PENYAJIAN ISI DAFTAR MATEMATIKA SEBAGAI NILAI FUNGSI POLINOM Abdul Hamid 1) Email:
[email protected] FKIP Universitas Tadulako PENDAHULUAN Dalam pelajaran matematika maupun terapannya, telah dikenal dua cara perhitungan untuk memperoleh informasi jawab. Kedua cara yang dimaksudkan itu adalah cara analisis dan cara numerik. Perhitungan secara analisis selalu memberikan jawaban yang bernilai eksak. Sedangkan perhitungan secara numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawaban yang bernilai eksak, tetapi biasanya menghasilkan suatu nilai pendekatan yang berbeda dari jawaban eksak sebesar suatu nilai yang dapat diterima berdasarkan pertimbangan praktis. Perbedaan nilai inilah yang disebut galat. Guru matematika, praktisi dan pengguna matematika selalu berhadapan dengan nilai pendekatan atau hampiran. Nilai pendekatan ini dapat ditentukan sendiri berdasarkan aturan, malahan sudah tersedia dalam bentuk tabel atau daftar seperti daftar matematika, tabel statistik dan kumpulan nilai yang sejenis. Selama ini, kumpulan nilai dalam daftar matematika tidak pernah kita persoalkan dari mana dan bagaimana cara mendapatkannya. Kita hanya menerima apa adanya dan menggunakan sesuai peruntukannya. Kandungan isi di dalam daftar matematika yang dulu terkenal dengan nama daftar logaritma, sudah tersedia dan dapat diakses melalui handphon (HP) dan Kalkulator. Seiring dengan perkembangan teknologi, fungsi kalkulator sebagai alat bantu perhitungan, secara non fisik juga sudah tersedia dalam handphon (HP). Pokoknya tinggal tindis tombol. Namun dibalik kecanggihan kalkulator dan HP, sangat kurang orang mempertanyakan bagaimana cara dan proses mendapatkan bilangan dalam daftar matematika itu? Atas pertanyaan ini, maka penulis tertarik mengangkat tulisan ini yaitu Penyajian Isi dalam Daftar Matematika Sebagai Nilai Fungsi Polinom. Dan dalam tulisan ini hanyalah menyampaikan pesan, betapa rumitnya mendapatkan setiap bilangan dalam daftar jika dilakukan secara manual. Kerumitan menentukan bilangan di dalam daftar matematika itu sebagai guru atau dosen matematika, kita tetap berusaha untuk menyampaikan jawaban kepada anak didik kita bahwa isi dalam daftar matematika itu semuanya dapat diperoleh dengan menggunakan konsep dan rumus matematika juga. Salah satu konsep fungsi yang digunakan adalah fungsi polinom atau fungsi suku banyak yang diuraikan berikut ini. NILAI FUNGSI ALJABAR DALAM DAFTAR MATEMATIKA Banyak nilai fungsi yang sangat sulit dan bahkan tidak bisa dicari melalui fungsi asalnya. Untuk mencari nilai fungsi tersebut terpaksa dihampiri oleh fungsi suku banyak atau polinom. Dan polinom tersebut dijadikan sebagai pengganti fungsi asalnya. Polinom yang biasa digunakan untuk menghampiri sutu fungsi adalah polinom Taylor. Rumus polinom Taylor merupakan perluasan dari teorema Nilai Rata-rata Taylor dalam Kalkulus (Purcell dan D.Varberg. 2006 : 51) yang menyatakan: Misal f adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan ke n dan kontinu pada selang tutup a, b . Jika n 1 f ( x ) ada untuk setiap x a , b , maka terdapat suatu titik c a , b sehingga:
52 AKSIOMA Jurnal Pendidikan Matematika, Vol. 5, No. 3, Desember 2016 disajikan dalam Seminar Nasional Pendidikan Matematika ke-4 Universitas Tadulako, 4 Desember 2016
f (b )
f (a )
1
f
( a )( b
f
a)
2
( a )( b
a)
2
n
f
....
( a )( b
2! n 1
f
( c )( b (n
a)
a)
n
n!
n 1
. …………………………………..
1) !
(2.1)
Kedudukan bilangan b pada teorema (2.1) di atas dapat digantikan oleh suatu variable x sehingga diperoleh rumus atau bentuk polinom yaitu : f ( x)
f (a )
1
f
( a )( x
f
a)
2
( a )( x
a)
2
n
f
....
( a )( x
2! n
f
1
( c )( x (n
a)
n
a)
n
n!
1
.
1) !
……………………..………….
(2.2)
Bentuk (2.2) ini dikenal dengan nama Polinom Taylor derajat n atau orde n dari fungsi f disekitar titik x a (Kreyzig, 2006 : 769). Khususnya jika kita mengambil x 0 , maka bentuk polinom (2.2) di atas menjadi: f ( x)
f (0)
f
1
2
f
(0) x
(0) x
2
f
....
n
2!
(0) x
n
f
n!
n 1
(0) x
(n
n 1
1) !
….. (2.3)
Bentuk yang dinyatakan oleh (2.3) ini dikenal dengan nama polinom Maclaurin. Tentu saja ke n turunan pertama dari fungsi f di atas kontinu di x 0 . Selanjutnya, rumus polinom Taylor pada (2.2) di atas dapat dinyatakan secara parsial yang terdiri atas dua komponen penting yaitu : Pn x
R
n
x
f (a )
f
1
( a )( x
a)
f
2
( a )( x
a)
2
....
f
n
( a )( x
2! f
n 1
( c )( x (n
a) 1) !
a)
n
dan
n!
n 1
; c
a, b .
Bentuk Pn x di atas disebut Polinom Taylor derajat n dari fungsi f disekitar x a . Sedangkan bentuk R n x disebut galat (Chapra dan Canale, 2007 : 63). Kedua komponen inilah yang digunakan untuk menyajikan nilai hampiran suatu fungsi, termasuk nilai-nilai yang tertera dalam Daftar Matematika yang dahulu dikenal dengan nama Daftar Logaritma. Pemisahan kedua bentuk Pn x dan bentuk R n x menunjukkan bahwa galat itu timbul sebagai akibat penggunaan nilai hampiran untuk menyatakan operasi dan besaran matematika yang eksak. Pada pengguna matematika terapan khususnya di fakultas teknik, polinom Taylor k
n
ini dituliskan secara singkat yaitu :
f ( a )( x
Pn x k
0
k!
a)
k
.………………..…….. (2.4)
Abd. Hamid, Penyajian Isi Daftar Matematika … 53 Sedangkan bentuk R n x di atas merupakan suku sisa yang terjadi karena polinom mendekati fungsi f . Bentuk R n x inilah yang disebut galat pada perhitungan nilai hampiran fungsi yaitu: Pn x
E
f
R n ( x)
n 1
( a )( x (n
a)
n 1
.…………… (2.5)
1) !
Berdasarkan pengertian galat yang telah diuraikan di atas, maka terdapat hubungan fungsional antara nilai eksak, nilai hampiran dan galatnya seperti dinyatakan oleh Chapra dan Canale.( 2007 : 12) Nilai Eksak ( x )
!
Nilai Hampiran
(x )
Galat
E
Nilai eksak, nilai hampiran dan galat yang disebutkan di atas tetap berlaku walaupun simbol yang digunakan agak berbeda. Nilai fungsi yang terdiri dari nilai hampiran dan galat dapat ditulis menjadi : ..………………..…. (2.6) f ( x ) = Pn x + R n x Jarak atau selisih antara nilai hampiran Pn x dan galat R n x di atas, biasanya diambil cukup kecil. Berikut ini diberikan beberapa contoh penyajian yang dapat memperjelas situasi di atas. Contoh Penyajian 1 Gunakan Polinom Taylor orde empat dari fungsi f ( x ) x disekitar x 9 untuk menyajikan nilai 10 dalam daftar matematika. Taksir galat maksimumnya ! Jawab. Untuk menyajikan penggunaan Deret Taylor secara keseluruhan, maka kita dapat memperoleh pengertian mengenai prilaku fungsi dengan membentuknya suku demi suku sebagai berikut : f (x) f
1
x
f (9 ) 1
( x) 2
f
2
3
f
4
5
2
3
f
(9 )
f
32 x
4
9
15 34992
x
105 4
3 1944
x
3
1 108
15
x
( x)
(9 )
x
16 x f
2
f
3 8x
1 6
1
x
(x)
(9 )
x
4x f
1
f
3
f x
5
(c )
105 32 c
4
;9
c
10
c
Nilai-nilai turunan fungsi yang telah diperoleh di atas dimasukkan pada rumus Polinom Taylor (2.4), sehingga diperoleh bentuk polinom yang menghampiri fungsi f ( x ) x disekitar x 9 yaitu :
54 AKSIOMA Jurnal Pendidikan Matematika, Vol. 5, No. 3, Desember 2016 disajikan dalam Seminar Nasional Pendidikan Matematika ke-4 Universitas Tadulako, 4 Desember 2016
P4 ( x )
(x
3
(x
6
Nilai hampiran dari P4 (10 )
9)
2
9)
3(x
108 . 2 !
9)
3
15 x
1944 . 3 !
9
34992
4
4!
10 adalah:
10
3
(x
9)
(x
6 10
3
10
3
10
9)
2
3( x
108 . 2 !
9)
3
1944 . 3 !
1
1
1
5
6
216
3888
279936
0 ,1666667
15 x
0 , 0046296
34992
9
4
4!
.
0 , 0002572
0 , 00001786 .
3,1622764
Sedangkan taksiran besarnya galat maksimum yang dapat ditimbulkan, digunakan rumus (2.5) yaitu : f
R4 ( x)
4 1
( a )( x (4
R 4 (10 )
105 (10 32 c
5
a)
4 1
1) ! 9)
5
;9
c
10
c 5!
Suatu pecahan membesar jika penyebutnya mengecil. Atas dasar ini, maka galat maksimum terjadi untuk c = 9. R 4 (10 )
105 (10 32 . 9
5
9)
5
0 , 0000013
9 120
Penyajian nilai fungsi f ( x ) x untuk x digunakan rumus (2.6) yaitu: 10 = Pn 10 + R n 10 10
= 3,1622764
10
atau
10
dalam daftar matematika
0 , 0000012
= 3,1622777 Karena perkembangan teknologi, maka sekarang ini isi daftar matematika seperti hampiran nilai 10 di atas sudah bisa dicari melalui Kalkulator atau HP dengan urutan tombol seperti berikut ini. 10
Menu
Kalkulator
√
10
=
3,16222777 7
Proses sama untuk bilangan akar dalam bentuk bilangan decimal seperti disajikan pada contoh berikut ini. Contoh Penyajian 2. Gunakan Polinom Maclaurin orde empat dari f x 1 x untuk menentukan penyajian nilai hampiran 1 , 1 dalam daftar sampai tujuh angka desimal.
Abd. Hamid, Penyajian Isi Daftar Matematika … 55 Jawab. Kita menentukan nilai-nilai fungsi turunan f x f x f
1
1
x
1
x
1
1
2
f 0
2
1
1
x
2
2 f
1
x
1
x
3
3
x
2
f
2
4
5
1
x
3
f
2
3
0
8 7
1
x
4
f
2
15
0
16 f
5
16
105
x
2
4
15
x
1
1
0
8 f
x
2
4
f
1
1
0
x
3
1
x
1
1
f
2 1
x
1
9
1
x
5
f
2
105
c
32
32 1
; 0
9
c
.
c
0 ,1 .
2
Nilai-nilai turunan fungsi yang telah diperoleh di atas dimasukkan pada rumus Polinom Maclaurin (2.3), sehingga diperoleh bentuk polinom yang menghampiri fungsi f ( x ) x untuk x 0 ,1 yaitu : P4 ( x )
1
x
1
x
2
f ( 0 ,1)
1 ,1
x
1 ,1
1
3x
4.2!
0 ,1
1
2
8 .3!
2
0 ,1
3
15 x
16 4 !
3 0 ,1
3
2
4 .2!
8 .3!
0 ,1
0 , 01
0 , 003
0 , 0015
2
8
48
384
1 ,1
1 0 , 05
0 , 00125
1 ,1
1 , 0488086
0 , 0000625
4
15 0 ,1
4
16 4 !
0 , 0000039
Sedangkan taksiran besarnya galat maksimum yang dapat ditimbulkan, digunakan rumus (2.5) yaitu : R4 ( x)
R 4 ( 0 ,1)
f
4 1
(0) ( x )
(4
1) !
105 ( 0 ,1) 32 c
5
4 1
5
c 5!
;1
c
1,1
56 AKSIOMA Jurnal Pendidikan Matematika, Vol. 5, No. 3, Desember 2016 disajikan dalam Seminar Nasional Pendidikan Matematika ke-4 Universitas Tadulako, 4 Desember 2016
Suatu pecahan membesar jika penyebutnya mengecil. Atas dasar ini, maka galat maksimum terjadi untuk c = 1. 105 ( 0 ,1)
R 4 (1)
5
0 , 0000002
5
32 .1 1 120
Penyajian nilai fungsi f ( x ) 1 x untuk x matematika digunakan rumus (2.6) yaitu 1 x = Pn x + R n x 1 , 0488086
atau nilai dari
0 ,1
1 , 1 dalam daftar 1 ,1
=
0 , 0000002
1 , 1 = 1 , 0488088
Nilai hampiran dari 1 , 1 di atas bisa dicari melalui Kalkulator atau HP dengan urutan tombol seperti berikut ini. Menu
√
Kalkulator
1,1
=
1,0488088
Demikian penyajian fungsi aljabar dalam daftar matematika yang saat ini sudah bisa diketahui langsung melalui kalkulator tangan. Bahkan semua merek HP sudah dilengkapi dengan kalkulator sebagai pengganti daftar matematika. Pada kondisi tertentu, kita bisa mencari sendiri nilai fungsi yang dihampiri dengan nilai fungsi polinom. Proses sama pada beberapa penyajian contoh di atas untuk fungsi aljabar lainnya seperti disajikan berikut ini. Contoh Penyajian 3. 1
Gunakan polinom Maclaurin orde ketiga dari f x
; x
1
nilai hampiran 9 f
1
untuk menentukan
x
0 , 2 dan carilah taksiran minimum dari galatnya.
Jawab. 1
f x
1
1 f
1
1
x
f 0
2
1
x 1
x
3
1
x
f
2
1
1
0
2 f f
2
3
x x
3
2 5
1
4 15
x
f
2
2
3
0
4 7
1
x
f
2
3
15
0
8
f
4
x
105 16
8 9
1
x
2
f
4
c
105 16 1
c
;
9 2
0,2
c
0.
Abd. Hamid, Penyajian Isi Daftar Matematika … 57 Nilai-nilai yang diperoleh di atas dimasukkan pada Polinom Maclaurin (2.3) sehingga 1
diperoleh hampiran fungsi f x
untuk x
1
f ( x)
f (0)
1
f
2
f
(0) x
(0) x
2
3
f
(0) x
2! f ( x)
1
f ( 0,2 )
f ( 0,2)
x
3
2
8 0 .2
1
x
15
2
3
3!
3
48
3
2 0 ,1
1
x
yaitu :
0,2
x
0,2
8 0 , 015
15
2
0,2
48 0 , 0025
3
1,1175
Taksiran galatnya adalah : Rn
105
0,2 16 1
c
0,2
9 2
0 ,168
4
4!
384 1
c
;
9
0,2
c
0.
2
Supaya galatnya minimum, maka diambil c = 0. Jadi galatnya adalah : 0 ,168
E
0 , 0004375 .
384
NILAI FUNGSI TRIGONOMETRI DALAM DAFTAR MATEMATIKA Nilai hampiran fungsi trigonometri yang perlu diketahui adalah nilai hampiran dari sin x dan cos x atau kombinasi keduanya. Nilai-nilai x pada sin x dan cos x dalam uraian ini bukanlah sebagai sudut istimewa, karena nilai-nilai sudut istimewa sudah merupakan bilangan rasional. Untuk maksud tersebut, maka perlu ada beberapa batasan tentang sudut yang digunakan sebagai berikut : 1. Kedudukan dan besaran sudut x pada sin x atau/dan cos x diganti dengan sudut t dimana t besaran dalam radian. 2. Walaupun rumus transformasi dari besaran derajat ke radian yang baku adalah t
t.
0
radian ,
namun
rumus
transformasi
yang
digunakan
adalah
180 t
0
k
n
radian n
Q, k
sudut istimewa (Conte, 24 : 2005)
Z
Sebagai ilustrasi, transformasi sudut 42 0 , 178 , 243 0 dan 331 0 ke besaran radian dengan menggunakan rumus di atas adalah: 42
0
, 178 4
60
0
, 243 90
0
4 3
dan 331 60
0
11 6
180
.
Batasan di atas hanya berlaku pada transformasi sudut, sedangkan langkah-langkah lainnya tetap mengikuti aturan yang ada sebagaimana diuraikan pada contoh penyajian 1, 2 dan 3. Uraian pada contoh 4 berikut ini dapat memperjelas penggunaan batasan-batasan di atas. Contoh Penyajian 4. Gunakan Polinom Taylor orde tiga untuk menentukan nilai hampiran dari sin 243 0 dan taksir galat maksimum yang terjadi.
58 AKSIOMA Jurnal Pendidikan Matematika, Vol. 5, No. 3, Desember 2016 disajikan dalam Seminar Nasional Pendidikan Matematika ke-4 Universitas Tadulako, 4 Desember 2016
Jawab. Seperti pada contoh 3 di atas, kita dapat memperoleh pengertian mengenai prilaku fungsi dengan membentuknya suku demi suku. Untuk membentuk nilai-nilai fungsi dan turunannya, maka harus diperhatikan bahwa t
243
0
mendekati
4
= 240 dan sudut istimewa yang sesuai a
.
3
Nilai-nilai fungsi polinom dan turunannya yang membentuk suku-suku deret Taylor adalah sebagai berikut: f ( x)
sin x
f(
4
1
)
3 f
1
( x)
cos x
1
f
4
(
3
2 1
)
3 f
2
x
sin x
2
f
2
(
1
) 3
f
3
f
4
( x)
cos x
f
3
(
1
) 3
( x)
sin x
4
f
(c )
3
2 2
sin c ; sin c
1
Nilai-nilai yang diperoleh tersebut di atas dimasukkan pada Polinom Taylor (2.2) sehingga diperoleh polinom yang menghampiri f ( x )
1 1
sin x
1
3
2
Substitusi x
243
4
(x
2
sin 243
1
3
sin 243
0
sin 243
0
2
( ) 2 60
2
3 0
R3
R3
sin c
x
3
4!
60
3
sesuai batasan di ruas kanan,
adalah :
3 (
)
1
2
60 2!
2
4
4 cos c
60
3 4
3
(
)
3
60 3!
- 0,8660255 - 0, 0261799 + 0,0011872 + 0,0000119 - 0,8910063
3 4
)
3!
Sedangkan galat maksimumnya yang ditimbulkan adalah: R3 ( x)
4
(x
2
4
243
1 1
1
2
2!
maka diperoleh nilai hampiran sin x untuk x 0
)
3
3
di ruas kiri dan gunakan 243 0
0
yaitu :
3
4
3 (x
2
)
4
di x
sin x
4
24 1
60
24
; 1
cos c
60 4
60
0 , 0000002 .
1
Abd. Hamid, Penyajian Isi Daftar Matematika … 59 Penyajian nilai fungsi f ( x ) sin x untuk x matematika digunakan rumus (2.6) yaitu sin x = Pn x + R n x 0
0 . 8910063
0
0 . 8910065
= sin 243 = sin 243
0
243
atau nilai dari sin 243 0 dalam daftar
0 , 0000002
Nilai hampiran yang diperoleh ini dapat diuji dengan Kalkulator Fx 360 atau HP dengan urutan tombol yaitu: Menu
Kalkulator
Sin
243
=
derajat
-0,8910065
Contoh Penyajian 5. Gunakan Polinom Taylor orde tiga untuk menentukan nilai hampiran dari cos 42 0 dan taksir galat maksimum yang terjadi. Jawab. Seperti pada contoh 4 di atas, kita dapat memperoleh pengertian mengenai prilaku fungsi dengan membentuknya suku demi suku. Untuk membentuk nilai-nilai fungsi dan turunannya khusus soal ini dan sejenisnya, maka harus diperhatikan bahwa t 42 0 mendekati nilai sudut
= 45 0 atau diambil nilai a
. Nilai-nilai fungsi dan turunannya
4
yang membentuk suku-suku deret Taylor adalah sebagai berikut : f ( x)
cos x
f(
1
) 4
f
1
( x)
sin x
1
f
2
2
(
1
) 4
f
2
x
cos x
f
2
(
1
) 4
f
3
( x)
sin x
f
3
(
4
( x)
cos x
4
f
2
2 1
) 4
f
2
2
2
2
(c )
cos c ; cos c
1
Nilai-nilai yang diperoleh tersebut di atas dimasukkan pada Polinom Taylor (2.2) sehingga diperoleh polinom yang menghampiri f ( x ) 1 cos x
1
1
2
2
Substitusi x
2
42
0
2(x
) 4
cos x
2(x
2
)
di x 1
2
4
4
2 (x
2 3!
di ruas kiri dan gunakan 42 0 42
4 0
) 4
2!
maka diperoleh nilai hampiran cos x untuk x
yaitu :
60
adalah :
3
R 3 ( x ).
sesuai batasan di ruas kanan,
60 AKSIOMA Jurnal Pendidikan Matematika, Vol. 5, No. 3, Desember 2016 disajikan dalam Seminar Nasional Pendidikan Matematika ke-4 Universitas Tadulako, 4 Desember 2016
1 cos 42
0
1
1
2
2 cos 42
0
cos 42
0
cos 42
0
2(
1
2
)
2
)
2
2( 60
60
2(
)
2
60
2!
3
.
3!
0,7071068 + 0,7071068 (0,0523598) – 0,0009692 – 0,0000169 0,7071068 + 0, 0370239 – 0,0009693 – 0,0000169 0,7431445
Sedangkan galat maksimumnya yang ditimbulkan adalah: R3 ( x)
cos 42
4
cos c
x
4!
4
cos c
0
; 1
24 cos 42
1
0
cos c
1
60 0 , 0000003
24
60
Penyajian nilai fungsi f ( x ) cos x untuk x matematika digunakan rumus (2.6) yaitu: cos x = Pn x + R n x
42
0
atau nilai dari cos 42 0 dalam daftar
0
= 0 .7431445 0 , 0000003 sin 42 = 0 . 7431448 Nilai cos 42 0 ini dapat disajikan melalui Kalkulator fx 360 atau HP dengan urutan tombol seperti berikut ini. sin 42
0
Menu
Kalkulator
45
Cos
=
derajat
0,7431448
Proses sama dengan uraian di atas, maka dapat diperoleh sin 42 0 0 , 669130387 . Namun nilai ini sebenarnya sudah dapat diperoleh dengan menggunakan rumus identitas fungsi trigonometri yaitu sin 2 x
cos
2
x
1 atau sin x 0
1
cos
2
x
sehingga diperoleh :
2
sin 42
0
1
cos 42
sin 42
0
1
0 , 7431448
sin 42
0
1 0 ,5522642
sin 42
0
0 , 4477358
sin 42
0
0 , 6691306 .
2
Nilai hampiran di atas dapat dibandingkan dengan nilai hampiran yang ada dalam daftar matematika atau dapat diuji dengan menggunakan kalkulator tangan. Melalui proses perhitungan yang sama, nilai hampiran fungsi trigonometri lainnya sudah dapat dihitung dengan menggunakan rumus-rumus identitas fungsi trigonometri sebagai berikut :
Abd. Hamid, Penyajian Isi Daftar Matematika … 61 tan x
sin x cos x
sec x
1 cos x
.
cot an x
cos x sin x
cos ec x
1 sin x
Konsep perhitungan nilai hampiran fungsi trigonometri pada uraian di atas tentu saja dapat digunakan pada fungsi transenden lainnya. Dan konsep inilah yang dikembangkan dan digunakan untuk membuat nilai hampiran berbagai fungsi dalam matematika dan terapannya, sebagaimana yang tertuang dalam daftar matematika atau lebih dikenal dengan istilah daftar logaritma. Walaupun semua nilai hampiran fungsi aljabar dan fungsi transenden saat ini sudah bisa ditentukan melalui perhitungan teknologi modern dengan program bahasa komputer, namun setiap pengajar matematika diharapkan dapat memahami konsep dasarnya sebagaimana telah disajikan di atas. Konsep dasar ini perlu diperkenalkan kepada siswa khususnya di Sekolah Lanjutan Atas dan mahasiswa matematika di Perguruan Tinggi. DAFTAR PUSTAKA E.J. Purcell dan D.Varberg. 2006. Kalkulus dan Geometri Analitik, Jilid 1 (terjemahan dari I.N. Susila). Jakarta : Erlangga. Erwin Kreyzig. 2006. Advanced Engineering Mathematics. Fifth Editionf. New York : John Wiley & Sons. Harijono Djojodihardjo. 2003. Metoda Numerik. Jakarta : Erlangga. I.N. Susila. 2002. Dasar-dasar Metode Numerik. Persiapan Perkuliahan Program MIPA LPTK. Bandung : FMIPA ITB. K. Atkinson. 2003. Elementary Numerical Analisis. New York : John Wiley & Sons. Maman Djauhari. 2002. Metode Numerik. Jakarta : Karunika Universitas Terbuka. Steven C.Chapra dan Raymond P.Canale. 2007. Metode Numerik untuk Teknik dengan Penerapan pada Konputer Pribadi (terjemahan dari S. Sardy). Jakarta : UI – Press. Samuel D. Conte dan Card de Boor.2005. Dasar-dasar Analisis Numerik. Suatu Pendekatan Algoritma. Edisi Kelima (terjemahan dari Mursaid). Jakarta : Erlangga.
