Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455
PENDEKATAN GEOMETRI UNTUK MEMBANGUN KONSEP PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT BERDASARKAN PERSPEKTIF SEJARAH Achmad Dhany Fachrudin Pendidikan Matematika, STKIP PGRI Sidoarjo (
[email protected]) Abstrak Tujuan penelitian ini adalah mengkaji secara teoritis bagaimana pendekatan geometri dapat membantu pemahaman siswa dalam memahami konsep menyelesaikan persamaan kuadrat. Penelitian ini merupakan kajian teoritis untuk menghasilkan suatu pendekatan pembelajaran yang dapat digunakan oleh praktisi pendidikan dalam mengajarkan konsep penyelesaikan persamaan kuadrat. Dari hasil kajian teori yang dilakukan, peneliti berkesimpulan bahwa untuk memahamkan konsep penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna melalui metode sejarah yang dikenal dengan naïve geometry, yang diinterpretasikan sebagai manipulasi bentuk persegipanjang menjadi bentuk persegi. Dimana hal tersebut dapat dilakukan melalui beberapa langkah, yaitu 1) Melakukan manipulasi geometris untuk menyelesaikan masalah, 2) Menggunakan metode naïve geometry untuk menyelesaikan masalah, 3) Mengaitkan masalah geometri dengan aljabar dan 4) menemukan rumus umum menyelesaikan persamaan kuadrat. Kata Kunci: pendekatan geometri, penyelesaian persamaan kuadrat, naïve geometry. Abstract The purpose of this research is to study theoretically how geometry method can help students’ understanding about the concept of solving quadratic equations. This research was a theoretical study to produce an learning approach that can be used by the teachers to teach the concept of quadratic equation. The results of the study, researchers concluded that in order to understand the concept of quadratic equation can be acquired by manipulating and reshaping the rectangle into square through historical method known as naïve geometry. This can be achieved through several activities, namely 1) manipulating geometric form to solve the problem , 2) Using the naïve geometry method to solve the problem, 3) Linking geometric problems with algebra ,4) Finding common formulas solving quadratic equations. Keywords: geometric approach, solving quadratic equation, naïve geometry.
215
Fachrudin, Pendekatan Geometri
Kebanyakan pembelajaran aljabar yang
PENDAHULUAN Aljabar merupakan cabang matematika
berlangsung selama ini hanya menekankan
tesebut
pada penggunaan algoritma atau rumus
ditunjukkan melalui penerapannya secara
saja, terutama pada topik penyelesaian
langsung pada bidang lain seperti sains,
persamaan kuadrat (Zakaria, Ibrahim, &
teknik, dan tentunya pada cabang lain
Maat, 2010). Oleh karena itu, penguasaan
dalam matematika itu sendiri (French,
siswa terhadap konsep yang diajarkan
2002). Pada masa sebelum dikenal sistem
masih
penggunaan simbol yang merupakan salah
merupakan salah satu cabang dalam
satu elemen dalam argumentasi aljabar,
aljabar. Secara umum persamaan kuadrat
argumen
suatu
didefinisikan dalam bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +
permasalahan dinyatakan dalam bentuk
𝑐 = 0 , di mana 𝑎 ≠ 0; 𝑎, 𝑏 disebut
verbal sehingga pencarian solusi masalah
koefisien dan c adalah konstanta. Dalam
tesebut menjadi kurang efektif. Di sisilain,
persamaan ini
aljabar merupakan pengembangan dan
dinyatakan dalam bentuk variabel x. Kita
penyempurnaan dari aritmatika (Wheeler,
dapat mencari dua akar dari setiap
1996). Dikatakan seperti itu karena dalam
persamaan kuadrat yang diberikan, dimana
prakteknya ada beberapa permasalahan
menemukan akar dari persamaan kuadrat
yang melibatkan prosedur aritmatik, tapi
sama
tidak dapat diselesaikan tanpa melibatkan
persamaan kuadrat. Dalam menemukan
aljabar.
akar
yang
sangat
penting.
atau
Untuk
situasi
Hal
dalam
menekankan
betapa
kurang.
halnya
tersebut,
Persamaan
kuadrat
terdapat dua akar yang
dengan
bentuk
menyelesaikan
abstrak
dari
pentingnya pembelajaran aljabar, Tall dan
persamaan kuadrat seringkali membuat
Thomas menyatakan: “there is a stage in
siswa kesulitan dalam memahami konsep
the curriculum when the introduction of
menyelesaikan
algebra may make simple things hard, but
Berkaitan dengan hal tersebut, French
not teaching algebra will soon render it
(2002)
impossible to make hard things simple”
kesalahan dasar yang sering dilakukan
(French,
oleh siswa adalah menganggap bahwa
2002).
penguasaan
Dengan
aljabar
dapat
kata
lain,
persamaan
memberikan
contoh
kuadrat.
umum
(𝑎 + 𝑏)2 adalah sama dengan 𝑎2 + 𝑏2 .
membuat
permasalahan yang rumit menjadi lebih
Beberapa peneliti juga telah melakukan
mudah.
kajian mengenai pembelajaran persamaan
216
Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455
kuadrat (Lian & Yew, 2012; Olteanu, C.,
bermakna
karena
dalam
PMRI,
& Olteanu, L., 2012; Radford, 2002;
permasalahan
atau
konteks
Radford & Guerette, 2000; Zakaria et al,
digunakan sebagai langkah awal untuk
2010). Beberapa hasill dari kajian tersebut
membangun
konsep
menunjukkan masih banyaknya kesalahan
(Gravemeijer,
&
siswa dalam menyelesaikan persamaan
Sembiring, 2010; Van Den Heuvel-
kuadrat yang disebabkan oleh pemahaman
Panhuizen, 2003; Zulkardi, 2002). Salah
sifat dan konsep aljabar yang masih
satu
rendah.
mengisyaratkan
realistik
prinsip
matematika
Doorman,
dalam
1999;
PMRI
untuk
juga
memberi
Dalam menyikapi hal ini, peneliti
kesempatan pada siswa mengalami proses
melihat dua hal utama yang dapat dijadikan
yang sama sebagaimana konsep-konsep
landasan mendukung pemahaman siswa
matematika
terhadap konsep persamaan kuadrat untuk
1994). Senada dengan hal tersebut, dalam
selanjutnya dapat digunakan praktisi dalam
Kurikulum
merancang pembelajaran di kelas. Hal
diamanatkan menggunakan pendekatan
pertama adalah berkenaan dengan aspek
ilmiah,
pembelajaran, bahwa proses belajar hanya
pembelajaran ilmiah adalah berbasis fakta
akan terjadi ketika pengetahuan yang
atau permasalahan realistik (Kemdikbud,
dipelajari
2013).
bermakna
bagi
siswa
(Freudenthal, 1991). Di samping itu, Suatu
ditemukan
2013,
dimana
Sembiring
salah
(Gravemeijer,
pembelajaran
satu
(2010)
kriteria
menyatakan
pengetahuan akan menjadi bermakna bagi
bahwa pembelajaran dengan pendekatan
siswa jika proses pembelajaran dilakukan
PMRI akan memiliki beberapa karakter,
dengan melibatkan suatu situasi atau
yaitu:
konteks
1. Siswa lebih aktif berpikir
(CORD,
1999).
Realistic
Mathematics Education (RME) atau di Indonesia dikenal dengan
2. Konteks dan bahan ajar terkait
Pendidikan
langsung dengan lingkungan sekolah
Matematika Realistik Indonesia (PMRI),
dan siswa
merupakan pendekatan pembelajaran yang
3. Peran
guru
lebih
aktif
dalam
memungkinkan terjadinya kaitan antara
merancang bahan ajar dan kegiatan
konteks dengan pembelajaran sehingga
kelas.
dapat
tercapai
pembelajaran
yang
217
Fachrudin, Pendekatan Geometri
Sedangkan hal kedua adalah aspek sejarah.
Menurut
perspektif
Sejarah matematika memberikan sisi
sejarah,
aktivitas
manusia
dan
tradisi/
konsep penyelesaian persamaan kuadrat
kebudayaan manusia. Pada sisi ini,
dibangun berdasarkan landasan geometri
siswa merasa menjadi bagiannya
(French, 2002; Krantz, 2006; Merzbach &
sehingga menimbulkan antusiasme
Boyer,
dan motivasi tersendiri.
2010).
Al-Khawarizmi
juga
menjelaskan pondasi dan pembuktian
3. Skills (keterampilan)
penyelesaian persamaan kuadrat secara
Yang dimaksud dengan skills di sini
geometris untuk penyelesaian persamaan
bukan hanya keterampilan matematis
kuadrat dalam bukunya yang berjudul
semata, tetapi keterampilan dalam hal:
Hisob al-jabr wa’l muqabalah (Krantz,
keterampilan research dalam menata
2006; Merzbach & Boyer, 2010).
informasi, keterampilan menafsirkan
Terdapat banyak manfaat yang dapat diambil
dari
penggunaan
secara kritis berbagai anggapan dan
sejarah
hipotesis,
keterampilan
matematika dalam pembelajaran. Fauvel
secara
(dalam Sumardyono, 2012) menyatakan
mempresentasikan
terdapat tiga dimensi besar pengaruh
keterampilan
positif sejarah matematika dalam proses
menerima suatu konsep pada level
belajar siswa:
yang berbeda-beda. Keterampilan-
1. Understanding (pemahaman)
koheren,
menulis
keterampilan
keterampilan kerja,
menempatkan
di
atas
Perspektif sejarah dan perspektif
diantisipasi
matematika (struktur modern) saling
konvensional/tradisional.
melengkapi
untuk
memberikan
Secara
gambaran yang jelas dan menyeluruh,
mengatasi
konsep-konsep dan teorema-teorema
jarang
pembelajaran
pengintegrasian
permasalahan
dalam
pembelajaran matematika yang dijelaskan
dalam matematika, serta pemahaman
oleh (Grugnetti, 2000) yaitu:
yang lebih baik tentang bagaimana matematika
eksplisit
dan
Sejarah matematika juga berperan untuk
yaitu pemahaman yang rinci tentang
konsep-konsep
dalam
dan
1.
saling
Dengan menggunakan masalah lama, siswa dapat membandingkan strategi
berhubungan dan bertemu.
mereka dengan yang asli. Ini adalah
2. Enthusiasm (antusiasme)
cara yang menarik untuk memahami 218
Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455
2.
keefektifan proses aljabar yang kita
mendukung
gunakan sekarang (karena pada zaman
menyelesaikan persamaan kuadrat dengan
dahulu
mengintegrasikan
belum
mengenal
simbol-
pemahaman
konsep
aspek
simbol aljabar). Dalam mengamati
matematika
evolusi suatu konsep secara historis,
metode geometri Babylonian atau yang
siswa
bahwa
dikenal dengan Naïve geometry yang
matematika itu sesungguhnya tidak
dikenalkan oleh J. Hǿyrup (1990). Hal ini
tetap dan definitif.
dimaksudkan untuk memudahkan siswa
akan
Sejarah
menemukan
untuk
membangun
dan
konsep-konsep
keterampilan
(history
of
sejarah
mathematics)
dalam memahami ide dari memfaktorkan persamaan kuadrat melalui pendekatan geometris.
matematika.
Dengan
melibatkan
unsur
sejarah diharapkan siswa juga dapat Dengan
mengetahui
pengetahuan
memperluas pengetahuan dalam mencari
dan
koneksi apa yang sedang dipelajarinya
perkembangan konsep matematika,
terhadap
akan
meningkatkan keterampilan dan pola pikir
membantu
keterampilan
3.
penemuan
sejarah
meningkatkan
dan
pola
pikir
lingkungan
terhadap suatu konsep (persamaan kuadrat)
bagaimana suatu konsep tersebut
sebelum
ditemukan dulunya.
memudahkan
Sebuah
analisis
ditemukannya (aljabar).
konsep
yang
Selain
itu
sejarah matematika
juga
dan
penggunaan
epistemologis memungkinkan guru
diaharapkan
untuk memahami mengapa suatu
pengetahuan
konsep tertentu sulit bagi siswa
membantu dalam mengembangkan suatu
(misal,
desain pembelajaran yang lebih bermakna,
konsep
historis
sekitarnya,
fungsi,
konsep
dapat guru
yang
memperluas akan
dapat
pecahan, konsep limit dan lain-lain)
inovatif dan menarik bagi siswa.
dan
Metode Geometris Babilonia: Naïve
dapat
pengembangan
membantu suatu
dalam
pendekatan
Geometry
didaktik.
Secara implisit persamaan kuadrat
Pada penelitian ini, peneliti mencoba
telah dikenal dan dikembangkan pada pada
melakukan kajian literatur terkait dengan
masa Babilonia. Hal tersebut ditunjukkan
bagaimana
dengan penemuan beberapa naskah atau
peran
geometri
dalam
219
Fachrudin, Pendekatan Geometri
prasati
(Gambar 2.5). Hǿyrup (1990)
_online/collection_object_details/collection_imag e_gallery.aspx?partid=1&assetid=324556&objec tid=798589
menyatakan bahwa masyarakat Babilonia pada masa Babilonia kuno (2000 B.C.-
Berikut adalah contoh dari permasalahan
1600 B.C.) telah mengenal dan mampu
Babilonia
memecahkan persamaan kuadrat (walau
waktu
matematikawan itu
berupa
Babilonia metode
(sudah
diterjemahkan), yaitu menemukan panjang
masih terbatas). Metode yang digunakan para
sederhana
sisi dari persegi, yang ditemukan pada
pada
naskah (prasasti) yang tersimpan di British
geometri
Meseum yang dikenal dengan BM 13901.
sederhana dan mereka gunakan untuk
My confrontation inside of the surface I have torn out: 14`30°. 1 the wasitum; You pose. The moiety (half) of 1 you break, 30’ and 30’ you make span; 15’ to 14`30° you append: 14`30°15′ makes 29°30′ equilateral. 30′which you have made span to 29`30° you append; 30 the confrontation.
menyelesaikan permasalahan aljabar yang juga mirip dengan metode yang digunakan oleh al-Khawarizmi yang telah dibahas sebelumnya. Metode ini dikenalkan oleh J. Hǿyrup dengan nama Naïve geometry.
Keterangan: 1 2
14`30° = 870 , 30′ =
1
1
, 15′ = 4 , 14`30°15′ = 870 4 , wāsitum:
sesuatu yang dikeluarkan. Berikut
adalah
interpretasi
secara
geometris dan simbol aljabar permasalahan di atas (Hǿyrup,1990).
Gambar 1. Naskah Babilonian BM 13901 Sumber Gambar: http://www.britishmuseum.org/research/collection
220
Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455
Tabel 1. Interpretasi Permasalahan BM 19301 No.2 Pernyataan My confrontation inside of the surface I have torn out: 𝟏𝟒`𝟑𝟎° (𝟖𝟕𝟎) . 1 the wasitum;
Interpretasi Geometris
Simbol Aljabar 𝑥 2 − 𝑥 = 870
1
𝑥
𝑥 You pose. The moiety of 1 𝟏 you break, 𝟑𝟎’ (𝟐) and
1 1 ∙1 = 2 2 1 2 1 ( ) = 2 4
1 2
𝟏
𝟑𝟎’ (𝟐) you make span;
1 2
1
𝑥− 𝟏
𝟏𝟓’ ( ) to 𝟏𝟒`𝟑𝟎° (𝟖𝟕𝟎) 𝟒 you append: 𝟏𝟒`𝟑𝟎°𝟏𝟓′ 𝟏 (𝟖𝟕𝟎 𝟒) makes 𝟐𝟗°𝟑𝟎′ equilateral
1 2
1 1 1 𝑥 2 − 2 ∙ ∙ 𝑥 + = 870 2 4 4 𝑥−
1 𝑥− 2
1 1 1 = √870 = 29 2 4 2
1 1 = 29 2 2 𝑥 = 30
𝟏
𝟑𝟎′ (𝟐) which you have made span to 𝟐𝟗°𝟑𝟎′ 𝟏 (𝟐𝟗 𝟐) you append; 30 the confrontation.
𝑥−
𝑥
221
Fachrudin, Pendekatan Geometri
Ide dasar dari metode yang digunakan oleh
matematikawan
adalah
contoh
dari
pada
permasalahan serupa yang muncul pada
masalah yang terdapat pada BM 13901
Arithmetica Book I Problem 27 yang ditulis
No.2
dengan
oleh Diophantus (sekitar tahun 250 M)
sempurna
(Radford, 1996): “Find two numbers such
persegi).
that their sum and their product equal the
tersebut
melengkapkan
adalah kuadrat
(menyempurnakan Interpretasi
Babilonia
Berikut
bentuk
secara
geometris
juga
given
numbers”.
(1996)
membuat permasalahan tersebut menjadi
menjelaskan
lebih mudah dipahami. Matematikawan
permasalahan tersebut dapat ditemukan
pada masa itu memang belum mengenal
melalui
simbol aljabar, akan tetapi berdasarkan
geometris. Dimana metode tersebut serupa
interpretasi secara geometris dan aljabar
dengan naïve geometry. Berikut adalah
yang disajikan di atas, dapat dikatakan
solusi dari permasalahan di atas apabila
mereka telah mengenal persamaan kuadrat
bilangan
dan
(diketahui jumlah dua bilangan 20 dan
bagimana
mencari
solusinya,
walaupun penggunaannya masih terbatas
bahwa
Radford
interpretasi
dimaksud
solusi
dan
sudah
dari
manipulasi
diberikan
hasil kalinya 96).
untuk bentuk persamaan kuadrat bentuk tertentu dan solusi bilangan positif saja.
luas daerah yang berlebih
10 3
3
10 2
10
8 96
8
12 Dipindahkan
Gambar 2. Metode Geometris pada pemecahan masalah problem 27 Book 1 Arithmetica
222
Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455
HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan pembelajaran
kuadrat sempurna melalui interpretasi yang
geometris dan metode naïve geometry
merupakan
sehingga siswa dapat memahami konsep
penyelesaian
memfaktorkan persamaan kuadrat. Secara
persamaan kuadrat melalui pendekatan
garis besar pembelajaran dilaksanakan
geometris yang dikaji dari aspek sejarah.
melalui
Konteks geometry digunakan sebagai
memiliki tujuan untuk: memahami konsep
langkah
dasar
dibuat
oleh
pembangunan
peneliti konsep
awal
untuk
siswa
dalam
serangkaian
persamaan
aktifitas
kuadrat
yang
melalui
membangun konsep dan metode geometris
pendekatan geometris, membangun model
Babilonia kuno (metode naïve geometry)
dan memahami bentuk lain dari suatu
digunakan jembatan bagi
persamaan kuadrat, menemukan rumus
siswa untuk
memahami dan menemukan rumus umum
bentuk
menyelesaikan
persamaan kuadrat.
persamaan
kuadrat.
Penanaman konsep dilakukan melalui serangkaian
aktivitas
pembelajaran,
diberikan permasalahan yang mengacu pada permasalahan-permasalahan dalam sejarah matematika, tentunya dengan melakukan sedikit perubahan radaksi kalimat sehingga mudah dipahami oleh siswa. rumus
bukanlah
merupakan penekanan utama dalam desain pembelajaran yang dibuat, akan tetapi bagaimana siswa dapat memahami arti simbol aljabar (persamaan kuadrat) melalui intepretasi geometris, memahami bentuk lain
dari
suatu
persamaan
untuk
menyelesaikan
Tabel 2. Gambaran Umum Pembelajaran Persamaan Kuadrat Melalui Metode Naïve Geometry Aktivitas Konsep atau keterampilan yang dibangun Mengenal naïve Memahami prosedur geometry/ naïve geometry dan Menyelesaikan membangun permasalahan pengetahuan tentang awal yang aljabar geometris diberikan (developing algebraic geometric thinking) Menggunakan Meningkatkan metode naïve pemahaman tentang geometry untuk naïve geometry dan menyelesaikan penggunaannya, masalah. secara tidak langsung memahami ekuivalensi bentuk persamaan kuadrat dan memahami konsep faktorisasi dengan
dimana pada tiap aktivitas tersebut akan
Menemukan
umum
untuk
memudahkan dalam memfaktorkan, dan memfaktorkan melalui ide melengkapkan
223
Fachrudin, Pendekatan Geometri
Aktivitas
Mengkontruksi rumus persamaan kuadrat
Konsep atau keterampilan yang dibangun melengkapkan kuadrat sempurna. Memahami keterkaitan antara naïve geometry dan persamaan kuadrat (linking between geometry and algebra), membangun konsep menyelesaikan persamaan kuadrat.
Siswa diminta untuk menyelesaikan permasalahan berkelompok
yang harus digunakan oleh siswa. Pada hakikatnya, hal ini dimaksudkan agar
bagaimana langkah pembelajaran secara
mereka dapat memahami dan melakukan
terurut berdasarkan kajian teoritis yang untuk
eksplorasi permasalahan yang diberikan.
mengenalkan
Setelah memberi kesempatan pada tiap-
kepada siswa konsep persamaan kuadrat.
tiap kelompok untuk mempresentasikan
Langkah pembelajaran ini kami bagi
dan berdiskusi tentang jawaban beserta
menjadi 4 bagian atau 4 pertemuan yang
metode
dijelaskan sebagai berikut.
apa
Selanjutnya Melakukan untuk
Manipulasi
Geometris
Menyelesaikan
Masalah
yang
mereka
diharapkan
gunakan,
siswa
dapat
menemukan kembali metode manipulasi secara terbimbing melalui aktivitas yang terdapat pada LAS dan diskusi kelas.
(Aktivitas I). Pembelajaran
menggunakan
tidak memberi batasan metode tertentu
Pada bagian ini kami akan menjelaskan
dilakukan
dengan
secara
strategi apapun. Dengan kata lain guru
Langkah Pembelajaran
telah
tersebut
dimulai
Setelah itu, guru dapat memberi informasi
dengan
kepada siswa bahwa metode yang telah
pemberian soal geometri yang terinspirasi
mereka temukan tersebut bernama “naïve
dari permasalahan sejarah (Arithmetica
geometry”
Book I Problem 27 (Radford, 1996)).
yang
digunakan
oleh
matematikawan Babilonia pada sekitar
Berikut adalah permasalahan pertama pada
tahun 1500 SM. Guru juga memberi
LAS.
sedikit informasi sejarah tentang Babilonia
224
Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455
dengan harapan dapat memberi motivasi
merupakan permasalahan sejarah yang
kepada siswa.
terdapat dalam prasasti Babilonia kuno.
kali ini luas area berlebih yang harus
Tentukan ukuran panjang dan lebar sebuah persegi panjang apabila diketahui luasnya adalah 117 satuan luas dan selisih panjang dan lebarnya adalah 4 satuan? Tentukan ukuran panjang dan lebar sebuah persegi panjang apabila diketahui luasnya adalah 60 dan selisih panjang dan lebarnya adalah 7 satuan? (merupakan permasalahan yang muncul pada Prasasti Babilonia YBC 6967 dengan sedikit redaksi yang diubah). Seperti pada aktivitas sebelumnya, siswa
dibuang adalah 12 satuan luas, sebuah
diminta untuk menemukan solusi dari
luasan yang membuat siswa menemui
permasalahan
konflik karena pada dasarnya pada metode
menggunakan metode naïve geometry
naïve geometry luas daerah berlebih yang
secara berkelompok. Permasalahan ini
harus dibuang harus berupa persegi.
bertujuan agar siswa lebih memahami
Seperti sebelumnya, kegiatan dilanjutkan
konsep dari metode naive geometry karena
dengan presentasi dan diskusi kelas.
sedikit
Menggunakan Metode Naïve Geometry
sebelumnya.
untuk
menentukan
Kegiatan
dilanjutkan
menyelesaikan
dan
dengan
mendiskusikan
masalah kedua yang terdapat pada LAS. Berikut adalah permasalahannya. Tentukan panjang dan lebar suatu persegipanjang apabila diketahui diketahui luasnya adalah 52 satuan luas dan kelilingnya adalah 32 satuan? Pada hakikatnya permasalahan kedua ini sama dengan masalah sebelumnya, tetapi
Menyelesaikan
Masalah
(aktivitas II) Pada
terlebih
aktivitas
kedua
ini,
siswa
tersebut
berbeda Kali
dimanipulasi
dengan ini
bentuk
dahulu
dengan
siswa
harus
persegipanjang
untuk
menjadi
masalah
selanjutnya
persegi
untuk
mengerjakan LAS secara berkelompok.
menentukan ukuran panjang atau lebar
permasalahan
yang
pada
terlebih dahulu. Tidak hanya itu, siswa juga
aktivitas
hampir
dengan
diminta untuk berdiskusi dalam kelompok
permasalahan yang sebelumnya, tetapi
dan menuliskan secara terurut langkah-
yang diketahui adalah selisih panjang dan
langkah penyelesaian dua macam masalah
lebar dari persegipanjang. Berikut adalah
yang telah mereka selesaikan. Siswa juga
permasalahan pada aktivitas II yang
diminta untuk berdiskusi lebih lanjut
ini
diberikan sama
225
Fachrudin, Pendekatan Geometri
Tuliskan
tentang kondisi yang menyebabkan solusi
langkah-langkah penyelesaian (pada permasalahan di atas) dalam bentuk simbol aljabar!
dari permasalahan tidak dapat ditemukan. Mengaitkan Masalah Geometri dengan Aljabar
(Persamaan
Kuadrat) Seperti halnya pada aktivitas sebelumnya,
(Aktivitas III)
siswa
Seperti aktivitas sebelumnya, siswa
diberi
kesempatan
untuk
diberi LAS yang berisi permasalahan dan
mempresentasikan dan berdiskusi tentang
bekerja
hasil pekerjaannya.
dalam
kelompok
untuk
menyelesaikannya. Guru meminta siswa
Menemukan
menyelesaikan
Menyelesaikan
permasalahan
tersebut
Rumus
Umum
Persamaan
Kuadrat
(Aktivitas IV)
menggunakan ide yang sama dengan yang telah mereka pelajari sebelumnya dan
Pada aktivitas terakhir ini guru meminta
menuliskan dan mendeskripsikan langkah-
siswa untuk menyelesaikan permasalahan
langkah
yang serupa dengan permasalahan pada
yang mereka
menuliskannya
dalam
gunakan bentuk
dan
aktivitas
simbol
sebelumnya.
Perbedaannya
aljabar. Permasalahan yang diberikan
adalah informasi dari masalah yang
terinspirasi dari masalah yang terdapat
diberikan berupa simbol aljabar. Berikut
pada Prasasti Babilonia BM 13901 No.2
adalah masalah yang diberikan. Sebuah persegi yang sisinya 𝑥 apabila sebagian daerahnya yang berupa persegipanjang yang lebarnya 𝑏 satuan dan panjangnya sama dengan sisi persegi dihilangkan (perhatikan gambar di bawah), maka luasnya menjadi 𝑐 satuan luas. Tentukan a. Bentuk aljabar permasalahan tersebut. b. sebuah rumus (dalam bentuk simbol aljabar) untuk menentukan panjang sisi persegi tersebut! (gunakan metode naïve geometry)
(Hǿyrup, 1990). Berikut adalah masalah yang diberikan.
Sebuah persegi apabila sebagian daerahnya yang berupa persegipanjang yang lebarnya 2 satuan dan panjangnya sama dengan sisi persegi dihilangkan, maka luasnya menjadi 24 satuan luas. Tentukan panjang sisi persegi tersebut! (gunakan metode yang telah kalian pelajari sebelumnya)
2
226
Jurnal Edukasi, Volume 1 No.2, Oktober 2015 ISSN. 2443-0455
𝑏
temukan tersebut
pada permasalahan
lanjutan pada LAS yang telah dibagikan,
𝑥
misal pada soal 𝑥 2 − 7𝑥 = 8 dan meminta mereka untuk membandingkan apabila mereka 𝑥
menggunakan
naïve
geometry.
Siswa bekerja dalam kelompok seperti
Terakhir, siswa diminta untuk mencari
sebelumnya. Guru menganjurkan siswa
rumus penyelesaian persamaan kuadrat
untuk tidak lagi menggunakan alat peraga
apabila persamaan yang diberikan adalah
untuk menyelesaikan permasalahan yang
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
diberikan. Guru dan peneliti tetap berperan
𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 = 𝑐).
sebagai pembimbing yang akan membantu
(yang
sebelumnya
SIMPULAN
dan mengarahkan siswa yang mengalami
Pemahaman siswa terhadap konsep
kesulitan juga.
penyelesaian persamaan kuadrat dapat
Setelah waktu yang digunakan untuk
dibentuk
mengerjakan dirasa cukup, guru memberi
mempresentasikan
hasil
dengan
memberikan
permasalahan geometri sebagai masalah
kesempatan pada salah satu kelompok untuk
metode
kontekstual
kerja
pembelajaran,
mereka dan dilanjutkan dengan diskusi.
di
awal.
Pada
pemahaman
proses siswa
berkembang dari tahap informal, yaitu
Rumus yang diharapkan akan ditemukan
pemahaman pada permasalahan geometri
oleh siswa adalah
dan metode naïve geometry, menuju pada 2
𝑏 𝑏 𝑥 = √𝑐 + ( ) + 2 2
tahap formal yaitu pada bentuk aljabar persamaan kuadrat dan penyelesaiannya
Guru menekankan kembali bahwa
berdasarkan konsep melengkapkan bentuk
bentuk permasalahan aljabar terbut apabila
kuadrat.
diubah dalam bentuk aljabar akan menjadi 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 = 𝑐 dan cara yang mereka
DAFTAR PUSTAKA
gunakan adalah penyelesaian dengan
Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A history of mathematics. John Wiley & Sons.
melengkapkan kuadrat sempurna. Setelah itu, guru meminta tiap kelompok untuk
CORD.(1999). Teaching Mathematics Contextually. Waco:CORD.
mengaplikasikan rumus yang telah mereka
227
Fachrudin, Pendekatan Geometri
French, D. (2002). Teaching and Learning Algebra. London: Continuum.
Radford, L. & Guerette, G. (2000). Second degree equations in the classroom: a Babylonian approach. In Katz, V. (Ed), Using history to teach mathematics: an international perspective (pp. 69-75). USA: The Mathematical Association of America.
Freudenthal. (1991). Revisiting Mathematics Education: China Lectures. Dordrecht, the Netherlands: Kluwer Academic Publisers. Gravemeijer, K. (1994). Developing Realistic Mathematics Education. Utrecht: Technipress, Culemborg.
Sembiring, R. K. (2010). PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA (PMRI): PERKEMBANGAN dan TANTANGANNYA. Journal on Mathematics Education, 1, 11-16.
Gravemeijer, K., & Doorman, M. (1999). Context problems in realistic mathematics education: A calculus course as an example. Educational studies in mathematics, 39(1-3), 111129.
Sumardyono. (2012). “Pemanfaatan Sejarah Matematika di Sekolah”. http://p4tkmatematika.org/2012/08/pe manfaatan-sejarah-matematika-disekolah/ (diakses tanggal 15 Juni 2013).
Grugnetti, L.(2000). The History of Mathematics and its Influence on Pedagogical Problems. In Katz, V. (Ed), Using history to teach mathematics: an international perspective (pp. 29-35). USA: The Mathematical Association of America.
Wheeler, D. (1996). Backwards and forwards: Reflections on different approaches to algebra. In Approaches to Algebra (pp. 317-325). Springer Netherlands.
Hǿyrup, J. (1990a). Algebra and naive geometry. An investigation of some basic aspects of old babylonian mathematical thought. Altorientalische Forschungen, 17, 27-69.
Zakaria, E., & Maat, S. M. (2010). Analysis of Students’ Error in Learning of Quadratic Equations. International Education Studies, 3(3), P105. Zulkardi, Z. (2002). Developing A Learning Environment on Realistic Mathematics Education For Indonesian Student Teachers. Doctoral Thesis of Twente University. Enschede: Twente Univ
Hǿyrup, J. (1990b). Algebra and naive geometry. An investigation of some basic aspects of old babylonian mathematical thought II. Altorientalische Forschungen, 17, 262254. Lian, L. H., & Yew, W. T. (2012). Assessing Algebraic Solving Ability: A Theoretical Framework. International Education Studies, 5(6), p177. Olteanu, C., & Olteanu, L. (2012). Equations, functions, critical aspects and mathematical communication. International Education Studies, 5(5), p69. 228
