PENDETEKSIAN DAN PERBAIKAN HETEROSKEDASTISITAS DALAM REGRESI LINIER MENGGUNAKAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARES (WLS) DAN TRANSFORMASI VARIABEL SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENDETEKSIAN DAN PERBAIKAN HETEROSKEDASTISITAS DALAM REGRESI LINIER MENGGUNAKAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARES (WLS) DAN TRANSFORMASI VARIABEL

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh: Yeremia Wedaring Asmoro NIM: 091414062

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2013

i




LEMBAR PERSEMBAHAN

Tulisan ini dipersembahkan untuk mereka yang ku cintai Teruntuk: TUHAN YESUS KRISTUS yang selalu ada saat penulis membutuhkan pertolongan-Nya Bapak , Bunda, kakak dan adik tercinta yang selalu dan tak pernah lelah memberi motivasi dan keceriaan selama penulisan skripsi ini Sahabat-sahabatku tercinta yang tak pernah lelah memberi semangat dan motivasi serta kesabaran dalam mendengar keluh kesah penulis selama penulisan skripsi ini Almamater Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

MOTTO HIDUP “Apa yang kamu dapat adalah apa yang kamu perjuangkan”

iv




ABSTRAK Yeremia Wedaring Asmoro. 2013. Pendeteksian dan Perbaikan Heteroskedastisitas pada Regresi Linier Menggunakan Metode Weighted Least Squares (WLS) dan Transformasi Variabel. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Salah satu asumsi penting yang harus terpenuhi jika ingin mendapatkan penaksir koefisien regresi yang Best Linear Unbiased Estmator (BLUE) adalah homoskedastisitas. Jika asumsi homoskedastisitas tidak terpenuhi, maka terjadi pelanggaran asumsi yang disebut heteroskedastisitas. Konsekuensi adanya heteroskedastisitas antara lain, penaksir tetap linier dan tidak bias. Namun heteroskedastisitas dapat menyebabkan penaksir tidak mempunyai varian yang minimum sehingga penaksir tidak lagi BLUE. Akibat dari varians tidak lagi minimum yaitu menyebabkan perhitungan standard error metode OLS (Ordinary Least

Squares)

menjadi tidak bisa dipercaya

kebenarannya. Sehingga interval estimasi maupun uji hipotesis yang didasarkan pada distribusi t maupun uji F tidak bisa lagi dipercaya untuk evaluasi hasil regresi. Keberadaan heteroskedastisitas dapat dideteksi menggunakan metode grafis dan uji Rank Spearman. Heteroskedastisitas dapat diperbaiki menggunakan metode WLS (Weighted Least Squares) dan transformasi variabel sehingga penaksir dapat bersifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Kata kunci: Heteroskedastisitas, Regresi linier, Weighted Least Squares (WLS), Transformasi variabel.

vii


ABSTRACT

Yeremia Wedaring Asmoro. 2013. Detecting and Improving the Heteroskedasticity of Linear Regression by using Weighted Least Squares (WLS) and Transformation Variable Methods. A Thesis. Mathematic Education Study Program, Departement of Mathematic Education Study Program and Science, Faculty Of Teachers Training And Education, Sanata Dharma University Yogyakarta. One of the important assumption which have to be hold to estimate the regression coefficient which is Best Linier Unbiased Estimator (BLUE) is homoskedasticity. If the assumption of homoskedasticity is not hold, it will violate the assumption, which is called heteroskedasticity. The consequences of heteroskedasticity are; the estimator is still linear and unbiased. Nevertheless, heteroskedasticity can cause the estimator does not have minimum variance so the estimator is no longer BLUE. It implies the standart error counted by

OLS (Ordinary Least Squares) method cannot be

trusted. So the interval estimation or hypothesis test based on t distribution or F test cannot be trusted to evaluate the regression result. The existance of heteroskedasticity can be detected by using graphic method and Rank Spearman test. Heteroskedasticity can be improved by using WLS (Weighted Least Squares) and transformation variable methods. Finally,the estimate is BLUE. Keywords: Heteroskedasticity, linear regression, Weighted Least Squares (WLS), transformation variable.

viii


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas Kasih dan limpahan berkatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pendeteksian dan Perbaikan Heteroskedastisitas pada Regresi Linier Menggunakan Metode Weighted Least Squares (WLS) dan Transformasi Variabel” Dalam proses penulisan skripsi ini, penulis mengalami banyak kesulitan dan hambatan. Namun berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, akhirnya dapat terselesaikan juga. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada: 1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, tenaga, pikiran serta kesabaran dalam membimbing, mengarahkan serta mendampingi penulis selama proses penyusunan skripsi. 2. Bapak Hongki Julie, S.Pd., M.Si. yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini. 3. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. selaku ketua program studi Pendidikan Matematika yang telah banyak membimbing penulis selama kuliah. 4. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo M.Si. selaku dosen pemimbing akademik yang telah banyak membimbing dan memberi masukan selama penulis kuliah.

ix


5. Bapak Drs. Sukardjono, M.Pd. dan Sutrisno, M.Sc. yang telah menjadi dosen penguji skripsi, terimakasih atas bimbingan dan sarannya selama ini. 6. Bapak ibu Dosen pendidikan matematika yang telah banyak memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis. 7. Ibu Heny, Bapak Sugeng dan Mas Arif di sekertariat JPMIPA atas segala bantuan dan kerja samanya slama penulis kuliah. 8. Bundaku tercinta Yuni Lestari, beserta Bapak Nanik Santoso yang telah memberikan smangat, dukungan, nasihat serta doa yang tak henti untuk penulis. 9. Saudara-saudaraku terkasih, Aditya Lukas Santoso

dan Yehezkiel

Anugrah Putra Pamungkas yang telah memberikan keceriaan dan semangat bagi penulis. 10. Sahabat-sahabatku tersayang Brigita Padhang, Maria Ursula, Helena Agustin dan Yustina Dayu yang telah memberikan semangat, keceriaan dan perjalanan hidup yang sangat berarti. 11. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2009 atas kebersamaan dan keceriaan selama penulis menempuh kuliah.

Penulis

x


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................. ii HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iii LEMBAR PERSEMBAHAN ........................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................ v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ..................................................................... vi ABSTRAK ................................................................................................... vii ABSTRACT ................................................................................................. viii KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix DAFTAR ISI ................................................................................................ xi DAFTAR TABEL ........................................................................................ xiii DAFTAR GAMBAR .................................................................................... xiv BAB I. PENDAHULUAN ............................................................................ 1 A. Latar Belakang .................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ............................................................................. 2 C. Tujuan penulisan ............................................................................... 3 D. Pembatasan Masalah ......................................................................... 3 E. Metode Pembahasan .......................................................................... 3 F. Sistematika Pembahasan.................................................................... 4

xi


BAB II. LANDASAN TEORI ...................................................................... 5 A. Probabilitas ....................................................................................... 6 B. Variabel Acak / Variabel Random ..................................................... 7 C. Matriks .............................................................................................. 17 BAB III. ANALISIS REGRESI LINIER....................................................... 27 A. Analisis Regresi Linier Sederhana ..................................................... 27 B. Analisis Regresi Linier Berganda ...................................................... 50 C. Inferensi Analisis Regresi Linier ....................................................... 70 BAB

IV.

PENDETEKSIAN

HETEROSKEDASTISITAS

DALAM

DAN

PERBAIKAN

REGRESI

LINIER

MENGGUNAKAN WLS DAN TRANSFORMASI VARIABEL .......... 76 A. Sifat Alamiah Heteroskedastisitas...................................................... 76 B. Konsekuensi Keberadaan Heteroskedastisitas .................................... 78 C. Cara Pendeteksian Keberadaan Heteroskedastisitas ........................... 80 D. Cara Memperbaiki Kondisi Heteroskedastisitas ................................. 87 BAB V. KESIMPULAN ............................................................................... 103 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 105 LAMPIRAN ................................................................................................. 106

xii


DAFTAR TABEL

Tabel 3.1

Data banyaknya suatu senyawa kimia ............................................ 48

Tabel 3.2

Data residual.................................................................................. 50

Tabel 4.1

Data harga saham dan konsumen setelah perang dunia II ............... 83

Tabel 4.2

Hasil uji Rank Spearman menggunakan SPSS ............................... 85

Tabel 4.3

Data gaji rata-rata ahli ekonomi yang diklasifikasikan sesuai dengan gelar yang dicapai .......................................................................... 86

Tabel 4.4

Hasil pengujian Rank Spearman melalui SPSS ............................... 87

Tabel 4.5

Data mengenai pengeluaran per kapita negara

dan pendapatan

perkapita…………………………………………………………….. 93 Tabel 4.6

Data jarak mil dari mobil penumpang ............................................ 98

xiii


DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Pembagian variasi 𝑌𝑖 menjadi dua komponen ................................. 48 Gambar 4.1 Homoskedastisitas ......................................................................... 76 Gambar 4.2 Heteroskedastisitas ........................................................................ 77 Gambar 4.3 Pola hipotesis residual kuadrat yang ditaksir .................................. 79 Gambar 4.4 Diagram pencar untuk contoh 4.1 .................................................. 84 Gambar 4.5 Diagram pencar yang diperoleh pada contoh 4.2 ............................ 86 Gambar 4.6 Error varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 2 ………………………….. …92 Gambar 4.7 Error variance proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 ....................................... 97 Gambar 4.8 Error kuadrat proporsional terhadap nilai rerata ............................. 98

xiv


BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG Matematika merupakan ilmu yang mendasari berbagai macam ilmu, antara lain ekonomi, sosial, kesehatan dan lain-lain. Matematika dapat diaplikasikan dengan ilmu-ilmu lain, sehingga muncullah matematika ekonomi dan matematika statistik. Suatu cabang ilmu yang menggunakan campuran teori ekonomi, matematika ekonomi, matematika statistika, statistika ekonomi adalah ekonometrika. Ekonometrika didefinisikan sebagai hasil dari sebuah cara pandang mengenai peran ilmu ekonomi, berisi aplikasi matematika statistik pada data ekonomi untuk meminjamkan dukungan empiris pada model-model yang dibangun oleh matematika ekonomi dan untuk mendapatkan hasil empiris. Dalam ekonometrika, alat utama yang digunakan adalah regresi. Dalam penulisan ini hanya akan dibahas regresi linier, yaitu regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Analisis regresi dapat dikatakan sebagai usaha untuk meramalkan perubahan, sehigga regresi dapat mengungkapkan keingintahuan apa yang akan terjadi di massa depan untuk memberikan sumbangan dalam menentukan keputusan yang terbaik. Regresi dapat dinyatakan dengan rumus: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 dengan Y adalah variabel terikat, X adalah variabel bebas, 𝛽 adalah parameter dan 𝜀 adalah error (kesalahan residual). Sedangkan k menyatakan banyaknya variabel bebas serta i menyatakan pengamatan.

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Dalam regresi linier, agar taksiran parameter mempunyai sifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) maka model regresi harus memenuhi beberapa asumsi sehingga estimasi yang akan dilakukan dapat menghasilkan hasil yang benar dan efektif. Salah satu asumsi yang harus dipenuhi adalah asumsi homoskedastisitas, jika

asumsi

homoskedastisitas

tidak

terpenuhi

maka

akan

terjadi

heteroskedastisitas. Heteroskedastisitas adalah kondisi dimana variansi error ada yang tidak sama dalam setiap pengamatan. Variansi error ada yang tidak sama menyebabkan kesimpulan yang dicapai tidak valid. Sehingga jika terjadi kondisi heteroskedastisitas maka harus diatasi agar kesimpulan yang dicapai valid. Berdasarkan

latar

belakang

di

atas,

penulis

mengambil

judul

“Pendeteksian dan Perbaikan Heteroskedastisitas dalam Regresi Linier Menggunakan Metode Weighted Least Squares (WLS) dan Transformasi Variabel”.

B. RUMUSAN MASALAH Berdasarkan latar belakang di atas, pokok-pokok perumusan masalah yang akan ditulis yaitu : 1. Apa yang dimaksud dengan heteroskedastisitas dan konsekuensinya? 2. Bagaimana mendeteksi keberadaan heteroskedastisitas pada model regresi linier? 3. Bagaimana memperbaiki heteroskedastisitas pada model regresi linier?


C. TUJUAN PENULISAN Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan dari penulisan ini adalah untuk: 1. Memahami apa itu heteroskedastisitas dan konsekuensinya. 2. Memahami cara mendeteksi keberadaan heteroskedastisitas pada model regresi linier. 3. Memahami cara memperbaiki heteroskedastisitas pada model regresi linier.

D. PEMBATASAN MASALAH Pembatasan masalah yang dibahas dalam penulisan ini yaitu: 1. Dalam mendeteksi keberadaan heteroskedastisitas digunakan metode grafis dan dan uji Rank Spearman. 2. Metode yang digunakan untuk memperbaiki keberadaan heteroskedstisitas adalah WLS (Weighted Least Square) dan transformasi variabel.

E. METODE PEMBAHASAN Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka atau studi literatur. Studi literatur dilakukan dengan mempelajari materi dari buku-buku acuan yang berkaitan dengan masalah ini. Jadi dalam skripsi ini tidak ada penemuan baru.


F. SISTEMATIKA PEMBAHASAN Penulisan ini dibagi menjad lima bab, setiap bab dibagi menjadi beberapa sub bab. Adapun sistematika penulisan ini adalah sebagai berikut: Bab I merupakan bagian awal dari penulisan skripsi ini, berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, pembatasan masalah, manfaat penelitian serta sistematika penulisan. Bab II menjelaskan tentang teori yang menjadi dasar dalam penulisan skripsi ini. Bab III berisi tentang analisis regresi linier sederhana, analisis regresi linier berganda serta inferensi analisis regresi. Bab IV berisi penjelasan tentang heteroskedastisitas, cara pendeteksian dan cara memperbaiki heteroskedstisitas. Bab V berisi kesimpulan.


BAB II LANDASAN TEORI

A. Probabilitas Pada sekali pelemparan sebuah mata uang logam ada dua hasil yang mungkin muncul, yaitu gambar (G) dan angka (A). Dua hasil yang mungkin ini dapat dihimpun menjadi T = {G, A}. Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan tersebut adalah ruang sampel, yang dilambangkan dengan himpunan T, sedangkan anggota dari T adalah titik sampel. Titik sampel yang dihasilkan pada percobaan sekali pelemparan sebuah mata uang logam adalah G dan A.

Definisi 2.1 (Walpole dan Myers, 1995) Ruang sampel merupakan himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika, biasanya dilambangkan dengan huruf T .

Contoh 2.1 Tentukan ruang sampel pada percobaan pelemparan dua mata uang logam! Jawab : Hasil yang mungkin pada percobaan pelemparan dua buah mata uang logam adalah GG, GA, AG, AA. Dapat ditulis T = { GG, GA, AG, AA}

5


Definisi 2.2 (Salam, 1989) Titik sampel adalah setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang sampel atau anggota ruang sampel.

Contoh 2.2 Tentukan titik sampel pada percobaan sekali pelemparan sebuah dadu bersisi enam! Jawab : Titik sampel pada percobaan tersebut adalah: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dalam percobaan sekali pelemparan sebuah mata uang logam, jika muncul gambar {G}, hasil yang muncul dinamakan kejadian munculnya G, yang dapat dinyatakan dalam suatu himpunan A = {G} yang merupakan himpunan bagian dari T.

Definisi 2.3 (Walpole dan Myers, 1995) Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh 2.3 Tentukan A jika A menyatakan suatu himpunan muncul mata dadu angka genap pada sekali pelemparan mata dadu sisi enam!

Jawab : Kejadian munculnya mata dadu angka genap adalah A = {2, 4, 6}


Definisi 2.4 (Salam, 1989) Misalkan A merupakan sebuah kejadian dalam sebuah ruang sampel. Dengan P(A) melambangkan probabilitas kejadian A, akan ditekankan proporsi kemungkinan kejadian A akan muncul dalam sebuah percobaan yang dilakukan secara berulang dalam sebuah eksperimen. Jika 𝑛(𝑇) adalah banyaknya seluruh kemungkinan kemunculan hasil percobaan yang sama pada sebuah percobaan dan jika 𝑛(𝐴) adalah banyaknya kejadian A yang cenderung sering muncul, didefinisikan frekuensi relatif muncul A adalah:

𝑓𝑟 =

𝑛(𝐴) 𝑛(𝑇)

Untuk nilai n yang besar dan mendekati ∞, frekuensi relatif ini akan memberikan sebuah pendekatan yang sangat bagus mengenai probabilitas A. Probabilitas terjadinya kejadian A dirumuskan: 𝑛(𝐴) 𝑛→∞ 𝑛(𝑇)

𝑃 𝐴 = lim

Sifat dari probabilitas: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 untuk setiap A.

B. Peubah Acak / Variabel Random Dalam suatu percobaan, keterangan numerik hasil percobaan sering dibahas. Misalnya, ruang sampel yang rinci bagi percobaan pelemparan uang logam sebanyak tiga kali dapat ditulis T = {AAA, GGG, AGG, GAA, AGA, GAG, AAG, GGA}. Bila yang dibutuhkan adalah banyaknya sisi gambar muncul,


maka nilai numerik 0, 1, 2, 3 dapat diberikan pada setiap titik sampel. Bilanganbilangan 0, 1, 2, 3 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan. Nilai-nilai tersebut dapat dipandang sebagai nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu variabel random atau variabel random X tertentu, yang dalam hal ini menyatakan barapa kali sisi gambar muncul bila sekeping uang logam dilemparkan sebanyak tiga kali.

Definisi 2.5 (Walpole dan Myers, 1995) Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.

Berdasarkan banyaknya kemungkinan hasil suatu percobaan, ada dua macam variabel random yaitu, variabel random diskrit dan variabel random kontinu. Variabel random diskrit adalah variabel random yang hanya memiliki nilai tertentu, yaitu merupakan bilangan bulat dan asli. Dalam praktek, variabel random digunakan untuk data yang berupa cacahan. Variabel random kontinu adalah variabel random yang memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu, nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan. Dalam praktek , variabel random kontinu digunakan untuk data yang diukur. Nilai harapan / ekspektasi merupakan salah satu konsep yang berkaitan dengan variabel random. Nilai harapan variabel random digunakan untuk mendefinisikan rataan dari variabel random. Kata harapan mempunyai arti


harapan dalam jangka panjang, misalnya dari percobaan yang diulang berkali-kali. Nilai harapan variabel random X dilambangkan dengan E(X).

Definisi 2.6 (Walpole dan Myers, 1995) Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan X adalah:

𝐸 𝑋 =

𝑥. 𝑓 𝑥

, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡

𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢

𝑥 +∞

−∞

Sifat-sifat nilai harapan: Teorema 2.1 (Walpole & Myers, 1995: 113) Jika 𝑎 dan 𝑏 adalah konstanta, maka 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎 𝐸 𝑋 + 𝑏 Bukti: Jika X diskrit: 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 =

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓 𝑥

=

𝑎𝑥𝑓 𝑥 +

=𝑎

𝑏𝑓(𝑥)

𝑥𝑓 𝑥 + 𝑏

𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏 bila X kontinu maka 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 =

∞ −∞

𝑎𝑋 + 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑓(𝑥)

(2.1)


∞ 𝑥𝑓 −∞

=𝑎

𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏

∞ 𝑓 −∞

𝑥 𝑑𝑥

▄

𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = aE(X) + b

Teorema 2.2 (Walpole & Myers, 1995) Jika X dan Y adalah variabel random bebas, maka 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸(𝑌)

(2.2)

Bila X diskrit Bukti: 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸(𝑌) =

𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 𝑖

𝑗

Karena X dan Y tidak saling bergantung maka probabilitas gabungannya adalah: 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 = 𝑓 𝑥𝑖 𝑓(𝑦𝑗 ) sehingga 𝐸 𝑋𝑌 =

𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑓 𝑥𝑖 𝑓(𝑦𝑗 ) 𝑖

=

𝑗

𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖 𝑖

𝑦𝑗 𝑓(𝑦𝑗 ) 𝑗

= 𝐸 𝑋 𝐸(𝑌)

▄

bila X kontinu Bukti: 𝐸 𝑋𝑌 =

∞ ∞ −∞ −∞

𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑕(𝑥)


dengan 𝑔 𝑥 dan 𝑕(𝑥) menyatakan masing-masing distribusi X dan Y, maka 𝐸 𝑋𝑌 = =

∞ ∞ −∞ −∞ ∞ −∞

𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∞ −∞

𝑦𝑕(𝑦)𝑑𝑦

= 𝐸 𝑋 𝐸(𝑌) ▄

Teorema 2.3 (Walpole & Myers, 1995) Nilai harapan suatu konstanta adalah sama dengan konstanta itu sendiri, yaitu 𝐸 𝑏 =𝑏 Bukti: Akibat dari Teorema 2.1, jika 𝑎 = 0 maka 𝐸 𝑏 =

𝑏𝑓 𝑥

=

𝑏𝑓(𝑥)

= 𝑏

𝑓(𝑥)

𝐸 𝑏 = 𝑏

bila kontinu 𝐸 𝑏 =

∞ 𝑏𝑓 −∞

= 𝑏 𝐸 𝑏 =b

∞ 𝑓 −∞

𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 ▄

(2.3)


Teorema 2.4 (Walpole & Myers, 1995) Jumlah nilai harapan atau selisih dua atau lebih fungsi suatu peubah acak X sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan fungsi tersebut, yaitu 𝐸 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = 𝐸 𝑓(𝑥) ± 𝐸 𝑔(𝑥)

(2.4)

Bukti: Jika X diskrit maka 𝐸 𝑝(𝑥) ± 𝑞(𝑥) =

𝑝(𝑥) ± 𝑞(𝑥) 𝑥

=

𝑝 𝑥 𝑓(𝑥) ± 𝑥

𝑞 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥

= 𝐸 𝑝(𝑋) ± 𝐸 𝑞(𝑋) Jika X kontinu maka ∞

𝐸 𝑝(𝑥) ± 𝑞(𝑥) =

𝑝 𝑥 ± 𝑞 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞ ∞

=

∞

𝑝 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± −∞

𝑞 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞

= 𝐸 𝑝(𝑋) ± 𝐸 𝑞(𝑋)

▄

Selain nilai harapan, variansi juga termasuk salah satu konsep yang berkaitan dengan variabel random.

Definisi 2.7 (Walpole & Myers, 1995) Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang f(x) dan rataan 𝜇. Variansi X adalah: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 2 = 𝐸

𝑋− 𝜇

2

=

𝑥

𝑥− 𝜇

2

𝑓(𝑥)

bila X diskrit


𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 2 = 𝐸

𝑋− 𝜇

2

∞ −∞

=

𝑥− 𝜇

2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 bila X kontinu

Sifat-sifat Varians: Teorema 2.5 (Walpole, 1995) Variansi variabel random X adalah: 𝜎 2 = 𝐸 𝑋 2 − 𝐸 2 (𝑋) = 𝐸 𝑋 2 − 𝜇2

(2.5)

Bukti: Berdasarkan Teorema 2.1 dan Definisi 2.7, maka 𝜎2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇

2

= 𝐸 𝑋 2 − 2𝜇𝑋 + 𝜇2 = 𝐸 𝑋 2 − 2𝜇𝐸 𝑋 + 𝜇2 = 𝐸 𝑋 2 − 2𝜇2 + 𝜇2 = 𝐸 𝑋 2 − 𝜇2 ▄

Teorema 2.6 (Walpole, 1992) Jika a dan b adalah konstanta, maka 𝑣𝑎𝑟 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎2 𝑣𝑎𝑟(𝑋) Bukti: Jika E 𝑋 = 𝜇 , maka 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎 𝜇 + 𝑏. Oleh sebab itu, 𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 − 𝑎𝜇 − 𝑏 = 𝐸 𝑎𝑋 − 𝑎𝜇 = 𝑎2 𝐸

2

𝑋−𝜇

= 𝑎2 𝑣𝑎𝑟(𝑋) ▄

2

2

(2.6)


Teorema 2.7 (Walpole, 1995) Jika X dan Y adalah variabel random bebas, maka 𝑣𝑎𝑟 𝑋 + 𝑌 = 𝑣𝑎𝑟 𝑋 + 𝑣𝑎𝑟 𝑌

(2.7)

Bukti: Jika 𝐸 𝑋 = 𝜇1 dan 𝐸 𝑌 = 𝜇2 maka 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝜇1 + 𝜇2 , oleh sebab itu Var (X+Y) = 𝐸 𝑋 + 𝑌 − 𝜇1 − 𝜇2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇1

2

2

+ 𝑌 − 𝜇2

2

+ 2 𝑋 − 𝜇1 (𝑌 − 𝜇2 )

= 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌 + 2𝐸 𝑋 − 𝜇1 (𝑌 − 𝜇2 ) Karena X dan Y bebas, maka 𝐸 𝑋 − 𝜇1 (𝑌 − 𝜇2 ) = 𝐸 𝑋 − 𝜇1 𝐸(𝑌 − 𝜇2 ) = 𝜇1 − 𝜇1 (𝜇2 − 𝜇2 ) =0 Sehingga 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟(𝑌)

Definisi 2.8 (Walpole dan Myers, 1995) Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y). Kovariansi X dan Y adalah: bila X dan Y diskrit 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸

𝑋 − 𝜇𝑥 𝑌 − 𝜇𝑦

=

𝑋 − 𝜇𝑥 𝑌 − 𝜇𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑥

bila X dan Y kontinu

𝑦


∞

𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸

𝑋 − 𝜇𝑥 𝑌 − 𝜇𝑦

∞

=

𝑋 − 𝜇𝑥 𝑌 − 𝜇𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ −∞

Bila nilai X yang besar sering berkaitan dengan nilai Y yang besar atau nilai X yang kecil berkaitan dengan nilai Y yang kecil maka nilai 𝑋 − 𝜇𝑥 positif akan berkaitan dengan nilai 𝑌 − 𝜇𝑦 yang positif dan nilai negatif 𝑋 − 𝜇𝑥 akan berkaitan dengan nilai negatif 𝑌 − 𝜇𝑦 . Jadi 𝑋 − 𝜇𝑥 𝑌 − 𝜇𝑦 cenderung positif. Jadi tanda kovariansi (+ atau -) menunjukkan apakah hubungan antara dua variabel random yang berkaitan positif atau negarif. Kovarians bernilai positif jika rata-rata pada variabel random X dan Y bergerak dalam arah yang sama, dan bernilai negatif jika rata-rata variabel random X dan Y bergerak berlawanan arah. Bila X dan Y adalah bebas, maka kovariansnya nol. Distribusi normal termasuk dalam landasan teori karena berguna dalam pembahasan asumsi kenormalan pada regresi linier. Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang mensyaratkan variabel yang diukur harus kontinu . Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi normal dari variabel acak kontinu ditunjukkan oleh daerah di bawah kurva normal. Pada suatu observasi, berapapun nilai rata-rata dan nilai standar deviasinya, luas seluruh daerah di bawah kurva normal adalah 1. Distribusi probabilitas normal untuk setiap nilai x yang membentuk kurva normal mempunyai persamaan umum: 𝑓 𝑥 =

1 𝜎 2𝜋

1 𝑥−µ 2 − 𝑒 2 𝜎


µ = rata-rata populasi σ = simpangan baku populasi π = konstanta yang nilainya mendekati 3,14159 e = konstanta yang nilainya mendekati 2,7182 x = setiap nilai variabel acak kontinu yang besarnya - ∞ < x < +∞. Distribusi normal f(x) didefinisikan pada interval terbuka - ∞ < x < +∞. Distribusi normal dengan parameter µ dan σ2 biasanya ditulis N (µ , σ2). Dengan memperhatikan persamaan umum dan grafik distribusi normal f(x), tampak bahwa bentuk kurva normal ditentukan oleh dua parameter, yaitu rata-rata (µ) dan simpangan baku (σ). Bila nilai σ mengecil, bentuk kurva akan lebih rapat dan semakin runcing dan sebagian besar nilai x akan berkumpul atau mendekati ratarata µ. Sebaliknya jika nilai σ semakin besar, bentuk kurva akan semakin besar, bentuk kurva akan semakin renggang dan tumpul dimana sebagian besar nilainilai x akan menjauhi nilai rata-rata µ. Sifat-sifat distribusi normal: a.

Grafik simetri terhadap garis tegak x = µ

b.

Grafik selalu berada di atas sumbu x atau f(x) > 0

c.

Mempunyai 1 nilai modus

d.

Luas daerah di bawah kurva f(x) dan di atas sumbu x sama dengan 1 yaitu P (-∞ < x < +∞) =

∞ 1 −∞ 𝜎 2𝜋

𝑒

1 𝑥 −µ 2 2 𝜎

−

𝑑𝑥 = 1


Distribusi normal jika digambarkan dalam grafik maka:

𝜎 X

C. Matriks Agar lebih mudah dalam penulisan dan pembahasan analisis regresi linier majemuk maka digunakanlah dasar-dasar aljabar matriks.

Definisi 2.10 (Gujarati, 2012) Matriks adalah kelompok bilangan (real dan kompleks) yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris dan kolom.

Matriks dapat dinotasikan dengan huruf kapital yang tercetak tebal, serta dalam penulisannya menggunakan kurung biasa atau kurung siku. Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat dalam matriks. Secara umum, matriks A yang berukuran 𝑚 × 𝑛 dituliskan:

𝐴𝑚𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗

𝑎11 𝑎 = 21 ⋮ 𝑎𝑚 1

𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚 1

… 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 ⋯ ⋮ … 𝑎𝑚𝑛


dimana 𝑎𝑖𝑗 adalah unsur yang muncul dalam baris ke I dan kolom ke j dari A dan 𝑎𝑖𝑗

adalah pernyataan secara ringkas untuk matriks A yang unsur khasnya

adalah 𝑎𝑖𝑗 .

Contoh 2.4 Beri contoh matriks A yang berukuran 3 x 4! Jawab: 11 13 22 25 𝐴3𝑥4 = 4 7 12 34 8 18 9 17

Dalam penulisan ini, tipe-tipe matriks yang digunakan antara lain: a. Matriks persegi Matriks persegi merupakan matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Contoh: 1 3 𝐴= 4 2

1 𝐵= 3 11

5 7 8 9 4 66

b. Matriks diagonal Matriks diagonal merupakan matriks persegi dengan sekurang-kurangnya satu unsur tidak nol pada diagonal utama (yaitu diagonal dari sudut atas kiri ke sudut kanan bawah) dan nol untuk semua unsur lainnya.


Contoh: 𝐴= c.

1 0 𝐵= 0 8 0 0

13 0 0 2

0 0 66

Matriks skalar Matriks skalar adalah suatu matriks yang mempunyai ordo 1 × 1.. Contoh: 𝑌 = 32

d.

Matriks identitas Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang semua unsur diagonalnya adalah satu. Contoh: 1 0 𝐵= 0 1 0 0

e.

0 0 1

Matriks simetris Matriks simetris adalah suatu matriks persegi yang unsur-unsurnya di atas diagonal utama merupakan pencerminan dari unsur-unsur bawah diagonal utama.

f. Matriks nol Matriks nol adalah suatu matriks yang semua unsurnya nol dan dinyatakan dengan 0.


Dalam matriks juga terdapat operasi penjumlahan, pengurangan serta pembagian. Operasi matriks ini bermanfaat dalam mencari penaksir menggunakan OLS pada regresi linier majemuk. 1. Operasi penjumlahan dan pengurangan Jika 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗

dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗

dua matriks yang mempunyai ordo yang

sama 𝑚 × 𝑛, maka jumlahnya didefinisikan sebagai matriks 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 berordo 𝑚 × 𝑛, dengan setiap elemen C adalah jumlah elemen A dan B yang seletak. Sehingga 𝐴 + 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 . Contoh: Jika 𝐴 =

1 2 0 1

3 2 dan 𝐵 = 4 −1

3 0 , maka tentukanlah 𝐴 + 𝐵 ! 2 5

Jawab: 𝐴+𝐵=

1+2 0 + (−1)

2+3 1+2

3+0 3 = 4+5 −1

5 3

3 . 9

2. Operasi Pengurangan Misalkan 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 dua matriks yang mempunyai ordo yang sama 𝑚 × 𝑛, dapat didefinisikan pengurangan matriks 𝐶 = 𝐴−𝐵 dimana C adalah matriks yang berordo sama dengan A dan B, dan diperoleh sebagai

𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 untuk semua i dan j; yaitu C didapatkan dengan

mengurangkan setiap elemen B dari elemen A yang seletak.


Contoh: 2 Jika diketahui matriks 𝐴 = 1 6

3 5 5 18 3 dan 𝐵 = 10 7 9 2

1 0 4 3 , maka 𝐴 − 𝐵 5 12

adalah? Jawab: 2−5 𝐴 − 𝐵 = 1 − 10 6−2

3−1 18 − 4 7−5

5−0 −3 = 3−3 −9 9 − 12 4

2 5 14 0 2 −3

3. Operasi Perkalian a. Perkalian skalar Jika sebuah matriks A dikalikan dengan suatu skalar λ (suatu bilangan real) maka setiap elemen matrriks A dikalikan dengan λ, jadi 𝜆𝐴 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 . Contoh: Misalkan matriks 𝐴 =

1 2 0 1

3 dan λ = 2, maka 𝜆𝐴 adalah? 4

Jawab: 𝜆𝐴 = 2

1 2 0 1

3 2 4 = 4 0 2

6 8

b. Perkalian matriks Misalkan A adalah matriks berordo 𝑚 × 𝑛 dan B berordo 𝑛 × 𝑝, maka hasil kali AB didefinisikan sebagai suatu matriks C yang berordo 𝑚 × 𝑝 sedemikian rupa sehingga: 𝑛

𝑐𝑖𝑗 =

𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 𝑘 =1


𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚 dan 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑝. Unsur baris ke 𝑖 dan kolom ke 𝑗 dari C diperoleh dengan mengalikan unsur dari baris ke 𝑖 dari A dengan unsur yang sesuai dari kolom ke 𝑗 dari matriks B dan menjumlahkan untuk semua unsur. Agar perkalian matriks AB mempunyai hasil perkalian, maka banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Contoh: Tentukanlah hasil kali AB jika 𝐴2×3 =

3 4 5 3

1 7 dan 𝐵3×2 = 5 1 4

3 2! 7

Jawab: 𝐴𝐵 = 𝐶2×2 = =

3×1+4×5+7×4 5×1+3×5+1×4 51 24

3×3+4×2+7×7 5×3+3×2+1×7

66 28

Sifat-sifat perkalian matriks: i.

Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif, secara umum 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴.

ii.

Jika AB dan BA ada, matriks yang dihasilkan belum tentu memiliki ordo yang sama.

iii.

Suatu vektor baris yang dikalikan dibelakang dengan suatu vekor kolom adalah suatu skalar.

iv.

Suatu vektor kolom yang dikalikan di depan suatu vektor baris adalah suatu matriks.

v.

Perkalian matriks adalah asosiatif, yaitu

𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶), dimana A

berordo 𝑚 × 𝑛, B berordo 𝑛 × 𝑝, dan C berordo 𝑝 × 𝑘.


4. Transposisi Matriks Suatu matriks berordo 𝑛 × 𝑚 yang diperoleh dari penukaran baris dengan kolom matrik A 𝑚 × 𝑛 merupakan transpose dari A dan dinyatakan oleh 𝐴𝑡 (A transpose). Contoh: 1 Tentukan transpose matriks = 2 3 1 Jawab: 𝐵𝑡 = 5 2 1

2 2 6 3

5 2 6

2 1 6 3 ! 8 6

3 6 8 6

Sifat-sifat transposisi: i.

𝐴𝑡

𝑡

ii.

𝐴+𝐵

iii.

𝐴𝐵

= 𝐴.

𝑡

𝑡

= 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡

= 𝐵𝑡 𝐴𝑡

Bukti: Tetapkan matriks 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 berordo 𝑚 × 𝑛dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 berordo 𝑛 × 𝑝 sehingga matriks 𝐶 = 𝐴𝐵 = 𝑐𝑖𝑗 berordo 𝑚 × 𝑝. Elemen pada posisi baris ke 𝑖 dan kolom ke 𝑗 dari AB adalah 𝑐𝑖𝑗 =

𝑛 𝑘 =1 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗

, dan ini juga merupakan

elemen pada posisi baris ke 𝑗 dan kolom ke 𝑖 pada matriks 𝐴𝐵 𝑡 . Elemen-elemen pada baris ke 𝑗 dari 𝐵𝑡 adalah 𝑏1𝑗 , 𝑏2𝑗 , … , 𝑏𝑛𝑗 dan elemenelemen pada kolom ke 𝑖 dari matriks 𝐴𝑡 adalah 𝑎𝑖1, 𝑎𝑖2 , … , 𝑏𝑖𝑛 . Maka elemen pada baris ke 𝑗 dan kolom ke 𝑖 dari 𝐵𝑡 𝐴𝑡 adalah iv.

𝑘𝐴

𝑡

= 𝑘𝐴𝑡


5. Determinan Untuk setiap matriks persegi A, terdapat hubungan sebuah angka yang dikenal sebagai determinan dari matriks, dilambangkan dengan det A atau |A|. proses penemuan nilai sebuah determinan disebut sebagai evaluasi dari determinan. Hal ini dilakukan dengan mengubah isi dari matriks dalam pola yang telah ditentukan. Evaluasi matriks 2 × 2 𝑎11 Jika 𝐴 = 𝑎 21

𝑎12 𝑎22

maka determinannya dievaluasi sebagai berikut: 𝑎11 𝐴 = 𝑎 21

𝑎12 𝑎22 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21

yang didapatkan dengan mengalikan silang secara berlawanan elemen pada diagonal utama dan mengurangi hasil perkalian silang dengan elemen diagonal lainnya dari matriks A. Evaluasi sebuah determinan 3 × 3 𝑎11 𝑎 Jika 𝐴 = 21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 𝑎33

maka 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 𝑎11 𝑎 Jika 𝐴 = ⋮21 𝑎𝑛1

𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2

… 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 … ⋮ … 𝑎𝑛𝑛


maka 𝐴 = 𝑎1𝑗 𝐾1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐾2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐾𝑛𝑗 𝐾1𝑗 merupakan kovaktor dari matriks A. Sifat-sifat determinan i.

sebuah matriks dengan nilai determinan nol disebut sebagai matriks singular, sedangkan sebuah matriks dengan nilai determinan tidak nol disebut sebagai matriks non singular.

ii.

jika semua elemen dari setiap baris martriks A adalah nol, determinannya adalah nol.

iii.

𝐴𝑡 = 𝐴 artinya bahwa determinan matriks A dan determinan dari transpose A adalah sama.

iv.

Dengan menukar dua baris atau dua kolom manapun dari matriks A akan mengubah tanda dari 𝐴 .

v.

Jika setiap elemen dari sebuah baris atau sebuah kolom dari matriks A dikalikan dengan skalar λ, maka 𝐴 dikalikan dengan λ.

6. Inversi Matriks Suatu kebalikan (invers) dari matriks persegi A, dinyatakan dengan 𝐴−1 , jika ada, adalah matriks persegi yang unik sedemikian rupa sehingga: 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 dimana I adalah matriks identitas yang ordonya sama dengan matriks A. Sebagai contoh: 2 4 𝐴= 6 8

−1

𝐴

=

−1 6 8

1 2 1

−4

𝐴𝐴−1 =

1 0

0 1


Sifat-sifat invers matriks: i.

𝐴𝐵

−1

= 𝐵−1 𝐴−1

Bukti: menurut definisi 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 , maka 𝐴𝐵

−1

−1

𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 𝐴𝐵

=𝐼

𝐵−1 𝐴−1 𝐴𝐵 = 𝐵−1 𝐴−1 𝐴 𝐵 = 𝐼 𝐵−1 𝐼𝐵 = 𝐵−1 𝐵 = 𝐼 dan 𝐴𝐵 𝐵−1 𝐴−1 = 𝐴 𝐵𝐵−1 𝐴−1 = 𝐼 𝐴𝐼𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 = 𝐼 ▄ ii.

𝐴−1

𝑡

= 𝐴𝑡

−1

Cara menentukan inverse dari sebuah matriks akan digunakan dalam menentukan vektor OLS 𝛽 . Jika matriks A merupakan matriks persegi dan non singular, dimana 𝐴 ≠ 0, inverse 𝐴−1 dapat ditemukan sebagai: 𝐴−1 =

1 (𝑎𝑑𝑗 𝐴) 𝐴

Contoh: Jika terdapat matriks 𝐴 =

4 5

8 , maka invers matriks A adalah? 9

Jawab: 1

𝐴−1 =

5×8 − 4×9

−9 8 5 −4 9

=

1 4

−9 5

− 8 = 54 −4 4

2 −1


BAB III ANALISIS REGRESI LINIER

Analisis regresi diperkenalkan oleh Francis Galton. Ia menemukan bahwa, bagi orang tua yang tinggi akan mempunyai anak laki-laki yang tinggi pula, tetapi secara rata-rata tidaklah setinggi orang tua mereka. Begitu pula bagi orang tua yang pendek akan mempunyai anak laki-laki yang pendek, tetapi secara rata-rata tidaklah sependek orang tua mereka, namun selalu lebih mendekati ratarata. Dengan demikian ada kecenderungan bahwa secara rata-rata sifat-sifat beberapa kelompok tertentu pada generasi selanjutnya akan bergerak ke arah ratarata populasi (tidak tepat sama dengan generasi sebelumnya).

Definisi 3.1 Analisis regresi adalah studi ketergantungan satu variabel, variabel tak bebas, pada satu atau lebih variabel lain, variabel yang menjelaskan (explanatory variabels), dengan maksud menaksir dan atau meramalkan nilai rata-rata hitung (mean) atau rata-rata (populasi) variabel tak bebas, dipandang dari segi nilai yang diketahui atau tetap (dalam pengambilan sampel berulang) variabel yang menjelaskan (yang belakangan).

Variabel tak bebas yaitu variabel yang nilainya tergantung atau ditentukan dari variabel lainnya. Sedangkan variabel yang menjelaskan adalah variabel yang nilainya diberikan atau variabel yang nilainya mempengaruhi variabel tak bebas. Misalnya seorang ahli agronomi mempelajari ketergantungan 27


hasil panen gandum, pada suhu, curah hujan, jumlah cahaya matahari, dan pupuk. Ketergantungan seperti itu memungkinkan peramalan hasil panen rata-rata dengan dasar infomasi mengenai variabel yang menjelaskan. Hasil panen disebut variabel tak bebas (dependent variabel), dan suhu, curah hujan, jumlah cahaya matahari, pupuk disebut variabel yang menjelaskan (explanatory variabel). Dalam penulisan ini akan digunkan lambang huruf Y untuk variabel tak bebas dan huruf X untuk variabel yang menjelaskan,

𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘

𝑋𝑘

merupakan variabel yang

menjelaskan yang ke k.

A. Analisis Regresi Linier Sederhana Analisis regresi linier sederhana hanya mempelajari dua variabel, yaitu satu variabel tak bebas dan satu variabel yang menjelaskan yang berhubungan secara linier. Linieritas dalam regresi adalah linieritas dalam parameter yang artinya parameter yang terdapat dalam model regresi berpangkat satu dan tidak dibagi atau dikalikan dengan parameter lain. Upaya untuk mengetahui hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel yang menjelaskan dimulai dengan mencari bentuk terdekat dari hubungan tersebut dengan cara menyajikan data yang telah diketahui dalam sebuah kurva atau grafik yang disebut diagram pencar (Scaater plot). Diagram pencar menggambarkan titik-titik pengamatan, dan setiap titik pengamatan ditentukan oleh pasangan (𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 ). Jika diambil suatu garis yang mewakili rata-rata dari seluruh titik-titik pengamatan, maka akan diperoleh garis lurus. Garis lurus tersebut adalah garis regresi. Secara ilmu ukur, garis regresi merupakan suatu tempat kedudukan ratarata Y pada X tertentu.


Rata-rata dari seluruh titik-titik pengamatan merupakan rata-rata bersyarat variabel tak bebas Y untuk variabel bebas X tertentu, dilambangkan 𝐸(𝑌|𝑋𝑖 ), 𝐸(𝑌|𝑋𝑖 ) juga sering disebut nilai harapan Y pada X tertentu. Jika titiktitik pengamatan tersebut berada di sekitar garis regresi maka menunjukkan bahwa kedua variabel tersebut saling berhubungan secara linier. Jelas bahwa rata-rata bersyarat 𝐸(𝑌|𝑋𝑖 ) merupakan fungsi dari 𝑋𝑖 .Setelah bentuk hubungan antara variabel X dan variabel Y tersebut diketahui, lalu selanjutnya merumuskan ke dalam suatu persamaan matematis. Misalkan terdapat data populasi dari penelitian belanja konsumsi suatu keluarga (Y) yang dipengaruhi oleh pendapatan keluarga (X), dan setelah digambarkan dalam diagram pencar ternyata data tersebut berada disekitar nilai rata-rata bersyarat Y untuk X tertentu [𝐸(𝑌|𝑋𝑖 )], maka 𝐸(𝑌|𝑋𝑖 ) merupakan fungsi dari 𝑋𝑖 . Nilai-nilai 𝐸(𝑌|𝑋𝑖 ) ternyata membentuk garis lurus, maka dapat disimpulkan bahwa 𝐸(𝑌|𝑋𝑖 ) merupakan fungsi linier dari 𝑋𝑖 . Karena dalam keadaan nyata tidak diperoleh data seluruh populasi, maka bentuk fungsi 𝑋𝑖 belum diketahui, sehingga sebagai pendekatan pertama model persamaan garis regresi populasi (PRP) dapat dituliskan: 𝐸 𝑌 𝑋𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖

(3.1.1)

dimana 𝛽0 dan 𝛽1 merupakan parameter-paremeter yang tidak diketahui (besarnya) tetapi bersifat tetap dan dikenal sebagai koefisien regresi. 𝛽0 dan 𝛽1 secara berturut-turut dikenal sebagai intersep dan koefisien kemiringan. Karena nilai Y yang sebenarnya tidak selalu sama dengan nilai harapan dari Y, maka model (3.1.1) dapat ditulis: 𝑌𝑖 = 𝐸 𝑌 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖


𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖

(3.1.2)

dimana 𝜀𝑖 merupakan variabel gangguan yang bersifat acak dari model (3.1.1) dan dapat mengambil nilai positif maupun negatif. Sebagaimana diketahui bahwa belanja konsumsi masing-masing keluarga tidak hanya dipengaruhi oleh faktor pendapatan, tetapi dapat juga dipengaruhi oleh jumlah anggota keluarga, umur, tingkat pendidikan, selera dan lain-lain. Dalam regresi sederhana, jumlah anggota keluarga, umur, tingkat pendidikan, selera dinamakan variabel gangguan. 𝛽0 dan 𝛽1 merupakan parameter-parameter yang tidak diketahui, sehingga persamaan garis regresi populasi juga tidak diketahui. Oleh karena itu, parameterparameter 𝛽0 dan 𝛽1

ditaksir atau diduga melalui sampel. Selain itu dalam

beberapa kasus praktik, yang dimiliki hanyalah data sampel Y yang berhubungan dengan beberapa nilai X yang tetap. Persamaan regresi yang didapatkan berdasarkan data sampel merupakan persamaan regresi sampel (PRS). Persamaan regresi sampel (PRS) yang digunakan untuk menaksir persamaan regresi populasi adalah: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖

(3.1.3)

dimana 𝑌𝑖 dibaca sebagai “Y-topi” atau “Y-cap” 𝑌𝑖 = merupakan penaksir dari 𝐸 𝑌 𝑋𝑖 𝛽0 = merupakan penaksir dari 𝛽0 𝛽1 = merupakan penaksir dari 𝛽1 Persamaan (3.1.3) dapat dinyatakan menjadi bentuk sthokastik sebagai berikut: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝑒𝑖

(3.1.4)


dimana 𝑒𝑖

menunjukkan nilai residu. Secara konsep, 𝑒𝑖 sama dengan 𝜀𝑖 dan

dianggap sebagai taksiran untuk 𝜀𝑖 . Setelah model linier dianggap tepat untuk memodelkan hubunan antara variabel Y dengan X, maka selanjutnya adalah penaksiran parameter 𝛽0 dan 𝛽1 . Agar PRS dapat menaksir PRP dengan baik, maka 𝛽0 harus sedekat mungkin dengan 𝛽0 dan 𝛽1 juga harus sedekat mungkin dengan 𝛽1 . Garis regresi sampel yang baik terletak sangat dekat dengan garis regresi populasi, yaitu dengan kuadrat penyimpangan terhadap pengamatan sekecil-kecilnya menggunakan metode kuadrat terkecil biasa (OLS). Penaksiran dengan metode kuadrat terkecil biasa (OLS)

akan

menghasilkan dugaan yang baik jika asumsi-asumsi tentang variabel gangguan 𝜀𝑖 dapat dipenuhi. Berdasarkan tujuannya ada dua asumsi yang biasanya berlaku untuk 𝜀𝑖 yaitu: a.

Untuk penaksiran parameter, diasumsikan 𝜀𝑖 sebagai variabel random yang

didistribusikan identik dan tidak berkorelasi , dengan rata-rata nol dan varians yang konstan. Dengan perkataan lain: 1. 𝐸 𝜀𝑖 𝑋𝑖 = 0 Asumsi ini menyatakan bahwa nilai yang diharapkan bersyarat 𝜀𝑖 , tergantung pada 𝑋𝑖 tertentu adalah nol. Misalnya ada sebuah model regresi linier sederhana : 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐸(𝑌𝑖 |𝑋𝑖 ) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝐸 𝜀𝑖 𝑋𝑖 )


Jika diasumsikan bahwa 𝐸 𝜀𝑖 𝑋𝑖 ) sehingga 𝐸(𝑌𝑖 |𝑋𝑖 ) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 . Dengan kata lain secara rata-rata 𝑋𝑖 dapat menerangkan 𝑌𝑖 . Tetapi jika terjadi pelanggaran terhadap asumsi tersebut, misalnya 𝐸 𝜀𝑖 𝑋𝑖 ) dengan 𝛼𝑖 sebagai konstanta, maka 𝐸(𝑌𝑖 |𝑋𝑖 ) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝛼𝑖 𝐸(𝑌𝑖 |𝑋𝑖 ) = 𝜃 + 𝛽1 𝑋𝑖 ,

atau

𝜃 = 𝛽0 + 𝛼𝑖

Akibatnya penaksir 𝛽1 memang masih tak bias, tetapi penaksir 𝛽0 menjadi bias. Namun dalam prakteknya intersep (𝛽0 ) kurang begitu penting peranannya sehingga dapat diabaikan. Yang terpenting adalah koefisien regresi 𝛽1 yang dapat dipakai untuk mengukur besarnya pengaruh X terhadap Y secara kuantitatif. Koefisien regresi ini tidak terpengaruh walaupun asumsi 𝐸 𝜀𝑖 𝑋𝑖 = 0 tidak terpenuhi. 2. Tidak ada autokorelasi 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖 , 𝜀𝑗 ) = 𝐸 𝜀𝑖 − 𝐸 𝜀𝑗

𝜀𝑗 − 𝐸 𝜀𝑖

= 𝐸(𝜀𝑖 , 𝜀𝑗 ) i≠j

=0

Hal ini menunjukkan, dengan 𝑋𝑖 tertentu simpangan setiap dua Y yang manapun dari nilai rata-ratanya tidak berkorelasi. Asumsi ini dikenal tidak ada autokorelasi. Jika asumsi ini tidak dipenuhi, maka penaksir OLS tidak efisien. 3. Tidak ada Heteroskedastisitas 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 𝑋𝑖 = 𝐸 𝜀𝑖 − 𝐸 𝜀𝑖 = 𝐸 (𝜀𝑖 2 ) = 𝜎2

2


Asumsi tersebut menyatakan bahwa variansi 𝜀𝑖 untuk tiap 𝑋𝑖 adalah suatu angka konstan positif yang sama dengan 𝜎 2 . Secara teknis asumsi tersebut homoskedastisitas. Jika asumsi ini tidak terpenuhi,

maka akan terjadi

Heteroskedastisitas. Heteroskedastisitas tidak merusak sifat ketidakbiasan dan konsekuensi dari penaksir OLS. Tetapi heteroskedastisitas menyebabkan penaksir tidak lagi mempunyai variansi minimum atau efisien. b. Untuk pengujian hipotesis dan penyusunan selang kepercayaan, diasumsikan residu berdistribusi normal 𝜀𝑖 ~ 𝑁(0, 𝜎 2 ). Alasan mengapa variabel gangguan berdistribusi normal adalah: 1) Variabel gangguan dapat dianggap sebagai gabungan dari sejumlah pengaruh tambahan. Jika pengaruh tambahan ini semakin besar, maka distribusi variabel ini akan cenderung mendekati distribusi normal. 2) Uji statistik t dan F tidak dapat diterapkan jika variabel gangguan tidak berdistribusi normal. c. Uji Linieritas Uji linearitas dipergunakan untuk melihat apakah model yang dibangun mempunyai hubungan linear atau tidak. Uji linearitas digunakan untuk mengkonfirmasikan apakah sifat linear antara dua variabel yang diidentifikasikan secara teori sesuai atau tidak dengan hasil observasi yang ada. Metode kuadrat terkecil (OLS) dikemukakan oleh Carl Friedrich Gauss, seorang ahli matematika asal Jerman. Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode penaksiran parameter yang meminimumkan

𝑒𝑖2 (jumlah residual kuadrat)

sehingga diperoleh penaksir parameter 𝛽0 dan 𝛽1 . Dalam metode ini, pertamakali harus diingat mengenai PRP dua variabel:


𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖

(3.1.5)

PRP tidak dapat diamati secara langsung, sehingga PRP ditaksir menggunakan PRS: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝑒𝑖

(3.1.6)

Persamaan (3.1.6) dapat diubah menjadi: 𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖

(3.1.7)

𝑒𝑖 menunjukkan perbedaan (residual) antara nilai nyata dan nilai estimasi dari Y. Prinsip kuadrat terkecil adalah memilih 𝛽0 dan 𝛽1 sedemikian sehingga diperoleh

𝑒𝑖2 sekecil mungkin untuk suatu sampel tertentu. Penaksir parameter

𝛽0 dan 𝛽1 dapat diperoleh dengan menurunkan 𝐾 =

𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖

2

terhapap

𝛽0 dan 𝛽1 secara parsial dan menyamakan hasilnya masing-masing dengan nol, sehingga didapat: ∂K ∂𝛽 0 ∂K ∂𝛽 1

=2

𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 −1 = 0

(3.1.8)

=2

𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 −𝑋𝑖 = 0

(3.1.9)

Persamaan (3.1.8) dan (3.1.9) diatur, sedemikian rupa menjadi: 𝑌𝑖 − n𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 = 0



𝑌𝑖 = n𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖

𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽0 𝑋𝑖 − 𝛽1 𝑋𝑖 2 = 0



𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 𝛽0 𝑋𝑖 + 𝛽1 𝑋𝑖 2

Dari persamaan (3.1.10) dan (3.1.11), nilai 𝛽0 dan 𝛽1 , dapat dicari dengan: 𝑌𝑖 = n𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖

dibagi dengan n

(3.1.10) (3.1.11)


𝑌𝑖

=

𝑛

n 𝛽0 𝑛

𝑋𝑖

𝛽1

+

𝑛

𝑌

𝛽1 𝑋𝑖

𝛽0 = 𝑛 𝑖 −

𝑛

1

𝛽0 = ( 𝑌𝑖 − 𝛽1 𝑋𝑖 )

(3.1.12)

𝑛

Untuk mendapatkan 𝛽1 , persamaan (3.1.12) disubstitusikan ke persamaan (3.1.11), menjadi: 𝑋𝑖 𝑌𝑖 = ( 𝑋𝑖 𝑌𝑖 = (

𝑌𝑖

−

𝑛

𝑌𝑖 𝑋 𝑖 𝑛

𝛽1 𝑋𝑖 𝑛

) 𝑋𝑖 + 𝛽1 𝑋𝑖 2 𝑋𝑖 2

𝛽1

−

𝑛

) + 𝛽1 𝑋𝑖 2

𝑋𝑖 𝑌𝑖 −


= 𝛽1 𝑋𝑖 2 −



= 𝛽1

n 𝑋 𝑖 𝑌𝑖 𝑛

𝑌𝑖 𝑋 𝑖

−

n 𝑋 𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 𝑋 𝑖 𝑛

𝑛 𝑋𝑖 2

𝑋𝑖 2 −

𝑛

n 𝑋𝑖 2

= 𝛽1

𝑛

𝑋𝑖 2

𝛽1

−

𝑛 n

∶

2

n 𝑋𝑖 −

𝑋𝑖

2

𝑋𝑖

2

𝑛

= 𝛽1

n 𝑋 𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 𝑋 𝑖

𝛽1 =

n 𝑋𝑖 2 −

𝑋𝑖

(3.1.13)

2

Persamaan (3.1.13) kemudian dipecahkan secara simultan: bagian pembilang: 𝑛


𝑌𝑖

𝑋𝑖 = 𝑛 =𝑛


𝑌𝑖

𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝑛

𝑋𝑖 + 𝑌𝑖

𝑌𝑖

𝑋𝑖 −

𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝑛 𝑛 𝑛

=𝑛

𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝑋

𝑌𝑖 − 𝑌

=𝑛


=𝑛

𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝑋𝑌𝑖 − 𝑌𝑋𝑖 + 𝑌 𝑋

𝑋𝑌𝑖 −

𝑌𝑖

𝑋𝑖 + 𝑛2

𝑋𝑖 + 𝑛 𝑌 𝑋 𝑌𝑋𝑖 +

𝑋𝑖

𝑌𝑋

𝑌𝑖 𝑋𝑖 𝑛 𝑛


=𝑛

𝑋𝑖 − 𝑋 𝑌𝑖 − 𝑌

bagian penyebut: 𝑛

2

𝑋𝑖 2 −

𝑋𝑖

=𝑛

2

𝑋𝑖 2 − 2

=𝑛

𝑋𝑖

𝑋𝑖 2 − 2𝑛

2

+

𝑋𝑖 𝑛

𝑋𝑖

𝑋𝑖 + 𝑛2

=𝑛

𝑋𝑖 2 − 2𝑋

=𝑛

𝑋𝑖 2 − 2𝑋𝑋𝑖 + 𝑋 2

=𝑛

𝑋𝑖 − 𝑋

𝑋𝑖 𝑋𝑖 𝑛 𝑛

𝑋𝑖 + 𝑛 𝑋𝑋

2

sehingga diperoleh: 𝛽1 =

(𝑋𝑖 −X )(Yi −Y) 2

(𝑋𝑖 −X )

=

𝑥𝑖 𝑦 𝑖 𝑥𝑖 2

(3.1.14)

dimana X dan Y adalah rata-rata sampel X dan Y, lalu didefinisikan 𝑥𝑖 = (𝑋𝑖 − X )

dan 𝑦𝑖 = (Y1 − Yi ) . Sehingga persamaan (3.1.12) menjadi: 𝛽0 = Y − 𝛽1 X

(3.1.15)

Setelah asumsi-asumsi klasik terpenuhi maka penaksir-penaksir koefisien dengan OLS memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1) Penaksir-penaksir kuadrat terkecil merupakan fungsi linier dari Y 𝑥𝑖 = 0 Seblumnya akan dibuktikan bahwa

𝑥𝑖 = 0, yaitu

𝑥𝑖 = (𝑋𝑖 – 𝑋𝑖 ) = 𝑋1 − 𝑋 + 𝑋2 − 𝑋 + ⋯ + 𝑋𝑛 − 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 − 𝑛 𝑋 =

𝑋𝑖 − 𝑛

𝑋𝑖 𝑛


=

𝑋𝑖 −

𝑋𝑖

=0

(3.1.16)

Selanjutnya akan dibuktikan 𝛽1 adalah penaksir linier dari Y, yaitu Berdasarkan persamaan (3.1.14) 𝑥𝑖 𝑦 𝑖

𝛽1 =

𝑥𝑖 2 𝑥 𝑖 (𝑌𝑖 –𝑌 )

=

𝑥𝑖 2 𝑥 𝑖 (𝑌𝑖 )

=

𝑥𝑖

2

berdasarkan (3.1.16),

−

𝑌

𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖 = 0

𝑥 𝑖 (𝑌𝑖 )

𝛽1 =

𝑥𝑖 2

𝛽1 =

𝑘𝑖 𝑌𝑖

(3.1.17)

𝑥𝑖

di mana 𝑘𝑖 =

𝑥𝑖 2

Jadi terbukti bahwa 𝛽1 merupakan fungsi linier dari Y. Lalu akan dibuktikan 𝛽0 merupakan fungsi linier dari Y: Berdasarkan persamaan (3.1.15) 𝛽0 = 𝑌 − 𝛽1 𝑋 =

𝑌𝑖 𝑛

− 𝛽1 𝑋

kemudian disubstitusi dengan persamaan (3.1.17) 𝛽0 =

𝑌𝑖 𝑛

−

𝑘𝑖 𝑌𝑖 𝑋


1

𝛽0 =

( − 𝑘𝑖 𝑋 ) 𝑌𝑖

(3.1.18)

𝑛

Jadi terbukti bahwa 𝛽0 merupakan fungsi linier dari Y.

2) Penaksir-penaksir tersebuat tidak bias, 𝐸 𝛽 = 𝛽 

𝑘𝑖 = 0 Terlebih dahulu akan dibuktikan

𝑘𝑖 = 0 , yaitu:

Berdasarkan definisi 𝑘𝑖 𝑘𝑖 = (

=

𝑥𝑖 𝑥𝑖2

)

𝑥𝑖 𝑥𝑖 2

𝑥𝑖 = 0

Berdasarkan (3.1.16), 𝑘𝑖 = 0

(3.1.19)

 Setelah itu akan dibuktikan 𝑘𝑖 𝑋𝑖 =

𝑘𝑖 𝑋𝑖 = 1, yaitu:

𝑘𝑖 (𝑥𝑖 + 𝑋)

=

𝑘𝑖 𝑥𝑖 + 𝑋 𝑘𝑖 = 0

Berdasarkan (3.1.18), 𝑘𝑖 𝑋𝑖 =

𝑘𝑖

𝑘𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖

=

𝑥𝑖 2

sesuai dengan definisi 𝑘𝑖 𝑘𝑖 𝑋𝑖 =

𝑥𝑖 2 𝑥𝑖 2

𝑘𝑖 𝑋𝑖 = 1

(3.1.20)


 Akan dibuktikan

𝑘𝑖 2 =

1

𝑥𝑖

)2

𝑘𝑖 2 = (

𝑥𝑖2

𝑥𝑖2

𝑥𝑖

=

(

𝑥𝑖

(

1

1

)

𝑥𝑖2 𝑥𝑖2

=

𝑥𝑖2 𝑥𝑖2

=

𝑥𝑖

(

2

, yaitu:

𝑥𝑖2 𝑥𝑖2

𝑥𝑖2

) )

1

𝑘𝑖 2 =

(3.1.21)

𝑥𝑖 2

Berdasarkan persamaan (3.1.18) 𝛽0 =

1

(𝑛 − 𝑘𝑖 𝑋 ) 𝑌𝑖 1

= =

𝑛 1

− 𝑘𝑖 𝑋

(𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 )

𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 − 𝑋

𝑛

𝑋𝑖

= 𝛽0 + 𝛽1

𝑛

𝜀𝑖

+

𝑛

− 𝑋 𝛽0

𝑘𝑖 (𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 )

𝑘𝑖 − 𝛽1 𝑋

Berdasarkan persamaan (3.1.19) dan (3.1.20), yaitu 𝛽0 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 + 𝛽0 = 𝛽0 +

𝜀𝑖

𝜀𝑖

−𝑋

𝑛

− 𝛽1 𝑋 − 𝑋

𝑛

𝑘𝑖 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑘𝑖 = 0 ,

𝑘𝑖 𝜀𝑖 𝑘𝑖 𝑋𝑖 = 1

𝑘𝑖 𝜀𝑖

𝑘𝑖 𝜀𝑖

(3.1.22)

Selanjutnya , akan dibuktikan 𝐸 𝛽0 = 𝛽0 , yaitu: 𝐸 𝛽0 = 𝐸 𝛽0 + 1

= 𝛽0 + 𝑛

𝜀𝑖 𝑛

−𝑋

𝐸(𝜀𝑖 ) − 𝑋

𝑘𝑖 𝜀𝑖 𝑘𝑖 𝐸(𝜀𝑖 )

karena 𝐸 𝜀𝑖 = 0 𝐸 𝛽0 = 𝛽0

(3.1.23)

Jadi terbukti bahwa 𝐸 𝛽0 = 𝛽0  Akan dibuktikan 𝛽1 =

𝑘𝑖 𝑌𝑖


𝛽1 =

𝑘𝑖 (𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 )

= 𝛽0

𝑘𝑖 + 𝛽1

𝑘𝑖 𝑋𝑖 +

𝑘𝑖 𝜀𝑖

Berdasarkan persamaan (3.1.19) dan (3.1.20), yaitu 𝛽1 = 𝛽1 +

𝑘𝑖 = 0 ,

𝑘𝑖 𝑋𝑖 = 1

𝑘𝑖 𝜀𝑖

(3.1.24)

Lalu akan dibuktikan 𝐸 𝛽1 = 𝛽1 , yaitu: 𝐸 𝛽1 = 𝐸(𝛽1 + = 𝛽1 +

𝑘𝑖 𝜀𝑖 )

𝑘𝑖 𝐸(𝜀𝑖 )

karena 𝐸(𝜀𝑖 ) = 0 𝐸 𝛽1 = 𝛽1

(3.1.25)

Jadi terbukti bahwa 𝐸 𝛽1 = 𝛽1

3) Penaksir-penaksir tersebut memiliki varian minimum. Terlebih dahulu ditentukan Var 𝛽1 dan Var 𝛽0 Var 𝛽1 = 𝐸(𝛽1 − 𝐸(𝛽1 ))2 = 𝐸(𝛽1 − 𝛽1 )2 = 𝐸(𝛽1 +

𝑘𝑖 𝜀𝑖 − 𝛽1 )2

= 𝐸( 𝑘𝑖 𝜀𝑖 )2 = 𝐸(𝑘1 2 𝜀1 2 + 𝑘2 2 𝜀2 2 + ⋯ + 2𝑘1 𝑘2 𝜀1 𝜀2 + ⋯ + 2𝑘𝑛−1 𝑘𝑛 𝜀𝑛−1 𝜀𝑛 ) = 𝐸( 𝑘𝑖 2 𝜀𝑖 2 + 2 =

𝑘𝑖 2 𝐸 𝜀𝑖 2 + 2

𝑘𝑖 𝑘𝑗 𝜀𝑖 𝜀𝑗 ) 𝑘𝑖 𝑘𝑗 𝐸(𝜀𝑖 𝜀𝑗 )

berdasarkan asumsi 3 di mana 𝐸 𝜀𝑖 2 = 𝜎 2 dan asumsi 2 𝐸 𝜀𝑖 𝜀𝑗 = 0 Var 𝛽1 = di mana

𝑘𝑖 2 𝜎 2 𝑘𝑖 2 =

Var 𝛽1 = 𝜎 2

1 𝑥𝑖2

1 𝑥𝑖2

maka dapat ditulis (3.1.26)


Var (𝛽0 ) = 𝐸(𝛽0 − 𝛽0 )2 1

𝑘𝑖 𝜀𝑖 − 𝛽0 )2

= 𝐸(𝛽0 + 𝑛 (𝜀𝑖 ) − 𝑋 1

𝑘𝑖 𝜀𝑖 𝑢𝑖 )2

= 𝐸(𝑛 (𝜀𝑖 ) − 𝑋 1

= 𝐸( [(𝑛 − 𝑋 𝑘𝑖 )𝜀𝑖 ]2 1

= 𝜎 2 (𝑛 − 𝑋 𝑘𝑖 ) 1

= 𝜎2

2

2

𝑛2

− 𝑛 𝑋 𝑘𝑖 + 𝑋 2 𝑘𝑖 2

1

2

= 𝜎 2 (𝑛 𝑛 2 − 𝑛 𝑋 karena

𝑘𝑖 + 𝑋 2

𝑋2

1

Var (𝛽0 ) = 𝜎 2 ( +

𝑥𝑖 2

𝑛

𝑥𝑖 2

𝑛

𝑥𝑖2

)

𝑥 𝑖 2 +𝑛𝑋 2

= 𝜎2(

1

𝑘𝑖 2 =

𝑘𝑖 = 0 dan

)

(𝑋 𝑖 −𝑋 )2 +𝑛𝑋 2

= 𝜎2(

𝑛

𝑥𝑖 2

)

(𝑋 𝑖 2 −2𝑋 𝑖 𝑋 +𝑋 2 )+𝑛𝑋 2

= 𝜎2(

𝑥𝑖 2

𝑛

(𝑋 𝑖 2 −2𝑋 𝑖 𝑋 +𝑋 2 )+𝑛𝑋 2

= 𝜎2(

𝑥𝑖 2

𝑛 𝑋 𝑖 2 −2

= 𝜎2(

( 𝑋 𝑖) 𝑛

𝑛

Var (𝛽0 ) = 𝜎 2 (

𝑋𝑖 2 𝑛

𝑥𝑖 2

𝑘𝑖 2 )

2

𝑋𝑖 𝑋 +2

) )

( 𝑋 𝑖) 𝑛

𝑥𝑖2

2

)

)

(3.1.27)

Untuk menentukan varians 𝛽0 dan 𝛽1 minimum perlu dibandingkan dengan varians dari beberapa penaksir 𝛽 * yang tidak bias. Dimisalkan 𝛽1 * =

𝑤𝑖 𝑌𝑖 di mana 𝑤𝑖 ≠ 𝑘𝑖 tetapi 𝑤𝑖 = 𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 , sehingga ∗

𝛽1 =

𝑤𝑖 (𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 )

= (𝑤𝑖 𝛽0 + 𝛽1 𝑤𝑖 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 𝑤𝑖 ) = 𝛽0 ∗

𝑤𝑖 + 𝛽1

𝐸(𝛽1 ) = 𝛽0 𝐸

𝑤𝑖 𝑋𝑖 +

𝑤𝑖 + 𝛽1 𝐸

𝜀𝑖 𝑤𝑖

𝑤𝑖 𝑋𝑖 +

𝑤𝑖 𝐸(𝜀𝑖 )


karena 𝐸(𝜀𝑖 ) = 0 ∗

𝐸(𝛽1 )= 𝛽0 𝐸

𝑤𝑖 + 𝛽1 𝐸

𝑤𝑖 𝑋𝑖

(3.1.28)

Karena 𝛽* penaksir yang tidak bias, maka pada persamaan (3.18)

𝑤𝑖 = 0 dan

𝑤𝑖 𝑋𝑖 = 1, dan diketahui 𝑤𝑖 = 𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 , maka: 𝑤𝑖 =

𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 𝑘𝑖 = 0, maka haruslah

karena 𝑤𝑖 =

𝑘𝑖 +

𝑐𝑖 = 0

𝑐𝑖

𝑤𝑖 𝑋𝑖 = (𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 )𝑋𝑖 = Karena

𝑘𝑖 𝑋𝑖 + 𝑐𝑖 𝑋𝑖 𝑘𝑖 𝑋𝑖 = 1, maka haruslah

𝑐𝑖 𝑋𝑖 =

𝑐𝑖 𝑥𝑖 + 𝑋

𝑐𝑖 = 0 sehingga

𝑤𝑖 𝑋𝑖 = 1 𝛽1 memiliki varians yang minimum. Bukti : ∗

2

Var (𝛽1 *)= 𝐸[ 𝛽1 − 𝛽1 ] = 𝐸[(𝑤𝑖 𝜀𝑖 )2 ] = 𝜎2

𝑤𝑖 2

= 𝜎 2 (𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 )2 = 𝜎 2 ( 𝑘𝑖 2 +

𝑐𝑖 2 + 2

= 𝜎 2 ( 𝑘𝑖 2 +

𝑐𝑖 2 + 2

𝑐𝑖 𝑥𝑖 =

karena ∗

∗

𝑘𝑖 2 + 𝜎 2

= Var (𝛽1 )+ 𝜎 2 Karena

𝑥𝑖 𝑐𝑖 𝑥𝑖2

)

𝑐𝑖 𝑋𝑖 = 0

Var (𝛽1 ) = 𝜎 2 ( 𝑘𝑖 2 + Var (𝛽1 ) = 𝜎 2

𝑘𝑖 𝑐𝑖 )

𝑐𝑖 2 ) 𝑐𝑖 2 𝑐𝑖 2

(3.1.29) ∗

𝑐𝑖 2 selalu positif, maka Var (𝛽1 ) > var (𝛽1 ), hanya apabila ∗

𝑐𝑖 2 = 0

maka Var (𝛽1 ) = var (𝛽1 ). Hal ini menunjukan bahwa 𝛽1 memiliki varians yang minimum.


𝛽0 memiliki varians yang minimum ∗

1

Misalkan 𝛽0 = ∗

∗

1

𝛽0 = 𝑋

(𝑛 − 𝑤𝑖 𝑋) 𝑌𝑖 dan diketahui 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 , maka

(𝑛 − 𝑤𝑖 𝑋) 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖

𝛽0 = 𝛽0 (1 − 𝑋

𝑤𝑖 ) + 𝛽1 (𝑋 −

1

𝑤𝑖 𝑋𝑖 ) + (𝑛 − 𝑤𝑖 𝑋 ) 𝜀𝑖 ∗

𝐸(𝛽0 ) = 𝛽0 (1 − 𝑋 𝐸 ∗

𝐸(𝛽0 ) = 𝛽0 (1 − 𝑋 𝐸

𝑤𝑖 ) + 𝛽1 (𝑋 − 𝑋 𝐸

𝑤𝑖 𝑋𝑖 ) + 𝐸(

𝑤𝑖 ) + 𝛽1 𝐸(𝑋 − 𝑋

𝑤𝑖 𝑋𝑖 ) +

𝑤𝑖 ) + 𝛽1 𝐸(𝑋 − 𝑋

𝑤𝑖 𝑋𝑖 ) − 𝑋 𝐸

𝜀𝑖 𝑛

𝐸(𝜀 𝑖 ) 𝑛

−𝑋 − 𝑋𝐸

𝑤𝑖 𝜀𝑖 ) 𝑤𝑖 𝜀𝑖

karena 𝐸 𝜀𝑖 = 0 ∗

𝐸(𝛽0 ) = 𝛽0 (1 − 𝑋 𝐸 ∗

Agar 𝐸(𝛽0 ) = 𝛽0 maka 𝑤𝑖 = 𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 sehingga

𝑤𝑖 = 0,

𝑐𝑖 = 0 dan

𝑤𝑖 𝑋𝑖 = 1, dan

𝑤𝑖 𝜀𝑖

𝑤𝑖 𝜀𝑖 = 0, diketahui

𝑐𝑖 𝑋𝑖 = 0.

Akan dibuktikan 𝛽0 memiliki varians yang minimum, yaitu: ∗

∗

Var (𝛽0 ) = 𝐸[ 𝛽0 − 𝛽0 ]2 1

= 𝐸( [(𝑛 − 𝑋 𝑤𝑖 )𝜀𝑖 ]2 1

= 𝜎 2 (𝑛 − 𝑋𝑤𝑖 )2 1

1

= 𝜎 2 (𝑛 𝑛 2 + 𝑋 2 1

= 𝜎2 ( + 𝑋2 𝑛

karena 𝑤𝑖 = 𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 dan ∗

𝑤𝑖 2 − 2 𝑛 𝑋 2

𝑤𝑖 2 − 𝑋

𝑤𝑖 )

𝑤𝑖 )

𝑛

𝑤𝑖 = 0

1

Var (𝛽0 ) = 𝜎 2 (𝑛 + 𝑋 2 (𝑘𝑖 + 𝑐𝑖 )2 ) 1

𝑘𝑖 2 + 𝑋 2

𝑐𝑖 2 )

1

𝑘𝑖 2 + 𝑋 2

𝑐𝑖 2 )

1

𝑘𝑖 2 ) + 𝜎 2 𝑋 2

= 𝜎 2 (𝑛 + 𝑋 2 = 𝜎 2 (𝑛 + 𝑋 2 = 𝜎 2 (𝑛 + 𝑋 2 = 𝜎2 ∗

1 𝑛

+ 𝑋2

1 𝑥𝑖2

Var (𝛽0 )= Var (𝛽0 ) + 𝜎 2 𝑋 2

+ 𝜎 2 𝑋2 𝑐𝑖 2

𝑐𝑖 2 𝑐𝑖 2 (3.1.30)


∗

𝑐𝑖 2 selalu positif, maka Var (𝛽0 ) > var (𝛽0 ), hanya apabila

Karena

𝑐𝑖 2 = 0

∗

maka Var (𝛽0 ) = var (𝛽0 ). Hal ini menunjukan bahwa 𝛽0 memiliki varians yang minimum. Persamaan (3.1.14) dan (3.1.15) merupakan bukti bahwa estimasiestimasi dengan OLS adalah fungsi dari data sampel. Tetapi, karena data dari sampel ke sampel kemungkinan berubah, maka penaksiran juga akan berubah sesuai dengan fakta yang ada. Sehingga ukuran atau ketepatan taksiran 𝛽0 dan 𝛽1 sangat diperlukan. Dalam statistik, standar error digunakan untuk mengukur ketepatan taksiran 𝛽0 dan 𝛽1 . Standar error adalah standar deviasi sebuah distribusi sampling dari sebuah estimator, maka standar error suatu penaksir merupakan akar kuadrat dari varians suatu penaksir. Berdasarkan persamaan (3.1.26) dan (3.1.27) maka rumus untuk mencari standar error suatu penaksir adalah:

𝑆𝑒 𝛽0 = 𝑆𝑒 𝛽1 =

𝑋𝑖 2 𝑛 𝑥𝑖 2

𝜎2

(3.1.31)

𝜎

(3.1.32)

1 𝑥𝑖2

Semua besaran pada persamaan (3.1.31) dan (3.1.32) dapat ditaksir melalui data, kecuali 𝜎 2 . Tetapi dengan menggunakan rumus berikut, 𝜎 2 dapat ditaksir: 𝑒 2

𝑖 𝜎 2 = 𝑛 −(𝑘+1)

(3.1.32)

dengan k menyatakan jumlah variabel bebas dan n menyatakan jumlah pengamatan. Setelah menaksir koefisien regresi, menentukan sifat-sifat penaksir dan menentukan standar error selanjutnya ditentukan seberapa baik garis regresi sampel mencocokkan data. Apabila data hasil observasi terletak dalam garis regresi maka akan diperoleh kecocokan yang sempurna. Tetapi umumnya hasil


observasi akan menyebar disekitar garis regresi sampel, sehingga dapat menghasilkan 𝑒𝑖 yang positif maupun negatif. Yang diharapkan adalah bahwa gangguan 𝑒𝑖 disekitar garis regresi sampel sekecil mungkin. Untuk menghitung 𝑟 2 , sebelumnya, akan ditentukan bentuk simpangan dari persamaan (3.1.4) 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝑒𝑖 , dimana X maupun Y dinyatakan sebagai simpangan dari nilai rata-ratanya, dan dibuktikan bahwa residual 𝑒𝑖 tidak berkorelasi dengan 𝑌𝑖 yang ditaksir. Pertama diketahui rata-rata 𝑒𝑖 = 0.

Bukti: dari persamaan (3.1.8) maka −2

𝑌𝑖 − 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 = 0

karena persamaan (3.1.7) maka −2

𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 = 0

−2

𝑒𝑖 = 0

𝑒𝑖 = 0

(3.1.33)

Untuk mengetahui bentuk simpangan dari persamaan 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝑒𝑖 , maka persamaan tersebut dijumlahkan pada kedua sisinya sehingga 𝑌𝑖 = 𝑛𝛽0 + 𝛽1 karena

𝑋𝑖 +

𝑒𝑖

𝑒𝑖 = 0, maka 𝑌𝑖 = 𝑛𝛽0 + 𝛽1

𝑋𝑖

persamaan di atas dibagi dengan n, sehingga 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 persamaan (3.1.4) dikurangi dengan 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 , maka


𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝛽0 − 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 − 𝛽1 𝑋 + 𝑒𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝛽1 𝑋𝑖 − 𝑋 + 𝑒𝑖 𝑦𝑖 = 𝛽1 𝑥𝑖 + 𝑒𝑖

(3.1.34)

𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝛽1 𝑥𝑖

(3.1.35)

dimana 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌 dan 𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋 . Persamaan (3.1.34) disebut sebagai bentuk simpangan. Dalam bentuk simpangan, PRF yang ditaksir dapat ditulis sebagai 𝑦𝑖 = 𝛽1 𝑥𝑖

(3.1.36)

sehingga persamaan (3.1.34) dapat ditulis 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 + 𝑒𝑖

(3.1.37)

Selanjutnya akan dibuktikan residual 𝑒𝑖 tak berkorelasi dengan 𝑌𝑖 , yaitu: dari persamaan (3.1.36) dapat ditulis 𝑦𝑖 𝑒𝑖 = 𝛽1

𝑥𝑖 𝑒𝑖

karena persamaan (3.1.35), maka dapat ditulis 𝑦𝑖 𝑒𝑖 = 𝛽1 = 𝛽1

𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝛽1 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝛽1

karena menurut persamaan (3.1.14) yaitu 𝛽1 = 𝑦𝑖 𝑒𝑖 = =

𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 2 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 2

2

𝑥𝑖 𝑦 𝑖 𝑥𝑖 2

𝑥𝑖 2

, maka

𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 2

−

𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 2

𝑦𝑖 𝑒𝑖 = 0

𝑥𝑖 𝑦𝑖 2 𝑥𝑖 2

𝑥𝑖 2

2

(3.1.38)

Untuk menghitung 𝑟 2 ,persamaan (3.1.37) dikuadratkan pada kedua sisi dan menjumlahkan untuk semua sampel, sehinga diperoleh:


𝑦𝑖 2 +

𝑦𝑖 2 =

𝑒𝑖 2 + 2

𝑦𝑖 𝑒𝑖

karena menurut persamaan (3.1.38), maka 𝑦𝑖 2 +

𝑦𝑖 2 =

𝑒𝑖 2

menurut persamaan (3.1.36), maka 𝑦𝑖 2 = 𝛽1

2

𝑥𝑖 2 +

𝑒𝑖 2

(3.1.39)

Persamaan (3.1.39) dapat digambarkan sebagai berikut 𝑌𝑖 − 𝑌

2

, merupakan total variasi nilai Y sebenarnya di sekitar rata-rata sampel,

dapat juga disebut sebagai jumlah kuadrat total (TSS). 𝛽1

2

𝑦𝑖 2 =

𝑦𝑖 2 =

𝑌𝑖 − 𝑌

2

=

𝑥𝑖 2 merrupakan variasi nilai Y yang ditaksir disekitar rata-ratanya, dapat juga

disebut sebagai jumlah kuadrat akibat regresi (ESS).

𝑒𝑖 2 merupakan residual atau

variasi yang tidak dapat dijelaskan dari nilai Y di sekitar garis regresi, atau dapat disebut sebagai jumlah kuadrat residu (RSS). Jadi persamaan (3.1.39) dapat ditulis TSS = ESS + RSS, dan dapat digambarkan dalam Gambar 3.1.

Gambar 3.1 Pembagian variasi 𝑌𝑖 menjadi dua komponen Dengan membagi TSS = ESS + RSS dengan TSS pada kedua sisi, maka diperoleh: 1=

𝐸𝑆𝑆 𝑅𝑆𝑆 + 𝑇𝑆𝑆 𝑇𝑆𝑆


1=

𝑌− 𝑌 𝑌𝑖 − 𝑌

2 2

𝑒𝑖2 𝑌𝑖 − 𝑌

+

2

Sehingga dapat didefinisikan 𝑟2 =

𝑌− 𝑌 𝑌𝑖 − 𝑌

2 2

=

𝐸𝑆𝑆 𝑇𝑆𝑆

Sifat dari 𝑟 2 : a. 𝑟 2 merupakan besaran non negatif. b. Batasannya adalah 0 ≤ 𝑟 2 ≤ 1. Jika 𝑟 2 = 1 berarti kecocokan sempurna, sedangkan 𝑟 2 yang bernilai nol berarti tidak ada hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel yang menjelaskan.

Contoh 3.1 Data dalam Tabel 3.1 menyatakan data banyaknya suatu senyawa kimia (y) yang larut dalam 100 gram air pada berbagai sumbu x. Tabel 3.1 Data banyaknya seuatu senyawa kimia X 0C

y (gram)

0

8

6

8

15

12

10

14

30

25

21

24

45

31

33

28

60

44

39

42

75

48

51

44

a. Berdasarkan data tabel 3.1, tentukan persamaan garis regresinya!


Penyelesaian: 𝑥𝑖 = 675

𝑦𝑖 = 488

𝑥 = 37,5

𝛽1 =

𝑥𝑖2 = 37125

𝑦 = 27,11

n 𝑋 𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 𝑋 𝑖 2

n 𝑋𝑖 −

𝑋𝑖

2

=

18 25005 − 675 (488) 18 371,25 − 625

2

= 0,568

𝛽0 = Y − 𝛽1 X = 27,11 −0,568 (37,5) = 5,825 Jadi model regresinya adalah 𝑌 = 5,825 + 0,568X Untuk mencari residualnya menggunakan rumus 𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 𝑒1 = 𝑌1 − 𝑌1 = 8 – (5,825 + 0,568 (0)) = 2.17 𝑒2 = 𝑌2 − 𝑌2 = 6 – (5,825 + 0,568 (0)) = 0.17 ⋮ 𝑒18 = 𝑌18 − 𝑌18 = 44 – (5,825 + 0,568 (75)) = – 4.40

𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 25005


Tabel 3.2 Data residual 𝑌𝑖

𝑋𝑖

𝑒𝑖

0.00

8.00

2.17

0.00

6.00

0.17

0.00

8.00

2.17

15.00

12.00

-2.34

15.00

10.00

-4.34

15.00

14.00

-0.34

30.00

25.00

2.15

30.00

21.00

-1.85

30.00

24.00

1.15

45.00

31.00

-0.37

45.00

33.00

1.63

45.00

28.00

-3.37

60.00

44.00

4.12

60.00

39.00

-0.88

60.00

42.00

2.12

75.00

48.00

-0.40

75.00

51.00

2.60

75.00

44.00

-4.40

Total |𝑒𝑖 |

36.572

B. Analisis Regresi Linier Berganda Belanja konsumsi suatu keluarga tidak hanya dipengaruhi oleh pendapatan keluarga tersebut, tetapi juga dipengaruhi oleh kekayaan, jumlah keluarga, umur dan lain-lain. Dengan semakin banyaknya variabel bebas


(kekayaan, jumlah anggota keluarga dan lain-lain) yang terdapat dalam model regresi berganda, maka pendekatan yang digunakan adalah notasi matriks agar lebih mudah dalam penulisan. Model regresi linier berganda adalah suatu model regresi yang menghubungkan secara linier antara suatu variabel tak bebas Y dengan himpunan variabel bebas 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 yaitu: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖

, i = 1, 2,…, n

(3.2.1)

dengan: k : banyaknya variabel bebas i : pengamatan ke – i n : banyaknya pengamatan persamaan (3.2.1) merupakan bentuk sederhana dari persamaan-persamaan berikut: 𝑌1 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋11 + 𝛽2 𝑋12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋1𝑘 + 𝜀1 𝑌2 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋21 + 𝛽2 𝑋22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋2𝑘 + 𝜀2 ……………………………………………….. 𝑌𝑛 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑛1 + 𝛽2 𝑋𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑛𝑘 + 𝜀𝑛

(3.2.2)

Persamaan (3.2.2) dapat dinotasikan dalam bentuk matriks: 𝑌1 1 𝑋11 𝑋12 ⋯ 𝑋1𝑘 𝑌2 1 𝑋21 𝑋22 ⋯ 𝑋2𝑘 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑋 ⋯ 𝑋 𝑌𝑛 1 𝑋𝑛1 𝑛2 𝑛𝑘

𝜀1 𝛽0 𝜀2 𝛽1 + ⋮ ⋮ 𝜀𝑛 𝛽𝑘

Y = Xβ + Ɛ dengan: Y = vektor variabel tak bebas berordo 𝑛 × 1 X = matriks variabel bebas berordo 𝑛 × (𝑘 + 1)

(3.2.3)

(3.2.4)


β = vektor parameter yang tak diketahui berordo (𝑘 + 1) × 1

Ɛ = vektor gangguan acak berordo 𝑛 × 1 Asumsi yang digunakan dalam analisis regresi linier berganda sama dengan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam analisis regresi linier sederhana, hanya saja dalam analisis regresi linier berganda ditambahkan asumsi tidak ada multikolineritas. Asumsi-asumsi tersebut antara lain: a. Dalam analisis regresi sederhana, asumsi yang pertama adalah 𝐸 𝜀𝒊 = 0 untuk semua i. Sesuai dengan asumsi tersebut, asumsi dalam regresi berganda jika direpresentasikan dalam matriks akan menjadi 𝜀1 𝐸(𝜀1 ) 0 𝜀2 𝐸(𝜀2 ) 𝐸 𝜺 = 𝐸 ⋮ = = 0 =𝟎 ⋮ ⋮ 𝜀𝑛 0 𝐸(𝜀𝑛 ) Sehingga 𝐸 𝜺 = 𝟎, dimana

𝜺 merupakan matriks berordo

𝑛 × 1 dan 𝟎

merupakan vektor nol.

b. Asumsi-asumsi lain pada analisis regresi sederhana adalah 𝑐𝑜𝑣 𝜀𝑖 𝜀𝑗 = 𝐸 𝜀𝑖 − 𝐸 𝜀𝑗

𝜀𝑗 − 𝐸 𝜀𝑖

= 𝐸 𝜀𝑖 𝜀𝑗 =0 dan 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 𝑋𝑖 = 𝐸 𝜀𝑖 − 𝐸 𝜀𝑖

2

= 𝐸 𝜀𝑖 2 = 𝜎2 . Dalam regresi berganda, kedua asumsi tersebut dapat direpresentasikan sebagai:.


𝐸 𝜺𝟐 = 𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 𝜀1 𝜀2 ⋮ 𝜀𝑛

𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 = 𝐸

𝜀1

𝜀1 𝜀1 𝜀 𝜀 = 𝐸 2⋮ 1 𝜀𝑛 𝜀1

𝜀2

𝜀1 𝜀2 𝜀2 𝜀2 ⋮ 𝜀𝑛 𝜀2

𝐸 𝜀1 2 = 𝐸(𝜀2 𝜀1 ) ⋮ 𝐸(𝜀𝑛 𝜀1 )

⋯

𝜀𝑛

⋯ 𝜀1 𝜀𝑛 ⋯ 𝜀2 𝜀𝑛 ⋯ ⋮ … 𝜀𝑛 𝜀𝑛

𝐸(𝜀1 𝜀2 ) ⋯ 𝐸(𝜀1 𝜀𝑛 ) 𝐸(𝜀2 2 ) ⋯ 𝐸(𝜀2 𝜀𝑛 ) ⋯ ⋮ ⋮ 𝐸(𝜀𝑛 𝜀2 ) … 𝐸(𝜀𝑛 2 )

Sesuai dengan asumsi pada analisis regresi sederhana mengenai varians dan kovarians, maka

𝐸 𝜺. 𝜺

𝒕

𝜎2 = 0 ⋮ 0

=𝜎

2

0 𝜎2 ⋮ 0

⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋮ … 𝜎2

1 0 0 1 ⋮ ⋮ 0 0

⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋮ … 1

𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 = 𝜎 2 𝑰 dimana I merupakan matriks identitas. 𝜎2 0 ⋮ 0

0 𝜎2 ⋮ 0

⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋮ merupakan matriks varians-kovarians dari faktor gangguan … 𝜎2

𝜀𝑖 , elemen-elemen dari diagonal utama matriks akan menjadi varians, dan elemenelemen lainnya akan menjadi kovarians. Jika elemen-elemen pada diagonal utama matriks varians kovarians bukan merupakan bilangan konstan positif yang sama


dengan 𝜎 2 , maka akan terjadi heterokedastisitas. Dan akan terjadi autokorelasi jika elemen-elemen selain elemen diagonal utama tidak bernilai nol. c.

Tidak ada multikolinearitas yaitu tidak terdapat hubungan linier yang tepat

diantara variabel bebas X. Dapat juga dikatakan bahwa tidak adanya sekelompok angka dari 𝜆1, 𝜆2, , … , 𝜆𝑘, yang semuanya tidak bernilai nol secara bersamaan. Dikatakan terdapat hubungan linier yang tepat jika kondisi berikut terpenuhi: 𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝑋𝑘 = 0 dalam notasi matriks dapat direpresentasikan: 𝝀𝒕 𝑿 = 𝟎 dimana 𝝀𝒕 adalah sebuah vektor baris 1 × 𝑘 dan X adalah sebuah vektor kolom 𝑘 × 1. Jika asumsi ini tidak dipenuhi maka koefisien regresi dari variabel-variabel X tidak dapat ditentukan dan standar erornya tidak terhingga. Secara garis besar, metode kuadrat terkecil (OLS) dalam regresi berganda sama dengan OLS pada regresi sederhana. Untuk menentukan penaksir OLS, harus diketahui model PRS dalam bentuk stokhastik terlebih dahulu, yaitu: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑘𝑖 + 𝑒𝑖

(3.2.5)

𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋1𝑖 − ⋯ − 𝛽𝑘 𝑋𝑘𝑖

(3.2.6)

Dalam notasi matriks, persamaan (3.2.6) dapat ditulis: 𝒆 = 𝒀 − 𝑿𝜷

(3.2.7)

Konsep 𝑒𝑖 pada regresi berganda, sama dengan 𝑒𝑖 pada regresi sederhana yaitu residual, yang merupakan penaksir dari 𝜀𝑖 . Penaksir kuadrat terkecil diperoleh dengan meminimumkan: 𝑒𝑖2 = 𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋1𝑖 − ⋯ − 𝛽𝑘 𝑋𝑘𝑖

2

(3.2.8)


Jika menggunakan notasi matriks, meminimumkan jumlah residual kuadrat sama dengan meminimumkan 𝒆𝒕 𝒆, karena:

𝒆𝒕 𝒆 = 𝑒1

𝑒2

⋯

𝑒𝑛

𝑒1 𝑒2 ⋮ 𝑒𝑛

= 𝑒12 + 𝑒22 + ⋯ + 𝑒𝑛2 = Dari persamaan (3.2.6), maka

𝑒𝑖2

(3.2.9)

𝑒𝑖2 dapat ditulis menjadi: 𝒆 = 𝒀 − 𝑿𝜷 𝒕

𝑒𝑖2 = 𝒆𝒕 𝒆 = 𝒀 − 𝑿𝜷 (𝒀 − 𝑿𝜷) = 𝒀𝒕 − 𝜷𝒕 𝑿𝒕 (𝒀 − 𝑿𝜷) = 𝒀𝒕 𝒀 − 𝒀𝒕 𝑿𝜷 − 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 + 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷 = 𝒀𝒕 𝒀 − 𝟐𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 + 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷

(3.2.10)

Sesuai dengan sifat-sifat transpose matriks, (𝑿𝜷)𝑡 = 𝜷𝒕 𝑿𝒕 , dan karena 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 merupakan matriks simetri dan matriks skalar berordo 1 × 1, dengan penjabaran sebagai berikut: 𝜷𝒕1×(𝑘+1) 𝑿𝒕 (𝑘+1)×𝑛 𝒀𝑛×1 = 𝜷𝒕1×(𝑘+1) 𝑿𝒕 𝒀(𝑘+1)×1 = 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀1×1 maka bentuk 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 sama dengan transposenya, yaitu 𝒀𝒕 𝑿𝜷. Menggunakan kondisi Karush-Kuhn-Tucker untuk mencari 𝜷 yang meminimumkan 𝒆𝒕 𝒆, langkah pertamanya adalah dengan mendiferensialkan 𝒆𝒕 𝒆 secara parsial lalu menyamakan dengan nol, sehingga


𝜕 𝒆𝒕 𝒆 𝜕𝛽

=

𝜕(𝒀𝒕 𝒀− 𝟐𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀+ 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝛽

Penjabaran

hasil

𝜕 𝒆𝒕 𝒆 𝜕𝛽

𝜕𝒀𝒕 𝒀

=

𝜕𝛽

𝜕(𝒀𝒕 𝒀− 𝟐𝜷𝒕 𝑿𝒕𝒀+ 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝛽

−

𝜕𝟐𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 𝜕𝛽

+

𝜕𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷 𝜕𝛽

=0

sangat panjang, sehingga dalam menghitung

dilakukan secara bertahap, yaitu sebagai berikut:

𝒀𝑡 𝒀 = 𝑦1

⋯

𝑦2

𝑦1 𝑦2 ⋮ 𝑦𝑛

𝑦𝑛

= 𝑦1 𝑦1 + 𝑦2 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑛 𝑦𝑛 = 𝑦1 2 + 𝑦2 2 + ⋯ + 𝑦𝑛 2 maka 𝜕(𝒀𝑡 𝒀) 𝜕𝛽

=

𝜕 𝑦 1 2 + 𝑦2 2 +⋯+ 𝑦𝑛 2

𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 = 𝛽0

= 𝛽0

𝜕𝛽

𝛽1

𝛽1

𝛽2

𝛽2

⋯

⋯

=0

(3.2.11) 1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 ⋮ 𝑥𝑛𝑘

𝑦1 𝑦2 𝑦3 ⋮ 𝑦𝑛

𝛽𝑘

1 𝑥11 𝑥12 ⋮ 𝑥1𝑘

𝛽𝑘

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛 𝑥11 𝑦1 + 𝑥21 𝑦2 + 𝑥31 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛1 𝑦𝑛 𝑥12 𝑦1 + 𝑥22 𝑦2 + 𝑥32 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛2 𝑦𝑛 ………………………………… 𝑥1𝑘 𝑦1 + 𝑥2𝑘 𝑦2 + 𝑥3𝑘 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘 𝑦𝑛

1 𝑥21 𝑥22 ⋮ 𝑥2𝑘

1 𝑥31 𝑥32 ⋮ 𝑥3𝑘

⋯ ⋯ ⋯ … …

𝛽0 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛 + 𝛽1 𝑥11 𝑦1 + 𝑥21 𝑦2 + 𝑥31 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛1 𝑦𝑛 = +𝛽2 𝑥12 𝑦1 + 𝑥22 𝑦2 + 𝑥32 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛2 𝑦𝑛 + ⋯ + 𝛽𝑘 (𝑥1𝑘 𝑦1 + 𝑥2𝑘 𝑦2 + 𝑥3𝑘 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘 𝑦𝑛 )


Sehingga 𝜕 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 𝜕𝛽 0

𝛽0 𝑦1 + 𝑦2 +𝑦3+⋯+𝑦𝑛 + 𝛽1 𝑥11𝑦1 + 𝑥21𝑦2 +𝑥31𝑦3 +⋯+𝑥𝑛1𝑦𝑛 𝜕 +𝛽2 𝑥12𝑦1 + 𝑥22𝑦2 +𝑥32𝑦3 +⋯+𝑥𝑛2𝑦𝑛 + ⋯+ 𝛽𝑘 (𝑥1𝑘𝑦1 + 𝑥2𝑘𝑦2 +𝑥3𝑘𝑦3 +⋯+𝑥𝑛𝑘𝑦𝑛 ) 𝜕𝛽0

=

= 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛

(3.2.12)

𝜕 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 𝜕 𝛽1

=

𝛽 0 𝑦1 + 𝑦2 +𝑦3 +⋯+𝑦𝑛 + 𝛽1 𝑥 11 𝑦1 + 𝑥 21 𝑦2 +𝑥 31 𝑦3 +⋯+𝑥 𝑛 1 𝑦𝑛 𝜕 +𝛽 2 𝑥 12 𝑦1 + 𝑥 22 𝑦2 +𝑥 32 𝑦3 +⋯+𝑥 𝑛 2 𝑦𝑛 + ⋯+ 𝛽 𝑘 (𝑥 1𝑘 𝑦1 + 𝑥 2𝑘 𝑦2 +𝑥 3𝑘 𝑦3 +⋯+𝑥 𝑛𝑘 𝑦𝑛 ) 𝜕𝛽 1

= 𝑥11 𝑦1 + 𝑥21 𝑦2 + 𝑥31 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛1 𝑦𝑛

(3.2.13)

𝜕 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 𝜕𝛽 2

=

𝛽 0 𝑦1 + 𝑦2 +𝑦3 +⋯+𝑦𝑛 + 𝛽 1 𝑥 11 𝑦1 + 𝑥 21 𝑦2 +𝑥 31 𝑦3 +⋯+𝑥 𝑛 1 𝑦𝑛 𝜕 +𝛽 2 𝑥 12 𝑦1 + 𝑥 22 𝑦2 +𝑥 32 𝑦3 +⋯+𝑥 𝑛 2 𝑦𝑛 + ⋯+ 𝛽 𝑘 (𝑥 1𝑘 𝑦1 + 𝑥 2𝑘 𝑦2 +𝑥 3𝑘 𝑦3 +⋯+𝑥 𝑛𝑘 𝑦𝑛 ) 𝜕𝛽 2

= 𝑥12 𝑦1 + 𝑥22 𝑦2 + 𝑥32 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛2 𝑦𝑛

(3.2.14)

𝛽0 𝑦1 + 𝑦2 +𝑦3 +⋯+𝑦𝑛 + 𝛽1 𝑥11𝑦1 + 𝑥21𝑦2 +𝑥31 𝑦3+⋯+𝑥𝑛1 𝑦𝑛 𝜕 +𝛽2 𝑥12 𝑦1 + 𝑥22 𝑦2 +𝑥32 𝑦3 +⋯+𝑥𝑛2 𝑦𝑛 𝜕 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 𝜕 𝛽𝑘

=

+ ⋯+ 𝛽𝑘 (𝑥1𝑘𝑦1 + 𝑥2𝑘𝑦2 +𝑥3𝑘 𝑦3+⋯+𝑥𝑛𝑘𝑦𝑛) 𝜕 𝛽𝑘

= 𝑥1𝑘 𝑦1 + 𝑥2𝑘 𝑦2 + 𝑥3𝑘 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘 𝑦𝑛

(3.2.15)


Jadi, sesuai dengan hasil turunan pertama 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 terhadap 𝛽 yaitu pada persamaan (3.2.12), (3.2.13), (3.2.14), dan (3.2.15) maka: 𝒕

𝜕 𝜷 𝑿𝒕 𝒀 𝜕 𝛽0 𝒕

𝜕 𝜷 𝑿𝒕 𝒀 𝒕

𝜕 𝜷 𝑿𝒕 𝒀 𝜕𝛽

=

𝜕 𝛽1 𝒕

𝜕 𝜷 𝑿𝒕 𝒀 𝜕 𝛽2

⋮ 𝒕

𝜕 𝜷 𝑿𝒕 𝒀 𝜕 𝛽𝑘

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑛 𝑥11 𝑦1 + 𝑥21 𝑦2 + 𝑥31 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛1 𝑦𝑛

= 𝑥12 𝑦1 + 𝑥22 𝑦2 + 𝑥32 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛2 𝑦𝑛

⋮ 𝑥1𝑘 𝑦1 + 𝑥2𝑘 𝑦2 + 𝑥3𝑘 𝑦3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘 𝑦𝑛 1 𝑥11 = 𝑥12 ⋮ 𝑥1𝑘 = 𝑿𝒕 𝒀

1 𝑥21 𝑥22 ⋮ 𝑥2𝑘

1 𝑥31 𝑥32 ⋮ 𝑥3𝑘

⋯ ⋯ ⋯ … …

1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 ⋮ 𝑥𝑛𝑘

𝑦1 𝑦2 𝑦3 ⋮ 𝑦𝑛 (3.2.16)


Penjabaran bagian 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷 adalah sebagai berikut:

𝜷 𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷

= 𝛽0

=

𝛽2

𝛽1

⋯

𝛽𝑘

1 𝑥11 𝑥12 ⋮ 𝑥1𝑘

1 𝑥21 𝑥22 ⋮ 𝑥2𝑘

𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 … + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 … + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘

1 𝑥31 𝑥32 ⋮ 𝑥3𝑘

⋯ ⋯ ⋯ … …


1 1 1 ⋮ 1

𝑥11 𝑥21 𝑥31 ⋮ 𝑥𝑛1

𝑥12 𝑥22 𝑥32 ⋮ 𝑥𝑛2

⋯ ⋯ ⋯ … …

𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 … + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 …. 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 … + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘

𝑥1𝑘 𝑥2𝑘 𝑥3𝑘 ⋮ 𝑥𝑛𝑘

×

𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + … + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 ………………………………………… 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + … + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 + 𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + … + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 + … + 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + … + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 ) (3.2.17)

Hasil perkalian bagian pertama dari persamaan (3.2.17) adalah: 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽 0 𝛽0 + 𝛽1 𝑥

+ 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥

𝛽1 𝑥

11

11

=

11

𝛽0 + 𝛽 1 𝑥

+𝛽2 𝑥12 𝛽0 + 𝛽1 𝑥

11

+

1𝑘

+ 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥

1𝑘

+ 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥

+⋯+

1𝑘

𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥

11

+ 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥

1𝑘

𝛽0 𝛽1 𝛽2 ⋮ 𝛽𝑘


2

𝛽0 + 𝛽0 𝛽1 𝑥11 + 𝛽0 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽0 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + 2

=

𝛽1 𝑥11 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 2 + 𝛽1 𝑥11 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽1 𝑥11 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + 2

𝛽2 𝑥12 𝛽0 + 𝛽2 𝑥12 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 2 + ⋯ + 𝛽2 𝑥12 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + ⋯ +

(3.2.18)

2

𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽0 + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽1 𝑥11 + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 2

Hasil perkalian bagian ke dua dari persamaan (3.2.17) adalah: 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 2

𝛽0 + 𝛽0 𝛽1 𝑥21 + 𝛽0 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽0 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 + 2

=



(3.2.19)

2


Hasil perkalian bagian ke tiga dari persamaan (3.2.17) adalah: 𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + … + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + … + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 2

𝛽0 + 𝛽0 𝛽1 𝑥31 + 𝛽0 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽0 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 + 2

=



(3.2.20)

2


Hasil perkalian bagian ke (𝑘 + 1) dari persamaan (3.2.17) adalah: 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + … + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + … + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 )


2

𝛽0 + 𝛽0 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽0 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽0 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 + 2

=

𝛽1 𝑥𝑛1 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 2 + 𝛽1 𝑥𝑛1 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽1 𝑥𝑛1 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 +

(3.2.21)

2

𝛽2 𝑥𝑛2 𝛽0 + 𝛽2 𝑥𝑛2 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 2 + ⋯ + 𝛽2 𝑥𝑛2 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 + ⋯ + 2

𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 𝛽0 + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 2

Sehingga menurut persamaan (3.2.18), (3.2.19), (3.2.20), dan (3.2.21), maka hasil dari 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷 adalah sebagai berikut: 2

𝛽0 + 𝛽0 𝛽1 𝑥11 + 𝛽0 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽0 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + 2


𝛽2 𝑥12 𝛽0 + 𝛽2 𝑥12 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 2 + ⋯ + 𝛽2 𝑥12 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + ⋯ + 2

𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽0 + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽1 𝑥11 + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 2 + 2

𝛽0 + 𝛽0 𝛽1 𝑥21 + 𝛽0 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽0 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 + 2



𝛽𝑘 𝑥2𝑘 𝛽0 + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 𝛽1 𝑥21 + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 2 + 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷 =

2

𝛽0 + 𝛽0 𝛽1 𝑥31 + 𝛽0 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽0 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 + 2



𝛽𝑘 𝑥3𝑘 𝛽0 + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 𝛽1 𝑥31 + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 2 … … 2 + 𝛽0 + 𝛽0 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽0 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽0 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 + 2

𝛽1 𝑥𝑛1 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 2 + 𝛽1 𝑥𝑛1 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽1 𝑥𝑛1 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 + 2

𝛽2 𝑥𝑛2 𝛽0 + 𝛽2 𝑥𝑛2 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 2 + ⋯ + 𝛽2 𝑥𝑛2 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 + ⋯ + 2

𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 𝛽0 + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 2


Kemudian 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷 didiferensialkan terhadap 𝜷 menjadi sebagai berikut: 𝜕(𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝛽 0 𝜕(𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕(𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝜷

𝜕𝛽 1

=

𝜕(𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝛽 2

⋮

𝜕(𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝛽 𝑘

𝜕(𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝛽0

= (2𝛽0 + 2𝛽1 𝑥11 + 2𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥1𝑘 ) + (2𝛽0 + 2 𝛽1 𝑥21 + 2 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥2𝑘 ) + (2𝛽0 + 2 𝛽1 𝑥31 + 2 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥3𝑘 ) + ⋯ + (2𝛽0 + 2 𝛽1 𝑥𝑛1 + 2 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 2 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 ) 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 +

=2

𝜕 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷 𝜕𝛽1

(𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 ) + (𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 ) + ⋯ + 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘

(3.2.22)

2

= 2𝛽0 𝑥11 + 2𝛽1 𝑥11 + 2𝛽2 𝑥11 𝑥12 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝑥11 2

+ 2𝛽0 𝑥21 + 2𝛽1 𝑥21 + 2𝛽2 𝑥21 𝑥22 + ⋯ + 2 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 𝑥21 + 2𝛽0 𝑥31 + 2𝛽1 𝑥31 2 + 2𝛽2 𝑥31 𝑥32 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥3𝑘 𝑥31 + ⋯ + 2𝛽0 𝑥𝑛1 + 2𝛽1 𝑥𝑛1 2 + 2 𝛽2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 + ⋯ + 2 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 𝑥𝑛1 𝑥11 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 =2

+𝑥21 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 ) +𝑥31 𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 + … + 𝑥𝑛1 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 )

(3.2.23)


𝜕 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷

2

= (2𝛽0 𝑥12 + 2𝛽1 𝑥11 𝑥12 + 2 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥12 𝑥1𝑘 ) + (2𝛽0 𝑥22

𝜕𝛽2

+ 2𝛽1 𝑥21 𝑥22 + 2𝛽2 𝑥22 2 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥22 𝑥2𝑘 ) + (2𝛽0 𝑥32 + 2𝛽1 𝑥31 𝑥32 + 2 𝛽2 𝑥32 2 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥32 𝑥3𝑘 ) + ⋯ + (2𝛽0 𝑥𝑛2 + 2𝛽1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 + 2 𝛽2 𝑥𝑛2 2 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥𝑛2 𝑥𝑛𝑘 ) 𝑥12 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + 𝑥22 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 +

=2

𝑥32 𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 +

(3.2.24)

… + 𝑥𝑛2 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 ⋮ ⋮ 𝜕(𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝛽𝑘

= (2𝛽0 𝑥1𝑘 + 2𝛽1 𝑥11 𝑥1𝑘 + 2𝛽2 𝑥12 𝑥1𝑘 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥1𝑘 2 ) + (2𝛽0 𝑥2𝑘 + 2𝛽1 𝑥21 𝑥2𝑘 + +2𝛽2 𝑥22 𝑥2𝑘 + ⋯ + 2 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 2 ) + (2𝛽0 𝑥3𝑘 + 2𝛽1 𝑥31 𝑥3𝑘 + 2𝛽2 𝑥32 𝑥3𝑘 + ⋯ + 2 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 2 ) + ⋯ + (2𝛽0 𝑥𝑛𝑘 + 2𝛽1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛𝑘 + 2𝛽2 𝑥𝑛2 𝑥𝑛𝑘 + ⋯ + 2𝛽𝑘 𝑥𝑛2 2 ) 𝑥1𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + =2

𝑥2𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 + 𝑥3𝑘 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 ) + … + 𝑥𝑛𝑘 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 )

(3.2.25)

Sehingga menurut persamaan (3.2.22), (3.2.23), (3.2.24), dan (3.2.25), hasil dari 𝜕(𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝜷

adalah :


𝜕(𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷) 𝜕𝜷 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 + (𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 ) + ⋯ + 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 𝑥11 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + 𝑥21 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 ) + 𝑥31 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 ) + ⋯ + 𝑥𝑛1 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 ) =2

𝑥12 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + 𝑥22 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 + 𝑥32 𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 + ⋯ + 𝑥𝑛2 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 ⋮ ⋮ 𝑥1𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 + 𝑥2𝑘 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 + 𝑥3𝑘 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥31 + 𝛽2 𝑥32 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥3𝑘 ) + ⋯ + 𝑥𝑛𝑘 (𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑛1 + 𝛽2 𝑥𝑛2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑛𝑘 )

1 𝑥11 = 2 𝑥12 ⋮ 𝑥1𝑘

1 𝑥21 𝑥22 ⋮ 𝑥2𝑘

1 𝑥31 𝑥32 ⋮ 𝑥3𝑘

⋯ ⋯ ⋯ … …

1 𝛽0 + 𝛽1 𝑥11 + 𝛽2 𝑥12 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥1𝑘 𝑥𝑛1 𝛽0 + 𝛽1 𝑥21 + 𝛽2 𝑥22 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥2𝑘 𝑥𝑛2 𝛽 + 𝛽 𝑥 + 𝛽 𝑥 + … + 𝛽 𝑥 0 1 31 2 32 𝑘 3𝑘 ⋮ ………………………………………… 𝑥𝑛𝑘 𝛽 + 𝛽 𝑥 + 𝛽 𝑥 + … + 𝛽 𝑥 0 1 𝑛1 2 𝑛2 𝑘 𝑛𝑘

1 𝑥11 = 𝟐 𝑥12 ⋮ 𝑥1𝑘

1 𝑥21 𝑥22 ⋮ 𝑥2𝑘

1 𝑥31 𝑥32 ⋮ 𝑥3𝑘

⋯ ⋯ ⋯ … …


1 1 1 ⋮ 1

𝑥11 𝑥21 𝑥31 ⋮ 𝑥𝑛1

𝑥12 𝑥22 𝑥32 ⋮ 𝑥𝑛2

⋯ ⋯ ⋯ … …

𝑥1𝑘 𝑥2𝑘 𝑥3𝑘 ⋮ 𝑥𝑛𝑘

= 𝟐𝑿𝒕 𝑿𝜷

𝛽0 𝛽1 𝛽2 ⋮ 𝛽𝑘 (3.2.26)

Dari hasil persamaan (3.2.11), (3.2.17), dan (3.2.26) dapat disimpulkan bahwa:

𝜕 𝒆𝒕 𝒆 𝜕𝜷

= −𝟐𝑿𝒕 𝒀 + 𝟐𝑿𝒕 𝑿𝜷

0 = −𝟐𝑿𝒕 𝒀 + 𝟐𝑿𝒕 𝑿𝜷 𝟐𝑿𝒕 𝒀 = 𝟐𝑿𝒕 𝑿𝜷 𝑿𝒕 𝒀 = 𝑿𝒕 𝑿𝜷

(3.2.27)


Kemudian peersamaan (3.2.27) di depan dikalikan dengan (𝑿𝒕 𝑿)−𝟏 pada kedua ruas, dengan syarat matriks (𝑿𝒕 𝑿) merupakan matriks yang non singular, menghasilkan: (𝑿𝒕 𝑿)−𝟏 𝑿𝒕 𝒀 = (𝑿𝒕 𝑿)−𝟏 (𝑿𝒕 𝑿)𝜷 I𝜷 = (𝑿𝒕 𝑿)−𝟏 𝑿𝒕 𝒀 Karena 𝑿𝒕 𝑿

−1

𝑿𝒕 𝑿 = 𝑰 merupakan matriks identitas berordo 𝑘 + 1 × (𝑘 +

1), maka persamaan (3.2.27) dapat ditulis menjadi: 𝜷 = (𝑿𝒕 𝑿)−𝟏 𝑿𝒕 𝒀

(3.2.28)

Seperti dalam analisis regresi sederhana, vektor penaksir 𝜷 juga mempunyai sifatsifat: 1. Linier 𝜷 = 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝒀

karena persamaan (3.2.4), yaitu 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 maka 𝜷 = 𝑿𝒕 𝑿 = 𝑿𝒕 𝑿 karena 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏 −𝟏

−𝟏

𝑿𝒕 𝑿𝜷 + 𝜺

𝑿𝒕 𝑿𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺

𝑿𝒕 𝑿 = 𝑰, maka

𝜷 = 𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺

(3.2.29)

Persamaan (3.2.29) menyatakan bahwa 𝜷 adalah fungsi linier dari 𝜷 dan 𝜺. 2. Tidak bias Dari persamaan (3.2.29) maka, 𝐸 𝜷 = 𝐸 𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺

= 𝐸 𝜷 + 𝐸 𝑿𝒕 𝑿 = 𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

𝐸𝜺

𝑿𝒕 𝜺


karena sesuai asumsi 1 𝐸 𝜺

=0

𝐸 𝜷 = 𝜷

(3.2.30)

Terbukti bahwa 𝜷 merupakan penaksir kuadrat terkecil yang tidak bias. 3. Varian minimum Sebelum dibuktikan varian 𝜷 minimum, akan ditentukan varian dari penaksir 𝜷 terlebih dahulu, yaitu: diketahui bahwa 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝐸 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝐸

2

𝜷−𝜷

𝜷−𝜷 𝜷−𝜷

𝑡

Sesuai dengan persamaan (3.2.29) yang dapat ditulis 𝜷 − 𝜷 = 𝑿𝒕 𝑿 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺, maka

𝑿𝒕 𝜺 disubstitusikan pada 𝜷 − 𝜷, sehingga: 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝐸

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺

menggunakan sifat transpose matriks 𝑨𝑩 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝐸 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝒕

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺

𝑡

= 𝑩𝒕 𝑨𝒕 , maka

𝑿𝒕 𝜺𝜺𝒕 𝑿((𝑿𝒕𝑿)−𝟏 )𝑡

Berdasarkan sifat-sifat matriks di mana ((𝑿𝒕 𝑿)−𝟏 )𝑡 = ((𝑿𝒕 𝑿)𝒕 )−1 , maka 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝐸[ (𝑿𝒕 𝑿)−𝟏 𝑿𝒕 𝜺 𝜺𝑡 𝑿𝒕 (𝑿𝒕 𝑿)𝒕 = 𝐸 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

= 𝑿𝒕 𝑿

𝑿𝒕 𝑬 𝜺𝜺𝒕 𝑿 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺𝜺𝒕 𝑿 𝑿𝒕 𝑿

−1

−𝟏 −𝟏

Sesuai dengan asumsi 𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 = 𝜎 2 𝑰 , maka 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜎 2 𝑰𝑿 𝑿𝒕 𝑿

= 𝜎 2 𝑰 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝑿 𝑿𝒕 𝑿

Berdasarkan sifat infers matriks, 𝑿𝒕 𝑿 𝑿𝒕 𝑿 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝜎 2 𝑰 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑰

−𝟏

−𝟏

−𝟏

= 𝑰, sehingga

]


dapat juga ditulis 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝜎 2 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

(3.2.31)

Langkah-langkah dalam membuktikan penaksir 𝜷 mempunyai varian minimum sama dengan langkah-langkah membuktkan varian minimum penaksir pada analisis regresi sederhana. Maka 𝜷 perlu dibandingkan dengan penaksir lain yang yang diasumsikan linier dan tidak bias, misalnya 𝜷∗ . 𝜷∗ didefinisikan 𝜷∗ =

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 + 𝑩 𝒀 , dimana B merupakan matriks berordo (𝑘 + 1) × 𝑛

yang diketahui. Selanjutnya adalah diperlihatkan terlebih dahulu bahwa 𝜷∗ merupakan penaksir yang linier dan tidak bias. Dengan mensupstitusikan persamaan (3.2.4), 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 maka 𝜷∗ akan menjadi: 𝜷∗ =

𝑿𝒕 𝑿

= 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

𝑿𝒕 + 𝑩 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺

𝑿𝒕 𝑿𝜷 + 𝜺 + 𝑩 𝑿𝜷 + 𝜺

sehingga terlihat bahwa 𝜷∗ merupakan penaksir yang linier. Lalu akan diperlihatkan 𝜷∗ merupakan penaksir yang tidak bias, yaitu 𝑬 𝜷∗ = 𝑬 𝑿 𝒕 𝑿 = 𝑬 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

𝑿𝒕 𝑿𝜷 + 𝜺 + 𝑩 𝑿𝜷 + 𝜺


−𝟏

𝑿𝒕 𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺

sesuai asumsi pertama bahwa 𝑬 𝜺 = 𝟎, maka 𝑬 𝜷∗ = 𝜷 + 𝑩𝑿𝜷 Karena 𝜷∗ diasumsikan suatu penaksir yang tidak bias bagi 𝜷 maka 𝑬 𝜷∗ harus sama dengan 𝜷 atau 𝑩𝑿𝜷 harus merupakan matriks nol. Dapat dikatakan 𝑩𝑿 = 0 jika 𝜷∗ =

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 + 𝑩 𝒀 adalah penaksir yang tidak bias. Selanjutnya akan

ditentukan 𝑣𝑎𝑟 𝜷∗ .


𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ = 𝐸

𝜷∗ − 𝜷 𝜷∗ − 𝜷

dengan mensuptitusikan 𝜷∗ = 𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ = 𝐸

𝑿𝒕 𝑿

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

𝑡

𝑿𝒕 + 𝑩 𝒀, maka persamaan menjadi

𝑿𝒕 + 𝑩 𝒀 − 𝜷

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 + 𝑩 𝒀 − 𝜷

𝑡

sesuai dengan persamaan (3.2.4), maka 𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ = 𝐸

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 + 𝑩 𝑿𝜷 + 𝜺

𝑿𝒕 𝑿

−𝜷 = 𝐸[ 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

𝑿𝒕 + 𝑩 𝑿𝜷 + 𝜺 − 𝜷

𝑿𝒕 𝑿𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿 + 𝑿𝒕 𝑿

karena 𝑩𝑿𝜷 = 𝟎, dan 𝑿𝒕 𝑿 𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ = 𝐸[ 𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

−𝟏

−𝟏

𝑡

𝑿𝒕 𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺 − 𝜷 { 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝑿𝜷

𝑿𝒕 𝜺 + 𝑩𝑿𝜷 + 𝑩𝜺 − 𝜷}𝒕 ]

𝑿𝒕 𝑿 = 𝑰 maka

𝑿𝒕 𝜺 + 𝟎 + 𝑩𝜺 − 𝜷 {𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺 + 𝟎 + 𝑩𝜺 −

𝜷}𝒕 ] 𝑿𝒕 𝑿

=𝐸

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺 + 𝑩𝜺

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

Menggunakan sifat transpose matriks 𝑨𝑩

𝑿𝒕 𝜺 + 𝑩𝜺

𝒕

𝑡

= 𝑩𝒕 𝑨𝒕 dan (𝑨 + 𝑩)𝒕 = 𝑨𝒕 + 𝑩𝒕 ,

maka 𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ = 𝐸

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺 + 𝑩𝜺 𝜺𝒕 𝑿 𝑿𝒕𝑿

−𝟏

+ 𝜺𝒕 𝑩𝒕

karena perkalian matriks bersifat distributif, maka 𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ = 𝐸 =


−𝟏

−𝟏

𝑿𝒕 + 𝑩 𝜺𝜺𝒕 𝑿 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 + 𝑩 𝐸 𝜺𝜺𝒕 𝑿 𝑿𝒕 𝑿

+ 𝑩𝒕

−𝟏

+ 𝑩𝒕

Sesuai dengan asumsi 𝐸 𝜺𝜺𝒕 = 𝜎 𝟐 𝑰 maka 𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ = 𝜎 2 𝑰

𝑿𝒕 𝑿

= 𝜎 𝟐 𝑿𝒕 𝑿 karena 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

−𝟏

𝑿𝒕 + 𝑩 𝑿 𝑿𝒕 𝑿


−𝟏

−𝟏

+ 𝑩𝒕

+ 𝑩𝑿 𝑿𝒕 𝑿

𝑿𝒕 𝑿 = 𝑰, dan 𝑿𝒕 𝑩𝒕 = 𝑩𝑿

𝒕

−𝟏

maka,

+ 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝑩𝒕 + 𝑩𝑩𝒕


𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ = 𝜎 𝟐 𝑰 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

+ 𝑩𝑿 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

+ 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑩𝑿 𝒕 + 𝑩𝑩𝒕

karena 𝑩𝑿 = 𝟎, maka 𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ = 𝜎 𝟐 𝑿𝒕 𝑿 = 𝜎 𝟐 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

+ 𝑩𝑩𝒕

+ 𝝈𝟐 𝑩𝑩𝒕

(3.2.32)

𝑉𝑎𝑟 𝜷∗ lebih besar daripada 𝑉𝑎𝑟 𝜷 , dengan kelebihan sebesar 𝜎 𝟐 𝑩𝑩𝒕 . 𝜎 𝟐 𝑩𝑩𝒕 bernilai positif karena 𝜎 𝟐 merupakan bilangan skalar yang bernilai positif, dan 𝑩𝑩𝒕 = 𝑩𝟐 yang juga bernilai positif. Sehingga membuktikan bahwa 𝑣𝑎𝑟 (𝜷) merupakan varian minimum. dimana 𝜎 2 merupakan varians dari gangguan 𝜀𝑖 . Dalam regresi linier sederhana, r2 digunakan untuk mengukur kebaikan garis dari persamaan regresi; dimana nilai tersebut menyatakan presentase dari total variasi variabel dependen Y yang dapat dijelaskan oleh variabel penjelas X. Dalam model regresi berganda, koefisien determinasi (R2) secara konseptual hampir sama dengan koefisien determinasi pada regresi linier sederhana yaitu digunakan untuk mengetahui proporsi dari total variasi Y yang dapat dijelaskan oleh variabel-variabel penjelas

𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘

ditentukan sebagai berikut: dari persamaan (3.2.10) diperoleh 𝒆𝒕 𝒆 = 𝒀𝒕 𝒀 − 𝟐𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 + 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷 karena 𝑿𝒕 𝒀 = 𝑿𝒕 𝑿𝜷, maka 𝒆𝒕 𝒆

= 𝒀𝒕 𝒀 − 𝟐𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 + 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝑿𝜷 = 𝒀𝒕 𝒀 − 𝟐𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 + 𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀

𝒆𝒕 𝒆

= 𝒀 𝒕 𝒀 − 𝜷𝒕 𝑿 𝒕 𝒀

secara bersama-sama. R2 dapat


𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀 = 𝒀𝒕 𝒀 − 𝒆𝒕 𝒆 diketahui bahwa 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌 , maka 𝑌𝑖 2 − 2𝑌

𝑦𝑖 2 = =

𝑌𝑖 2 − 2

=

𝑌𝑖 2 − 𝑛

1

𝑌𝑖

𝑛

𝑌𝑖 +

2

𝑌𝑖

2

1

𝑌𝑖

2

𝑌𝑖 2 −

𝑦𝑖 2 =

𝑌𝑖 + 𝑌 2

𝑛

1

+𝑛

1

𝑌𝑖

𝑛

𝑌𝑖

2

2

𝑌𝑖 2 dalam bentuk matriks adalah 𝒀𝒕 𝒀, maka 𝑦𝑖 2 = 𝒀𝒕 𝒀 −

1

𝑌𝑖

𝑛

2

persamaan di atas merupakan variasi kuadrat total (TSS) jumlah kuadrat yang bisa dijelaskan (ESS) adalah: =

𝑦𝑖 2 −

= 𝒀𝒕 𝒀 −

𝑒𝑖 2

1

2

𝑌𝑖

𝑛

− 𝒆𝒕 𝒆

1

= 𝒀𝒕 𝒀 − 𝒆𝒕 𝒆 − 𝑛 1

= 𝜷𝒕 𝑿 𝒕 𝒀 − 𝑛

𝑌𝑖

2

2

𝑌𝑖

Oleh karena R2 = ESS : TSS, maka 1

2

𝑅 =

𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀−𝑛 1

𝒀𝒕 𝒀− 𝑛

2

𝑌𝑖 𝑌𝑖

2

=

𝜷𝒕 𝑿𝒕 𝒀−𝑛 𝒀𝒕 𝒀− 𝑛

2

𝑌𝑖 𝑌𝑖

2

(3.2.33)

C. Inferensi Analisis Regresi Linier Pada subbab sebelumnya telah dibahas mengenai cara menentukan penaksir 𝛽 menggunakan OLS. Tetapi penaksiran 𝛽 merupakan penaksiran titik yang hanya salah satu aspek inferensi statistik, sedangkan aspek inferensi lain adalah pengujian hipotesis. Untuk melakukan uji hipotesis, perlu menetapkan


spesifikasi distribusi probabilitas gangguan 𝜀𝑖 , tetapi dalam OLS tidak dibuat asumsi mengenai sifat probabilistik dari 𝜀𝑖 . Maka agar dapat dilakukan uji hiopotesis, diasumsikan bahwa setiap 𝜀𝑖 didistribusikan secara normal dengan: 𝐸 𝜺 = 0 dan 𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 = 𝜎 2 𝑰 Dalam matriks dapat dinotasikan sebagai berikut: 𝜺 ~ 𝑁(𝟎, 𝜎 2 𝑰)

(3.3.1)

dimana 𝜺 dan 0 merupakan vektor kolom 𝑛 × 1, serta I merupakan matriks identitas berordo 𝑛 × 𝑛 , dengan 0 menjadi vektor nol. Sesuai asumsi normalitas, diketahui bahwa dalam model regresi k variabel, estimator 𝛽𝑖 juga terdistribusi secara normal karena seperti yang telah didefinisikan sebelumnya 𝛽 merupakan fungsi linier dari 𝜀𝑖 , yang sesuai asumsi bersifat random. Maka distribusi sampling atau probabilitas dari penaksir OLS akan tergantung pada asumsi yang dibuat mengenai distribusi probabilitas 𝜀𝑖 . Dalam notasi matriks dapat dituliskan: 𝜷~ 𝑁 𝜷, 𝝈𝟐 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

(3.3.2)

yang berarti bahwa setap elemen 𝜷 terdistribusi normal dengan rerata yang sama terhadap elemen dari 𝜷 yang sebenarnya, hal ini sesuai dengan persamaan (3.2.29) yaitu 𝐸 𝜷 = 𝜷 .

Serta varians 𝜷 = 𝜎 2 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

, berdasarkan persamaan

(3.2.30). Dalam bahasa statistik, hipotesis yang dinyatakan dikenal sebagai hipotesis nol dan dinyatakan dalam lambang 𝐻0 . Hipotesis nol biasanya diuji terhadap hipotesis alternatif, dinyatakan dengan 𝐻1 . Hipotesis alternatif bisa


sederhana atau gabungan. Saat melakukan pengujian hipotesis dalam regresi linier, terdapat asumsi yang harus diperhatikan antara lain: 1. Pengujian hipotesis mengenai koefisien regresi individual Jika asumsi 𝒖 ~ 𝑁(𝟎, 𝜎 2 𝑰) dimasukkan, maka uji t dapat dilakukan untuk menguji hipotesis mengenai setiap koefisien regresi parsial individual.

Uji t

digunakan untuk mengetahui apakah variabel-variabel independen secara parsial berpengaruh nyata atau tidak terhadap variabel dependen. Untuk uji dua arah, misalnya ditetapkan bahwa: 𝐻0 : 𝛽𝑘 = 0 dan 𝐻1 : 𝛽𝑘 ≠ 0

(3.3.3)

Hipotesis nol menyatakan bahwa, dengan menjaga variabel lain konstan (variabel selain 𝑋𝑘 ), dan 𝑋𝑘 tidak memiliki pengaruh linier terhadap Y. Untuk menguji hipotresis nol, digunakan uji t, t=

𝛽 𝑘 −𝛽 𝑘 𝑠𝑒 𝛽 𝑘

(3.3.4)

Jika nilai t hitung melebihi nilai t kritis pada tingkat signifikansi yang dipilih, hipotesis nol dapat ditolak; dan jika yang terjadi sebaliknya maka hipotesis nol tidak dapat ditolak. Dalam kasus yang menggunakan uji satu arah, dimisalkan hipotesis nol dan hiportesis alternatifnya adalah: 𝐻0 : 𝛽2 = 0 dan 𝐻1 : 𝛽2 ≥ 0

(3.3.5)

Jika 𝐻0 dapat ditolak pada uji dua arah maka akan terdapat cukup bukti untuk menolak hasil pengujian satu arah selama sifat statistik searah dengan pengujian. 2. Pengujian signifikansi keseluruhan dari regresi sampel


Sebelumnya telah dibahas mengenai uji hipotesis mengenai koefisien regresi individual yang memusatkan perhatian pada pengujian signifikansi dari estimasi koefisien regresi parsial, secara individual. Oleh karena di bawah hipotesis yang terpisah, dimana setiap koefisien regresi parsial populasi yang sebenarnya adalah nol. Misalnya terdapat hipotesis nol sebagai berikut: 𝐻0 : 𝛽𝑖 = 𝛽𝑗 = 0

(3.3.6)

Hipotesis nol tersebut merupakan hipotesis nol bersama yang menyatakan bahwa 𝛽𝑖 dan 𝛽𝑗 secara bersama nilainya adalah sama dengan nol. Pengujian pada hipotesis tersebut dinamakan uji signifikansi keseluruhan dari garis regresi yang diobservasi atau diestimasi, yaitu untuk mengetahui apakah Y secara linier berhubungan baik terhadap 𝑋𝑖 dan 𝑋𝑗 . Hipotesis bersamaan tersebut tidak dapat diuji menggunakan uji signifikansi secara individual (uji t) karena pada uji signifikansi individual koefisien regresi parsial yang diobservasi dalam subbab sebelumnya diasumsikan secara implisit bahwa setiap pengujian signifikansi 𝛽𝑖 (didasarkan pada hipotesis bahwa 𝛽𝑖 = 0) , artinya diasumsikan bahwa pengujian dadasarkan pada sampel yang berbeda dari yang diuji dalam pengujian signifikansi hipotesis 𝛽𝑗 (didasarkan pada hipotesis bahwa 𝛽𝑗 = 0 ). Tetapi untuk menguji hipotesis gabungan, jika menggunakan data sampel yang sama, maka akan melanggar asumsi yang mendasari prosedur pengujian. Meskipun uji t tidak bisa dilakukan untuk menguji hipotesis gabungan, tetapi hipotesis gabungan dapat diuji menggunakan analisis varians (uji F) yaitu:

𝐹=

𝐸𝑆𝑆/𝑑𝑓 𝑅𝑆𝑆/𝑑𝑓

=

𝐸𝑆𝑆/( 𝑘+1 −1) 𝑅𝑆𝑆/(𝑛− 𝑘+1 )

(3.3.7)


dengan k adalah jumlah variabel bebas dan n adalah banyaknya data. Aturan pengambilan keputusan untuk uji F adalah: Jika diketahui model regresi dengan k variabel 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 Untuk menguji hipotesis 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑘 = 0 𝐻1 : tidak semua koefisien kemiringan secara simultan adalah nol. Statistik uji: 𝐹= Jika

𝐸𝑆𝑆/𝑑𝑓 𝐸𝑆𝑆/( 𝑘 + 1 − 1) = 𝑅𝑆𝑆/𝑑𝑓 𝑅𝑆𝑆/(𝑛 − 𝑘 + 1 )

𝐹 > 𝐹𝛼 ( 𝑘 + 1 − 1, 𝑛 − 𝑘 + 1 ),

𝛼

dengan

merupakan

derajat

kepercayaan, maka 𝐻0 ditolak yang artinya semua variabel independen secara simultan berpengaruh signifikan terhadap variabel dependen. Terdapat hubungan yang erat antara koefisien determinasi dan uji F yang digunaan dalam uji varians. Diasumsikan bahwa 𝜀𝑖 berdistribusi normal dan hipotetis nol adalah 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑘 = 0 maka dapat dilihat bahwa: 𝐹 =

𝐸𝑆𝑆 /𝑑𝑓 𝑅𝑆𝑆 /𝑑𝑓

(3.3.8)

𝐸𝑆𝑆 /( 𝑘+1 −1)

= 𝑅𝑆𝑆 /(𝑛 − 𝑘 +1

)

Agar hubungan 𝑅2 dan uji F dapat terlihat jelas, maka persamaan (3.3.7) dimanipulasi sedemikian sehingga: 𝐹=

=

(𝑛 − 𝑘 + 1 )𝐸𝑆𝑆 ( 𝑘 + 1 − 1)𝑅𝑆𝑆 (𝑛 − 𝑘 + 1 )𝐸𝑆𝑆 𝑘 + 1 − 1 𝑇𝑆𝑆 − 𝐸𝑆𝑆


𝑛 − 𝑘 + 1 𝐸𝑆𝑆/𝑇𝑆𝑆

=

𝑘 + 1 − 1 1 − (𝐸𝑆𝑆/𝑇𝑆𝑆) (𝑛 − 𝑘 + 1 )𝑅2 𝑘 + 1 − 1 1 − 𝑅2

=

F=

𝑅 2 / 𝑘+1 −1 (1−𝑅 2 )/(𝑛− 𝑘+1 )

(3.3.9)

dimana digunakan definisi bahwa 𝑅2 = ESS/TSS. Pada persamaan (3.3.8), ketika 𝑅2 = 0 maka nilai F adalah nol dan semakin besar nilai 𝑅2 maka semakin besar nilai F. tetapi jika nilai 𝑅2 = 1, maka nilai F tak terhingga. Jadi, uji F yang mana mengukur keseluruhan signifikansi dari regresi yang diestimasi, juga merupakan sebuah uji signifikansi dari 𝑅2 . Dengan demikian, pengujian hipotesis dalam persamaan (3.3.8) adalah sama dengan pengujian hipotesis nol yang menyatakan bahwa 𝑅2 adalah nol. Aturan pengujian signifikansi keseluruhan sebuah regresi berganda berdasarkan 𝑅2 adalah: jika diketahui model regresi dengan variabel k 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 untuk menguji hipotesis: 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑘 = 0 𝐻1 : tidak semua koefisien determinasi secara simultan adalah nol. Statistik uji: F =

𝑅 2 / 𝑘+1 −1 (1−𝑅 2 )/(𝑛− 𝑘+1 )

Jika 𝐹 > 𝐹𝛼 𝑘+1 −1 ,𝑛− 𝑘+1 ), maka 𝐻0 ditolak.


BAB IV PENDETEKSIAN DAN PERBAIKAN HETEROSKEDASTISITAS PADA REGRESI LINIER MENGGUNAKAN METODE WLS DAN TRANSFORMASI VARIABEL

A. Sifat alamiah heteroskedastisitas Salah satu asumsi penting dalam membuat model regresi linier adalah homoskedastisitas. Homoskedastisitas adalah suatu kondisi dimana varians dari setiap faktor gangguan 𝜀𝑖 pada setiap variabel penjelas 𝑋𝑖 merupakan suatu angka konstan tertentu yang sama dengan 𝜎 2 . Dapat dituliskan,

𝐸 𝜺. 𝜺𝒕

𝜎2 = 0 ⋮ 0

0 𝜎2 ⋮ 0

⋯ 0 2 ⋯ 0 ⋯ ⋮ =𝜎 … 𝜎2

1 0 0 1 ⋮ ⋮ 0 0

𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 = 𝜎 2 𝑰

⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋮ … 1 (4.1.1)

Ilustrasi suatu kondisi homoskedastisitas dapat dilihat pada gambar 4.1, yaitu

Tabungan

Pendapat an

Gambar 4.1 Homoskedastisitas

76


Sebaliknya jika ada varians dari faktor gangguan 𝜀𝑖 yang tidak sama pada setiap variabel penjelas 𝑋𝑖 , maka kondisi ini dinamakan heteroskedastisitas. Dapat juga dituliskan,

𝐸 𝜺. 𝜺𝒕

𝜎1 2 = 0 ⋮ 0

= 𝜎2

𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 = 𝜎 2 𝝋 𝝋

0 𝜎2 2 ⋮ 0 𝜑1 0 ⋮ 0

0 𝜑2 ⋮ 0

⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋮ … 𝜎𝑛 2 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋮ … 𝜑𝑛

𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

(4.1.2)

merupakan matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonalnya tidak

semuanya sama dengan satu serta bernilai positif. Indeks 𝑖 menunjukkan bahwa varians kondisional 𝜀𝑖 tidak lagi sama. Jika diilustrasikan dengan gambar, maka:

Omset

Laba

Gambar 4.2 Heteroskedastisitas Contoh kasus yang dapat menyatakan kondisi adanya heteroskedastisitas adalah pada penelitian untuk melihat pengaruh omset terhadap laba. Perbedaan laba yang didapat antara perusahaan–perusahaan yang tergolong beromset kecil


tentunya tidak akan besar. Berbeda dengan perusahaan-perusahaan yang tergolong beromset besar, perbedaan tentu akan lebih besar. Perusahaan yang lebih efisien dan efektif akan berhasil menekan biaya produksi, tentunya akan mempunyai peluang untuk mendapatkan laba lebih besar dibanding perusahaan yang dikelola kurang baik. Heteroskedastisitas dapat disebabkan karena adanya tehnik pengambilan data yang semakin baik, hal ini berdampak 𝜎𝑖 2 akan mengecil. Sebaliknya jika tehnik pengambilan data semakin buruk, maka akan berdampak 𝜎𝑖 2 akan semakin besar. Misalnya dalam penelitian tingkat kesalahan laporan bulanan pada bank di Yogyakarta. Bank yang mempunyai peralatan pemrosesan data yang canggih dan semakin baik nampaknya akan mempunyai kesalahan yang lebih kecil dalam laporan bulanan atau kuartalan untuk langganan mereka dibandingkan dengan bank yang tidak memiliki peralatan seperti itu.

B. Konsekuensi Keberadaan Heteroskedastisitas Untuk mengetahui bagaimana yang terjadi pada estimator-estimator OLS jika memiliki kondisi heteroskedastisitas dimana 𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 = 𝜎 2 𝝋 tetapi dengan mempertahankan asumsi yang lain adalah dengan kembali pada model regresi: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖

𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

(4.2.1)

dalam notasi matriks dapat dituliskan: 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 penaksir 𝜷 yang diperoleh dari persamaan (4.2.2) adalah 𝜷 = (𝑿𝒕 𝑿)−𝟏 𝑿𝒕 𝒀

(4.2.2)


Jika metode OLS tetap digunakan dalam model regresi linier dengan heteroskedastisitas tanpa mengatasi heteroskedastisitas tersebut terlebih dahulu, maka nilai penaksir 𝜷 tetap linier dan tidak bias karena untuk membuktikan bahwa penaksir 𝜷 bersifat linier dan tidak bias, faktor gangguan 𝜀𝑖 2 tidak perlu bersifat homoskedastik. Hal ini dapat dilihat seperti pada bab 3 mengenai pembuktian sifat-sifat penaksir, yaitu: Pertama untuk menunjukkan penaksir 𝜷 linier, diketahui 𝜷 = 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝒀

karena persamaan (3.2.4), yaitu 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 maka 𝜷 = 𝑿𝒕 𝑿 = 𝑿𝒕 𝑿 karena 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏 −𝟏

−𝟏

𝑿𝒕 𝑿𝜷 + 𝜺


−𝟏

𝑿𝒕 𝜺

𝑿𝒕 𝑿 = 𝑰, maka

𝜷 = 𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺 , persamaan tersebut menunjukkan bahwa penaksir 𝜷

tetap linier. Kedua untuk menunjukkan bahwa penaksir 𝜷 adalah tidak bias, maka sesuai persamaan (3.2.28), diperoleh 𝐸 𝜷 = 𝐸 𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺

= 𝐸 𝜷 + 𝐸 𝑿𝒕 𝑿 = 𝜷 + 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺

𝐸𝜺

karena sesuai asumsi 1 𝐸 𝜺

= 0, maka

𝐸 𝜷 = 𝜷 , menunjukkan bahwa penaksir 𝜷 merupakan penaksir yang tidak bias.


Meskipun penaksir 𝜷 tetap linier dan tidak bias, tetapi penaksir 𝜷 tidak memiliki varians yang minimum, hal ini dapat dilihat dari: 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝐸 =𝐸

𝜷−𝜷 𝜷−𝜷 𝑿𝒕 𝑿

= 𝐸 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏 −𝟏

𝑿𝒕 𝜺

𝑡

𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜺

𝑿𝒕 𝜺𝜺𝒕 𝑿((𝑿𝒕𝑿)−𝟏 )𝑡

= 𝐸[ (𝑿𝒕 𝑿)−𝟏 𝑿𝒕 𝜺 𝜺𝑡 𝑿𝒕 (𝑿𝒕 𝑿)𝒕 = 𝐸 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

= 𝑿𝒕 𝑿

𝑿𝒕 𝑬 𝜺𝜺𝒕 𝑿 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑡

𝑿𝒕 𝜺𝜺𝒕 𝑿 𝑿𝒕 𝑿

−1

]

−𝟏 −𝟏

karena dalam kondisi heteroskedastisitas maka 𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 = 𝜎 2 𝝋, sehingga 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

𝑿𝒕 𝜎 2 𝝋 𝑿 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

(4.2.3)

Persamaan (4.2.3) berbeda dengan rumus varians yang didapatkan ketika asumsi homoskedastisitas terpenuhi seperti dalam persamaan (3.2.20) yaitu 𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝜎 2 𝑿𝒕 𝑿

−𝟏

Atau dengan kata lain, varians pada persamaan (3.2.20) merupakan varians terbaik yang diperoleh dari OLS, sedangkan persamaan (4.2.2) berbeda dengan (3.2.20) karena merupakan persamaan variansi yang terkondisi heteroskedastisitas.

C. Cara Pendeteksian Keberadaan Heteroskedastisitas Heteroskedastisitas dapat dideteksi menggunakan dua metode yaitu metode grafik dan metode uji Rank Spearman. Cara yang dapat digunakan untuk mendeteksi adanya heteroskedastisitas adalah dengan melihat ada tidaknya pola tertentu pada grafik, dimana sumbu X adalah Y yang diprediksi, dan sumbu Y adalah residual.


(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Gambar 4.3 Pola hipotesis residual kuadrat yang ditaksir Pada Gambar 4.3, 𝑒𝑖 2 diplotkan berpasangan dengan 𝑌𝑖 , hal ini untuk mengetahui apakah nilai rerata dari 𝑌𝑖 yang diestimasi secara sistematis berkaitan dengan residual yang dikuardratkan. Pada Gambar 4.3a, dapat dilihat tidak ada pola sistematis di antara kedua variabel tersebut, hal ini menunjukkan bahwa kemungkinan tidak adanya heteroskedastisitas pada data. Sebaliknya pada Gambar 4.3b sampai 4.3e menunjukkan pola yang sistematis dan hal tersebut mengindikasikan bahwa terjadi heteroskedastisitas pada data. Sebagai contoh, gambar 4.3 c menunjukkan sebuah hubungan yang linier, sementara Gambar 4.3 d dan e mengindikasikan hubungan kuadrat antara 𝑒𝑖 2 dan 𝑌𝑖 . Pendeteksian

heteroskedastisitas

menggunakan

metode

grafis

memepunyai kelemahan, yaitu jika terjadi perbedaan interpretasi orang yang membaca grafik tersebut, maka sangat mungkin adanya perbedaan keputusan yang diambil oleh orang yang membaca grafik tersebut, apakah terjadi heteroskedastisitas atau tidak. Untuk mengantisipasi kelemahan tersebut, maka


digunakanlah uji Rank Spearman. Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut: 1. Dibuat model regresinya 2. Dicari nilai-nilai variabel gangguan penduga 𝑒𝑖 3. Dengan mengabaikan tanda dari 𝑒𝑖 berarti didapatkan nilai mutlak 𝑒𝑖 , dapatkan nilai korelasi Rank Spearman antara 𝑒𝑖 dengan setiap variabel bebas dalam model dengan rumus:

𝑟𝑠 = 1 − 6

𝑑𝑖 2

(4.3.1)

𝑛 𝑛 2 −1

dimana 𝑟𝑠 adalah koefisien korelasi Rank Spearman, 𝑑𝑖 adalah selisih ranking, dan n adalah banyaknya data atau pengamatan. 4. Menghitung statistik t ( t hitung) masing-masing nilai korelasi Rank Spearman dengan rumus sebagai berikut:

t hitung =

𝑟𝑠 𝑛−2

(4.3.2)

1−𝑟𝑠 2

5. Dilakukan uji hipotesis Rank Spearman sebagai berikut: a. Formulasi hipotesis 𝐻0 : tidak ada masalah heteroskedastisitas 𝐻1 : ada masallah heteroskedastisitas b. Penentuan tingkat signifikansi 𝛼 = 0,05 c. Kriteria pengujian 𝐻0 diterima bila −𝑡

𝛼 2

, 𝑛 − 2 ≤ 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≤ 𝑡

𝐻0 ditolak bila 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < −𝑡

𝛼 2

𝛼 2

,𝑛 −2

, 𝑛 − 2 atau 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > −𝑡

𝛼 2

,𝑛 −2


d. Kesimpulan Pada langkah lima, jika menggunakan alat bantu SPSS, dapat dilihat melalui sig. yang dihasilkan dari uji Rank Spearman. Jika sig. kurang dari tingkat signifikansi maka 𝐻0 ditolak.

Contoh 4.1 Tabel 4.1 memberikan data tentang harga saham dan konsumen setelah Perang Dunia II. Tabel 4.1 Data harga saham dan konsumen setelah perang dunia II Negara

Harga Saham

Harga konsumen

Amerika Serikat

9.0

2.1

Australia

5.0

4.3

Austria

11.1

4.6

Belanda

7.5

3.6

Belgia

3.2

2.4

Cile

25.5

26.4

Denmark

3.8

4.2

Finlandia

11.1

5.5

India

1.5

4.0

Inggris

7.5

3.9

Irlandia

6.4

4.0

Israel

8.9

8.4


Italia

8.1

3.3

Jepang

13.5

4.7

Jerman

13.3

2.2

Kanada

7.9

2.4

Meksiko

4.7

5.2

Prancis

9.9

4.7

Selandia Baru

4.7

3.6

Swedia

8.0

4.0

Dari data tersebut akan dideteksi keberadaan heteroskedastisitas menggunakan metode grafis dan Uji Rank Spearman. Hasi pengujian menggunakan metode grafis, terletak pada Gambar 4.2

Gambar 4.4 Diagram pencar pada contoh 4.1


Berdasarkan grafik pada Gambar 4.2, terlihat diagram pencar tidak membentuk suatu pola yang sistematis (menunjukkan hubungan yang linier atau hubungan kuadrat). Sehingga dapat disimpulkan bahwa

tidak terdapat

heteroskedastisitas. Untuk lebih memastikan bahwa data dalam Tabel 4.1 tidak terdapat heteroskedastisitas, maka dilakukan uji Rank Spearman. Menggunakan bantuan SPSS, diperoleh Tabel 4.2 Hasil uji Rank Spearman menggunakan SPSS Correlations X Spearman's rho

X

Correlation Coefficient

ABS

1.000

-.005

.

.982

20

20

-.005

1.000

.982

.

20

20

Sig. (2-tailed) N ABS

Correlation Coefficient Sig. (2-tailed) N

dari Tabel 4.2 dapat dibaca 𝑟𝑠 = −0.005 dan sig. = 0.982. Karena nilai sig. lebih besar dari pada taraf signifikansinya, yaitu 0.05, maka 𝐻0 diterima. Kesimpulannya tidak terdapat kasus heteroskedastisitas.

Contoh 4.2 Data dalam Tabel 4.3 merupakan data real dari gaji rata-rata ahli ekonomi dalam dollar yang dilkasifikasikan sesuai dengan gelar yang dicapai.


Tabel 4.3 Data gaji rata-rata ahli ekonomi yang diklasifikasikan sesuai dengan gelar yang dicapai. B. Sc

M. A

9.30

13.00

10.30

12.00

8.00

11.60

8.70

10.80

12.00

11.50

9.00

12.20

Data dari tabel 4.3, akan dideteksi keberadaan heteroskedastisitasnya menggunakan metode grafis dan uji Rank Spearman. Hasil pengujian mnggunakan metode grafis ada pada Gambar 4.2

Gambar 4.5 Diagram pencar yang diperoleh pada contoh 4.2


Berdasarkan diagram pencar pada Gambar 4.2, maka terlihat jelas ada pola sistematis

yang

terbentuk,

sehingga

terdapat

heteroskedastisitas.

Jika

menggunakan uji rank Spearman dengan taraf signifikansi 0.05, diperoleh: Tabel 4.4 Data hasil pengujian Rank Spearman melalui SPSS Correlations X Spearman's rho

X

1.000

-.829*

Sig. (2-tailed)

.

.042

N

6

6

-.829*

1.000

.042

.

6

6

Correlation Coefficient

ABS_RES1

ABS_RES1


*. Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).

Berdasarkan Tabel 4.4, diperoleh nilai 𝑟𝑠 = −0,829 dan sig. = 0.042. Karena nilai sig. lebih kecil dari pada taraf signifikansinya, yaitu 0.05, maka 𝐻0 ditolak. Kesimpulannya terdapat kasus heteroskedastisitas.

D. Cara Memperbaiki Kondisi Heteroskedastisitas Heteroskedastisitas tidak menghilangkan sifat-sifat ketidakbiasan dan linier dari estimator-estimator OLS, tetapi estimator-estimator tersebut tidak lagi memiliki varians yang minimum. Jika varian tidak minimum maka menyebabkan perhitungan standard error metode OLS menjadi tidak bisa dipercaya kebenarannya. Akibatnya, interval estimasi maupun uji hipotesis yang didasarkan pada distribusi t maupun uji F tidak bisa lagi dipercaya untuk evaluasi hasil regresi.

Untuk

itu,

sangat

perlu

dilakukan

langkah-langkah perbaikan


heteroskedastisitas. Ada dua pendekatan perbaikan yang digunakan yaitu ketika 𝜎𝑖 2 diketahui dan ketika 𝜎𝑖 2 tidak diketahui. Jika 𝜎𝑖 2 diketahui atau dapat ditaksir, metode yang dapat digunakan untuk memperbaiki heteroskedastisitas adalah metode Weighted Least Squares (WLS). Dalam menggunakan metode WLS, terlebih dahulu diketahui model regresi yang terkondisi heteroskedastisitas, yaitu 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖

(4.4.1)

karena 𝜀𝑖 dalam kondisi heteroskedastisitas, maka 𝐸 𝜀 2 = 𝜎𝑖 2 . Diasumsikan varians heteroskedastik 𝜎𝑖 2 diketahui. Persamaan (4.4.5) kemudian dibagi dengan 𝜎𝑖 dan mendapatkan: 𝑌𝑖 𝜎𝑖

= 𝛽0

1 𝜎𝑖

+ 𝛽1

𝑋𝑖 𝜎𝑖

+

𝜀𝑖 𝜎𝑖

(4.4.2)

Persamaan (4.4.3) dapat ditulis: 𝑌𝑖 ∗ = 𝛽0 ∗ + 𝛽1 ∗ 𝑋𝑖 ∗ + 𝜀𝑖 ∗

(4.4.3)

dengan variabel yang bertanda * adalah variabel asli dibagi dengan 𝜎𝑖 , parameter 𝛽 ∗ merupakan parameter dari model yang ditransformasi untuk membedakan dengan parameter OLS 𝛽. Faktor kesalahan yang ditransformasikan menjadi 𝜀𝑖 ∗ , menjadi: 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 ∗ = 𝐸 𝜀𝑖 ∗

2

=𝐸

𝜀𝑖 𝜎𝑖

2

=

1 𝐸 𝜀𝑖 2 𝜎𝑖 2

=

1 𝜎2 𝜎𝑖 2 𝑖

=1

(4.4.4)


Hal ini menandakan bahwa varians dari faktor kesalahan yang telah ditransformasi 𝜀𝑖 ∗ menjadi homoskedastik. Oleh karena asumsi klasik lainnya masih dipertahankan, maka hasil 𝜀𝑖 ∗ homoskedastik menunjukkan bahwa jika OLS diaplikasikan pada model yang ditransformasi pada persamaan (4.4.3) , maka akan menghasilkan estimator 𝛽 ∗ yang BLUE.

Mekanisme

estimasi

𝛽∗

adalah sebagai berikut. Terlebih dahulu dituliskan FRS dari persamaan (4.4.3), yaitu 𝑌𝑖 𝑋0𝑖 𝑋𝑖 𝑒𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 + 𝜎𝑖 𝜎𝑖 𝜎𝑖 𝜎𝑖 atau ∗

∗

𝑌𝑖 ∗ = 𝛽0 𝑋0𝑖 ∗ + 𝛽1 𝑋𝑖 ∗ + 𝑒𝑖 ∗

(4.4.5)

Untuk mendapatkan estimator GLS sama seperti dalam OLS, yaitu meminimalkan ∗

∗

∗

𝑌𝑖 ∗ − 𝛽0 𝑋0𝑖 ∗ − 𝛽1 𝑋𝑖 ∗

𝑒𝑖 2 =

2

Hal ini berarti 𝑒𝑖 2 𝜎𝑖

=

𝑌𝑖 𝜎𝑖

− 𝛽0

𝑋 0𝑖

∗

− 𝛽1

𝜎𝑖

∗

2

𝑋𝑖

(4.4.6)

𝜎𝑖

Persamaan (4.4.6) dapat diubah menjadi ∗

𝑤𝑖 𝑒𝑖 2 = dengan 𝑤𝑖 =

∗

𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖

2

(4.4.7)

1 𝜎𝑖 2 ∗

∗

Dalam memperoleh penaksir 𝛽0 dan 𝛽1 , persamaan (4.4.7) didiferensialkan ∗

∗

secara parsial terhadap 𝛽0 dan 𝛽1 dan menyamakan hasilnya dengan nol, yakni 𝜕

𝑤 𝑖 𝑒𝑖 2 𝜕 𝛽0

∗

=

𝜕

∗

∗

𝑤 𝑖 𝑌𝑖 −𝛽 0 −𝛽 1 𝑋 𝑖 𝜕 𝛽0

∗

2

=0


∗

𝜕 𝛽1

∗

0 = −2

𝑤𝑖 𝑌𝑖 −

0 = −2

𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽0

𝑤 𝑖 𝑒𝑖 2

𝜕

𝑤𝑖 𝛽1 𝑋𝑖

∗

∗

𝑤𝑖 − 𝛽1

(4.4.8)

=0

∗

∗

0=2

𝑤𝑖 𝑋𝑖

2

∗

𝑤 𝑖 𝑌𝑖 −𝛽 0 −𝛽 1 𝑋 𝑖 𝜕𝛽 1

∗

𝑤𝑖 𝛽0 −

∗

𝜕

=

∗

∗

𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 (−1)

0= 2

∗

𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑖 (−𝑋𝑖 )

0 = −2 −

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑖 +

0 = −2 −

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑖 + 𝛽0

∗

∗

𝑤𝑖 𝛽0 𝑋𝑖 +

𝑤𝑖 𝛽1 𝑋𝑖 2

∗

∗

𝑤𝑖 𝑋𝑖 + 𝛽1

𝑤𝑖 𝑋𝑖 2

(4.4.9)

Persamaan (4.4.8) diatur sedemikian sehingga: 𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽0

−2

𝑤𝑖 𝑌𝑖 = 𝛽0

∗

∗

𝑤𝑖 − 𝛽1

𝑤𝑖 + 𝛽1

∗

∗

𝑤𝑖 𝑋𝑖 = 0

𝑤𝑖 𝑋𝑖 = 0

(4.4.10)

Begitu pula pada persamaan (4.4.9), diatur menjadi −2 −

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑖 + 𝛽0

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑖 = 𝛽0

∗

∗



∗

∗

𝑤𝑖 𝑋𝑖 2 = 0

𝑤𝑖 𝑋𝑖 2

(4.4.11) ∗

∗

Menggunakan persamaan (4.4.10) dan (4.4.11), nilai 𝛽0 dan 𝛽1 dapat dicari dengan 𝑤𝑖 𝑌𝑖 = 𝛽0 𝑤 𝑖 𝑌𝑖 𝑤𝑖

𝛽0

∗

=

∗

𝛽0

∗

𝑤𝑖 + 𝛽1 𝑤𝑖 𝑤𝑖

+

∗

𝛽1

𝑤𝑖 𝑋𝑖 = 0 ∗

dibagi dengan

𝑤𝑖

𝑤 𝑖 𝑋𝑖 𝑤𝑖

∗

=

𝛽 𝑤𝑋 𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 1 𝑤𝑖 𝑖 𝑤𝑖 𝑖

(4.4.12)


Persamaan (4.4.12)disubstitusi pada persamaan (4.4.11) untuk mendapatkan nilai ∗

𝛽1 , yakni ∗

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑖 =

𝛽 𝑤𝑋 𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 1 𝑤𝑖 𝑖 𝑤𝑖 𝑖

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑖 =

𝛽1 𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑤 𝑖 𝑋𝑖 − 𝑤𝑖

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑖 −

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑤 𝑖 𝑋𝑖 𝑤𝑖

= 𝛽1

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑋𝑖 −

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑤 𝑖 𝑋𝑖 𝑤𝑖

= 𝛽1

𝑤𝑖

𝑤𝑖 𝑌 𝑖 𝑋 𝑖

𝑤𝑖 ∗

𝛽1 = ∗

𝛽1 =

Dengan

𝑤𝑖

𝑤𝑖

−

∗

𝑤𝑖𝑋𝑖 𝑤𝑖

∗

∗

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑤𝑖

𝑤 𝑖 𝑋𝑖

×

𝑤𝑖 𝑌𝑖

𝑤 𝑖 𝑋𝑖

𝑤 𝑖 𝑋𝑖

2

𝑤𝑖𝑋𝑖

𝑤 𝑖 𝑌𝑖 = 𝑌 ∗ dan 𝑤𝑖

+ 𝛽1

𝑤𝑖

𝑤𝑖 𝑋𝑖 2

∗

𝑤𝑖 𝑋𝑖 2

𝛽1

𝑤𝑖 𝑋 𝑖 2

𝑤𝑖

∗

𝑤𝑖

∗

𝑤𝑖

𝑤 𝑖 𝑋𝑖

2

𝑤𝑖𝑋𝑖 𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖 𝑤𝑖

−

𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖

2

2

𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑤𝑖

2

2

(4.4.13)

2

𝑤 𝑖 𝑋𝑖

∗

𝑤𝑖 𝑋𝑖 2 −

= 𝛽1

𝑤 𝑖 𝑌𝑖 𝑋 𝑖

2

𝑤𝑖 𝑋𝑖 2 −

𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑤𝑖 𝑋 𝑖 𝑤𝑖

𝑤 𝑖 𝑌𝑖 𝑋 𝑖

𝑤𝑖


= 𝑋 ∗ , maka

∗

𝛽0 = 𝑌 ∗ − 𝑋 ∗

(4.4.12)

∗

∗

Setelah mendapatkan penaksir 𝛽0 dan 𝛽1 , maka dapat diproleh model regresi hasil transformasi. Oleh karena 𝜎𝑖 2 jarang diketahui, maka metode yang dapat digunakan untuk memperbaiki heteroskedastisitas adalah metode transformasi data untuk mencerminkan jenis heteroskedastisitas yang spesifik. Diketahui model regresi yang terkena heteroskedastisitas adalah:


𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖

(4.4.13)

Sebelum mentransforrmasikan model regresi tersebut, ada empat asumsi mengenai pola heteroskedastisitas, antara lain Asumsi 1 Eror varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 2 : 𝐸 𝜺2 = 𝜎 2 𝑋𝑖𝑘 2

(4.4.14)

Jika dalam pendeteksian menggunakan metode grrafik diyakini bahwa varians 𝜺 proporsonal dengan kuadrat dari variabel penjelas 𝑋𝑖𝑘 , seperti pada gambar 4.6 berikut 𝜎𝑖 2

Gambar 4.6 Error varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 2 Pada Gambar 4.6, menunjukkan pola hubngan kuadrat sehingga dapat diasumsikan eror varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 2 . Jika eror varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 2 , maka model regresi dapat ditransformasikan menjadi sebagai berikut: 𝑌𝑖 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 = 𝑋𝑖𝑘 𝑋𝑖𝑘

=

𝛽0 𝑋 𝑖𝑘

+ 𝛽1

𝑋 𝑖1 𝑋 𝑖𝑘

+ 𝛽2


+ ⋯ + 𝛽𝑘 + 𝑣𝑖

(4.4.15)


dimana 𝑣𝑖 =

𝜀𝑖 𝑋 𝑖𝑘

,

merupakan faktor gangguan yang telah ditransformasikan.

Lalu dapat diverifikasi sebagai berikut: 𝐸 𝒗𝟐 = 𝐸

2

𝜀 𝑋𝑖𝑘 =

=

1 𝑋𝑖𝑘

2

𝐸 𝜀2

1 2 2 2 𝜎 𝑋𝑖𝑘 𝑋𝑖𝑘

= 𝜎 2 (menggunakan persamaan (4.4.14) Dengan demikian, varians v menjadi homoskedastik sehingga penggunaan OLS pada persamaan (4.4.15) dapat dilanjutkan yaitu dengan mengestimasi persamaan (4.4.15) dan menghasilkan model regresi: 𝑌𝑖 ∗ 𝑋 𝑖𝑘

=

𝛽0 ∗ 𝑋 𝑖𝑘

+ 𝛽1 ∗


+ 𝛽1 ∗


+ ⋯ + 𝛽𝑘 ∗ +

𝜀𝑖 𝑋 𝑖𝑘

(4.4.22)

Untuk kembali ke model asli, harus mengalikan persamaan (4.4.22) dengan 𝑋𝑖𝑘 .

Contoh 4.3: Tabel 4.1 memberikan data mengenai pengeluaran per kapita negara , dan pendapatan perkapita negara. Diharapkan pengeluaran per kapita berhubungan dengan pendapatan negara. Tabel 4.5 Data mengenai pengeluaran per kapita negara , dan pendapatan perkapita Negara

Y

X

Belgia

715

346

Kanada

574

26


Negara

Y

X

Perancis

248

-83

Jerman

1763

-466

Italy

221

-4633

Jepang

529

1241

Belanda

595

985

Swedia

131

-802

Britania Raya

843

-4355

AS

2370

-8374

Keterangan data: Y merupakan pengeluaran per kapita X merupakan pendapatan per kapita Contoh 4.1 ingin mengetahui hubungan pengeluaran dan pendapatan suatu negara dengan menggunakan model: 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖

(4.4.23)

Penyelesaian: Langkah pertama adalah mendeteksi data pada Tabel 4.1, apakah terjadi heteroskedastisitas atau tidak, yaitu menggunakan metode uji Rank Spearman. Sesuai dengan Lampiran 1, diperoleh parameter-parameter 𝛽0 = 595.648 dan 𝛽1 = −0.126, sehingga penduga persamaan (4.4.23) adalah: 𝑌𝑖 = 595.648 − 0.126𝑋𝑖 + 𝑒𝑖 Nilai 𝜀𝑖 diperoleh dari persamaan (4.1.8), dan mendapatkan

(4.4.24) 𝜀𝑖 dengan

mengabaikan tanda 𝜀𝑖 . Dan menggunakan SPSS, pada Lampiran 3 (Tabel


Correlation) diperoleh nilai 𝑟𝑠 = −0.745 dan sig. = 0.013. Karena sig. kurang dari taraf signifikansi yaitu 0.05, maka 𝐻0 ditolak, jadi dalam data tersebut terdapat heteroskedastisitas. Untuk melakukan perbaikan heteroskedastisitas, maka melihat hubungan antara varians 𝜀𝑖 dengan variabel X menggunakan metode grafis. Sesuai dengan Lampiran 1, bagian Scaterplot terlihat bahwa varians 𝜀𝑖 proporsional dengan kuadrat dari variabel penjelas X. Dari informasi tersebut, maka digunakan Asumsi 1 untuk memperbaiki model (4.4.24), yaitu 𝑌𝑖 595.6478232 0.126126079X i 𝜀𝑖 = − + Xi Xi Xi Xi 𝑊𝑖 = 595.6478232 𝐾𝑖 − 0.126126079 + 𝑣𝑖 dengan 𝑊𝑖 =

𝑌𝑖 Xi

, 𝐾𝑖 =

1 Xi

dan 𝑣𝑖 =

(4.4.25)

𝜀𝑖 Xi

Persamaan (4.4.25) kemudian diregresikan terhadap K, menggunakan bantuan SPSS seperti pada Lampiran 3 (Transformasi variabel), menghasilkan penaksirpenaksir 𝛽0 ∗ = 0,294 dan 𝛽1 ∗ = 543,939, sehingga model regresinya adalah 𝑊𝑖 = 0,294 + 543,939𝐾𝑖 + 𝑣𝑖

(4.4.26)

Untuk kembali pada model aslinya adalah dengan mengalikan persamaan (4.4.26) dengan 𝑋𝑖 , menjadi: 𝑌𝑖 = 543,939 + 0,294𝑋𝑖 + 𝑒𝑖

(4.4.27)

Untuk membuktikan hasil teransformasi variabel sudah tidak mengalami heteroskedastisitas maka persamaan (4.4.27) diuji menggunakan uji rank Spearman dengan bantuan SPSS yang hasilnya pada Lampiran 1 (uji Homoskedastisitas), yaitu didapat 𝑟𝑠 = −0.382 dan sig.= 0.276. Pengujian


menggunakan taraf signifikansi 0.05, sehingga karena 0.276 > 0.05, maka 𝐻0 diterima dan kesimpulannya adalah tidak terdapat Heteroskedastisitas. Dengan

demikian,

karena

model

regresi

sudah terbebas

dari

heteroskedastisitas, maka selanjutnya adalah pengujian hipotetesis koefisien regresi. Untuk pengujian F, yaitu berdasarkan Lampiran 1 (Anova) 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 180.074, dengan menggunakan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 , maka 𝐹0.05 ( 𝑘 + 1 − 1, 𝑛 − 𝑘 + 1 ) atau 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 5.32. Dengan kriteria pengujian 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 180.074 > 5.32, maka dapat disimpulkan bahwa variabel bebas X secara signifikan mempengaruhi Y. Pngujian t, dimana 𝑛 = 10 dan 𝑘 = 1, dengan menggunakan tingkat signifikansi 0.05, maka diperoleh 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 2.306. Berdasarkan Lampiran 1 diperoleh 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 : 𝑡0 = 0.566, 𝑡1 = 13.418. Dengan kriteria pengujian 13.418 > 1

2.306, maka dapat disimpulkan bahwa ada pengaruh secara individu 𝐾 = 𝑋

𝑖

terhadap Y.

Asumsi 2 Error varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 (Transformasi akar) : 𝐸 𝜺2 = 𝜎 2 𝑿𝑖𝑘

(4.4.28)

Jika dalam pendeteksian menggunakan metode grrafik diyakini bahwa varians 𝜺 proporsonal dengan 𝑋𝑖𝑘 , seperti pada Gambar 4.7 berikut


𝜎𝑖 2

X Gambar 4.7 Error variance proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 Gambar 4.7 menunjukkan pola hubungan linier sehingga dapat diasumsikan eror varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 . Jika eror varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 , maka model (4.4.19) dapat ditransformasikan menjadi sebagai berikut:

𝑌𝑖 𝑋𝑖𝑘

=

= dengan 𝑣𝑖 =

𝜀𝑖 𝑋𝑖𝑘

𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 𝑋𝑖𝑘 𝛽0 𝑋𝑖𝑘

+ 𝛽1

𝑋 𝑖1 𝑋𝑖𝑘

+ 𝛽2

𝑋 𝑖2 𝑋𝑖𝑘

+ ⋯ + 𝛽𝑘

𝑋 𝑖𝑘 𝑋𝑖𝑘

+ 𝑣𝑖

(4.4.29)

dan 𝑋𝑖 > 0

Dengan asumsi 2 dapat juga diverifikasi bahwa: 𝐸 𝒗

𝟐

𝜀

=𝐸

=

2

𝑋𝑖𝑘 1 𝑋𝑖𝑘

=

1 𝐸 𝜀2 𝑋𝑖𝑘

𝜎 2 𝑋𝑖𝑘

= 𝜎 2 (menggunakan persamaan (4.4.28)) yang menunjukkan kondisi homoskedastik. Setelah diverifikasi dan hasilnya homoskedastik, maka penggunaan OLS pada persamaan (4.4.29) dapat dilanjutkan dengan melakukan regresi.


Ciri penting transformasi asumsi 2 ini adalah model regresi yang ditransformasi tidak memiliki faktor intercept. Setelah melakukan regresi pada persamaan (4.4.29), kemudian dikembalikan pada perrsamaan asal dengan mengalikan hasil regresi dari (4.4.29) dengan

𝑋𝑖𝑘 .

Asumsi 3 Eror varians proporsional terhadap nilai kuadrat rerata: 𝐸 𝜺2 = 𝜎 2 𝐸(𝑌𝑖 )

2

(4.4.30)

Persamaan (4.4.30) menyatakan bahwa varians proporsional terhadap nilai yang diharapkan dari Y. Jika digambarkan dalam sebuah diagram pencar maka:

Gambar 4.8 Error kuadrat proporsional terhadap nilai rerata Sehingga model (4.4.19) dapat ditransformasikan menjadi: 𝑌𝑖 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 = 𝐸(𝑌𝑖 ) 𝐸(𝑌𝑖 )

=

𝛽0 𝐸(𝑌𝑖 )

+ 𝛽1

𝑋𝑖 𝐸(𝑌𝑖 )

+ 𝑣𝑖

(4.4.31)


𝜀𝑖

dimana 𝑣𝑖 =

. Sama seperti asumsi 1 dan asumsi 2, dapat ditunjukkan pula

𝐸(𝑌𝑖 )

bahwa varians 𝑣𝑖 dari (4.4.31) menghasilkan kondisi homoskedastik, yaitu: 𝑌𝑖 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 = 𝐸(𝑌𝑖 ) 𝐸(𝑌𝑖 )

=

𝛽0 𝐸(𝑌𝑖 )

+ 𝛽1

𝑋 𝑖1 𝐸(𝑌𝑖 )

+ 𝛽2

𝑋 𝑖2 𝐸(𝑌𝑖 )

+ ⋯ + 𝛽𝑘

𝑋 𝑖𝑘 𝐸(𝑌𝑖 )

+ 𝑣𝑖

= 𝜎 2 (menggunakan persamaan (4.4.12)) Dengan demikian, persamaan (4.4.31) merupakan model regresi yang memenihi asumsi homoskedastisitas. Nilai 𝐸(𝑌𝑖 ) bergantung pada besarnya 𝛽0 dan 𝛽1 , jadi transformasi (4.4.13) tidak dapat dioperasikan. Sehingga digunakan estimator dari (𝑌𝑖 ) , yaitu 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 . Dengan demikian, untuk mengoperasikan trasformasi persamaan (4.4.31) menggunakan dua tahapan, yaitu: Tahap

pertama

dengan

melakukan

regresi

OLS

dengan

mengabaikan

heteroskedastisitas untuk mendapatkan nilai 𝑌𝑖 . 𝑌𝑖 yang telah diestimasi digunakan untuk mentransformasi model (4.4.31) menjadi sebagai berikut: 𝑌𝑖 𝑌𝑖

=

dimana 𝑣𝑖 =

𝛽0 𝑌𝑖 𝜀 𝑌𝑖

+ 𝛽1

𝑋 𝑖1 𝑌𝑖

+ 𝛽2

𝑋 𝑖2 𝑌𝑖

+ ⋯ + 𝛽𝑘

𝑋 𝑖𝑘 𝑌𝑖

+ 𝑣𝑖

(4.4.32)

. Pada tahap kedua adalah dengan melakukan regresi pada

persamaan (4.4.32). Asumsi 4 Transformasi logaritma : ln 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 ln 𝑋𝑖1 + 𝛽2 ln 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 ln 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖

(4.4.33)


seringkali mengurangi heteroskedastisitas ketika dibandingkan dengan regresi 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 Transformasi logaritma menekan skala pengukuran variabel-variabel sehingga mengurangi perbedaan sebesar 10 kali lipat di antara dua variabel menjadi hanya sebesar 2 kali lipat. Selain itu, dengan melakukan transformasi log bahwa koefisien kemiringan 𝛽1 mengukur presentase perubahan dalam Y untuk presentase perubahan dalam X. Misalkan, jika Y adalah tabungan dan X adalah pendapatan, 𝛽1 dalam persamaan akan mengukur tingkat rata-rata perubahan tabungan untuk satu unit perubahan dalam pendapatan.

Contoh 4.4: Tabel memberikan data 81 mobil mengenai MPG (rata-rata mil per galon), HP (tenaga kuda mesin), VOL (jumlah kaki kubik dari luas kabin), SP (kecepatan tertinggi,mil per jam), dan WT berat kendaraan dalam 100 pon) Tabel 4.6 Data jarak mil dari mobil penumpang MGP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

SP HP 65.40 96.00 49.00 56.00 97.00 55.00 55.90 97.00 55.00 49.00 105.00 70.00 46.50 96.00 53.00 46.20 105.00 70.00 45.40 97.00 55.00 59.20 98.00 62.00 53.30 98.00 62.00 43.40 107.00 80.00 41.40 103.00 73.00 40.90 113.00 92.00 40.90 113.00 92.00 40.40 103.00 73.00 39.60 100.00 66.00

VOL 89.00 92.00 92.00 92.00 92.00 89.00 92.00 50.00 50.00 94.00 98.00 50.00 99.00 89.00 89.00

WT 17.50 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.50 22.50 22.50 22.50 22.50 22.50 22.50 22.50

MGP SP 42 32.20 43 32.20 44 32.20 45 31.50 46 31.50 47 31.40 48 31.40 49 31.20 50 33.70 51 32.60 52 31.30 53 31.30 54 30.40 55 28.90 56 28.00

HP VOL WT 106.00 95.00 106.00 30.00 109.00 102.00 92.00 30.00 106.00 95.00 88.00 30.00 105.00 93.00 102.00 30.00 108.00 100.00 99.00 30.00 108.00 100.00 111.00 30.00 107.00 98.00 103.00 30.00 120.00 130.00 86.00 30.00 109.00 115.00 101.00 35.00 109.00 115.00 101.00 35.00 109.00 115.00 101.00 35.00 109.00 115.00 124.00 35.00 133.00 180.00 113.00 35.00 125.00 160.00 113.00 35.00 115.00 130.00 124.00 35.00


MGP 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

SP HP VOL WT 39.30 103.00 73.00 89.00 22.50 38.90 106.00 78.00 91.00 22.50 38.80 113.00 92.00 50.00 22.50 38.20 106.00 78.00 91.00 22.50 42.20 109.00 90.00 103.00 25.00 40.90 110.00 92.00 99.00 25.00 40.70 101.00 74.00 107.00 25.00 40.00 111.00 95.00 101.00 25.00 39.30 105.00 81.00 96.00 25.00 38.80 111.00 95.00 89.00 25.00 38.40 110.00 92.00 50.00 25.00 38.40 110.00 92.00 117.00 25.00 38.40 110.00 92.00 99.00 25.00 46.90 90.00 52.00 104.00 27.50 36.30 112.00 103.00 107.00 27.50 36.10 103.00 84.00 114.00 27.50 36.10 103.00 84.00 101.00 27.50 35.40 111.00 102.00 97.00 27.50 35.30 111.00 102.00 113.00 27.50 35.10 102.00 81.00 101.00 27.50 35.10 106.00 90.00 98.00 27.50 35.00 106.00 90.00 88.00 27.50 33.20 109.00 102.00 86.00 30.00 32.90 109.00 102.00 86.00 30.00 32.30 120.00 130.00 92.00 30.00 32.20 106.00 95.00 113.00 30.00

MGP SP 57 28.00 58 28.00 59 28.00 60 28.00 61 27.70 62 25.60 63 25.30 64 23.90 65 23.60 66 23.60 67 23.60 68 23.60 69 23.60 70 23.50 71 23.40 72 23.40 73 23.10 74 22.90 75 22.90 76 19.50 77 18.10 78 17.20 79 17.00 80 16.70 81 13.20

HP VOL WT 102.00 96.00 92.00 35.00 109.00 115.00 101.00 35.00 104.00 100.00 94.00 35.00 105.00 100.00 115.00 35.00 120.00 145.00 111.00 35.00 107.00 120.00 116.00 40.00 114.00 140.00 131.00 40.00 114.00 140.00 123.00 40.00 117.00 150.00 121.00 40.00 122.00 165.00 50.00 40.00 122.00 165.00 114.00 40.00 122.00 165.00 127.00 40.00 122.00 165.00 123.00 40.00 148.00 245.00 112.00 40.00 160.00 280.00 50.00 40.00 121.00 162.00 135.00 40.00 121.00 162.00 132.00 40.00 110.00 140.00 160.00 45.00 110.00 140.00 129.00 45.00 121.00 175.00 129.00 45.00 165.00 322.00 50.00 45.00 140.00 238.00 115.00 45.00 147.00 263.00 50.00 45.00 157.00 295.00 119.00 45.00 130.00 236.00 107.00 55.00

Dengan menggunakan bantuan SPSS, diperoleh parameter-parameter 𝛽0 = 188,813, 𝛽1 = −1,253, 𝛽2 = 0,380, 𝛽3 = −0,013 dan 𝛽4 = −1,853 (hasil penghitungannya ada pada lampiran 2), jadi penduga persamaan regresinya adalah: 𝑌 = 188,813 − 1,253𝑆𝑃 + 0,380𝐻𝑃 − 0,013𝑉𝑂𝐿 − 1,853𝑊𝑇 Pada Lampiran 2 (Uji Homoskedastisitas), didapatkan semua nilai sig. pada keempat variabel kurang dari taraf signifikansi 0.05. Jadi dapat disimpulkan bahwa terdapat heteroskedastisitas antara 𝜀𝑖 dengan ke empat variabel bebas tersebut. Karena mengandung heteroskedastisitas, maka perlu diperbaiki dengan melakukan transformasi logaritma, yaitu:


ln 𝑌 = 188,813 − 1,253 ln SP + 0,380 ln 𝐻𝑃 − 0,013 ln 𝑉𝑂𝐿 − 1,853 ln 𝑊𝑇 Model logaritma tersebut kemudian diregresikan lagi dan menghasilkan 𝛽0 = 2,45, 𝛽1 = 0,444, 𝛽2 = −0,462, 𝛽3 = −0,024, dan 𝛽4 = −0,584. Sehingga model hasil transformasinya menjadi: 𝐿𝑜𝑔𝑀𝐺𝑃 = 2,45 + 0,444𝐿𝑜𝑔𝑆𝑃 − 0,462𝐿𝑜𝑔𝐻𝑃 − 0,024𝐿𝑜𝑔𝑉𝑂𝐿 − 0,584𝑊𝑇 Untuk membuktikan bahwa model hasil transformasi sudah mengalami homoskedastisitas, maka dilakukan uji Rank Spearman yang dihasilkan dalam Lampiran

2.

Dalam

pengujian

tersebut,

diperoleh

𝑟𝑠 𝐿𝑜𝑔𝑆𝑃 = −0,141,

𝑟𝑠 𝐿𝑜𝑔𝐻𝑃 = −0,097, 𝑟𝑠 𝐿𝑜𝑔𝑉𝑂𝐿 = 0,157, dan 𝑟𝑠 𝐿𝑜𝑔𝑊𝑇 = 0,482. Serta semua nilai sig. dari ke empat variabel bebas bernilai lebih dari 0,01. Sehingga dapat disimpulkan bahwa sudah tidak terdapat heteroskedastisirtas lagi. Dengan demikian, karena dalam model hasil transformasi logaritma, maka dilakukan uji F yaitu berdasarkan Lampiran 2 (Anova) 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢 𝑛𝑔 = 250.959, dengan menggunakan tingkat signifikansi 0.05, maka 𝐹0.05 ( 𝑘 + 1 − 1, 𝑛 − 𝑘 + 1 ) atau 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 ≅ 5.66. Dengan kriteria pengujian 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 250.959 > 5.66, maka dapat disimpulkan bahwa variabel bebas X secara signifikan mempengaruhi Y. Pngujian t, dimana 𝑛 = 81 dan 𝑘 = 4, dengan menggunakan tingkat signifikansi 0.05, maka diperoleh 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 ≅ 1.990. Berdasarkan Lampiran 2 diperoleh 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 : 𝑡0 = 2.068, 𝑡1 = 0.624, 𝑡2 = -1.532, 𝑡3 = -0.581, 𝑡4 = -2.625. Dengan kriteria pengujian 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 , 𝑡4 < 1.990, maka dapat disimpulkan bahwa tidak ada pengaruh secara individu (SP, HP, VOL, WT) terhadap Y.


BAB V KESIMPULAN

Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa: Heteroskedastisitas adalah kondisi dimana varians error pada model regresi sampel ada yang tidak sama. Dapat dituliskan: 𝐸 𝜺. 𝜺𝒕 = 𝜎 2 𝝋 𝝋

𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

merupakan matriks diagonal yang semua elemennya positif serta tidak

semuanya bernilai 1. Indeks 𝑖 menunjukkan bahwa varians kondisional 𝜀𝑖 ada yang tidak sama. Dalam gambar dapat dilustrasikan sebagai berikut:

Meskipun terjadi heteroskedastisitas, tetapi penaksir OLS tetap linier dan tidak bias. Namun varians dari penaksir tersebut menjadi tidak minimum. Jika varian tidak minimum maka menyebabkan perhitungan standard error metode OLS menjadi tidak bisa dipercaya kebenarannya. Suatu metode untuk mendeteksi keberadaan heteroskedastisitas adalah metode grafis dan uji rank Spearman. Jika pada diagram pencar, titik-titik membentuk suatu pola yang sistematis seperti menunjukkan pola hubungan linier,

103


kuadrat atau lainnya. Maka dapat dicurigai adanya heteroskedastisitas, dan jika titik-titik menyebar tak beraturan maka tidak terdapat heteroskedastisitas. Setelah

terdeteksi

adanya

heteroskedastisitas,

cara

untuk

memperbaikinya adalah dengan WLS (Weighted Least Squares) jika 𝜎𝑖 2 diketahui dan dapat menggunakan transformasi variabel sesuai dengan empat asumsi yaitu: a. Asumsi 1 Eror varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 2 : 𝐸 𝜺2 = 𝜎 2 𝑋𝑖𝑘 2 b. Asumsi 2 Error varians proporsional terhadap 𝑋𝑖𝑘 (Transformasi akar: 𝐸 𝜺2 = 𝜎 2 𝑋𝑖𝑘 c. Asumsi 3 Eror varians proporsional terhadap nilai kuadrat rerata: 𝐸 𝜺2 = 𝜎 2 𝐸(𝑌𝑖 ) d. Asumsi 4 .

Transformasi logaritma : ln 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 ln 𝑋𝑖1 + 𝛽2 ln 𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 ln 𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖

2


DAFTAR PUSTAKA

E. Walpole, Ronald dan Raymond H. Myers. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuan.Bandung : ITB. E. Walpole, Ronald.1995. Pengantar Statistika. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka. Gujarati, N. Damodar dan Dawn C. Porter. 2012. Dasar-dasar Ekonometrika. Jakarta: Penerbit Salemba. M.A, J. Supranto. 2001. Statistik. Jakarta : Erlangga. Pasaribu, Amudi. 1976. Ekonometrika. Medan: Borta Gorat. Ph.D., JR. Ayres, Frank. 1989. Teori dan Soal-soal Matriks. Jakarta: Penerbit Erlangga. Rao, Radhakrishna C dan M. Bhaskara Rao. 2004. Matrix Algebra and

Its

Applications to Statistic and Econometrics. USA : World Scientific. Sumodiningrat, Prof. Gunawan. 2007. Ekonometrika Pengantar. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta. Sunyoto, Danang. 2010. Uji Khi Kuadrat Regresi dan untuk Penelitian. Yogyakarta: Graha Ilmu.

105


LAMPIRAN

Lampiran 1

Hasil regresi Coefficientsa Standardized Unstandardized Coefficients Model 1

B (Constant)

Std. Error

595.648

229.499

-.126

.068

X

Coefficients Beta

t

-.549

Sig.

2.595

.032

-1.856

.101

a. Dependent Variable: Y

Uji Rank Spearman Correlations

X Spearman's rho

X


ABS_RES1



106

ABS_RES1 *

1.000

-.745

.

.013

10

10

-.745

*

1.000

.013

.

10

10


Metode Grafis

Transformasi variabel Coefficientsa Standardized Unstandardized Coefficients Model 1

B (Constant)

K a. Dependent Variable: W

Std. Error .294

.519

543.939

40.538

Coefficients Beta

t

.978

Sig. .566

.587

13.418

.000


b

ANOVA Model 1

Sum of Squares Regression Residual Total

df

Mean Square

F

463.616

1

463.616

20.597

8

2.575

484.212

9

Sig. .000a

180.074

a. Predictors: (Constant), K b. Dependent Variable: W

Uji Rank Spearman setelah ditransformasi Correlations

K Spearman's rho

K


ABS_RES1


ABS_RES1

1.000

-.382

.

.276

10

10

-.382

1.000

.276

.

10

10


Lampiran 2 Hasil regresi Coefficientsa Standardized Unstandardized Coefficients Model 1

B (Constant)

Coefficients

Std. Error

Beta

188.813

22.703

SP

-1.253

.236

HP

.380

VOL WT

t

Sig.

8.317

.000

-1.759

-5.306

.000

.078

2.160

4.847

.000

-.013

.022

-.029

-.599

.551

-1.853

.205

-1.504

-9.040

.000

a. Dependent Variable: MGP

Hasil uji rank Spearman

Correlations

ABS_RES

Spearman's

SP

rho

Correlation

SP

HP

VOL

WT

1

1.000

.887**

.302**

.687**

-.583**

.

.000

.006

.000

.000

81

81

81

81

81

**

1.000

.000

.

.000

.000

.000

81

81

81

81

81

**

1.000

.000

.

Coefficient Sig. (2-tailed) N HP

Correlation

.887

**

.444

**

.925

**

-.476

Coefficient Sig. (2-tailed) N VOL

Correlation

**

.302

.444

**

.540

*

-.283

Coefficient Sig. (2-tailed)

.006

.000

.010


N WT

Correlation

81

81

81

81

81

.687**

.925**

.540**

1.000

-.347**

.000

.000

.000

.

.001

81

81

81

81

81

**

1.000

Coefficient Sig. (2-tailed) N ABS_RES Correlation 1

-.583

**

**

*

-.476

-.283

-.347

Coefficient Sig. (2-tailed)

.000

.000

.010

.001

.

81

81

81

81

81

N

**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).


Hasil regresi setelah ditransformasi Coefficientsa

Model 1

Standardized

Coefficients

Coefficients

B (Constant)

a.

Unstandardized

Std. Error 2.450

1.185

LogSP

.444

.711

LogHP

-.462

LogVOL LogWT

Beta

t

Sig.

2.068

.042

.167

.624

.535

.302

-.632

-1.532

.130

-.024

.042

-.021

-.581

.563

-.584

.222

-.497

-2.625

.010

Dependent Variable: LogMGP

ANOVAb Sum of Model 1

Squares Regression Residual Total

df

Mean Square

1.315

4

.100

76

1.414

80

F

.329 250.959 .001

Sig. .000a


a. Predictors: (Constant), LogWT, LogVOL, LogSP, LogHP b. Dependent Variable: LogMGP

Hasil uji Rank Spearman setelah ditransformasi Correlations LogSP LogVOL LogHP LogWT Spearman's

LogSP

rho

Correlation

1.000

**

.302

.887

**

ABS_RES2

**

-.141

.687

Coefficient Sig. (2-tailed) N LogVOL

Correlation

.

.006

.000

.000

.210

81

81

81

81

81

.302**

1.000

.444**

.540**

-.159

.006

.

.000

.000

.157

81

81

81

81

81

.887**

.444**

1.000

.925**

-.097

.000

.000

.

.000

.390

81

81

81

81

81

.687**

.540**

.925**

1.000

-.079

.000

.000

.000

.

.482

81

81

81

81

81

-.141

-.159

-.097

-.079

1.000

.210

.157

.390

.482

.

81

81

81

81

81

Coefficient Sig. (2-tailed) N LogHP


LogWT


ABS_RE Correlation S2

Coefficient Sig. (2-tailed) N

**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

PENDETEKSIAN DAN PERBAIKAN HETEROSKEDASTISITAS DALAM REGRESI LINIER MENGGUNAKAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARES (WLS) DAN TRANSFORMASI VARIABEL SKRIPSI

Recommend Documents