Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
PENYELESAIAN PENGOPTIMUMAN PORTOFOLIO FUZZY MENGGUNAKAN PENDEKATAN FUNGSI LAGRANGE Sugiyarto FMIPA Matematika, Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta Kampus III, Jln. Prof. Soepomo, Janturan Yogyakarta e-mail:
[email protected] Abstrak Dalam makalah ini, akan ditunjukkan bagaimana perumusan masalah pengoptimuman portofolio ke dalam bentuk masalah metode numerik dapat dibuat dan selanjutnya dikemukakan juga satu cara penyelesaian yang menggunakan metode lagrange bagi masalah tersebut. Sebagai gambaran secara riil , disajikan satu contoh penghitungan bagi masalah pemilihan portofolio ini. Kata kunci: Portofolio, metode lagrange, fuzzy
PENGENALAN Teori portofolio mengandaikan bahwa untuk satu tingkat resiko, investor lebih menyukai pulangan yang tinggi berbanding yang rendah. Serupa juga, untuk satu tingkat pengembalian yang diharapkan, investor lebih menyukai resiko rendah berbanding yang tinggi. Masalah pengoptimuman portofolio bertujuan untuk menentukan berapa banyakkah uang yang sepatutnya diperuntukkan pada setiap investasi sehingga jumlah pengembalian yang diharapkan lebih besar atau sama dengan pengembalian fuzzi terendah atau jumlah varians fuzzi kurang daripada atau sama dengan varians fuzzi terbesar. Dalam makalah ini, dirumuskan satu masalah pengoptimuman portofolio fuzzi sebagai pendekatan program linier kuadratik.
TATA TANDA ~ ~ Misalkan A ialah himpunan semua bilangan fuzzi tertutup terbatas, yaitu jika γ α− ∈ A , maka
γ~ memenuhi :
( 1 ) {x : x ∈ R, γ~ ( x) = 1} ≠ φ ( 2 ) Untuk setiap α ∈ (0,1]
γ~α {x : x ∈ R, γ~ ( x) ≥ α } = [γ α− , γ α+ ] adalah satu selang tertutup terhingga pada R = (− ∞,+∞ ) . Beberapa aritmetik pada bilangan fuzzi adalah seperti yang berikut:
~ ~ ∀γ~ = (γ 1 , γ 2 , γ 3 ) ∈ A , ~ s = ( s1 , s2 , s3 ) ∈ A dan α ∈ (0,1] , didapati bahwa ~ (1) γ~α + Sα = γ α− , γ α+ + Sα− , Sα+ = γ α− + Sα− , γ α+ + Sα+ ~ (2) γ~α − Sα = γ α− − Sα+ , γ α+ − Sα− ~ (3) γ~α .S α = min γ α− S α− ,γ α− S α+ ,γ α+ S α− ,γ α+ S α+ , mak γ α− S α− ,γ α− S α+ ,γ α+ S α− ,γ α+ S α+
[ [
[ {
] [
] [ ]
]
}
{
}]
γ − γ − γ + γ + γ − γ − γ + γ + ~ (4) γ~α ÷ S α = min α− , α+ , α− , α+ , mak α− , α+ , α− , α+
Sα Sα Sα Sα
S α S α S α S α M-281
Sugiyarto/Penyelesaian Pengoptimuman Portofolio
Dikatakan bahawa selang keyakinan α bagi γ yang berdekatan dengan bilangan fuzzi segitiga
γ~ = (γ 1 , γ 2 , γ 3 ) ialah γ~α = [γ α− , γ α+ ] = [(γ 2 − γ 1 )α + γ 1 , γ 3 − (γ 3 − γ 2 )α ] , α ∈ (0,1] Lemma 2.1[1,2] ~ Misalkan bahwa f ( x) ( x ∈ R ) adalah satu fungsi kontinu bernilai nyata biasa dan γ~ ∈ A . Jika didefinisikan f (γ~ ) = f (γ~α ) ,
α ∈( 0 ,1]
maka (1) Untuk sebarang α ∈ (0,1] ,
( f ( γ~1 ))α ~
= f ( γ~α ) = min f ( x ), mak f ( x ) x∈~rα x∈~ rα
(2) f (γ~α ) ∈ A .•
PERUMUSAN MASALAH Pertimbangkan dua perumusan masalah pengoptimuman portolio yang biasa digunakan dengan bilangan fuzzi yang tidak menghasilkan portofolio efisien yaitu a. Meminimumkan varians fuzzi terbatas kepada pencapaian tingkat pengembalian fuzzi tertentu. b. Maksimumkan pulangan fuzzi terbatas kepada pencapaian tingkat varians fuzzi. Misalkan portofolio itu mempunyai pengembalian yang diharapkan fuzzi
~ ~ ~ ~ Ex = E1 x1 + E2 x2 + ... + En xn
(3.1)
p
~ Ei = ∑ ~ xik / p
(3.2)
k =1
dan varians fuzzi
σ~ij2 =
1 p ~ ~ ~ ~ x jk − E j ) = X T CX ( xik − Ei )(~ ∑ p k =1
~
(3.3)
~
Dalam model (a), L adalah pulangan fuzzi minimum dan dalam model (b), M adalah varians fuzzi maksimum. 3.1 Minimumkan varians fuzzi terbatas kepada pulangan fuzzi yang diberikan. n n ~ min Z ( x ) = ∑∑ ( σ~ij2 )α xi x j i =1 j =1
terbatas kepada
(3.4)
x1 + ... + xn = F dan
~ ~ ~ ( E1 )α x1 + ... + ( En )α xn ≤ L
dengan semua variabel random tak negatif, dan F ialah sejumlah uang (tetap), xi (i = 1,..., n) diperuntukkan kepada investasi i, xik adalah pengembalian fuzzi terinvestasikan daripada investasi
[ ]
~ i dalam masa ke-k dalam k yang lepas (k=1,…,p), dan C = σ~ij2 adalah satu matriks simetri semi definit positif bagi bilangan fuzzi.
M-282
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
3.2 Maksimumkan pulangan fuzzi terbatas kepada varians fuzzi yang diberikan. n ~ ~ min Z ( x ) = ∑ ( Ei )α xi i =1
terbatas kepada
(3.5)
x1 + ... + x n = F dan n
n
∑∑ (σ~ i =1 j =1
~ ) xi x j ≤ M
2 ij α
dengan semua variabel random adalah tak negatif. Definisi 3.1[3,4] (a) Sebarang himpunan bagi xi yang memenuhi kendala dalam (3.4) disebut himpunan penyelesaian bagi (3.4). (b) Misalkan Q ialah himpunan semua penyelesaian bagi (3.4). Dikatakan x* ∈ Q adalah satu penyelesaian optimum bagi (3.4) jika
~ ~ Z ( x* ) ≥ Z ( x )
untuk semua x ∈ Q .• Dalam tata tanda aritmetik fuzzi , masalah (3.4) boleh ditulis sebagai
[
]
n n ~ min Z α ( x ) = ∑∑ ( σ ij− )α2 ,( σ ij+ )α2 xi x j i =1 j =1
terbatas kepada
x1 + x 2 + ... + x n = F
( Pα )
(3.6)
( Pα− )
(3.7)
( Pα+ )
(3.8)
dan
[( E1− ) α , ( E1+ ) α ]x1 + ... + [( E n− ) α , ( E n+ ) α ]x n ≥ [ Lα− , Lα+ ] dengan semua variabel random tak negatif dan α ∈ (0,1] . Daripada (3.6), kita memperoleh dua masalah ( Pα− ) dan ( Pα+ ) . n
n
min Z α− ( x ) = ∑∑ ( σ ij− )α2 xi x j i =1 j =1
tertakluk kepada
x1 + x 2 + ... + x n = F dan
( E1− )α x1 + ... + ( En− )α xn ≥ Lα−
dengan semua variabel random tak negatif dan α ∈ (0,1] . n
n
min Z α+ ( x ) = ∑∑ ( σ ij+ )α2 xi x j i =1 j =1
terbatas kepada
x1 + x 2 + ... + x n = F dan
( E1+ )α x1 + ... + ( En+ ) xn ≥ Lα+ dengan semua variabel random tak negatif dan α ∈ (0,1] . Masalah (3.7) dan (3.8) dapat diselesaikan menggunakan syarat Kuha-Tucker, atau lain-lain metode. M-283
Sugiyarto/Penyelesaian Pengoptimuman Portofolio
CONTOH Tiga dana telah dipilih untuk investasi 10000 $. Meliputi 5 tahun , pembayaran fuzzi dividen ( bilangan fuzzi sisi tiga dalam sen setiap dolar terinvestasikan ) diberikan dalam tabel yang berikut. Tahun-tahun 1 2 3 4 5 Investasi 1 a~13 a~15 a~11 a~12 a~14
a~21 a~31
Investasi 2
a~22 a~32
a~24 a~34
a~23 a~33
a~25 a~35
Investasi 3 Setiap elemen / permasalahan mempunyai dua kepentingan yaitu: 1. Gabungan pengembalian tahunan yang diharapkan daripada investasi tadi mesti tidak kurang daripada 800 $. Jumlah 1000 $ akan menghasilkan tingkat penghasilan 8 %. 2. Varians masa depan secara tahunan/ pembayaran dividen seharusnya sekecil mungkin. Berapa banyakkah seharusnya individu berinvestasi dalam setiap dana untuk mencapai keperluan ini? ~ Sekarang, anggaplah matriks pembayaran fuzzi dividen A :
~ a~11 a~12 a~13 a~14 a~15 1 0 ~ ~ A = a~21 a~22 a~23 a~24 a~25 = 6 a~ a~ a~ a~ a~ 1~ 31 32 33 34 35 7
~ ~ ~ 4 12 1 3 ~ ~ ~ 9 6 5 ~ ~ ~ 1 1 1 19
~ 6 ~ 9 ~ 2
Penyelesaian : k
x1k
x2 k
x3k
5
[α + 9,−α + 11] [α + 3,−α + 5] [α + 11,−α + 13] [α + 12,−α + 14] [α + 5,−α + 7]
[α + 5,−α + 7] [α + 8,−α + 10] [α + 5,−α + 7] [α + 4,−α + 6] [α + 8,−α + 10]
[α + 16,−α + 18] [α ,−α + 2] [α + 10,−α + 12] [α + 18,−α + 20] [α + 1,−α + 3]
Jumlah
[5α + 40,−5α + 50]
[5α + 30,−5α + 40]
[5α + 45,−5α + 55]
1 2 3 4
k
x1k2
1
[α 2 + 18α + 61, α 2 − 22α + 121]
2
[α 2 + 6α + 9, α 2 − 10α + 25]
3
[α 2 + 22α + 121, α 2 − 26α + 164]
4
[α 2 + 24α + 144, α 2 − 28α + 196]
5
[α 2 + 10α + 25, α 2 − 14α + 49]
Jumlah
[5α 2 + 80α + 380,5α 2 − 100α + 569]
k M-284
x1k x2 k
2 x2k
[α 2 + 10α + 25, α 2 − 14α + 49]
2 x3k
[α 2 + 32α + 256 , α 2 − 36α + 326 ]
[α 2 + 16α + 64, α 2 − 20α + 100]
[α 2 , α 2 − 4α + 4]
[α 2 + 10α + 25, α 2 − 14α + 49]
[α 2 + 20α + 100 , α 2 − 24α + 144 ]
[α 2 + 8α + 162, α 2 − 12α + 36]
[α 2 + 36α + 324 , α 2 − 40α + 400 ]
[α 2 + 16α + 64, α 2 − 20α + 100] [5α 2 + 60α + 194 , 5α 2 − 80α + 334 ]
x1k x3k
[α 2 + 2α + 1, α 2 − 6α + 9] 2 2 [5α + 90α + 65 ,5α − 470 α + 88 1]
x2 k x3k
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
1
[α 2 + 14α + 45, α 2 − 18α + 77]
[α 2 + 25α + 144, α 2 − 39α + 198]
[α 2 + 21α + 80 ,α 2 − 25α + 126 ]
2
[α 2 + 11α + 24, α 2 − 15α + 50]
[α 2 + 3α , α 2 − 7α + 10]
[α 2 + 8α , α 2 − 12α + 20 ]
3
[α 2 + 16α + 55, α 2 − 20α + 91]
[α 2 + 21α + 110, α 2 − 25α + 156]
[α 2 + 15α + 50 , α 2 − 19α + 84 ]
4
[α 2 + 16α + 48, α 2 − 20α + 84]
[α 2 + 30α + 216, α 2 − 34α + 280]
[α 2 + 22α + 72 , α 2 − 26α + 120]
5
[α 2 + 13α + 40, α 2 − 17α + 70]
[α 2 + 6α + 5, α 2 − 10α + 21]
[α 2 + 9α + 8 ,α 2 − 13α + 30 ]
Jumlah
[5α 2 + 70α + 212,5α 2 − 90α + 372]
[5α 2 + 85α + 475,5α 2 − 10α + 665]
[5α 2 + 75α + 210 ,5α 2 − 95α + 380 ]
seterusnya diperoleh
~ ~ ~ E1 = [α + 8,−α + 10] , E2 = [α + 6,−α + 8] , E3 = [α + 9,−α + 11] , sehingga dapat dihitung σ~ 2 ,σ~ 2 ,...,σ~ 2 11
12
33
Dengan demikian masalah ( Pα ) menjadi :
900α − 600 − 900α + 1200 2 ~ min Z α ( x ) = , x1 + [...,...]x 22 + [...,...]x 32 + [...,...]x1 x 2 + [...,...]x1 x 3 + 25 25 + [...,...]x 2 x1 + [...,...]x 2 x 3 + [...,...]x 3 x1 + [...,...]x 3 x 2 terbatas kepada
x1 + x2 + x3 − 10000 ≤ 0 − x1 − x2 − x3 + 10000 ≤ 0 [α − 10,−α − 8]x1 + [α − 8,−α − 6]x2 + [α − 11,−α − 9]x3 + 80000 ≤ 0 x1, , x2 , x3 ≥ 0 setelah di keluarkan diperoleh ( Pα− ) dan ( Pα+ ) :
min Z − ( x ) = ( Pα− )
900α − 600 2 x1 + ...x 22 + ...x 32 + ...x1 x 2 + ...x1 x 3 + ...x 2 x1 + ...x 2 x 3 + ...x 3 x1 + ...x 3 x 2 25
terbatas kepada
x1 + x2 + x3 − 10000 ≤ 0 − x1 − x2 − x3 + 10000 ≤ 0 (α − 10) x1 + (α − 8) x2 + (α − 11) x3 + 80000 ≤ 0 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 dan
min Z + ( x ) = ( Pα+ )
− 900α − 1200 2 x1 + ...x 22 + ...x 32 + ...x1 x 2 + ...x1 x 3 + ...x 2 x1 + ...x 2 x 3 + ...x 3 x1 + ...x 3 x 2 25
terbatas kepada
x1 + x2 + x3 − 10000 ≤ 0 − x1 − x2 − x3 + 10000 ≤ 0 (α + 8) x1 − (α + 6) x2 − (α − 9) x3 + 80000 ≤ 0 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 M-285
Sugiyarto/Penyelesaian Pengoptimuman Portofolio
Selesaikan sebagai ( Pα− ) Sebagai Lack x42 , x52 , x62 , x72 , x82 dan x92 , maka
min Z − ( x ) =
900α − 600 2 x1 + ...x 22 + ...x 32 + ...x1 x 2 + ...x1 x 3 + ...x 2 x1 + ...x 2 x 3 + ...x 3 x1 + ...x 3 x 2 25
terbatas kepada
x1 + x2 + x3 + x42 − 10000 = 0
− x1 − x2 − x3 + x52 + 10000 = 0 (α + 10) x1 − (α − 8) x2 + (α − 11) x3 + x62 + 80000 = 0 − x1 + x72 = 0
− x2 + x82 = 0
− x3 + x42 = 0
Fungsi Lagrange :
900α − 600 2 x1 + ...x22 + ...x32 + ...x1 x2 + ...x1 x3 + ...x2 x1 + ...x2 x3 + ...x3 x1 + ...x3 x2 25 + λ1 ( x1 + x2 + x3 + x42 − 10000) + λ2 ( − x1 − x2 − x3 + x52 + 10000) + λ3 ((α − 10) x1 + (α − 8) x2 + (α − 11) x3 + x62 H =
+ 80000) + λ4 ( − x1 + x72 ) + λ5 (− x2 + x82 ) + λ6 (− x3 + x42 )
∆H ∆H ∆H ∆H ∆H ∆H ∆H ∆H ∆H ∆H ∆H ∆H ∆H , , , , , , , , , , , , ∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆x4 ∆x5 ∆x6 ∆x7 ∆x8 ∆x9 ∆λ1 ∆λ2 ∆λ3 ∆λ4 Menghasilkan x1 , x , x3 , λ1 , λ2 , λ3 untuk Z − (x) Dengan cara yang sama perolehkan juga untuk Z + (x) sehingga untuk α = 0.5 x1 = [ 898.0582524, 9101.941748 ] x2 = [ 1966.019417,8033.980583 ] x3 = [ 0, 1067.961165 ]
[
Z 0*.5 = 194.0745829 x107 ,217.0752427 x107 untuk α = 1 x1 = 5000,
x2 = 5000,
]
x3 = 0,
Z = 9x107
KESIMPULAN Dalam penggunaan fuzzi bagi masalah seperti dalam makalah pemilihan nilai awal masalah syarat batas , ditambah pula dengan penggunaan komputer yang dalam hal ini akan melibatkan ralat (tingkat ketelitian) Sebagai alternatif penghitungan selain menggunakan Teorema Lagrange maka menggunakan interval aritmatika serta pendekatan fuzzi akan diperoleh bahwa penghitungan minimum dan maksimum dibuat secara bersama sehingga tidak mungkin keluar dari rata-rata selang yang dipertimbangkan itu. Pada dasarnya, jaminan ketepatan adalah 99%.
DAFTAR PUSTAKA [1] D.Dubois, H. P. (1987). The mean value of a fuzzy number. Fuzzy Sets and Systems 24: 279300 [2] Enriqueta Vercher, J. D. B., Jose Vicenta Segura (2007). Fuzzy portfolio optimization under downside risk measures. Fuzzy Sets and Systems 158: 769-78 [3] Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. Journal of Finance 7(1): 77-91 [4] Markowitz, H. M. (1991). Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, Blackwell
M-286
