Jurnal llmiah PoIi Rekayasa Volume 3. Nomor
f,
2007
Oktober
ISSN
: Ig5g-3209
PENENTUAN MATRIKS IMPEDANSI REL JALA-JALA (NETWORN DENGAN METODE LANGSUNG Oleh
:
Abdul Hafid, Efendi Muchtar & Tri Artono Jurusan Teknik Elektro Politeknik Negeri Padang ABSTRACT
The most widely used method to look for bus impedance matrix in network power systems is inverse method (from inverse matrix bus admittance by using Gauss-Jordan and Court factorization methods). This paper discusses an alternative method for look for bus impedance matrix (direct method). A step by step illustration of direct method is given. Observation show that this method performs - well.
Keywords: Bus impedance matrix, direct method 1. Pendahuluan
Kedua metode yang disebutkan di atas memiliki
perbedaan mendasar, yaitu Dalam analisis sistem tenaga listrik, matriks
impedansi
rel (bus) didefinisikan
sebagai
kebalikan dari matriks admitansi rel.
I Zr"r I = [Yr.,l
'1
:
pada metode
yang disebutkan pertama, matriks admitanSi rel
dari suatu jala-jala- terlebih dahulu ditentukan kemudian dilakukan proses invers. Pada metode yang kedua matriks impedansi rel ditentukan secara langsung. Oleh sebab itu
(1.1)
metode kedua sangat cocok diterapkan pada Teknik pembalikan matriks Y,u; dapat dilakukan
dengan berbagai metode yaitu
komputer.
dapat
menggunakan metode Gauss Jordan dan metode faktorisasi Crout. Meskipun dalam
2. Teori
perhitungan analisis sistem tenaga, matriks admitansi rel lebih banyak dipakai akan tetapi
pada kasus tertentu misalnya
dalam
perhitungan hubung singkat maka diperlukan ' 'il r
matriks impeilansi rel. Salah satu cara menentukan matriks impedansi rel tanpa proses inversi matriks admitansi rel adalah dengan perumusan 2rc1 S€c?t? bertahap dari
diagram impedansi. Beberapa metode yang sering digunakan orang untuk menentukan matriks impedansi rel adalah
:
Dengan proses pembalikan
matriks
admitansirel Dengan metode langsung
Gambar 1.1. Diagram reaktansi sistem dengan 2 rel
Jurnal Ilmiah Poli Rekayasa Volume 3, Nomor 1, Oktober 2007
Gambar 1.1 memperlihatkan
ISSN : 1858-3709
dan 1 kolom untuk perluasan seperti pada
diagram satu
garis dan diagram reaktansi suatu sistem
persamaan (1.3)
tenaga listrik dengan dua rel. Ada empat
diperluas adalah
dan Z asli yang telah
tahapan yang dilakukan untuk menentukan matriks impedansi rel, yaitu :
a. Kasus
penambahan
b Z asli =
rel
baru
ke
rel
Z asli
K
L
M
dan
pedoman dengan impedansi z b
Z rel (i, j ) Z [Z rel ] = z b
(1.1)
b asli
b b ( Z asli ( j , n)..Z asli (i, n)) (i, j ) b Z asli (n, n)
untuk i, j = 1, 2, ..n-1
(1.4)
b. Menambahkan z b dari rel j yang baru ke rel i yang sudah ada. Pada kasus ini jika Z asli
Misal Z asli berukuran 2 x 2 maka L dan K
adalah matriks berukuran n x n
masing masing adalah baris dan kolom ketiga dari
Z asli =
z11
z12
..
z1n
z 21
z 22
..
z 2n
.... z n1
.... z n2
... .....
z 22
b , L = [ z 21 z 22 ], dan K = LT, dan M = Z asli
+
zb.
Dimana
zb
adalah
impedansi
rangkaian antara rel j dengan rel pedoman. (1.2)
... z nn
b Z asli berukuran 3 x 3, dan n pada persamaan
(1.4) adalah 3, i =1, 2 dan j =1, 2. Z rel pada persamaan
Maka Z rel menjadi
(1.4) mereduksi
b Z asli menjadi
menjadi Z rel berukuran 2 x2. d. Menghubungkan rel j yang sudah ada
Z rel
=
Z asli
K
L
M
(1.3)
dengan impedansi z b
ke rel k yang sudah
ada. Pada kasus ini Z asli ditambahkan 1 baris dan 1 kolom untuk perluasan seperti
Dimana L dan K masing-masing perluasan baris dan kolom dari Z asli ,
zn2
adalah L = [ z n1
pada persamaan (1.3) dan Z asli yang telah diperluas adalah
z n ,n 1 ], K =LT , dan M = z n ,n z b .
Misal Z asli berukuran 2 x 2 (atau n = 2) maka L dan K masing masing adalah baris dan kolom
b = Z asli
Z asli
K1
L1
M1
ketiga dari Z rel , L = [ z 21 z 22 ], dan K = LT, dan M = z 22 + z b .
dimana K1 = [Z 1m Z 2m …. Z n ,
m-1
], L1 = K1T,
dimana elemen dari K1 adalah c.
Menghubungkan rel j yang sudah ada dengan impedansi z b
ke rel pedoman.
Pada kasus ini Z asli ditambahkan 1 baris
b b Z n ,m Z asli (n, j ) Z asli ( n, k )
(1.5)
2
Jurnal Ilmiah Poli Rekayasa Volume 3, Nomor 1, Oktober 2007
ISSN : 1858-3709
Dimana n = 1,2, … (jumlah kolom atau baris
sekarang adalah impedansi rangkaian antara
dari Z asli ), dan m = n +1. Unsur M1 dihitung
rel 2 dengan rel pedoman. Langkah terakhir
dengan persamaan
adalah menghubungkan rel 2 (rel yang sudah ada) dengan impedansi z b ke rel 1 (rel yang
Zm,m zb Z ( j, j) Z (k, k) 2Z ( j, k) (1.6) b asli
b asli
b asli
Dimana j, dan k masing adalah nomor rel yang saling dihubungkan. Misal Z asli berukuran 4 x 4 maka L1 dan K1 masing masing adalah baris dan kolom 5 dari
sudah ada). Mula –mula dilakukan penambahan rel baru tanpa hubungan ke rel lain dengan impedansi j1,15 ke rel pedoman, diperoleh Z rel - 1 = j1,15. Kemudian penambahan j 0,4 dari rel 1 ke rel 2 baru, maka menurut persamaan (1.3)
b Z asli , elemen K1 dihitung pakai persamaan
Z rei-1 diperluas satu baris dan satu kolom,
(1.5), pada persamaan (1.4) m = 5, dan n = 1,
menjadi
2, 3, dan 4. Jika z b adalah impedansi rangkaian antara rel 1 dengan rel 4 yang dihubungkan maka dalam persamaam (1.6) j =1, dan k = 4, dan didapat Z 55. Z asli yag telah diperluas,
Z rel 12
j1,15 j1,15
j1,15 (j1,15 j0,4)
=
j1,15 j1,15
j1,15 (j1,55)
b , Z asli
untuk kasus n = 4 akan mempunyai dimensi 5 x 5, dan selanjutnya
b direduksi menjadi Z asli
matriks Z rel 4 x 4 dengan persamaan berikut : Selanjutnya penambahan j1,15 dari rel 2 yang b (.Zb ( j, m)..Zasli (i, m)) Zrel (i, j) Z (i, j) asli b (1.7) Zasli(m, m) b asli
sudah
ada
ke
rel
pedoman.
persamaan (1.4) maka Z rel-12
Menurut
perlu diperluas
satu baris dan satu kolom menjadi
Pada persamaan (1.7) nilai m = 5, dan i, j = 1,
b Z rel 120
2, 3, 4
j1,15
j1,15
j1,15
j1,15 j1,55 j1,55 j1,15 j1,55 (j1,55 j1,15)
3. Perhitungan dan analisa
Tinjau sistem tenaga listrik yang diperlihatkan pada gambar 1.1. Untuk mencari Z rel sistem gambar 1.1, mula-mula ditempatkan rel 1 (sebagai rel baru) ke rel pedoman
=
sehingga
j1,15
j1,15
j1,15
j1,15 j1,15
j1,55 j1,55
j1,55 j2,7
Z rel yang ada adalah z b , Z rel = z b , dimana z b adalah impedansi rangkaian antara rel 1 selanjutnya dengan persamaan (1.4)
dengan rel pedoman . Langkah selanjutnya
adalah membangun rel
menjadi
baru (rel 2) dengan impedansi z b ke rel 1 (ke rel
Z rel 120
yang sudah ada). Langkah ketiga adalah menghubungkan rel 2 (rel yang sudah ada) ke rel pedoman dengan impedansi z b , dimana z b
b Z rel 120
=
j0,6602 j0,4898
j0,4898 j0,6602
3
Jurnal Ilmiah Poli Rekayasa Volume 3, Nomor 1, Oktober 2007
Elemen
Z rel 120 (1,1) dicari sebagai berikut :
untuk i =1, j = 1, n =3
ISSN : 1858-3709
dan untuk m =3, I =1, j =1 b Z rel (3,3) j1,25 Z rel 120 (1,1) Z rel 120 ( 2,2) 2 Z rel 120 (1,2)
b Z b (1,3)..Zrel 120 (1,3) Zrel120(1,1) Z (1,1) rel120 b Zrel120 (3,3) j1,15 j1,15 = j1,15 = j0,6602 j 2,7
= j 1,25 + j0,6602 + j0,6620 – (2 . j 0,4898)
b rel120
dan
Z rel 120 (1,2) dicari sebagai berikut : untuk
= j1,5908 jadi
b Z rel =
i= 1, j = 2, dan n =3
b b Zrel b 120(2,3)..Zrel120(1,3) Zrel120(1,2) Zrel ( 1 , 2 ) 120 b Zrel 120(3,3) j1,55 j1,15 = j1,15 = j0,4898. j 2,7
j 0,6602
j0,4898
j0,1704
j 0,4898 j 0,1704
j 0,6602 - j 0,1704
- j0,1704 j1,5908
Selanjutnya
b Z rel direduksi menjadi matriks 2
kali 2 dengan persamaan 1.7, yaitu : untuk elemen
Z rel 120 (2,1) dan Z rel 120 (2,2)
dicari dengan cara yang serupa. Selanjutnya
Z rel
=
impedansi j1,25 dihubungkan dari rel 1 (yang
j 0,6419
j0,5081
j0,5081
j 0,6419
(1.8)
sudah ada) ke rel 2 (yang sudah ada). Berdasarkan persamaan (1.5) dan (1.6) maka
Z rel 120 harus diperluas lagi satu baris dan satu dengan
kolom
elemen
tambahan
Admitansi rel, Yrel untuk sistem gambar 1.1 adalah
sebagai Y rel =
berikut :
- j 4,1696 j3,3000
j3.3000 - j4,1696
(1.9)
b b Z n ,m Z asli ( n,1) Z asli (n, m 1)
dan n =1,2, dan m = 3
dan invers dari Y rel adalah matriks impedansi
dan untuk n =1, diperoleh
rel, dan untuk sistem yang diperlihatkan pada gambar 1.1 Z rel nya adalah
Z (1,3) Z rel 120 (1,1) Z rel 120 (1,2) = j 0,6602 j 0,4898 = j0,1704 b rel
Z rel = [Y rel ] –1 =
untuk n = 2 b Z rel (2,3) Z rel 120 (2,1) Z rel 120 (2,2)
=
j 0,4898 j 0,6602 = -j0,1704
j 0,6419
j0,5081
j0,5081
j 0,6419
Pada hasil diatas,
diperoleh nilai
(1.10)
Z rel yang
sama (ditentukan dengan metode langsung dan dengan metode invers). Perbedaannya, pada metode invers
persamaan (1.9) harus
4
Jurnal Ilmiah Poli Rekayasa Volume 3, Nomor 1, Oktober 2007
ISSN : 1858-3709
ditentukan terlebih dahulu kemudian dilakukan
rel 1 yang sudah ada dengan rel 3 yang
invers dengan bantuan program komputer.
sudah ada
Pada
metode
langsung
metodenya langsung
tidak
demikian,
dapat diterapkan di
Hasil
komputer. Kita tinjau sistem tenaga listrik
diperlihatkan
z_rel_cara_I =
pada gambar 1.2 dimana impedansi dinyatakan dalam persatuan. Ada dua cara untuk mencari
0,6968i
0,6581i
0,6290i
Z rel jika menggunakan metode langsung, yaitu :
0,6581i
0,7548i
0,6774i
a. Cara I : Pertama menempatkan rel 1 ke rel
0,6290i
0,6774i
0,7137i
0,6968i
0,6581i
0,6290i
0,6581i
0,7548i
0,6774i
0,6290i
0,6774i
0,7137i
pedoman, kedua membentuk rel 2 baru, ketiga membentuk rel 3 baru, keempat menghubungkan j0,3 antara rel 1 dengan rel 3, dan yang terakhir menghubungkan rel
z_rel_cara_II =
3 ke rel pedoman
z_rel_yang_dicari_dari_invers_Yrel =
j0,3 1
3
2 j0,2
j0,15
0,6968i
0,6581i
0,6290i
0,6581i
0,7548i
0,6774i
0,6290i
0,6774i
0,7137i
j1,5
j1,2
Dari hasil ( dengan bantuan program komputer ) diperoleh hasil bahwa Z rel yang dicari dengan Rel pedoman
cara I untuk sistem gambar 1.2 sama dengan Z rel yang dicari dengan cara II, dan juga sama
Gambar 1.2. diagram satu garis dan
jika dicari dengan invers Y rel
diagram reaktansi 4. Kesimpulan b. Cara II : Pertama menempatkan rel 1 ke rel pedoman, kedua membentuk rel 2 baru, ketiga membentuk rel 3 baru, keempat menghubungkan rel 3 ke rel pedoman, dan yang terakhir menghubungkan j0,3 antara
a. Impedansi rel suatu jala-jala dapat dicari dengan
proses
invers
dari
matriks
admitansi rel b. Impedansi rel suatu jala-jala juga dapat dicari dengan cara perumusan langsung, dan
metode
ini
sangat
cocok
di
5
Jurnal Ilmiah Poli Rekayasa Volume 3, Nomor 1, Oktober 2007
ISSN : 1858-3709
implementasikan pada komputer dengan pertimbangan jala-jala sistem tenaga listrik seringkali mengalami perubahan seiring dengan perkembangan bebannya.
DAFTAR PUSTAKA
1. M. E. El-Hawary, 1983, Electrical Power Systems : Design and Analysis, Reston Publising Company 2. MathWorks. Inc., 1985, The Student Edition of MATLAB Version 4.0, Prentice Hall, 1995 3. W. D. Stevenson, Jr., 1984,
Analisis
Sistem Tenaga Listrik, Edisi keempat, Erlangga 4. Hafid Abdul., 2007,
Dasar Teknik
Komputasi Untuk Sistem Tenaga Listrik, Diktak Kuliah DIV
6
