PERAMALAN DENGAN MODEL ARCH SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERAMALAN DENGAN MODEL ARCH SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika

Oleh: SUHARTINI NIM : 003114038

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007

i




MOTTO

Serahkanlah perbuatanmu kepada Tuhan, maka terlaksanalah segala rencanamu. (Amsal 16:3). Do not dwell in the past, do not dream of the future, concentrate the mind on the present moment. ( Budha ) Our greatest glory is not in never falling, but in rising every time we fall. (Budha).

Dengan penuh kasih karya ini kupersembahkan untuk : Bapak dan Ibukku, Mas Arno, mas Ardi, mbak yanti, wandi, “bee”, all family, Teman-temanku serta almamaterku tercinta

iv



ABSTRAK

Model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic) merupakan model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan. Model ini akan digunakan untuk menentukan, meramalkan dan memperbaharui nilai parameter dari data runtun waktu yang variansinya tidak konstan. Nilai parameter dari model ARCH dapat diperoleh dengan menggunakan metode maksimum likelihood.

vi


ABSTRACT

ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic) model is inconstant variance autoregressive model. Variance is a variable in statistic that illustrate how far the changes of the data to mean. This model will be used to fit, to forecast, and to update renew parameter from inconstant variance of time series data. ARCH model parameter value can be obtained by using likelihood maximum method.

vii


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Hati kudus Tuhan Yesus dan bunda Maria, karena berkat karunia dan rahmatnya yang telah mereka berikan penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Banyak hambatan dan kesulitan yang ditemui penulis dalam menyusun dan menulis skripsi ini. Namun, berkat bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, baik langsung maupun tidak langsung, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si , selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, pikiran, memimjamkan buku, serta kesabaran membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini. 2. Bapak YG. Hartono, S.Si, M.Sc, selaku ketua program studi matematika FMIPA USD Yogyakarta. 3. Ibu Mv. Any Herawati, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing akademik. 4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan-masukan dan koreksi. 5. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu yang berguna kepada penulis selama dibangku kuliah. 6. Bapak Gunardi, S.Si, M.Si, yang telah memberikan judul skripsi dan masukan-masukan.

viii


ix

7. Mas Tukijo yang telah memberikan pelayanan administrasi dalam urusan-urusan perkuliahan kepada penulis. 8. Kedua orangtuaku yang tak henti-hentinya memberikan dukungan baik moral, spiritual, maupun materi sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. 9. Kakak-kakakku, mas Ardi, mas Arno dan adiku yang selalu memberikan dukungan, doa, bantuan materi serta kesabarnya selama ini. 10. Keluarga mbak Yanti dan keponakan-keponakanku Angela, Jepin yang selalu memberi semangat, doa, bantuan materi. 11. Teman-temanku Sumi, Vin, Dora, Dewi, Deni, Veri (’01), Anjrah, Heri (Ndoet), yang selalu setia menemani, memberikan semangat dan mendengarkan curhatku. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.

Yogyakarta, 22 Februari 2007

Penulis


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL....................................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..........................................

ii

HALAMAN PENGESAHAN......................................................................

iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ..................................................................

iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................................

v

ABSTRAK ...................................................................................................

vi

ABSTRACT.................................................................................................

vii

KATA PENGANTAR .................................................................................

viii

DAFTAR ISI................................................................................................

x

BAB I

PENDAHULUAN.....................................................................

1

A. Latar Belakang Masalah.......................................................

1

B. Rumusan Masalah ................................................................

2

C. Tujuan Penulisan..................................................................

2

D. Pembatasan Masalah ............................................................

2

E. Manfaat Penulisan................................................................

3

F. Metode Penulisan .................................................................

3

G. Sistematika Penulisan ..........................................................

3

LANDASAN TEORI................................................................

5

A. Konsep Dasar Runtun Waktu...............................................

11

B. Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi.................

15

C. Fungsi Autokorelasi Parsial .................................................

18

BAB II

x


xi

BAB III

BAB IV

D. Autoregresi (AR)..................................................................

19

MODEL ARCH........................................................................

32

A. ARCH...................................................................................

32

B. Pengujian Adanya Efek ARCH Dalam Data Runtun Waktu

41

C. Fungsi Kelihood ARCH.......................................................

47

PENERAPAN MODEL ARCH PADA DATA HARGA SAHAM COMPOSITE INDEX...............................................

53

A. Identifikasi Model ARCH ....................................................

53

B. Uji Efek ARCH ....................................................................

57

C. Pembentukan Model Akhir ..................................................

58

PENUTUP.................................................................................

60

A. Simpulan ..............................................................................

60

B. Saran.....................................................................................

60

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................

61

BAB V

LAMPIRAN................................................................................................. LAMPIRAN 1 Data Harga Saham Composite Index dari tanggal 03 Januari 2005 sampai 29 Desember 2005..........................................................

62

LAMPIRAN 2 Hasil Analisa Data yang Telah Didifferencing Satu Kali dengan Menggunakan AR (3) ..

66

LAMPIRAN 3 Hasil Analisa Data yang Telah Didifferenc-

LAMPIRAN 4

ing Satu Kali dengan Menggunakan AR (1) ..

67

Hasil Analisis Uji Efek ARCH ......................

68


xii

LAMPIRAN 5

Hasil Analisis Penentuan Modal Akhir..........

69

LAMPIRAN 6

Tabel Distribusi Statistik-t .............................

70

LAMPIRAN 7

Tabl Distribusi Khi-Kuadrat ..........................

71


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Pada kenyataannya data runtun waktu tidak semuanya memiliki variansi konstan. Model Autoregresif (AR) merupakan model yang menganggap bahwa data runtun waktu memiliki variansi yang konstan. Variansi merupakan variabel dalam statistik yang menggambarkan seberapa jauh perubahan data terhadap nilai rataratanya. Persamaan umum AR adalah Υt = β 0 + β 1 Υt −1 + K + β k Υt − k + ε t dengan : Υt = deret waktu tunggal Υt −i = deret waktu tunggal yang ketinggalan i perioda (i = 1,2,3, K , k )

β

= parameter

ε

= galat

Bila

variansi

galat

berubah

terhadap

waktu

maka

keadaan

ini

disebut

heteroskedastisitas. Untuk itulah Robert F. Engle pada tahun 1982 menawarkan model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic). Model ARCH merupakan model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan.

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Bentuk model ARCH adalah ∞

ε t = vt ht dengan ht = α 0 + ∑ α i ε t2−i dan vt berdistribusi normal standar. i =1

Peramalan dengan model ARCH dapat kita lakukan cukup dengan adanya data runtun waktu tunggal. Peramalan dengan model ini tidak perlu memandang aspekaspek lain yang dapat mempengaruhi perubahan data runtun waktu.

B. Rumusan Masalah Pokok bahasan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan model ARCH? 2. Bagaimana

penerapan

model

ARCH

dalam

peramalan

dengan

menggunakan data runtun waktu?

C. Tujuan Penulisan Untuk menjelaskan dan membahas kegunaan model ARCH dalam peramalan data runtun waktu serta landasan teori yang mendukungnya.

D. Pembatasan Masalah Dalam tulisan ini peramalan dengan model ARCH hanya akan membahas 1. Model ARCH satu variabel (univariate)


2. Uji

efek

ARCH

menggunakan

pengganda

langrange

(langrange

multiplier). 3. Estimasi model ARCH menggunakan maksimum likelihood distibusi normal. 4. Pembuktian distribusi khi-kuadrat tidak dibuktikan.

E. Manfaat Penulisan Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah untuk semakin memahami dan menguasai penggunaan model ARCH dalam peramalan khususnya peramalan dengan menggunakan data runtun waktu.

F. Metode Penulisan Metode yang digunakan dalam penulisan ini menggunakan metode kepustakaan dan data diolah menggunakan software Eviws dan Minitab.

G. Sistematika Penulisan BAB I : menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, sistematika penulisan. BAB II : menjelaskan tentang konsep dasar runtun waktu, fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi (ACF), fungsi parsial autokorelasi (PACF), autoregresi (AR).


BAB III : menjelaskan tentang model ARCH, ARCH, pengujian adanya efek ARCH dalam data runtun waktu, fungsi likelihood ARCH. BAB IV : menjelaskan Penerapan Model ARCH Pada Data Harga Saham Composite

Index, identifikasi model awal, uji efek ARCH, penentuan model akhir. BAB V :menjelaskan tentang simpulan dan saran.


BAB II LANDASAN TEORI

Dalam peramalan dikenal adanya model deret berkala dan model regresi. Pada jenis model deret berkala, penduga masa depan dilakukan berdasarkan nilai masa lalu dari suatu variabel atau kesalahan masa lalu. Sedangkan model regresi mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebabakibat dengan satu atau lebih variabel bebas (variabel independen). Suatu model regresi yang memiliki satu variabel bebas disebut model regresi sederhana atau model regresi linear klasik. Model regresi linear klasik dapat dinyatakan sebagai berikut: Υi = β 0 + β 1 Χ i + ε i

(2.1)

dengan:

Υ = variabel tak bebas (variabel dependen) Χ = variabel bebas (variabel independen)

β = parameter ε = unsur gangguan stokastik Model tersebut memiliki beberapa asumsi yaitu: Asumsi 1:

Nilai harapan unsur gangguan stokastik adalah nol, yaitu Ε(ε i ) = 0.

5


6

Asumsi 2:

Tidak adanya autokorelasi atau tidak terdapat korelasi diantara unsur gangguan stokastik, yaitu Kov (ε i , ε j ) = Ε((ε i − Ε(ε i ))(ε j − Ε(ε j ))) = Ε((ε i − 0 )(ε j − 0 )) = Ε(ε i ε j ) =0

dengan i dan j adalah indeks untuk dua pengamatan yang berbeda. Asumsi 3:

Varian ε i adalah suatu bilangan konstan positif yang sama dengan σ 2 dengan kata lain asumsi ini menyatakan homoskedastisitas atau variansi sama, yaitu: Var (ε i ) = Ε(ε i − Ε(ε i ))

2

( )

= Ε ε i2 =σ2

Penyimpangan dari asumsi 3 disebut sebagai heteroskedastisitas (variansi yang tidak konstan), yaitu:

Var (ε i ) = σ i2 Asumsi 4:

Variabel bebas Χ tak stokastik atau tetap.


7

Untuk menaksir parameter β digunakan metode kuadrat terkecil biasa ( method

of ordinary least squares (OLS) ). Langkah –langkahnya sebagai beriku : Persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

Υi = βˆ0 + βˆ1 Χ i + ε i = Υˆ i + ε i

(2.2)

dengan Υˆ i merupakan nilai taksiran Υi . Secara alternatif persamaan (2.2) dapat dinyatakan sebagai berikut

ε i = Υi − Υˆ i = Υi − βˆ0 − βˆ1 Χ i

(2.3)

yang menunjukkan bahwa ε i (galat) hanyalah perbedaan antara nilai Υ sebenarnya dengan yang ditaksir. Untuk sampel berukuran N pasang observasi jumlah kuadrat galatnya dapat dinyatakan sebagai berikut

∑ε

2 i

( ) = ∑ (Υ − βˆ − βˆ Χ )

= ∑ Υi − Υˆ i

2

2

i

0

1

(2.4)

i

Bila persamaan (2.4) diturunkan terhadap βˆ0 maka diperoleh persamaan ∂

(∑ ε ) = −2 (Υ ∑ ˆ 2 i

i

∂β 0

)

− βˆ0 − βˆ1 Χ i = 0

(2.5)

Bila persamaan (2.4) diturunkan terhadap βˆ1 maka diperoleh persamaan ∂

(∑ ε ) = −2 (Υ ∑ ˆ 2 i

∂β 0

i

)

− βˆ0 − βˆ1 Χ i Χ i = 0

(2.6)


8

Persamaan (2.5) dapat ditulis menjadi

∑Υ

= Nβˆ 0 + βˆ1 ∑ Χ i

i

(2.7)

Persamaan (2.6) dapat ditulis menjadi

∑Υ Χ i

i

= βˆ0 ∑ Χ i + βˆ1 ∑ Χ i2

(2.8)

Dari persamaan (2.7) dan (2.8) diperoleh N ∑ Χ i Υ i −∑ Χ i ∑ Υi

βˆ1 =

(2.9)

N ∑ Χ i2 − (∑ Χ i )

2

∑Χ ∑Υ − ∑Χ ∑Χ Υ N ∑ Χ − (∑ Χ ) 2 i

βˆ0 =

i

i

i

i

(2.10)

2

2 i

i

Selain menaksir parameter β kita tentukan koefisien determinasi R 2 . Koefisien determinasi merupakan ukuran ikhtisar yang menyatakan seberapa baik garis regresi sampel mencocokkan data. Bila persamaan (2.2) kedua sisi dikurangi Υ maka persamaannya menjadi Υi − Υ = Υˆ i − Υ + ε i

(2.11)

Kemudian persamaan (2.11) kedua sisi dikuadratkan sehingga persamaannya menjadi

∑ (Υ

i

(

Karena persamaan (2.5)

∑ (Υˆ

i

)

(

)

2 2 − Υ ) = ∑ Υˆ i − Υ + 2∑ Υˆ i − Υ ε i + ∑ ε i2

(

)

∑ε

i

= 0 dan persamaan (2.6)

(2.12)

∑ε Χ i

i

= 0 maka

)

− Υ ε i = ∑ βˆ0 + βˆ1 Χ i − Υ ε i = βˆ0 ∑ ε i + βˆ1 ∑ Χ i ε i − Υ ∑ ε i =0

(2.13)


9

Sehingga persamaan (2.12) menjadi

(

∑ (Υ

)

2 2 − Υ ) = ∑ Υˆ i − Υ + ∑ ε i2

i

(2.14)

dengan

∑ (Υ

i

− Υ ) = jumlah kuadrat total ( total sum of squares (TSS) )

∑ (Υˆ

i

−Υ

∑ε

2

)

2

2 i

= jumlah kuadrat yang dijelaskan ( explined sum of squares (ESS) ) = jumlah kuadrat galat/residual ( residual sum of squares (RSS) )

Definisi 2.1:

Koefisien determinasi R 2 didefinisikan sebagai ESS R = = TSS 2

∑ (Υˆ ∑ (Υ

i i

−Υ

)

2

− Υ)

2

Teorema 2.1

Bila TR

2

∑ (Υˆ =N ∑ (Υ

i i

−Υ

)

2

− Υ)

2

dengan T merupakan banyaknya observasi maka sta-

sistik uji TR 2 akan berdistribusi khi-kuadrat. Bukti : Karena Υˆ i merupakan nilai taksiran Υi maka


10

( )

Var Υˆ i =

∑ (Υˆ

)

2

−Υ

i

= S2

n −1

sedangkan Var (Υi ) =

∑ (Υ

i

− Υ)

N

2

=σ2

akibatnya TR

2

∑ (Υˆ =N ∑ (Υ

i i

=N

−Υ

)

2

− Υ)

2

(n − 1)S 2 Nσ 2

= (n − 1)

S2

σ2

Jadi terbukti bahwa TR 2 berdistribusi χ 2 dengan derajat bebas n-1.

■

Sedangkan model regresi yang memiliki lebih dari satu variabel bebas disebut mode regresi linear berganda. Model regresi linear berganda dapat dinyatakan sebagai berikut: Υi = β 0 + β1 Χ 1i + β 2 Χ 2i + ... + β k Χ ki + ε i dengan:

Υ = variabel tak bebas Χ = variabel bebas

β = parameter

(2.15)


11

ε = unsur gangguan stokastik i = observasi ke - i, (i = 1,2,3,...) Model tersebut memiliki asumsi yang sama dengan asumsi pada model regresi linear klasik. Sedangkan untuk menaksir parameter β juga menggunakan metode OLS.

A. Konsep Dasar Runtun Waktu

Suatu runtun waktu (deret waktu/deret berkala) adalah sekumpulan observasi yang berurutan dalam waktu tertentu. Suatu runtun waktu dinotasikan dengan Υt dengan t menunjuk pada perioda waktu yang berturutan. Bila t adalah bilangan asli maka Υt merupakan runtun waktu diskrit. Bila t sembarang bilangan real maka Υt merupakan runtun waktu kontinu. Dilihat dari sejarah nilai observasi, runtun waktu dapat dibedakan atas runtun waktu deterministik dan runtun waktu stokastik. Runtun waktu deterministik adalah runtun waktu dengan nilai observasi mendatang dapat dihitung atau diramalkan secara pasti melalui suatu fungsi berdasarkan nilai observasi yang lampau. Sedangkan runtun waktu stokastik adalah runtun waktu yang nilai observasi mendatang hanya menunjukkan struktur probabilistik yang digambarkan melalui fungsi tertentu berdasarkan observasi yang lampau. Contoh runtun waktu deterministik Υt = cos(2πft ) dengan Υt merupakan nilai observasi pada saat t . Sedangkan f merupakan frekuensi yang nilainya dapat ditentukan dengan f =

1 N

(N

adalah banyaknya panga-


12

matan). Contoh runtun waktu stokastik adalah ada N observasi yang nilainya dapat ditentukan sebagai Υ1 , Υ2 , Υ3 ,K, Υn dengan Υ1 , Υ2 , Υ3 ,K, Υn merupakan variabelvariabel random yang memiliki fungsi probabilitas. Suatu runtun waktu disebut stasioner bila a. Ε(Υt ) = konstan untuk setiap t b. Var (Υt ) = konstan untuk setiap t c. Kov(Υt , Υt − k ) = konstan untuk setiap t dan Kov(Υt , Υt − k ) dependen terhadap lag k Dengan demikian, suatu runtun waktu dikatakan stasioner bila rata-rata, variansi, dan kovariansinya tetap konstan sepanjang waktu. Sedangkan runtun waktu dikatakan tidak stasioner bila runtun waktu tersebut gagal memenuhi satu bagian atau lebih dari syarat tersebut. Untuk mencapai asumsi stasioneritas, data yang belum stasioner harus diubah menjadi stasioner. Hal itu dapat diatasi melalui metode pembedaan (differencing). Misal diketahui deret angka sebagai berikut : 2,4,6,8,K,20 yang mengandung trend linear dan tidak bersifat acak. Dengan mengurangkan nilai-nilai yang berurutan , 4-2, 6-4, 8-6, ... ,20-18, kita akan mendapatkan nilai-nilai pembedaan pertama (first differeneces) yang merupakan deret angka 2,2,2,...,2 dan deret ini jelas stasioner. Jadi untuk mendapatkan kestasioneran dapat dibuat deret baru yang terdiri dari perbedaan angka antara periode yang berturut-turut: Υt′ = Υt − Υt −1

(2.16)


13

Deret baru Υt′, akan mempunyai n − 1 buah nilai dan akan stasioner apabila trend dari data awal Υt adalah linear (pada orde pertama). Apabila autokorelasi dari data yang dibedakan pertama tidak mendekati nol sesudah lag kedua atau ketiga, berarti data belum bisa dikatakan stasioner. Oleh karena itu perlu dilakukan pembedaan lagi dari data pembedaan pertama sebagai berikut: Υt′′ = Υt′ − Υt′−1

(2.17)

Υt′′ dinyatakan sebagai deret pembedaan orde kedua (second order differences). Deret ini akan mempunyai n − 2 buah nilai. Dengan mensubstitusikan (2.16) ke dalam (2.17) akan diperoleh: Υt′′ = (Υt − Υt −1 ) − (Υt −1 − Υt − 2 ) Υt′′ = Υt − 2Υt −1 + Υt − 2 Barisan {ε t } merupakan proses white noise bila untuk setiap periode waktu t maka berlaku I. Ε(ε t ) = 0 untuk setiap t II. Ε(ε t2 ) = σ 2 untuk setiap t III. Ε(ε t ε s ) = 0 untuk setiap t ≠ s


14

Teorema 2.2

Bila ε t white noise maka ε t stasioner. Bukti: karena Ε(ε t ) = 0 dan 0 suatu konstanta maka syarat pertama stasioner

Pertama dipenuhi.

Kedua karena Ε(ε t ) = 0 dan Ε(ε t2 ) = σ 2 maka Var (ε t ) = Ε(ε t − Ε(ε t )) = Ε(ε t − 0)

2

2

= Ε(ε t2 ) =σ2

Yang berarti syarat kedua stasioner dipenuhi. Ketiga karena Ε(ε t ) = 0 untuk setiap t dan Ε(ε t ε s ) = 0 untuk setiap t ≠ s maka Kov(ε t , ε t − k ) = Ε((ε t − Ε(ε t ))(ε t − k − Ε(ε t − k )))

= Ε((ε t − 0)(ε t − k − 0 )) = Ε(ε t ε t − k ) =0

Yang berarti syarat ketiga stasioner dipenuhi. Jadi terbukti bahwa ε t stasioner.

■


15

B. Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi (ACF)

Definisi 2.2:

Autokovariansi antara Υt dan Υt − k didefinisikan sebagai Kov(Υt , Υt − k ) = Ε((Υt − Ε(Υt ))(Υt − k − Ε(Υt − k ))) = γ k

(2.18)

Teorema 2.3

Bila Υt runtun waktu stasioner maka γ 0 = Var (Υt ) dan γ k = γ − k . Bukti:

γ 0 = Kov(Υt , Υt ) = Ε((Υt − Ε(Υt ))(Υt − Ε(Υt ))) = Ε(Υt − Ε(Υt ))

2

= Var (Υt )

dengan mengingat syarat ketiga stasioner sehingga

γ k = Kov(Υt , Υt − k ) = Kov(Υt , Υt + k ) = γ −k

■

Fungsi autokovariansi merupakan plot dari γ k terhadap lag k . Fungsi korelasi digunakan untuk mengetahui sejauh mana hubungan antara satu kelompok data dengan satu kelompok data lainnya. Sedangkan fungsi autokorelasi


16

merupakan perkembangan lebih lanjut dari fungsi korelasi. Fungsi autokorelasi digunakan untuk mengetahui apakah suatu data pada waktu tertentu dipengaruhi oleh data pada waktu sebelumnya dan juga digunakan untuk mengetahui apakah suatu data stasioner atau tidak stasioner. Stasioneritas sangat diperlukan karena untuk mempermudah melakukan peramalan.

Definisi 2.3 :

Didalam runtun waktu korelasi antara Υt dan Υt − k disebut autokorelasi bila Korr (Υt , Υt − k ) = =

Kov(Υt , Υt − k )

Var (Υt )Var (Υt − k ) Ε((Υt − Ε(Υt ))(Υt − k − Ε(Υt − k )))

(Ε(Υ − Ε(Υ )) )(Ε(Υ 2

t

t −k

t

− Ε(Υt − k ))

2

)

(2.19)

Karena syarat kedua stasioner dan sifat pertama autokovariansi persamaan (2.19) menjadi Korr (Υt , Υt − k ) =

=

Ε((Υt − Ε(Υt ))(Υt − k − Ε(Υt − k ))) Ε(Υt − Ε(Υt ))

γk = ρk γ0

2

(2.20)


17

Teorema 2.4

Bila Υt runtun waktu stasioner maka ρ 0 = 1 dan ρ k = ρ − k . Bukti:

ρ0 =

γ0 =1 γ0

Menggunakan Teorema 2.3 maka diperoleh

ρk =

γ k γ −k = γ0 γ0

= ρ −k

■

Fungsi autokorelasi merupakan plot dari ρ k terhadap lag k . Dalam praktek kita bisa mengasumsikan Υt

stasioner sehingga Υ = Υ t = Υ t −1 dan Var (Υt ) = Var (Υt − k )

sebagai berikut:

ρk =

Kov(Υt , Υt − k )

Var (Υt )Var (Υt − k )

(

)(

)

 n   ∑ Υt − Υ Υt − k − Υ   t =1+ k  =

∑ (Υ n

t =1

t

−Υ

menggunakan autokorelasi sampel, dengan

)

2

n −1

n −1


18

∑ (Υ n

ρk =

t =1+ k

t

)(

− Υ Υt − k − Υ

∑ (Υ n

t =1

t

−Υ

) (2.21)

)

2

C. Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Fungsi autokorelasi parsial (PACF) digunakan untuk menunjukkan keeratan hubungan antara Υt dan Υt − k .

Definisi 2.4 :

Autokorelasi parsial didefinisikan sebagai berikut:

φ kk =

Η (k )

(2.22)

Μ (k )

dengan Μ (k ) dan Η (k ) adalah matriks autokorelasi k × k , yaitu

Μ (k )

 1 ρ  1 =  ρ2   M  ρ k −1

ρ1 1

ρ1 M

ρ k −2

ρ2 ρ1 1 M

ρ k −3

Sedangkan Η (k ) adalah Μ (k )

menjadi

L ρ k −1  L ρ k − 2  L ρ k −3   M M  L 1   ρ1  ρ  yang kolom terakhirnya diganti  2  dapat ditulis  M    ρ k 


19

Η (k )

ρ1

 1 ρ  1 =  ρ2   M  ρ k −1

1

ρ1 M

ρ k −2

ρ2 ρ1 1 M

ρ k −3

L ρ1  L ρ 2  L ρ3   M M  L ρ k 

Untuk memperoleh φ kk dengan k = 1,2,3,K digunakan aturan Cramer akan diperoleh k = 1,

φ11 = ρ1

1

ρ1 ρ 2 ρ 2 − ρ12 = ρ1 1 − ρ12

ρ1

1

1

ρ1

ρ1 ρ2

1

1 k = 2,

k = 3,

φ 22 =

φ33 =

ρ1

1

ρ1 ρ2

1

ρ1 ρ2 ρ 3 ρ 3 + ρ1 ρ 22 + ρ13 − 2 ρ1 ρ 2 − ρ12 ρ 3 = ρ2 1 + 2 ρ12 ρ 2 − ρ 22 − 2 ρ12 ρ1

ρ1

1

ρ1 ρ1

D. Autoregresif (AR)

Model Autoregresif memiliki persamaan umum sebagai berikut: Υt = φ 0 + φ1 Υt −1 + φ 2 Υt − 2 + ... + φ k Υt − k + ε t

(2.23)

Persamaan (2.23) juga merupakan persamaan regresi, tetapi berbeda dengan persamaan (2.15). Pada persamaan (2.15) variabel-variabel sebelah kanan merupakan faktor-faktor bebas yang lain, sedangkan pada persamaan (2.23) variabel-variabel sebelah kanan merupakan nilai sebelumnya dari variabel tak bebas Υt . Asumsi-


20

asumsi pada persamaan regresi juga berlaku pada persamaan tersebut dengan ε t merupakan white noise. Bila persamaan (2.23) variabel sebelah kanan hanya dipengaruhi oleh nilai sebelumnya dari variabel tak bebas Υt yang ketinggalan satu perioda maka persamaannya disebut autoregresif orde satu (AR (1)). Persamaan AR (1) adalah Υt = φ 0 + φ1 Υt −1 + ε t

(2.24)

Bila Υt diketahui maka akan diperoleh Υ1 = φ 0 + φ1 Υ0 + ε 1 Υ2 = φ 0 + φ1 Υ1 + ε 2 = φ 0 + φ1 (φ 0 + φ1 Υ0 + ε 1 ) + ε 2 = φ 0 (1 + φ1 ) + φ12 Υ0 + φ1ε 1 + ε 2 Υ3 = φ 0 + φ1 Υ2 + ε 3

(

)

= φ 0 + φ1 φ 0 (1 + φ1 ) + φ12 Υ0 + φ1ε 1 + ε 2 + ε 3 = φ 0 + φ 0φ1 + φ φ + φ Υ0 + φ ε + φ1ε 2 + ε 3

(

2 0 1

)

3 1

2 1 1

= φ 0 1 + φ1 + φ12 + φ13 Υ0 + φ12 ε 1 + φ1ε 2 + ε 3 M

(

)

Υn = φ 0 1 + φ1 + φ12 + K + φ1n −1 + φ1n Υ0 + φ1n −1ε n −(n −1) +

φ1n − 2 ε n −(n − 2 ) + φ1n −3ε n −(n −3) + K + φ1n −n ε n −(n − n ) Sehingga untuk setiap t 〉 0 akan didapatkan t −1

t −1

i =0

i =0

Υt = φ 0 ∑ φ1i + φ1t Υ0 + ∑ φ1i ε t −i

(2.25)


21

Nilai harapan Υt pada persamaan (2.25) dapat dicari dengan mengingat syarat pertama white noise adalah t −1   t −1 Ε(Υt ) = Ε φ 0 ∑ φ1i + φ1t Υ0 + ∑ φ1i ε t −i  i =0   i =0

 t −1   t −1  = Ε φ 0 ∑ φ1i  + Ε φ1t Υ0 + Ε ∑ φ1i ε t −i   i =0   i =0 

(

)

t −1

= φ 0 ∑ φ1i + φ1t Υ0

(2.26)

i =0

Sedangkan nilai harapan dari

Υt − k dengan mengingat syarat pertama white noise

adalah t − k −1  t − k −1  Ε(Υt − k ) = Ε φ 0 ∑ φ1i + φ1t − k Υ0 + ∑ φ1i ε t − k −i  i =0  i =0 

 t − k −1   t − k −1  = Ε φ 0 ∑ φ1i  + Ε φ1t − k Υ0 + Ε ∑ φ1i ε t − k −i   i =0   i =0 

(

= φ0

t − k −1

∑φ i =0

i 1

)

+ φ1t − k Υ0

(2.27)

Persamaan (2.26) dan (2.27) keduanya dependen terhadap waktu. Karena Ε(Υt ) ≠ Ε(Υt − k ) maka {Υt } tidak stasioner.

Teorema 2.5

bila φ1 〈1 maka I. φ1t − k akan konvergen ke nol untuk t mendekati tak hingga (t → ∞ )

(2.28)


22

II. φ 0

t − k −1

∑φ i =0

i 1

(

)

= φ 0 1 + φ1 + φ12 + φ13 + ... konvergen ke

φo 1 − φ1

(2.29)

Bukti: I. Karena φ1 〈1 maka lim φ1t − k = 0 t →∞

II. Karena φ 0

t − k −1

∑φ i =0

i 1

(

)

= φ 0 1 + φ1 + φ12 + φ13 + ... merupakan deret geometri yang

konvergen dengan a = φ 0 dan r = φ1 maka

φ a = 0 1 − r 1 − φ1

■

Jadi untuk (t → ∞ ) dan φ1 〈1 , t −1  t −1  lim(Υt ) = lim φ 0 ∑ φ1i + φ1t Υ0 + ∑ φ1i ε t −i  t →∞ t →∞ i =0   i =0

=

∞ φ0 + ∑ φ1i ε t −i 1 − φ1 i =0

(2.30)

Nilai harapan Υt dengan menggunakan persamaan (2.30) dan mengingat syarat pertama white noise adalah ∞  φ  Ε(Υt ) = Ε 0 + ∑ φ1i ε t −i   1 − φ1 i =0 

 φ   ∞  = Ε 0  + Ε ∑ φ1i ε t −i   i =0   1 − φ1  =

φ0 1 − φ1

(2.31)


23

Terlihat bahwa rata-rata dari Υt berhingga dan independen terhadap waktu. Jadi Ε(Υt ) = Ε(Υt − k ) =

Nilai

φ0 untuk semua t. 1 − φ1

variansi Υt dengan menggunakan persamaan (2.30), (2.31) dan mengingat

syarat kedua white noise adalah Var (Υt ) = Ε(Υt − Ε(Υt ))

2

∞  φ0 φ   = Ε + ∑ φ1i ε t −i − 0  1 − φ1   1 − φ1 i =0

 ∞  = Ε ∑ φ1i ε t −i   i =0 

( )

2

2

( )

( )

= Ε ε t2 + φ12 Ε ε t2−1 + φ14 Ε ε t2− 2 + ... = σ 2 + φ12σ 2 + φ14σ 2 + ...

σ2 = 1 − φ12

(2.32)

yang juga berhingga dan independen terhadap waktu. Nilai kovariansi Υt dengan mengingat persamaan (2.30), syarat kedua white noise dan persamaan (2.31) adalah Kov(Υt , Υt − k ) = Ε((Υt − Ε(Υt ))(Υt − k − Ε(Υt − k ))) ∞ ∞  φ φ  φ φ  = Ε  0 + ∑ φ1i ε t −i − 0  0 + ∑ φ1i ε t − k −i − 0   1 − φ1  1 − φ1 i =0 1 − φ1     1 − φ1 i =0

 ∞  ∞  = Ε  ∑ φ1i ε t −i  ∑ φ1i ε t − k −i    i =0    i =0


24

(( (ε

)

Kov(Υt , Υt − k ) = Ε ε t + φ1ε t −1 + φ12 ε t − 2 + K + φ1k ε t − k + φ1k +1ε t − k −1 + K

+ φ1ε t − k −1 + φ12 ε t − k − 2 + K + φ1k ε t − 2 k + φ1k +1ε t − 2 k −1

t −k

( ( )

(

)

(

)

))

)

= φ1k Ε ε t2− k + φ1k + 2 Ε ε t2− k −1 + φ1k + 4 Ε ε t2− k − 2 + K

(

)

= σ 2φ1k 1 + φ12 + φ14 + K

σ 2φ1k = 1 − φ12

(2.33)

Ternyata nilai kovariansinya berhingga dan tidak berubah terhadap waktu. Jadi bila nilai limit (2.30) digunakan maka deret {Υt } akan menjadi stasioner. Fungsi Autokorelasi (ACF) untuk AR (1) dapat dicari dengan menggunakan persamaan (2.32) dan (2.33) sebagai berikut untuk k =0

γ0 =1 γ0

ρ0 =

φ1σ 2

k =1

ρ1 =

(1 − φ12 ) = φ γ1 = 2 1 γ0 σ 2 (1 − φ1 ) φ12σ 2

k=2

ρ2 =

(1 − φ12 ) = φ 2 γ2 = 1 γ0 σ2 2 (1 − φ1 )

M

φ1nσ 2

k=n

ρn =

γn (1 − φ12 ) = φ n = 1 γ0 σ2 2 (1 − φ1 )


25

Bila 0〈φ1 〈1 maka ρ k 〉 0 untuk semua k . Bila − 1〈φ1 〈 0 maka ρ k akan berubah tanda dari negatif ke positif untuk semua k ≥ 1. Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) untuk AR (1) Untuk k = 1, φ11 = ρ1 = φ1

ρ 2 − ρ12 φ12 − φ12 = =0 k = 2, φ 22 = 1 − ρ12 1 − φ12 Karena AR (1) persamaannya hanya berhubungan dengan Υt −1 maka untuk k ≥ 2 nilai φ kk bernilai nol. Secara umum dapat ditulis menjadi φ untuk k = 1 φ kk  1 0 untuk k ≥ 2

Pada proses ini autokorelasi parsial bernilai tidak nol pada lag pertama, yang juga merupakan order dari proses, tetapi bernilai nol untuk lag yang lain. Bila persamaan (2.23) variabel sebelah kanan hanya dipengaruhi oleh nilai sebelumnya dari variabel tak bebas Υt yang ketinggalan

p perioda maka

persamaannya disebut autoregresif orde p (AR (p)). Persamaan AR (p) adalah p

Υt = φ 0 + ∑ φi Υt −i + ε t i =1

(2.34)


26

Nilai harapan Υt persamaan (2.34) dengan mengingat syarat pertama white noise adalah p   Ε(Υt ) = Ε φ 0 + ∑ φi Υt −i + ε t  i =1  

  p = Ε(φ 0 ) + Ε ∑ φi Υt −i  + Ε(ε t )   i =1 p

= φ 0 + ∑ φi Υt −i

(2.35)

i =1

sedangkan nilai harapan Υt − k adalah p   Ε(Υt − k ) = Ε φ 0 + ∑ φi Υt − k −i + ε t − k  i =1  

  p = Ε(φ 0 ) + Ε ∑ φi Υt − k −i  + Ε(ε t − k )   i =1 p

= φ 0 + ∑ φi Υt − k −i

(2.36)

i =1

Persamaan (2.35) dan (2.36) keduanya dependen terhadap waktu. Karena Ε(Υt ) ≠ Ε(Υt − k ) maka {Υt } tidak stasioner. Persamaan (2.34) dapat ditulis menjadi p

Υt − ∑ φi Υt −i = φ0 + ε t i =1

Υt − φ1 Υt −1 − φ 2 Υt −2 − K − φ p Υt − p = φ 0 + ε t

(2.37)

Apabila persamaan (2.37) ditulis dalam bentuk operator pergeseran mundur dengan

B i Υt = Υt −i maka persamaannya menjadi


27

Υt − φ1 BΥt − φ 2 B 2 Υt − K − φ p B p Υt = φ 0 + ε t  p  Υt −  ∑ φi B i Υt = φ 0 + ε t  i =1  p   Υt 1 - ∑ φi B i  = φ 0 + ε t  i =1 

Υt =

φ0

+

p

1 - ∑ φi B

i

i =1 p

dengan

∑φ B i =1

εt p

1 − ∑ φ0 B

(2.38) i

i =1

i

i

≠ 1.

Nilai harapan Υt persamaam (2.38) dengan mengingat syarat pertama white noise adalah   φ0 εt Ε(Υt ) = Ε + p p  i i  1 − ∑ φi B 1 − ∑ φi B i =1 i =1 

  φ0 = Ε p  i  1 − ∑ φi B i =1  =

φ0 p

1 − ∑ φi B i =1

     

    εt  + Ε p   i   1 − ∑ φi B i =1  

      (2.39)

i


28

Nilai variansi Υt persamaam (2.38) dengan mengingat syarat kedua white noise adalah

Var (Υt ) = Ε(Υt − Ε(Υt ))

2

  φ0 εt φ0 = Ε + − p p p  i i i  1 − ∑ φi B 1 − ∑ φi B 1 − ∑ φi B i =1 i =1 i =1     ε t2 = Ε 2 p  i   1 − ∑ φ i B  i =1   =

     

2

      

σ2 p   1 − ∑ φi B i  i =1  

(2.40)

2

Nilai kovariansi (Υt , Υt − k ) dengan mengingat syarat ketiga white noise adalah Kov(Υt , Υt − k ) = Ε((Υt − Ε(Υt ))(Υt − k − Ε(Υt − k )))   φ0 εt φ0  = Ε  + − p p p    1 − ∑ φ i B i 1 − ∑ φi B i 1 − ∑ φi B i i =1 i =1 i =1    φ0 ε t −k φ0  + − p p p  i i i  1 − ∑ φi B 1 − ∑ φi B 1 − ∑ φi B i =1 i =1 i =1 

            


29

  εt  Kov(Υt , Υt − k ) = Ε  p    1 − ∑ φi B i i =1 

   ε t − k p  i  1 − ∑ φi B i =1 

   ε t ε t −k = Ε 2 p  i   1 − ∑ φ i B  i =1  

      

      

=0

(2.41)

Jadi autoregresi orde p merupakan runtun waktu yang stasioner. Bila persamaan (2.34) dikalikan Υt − k dengan k 〉 0 maka persamaannya menjadi Υt Υt −k = φ 0 Υt − k + φ1 Υt −1 Υt − k + K + φ p Υt − p Υt −k + ε t Υt − k

(2.42)

dan dengan mengambil nilai harapannya diperoleh Ε(Υt Υt − k ) = φ 0 Ε(Υt − k ) + φ1Ε(Υt −1 Υt − k ) + K + φ p Ε(Υt − p Υt − k ) + Ε(ε t Υt − k )

(2.43)

Persamaan (2.43) menurut definisi 2.2 dan dengan menggunakan persamaan (2.39) serta syarat ketiga white noise dapat ditulis menjadi

γk =

φ 02 p

1 − ∑ φi B

i

+ φ1γ k −1 + K + φ p γ k − p

(2.44)

i =1

Bila persamaan (2.44) dibagi γ 0 maka diperoleh fungsi autokorelasi AR (p) sebagai berikut p   φ 1 − ∑ φi B i  i =1  +φ ρ +K+φ ρ ρk =  1 k −1 p k− p 2 2 0

σ

(2.45)


30

Persamaan (2.45) merupakan persamaan yule-walker. untuk

k = 1,

ρ1 =



p





i =1

φ 02 1 − ∑ φi B i  σ

 +φ +φ ρ +K+φ ρ p p −1 1 2 1

2

p  2    φ 0 1 − ∑ φi B i      +φ +K+φ ρ i =1  2 p p −1  σ  1    ρ1 =  1 − φ2

k = 2,

ρ2 =



p





i =1

φ 02 1 − ∑ φi B i  σ

2

 +φ ρ +φ +K+φ ρ 1 1 2 p p−2

M

k = p,

ρp =



p



i =1



φ 02 1 − ∑ φi B i  σ

2

 +φ ρ +φ ρ +K+φ 1 p −1 2 p−2 p

Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) untuk AR (p) untuk

k = 1, M

p   2    φ 0 1 − ∑ φi B i   +φ +K+φ ρ   i =1  p p −1  σ2  1     φ11 = ρ1 = 1 − φ2


31

k = p,

φ pp =

1

ρ1

ρ1

1

ρ2 ρ1

M

M

M

ρ p −1

ρ p−2

ρ p −3

1

ρ1

ρ1

1 M

ρ2 ρ1

M

ρ p −1

ρ p−2

M

ρ p −3

L ρ1 L ρ2 M M L ρp L ρ p −1 L ρ p−2 L M L 1

φ kk = 0 , untuk k 〉 p. Autokorelasi parsial akan nol setelah lag p atau kurva akan terputus setelah suku kep.


BAB III MODEL ARCH

A. ARCH Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) merupakan model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan. Masalah yang dihadapi ketika berhadapan dengan data runtun waktu adalah masalah variabilitas, yang menentukan seberapa cepat data berubah menurut waktu. Variabilitas menjadi bagian sangat penting ketika sebuah sistem lebih bersifat stokastik dari pada deterministik. Dalam sistem stokastik sendiri juga masih dibedakan antara data runtun waktu dengan variabilitas konstan atau variabilitas tidak konstan. Suatu besaran yang dapat mengukur variabilitas adalah variansi. Variansi mengukur harapan seberapa besar nilai suatu data runtun waktu berbeda terhadap rata-rata data keseluruhan. Engle (1982) menunjukkan bahwa model runtun waktu, rata-rata dan variansinya dapat dicari secara bersamaan. Dengan manunjukkan bahwa ramalan bersyarat lenih unggul dari pada yang tidak bersyarat. Sebagai contoh, kita miliki AR(1) Υt = φ 0 + φ1 Υt −1 + ε t

(3.1)

dan ingin meramalkan Υt +1 yaitu ramalan satu langkah kedepan. Ramalan bersyarat untuk Υt +1 = φ 0 + φ1 Υt + ε t +1 dapat dinyatakan sebagai berikut:

32


33

Ε(Υt +1 Υt ) = Ε(φ 0 + φ1 Υt + ε t +1 ) = Ε(φ 0 ) + Ε(φ1 Υt ) + Ε(ε t +1 ) = φ 0 + φ1 Υt

(3.2)

Sedangkan bila digunakan ramalan tak bersyarat dengan memperhatikan persamaan (2.16) maka nilai harapan adalah Ε(Υt +1 ) =

φ0 1 − φ1

(3.3)

Bila kita gunakan rata-rata bersyarat (3.2) untuk mencari nilai variansi bersyarat, akan diperoleh Var (Υt +1 Υt ) = Ε[Υt +1 − Ε(Υt +1 Υt )]

2

= Ε[Υt +1 − φ 0 − φ1 Υt ]

2

= Ε[φ 0 + φ1 Υt + ε t +1 − φ 0 − φ1 Υt ]

2

( )

= Ε ε t2+1

karena Ε(ε t ) = 0 maka

( ) ( )

Ε ε t2+1 = Ε ε t2+1 − (Ε(ε t +1 ))

2

= Var (ε t +1 ) =σ2

(3.4)

Sedangkan bila digunakan ramalan tak bersyarat dengan memperhatikan persamaan (2.11) maka variansi tidak bersyarat dari Var (Υt +1 ) =

σ2 1 − φ12

(3.5)


34

Bila 0〈φ1 〈1 maka

1 ≥ 1 sehingga ramalan tidak bersyarat mempunyai variansi 1 − φ12

yang lebih besar, dengan alasan inilah ramalan bersyarat lebih digemari. Bila variansi bersyarat Υt dependen terhadap waktu maka disebut heteroskedastisitas. Suatu pendekatan menggambarkan kuadrat dari ε t dapat ditulis dalam proses AR (1) sebagai berikut

ε t2 = α 0 + α 1ε t2−1 + u t

(3.6)

Dengan ut merupakan white noise baru, α 0 〉 0 dan α 1 ≥ 0. Persamaan

(3.6)

merupakan

pesamaan

Autoregressive

Conditional

Heteroscedastic orde 1 (ARCH (1)). Sebagai alternatif persamaan (3.6), dapat dinyatakan dalam bentuk multiplikatif yang diusulkan Engle (1982) sebagai berikut

ε t = vt ht

(3.7)

dengan ht = α 0 + α 1ε t2−1 dan vt berdisribusi normal standar. Bila persamaan (3.7) kedua sisi dikuadratkan dan ε t2 menggunakan persamaan (3.6) maka persamaannya menjadi ht vt2 = ht + u t u t = ht (vt2 − 1)


35

Berikut ini beberapa sifat yang dimiliki oleh model ARCH (1): a. Nilai harapan ε t sama dengan nol. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan persamaan (3.9), sehingga akan diperoleh nilai harapan galat sebagai berikut

(

Ε(ε t ) = Ε vt α 0 + α 1ε t2−1

(

)

= Ε(vt )Ε α 0 + α 1ε t2−1

(

= 0Ε α 0 + α 1ε t2−1

)

)

=0 b. Bila α 1 〈1 maka galat (ε t ) mempunyai variansi tidak bersyarat yang konstan. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan Var (ε t ) = Ε(ε t − Ε(ε t ))

2

( )

2

= Ε εt

(( )( )) = Ε(v )Ε(α + α ε ) = 1Ε(α + α ε ) = Ε(α + α (v (α + α ε ))) = Ε(α + α α v + α v ε ) = Ε(α + α α v + α v (v (α + α ε ))) = Ε(α + α α v + α α v v + α v v ε )

= Ε vt2 α 0 + α 1ε t2−1 2 t

2 1 t −1

0

2 1 t −1

0

0

1

2 t −1

2 1 t −2

0

0

2 1 t −1

2 2 2 1 t −1 t − 2

0

0

2 1 t −1

2 2 1 t −1

0

0

2 1 t −1

0

0

2 t −2

2 2 2 1 t −1 t − 2

0

2 1 t −3

3 2 2 1 t −1 t − 2

2 t −3


36

Var (ε t ) = α 0 + α 0α 1 + α 0α 12 + α 0α 13 + K

(

)

= α 0 1 + α 1 + α 12 + α 13 + K =

α0 1 − α1

Jadi variansi tidak bersyarat dari ε t bersifat homoskedastik. c. Galat (ε t ) mempunyai variansi bersyarat yang tidak konstan. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan

( = Ε(ε

) )− 0

Var (ε t ε t −1 ) = Ε ε t2 ε t −1 − (Ε(ε t ε t −1 )) 2 t

ε t −1

2

)

(

2 = Ε vt α 0 + α 1ε t2−1   

( ( )) = Ε(v α ) + Ε(v α ε ) = α Ε(v ) + α ε Ε(v ) = Ε vt2 α 0 + α 1ε t2−1 2 t

0

0

2 t

2 t

2 1 t −1

2 1 t −1 2 t

= α 0 + α 1ε t2−1 = ht Jadi variansi bersyarat dari ε t bersifat heteroskedastisitas. d. Galat {ε t } tidak berkorelasi Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan kov(ε t , ε t − k ) = Ε[(ε t − Ε(ε t ))(ε t − k − Ε(ε t − k ))] = Ε(ε t ε t − k )


37

(

kov(ε t , ε t − k ) = Ε vt α 0 + α 1ε t2−1 .vt − k α 0 + α 1ε t2− k −1 = Ε(vt )Ε(vt − k )Ε

( (α

0

)

)(

+ α 1ε t2−1 α 0 + α 1ε t2− k −1

))

=0

Jadi korr (ε t , ε t − k ) = =

kov(ε t , ε t − k )

Var (ε t )Var (ε t − k ) 0

Var (ε t )Var (ε t − k )

=0 Karena nilai korelasi nol berarti {ε t } tidak berkorelasi. Bila pada persamaan (3.6) kuadrat dari ε t ditulis dalam proses AR (q) maka persamaannya menjadi

ε t2 = α 0 + α 1ε t2−1 +α 2 ε t2−2 + K + α q ε t2−q + u t Dengan ut merupakan

(3.8)

white noise, α 0 〉 0 dan α i ≥ 0 untuk i = 1,2,K, q Bila

α 1 = α 2 = α 3 = K = α q = 0 maka variabel galat terestimasi menjadi α 0 . Sebaliknya apabila hal ini tidak terjadi variansi bersyarat Υt akan membesar menurut proses autoregresi pada (3.8). Persamaan

(3.8)

merupakan

pesamaan

Autoregressive

Conditional

Heteroscedastic orde q (ARCH (q)). Persamaan (3.8) dapat dinyatakan dalam bentuk multiplikatif sebagai berikut


38

ε t = vt ht

(3.9)

dengan ht = α 0 + α 1ε t2−1 + K + α q ε t2− q dan vt berdisribusi normal standar Berikut ini beberapa sifat yang dimiliki oleh model ARCH (q): a. Nilai harapan ε t sama dengan nol. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan persamaan (3.9), sehingga akan diperoleh nilai harapan galat sebagai berikut q   Ε(ε t ) = Ε vt α 0 + ∑ α i ε t2−i  i =1 

   

q  = Ε(vt )Ε α 0 + ∑ α i ε t2−i  i =1  q  = 0Ε α 0 + ∑ α i ε t2−i  i =1 

   

   

=0 b. Galat (ε t ) mempunyai variansi tidak bersyarat yang konstan. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan Var (ε t ) = Ε(ε t − Ε(ε t ))

2

q  = Ε vt α 0 + ∑ α i ε t2−i  i =1 

   

2

q   = Ε vt2 Ε α 0 + ∑ α i ε t2−i  i =1  

( )


39

( = Ε(α

) )) + K + α (v (α

Var (ε t ) = 1Ε α 0 + α 1ε t2−1 + K + α q ε t2− q

( = Ε(α

0

( (

+ α 1 vt2−1 α 0 + α 1ε t2− 2

2 t −q

q

0

+ α q ε t2− q −1

)))

= Ε α 0 + α 0α 1vt2−1 + α 12 vt2−1ε t2− 2 + K + α 0α q vt2− q + α q2 vt2− q ε t2− q −1 0

( ( (v (α + α ε

)

)) )))

+ α 0α 1vt2−1 vt2− 2 α 0 + α 1ε t2−3 + K + α 0α q1vt2− q

+ α q2 vt2− q

2 t − q −1

0

q

2 t −q−2

(

= Ε α 0 + α 0 vt2−1 + α 0α 12 vt2−1vt2− 2 + α 13 vt2−1vt2− 2 ε t2−3 + K + α 0 β q vt2− q

) + (α α + α α + α α + K) + K + (α α + α α + α α (1 + (α + α + α + K) + K + (α + α + α + K)) + α 0α q2 vt2− q vt2− q −1 + α q2 vt2− q vt2− q −1 ε t2− q − 2

= α0 = α0 =

0

1

1

0

2 1

2 1

0

3 1

0

3 1

2 q

q

2 q

0

q

3 q

α0 1 − α1 − K − α q

Jadi variansi tak bersyarat dari ε t bersifat homoskedastik. c. Galat (ε t ) mempunyai variansi bersyarat yang tidak konstan. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan Var (ε t ε t −1 , K, ε t − q ) = Ε(ε t ε t −1 , K, ε t − q − Ε(ε t ε t −1 , K, ε t − q ))

2

(

)

= Ε ε t2 ε t −1 , K, ε t − q − 0  q  = Ε  vt α 0 + ∑ α i ε t2−i   i =1 

   

2

   

q  2    = Ε vt  α 0 + ∑ α i ε t2−i   i =1   

 q  = Ε vt2α 0 + Ε vt2 ∑ α i ε t2−i   i =1 

(

)

0

3 q

)

+K


40

( )

( )

Var (ε t ε t −1 , K , ε t − q ) = α 0 Ε vt2 + ∑ α i ε t2−i Ε vt2 q

i =1

q

= α 0 + ∑ α i ε t2−i i =1

= ht Jadi variansi bersyarat dari ε t bersifat heteroskedastisitas. d. Galat {ε t } tidak berkorelasi Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan kov(ε t , ε t − k ) = Ε[(ε t − Ε(ε t ))(ε t − k − Ε(ε t − k ))] = Ε(ε t ε t − k ) q q  = Ε vt α 0 + ∑ α i ε t2−i .vt − k α 0 + ∑ α i ε t2− k −i  i =1 i =1 

 = Ε(vt )Ε(vt − k )Ε  

q q   2   α 0 + ∑ α i ε t −i  α 0 + ∑ α i ε t2− k −i   i =1 i =1    

=0

Jadi korr (ε t , ε t − k ) = =

   

kov(ε t , ε t − k )

Var (ε t )Var (ε t − k ) 0

Var (ε t )Var (ε t − k )

=0 Karena nilai korelasi nol berarti {ε t } tidak berkorelasi.


41

B. Pengujian Adanya Efek ARCH Dalam Data Runtun Waktu

Data runtun waktu dalam kenyataannya tidak semua mempunyai efek ARCH. Untuk mengetahui ada atau tidaknya efek ARCH dalam data runtun waktu dapat diuji dengan uji Pengganda Langrange. Langkah-langkah dalam uji Pengganda langrange sebagai berikut: 1. Tentukan persamaan rata-rata yang paling sesuai untuk data runtun waktu yang

{ }

ingin dianalisis. Dari persamaan tersebut akan diperoleh kuadrat galat ε t2 .

{ }

2. Regresikan kuadrat galat ε t2 pada konstanta dan q lag terhadap dirinya sendiri.

ε t2 = α 0 + α 1ε t2−1 + α 2 ε t2− 2 + K + α q ε t2− q

(3.10)

( )

3. Hitung koefisien determinasi R 2 dari persamaan (3.10). 4. Dilakukan uji hipotesis seperti dibawah ini: Η 0 = α 0 = α 1 = α 2 = K = α q = 0 ( tidak ada efek ARCH hingga lag q ). Η 1 = paling sedikit terdapat satu α k ≠ 0, k = 1,2,3,4,K, q. Digunakan statistik uji TR 2 dengan T menyatakan banyaknya galat pada langkah satu. Dibawah hipotesis nol statistik uji TR 2 akan berdistribusi χ q2 . Hipotesis nol ditolak bila nilai TR 2 lebih besar dari χ q2 maka terdapat efek ARCH dalam data runtun waktu tersebut.


42

Contoh 3.1

Pada data dibawah ini periksalah apakah ada efek ARCH pada data dengan menggunakan uji Langrange Multiplier . t

Υt

1

30

2

20

3

45

4

35

5

30

6

60

7

40

8

50

9

45

10

65

Penyelesaiannya 1. Untuk memperoleh kuadrat galat digunakan persamaan model AR (1) Υt = β 0 + β 1 Υt −1 + ε t


43

t

Υt

Υt −1

Υt Υt −1

Υt2−1

1

30

-

0

0

2

20

30

600

900

3

45

20

900

400

4

35

45

1575

2025

5

30

35

1050

1225

6

60

30

1800

900

7

40

60

2400

3600

8

50

40

2000

1600

9

45

50

2250

2500

10

65

45

2925

2025

∑Υ

t

= 420

∑Υ

t −1

= 355

Nilai β dapat diduga dengan

βˆ1 =

=

n∑ Υt Υt −1 − ∑ Υt ∑ Υt −1 n∑ Υt2−1 − (∑ Υt −1 )

2

10(15.500 ) − (355)(420 ) 10(15.175) − (355)

= 0,229349

2

∑Υ Υ t

t −1

= 15.500

∑Υ

2 t −1

= 15.175


44

βˆ0 =

∑Υ

=

t

n

− βˆ1

∑Υ

t −1

n

420 355 − (0,229349 ) 10 10

= 33,85811 Υˆ t = βˆ 0 + βˆ1 Υˆ t −1 = 33,85811 + 0,22935Υˆ t −1 Nilai galat dapat dihitung dengan

ε t = Υt − Υˆ t Υˆ t

εt

ε t2

33,85811

-3,85811

14,88501

30

40,73861

-20,73861

430,08994

45

20

38,44511

6,55489

42,96658

4

35

45

44,17886

-9,17886

84,25147

5

30

35

41,88536

-11,88536

141,26178

6

60

30

40,73861

19,26139

371,00114

7

40

60

47,61911

-7,61911

58,05084

8

50

40

43,03211

6,96789

48,55149

9

45

50

45,32561

-0,32561

0,10602

10

65

45

44,17886

20,82114

433,51987

t

Υt

1

30

2

20

3

Υt −1


45

{ }

2. Regresi kuadrat galat ε t2 dalam persamaan ε t2 = α 0 + α 1ε t2−1 t

ε t2

ε t2−1

ε t2 ε t2−1

ε t4−1

1

14,88501

-

-

-

2

430,08994

14,88501

6401,89432

221,56361

3

42,96658

430,08994

18.479,49527

18.4977,36056

4

84,25147

42,96658

3.619,99781

1.846,12725

5

141,26178

84,25147

11.901,51294

7.098,31035

6

371,00114

141,26178

52.408,28295

19.954,89115

7

58,05084

371,00114

21.536,92705

137.641,84939

8

48,55149

58,05084

2.818,45470

3.369,89970

9

0,10602

48,55149

5,14752

2.357,24728

10

433,51987

0,10602

45,96259

0,01124

∑ε

2 t

∑ε

2 t

= 1.624,68416

∑ε

2 t −1

= 1.191,16429

ε t2−1 = 117.217,67516

∑ε

4 t −1

= 357.467,26052

Nilai α dapat diduga dengan

αˆ 1 =

=

n∑ ε t2−1ε t2 − ∑ ε t2 ∑ ε t2−1 n∑ ε t4−1 −

(∑ ε )

2 2 t −1

10(117.217,67516 ) − (1.624,68416 )(1.191,16429 ) 10(357.467,26052 ) − (1.191,16429 )

= −0,35397

2


46

αˆ 0 = =

∑ε

2 t

n

∑ t −1 − αˆ 1 n ε2

1.624,68416 1.191,16429 − (0,35397 ) 10 10

= 204,63208

εˆt2 = αˆ 0 + αˆ 1εˆt2−1 = 204,63208 − 0,35397εˆt2−1

ε t2 =

∑ε

t

n

2 t

=

1624,68416 = 162,46842 10

ε t2

(εˆ

− ε t2

)

2

(ε

− ε t2

)

2

ε t2−1

εˆt2

-

204,63208

1.777,77457

21.780,86089

2 t

2 t

1

14,88501

2

430,08994

14,88501

199,36323

1.361,22745

71.621,28267

3

42,96658

430,08994

52,39314

12.116,56587

14.280,68810

4

84,25147

42,96658

189,42320

726,56031

6.117,89049

5

141,26178

84,25147

174,80959

152,30450

449,72131

6

371,00114

141,26178

154,62965

61,44630

43.485,89898

7

58,05084

371,00114

73,30880

7.949,43626

10.903,03075

8

48,55149

58,05084

184,08383

467,22592

12.977,06578

9

0,10602

48,55149

187,44631

623,89513

26.361,54701

10

433,51987

0,10602

204,59455

1.774,61129

73.468,89124


47

R2

∑ (εˆ = ∑ (ε =

2 t

− ε t2

2 t

− ε t2

) )

2

2

27.011,04760 281.446,87721

= 0,09597

TR 2 = 10(0,09597 ) = 0,9597

χ 02.05 (1) = 3,84 Karena TR 2 〈 χ 2 maka Η 0 diterima. Jadi tidak terdapat efek ARCH dalam data runtun waktu tersebut.

C. Fungsi Likelihood ARCH

Bila persamaan (3.9) ε t

diasumsikan berdistribusi normal denganψ t adalah

himpunana informasi yang diketahui pada waktu t maka asumsi normalitasnya dengan menggunakan densitas bersyarat adalah sebagai berikut

ε t ψ t −1 ≈ Ν (0, ht )

(3.11)

Sedangkan fungsi densitasnya dengan γ = (α 0 , α 1 ,K , α q ) adalah f (ε t ψ t −1 ; γ ) = f (vt )

 ε  1 ∂vt = f t   h  h ∂ε t  t  t


48

f (ε t ψ t −1 ; γ ) =

2       εt    ht   1 1  exp − 2 2π   ht    

= (2πht )

−

1 2

 ε t2 exp −  2ht

   

(3.12)

Fungsi likelihood untuk sampel berukuran T dinyatakan sebagai berikut  T  f (ε 1 , K , ε T −1 , ε T ; γ ) =  ∏ f (ε t ψ t −1 ; γ ) f (ε 1 , Kε q ; γ )  t = q +1   T −ε 2 −1 =  ∏ (2πht ) 2 exp t  t = q +1  2ht 

   f (ε 1 , K , ε q ; γ )  

(3.13)

Bila Lt fungsi log likelihood untuk observasi ke t dari sampel berukuran T maka 1  T  ε2 − Lt = ln  ∏ (2πht ) 2 exp − t   t = q +1  2ht

=−

(T − q + 1) ln(2π ) − 1 2

T

    f (ε 1 ,K, ε q ; γ )   

∑ ln(ht ) −

2 t = q +1

T

ε t2

∑ 2h

t = q +1

ε t2 1  T  T − q +1  =− ln (2π ) − ∑ ln(ht ) + h 2 2  t = q +1  t

+ ln f (ε 1 , K, ε q ; γ )

t

   + ln f (ε 1 ,K, ε q ; γ )  

(3.14)

Dalam praktek ln f (ε 1 ,K, ε q ; γ ) biasanya diabaikan sehingga bentuk log likelihood menjadi

Lt = −

ε2 1 T  T − q +1 ln (2π ) −  ∑  ln(ht ) + t 2 2  t =q +1  ht

   

Persamaan (3.15) disebut maksimum likelihood.

(3.15)


49

Contoh 3.2

Diberikan nilai-nilai galat ε 1 = 0,1 , ε 2 = 0,2 , ε 3 = −0,1 . Dengan menggunakan fungsi maksimum likelihood tentukan persamaan ARCH (1). Penyelesaiannya sebagai berikut : Fungsi maksimum likelihood ARCH (1) adalah  ε t2 3 1 3   Lt = − ln(2π ) −  ∑  ln α 0 + α 1ε t2−1 + 2   2 2  t =2  α 0 + α 1ε t −1  

(

)

(3.16)

Parameter α dapat diduga dengan mencari turunan pertama Lt terhadap α sebagai berikut : Turunan pertama Lt terhadap α 0 adalah ∂Lt ∂ = ∂αˆ 0 ∂αˆ 0 =−

Karena

−

3  3   ε t2  − ln (2π ) − 1 ∑  ln (α 0 + α 1ε t2−1 ) +   2   2  2 + α α ε = 2 t − 0 1 1 t   

ε t2 1 3  1 − ∑ 2 t = 2  α 0 + α 1ε t2−1 (α 0 + α 1ε t2−1 )2

   

∂Lt = 0 maka ∂αˆ 0

ε t2 1 3  1 − ∑ 2 t =2  α 0 + α 1ε t2−1 α 0 + α 1ε t2−1

(

)

2

 =0  

(3.17)


50

Turunan pertama Lt terhadap α 1 adalah  ∂Lt ε t2 ∂  3 1 3  2   = − ln (2π ) − ∑  ln (α 0 + α 1ε t −1 ) + ∂αˆ 1 ∂αˆ 1  2 2 t =2  α 0 + α 1ε t2−1  

ε t2−1 ε t2 ε t2−1 1 3  =− ∑ − 2 t =2  α 0 + α 1ε t2−1 (α 0 + α 1ε t2−1 )2 Karena

−

   

∂Lt = 0 maka ∂αˆ 1

ε t2−1 ε t2 ε t2−1 1 3  − ∑ 2 t = 2  α 0 + α 1ε t2−1 (α 0 + α 1ε t2−1 )2

 =0  

(3.18)

Persamaan (3.17) dapat ditulis menjadi  α 0 + α 1ε t2−1 − ε t2  ∑  α +α ε 2 t =2  0 1 t −1 3

 =0  

α 0 + 0,01α 1 − 0,04 α 0 + 0,04α 1 − 0,01 + =0 (α 0 + 0,01α 1 )2 (α 0 + 0,04α 1 )2

(α 0 + 0,01α 1 − 0,04)(α 02 + 0,08α 0α 1 + 0,0016α 12 ) + (α 0 + 0,04α 1 − 0,01)

(α

2 0

)

+ 0,02α 0α 1 + 0,0001α 12 = 0

α 03 + 0,01α 02 - 0,04α 02 + 0,08α 02α 1 + 0,0008α 0α 12 - 0,0032α 0α 1 + 0,0016α 0α 12 + 0,000016α 13 - 0,000064α 12 + α 03 + 0,04α 02α 1 - 0,01 α 02 + 0,02α 02α 1 + 0,0008α 0α 12 - 0,0002α 0α 1 + 0,0001α 0α 12 + 0,000004α 13 - 0,000001α 12 = 0 2α 03 − 0,05α 02 + 0,15α 02α 1 + 0,0033α 0α 12 - 0,0034α 0α 1 + 0,00002α 13 - 0,000065α 12 = 0

(2α 0 − 0,05)α 02 + (0,15α 0 + 0,0033α 1 − 0,0034)α 0α 1 + (0,00002α 1 − 0,000065)α 12

=0

(3.19)


51

Bila persamaan (3.19) diturunkan terhadap α 0 maka persamaannya menjadi 2α 02 − (2α 0 − 0,05)2α 0 + 0,15α 0α 1 − (0,15α 0 + 0,0033α 1 − 0,0034 )α 1 = 0 − 2α 02 + 0,1α 0 − 0,0033α 12 + 0,0034α 1 = 0

(3.20)

Sedangkan persamaan (3.18) dapat ditulis menjadi  α 0 ε t2−1 + α 1ε t4−1 − ε t2 ε t2−1   =0 ∑ 2   + α α ε t =2  0 1 t −1  3

0,01α 0 + 0,0001α 1 − 0,0004

(α 0 + 0,01α 1 )

2

+

(3.21)

0,04α 0 + 0,0016α 1 − 0,0004

(α 0 + 0,04α 1 )2

=0

(0,01α 0 + 0,0001α 1 − 0,0004)(α 02 + 0,08α 0α 1 + 0,0016α 12 ) + (0,04α 0 + 0,0016α 1 − 0,0004)(α 02 + 0,02α 0α 1 + 0,0001α 12 ) = 0 0,01α 03 + 0,0001α 02α 1 - 0,0004α 02 + 0,0008α 02α 1 + 0,000008α 0α 12 - 0,000032α 0α 1 + 0,000016α 0α 12 + 0,00000016α 13 - 0,00000064α 12 + 0,04α 03 + 0,0016α 02α 1 - 0,0004 α 02 + 0,0008α 02α 1 + 0,000032α 0α 12 - 0,000008α 0α 1 + 0,000004α 0α 12 + 0,00000016α 13 - 0,00000004α 12 = 0 0,05α 03 − 0,0008α 02 + 0,0033α 02α 1 + 0,00006α 0α 12 - 0,00004α 0α 1 + 0,00000032α 13 - 0,00000068α 12 = 0

(0,05α 0 − 0,0008)α 02 + (0,0033α 0 + 0,00006α 1 − 0,00004)α 0α 1 + (0,00000032α 1 − 0,00000068)α 12

=0

(3.22)

Bila persamaan (3.22) diturunkan terhadap α 1 maka persamaannya menjadi 0,0006α 0α 1 − (0,0033α 0 + 0,0006α 1 − 0,00004 )α 0 + 0,00000032α 12 −

(0,00000032α 1 − 0,00000068)2α 1 = 0 − 0,0033α 02 + 0,00004α 0 − 0,00000032α 12 + 0,00000136α 1 = 0

(3.23)


52

Bila persamaan (3.20) dan (3.23) dibentuk eliminasi dengan mengalikan 2500 pada persamaan (2.23) maka persamaannya menjadi − 2α 02 + 0,1α 0 − 0,0033α 12 + 0,0034α 1 = 0 − 8,25α 02 + 0,1α 0 − 0,0008α 12 + 0,0034α 1 = 0 6,25α 02 − 0,0025α 12 = 0

α 02 =

0,0025α 12 = 0,0004α 12 6,25

α 0 = 0,02α 1 Subtitusikan α 0 = 0,02α 1 kedalam persamaan (3.20) sehingga diperoleh − 0,0008α 12 + 0,002α 1 − 0,0033α 12 + 0,0034α 1 = 0 − 0,0041α 12 + 0,0054α 1 = 0

α 1 (− 0,0041α 1 + 0,0054) = 0 α 1 = 0 atau α 1 =

0,0054 = 1,317 0,0041

α 0 = 0,02(1,317 ) = 0,02634 Jadi persamaan model ARCH (1) adalah

ε t = vt 0,02634 + 1,317ε t2−1


BAB IV Penerapan Model ARCH Pada Data Harga Saham Composite Index

Studi kasus ini menggunakan data harga saham Composite Index , dari tanggal 03 januari 2005 sampai dengan 29 desember 2005. Data tercantum dalam lampiran diambil dari situs http: finance.yahoo.com banyaknya observasi yang digunakan sebanyak 243. Analisis data menggunakan program eviws dan minitab.

A. Identifikasi Model Awal Langkah awal dari pembentukan model yaitu dengan mengenali sifat data asli. Gambar 1 merupakan plot dari data asli saham Composite Index . Sumbu y menyatakan harga saham, sedangkan sumbu x menyatakan waktu atau tanggal. Data asli saham Composite Index dinotasikan dengan Υt . 1200

1150

1100

1050

1000 1

24

48

72

96

120

144

Gambar 1

53

168

192

216

240


54

Pada gambar 1 terlihat bahwa data asli memiliki bentuk trend. Kemudian plot ACF data asli. Autocorrelation Function for y (w ith 5% significance limits for the autocorrelations) 1,0 0,8

Autocorrelation

0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 1

10

20

30

40

50 Lag

60

70

80

90

100

Gambar 2 Gambar 2 terlihat bahwa nilai autokorelasi setelah lag kedua atau ketiga jauh diatas garis batas toleransi. Hal ini menandakan bahwa data asli tidak stasioner. Untuk merubah kebentuk stasioner maka data asli perlu dilakukan differencing. Sehingga diperoleh data runtun waktu baru. Data runtun waktu hasil differencing pertama dari Υt dinotasikan Wt dengan Wt = Υt − Υt −1

(4.1)


55

Gambar 3 dibawah ini merupakan plot dari data setelah dilakukan differencing satu kali. 50

25

0

-25

-50 1

24

48

72

96

120

144

168

192

216

240

Gambar 3 Pada gambar 3 memperlihatakan bahwa data setelah dilakukan differencing satu kali sudah stasioner. Kemudian kita lihat plot ACF dan PACF dari Wt . Gambar 4 merupakan plot ACF dari Wt . Terlihat setelah lag pertama semua lag berada dibawah batas toleransi. A u to c o r r e la tio n F u n c tio n fo r w ( w ith 5 % s ig n if ic a n c e lim its fo r th e a u to c o r r e la tio n s ) 1 ,0 0 ,8

Autocorrelation

0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 ,0 - 0 ,2 - 0 ,4 - 0 ,6 - 0 ,8 - 1 ,0 1

20

40

60

80

100

120 La g

Gambar 4

140

160

180

200

220

240


56

Gambar 5 dibawah ini menunjukkan plot PACF untuk W. Terlihat hampir semua lag berada dibawah batas toleransi. Hal ini menunjukkan datanya stasioner. Ada tiga lag yang melewati garis toleransi, ini menunjukkan adanya proses AR (3). P ar tial Autocor r elation F unction for w (w ith 5% significance lim its for the partial autocorrelations) 1,0

Partial Autocorrelation

0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 1

20

40

60

80

100

120 La g

140

160

180

200

220

240

Gambar 5 Sebelum mencari model sesungguhnya dari proses ARCH, harus diduga terlebih dahulu model awal dari data. Sehingga menghasilkan galat yang digunakan untuk menduga nilai parameter dari model ARCH. Pada data diasumsikan model awal sebagai proses dari AR(3). Dari lampiran 2 dapat dibentuk model awal sebagai berikut Wt = 0,531874 + 0,167782Wt −1 − 0,075319Wt − 2 + 0,106073Wt −3

(4.2)

Bila persamaan (4.2) Wt menggunakan persamaan (4.1) maka persamaannya menjadi Υt − Υt −1 = 0,531874 + 0,167782(Υt −1 − Υt − 2 ) − 0, 075319(Υt − 2 − Υt −3 ) + 0,106073(Υt −3 − Υt − 4 )

(4.3)


57

Karena koefisien AR (2) dan AR (3) kurang dari satu. Sedangkan nilai probabilitas AR (2) 0,2502 dan AR (3) 0,1006 lebih dari 0,05 yang berarti menerima hipotesis nol ( menerima bahwa masing-masing parameter sama dengan nol). Hal ini juga diperkuat oleh nilai statistik-t

AR (2) -1,152626 lebih dari -1,96 dan AR (3)

1,648216 kurang dari 1,96 sehingga memungkinkan untuk menerima hipotesis nol. Hal itu mengakibatkan persamaan (4.3) menjadi Υt − Υt −1 = 0,531874 + 0,167782(Υt −1 − Υt − 2 )

(4.4)

Persamaan (4.4) disebut persamaan AR (1) dari data yang sudah dilakukan differencing satu kali. Pada lampiran 3 model awal dari data yang telah dilakukan differencing satu kali dengan menggunakan AR (1) ternyata signifikan. Hal itu ditunjukkan dengan nilai probabilitas AR (1) 0,0202 kurang dari 0,05 dan stasistik-t 2,338679 lebih dari 1,96 yang berarti menolak hipotesis nol ( menolak bahwa koefisien sama dengan nol). Sehingga model awalnya sebagai berikut Υt − Υt −1 = 0,584007 + 0,148984(Υt −1 − Υt − 2 )

(4.5)

B. Uji efek ARCH

Pada persamaan (4.5) diperoleh barisan galat. Barisan galat tersebut digunakan untuk menguji ada atau tidaknya efek ARCH dalam data harga saham Composite Index setelah dilakukan differencing.


58

Hasil yang diperoleh dari lampiran 4 terlihat bahwa nilai statistik TR 2 bernilai 27,11342 lebih besar dari statistik χ 02,05 (3) = 7,81 dan mempunyai nilai probabilitas 0 kurang dari 0,05. Sehingga hipotesis nol ditolak yang berarti ada efek ARCH dalam prosses. Efek ARCH dipengaruhi oleh persamaan ht = 96,95835 + 0,336174ε t2−1

(4.6)

C. Pembentukan Model Akhir

Setelah diketahui bahwa data mempunyai model efek ARCH dengan orde 1, selanjutnya dibentuk model regresi ARCH. Pada lampiran 5 memperlihatkan bahwa persamaan (4.5) dan (4.6) akan berubah menjadi Υt − Υt −1 = 1,753197 + 0,220550(Υt −1 − Υt − 2 )

(4.7)

dengan ht = 102,6211 + 0,290971ε t2−1

(4.8)

Karena nilai probabilitas AR (1) 0,0019 dan ARCH (1) 0,0026 kurang dari 0,05, sedangkan statistik-z AR (1) 3,101653 dan ARCH (1) 3,014244 lebih dari 1,64 maka Η 0 ditolak yang berarti koefisien persamaan (4.7) dan (4.8) tidak samadengan nol. Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan (4.7) dan (4.8) merupakan model regresi ARCH yang sesuai untuk data harga saham Composite Index. Untuk meramalkan harga saham pada tanggal 30 desember 2005 dapat dicari dengan menggunakan persamaan (4.7) dan (4.8), sehingga diperoleh


59

Υ244 − Υ243 = 1,753197 + 0,220550(Υ243 − Υ242 ) Υ244 − 1162,640 = 1,753197 + 0,220550(1162,640 − 1164,140) Υ244 = 1,753197 + 0,220550(− 1,5) − 1162,640 = 1164,062 dan h244 = 102,6211 + 0,29097(2,1835) = 103,2564


BAB V PENUTUP

A. Simpulan Pada kenyataanya data runtun waktu tidak semuanya memiliki variansi konstan. Model Autoregresif (AR) merupakan model yang menganggap bahwa data runtun waktu memiliki variansi konstan. Sedangkan model ARCH

(Autoregressive

Conditional Heteroscedastic) merupakan model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan. Variansi merupakan variabel dalam statistik yang menggambarkan seberapa jauh perubahan data terhadap nilai rata-ratanya. Nilai parameter pada model ARCH diperoleh dengan metode iteratif yang diturunkan dari estimasi maksimum likelihood. Dari data harga saham Composite Index menunjukkan bahwa dalam data tersebut ada efek ARCH. Sehingga data harga saham Composite Index dapat diatasi menggunakan model ARCH. Namun peramalan dengan model ARCH tidak dapat mendeteksi faktor-faktor yang mempengaruhi perubahan harga yang signifikan.

B. Saran Untuk mengatasi data runtun waktu dengan variansi yang tidak konstan selain model ARCH masih ada model ARCH-M, TARCH, GARCH dan EGARCH yang dapat dipelajari sebagai kelanjutan dari model ARCH yang penulis bahas.

60


DAFTAR PUSTAKA

Box, E.P George, Jenkins, M. Gwilym & Reinsel, C. Gregory. (1994). Time Series Analysis Forcasting and Control. USA: Prentice Hall Internasional. Daniel, Dena dkk. (2001). A Course in Time Series Analysis. New York: Wiley. Damodar, Gujarati. (1991). Ekonometrika Dasar (Terjemahan sumarno Zain). Jakarta: Penerbit Erlangga. Engle, R.F & Fadden, Mc, D.L. (1994). Handbook of econometrics (volume IV), 49, 2961-3031. Gourieroux, C. (1997). ARCH Models and Financial Applications. New York : Springer-Verlag . Halim, Siana, Rahardjo, Jani & Adelia, Shirley. Model Matematika Untuk Menentukan Nilai Tukar Mata Uang Rupiah Terhadap Dollar Amerika. http://puslit.petra.ac.id/journals/industrial. Makridakis, Spyros. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Penerbit Erlangga. Verbeek, Marno.(2000). A Guide to Modern Econometrics. New York: John Wiley & sons. LTD. William, H greene. (1951). Econometric Analysis. New York: New York University.

61


LAMPIRAN


62

Lampiran 1 : Data harga saham Composite Index dari tanggal 03 januari 2005 sampai dengan 29 desember 2005

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Tgl

Close

No

3-Jan-05

1000.88

4-Jan-05

1018.54

5-Jan-05

1015.43

6-Jan-05

1029.89

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

7-Jan-05

1032.53

10-Jan-05

1015.48

11-Jan-05

1011.67

12-Jan-05

1008.58

13-Jan-05

1021.67

14-Jan-05

1021.34

17-Jan-05

1024.89

18-Jan-05

1017.73

19-Jan-05

1027.81

20-Jan-05

1035.75

24-Jan-05

1030.72

25-Jan-05

1026.89

26-Jan-05

1037.51

27-Jan-05

1044.99

28-Jan-05

1046.48

31-Jan-05

1045.44

1-Feb-05

1047.53

2-Feb-05

1052.82

3-Feb-05

1049.33

4-Feb-05

1048.39

7-Feb-05

1041.63

8-Feb-05

1036.60

11-Feb-05

1045.87

14-Feb-05

1050.73

15-Feb-05

1067.20

16-Feb-05

1073.44

17-Feb-05

1082.98

Tgl

Close

18-Feb-05

1092.49

21-Feb-05

1093.78

22-Feb-05

1099.91

23-Feb-05

1102.93

24-Feb-05

1102.02

25-Feb-05

1083.38

28-Feb-05

1073.83

1-Mar-05

1093.28

2-Mar-05

1082.75

3-Mar-05

1094.60

4-Mar-05

1103.01

7-Mar-05

1105.30

8-Mar-05

1114.21

9-Mar-05

1116.81

10-Mar-05

1108.05

14-Mar-05

1123.48

15-Mar-05

1119.00

16-Mar-05

1138.23

17-Mar-05

1134.59

18-Mar-05

1147.87

21-Mar-05

1151.56

22-Mar-05

1152.60

23-Mar-05

1142.15

24-Mar-05

1114.55

28-Mar-05

1100.24

29-Mar-05

1070.30

30-Mar-05

1065.13

31-Mar-05

1080.17

1-Apr-05

1095.07

4-Apr-05

1100.20

5-Apr-05

1096.53


63

No 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93

Tgl

Close

No

6-Apr-05

1103.29

7-Apr-05

1111.62

8-Apr-05

1111.23

11-Apr-05

1105.98

12-Apr-05

1110.88

13-Apr-05

1116.67

14-Apr-05

1108.44

15-Apr-05

1096.52

18-Apr-05

1060.19

19-Apr-05

1062.69

20-Apr-05

1070.95

21-Apr-05

1047.80

25-Apr-05

1019.88

26-Apr-05

1031.77

27-Apr-05

1032.22

28-Apr-05

1038.36

29-Apr-05

1029.61

2-May-05

1026.52

3-May-05

1033.50

4-May-05

1049.58

6-May-05

1068.28

9-May-05

1080.21

10-May-05

1071.16

11-May-05

1057.08

12-May-05

1063.83

13-May-05

1059.27

16-May-05

1048.79

17-May-05

1045.77

18-May-05

1040.26

19-May-05

1045.46

20-May-05

1048.11

94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Tgl

Close

23-May-05

1045.15

25-May-05

1049.06

26-May-05

1054.36

27-May-05

1061.49

30-May-05

1062.96

31-May-05

1088.17

1-Jun-05

1082.94

2-Jun-05

1091.46

3-Jun-05

1092.50

6-Jun-05

1096.83

7-Jun-05

1092.81

8-Jun-05

1095.51

9-Jun-05

1094.19

10-Jun-05

1096.93

13-Jun-05

1100.88

14-Jun-05

1105.89

15-Jun-05

1119.58

16-Jun-05

1125.76

17-Jun-05

1141.82

20-Jun-05

1147.71

21-Jun-05

1133.33

22-Jun-05

1134.69

23-Jun-05

1137.42

24-Jun-05

1135.67

27-Jun-05

1119.90

28-Jun-05

1127.82

29-Jun-05

1126.86

30-Jun-05

1122.38

1-Jul-05

1138.99

4-Jul-05

1138.88

5-Jul-05

1131.17


64

No 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155

Tgl

Close

No

6-Jul-05

1117.81

7-Jul-05

1108.40

8-Jul-05

1110.56

11-Jul-05

1123.46

12-Jul-05

1129.11

13-Jul-05

1132.79

14-Jul-05

1136.57

15-Jul-05

1131.46

18-Jul-05

1128.44

19-Jul-05

1132.02

20-Jul-05

1140.66

21-Jul-05

1157.51

22-Jul-05

1172.24

25-Jul-05

1169.75

26-Jul-05

1178.00

27-Jul-05

1178.11

28-Jul-05

1186.61

29-Jul-05

1182.30

1-Aug-05

1178.22

2-Aug-05

1189.33

3-Aug-05

1192.20

4-Aug-05

1185.33

5-Aug-05

1174.09

8-Aug-05

1158.59

9-Aug-05

1162.80

10-Aug-05

1176.84

11-Aug-05

1167.97

12-Aug-05

1153.97

15-Aug-05

1118.27

16-Aug-05

1113.82

18-Aug-05

1100.30

156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186

Tgl

Close

19-Aug-05

1087.95

22-Aug-05

1076.35

23-Aug-05

1066.09

24-Aug-05

1035.44

25-Aug-05

1061.85

26-Aug-05

1048.87

29-Aug-05

994.77

30-Aug-05

1039.82

31-Aug-05

1050.09

1-Sep-05

1039.23

5-Sep-05

1035.89

6-Sep-05

1051.59

7-Sep-05

1059.38

8-Sep-05

1080.45

9-Sep-05

1098.46

12-Sep-05

1105.66

13-Sep-05

1085.74

14-Sep-05

1058.63

15-Sep-05

1050.91

16-Sep-05

1056.73

19-Sep-05

1066.59

20-Sep-05

1055.59

21-Sep-05

1044.06

22-Sep-05

1016.76

23-Sep-05

1012.85

26-Sep-05

1034.58

27-Sep-05

1037.63

28-Sep-05

1027.89

29-Sep-05

1048.30

30-Sep-05

1079.28

3-Oct-05

1083.41


65

No 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217

Tgl

Close

No

4-Oct-05

1101.17

5-Oct-05

1104.06

6-Oct-05

1096.38

7-Oct-05

1094.65

10-Oct-05

1102.78

11-Oct-05

1105.63

12-Oct-05

1102.98

13-Oct-05

1090.54

14-Oct-05

1096.70

17-Oct-05

1090.09

18-Oct-05

1095.87

19-Oct-05

1075.91

20-Oct-05

1075.40

21-Oct-05

1075.96

24-Oct-05

1073.08

25-Oct-05

1062.17

26-Oct-05

1062.18

27-Oct-05

1063.70

28-Oct-05

1058.26

31-Oct-05

1066.22

1-Nov-05

1064.95

9-Nov-05

1052.82

10-Nov-05

1043.70

11-Nov-05

1028.98

14-Nov-05

1017.73

15-Nov-05

1022.08

218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243

16-Nov-05

1025.83

17-Nov-05

1033.28

18-Nov-05

1054.98

21-Nov-05

1062.46

22-Nov-05

1066.29

Tgl

Close

23-Nov-05

1061.08

24-Nov-05

1078.18

25-Nov-05

1074.40

28-Nov-05

1081.06

29-Nov-05

1082.28

30-Nov-05

1096.64

1-Dec-05

1096.37

2-Dec-05

1119.42

5-Dec-05

1120.58

6-Dec-05

1123.44

7-Dec-05

1151.36

8-Dec-05

1158.32

9-Dec-05

1160.07

12-Dec-05

1175.01

13-Dec-05

1182.03

14-Dec-05

1173.72

15-Dec-05

1155.96

16-Dec-05

1143.43

19-Dec-05

1162.33

20-Dec-05

1163.03

21-Dec-05

1160.56

22-Dec-05

1164.02

23-Dec-05

1158.34

27-Dec-05

1161.71

28-Dec-05

1164.14

29-Dec-05

1162.64


66

Lampiran 2 : Hasil analisis dari data yang telah didifferencing satu kali dengan menggunakan AR (3)

Dependent Variable: W Method: Least Squares Date: 12/18/06 Time: 09:33 Sample(adjusted): 5 243 Included observations: 239 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C AR(1) AR(2) AR(3)

0.531874 0.167782 -0.075319 0.106073

0.975778 0.064643 0.065345 0.064356

0.545076 2.595498 -1.152626 1.648216

0.5862 0.0100 0.2502 0.1006

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted AR Roots

0.038158 0.025879 12.08917 34344.80 -932.7715 2.000796 .48

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) -.15 -.45i

-.15+.45i

0.555439 12.24870 7.839092 7.897276 3.107588 0.027213


67

Lampiran 3 : Hasil analisis dari data yang telah didifferencing satu kali dengan menggunakan AR (1)

Dependent Variable: W Method: Least Squares Date: 12/18/06 Time: 08:34 Sample(adjusted): 3 243 Included observations: 241 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C AR(1)

0.584007 0.148984

0.917453 0.063705

0.636552 2.338679

0.5250 0.0202

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted AR Roots

0.022373 0.018282 12.12041 35110.16 -942.2288 1.977528 .15

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

0.597925 12.23275 7.835923 7.864843 5.469422 0.020177


68

Lampiran 4 : Hasil analisis uji efek ARCH

ARCH Test: F-statistic Obs*R-squared

30.31188 27.11342

Probability Probability

0.000000 0.000000

Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 12/18/06 Time: 10:37 Sample(adjusted): 4 243 Included observations: 240 after adjusting endpoints Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C RESID^2(-1)

96.95835 0.336174

21.00267 0.061060

4.616478 5.505623

0.0000 0.0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0.112973 0.109246 294.4876 20640068 -1703.998 2.020101


146.1302 312.0241 14.21665 14.24565 30.31188 0.000000


69

Lampiran 5 : Hasil analisis penentuan model akhir

Dependent Variable: W Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 12/18/06 Time: 08:38 Sample(adjusted): 3 243 Included observations: 241 after adjusting endpoints Convergence achieved after 17 iterations Variance backcast: ON C AR(1)

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.

1.753197 0.220550

0.976684 0.071107

1.795050 3.101653

0.0726 0.0019

7.925826 3.014244

0.0000 0.0026

Variance Equation C ARCH(1) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted AR Roots

102.6211 0.290971 0.011555 -0.000957 12.23860 35498.66 -931.6319 2.098638 .22

12.94768 0.096532


0.597925 12.23275 7.764580 7.822419 0.923523 0.430078


70

Lampiran 6 : Tabel distribusi statistik-t

v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

∞

α 0,10 3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,42 1,40 1,38 1,37 1,36 1,36 1,35 1,35 1,34 1,34 1,33 1,33 1,33 1,33 1,32 1,32 1,32 1,32 1,32 1,32 1,31 1,31 1,31 1,28

0,05 6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,64

0,025 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 1,96

0,01 31,82 6,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,53 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2,49 2,48 2,47 2,47 2,46 2,33

0,005 63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,58


71

Lampiran 7 : Tabel distribusi khi-kuadrat

v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 50 100 500 1000

α 0,995 0,00 0,01 0,07 0,21 0,41 0,68 0,99 1,34 1,72 2,16 2,60 3,07 3,57 4,07 4,60 5,14 5,70 6,26 6,84 7,43 8,03 8,64 9,26 9,89 10,52 11,16 11,81 12,46 13,12 13,79 27,99 67,33 422,3 888,6

0,99 0,00 0,02 0,11 0,30 0,35 0,87 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,20 10,86 11,52 12,20 12,88 13,56 14,26 14,95 29,71 70,06 429,4 898,8

0,975 0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,28 10,98 11,69 12,40 13,12 13,84 14,57 15,31 16,05 16,79 32,36 74,22 439,9 914,3

0,95 0,00 0,10 0,35 0,71 1,51 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,12 10,85 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49 34,76 77,93 449,1 927,6

0,90 0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,87 5,58 6,30 7,04 7,79 8,55 9,31 10,09 10,86 11,65 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 17,29 18,11 18,94 19,77 20,60 37,69 82,36 459,9 943,1

0,10 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 10,64 12,02 13,36 14,68 15,99 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,41 29,62 30,81 32,01 33,20 34,38 35,56 36,74 37,92 39,09 40,26 63,17 118,5 540,9 1058

0,05 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,00 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,42 37,65 38,89 40,11 41,34 42,56 43,77 67,50 124,3 553,1 1075

0,025 5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 14,45 16,01 17,54 19,02 20,48 21,92 23,34 24,74 26,12 27,49 28,85 30,19 31,53 32,85 34,17 35,48 36,78 38,08 39,36 40,65 41,92 43,19 44,46 45,72 46,98 71,42 129,6 563,9 1090

0,01 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 16,81 18,48 20,09 21,67 23,21 24,72 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49,59 50,89 76,15 135,8 576,5 1107

0,005 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75 18,55 20,28 21,96 23,59 25,19 26,76 28,30 29,82 31,32 32,80 34,27 35,72 37,16 38,58 40,00 41,40 42,80 44,18 45,56 46,93 48,29 49,65 50,99 52,34 53,67 79,49 140,2 585,2 1119

PERAMALAN DENGAN MODEL ARCH SKRIPSI

Recommend Documents