PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION FAIZAL HARDI

PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION

FAIZAL HARDI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of Transition adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 2013 Faizal Hardi NIM G54062175

ABSTRAK FAIZAL HARDI. Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of Transition. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan MUHAMMAD ILYAS. Model select ultimate mortality adalah suatu model tiga state pada bidang aktuaria. Model ini diasumsikan memiliki sifat Markov yang dicirikan oleh adanya matriks peluang transisi. Dalam karya ilmiah ini dibahas salah satu metode penentuan peluang transisi, yaitu metode force of transition. Dalam metode ini, penentuan peluang transisi menggunakan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks segi dengan entri berupa force of transition. Hasil yang diperoleh menunjukkan metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada data penduduk negara Kanada tahun 1982-1988 yang diperoleh dari Individual Ordianary Mortality Table mempunyai nilai peluang bertahan hidup yang hampir mendekati nilai dari Individual Ordianary Mortality Table, dengan mean galat absolut sebesar 0,18%. Kata kunci: rantai Markov, peluang transisi, matriks force of transition

ABSTRACT FAIZAL HARDI. Determination of Transition Probability of Select Ultimate Mortality Model Using the Force of Transition Matrix Method. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and MUHAMMAD ILYAS. Select Ultimate Mortality Model is a three states model in actuary. This model assume that it holds Markov properties which are characterized by transition probability matrix. This paper discusses a method to determine the transition probability, i.e. the force of transition matrix method. In this method, the probability of transition is determined by using eigenvalues and eigenvectors from a square matrix with the force of transitions as entry points. The force of transition matrix method is applied to data of Canadian population in 1982-1988 which is obtained from Individual Ordinary Mortality Table. This gives result that the value of survival probability is close to the value of Individual Ordianary Mortality Table with the absolute deviation mean 0,18%. Keywords: Markov chain, transition probability, force of transition matrix

PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

Judul Skripsi : Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of Transition Nama : Faizal Hardi NIM : G54062175

Disetujui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS Pembimbing I

Muhammad Ilyas, MSi Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Di sini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada orang tua dan kakak satu-satunya atas dukungan yang telah diberikan. Penulis juga ingin menyampaikan terima kasih kepada pembimbing, yaitu Ibu Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S. dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi. yang telah bersabar membantu dalam penulisan skripsi ini hingga selesai. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan untuk para penguji, yaitu Bapak Prof. Dr. Ir I Wayan Mangku, MSc. atas kritik dan saran untuk pengerjaan karya ilmiah ini. Penulis ingin menyampaikan terima kasih secara khusus kepada Laras, Dede, Andrew, Irawan, Antoni, Erri, Yogi, Miftah dan Bayu atas berbagai bantuan dalam pengerjaan skripsi ini. Secara umum penulis juga ingin berterima kasih kepada teman-teman yang rasanya tidak mungkin penulis sebutkan seluruhnya. Terakhir rasa terima kasih penulis ucapkan kepada para dosen dan para pegawai Departemen Matematika, khususnya kepada Bu Ida dan Bu Susi. Penulis berharap karya ilmiah ini dapat memberi manfaat kepada pihak lain dan dapat dikembangkan lebih baik dari ini. Terakhir, penulis pun selalu berharap Allah ta’ala membalas dengan kebaikan bagi kita semua.

Bogor, Oktober 2013 Faizal Hardi

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

I PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan

1

II TINJAUAN PUSTAKA

2

Ruang Contoh, Kejadian Acak dan Peluang

2

Peubah Acak

2

Proses Stokastik dan Rantai Markov

3

Aljabar Linear

5

III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY

6

IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION

7

V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION PADA MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY 9 SIMPULAN DAN SARAN

13

Simpulan

13

Saran

13

DAFTAR PUSTAKA

14

LAMPIRAN

15

RIWAYAT HIDUP

24

DAFTAR TABEL Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang berumur 45-70 tahun berdasarkan IOMT Peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur (45+�)tahun berdasarkan IOMT Perbandingan peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur (45 + t) tahun

9 10 12

DAFTAR GAMBAR Model Select Ultimate Mortality

6

DAFTAR LAMPIRAN Pembuktian Lema 2.1 Pembuktian Persamaan (3) Pencarian vektor eigen pada MSUM Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + 𝑡) tahun

15 15 21 23

I PENDAHULUAN Latar Belakang Beberapa masalah dalam kehidupan dapat ditampilkan dalam proses multi state. Suatu waktu individu dapat berada pada suatu state, misalkan sehat, sakit, atau meninggal. Keadaan individu di suatu state atau perpindahan dari satu state ke state lainnya mungkin berdampak pada berbagai hal, misalnya berdampak pada keuangan individu tersebut. Model select ultimate mortality ialah suatu model pada bidang aktuaria yang terdiri dari tiga state, yaitu state select, state ultimate dan state dead. Model ini diasumsikan memiliki sifat Markov, yaitu peluang state yang akan datang jika diketahui peluang state saat ini dan state lampau, maka hanya bergantung kepada peluang state saat ini. Sifat Markov dicirikan oleh adanya matriks peluang transisi. Force of transition adalah laju peluang perubahan sesaat dari satu state ke state lainnya. Dari force of transition ini bisa diketahui peluang transisi perpindahan antar state, misalnya peluang meninggal ataupun peluang bertahan hidup seseorang. Penghitungan peluang transisi dengan force of transition ini bisa dilakukan dengan berbagai metode, misalnya menggunakan persamaan Kolmogorov maju ataupun Kolmogorov mundur yang dipaparkan oleh Keyfitz dan Rogers (1982), tetapi metode ini rumit, karena melibatkan pengintegralan yang sukar untuk dilakukan secara analitik. Karya ilmiah ini membahas metode alternatif untuk menentukan peluang transisi dengan metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada model select ultimate mortality. Penggunaan metode matriks force of transition bertujuan untuk menghindari perhitungan yang melibatkan pengintegralan, sehingga lebih mudah untuk diselesaikan secara analitik. Pada metode matriks force of transition, penentuan peluang transisi diganti dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks segi dengan entri berupa force of transition. Dari peluang transisi, peluang bertahan hidup dengan metode matriks force of transiton dihitung. Lalu hasil perhitungan tersebut dibandingkan dengan peluang hidup yang didapat dari Individual Ordinary Mortality Table, dengan tujuan memeriksa seberapa akurat metode matriks force of transiton tersebut. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari Jones (1994) yang berjudul “Actuarial Calculations Using a Markov Model”.

Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1 Menjelaskan metode untuk mencari peluang transisi dengan menggunakan metode matriks force of transition. 2 Mengaplikasikan metode matriks force of transition pada model select ultimate mortality.

2 3 Membandingkan nilai peluang bertahan hidup yang diperoleh dari Individual Ordinary Mortality Table dengan nilai yang diperoleh menggunakan metode matriks force of transition.

II TINJAUAN PUSTAKA Untuk memahami masalah-masalah pada karya ilmiah ini diperlukan pengetian beberapa konsep berikut

Ruang Contoh, Kejadian Acak, dan Peluang Definisi 2.1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak. (Hogg et al. 2005) Definisi 2.2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian 𝐴 adalah himpunan bagian dari Ω. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.3 (Medan-σ) Koleksi Ƒ dari himpunan bagian Ω disebut medan-σ jika memenuhi syarat: 1. ∅ ∈ Ƒ. 2. Jika 𝐴1 , 𝐴2 , … ∈ Ƒ maka ⋃∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 ∈ Ƒ. 3. Jika 𝐴 ∈ Ƒ, maka 𝐴𝑐 ∈ Ƒ. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada (Ω, Ƒ) merupakan fungsi 𝑃: Ƒ → [0,1] yang memenuhi: 1. 𝑃(∅) = 0, 𝑃(Ω) = 1 2. Bersifat aditif tak hingga yaitu jika 𝐴1 , 𝐴2 , … ∈ Ƒ dengan 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ ∞ 𝑗, maka 𝑃(⋃∞ 𝑛=1 𝐴𝑛 ) = ∑𝑛=1 𝑃(𝐴𝑛 ). Pasangan (Ω, Ƒ, 𝑃) disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 2001)

Peubah Acak Definisi 2.5 (Peubah Acak) Misalkan Ƒ adalah medan-𝜎 dari ruang contoh Ω. Peubah acak 𝑋 merupakan fungsi 𝑋: Ω → 𝔑 di mana {𝜔 ∈ Ω: 𝑋(𝜔 ≤ 𝑥)} ∈ Ƒ untuk setiap 𝑥 ∈ 𝔑. (Grimmet dan Stirzaker 2001)

3 Definisi 2.6 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak 𝑋 dikatakan diskret jika himpunan semua nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan diskret berhingga atau terhitung. (Hoog et al. 2005)

Proses Stokastik dan Rantai Markov Definisi 2.7 (Ruang State) Misal 𝑆 ⊂ 𝔑 merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka 𝑆 disebut ruang state. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.8 (Proses Stokastik) Proses Stokastik 𝑋 = {𝑋𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu koleksi peubah acak, untuk 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑋𝑡 adalah peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. Suatu proses stokastik 𝑋 disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan tercacah. Disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah sebuah interval. (Ross 1996) Definisi 2.9 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Proses stokastik {𝑋𝑛 , 𝑛 = 0,1,2, . . } dengan ruang state {1,2, . . , 𝑁} disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap 𝑛 ∈ {0,1,2, . . , } berlaku 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖, 𝑋𝑛−1 = 𝑖𝑛−1 , … , 𝑋1 = 𝑖1, 𝑋0 = 𝑖0 ). = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖). (Ross 1996) Definisi 2.10 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret Homogen) Rantai Markov dengan waktu diskret 𝑋𝑛 disebut homogen jika 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖) = 𝑃(𝑋1 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖) = 𝑃𝑖𝑗 untuk semua n dan 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁}. (Ross 1996) Definisi 2.11 (Matriks Peluang Transisi) Misal {𝑋𝑛 , 𝑛 = 0,1,2, . } adalah rantai Markov dengan waktu diskret. Nilai dari peluang transisi 𝑃𝑖𝑗 menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state i maka berikutnya akan beralih ke state j. Matriks peluang transisi dapat dituliskan dalam bentuk matriks P, yaitu 𝑝11 … 𝑝𝑁1 ⋱ ⋮ ). 𝐏=( ⋮ 𝑝1𝑁 … 𝑝𝑁𝑁 (Ross 1996) Definisi 2.12 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {𝑋𝑡 , 𝑡 ≥ 0} dengan ruang state diskret disebut suatu rantai Markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap 𝑠, 𝑡 > 0 𝑖, 𝑗, 𝑥 ∈ {1,2, … 𝑁} dan 0 ≤ 𝑡 < 𝑢 berlaku

4 𝑃(𝑋𝑡+𝑠 = 𝑗|𝑋𝑠 = 𝑖, 𝑋𝑢 = 𝑥, 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑠) = 𝑃(𝑋𝑡+𝑠 = 𝑗|𝑋𝑠 = 𝑖). (Ross 1996) Definisi 2.13 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu Homogen) Rantai Markov dengan waktu kontinu {𝑋𝑡 , 𝑡 ≥ 0} disebut homogen jika peluang transisi 𝑃(𝑋𝑠+𝑡 = 𝑗|𝑋𝑠 = 𝑖) adalah bebas terhadap nilai 𝑠 > 0 , sehingga dapat ditulis sebagai 𝑃(𝑋𝑠+𝑡 = 𝑗|𝑋𝑠 = 𝑖) = 𝑃𝑖𝑗 . (Ross 1996) Definisi 2.14 (Force of Transition) Misal {𝑋𝑡 } rantai Markov dengan ruang state {1, 2, 3, … , 𝑁}. Force of transition dari state 𝑖 ke state 𝑗 didefinisikan sebagai berikut 𝜇𝑖𝑗 (𝑡) = lim+ ℎ→0

𝑃𝑖𝑗 (𝑡,𝑡+ℎ)− 𝑃𝑖𝑗 (𝑡,𝑡) ℎ

𝑖, 𝑗 ∈ {1, 2, … , 𝑁}. (Jones 1994)

Teorema 2.1 (Sifat Peluang Transisi) Didefinisikan 𝑃𝑖𝑗 (s, s + t) = 𝑃(𝑋𝑠+𝑡 = 𝑗|𝑋𝑠 = 𝑖), menyatakan peluang transisi suatu individu berada di state 𝑗 pada waktu 𝑠 + 𝑡 dengan diketahui individu tersebut berada di state i pada waktu s. Sifat-sifat dari 𝑃𝑖𝑗 (s, s + t) adalah: a) 0 ≤ 𝑃𝑖𝑗 (𝑠, 𝑠 + 𝑡) ≤ 1 untuk 𝑠, 𝑡 ≥ 0 b) ∑𝑁 𝑗=1 𝑃𝑖𝑗 (𝑠, 𝑠 + 𝑡) = 1 , untuk 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 dan 𝑠, 𝑡 ≥ 0 c) 𝑃𝑖𝑘 (𝑠, 𝑠 + 𝑡 + 𝑢) = ∑𝑁 𝑗=1 𝑃𝑖𝑗 (𝑠, 𝑠 + 𝑡)𝑃𝑗𝑘 (𝑠 + 𝑡, 𝑠 + 𝑡 + 𝑢), untuk 𝑠, 𝑡, 𝑢 ≥ 0 1, 𝑖 = 𝑗 d) lim+ 𝑃𝑖𝑗 (𝑠, 𝑠 + 𝑡) = { untuk 𝑠, 𝑡 ≥ 0. 𝑡→0 0, 𝑖 ≠ 𝑗 Sifat c) juga dikenal dengan nama Persamaan Chapman-Kolmogorov. Jika 𝑷(𝑡) menunjukkan matriks dengan elemen 𝑃𝑖𝑗 , sifat (c) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai 𝑷(𝑠, 𝑠 + 𝑡 + 𝑢) = 𝑷(𝑠, 𝑠 + 𝑡)𝑷(𝑠 + 𝑡, 𝑠 + 𝑡 + 𝑢). (Taylor dan Karlin 1998) Teorema 2.2 (Persamaan Kolmogorov Maju) Pada persamaan Kolmogorov maju, laju peluang transisi di waktu yang akan datang memiliki hubungan sebagai jumlah perkalian peluang transisi dengan rate dari peluang transisi sesaat (force of transition saat waktu mendatang). Dalam hal ini peluang transisi 𝑃𝑖𝑗 (𝑠, 𝑠 + 𝑡) didiferensialkan terhadap waktu mendatang (𝑠 + 𝑡), dan hubungan diferensial ini diberikan sebagai berikut 𝑁

𝜕 𝑃 (𝑠, 𝑠 + 𝑡) = ∑ 𝑃𝑖𝑘 (𝑠, 𝑠 + 𝑡)𝜇𝑘𝑗 (𝑠 + 𝑡). 𝜕𝑡 𝑖𝑗 𝑘=1

(Jones 1994) Lema 2.1 (Sifat Force of transition) ∑𝑁 𝑗=1 𝜇𝑖𝑗 (𝑡) = 0 , untuk 𝑖 = 1,2, … 𝑁 dan 𝑡 ≥ 0. Bukti: Lampiran 1.

5 Aljabar Linear Definisi 2.14 (Ruang Vektor Euclid 𝕹𝒏 ) Ruang Vektor Euclid 𝔑𝑛 adalah himpunan semua vektor yang berorde 𝑛 × 1 dengan elemen-elemennya berupa bilangan real. (Leon 1998) Definisi 2.15 (Bebas Linear) Vektor-vektor 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣𝑛 dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika 𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑣𝑛 = 0 mengakibatkan semua skalar-skalar 𝑐1, 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 bernilai 0. (Leon 1998) Definisi 2.16 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Misalkan A adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛. Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x sehingga 𝑨𝑥 = λ𝑥. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigen λ. (Leon 1998) Definisi 2.17 (Diagonalisasi) Suatu Matriks berorde 𝑛 × 𝑛 dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks Χ taksingular dan suatu matriks diagonal 𝑫 sedemikian sehingga 𝜲−1 𝑨𝑿 = 𝑫. Dikatakan bahwa 𝑿 mendiagonalisasi 𝑨. (Leon 1998) Definisi 2.18 (Deret Taylor) Deret Taylor untuk fungsi 𝑓(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑎 didefinisikan sebagai ∞ 𝑓 (𝑛) (𝑎) 𝑓(𝑥) = ∑ (𝑥 − 𝑎)𝑛 . 𝑛! 𝑛=0

(Stewart 2003) Definisi 2.19 (Eksponensial Matriks Segi) Eksponensial matriks segi (𝑒 𝑨 ) didefinisikan sebagai ∞ 𝑨2 𝑨3 𝑨𝑘 𝑨 𝑒 = 𝑰+𝑨+ + +⋯ = ∑ . 2! 3! 𝑘! Analog dengan deret Taylor dari fungsi skalar 𝑒 𝑥 .

𝑘=0

(Leon 1998) Teorema 2.3 Suatu matriks 𝑨 berukuran 𝑛 × 𝑛 dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika 𝑨 mempunyai 𝑛 vektor eigen yang bebas liniear. (Leon 1998)

6

III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY Pada tugas akhir ini dibahas model aktuaria yang melibatkan tiga state, yaitu model select ultimate mortality (MSUM). State pertama adalah state select, yaitu state penyeleksian kesehatan suatu individu yang memenuhi syarat secara medis agar dapat menjadi tanggungan pihak asuransi dan merupakan state yang pertama kali dikunjungi. State kedua adalah state ultimate, yaitu state di mana individu telah mengikuti asuransi hingga individu tersebut meninggal. Ketiga adalah state dead yaitu state dimana individu dalam keadaan meninggal. Perpindahan state ditunjukkan pada Gambar 1 di bawah ini. 2. Ultimate

1. Select

3. Dead

Gambar 1 Model Select Ultimate Mortality Gambar 1 Model Select Ultimate Mortality Tiga transisi yang mungkin terjadi dalam model tersebut, yakni dari state 1 ke state 2, dari state 1 ke state 3, dan dari state 2 ke state 3. Matriks transisi yang terlibat pada Gambar 1 memiliki bentuk seperti berikut:

= Untuk 𝑧 < 𝑡 , nilai 𝑃21 (𝑧, 𝑡) = 0 pada matriks di atas karena pada model tersebut, state ultimate tidak mungkin pindah ke state select. Nilai 𝑃31 (𝑧, 𝑡) = 𝑃32 (𝑧, 𝑡) = 0, karena suatu individu yang telah mengalami kematian (berada di state 3) tidak mungkin hidup kembali (berada di state 1 atau state 2). Nilai 𝑃33 (𝑧, 𝑡) = 1 , pada kondisi ini individu yang meninggal di suatu waktu, di masa mendatang individu tersebut pasti tetap berada pada state meninggal tersebut. Pada tugas akhir ini dicari peluang transisi dari 𝑃11 (𝑧, 𝑡), 𝑃12 (𝑧, 𝑡), 𝑃13 (𝑧, 𝑡), 𝑃22 (𝑧, 𝑡), 𝑃23 (𝑧, 𝑡) dan peluang bertahan hidup 𝑃11 (𝑧, 𝑡) + 𝑃12 (𝑧, 𝑡) yang memenuhi: 𝟑

∑ 𝑃1𝑗 (𝑧, 𝑡) = 1 𝒋=𝟏 𝟑

∑ 𝑃2𝑗 (𝑧, 𝑡) = 1 𝒋=𝟐

𝑃11 (𝑧, 𝑡), 𝑃12 (𝑧, 𝑡), 𝑃13 (𝑧, 𝑡), 𝑃22 (𝑧, 𝑡), 𝑃23 (𝑧, 𝑡) > 0.

7 Ada beberapa metode untuk menghitung peluang transisi tersebut, salah satunya menggunakan persamaan Kolmogorov maju ataupun Kolmogorov mundur. Akan tetapi, jika persamaan tersebut digunakan, perhitungan peluang transisi akan melibatkan integral yang akan sukar untuk dicari. Oleh karena itu, pada tugas akhir ini dibahas metode matriks force of transition sebagai salah satu metode alternatif untuk mencari peluang transisi.

IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION Jika nilai 𝜇𝑖𝑗 (𝑡) = 𝜇𝑖𝑗 dengan 𝜇𝑖𝑗 adalah konstanta untuk semua nilai 𝑡 ≥ 0, maka force of transition dikatakan bernilai konstan. Rantai Markov yang berhubungan dengan nilai ini adalah rantai Markov homogen. Jika berlaku rantai Markov waktu homogen, maka fungsi 𝑃𝑖𝑗 (𝑠, 𝑠 + 𝑡) bernilai sama untuk semua 𝑠 ≥ 0, sehingga notasi 𝑃𝑖𝑗 (𝑠, 𝑠 + 𝑡) bisa ditulis sebagai 𝑃𝑖𝑗 (𝑡). Misal 𝑷(𝑡) adalah matriks ukuran 𝑘 × 𝑘 dengan elemen-elemen 𝑃𝑖𝑗 (𝑡) sebagai berikut 𝑃11 (𝑡) 𝑃12 (𝑡) ⋯ 𝑃1𝑘 (𝑡) 𝑃 (𝑡) 𝑃22 (𝑡) … 𝑃2𝑘 (𝑡) [ 21 ]. ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑃𝑘1 (𝑡) 𝑃𝑘2 (𝑡) … 𝑃𝑘𝑘 (𝑡) Definisikan 𝑸 adalah matriks berukuran 𝑘 × 𝑘 dengan elemen-elemen 𝜇𝑖𝑗 sebagai berikut 𝜇11 𝜇12 ⋯ 𝜇1𝑘 𝜇 𝜇22 … 𝜇2𝑘 [ 21 ⋮ ⋮ ⋮ ] ⋱ 𝜇𝑘1 𝜇𝑘2 … 𝜇𝑘𝑘 ′ (𝑡) dan 𝑷 adalah matriks berukuran 𝑘 × 𝑘 dengan elemen-elemen 𝑃′ 𝑖𝑗 (𝑡) sebagai berikut 𝑃′11 (𝑡) 𝑃′12 (𝑡) ⋯ 𝑃′1𝑘 (𝑡) 𝑃′ (𝑡) 𝑃′ 22 (𝑡) ⋯ 𝑃′ 2𝑘 (𝑡) [ 21 ] ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑃′ 𝑘1 (𝑡) 𝑃′ 𝑘2 (𝑡) ⋯ 𝑃′ 𝑘𝑘 (𝑡) Persamaan Chapman-Kolmogorov pada Teorema 2.1 dapat ditulis 𝑷(𝑠, 𝑠 + 𝑡 + 𝑢) = 𝑷(𝑠, 𝑠 + 𝑡)𝑷(𝑠 + 𝑡, 𝑠 + 𝑡 + 𝑢). (1) Rantai Markov yang digunakan adalah rantai Markov homogen, oleh karena itu persamaan (1) berubah menjadi 𝑷(𝑡 + 𝑢) = 𝑷(𝑡)𝑷(𝑢). Berdasarkan persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks, maka dapat ditulis 𝑷′ (𝑡) = 𝑷(𝑡)𝑸. (2) Dengan nilai awal 𝑷(0) = 𝑰, persamaan (2) mempunyai solusi 𝑷(𝑡) = 𝑒 𝑸𝑡 . (3) Bukti: Lampiran 2.

8 Dari persamaan (3), berdasarkan Definisi 2.21 diperoleh solusi berupa matriks eksponensial (𝑸𝑡)2

(𝑸𝑡)3

𝑷(𝑡) = 𝐼 + 𝑸𝑡 + 2! + 3! … (4) Metode pencarian matriks peluang transisi yang dibahas dalam karya ilmiah ini membutuhkan nilai-nilai eigen yang berbeda pada matriks Q. Hal ini bertujuan agar matriks Q dapat didiagonalkan. Jika Q mempunyai nilai-nilai eigen berbeda 𝑑1 , 𝑑2 , . . , 𝑑𝑘 maka matriks Q bisa dibentuk sebagai 𝑸 = 𝑨𝑫𝑨−𝟏 dimana 𝑫 = diag(𝑑1 , 𝑑2 , . . 𝑑𝑘 ) dan kolom ke i dari A adalah vektor eigen yang berhubungan dengan nilai eigen 𝑑𝑖 . Sehingga dari persamaan (4) bisa diperoleh 𝑸2 𝑡 2 𝑸3 𝑡 3 𝑷(𝑡) = 𝑰 + 𝑸𝑡 + + +⋯ 2! 3! (𝑨𝑫𝑨−𝟏 )2 𝑡 2 (𝑨𝑫𝑨−1 )3 𝑡 3 −1 𝑷(𝑡) = 𝑰 + 𝑨𝑫𝑨 𝑡 + + +⋯ 2! 3! −1 −𝟏 2 −1 −1 𝑨𝑫𝑨 𝑨𝑫𝑨 𝑡 𝑨𝑫𝑨 𝑨𝑫𝑨 𝑨𝑫𝑨−1 𝑡 3 = 𝑰 + 𝑨𝑫𝑨−1 𝑡 + + +⋯ 2! 3! 2 −1 2 3 −1 3 𝑨𝐷 𝑨 𝑡 𝑨𝐷 𝑨 𝑡 = 𝑰 + 𝑨𝑫𝑨−1 𝑡 + + +⋯ 2! 3! 2 −1 2 3 −1 3 𝑫 𝑨 𝑡 𝑫 𝑨 𝑡 + +. . . ] = 𝑨 [𝑨−1 + 𝑫𝑨−1 𝑡 + 2! 3! 𝑫2 𝑡 2

𝑫𝟑 𝑡 3

= 𝑨 [𝑰 + 𝑫𝑡 + 2! + 3! + ⋯ ] 𝑨−1 . 𝑑1 0 ⋯ 0 0 𝑑2 … 0 Diketahui 𝑫 = [ ], maka ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 𝑑𝑘 𝑑1 0 ⋯ 0 𝑑1 0 ⋯ 0 0 𝑑2 … 0 0 𝑑2 … 0 𝑫2 = 𝑫 × 𝑫 = [ ][ ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 𝑑𝑘 0 0 … 𝑑𝑘 𝑑1 2 0 ⋯ 0 2 … 0 . = 0 𝑑2 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 2 [ 0 0 … 𝑑𝑘 ] Secara umum untuk 𝑫3 , 𝑫4 dan seterusnya, maka diperoleh bentuk 𝑑1 𝑛 0 ⋯ 0 𝑛 … 0 . 𝑫𝑛 = 0 𝑑2 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑛 [ 0 0 … 𝑑𝑘 ] Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke (5), maka diperoleh: 1 + 𝑑1 𝑡 +

𝑑1 2 𝑡 2 2!

0

𝑷(𝑡) = 𝑨 [

⋮ 0

+

𝑑1 3 𝑡 3 3!

+. .

0 1 + 𝑑2 𝑡 +

𝑑2

2 2 𝑡

2!

⋮ 0

(5)

(6)

⋯ 0 +

𝑑2

3 3 𝑡

3!

+

… 0 ⋮

⋱ … 1 + 𝑑𝑘 𝑡 +

𝑑𝑘 2 𝑡 2 2!

𝑨−1 +

𝑑𝑘 3 𝑡 3 3!

+]

9 𝑒 𝑑1 𝑡 0 ⋯ 0 𝑑2 𝑡 0 𝑒 … 0 ] 𝑨−1 𝑷(𝑡) = 𝑨 [ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑑 … 𝑒 𝑘𝑡 0 0 𝑫𝑡 −1 𝑷(𝑡) = 𝑨𝒆 𝑨 . (7) Elemen-elemen matriks 𝑷(𝑡) pada persamaan (7) yaitu 𝑃𝑖𝑗 (𝑡) = ∑𝑘𝑛=1 𝑎𝑖𝑛 𝑒 𝑑𝑛 𝑡 𝑐𝑛𝑗 , (8) dengan 𝑘 adalah banyak state, 𝑎𝑖𝑗 adalah entri (i,j) dari matriks A dan 𝑐𝑖𝑗 adalah entri (i,j) dari matriks 𝑨−1 . Dengan demikian, permasalahan mencari fungsi peluang transisi diganti dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks force of transition.

V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION PADA MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY Aplikasi dan contoh numerik dalam mencari peluang transisi dan peluang bertahan hidup pada model select ultimate mortality (MSUM) dengan metode matriks force of transition dibahas lebih lanjut dalam bab ini. Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data dari penduduk negara Kanada tahun 1982-1988 yang didapat dari Individual Ordinary Mortality Table (IOMT), yaitu tabel mortalitas yang disusun oleh Commitee on Expected Experience of the Canadian Institute of Actuaries. Sampel yang digunakan adalah data force of transition pada populasi penduduk pria berumur antara 45-70 tahun dan data peluang bertahan hidup untuk populasi yang sama untuk umur 46-71 tahun. Data force of transition dan data peluang bertahan hidup dapat dilihat pada tabel di bawah ini. Tabel 1 Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang berumur 45-70 tahun berdasarkan IOMT (𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

Umur x

𝜇12

𝜇13

𝜇23

Umur x

𝜇12

𝜇13

𝜇23

45

0.164

0.00097

0.00225

57

0.164

0.00282

0.00840

46

0.164

0.00107

0.00251

58

0.165

0.00304

0.00933

47

0.163

0.00117

0.00280

59

0.165

0.00329

0.01036

48

0.163

0.00128

0.00313

60

0.167

0.00352

0.01150

49

0.163

0.00140

0.00350

61

0.167

0.00380

0.01274

50

0.163

0.00154

0.00391

62

0.167

0.00410

0.01411

51

0.163

0.00168

0.00437

63

0.167

0.00442

0.01560

52

0.164

0.00183

0.00488

64

0.168

0.00472

0.01725

53

0.164

0.00201

0.00544

65

0.169

0.00503

0.01905

54

0.164

0.00218

0.00608

66

0.169

0.00540

0.02102

55

0.164

0.00238

0.00677

67

0.170

0.00574

0.02318

56

0.164

0.00259

0.00755

68

0.171

0.00609

0.02553

10

Umur x 69

(𝑥)

𝜇12

(𝑥)

(𝑥)

𝜇13

𝜇23

(𝑥)

(𝑥)

𝜇13

Umur x

𝜇12

70

0.174

0.173 0.00638 0.02811

(𝑥)

𝜇23

0.00674 0.03093

Tabel 2 Peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + t) tahun berdasarkan IOMT t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Peluang 0,99897 0,997522 0,995766 0,993675 0,99122 0,988366 0,985055 0,981223 0,976817 0.9717767 0,966014 0,959455 0,952019

t 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Peluang 0,943603 0,934111 0,923434 0,911743 0,89897 0,885053 0,869919 0,853504 0,835751 0,816604 0,796017 0,773952 0,750377

Matriks force of transition 𝑸(𝑥) untuk umur 𝑥 tertentu yang diperoleh dari model Gambar 1 pada halaman 6 yakni (𝑥) (𝑥) (𝑥) (𝑥) (𝑥) (𝑥) 𝜇11 𝜇12 𝜇13 𝜇11 𝜇12 𝜇13 (𝑥) (𝑥) (𝑥) (𝑥) (𝑥) 𝑸(𝑥) = [𝜇21 𝜇22 𝜇23 ] = [ 0 𝜇 𝜇 ]. 22

23

(𝑥) (𝑥) (𝑥) 0 0 0 𝜇31 𝜇32 𝜇33 (𝑥) Nilai 𝜇21 = 0 karena tidak ada perpindahan dari state 2 ke state 1. Sedangkan state (𝑥) (𝑥) (𝑥) 3 adalah state absorbsi sehingga menyebabkan nilai 𝜇31 = 𝜇32 = 𝜇33 = 0. Berdasarkan Lema 2.1, maka matriks force of transition 𝑸(𝑥) di atas dapat diubah menjadi (𝑥) (𝑥) (𝑥) (𝑥) −(𝜇12 + 𝜇13 ) 𝜇12 𝜇13 (𝑥) (𝑥) 𝑸(𝑥) = [ 0 −𝜇 𝜇 ]. 23

23

0 0 0 Matriks peluang transisi untuk interval waktu tertentu di mana force of transition bernilai konstan dalam tiap tahun dapat dihitung dengan mencari matriks peluang transisi untuk tiap tahun yang menggunakan persamaan (7). Namun sebelum peluang transisi dicari, diperlukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks force of transition 𝑸(𝑥) . Cara mencari nilai eigen dan vektor eigen yang berhubungan dengan Tabel 1 adalah

11 |𝑸(𝑥) − λ𝑰| = 0 (𝑥)

|

(𝑥)

(𝑥)

−(𝜇12 + 𝜇13 ) − λ

(𝑥)

𝜇12

𝜇13

(𝑥) (𝑥) | = 0. 0 −𝜇23 − λ 𝜇23 0 0 −λ Persamaan karakteristiknya adalah (𝑥) (𝑥) (𝑥) −(𝜇12 + 𝜇13 + λ)λ(𝜇23 + λ) = 0 (𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

λ (𝜇23 + λ)(𝜇12 + 𝜇13 + λ) = 0. Nilai-nilai eigen dari persamaan di atas ialah (𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

𝜆1 = 0, 𝜆2 = −𝜇23 , 𝜆3 = −(𝜇12 + 𝜇13 ). Sehingga didapat matriks sebagai berikut 0 0 0 (𝑥) 0 ] 𝑫 = [0 −𝜇23 (𝑥) (𝑥) 0 0 −(𝜇12 + 𝜇13 ) 𝑒 0(𝑡) 0 0 (𝑥) 𝑫𝑡 −𝜇 (𝑡) 𝒆 =[ 0 ]. 𝑒 23 0 (𝑥) (𝑥) 0 0 𝑒 −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡) Perhitungan vektor eigen pada Lampiran 3, didapat matriks 𝑨(𝑥) (𝑥) 𝜇12 1 1 (𝑥) (𝑥) (𝑥) (𝑥) 𝜇 + 𝜇 − 𝜇 𝑨 = . 12 13 23 1 1 0 [1 0 0] Sehingga matriks peluang transisi dapat dicari dengan 𝑷(𝑥) (𝑡) = 𝑨(𝑥) 𝒆𝑫𝑡 [𝑨(𝑥) ]−1 0(𝑡) 0 0 1 𝐻 1 𝑒 0 0 1 (𝑥) (𝑡) −𝜇 ] [0 1 −1] = [1 1 0 ] [ 0 𝑒 23 0 (𝑥) (𝑥) 1 0 0 0 0 𝑒 −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡) 1 𝑅 𝑇 𝐾 = [0 0

𝐿 𝑒

(𝑥)

−𝜇23 (𝑡)

0

𝑀 (𝑥) 1 − 𝑒 −𝜇23 (𝑡) ], 1

dengan keterangan: (𝑥) 𝜇12 𝐻 = (𝑥) (𝑥) (𝑥) 𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23 (𝑥) 𝜇12 𝑅 = − ( (𝑥) ) (𝑥) (𝑥) 𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23 (𝑥) 𝜇12 𝑇 = (𝑥) −1 (𝑥) (𝑥) 𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23 (𝑥)

(𝑥)

𝐾 = 𝑒 −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡)

(9)

12 (𝑥)

𝐿=

𝜇12 (𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23

𝑀 = 1−𝑒

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝑒 −𝜇23 (𝑡) − 𝑒 −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡) ) (𝑥)

(𝑥)

−(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡)

(𝑥)

−

𝜇12 (𝑥)

(𝑥)

(𝑒 −𝜇23 (𝑡) − 𝑒 (𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

−(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡)

𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23

).

Dari matriks pada persamann (9) maka didapat (𝑥)

(𝑥)

𝑃11 (𝑡) = 𝐾 = 𝑒 −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡) 𝑃12 (𝑡) = 𝐿 =

(𝑥)

(𝑥) −𝜇23 (𝑡) (𝑥) (𝑥) (𝑥) 𝜇12 +𝜇13 −𝜇23 (𝑥) (𝑥) −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡)

𝜇12

(𝑒

𝑃13 (𝑡) = 𝑀 = 1 − 𝑒

−

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

− 𝑒 −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡) ) (𝑥)

(𝑥)

𝜇12

(𝑥) (𝑥) (𝑥) 𝜇12 +𝜇13 −𝜇23

(𝑥)

(𝑥)

(𝑒 −𝜇23 (𝑡) − 𝑒 −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡) )

𝑃22 (𝑡) = 𝑒 −𝜇23 (𝑡) (𝑥) 𝑃23 (𝑡) = 1 − 𝑒 −𝜇23 (𝑡) . Sehingga didapat peluang bertahan hidup dari suatu individu yaitu (𝑥)

(𝑥)

𝜇12

(𝑥)

𝑃11 (𝑡) + 𝑃12 (𝑡) = 𝑒 −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡) +

(𝑥) 𝜇12

+

(𝑥) 𝜇13

(𝑥)

−

(𝑥) 𝜇23

(𝑥)

(𝑥)

(𝑒 −𝜇23 (𝑡) − 𝑒 −(𝜇12 +𝜇13 )(𝑡) ).

Berdasarkan persamaan (1), untuk force of transition umur 𝑥 yang diberikan pada Tabel 1 maka dapat dicari matriks peluang transisi untuk mencari peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + 𝑡) tahun, 𝑡 ∈ [1,26] dengan interval satu tahun yaitu 𝑷(45,45 + 𝑡) = 𝑷(45,46)𝑷(46,47) … 𝑷(44 + 𝑡, 45 + 𝑡) = 𝑷(45) (1)𝑷(46) (1) … 𝑷(44+𝑡) (1). Perhitungan peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + 𝑡) tahun dihitung dengan metode matriks force of transition, hasil perhitungan tersebut dibandingkan dengan Individual Ordinary Mortality Table (IOMT). Hasil perbandingan dapat dilihat pada tabel di bawah ini Tabel 3 Perbandingan peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + t) tahun t

IOMT

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,99897 0,997522 0,995766 0,993675 0,99122 0,988366 0,985055 0,981223 0,976817 0,971777 0,966014 0,959455

Metode Matriks Force of Transtiton 0,998931 0,997551 0,995841 0,993768 0,991296 0,988386 0,984998 0,981089 0,97661 0,971502 0,965721 0,959197

% Galat Absolut 0,00388 0,002967 0,007542 0,009389 0,007667 0,002034 0,00577 0,01368 0,02124 0,02827 0,03034 0,02684

13

t 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Metode Matriks Force of Transtiton 0,952019 0,951878 0,943603 0,94371 0,934111 0,934621 0,923434 0,924541 0,911743 0,91341 0,89897 0,901153 0,885053 0,887712 0,869919 0,873009 0,853504 0,856986 0,835751 0,839581 0,816604 0,820738 0,796017 0,800418 0,773952 0,778575 0,750377 0,755181 Mean IOMT

% Galat Absolut 0,01481 0,011287 0,054608 0,119922 0,182848 0,242856 0,300377 0,35524 0,408012 0,45833 0,506269 0,552802 0,597337 0,640225 0,18

Berdasarkan pengamatan pada Tabel 3, peluang bertahan hidup seorang individu pria berumur 45 tahun setidaknya sampai umur 46 tahun berdasarkan IOMT adalah 0,99897 dan berdasarkan metode matriks force of transition adalah 0,998931 dengan galat sebesar 0,00388%. Demikian seterusnya sehingga didapat mean pada galat absolut sebesar 0,18%. Dengan demikian, perhitungan peluang transisi dapat dilakukan dengan metode matriks force of transition. .

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. 1. Peluang transisi dan peluang bertahan hidup dapat dicari dengan menggunakan metode matriks force of transition. 2. Peluang bertahan hidup individu pria yang dicari dengan metode matriks force of transition hampir mendekati nilai peluang bertahan hidup dari Individual Ordinary Mortality Table dengan mean galat absolut sebesar 0,18%. Saran Saran yang dapat diberikan yakni mencari peluang transisi dan peluang bertahan hidup dari model Markov yang melibatkan lebih dari tiga state, misalnya pada HIV-AIDS Progression Model.

14

DAFTAR PUSTAKA Canadian Institute of Actuaries. 1992. 1982-1988 Individual Ordinary Mortality Table. Transactions of Society of Actuaries 1991-92 Reports. 701-711. Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Process. Third Ed. Oxford (GB): Clarendon Press. Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Sixth Ed. New Jersey (US): Prentice Hall. Jones BL. 1994. Actuarial Calculation Using a Markov Model. Transactions of Society of Actuaries. 46:227-250. Leon SJ. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardini WB, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Linear Algebra with Applications. Ross SM. 1996. Stochastic Process. Second Ed. New York (US). Wiley. Stewart J. 2003. Kalkulus. Jilid 2. Ed 4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Calculus. Taylor HM, Karlin S. 1998. An Introduction to Stochastic Modelling. California(US): Academic Press.

15 Lampiran 1 Pembuktian Lema 2.1 Akan dibuktikan ∑𝑁 𝑗=1 𝜇𝑖𝑗 (𝑡) = 0 , untuk 𝑖 = 1,2, … 𝑁 dan 𝑡 ≥ 0. Bukti: ∑𝑁 𝑗=1 𝜇𝑖𝑗 (𝑡) = 𝜇𝑖1 (𝑡) + 𝜇𝑖2 (𝑡) + 𝜇𝑖𝑖 (𝑡) + ⋯ + 𝜇𝑖𝑁 (𝑡) 𝑃𝑖1 (𝑡, 𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑖1 (𝑡, 𝑡) 𝑃𝑖2 (𝑡, 𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑖2 (𝑡, 𝑡) + lim +… ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ

= lim

𝑃𝑖𝑖 (𝑡, 𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑖𝑖 (𝑡, 𝑡) 𝑃𝑖𝑁 (𝑡, 𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑖𝑁 (𝑡, 𝑡) + ⋯ + lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ

+ lim

𝑃𝑖1 (𝑡, 𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑖1 (𝑡, 𝑡) + 𝑃𝑖2 (𝑡, 𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑖2 (𝑡, 𝑡) + ⋯ ℎ→0 ℎ

= lim +

𝑃𝑖𝑖 (𝑡, 𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑖𝑖 (𝑡, 𝑡) + ⋯ + 𝑃𝑖𝑁 (𝑡, 𝑡 + ℎ) − 𝑃𝑖𝑁 (𝑡, 𝑡) ℎ

𝑃𝑖1 (𝑡, 𝑡 + ℎ) + 𝑃𝑖2 (𝑡, 𝑡 + ℎ) + ⋯ + 𝑃𝑖𝑖 (𝑡, 𝑡 + ℎ) + ⋯ + 𝑃𝑖𝑁 (𝑡, 𝑡 + ℎ) ℎ→0 ℎ

= lim

𝑃𝑖1 (𝑡, 𝑡) + 𝑃𝑖2 (𝑡, 𝑡) + ⋯ + 𝑃𝑖𝑖 (𝑡, 𝑡) + ⋯ + 𝑃𝑖𝑁 (𝑡, 𝑡) . ℎ→0 ℎ

−lim

Berdasarkan sifat (d) pada Teorema 2.1, maka persaman terakhir di atas menjadi ∑𝑁 𝑗=1 𝜇𝑖𝑗(𝑡) = lim

1−(0+0+⋯+1+⋯+0) ℎ

ℎ→0

= 0. Terbukti ∎

Lampiran 2 Pembuktian Persamaan (3)  Diketahui persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks 𝑷′ (𝑡) = 𝑷(𝑡)𝑸 dengan nilai awal 𝑷(0) = 𝑰. Akan dibuktikan solusi dari persamaan tersebut adalah 𝑷(𝑡) = 𝑒 𝑸𝑡 . 𝑃11 (𝑡) Misal 𝑷(𝑡) = [𝑃21 (𝑡) 𝑃31 (𝑡)

𝑃12 (𝑡) 𝑃13 (𝑡) 𝑎 𝑃22 (𝑡) 𝑃23 (𝑡)] , 𝑸 = [𝑑 𝑔 𝑃32 (𝑡) 𝑃33 (𝑡)

𝑷′ (𝑡) = 𝑷(𝑡)𝑸 𝑃11 (𝑡) = [𝑃21 (𝑡) 𝑃31 (𝑡)

𝑃12 (𝑡) 𝑃13 (𝑡) 𝑎 𝑃22 (𝑡) 𝑃23 (𝑡)] [𝑑 𝑃32 (𝑡) 𝑃33 (𝑡) 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑓] 𝑖

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑓 ]. 𝑖

16 𝑃11 (𝑡)𝑎 + 𝑃12 (𝑡)𝑑 + 𝑃13 (𝑡)𝑔 = [𝑃21 (𝑡)𝑎 + 𝑃22 (𝑡)𝑑 + 𝑃23 (𝑡)𝑔 𝑃31 (𝑡)𝑎 + 𝑃32 (𝑡)𝑑 + 𝑃33 (𝑡)𝑔 𝑗 = [𝑚 𝑝

𝑘 𝑛 𝑞

𝑃11 (𝑡)𝑏 + 𝑃12 (𝑡)𝑒 + 𝑃13 (𝑡)ℎ 𝑃21 (𝑡)𝑏 + 𝑃22 (𝑡)𝑒 + 𝑃23 (𝑡)ℎ 𝑃31 (𝑡)𝑏 + 𝑃32 (𝑡)𝑒 + 𝑃33 (𝑡)ℎ

𝑃11 (𝑡)𝑐 + 𝑃12 (𝑡)𝑓 + 𝑃13 (𝑡)𝑖 𝑃21 (𝑡)𝑐 + 𝑃22 (𝑡)𝑓 + 𝑃23 (𝑡)𝑖 ] 𝑃31 (𝑡)𝑐 + 𝑃32 (𝑡)𝑓 + 𝑃33 (𝑡)𝑖

𝑙 𝑜]. 𝑟

Dari matriks di atas diperoleh 𝑃′11 (𝑡) = 𝑃11 (𝑡)𝑎 + 𝑃12 (𝑡)𝑑 + 𝑃13 (𝑡)𝑔 = 𝑗 𝑃′12 (𝑡) = 𝑃11 (𝑡)𝑏 + 𝑃12 (𝑡)𝑒 + 𝑃13 (𝑡)ℎ = 𝑘 𝑃′13 (𝑡) = 𝑃11 (𝑡)𝑐 + 𝑃12 (𝑡)𝑓 + 𝑃13 (𝑡)𝑖 = 𝑙 𝑃′ 21 (𝑡) = 𝑃21 (𝑡)𝑎 + 𝑃22 (𝑡)𝑑 + 𝑃23 (𝑡)𝑔 = 𝑚 𝑃′ 22 (𝑡) = 𝑃21 (𝑡)𝑏 + 𝑃22 (𝑡)𝑒 + 𝑃23 (𝑡)ℎ = 𝑛 𝑃′ 23 (𝑡) = 𝑃21 (𝑡)𝑐 + 𝑃22 (𝑡)𝑓 + 𝑃23 (𝑡)𝑖 = 𝑜 𝑃′ 31 (𝑡) = 𝑃31 (𝑡)𝑎 + 𝑃32 (𝑡)𝑑 + 𝑃33 (𝑡)𝑔 = 𝑝 𝑃′ 32 (𝑡) = 𝑃31 (𝑡)𝑏 + 𝑃32 (𝑡)𝑒 + 𝑃33 (𝑡)ℎ = 𝑞 𝑃′ 33 (𝑡) = 𝑃31 (𝑡)𝑐 + 𝑃32 (𝑡)𝑓 + 𝑃33 (𝑡)𝑖 = 𝑟. Turunan kedua dari 𝑷(𝑡) 𝑃′′11 (𝑡) = 𝑃′11 (𝑡)𝑎 + 𝑃′12 (𝑡)𝑑 + 𝑃′13 (𝑡)𝑔 = 𝑗𝑎 + 𝑘𝑑 + 𝑙𝑔 𝑃′′12 (𝑡) = 𝑃′11 (𝑡)𝑏 + 𝑃′12 (𝑡)𝑒 + 𝑃′13 (𝑡)ℎ = 𝑗𝑏 + 𝑘𝑒 + 𝑙ℎ 𝑃′′13 (𝑡) = 𝑃′11 (𝑡)𝑐 + 𝑃′12 (𝑡)𝑓 + 𝑃′13 (𝑡)𝑖 = 𝑗𝑐 + 𝑘𝑓 + 𝑙𝑖 𝑃′′ 21 (𝑡) = 𝑃′ 21 (𝑡)𝑎 + 𝑃′ 22 (𝑡)𝑑 + 𝑃′ 23 (𝑡)𝑔 = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑑 + 𝑜𝑔 𝑃′′ 22 (𝑡) = 𝑃′ 21 (𝑡)𝑏 + 𝑃′ 22 (𝑡)𝑒 + 𝑃′ 23 (𝑡)ℎ = 𝑚𝑏 + 𝑛𝑒 + 𝑜ℎ 𝑃′′ 23 (𝑡) = 𝑃′ 21 (𝑡)𝑐 + 𝑃′ 22 (𝑡)𝑓 + 𝑃′ 23 (𝑡)𝑖 = 𝑚𝑐 + 𝑛𝑓 + 𝑜𝑖 𝑃′′ 31 (𝑡) = 𝑃′ 31 (𝑡)𝑎 + 𝑃′ 32 (𝑡)𝑑 + 𝑃′ 33 (𝑡)𝑔

17 = 𝑝𝑎 + 𝑞𝑑 + 𝑟𝑔 𝑃′′ 32 (𝑡) = 𝑃′ 31 (𝑡)𝑏 + 𝑃′ 32 (𝑡)𝑒 + 𝑃′ 33 (𝑡)ℎ = 𝑝𝑏 + 𝑞𝑒 + 𝑟ℎ 𝑃′′ 33 (𝑡) = 𝑃′ 31 (𝑡)𝑐 + 𝑃′ 32 (𝑡)𝑓 + 𝑃′ 33 (𝑡)𝑖 = 𝑝𝑐 + 𝑞𝑓 + 𝑟𝑖. 𝑃′′ 11 (𝑡) 𝑃′′12 (𝑡) 𝑷′′ (𝑡) = [𝑃′′ 21 (𝑡) 𝑃′′ 22 (𝑡) 𝑃′′ 31 (𝑡) 𝑃′′ 32 (𝑡) 𝑗𝑎 + 𝑘𝑑 + 𝑙𝑔 𝑚𝑎 + 𝑛𝑑 + 𝑜𝑔 =[ 𝑝𝑎 + 𝑞𝑑 + 𝑟𝑔 𝑗 = [𝑚 𝑝

𝑘 𝑛 𝑞

𝑙 𝑎 𝑜 ] [𝑑 𝑟 𝑔

𝑃′′13 (𝑡) 𝑃′′ 23 (𝑡)] 𝑃′′ 33 (𝑡)

𝑗𝑏 + 𝑘𝑒 + 𝑙ℎ 𝑚𝑏 + 𝑛𝑒 + 𝑜ℎ 𝑝𝑏 + 𝑞𝑒 + 𝑟ℎ 𝑏 𝑒 ℎ

𝑗𝑐 + 𝑘𝑓 + 𝑙𝑖 𝑚𝑐 + 𝑛𝑓 + 𝑜𝑖 ] 𝑝𝑐 + 𝑞𝑓 + 𝑟𝑖

𝑐 𝑓] 𝑖

= 𝑷′ (𝑡)𝑸 = 𝑷(𝑡)𝑸𝑸 = 𝑷(𝑡)𝑸2 . Dengan cara yang sama diperoleh 𝑷3×3 (𝑛) (𝑡) = 𝑷(𝑛−1) (𝑡)𝑄 = 𝑷(𝑡)𝑸𝑛 . Berdasarkan nilai awal 𝑷(0) = 𝑰, diperoleh 𝑷3×3 (𝑛) (0) = 𝑷(0)𝑸𝑛 = 𝑸𝑛 . Bentuk deret Taylor untuk 𝑷(𝑡) di 𝑡 = 0 adalah 𝑷(𝑡) = 𝑷(0) + 𝑷′ (0)𝑡 + 𝑷′′ (0)𝑡 2 + 𝑷′′′ (0)𝑡 3 + ⋯ = 𝑰 + 𝑸𝑡 +

𝑸2 𝑡 2 𝑸3 𝑡 3 + +⋯ 3! 2!

= 𝑒 𝑸𝑡 . Terbukti ∎

 Diketahui 𝑷(𝑡) = 𝑒 𝑸𝑡 dengan 𝑒 𝑸𝑡 = 𝑰 + 𝑸𝑡 + Akan dibuktikan 𝑷′ (𝑡) = 𝑷(𝑡)𝑸.

𝑸2 𝑡 2 2!

+

𝑸3 𝑡 3 3!

+⋯

18 𝑃11 (𝑡) 𝑃 Misal 𝑷(𝑡) = [ 21 (𝑡) 𝑃31 (𝑡) 𝑎 𝑸 = 𝑸𝑸 = [𝑑 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

2

𝑃12 (𝑡) 𝑃13 (𝑡) 𝑎 𝑃22 (𝑡) 𝑃23 (𝑡)] , 𝑄 = [𝑑 𝑔 𝑃32 (𝑡) 𝑃33 (𝑡) 𝑐 𝑎 𝑓 ] [𝑑 𝑖 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑎2 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑔 = [𝑑𝑎 + 𝑒𝑑 + 𝑓𝑔 𝑔𝑎 + ℎ𝑑 + 𝑖𝑔 𝑗 𝑸 = 𝑸𝑸𝑸 = 𝑸 𝑸 = [𝑚 𝑝 3

2

𝑐 𝑓]. 𝑖

𝑐 𝑓] 𝑖

𝑎𝑏 + 𝑏𝑒 + 𝑐ℎ 𝑑𝑏 + 𝑒 2 + 𝑓ℎ 𝑔𝑏 + ℎ𝑒 + 𝑖ℎ 𝑘 𝑛 𝑞

𝑏 𝑒 ℎ

𝑙 𝑎 𝑜 ] [𝑑 𝑟 𝑔

𝑗𝑎 + 𝑘𝑑 + 𝑙𝑔 = [𝑚𝑎 + 𝑛𝑑 + 𝑜𝑔 𝑝𝑎 + 𝑞𝑑 + 𝑟𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑎𝑐 + 𝑏𝑓 + 𝑐𝑖 𝑗 𝑚 ] = [ 𝑑𝑐 + 𝑒𝑓 + 𝑓𝑖 𝑝 𝑔𝑐 + ℎ𝑓 + 𝑖 2

𝑘 𝑛 𝑞

𝑙 𝑜]. 𝑟

𝑐 𝑓] 𝑖 𝑗𝑏 + 𝑘𝑒 + 𝑙ℎ 𝑚𝑏 + 𝑛𝑒 + 𝑜ℎ 𝑝𝑏 + 𝑞𝑒 + 𝑟ℎ

𝑗𝑐 + 𝑘𝑓 + 𝑙𝑖 𝑚𝑐 + 𝑛𝑓 + 𝑜𝑖 ]. 𝑝𝑐 + 𝑞𝑓 + 𝑟𝑖

𝑷′ (𝑡) = 𝑷(𝑡)𝑸 = 𝑒 𝑸𝑡 = 𝑰 + 𝑸𝑡 +

𝑸2 𝑡 2 𝑸3 𝑡 3 + +⋯ 3! 2!

𝑃11 (𝑡) 𝑃12 (𝑡) 𝑃13 (𝑡) 𝑎 1 0 0 [𝑃21 (𝑡) 𝑃22 (𝑡) 𝑃23 (𝑡)] = [0 1 0] + [𝑑 𝑔 𝑃31 (𝑡) 𝑃32 (𝑡) 𝑃33 (𝑡) 0 0 1 𝑗𝑎 + 𝑘𝑑 + 𝑙𝑔 𝑚𝑎 + 𝑛𝑑 + 𝑜𝑔 +[ 𝑝𝑎 + 𝑞𝑑 + 𝑟𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑗 𝑓 ] 𝑡 + [𝑚 𝑝 𝑖

𝑗𝑏 + 𝑘𝑒 + 𝑙ℎ 𝑚𝑏 + 𝑛𝑒 + 𝑜ℎ 𝑝𝑏 + 𝑞𝑒 + 𝑟ℎ

𝑘 𝑛 𝑞

𝑙 𝑡2 𝑜] 𝑟 2!

𝑗𝑐 + 𝑘𝑓 + 𝑙𝑖 3 𝑡 𝑚𝑐 + 𝑛𝑓 + 𝑜𝑖 ] 3! 𝑝𝑐 + 𝑞𝑓 + 𝑟𝑖

+⋯

Dari persamaan matriks di atas didapat entri dari 𝑷(𝑡) sebagai berikut 𝑃11 (𝑡) = 1 + 𝑎𝑡 + 𝑗 𝑃12 (𝑡) = 𝑏𝑡 + 𝑘 𝑃13 (𝑡) = 𝑐𝑡 + 𝑙

𝑡2 𝑡3 + ( 𝑗𝑎 + 𝑘𝑑 + lg) + ⋯ 2! 3!

𝑡2 𝑡3 + (𝑗𝑏 + 𝑘𝑒 + 𝑙ℎ) + ⋯ 2! 3!

𝑡2 𝑡3 + (𝑗𝑐 + 𝑘𝑓 + 𝑙𝑖) + ⋯ 2! 3!

𝑃21 (𝑡) = 𝑑𝑡 + 𝑚

𝑡2 𝑡3 + (𝑚𝑎 + 𝑛𝑑 + 𝑜𝑔) + ⋯ 2! 3!

19 𝑃22 (𝑡) = 1 + 𝑒𝑡 + 𝑛

𝑡2 𝑡3 + (𝑚𝑏 + 𝑛𝑒 + 𝑜ℎ) + ⋯ 2! 3!

𝑃23 (𝑡) = 𝑓𝑡 + 𝑜

𝑡2 𝑡3 (𝑚𝑐 + + 𝑛𝑓 + 𝑜𝑖) + ⋯ 2! 3!

𝑃31 (𝑡) = 𝑔𝑡 + 𝑝

𝑡2 𝑡3 + (𝑝𝑎 + 𝑞𝑑 + 𝑟𝑔) + ⋯ 2! 3!

𝑃32 (𝑡) = ℎ𝑡 + 𝑞

𝑡2 𝑡3 + (𝑝𝑏 + 𝑞𝑒 + 𝑟ℎ) + ⋯ 2! 3!

𝑡2 𝑡3 𝑃33 (𝑡) = 1 + 𝑖𝑡 + 𝑟 + (𝑝𝑐 + 𝑞𝑓 + 𝑟𝑖) + ⋯ 2! 3! Turunan pertama dari entri 𝑷(𝑡) 𝑃′11 (𝑡) = 𝑎 + 2𝑗

𝑡2 𝑡 + 3( 𝑗𝑎 + 𝑘𝑑 + lg) + ⋯ 3! 2!

= 𝑎 + 𝑗𝑡 + ( 𝑗𝑎 + 𝑘𝑑 + lg)

𝑡2 +⋯ 2!

𝑡2 𝑡 𝑃 12 (𝑡) = 𝑏 + 2𝑘 + 3(𝑗𝑏 + 𝑘𝑒 + 𝑙ℎ) + ⋯ 3! 2! ′

= 𝑏 + 𝑘𝑡 + (𝑗𝑏 + 𝑘𝑒 + 𝑙ℎ) 𝑃′13 (𝑡) = 𝑐 + 2𝑙

𝑡2 +⋯ 2!

𝑡 𝑡2 + 3(𝑗𝑐 + 𝑘𝑓 + 𝑙𝑖) + ⋯ 2! 3!

𝑡2 = 𝑐 + 𝑙𝑡 + (𝑗𝑐 + 𝑘𝑓 + 𝑙𝑖) + ⋯ 2! 𝑃′ 21 (𝑡) = 𝑑 + 2𝑚

𝑡 𝑡2 + 3(𝑚𝑎 + 𝑛𝑑 + 𝑜𝑔) + ⋯ 2! 3!

= 𝑑 + 2𝑚 + (𝑚𝑎 + 𝑛𝑑 + 𝑜𝑔)

𝑡2 +⋯ 2!

𝑡 𝑡2 𝑃 22 (𝑡) = 𝑒 + 2𝑛 + 3(𝑚𝑏 + 𝑛𝑒 + 𝑜ℎ) + ⋯ 2! 3! ′

= 𝑒 + 𝑛 + (𝑚𝑏 + 𝑛𝑒 + 𝑜ℎ) 𝑃′ 23 (𝑡) = 𝑓 + 2𝑜

𝑡2 +⋯ 2!

𝑡 𝑡2 + 3(𝑚𝑐 + 𝑛𝑓 + 𝑜𝑖) + ⋯ 2! 3!

20 = 𝑓 + 𝑜 + (𝑚𝑐 + 𝑛𝑓 + 𝑜𝑖) ′

𝑃 31 (𝑡) = 𝑔 + 2𝑝

𝑡2 +⋯ 2!

𝑡 𝑡2 + 3(𝑝𝑎 + 𝑞𝑑 + 𝑟𝑔) + ⋯ 2! 3!

= 𝑔 + 𝑝𝑡 + (𝑝𝑎 + 𝑞𝑑 + 𝑟𝑔)

𝑡2 +⋯ 2!

𝑡 𝑡2 𝑃 32 (𝑡) = ℎ + 2𝑔 + 3(𝑝𝑏 + 𝑞𝑒 + 𝑟ℎ) + ⋯ 2! 3! ′

= ℎ + 𝑔 + (𝑝𝑏 + 𝑞𝑒 + 𝑟ℎ) 𝑃′ 33 (𝑡) = 𝑖 + 2𝑟

𝑡2 +⋯ 2!

𝑡 𝑡2 + 3(𝑝𝑐 + 𝑞𝑓 + 𝑟𝑖) + ⋯ 2! 3!

= 𝑖 + 𝑟𝑡 + (𝑝𝑐 + 𝑞𝑓 + 𝑟𝑖)

𝑡2 +⋯ 2!

Turunan pertama dari entri 𝑷(𝑡) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut 𝑃′11 (𝑡) [𝑃′ 21 (𝑡) 𝑃′ 31 (𝑡)

𝑃′12 (𝑡) 𝑃′ 22 (𝑡) 𝑃′ 32 (𝑡)

𝑃′13 (𝑡) 𝑃′ 23 (𝑡)] 𝑃′ 33 (𝑡)

𝑡2 +⋯ 2! 𝑡2 = 𝑑 + 2𝑚 + (𝑚𝑎 + 𝑛𝑑 + 𝑜𝑔) + ⋯ 2! 𝑡2 [ 𝑔 + 𝑝𝑡 + (𝑝𝑎 + 𝑞𝑑 + 𝑟𝑔) 2! + ⋯ 𝑎 + 𝑗𝑡 + ( 𝑗𝑎 + 𝑘𝑑 + lg)

𝑎 = [𝑑 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑗 𝑓 ] + [𝑚 𝑝 𝑖

𝑘 𝑛 𝑞

𝑗𝑎 + 𝑘𝑑 + 𝑙𝑔 + [𝑚𝑎 + 𝑛𝑑 + 𝑜𝑔 𝑝𝑎 + 𝑞𝑑 + 𝑟𝑔 1 = [0 0

0 0 𝑎 1 0] [𝑑 0 1 𝑔

𝑗 + [𝑚 𝑝

𝑘 𝑛 𝑞

𝑏 𝑒 ℎ

𝑙 𝑎 𝑜 ] [𝑑 𝑟 𝑔

𝑡2 +⋯ 2! 2 𝑡 𝑒 + 𝑛 + (𝑚𝑏 + 𝑛𝑒 + 𝑜ℎ) + ⋯ 2! 𝑡2 ℎ + 𝑔 + (𝑝𝑏 + 𝑞𝑒 + 𝑟ℎ) + ⋯ 2!

𝑐 + 𝑙𝑡 + (𝑗𝑐 + 𝑘𝑓 + 𝑙𝑖)

𝑙 𝑜] 𝑡 𝑟 𝑗𝑏 + 𝑘𝑒 + 𝑙ℎ 𝑚𝑏 + 𝑛𝑒 + 𝑜ℎ 𝑝𝑏 + 𝑞𝑒 + 𝑟ℎ

𝑗𝑐 + 𝑘𝑓 + 𝑙𝑖 2 𝑡 𝑚𝑐 + 𝑛𝑓 + 𝑜𝑖 ] + ⋯ 2! 𝑝𝑐 + 𝑞𝑓 + 𝑟𝑖

𝑎2 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑔 𝑐 𝑓 ] + [𝑑𝑎 + 𝑒𝑑 + 𝑓𝑔 𝑖 𝑔𝑎 + ℎ𝑑 + 𝑖𝑔 𝑏 𝑒 ℎ

𝑡2 +⋯ 2! 2 𝑡 𝑓 + 𝑜 + (𝑚𝑐 + 𝑛𝑓 + 𝑜𝑖) + ⋯ 2! 𝑡2 𝑖 + 𝑟𝑡 + (𝑝𝑐 + 𝑞𝑓 + 𝑟𝑖) + ⋯ ] 2!

𝑏 + 𝑘𝑡 + (𝑗𝑏 + 𝑘𝑒 + 𝑙ℎ)

𝑐 𝑡2 𝑓] + ⋯ 𝑖 2!

𝑎𝑏 + 𝑏𝑒 + 𝑐ℎ 𝑑𝑏 + 𝑒 2 + 𝑓ℎ 𝑔𝑏 + ℎ𝑒 + 𝑖ℎ

𝑎𝑐 + 𝑏𝑓 + 𝑐𝑖 𝑑𝑐 + 𝑒𝑓 + 𝑓𝑖 ] 𝑡 𝑔𝑐 + ℎ𝑓 + 𝑖 2

21 0 0 𝑎 1 0] [𝑑 0 1 𝑔

1 = [0 0

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑎 𝑓 ] + [𝑑 𝑖 𝑔

𝑎2 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑔 + [𝑑𝑎 + 𝑒𝑑 + 𝑓𝑔 𝑔𝑎 + ℎ𝑑 + 𝑖𝑔 0 0 𝑎 1 0] [𝑑 0 1 𝑔

1 = [0 0 𝑎 [𝑑 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

1 = {[0 0 𝑷

′ (𝑡)

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑎 𝑓 ] [𝑑 𝑖 𝑔

𝑎𝑏 + 𝑏𝑒 + 𝑐ℎ 𝑑𝑏 + 𝑒 2 + 𝑓ℎ 𝑔𝑏 + ℎ𝑒 + 𝑖ℎ

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑎 𝑓 ] + [𝑑 𝑖 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑓] 𝑡 𝑖

𝑎𝑐 + 𝑏𝑓 + 𝑐𝑖 𝑎 𝑑𝑐 + 𝑒𝑓 + 𝑓𝑖 ] [𝑑 𝑔𝑐 + ℎ𝑓 + 𝑖 2 𝑔 𝑐 𝑎 𝑓 ] [𝑑 𝑖 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑎 𝑓 ] 𝑡 + [𝑑 𝑖 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ 𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑡2 𝑓] + ⋯ 𝑖 2! 𝑐 𝑎 𝑓 ] [𝑑 𝑖 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑓] 𝑖

𝑐 𝑡2 𝑓] + ⋯ 𝑖 2! 𝑎 0 0 1 0] + [𝑑 𝑔 0 1

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑎 𝑓 ] 𝑡 + [𝑑 𝑖 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑎 𝑓 ] [𝑑 𝑖 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑡2 𝑎 𝑓 ] + ⋯ } [𝑑 𝑖 2! 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑓] 𝑖

𝑡2 = {𝑰 + 𝑸𝑡 + 𝑸𝑸 … } 𝑸 2! = {𝑰 + 𝑸𝑡 + 𝑸2

𝑡2 …}𝑸 2!

= 𝑒 𝑸𝑡 𝑸 = 𝑷(𝑡)𝑸. Terbukti ∎ Lampiran 3 Pencarian vektor eigen pada MSUM 

𝜆1 = 0 (𝑥)

[ (𝑥)

(𝑥)

−(𝜇12 + 𝜇13 ) [ 0 0

(𝑥)

−(𝜇12 + 𝜇13 ) 0 0 (𝑥)

𝜇12

(𝑥)

−𝜇23 0

(𝑥)

(𝑥)

𝜇12

𝜇13

0

0

(𝑥) −𝜇23

𝑥

0 = [0] 𝑧 0

(𝑥) 𝜇23 ] [𝑦]

(𝑥)

(𝑥) (𝑥) ~ 𝜇13 0 −(𝜇12 + 𝜇13 ) (𝑥) (𝑥) 0 𝜇23 | 0] = 𝐸21(− 𝜇23 ) [ ~ 0 0 0

(𝑥) (𝑥) 𝐸12(−𝜇(𝑥)) −(𝜇12 + 𝜇13 ) 12 [ = ~ 0 ~ 0

Dari bentuk akhir matriks di atas diperoleh

(𝑥) (𝑥) 0 𝜇13 + 𝜇12 0 | 0]. 1 −1 0 0 0

(𝑥)

𝜇12 1 0

(𝑥) 𝜇13 0 −1 | 0] 0 0

22 (𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

𝑦 = 𝑧 dan −(𝜇12 + 𝜇13 )𝑥 + (𝜇13 + 𝜇12 )𝑧 = 0. 1  Untuk 𝜆1 = 0 akan diperoleh vektor eigen [1]. 1 

(𝑥)

𝜆2 = −𝜇23

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

−(𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23 ) [

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

𝜇12

0

0

0

0

[

0

0

0

0

𝜇13

𝑥

(𝑥) 𝜇23 ] [𝑦] (𝑥) 𝑧 𝜇23

0 = [0] 0

~ (𝑥) (𝑥) (𝑥) (𝑥) 𝜇13 0 −(𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23 ) 𝐸 1 (𝑥) 𝜇23 | 0] = 2(𝜇(𝑥)) [ 0 23 (𝑥) 0 0 𝐸 𝜇

(𝑥)

−(𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23 )

(𝑥)

𝜇12

(𝑥)

𝜇12 0 0

32(−1)

23

Dari bentuk akhir matriks di atas diperoleh (𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

𝑧 = 0 , dan −(𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23 )𝑥 + 𝜇12 𝑦 = 0 atau 𝑧 = 0 dan 𝑥 =

(𝑥)

(𝑥)

𝜇12

(𝑥)

(𝑥)

(𝜇12 +𝜇13 −𝜇23 )

𝑦. (𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝜇12 +𝜇13 −𝜇23 )

(𝑥)

 Untuk 𝜆2 = −𝜇23 diperoleh vektor eigen [



(𝑥)

𝜇12

1 0

].

(𝑥)

𝜆3 = −(𝜇12 + 𝜇13 ) (𝑥)

0 [0

(𝑥) −𝜇23

(𝑥)

𝜇12 +

0

(𝑥) 𝜇12

+

(𝑥) 𝜇13

0

(𝑥) −𝜇23

+

0

=𝐸

(𝑥)

𝜇12

(𝑥) 𝜇12

+

(𝑥) 𝜇13

0 ~ ~ 1

( (𝑥) (𝑥) ) 𝜇12 +𝜇13

0

𝜇13

0 = [0 ] 0 0

(𝑥) | 0] 𝜇23 (𝑥) (𝑥) 0 𝜇12 + 𝜇13 (𝑥)

𝜇12

[0 −𝜇 (𝑥) + 𝜇 (𝑥) + 𝜇 (𝑥) 23 12 13 0 0

Dari bentuk terakhir matriks diatas diperoleh 𝑧 = 0 , 𝑦 = 0.

𝑥

(𝑥) ] [𝑦] 𝜇23 (𝑥) (𝑥) 𝑧 𝜇12 + 𝜇13

(𝑥)

0 = [0

𝜇13

(𝑥)

𝜇13 0 (𝑥) 𝜇23 | 0] 1 0

(𝑥)

𝜇13 0 (𝑥) 𝜇23 | 0] 0 0

23  Untuk 𝜆3 =

(𝑥) −(𝜇12

+

(𝑥) 𝜇13 )

1 akan diperoleh vektor eigen [0]. 0

Dari tiga vektor eigen d iatas maka dapat dibentuk matriks (𝑥)

1 𝐴=

𝜇12 (𝑥)

(𝑥)

(𝑥)

(𝜇12 + 𝜇13 − 𝜇23 )

1 [1

1 0

1 . 0 0]

Lampiran 4 Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45+t) tahun clear;clc; it=input('masukkan iterasi jika dilihat dari umur 45 dengan pertambahan umur sebesar 1 dianggap sebagai satu iterasi\n'); P=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; for i=1:it, fprintf('________________\n'); fprintf('Untuk Selang ke %d\n',i); fprintf('________________\n'); m12(i)=input('Masukkan nilai miuw12;'); m13(i)=input('Masukkan nilai miuw13;'); m23(i)=input('Masukkan nilai miuw23;'); a(i)=m12(i)/(m12(i)+m13(i)-m23(i)); A=[1 a(i) 1;1 1 0;1 0 0] B=inv(A) D=[1 0 0;0 exp(-m23(i)) 0;0 0 exp(-(m12(i)+m13(i)))] P=P*A*D*B p13=P(1,3) surv13=1-p13 sprintf('%0.7f', surv13) end

24

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 24 Desember 1987 sebagai anak kedua dari pasangan Hardi Damsir dan (almh) Nurhayati. Tahun 2006 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam pada tahun kedua perkuliahan. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Analisis Numerik Program S1 Matematika pada semester ganjil tahun ajaran 2009/2010. Penulis juga aktif berorganisasi sebagai staf Badan Pengawas Gumatika dan staf Infokom BEM-G FMIPA pada tahun 2008 serta DPM FMIPA dan MPM KM IPB pada 2009.