PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE SKRIPSI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE

SKRIPSI

SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012

Skripsi

Sofia Utami Dewi Saputri Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.


PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE

SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Oleh : SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI NIM. 080710447

Tanggal Lulus : September 2012

Disetujui Oleh :

Pembimbing I

Pembimbing II

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001

ii Skripsi



LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul

: Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square

Penyusun

: Sofia Utami Dewi Saputri

NIM

: 080710447

Tanggal Ujian

: September 2012

Disetujui oleh : Pembimbing I

Pembimbing II

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001

Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002

iii Skripsi



PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

iv Skripsi



KATA PENGANTAR

Alhamdulillah. Segala Puji Syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga penyusunan skripsi dengan judul “Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square” dapat terselesaikan. Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar sarjana pada pogram studi Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, maka skripsi ini dapat tersusun. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada : 1. Kepada Ibunda saya tercinta Anna Laila Ahmad dan Ayahanda saya tercinta Anwar Shodiq (Alm.) atas segala dukungan dan doanya. 2. Kepada ketiga kakak saya, Evy Rosydiana dan mas Indun, Fuad Ahmadi dan mbak Ranty dan Ahmad Fauzi dan mbak Dian serta adik saya Bagus Pranoto Abdillah serta Saudara-saudara saya atas doa serta dukungannya. 3. Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si selaku dosen pembimbing I dan II yang telah memberikan bimbingan kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini dengan penuh keikhlasan dan kesabaran hingga selesainya skripsi ini. v Skripsi



4. Drs. Sediono, M. Si selaku dosen wali yang telah banyak membantu dalam kegiatan akademis selama Penulis belajar di Fakultas Sains dan Teknologi UNAIR. 5. Dr.Miswanto

selaku

KAPRODI

Matematika

sekaligus

KADEP

Matematika yang telah memberikan arahan dalam penyusunan skripsi. 6. Seluruh mahasiswa UNAIR angkatan 2007, khususnya mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2007 atas kerjasama, do’a dan dukungannya. 7. Sahabat-sahabat saya Herlina, Trisfiyanti, Uum, Tia, Arista dan Galuh terimakasih atas dukungan serta doa kalian semua. 8. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Semoga segala pengorbanan dan bantuan yang telah diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini mendapat imbalan dan amalan yang diridhoi Allah S.W.T. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.

Surabaya, September 2012 Penyusun

Sofia Utami Dewi Saputri

vi Skripsi



Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square. Skripsi ini di bawah bimbingan Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya ABSTRAK Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum likelihood dan metode Weighted least square. Proses estimasinya menggunakan algoritma Newton raphson dan Iteratively reweighted least square. Untuk penerapan pada data dibuat program menggunakan Software S-PLUS 2000 Perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum likelihood dan metode Weighted least square diterapkan pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti. Variabel respon yang digunakan adalah jumlah kematian larva Aedes aegypti (Y), sedangkan variabel prediktor yang digunakan adalah konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba (X1) dan lama waktu pengamatan (X2). Dari hasil analisa data diperoleh bahwa metode yang baik adalah metode Maximum likelihood dengan nilai Mean Square Error (MSE) dan Apparent Rate Error (APPER) yang terkecil , yaitu sebesar 0,6566313 dan 4,44%. Kata Kunci : Regresi logistik biner, Maximum Likelihood, Algoritma Newton Raphson, Weighted Least Square, Iteratively Rweighted Least Square dan Kematian larva Aedes aegypti.

vii Skripsi



Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Comparison of Results of Binary Logistic Regression Model Estimation Method Using Maximum Likelihood and Weighted Least Square Method. This thesis under the guidance of Toha Saifudin S. Si, M. Si and Drs. Suliyanto M. Si. Department of Mathematics, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya. ABSTRACT The purpose of this paper is to compare the results of binary logistic regression model was estimated using the method Maximum Likelihood and Weighted Least Square method. Estimation process using the Newton Raphson algorithm and Iteratively Reweighted Least Squares. For the application on the data use S-PLUS 2000 software. Comparison of the results of binary logistic regression model was estimated using the method of Maximum Likelihood and weighted least square method applied to the data of larvaside effectivity test of Neem leaf ethanol extract (Azadirachta indica) on Aedes aegypti larvae. The respon variable that is used is the mortality percentage of Aedes aegypti larvae (Y), while the predictor variables that are used are consentration of ethanol extract of Neem leaf (X1) and time of observation (X2). From the analysis og the data obtained is that a good method Maximum likelihood method with a value of Mean Square Error (MSE) and the Apparent Rate Error (APPER) is the smallest, that is equal to 0,6566313 and 4,44%. Key Word : Binary logistic regression, Maximum likelihood,Newton Raphson algorithm, Weighted Least Square, Iteratively Reweighted Least Square, Aedes aegypti larvae mortality.

viii Skripsi



DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL ...................................................................................... LEMBAR PERNYATAAN ....................................................................... LEMBAR PENGESAHAN ........................................................................ LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ..................................... KATA PENGANTAR ................................................................................ ABSTRAK .................................................................................................... ABCTRACT ................................................................................................. DAFTAR ISI ............................................................................................... DAFTAR TABEL ......................................................................................... DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................

i ii iii iv v vii viii ix xi xii

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................ 1.1 Latar Belakang Masalah .................................................... 1.2 Rumusan Masalah ............................................................. 1.3 Tujuan ............................................................................... 1.4 Manfaat ............................................................................. Batasan Masalah ................................................................ 1.5

1 1 4 4 5 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................... 2.1 Matriks .............................................................................. 2.2 Distribusi Binomial ............................................................. Regresi Logistik Biner ......................................................... 2.3 2.4 Turunan dalam Format Vektor ............................................. 2.5 Metode Maximum Likelihood ............................................. 2.6 Metode Weighted Least Square .......................................... 2.7 Matriks Pembobot Keluarga Generalized Linier Model ..... 2.8 Prosedur Klasifikasi ............................................................. 2.9 Mean Square Error (MSE)……………………………….. 2.10 Algoritma Newton Raphson ................................................. 2.11 S-PLUS 2000.................................... ................................... 2.12 Aedes aegypti ...................................................................... 2.13 Daun Mimba (Azadirachta indica) .....................................

6 6 7 7 9 10 10 11 12 13 13 14 17 19

BAB III METODE PENELITIAN .............................................................. 3.1. Estimasi model Regresi Logistik Biner .............................. 3.1.1. Metode Maximum Likelihood ................................... 3.1.2. Metode Weighted Least Square ............................... 3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square .......... 3.2. Membandingkan Metode MLE dengan Metode WLS ......... 3.3. Penerapan Model pada Data ................................................

21 21 21 23 24 25 26

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................

27

ix Skripsi



BAB V PENUTUP ........................................................................................ 5.1. Kesimpulan .......................................................................... 5.2. Saran ....................................................................................

44 44 45

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. LAMPIRAN

46

x Skripsi



DAFTAR TABEL

No

Judul Tabel

Halaman

2.1

Tabel Klasifikasi ................................................................................ 12

xi Skripsi



DAFTAR LAMPIRAN Nomor

Judul

1.

Data Kematian Larva Aedes aegypti

2.

Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER

3.

Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER

4.

Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE danAPPER

5.

Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER

6.

Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER

7.

Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER

xii Skripsi



BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Dalam bidang ilmu statistika, untuk mengetahui hubungan antara variabel respon dengan beberapa variabel prediktor dapat menggunakan analisis regresi linier. Dalam analisis regresi linier, variabel respon harus bersifat kuantitatif dengan skala pengukuran minimal interval. Variabel respon juga diasumsikan berdistribusi normal dan mempunyai ragam yang homogen (Rokhman, 2008). Pada realita di lapangan menunjukkan bahwa banyak penelitian yang menghasilkan respon dengan nilai “sukses” atau “gagal”. Bila variabel respon merupakan data kategorik termasuk data biner maka model regresi linier biasa tidak dapat digunakan untuk analisis. Salah satu analisis regresi untuk menganalisis variabel respon berskala biner adalah analisis regresi logistik (Rokhman, 2008). Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi logistik diantaranya adalah metode Maximum Likelihood, Weighted Least Square (WLS) dan Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS) dalam penyelesaian. Metode-metode estimasi tersebut telah dibahas oleh Agresti. Jika diterapkan terhadap sebuah kasus yang sama, metode-metode tersebut dapat menghasilkan estimator yang berbeda. Hal inilah yang menarik perhatian penulis

1 Skripsi



2

untuk membahas perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS dalam skripsi ini. Sebagai kriteria perbandingan, penulis menggunakan nilai Apparent Error Rate (APPER) dan Mean Square Error (MSE). APPER merupakan proporsi misklasifikasi (ketidaktepatan klasifikasi) estimasi terhadap kenyataan yang sebenarnya dari variabel respon. Nilai APPER berkisar dari semakin mendekati

hingga

. Jika nilai APPER

maka estimasi yang dilakukan semakin baik. Adapun

MSE merupakan ukuran rata-rata kuadrat kesalahan prediksi. Nilai MSE berupa bilangan riil non negatif. Jika nilai MSE semakin mendekati 0 maka estimasi yang dilakukan semakin baik. Sebagai contoh penerapan, dalam skripsi ini penulis mengambil kasus kematian larva Aedes aegypti akibat pemberian ekstrak daun mimba. Data yang penulis gunakan, diadopsi dari Aradilla (2009). Berdasarkan data tersebut penulis melakukan pemodelan regresi logistik menggunakan metode estimasi Maximum Likelihood dan WLS, selanjutnya membandingkan hasilnya menggunakan kriteria APPER dan MSE. Aedes aegypti merupakan jenis nyamuk yang dapat membawa virus dengue penyebab penyakit demam berdarah. Selain dengue, Aedes aegypti juga merupakan pembawa virus demam kuning (yellow fever) dan chikungunya. Penyebaran jenis ini sangat luas, meliputi hampir semua daerah tropis di seluruh dunia. Sebagai pembawa vius dengue, Aedes aegypti merupakan pembawa utama (primary vector) dan bersama Aedes Albopictus menciptakan siklus persebaran

Skripsi



3

dengue di desa dan kota. Aedes aegypti umumnya berkembang biak di rumah penduduk, sedangkan Aedes Albopictus lebih suka di cekungan dahan pohon yang menampung air (Judarwanto, 2007). Dalam Daniel (2008) dijelaskan bahwa tindakan pencegahan dengan memberantas sarang nyamuk dan membunuh larva serta nyamuk dewasa, merupakan tindakan yang terbaik. Dalam Aradilla (2009) disebutkan bahwa tanaman Mimba (Azadirachta indica) merupakan tanaman obat yang memiliki berbagai macam kegunaan. Salah satu kegunaannya adalah sebagai biopestisida (larvasida). Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Ndione, et all pada tahun 2007, dengan menggunakan biji daun mimba terhadap larva Aedes aegypti Linnaeus 1762, yang juga mengandung azadirachtin, salalinin, meliantriol, nimbin dan nimbidin, daun mimba mampu membunuh larva Aedes aegypti. Mimba tidak membunuh hama secara cepat namun memiliki mekanisme kerja menurunkan nafsu makan dan menghambat pertumbuhan dan reproduksi. Daya larvasida daun mimba berasal dari kandungan aktifnya yang disebut azadirachtin dan salanin. Senyawa-senyawa yang dikandung daun mimba itulah yang diduga dapat memberikan efek larvasida dari ekstrak ethanol daun mimba. Untuk mempermudah komputasi, penulis membuat pemrograman estimasi dan perbandingan hasil estimasi dengan menggunakan S-PLUS 2000 dan menerapkannya pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti.

Skripsi



4

1.2 Rumusan Masalah 1. Bagaimana hasil estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode Maximum Likelihood dan WLS ? 2. Bagaimana membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan kriteria nilai APPER dan MSE ? 3. Bagaimana menerapkan model regresi logistik biner pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti?

1.3 Tujuan 1. Mendapatkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan metode Maximum Likelihood dan metode WLS. 2. Membandingkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan kriteria nilai APPER dan MSE. 3. Mendapatkan metode yang baik diantara metode Maximum Likelihood dan WLS pada pemodelan regresi logistik untuk data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti.

Skripsi



5

1.4 Manfaat 1. Menambah referensi dan wawasan mengenai estimasi parameter model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, Weighted Least Square. 2. Secara teoritis akan memberikan tambahan wawasan terhadap ilmu statistika terutama tentang model regresi logistik. 3. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai salah satu referensi untuk mengetahui metode-metode yang lebih baik diantara Maximum Likelihood dan WLS dalam mengestimasi parameter model regresi logistik biner.

1.5 Batasan Masalah Perbandingan dilakukan secara empiris. Kriteria perbandingan hasil estimasi dari metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan nilai APPER (Apparent Error Rate) dan MSE (Mean Square Error).

Skripsi



BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Matriks Definisi 2.1 Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan yang disajikan di dalam kurung besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri atau elemen matriks. Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari n baris dan k kolom adalah :

Matriks tersebut dapat disajikan dalam notasi matriks yaitu

,

i = 1, 2, …, n dan j =1, 2, …, k (Anton, 2005). Jika M adalah matriks berukuran nxm maka transpose dari M dinotasikan yang didefinisikan sebagai matriks yang berukuran mxn yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolom dari matriks M (Anton, 2005). Definisi 2.2 Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya adalah nol kecuali elemen pada diagonal utama. Jadi matriks diagonal jika

untuk

disebut

(Anton, 2005).

6 Skripsi



7

Definisi 2.3 Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA = I. Dalam hal ini invers matriks A dinotasikan

. Matriks yang mempunyai

invers disebut matriks non singular (Anton, 2005).

2.2. Distribusi Binomial Distribusi Binomial merupakan suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Dimisalkan

maka fungsi probabilitasnya adalah

(Jeff Gill, 2001) : (2.1) Jika

berdistribusi binomial maka

mempunyai rata-rata dan variansi (Agresti,

2002) sebagai berikut : Rata-rata : Varian :

2.3. Regresi Logistik Biner Regresi logistik biner adalah suatu analisis regresi yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara variabel respon (outcome or dependent) berskala

Skripsi

biner

dengan

sekumpulan

variabel

prediktor

(explanatory

or



8

independent) bertipe kategorik maupun numerik (Agresti, 1990). Variabel berskala biner adalah variabel yang memiliki dua kemungkinan (sukses atau gagal) (Ricki Indra P, 2009). Misalkan Y variabel respon dengan nilai sukses atau gagal dan merupakan nilai dari variabel prediktor, maka bentuk model regresi logistik adalah (Hosmer dan Lemeshow, 2000) :

(2.2) Fungsi

merupakan fungsi nonlinier sehingga perlu dilakukan

transformasi dengan menggunakan transformasi logit untuk memperoleh fungsi yang linier agar dapat dilihat hubungan antara variabel respon y dengan variabel prediktor Fungsi logit dari model

(Hosmer dan Lemeshow, 2000). pada persamaan (2.2) adalah

(2.3)

Skripsi



9

2.4. Turunan dalam Format Vektor Definisi 2.4 Misalkan A matriks berukuran k x k dan vektor kolom berukuran k x 1 dari variabel real, maka

adalah disebut

bentuk kuadratik dalam y dan A disebut matriks dari bentuk kuadratik (Suliyanto, 2010). Definisi 2.5 Diasumsikan bahwa skalar z dapat ditulis sebagai fungsi dari k variabel dan dinyatakan sebagai berikut :

dengan

merupakan vektor kolom yang mempunyai elemen ke-i adalah

, sehingga

Aturan Differensial Beberapa aturan differensial untuk vektor (Suliyanto, 2010) : 1. Misalkan z = a’y, dengan a adalah vektor scalar, maka 2. misalkan z = y’y, maka

Skripsi



10

3. misalkan z = y’Ay, dengan A adalah matriks berukuran k x k, maka

2.5. Metode Maximum Likelihood Misalkan suatu distribusi PDF bersama antara

merupakan variabel random identik independen dari , untuk

dengan

adalah

ruang parameter. PDF Jika PDF bersama

tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap

maka dinamakan fungsi Likelihood

yang dinotasikan L atau ditulis :

memaksimumkan fungsi likelihood

Jika statistik

, maka statistik likelihood estimator (MLE) dari

adalah maximum

(Hogg and Craig, 1995).

2.6. Metode Weighted Least Square Menurut Suliyanto, dalam sebagian pengamatan yang digunakan dalam analisis regresi biasanya mengalami sebuah penyimpangan asumsi galat. Penyimpangan tersebut biasanya terlihat dari

, melainkan suatu

matriks diagonal dengan unsur-unsur pada diagonal utama tidak sama. Dimisalkan terdapat sebuah model regresi :

Skripsi



11

(2.4) dengan dan

(2.5)

Dari (2.5) dapat dilihat bentuk penyimpangannya, yaitu matriks

, hal

ini mengakibatkan rumus pendugaan kuadrat terkecil

tidak

berlaku, sehingga perlu mengubah prosedur untuk memperoleh nilai dugaan tersebut yaitu menggunakan estimator WLS. Prinsip dari metode ini adalah mencari nilai parameter

yang meminimumkan fungsi

. Sehingga

diperoleh (2.6)

2.7. Matriks Pembobot Keluarga Generalized Lnier Model (GLM) Residual tidak identik mengakibatkan var(i) tidak sama untuk setiap i, dinotasikan var(i) =  i2 (Pada OLS var(i) = 2). Agar i memenuhi asumsi identik maka dilakukan transformasi, dengan cara mengalikan i dengan

, atau

vektor  dengan matriks W-1 dari sisi kiri. W adalah matrik diagonal dengan elemen (Agresti, 2002) (2.7)

dengan

Skripsi



12

dan

komponen kolom W. Matrik diagonal yang elemennya terdiri dari

komponen vektor W dinamai Matrik Pembobot (Wiwiek, S. W., 2009).

2.8. Prosedur Klasifikasi Evaluasi prosedur klasifikasi adalah suatu evaluasi yang melihat peluang kesalahan klasifikasi yang dilakukan oleh suatu fungsi klasifikasi. Ukuran yang dipakai adalah apparent error rate (APER). Nilai APER menyatakan nilai proporsi sampel yang salah diklasifikasikan oleh fungsi klasifikasi (Johnson dan Wichern, 1992; Alvin C. R., 2002). Penentuan kesalahan pengklasifikasian dapat diketahui melalui tabel klasifikasi berikut : Table 2.1 Tabel Klasifikasi Actual Group

Number of Observation

Predicted Group 1 2

1 2

Keterangan : = Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 tepat diklasifikasikan pada = Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 salah diklasifikasikan pada = Jumlah pengamatan dari Actual Group 2 salah diklasifikasikan pada = Jumlah pengamatan dari Actual Group 2 tepat diklasifikasikan pada

Skripsi



13

(merupakan jumlah pengamatan Actual Group 1) (merupakan jumlah pengamatan Actual Group 2) Predicted Group of 1 Predicted Group of 2 Apparent Error Rate (dalam %)

(2.8)

2.9. Mean Square Error (MSE) Dalam statistika, Mean Square Error atau MSE dari suatu estimator adalah nilai ekspektasi dari kuadrat error. Definisi 2.4 MSE dari estimator

terhadap parameter

didefinisikan sebagai berikut

(Johnson, 2004) (2.9)

2.10. Algoritma Newton Raphson Algoritma Newton Raphson adalah suatu metode iterasi numerik yang dapat digunakan untuk menghitung hampiran akar-akar sistem persamaan linier dan tidak linier. Misalkan

adalah vektor berdimensi n dan

merupakan fungsi

berdimensi n sedemikian hingga

Skripsi



14

dan

(2.10)

Prinsip dari metode Newton Raphson adalah mencari nilai

yang

. Untuk memperoleh

memenuhi persamaan persamaan

yang memenuhi

dengan memperbaharui proses iterasi terhadap

adalah

(Lawless, 1982) (2.11)

,H

dengan

dan t adalah indeks

iterasi.

2.11. S-PLUS 2000 Menurut Everit (1994), S-Plus adalah suatu paket program yang memungkinkan membuat program sendiri walaupun di dalamnya sudah tersedia banyak program internal yang siap digunakan. Kelebihan dari paket program ini adalah baik program internal maupun yang pernah dibuat dapat digunakan sebagai subprogram yang akan dibuat. Beberapa perintah internal yang digunakan dalam S-PLUS 2000 diantaranya: a.

function ( ) Merupakan perintah untuk menunjukkan fungsi yang akan digunakan dalam program.

Skripsi



15

Bentuknya : function(...) b.

length ( ) Merupakan perintah length( )digunakan untuk menunjukkan banyaknya data. Bentuknya : length(...)

c.

for ( ) Merupakan perintah for ( ) digunakan untuk mengulang satu blok pernyataan berulang kali sesuai dengan kondisi yang telah ditentukan. Bentuknya: for(kondisi){pernyataan}

d.

sum ( ) Merupakan perintah untuk menjumlahkan semua anggota dari suatu vektor. Bentuknya : sum(...)

e.

cat ( ) Merupakan perintah untuk menuliskan argumentasi dalam bentuk karakter dan kemudian mencetak hasil atau file yang telah ditetapkan. Bentuknya : cat(”...”)

f.

rep (a,b) Merupakan perintah untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a sebanyak b. Bentuknya : rep(...,...)

Skripsi



16

g.

matrix(a,b,c) merupakan perintah untuk membentuk sebuah matrik yang anggotanya a dengan jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c. Bentuknya : matrix(...,...,...)

h.

if else Merupakan perintah untuk menjalankan pernyataan pertama jika kondisi benar dan pernyataan kedua akan dieksekusi jika kondisi bernilai salah. Bentuknya : if(kondisi)pernyataan pertama else pernyataan kedua

i.

win.graph() merupakan perintah awal dalam membuat gambar Bentuknya : win.graph( )

j.

plot() merupakan perintah untuk membuat plot atau grafik Bentuknya : plot(x, y, ...)

k.

while merupakan perintah untuk mengulang satu blok pernyataan terus menerus selama kondisi ungkapan logika pada while berlaku benar. Bentuknya : while(logika) {

pernyataan

}

Skripsi



17

l.

repeat merupakan perintah untuk mengulang eksekusi pernyataan secara terus menerus, sehingga diperlukan pernyataan lain untuk menghentikan perulangan eksekusi. Bentuknya : repeat {

pernyataan if(pernyataan kedua) break

}

2.12. Aedes aegypti 2.12.1. Morfologi Aedes aegypti Menurut Sudarto (1972) secara umum nyamuk Aedes aegypti sebagaimana serangga lainnya mempunyai bentuk morfologi sebagai berrikut: a.

Terdiri dari tiga bagian, yaitu : kepala, dada, dan perut

b.

Pada kepala terdapat sepasang antena yang berbulu dan moncong yang panjang (proboscis) untuk menusuk kulit hewan atau manusia dan menghisap darahnya.

c.

Pada dada ada 3 pasang kaki yang beruas serta sepasang sayap depan dan sayap belakang yang mengecil yang berfungsi sebagai penyeimbang (halter).

Skripsi



18

2.12.2 Siklus Hidup Aedes aegypti Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti secara sempurna terdiri dari 4 (empat) stadium, yaitu telur, larva, pupa, dan dewasa (Sudarto, 1972; Cahyaningsih, 2011). 1. Telur Pada waktu dikeluarkan, telur aedes berwarna putih, dan berubah menjadi hitam dalam waktu 30 menit. Telur dapat bertahan sampai berbulanbulan dalam suhu

–

, namun akan menetas dalam waktu 1 – 2 hari

pada kelembaban rendah. Telur yang diletakkan di dalam air kan menetas dalam waktu 1 – 3 hari pada suhu

, tetapi membutuhkan waktu 7 hari

. Pada kondisi normal, telur Aedes aegypti yang direndam di

pada suhu

dalam air akan menetas sebanyak 80% pada hari pertama dan 95% pada hari kedua. 2. Larva Setelah menetas, telur akan berkembang menjadi larva (jentik-jentik). Pada stadium ini, kelangsungan hidup larva dipengaruhi suhu, pH air perindukan, ketersediaan makanan, cahaya, kepadatan larva, lingkungan hidup, serta adanya predator. Temperatur optimal untuk perkembangan larva ini adalah

–

. Larva berubah menjadi pupa memerlukan waktu 4 – 9

hari dan melewati 4 fase atau biasa disebut instar. Perubahan instar tersebut disebabkan larva mengalami pengelupasan pada kulit atau biasa disebut ecdisi/moulting.

Skripsi



19

3. Pupa Larva instar IV akan berubah menjadi pupa yang berbentuk bulat gemuk menyerupai tanda koma. Untuk menjadi nyamuk dewasa diperlukan 21 waktu 2 – 3 hari. Suhu untuk perkembangan pupa yang optimal adalah sekitar –

. Stadium pupa tidak memerlukan makanan. Bentuk nyamuk dewasa

timbul setelah sobeknya selongsong pupa oleh gelembung udara karena gerakan aktif pupa. 4. Dewasa Setelah keluar dari selongsong pupa, nyamuk akan diam beberapa saat di selongsong pupa untuk mengeringkan sayapnya. Nyamuk betina dewasa menghisap darah sebagai makanannya, sedangkan nyamuk jantan hanya makan cairan buah-buahan dan bunga. Nyamuk dapat hidup dengan baik pada suhu –

dan akan mati bila berada pada suhu

Nyamuk dapat hidup pada suhu

–

dalam 24 jam.

Rata-rata lama hidup nyamuk

betina Aedes aegypti selama 10 hari.

2.13. Daun Mimba (Azadirachta indica) Tanaman mimba (Azadirachta indica) termasuk familia Meliaceae. Mimba, terutama dalam biji dan daunnya mengandung beberapa komponen dari produksi metabolit sekunder yang diduga sangat bermanfaat, baik dalam bidang pertanian (pestisida dan pupuk), maupun farmasi (kosmetik dan obat-obatan). Diantaranya adalah azadirachtin, salanin, meliantriol, nimbin dan nimbidin yang merupakan

Skripsi



20

kandungan bermanfaat baik dalam bidang pertanian (pestisida dan pupuk) maupun farmasi (kosmetik dan obat-obatan) (Kardiman dkk, 2004, Cahyaningsih, 2011). Daun mimba dan biji mimba bisa digunakan sebagai antibiotik, antimikroba, antifungi, antihelmintik dan antivirus. Selain itu daun mimba dapat digunakan untuk menurunkan gula darah, menyembuhkan penyakit kulit (Csurhes, 2008), memiliki efek gastro protektif pada mukosa lambung terhadap ulkus peptikum, menurunkan total kolesterol dalam darah, LDL- and VLDL-cholesterol, triglyserid dan total lipid dalam serum (Chattopadhyay dkk, 2005, Cahyaningsih, 2011). Efek primer azadirachtin terhadap serangga berupa antifeedant dengan menghasilkan stimulan detteren spesifik berupa reseptor kimia (chemoreseptor) pada bagian mulut (mouth part) yang bekerja bersama-sama dengan reseptor kimia yang mengganggu persepsi rangsangan untuk makan (phagostimulant). Sedangkan efek sekunder Azadirachtin yang dikandung mimba berperan sebagai ecdyson blocker atau zat yang dapat menghambat kerja hormon ecdyson, yaitu hormon yang berfungsi dalam menghambat metamorfosa serangga sehingga dapat mengakibatkan kematian pada serangga (Samsudin, 2008; Cahyaningsih, 2011).

Skripsi



BAB III METODE PENULISAN

Metode penulisan yang digunakan dalam penelitian ini melalui langkahlangkah sebagai berikut ini: 3.1.

Estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode : 3.1.1. Maximum Likelihood Estimation (MLE) dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1. Mengasumsikan data yang mempunyai struktur i 1. 2.

N

dengan

jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i ukuran sampel pengamatan ke- i nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari pengamatan ke- i

21 Skripsi



22

dan memenuhi model logit

dengan

,

,

dan Langkah 2. Menentukan fungsi likelihood berdasarkan model logit. Langkah 3. Menentukan fungsi log likelihood. Langkah 4. Menentukan differensial parsial fungsi log likelihood terhadap parameter dan disamadengankan nol. Langkah 5. Mencari nilai

yang memaksimumkan fungsi log likelihood dengan cara

menyelesaikan persamaan-persamaan pada langkah 4. Jika masih dalam bentuk implisit, maka digunakan metode numerik. Dalam skripsi ini digunakan metode Newton Raphson.

Skripsi



23

3.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS) dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1. Mengasumsikan data yang mempunyai struktur i 1. 2.

N

dengan

banyaknya peluang sukses dalam sampel pengamatan ke- i ukuran sampel pengamatan ke- i nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari pengamatan ke- i

dan memenuhi fungsi logit

dengan

,

dan

Skripsi



24

Langkah 2. Menyatakan model regresi logistik dalam bentuk matriks

,

dengan

, dan

dan diasumsikan

.

Langkah 3. Mendefinisikan fungsi jumlah kuadrat galat

dengan

dan Langkah 4. Mencari nilai

yang meminimumkan fungsi Q dengan cara menurunkan

fungsi Q terhadap

dan disamadengankan nol.

Langkah 5. Menyelesaikan mendapatkan

persamaan estimasi

yang

parameter

diperoleh

dari

model

regresi

langkah logistik

4

untuk dengan

menggunakan metode WLS. 3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1. Menentukan nilai awal matriks pembobot

Skripsi

.



25

Langkah 2. Menentukan nilai estimator

dengan menggunakan rumus yang telah

didapat dari metode WLS berdasarkan

.

Langkah 3. Menentukan kembali matriks pembobot nilai

yang dihitung berdasarkan

.

Langkah 4. Menentukan kembali nilai estimator

dengan menggunakan rumus yang

telah diperoleh dari metode WLS berdasarkan

.

Langkah 5. Proses yang sama untuk mendapatkan

dan seterusnya sampai

konvergen. 3.2.

Membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan metode MLE dengan metode WLS berdasarkan kriteria nilai APPER dan MSE dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1. Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode. Langkah 2. Membandingkan kedua nilai APPER dan MSE yang telah diperoleh.

Skripsi



26

Langkah 3. Mendapatkan metode yang lebih baik yaitu metode yang mempunyai nilai APPER dan nilai MSE terkecil. 3.3.

Menerapkan model regresi logistik biner pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti dengan langlah-langkah sebagai berikut : Langkah 1. Input data. Langkah 2. Menaksir parameter regresi logistik biner pada data tersebut dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, metode WLS dan IRWLS. Langkah 3. Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode. Langkah 4. Membandingkan kedua nilai APPER dan MSE yang telah diperoleh. Langkah 5. Mendapatkan metode yang lebih baik yaitu metode yang mempunyai nilai APPER dan nilai MSE terkecil.

Skripsi



BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter model regresi logistik, dilengkapi dengan algoritma untuk pemrograman komputasi estimator. Selanjutnya diuraikan prosedur untuk perhitungan APPER dan MSE. Pada akhir bab ini akan disajikan contoh penerapan pemodelan regresi logistik pada kasus uji efektifitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba terhadap larva Aedes aegypti. Pada contoh kasus tersebut dilakukan estimasi parameter model regresi logistik dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, WLS dan IRWLS. Selanjutnya dibandingkan hasil estimasi dari ketiga metode tersebut dengan kriteria APPER dan MSE untuk mendapatkan metode yang lebih baik. 4.1. Estimasi Parameter Model Regresi Logistik Misalkan Y adalah variabel respon yang menyatakan jumlah sukses dalam sampel berukuran n dengan probabilitas sukses . x1, x2, …, xk adalah variabelvariabel prediktor yang berpengaruh terhadap probabilitas sukses

. Misalkan

dalam sebuah penelitian dicatat data pengamatan dengan struktur sebagai berikut : i 1. 2.

N

27 Skripsi



28

dengan

jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i ukuran sampel pengamatan ke- i nilai-nilai prediktor ke- 1 sampai ke- k dari pengamatan ke- i

dan memenuhi model logit

dengan

,

,

dan Berikut ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter . 4.1.1. Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) Jika diasumsikan

independen identik dari distribusi Binomial

maka fungsi likelihood untuk model regresi logistik biner adalah (4.1) Secara matematis akan lebih mudah jika persamaan (4.1) dibawa ke fungsi log likelihood

dan memaksimalkan log Likelihood yang dinotasikan

dengan cara mendifferensialkan

terhadap

, yaitu

lalu menyamakan dengan nol.

Untuk tujuan tersebut, berikut ini adalah fungsi log likelihood :

Skripsi



29

Karena

Skripsi

maka



30

(4.2) Selanjutnya persamaan (4.2) diturunkan terhadap

. Hasil penurunan

tersebut disamadengankan nol sehingga diperoleh :

Skripsi



31

Sehingga diperoleh persamaan umumnya (4.3)

dengan

Selanjutnya estimator

diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan (4.3).

Namun persamaan (4.3) masih dalam bentuk implisit dan tidak bisa diselesaikan, sehingga dibutuhkan metode numerik. Dalam skripsi ini digunakan metode Newton Raphson. Berdasarkan iterasi Newton Raphson dalam (2.11), maka berikut ini akan ditentukan turunan kedua dari fungsi log likelihood terhadap masing-masing parameter.

Skripsi



32

Skripsi



33

Sehingga diperoleh persamaan umumnya (4.4) Dari (4.3) diperoleh vektor kolom berikut :

Dari (4.4) diperoleh matriks persegi Hessian

dengan

Algoritma iterasi Newton Raphson untuk mendapatkan nilai

melalui langkah-

langkah sebagai berikut : 1. Masukkan nilai dugaan awal yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil (OLS)

kemudian masukkan 2. Menentukan

dan

pada persamaan (2.2). .

3. Untuk m > 0 dengan menggunakan

Skripsi



34

Nilai

digunakan untuk mencari

dan

. Kemudian diperoleh nilai

sehingga diperoleh nilai , dan seterusnya untuk setiap j

sampai mencapai

dengan

adalah tingkat ketelitian, misalkan

.

4.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS) Misalkan model logit

dengan asumsi

.

Estimator parameter regresi logistik dapat diperoleh dengan menggunakan metode WLS, diperoleh dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat terboboti . Misalkan terdapat suatu matriks non singular P yang bersifat , maka dengan mengalikan kedua sisi pada model logit dengan diperoleh

dengan

dengan

. Sehingga

fungsi Q dapat diuraikan sebagai berikut :

Skripsi



35

Syarat cukup agar fungsi Q mencapai nilai minimum adalah

Maka diperoleh estimasi parameter model regresi logistik (4.5) Berdasarkan (2.7), maka elemen-elemen dari Matriks pembobot untuk model regresi logistik ini adalah (4.6)

4.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS) Metode ini dikembangkan dari metode WLS. Berdasarkan (4.6) dapat dilihat bahwa elemen pembobot

Skripsi

masih tergantung pada

. Jika diambil



36

maka dalam persamaan (4.6) terlihat bahwa pembobot estimator

. Oleh karena itu, jika estimator

masih terdapat

yang telah diperoleh dari (4.5)

selanjutnya digunakan untuk menghitung pembobot yang baru dan menghitung ulang nilai estimator

yang baru, demikian seterusnya maka metode seperti ini

disebut Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS). Untuk lebih jelasnya, berikut akan diberikan langkah-langkah IRWLS dalam model regresi logistik : dengan menggunakan persamaan (4.6).

i.

Menentukan

ii.

Menghitung

iii.

Menghitung

iv.

Melakukan perhitungan iterasi dengan

dengan menggunakan persamaan (4.5)

dan seterusnya maka

dan v.

Jika

maka proses iterasi dihentikan. Jika tidak maka

hitung :

dan kembali ke langkah iv.

Skripsi



37

4.2. Membandingkan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode ML dan Metode WLS berdasarkan Kriteria Nilai APER dan MSE Setelah mendapatkan hasil estimasi dari metode Maximum Likelihood dan metode WLS maka langkah selanjutnya adalah membandingkan kedua hasil estimator tersebut berdasarkan kriteria nilai APPER dan MSE. Untuk itu, berikut ini akan diuraikan terlebih dahulu cara menghitung APPER dan MSE. Berdasarkan struktur data sebelumnya, berikut ditulis kembali penggalan struktur data beserta probabilitas sukses dan estimasinya : i

Kelompok

Prediksi Kelompok

1. 2. 3.

N

Pengisian kelompok dan prediksi kelompok adalah dengan cara sebagai berikut : i. Jika

maka

ii. Jika

maka

, sebaliknya jika , sebaliknya jika

maka maka

. .

Selanjutnya diisi dengan nilai-nilai berikut : banyaknya pengamatan dengan nilai

Skripsi

dan



38

untuk i = 1, 2, …, N. banyaknya pengamatan dengan nilai

dan


dan


dan

untuk i = 1, 2, …, N. Selanjutnya APPER dihitung dengan rumus : APPER

Sedangkan MSE dihitung dengan rumus : (4.7) dengan

dan

4.2.1. Metode ML Telah diketahui hasil estimasi model regresi logistik biner dari metode maximum likelihood

pada persamaan (4.6) berupa bentuk implisit maka

digunakan metode numerik dengan ditentukan nilai

awal terlebih dahulu lalu

dimasukkan dalam persamaan (2.2). Kemudian menentukan matrik u dan matrik

Skripsi



39

Hessian H. Setelah melalui proses iterasi, maka diperoleh nilai

. Kemudian

ditentukan nilai MSE dan APPER. 4.2.2.Metode WLS Telah diketahui hasil estimasi model regresi logistik biner dari metode WLS pada persamaan (4.5) maka ditentukan nilai mendapatkan nilai menentukan nilai

terlebih dahulu untuk

lalu disubstitusikan dalam persamaan (4.5). Kemudian . Setelah mendapatkan nilai

, selanjutnya hitung nilai

APPER dan MSE. 4.2.3.Metode IRWLS Metode IRWLS dalam menentukan nilai WLS. Namun terlebih dahulu hitung nilai

sama halnya dengan metode lalu disubstitusikan ke persamaan

(4.5). Kemudian dengan melalui proses iterasi IRWLS, maka diperoleh nilai yang terkecil yang mendekati nol. Kemudian ditentukan nilai MSE dan APPER. Setelah mendapatkan nilai MSE dan APPER dari masing-masing metode, lalu dibandingkan. Nilai MSE dan APPER yang paling kecil itulah metode yang baik. 4.3. Menerapkan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner pada Data Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap Larva Aedes aegypti 4.3.1.Data Dalam skripsi ini, penulis menggunakan data dari hasil penelitian Aradilla (2009) dalam tugas akhirnya. Penelitian tersebut mengenai uji efektivitas

Skripsi



40

larvasida ekstrak ethanol daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti. Variabel respon dari data tersebut adalah jumlah kematian larva Aedes aegypti. Sedangkan variabel prediktor yang digunakan adalah konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba dalam g/L aegypti dalam jam

dan lama waktu pengamatan larva Aedes

. Data selengkapnya dapat dilihat di lampiran 1.

4.3.2. Analisa Data Langkah awal dalam menganalisa data ini adalah membuat struktur data sesuai model regresi logistik biner seperti berikut ini i 1. 2.

N dengan : jumlah larva nyamuk Aedes aegypti yang mati jumlah larva nyamuk Aedes aegypti keseluruhan konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba g/L lama waktu pengamatan larva Aedes aegypti dalam jam Kemudian data dimasukkan pada masing-masing metode.

Skripsi



41

4.3.2.1. Metode ML Terlebih dahulu menentukan nilai

awal dengan menggunakan metode

OLS (program lihat pada Lampiran 2) dan diperoleh

(hasil output lihat pada

Lampiran 5.a)

Kemudian melalui proses iterasi dengan menggunakan algoritma Newton Raphson (program lihat pada Lampiran 2) maka diperoleh estimator

(hasil output lihat

pada Lampiran 5.b)

Lalu dimasukkan kedalam persamaan (2.3) maka diperoleh hasil estimasi dan model regresi logistik biner sebagai berikut :

Berdasarkan hasil output pada Lampiran 5.c, maka diperoleh nilai MSE yaitu 0,6566313. Untuk APPER, berikut akan diuraikan perhitungannya : Berdasarkan hasil output pada Lampiran 5.c maka : 27

1

1

16

maka nilai APPER-nya adalah

Skripsi



42

APPER 4.3.2.2. Metode WLS Langkah awal pada metode ini adalah ditentukan nilai Kemudian substitusikan ke didapatkan

.

dan persamaan (4.5), maka akan

(hasil output lihat pada Lampiran 6.a)

Sehingga model regresi logistik biner menjadi

Berdasarkan hasil output pada Lampiran 6.b maka diperoleh nilai MSE yaitu 0,8861757. Untuk nilai APPER, berikut akan diuraikan perhitungannya : Berdasarkan hasil output pada Lampiran 6.b maka : 25

0

3

17

maka nilai APPER-nya adalah APPER 4.3.2.3. Metode IRWLS Langkah awal pada metode ini adalah ditentukan nilai menggunakan persamaan (2.7) dengan

Skripsi

dengan

. Kemudian menghitung



43

nilai

dengan

sampai

dengan

melalui proses iterasi (program lihat pada Lampiran 4) sehingga mendapatkan hasil estimasi

Maka model regresi logistik biner adalah

Berdasarkan hasil output pada Lampiran 7.b maka diperoleh nilai MSE 0,6763576. Untuk nilai APPER, berikut akan diuraikan perhitngannya : Berdasarkan hasil output pada Lampiran 7.b maka : 26

1

2

16

maka nilai APPER-nya adalah APPER Setelah mendapatkan nilai MSE dan APPER dari masing-masing metode, langkah selanjutnya adalah membandingkan metode-metode tersebut. Dari hasil yang diperoleh, menunjukkan bahwa nilai MSE dan APPER pada metode maximum likelihood adalah 0,6566313 dan 4,44%. Sedangkan pada metode WLS nilai MSE

Skripsi



44

dan APPER pada metode WLS adalah 0,8861757 dan 6,67%. Dan nilai MSE dan APPER pada metode IRWLS adalah 0,6763576 dan 6,67%.

Skripsi



BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan Dari hasil pembahasan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan sebagai berikut : 1. Hasil estimasi parameter model regresi logistik biner adalah sebagai brikut : a. Berdasarkan metode Maximum likelihood : Estimator

diperoleh dengan menyelesaikan system

persamaan

dengan

menggunakan metode numerik.

b. Berdasarkan metode WLS : Estimator

dengan

diperoleh dengan rumus

,

c. Berdasarkan metode IRWLS : Estimator

diperoleh dengan iterasi

44 Skripsi



45

dengan

,

, adalah indeks iterasi. 2. Perbandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner yang lebih baik dari metode Maximum Likelihood, metode WLS dan IRWLS berdasarkan kriteria nilai MSE dan APPER diperoleh dengan memilih nilai MSE dan APPER yang terkecil. 3. Berdasarkan hasil penerapan pada kasus uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti maka diperoleh metode yang lebih baik adalah metode Maximum Likelihood dengan nilai MSE dan APPER masing-masing adalah 0,6566313 dan 4,44%.

5.2. Saran 1. Berdasarkan hasil yang telah diperoleh, maka penulis menyarankan penggunaan metode Maximum likelihood dalam pemodelan regresi logistik biner. 2. Perbandingan dikembangkan

hasil

estimasi

untuk

dengan

pembahasan

ketiga

pada

metode

model

ini

regresi

dapat logistik

multinomial atau ordinal.

Skripsi



DAFTAR PUSTAKA

1. Agresti, A., 2002, Categorical Data Analysis, John Wiley and Sons, Inc, New York 2. Anton, H., 2005, Elementary Linear Algebra Ninth Edition, John Wiley & Sons, Inc, Canada 3. Aradilla, A.S., 2009, Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti, Laporan Akhir Penelitian, Fakultas Kedokteran Universitas Diponegoro, Semarang 4. Cahyaningsih, T, 2011, Estimasi Model Regresi Probit Nonparametrik Aditif Berdasarkan Estimator Kernel, Skripsi, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya 5. Chattopadhyay RR and Bandyopadhyay M., 2005, Effect of Azadirachta indica Leaf Extract on Serum Lipid Profile Changes in Normal and Streptozotocin Induced Diabetic Rats, African Journal of Biomedical Research, Vol. 8; 101 – 104 ISSN 1119 – 5096 © Ibadan Biomedical Communications Group 6. Csurhes S., 2008, Pest Plant Risk Assessment, Neem Tree (Azadirachta indica), Department of Primary Industries and Fisheries, Queensland, Australia 7. Danardono, Dr., MPH, 2006, Bahan Ajar Biostatistika dan Epidemiologi, Jurusan Matematika, FMIPA UGM, Yogyakarta 8. Daniel, 2008, Ketika Larva dan Nyamuk Dewasa Sudah Kebal Terhadap Insektisida, FARMACIA Vol.7 No.7 9. Everiit, S, 1994, A Handbook of Statistical Analysis Using S-PLUS, Chapman & Hall, London 10. Grill, J., 2001, Generalized Linier Model: A Unified Approach, University of Florida, London 11. Hosmer, D.W. dan S. Lemeshow, 2000, Applied Logistic Regression, John Wiley and Sons, Inc, New York

46 Skripsi



47

12. Indra, P., R., 2009, Faktor-faktor Yang Mempengaruhi Resiko Penyebab Penderita Kanker Payudara Dengan Menggunakan Pendekatan Regresi Logistik, Makalah, Mahasiswa Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya 13. Johnson, R. A. dan Wichern, D. W., 1992, Applied Multivariate Statistical Analysis, Prentice Hall, New Jersey 14. Judarwanto SpA, Dr. Widodo, 2007, Profil Nyamuk Aedes dan Pembasmiannya, Artikel, http://medicastore.com/artikel/184/Profil_Nyamuk_Aedes_dan_Pembasmi annya.html, download tanggal 1 Agustus 2012 15. Kardiman, A. dan Dhalimi A., 2003, Mimba (Azadirachta indica A.Juss) Tanaman Multi Manfaat. Perkembangan Teknologi TRO Vol. XV, No. 1 16. Rencher, Alvin C., 2002, Methods of Multivariate Analysis, John Wiley and Sons, Inc, New York 17. Rokhman, M. S., 2008, Perbandingan Antara Model Logit Dengan Probit Sebagai Regresi Untuk Peubah Respon Kategori, Jurnal OSEATEK UPS, Tegal 18. Samsudin, 2008, Azadirachtin Metabolit Sekunder dari Tanaman Mimba sebagai Bahan Insektisida Botani, Lembaga Pertanian Sehat 19. Sudarto, 1972, Atlas Entomologi Kedokteran, EGC, Jakarta 20. Winahju, W. S., 2009, Bahan Ajar Regresi Terboboti (Weighted Regression atau Weighted Least Square, http://oc.its.ac.id/jurusan.doc, 27 Maret 2012

Skripsi



Lampiran 1 : Data Kematian Larva Aedes aegypti No.

Skripsi

Larva mati

Jumlah

(ekor)

larva (ekor)

1.

1

75

2.5

36

2.

4

75

2.5

48

3

8

75

2.5

60

4

10

75

2.5

72

5

11

75

2.5

84

6

13

75

2.5

96

7

15

75

2.5

108

8

16

75

2.5

120

9

19

75

2.5

144

10

21

75

2.5

156

11

22

75

2.5

168

12

2

75

5

12

13

10

75

5

24

14

11

75

5

36

15

17

75

5

48

16

22

75

5

60

17

32

75

5

72

18

33

75

5

96

19

34

75

5

108

20

37

75

5

120

21

41

75

5

132

22

42

75

5

156

23

45

75

5

168

24

3

75

10

12

25

9

75

10

24

26

17

75

10

36

27

27

75

10

48

28

30

75

10

60

29

32

75

10

72

30

34

75

10

84

31

38

75

10

96

32

40

75

10

108



33

43

75

10

120

34

47

75

10

132

35

50

75

10

144

36

51

75

10

156

37

56

75

10

168

38

9

75

20

12

39

51

75

20

24

40

62

75

20

36

41

66

75

20

48

42

67

75

20

60

43

68

75

20

72

44

73

75

20

84

45

74

75

20

96

Keterangan:

Sumber : Aradilla, Ashry Sikka, 2009, Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti, Laporan Akhir Penelitian, Fakultas Kedokteran Universitas Diponegoro, Semarang

Skripsi



Lampiran 2 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER a. Menentukan nilai beta awal beta.awal<-function(data) { data<-as.matrix(data) N<-nrow(data) k<-ncol(data) Pi<-data[,1]/data[,2] gx<-log(Pi/(1-Pi)) x<-cbind(rep(1,N),data[,3:k]) beta.awal<-solve((t(x)%*%x))%*%((t(x)%*%gx)) return(beta.awal) }

b. Menentukan nilai estimasi parameter estimasiMLE<-function(data) { data<-as.matrix(data) N<-nrow(data) p<-ncol(data) y<-data[,1] n<-data[,2] x<-cbind(rep(1,N),data[,3:p]) k<-ncol(x) u<-matrix(0,k,1) H<-matrix(0,k,k) beta<-beta.awal(data) it<-1 repeat { phix<-rep(0,N) for(i in 1:N) { phix[i]<-exp(x[i,]%*%beta)/(1+exp(x[i,]%*%beta)) } for(j in 1:k) { u[j,]<-sum((y-n*phix)*x[,j]) } for(a in 1:k) for(b in 1:k) { H[a,b]<--sum(x[,a]*x[,b]*n*phix*(1-phix)) } betatopi<-beta-solve(H)%*%u print(max(abs(betatopi-beta))) if(max(abs(betatopi-beta))<0.001) break beta<-betatopi it<-it+1 } cat("hasil estimasi :\n")

Skripsi



return(betatopi) }

c. Menentukan nilai MSE dan APPER MSE.MLE<-function(data) { data<-as.matrix(data) N<-nrow(data) k<-ncol(data) Pi<-data[,1]/data[,2] gx<-log(Pi/(1-Pi)) x<-cbind(rep(1,N),data[,3:k]) beta<-estimasiMLE2(data) Pix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta)) gxtopi<-log(Pix/(1-Pix)) error<-gx-gxtopi mse.MLE<-mean(error^2) cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode ML :\n") #mencari APPER Pibaru<-round(Pi) Pixbaru<-round(Pix) jml<-0 for(i in 1:N) { if(Pibaru[i]!=Pixbaru[i]) jml<-jml+1 } APPER.MLE<-jml/N M<-cbind(Pi,Pix,Pibaru,Pixbaru) dimnames(M)<-list(NULL,c("P","Ptopi","P.baru","Ptopi.baru")) return(mse.MLE,M,APPER.MLE) }

Skripsi



Lampiran 3 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER a. Menentukan nilai estimasi parameter estimasi.WLS <- function(data) { data<-as.matrix(data) N<-nrow(data) p<-ncol(data) y<-data[,1] n<-data[,2] x<-cbind(rep(1,N),data[,3:p]) k<-ncol(x) Pi<-data[,1]/data[,2] gx<-log(Pi/(1-Pi)) w<-diag(as.vector(1/(n*Pi*(1-Pi)))) beta<-solve(t(x)%*%w%*%x)%*%(t(x)%*%w%*%gx) phix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta)) cat("Hasil estimasi :\n") return(beta) }

b. Menentukan nilai MSE dan APPER MSE.WLS<-function(data) { data<-as.matrix(data) N<-nrow(data) k<-ncol(data) Pi<-data[,1]/data[,2] gx<-log(Pi/(1-Pi)) x<-cbind(rep(1,N),data[,3:k]) beta<-estimasi.WLS(data) Pix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta)) gxtopi<-log(Pix/(1-Pix)) error<-gx-gxtopi mse.WLS<-mean(error^2) cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode WLS :\n") #mencari APPER Pibaru<-round(Pi) Pixbaru<-round(Pix) jml<-0 for(i in 1:N) { if(Pibaru[i]!=Pixbaru[i])jml <- jml + 1 } APPER.WLS<-jml/N M<-cbind(Pi,Pix,Pibaru,Pixbaru) dimnames(M)<-list(NULL,c("P","Ptopi","P.baru","Ptopi.baru")) return(mse.WLS, M, APPER.WLS) }

Skripsi



Lampiran 4 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER a. Menentukan nilai estimasi parameter estimasi.IRWLS <- function(data) { data<-as.matrix(data) N<-nrow(data) p<-ncol(data) y<-data[,1] n<-data[,2] x<-cbind(rep(1,N),data[,3:p]) k<-ncol(x) Pi<-data[,1]/data[,2] gx<-log(Pi/(1-Pi)) w<-diag(as.vector(1/(n*Pi*(1-Pi)))) beta<-solve(t(x)%*%w%*%x)%*%(t(x)%*%w%*%gx) phix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta)) repeat { w<-diag(as.vector(1/(n* phix*(1-phix)))) betabaru<-solve(t(x)%*%w%*%x)%*%(t(x)%*%w%*%gx) phix<-exp(x%*%beta)/(1+ exp(x%*%beta)) if(max(abs(betabaru-beta))<0.001) break beta<-betabaru } cat("Hasil estimasi :\n") return(betabaru) }

b. Menentukan nilai MSE dan APPER

MSE.IRWLS<-function(data) { data<-as.matrix(data) N<-nrow(data) k<-ncol(data) Pi<-data[,1]/data[,2] gx<-log(Pi/(1-Pi)) x<-cbind(rep(1,N),data[,3:k]) beta<-estimasi.IRWLS(data) Pix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta)) gxtopi<-log(Pix/(1-Pix)) error<-gx-gxtopi mse.IRWLS<-mean(error^2) cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode IRWLS :\n") #mencari APPER Pibaru<-round(Pi) Pixbaru<-round(Pix) jml<-0 for(i in 1:N) { if(Pibaru[i]!=Pixbaru[i])jml <- jml + 1 } APPER.IRWLS<-jml/N M<-cbind(Pi,Pix,Pibaru,Pixbaru) dimnames(M)<-list(NULL,c("P","Ptopi","P.baru","Ptopi.baru")) return(mse.IRWLS, M, APPER.IRWLS) }

Skripsi



Lampiran 5 : Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER a. Beta Awal beta.awal(larva2) [,1] -4.40513698 0.24455729 0.02211002 b. Hasil Estimasi ML > estimasiMLE2(larva2) [1] 0.7420654 [1] 0.07895556 [1] 0.00102748 [1] 1.697294e-007 hasil estimasi : [,1] -3.74305479 0.20274230 0.01848701 c. MSE dan APPER > MSE.MLE(larva2) [1] 0.7420654 [1] 0.07895556 [1] 0.00102748 [1] 1.697294e-007 hasil estimasi : Nilai MSE dan APPER dari Metode ML : mse.MLE: [1] 0.6566313

Skripsi



M: P

Skripsi

Ptopi

P.baru Ptopi.baru

[1,] 0.01333333 0.07105028

0

0

[2,] 0.05333333 0.08715940

0

0

[3,] 0.10666667 0.10650217

0

0

[4,] 0.13333333 0.12952845

0

0

[5,] 0.14666667 0.15666026

0

0

[6,] 0.17333333 0.18824622

0

0

[7,] 0.20000000 0.22450523

0

0

[8,] 0.21333333 0.26546432

0

0

[9,] 0.25333333 0.36029824

0

0

[10,] 0.28000000 0.41284276

0

0

[11,] 0.29333333 0.46745066

0

0

[12,] 0.02666667 0.07533413

0

0

[13,] 0.13333333 0.09231799

0

0

[14,] 0.14666667 0.11266427

0

0

[15,] 0.22666667 0.13681883

0

0

[16,] 0.29333333 0.16518793

0

0

[17,] 0.42666667 0.19808939

0

0

[18,] 0.44000000 0.27796256

0

0

[19,] 0.45333333 0.32459232

0

0

[20,] 0.49333333 0.37498201

0

0

[21,] 0.54666667 0.42823443

1

0

[22,] 0.56000000 0.53858063

1

1

[23,] 0.60000000 0.59302239

1

1

[24,] 0.04000000 0.18335389

0

0

[25,] 0.12000000 0.21892471

0

0

[26,] 0.22666667 0.25920598

0

0

[27,] 0.36000000 0.30401407

0

0

[28,] 0.40000000 0.35287825

0

0

[29,] 0.42666667 0.40502580

0

0

[30,] 0.45333333 0.45940873

0

0

[31,] 0.50666667 0.51477592

1

1

[32,] 0.53333333 0.56978279

1

1



[33,] 0.57333333 0.62311925

1

1

[34,] 0.62666667 0.67363086

1

1

[35,] 0.66666667 0.72041021

1

1

[36,] 0.68000000 0.76284508

1

1

[37,] 0.74666667 0.80062185

1

1

[38,] 0.12000000 0.63033057

0

1

[39,] 0.68000000 0.68037144

1

1

[40,] 0.82666667 0.72657680

1

1

[41,] 0.88000000 0.76837665

1

1

[42,] 0.89333333 0.80549695

1

1

[43,] 0.90666667 0.83792313

1

1

[44,] 0.97333333 0.86584380

1

1

[45,] 0.98666667 0.88958842

1

1

APPER.MLE: [1] 0.04444444

Skripsi



Lampiran 6 : Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER a. Hasil Estimasi WLS estimasi.WLS(larva2) Hasil estimasi : [,1] -5.78273716 V3 0.31886588 V4 0.03187675 b. MSE dan APPER MSE.WLS(larva2) Hasil estimasi : Nilai MSE dan APPER dari Metode WLS : mse.WLS: [1] 0.8861757 M: P

Skripsi

Ptopi

P.baru Ptopi.baru

[1,] 0.01333333 0.02108239

0

0

[2,] 0.05333333 0.03060561

0

0

[3,] 0.10666667 0.04423620

0

0

[4,] 0.13333333 0.06353946

0

0

[5,] 0.14666667 0.09046872

0

0

[6,] 0.17333333 0.12726015

0

0

[7,] 0.20000000 0.17611655

0

0

[8,] 0.21333333 0.23860150

0

0

[9,] 0.25333333 0.40243728

0

0

[10,] 0.28000000 0.49680031

0

0

[11,] 0.29333333 0.59139183

0

1

[12,] 0.02666667 0.02175563

0

0

[13,] 0.13333333 0.03157316

0

0

[14,] 0.14666667 0.04561439

0

0



[15,] 0.22666667 0.06547784

0

0

[16,] 0.29333333 0.09314691

0

0

[17,] 0.42666667 0.13087076

0

0

[18,] 0.44000000 0.24448615

0

0

[19,] 0.45333333 0.32175495

0

0

[20,] 0.49333333 0.41018579

0

0

[21,] 0.54666667 0.50483077

1

1

[22,] 0.56000000 0.68662027

1

1

[23,] 0.60000000 0.76258183

1

1

[24,] 0.04000000 0.09871743

0

0

[25,] 0.12000000 0.13835312

0

0

[26,] 0.22666667 0.19053845

0

0

[27,] 0.36000000 0.25654690

0

0

[28,] 0.40000000 0.33593258

0

0

[29,] 0.42666667 0.42581366

0

0

[30,] 0.45333333 0.52088008

0

1

[31,] 0.50666667 0.61445788

1

1

[32,] 0.53333333 0.70027568

1

1

[33,] 0.57333333 0.77401664

1

1

[34,] 0.62666667 0.83391795

1

1

[35,] 0.66666667 0.88039480

1

1

[36,] 0.68000000 0.91518821

1

1

[37,] 0.74666667 0.94054368

1

1

[38,] 0.12000000 0.72653270

0

1

[39,] 0.68000000 0.79569834

1

1

[40,] 0.82666667 0.85095913

1

1

[41,] 0.88000000 0.89327743

1

1

[42,] 0.89333333 0.92464403

1

1

[43,] 0.90666667 0.94733525

1

1

[44,] 0.97333333 0.96346367

1

1

[45,] 0.98666667 0.97478428

1

1

APPER.WLS: [1] 0.06666667

Skripsi



Lampiran 7 : Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik

biner

dengan

menggunakan

metode

IRWLS

berdasarkan kriteria MSE dan APPER

a. Hasil Estimasi >estimasi.IRWLS(larva2) Hasil estimasi : [,1] -4.85354531 0.29216975 0.02383477 b. MSE dan APPER > MSE.IRWLS(larva2) Hasil estimasi : Nilai MSE dan APPER dari Metode IRWLS : mse.IRWLS: [1] 0.6763576 M: P

Skripsi

Ptopi

P.baru Ptopi.baru

[1,] 0.01333333 0.03678916

0

0

[2,] 0.05333333 0.04838126

0

0

[3,] 0.10666667 0.06338563

0

0

[4,] 0.13333333 0.08263916

0

0

[5,] 0.14666667 0.10707243

0

0

[6,] 0.17333333 0.13764576

0

0

[7,] 0.20000000 0.17523574

0

0

[8,] 0.21333333 0.22046680

0

0



Skripsi

[9,] 0.25333333 0.33382987

0

0

[10,] 0.28000000 0.40013652

0

0

[11,] 0.29333333 0.47031520

0

0

[12,] 0.02666667 0.04283258

0

0

[13,] 0.13333333 0.05621780

0

0

[14,] 0.14666667 0.07346486

0

0

[15,] 0.22666667 0.09546793

0

0

[16,] 0.29333333 0.12318485

0

0

[17,] 0.42666667 0.15754716

0

0

[18,] 0.44000000 0.24888678

0

0

[19,] 0.45333333 0.30607344

0

0

[20,] 0.49333333 0.36992845

0

0

[21,] 0.54666667 0.43868356

1

0

[22,] 0.56000000 0.58067089

1

1

[23,] 0.60000000 0.64829324

1

1

[24,] 0.04000000 0.16167326

0

0

[25,] 0.12000000 0.20427066

0

0

[26,] 0.22666667 0.25468187

0

0

[27,] 0.36000000 0.31264583

0

0

[28,] 0.40000000 0.37712682

0

0

[29,] 0.42666667 0.44627221

0

0

[30,] 0.45333333 0.51756107

0

1

[31,] 0.50666667 0.58814216

1

1

[32,] 0.53333333 0.65527494

1

1

[33,] 0.57333333 0.71673534

1

1

[34,] 0.62666667 0.77106636

1

1



[35,] 0.66666667 0.81762810

1

1

[36,] 0.68000000 0.85648249

1

1

[37,] 0.74666667 0.88819094

1

1

[38,] 0.12000000 0.78174543

0

1

[39,] 0.68000000 0.82662357

1

1

[40,] 0.82666667 0.86388054

1

1

[41,] 0.88000000 0.89415646

1

1

[42,] 0.89333333 0.91833495

1

1

[43,] 0.90666667 0.93737703

1

1

[44,] 0.97333333 0.95221007

1

1

[45,] 0.98666667 0.96366590

1

1

APPER.IRWLS: [1] 0.06666667

Skripsi


PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE SKRIPSI

Recommend Documents