Praktikum 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan – Metode Eliminasi Gauss
PRAKTIKUM 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss Tujuan : Mempelajari metode Eliminasi Gauss untuk penyelesaian persamaan linier simultan
Dasar Teori : Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut :
a11 a 21 ... a n1
a12 a 22 ... an2
... a1n ... a 2 n ... ... ... a nn
b1 b2 ... bn
Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). a11 a 21 a31 ... a n1
a12
a13
... a1n
a 22
a 23
... a 2 n
a32
a33
... a3n
...
...
...
an2
a n3
... a nn
...
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya – ITS
b1 b2 b3 ... bn
c11 0 0 ... 0
c12
c13
... c1n
c 22
c 23
... c 2 n
0
c33
... c3n
...
...
...
0
0
... c nn
...
d1 d2 d3 ... d n
36
Praktikum 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan – Metode Eliminasi Gauss
Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan: d xn n c nn
x n1
1 c n1, n1
c
n 1, n
x n d n1
..................................... 1 x2 d 2 c23 x3 c24 x4 ... c2 n xn c 22 x1
1 d1 c12 x2 c13 x3 ... c1n xn c11
Operasi Baris Elementer (OBE) merupakan suatu operasional pengubahan nilai elemen matrik berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriknya. OBE pada baris ke-i+k dengan dasar baris ke i dapat dituliskan dengan : ai k , j ai k , j c.a i , j
dimana c adalah konstanta pengali yang diambil dari perbandingan nilai dari elemen ai,i dan ai+k,i
Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah sebagai berikut: (1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n (2) Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A (3) Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i sama dengan nol : Bila ya : pertukarkan baris ke i dan baris ke i+kn, dimana ai+k,i tidak sama dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan (1) Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer: Hitung c
a j ,i ai ,i
Untuk kolom k dimana k=1 s/d n+1 hitung a j ,k a j ,k c.ai ,k
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya – ITS
37
Praktikum 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan – Metode Eliminasi Gauss
(2) Hitung akar, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama)
xi
1 bi ai,i 1 xi1 ai,i2 xi 2 ... ai,n xn ai ,i
dimana nilai i+kn
Catatan: Metode eliminasi gauss ini sebenarnya merupakan metode elimniasi yang sering digunakan dalam perhitungan manual, hanya saja tekniknya menggunakan model penulisan persamaan bukan menggunakan augmented matrik.
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya – ITS
38
Praktikum 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan – Metode Eliminasi Gauss
START
Flowchart Eliminasi Gauss : Input : Ukuran ordo matrik(n) Augmaented Matrik (A[n][n+1])
i = 1 s/d n F
A[i][i] == 0 T j = 1 s/d n T
j == i F F
A[j][j] ≠ 0 T Tukar Baris Matrik i i = 1 s/d n-1 j = i+1 s/d n C=A[j][i]/A[i][i] k = 1 s/d n+1 A[j][k]=A[j][k]-C*A[i][k] k
A[j][k]=0 j
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya – ITS
i
2
39
Praktikum 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan – Metode Eliminasi Gauss
1
X[n]=A[n][n+1]/A[n][n]
nx =1 s/d n-1 sum = 0 i = n-nx j = i+1 s/d n
sum = sum + A[i][j]*X[j]
j X[i] = (A[i][n+1]-sum)/A[i][i]
nx
i =1 s/d n Tampilkan : X[i]
i
END
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya – ITS
40
Praktikum 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan – Metode Eliminasi Gauss
Tugas Pendahuluan Tuliskan dasar-dasar komputasi dari metode Eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan linier simultan, sebagai berikut : 1. Judul : METODE ELIMINASI GAUSS 2. Dasar teori dari metode Eliminasi Gauss 3. Algoritma dan Flowchart
Prosedur Percobaan 1.
Selesaikan sistem persamaan linier berikut : x1 x 2 x3 6 x1 2 x 2 x3 2 2 x1 x 2 2 x3 10
2.
Implementasikan algoritma dan flowchart yang sudah diberikan dan dikerjakan pada laporan pendahuluan, lalu isi lembaran laporan akhir seperti form laporan akhir yang ditentukan
3.
Jalankan program, kemudian tampilkan, tuliskan augmented matrik dan hasil akhir penyelesaian persamaan linier simultan prosedur no 1.
4.
Lakukan penukaran baris matrik persamaan linier simultan : baris II dengan baris III pada matrik awal yang diketahui. Jalankan program kemudian tampilkan, tuliskan augmented matrik dan hasil akhir penyelesaian persamaan linier simultan dari matrik yang telah ditukar barisnya.
5.
Apa pengaruh dari penukaran baris pada matrik prosedur 4.
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya – ITS
41
Praktikum 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan – Metode Eliminasi Gauss
FORM LAPORAN AKHIR Nama dan NRP mahasiswa Judul Percobaan : METODE ELIMINASI GAUSS Algoritma :
Listing program yang sudah benar :
Hasil percobaan : 1. Augmented matrik asal : 2. Augmented matrik akhir (matrik segitiga atas) : 3. Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = …. x2 = …. x3 = …. 4. Augmented matrik asal yang ditukar baris kedua dengan baris ketiga : 5. Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = …. x2 = …. x3 = …. Apa pengaruh dari pertukaran baris matrik persamaan linier simultan
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya – ITS
42
