Persamaan Liinier Simultan 1
• Eliminasi Gauss G • Gauss Jord dan
Persamaan Linier Simultan 2
Persamaan linier simultan adalah suatu s bentuk persamaan-persamaan p p yang secara bersama-sama menya ajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan d m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliska an sebagai berikut: a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + ... + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + ... + a 2 n x n = b2 a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 + ... + a3n x n = b3 .......................................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m3 x3 + ... + a mn x n = bm dimana: aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah kooefisien atau persamaan simultan xi untuk ii=1 1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan Penyelesaian persamaan linier simultan addalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.
Persamaan Linier Simultan 3
Persamaan linier simultan di atas dapat d dinyatakan sebagai b t k matrik bentuk t ik yaitu it : ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ Ax=B ⎢a ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢b ⎥ ... a a 22 2n ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 = ⎢ 2⎥ ⎢ ... ... ... ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a a ... a m2 mn ⎦ ⎣ x n ⎦ ⎣ m1 ⎣bn ⎦ dimana:
⎡ a11 ⎢a A⎢ 21 ⎢ ... ⎢ ⎣a mi
a12 a 22 ... am2
... a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢b ⎥ ... a 2 n ⎥⎥ , x = ⎢ 2 ⎥ danB = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ... ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... a mn ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣bm ⎦
Matrik A=Matrik Koefisien atau Matrix Jacobian V kt x =Vektor Vektor V kt variabel i b l Vektor B=Vektor konstanta
Persamaan Linier Simultan 4
Augmented A t d Matrix M t i ( matrik t ik perluasa l an ) d darii persamaan lilinier i simultan i lt adalah matrik yang merupakan perrluasan matrik A dengan menambahkan vektor B p pada kolom m terakhirnya, y dan dituliskan: Augmented (A) = [A B]
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ... ⎢ ⎣a m1
a12 a 22
a13 a 23
... am2
... ... ... a m 3 ... a mn
Eliminasi_GaussJordan
... a1n ... a 2 n
b1 ⎤ b2 ⎥⎥ ... ⎥ ⎥ bm ⎦
Teoreema Persamaan Lin nier Simultan 5
Suatu persamaan linier simultan meempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagaai berikut: (1) Ukuran persamaan linier simulltan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlahh variable bebas. (2) Persamaan linier simultan non non--homogen homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tiddak nol atau ada bn ≠ 0. (3) Determinan dari matrik koefisiien persamaan linier simultan tid k sama dengan tidak d nol. l
Metode Elim minasi Gauss 6
Metode Eliminasi Gauss : metode yyang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau u mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Metode eliminasi gauss: metode dim mana bentuk matrik augmented, pada bagian p g kiri diubah menjadi j ma atrik segitiga g g atas /segitiga bawah dg menggunakan OBE O (Operasi Baris Elementer). ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢a31 ⎢ ⎢ ... ⎢⎣a n1
a12 a 22
a13 a 23
... a1n ... a 2 n
a32 ...
a33 ...
... a3n ... ...
an2
a n 3 ... a nn
b1 ⎤ b2 ⎥⎥ b3 ⎥ ⎥ ... ⎥ bn ⎥⎦
⎡c11 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ... ⎢⎣ 0
c12 c 22
c13 ... c1n c 23 ... c 2 n
0
c33
... c3n
... 0
... 0
... ... ... c nn
d1 ⎤ d 2 ⎥⎥ d3 ⎥ ⎥ ... ⎥ d n ⎥⎦
Metode Elim minasi Gauss Sehingga penyelesaian dapat diper7roleh dengan: xn =
dn c nn
xxnn−−11 ==
11
(−(dcn −1 −xc n+−1d, n x n))
c n −−11,,nn−−11
n −1, n
n
n −1
.......... .......... .......... ....... x2 =
1 (d 2 − c 23 x3 − c 24 x 4 − ... − c 2 n x n ) c 22
x1 =
1 (d1 − c12 x 2 − c13 x3 − ... − c1n x n ) c11
Operasi Baris Elementer (OBE) : op perasi pengubahan nilai elemen matrik berdasarkan barisnya, y , tanpa pa mengubah g matriknya. y OBE pada baris ke-i+k dengan dassar baris ke i dapat dituliskan dengan :
ai + k , j = ai + k , j − c.ai , j dimana c : ko onstanta pengali dari perbandingan nilai dari elemen ai,i dan ai+k,i
Contoh Penyelesaian Peers.Lin.Simultan dg. Metode Elimin nasi Gauss Ga ss 8
Selesaikan p persamaan berikut :
x1 + x2 + x3 = 6 x1 + 2 x2 − x3 = 2
2 x1 + x2 + 2 x3 = 10 Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut adalah: ⎡1 1 1 6 ⎤ ⎢1 2 − 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢2 1 2 10⎥⎦
Lakukan operasi p baris elementer se ebagai g berikut: 1 6 ⎞ ⎛1 1 denga an demikian diperoleh penyelesaian: ⎜ ⎟ B2 − B1
⎜ 0 1 − 2 − 4⎟ B3 − 2B1 ⎜ 0 − 1 0 − 2 ⎝ ⎠
B3 + B2 ⎡1
6⎤ ⎢0 1 − 2 − 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 − 2 − 6⎥⎦ 1
1
−6 =3 −2 1 x2 = (− 4 + (2)3) = 2 1 1 x1 = (6 − 2 − 3) = 1 1 x3 =
Algoritma Metod de Eliminasi Gauss Algoritma Metode Eliminasi Gauss9adalah sbb : 1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya y n 2. Buat augmented matrik [A|B] na amakan dengan A 3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 : Bila ya : pertukarkan baris ke i dan ba aris ke i+k≤n, dimana ai+k,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa pen nyelesaian. Bila tidak : lanjutkan 4. Untuk baris ke j, dimana j = ii+1 1 s/d n Lakukan operasi baris elemente er: a Hitung c = j ,i a i ,i
Untuk kolom k dimana k=1 s/d n+1 n hitung a j,k = a j,k − c.ai,k Hitung g akar, untuk i = n s/d 1 ((be ergerak g dari baris ke n sampai p 1 baris pertama) : (bi − ai,i+1 xi+1 − ai,i+2 xi+2 − ... − ai,n xn ) xi = ai ,i dimana nilai i+k≤n
Metode Elimina asi Gauss Jordan 10
Metode Eliminasi Gauss Jordan: metode p pengembangan g g metode eliminasi gauss, hanya saja augmente ed matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai beriku ut:
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢a31 ⎢ ⎢ ... ⎢⎣a n1
a12 a 22
a13 a 23
... a1n ... a 2 n
a32 ...
a33 ...
... a3n ... ...
an2
a n 3 ... a nn
b1 ⎤ b2 ⎥⎥ b3 ⎥ ⎥ ... ⎥ bn ⎥⎦
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢... ⎢⎣ 0
d1 ⎤ ... 0 d 2 ⎥⎥ ... 0 d 3 ⎥ ⎥ ... ... ... ⎥ ... 1 d n ⎥⎦
0
0 ... 0
1
0
0
1
... ... 0
0
Penyelesaian dari persamaan linier sim multan diatas adalah nilai d1,d2,d3 ,…,dn dn dan atau: x1 = d 1 , x 2 = d 2 , x3 = d 3 ,...., x n = d n Metode eliminasi Gauss-Jordan ini sam ma seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan y gg OBE ((Operasi p Barris Elementer). ) Hanya y perhitungan p g penyelesaian secara langsung diperole eh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris.
Contoh Penyelesaian Peers.Lin.Simultan dg. Metode Eliminasi Ga Gauss ss Jordan 11
Selesaikan persamaan berikut : x1 + x 2 = 3 2 x1 + 4 x 2 = 8
Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut adalah: ⎡1 1 3⎤ ⎢ 2 4 8⎥ ⎣ ⎦
Lakukan operasi baris elementer se ebagai berikut: ⎡1 1 3 ⎤ B2 − 2b1 ⎢ ⎥ 0 2 2 ⎣ ⎦ denga an demikian diperoleh penyelesaian: ⎡1 1 B 2 / 2⎢ ⎣0 1 ⎡1 B1 − B2 ⎢ ⎣0
3⎤ 1⎥⎦ 0 2⎤ 1 1 ⎥⎦
x1 1 = 2 dan x2 = 1
Algoritma Metode Eliiminasi Gauss Jordan Al i Algoritma M Metode d Eli Eliminasi i iG Gauss adalah d l h sbb bb : 1. 2 2. 3.
12
Masukkan matrik A, dan vektor B beserta b ukurannya n Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, Perhatikan apakah nilai ai,i =0 : Bila ya : pertukarkan baris ke i dan baris ke k i+k≤n, dimana ai+k,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dih tik d dihentikan dengan ttanpa penyele lesaian. i Bila tidak : lanjutkan Jadikan nilai diagonalnya menjadi sa atu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung ai ,k = ai ,k a i ,i 4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d dn Lakukan operasi p baris elementer: Hitung c = aj,i Hitung a j ,k = a j ,k − c.ai ,k 5. Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (b bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) xi = a i ,n +1
Latiihan 13
Selesaikanlah persamaan berikut ini :
x1 + x2 + 2 x3 = 4 2 x1 + 4 x2 − x3 = 3 2 x1 + 3 x2 + x3 = 10 Gunakan Eliminasi Gauss dan Gau uss-Jordan
Eliminasi_GaussJordan
