 0,05, artinya pengaruh prediktor pada respon bermakna. H1 :sig. X 3 > 0,05, artinya pengaruh prediktor pada respon tidak bermakna. Analisis Regresi menunjukkan koefesien Regresi (B)

sebesar -1,83

terhadap pengeluaran wisatawan, dengan signifikansi 0,013. Hal ini berarti bahwa variabel jumlah objek wisata (X3) memang berpengaruh secara signifikan terhadap pengeluaran wisatawan. Koefisien Regresi (B) sebesar -1,83 menyatakan bahwa setiap penambahan satu satuan jumlah objek wisata (X3), maka akan mengurangi pengeluaran wisatawan sebesar -1,83 dan 𝐻0 diterima. Dari uji parsial, diperoleh variabel bebas akomodasi (𝑋2 ) tidak berpengaruh secara signifikan terhadap variabel pengeluaran wisatawan (Y). Maka untuk mengatasi hal ini, variabel akomodasi dikeluarkan dari model regresi.

39

Langkah selanjutnya adalah memodelkan kembali persamaan regresi dengan variabel yang signifikan terhadap variabel Y, yaitu lama tinggal dan jumlah objek wisata. Persamaan regresi yang baru diperoleh dengan cara yang sama dengan persamaan terboboti sebelumnya (53), sehingga diperoleh persamaan regresi terboboti yang baru: 𝑌𝑤 = 1,55 + 126 𝑋1 − 0,837 𝑋2

(54)

Hasil output Minitab dapat dilihat pada Lampiran 9. 4.6

Pengujian Kembali Heteroskedastisitas

4.6.1. Uji non Formal Uji heteroskedastisitas secara non formal dilakukan dengan melihat ada tidaknya pola tertentu pada grafik estimasi WLS pada persamaan (54). Pengujian non formal dengan menggunakan software “Minitab 16”, maka diperoleh:

Gambar 4.6 Plot antara Estimasi 𝑌𝑤 dengan Residual Berdasarkan Gambar 4.6, maka terlihat plot residual terhadap nilai dugaan menunjukkan pola yang teratur, yaitu dimana sebaran titik-titik tidak berpencar dan terlihat lebih rapi, ini berarti asumsi eror identik terpenuhi, atau terjadi kondisi homoskedastisitas. Untuk memastikan data yang telah diboboti mengalami homoskedastisitas, maka dilakukan uji formal.

40

4.6.2. Uji Formal Untuk menguji kembali keadaan heteroskedastisitas dapat dilakukan kembali dengan menggunakan uji formal, yaitu uji Bartlett. Adapun langkahlangkah pengujiannya sama dengan pendeteksian yang awal yang mula-mula dilakukan pengelompokkan yang prosesnya sama dengan pengelompokkan pada sub bab 4.3.2, hanya pada uji ini dilakukan pada variabel yang sudah dibboboti. Hasil output Minitab pengelompokkan data dapat dilihat pada Lampiran 5 dan Lampiran 6. Adapun pengelompokkan data pengeluaran wisatawan di Indonesia 2012 dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel 4.6.2a Pengelompokkan data Kelompok

1 2 3

4 5

Propinsi Aceh, Sumatera Utara, Jambi, Sumatera Selatan, Bengkulu, Kep. Bangka Belitung, Kep. Riau, DIY Sumatera Barat, Lampung, DKI Jakarta, Jawa Barat, Jawa Tengah Riau, Kalimantan selatan Jawa Timur, NTB, NTT, Sulawesi Utara, Sulawesi Selatan, Sulawesi Tenggara, Gorontalo, Sulawesi Barat, Maluku, Maluku Utara, Papua Barat, Papua Banten, Bali, Kalimantan Barat, Kalimantan Tengah, Kalimantan Timur, Sulawesi Tengah

𝑆2

1,13533 3,03285 3,87479

0,61252 1,677546

Hipotesis statistik untuk pengujian homogenitas variansi adalah: H0 : 𝜎12 = 𝜎22 = 𝜎32 = 𝜎42 = 𝜎52 H1 : paling sedikit ada satu tanda sama dengan tidak berlaku Langkah-langkah perhitungan:

41

1. Variansi dari setiap kelompok Diperoleh dengan rumus: 𝑠12

=

𝑛 𝑖 =1

𝑌𝑖 − 𝑌 𝑛−1

2

Sehingga diperoleh nilai 𝑠12 = 1,13533 Dengan cara yang sama, diperoleh variansi untuk 𝑠22 dan 𝑠32 berturut-turut sebagai berikut: 𝑠22 = 3,03285, 𝑠32 = 3,8748, 𝑠42 = 0,61252 dan 𝑠52 = 1,67755 2. Tabel proses perhitungan homogenitas variansi Tabel 4.6.2b. Homogenitas variansi No 𝑑𝑘 1/𝑑𝑘 𝑆2 1 7 0,14286 1,13533 2 4 0,25 3,03285 3 1 1 3,8748 4 11 0,09091 0,61252 5 5 0,2 1,67755 jum 28 0,03571 3.

𝑙𝑜𝑔 𝑆 2 0,0551237 0,48185124 0,58824912 -0,2128821 0,22467449

𝑑𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑆 2 0,385865899 1,927404955 0,588249122 -2,341702712 1,123372454 1,683189718

𝑑𝑘 𝑆 2 7,94734 12,1314 3,8748 6,73768 8,38773 39,079

Menghitung variansi gabungan 𝑠2 =

(𝑑𝑘 𝑠𝑖2 ) 39,079 = = 1,39677 𝑑𝑘 28

log 𝑠 2 = 0,14478 4.

Menghitung nilai B 𝐵=

5.

𝑑𝑘 log 𝑠 2 = 4,054

Menghitung nilai 𝜒 2 𝜒 2 = ln 10 𝐵 −

𝑑𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖2

𝜒 2 = 2,303 × {4,054 − 1,683189718} 𝜒 2 = 2,303 × 2,37079 = 5,4589

42

Jadi, untuk 𝛼 = 5% dari daftar distribusi 𝜒 2 dengan 𝑑𝑘 = 5 − 1 = 4 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 9,48773

didapat

yang

ternyata

bahwa

𝜒 2 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 (5,4589) <

𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (9,48773) sehingga hipotesis yang menyatakan variansi homogen diterima dalam taraf 𝛼 = 5%. Dengan menggunakan software Minitab 16 dapat dilihat pada Lampiran 11. 4.7

Pembahasan Setelah dilakukan perbaikan model dengan estimasi Weighted Least

Square, langkah selanjutnya adalah membahas model tersebut. Seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, suatu asumsi yang kritis dari model regresi linear klasik adalah bahwa kesalahan pengganggu 𝜀𝑖 semuanya harus mempunyai varian

yang

sama.

Apabila

asumsi

ini

tak

terpenuhi

berarti terjadi

heteroskedastisitas dan tidak lagi mempunyai sifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Namun sebelum membuat estimasi dengan weighted least squares, akan dilakukan transformasi pada model yang asli, yaitu transformasi variabel, sehingga model yang telah ditransformasikan tersebut akan menghasilkan kesalahan pengganggu yang mempunyai varian tetap/konstan, sehingga akan tercapai keadaan yang homoskedastisitas. Tabel 4.7 Analisa perbandingan 𝑅2 , S dan 𝜒 2 dengan dua uji estimasi Estimasi OLS

Estimasi WLS

𝑅2

0,85

0,907

𝑆

164,489

1,3978

𝜒2

Ada heteroskedastisitas

Homoskedastisitas

43

Berdasarkan hasil perbandingan dari dua estimasi di atas, dapat dilihat bahwa nilai 𝑅2 pada masing-masing estimasi sudah baik dimana pada OLS 0,85 dan pada WLS 0,907. Namun jika dilihat dari nilai 𝑆, pada estimasi OLS mempunyai nilai 𝑆 yang tinggi yaitu sebesar 164,489 dan setelah diboboti pada estimasi WLS nilai 𝑆 mengalami penurunan menjadi 1,3978 yang disertai dengan kenaikan nilai 𝑅2 yang menunjukkan model baik. Jika dilihat juga pada nilai 𝜒 2 , pada OLS mengalami heteroskedastisitas dan setelah data mengalami estimasi WLS menjadi homoskedastisitas. Selain itu dapat dilihat juga pada tingkat signifikansi < 0,05 yang menunjukkan hasil perhitungan secara statistik bermakna.

Jadi,

dapat

disimpulkan bahwa

setelah data

ditransformasi

menggunakan metode Weighted Least Squares, maka model regresi berganda tersebut telah memenuhi asumsi homoskedastisitas. Selain itu pada Lampiran 7, dapat dilihat data mengalami sebaran normal dimana nilai p value 0,082 > 0,05. Selain itu, pada Lampiran 9 juga diperlihatkan bahwa data tidak mengalami multikolinearitas dimana nilai 𝑉𝐼𝐹 < 5 dan juga tidak terjadi autokorelasi.

44

BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada Bab IV, maka kesimpulan pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Metode Weighted Least Square efektif digunakan dalam mengatasi masalah heteroskedastisitas karena melalui prosedur pembobotan pada error OLS 𝜀 yang menghasilkan varian error WLS 𝑓 menjadi homoskedastisitas. 2. Efektifitas WLS dapat juga dilihat dari studi kasus dimana pada OLS terdapat

masalah

heteroskedastisitas

dan

pada

WLS

menjadi

homoskedastisitas. Serta nilai 𝑅2 OLS < 𝑅2 WLS dan nilai 𝑆 2 OLS > 𝑆 2 WLS.

5.2 Saran Pada penelitian ini, untuk menentukan matriks pembobot dilakukan pengelompokkan dengan mencari variansi setiap kelompok dan pada penelitian selanjutnya diharapkan menggunakan teknik atau metode yang berbeda.

45

DAFTAR PUSTAKA Badan Pusat Statistik. 2014. Sulawesi Tenggara dalam Angka. Sulawesi Tenggara. Gujarati, N. D. 2003. Basic Econometrics. 4th ed. New York: McGraw-Hill Companies, Inc. Gujarati, D.N. 2006. Dasar-Dasar Ekonometrika, Erlangga: Jakarta. Hardle, W. 1995. Applied Nonparametric Regression. United State: Cambridge University Press. Hariscom. 2013. Jasa Pengolahan Analisis Data Uji Homogenitas. (http://harisco mpwt.blogspot.co.id/2013/01/uji-homogenitas.html.

Diakses

tanggal

25

Januari 2013). Nachrowi,D.N. 2008. Penggunaan Teknik Ekonometrika. Jakarta: Raja Grafindo Persada. Sembiring, R.K. 1995. Analisis Regresi. Bandung: ITB. Tirta, I M. 2009. Analisis Regresi dengan R. Jember: UPT Penerbitan Universitas Jember. Uthami,I. A.P., Sukarsa, I.K.G., Kencana, I.P.K. 2013. Regresi Kuantil Median untuk Mengatasi Heteroskedastisitas pada Analisis Regresi. E-Jurnal Matematika Vol. 2. No. 1, Januari 2013, 6-13. Widarjono. 2005. Analisis Statistika Multivariat Terapan. UPP STIM YKPN. Yogyakarta. Winahju, Wiwiek Setya.2015. Regresi Terboboti (Weighted Regression/ Weighted Least Square). (http://oc.its.ac.id/jurusan.php?fid=1&jid=3. Diakses tanggal 16 Februari 2015).

46

47

Lampiran 1. Data Pengeluaran Wisatawan

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Provinsi Aceh Sumatera Utara Sumatera Barat Riau Jambi Sumatera Selatan Bengkulu Lampung Kep Bangka Belitung Kepulauan Riau DKI Jakarta Jawa Barat Jawa Tengah DI Yogyakarta Jawa Timur Banten Bali Nusa Tenggara Barat Nusa Tenggara Timur Kalimantan Barat Kalimantan Tengah Kalimantan Selatan Kalimantan Timur Sulawesi Utara Sulawesi Tengah Sulawesi Selatan Sulawesi Tenggara Gorontalo

Pengeluaran Lama tinggal 772,93 7,29 709,39 5,30 840,71 5,46 658,59 4,16 929,06 5,88

Akomodasi 22 83 45 41 20

1114,78

5,96

46

1140,18 1137,51

7,75 6,75

5 9

1137,1

6,35

23

1161,35 793,5 922,81 1043,67 1059,04 1740,81 1711,99 1863,13

7,41 5,71 6,88 5,89 6,28 13,31 14,90 9,89

70 175 208 139 52 98 42 218

1646,66

12,92

43

1689,64

12,47

15

1487,29

10,04

25

1890,25

15,14

9

1718,21

15,26

35

1486,42

9,45

43

1632,11

14,53

28

1986,82

15,85

3

1610,97

10,14

57

1655,1

11,41

10

1454,13

9,20

1

Objek Wisata 42 31 300 489 80 43 43 308 47 39 219 245 117 73 8 88 67 41 51 83 94 425 126 16 88 34 47 33 48

29 30 31 32 33

Sulawesi Barat Maluku Maluku Utara Papua Barat Papua

1836,56 1617,36 1989,32 1597,52 1579,12

13,03 11,07 14,02 9,08 10,24

6 19 3 19 11

39 14 23 17 20

49

Lampiran 2. Hasil Output OLS Regression Analysis: Y versus X1; X2; X3 The regression equation is Y = 454 + 101 X1 + 0,242 X2 - 0,550 X3 Predictor Constant X1 X2 X3

Coef 454,5 100,577 0,2422 -0,5496

S = 164,489

SE Coef 108,0 8,897 0,5373 0,2514

R-Sq = 85,0%

T 4,21 11,30 0,45 -2,19

P 0,000 0,000 0,656 0,037

VIF 1,161 1,120 1,083

R-Sq(adj) = 83,4%

Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total Source DF X1 1 X2 1 X3 1 Obs X1 1 7,3 2 5,3 3 5,5 4 4,2 5 5,9 6 6,0 7 7,8 8 6,7 9 6,4 10 7,4 11 5,7 12 6,9 13 5,9 14 6,3 15 13,3 16 14,9 17 9,9 18 12,9 19 12,5 20 10,0 21 15,1 22 15,3 23 9,5 24 14,5 25 15,8 26 10,1 27 11,4 28 9,2 29 13,0 30 11,1 31 14,0 32 9,1 33 10,2

DF 3 29 32

SS 4438372 784641 5223013

Seq SS 4307755 1312 129306 Y Fit 772,9 1169,8 709,4 990,6 840,7 849,5 658,6 614,2 929,1 1006,6 1114,8 1041,3 1140,2 1211,8 1137,5 966,0 1137,1 1073,1 1161,3 1195,5 793,5 951,2 922,8 1062,6 1043,7 1015,9 1059,0 1058,2 1740,8 1812,0 1712,0 1914,5 1863,1 1465,6 1646,7 1741,8 1689,6 1684,6 1487,3 1425,0 1890,3 1927,7 1718,2 1764,4 1486,4 1346,6 1632,1 1913,7 1986,8 2000,9 1611,0 1469,1 1655,1 1579,0 1454,1 1361,9 1836,6 1744,5 1617,4 1565,0 1989,3 1852,3 1597,5 1363,3 1579,1 1475,6

MS 1479457 27057

SE Fit 44,5 54,4 62,9 104,1 50,9 48,8 46,5 67,8 49,5 40,7 72,7 88,2 57,4 43,2 58,3 53,2 96,9 40,6 38,8 31,3 54,9 107,6 29,5 50,6 60,0 33,9 36,9 42,5 42,8 37,8 48,6 39,9 38,8

F 54,68

Residual -396,9 -281,2 -8,7 44,3 -77,5 73,5 -71,6 171,5 64,0 -34,1 -157,7 -139,8 27,8 0,8 -71,2 -202,5 397,5 -95,2 5,0 62,3 -37,4 -46,2 139,9 -281,6 -14,1 141,9 76,1 92,2 92,0 52,3 137,0 234,2 103,5

P 0,000

St Resid -2,51R -1,81 -0,06 0,35 X -0,50 0,47 -0,45 1,14 0,41 -0,21 -1,07 -1,01 0,18 0,01 -0,46 -1,30 2,99R -0,60 0,03 0,39 -0,24 -0,37 X 0,86 -1,80 -0,09 0,88 0,47 0,58 0,58 0,33 0,87 1,47 0,65

50

Lampiran 3. Pengelompokkan data dengan komponen Utama Principal Component Analysis: X1; X2; X3 Eigenanalysis of the Correlation Matrix Eigenvalue Proportion Cumulative Variable X1 X2 X3

1,5011 0,500 0,500 PC1 -0,627 0,576 0,525

0,8278 0,276 0,776 PC2 0,132 -0,586 0,800

0,6710 0,224 1,000 PC3 -0,768 -0,570 -0,292

51

Lampiran 4. Pengelompokkan Data dengan metode Ward Cluster Analysis of Observations: C7; C8; C9 Euclidean Distance, Ward Linkage Amalgamation Steps

Step 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Number of clusters 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Similarity level 95,302 95,084 94,548 94,340 94,240 93,073 92,002 90,758 90,632 89,859 89,810 86,978 86,184 85,871 85,424 85,242 84,120 82,957 79,299 74,382 68,974 68,501 68,151 67,076 59,404 56,805 56,431 24,739 1,252 -79,005 -118,471 -234,192

Distance level 0,2325 0,2433 0,2698 0,2801 0,2851 0,3428 0,3958 0,4574 0,4636 0,5019 0,5043 0,6445 0,6837 0,6993 0,7214 0,7304 0,7859 0,8435 1,0245 1,2679 1,5355 1,5589 1,5762 1,6294 2,0091 2,1377 2,1562 3,7246 4,8870 8,8589 10,8121 16,5391

Clusters joined 21 25 19 29 1 9 30 33 6 14 28 32 27 30 1 5 24 31 7 28 20 23 2 10 16 18 11 12 19 24 3 8 2 6 20 26 16 19 7 27 16 21 11 13 1 2 7 20 3 4 15 16 11 17 3 22 1 7 3 11 1 15 1 3

New cluster 21 19 1 30 6 28 27 1 24 7 20 2 16 11 19 3 2 20 16 7 16 11 1 7 3 15 11 3 1 3 1 1

Number of obs. in new cluster 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 4 2 4 3 6 6 8 3 7 9 3 9 4 4 16 8 25 33

Final Partition Number of clusters: 1

Cluster1

Number of observations 33

Within cluster sum of squares 96

Average distance from centroid 1,51086

Maximum distance from centroid 3,57283

52

Lampiran 5. Pengelompokkan Komponen Utama pada Data yang diboboti Principal Component Analysis: X1w; X2w; X3w Eigenanalysis of the Correlation Matrix Eigenvalue Proportion Cumulative Variable X1w X2w X3w

1,2768 0,426 0,426 PC1 0,207 0,626 -0,752

1,1300 0,377 0,802 PC2 0,839 -0,509 -0,193

0,5932 0,198 1,000 PC3 -0,504 -0,591 -0,630

53

Lampiran 6. Pengelompokkan Metode Ward pada Data yang diboboti Cluster Analysis of Observations: C7; C8; C9 Euclidean Distance, Ward Linkage Amalgamation Steps

Step 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Number of clusters 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Similarity level 96,825 95,304 94,228 93,689 93,499 93,251 92,177 91,999 91,366 89,570 89,167 87,754 85,997 84,937 83,540 82,961 82,880 78,486 75,584 74,804 72,024 66,741 64,506 60,881 60,098 53,799 51,427 23,066 21,360 -15,683 -88,223 -133,757

Distance level 0,1896 0,2804 0,3447 0,3769 0,3882 0,4030 0,4671 0,4778 0,5155 0,6228 0,6469 0,7312 0,8361 0,8994 0,9828 1,0174 1,0222 1,2846 1,4579 1,5045 1,6705 1,9859 2,1194 2,3358 2,3826 2,7587 2,9003 4,5938 4,6957 6,9075 11,2389 13,9578

Clusters joined 1 9 2 17 21 25 30 33 30 32 7 28 11 12 3 8 29 31 19 27 6 13 10 26 6 14 4 22 1 5 18 24 19 29 20 23 7 30 2 10 16 20 6 11 3 4 18 19 1 7 2 6 16 21 2 15 1 18 3 16 1 3 1 2

New cluster 1 2 21 30 30 7 11 3 29 19 6 10 6 4 1 18 19 20 7 2 16 6 3 18 1 2 16 2 1 3 1 1

Number of obs. in new cluster 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 4 3 5 4 6 8 9 5 10 14 9 23 33

Final Partition Number of clusters: 1

Cluster1

Number of observations 33

Within cluster sum of squares 96

Average distance from centroid 1,58747

Maximum distance from centroid 3,49654

54

Lampiran 7. Plot Normal Residual

55

Lampiran 8. Hasil Output WLS Regression Analysis: Yw versus X1w; X2w; X3w The regression equation is Yw = 2,28 + 118 X1w - 1,64 X2w - 1,83 X3w Predictor Constant X1w X2w X3w

Coef 2,2778 118,352 -1,642 -1,8332

S = 0,927427

SE Coef 0,5562 5,091 1,043 0,6885

R-Sq = 95,6%

Analysis of Variance Source DF SS Regression 3 543,83 Residual Error 29 24,94 Total 32 568,78 Source DF Seq SS X1w 1 537,19 X2w 1 0,55 X3w 1 6,10

T 4,10 23,25 -1,57 -2,66

P 0,000 0,000 0,126 0,013

VIF 1,084 1,125 1,145

R-Sq(adj) = 95,2% MS 181,28 0,86

Obs X1w Yw Fit SE Fit 1 0,040 4,227 6,377 0,247 2 0,029 3,880 4,653 0,328 3 0,012 1,813 2,326 0,315 4 0,009 1,420 1,262 0,488 5 0,032 5,081 5,101 0,225 6 0,033 6,097 5,290 0,229 7 0,050 7,284 7,584 0,270 8 0,015 2,453 2,751 0,342 9 0,035 6,219 5,711 0,248 10 0,041 6,351 6,056 0,259 11 0,012 1,645 2,252 0,304 12 0,014 1,913 2,328 0,348 13 0,012 2,163 2,804 0,298 14 0,034 5,792 5,142 0,206 15 0,096 12,518 12,339 0,588 16 0,107 12,311 13,299 0,427 17 0,021 3,861 3,709 0,352 18 0,093 11,841 12,226 0,279 19 0,090 12,150 12,044 0,241 20 0,064 9,502 8,637 0,199 21 0,109 13,592 13,817 0,393 22 0,033 3,705 4,369 0,387 23 0,060 9,496 7,500 0,372 24 0,104 11,736 14,101 0,314 25 0,114 14,287 14,571 0,402 26 0,065 10,292 8,946 0,244 27 0,073 10,574 10,253 0,231 28 0,059 9,290 8,837 0,302 29 0,094 13,206 12,778 0,285 30 0,071 10,333 10,286 0,278 31 0,101 14,305 13,868 0,341 32 0,058 10,206 8,748 0,273 33 0,065 10,088 9,667 0,288 Durbin-Watson statistic = 1,98653

F 210,76

P 0,000

Residual -2,150 -0,773 -0,513 0,158 -0,020 0,806 -0,299 -0,298 0,507 0,296 -0,607 -0,416 -0,641 0,650 0,179 -0,989 0,153 -0,385 0,106 0,864 -0,224 -0,664 1,996 -2,364 -0,284 1,346 0,321 0,453 0,428 0,046 0,437 1,458 0,421

St Resid -2,41R -0,89 -0,59 0,20 -0,02 0,90 -0,34 -0,35 0,57 0,33 -0,69 -0,48 -0,73 0,72 0,25 X -1,20 0,18 -0,44 0,12 0,95 -0,27 -0,79 2,35R -2,71R -0,34 1,50 0,36 0,52 0,49 0,05 0,51 1,65 0,48

56

Lampiran 9. Output WLS baru Regression Analysis: Yw versus X1w; X2w The regression equation is Yw = 1,55 + 126 X1w - 0,837 X2w Predictor Constant X1w X2w

Coef 1,5457 125,580 -0,8371

S = 1,39780

SE Coef 0,7947 8,080 0,8616

R-Sq = 90,7%

Analysis of Variance Source DF SS Regression 2 572,07 Residual Error 30 58,62 Total 32 630,69 Source DF X1w 1 X2w 1 Obs X1w 1 0,044 2 0,032 3 0,014 4 0,011 5 0,035 6 0,036 7 0,046 8 0,018 9 0,038 10 0,044 11 0,015 12 0,018 13 0,035 14 0,038 15 0,096 16 0,107 17 0,081 18 0,093 19 0,090 20 0,082 21 0,109 22 0,040 23 0,077 24 0,104 25 0,114 26 0,083 27 0,093 28 0,075 29 0,094 30 0,090 31 0,101 32 0,074 33 0,084

Seq SS 570,23 1,84 Yw 4,623 4,243 2,209 1,730 5,557 6,668 6,820 2,988 6,802 6,947 2,085 2,424 6,243 6,335 12,518 12,311 15,228 11,841 12,150 12,156 13,592 4,514 12,149 11,736 14,287 13,167 13,528 11,885 13,206 13,219 14,305 13,057 12,907

Fit 6,811 5,372 2,687 1,843 5,561 5,806 7,154 3,095 6,082 6,918 2,949 3,278 5,382 5,895 13,512 14,468 11,243 12,966 12,502 11,286 14,651 5,646 10,388 14,569 15,328 11,717 12,939 10,763 13,073 12,815 14,065 10,753 11,915

T 1,94 15,54 -0,97

P 0,061 0,000 0,039

VIF 1,155 1,155

R-Sq(adj) = 90,1% MS 286,04 1,95

F 146,40

P 0,000

SE Fit 0,374 0,477 0,466 0,726 0,333 0,413 0,357 0,456 0,387 0,380 0,443 0,423 0,348 0,329 0,423 0,492 0,302 0,331 0,311 0,370 0,525 0,581 0,593 0,428 0,538 0,299 0,329 0,288 0,337 0,383 0,396 0,354 0,346

Residual -2,187 -1,129 -0,478 -0,113 -0,003 0,862 -0,334 -0,106 0,720 0,029 -0,865 -0,854 0,861 0,440 -0,995 -2,157 3,985 -1,125 -0,352 0,870 -1,059 -1,132 1,761 -2,833 -1,041 1,450 0,588 1,122 0,133 0,405 0,240 2,304 0,992

St Resid -1,62 -0,86 -0,36 -0,09 -0,00 0,65 -0,25 -0,08 0,54 0,02 -0,65 -0,64 0,64 0,32 -0,75 -1,65 2,92R -0,83 -0,26 0,65 -0,82 -0,89 1,39 -2,13R -0,81 1,06 0,43 0,82 0,10 0,30 0,18 1,70 0,73

57

Lampiran 10. Lavene test untuk Heteroskedastisitas Tests Method F Test (normal) Levene's Test (any continuous)

DF1 32 1

DF2 32 64

Test Statistic 0,18 28,10

P-Value 0,000 0,001

Lampiran 11. Lavene test untuk Homoskedastisitas Tests Method F Test (normal) Levene's Test (any continuous)

DF1 32 1

DF2 32 64

Test Statistic 10,16 1,91

P-Value 0,001 0,182

58