Nomor 17 Volume IX Januari 2011: 58-68
Spectra
PENENTUAN POSISI DAN ORIENTASI KAPAL DARI FOTO TUNGGAL Hery Purwanto Dosen Program Studi Teknik Geodesi FTSP ITN Malang
ABSTRAKSI Jika terdapat fitur-fitur landmark di sepanjang pantai yang bergeoreferensi, maka hanya dengan mengekstraksi tiga buah titik-titik tersebut dari fotonya, maka posisi dan orientasi kapal sesaat dapat ditentukan secara instan. Cara ini terbukti sangat praktis untuk penentuan posisi dan navigasi kapal tanpa menggunakan GPS. Kata Kunci: Posisi dan rotasi, Reseksi ruang, Navigasi, Pemetaan Pantai, Metode Church.
PENDAHULUAN Teknik untuk menentukan letak, posisi, dan karakteristik geometri intrinsik dari kamera, pada umumnya dikenal dengan masalah dasar dalam fotogrametri yang meliputi penentuan parameter interior orientasi dan parameter eksterior orientasi, serta penentuan titik objek dalam bentuk 3D (Grussenmeyer dan Al-Khalil, 2002). Parameter eksterior orientasi meliputi tiga koordinat posisi kamera (X L ,Y L ,Z L ) dan tiga parameter sudut rotasi omega (ω), phi (φ), dan kappa (κ) (Mikhail, et al). Akan tetapi, nilai yang mungkin untuk parameter eksterior orientasi dalam jumlah yang tidak terbatas dengan nilai residu yang bermacam-macam, dimana nilai pendekatan parameter eksterior orientasi dapat diperoleh jika terdapat nilai residu paling kecil (Grussenmeyer dan Al-Khalil, 2002). Tulisan ilmiah ini dibahas tentang teknik penentuan nilai pendekatan parameter eksterior orientasi dengan menggunakan metode church, dimana dengan menggunakan metode ini dapat ditentukan koordinat posisi kamera terkoreksi (X’ L ,Y’ L ,Z’ L ) berdasarkan dari hubungan piramid antara sudut bidang foto dan bidang obyek yang berpusat pada posisi kamera, sehingga dapat disusun matriks rotasi (R).
DASAR TEORI Dalam proses penentuan nilai pendekatan parameter eksterior orientasi dengan menggunakan metode church dapat ditentukan koordinat posisi kamera terkoreksi (X’ L ,Y’ L ,Z’ L ) berdasarkan dari hubungan piramid antara sudut bidang foto dan bidang obyek yang berpusat pada posisi 58
Posisi dan Orientasi Kapal Hery Purwanto
kamera, sehingga dapat disusun matriks rotasi (R) yang telah diketahui terlebih dahulu nilai pendekatan koordinat posisi kamera (X L ,Y L ,Z L ). Parameter Eksterior Orientasi Parameter eksterior orientasi dari satu foto digunakan untuk menstabilkan hubungan antara sistem koordinat foto (x,y,f) dan sistem koordinat objek (X,Y,Z), sehingga dapat ditentukan enam parameter unknown dari parameter eksterior orientasi meliputi (X L ,Y L ,Z L ,ω,φ,κ) (Mikhail,et al). Hubungan dari parameter EO dapat diilustrasikan seperti Gambar 1.
Titik L
Gambar 1. Elemen dari Eksterior Orientasi Sumber: Leica (2006)
Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa terbentuk kondisi kesegarisan (collinearity), dimana berkas sinar pantulan dari obyek P yang menuju titik tengah p (perspective center) pada bidang sensor kamera berupa garis lurus (Cooper dan Robson, 2001), sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 2. Pada kenyataannya, berkas sinar pada bidang sensor kamera mengalami pembelokkan (distorsi), baik karena kecacatan dalam proses perakitan dan penyusunan komponen lensa maupun karena ketidakstabilan posisi sensor CCD/CMOS didalam cangkang kamera.
59
Nomor 17 Volume IX Januari 2011: 58-68
Spectra
Titik p pada CCD/CMOS
Sinar dari titik P menuju titik p pada kamera CCD/CMOS melewati lensa kamera
Titik P pada obyek
Gambar 2. Kondisi Ideal Berkas Sinar Lensa Kamera Sumber: Cooper dan Robson (2001)
Dengan demikian, dapat dituliskan persamaan dari kondisi kolinear pada Gambar 2 sebagai berikut (Mikhail,et al):
x −x0 = − f
m11 ( X − X L ) + m12 (Y − YL ) + m13 ( Z − Z L ) m31 ( X − X L ) + m32 (Y − YL ) + m33 ( Z − Z L )
m ( X − X L ) + m22 (Y − YL ) + m23 ( Z − Z L ) y − y 0 = − f 21 m31 ( X − X L ) + m32 (Y − YL ) + m33 ( Z − Z L ) Dimana: x 0 ,y 0 x,y f X,Y,Z X L ,Y L ,Z L m ij
= = = = = =
(2.1)
koordinat principal point koordinat foto panjang fokus koodinat objek koordinat posisi kamera matriks rotasi
Persamaan (2.1) belum dapat digunakan langsung dalam proses perhitungan secara analitik menggunakan metode kuadrat terkecil karena diperlukan nilai pendekatan awal; sehingga proses perhitungan untuk memperoleh nilai pendekatan dilakukan dengan menggunakan metode church. Penentuan Koordinat Posisi Kamera Profesor Earl Church dari Universitas Syracuse memperkenalkan sebuah metode untuk menentukan koordinat posisi kamera terkoreksi (X’ L ,Y’ L ,Z’ L ) jika diketahui koordinat awal posisi kamera (X L ,Y L ,Z L ) dengan prinsip dasar bahwa nilai sudut untuk dua piramid mempunyai nilai yang sama antara piramid bidang foto dan bidang obyek yang berpusat pada
60
Posisi dan Orientasi Kapal Hery Purwanto
posisi kamera (Church, 1980 dan Wolf, 1983) sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 3.
O Piramid foto
Permukaan sudut +x
+y
a
c b Ground
Piramid Objek
C A B
+Y +Z +X
Gambar 3. Hubungan Geometri untuk Metode Church
Dimana: a,b,c = panjang kaki (leg) pada bidang foto A,B,C = panjang kaki (leg) pada bidang obyek O = koordinat posisi kamera
Dari gambar (3) dapat didefinisikan bahwa, sudut OABC dan Oabc adalah sama. Sehingga dapat ditulis :
∠ AOB = ∠ aOb ∠ BOC = ∠ bOc
(2.2)
∠ AOC = ∠ aOc Dapat didefinisikan bahwa:
61
Nomor 17 Volume IX Januari 2011: 58-68
Spectra
K 1 = cos ∠ AOB
k1 = cos ∠ aOb
K 2 = cos∠
k 2 = cos = ∠ bOc
BOC
K 3 = cos ∠ AOC
(2.3)
k 3 = cos = ∠ aOc
Dari persamaan (2.3) dapat dicari nilai unit vektor x,y,z (z = -f) di sistem koordinat foto, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut (Church, 1980):
u1 D1 u p= 2 D u2 3 D3
v1 D1 v2 D2 v3 D3
f D1 f D2 f D3
(2.4)
Dimana: u,v = koordinat foto f = panjang fokus Di = jarak dari titik tengah kamera menuju ke koordinat foto pada masing-msing titik.
Jika nilai unit vektor di sistem koordinat foto telah diketahui, maka nilai koefisien kosinus pada bidang foto dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan sebagai berikut (Church, 1980):
l1l 2 k = l 2 l3 l3l1
m1m2 m2 m3 m3 m1
n1n2 n2 n3 n3 n1
Dimana:
mi
ui D = komponen dari i vi D = komponen dari i
ni i
f = komponen dari Di = 1,2,3,dst.
li
62
(2.5)
Posisi dan Orientasi Kapal Hery Purwanto
Hal yang sama dilakukan pada bidang objek, yaitu menentukan nilai unit vektor X,Y,Z di sistem koordinat objek, sehingga akan terbentuk persamaan (2.6) (Church, 1980): X1 − X L D1 X − XL Q= 2 D X −2 X L 3 D3
Y1 − YL D1 Y2 − YL D2 Y3 − YL D3
Z1 − Z L D1 Z2 − ZL D2 Z 3 − Z L D3
(2.6)
Dimana: Xi,Yi,Zi = koordinat objek X L ,Y L ,Z L = koordinat awal posisi kamera Di = jarak dari titik tengah kamera menuju ke koordinat obyek pada masing-masing titik.
Jika nilai unit vektor di sistem koordinat objek telah diketahui, maka nilai koefisien kosinus pada bidang objek dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan sebagai berikut (Church, 1980):
L1 L2 K = L2 L3 L3 L1
M 1M 2 M 2M 3 M 3M1
N1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 1
(2.7)
Dimana:
Mi
Xi − XL Di = komponen dari Yi − YL Di = komponen dari
Ni i
Zi − Z L Di = komponen dari = 1,2,3,dst.
Li
Dengan ketentuan bahwa nilai koefisien kosinus (k) di bidang foto dan nilai koefisien kosinus (K) di bidang obyek mempunyai nilai yang sama, yaitu pada persamaan (2.5) dan (2.7). Dengan menggunakan persamaan (2.5) maka dapat disusun persamaan baru, yaitu:
63
Nomor 17 Volume IX Januari 2011: 58-68
Spectra
Ii =
ki 1 − Di D j
(2.8)
Ji =
ki 1 − D j Di
(2.9)
Dimana: i = 1,2,3,dst j = 2,3,1.
Dengan mensubtitusi persamaan (2.8) dan (2.9) maka dapat diperoleh persamaan baru sebagai koefisien dari persamaan perataan, yaitu:
Ai = Li I i + L j J i
(2.10)
Bi = M i I i + M j J i
(2.11)
Ci = N i I i + N j J i
(2.12)
∆K i = k i − K i
(2.13)
dan
Nilai koefisien pelengkap (A,B,C) digunakan sebagai solusi simultan pada tiga persamaan perataan, yaitu:
Ei = Ai B j − A j Bi
(2.14)
Fi = Ai C j − A j C i
(2.15)
Gi = Bi C j − B j C i
(2.16)
dimana,
∆ = E1C 3 + E3 C 2 + E 2 C1
(2.17)
Sehingga nilai koreksi koordinat posisi kamera ∆X, ( ∆Y, ∆Z) dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut:
64
Posisi dan Orientasi Kapal Hery Purwanto
G 2 ∆K 1 + G3 ∆K 2 + G1 ∆K 3 ∆ ∆X F ∆K + F3 ∆K 2 + F1 ∆K 3 X = ∆Y = 2 1 (−∆) ∆Z E ∆K + E ∆K + E ∆K 2 1 3 2 1 3 ∆
(2.18)
Subtitusikan persamaan (2.18) untuk menentukan koordinat posisi kamera terkoreksi (X’ L ,Y’ L ,Z’ L ), yang telah diketahui nilai awal koordinat posisi kamera (X L ,Y L ,Z L ), pada persamaan dibawah ini:
X ' L = X L + ∆X Y ' L = YL + ∆Y
(2.19)
Z ' L = Z L + ∆Z Perhitungan pada Di, Li, Mi, Ni, Ki, ∆Xi , ∆Yi, ∆Zi akan terus diulang pada proses iterasi hingga nilai koreksi yang diperoleh sekecil mungkin dan nilai akhir untuk L,M,N akan digunakan sebagai pertimbangan koreksi dan untuk proses perhitungan selanjutnya. Sehingga diperoleh nilai akhir untuk koordinat posisi kamera terkoreksi (X’ L ,Y’ L ,Z’ L ).
Parameter Rotasi Dengan menggunakan prinsip dasar bahwa nilai sudut untuk dua piramid mempunyai nilai yang sama antara piramid bidang foto dan bidang objek yang berpusat pada posisi kamera, maka matriks rotasi (R) dapat disusun dengan melakukan kombinasi antara koefisien l,m,n di sistem koordinat foto dan L,M,N di sistem koordinat objek. Persamaan baru tersebut adalah:
ei = l i m j − l j m i
(2.20)
f i = l i n j − l j ni
(2.21)
g i = mi n j − m j n i
(2.22)
dimana,
∆ = e1 n3 + e2 n1 + e3 n2
(2.23)
65
Nomor 17 Volume IX Januari 2011: 58-68
Spectra
Maka dapat diperoleh komponen matriks rotasi (R), antara lain:
L1 g 2 + L2 g 3 + L3 g1 ∆ L f + L2 f 3 + L3 f1 v1 = 1 2 (−∆) L e + L2 e3 + L3 e1 w1 = 1 2 ∆
u1 =
M 1 g 2 + M 2 g 3 + M 3 g1 ∆ M f + M 2 f 3 + M 3 f1 v2 = 1 2 (−∆) M e + M 2 e3 + M 3 e1 w2 = 1 2 ∆ N 1 g 2 + N 2 g 3 + N 3 g1 u3 = ∆ N1 f 2 + N 2 f 3 + N 3 f1 v3 = (−∆) N e + N 2 e3 + N 3 e1 w3 = 1 2 ∆
u2 =
(2.24)
Dapat disusun dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut:
u1 R = u 2 u 3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
(2.25)
HASIL DAN PEMBAHASAN Untuk membuktikan ketepatan metode church berdasarkan pada penjelasan di atas, maka akan dilakukan sebuah penelitian pada foto konvergen. Foto yang digunakan merupakan foto yang diambil di fly-over dengan menggunakan kamera Nikon D60 dengan panjang fokus 24,00 mm. Dengan diketahui koordinat obyek, koordinat foto dan koordinat awal posisi kamera, seperti yang disajikan pada tabel di bawah ini:
66
Posisi dan Orientasi Kapal Hery Purwanto
Tabel 1. Koordinat Obyek dan Foto Awal Koordinat Obyek (m)
Koordinat Foto (mm)
ID X
Y
Z
x
y
1
-0,101356
-0,068686
-0,661268
3,15447
2,41421
2
0,089863
-0,071431
-0,667876
-2,84669
2,43875
3
0,088922
0,085207
-0,778067
-3,36471
-1,50055
Dengan diberikan koordinat awal posisi kamera sebagai berikut: Tabel 2. Koordinat Awal Posisi Kamera Koordinat Awal Posisi Kamera XL =
0,03701
YL =
0,69539
ZL =
-0,71768
Dengan menggunakan prinsip dasar metode church, dimana disebutkan bahwa nilai sudut untuk dua piramid mempunyai nilai yang sama antara piramid bidang foto dan bidang obyek yang berpusat pada posisi kamera. Jika diketahui terlebih dahulu nilai pendekatan koordinat posisi kamera (X L ,Y L ,Z L ), maka nilai parameter untuk menentukan besarnya nilai koreksi (∆X, ∆Y, ∆Z) dapat ditentukan, yaitu sebagai berikut: Tabel 3. Parameter Nilai Kamera Terkoreksi Parameter ID
E
F
G
Δ
1
0,0001428
-0,0003876
-0,0038291
-0,0003136
2
-0,0034735
0,0047759
0,0049526
3
0,0062254
-0,0000961
0,0035028
Setelah melakukan proses iterasi dari nilai parameter (E,F,G,Δ), maka diperoleh nilai koreksi (∆X, ∆Y, ∆Z) yang terkecil, yaitu sebagai berikut:
∆X 0.000000 ∆Y = − 0.000005 ∆Z − 0.000004 67
Spectra
Nomor 17 Volume IX Januari 2011: 58-68
Dari nilai koreksi yang diperoleh, maka solusi koordinat posisi kamera terkoreksi (X’ L ,Y’ L ,Z’ L ) dapat diperoleh dengan menambahkan nilai koreksi terhadap koordinat awal posisi kamera (X L ,Y L ,Z L ), maka dihasilkan:
X ' L 0.037010 Y ' = 0.695385 L Z ' L − 0.717684 Kemudian setelah koordinat posisi kamera terkoreksi (X’ L ,Y’ L ,Z’ L ) diketahui, maka dapat disusun matriks rotasi (R), yaitu:
− 0.99803 0.03438 0,05242 R = 0.05127 - 0,03360 0,99812 0.03608 0,99884 0,03178 KESIMPULAN Metode Church dapat menghitung posisi dan orientasi kapal hanya dengan menggunakan tiga titik yang terlihat pada foto dan memiliki koordinat georeferensi yang bersesuaian. Parameter Orientasi Luar yang yang dihasilkan oleh koordinat XYZ dan matriks R dapat melokasikan posisi sesaat dan orientasi kapal tersebut pada saat pemotretan dalam sistem keruangan 3 dimensi. Daftar Pustaka Church, P.E. 1980. Tilted Photography. The Center for Photogrammetric Training University Syracuse. Cooper, M.A.R. dan Robson, S. 2001. Theory of Close Range Photogrammetry. Grussenmeyer, P. dan Al-Khalil, O. 2002. Solutions for Exterior Orientation In Photogrammetry: A Review. The Photogrammetric Record an International Journal of Photogrammetry. Leica, Geosystem. 2006. Tutorial Leica Photogrammetry Suite Project Manager. Mikhail, E.M., Bethel, J., dan McGlone, J. 2001. Introduction to Modern Photogrammetry. New York: John Wiley & Sons, Inc. Wolf, P.R. 1983. Elements of Photogrammetry with Air Photo Interpretation and Remote Sensing. New York: McGraw-Hill, Inc.
68
