Seminar Nasional Pengaplikasian Telematika SINAPTIKA 2010 – ISSN 2086-8251
Penerapan Pemodelan Matematika untuk Visualisasi 3D Perpustakaan Universitas Mercu Buana Walid Dulhak1, Abdusy Syarif2 dan, Tri Daryanto3 Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Ilmu Komputer, Universitas Mercu Buana Jl. Raya Meruya Selatan, Kembangan, Jakarta, 11650 E-mail :
[email protected],
[email protected]
Abstrak -- Suatu pemodelan matematis dalam hal adalah matriks kordinat yang merupakan representasi dari sebuah vektor yang dapat dikembang menjadi sebuah objek 3D. Dengan bantuan tool pemodelan tersebut dapat digunkan untuk membuat sebuah visualisasi perpustakaan. Bentuk visualisasi pemodelan 3 dimensi perpustakan tersubut dengan cara pemberian transformasi dalam bentuk proses rotasi, translasi dan juga diilatasi, sehingga terlhat visualisasinya terlihat seperti bentuk sebenarnya. Kedepan penggunan pemodelan ini dapat digunkan untuk membuat bentuk atau ruang yang lain
tangan kanan sumbu Z berkebalikan arah dengan sistem tangan kiri.
Kata kunci : Pemodelan, Matematika,Visualisasi, 3D dan Perpustakaan.
I.
Gambar 1 Sistem koordinat tangan kanan
PENDAHULUAN
Dengan teknologi komputer yang semakin maju, visualisasi sebuah gambar tidak lagi berbentuk 2 dimensi yang hanya terlihat seperti sebuah gambar yang bersifat statis, tetapi dengan menerapkan model matematis, kita dapat membuat sebuah model visulisasi 3 dimensi yang terlihat seolah-olah nyata dari sebuah benda atau ruang.
II.
METODE PENELITIAN Gambar 2 Sistem koordinat tangan kiri
Sistem Koordinat Mempresentasikan objek dalam tiga dimensi dapat dilakukan dengan mengguakan sistem koordinat yang menyediakan tiga sumbu koordinat. Tiga sumbu ini biasanya dinamakan sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. Dalam pembuatan visualisasi 3D terdapat dua macam sistem koordinat 3D yaitu sistem tangan kanan dan sistem tangan kiri. Perbedaan kedua sistem ini terletak pada arah sumbu Z. Pada sistem tangan kiri koordinat yang lebih jauh mempuya nilai Z yang lebih besar, sedangkan koordinat yang lebih dekat mempunyai nilai Z yang lebih kecil. Pada sistem
Ada operasi-operasi tertentu yang teredapat pada matrik, yang lebih dikenal lagi sebagai tranformasi yang kadang-kadang harus dinyatakan dalam bentu matrik, dan digunakan dengan jalan melakukan perkalian matriks. Trranformasi adalah suatu cara untuk mengubah bentuk objek (memutar, menggeser, dan juga mengubah ukuran). Suatu objek apabila ditranformasikan dari titik koordinat awal (X, Y, Z), maka akan menghasilkan titik koordinat yang baru (X‟, Y‟, Z‟).
335
Seminar Nasional Pengaplikasian Telematika SINAPTIKA 2010 – ISSN 2086-8251
Bentuk-bentuk dari tranformasi yang digunakan di dalam pembuatan animasi 3D : 2.2.1.Rotasi Rotasi adalah tranformasi dengan memutar sebuah objek. Objek-objek tersebut dapat diputar terhadap sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. Apabila ada sebuah matrik Pi dengan titik koordinat awal (Xi, Yi, Zi) kemudian dirotasi dengan sudut putar 0, maka akan dihasilkan matrik baru Pi‟ dengan titik-titik koordinat baru (Xi‟, Yi‟, Zi‟). Jika diturunkan dengan persamaan adalah seperti berikut : Xi‟ = ρ cos (Φ+ 0) = ρ cos Φ cos 0 – ρ sin Φ sin 0 = xi cos 0 – yi sin 0 Yi‟ = ρ sin (Φ+ 0) = ρ cos Φ sin 0 + ρ sin Φ cos 0 = xi sin 0 + yi cos 0 Zi‟ = zi Persamaan-persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk matrik seperti berikut Xi‟ Yi‟ Zi‟
=
cos 0 -sin 0
0
Xi
sin 0 cos 0
0
Yi
0
0
1
Gambar 5 kubus dirotasikan terhadap sumbu Y dengan sudut sebesar 900
Gambar 6. kubus dirotasikan terhadap sumbu Z dengan sudut sebesar 900
Zi
2.2.2 Translasi Translasi merupakan tranformasi yang paling sederhana, yaitu memindahkan koordinat asal ke tempat yang baru. Sebagai contoh misalnya ada sebuah objek yang akan ditranslasi dengan vektor translasi (Tx, Ty, Tz).
1 0
0 Tx
0 1 0 Ty Gambar 3 Rotasi Pada Sumbu Koordinat tegak Lurus 0 0 1 Tz Berikut ini contoh suatu objek kubus yang akan dirotasikan terhadap sumbu X, Y, atau Z, dimana kubus ini berada pada sistem koordinat tegtak lurus yang arahnya menurut sumbu-sumbu x, y, dan z positif. Kubus ini akan dirotasi terhadap sumbu X, Y, dan Z dengan sudut 900. Gambar di bawah ini merupakan gambaran dimana kubus tersebut dan nantinya akan dirotasikan terhadap sumbu X, Y, dan Z.
Maka akan didapat kordinat baru dari translasi X‟ = X + Y Y‟ = y + Ty Z‟ = Z + Tz Gambar di bawah ini memperlihatkan translasi sebuah segitiga dengan garis putus-putus ke posisi yang baru dengan translasi (2,-3)
Gambar 4 Kubus dirotasikan terhadap sumbu X dengan sudut besar 900
336
Seminar Nasional Pengaplikasian Telematika SINAPTIKA 2010 – ISSN 2086-8251
2.2.3.Dilatasi Dilatasi adalah operator untuk membuat sebuah benda lebih besar atau lebih kecil. Kita dapat mengubah ukuran benda dengan skala tertentu terhadap masing-masing sumbu. Jenis tranformasi dilatasi yang akan kita tinjau terdiri dari pengubahan skala dari sebuah gambaran sepanjang arah x, y, dan z berturut-turut oleh faktorfaktor α, β, γ. Dengan ini kita artikan bahwa jika sebuah titik Pi mempunyai koordinat (xi, yi, zi) dalam gambaran aslinya, maka titik tersebut akan bergerak ke sebuah titik Pi‟ yang baru dengan koordinat (αxi, βyi, γzi) dalam gambar yang baru itu. Misalkan kita ingin mentranformasikan sebuah kubus satuan dalam gambar asli menjadi lebih besar dengan siku-siku yang dimensinya α x β x γ. Secara sistematis, hal ini dapat dirampungkan dengan perkalian matrik seperti berikut. Definisikanlah sebuah matrik diagonal 3 x 3.
0
0
S = 0
β
0
0
0
γ
α
0
0
Xi
Y‟i
0
β
0
Yi
Z‟i
0
0
γ
Zi
Dengan menggunakan matrik koordinat P yang mengandung koordinat-koordinat dari semua n titik dari gambaran yang asli sebagai kolom-kolomnya, maka ke-n titik ini dapat ditranformasikan secara serempak untuk menghasilkan matrik koordinat p‟ dari gambaran yang berskala baru.
Gambar 7. translasi pada objek segititga
α
X‟i
S=
α
0
0
X 1 X2........X n
0
β
0
Y 1 Y 2 ....Y n
0
0
γ
Z 1 Z 2 .....Z n
αx 1 αx 2 ........ αx n =
βy 1βy 2 ........ βy n
= P‟
γz 1 γz 2 ........ γz n
Gambar 8 pensaklaan (scale) pada kubus Maka, jika titk Pi dalam gambar dinyatakan oleh: vektor kolom. Xi
aslinya
Penulis melakukan uji coba dan implentasi pada masing-masing teori model matematis yang digunakan pada metodologi penelitian III.
IMPLEMENTASI DAN UJI COBA
Yi Dilatasi Zi
Titik Pi yang dihasilkan oleh tranformasi itu akan dinyatakan dalam vektor kolom.
Dalam pembuatan modeling 3 dimensi (3D) penulis memperbesar ukuran dengan skala 1:1 untuk mempermudah penulisan dalam pembuatan detail model. Kemudian penulis kembali memperkecil model dengan skala 1:20.
337
Seminar Nasional Pengaplikasian Telematika SINAPTIKA 2010 – ISSN 2086-8251
-111.75 A „=
141 250
Jadi A‟(-111.75, 141, 250)
Gambar 9. Titik Sumbu Pada Lantai 1
Untuk titik
A= (-1117.5, 1410, 2500) B= (1117.5, 1410, 2500) C=(-1117.5, -1410, 2500)
Gambar 10. Hasil Dilatasi
D=(1117.5, -1410, 2500)
A‟ =
α
0
0
X
0
β
0
Y
0
0
γ
Z
Translasi Dalam pembuatan modeling 3 dimensi penulis menggeser modeling. Penulis akan menggeser model 100 cm kearah kanan dengan titik pusat (0, 0, 0). Berikut adalah perhitungan untuk melakukan penggeseran model.
Dengan skala 1/10 dan pusat (0, 0, 0).
1/10 0
0
100 0
0 Tx
0
0
0 Ty
0
0
0 Tz
-1117.5 Maka akan didapat kordinat baru dari translasi
A „=
0 0
1/10 0
1410
0 1/10
2500
A(-111.75, 141, 250) X‟ = x + ty A‟ =
Y‟ = y + Ty Z‟ = Z + Tz
1/10x(-1117.5) + 0x1410 + 0x2500 X‟ = (-111.75) + 100 A „=
0x (-1117.5) + 1/10 x1410 + 0x2500 A‟ = 0x (-1117.5) + 0x1410 + 1/10x2500
338
Y‟ = 141 + 0
Seminar Nasional Pengaplikasian Telematika SINAPTIKA 2010 – ISSN 2086-8251
Z‟ = 250 + 0
0x(-11.75) + 0x141 + 1x250
A‟(-11.75, 141, 250)
A „=
0x(-11.75) + 1x141 + 0x250 -1x(-11.75) + 0x141 + 0x250 250
A „=
141 11.75
Jadi A‟(330, 975.5, 368)
Gambar 11. Hasil Translasi
Rotasi Dalam pembuatan modeling 3 dimensi penulis memutar modeling. Penulis akan merotasi model 90 derajat terhadap sumbu y berlawanan jarum jam dengan titik pusat (0, 0, 0). Berikut adalah perhitungan untuk melakukan rotasi model. Titik P(x,y,z) dirotasi sebesar a berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan diperoleh bayangan P‟(x‟,y‟,z‟) maka: A (-11.75, 141, 250) Di rotasi 90 derajat terhadap sumbu y
Cosa 0 sina A‟ =
-11.75
0 1 0
141
-sina 0 Cosa
A‟ =
250
Cos90 0 sin90
-11.75
0 1 0
141
-sin90 0 Cos90
250
Gambar 12. Hasil Setelah Dirotasi 90 Derajat
IV. KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat diambil dari pemodelan matematis untuk visualisasi 3 dimensi ini, adalah sebagai berikut: 1. Dengan menggunkan pemodelan matematis kita dapat mebuat bentuk pemodelan 3 dimensi dengan penggunaank transformasi koordinat 2. Pemodelan visualisasi ini dapat memperhatkan bentuk dari sebuah ruang dalam hal ini adalah ruang perpustakaan Univeritas Mercu Buana V. DAFTAR PUSTAKA 1. 2.
A‟ =
3.
0 0 1
-11.75
0 1 0
141
4.
-1 0 0
250
5.
339
J.Leon, Steve, 2001. “Aljabar Linier & Aplikasinya”, Jakarta: Erlangga. Digital Studio, 2007. “Visualisasi 3 Dimensi”, Jakarta: Elex Media Komputindo. Jubilee Enterprise, 2006. “3d Studio Max 7 Utk Pemula”, PT Elex Media Komputindo kelompok Gramedia, Jakarta. Non personal, “Blitz3D”, http://www.blitzbasic.com/, 29 Desember 2008. Non personal, “Blitz3D”, http://en.wikipedia.org/wiki/Blitz_BASIC, 29 Januari 2009.
