Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
PENENTUAN NILAI AWAL PARAMETER RELATIF ORIENTASI FOTO STEREO MENGGUNAKAN METODE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION Leo Pantimena Dosen Program Studi Teknik Geodesi FTSP ITN Malang
ABSTRAKSI Penentuan nilai posisi dan orientasi awal konfigurasi jaringan pemotretan multi-foto konvergen memiliki peranan yang sangat vital dalam proses pemberian nilai koordinat datum lokal tanpa secara ekplisit mengukur koordinat titik-titik obyek yang bersangkutan. Tanpa melalui proses ini, penghitungan koordinat titik-titik obyek yang dipotret mustahil dilakukan. Mengingat betapa pentingnya proses ini, maka tulisan kali ini akan mencoba untuk menguraikan teknik penghitungan nilai awal orientasi kamera dari sembarang pasangan foto konvergen didalam jaringan pemotretan, dengan menggunakan Matriks Esensial, yang merupakan pengembangan dari metode klasik fotogrametri yang telah dijabarkan oleh Stefanovic (1973). Dengan menggunakan kondisi Koplanaritas dan Orthogonalitas, Matriks Esensial dapat dihitung menggunakan teknik perataan kuadrat terkecil. Dengan demikian, proses iterasi dapat dilakukan untuk mendapatkan Matriks Esensial yang memiliki nilai residual yang terkecil. Matriks Esensial yang telah dirata-ratakan akan diuraikan dalam komponen matrik Singular Value Decomposition (SVD) untuk mendapatkan nilai posisi dan rotasi kamera. Dikarenakan Matriks Esensial memiliki ambiguitas yang disebabkan oleh skew-matriks, maka posisi yang dihasilkan memiliki empat kemungkinan nilai orientasi awal. Dari keempat kemungkinan ini, dipilih satu nilai yang paling representatif, yang diverifikasi melalui proses intersection. Proses ini telah diimplementasikan dalam perangkat lunak yang tengah dikembangkan untuk mengukur besaran deformasi melalui pemotretan dengan kamera dijital. Kata Kunci: Posisi dan Rotasi, Koplanaritas, SVD, Dependent Relative Orientation.
PENDAHULUAN Dalam fotogrametri terdapat salah satu teknik yang dapat digunakan untuk menentukan nilai enam parameter eksterior orientasi menggunakan foto stereo. Teknik ini secara umum sering disebut sebagai teknik relatif orientasi. Pada dasarnya, teknik ini menggunakan persamaan kesegarisan (collinearity equations) ataupun persamaan kesebidangan (coplanarity 54
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
equations). Akan tetapi, kedua persamaan ini tidak dapat digunakan secara langsung karena membutuhkan nilai pendekatan awal enam parameter eksterior orientasi untuk kedua pasang foto stereo. Selain itu, kedua persamaan ini pun masih dalam bentuk non-linier, sehingga perlu proses linierisasi terlebih dahulu untuk dapat digunakan secara optimal. Dengan demikian, dalam tulisan kali ini akan coba dikupas sebuah alternatif penentuan nilai awal parameter eksterior orientasi pada proses relatif orientasi menggunakan persamaan kesebidangan. Kemudian solusi ini akan diselesaikan secara keseluruhan dengan metode Singular Value Decomposition (SVD).
DASAR TEORI Seperti yang telah dijelaskan pada pendahuluan, persamaan dasar yang akan digunakan ialah persamaan kesebidangan (coplanarity equations). Dari persamaan ini akan dibangun sebuah matriks esensial, dimana matriks ini merupakan matriks yang didapat dari proses perkalian cross product antara dua buah parameter matriks rotasi dan skew matrix vektor basis yang menghubungkan kedua foto stereo. Secara detail, proses penentuan nilai parameter matriks essential hingga proses dekomposisinya untuk mendapatkan nilai awal parameter eksterior orientasi akan dijelaskan pada tiap sub-bab di bawah ini. Matriks Esensial (Essential Matrix) Matriks Esensial merupakan sebuah matriks yang didapatkan dari proses penyederhanaan persamaan kesebidangan. Persamaan kesebidangan ini ialah kondisi dimana dua buah stasiun pemotretan suatu pasang foto stereo, titik obyek pada ruang, dan titik obyek pada foto terletak pada satu bidang yang sama (Ghos, 2005; McGlone, 1989). Atau untuk lebih jelasnya, kondisi kesebidangan dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
Gambar 1. Kondisi Kesebidangan pada Foto Stereo Sumber: Fraser (2006)
55
Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
Dari kondisi kesebidangan tersebut dapat diturunkan sebuah persamaan kesebidangan sebagai berikut (Fraser, 2006):
(xi1
y i1
0 − c )R1 − B z B y
Bz 0 − Bx
− B y xi 2 B x R2 y i 2 = 0 0 − c
[1]
Dimana, BX , BY , BZ merupakan vektor basis antara kedua posisi kamera, x, y koordinat dua-dimensi obyek pada sistem foto, c panjang fokus kamera terkalibrasi, R ialah matriks rotasi dengan dimensi 3 x 3, angka 1,2 mengindikasikan identitas foto, dan i merupakan notasi titik obyek ke- i . Dalam persamaan [1] dapat disederhanakan kembali dengan mengalikan parameter R1 , skew matriks dari vector basis (B X , BY , B Z ) dan
R 2 ; sehingga didapat sebuah persamaan baru sebagai berikut:
(x i1
y i1
xi 2 − c )E y i 2 = 0 −c
[2]
atau
x1 Ex 2 = 0 dimana
[3]
E
merupakan matriks esensial yang berhubungan dengan parameter basis dan rotasi foto, x1 dan x 2 merupakan koordinat obyek pada tiap foto. Kesemua persamaan diatas dapat dituliskan dalam sebuah persamaan linier homogenous dengan enam parameter yang tidak diketahui sebagai berikut (Stevanofic, 1973):
Ae = 0
[4]
dimana A adalah matriks koefisien dan e merupakan matriks parameter yang tidak diketahui, sehingga keduanya dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
x1 x2 A=
56
y1 y 2
z1 x2
x1 y 2
y1 y 2
z1 y 2
x1 z 2
y1 z 2
z1 z 2
x1n x2 n y1n y 2 n z1n x2 n x1n y 2 n y1n y 2 n z1n y 2 n x1n z 2 n y1n z 2 n z1n z 2 n
[5]
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
u = e11
e21
e31
e12
e22
e32
e13
e23
e33
T
[6]
Selama sistem persamaan yang dibentuk oleh persamaan [4] merupakan persamaan linier homogenous, maka solusi yang akan dihasilkan tidak unik. Dengan demikian, persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan menggunakan sistem persamaan kuadrat terkecil biasa. Akan tetapi, sistem persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD). Proses penentuan matriks esensial menggunakan SVD, dibagi lagi menjadi beberapa metode sesuai dengan jumlah titik konjugasi yang akan digunakan untuk menghitung. Metode tersebut diantaranya ialah metode 8point, 7-point, 6-point. Dari ketiga metode tersebut, metode 6-point lah yang akan digunakan untuk menghitung nilai parameter matriks essential. Metode ini dipilih karena dapat digunakan dalam kondisi titik konjugasi ≥ 6 titik. Metode 6-point merupakan sebuah metode yang digunakan untuk mengestimasi nilai minimum-norm sub-ruang tiga-dimensi dari sembilandimensi pada seluruh 3× 3 matriks esensial pendekatan. Adapun nilai matriks essential pendekatan menggunakan 6-point dapat ditentukan dengan melakukan dekomposisi matriks koefesien A menggunakan metode SVD. Proses dekomposisi matriks koefisien A (dimensi : m × n ) tersebut akan menghasilkan tiga buah matriks baru diantaranya U berdimensi m × m , S matriks diagonal berdimensi m × n yang berisikan nilai singular dari proses dekomposisi dan V berdimensi n × n . Dengan demikian, setelah proses dekomposisi terdapat tiga nilai parameter matriks essential pendekatan sebagai berikut : v17 v 47 v 77 [7] E X = 2 × V (kolom ke − 7) = 2 × v 27 v 57 v87 v 37
v 67
v 97
v18 EY = 2 × V (kolom ke − 8) = 2 × v 28 v 38
v 48 v 58 v 68
v 78 v88 v 98
[8]
v19 E Z = 2 × V (kolom ke − 9) = 2 × v 29 v 39
v 49 v 59 v 69
v 79 v89 v 99
[9]
Untuk mendapatkan nilai matriks esensial sebenarnya, dapat menggunakan sebuah persamaan sebagai berikut :
57
Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
E = xE X + yEY + zE Z
[10]
Dimana, E X , EY , EZ merupakan matriks esensial pendekatan dan x, y, z merupakan koefisien pengali yang didapat dari sebuah persamaan konstrain sebagai berikut (Horn, 1990):
(
)
EE T − trace EE T I E = 0 2
[11]
Dari persamaan konstraint diatas dapat ditulis dalam sebuah persamaan liniear pangkat tiga sebagai berikut (Triggs, 2000): x 3 + x 2 y + x 2 z + xy 2 + xyz + xz 2 + y 3 + y 2 z + yz 2 + z 3 = 0
[12]
Sehingga, koefisien pengali x, y, z dapat ditentukan dengan mencari nilai akar dari persamaan [12]. Ekstraksi Projection Matrix Menggunakan SVD Dengan mengasumsikan posisi dan rotasi dari kamera pertama
P1 = [I 0]
dimana I ialah matriks identitas. Dengan menggunakan matriks essential E , maka posisi dan rotasi dari kamera kedua dapat ditentukan dengan mengurai element E menggunakan perhitungan Singular Value Decomposition (SVD) (Hartley et al, 2003; Horn, 1990; Sharagai et al, 2005; Elias, 2009).
E = USV T
[13]
Parameter rotasi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan di bawah ini: R 21 = UWV T atau R 22 = UW T V T
[14]
Dengan, 0 −1 0 W=1 0 0 0 0 1
[15]
Parameter rotasi di atas mengindikasikan proses rotasi dari kamera pertama ke kamera kedua pada proses relatif orientasi. Parameter posisi kamera kedua (translasi) didapat sebagai berikut:
58
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
0 T = V 0 1
[16]
Dikarenakan pada persamaan dasar kondisi kesebidangan terdapat skew matrik, hal, menyebabkan terjadinya ambiguitas pada penentuan posisi, sehingga penentuan posisi kamera kedua pada proses relatif orientasi terdapat empat kemungkinan dengan 2 parameter rotasi dan dua parameter dengan konfigurasi sebagai berikut:
P2 = [R 21 | T ] atau P2 = [R 22 | T ] atau
P2 = [R 21 | −T ] atau P2 = [R 22 | −T ]
[17]
Sebagai ilustrasi keempat posisi tersebut dapat dilihat pada gambar dibawah ini (Hartley, 2003):
Gambar 2. Ilustrasi Kemungkinan Posisi Kamera
Posisi pada gambar 2a merupakan konfigurasi aktual dari posisi dan rotasi kamera untuk melakukan proses fotogrametri selanjutnya, karena pada posisi tersebut posisi objek tepat berada di depan sistem sumbu kamera. Secara matematis, penentuan pasangan parameter posisi dan rotasi kamera stereo yang benar dapat dilakukan. Adapun persamaan yang digunakan ialah persamaan segitiga sebangun antara sistem koordinat di foto dengan koordinat obyek dalam ruang tiga-dimensi. Hubungan ini dapat dituliskan dalam sebuah persamaan matematika sebagai berikut (Wolf, 1993, Mikhail, 2001).
59
Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
x' a y' a z' a = = X A − X L Y A − YL Z A − Z L
[18]
Atau dapat dituliskan dalam sistem persamaan baru sebagai berikut :
XA − XL = Y A − YL =
XA − XL x' a z'a
[19]
Y A − YL y' a z'a
ZA − ZL =
[20]
ZA − ZL z'a z'a
[21]
Dimana, X A , Y A , Z A merupakan koordinat obyek, X L , YL , Z L merupakan
x′ , y ′ , z ′
posisi kamera dan a a a merupakan koordinat foto yang telah terotasi menggunakan persamaan sebagai berikut :
x' a = m11 x a + m 21 y a + m31 (− f )
y ' a = m12 x a + m 22 y a + m32 (− f )
[22]
z ' a = m13 x a + m 23 y a + m33 (− f )
λ
(Z
−Z
)
z′
A L a pada persamaan Dengan melakukan subtitusi a bagi di atas didapat sebuah persamaan untuk menentukan nilai koordinat titik A bagi foto pertama sebagai berikut :
X A = λ a1 x' a1 + X L1
Y A = λ a1 y ' a1 +YL1
[23]
Z A = λ a1 z ' a1 + Z L1 Dengan jalan yang sama dapat ditulis persamaan untuk foto kedua sebagai berikut :
X A = λ a 2 x' a 2 + X L 2
Y A = λ a 2 y ' a 2 +YL 2
[24]
Z A = λa2 z' a2 +Z L2 Susunan persamaan [23] sama dengan persamaan [24], yang membedakannya adalah proses penentuan nilai parameter
λ a . Untuk nilai
λ a pada foto kesatu dan kedua secara berurutan dapat ditentukan dengan
cara sebagai berikut :
60
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
λ a1 =
y ' a1 ( X L 2 − X L1 ) − x' a1 (YL 2 − YL1 ) x' a1 y ' a 2 − x' a 2 y ' a1
[25]
λa 2 =
y ' a 2 ( X L 2 − X L1 ) − x' a 2 (YL 2 − YL1 ) x' a 2 y ' a1 − x' a1 y ' a 2
[26]
Apabila nilai parameter skala telah diketahui untuk tiap pasangan parameter posisi dan rotasi, maka pasangan yang dianggap benar ialah pasangan yang memenuhi kondisi (λ a1 > 0 atau λ a 2 > 0 ) untuk keseluruh titik konjugasi yang ada.
HASIL DAN PEMBAHASAN Untuk menguji sejauh mana kebenaran teori yang digunakan, akan dibuktikan dengan sebuah data simulasi foto stereo dengan obyek kubus. Foto kubus tersebut diambil menggunakan kamera Nikon D60 dengan panjang fokus 24.00 mm. Adapun data koordinat foto hasil ekstraksi tersebut disajikan dalam bentuk tabel dibawah ini. Tabel 2. Data Koordinat Foto Stereo Kubus
ID
PHOTO KIRI
PHOTO KANAN
x
y
x
y
1
1.32896
2.07739
-9.04286
5.06588
2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.42254 5.55408 7.36736 3.88850 2.29096 -0.42672 -3.04789 -4.43975 -7.40681
4.03391 4.78684 6.04934 6.79500 7.12231 7.68315 6.68494 6.15843 5.01379
-6.63261 -5.26960 -2.01876 1.67961 3.21933 5.69353 2.18275 0.77089 -1.54013
3.75031 3.04952 1.44362 3.29701 4.10976 5.42843 6.49852 6.92555 7.61858
Dengan menggunakan data diatas didapat nilai parameter matriks essential sebagai berikut: 0.025934 E = - 0.634227 - 0.477124
- 0.645114 - 0.098186 0.751912
- 0.430620 - 0.729847 0.035582
61
Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
Kemudian, matriks esensial tersebut dipecah menjadi parameter posisi dan rotasi dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) seperti yang telah dijelaskan di atas. Terdapat empat kemungkinan parameter rotasi dan posisi kamera yang didapat, dimana hal ini disebabkan oleh adanya matriks skew pada elemen basis dalam persamaan kesebidangan. Adapun empat kemungkinan posisi dan rotasi kamera kedua untuk data simulasi di atas adalah sebagai berikut: - 0.060241 Sol _ 1 = - 0.600337 0.797475
0.551791 0.645731 0.527786
0.994350 Sol _ 2 = 0.085447 - 0.062975
0.083824 - 0.996087 - 0.027995
- 0.060241 Sol _ 3 = - 0.600337 0.797475
0.551791 0.645731 0.527786
0.994350 Sol _ 4 = 0.085447 - 0.062975
0.083824 - 0.996087 - 0.027995
- 0.831804 0.64753 0.471834 0.44061 0.292361 - 0.62175 - 0.065121 0.64753 0.022558 0.44061 - 0.997622 - 0.62175 - 0.831804 - 0.64753 0.471834 - 0.44061 0.292361 0.62175 - 0.065121 - 0.64753 0.022558 - 0.44061 - 0.997622 0.62175
Dari keempat data parameter posisi dan rotasi diatas, yang
(λ
> 0 atau λ
> 0)
a1 a2 memenuhi syarat kondisi adalah solusi ketiga, dimana parameter skala bernilai positif yang menandakan nilai koordinat obyek berada didepan sumbu kamera.
Tabel 3. Data Parameter Skala Dan Koordinat Arah Z Titik Obyek
62
ID
λ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.008441 0.010574 0.012445 0.017226 0.029268 0.031320 0.034530 0.031092 0.029477 0.026581
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
KESIMPULAN Dari seluruh persamaan pada proses penentuan nilai awal parameter relatif orientasi merupakan persamaan linier homogenous, sehingga keseluruhan persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Singular Value Decoposition (SVD). Secara praktis, metode SVD digunakan pada dua tahapan proses yaitu pada saat menentukan nilai parameter matriks esensial dan proses penentuan nilai parameter posisi dan rotasi kamera kedua. Pada proses penentuan matriks esensial terdapat tiga solusi untuk metode 6-point yang selanjutnya dilakukan proses konstrain untuk mendapatkan nilai final dari matriks esensial; sedangkan untuk proses penentuan nilai posisi dan rotasi kamera didapat empat buah solusi yang selanjutnya dilakukan proses interseksi untuk menentukan nilai pasangan posisi dan rotasi yang benar. DAFTAR PUSTAKA Elias, Rimon, 2009. Enhancing Accuracy of Camera Rotation Angles Detected by Inaccurate Sensors and Expressing them in Different Sistems for Wide Baseline Stereo. Computer Science and Engineering Department. Cairo, Egypt. Fraser, C. S, 2006. Network Orientation Models for Image-Based 3D Measurement. International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing & Spasial Information Science. Ghos, S. K, 2005. Fundamental of Computational Photogrammetry. Concept Publishing Co. Page 110-117 Hartley, R.I & Zisserman, A, 2003. Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge Press. Horn, B.K.P, 1990a. Recovering Baseline and Orientation from Essential Matrix. Electrical Engineering and Computer Science. 10 pages. Mcglone, J. C. 1989 Analytic Data-Reduction Schemes in Non-Topographic Photogrammetry, Falls Church, Virginia. American Society for Photogrammetry and Remote Sensing. Mikhail, E. M., Bethel, J. S. & Mcglone, J. C. 2001. Introduction to Modern Photogrammetry. John Wiley & Sons Inc. Brisbane. Sharagai, Z et al, 2009. Automatic Image Sequence Registration Based On A Linear Solution And Scale Invariant Keypoint Matching. International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing & Spasial Information Science. Stevanofic, P, 1973. Relative Orientation – A New Approach. ITC Journal. 1973 – 3 : 417 – 448. Triggs, B, 2000. http://www.inrialpes.fr/movi/people/Triggs. Access September 2010. Wolf, P. R. 1993. Elemen Fotogrametri. Gajah Mada University Press. Yogyakarta
63
