PENGOPTIMUMAN PADA FUNGSI PRODUKSI CROPPES

1

PENGOPTIMUMAN PADA FUNGSI PRODUKSI CROPPES

NURJANAH G54104008

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2008

2

ABSTRACT NURJANAH. Optimization in Croppes production function. Supervised by RETNO BUDIARTI and DONNY CITRA LESMANA. Every company has a purpose to change input production into output. The relation between various combinations of input productions to obtain output are compiled in production function. In economics, there are some production functions that have constant return to scale. They were differentiated according to their value of elasticity of substitution. There are infinite, zero, one (known as Cobb-Douglass production function) or positive constant (known as CES production function) elasticity. In this manuscript, we discuss CROPPES production function (constant ratio of pairwise partial elasticities of substitution) which is the general form of CES production function (constant elasticities of substitution). We also discuss the optimal solution of input production based on optimization profit in perfect competition market.

3

ABSTRAK NURJANAH. Pengoptimuman Pada Fungsi Produksi Croppes. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan DONNY CITRA LESMANA. Setiap perusahaan mempunyai tujuan untuk mengubah input produksi menjadi output. Hubungan antara berbagai kombinasi input produksi untuk memperoleh output disusun dalam fungsi produksi. Dalam ilmu ekonomi, ada beberapa fungsi produksi yang mempunyai return to scale yang konstan. Fungsi produksi ini dibedakan menurut nilai elastisitas substitusinya. Ada yang bernilai tak hingga, nol, satu (dikenal dengan fungsi produksi Cobb-Douglas) ataupun bernilai konstan positif (dikenal dengan fungsi produksi CES ). Pada karya tulis ini dibahas fungsi produksi CROPPES (constant ratio of pairwise partial elasticities of substitution) yang merupakan bentuk umum dari fungsi produksi CES (constant elasticities of substitution). Di samping itu, dibahas pula solusi input produksi optimal yang didasarkan atas pemaksimuman keuntungan pada pasar persaingan sempurna.

4

PENGOPTIMUMAN PADA FUNGSI PRODUKSI CROPPES

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Oleh: NURJANAH G54104008

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

5

Judul : Pengoptimuman Pada Fungsi Produksi CROPPES Nama : Nurjanah NRP : G54104008

Menyetujui: Pembimbing I,

Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 131 842 409

Pembimbing II,

Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math NIP. 132 311 927

Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. Drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806

Tanggal Lulus:

6

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah S.W.T atas segala rahmat dan karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Pengoptimuman pada Fungsi Produksi Croppes. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada Rasulullah SAW beserta keluarga, sahabat dan umatnya hingga akhir zaman. Tugas akhir ini penulis persembahkan untuk keluarga yang selalu mendukung, menasehati dan mendoakan penulis dengan dukungan yang luar biasa. Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah memberikan dorongan terhadap penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini, yaitu: 1.

Kedua dosen pembimbing penulis, Ir. Retno Budiarti, MS dan Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math atas bantuan dan bimbingannya sehingga penulis mampu menyelesaikan tugas akhir ini. 2. Bapak Dr. Tony Bakhtiar, M.Sc. yang telah menjadi dosen penguji penulis saat sidang. 3. Untuk kedua orang tuaku (ayah dan Ibu), terima kasih atas segala cinta dan kasih sayangnya. Kalian adalah panutan dalam hidupku. 4. Untuk segenap keluargaku di rumah mamang Amung, mamang Udih, encing Acum, serta ketiga kakakku Nana, Eni dan Ela yang telah memberikan kasih sayang, nasehat, dukungan, serta doanya selama ini. 5. Sahabat-sahabat penulis di Depok, Rahma, April, Igars, Indah serta Mega yang berada di Padang terima kasih atas semangat dan doanya. Terima kasih atas kebersamaan kita selama ini. Semoga persahabatan kita tiada akhir. 6. Teman seperjuanganku di IPB Ratih STK 41 (makasih ya atas ilmu yang telah diberikan serta semangat dan doanya). 7. Buat teman-temanku di Mahadewi crew, Jeany, Ramah, Deka, serta adik-adik kelasku Ganis, Sihol, Nova, Neneh, Apri dan Puput, makasih ya atas doa, support dan semua pengalaman bersama kalian, dengan kalian penulis belajar banyak hal. 8. Mahar (makasih atas semua bantuannya, maaf karena sering merepotkan. Semangat yach!!), Maryam (makasih buat nasehat dan bantuannya selama ini), Sifa (makasih karena telah menjadi teman sekamarku yang banyak memberikan saran dan nasehat), Ika (makasih yach karena sering menjadi tempat curhatku, dukungan dan juga bantuannya). 9. Teman-teman matematika angkatan 41, Mukti, Nene’, Eli, Liam,Tities, Fitrie, Penny, Sita, Ro’fah, Eci, Roma, Enny, Eva, Endit, Uwie, Iyank, Dian, Dee-dee , Liay, Ayu, Armi, Nyit-nyit, Darwisah, Enyon, Rizul, Tia , Rite, Ria, Kurenz, Yeni, Kokom, Fred, Adji, Racil, Dika, Iboy, Udin, Great, Chubby, Mahnur, Jali, Yaya, Idris, Mora, Mazid, Mimin, Triyadi, Cumi, Amin, Deni, Yos Hendra, Hendri. Terima kasih atas semua tawa canda, susah senang yang telah dilewati bersama. Kebersamaan kita selama kuliah akan selalu menjadi kenangan terindah dalam hidupku. 10. Seluruh dosen matematika IPB, penulis mampu menyelesaikan tugas akhir ini atas segala ilmu yang telah diberikan, dan kepada pegawai dan TU matematika IPB, bu Susi, bu Ade, mas Deni, bu Marisi, mas Yono, dan lain-lain, atas bantuan yang telah diberikan kepada penulis. 11. Juga untuk semua pihak yang membantu penulis, yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu, makasih banyak untuk semuanya. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pihak lain umumnya yang membutuhkan. Bogor, Juni 2008

7

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta, 9 April 1986 dari pasangan Sayadi (Alm) dan Marhumah (Alm) sebagai anak keempat dari empat bersaudara. Pada tahun 1998 penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di MI Nasyatul Khair Depok. Kemudian penulis melanjutkan pendidikannya ke Sekolah Lanjut Tingkat Pertama di MTs Nasyatul Khair Depok. Pada tahun 2001 penulis memasuki pendidikan Sekolah Menengah Atas di SMAN 98 Jakarta. Setelah lulus SMU pada tahun 2004, penulis melanjutkan kuliah di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI) di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB. Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif pada beberapa kegiatan kemahasiswaan, yaitu penulis pernah menjadi anggota himpro Gugus Mahasiswa Matematika IPB periode 2005-2006 sebagai anggota divisi keputrian. Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara-acara antara lain Try Out Gumatika tahun 2006, Matematika Ria tahun 2006, Ramadhan in Action serta mengikuti Pelatihan Penyegaran Materi tahun 2007.

8

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ..............................................................................................................

viii

DAFTAR TABEL ...................................................................................................................

ix

DAFTAR LAMPIRAN ...........................................................................................................

x

I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ....................................................................................................... 1.2 Tujuan...................................................................................................................... 1.3 Sistematika Penulisan .............................................................................................

1 1 1

II

LANDASAN TEORI ....................................................................................................

1

III

PEMBAHASAN 3.1 Fungsi Produksi ....................................................................................................... 6 3.2 Fungsi Produksi CES ............................................................................................... 6 3.3 Fungsi Produksi CROPPES ..................................................................................... 7 3.4 Elastisitas Parsial Substitusi .................................................................................... 10 3.5 Pengoptimuman Input Produksi .............................................................................. 13

IV

STUDI KASUS ............................................................................................................. 15

V

KESIMPULAN .............................................................................................................. 19

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................. 20 LAMPIRAN ............................................................................................................................. 21

vii

9

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 Isokuan ....................................................................................................................... 6 Gambar 2 Ilustrasi kurva produksi total dan produk marjinal ..................................................... 10 Gambar 3 Nilai output produksi bila input x2 dan input x3 dianggap konstan ............................. 16

viii

10

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1 Data input produksi ....................................................................................................... Tabel 2 Nilai produk marjinal .................................................................................................... Tabel 3 Nilai produktivitas marjinal .......................................................................................... Tabel 4 Elastisitas parsial substitusi ...........................................................................................

ix

16 17 17 18

11

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Bukti Teorema 1 ......................................................................................................................... Penurunan elastisitas substitusi pada fungsi produksi CES ........................................................ Menentukan solusi input produksi pada kasus 1 dan kasus 2 ..................................................... Menentukan ouput produksi, produk marjinal dan produktivitas marjinal ................................

x

22 23 25 30

12

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Setiap perusahaan menyadari bahwa total biaya produksi sangat berkaitan dengan outputnya. Jika perusahaan meningkatkan kapasitas produksi, maka perusahaan tersebut tentunya membutuhkan input yang lebih banyak dan biaya produksi yang digunakan juga akan semakin tinggi. Oleh karena itu, perusahaan dituntut membuat keputusan dan perencanaan yang tepat dalam masalah produksi. Dalam ilmu ekonomi, ada dua waktu perencanaan yang biasa diambil perusahaan mengenai masalah produksi, yaitu (1) jangka pendek, yang merupakan jangka waktu ketika hanya ada satu input produksi yang berubah. Satu-satunya cara memproduksi output adalah dengan menyesuaikan input produksi variabel terhadap produksinya sampai tingkat output yang diinginkan bisa tercapai. (2) Jangka panjang, yaitu jangka waktu ketika semua input produksi dapat diubah sehingga ada berbagai cara yang efisien secara teknik untuk memproduksi output yang diinginkan. Dalam menentukan pilihannya, perusahaan akan berusaha untuk menghindari inefisien secara teknis. Akan tetapi efisien secara teknis tidaklah cukup. Untuk menjadi efisien secara ekonomis, perusahaan harus menentukan input optimal dan metode produksi yang meminimumkan biaya agar keuntungan maksimum bisa tercapai. Salah satu caranya adalah dengan prinsip substitusi. Dalam prinsip substitusi, perusahaan akan menggunakan lebih banyak input produksi yang relatif lebih murah dan menggunakan lebih sedikit input produksi yang relatif lebih mahal. Dua konsep mendasar mengenai prinsip substitusi adalah konsep return to scale dan konsep elastisitas substitusi.

Return to scale mengukur respon output saat input produksi berubah sedangkan konsep elastisitas substitusi mengukur seberapa mudah menukarkan suatu input dengan input lainnya dalam proses produksi. Dalam ilmu ekonomi, ada beberapa fungsi produksi yang memiliki return to scale yang konstan. Tiap tipenya dibedakan menurut elastisitas substitusi, ada yang bernilai tak hingga, nol ataupun satu. Pada karya ilmiah ini, kita akan membahas fungsi produksi yang memiliki nilai elastisitas konstan positif atau sering disebut dengan fungsi produksi CROPPES (constant ratio of pairwise partial elasticities of substitution). 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. mempelajari sifat-sifat dari fungsi produksi croppes 2. mempelajari elastisitas parsial substitusi dalam fungsi produksi croppes 3. menentukan input produksi yang optimal. 1.3 Sistematika Penulisan Pada Bab Pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini. Bab Dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada Bab Tiga diberikan pembahasan tentang fungsi produksi croppes. Bab Empat berisi tentang studi kasus. Bab Lima merupakan kesimpulan. Kemudian Bab Enam berisikan daftar pustaka yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini.

II. LANDASAN TEORI Pada Bab ini akan diberikan teori yang menjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini. Berikut ini adalah definisi-definisi mengenai istilah ekonomi yang digunakan. Definisi 1 (Faktor Produksi) Faktor produksi adalah variabel-variabel input yang digunakan dalam proses produksi untuk menghasilkan output.

(Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 2 (Input Produksi Tetap) Input produksi tetap adalah input produksi yang jumlah penggunaannya tidak tergantung pada jumlah produksi. (Rahardja & Manurung, 1999)

2

Definisi 3 (Input Produksi Variabel) Input produksi variabel adalah input produksi yang tergantung pada tingkat produksinya. Semakin besar tingkat produksi, maka akan semakin banyak pula input produksi variabel yang digunakan. (Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 4 (Fungsi Produksi) Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu, Y=f(K,L,…) dengan K menyatakan input kapital dan L menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain, memperlihatkan jumlah output maksimum yang dapat diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif kombinasi input produksi. (Nicholson, 1999) Definisi 5 (Produk Marjinal) Misalkan didefinisikan fungsi produksi Y=f(K,L) dengan K menyatakan input kapital dan L menyatakan input tenaga kerja. Produk marjinal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input-input lain dianggap konstan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut: produk marjinal kapital PMK =

∂Y = fK ∂L

∂PML ∂ 2Y = = f LL < 0 . ∂L ∂L 2

(Nicholson, 2002) Definisi 7 (Isokuan) Isokuan yaitu sebuah kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi input produksi yang akan menghasilkan output dalam jumlah yang sama. (Nicholson, 2002) Definisi 8 (Rate of Technical Substitution/ RTS) Misalkan didefinisikan fungsi produksi Y=f(K,L). Rate of technical substitution atau tingkat substitusi teknis yaitu banyaknya pengurangan salah satu input ketika satu unit input lainnya ditambahkan untuk output tetap. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut dK dL PML . = PMK

RTS( L terhadap K ) = −

Bukti: didefinisikan fungsi produksi dengan dua input adalah sebagai berikut Y = f ( K , L)

⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ dY = ⎜ ⎟ dK + ⎜ ⎟ dL ⎝ ∂K ⎠ ⎝ ∂L ⎠ dY = ( PMK ) dK + ( PML ) dL

di sepanjang isokuan dY=0 sehingga

produk marjinal tenaga kerja ∂Y PML = = fL . ∂L

(Nicholson, 1999) Definisi 6 (Diminishing Return / Produktivitas yang semakin menurun) Misalkan didefinisikan fungsi produksi Y=f(K,L), Produktivitas marjinal dari satu unit input tenaga kerja tidak selalu sama besarnya. Ketika input tenaga kerja yang digunakan masih sedikit, biasanya produktivitas marjinal yang dihasilkannya sangat tinggi. Tetapi semakin banyak input tenaga kerja tersebut digunakan, dan input modal dibiarkan konstan maka produktivitas marjinal tenaga kerja tersebut akan semakin berkurang. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut: ∂PMK ∂ 2Y = = f KK < 0 2 ∂K ∂K

( PMK ) dK + ( PML ) dL = 0 ( PML ) dL = − ( PMK ) dK − dK PML = = RTS LK . dL PMK

Persamaan di atas menyatakan bahwa di sepanjang isokuan hasil yang diperoleh karena adanya peningkatan input L persis sama dengan pengorbanan output produksi karena dikuranginya input K. (Nicholson, 1999) Definisi 9 (Return to Scale) Return to scale yaitu suatu keadaan ketika output meningkat sebagai respon adanya kenaikan yang proporsional dari seluruh input. Jika diketahui fungsi produksi Y=f(K,L) dan semua input dikalikan dengan suatu bilangan konstan positif m, maka return to scale-nya bisa diklasifikasikan menjadi

3

Efek dalam output f(mK,mL)= mf(K,L) f(mK,mL)> mf(K,L) f(mK,mL)< mf(K,L)

Return to scale konstan berkurang meningkat (Nicholson, 2002)

Definisi 10 (Elastisitas) Elastisitas yaitu ukuran persentase perubahan suatu variabel yang disebabkan oleh satu persen perubahan variabel lainnya. (Nicholson, 2002) Definisi

(Elastisitas Harga dari Permintaan) Elastisitas harga dari permintaan mengukur berapa persen permintaan terhadap suatu barang berubah bila harganya berubah sebesar satu persen. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut EP =

11

( )

∂Q Q P ∂Q %∂Q = = . ∂P Q ∂P %∂P P

(

)

Nilai elastisitas harga dari permintaan adalah: 1. inelastis (Ep<1), yaitu bila perubahan permintaan (dalam persentase) lebih kecil dari pada perubahan harga 2. elastis (Ep>1), yaitu bila perubahan harga suatu barang menyebabkan perubahan permintaan yang lebih besar 3. elastis unitari (Ep=1), yaitu bila kenaikan harga menyebabkan penurunan permintaan dengan proporsi yang sama 4. inelastis sempurna (Ep=0), yaitu bila terjadi perubahan harga baik turun maupun naik, orang akan tetap membeli jumlah yang dibutuhkan 5. elastis sempurna (Ep=¶), yaitu bila terjadi perubahan harga sedikit saja memyebabkan perubahan permintaan dari tak terhingga menjadi nol. (Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 12 (Elastisitas Substitusi/s) Untuk fungsi produksi Y=f(K,L), elastisitas substitusi mengukur perubahan proporsional yang terjadi dalam ratio K/L relatif terhadap perubahan proporsional yang terjadi dalam RTS di sepanjang sebuah isoquan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut σ=

( ( L )) ( RTS ) . d K

( dRTS ) ( K L )

Nilai s berada pada interval 0 dan ∞ . Semakin besar s, maka semakin besar pula kemampuan substitusi kedua input. Kasus khusus di mana s=0 terjadi bila kedua input harus digunakan dengan proporsi yang tetap sebagai pelengkap dari masing-masing input. Kasus khusus lainnya dengan s= ∞ adalah bila kedua input merupakan substitusi sempurna. (Nicholson, 1999) Definisi 13 (Barang Komplemen) Komplemen yaitu sifat dua barang yang jika harga satu barang meningkat, maka kuantitas barang lain yang diminta akan turun. (Nicholson, 2002) Definisi 14 (Keuntungan) Keuntungan adalah nilai penerimaan total dikurangi biaya total yang dikeluarkan perusahaan. Keuntungan nol disebut juga keuntungan normal yaitu tingkat keuntungan yang memberikan tingkat pengembalian yang sama (penerimaan total sama dengan biaya total), sedangkan keuntungan ekonomis adalah tingkat keuntungan yang memberikan tingkat pengembalian yang positif (penerimaan total lebih besar daripada biaya total). (Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 15 (Pasar Persaingan Sempurna) Dalam pasar persaingan sempurna, jumlah perusahaan sangat banyak dan kemampuan setiap perusahaan dianggap sedemikian kecilnya sehingga tidak mampu mempengaruhi pasar. Berikut ini adalah beberapa karakteristik agar sebuah pasar dapat dikatakan persaingan sempurna: 1. semua perusahaan memproduksi barang yang homogen 2. produsen dan konsumen memiliki informasi yang sempurna 3. output sebuah perusahaan relatif kecil bila dibandingkan dengan output pasar 4. perusahaan menerima harga yang ditentukan oleh pasar 5. semua perusahaan bebas untuk keluar masuk pasar. (Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 16 (Monomial) Monomial adalah variabel bebas maupun perkalian dari variabel bebas yang mempunyai pangkat berupa intejer positif.

4

Contoh: x 2, x y 2 atau x 2 y 3z. (www.wikipedia.com) Definisi 17 (Fungsi Polinomial Homogen) Fungsi polinomial homogen adalah fungsi polinom yang terbentuk dari penjumlahan monomial, dengan derajat total dari masingmasing monomial tersebut adalah sama. Contoh: 1. fungsi monomial berderajat 10 2 f ( x, y , z ) = x 5 y z 3 2. fungsi polinomial homogen berderajat 5 2 2 f ( x, y , z ) = x 5 + 2 x 3 y + 9 y z 3 3. bukan fungsi polinomial homogen 2 f ( x, y , z ) = x 4 + 2 x 3 y + 9 y z 3 . (www.wikipedia.com) Definisi 18 (Fungsi Homogen Berderajat k) Misalkan f adalah fungsi polinomial homogen dari n variabel yang terdefinisi dalam domain D. t >0, maka Bila (x1,x2,….,xn)œD dan (tx1,tx2,….,txn) juga terletak dalam D. Fungsi f dikatakan homogen berderajat k pada D jika f(tx1,tx2,….,txn)= tk f(x1,x2,….,xn) untuk t > 0 dengan k ∈ R . (Saeter & Hammond, 2006) Definisi 19 (Kofaktor) Misalkan A adalah matriks berukuran nxn, elemen-elemen dari matriks A dilambangkan aij dengan i, j=1,2,....,n. Misalkan pula Mij adalah submatriks A berukuran (n-1)x(n-1) yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Determinan dari Mij disebut minor dari aij. Kofaktor dari aij dalam matriks A dinotasikan dengan Aij didefinisikan sebagai perkalian dari (-1)i+j dengan Mij. (Zhang, 2005) Definisi 20 (Fungsi Produksi Neoklasik) Fungsi produksi Y=f(K,L), dengan K menyatakan input kapital dan L menyatakan input tenaga kerja disebut neoklasik jika memenuhi kondisi berikut: 1. f(K,L) adalah fungsi taknegatif jika K dan L taknegatif 2. f(0,0)=0 3. fK dan fL adalah fungsi taknegatif 4. ada turunan parsial kedua dari fungsi f terhadap K dan L 5. fungsi tersebut homogen berderajat satu

6. f(λK,λL)=λf(K,L) untuk semua λ yang taknegatif 7. fungsi produksi tersebut adalah fungsi strictly quasiconcave. (Zhang, 2005) Beberapa definisi tentang kekonveksan dan kekonkafan fungsi yang terdiferensiabel. Definisi 21 (Kedefinitan dari Fungsi yang Terdiferensiabel) Misalkan fungsi Y=f(x1,x2,….,xn) adalah fungsi kontinu dan terdiferensiabel dua kali pada suatu domain D. Turunan orde kedua dari fungsi f dilambangkan dengan d 2Y = H = Δ n yang didefinisikan sebagai berikut: d 2Y = H = Δ n =

f11 f 21

f12 f 22

f1n f 2n

f n1

fn2

f nn

.

Dengan: ∂2 f ∂2 f ∂2 f f11 = , f12 = ,........., f nn = , ∂x1 x1 ∂x1 x2 ∂xn xn

Δ1 = f11 , Δ2 =

f11

f12

f 21

f 22

Δn = H =

,

f11 f 21

f12 f 22

f1n f 2n

f n1

fn2

f nn

.

d 2Y = H = Δ n dikenal dengan istilah Hessian

determinant. H

merupakan matriks simetrik

berukuran nxn, misalkan Δ k adalah minor utama ke-k dari matriks H untuk 1 ≤ k ≤ n maka 1. H adalah definit positif jika dan hanya jika Δ k > 0 untuk k=1,2,..n 2. H adalah definit negatif jika dan hanya

jika ( −1) Δ k > 0 untuk k=1,2,..n 3. jika Δ1 > 0, Δ 2 > 0,......, Δ n−1 > 0 dan Δ n = 0 maka H adalah semidefinit positif k

4. jika

( −1) k Δ k > 0

untuk k=1,2,..n-1 dan

Δ n = 0 maka H adalah semidefinit negatif. (Peressini, 1988)

5

Definisi 21 (Fungsi Konveks dan Konkaf) Misalkan fungsi Y=f(x1,x2,….,xn) adalah fungsi kontinu dan terdiferensiabel dua kali pada suatu domain D. Turunan orde kedua dari fungsi f dilambangkan dengan d 2Y = H = Δ n , maka:

1. fungsi Y disebut fungsi konkaf jika dan hanya jika d 2Y = H = Δ n adalah semidefinit negatif 2. fungsi Y disebut fungsi strictly konkaf jika d 2Y = H = Δ n adalah definit negatif 3. fungsi Y disebut fungsi konveks jika dan hanya jika d 2Y = H = Δ n adalah semidefinit positif 4. fungsi Y disebut fungsi strictly konveks jika d 2Y = H = Δ n adalah definit positif. (Chiang & Wainwright, 2005) Definisi 22 (Fungsi strictly quasiconcave) Misalkan Y=f(x1,x2,….,xn) adalah fungsi kontinu dan terdiferensiabel dua kali pada suatu domain D. Domain D hanya terdefinisi untuk nilai x1,x2,x3….,xn >0. Kuasi kekonkafan dapat dicek dengan menggunakan prinsip minor utama yang disusun dalam bordered determinant sebagai berikut: Fn = F =

0 f1

f1 f11

fn f1n

fn

f n1

f nn

.

Dengan: ∂f ∂f ∂2 f ∂2 f f1 = ,..., f n = ,..., f11 = ,..., f nn = , ∂x1 ∂xn ∂x1x1 ∂xn xn F1 =

0 f1

f1 f11

,

0 f1 f 2 F2 = f1 f11 f12 f 2 f 21 f 22

Fn = F =

,

Definisi 23 (Metode Pengali Lagrange) Misalkan didefinisikan sebuah masalah Maksimumkan (minimumkan) f(x,y) Terhadap kendala g(x,y)=c. Langkah-langkah untuk menemukan solusi yang optimal bagi masalah di atas adalah sebagai berikut: 1. tuliskan fungsi Lagrange-nya

(

£ ( x, y ) = f ( x, y ) − λ g ( x , y ) − c

)

dengan λ adalah pengali Lagrange-nya 2. turunkan £ terhadap x, y dan λ, lalu turunan parsial yang didapatkan bernilai sama dengan nol 3. langkah (2), menghasilkan tiga persamaan sebagai berikut £ x ( x, y ) = f x ( x, y ) − λ g x ( x , y ) = 0 £ y ( x, y ) = f y ( x, y ) − λ g y ( x, y ) = 0 £ λ = − ( g ( x, y ) − c ) = 0 4. selesaikan tiga persamaan ini untuk mencari nilai x, y dan λ. Langkah (3) sering disebut kondisi orde pertama untuk masalah (1). (Saeter & Hammond, 2006)

Teorema 1 (Teorema Euler) Misalkan f adalah fungsi yang terturunkan dari n variabel dalam domain terbuka D, didefinisikan X=(x1,x2,….,xn) dan t > 0 sehingga tX œ D. Fungsi f adalah fungsi homogen berderajat k dalam D jika dan hanya jika persamaan berikut berlaku untuk semua x dalam D n

∑ xi fi ( X ) = kf ( X ) .

i =1

Dengan: f(X)=f(x1,x2,….,xn) ∂f ( X ) fi ( X ) = i =1,2,...n. ∂xi (Saeter & Hammond, 2006) Bukti: Lihat Lampiran 1.

0 f1

f1 f11

fn f1n

fn

f n1

f nn

.

Fungsi Y=f(x1,x2,….,xn) disebut fungsi strictly quasiconcave jika: F 1 < 0, F 2 > 0,…… F n = F < 0, jika n ganjil F 1 < 0, F 2 > 0,…… F n = F > 0, jika n genap. (Chiang & Wainwright, 2005)

Teorema 2 (Teorema Young) Andaikan f(x1,x2,….,xn) adalah fungsi kontinu dan terdiferensiabel pada suatu daerah D sehingga f : D f → R , D f ⊆ R n . Misalkan f12 dan f 21 yang kontinu di D adalah turunan parsial orde dua dari fungsi f terhadap x1 dan x2, maka kedua turunan parsial itu adalah sama. Secara umum dapat dinotasikan sebagai berikut

6

∂ ∂xi

⎛ ∂f ⎜ ⎜ ∂x j ⎝

⎞ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎟= ⎟ ∂x j ⎜⎜⎝ ∂xi ⎟⎟⎠ ⎠

(Saeter & Hammond, 2006)

i, j=1,2,...n.

III. PEMBAHASAN 3.1 Fungsi produksi

Hubungan antara input dan output dapat ditransformasikan oleh sebuah fungsi produksi. Secara matematis, fungsi produksi dapat dituliskan sebagai berikut: Y = f ( K , L, M ,....)

dengan: Y = output yang dihasilkan selama 1 periode waktu K = input kapital L = input tenaga kerja M = input material. Tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain. Untuk menunjukkan berbagai kombinasi input yang digunakan dalam memproduksi tingkat output tertentu, kita menggunakan konsep isokuan. Isokuan adalah kurva yang menggambarkan berbagai kombinasi input produksi secara efisien yang menghasilkan tingkat produksi yang sama. Misalkan dalam berproduksi perusahaan hanya menggunakan dua input produksi saja, yaitu input modal dan input tenaga kerja maka fungsi produksi menjadi Y=f(K,L) dengan K menyatakan input modal dan L menyatakan input tenaga kerja. Isokuan untuk fungsi produksi seperti ini dapat digambarkan sebagai berikut

Slope kurva ini menunjukkan suatu tingkat ketika sebuah input dapat dipertukarkan dengan input lainnya dengan output dianggap konstan. Slope yang negatif ini disebut sebagai tingkat marjinal substitusi teknik. Jika kuantitas tenaga kerja yang digunakan perusahaan meningkat, perusahaan seharusnya dapat mengurangi input modal dan masih tetap menghasilkan output konstan. Jika tenaga kerja sebelumnya diasumsikan memiliki produktivitas marjinal positif, perusahaan seharusnya dapat menggunakan input modal yang lebih sedikit saat lebih banyak tenaga kerja yang digunakan. Untuk tingkat output yang tetap, jika kenaikan jumlah tenaga kerja pada akhirnya mengharuskan perusahaan untuk menggunakan lebih banyak modal, hal ini menandakan bahwa produktivitas marjinal tenaga kerja adalah negatif. Semua isokuan memiliki slope negatif yang menunjukkan bahwa terdapat pertukaran antara input modal dan input tenaga kerja. Hal lain yang penting dari fungsi produksi adalah seberapa mudah suatu input dapat digantikan oleh input lainnya. Kita telah mengasumsikan bahwa tingkat output tertentu dapat diproduksi dengan berbagai variasi input yang berbeda. Perusahaan dapat melakukan substitusi tenaga kerja terhadap modal dengan mempertahankan output tetap konstan. Secara umum, kasus substitusi input diukur dengan konsep elastisitas substitusi. Elastisitas substitusi dilambangkan dengan s dan nilainya biasanya berbeda di sepanjang isoquan untuk return to scale yang berbeda. Jika return to scale diasumsikan konstan, maka nilai elastisitas substitusinya akan sama di sepanjang semua isokuan (Nicholson, 1999). 3.2 Fungsi produksi CES

Gambar 1 Isokuan

Fungsi produksi yang mempunyai elastisitas substitusi konstan positif sering disebut dengan fungsi produksi CES (constant elasticities of substitution). Fungsi produksi yang termasuk ke dalam constant elasticities of substitution mempunyai dua karakteristik utama, yaitu:

7

a. fungsi tersebut adalah fungsi homogen berderajat satu, dan b. mempunyai elastisitas substitusi yang konstan.

Karena r >-1 maka nilai elastisitas yang didapat pastilah konstan positif.

Bentuk umum fungsi produksi CES adalah:

Fungsi produksi croppes (constant ratio of pairwise partial elasticities of substitution) merupakan bentuk umum dari fungsi produksi CES (constant elasticities of substitution). Secara umum, fungsi produksi croppes didefinisikan sebagai berikut

⎛n ⎝ i =1

⎞ ⎠

Y = γ ⎜ ∑ δ i xi − ρ ⎟

−

1

ρ

.

Dengan: g=parameter efisiensi yang menunjukkan indikator dari tingkat teknologi di=parameter distribusi yang berhubungan dengan proporsi penggunaan input produksi n

i =1

xi=input produksi ke-i r=parameter substitusi.

Misalkan perusahaan hanya menggunakan input modal dan input tenaga kerja saja dalam berproduksi, maka fungsi produksinya dapat didefinisikan sebagai berikut:

(

Y = f ( K , L ) = γ δ L + (1 − δ ) K

−ρ

)

−

1

ρ

.

Dengan: Y=ouput produksi K=input modal L=input tenaga kerja g=parameter efisiensi d=parameter distribusi r=parameter substitusi. Asumsikan g >0, 0§ d §1 dan r >-1, nilai r ≠0 karena mengakibatkan nilai output produksi menjadi tidak terdefinisi. Fungsi produksi CES mempunyai return to scale yang konstan karena

(

F ( mK , mL ) = γ δ ( mL )

= γ (m

1 −ρ − ρ

)

−ρ

+ (1 − δ )( mK )

(δ ( L )

−ρ

1 −ρ − ρ

)

+ (1 − δ )( K )

1 −ρ − ρ

)

= mF ( K , L ) .

Untuk semua m > 0 , maka persamaan di atas juga menunjukkan bahwa fungsi produksi CES adalah homogen berderajat satu. Fungsi produksi CES mempunyai nilai elastisitas substitusi sebagai berikut σ=

1 . 1+ ρ

Bukti: Lihat Lampiran 2.

n

Y −e = γ ∑ βi xi − ei i =1

. (3.3.1)

Dengan: Y = output produksi xi = input produksi ke-i g=parameter efisiensi e dan ei = parameter substitusi

terhadap output dengan ∑ δ i = 1 .

−ρ

3.3 Fungsi produksi CROPPES

(3.2.1)

n

bi=parameter distribusi dengan ∑ βi = 1 . i =1

Fungsi produksi croppes memiliki sifat dasar neoklasik. Sifat dasar tersebut di antaranya adalah: a. memiliki produk marjinal yang positif b. fungsi produksi croppes merupakan fungsi homogen secara linear dan berderajat satu c. memiliki produktivitas yang semakin berkurang. Karakteristik fungsi produksi croppes: Memiliki produk marjinal yang positif. Sebagaimana diketahui, produk marjinal adalah turunan pertama dari fungsi produksi.

a.

Produk marjinal (MPi)= ⎞ ∂Y −1 ⎛ n = ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ ∂xi e ⎝ i =1 ⎠ ⎞ e ⎛ n = i ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ e ⎝ i =1 ⎠

∂Y sehingga ∂xi

⎛1⎞ −⎜ ⎟ −1 ⎝e⎠

⎛1⎞ −⎜ ⎟ −1 ⎝e⎠

⎞ e γβ ⎛ n = i e i+1 ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ e xi i ⎝ i =1 ⎠ e γβ 1+ e = i e i+1 Y ( ) . e xi i

( −γ e β x

i i i

− ei −1

)

γβi

xi ei +1 −1− e e

(3.3.2)

8

Diasumsikan tanda ei dan e sama serta γ >0 dan bi >0, sehingga berlaku MPi =

ei γβi (1+ e ) >0. Y e xi ei +1

Terbukti produk marjinal adalah positif. Ini artinya jika perusahaan meningkatkan penggunaan input produksi maka output yang dihasilkan juga akan mengalami peningkatan. Diasumsikan perusahaan adalah penerima harga dalam pasar persaingan sempurna. Suatu perusahaan akan berhenti menambah input produksi pada saat tambahan biaya yang harus dibayar adalah sama dengan tambahan pendapatan yang diterima. Tambahan biaya dalam hal ini adalah harga input produksi sedangkan tambahan pendapatan adalah produk marjinal dikalikan harga jual output. Jika harga input produksi dinotasikan dengan Pi sedangkan harga jual output dinotasikan dengan PY, maka alokasi input produksi dianggap efisien bila: Pi=(MPi)(PY)

(3.3.3)

dengan: Pi= harga dari input produksi ke-i PY= harga dari output Y dengan demikian: ⎛ γ e β ⎞ 1+ e − e +1 Pi = ⎜ i i ⎟ Y ( ) xi ( i ) PY ⎝ e ⎠

.

Fungsi produksi croppes merupakan fungsi homogen secara linear dan berderajat satu. Jika perusahaan meningkatkan semua input produksinya sebesar m kali, dengan m > 0 maka Persamaan (3.3.1) menjadi b.

⎛ n −e ⎞ Y = ⎜ γ ∑ βi ( mxi ) i ⎟ ⎝ i =1 ⎠

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠

(

= γβ1m −ei x1− ei + ....... + γβ n m −ei xn −ei

(

(

= m − ei γβ1 x1−ei + ....... + γβ n xn −ei = ( m)

ei e

⎛ n −e ⎞ ⎜ γ ∑ βi xi i ⎟ ⎝ i =1 ⎠

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠

))

)

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠

.

linear dan berderajat satu. Oleh karena itu, untuk pembahasan selanjutnya kita asumsikan bahwa nilai e i = e untuk memenuhi sifat kehomogenan linear. Bila diasumsikan nilai e i = e maka Persamaan (3.3.4) menjadi sebagai berikut: ⎛ n −e ⎞ Y = ⎜ γ ∑ βi ( mxi ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠

(

= γβ1m −e x1−e + ....... + γβ n m − e xn − e

( (γβ x

= m

Dari Persamaan (3.3.4) dapat dilihat bahwa apabila nilai e i ≠ e maka fungsi produksi croppes tidak menunjukkan homogen secara

−e

−e

1 1

+ ....... + γβ n xn

⎛ n ⎞ = m ⎜ γ ∑ βi xi −e ⎟ ⎝ i =1 ⎠

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠

−e

))

⎛1⎞

) ⎜⎝ ⎟⎠ −

e

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠

.

(3.3.5) Dari Persamaan (3.3.5) dapat dilihat bahwa fungsi produksi croppes adalah homogen secara linear dan berderajat satu. Asumsi homogen secara linear ini akan sama dengan asumsi ekonomi mengenai return to scale yang konstan. Karena bersifat homogen secara linear, berarti kenaikan semua input sebesar m kali akan selalu menaikkan output sebesar m kali pula. Akibatnya, fungsi produksi croppes seperti halnya fungsi produksi homogen lainnya yang menunjukkan constant return to scale memenuhi syarat penerapan Teorema Euler. Teorema Euler menyatakan bahwa nilai sebuah fungsi yang homogen secara linear selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari hasil kali salah satu variabel bebas dengan turunan parsial orde pertama terhadap variabel tersebut. Secara ekonomi, sifat ini berarti bahwa pada kondisi constant return to scale, keuntungan ekonomi yang murni akan nol. Situasi ini merupakan gambaran keseimbangan jangka panjang pada pasar persaingan sempurna. Keuntungan ekonomi yang sebesar nol dalam keseimbangan jangka panjang itu merupakan hasil kekuatan persaingan melalui keluar dan masuknya perusahaan. c.

(3.3.4)

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠

Memiliki

produktivitas

berkurang atau

2

∂ Y ∂xi 2

yang

<0.

Dari Persamaan (3.3.2) diperoleh

semakin

9

fungsi q, f, y akan bernilai positif. Karena fungsi produksi croppes memiliki return to scale yang konstan saat e i = e untuk semua i dengan e > 0 maka Persamaan (3.3.6) dapat dituliskan sebagai berikut

∂Y ei γβi (1+ e ) = Y ∂xi e xi ei +1

(

)

⎛ n ⎞ ∂Y ei = γβi xi −(ei +1) ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ ∂xi e ⎝ i =1 ⎠

⎛1⎞ − ⎜ ⎟ −1 ⎝e⎠

.

Turunkan persamaan di atas terhadap xi sehingga didapatkan ∂ 2Y ∂xi

2

=

− ( ei + 1) ei e

γβi xi −(ei + 2)Y 1+ e +

∂ 2Y

(

ei γβi xi −(ei +1) e

)

⎛1⎞ ⎛ −⎜ ⎟ − 2 ⎜⎛ 1 ⎞⎛ n − e +1 − ei ⎞ ⎝ e ⎠ − − x −γ ei βi xi ( i ) γ β 1 ⎜⎜ ⎟⎜ ∑ i i ⎟ e ⎝ ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎜ ⎝

(

e ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ (γ e β ) = − ⎜ ( ei + 1) i γβi xi −(ei + 2)Y 1+ e ⎟ + ⎜1 + ⎟ i i e e ⎝ ⎠ ⎝ e⎠

∂xi 2

)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(3.3.7) Sederhanakan menjadi

2

⎛1⎞ −⎜ ⎟ −1 −1 n n −2(ei +1) ⎛ −ei ⎞ ⎝ e ⎠ ⎛ −e ⎞ xi ⎜ γ ∑ βi xi ⎟ ⎜ γ ∑ βi xi i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠

e ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ (γ e β ) = − ⎜ ( ei + 1) i γβi xi −(ei + 2)Y 1+ e ⎟ + ⎜1 + ⎟ i i e e ⎝ ⎠ ⎝ e⎠ ⎛ ⎞ xi −2(ei +1)Y 1+ e ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ ⎝ i =1 ⎠ n

2

−1

2 −e −1 ⎞ ⎞ e Y ⎛ ⎛ 1⎞ ( γ e β ) x i ⎛ n = (e +2) ⎜−( ei +1) i γβi +⎜1+ ⎟ i i i ⎜γ ∑βi xi−ei ⎟ ⎟ e e ⎝ e⎠ xi i ⎜⎝ ⎝ i=1 ⎠ ⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟⎟ 1+e ⎜ γe β γeiβi Y ⎛ 1⎞ ⎟⎟ 1 1 e = (e +2) ⎜⎜ i i ⎜ + − + ( ) ⎜ ⎟ i ⎟⎟ xi i ⎜ e ⎜ ei ⎛ n −ei ⎞ ⎝ e ⎠ ⎜⎜ xi ⎜γ ∑βixi ⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎝ i=1 ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ γe β γeiβi Y ⎛ ei ⎞ ⎟⎟ . e e + − + 1 = (e +2) ⎜⎜ i i ⎜ ( ) i i ⎜ ⎟ ⎟⎟ xi i ⎜ e ⎜ ei ⎛ n −ei ⎞ ⎝ e ⎠ ⎜⎜ xi ⎜γ ∑βixi ⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎝ i=1 ⎠⎠ ⎝ 1+e

(3.3.6) Misalkan:

Φ=

Y

e +1

Persamaan

(3.3.7)

sehingga

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂Y Y ⎜ ( γβi )( γβi ) ( e + 1) − ( γβ ) ( e + 1) ⎟ = i ⎟ ∂xi2 xi(e+2) ⎜ e ⎛ n −e ⎞ ⎜⎜ xi ⎜ γ ∑ βi xi ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎝ i=1 ⎠ 1+e

2

1+e

θ=

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ γβi Y 1+ e ⎜ ⎜ = (e + 2) ⎜ γβi e + 1) − ( e + 1) ⎟ ⎟⎟ . ( ⎜ ⎛ n ⎟ ⎞ xi ⎜ ⎜⎜ xi e ⎜ γ ∑ βi xi − e ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝ i =1

=

Y1+e xi(e+2)

(γβi )(γβi ) ⎛ n ⎞ xie ⎜ γ ∑ βi xi−e ⎟ ⎝ i=1 ⎠

( e +1) −

Y1+e xi(e+2)

(γβi ) ( e +1)

⎛ Y1+e ( γβ ) Y1+e ⎞ = ( γβi ) ( e + 1) ⎜ (e+2) e i−e − (e+2) ⎟ ⎜x ⎟ xi Y xi ⎝ i ⎠ ⎛ ⎛ Y ⎞e Y1+e ( γβ ) ⎛ Y ⎞e Y ⎞ i ⎟ − = ( γβi ) ( e + 1) ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ xi ⎠ xi xie+1 ⎜⎝ xi ⎟⎠ xi2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ e ⎛ ∂Y ∂xi Y ⎟ ⎛Y ⎞ = ( γβi ) ( e + 1) ⎜ ⎟ ⎜⎜ − 2⎟ xi x xi ⎟ ⎝ ⎠⎜ i ⎝ ⎠

⎛Y ⎞ = ( γβi ) ( e + 1) ⎜ ⎟ ⎝ xi ⎠

e

⎛ ⎛ ∂Y ⎞ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ∂xi ⎟⎠ xi Y ⎟ − 2 ⎟. ⎜ xi 2 xi ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(3.3.8) Persamaan (3.3.8) akan bernilai negatif jika ⎛ ∂Y ⎞ ⎜ ⎟ xi − Y < 0 . Karena fungsi produksi croppes ⎝ ∂xi ⎠

xi ei + 2

γ ei βi e ⎛

n

⎞

⎝

i =1

⎠

ψ = xi ei ⎜ γ ∑ βi xi −ei ⎟ ,

maka Persamaan (3.3.6) menjadi ⎡ ⎪⎧⎛ γβ ⎞ ⎛ e ⎞ ⎪⎫⎤ = θ ⎢Φ ⎨⎜ i ⎟⎜ ei + i ⎟ − ( ei + 1) ⎬⎥ . 2 e⎠ ∂ xi ⎭⎪⎦⎥ ⎣⎢ ⎩⎪⎝ ψ ⎠ ⎝ ∂ 2Y

Diasumsikan nilai ei dan e pada persamaan di atas adalah sama sehingga akan mengakibatkan

bersifat constant return to scale maka Teorema Euler berlaku, sehingga ⎛ ∂Y ⎞ xi ⎜ ⎟ − Y → xi fi − Y < 0 ⎝ ∂xi ⎠

terbukti bahwa

⎛ ⎜ karena ⎝

n

⎞

fi x i = Y ⎟ ∑ i =1 ⎠

∂ 2Y < 0. ∂xi 2

Nilai produktivitas marjinal yang negatif pada fungsi produksi croppes ini menunjukkan terjadinya diminishing return to scale yang artinya ketika input variabel yang digunakan

10

jumlahnya masih sedikit maka produk marjinal yang dihasilkan sangat tinggi. Tetapi semakin banyak input variabel tersebut digunakan, sementara input lain dibiarkan konstan maka

produk marjinal berkurang.

tersebut

akan

semakin

Gambar 2 Kurva Produksi Total dan Produk Marjinal

Keterangan: TP=total product MP=marginal product. Dari Kurva di atas, dapat dibagi menjadi tiga tahap produksi sebagai berikut: 1. Tahap 1, yaitu dari titik asal sampai titik A. Pada tahap ini, penambahan input produksi akan meningkatkan produk total. Namun bila perusahaan berhenti berproduksi pada tahap ini, perusahaan akan kehilangan kesempatan untuk mendapatkan keuntungan yang lebih besar lagi karena perusahaan sebenarnya masih dapat meningkatkan output produksinya hingga mencapai hasil yang lebih optimal. 2. Tahap 2, yaitu daerah antara titik A dan titik B. Pada tahap ini, karena berlakunya the law of diminishing return, maka produk marjinal mengalami penurunan. Namun nilainya masih positif. Penambahan input produksi akan tetap menambah produk total sampai mencapai nilai maksimum. 3. Tahap 3, yaitu saat MP (marginal product) bernilai nol yaitu di titik B. Pada tahap ini perusahaan tidak mungkin melanjutkan produksi, karena penambahan input produksi

justru menurunkan produksi total. Perusahaan akan mengalami kerugian. 3.4 Elastisitas parsial substitusi

Dalam pembahasan fungsi produksi croppes, ada hal penting lainnya yang perlu diketahui yaitu seberapa mudah menukarkan suatu input dengan input lainnya dalam proses produksi. Alat yang biasa digunakan untuk mengukur respon ini adalah elastisitas substitusi. Bentuk umum fungsi produksi croppes dengan asumsi e i = e untuk semua i dengan e > 0 dapat didefinisikan sebagai berikut ⎛ n ⎞ Y = ⎜ γ ∑ β i xi −e ⎟ ⎝ i =1 ⎠

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠

.

( 3.4.1)

Misalkan dalam berproduksi perusahaan diasumsikan hanya menggunakan dua input produksi saja, yaitu input xr dan input xs sehingga fungsi produksinya menjadi Y=f(xr,xs) maka menurut definisi elastisitas substitusi diperoleh

11

⎛ ⎞ d ⎜ xs ⎟ ⎝ xr ⎠ σ rs = ⎛ fr ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ fs ⎠

Dengan

∂f ∂x r

= f r dan

⎛ ⎞ − rxs d ⎜ x s ⎟ = dx s x r dx xr2 ⎝ xr ⎠

fr fs . xs xr ∂f ∂x s

⎛ ⎛ f ⎞⎞ = dx 2s ⎜ x r + x s ⎜ s ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ xr ⎝ ⎝ fr ⎠ ⎠ = fs .

(3.4.2)

dx s fr x r 2

=

( )

( fr x r + fs x s ). ( 3.4.7 )

⎛ fr ⎞ ⎟ dapat dicari sebagai berikut ⎝ fs ⎠

Turunan d ⎜

⎛f ⎞ ⎛ f ∂⎜ r ⎟ ∂⎜ r f f ⎛ fr ⎞ d ⎜ ⎟ = ⎝ s ⎠ dx r + ⎝ s ∂x r ∂x s ⎝ fs ⎠

⎞ ⎟ ⎠

terhadap xs )

=

( 3.4.3)

fr = − dx s fs dx r ⎛ fs ⎞ ⎟ dx s . ⎝ fr ⎠

sehingga dx r = − ⎜

( 3.4.4 )

Substitusikan Persamaan (3.4.4) ke Persamaan (3.4.3) sehingga ⎛f ∂⎜ r f ⎛ fr ⎞ d⎜ ⎟= ⎝ s ∂x r ⎝ fs ⎠ ⎛ ⎜ = dx s ⎜⎜ fr ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎛ f ⎞ ∂⎜ r ⎟ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎠ − fs ⎝ fs ⎠ ⎜⎜ ⎜ ⎟ dx s ⎟⎟ + dx s ∂x s ⎝ ⎝ fr ⎠ ⎠ ⎛ f ⎞ ⎛ f ⎞⎞ ∂⎜ r ⎟ ∂⎜ r ⎟ ⎟ f f f r ⎝ s ⎠ − f s ⎝ s ⎠ ⎟⎟ . ∂x s ∂x r ⎟ ⎟ ⎠

⎛ fr ⎞ ⎟. ⎝ fs ⎠

Dengan menggunakan Persamaan (3.4.5) dan (3.4.7) diperoleh dx s ⎛ ⎞ ( fr x r + fs x s ) d ⎜ xs ⎟ fr x r 2 ⎝ xr ⎠ = ⎛ f ⎞ ⎛ ⎛ f ⎞ ⎛ f ⎞⎞ d⎜ r ⎟ ∂⎜ r ⎟ ⎟ ⎜ ∂⎜ r ⎟ f f f ⎝ s ⎠ dx s ⎜ fr ⎝ s ⎠ − fs ⎝ s ⎠ ⎟ ⎜ fr ∂x s ∂x r ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ fr x r + fs x s ) ( . = ⎛ ⎛ f ⎞ ⎛ f ⎞⎞ ∂⎜ r ⎟ ⎟ ⎜ ∂⎜ r ⎟ f f 2 x r ⎜⎜ f r ⎝ s ⎠ − f s ⎝ s ⎠ ⎟⎟ ∂x s ∂x r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

( )

( 3.4.8)

Substitusikan Persamaan (3.4.8) ke Persamaan (3.4.2) untuk mencari elastisitas substitusi

( 3.4.5)

Turunan dari rasio antara xs dan xr dinotasikan ⎛ ⎞ dengan d ⎜ x s ⎟ , dan nilainya adalah sebagai ⎝ xr ⎠

⎛ ⎞ d ⎜ xs ⎟ ⎝ xr ⎠ σ rs = ⎛ fr ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ fs ⎠ =

berikut ⎛ ⎞ − rxs . d ⎜ x s ⎟ = dx s x r dx 2 xr ⎝ xr ⎠

⎞

⎝ xr ⎠

dx s .

Dari definisi RTS (xr terhadap xs) diperoleh RTS( xr

⎛

Selanjutnya akan dicari rasio d ⎜ x s ⎟ d ⎜

(x ) 2

r

( 3.4.6 ) =

Substitusikan Persamaan (3.4.4) ke Persamaan (3.4.6) sehingga

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

fr fs xs xr

( fr x r + fs x s ) ⎛ f ⎞ ⎛ f ∂⎜ r ⎟ ∂⎜ r f f fr ⎝ s ⎠ − fs ⎝ s ∂x s ∂x r

⎛ fr ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ fs ⎠ ⎞ ⎞ xs ⎟⎟ x ⎠⎟ r ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

fr ( fr x r + fs x s ) ⎛ ⎛ f ⎞ ⎛ f ∂⎜ r ⎜ ∂⎜ r ⎟ f f fs x r x s ⎜ fr ⎝ s ⎠ − fs ⎝ s ⎜ ∂x s ∂x r ⎜ ⎜ ⎝

⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

.

( 3.4.9 )

12

( ) f −( f ) f

2 f r f s f rs − f r

f f ∂ ⎛⎜ r ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ r ⎞⎟ fs ⎠ fs ⎠ ⎝ ⎝ Nilai dan diberikan oleh ∂x s ∂x r

∂ ⎛⎜ ⎝

fr

⎞ f s ⎟⎠

∂x s ∂ ⎛⎜ ⎝

fr

⎞ f s ⎟⎠

∂x r

=

=

f rs f s − f r f ss

f

( 3.4.10 )

2

s

f rr f s − f r f sr

fs

2

( 3.4.11)

.

Berdasarkan Teorema Young maka berlaku frs = fsr sehingga dengan menyubstitusikan Persamaan (3.4.10) dan Persamaan (3.4.11) ke Persamaan (3.4.9) maka akan diperoleh σ rs =

=

=

=

=

fr ( fr x r + fs x s ) ⎛ ⎛ f f −f f ⎞ ⎛f f −f f f s x r x s ⎜ f r ⎜ rs s 2 r ss ⎟ − f s ⎜ rr s 2 r sr ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ fs fs ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ fr ( fr x r + fs x s ) ⎛ f f s ⎛ f rr f s − f r f sr r x r x s ⎜ ( f rs f s − f r f ss ) − ⎜ 2 ⎜ fs fs ⎜ fs ⎝ ⎝ fr f s ( fr x r + f s x s )

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

x r x s ( f r ( f rs f s − f r f ss ) − f s ( f rr f s − f r f ) )

(

fr fs ( fr x r + fs x s )

Frs ( f r x r + f s x s ) xr xs F

Didefinisikan:

0

fs

F = fs fr

f ss f sr

ss

s

rr

s

>0.

( 3.4.13)

Untuk membuktikan Persamaan (3.4.13), cukup dibuktikan bahwa f rs > 0, f rr dan f ss <0 . Nilai f rs dapat dicari dengan menurunkan fungsi produksi terhadap variabel xr dan xs. Berdasarkan Teorema Young berlaku frs = fsr sehingga f rs = f sr = γβ r ( e + 1)

Ye f s ( xr ) e +1 e

⎛Y ⎞ f = γβ r ( e + 1) ⎜ ⎟ s . ⎝ xr ⎠ xr Karena xr dan f s bernilai non negatif, serta diasumsikan semua parameter bernilai positif, terbukti bahwa frs = fsr >0 .

Produktivitas marjinal ( f rr dan f ss ) selalu bernilai negatif, dan nilainya dapat dicari sebagai berikut: f = γβ ( e + 1) Y e f x −( e +1) − ( e + 1) Y e +1x −( e + 2 ) rr

r

(

r r

r

)

e e ⎛ ⎛ Y ⎞ f r ⎛ Y ⎞ Y ⎞⎟ = γβ r ( e + 1) ⎜ ⎜ − ⎜⎜ x ⎟ xr ⎜ x ⎟ x 2 ⎟⎟ ⎝ r⎠ r ⎠ ⎝⎝ r ⎠

(

2

ss

rr

e

( 3.4.12 ) 2

s

= γβ r ( e + 1) ⎜

.

( ) f −( f ) f

F = 2 f r f s f rs − f r

2

2

ss

⎛ Y ⎞ ⎡ f r xr − Y ⎤ ⎥ ⎟ ⎢ 2 ⎥⎦ ⎝ xr ⎠ ⎢⎣ xr f ss = γβ s ( e + 1) Y e f s xs −( e +1) − ( e + 1) Y e + 1xs −( e + 2 )

( ) f −( f ) f )

x r x s 2 f r f s f rs − f r

2

2

rr

fr f rs = bordered determinant f rr

Frs = fr fs adalah kofaktor dari frs pada F.

Nilai elastisitas substitusi pada persamaan (3.4.12) selalu bernilai positif. Karena Fungsi produksi croppes bersifat neoklasik, maka input produksi (dalam hal ini input xs dan input xr) dan produk marjinal ( f s dan f r ) selalu bernilai non-negatif. Oleh karena itu, untuk menunjukkan bahwa nilai elastisitas substitusi adalah positif, maka kita tinggal membuktikan bahwa

)

⎛ ⎛ Y ⎞ f s ⎛ Y ⎞ Y ⎞⎟ = γβ s ( e + 1) ⎜ ⎜ − ⎜⎜ x ⎟ x ⎜ x ⎟ x 2 ⎟⎟ s ⎝ s ⎠ s ⎠ ⎝⎝ s ⎠ e

e

e

⎛ Y ⎞ ⎡ f s xs − Y ⎤ ⎥ . ⎟ ⎢ 2 ⎥⎦ ⎝ xs ⎠ ⎢⎣ xs

= γβ s ( e + 1) ⎜

Untuk menunjukkan f rr dan f ss bernilai negatif, maka cukup dibuktikan bahwa f r xr − Y dan f s xs − Y kurang dari nol. Karena fungsi produksi mempunyai return to scale yang konstan, maka Teorema Euler berlaku sehingga berlaku f r xr − Y < 0 dan f s xs − Y < 0 ( karena f r xr + f s xs = Y ) dengan hasil ini terbukti bahwa f rr dan f ss <0 .

13

Persamaan (3.4.12) dapat diperluas untuk penggunaan sejumlah n input produksi menjadi n

fi x i ∑ F rs i =1

σ rs = x x r s

F

.

(3.4.14)

Penerimaan total (Revenue) sama dengan jumlah output (Y) dikalikan dengan harga jual output (PY). Secara matematis dinotasikan sebagai berikut R = PY Y

= g (Y ) Y = g ( f ( xi ) ) f ( xi ) .

Dengan: F=

0 f1

f1 … f11 …

fn f1n

fn

f n1 …

f nn

= bordered determinant

Frs=kofaktor dari frs pada F.

3.5 Pengoptimuman input produksi

1

( 3.5.1)

Sedangkan PY adalah harga output yang didefinisikan sebagai berikut PY = g (Y ) . ( 3.5.2 )

Misalkan P=(P1,P2,P3,….,Pn) adalah vektor harga dari input produksi. Pi dengan i=1,2,3,....n diasumsikan positif. Sementara itu, didefinisikan pula x=(x1,x2,….,xn) sebagai vektor input produksi yang meminimumkan biaya. Karena permintaan input produksi perusahaan dipengaruhi oleh harganya, maka persamaan untuk input produksi dapat dituliskan sebagai berikut xi = f ( P i ) i = 1, 2,.........n dengan: Pi= harga input produksi ke-i xi = banyaknya input produksi ke-i.

C = ∑ Pi xi .

(3.5.4)

i =1

Keuntungan adalah nilai penerimaan total perusahaan dikurangi biaya total yang dikeluarkan perusahaan. Jika keuntungan dinotasikan dengan π maka π = penerimaan total - biaya produksi n

Pada pembahasan ini, kita akan mencari solusi input produksi yang didasarkan pada pemaksimuman keuntungan. Diasumsikan perusahaan berproduksi pada pasar persaingan sempurna. Bentuk umum fungsi produksi croppes dengan asumsi e i = e untuk semua i dengan e > 0 adalah sebagai berikut −

Total biaya produksi perusahaan (cost) adalah jumlah dari semua perkalian input produksi dengan harganya. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut n

Persamaan (3.4.14) digunakan untuk mencari nilai elastisitas parsial substitusi antara input xr dengan input xs , sedangkan banyaknya input produksi yang lain ( xi dengan i≠r dan i≠s) dipertahankan tetap konstan.

⎛ n ⎞ e Y = ⎜ γ ∑ βi xi −e ⎟ . i = 1 ⎝ ⎠

(3.5.3)

= PY Y − ∑ Pi xi i =1

n

= g ( f ( xi ) ) f ( xi ) − ∑ Pi xi . i =1

(3.5.5)

Dalam karya tulis ini, ada dua kasus yang akan diamati. Kasus pertama ketika input kapital (dalam tulisan ini berarti tanah) telah ditetapkan dalam persediaan sementara input lain bersifat elastis sempurna. Pada kasus kedua input tanah dan input tenaga kerja telah ditetapkan, sedangkan input lain tersedia dalam industri pada saat harganya mengalami kenaikan. Kasus 1 Asumsi yang digunakan: i. Input tanah bernilai tetap dinotasikan dengan xa=ao. ii. Input produksi lain bersifat elastis sempurna.

Penerimaan total sama dengan jumlah output (Y) dikalikan dengan harga jual (PY). R = PY Y

= g ( f ( xi ) ) f ( xi ) .

( 3.5.6 ) Sementara itu, fungsi biaya produksinya adalah n −1

C = ∑ Pi xi i =1

dengan i ≠ a .

(3.5.7)

14

Kondisi untuk memaksimumkan keuntungan dapat dituliskan sebagai berikut: ⎡

n −1

⎤

⎣

i =1

⎦

Maksimumkan ⎢ PY Y − ∑ Pi xi ⎥ untuk semua i kecuali a terhadap kendala xa=ao dengan xa = input tanah yang bernilai tetap. (3.5.8) Persamaan (3.5.8) dapat dituliskan dalam bentuk Lagrange sebagai berikut: n −1

Z = PY Y − ∑ Pi xi + λ ( ao − xa ) i =1

n −1

= g ⎣⎡ f ( xi ) ⎦⎤ f ( xi ) − ∑ Pi xi + λ ( ao − xa ) . i =1

( 3.5.9 )

Kondisi orde pertama dari Persamaan (3.5.9) adalah ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎣⎡ f ( xi ) ⎦⎤ + f ( xi ) − Pi = 0 ∂xi ∂xi ∂f ( xi ) ∂xi ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi )

∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) ∂xa ∂xa ∂f ( xi )

∂Z = ao − xa = 0. ∂λ

∂xa

−λ = 0

Kasus 2 Asumsi yang digunakan: i. Input tanah bernilai tetap dinotasikan dengan xa=ao. ii. Input tenaga kerja ditetapkan menurut fungsi tingkat upah dinotasikan dengan xl. iii. Input produksi lain tersedia dalam industri saat harganya mengalami kenaikan.

Bentuk umum fungsi input tenaga kerja adalah sebagai berikut xL = τ W (3.5.11) dengan W = tingkat upah dan t >1. Ubah Persamaan (3.5.11) ke dalam bentuk logaritma natural menjadi ln ( xL ) = W ln τ W=

( 3.5.10 )

Solusi xi dan λ dari Persamaan (3.5.10) adalah 1 ⎞ e +1

⎛ βi Pa ⎟ ⎝ β a Pi ⎠

xi = ao ⎜

mengakibatkan harga input tersebut akan naik. Namun, karena input produksi bersifat substitusi, maka perusahaan dapat menggunakan input penggantinya yang tidak mengalami kenaikan harga sehingga biaya produksi perusahaan tetap konstan.

λ = Pa .

Penentuan solusi xi dan λ ini dapat dilihat pada Lampiran 3.

ln τ

.

( 3.5.12 )

Penerimaan total sama dengan jumlah output (Y) dikalikan dengan harga jual (PY). R = PY Y

= g ( f ( xi ) ) f ( xi ) .

( 3.5.13) Sementara itu, fungsi biaya produksinya adalah n−2

C = ∑ Pi xi i =1

Dari hasil analisis dapat dilihat bahwa λ menyatakan harga dari input tanah. Selain itu, diperoleh solusi input optimal sebesar xi yang juga dipengaruhi oleh input tetap tanah. Diasumsikan input produksi bersifat elastis sempurna. Berdasarkan asumsi ini, maka input produksi merupakan barang-barang yang mempunyai sifat substitusi. Artinya bila suatu input produksi mengalami kenaikan harga maka perusahaan akan beralih ke input produksi penggantinya. Dalam jangka panjang pasar persaingan sempurna, masuknya perusahaan baru menyebabkan permintaan terhadap suatu input produksi mengalami peningkatan. Hal ini

ln ( xL )

dengan i≠L dan i≠a. (3.5.14)

Kondisi untuk memaksimumkan keuntungan dapat dituliskan sebagai berikut: ⎡

Maksimumkan ⎢ PY Y − ⎣⎢

⎛ n−2 ⎞⎤ ln xL xL − ⎜ ∑ Pi xi ⎟ ⎥ ln τ ⎝ i =1 ⎠ ⎦⎥

untuk semua i kecuali L dan a terhadap kendala xa = ao dengan xa = input tanah yang bernilai tetap. (3.5.15) Persamaan (3.5.15) dapat dituliskan dalam bentuk Lagrange menjadi

15

Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ f ( xi ) −

ln ( xL )

⎛ n −2 ⎞ xL − ⎜ ∑ Px i i ⎟ + λ ( ao − xa ) . lnτ ⎝ i =1 ⎠

( 3.5.16)

Kondisi orde (3.5.16) adalah

pertama

untuk

Persamaan

∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) − Pi = 0 ∂xi ∂xi ∂f ( xi ) ∂xi ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎣⎡ f ( xi )⎦⎤ + f ( xi ) ∂xL ∂xL ∂f ( xi ) ∂xL

⎛ 1 ⎞ −⎜ ⎟ (1+ ln ( ∂xL ) ) = 0 ⎝ lnτ ⎠ ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) −λ = 0 ∂xa ∂xa ∂f ( xi ) ∂xa

∂Z = ao − xa = 0. ∂λ

( 3.5.17)

Penentuan solusi xi dan λ ini dapat dilihat pada Lampiran 3. Berdasarkan analisis pada kasus kedua, diperoleh dua solusi input produksi optimal yang dipengaruhi oleh input tetapnya. Solusi yang pertama dipengaruhi oleh input tetap tanah sedangkan solusi yang kedua dipengaruhi oleh input tetap tenaga kerja. Dalam jangka panjang pasar persaingan sempurna, masuknya perusahaan baru menyebabkan permintaan terhadap suatu input meningkat. Diasumsikan input produksi mengalami kenaikan harga. Semakin banyak perusahaan yang memasuki pasar persaingan sempurna menyebabkan permintaan terhadap input akan naik. Akibatnya harga input juga akan menjadi semakin mahal, sehingga dalam jangka panjang perusahaan akan menanggung beban biaya produksi yang lebih besar akibat kenaikan harga input tersebut.

Dari Persamaan (3.5.17) diperoleh solusi λ dan xi , yaitu: 1

1

⎛ β P ⎞ e +1 ⎛ β P ⎞ e +1 xi = ao ⎜ i a ⎟ atau xi = τ W ⎜ i L ⎟ β P ⎝ β L Pi ⎠ ⎝ a i ⎠ λ = Pa .

IV. STUDI KASUS

Masalah yang akan dicontohkan di sini adalah kegiatan produksi suatu perusahaan yang memiliki fungsi produksi bersifat constant return to scale. Asumsi yang digunakan adalah: i. Semua input produksi yang digunakan meningkat secara proporsional. ii. Harga input x1 mengalami kenaikan sedangkan harga input x2 dan input x3 bernilai tetap. Dalam produksinya, perusahaan menggunakan tiga input produksi sehingga bentuk umum fungsi produksinya adalah sebagai berikut berikut

(

Y = γβ1 x1−e + γβ 2 x2 −e +γβ 3 x3−e ⎛ 3 ⎞ = ⎜ γ ∑ βi xi −e ⎟ ⎝ i =1 ⎠

⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝e⎠

.

)

−1 e

(1)

Dengan: Y = output produksi x1 = banyaknya input ke-1, yaitu tanah x2 = banyaknya input ke-2, yaitu tenaga kerja x3 = banyaknya input ke-3, yaitu modal b1, b2, b3 = parameter distribusi e = parameter substitusi g = parameter efisiensi. Data ketiga input produksi tersebut adalah sebagai berikut:

16

Data

Tabel 1 Data Input Produksi x1 x2

X3

1

5.4

4.07

6.15

2

10.79

8.14

12.3

3

16.19

12.21

18.4

4

21.58

16.28

24.6

5

26.98

20.36

30.75

6

32.37

24.43

36.91

7

37.7

28.5

43.06

8

43.16

32.57

49.21

(www.egwald.com) Dilakukan analisis terhadap data input produksi yang diperoleh dengan menggunakan bantuan software Mathematica 6. Substitusikan nilai parameter g=1, b1=0.3, b2=0.4, b3=0.3 dan e=0.17647 ke dalam Persamaan (1) (Lampiran

4). Hasil output produksi yang diperoleh disajikan pada Gambar 3 sebagai berikut:

45 40 output produksi

35 30 25 20 15 10 5 0 5.4

10.79 16.19 21.58 26.98 32.37 37.7 43.16 input X1 output (Y)

Gambar 3 Nilai output produksi bila input x2 dan input x3 dianggap konstan.

Didefinisikan produk marjinal dan produktivitas dari masing-masing input produksi adalah hasil turunan pertama dan kedua dari fungsi produksinya. Fungsi produk marjinal dan produktivitas marjinal dapat dicari dengan menggunakan software Mathematica 6 seperti

yang terdapat pada Lampiran 4. Dengan memasukkan semua nilai parameter yang sama ke dalam persamaan produk marjinal dan produktivitas yang didapatkan, maka dihasilkan nilai sebagai berikut:

17

Tabel 2 (Nilai Produk Marjinal) f1=

∂Y

f2=

∂x1

∂Y

f3=

∂x 2

∂Y

∂x 3

0.27405800

0.50962500

0.23517600

0.27426800

0.50946100

0.23510100

0.27394500

0.50904500

0.23566000

0.27426800

0.50946100

0.23510100

0.27429200 0.27434800 0.27472900 0.27432800

0.50932200 0.50936400 0.50907300 0.50938900

0.23517200 0.23509400 0.23495400 0.23509600

Tabel 3 Nilai Produktivitas Marjinal f11=

∂Y

∂x 11

-0.04203670 -0.02105300 -0.01401550 -0.01052650 -0.00842030 -0.00701957 -0.00603497 -0.00526432

f22=

∂Y

f33=

∂x 22

-0.08620690 -0.04309100 -0.02870640 -0.02154550 -0.01722370 -0.01435540 -0.01229900 -0.01076810

Pada Gambar 3 di atas diperoleh kesimpulan bahwa bila penggunaan input produksi ditingkatkan, maka output yang dihasilkan juga akan bertambah sesuai dengan besarnya peningkatan input produksi tersebut. Hal ini tentunya sesuai dengan karakteristik fungsi produksi croppes yang bersifat constant return to scale. Karena produk marjinal bernilai positif, maka bila perusahaan meningkatkan penggunaan input produksinya, maka output yang dihasilkan juga akan mengalami peningkatan. Namun, peningkatan input produksi ini tidak selamanya memberikan tambahan hasil yang selalu meningkat. Hal ini terlihat dari nilai produktivitas marjinal yang bernilai negatif pada Tabel 3. Tanda negatif ini menunjukkan bahwa nilai produktivitas bersifat diminishing return to scale, artinya bila perusahaan meningkatkan suatu input produksi misalkan input tanah sementara input yang lain (input modal dan input tenaga kerja) dipertahankan tetap konstan, maka output yang

∂Y

∂x 33 -0.03197580 -0.01598300 -0.01076820 -0.00799152 -0.00639505 -0.00532610 -0.00456285 -0.00399487

dihasilkan juga akan bertambah, tetapi produk marjinal yang dihasilkan input tanah tersebut akan semakin berkurang. Diasumsikan harga input x1 mengalami kenaikan sedangkan harga input x2 bernilai tetap. Perusahaan lalu membuat kebijakan dengan melakukan substitusi input dengan tujuan untuk meminimumkan biaya produksi. Dalam kasus ini perusahaan menggantikan input x1 dengan input x2 sementara besarnya input x3 dipertahankan tetap konstan. Untuk mengetahui seberapa besar kemampuan substitusi antara kedua input produksi tersebut, maka dicari nilai elastisitas parsial substitusi dengan menggunakan Persamaan (3.4.14) sebagai berikut: σ12 =

( f1x1 + f 2 x2 + f3 x3 ) F12 . x1x2

F

18

Dengan menggunakan software Mathematica 6 diperoleh data elastisitas parsial substitusi antara

input x1 dengan input x2 sebagai berikut

Tabel 4 Elastisitas Parsial Substitusi antara Input x1 dan Input x2 Data x1 x2 x3 s12 1

5.4

4.07

6.15

0.850001

2 3

10.79

8.14

12.3

0.850000

16.19

12.21

18.4

0.850001

4

21.58

16.28

24.6

0.850002

5

26.98

20.36

30.75

0.850003

6

32.37

24.43

36.91

0.849998

7

37.7

28.5

43.06

0.850000

8

43.16

32.57

49.21

0.850000

Tabel 4 menunjukkan nilai elastisitas parsial substitusi antara input x1 dengan input x2 dari masing-masing data. Dari analisis diperoleh bahwa besarnya nilai elastisitas parsial substitusi yang dihasilkan untuk semua data cenderung konstan positif yakni sebesar 0.85. Artinya kemampuan substitusi antara kedua input

produksi ini sangat lemah. Akibatnya, kebijakan perusahaan yaitu dengan menerapkan prinsip substitusi mungkin menjadi tidak efisien karena pada kenyataannya hubungan antara kedua input tersebut cenderung saling melengkapi (bersifat komplemen).

19

V. KESIMPULAN

Dalam karya tulis ini, dibahas tentang fungsi produksi croppes (constant ratio of pairwise partial elasticities of substitution) yang merupakan bentuk umum dari fungsi produksi CES (constant elasticities of substitution). Dari hasil analisis, diperoleh kesimpulan sebagai berikut: • Fungsi produksi croppes mempunyai sifat dasar neoklasik. Sifat dasar tersebut adalah memiliki produk marjinal yang positif, homogen secara linear berderajat satu, dan memiliki produktivitas yang semakin berkurang. • Dalam fungsi produksi croppes, nilai elastisitas parsial substitusinya bernilai konstan positif dan besarnya dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:

n

σ rs =

∑ fi xi F i =1

xr xs

rs

F

.

Dengan Frs adalah kofaktor dari frs pada F dan F adalah bordered determinant. • Solusi dari suatu input produksi yang memaksimumkan keuntungan sangat dipengaruhi oleh input yang sudah ditetapkan sebelumnya. Di samping itu, sifat input juga mempengaruhi biaya produksi yang harus ditanggung perusahaan dalam jangka panjang. Bila input bersifat elastis sempurna, maka biaya produksi perusahaan cenderung akan tetap konstan. Sedangkan bila input mengalami kenaikan harga maka biaya produksi perusahaan dalam jangka panjang akan menjadi lebih tinggi.

20

VI. DAFTAR PUSTAKA Ardana, NKK. 2004. Panduan Penggunaan Mathematica. Ed. Ke-1. Departemen Matematika, FMIPA IPB. Bogor.

Rahardja, P dan M. Mandala. 2001. Suatu Pengantar Teori Ekonomi Mikro. Ed. Ke2. Fakultas Ekonomi UI. Jakarta.

Chiang, A.C dan K. Wainwright. 2005. Fundamental Methods of Mathematical economic. Ed. Ke-4. Mc Graw-Hill Companies, Inc. New York.

Saeter, S.K dan H. Peter. 2006. Essential Mathematics for Analysis. Prentice Hall. England.

Nicholson, W. 1999. Teori Ekonomi Mikro. Ed. Ke-2. Terjemahan Deliarnov. Grafindo. Jakarta.

Sohn, H.K. 1979. A discussion on the factor of technological in production function. James Cook University. North Queensland.

Nicholson, W. 2002. Mikroekonomi Intermediate. Ed. Ke-8. Terjemahan Mahendra IB dan Abdul Azis. Erlangga. Jakarta.

Zhang, W.B. 2005. Differential Equations Bifurcations and Chaos in Economics. World Scientific publishing Co. Singapore.

Peressini, A.L dan F.E. Sullivan, J.J.Uhl, Jr. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. Springer-Verlag. New York.

Egwald. http://www.egwald.com/. [11 Oktober 2007]. Wikipedia. http://www.wikipedia.com/. [20 Februari 2008].

21

LAMPIRAN

22

LAMPIRAN 1. Pembuktian Teorema 1 (Teorema Euler) Teorema 1 (Teorema Euler) Misalkan f adalah fungsi yang terturunkan dari n variabel dalam domain terbuka D, didefinisikan X=(x1,x2,….,xn) dan t > 0 sehingga tX œ D. Fungsi f adalah fungsi homogen berderajat k dalam D jika dan hanya jika persamaan berikut berlaku untuk semua x dalam D n

∑ xi fi ( X ) = kf ( X ) .

i =1

Bukti: misalkan (1) Fungsi f adalah fungsi homogen berderajat k dalam D. n

(2) ∑ xi fi ( X ) = kf ( X ) i =1

berlaku untuk semua x dalam D. Maka akan dibuktikan 1 ⇔ 2 ⇒ Misalkan f adalah fungsi homogen berderajat k, sehingga pernyataan (1) berlaku. f(tx1,tx2,….,txn)= tk f(x1,x2,...,xn)) untuk t > 0 dan k ∈ R . Kemudian turunkan persamaan ini terhadap t (dengan x tetap) sehingga n

∑ xi fi ( tX ) = k t k −1 f ( X ) .

i =1

n

Tetapkan t=1, maka persamaan di atas menjadi ∑ xi fi ( X ) = kf ( X ) . i =1

⇐ Asumsikan pernyataan (2) berlaku untuk semua X dalam D. Misalkan X tetap dan didefinisikan fungsi g untuk semua nilai t > 0 adalah g (t ) = t − k f ( tX ) − f ( X ) .

Turunkan persamaan di atas terhadap t sehingga didapatkan n

g '(t ) = − k t − k −1 f ( tX ) + t − k ∑ xi fi ( tX ) .....(*). i =1

Karena tX berada dalam D, maka pernyataan (2) juga berlaku ketika setiap xi digantikan oleh txi. Oleh karena itu, kita dapatkan n

∑ txi fi ( tX ) = kf ( tX ) .................................(**) .

i =1

Masukkan persamaan (**) ke persamaan (*) sehingga untuk semua t > 0 berlaku g '(t ) = − k t − k −1 f ( tX ) + t − k −1kf ( tX ) = 0.....(***) .

Persamaan (***) menunjukkan g(t) haruslah sebuah konstanta C. Jelasnya g(1)=0, sehingga C=0 hal ini mengakibatkan g(t)=0. Berdasarkan definisi dari fungsi g ini membuktikan bahwa f ( tX ) = t k f ( X ) , sehingga f adalah fungsi homogen berderajat k.

•

Terbukti

23

LAMPIRAN 2. Penurunan elastisitas substitusi pada fungsi produksi CES

Fungsi produksi CES mempunyai bentuk umum sebagai berikut

(

Y = f ( K , L ) = γ δ L − ρ + (1−δ ) K − ρ

)

−

1

ρ

.

Asumsikan g >0, 0§ d §1 dan r >-1 dengan: K=input modal T= input tenaga kerja g=parameter efisiensi d=parameter distribusi r=parameter substitusi. Berdasarkan definisi, fungsi produksi CES mempunyai nilai elastisitas substitusi sebagai berikut:

( L ) ( RTS ) . ( dRTS ) ( K L )

d K

σ=

Langkah pertama yaitu mencari nilai RTS-nya terlebih dahulu, menurut definisi RTS = ⎛ 1⎞ f L = ⎜ − ⎟ γ δ L − ρ + (1−δ ) K − ρ ⎝ ρ⎠

(

(

= γδ δ L − ρ + (1−δ ) K − ρ

)

)

1 − −1

ρ

1 − −1

ρ

L

( − ρ )δ L − ρ −1

− ρ −1

− ( ρ +1) γ ρ +1 −ρ + (1−δ ) K − ρ ) ρ L −( ρ +1) ρ (δ L γ 1

=δ =

δ ⎛ f ⎞ ⎜ ⎟ γρ⎝ L⎠

ρ +1

⎛ 1⎞ f K = ⎜ − ⎟ γ δ L − ρ + (1−δ ) K − ρ ⎝ ρ⎠

(

(

)

= γ (1 − δ ) δ L − ρ + (1−δ ) K − ρ = (1 − δ ) =

1 − −1

)

ρ

( − ρ )(1 − δ ) K − ρ −1

1 − −1

ρ

K

− ρ −1

− ( ρ +1) γ ρ +1 −ρ + (1−δ ) K − ρ ) ρ K −( ρ +1) ρ (δ L γ 1

ρ +1 (1 − δ ) ⎛ f ⎞

⎜

⎟

γρ ⎝K⎠

sehingga RTS =

f L (1 − δ ) ⎛ K ⎞ = δ ⎜⎝ L ⎟⎠ fK

ρ +1

.

Langkah selanjutnya yaitu membuat rasio K ⎛ δ = L ⎜⎝ 1−δ

1

1

⎞ ρ +1⎛ f L ⎞ ρ +1 . ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ fK ⎠

f K sebagai fungsi dari L sebagai berikut L fK

fL fK

24

1

1

⎛ f ⎞ ρ +1 K ⎛ δ ⎞ ρ +1 = c⎜ L ⎟ Misalkan c = ⎜ sehingga ⎟ L ⎝ 1−δ ⎠ ⎝ fK ⎠ K K Kemudian mencari rasio ⎛⎜ ⎞⎟ RTS dan d ⎛⎜ ⎞⎟ d ( RTS ) sebagai berikut

⎝L⎠

⎝L⎠

1 ⎞ ρ +1

⎛ K ⎞ c⎛ f L ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ = ⎝ fK ⎠ fL RTS fK

⎛K⎞ d⎜ ⎟ ⎝L⎠ d ( RTS )

1

⎛ f ⎞ ρ +1 = c⎜ L ⎟ ⎝ fK ⎠

1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎛ f L ⎞ ρ +1 ⎟ d ⎜ c⎜ ⎟ ⎟ f ⎜⎜ ⎝ K ⎠ ⎟⎟ ⎝ ⎠= = ⎛ fL ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ fK ⎠ 1

−1

1 ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ ⎛ f L ⎞ ρ +1 ⎟ ⎟ c⎜ d ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ f ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ K ⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎛ fL ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ fK ⎠

−1

1 ⎛ f L ⎞ ρ +1 ⎛ f L ⎞ c d⎜ ⎟ ρ + 1 ⎜⎝ f K ⎟⎠ ⎝ fK ⎠ = ⎛ f ⎞ d⎜ L ⎟ ⎝ fK ⎠ 1

−1

1 ⎛ f L ⎞ ρ +1 . =c ρ + 1 ⎜⎝ f K ⎟⎠

Elastisitas substitusi dapat dicari sebagai berikut σ =

( L ) ( RTS ) ( dRTS ) ( K L )

d K

1

=

1 ⎛ f L ⎞ ρ +1 c 1 + ρ ⎜⎝ f K ⎟⎠ 1

⎛ f ⎞ ρ +1 c⎜ L ⎟ ⎝ fK ⎠ =

−1

−1

1 . 1+ ρ

•

Terbukti

25

LAMPIRAN 3. Menentukan Solusi Input Produksi pada Kasus 1 dan Kasus 2 Kasus 1 ⎡

n −1

⎤

⎣

i =1

⎦

Maksimumkan ⎢ PY Y − ∑ Pi xi ⎥

untuk semua i kecuali a

terhadap kendala xa=ao dengan xa = input tanah yang bernilai tetap.

(1)

Persamaan (1) dapat dituliskan dalam bentuk Lagrange sebagai berikut: n −1

Z = PY Y − ∑ Pi xi + λ ( ao − xa ) i =1

(2)

n −1

= g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ f ( xi ) − ∑ Pi xi + λ ( ao − xa ) . i =1

Kondisi orde pertama dari Persamaan (2) adalah ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi )⎤⎦ + f ( xi ) − Pi = 0 ∂x ∂x ∂f x ∂x i

i

( i)

i

∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) −λ = 0 ∂xa ∂xa ∂f ( xi ) ∂xa ∂Z = ao − xa = 0. ∂λ

(3)

Dari Persamaan (3) diperoleh persamaan sebagai berikut: Pi =

∂g ( f ( xi ) ) ⎞ ∂f ( xi ) ⎛ ⎜ g ⎡ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) ⎟ ∂xi ⎜⎝ ⎣ ∂f ( xi ) ⎟⎠

∂g ( f ( xi ) ) ⎞ ∂f ( xi ) ⎛ ⎜ g ⎡ f ( xi ) ⎦⎤ + f ( xi ) ⎟ ∂xa ⎜⎝ ⎣ ∂f ( xi ) ⎟⎠ xa = ao.

λ=

(4)

Dari Persamaan (4) diperoleh persamaan sebagai berikut: ⎛ ∂g ( f ( xi ) ) ⎞ ⎜ g ⎡ f ( xi ) ⎦⎤ + f ( xi ) ⎟= ⎜ ⎣ ∂f ( xi ) ⎟⎠ ⎝ ⎛ ∂g ( f ( xi ) ) ⎞ ⎜ g ⎡ f ( xi ) ⎦⎤ + f ( xi ) ⎟= ⎜ ⎣ ∂f ( xi ) ⎟⎠ ⎝

Pi fi

λ fa

(5) .

Dari Persamaan (5) diperoleh persamaan sebagai berikut:

26

λ fa

=

Pi fi

⇔λ=

Pi fa fi

⇔λ=

Pi fa MPi

( karena

fi = MPi

)

⇔ λ = PY f a

( dari alokasi input produksi efisien, dengan Pi = PY ( MPi ) )

⇔ λ = PY ( MPa )

( karena

f a = MPa

)

(6)

( dari alokasi input produksi efisien, dengan

⇔ λ = Pa .

Pa = PY ( MPa ) )

Dari Persamaan (6) diperoleh persamaan sebagai berikut: λ

fa ⇔

=

Pi fi

Pa Pi = f a fi

(karena λ =Pa )

⇔ Pa fi = Pi f a

( karena

⇔ Pa ( MPi ) = Pi ( MPa )

(

) (

− e +1 − e +1 ⇔ Pa βi xi ( ) = Pi β a xa ( )

)

fi = MPi dan f a = MPa

)

⎛ ⎞ γβi (1+ e) dan MPa = γβ a (1+ e ) ⎟ ⎜ karena MP i = Y Y + + 1 1 e e ( ) ( ) ⎜ ⎟ xi xa ⎝ ⎠

− e +1 P β x ( ) − e +1 ⇔ xi ( ) = i a a βi Pa

⎛β P 1 ⎞ ⎟ ⇔ xi = ⎜ a i ( ⎜ βi Pa a e +1) ⎟ o ⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ e +1 ⎠

( karena

xa = ao )

1

⎛β P ( e +1) ⎞ e +1 ⇔ xi = ⎜ i a ( a o ) ⎟ ⎝ β a Pi ⎠ 1

⎛ β P ⎞ e +1 ⇔ xi = ao ⎜ i a ⎟ . ⎝ β a Pi ⎠

(7)

Solusi input produksi adalah: 1

⎛ β P ⎞ e +1 xi = ao ⎜ i a ⎟ . ⎝ β a Pi ⎠ Karena fungsi produksi croppes merupakan fungsi strictly quasiconcave, maka solusi input produksi di atas adalah optimal.

Kasus 2 ⎡

⎛ n−2 ⎞⎤ ln xL xL − ⎜ ∑ Pi xi ⎟ ⎥ untuk semua i kecuali L dan a ln τ ⎢⎣ ⎝ i =1 ⎠ ⎦⎥ terhadap kendala xa = ao

Maksimumkan ⎢ PY Y −

dengan xa = input tanah yang bernilai tetap.

(8)

27

Persamaan (8) dapat dituliskan dalam bentuk Lagrange menjadi Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ f ( xi ) −

ln ( xL ) lnτ

⎛ n− 2 ⎞ xL − ⎜ ∑ Px i i ⎟ + λ ( ao − xa ) . ⎝ i =1 ⎠

(9)

Kondisi orde pertama untuk Persamaan (9) adalah ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) − Pi = 0 ∂xi ∂xi ∂f ( xi ) ∂xi

∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ⎛ 1 ⎞ ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) −⎜ ⎟ (1 + ln ( ∂xL ) ) = 0 ∂xL ∂xL ∂f ( xi ) ∂xL ⎝ lnτ ⎠ ∂g ( f ( xi ) ) ∂f ( xi ) ∂f ( xi ) ∂Z = g ⎣⎡ f ( xi ) ⎦⎤ + f ( xi ) −λ =0 ∂xa ∂xa ∂f ( xi ) ∂xa

(10)

∂Z = a o − xa = 0. ∂λ

Dari Persamaan (10) diperoleh persamaan sebagai berikut: Pi =

∂g ( f ( xi ) ) ⎞ ∂f ( xi ) ⎛ ⎜ g ⎡ f ( xi ) ⎦⎤ + f ( xi ) ⎟ ∂xi ⎜⎝ ⎣ ∂f ( xi ) ⎟⎠

∂g ( f ( xi ) ) ⎞ 1+ ln ( xL ) ∂f ( xi ) ⎛ ⎜ g ⎡ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) ⎟ = lnτ ∂xL ⎜⎝ ⎣ ∂f ( xi ) ⎟⎠ ∂g ( f ( xi ) ) ⎞ ∂f ( xi ) ⎛ ⎜ g ⎡ f ( xi )⎦⎤ + f ( xi ) ⎟ ∂xa ⎜⎝ ⎣ ∂f ( xi ) ⎟⎠ xa = ao .

λ=

(11)

Dari Persamaan (11) diperoleh persamaan sebagai berikut: ⎛ ∂g ( f ( xi ) ) ⎞ Pi ⎜ g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) ⎟= ⎜ ∂f ( xi ) ⎟⎠ fi ⎝ 1 + ln ( xL ) ⎛ ∂g ( f ( xi ) ) ⎞ lnτ ⎜ g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( xi ) ⎟= ⎜ ⎟ ∂ f x fL ( ) i ⎝ ⎠ ⎛ ∂g ( f ( xi ) ) ⎞ λ ⎜ g ⎡⎣ f ( xi ) ⎤⎦ + f ( x i ) ⎟= . ⎜ ∂f ( xi ) ⎟⎠ f a ⎝

(12)


P = i = f a fi

dengan

1 + ln ( xL ) ln τ fL

fi = MPi =

γβi (1+ e ) Y e +1 x( ) i

γβ a (1+ e ) f a = MPa = Y e +1 x ( ) a

γβ L (1+ e ) f L = MPL = Y . e +1 x( ) L

(13)

28

Dari Persamaan (13) diperoleh persamaan sebagai berikut: λ fa

=

⇔λ=

Pi fi Pi fa fi

Pi fa MPi ⇔ λ = PY f a

( karena

⇔ λ = PY ( MPa )

( karena

⇔λ=

fi = MPi

)

( dari alokasi input produksi efisien, dengan Pi = PY ( MPi ) ) f a = MPa

)

( dari alokasi input produksi efisien, dengan Pa = PY ( MPa ) )

⇔ λ = Pa .


fa ⇔

=

Pi fi

Pa Pi = f a fi

(karena λ =Pa )

⇔ Pa fi = Pi f a

( karena

⇔ Pa ( MPi ) = Pi ( MPa )

(

) (

− e +1 − e +1 ⇔ Pa βi xi ( ) = Pi β a xa ( )

)

fi = MPi dan f a = MPa

)

⎛ ⎞ γβi (1+ e ) dan MPa = γβ a (1+ e ) ⎟ ⎜ karena MP i = Y Y e + + 1 1 e ( ) ( ) ⎜ ⎟ xi xa ⎝ ⎠

− e +1 P β x ( ) − e +1 ⇔ xi ( ) = i a a βi Pa

⎛β P 1 ⎞ ⎟ ⇔ xi = ⎜ a i ( ⎜ βi Pa a e +1) ⎟ o ⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ e +1 ⎠

( karena

xa = ao )

1

⎛β P ( e +1) ⎞ e +1 ⇔ xi = ⎜ i a ( a o ) ⎟ ⎝ β a Pi ⎠ 1

⎛ β P ⎞ e +1 ⇔ xi = ao ⎜ i a ⎟ . ⎝ β a Pi ⎠

(15)

Dari Persamaan (13) diperoleh persamaan sebagai berikut: 1 + ln ( xL ) ln τ = fa fL

λ

dengan xL = τ W

⎛ 1 + ln ( xL ) ⎞ ⇔ λ fL = ⎜ ⎟ fa ⎝ ln τ ⎠ ⎛ 1 + ln ( xL ) ⎞ ⇔ Pa f L = ⎜ ⎟ fa ⎝ ln τ ⎠ ⎛ 1 + ln ( xL ) ⎞ ⇔ P a ( MPL ) = ⎜ ⎟ ( MPa ) ⎝ ln τ ⎠

( karena

λ = Pa )

( karena

f L = MPL dan f a = MPa

)

(14)

29

⎛ 1 + ln ( xL ) ⎞ ( MPa ) ⇔ MPL = ⎜ ⎟ ⎝ ln τ ⎠ Pa ⎛ 1 + ln ( xL ) ⎞ 1 ⇔ MPL = ⎜ ⎟ ⎝ ln τ ⎠ PY


⎛ 1 + ln ( xL ) ⎞ ⇔ PY ( MPL ) = ⎜ ⎟ ⎝ ln τ ⎠ ⎛ 1 + ln ( xL ) ⎞ ⇔ PL = ⎜ ⎟ ⎝ ln τ ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⇔ PL = w + ⎜ ⎟. ⎝ ln τ ⎠


( karena x

L

=τ W

Pa = PY ( MPa ) )

PL = PY ( MPL ) )

)

(16)

Dari Persamaan (13) diperoleh persamaan sebagai berikut: Pi = fi ⇔ ⇔

1 + ln ( xL ) ln τ fL

⎛ 1 + ln ( xL ) ⎞ ⎜ karena PL = ⎟ ln τ ⎝ ⎠

Pi PL = fi fL Pi

=

PL MPL

( karena

MP i ⇔ PL ( MP i ) = Pi ( MPL )

) (

(

− e +1 − e +1 ⇔ PL β i xi ( ) = Pi β L xL ( )

(

β P − e +1 − e +1 ⇔ xi ( ) = L i xL ( ) β i PL ⎛ β P − e +1 ⎞ ⇔ xi = ⎜ L i xL ( ) ⎟ ⎝ β i PL ⎠

f i = MP i dan f L = MPL )

⎛ γβ i (1+ e ) dan ⎜ karena MP i = − ( e +1) Y ⎜ x i ⎝

)

)

MPL =

⎞ γβ L (1+ e ) ⎟ − ( e +1) Y ⎟ xL ⎠

⎛ 1 ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ e +1 ⎠

1

⎛β P ⎞ e +1 ⇔ xi = ⎜ i L xL ( e +1) ⎟ ⎝ β L Pi ⎠ 1

⎛β P ( e +1) ⎞ e +1 ⇔ xi = ⎜ i L τ W ⎟ ⎝ β L Pi ⎠ ⇔ xi = τ

W⎛

1

β i PL ⎞ e +1 ⎜ ⎟ . ⎝ β L Pi ⎠

( karena x

L

=τ W

)

(17)

Solusi input produksi adalah: 1

1

⎛ β P ⎞ e +1 ⎛ β P ⎞ e +1 xi = ao ⎜ i a ⎟ dan xi = τ W ⎜ i L ⎟ . P β ⎝ β L Pi ⎠ ⎝ a i ⎠

Karena fungsi produksi croppes merupakan fungsi strictly quasiconcave, maka kedua solusi input produksi di atas adalah optimal.

30

LAMPIRAN 4. Menentukan nilai output produksi, produk marjinal, produktivitas marjinal serta elastisitas parsial substitusi antara input x1 dan input x2 dari masingmasing data dengan menggunakan software Mathematica 6 Data pertama In[1]:=

Y = Hγ β1 x1 −e + γ β2 x2 −e + γ β3 x3 −eL−1êe ; f1 = ∂x1 Y; f2 = ∂x2 Y; f3 = ∂x3 Y; f11 = ∂x1,x1 Y; f12 = ∂x1,x2 Y; f13 = ∂x1,x3 Y; f21 = ∂x2,x1 Y; f22 = ∂x2,x2 Y; f23 = ∂x2,x3 Y; f31 = ∂x3,x1 Y; f32 = ∂x3,x2 Y; f33 = ∂x3,x3 Y; γ = 1; x1 = 5.4; x2 = 4.07; x3 = 6.15; e = 0.17647; β1 = 0.3; β2 = 0.4; β3 = 0.3; output = Y a = f1 b = f2 c = f3 d = f11 f = f12 g = f13 h = f21 i = f22 j = f23 k = f31 l = f32 m = f33 H Data1 = List@80, a, b, c<, 8a, d, f, g<, 8 b, h, i, j<, 8c, k, l, m

31

Out[22]=

5.00042

Out[23]=

0.274058

Out[24]=

0.509625

Out[25]=

0.235176

Out[26]= −0.0420367 Out[27]=

0.03286

Out[28]=

0.0151639

Out[29]=

0.03286

Out[30]= −0.0862069 Out[31]=

0.028198

Out[32]=

0.0151639

Out[33]=

0.028198

Out[34]= −0.0319758 Out[35]//MatrixForm=

0 0.274058 0.509625 0.235176

0.274058

0.509625

0.235176

− 0.0420367 0.03286 0.0151639 − 0.0862069 0.028198 0.03286 − 0.0319758 0.0151639 0.028198

Out[36]= −0.0751078 Out[37]=

0.0265714

Out[38]= −0.00168187 In[39]:=

matrikskofaktor = Inverse@ Data1D ∗ D3 êê MatrixForm

Out[39]//MatrixForm=

2.67895 × 10−19 − 0.00181627 − 0.00136893 − 0.00206853 In[40]:=

Out[41]=

− 0.00181627 0.0198318 − 0.00628338 − 0.00949454

− 0.00136893 − 0.00206853 − 0.00628338 − 0.00949454 0.00668128 − 0.00715607 − 0.00715607 0.0265714

kofaktorf12 = −0.00628338; Hx1 f1 + x2 f2 + x3 f3L kofaktorf12 σ12 = x1 x2 D3 0.850001

32

Data kedua


33

Out[22]=

9.99811

Out[23]=

0.274268

Out[24]=

0.509461

Out[25]=

0.235101

Out[26]= −0.021053 Out[27]=

0.0164418

Out[28]=

0.00758739

Out[29]=

0.0164418

Out[30]= −0.043091 Out[31]=

0.0140938

Out[32]=

0.00758739

Out[33]=

0.0140938


0 0.274268 0.509461 0.235101

0.274268

0.509461 0.0164418 0.0164418 − 0.043091 0.00758739 0.0140938 − 0.021053

0.235101 0.00758739 0.0140938 − 0.015983

Out[36]= −0.0752232 Out[37]=

0.0133005

Out[38]= −0.000420794 In[39]:=

matrikskofaktor = Inverse@ Data2D ∗ D3 êê MatrixForm


3.50734 × 10−20 − 0.000454122 − 0.000342591 − 0.000517674 In[40]:=

Out[41]=

− 0.000454122 0.0099063 − 0.00314207 − 0.00474785

− 0.000342591 − 0.000517674 − 0.00314207 − 0.00474785 0.00334442 − 0.00358179 − 0.00358179 0.0133005


34

Data ketiga


35

Out[22]=

14.9868

Out[23]=

0.273945

Out[24]=

0.509045

Out[25]=

0.23566

Out[26]= −0.0140155 Out[27]=

0.010947

Out[28]=

0.00506784

Out[29]=

0.010947

Out[30]= −0.0287064 Out[31]=

0.00941707

Out[32]=

0.00506784

Out[33]=

0.00941707


0 0.273945 0.509045 0.23566

0.273945 − 0.0140155 0.010947 0.00506784

0.509045 0.010947 − 0.0287064 0.00941707

0.23566 0.00506784 0.00941707 − 0.0107082

Out[36]= −0.0750459 Out[37]=

0.0088392

Out[38]= −0.000187411 In[39]:=

matrikskofaktor = Inverse@ Data3D D3 êê MatrixForm


1.51209 × 10−20 − 0.000202458 − 0.000152687 − 0.000230094 In[40]:=

Out[41]=

− 0.000202458 0.00662839 − 0.00210121 − 0.00316644

− 0.000152687 − 0.000230094 − 0.00210121 − 0.00316644 0.0022363 − 0.00238803 − 0.00238803 0.0088392


36

Data keempat In[1]:=

Y = Hγ β1 x1 −e + γ β2 x2 −e + γ β3 x3 −eL−1êe ; f1 = ∂x1 Y; f2 = ∂x2 Y; f3 = ∂x3 Y; f11 = ∂x1,x1 Y; f12 = ∂x1,x2 Y; f13 = ∂x1,x3 Y; f21 = ∂x2,x1 Y; f22 = ∂x2,x2 Y; f23 = ∂x2,x3 Y; f31 = ∂x3,x1 Y; f32 = ∂x3,x2 Y; f33 = ∂x3,x3 Y; γ = 1; x1 = 21.58 ; x2 = 16.28; x3 = 24.6; e = 0.17647; β1 = 0.3; β2 = 0.4; β3 = 0.3; output = Y a = f1 b = f2 c = f3 d = f11 f = f12 g = f13 h = f21 i = f22 j = f23 k = f31 l = f32 m = f33 H Data4 = List@80, a, b, c<, 8a, d, f, g<, 8 b, h, i, j<, 8c, k, l, m

37

Out[22]=

19.9962

Out[23]=

0.274268

Out[24]=

0.509461

Out[25]=

0.235101

Out[26]= −0.0105265 Out[27]=

0.00822091

Out[28]=

0.0037937

Out[29]=

0.00822091

Out[30]= −0.0215455 Out[31]=

0.0070469

Out[32]=

0.0037937

Out[33]=

0.0070469


0 0.274268 0.509461 0.235101

0.274268

0.509461

0.235101

− 0.0105265 0.00822091 0.0037937 0.00822091 − 0.0215455 0.0070469 0.0037937 0.0070469 − 0.00799152

Out[36]= −0.0752232 Out[37]=

0.00665027

Out[38]= −0.000105198 In[39]:=



6.74541 × 10−21 − 0.000113531 − 0.0000856477 − 0.000129419 In[40]:=

Out[41]=

− 0.000113531 0.00495315 − 0.00157104 − 0.00237392

− 0.0000856477 − 0.000129419 − 0.00157104 − 0.00237392 0.00167221 − 0.00179089 − 0.00179089 0.00665027


38

Data kelima

Y = Hγ ∗ β1 ∗ x1−e + γ ∗ β2 ∗ x2 −e + γ ∗ β3 ∗ x3−e L−1êe; f1 = ∂x1 Y; f2 = ∂x2 Y; f3 = ∂x3 Y; f11 = ∂x1,x1 Y; f12 = ∂x1,x2 Y; f13 = ∂x1,x3 Y; f21 = ∂x2,x1 Y; f22 = ∂x2,x2 Y; f23 = ∂x2,x3 Y; f31 = ∂x3,x1 Y; f32 = ∂x3,x2 Y; f33 = ∂x3,x3 Y; γ = 1; x1 = 26.98; x2 = 20.36; x3 = 30.75; e = 0.17647; β1 = 0.3; β2 = 0.4; β3 = 0.3; output = Y a = f1 b = f2 c = f3 d = f11 f = f12 g = f13 h = f21 i = f22 j = f23 k = f31 l = f32 m = f33 H Data5 = List@80, a, b, c<, 8a, d, f, g<, 8 b, h, i, j<, 8c, k, l, m

39

Out[22]=

25.0017

Out[23]=

0.274292

Out[24]=

0.509322

Out[25]=

0.235172

Out[26]= −0.0084203 Out[27]=

0.00657379

Out[28]=

0.00303536

Out[29]=

0.00657379

Out[30]= −0.0172237 Out[31]=

0.00563623

Out[32]=

0.00303536

Out[33]=

0.00563623


0 0.274292 0.509322 0.235172

0.274292 − 0.0084203 0.00657379 0.00303536

0.509322 0.00657379 − 0.0172237 0.00563623

0.235172 0.00303536 0.00563623 − 0.00639505

Out[36]= −0.0752361 Out[37]=

0.0053169

Out[38]= −0.0000673067 In[39]:=



3.43128 × 10−21 − 0.0000726323 − 0.0000548108 − 0.0000827815 In[40]:=

Out[41]=

− 0.0000726323 0.0039617 − 0.00125698 − 0.00189843

− 0.0000548108 − 0.0000827815 − 0.00125698 − 0.00189843 0.00133843 − 0.00143262 − 0.00143262 0.0053169


40

Data keenam In[1]:=

Y = Hγ β1 x1 −e + γ β2 x2 −e + γ β3 x3 −eL−1êe ; f1 = ∂x1 Y; f2 = ∂x2 Y; f3 = ∂x3 Y; f11 = ∂x1,x1 Y; f12 = ∂x1,x2 Y; f13 = ∂x1,x3 Y; f21 = ∂x2,x1 Y; f22 = ∂x2,x2 Y; f23 = ∂x2,x3 Y; f31 = ∂x3,x1 Y; f32 = ∂x3,x2 Y; f33 = ∂x3,x3 Y; γ = 1; x1 = 32.37 ; x2 = 24.43 ; x3 = 36.91; e = 0.17647; β1 = 0.3; β2 = 0.4; β3 = 0.3; output = Y a = f1 b = f2 c = f3 d = f11 f = f12 g = f13 h = f21 i = f22 j = f23 k = f31 l = f32 m = f33 H Data6 = List@80, a, b, c<, 8a, d, f, g<, 8 b, h, i, j<, 8c, k, l, m

41

Out[22]=

30.0018

Out[23]=

0.274348

Out[24]=

0.509364

Out[25]=

0.235094

Out[26]= −0.00701957 Out[27]=

0.00547981

Out[28]=

0.00252917

Out[29]=

0.00547981

Out[30]= −0.0143554 Out[31]=

0.00469575

Out[32]=

0.00252917

Out[33]=

0.00469575


0 0.274348 0.509364 0.235094

0.274348 − 0.00701957 0.00547981 0.00252917

0.509364 0.00547981 − 0.0143554 0.00469575

0.235094 0.00252917 0.00469575 − 0.0053261

Out[36]= −0.0752671 Out[37]=

0.00443326

Out[38]= −0.0000467382 In[39]:=



2.3967 × 10−21 − 0.0000504275 − 0.0000380582 − 0.0000575001

− 0.0000504275 0.0032999 − 0.00104715 − 0.00158209

− 0.0000380582 − 0.0000575001 − 0.00104715 − 0.00158209 0.0011151 − 0.00119402 − 0.00119402 0.00443326

In[40]:=

kofaktorf12 = −0.00104715; Hx1 f1 + x2 f2 + x3 f3L kofaktorf12 σ12 = x1 x2 D3 Out[41]=

0.849998

42

Data ketujuh In[1]:=

Y = Hγ β1 x1 −e + γ β2 x2 −e + γ β3 x3 −eL−1êe ; f1 = ∂x1 Y; f2 = ∂x2 Y; f3 = ∂x3 Y; f11 = ∂x1,x1 Y; f12 = ∂x1,x2 Y; f13 = ∂x1,x3 Y; f21 = ∂x2,x1 Y; f22 = ∂x2,x2 Y; f23 = ∂x2,x3 Y; f31 = ∂x3,x1 Y; f32 = ∂x3,x2 Y; f33 = ∂x3,x3 Y; γ = 1; x1 = 37.7 ; x2 = 28.5; x3 = 43.06; e = 0.17647; β1 = 0.3; β2 = 0.4; β3 = 0.3; output = Y a = f1 b = f2 c = f3 d = f11 f = f12 g = f13 h = f21 i = f22 j = f23 k = f31 l = f32 m = f33 H Data7 = List@80, a, b, c<, 8a, d, f, g<, 8 b, h, i, j<, 8c, k, l, m

43

Out[22]=

34.983

Out[23]=

0.274729

Out[24]=

0.509073

Out[25]=

0.234954

Out[26]= −0.00603497 Out[27]=

0.00470336

Out[28]=

0.00217076

Out[29]=

0.00470336

Out[30]= −0.012299 Out[31]=

0.00402242

Out[32]=

0.00217076

Out[33]=

0.00402242


0 0.274729 0.509073 0.234954

0.274729 − 0.00603497 0.00470336 0.00217076

0.509073 0.00470336 − 0.012299 0.00402242

0.234954 0.00217076 0.00402242 − 0.00456285

Out[36]= −0.0754759 Out[37]=

0.00380787

Out[38]= −0.0000343895 In[39]:=



1.36225 × 10−21 − 0.0000370604 − 0.0000280165 − 0.0000423295 In[40]:=

Out[41]=

− 0.0000370604 0.00282367 − 0.000897788 − 0.00135645

− 0.0000280165 − 0.0000423295 − 0.000897788 − 0.00135645 0.000957776 − 0.00102543 − 0.00102543 0.00380787


44

Data kedelapan In[1]:=


45

Out[22]=

39.9999

Out[23]=

0.274328

Out[24]=

0.509389

Out[25]=

0.235096

Out[26]= −0.00526432 Out[27]=

0.00411

Out[28]=

0.00189687

Out[29]=

0.00411

Out[30]= −0.0107681 Out[31]=

0.00352222

Out[32]=

0.00189687

Out[33]=

0.00352222


0 0.274328 0.509389 0.235096

0.274328 − 0.00526432 0.00411 0.00189687

0.509389 0.00411 − 0.0107681 0.00352222

0.235096 0.00189687 0.00352222 − 0.00399487

Out[36]= −0.0752561 Out[37]=

0.00332499

Out[38]= −0.0000262926 In[39]:=



1.24038 × 10−21 − 0.0000283698 − 0.0000214088 − 0.0000323465 In[40]:=

Out[41]=

− 0.0000283698 0.00247534 − 0.000785403 − 0.00118667

− 0.0000214088 − 0.0000323465 − 0.000785403 − 0.00118667 0.00083627 − 0.000895498 − 0.000895498 0.00332499


PENGOPTIMUMAN PADA FUNGSI PRODUKSI CROPPES

Recommend Documents