MODUL IV ESTIMASI/PENDUGAAN (3)
A. ESTIMASI RAGAM Estimasi ragam digunakan untuk menduga ragam σ2 dari suatu populasi normal berdasarkan ragam s2 contoh acak berukuran n. Ragam contoh ini akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi σ2. Dengan demikian statistik S2 disebut penduga bagi σ2. Selang kepercayaan bagi σ2 dapat diperoleh dengan menggunakan statistik : 2 =
(n 1) s 2
2
Yang disebut Khi Kuadrat, yang sebaran penarikan contohnya dikenal sebagai sebaran Khi-Kuadrat , dengan v = n – 1 derajat bebas. Seperti sebelumnya v sama dengan pembagi dalam rumus s2. Nilai statistik khi-kuadrat dihitung dari suatu contoh acak berdasarkan rumus di atas. Ciri – ciri Khi Kuadrat adalah 1. Nilai Khi Kuadrat tidak pernah negatif 2. Kurva khi kuadrat tidak setangkup terhadap 2 = 0 3. Semakin besar derajat bebasnya maka nilai data akan semakin menyebar Dari rumus di atas jelaslah bahwa 2 tidak pernah negatif, sehingga kurva sebaran khikuadrat ini tidak mungkin setangkup terhadap 2 = 0. Persamaan matematik kurva ini agak rumit, tetapi untunglah kita dapat tidak mencantumkannya di sini. Dengan mudah kita dapat memperoleh sebaran penarikan contoh bagi 2 dengan mengambil secara berulang-ulang contoh acak berukuran n dari suatu populasi normal dan kemudian menghitung nilai 2 untuk setiap contoh tersebut. Dengan demikian kurva 2 dapat dihampiri dengan cara menggambarkan sebuah kurva yang mulus melalui bagian atas histogram bagi nilai-nilai 2 tersebut.
1-α α/2
0
12
2
α/2
2 2
2
Mengacu pada gambar diatas maka P ( 12 2 < 2 < 2 2 ) = 1 – α Sedangkan 2 1-α/2 dan 2
α/2
adalah nilai-nilai sebaran khi-kuadrat dengan n-1 derajat
bebad yang luas daerah di sebalah kanannya masing-masing adalah 1 – α/2 dan α/2. dengan mensubsitusikan 2 , kita memperoleh P ( 12 2 <
(n 1) s 2
2
< 2 2 ) = 1 – α
Dengan membagi setiap suku dalam ketaksamaan tersebut dengan (n-1)s2 dan kemudian membalikkan ketaksamaan tersebut diperoleh : (n 1) S 2
(n 1) S 2
< σ2 <
2
12
2
2
Selang kepercayaan (1 – α)100% bagi σ dapat diperoleh dengan cara mengakarkan kedua ujung selang kepercayaan bagi σ2
Contoh 11: Data berikut ini berupa volume dalam desiliter 10 kaleng buah peach hasil produksi sebuah perusahaan tertentu 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2, dan 46.0. Buat selang kepercayaan 95% bagi ragam volume kaleng buah peach hasil perusahaan tersebut bila diasumsikan volume kaleng tersebut menyebar normal. Jawab. n
n 2
S =
i 1
n x i2 xi i 1 n(n 1)
2
=
(10)(2.72) (1.2) 2 = 0.286 (10)(9)
Untuk mendapatkan selang kepercayaan 95%, maka kita mengambil α = 0.05. Selanjutnya dengan menggunakan Tabel A.6 dengan v = 9 derajat bebas, kita memperoleh 02.025 = 19.023 dan 02.975 = 2.700. Dengan mensubsitusikannya ke dalam rumus (n 1) S 2
2 2
< σ2 <
(n 1) S 2
12
2
(9)(0.286) (9)(0.286) < σ2 < 19.023 2.700 0.135 < σ2 < 0.953
B. ESTIMASI RASIO DUA RAGAM
Apabila terdapat dua populasi yang berbeda, maka dalam populasi tersebut terdapat 2 ragam yang berbeda pula. Nilai dugaan titik bagi rasio dua Ragam populasi 12 / 22 diberikan oleh rasio ragam contohnya masing – masing s12 / s 22 . Jadi statistik s12 / s 22 merupakan penduga bagi 12 / 22 . Bagi 12 dan 22 keduanya merupakan ragam populasi normal, maka kita dapat membuat Selang kepercayaan bagi 12 / 22 dengan menggunakan statistik F=
22 s12 12 s 22
Yang sebaran penarikan contohnya disebut sebaran/distribusi F. Secara teoritik kita dapat mendefinisikan statistik F sebagai rasio dua peubah khi-kuadrat bebas, yang masingmasing dibagi oleh derajt bebasnya. Dengan demikian f adalah sebuah nilai bagi peubah acak F, Maka: F=
12 / v1 22 / v 2
s12 / 12 s 22 / 22
22 s12 12 s 22
Karena 12 adalah suatu nilai yang berasal dari sebaran khi-kuadrat dengan v = n1 – 1 derajat bebas dan 22 adalah suatu nilai yang berasal dari sebaran khi-kuadrat dengan v = n2 -1 derajat bebas, maka f adalah sebuah nilai bagi sebaran F dengan v1 dan v2 derajat bebas. Untuk mendapatkan nilai f, pertama-tama ambil sebuah contoh acak berukuran n sebuah populasi normal yang mempunyai ragam
2 1
dan hitunglah s21 /
2 1.
hitunglah
/
2 2
dari
Selanjutnya
ambil contoh acak berukuran n2 dari populasi kedua yang mempunyai ragam s22
1
2 2
dan
. Rasio kedua besaran tersebut menghasilkan sebuah nilai f. Sebaran
semua kemungkinan nilai f dengan s21 /
2 1
sebagai pembilang dan s21 /
2 2
sebagai
penyebut disebut sebaran F dengan v1 dan v2 derajat bebas. Besarnya derajat bebas pembilang selalu yang disebutkan pertama baru diikuti derajat bebas penyebutnya. Jadi kurva F bergantung tidak hanya pada parameter v1 dan v2 , tetapi juga urutannya. Besarnya derajat bebas pembilang selalu disebutkan pertama baru diikuti derajat bebas penyebutnya.
Bila s21 dan s22 adalah ragam dua contoh acak bebas berukuran n1 dan n2 yang ditarik dari populasi normal dengan ragam ƒ =
2 1
dan
2 2.
maka :
s12 / 12 22 s12 s 22 / 22 12 s 22
merupakan nilai bagi peubah acak F yang mempunyai sebaran F dengan v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 1 derajat bebas Dengan menuliskan fα (v1, v2 ) untuk fα dengan v1 dan v2 derajat bebas maka F1 – α (v1, v2 ) =
1 f (v1, v 2 )
Jadi nilai f dengan 6 dan 10 derajat bebas yang disebelah kanannyaterdapat daerah seluas 0.95 adalah f 0.95 (6,10)
1 1 0.246 f 0.05 (10,6) 4.06
Untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi P [ ƒ 1-α/2 (v1, v2) < F < Sedangkan dalam hal ini [ ƒ
1-α/2
2 1
/
2 2
ƒ α/2 (v1, v2) ] = 1 - α (v1, v2) dan ƒ
α/2
(v1, v2) ] adalah nilai-nilai sebaran F
dengan v1 dan v2 derajat bebas yang masing-masing di sebelah kanannya terdapat daerah seluas 1 – α/2 dan α/2. Dengan mensubsitusikan F kita memperoleh P [ ƒ 1-α/2 (v1, v2) <
22 s12 12 s 22
<
ƒ α/2 (v1, v2) ] = 1 - α
Dengan menggandakan setiap suku dalam ketaksamaan tersebut dengan S22 / S21 dan kemudian membalikkan suku-sukunya, kita memperoleh Selang kepercayaan bagi 12 / 22 . adalah s12 s 22
2 s2 1 12 12 f 2 (v 2, v1 ) f 2 (v1, v 2 ) 2 s 2
Dengan v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 -1 Contoh Suatu tes penempatan untuk matematika diberikan pada 25 siswa laki – laki dan 16 siswa perempuan. Siswa laki – laki mencapai nilai rata – rata 82 dengan simpangan baku 8, sedangkan siswa perempuan mencapai nilai rata – rata 78 dengan simpangan baku 7. Buat selang kepercayaan 98% bagi 12 / 22 dan 1 2 , bila 12 dan 22 masing – masing adalah ragam populasi semua nilai siswa laki – laki dan perempuan yang mungkin mengambil tes tersebut. Asumsikan bahwa populasinya menyebar normal.
Jawab. Diketahui : n1 = 25
n2 = 16
S1 = 8
s2 = 7
Untuk selang kepercayaan 98%, maka α = 0.02 F0.01(24,15) = 3.29 dan F0.01(15,24) = 2.89 1 2 ?
Ditanya : Jawab
: s12 s 22
2 s2 1 12 12 f 2 (v 2, v1 ) f 2 (v1, v 2 ) 2 s 2
64 1 12 64 2.89 49 3.29 22 49
0.397 <
12 22
< 3.775
Dengan mengakarkan kedua ujung selang tersebut kita dapatkan 0.630 <
1 < 1.943 2
Latihan Soal 1. Suatu contoh acak 8 batang rokok merk tertentu mempunyai kadar nikotin rata – rata 3.6 miligram dan simpangan baku 0.9 miligram. Buat selang kepercayaan 99% bagi σ kadar nikotin yang sebenarnya rokok merk tersebut, bila diasumsikan sebaran kadar nikotin itu normal 2. Dari suatu contoh acak 12 mahasiswa penghuni sebuah asrama diperoleh rata – rata pengeluaran mingguan untuk jajansebesar $8.00 dengan simpangan baku $1.75. Buat selang kepercayaan 90% bagi σ pengeluaran mingguan untuk jajan yang dikeluarkan oleh penghuni asrama tersebut, bila diasumsikan pengeluaran tersebut menyebar normal 3. Data berikut berupa masa putar film yang diproduksi dua perusahaan film Masa putar (menit ) Perusahaan I
103
94
110
87
98
Perusahaan II
97
82
123
92
175
88
118
Buatlah selang kepercayaan 90% bagi σ12/ σ22. 4. Dua contoh acak nerukuran n1 = 9 dan n2 =16 yang ditarik dari dua populasi normal , menghasilkan x1 = 64, x2 =59, s1 =6 dan s2 =5. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi σ1 /σ2
