PENGERTIAN STATISTIK Tim Dosen Mata Kuliah Statistika Pendidikan 1. Rudi Susilana, M.Si. 2. Riche Cynthia Johan, S.Pd., M.Si. 3. Dian Andayani, S.Pd.
PENGERTIAN STATISTIK
Statistik adalah kesimpulan fakta berbentuk angka yang disusun dalam bentuk daftar atau tabel yang menggambarkan suatu persoalan. (1) – Statistik dapat dipakai untuk menyatakan ukuran sebagai wakil dari kumpulan fakta mengenai suatu hal, misalnya nilai rata-rata siswa, presentasi keuntungan, dsb. Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan data, penganalisaan data, penarikan kesimpulan, dan pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta yang ada. (2)
Ciri khas statistik menurut sutrisno Hadi (1978) adalah sebagai berikut: 1. Bekerja dengan angka 2. Bersifat objektif 3. Bersifat universal
Metode Statistik di golongkan menjadi dua bagian: 1. Statistik deskritif (statistik deduktif) 2. Statistik inferensial (statistik induktif). (3)
Statistik Deskriptif adalah statistik yang menggambarkan kegiatan berupa pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk table, grafik, atau diagram agar memberikan gambaran yang teratur, ringkas, dan jelas mengenai suatu keadaan atau peristiwa. (4)
Statistik deskriptif terdiri atas: a. Distribusi frekuensi yaitu penyusunan data dan nilai terkecil sampai nilai terbesar yang kemudian disajikan dalam bentuk tabel atau diagram. b. Ukuran pemusatan yang terdiri dari rata-rata hitung, rata-rata letak, rata-rata harmonis, dan rata-rata geometris, serta median dan modus. c. Ukuran penyebaran terdiri atas rentangan, simpangan rata-rata, variansi, dan simpangan baku. (5)
Statistik Inferensial adalah statistik yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan yang bersifat umum dari data yang telah disusun dan diolah. (6) Statistik Inferensial mencakup: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Probabilitas Distribusi teoritis Sampling dan distribusi sampling Estimasi harga parameter Uji hipotesis Analisis regresi untuk prediksi Korelasi dan uji signifikasi. (7)
Sumber (1) Drs. M. Subana,Mpd, Statistik Pendidikan, Hal 11, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (2,3,4) Drs. M. Subana,Mpd, Statistik Pendidikan, Hal 12, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (5,6) Drs. M. Subana,Mpd, Statistik Pendidikan, Hal 12, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (7) Drs. Ps, Statististik Induktif, Hal 2, BPFE, Yogyakarta, 2000
DATA
Populasi adalah keseluruhan dari karakteristik atau unit hasil pengukuran yang menjadi obyek penelitian. (1) Sampel adalah bagian dari populasi yang mempunyai karakteristik tertentu atau ciri/keadaan yang akan diukur. (2) Data adalah bahan mentah yang perlu diolah sehingga menghasilkan informasi atau keterangan, baik kualitatif maupun kuantitatif yang menunjukkan fakta. (3)
Data menurut jenisnya terbagi ke dalam dua bagian yaitu; 1. Data kualitatif yaitu data yang berhubungan dengan kategorisasi karakteristik berwujud pertanyaan atau berupa kata-kata.
Misalnya: baik, buruk, senang, sedih, pohon itu rindang.
2. Data kuantitatif yaitu data yang berwujud angka-angka
Misalnya Harga minyak tanah Rp. 900,00/liter. (4)
Dilihat nilainya data kuantitatif dibagi menjadi dua golongan yaitu; a. Data Diskrit adalah data hasil menghitung atau membilang.
Misalnya: jumlah anak pada suatu keluarga.
b. Data Kontinu adalah data hasil pengukuran.
Misalnya: tinggi badan seseorang.
(5)
Syarat Data yang baik adalah 1) 2) 3) 4) 5)
Objektif Relevan Sesuai zaman (up to date) Resepresentatif Dapat Dipercaya. (6)
Ukuran skala pengukuran penelitian dapat dibedakan menjadi 4 tingkatan yakni (Singarimbun dan Effendi 1962) : 1. Skala Nominal 2. Skala Ordinal 3. Skala Interval 4. Skala Rasio. (7)
Skala Nominal adalah tidak ada asumsi tentang jarak maupun urutan atau kategori-kategori dalam ukuran itu. – Misalnya : jenis kulit, suku daerah , dan banyak lagi. (8) Skala Ordinal adalah ukuran yang mengurutkan responden dari tingkatan “paling rendah” ke tingkat “paling tinggi” menurut suatu atribut tertentu tanpa ada petunjuk yang jelas tentang beberapa jumlah absolut yang dimiliki oleh masing-masing responden tersebut dan beberapa interval antara responden yang satu dengan responden lainnya. (9) – Misalnya: Mengukur ranking kelas
Skala Interval adalah ukuran yang tidak semata-mata mengurutkan (ranking) orang atau obyek berdasarkan suatu atribut, tetapi juga memberikan informasi tentang interval atau satu orang atau obyek dengan orang atau obyek lainnya. (10)
– Misalnya: Mengurutkan kualitas Sangat Baik (5) Baik (4) Sedang (3) Buruk (2) Buruk sekali (1)
Skala Rasio adalah bentuk interval yang jaraknya tidak dinyatakan dalam perbedaan dengan angka rata-rata suatu kelompok tetapi denga titik nol. (11) – Misalnya: Hasil Panen
Sumber : (1) Drs. Riduwan, Dasar-Dasar Statistika, Hal 3, Alfabeta, Bandung, 2001 (2,3,4) Drs. M. Subana,Mpd, Statistik Pendidikan, Hal 12, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (6) Drs. M. Subana,Mpd, Statistik Pendidikan, Hal 19, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (7,8,9,10) Dr. Djarwanto Ps, Statistik Induktif, hal 4, Tarsito, Bandung, 1996 (11) Dr. Djarwanto Ps, Statistik Induktif, hal 5, Tarsito, Bandung, 1996
PEMBULATAN ANGKA
Aturan 1 : Jika angka terkiri dari yang harus dihilangkan 4 atau kurang, maka angka terkanan dari yang mendahuluinya tidak berubah. – Contoh: 59.376.402,96 dibulatkan menjadi 95 juta Aturan 2 : Jika angka terkiri dari yang harus dihilangkan lebih dari 5 atau 5 diikuti oleh angka bukan nol, maka angka terkanan dari yang mendahuluinya bertambah dengan satu. – Contoh: 6,948 dibulatkan 7
Aturan 3 : Jika angka terkiri dari harus dihilangkan hanya angka 5 atau 5 yang diikuti oleh angka-angka nol belaka, maka angka terkanan dari yang mendahuluinya tetap jika ia genap, tambah satu jika ia ganjil. – Contoh: 8,5 dibulatkan menjadi 8 Genap 19,5 dibulatkan menjadi 20 Ganjil
Drs. M. Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal19, Pustaka Setia, Bandung, 2000
DISTRIBUSI FREKUENSI
Distribusi Frekuensi adalah penyusunan suatu data mulai dari terkecil sampai terbesar yang membagi banyak data ke dalam beberapa kelas. (1) Pembuatan distribusi frekuensi ditunjukkan agar data lebih sederhana dan mudah dibaca sebagai informasi bagi yang memerlukan. (2) Frekuensi menunjukan banyak buah data yang menduduki nilai atau kelompok nilai tertentu dari suatu variabel. (3)
Distribusi Frekuensi terdiri dari 2 bagian yaitu: 1. Distribusi frekuensi kategori: ialah distribusi frekuensi yang pengelompokan datanya disusun berbentuk kata-kata atau distribusi frekuensi yang penyatuan kelas-kelasnya didasarkan pada data kategori (Kualitatif). 2. Distribusi frekuensi numeric adalah distribusi frekuensi yang penyatuan kelas-kelasnya (disusun secara interval) didasarkan pada angka-angka (kuantitatif). (4)
Contoh : Distribusi Frekuensi Kategori
Asal Frekuensi Mahasiswa Instansi 794 BUMN 100 Swasta 144 Umum 135 Jumlah 1.173 Data STIA LAN Bandung
Distribusi Frekuensi Numeric
Nilai
Frekuensi
60-65 66-71 72-77 78-83 84-89 90-95 Jumlah
4 5 10 12 6 3 40
Nilai UTS Statistik Oktober 1995
Range atau jangkauan adalah selisih data terbesar (maksimum) dengan data terkecil (minimal) yang dinotasikan dengan (5) R = Xmaks - Xmin Dalam menetapkan banyaknya kelas ada suatu aturan yang diberikan oleh H. A. Struges yang selanjutnya disebut aturan Struges (6) K = 1 + 3,3 Log n – – – –
Keterangan: K = banyaknya kelas n = banyaknya data (frekuensi) 3,3 = bilangan konstan
Interval kelas atau panjang kelas adalah selisih data terbesar dengan data terkecil dibagi dengan banyaknya kelas 7, interval kelas ini ditentukan dengan rumus: R P K Keterangan: P = Panjang kelas (interval Kelas) R = Rentang K = Banyaknya kelas
Batas kelas suatu interval kelas adalah nilai-nilai ujung terdapat pada suatu kelas. Nilai ujung bawah pada suatu interval kelas disebut batas bawah kelas, sedangkan nilai ujung atas pada suatu interval kelas disebut batas atas kelas. (8) Contoh:
Nilai
Frekuensi
52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 - 100
2 15 12 27 10 8 5
Jumlah
80
Berdasarkan table diatas batas bawah kelas dan batas atas kelasnya sebagai berikut: Batas bawah kelas : 52,59,66,73,80,87,94 Batas atas kelas : 58,65,72,79,86,.93,100
Titik Tengah kelas atau nilai tengah kelas adalah nilai yang terletak ditengah tengah kelas yang dianggap mewakili suatu interval tertentu. (9) Rumus: Titik Tengah = batas bawah kelas + batas atas kelas
2
Misalnya: Pada tabel sebelumnya Kelas kesatu adalah : 52 58 55
2
Langkah-langkah tehnik Pembuatan Distribusi Frekuensi, sebagai berikut: 1. Mengurutkan data dari yang terkecil sampai terbesar 2. Menghitung jarak atau rentang 3. menghitung jumlah kelas (K) 4. Menghitung pangjang kelas Interval (P) 5. Menentukan batas terendah/ujung data pertama dan menghitung kelas interval 6. membuat table sementara dengan cara dihitung satu demi satu yang sesuai dengan urutan interval. (10)
Sumber : (1) Dr. Riduwan, Dasar-Dasar Statistik, hal 11, Alfabeta, Bandung, 2001 (2) Dr. M. Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 37, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (3) Drs. Sunaryo, Pengantar Statistik Pendidikan, hal 9, IKIP Bandung, 1981 (4) Dr. Riduwan, Dasar-Dasar Statistik, hal 12, Alfabeta, Bandung, 2001 (5) Drs. M. Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 38, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (6,7) Dr. M, Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 39, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (8) Dr. M, Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 40, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (9) Dr. M, Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 41, Pustaka Setia, Bandung, 2000 (6,7) Drs. Riduwan, Dasar-Dasar Statistik, hal 14, Alfabeta, Bandung, 2001
Contoh Distribusi Frekuensi Diketahui niali ujian seminar Sekolah Pimpinan Administrasi Tingkat Madya Nasional II Departemen X yang diikuti oleh peserta, diperoleh data 90 70 74 75 78 80 93
84 70 74 75 78 80 94
66 71 74 76 79 81 75
66 73 60 76 75 78 75
67 73 63 77 75 78 75
67 74 81 77 75 79 84
67 74 81 77 87 82 84
68 80 82 78 89 83 72
71 80 87 85 89 83 72
72 81 87 85 94 84
Langkah-langkahnya
Mengurutkan data dari yang terkecil 60 63 66 66 67 67 67 71 72 72 72 72 73 73 75 75 75 75 75 75 75 77 77 78 78 78 78 78 81 80 80 81 81 81 82 84 84 84 85 85 87 87 93 94 94
sampai terbesar 68 70 70 71 74 74 74 74 75 76 76 77 79 79 80 80 82 83 83 84 87 89 89 90
Menghitung jarak atau rentang R = 94 - 60 = 34
menghitung jumlah kelas (K) K = 1 + 3,3 Log 70 = 1 +3,3. 1,845 =7,0885
Menghitung pangjang kelas Interval (P) P=
R K
34 7
4,857 dibulatkan menjadi 5
Menentukan batas terendah/ujung data pertama dan menghitung kelas interval (60 (65 (70 (75 (80 (85 (90
+ + + + + + +
5) 5) 5) 5) 5) 5) 5)
= = = = = = =
65 – 1 = 64 70 – 1 = 69 75 – 1 = 74 80 – 1 = 79 85 – 1 = 84 95 – 1 = 89 100 – 1 = 94
membuat tabel sementara dengan cara dihitung satu demi satu yang sesuai dengan urutan interval. Nilai
Rincian
(f)
60 – 64
II
2
65 – 69
IIII I
6
70 – 74
IIII IIII IIII
15
75 –79
IIII IIII IIII IIII
20
80 – 84
IIII IIII IIII I
16
85 – 89
IIII II
7
90 -94
III
4 70
Buatlah table distribusi frekuensi Nilai
(f)
60 – 64
2
65 – 69
6
70 – 74
15
75 –79
20
80 – 84
16
85 – 89
7
90 -94
4 70
HISTROGRAM
Histrogram ialah grafik yang menggambarkan suatu distribusi frekuensi dengan bentuk beberapa segi empat. Langkah-langkah membuat histrogram:
1.
2. 3.
Buatlah absis dan ordinat. Absis ialah sumbu mendadatar (X) menyatakan nilai. Ordinat ialah sumbu tegak (Y) menyatakan frekuensi. Berilah nama pada masing-,masing sumbu dengan cara, sumbu absis diberi nama nilai dan ordinat diberi nama frekuensi. Buatlah skala absis dan ordinat.
4.
Buatlah batas kelas dengan cara: a. Ujung bawah interval kelas dikurangi 0,5 b. Ujung atas interval kelas pertama ditambah ujung bawah interval kelas kedua dan dikalikan setengah c. Ujung kelas atas ditambah 0,5. Perhitungan sebagai berikut 60 – 0,5 = 59,5 64 + 65 x 0,5 = 64,5 69 + 70 x 0,5 = 69,5 74 + 75 x 0,5 = 74,5 79 + 80 x 0,5 = 79,5 84 + 85 x 0,5 = 84,5 89 + 90 x 0,5 = 89,5 5. Buatlah table distribusi frekuensi untuk membuat histrogram. 6. Buatlah grafik histrogram dengan keterangan lengkap.
Tabel Distribusi Frekuensi Niali Ujian KKPRK SEPADYA Nasional II Nilai
Batas Kelas
Frekuensi
59,5
2
60 – 64
64,5
6
65 – 69
69,5
15
70 – 74
74,5
20
75 – 79
79,5
16
80 – 84
84,5
7
85 – 89
89,5
4
90 - 94
94,5
25
59,5 - 64,5
20
64,5 - 69,5
15
69,5 - 74,5
10
74,5 - 79,5
5
79,5 - 84,5 84,5 - 89,5
0 1
89,5 - 94,5
POLIGON FREKUENSI
Poligon Frekuensi ialah grafik garis yang menghubungkan nilai tengah tiap sisi atas yang berdekatan dengan nilai tengah jarak frekuensi mutlak masing-masing. Perbedaan Histrogram dan Poligon adalah a. Histrogram menggunakan batas kelas sedangkan poligon menggunakan titik tengah b. Grafik histrogram berwujud segi empat sedang grafik poligon berwujud garis-garis atau kurva yang saling berhubungan satu dengan yang lainnya,
Langkah-langkah tehnik pembuatan poligon 1.
Buatlah titik tengah kelas dengan cara : Nilai yang terdapat ditengah interval kelas atau niali ujung bawah kelas ditambah nilai ujung atas kelas dikalikan setengah sebagai berikut: 60 + 64 x ½ = 62 65 + 69 x ½ = 67 70 + 74 x ½ = 72 75 + 79 x ½ = 77 80 + 84 x ½ = 82 85 + 89 x ½ = 87 90 + 94 x ½ = 92
2.
Buatlah Tabel distribusi frekuensi untuk membuat histrogram Nilai ujian KKPRK SEPADYA Nasional II Nilai
Batas Kelas
Frekuensi
60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 - 94
62 67 72 77 82 87 92
2 6 15 20 16 7 4 70
3.
Buatlah grafik poligon frekuensi dan keterangan lengkap
25 20
20
15
16
15
10 7
6
5
4
2
0 1
2
3
4
5
6
7
DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi normal adalah suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas yang di bermodel matematik dengan rumus
y
1
2
e
1 x 2
2
dimana y = oordinat oada grafik x = skor yang diperoleh = rata-rata populasi = simpangan baku populasi 3,1416 e = 2,7183 Yang mengatakan bahwa frekuensi relatif skor x bergantung kepada dua parameter () dan dua konstanta (=3,1416 dan bilangan dasar sisitem logaritma asli e, = 2,7183)
Distribusi normal sangatlah penting karena 1. Distribusi normal merupakan model yang baik untuk mendekati frekuensi distribusi fenomena alam dan social jika sampelnya besar. 2. Terdapat hubungan yang kuat antara besarnya sample dengan distribusi rata-rata yang diperoleh dari sampel-sampel acak yang diambil dari suatu populasi yang sama. 3. Distribusi normal memberikan penghampiran yang baik terhadap distribusi teoritis lainnya yang pada umumnya lebih sulit digunakan untuk memodelkan distribusi peluang
Karakteristik Distribusi Normal a. Unimodal; bahwa setiap distribusi normal selalu memiliki modus dan hanya satu modus. b. Simetrik; setengah bagian dari distribusi itu sama dan sebangun dengan setengah bagian lainnya. c. Modus = median = rata-rata. d. Asimiotik; distribusi normal tidak akan pernah menyentuh absisnya
DESIL
Desil yang disingkat dengan Ds ialah nilai atau angka yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama, setelah disusun dari data terkecil sampai data terbesar sampai data terkecil. Cara mencarinya hampir sama dengan mencari nilai kuartil, bedanya hanya saja pada pembagian saja. Kalau kuartil data di bagi menjadi empat yang sama, sedangkan desil data dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama.
Rumus untuk data tunggal Posisi Ds1 = 1/10 (n +1)
Posisi Ds6 = 6/10 (n +1)
Posisi Ds2 = 2/10 (n +1)
Posisi Ds7 = 7/10 (n +1)
Posisi Ds3 = 3/10 (n +1)
Posisi Ds8 = 8/10 (n +1)
Posisi Ds4 = 4/10 (n +1) Posisi Ds5 = 5/10 (n +1)
Posisi Ds9 = 9/10 (n +1)
Rumus untuk data kelompok
xn 10 F Ds data ke-x Bp P f
dimana x = 1 sampai 9 Keterangan: Bb = Batas bawah kelas sebelum desil akan terletak P = Panjang kelas desil F = Jumlah dari semua frekuensi komulatif sebelum kelas desil
n = Jumlah data
Harga-harga desil ada sembilan yaiti Ds 1 sampai Ds 9 Mencari Desil Data Tunggal Langkahnya: 1. Urutkan data dari terkecil ke besar atau sebaliknya 2. Hitunglah dan carilah posisi
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Mencari Desil Data Kelompok Langkah-langkahnya: Carilah kelas interval yang mengandung Ds yang akan dicari Carilah batas bawah kelas desil (Bb) Hitung panjang kelas desil (P) Carilah banyak frekuensi kelas desil (f) Carilah jumlah semua frekuensi kumulatif di bawah kelas desil Hitung Ds yang akan dicari
Sumber : 1. Drs. M. Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 75, Pustaka Setia, Bandung, 2000 2. Drs. Riduwan, Dasar-Dasar Statistik, hal 64, Alfabeta, Bandung, 2001 3. Pof. Dr.Sudjana, M.A. M.Sc, Metoda Statistika, Tarsito, Bandung, 1996
Contoh Desil Data Tunggal
Contoh diketahui data 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50, 75 Carilah letak Ds2 dan Ds7
Jawab a. Urutkan data dari kecil sampai ke besar 35 40 45 50 65 70 70 80 90
atau
90 80 70 70 65 50 45 40 35
b. Hitunglah dan carilah posisi (Ds2 dan Ds7) dengan rumus yang telah ditetapkan Ds2 = 40 + 0,2(45-40)= 41 Jadi posisi Ds2 menunjukkan nilai 41 Ds7 =70 + 0,7(75-70)= 73,5 Jadi posisi Ds7 menunjukkan nilai 73,5
Contoh Desil Data Kelompok Carilah letak Ds8 Nilai
(f)
60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94
2 6 15 20 16 7 4 70
Langkah-langkah penyelesaiannya: 1. Carilah kelas interval yang mengandung D8 yang akan dicari Ds8 terletak di dalam kelas interval ke-5 yaitu 80-84. 2. Carilah batas bawah kelas desil (Bb) Bb = ½ (79 + 90) = 79,5 3. Hitung panjang kelas desil (P) P = 80 sampai 84 = 5 4. Carilah banyak frekuensi kelas desil (f) f = 16
5. Carilah jumlah semua frekuensi kumulatif di bawah kelas desil F = 2+6+15+20=43 6. Hitung Ds8 xn 10 F 79,5 5 8,70 10 43 83,56 Bp P Ds8 data ke 8 f 16
Ds8 data ke 8 Jadi, desil ini berarti bahwa ditemukan 80% dari nilai KKPRK peserta Diklat Sepadya Nasional II paling sedikit mendapat nilai 83,56 sedangkan sisanya 20% mendapat nilai paling tinggi 83,56.
KUARTIL
Kuartil ialah nilai atau angka yang membagi data ke dalam empat bagian yang sama, setelah disusun dari data terkecil sampai data terbesar atau dari data terbesar sampai data terkecil. Ada tiga bentuk kuartil, yaitu: a. Kuartil Pertama ialah nilai dalam distribusi yang membatasi 25 % frekuensi di bagian atas dan 75% frekuensi di bagian bawah distribusi. b. Kuartil Kedua ialah nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi diatas dan 50% di bawahnya. c. Kuartil Ketiga ialah nilai dalam distribusi yang membagi 75% frekuensi di bagian atas dan 25% frekuensi bagian bawah. Ketiga kuartil ini dapat digambarkan berikut ini.
Nilai
Frekuensi 25%
Posisi K1 Posisi K2
Posisi K3
K1
50%
Keterangan Angka kecil
75%
K2 K3
Angka besar
Mencari Kuartil Data Tunggal Mencari kuartil data tunggal dengan cara pertama menyusun atau mengurutkan data tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya, kemudian posisi kuartil dicari dengan rumus: K1= ¼ (n+1); K2 = ½ (n+1); K3 = ¾ (n + 1) n = Jumlah data
Langkah-langkahnya 1. Urutkan data kecil ke besar (sebaliknya) 2. Hitung dan carilah posisi kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga dengan 3. Gambarkan posisi K1, K2, K3
Kuartil Data Kelompok Mencari kuartil beerbentuk data kelompok dibuat susunan distribusi frekuensi terlebih dahulu. Rumus Yang digunakan 1 n F K1 Bb P 4 f
keterangan:
1 n F K1 Bb P 2 f
3 n F K1 Bb P 4 f
– Bb= Batas bawah kelas sebelum kuartil akan terletak – P = Panjang kelas kuartil – F = Jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil – n = jumlah data
Langkah-langkahnya adalah: 1. Carilah kelas interval yang mengandung K1, K2, dan K3 terlebih adhulu untuk mencari posisi kuartil 2. Carilah batas bawah kelas kuartil (Bb) 3. Hitunglah panjang kelas kuartil (P) 4. Carilah banyaknya frekuensi kelas kuartil (f) 5. Carilah jumlah dari semua frekuensi kumulatif di bawah kelas kuartil (F) 6. Hitunglah kuartil 7. Berilah makna atau arti fdari K1, K2, dan K3
Sumber: Drs, M. Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 75, Pustaka Setia, Bandung, 2000 Drs. Riduwan, Dasar-Dasar Statistik, hal 64, Alfabeta, Bandung, 2001 Pof. Dr.Sudjana,M.A. M.Sc, Metoda Statistika, hal 81 Tarsito, Bandung, 1996
Contoh Kuartil Data Tunggal
Diketahui data 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50
Jawab: Urutkan data kecil ke besar (sebaliknya) 35 Atau 90 40 80 45 70 50 70 65 65 70 50 70 45 80 40 90 35
Hitung dan carilah posisi kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga dengan menggunakan rumus: K1= ¼ (n+1); K2 = ½ (n+1); K3 = ¾ (n + 1) n = Jumlah data
Jadi posisi: – K1 = 42,5 – K2 = 5 – K3 = 7,5
Gambarkan posisi K1, K2, K3 35 40 posisi K1 = 42,5 45 50 posisi K2 = 65 70 70 posisi K3 = 75 80 90
atau
90 80 posisi K3 = 75 70 70 posisi K2 = 65 50 45 posisi K1 = 42,5 40 35
Contoh Mencari Kuartil Data Kelompok Nilai
(f)
60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94
2 6 15 20 16 7 4 70
Langkah-langkah yang harus dikerjakan: 1.
2.
Carilah kelas interval yang mengandung K1,K2, dan K3 terlebih dahulu untuk mencapai posisi kuartil a. K1 = 1/4n = ¼.70 = 17, dengan demikian K1 terletak didalam kelas interval ke 3 yaitu 7074. b. K2 = 35, dengan demikian K2 terletak di dalam kelas interval ke 4 yaitu 75 –79 c. K3 = 52,5 dengan demikian K3 terletak didalam kelas interval ke 5 yaitu 80 - 84 Carilah batas bawah kelas kuartil (Bp) Bb K1 = ½ (69 + 70) = 69,5 Bb K2 = ½ (74 + 75) = 74,5 Bb K2 = ½ (79 + 80) = 79,5
3. Hitung panjang kelas kuartil (p) P K1 70 sampai 74 = 5 P K2 75 sampai 79 = 5 P K3 80 sampai 84 = 5
4. Carilah banyaknya frekuensi kelas kuartil (f) f k1 = 15 f k2 = 20 f k3 = 16
5.
6.
Carilah F fFk1 = 2 + 6 = 8 Fk2 = 23 Fk3 = 43 Hitung Kuartil
1 n F 1 70 8 K 1 Bb P 4 69,5 5 4 72,668 f 15 1 n F 1 70 23 2 K 1 Bb P 74,5 5 4 77,5 f 20 3 n F 3 70 43 K 1 Bb P 4 69,5 5 4 82, 469 f
16
7.
Berilah makna atau arti dari K1, K2, dan K3: a. Arti K1 bahwa terdapat 25% peserta mendapat nilai ujian tertinggi 72,67 sedangkan 75%-nya mendapat nilai terendah 72,76. b. Arti K1 bahwa terdapat 50% peserta mendapat nilai ujian tertinggi 77,5 sedangkan 75%-nya mendapat nilai terendah 77,5. c. Arti K1 bahwa terdapat 75% peserta mendapat nilai ujian tertinggi 82,469 sedangkan 75%-nya mendapat nilai terendah 82,469.
Sumber: Drs, M. Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 75, Pustaka Setia, Bandung, 2000 Drs. Riduwan, Dasar-Dasar Statistik, hal 64, Alfabeta, Bandung, 2001 Pof. Dr.Sudjana,M.A. M.Sc, Metoda Statistika, Tarsito, Bandung, 1996
PERSENTIL
Persentil atau di singkat dengan [ps] ialah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama, setelah di susun dari kata terkecil sampai data terbesar atau dari kata terbesar sampai data terkecil . Cara mencarinya hampir sama dengan mencari nilai desil, bedanya hanya pada pembagian saja. Kalau desil data dibagi sepuluh yang sama, sedangkan persentil data di bagi seratus bagian yang sama. Jumlah persentil ada sembilan puluh sembilan yaitu Ps1 sampai Ps9, sedangkan Ps50 sama dengan median.
Mencari desil data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya, kemudian posisi persentil di cari dengan rumus : Posisi Psx = data ke x /100 (n+1) Keterangan: n = Jumlah data x = 1 sampai 99
Mencari desil data kelompok Rumus yang digunakan Ps ke-x
xn 10 F Bb P f
x = 1 sampai 99 Keterangan: – Bb = Batas bawah kelas sebelum presentil akan terletak – P = Panjang kelas presentil – F = Jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas desil – N = Jumlah data
Langkah-langkah menentukan presentil 1. Carilah data interval yang mengandung Ps 2. Carilah batas bawah kelas persentil 3. Hitunglah panjang kelas persentil 4. Carilah banyaknya frekuensi kelas presentil 5. Carilah jumlah dari semua frekuensi kumulatif dibawah kelas persentil 6. Hitunglah Ps
Sumber: Drs Riduwan, Dasar-Dasar Statistik, hal 74, Alfabeta, Bandung, 2001 Pof. Dr. Sudjana, M.A, M.Sc, Metoda Statistika, hal 81, Tarsito, Bandung, 2000
CONTOH MENCARI PERSENTIL DATA TUNGGAL
Diketahui Data: 65,70,90,40,35,45,70,80,50,75 Carilah posisi Ps20 dan Ps80
Jawab: 1. Urutkan data dari keci ke besar atau sebaliknya 35 90 40 80 45 75 50 70 65 70 70 65 70 50 75 45 80 40 90 35
2. Hitunglah dan carilah posisi Ps20 dan Ps80 dengan rumus: Ps20 = 40 + 0,2 (45-40) = 41 Jadi posisi Ps20 menunjukkan nilai 41 Ps80 = 75 + 0,8 (80-75) = 79 Jadi posis Ps80 menunjukkan nilai 79
CONTOH PERSENTIL DATA KELOMPOK Carilah kelas Ps80 Nilai
(f)
60-64 64-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94
2 6 15 20 16 7 4 70
Jawab: 1. Carilah data interval yang mengandung Ps80 terlebih dahulu untuk mencari posisi Ps80 Ps80 = 80 /100.70 =56 2. Carilah batas bawah kelas persentil Bb = ½ (79+80) = 79,5 3. Hitunglah panjang kelas persentil P = 80 sampai 84 =5 4. Carilah banyaknya frekuensi kelas presentil f = 16
5. Carilah jumlah dari semua frekuensi kumulatif dibawah kelas persentil F = 2+6+15+20=43 6. Hitunglah Ps Ps data ke-80
Jadi, persentil ini mempunyai arti bahwa *0% dari nilai KKPRK peserta Diklat Sepadya Nasional II paling sedikit mendapat nilai 83,56 sedangkan sisanya 20% mendapat nilai paling tinggi 83,56
KURVA NORMAL
Distribusi / kurva normal memegang peranan penting dalam statistik inferensial, yaitu sebagai model distribusi peluang. (probability distribution) Karakteristik Distribusi normal: 1. Unimodal; bahwa setiap distribusi normal selalu memiliki modus dan hanya satu modus. 2. Simetrik; jika setengah bagian dari distribusi itu sama dan sebangun (identik) dengan setengah bagian lainnya. 3. modus = median = rata-rata. 4. Asimtotik; kurva distribusi normal tidak akan pernah menyentuh absisnya. 5. Luas daerah dibawah lengkung kurva tersebut dari – ~sampai +~ sama dengan 1 atau 100%.
Untuk membuat kurva normal kita harus mengetahui besarnya mean ()dan deviasi standar ().
Y
1
2
.e
1x
2
2
dimana: Y = ordinat pada grafik x = skor yang diperoleh = rata-rata populasi = simpangan baku populasi = 3,1416 (dibulatkan) e = 2,7183 (dibulatkan)
Peranan kurva normal harus tergantung pada nilai-nilai mean () dan deviasi standar (), oleh karena itu kita akan mempunyai bermacammacam bentuk kurva tergantung dengan nilai ()mean tersebut. Oleh karena itu untuk menyederhanakan kemudian dibuat kurva normal standar.
Sumber: Furqon, PhD, Statistik Terapan Untuk Penelitian, 1999, Alfabeta, Bandung. Prof. Dr. Sudjana, Metode Statistik, 1990, Tarsito, Bandung. Drs. Djarwanto Ps, Statistik induktif, 1993, BPFE, Yogyakarta.
RATA-RATA (MEAN)
Rata-Rata Hitung dari Data Tunggal Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan seluruh niali dan membaginya dengan banyak data. Rata-rata hitung dari data tunggal dirumuskan dengan n
X
x1 x 2 x3 ....... x n n
atau
Contoh: Hitung rataan dari 6,5,9,7,8,8,7,6 Jawab: X
X
1 i 1
n
Rata-Rata Hitung dari Data yang Dikelompokkan Untuk mencari rata-rata hitung, kita perguanakan nilai tengah (Xi ). Selain menggunakan niali tengah, rata-rata hirung data yang sudah dikelompokkan dapat dicari dengan menggunakan rata-rata sementara yaitu dengan mengambil Xi dengan frekuensi terbanyak dan memberi tan Q yang dinyatakan dengan rumus: X
P X o f i ci n
Keterangan Xo= rata-rata sementara P = Panjang kelas n = banyaknya kelas
Contoh Nilai
fi
xi
ci
fixi
52 - 58 59 - 65 66 - 72 73 - 79 80 - 86 87 - 93 94 - 100
2 6 7 20 8 4 3
55 62 69 76 83 90 97
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6 -12 -7 0 8 8 9
Rata-Rata Geometris dari Data Tunggal Rata-rata geometris G dari sekumpulan angka c, adalah akar pangkat n dari perkalian angka-angka tersebut, dinyatakan dengan rumus : G Contoh: Tentukan rata-rata geometris dari 4,9,6 Jawab: G
n x1 .x2 .x3 .x n
3 G 3 4,9,6 216 6
Rata-Rata Geometris dari Data yang Dikelompokkan Untuk mencari rata-rata geometris dari data yang telah dikelompokkan, menggunakan rumus: Log G
f i log x i fi
Contoh: Nilai Matematika 50 Siswa Nilai
Frekuensi
52-58 59-65 66-72 73-79 80-86 87-93 94-100
2 6 7 20 8 4 3
Jumlah
50
Berdasarkan table tersebut, hitunglah rata-rata geometrisnya.
Jawab: Nilai
fi
xi
Log xi
F Log xi
52-58 59-65 66-72 73-79 80-86 87-93 94-100
2 6 7 20 8 4 3
55 62 69 76 83 90 97
1.7403 1.7924 1.8388 1.8808 1.9190 1.9542 1.9868
3.4806 10.7544 12.8716 37.6160 15.3520 7.8168 5.9601
Jumlah
50
93.8515
Log G
Log G
f i log x i fi
93,8515 50
Log G = 1,8770 G = 75,4
Rata-Rata Harmonis Data Tunggal Rata-rata harmonis dari data tunggal x1 ,x2, x3,…,xn dirumuskan sebagai berikut: H
n 1 1 1 1 .... x1 x 2 x3 xn
atau H
n n
1 i 1 x1
Contoh: Nilai ulangan bahasa Inggris 3 siswa adalah 90, 80, 70. Tentukan rata-rata harmonisnya. H
3 1 90
1 80
1 70
3 0.0111 0.0125 0.143
79,16
Rata-Rata Harmonis dari Data yang Dikelompokkan Rumus untuk mencari rata-rata harmonis dari data yang dikelompokkan adalah ^ n H fi x i
Contoh: Diketahui data sebagai berikut :
Nilai
Frekuensi
52-58 59-65 66-72 73-79 80-86 87-93 94-100
2 6 7 20 8 4 3
Jumlah
50
Tentukan rata-rata harmonisnya.
Jawab: Nilai
fi
xi
fi/xi
52-58 59-65 66-72 73-79 80-86 87-93 94-100
2 6 7 20 8 4 3
55 62 69 76 83 90 97
0.1361 0.0968 0.1014 0.2631 0.0964 0.0444 0.0309
Jumlah
50
Jadi rata-rata harmonisnya 74, 69
0.6694
Sumber: Drs, M. Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 63, Pustaka Setia, Bandung, 2000 Drs. Riduwan, Dasar-Dasar Statistik, hal 58, Alfabeta, Bandung, 2001
MEDIAN
Median (Me) adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan (disusun) dari data terkecil sampai data terbesar. Mencari median data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau dari data terbesar sampai data terkecil, kemudian posisi median dicari dengan rumus: dimana n = jumlah data. Langkah-langkahnya:
1. Urutkan data dari kecil ke besar 2. Carilah posisi median dengan menggunakan rumus diatas.
Mencari Median data bentuk kelompok 1 ( n F) Me Bp P 2 f
Keterangan: Me = Median Bb = Batas bawah kelas sebelum median P = Panjang kelas median N = Jumlah data f = Banyaknya frekuensi kelas median F = Jumlah dari sebellum frekuensi kumulatif sebelum kelas median
Langkah-langkahnya: 1. Urutkan data terkecil sampai terbesar 2. Hitung jarak atau rentangan ( R ) 3. Hitung jumlah kelas (K) dengan Sturges 4. Hitung panjang kelas interval (P) 5. Tentukan batas data terendah dialnjutkan menghitung kelas intervalnya 6. Buatlah table distribusi
7. Carilah kelas interval yang mengandung median 8. Carilah Batas bawah 9. Hitung Panjang kelas Median (p) 10. Carilah banyak frekuensi median (f) 11. Carilah jumlah dari semua frekuensi kumulatif dibawah kelas median (F) 12. Hitunglah median dengan menggunakan rumus Median
Sumber: Drs, M. Subana, M.Pd, Statistik Pendidikan, hal 72, Pustaka Setia, Bandung, 2000 Drs. Riduwan, Dasar-Dasar Statistik, hal 58, Alfabeta, Bandung, 2001
