Přehled základních vzorců pro Matematiku 2
1
1. Limity funkcí • definice – Vlastní limita v bodě x = a: lim f (x) = A ⇔ x→a
∀ > 0, ∃ δ > 0 tak, že pro ∀x : x ∈ (a − δ, a + δ), platí f (x) ∈ (A − , A + )
– Vlastní limita v bodě x = +∞: lim f (x) = A ⇔ x→+∞
∀ > 0, ∃ c > 0 tak, že pro ∀x : x > c, platí f (x) ∈ (A − , A + )
– Nevlastní limita v bodě x = a: lim f (x) = +∞ ⇔ x→a
∀K, ∃ δ > 0 tak, že pro ∀x : x ∈ (a − δ, a + δ), platí f (x) > K
– Nevlastní limita v bodě x = +∞: lim f (x) = +∞ ⇔ x→+∞
∀K, ∃ c > 0 tak, že pro ∀x : x > c, platí f (x) > K
• vlastnosti – lim f (x) = lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A x→+a
x→−a
x→a
lim f (x) = lim f ( y1 ) x→+∞ y→+0 h in n – lim [f (x)] = lim f (x) x→a x→a q p n – lim f (x) = n lim f (x)
–
x→a
pro f (x) ≥ 0, n ∈ N pro f (x) ≥ 0, n ∈ N
x→a
lim f (x)
– lim αf (x) = αx→a
pro α > 0
x→a
jestliže funkce f, g mají vlastní limity lim f (x) = A a lim g(x) = B, pak platí x→a
x→a
– lim [f (x) ± g(x)] = A ± B x→a
– lim [f (x) · g(x)] = A · B x→a
(x) – lim [ fg(x) ]= x→a
A B
pro B 6= 0
– jesliže, lim |f (x)| = 0, pak lim f (x) = 0 x→a
x→a
věty o limitě sevřené funkce – jestliže, v okolí bodu a platí d(x) ≤ f (x) ≤ h(x) a platí lim d(x) = lim h(x) = A, pak lim f (x) = x→a x→a x→a A • vybrané limity – – – – – – –
lim (1 + xa )x = lim (1 + ax)1/x = ea
x→±∞
x→±0
lim ax = 0, lim ax = +∞
x→+∞
x→−∞
lim ax = +∞, lim ax x→+∞ x→−∞ lim sinx x = 1 x→0 lim sin x = 0 x→+∞ x lim sinxax = a x→0 lim tgax = a x→0 x
– lim
x→0
ex −1 x
=1
– lim
ax −1 x
= ln a
x→0
–
Blanka Šedivá
a
lim xbx x→+∞ e
=0
=0
pro 0 < a < 1 pro a > 1
pro a > 0 pro a ∈ R, b > 0
2. února 2005
Přehled základních vzorců pro Matematiku 2
2
2. Derivace funkcí • Derivace funkce f (x) v bodě x0 je f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x)−f (x0 ) , x−x0
pokud limita na pravé straně rovnice existuje
• pravidla pro derivování – (konst)0 = 0 – (f1 (x) + f2 (x) + . . .)0 = f10 (x) + f20 (x) + . . . – (f1 (x)f2 (x))0 = f10 (x)f2 (x) + f1 (x)f20 (x) f10 (x)f2 (x)−f1 (x)f20 (x) f22 (x) 0 0 (f1 (f2 (x))) = f1 (f2 (x))f20 (x) 0 (x) (ln f (x))0 = ff (x) 0 (g(x)) g(x)·ln(f (x)) 0
0 – ( ff12 (x) (x) ) =
– – –
(f (x))
= e
pro f2 (x) 6= 0 (derivace složené fce) pro f (x) > 0 g(x)
= (f (x))
0
(x) g 0 (x) ln (f (x)) + g(x) ff (x)
pro f (x) > 0
– jestliže x = g(y) je inverzní funkce k funkci y = f (x) a existuje-li v bodě c derivace f 0 (c) 6= 0, pak v bodě d = f (c) existuje g 0 (d) a platí g 0 (d) = f 01(c) • derivace vybraných elementárních funkcí – – – – – – –
(xn )0 = nxn−1 (x−n )0 = −nx−n−1 (xa )0 = axa−1 (ax )0 = ax ln a speciálně (ex )0 = ex 1 (loga x)0 = x ln a speciálně (ln x)0 = x1
– – – –
(sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x (tgx)0 = cos12 x (cotgx)0 = − sin12 x
pro n ∈ N pro n ∈ N, x 6= 0 pro a ∈ R, x > 0 pro a > 0 pro x > 0, a > 0, a 6= 1
pro x 6= (2k + 1) π2 ; k ∈ ZZ pro x 6= kπ; k ∈ ZZ
– (arcsin x)0 =
pro |x| < 1
–
pro |x| < 1
– –
√ 1 1−x2 1 (arccos x)0 = − √1−x 2 1 (arctgx)0 = 1+x 2 1 (arccotgx)0 = − 1+x 2
– (sinh x)0 = cosh x – (cosh x)0 = sinh x – (tghx)0 = cosh1 2 x – (cotghx)0 = − sinh12 x
pro x 6= 0
– (argsinhx)0 = – – –
Blanka Šedivá
√ 1 1+x2 (argcoshx)0 = √x12 −1 1 (argtghx)0 = 1−x 2 1 (argcotghx)0 = 1−x 2
pro x > 1 pro |x| < 1 pro |x| > 1
2. února 2005
Přehled základních vzorců pro Matematiku 2
3
3. použití derivací • vyšetřování průběhu funkcí – – – –
nutná podmínka pro existenci lokálního extrému v bodě x0 : f 0 (x0 ) = 0 jesliže f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) < 0, pak funkce f (x) má v bodě x0 lokální maximum jesliže f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) > 0, pak funkce f (x) má v bodě x0 lokální minimum nutná podmínka pro inflexi v bodě x0 : f 00 (x0 ) = 0
• neurčité výrazy – limita typu 0/0 nebo ∞/∞ (l’Hospitalova pravidla) Jestliže lim f (x) = lim g(x) = 0 a existuje lim f 0 (x)/g 0 (x), pak existuje lim f (x)/g(x) a platí x→a
x→a
x→a
x→a
f 0 (x) 0 x→a g (x) 0
= lim
f 0 (x) 0 x→a g (x)
= lim
lim
f (x) x→a g(x)
Jestliže lim |g(x)| = +∞ a existuje lim f 0 (x)/g (x), pak existuje lim f (x)/g(x) a platí x→a
x→a
lim
x→a f (x) x→a g(x)
– limita typu 0 · ∞ převedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞: lim f (x) · g(x) = lim x→a
f (x)
x→a
1 g(x)
– limity typu 0∞ , ∞0 a 1∞ převedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞: lim f (x)g(x) = lim eg(x)·ln(f (x)) x→a
x→a
– limity typu ∞ − ∞ převedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞: lim f (x) − g(x) = lim
x→a
– nebo u limit typu ∞ − ∞ využijeme vztah a − b =
x→a
a2 −b2 a+b
1 1 − f (x) g(x) 1 f (x)·g(x)
a dostáváme f 2 (x)−g 2 (x) x→a f (x)+g(x)
lim f (x) − g(x) = lim
x→a
• Taylorův rozvoj – (Nechť reálná funkce reálné proměnné f (x) má na intervalu ha, xi (x > a) spojité derivace až do n-tého řádu a na intervalu (a, x) má spojitou derivaci n + 1-ního řádu, pak lze funkci rozvést v mocninou řadu Taylorova typu) 0
00
– f (x) = f (a) + f 1!(a) (x − a) + f 2!(a) (x − a)2 + . . . + kde zbytek Rn+1 lze vyjádřit například ve tvaru (n+1) (a+ϑ(x−a)) Rn+1 = f (x − a)n+1 , ϑ ∈ (0, 1) (n+1)!
f (n) (a) n! (x
− a)n + Rn+1
– specialně pro x = a + h platí 00 (n) 0 f (a + h) = f (a) + f 1!(a) h + f 2!(a) h2 + . . . + f n!(a) hn + Rn+1 – specialně pro a = 0 dostaneme Maclaurinův vzorec 0 00 (n) f (x) = f (0) + f 1!(0) (x) + f 2!(0) (x)2 + . . . + f n!(0) (x)n + Rn+1 x2 x 1! + 2! + . . ., (x ln a)2 a + . . ., ax = 1 + x ln 1! + 2! (x−1)2 (x−1)3 x−1 ln x = 1! − 2! + 3! − . . ., 2 3 ln (1 + x) = x − x2! + x3! − . . ., 3 5 sin x = x − x3! + x5! − . . ., 2 4 cos x = 1 − x2! + x4! − . . ., 3 5 arcsin x = x + 12 x3 + 12 34 x5 + . . ., 3 5 arccos x = π2 − x − 12 x3 − 12 34 x5 − . . ., 3 5 arctgx = x − x3 + x5 − . . ., 3 5 arccotgx = π2 − x + x3 − x5 + . . .,
– ex = 1 + – – – – – – – – –
Blanka Šedivá
pro |x| < +∞ pro |x| < ∞, a > 0 pro 0 < x ≤ 2 pro −1 < x ≤ 1 pro |x| < +∞ pro |x| < +∞ pro |x| < 1 pro |x| < 1 pro |x| ≤ 1 pro |x| ≤ 1
2. února 2005
Přehled základních vzorců pro Matematiku 2
4
4. Integrály elementárních funkcí • pravidla pro integrování (předpokládáme, že funkce f, g jsou integrovatelné a c je konstanta) R R R – [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx R R – [c · f (x)] dx = c · f (x) dx – substituční metoda: Rnechť F (x) je libovolná primitivní funkce k f (x) f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dx = F (ϕ (t)) + C – metoda per partes R R u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) − u0 (x)v(x) dx • integrály vybraných funkcí R n+1 – xn dx = xn+1 + C R n+1 – (ax + b)n dx = (ax+b) a(n+1) + C R – x1 dx = ln |x| + C R 1 – ax+b dx = a1 ln |ax + b| + C R – ex dx = ex + C R – ecx dx = 1c ecx + C R x – ax dx = lna a + C
pro x > 0; n ∈ R \ {−1} pro a, b 6= 0; n ∈ N pro x 6= 0 pro a, b 6= 0
pro c 6= 0 pro a > 0; a 6= 1
R – ln x dx = x ln x − x + C R – (ln x)2 dx = x(ln x)2 − 2x ln x + 2x + C R x)2 x)3 – ln1x dx = ln | ln x| + (ln2.2! + (ln3.3! + ··· + C R 1 – x ln x dx = ln | ln x| + C R – sin x dx = − cos x + C R – sin(cx) dx = − 1c cos(cx) + C R 3 (cx)5 dx = cx − (cx) – sin(cx) 3.3! + 5.5! + · · · R x1 – sin(cx) dx = 1c ln |tg cx 2 |+C R 1 1 cx – 1±sin(cx) dx = c tg 2 ∓ π4 + C R – sin12 x dx = −cotgx + C R – cos x dx = sin x + C R – cos(cx) dx = 1c sin(cx) + C R 2 4 dx = ln |cx| − (cx) + (cx) + ··· – cos(cx) x 2.2! 4.4! R 1 1 cx – 1+cos(cx) dx = c tg 2 + C R 1 – 1−cos(cx) dx = − 1c cotg cx 2 +C R – cos12 x dx = tgx + C
pro x > 0 pro x > 0 pro x > 0 pro x > 0
pro c 6= 0 pro c 6= 0 pro c = 6 0 pro c 6= 0 pro x 6= kπ, k ∈ ZZ
pro c 6= 0 pro c 6= 0 pro c = 6 0 pro c 6= 0 pro x 6=
(2k+1)π , 2
k ∈ ZZ
R – tg(cx) dx = − 1c ln | cos(cx)| + C R – cotg(cx) dx = 1c ln | sin(cx)| + C R – sinh x dx = cosh x + C R – cosh x dx = sinh x + C R – cosh1 2 x dx = tghx + C R – sinh12 x dx = −cotghx + C
Blanka Šedivá
pro x 6= 0
2. února 2005
Přehled základních vzorců pro Matematiku 2
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
–
R
5
√ 1 dx = arcsin x + C = − arccos x + C 1−x2 1 √ dx = arcsin xa + C a2 −x2 √ √ 1 dx = argsinhx + C = ln x + x2 + 1 + x2 +1 √ x+ x2 +a2 x √ 1 + C = ln | |+C dx = argsinh 2 2 a a x +a √ 1 dx = argcoshx + C x2 −1 1 √ dx = argcosh xa + C x2 −a2 √ √ 1 dx = ln |x + x2 − 1| + C x2 −1 √ 2 2 √ 1 dx = ln x+ xa −a + C x2 −a2
1 1+x2 dx = arctgx + C = −arccotgx + C 1 x 1 a2 +x2 dx = a arctg a + C = −arccotgx + 1 1−x2 dx = argtghx + C 1 x 1 a2 −x2 dx = a argtgh a + C 1 1−x2 dx = argcotghx + C 1 1 x a2 −x2 dx = a argcotgh a + C 1 1+x 1 1−x2 dx = 2 ln | 1−x | + C 1 a+x 1 a2 −x2 dx = 2a ln | a−x | + C
pro |x| < 1 pro |x| ≤ a C
pro x > 1 pro x > a pro |x| > 1 pro |x| > a
C pro |x| < 1 pro |x| < a pro |x| > 1 pro |x| > a pro |x| 6= 1 pro |x| = 6 a
• často se vyskytující substituce • t = ax + b
dx =
1 a
dt
pro a 6= 0
• t=
x a
dx = a dt
pro a 6= 0
• t=
a x
dx = − ta2 dt
pro a 6= 0; x 6= 0
• t = ax
dx =
1 t ln a
• t = ex
dx =
1 t
• t = ln x
dx = et dt
• t = a2 + x2
dx =
• t= • t= • t=
Blanka Šedivá
√ √ √
pro a 6= 1; a > 0
dt
dt
√1 2 t−a2
pro x > 0 dt
pro x ≥ 0
x
dx = 2t dt
a2 + x2
dx =
a2 − x2
dx = − √a2t−t2 dt
√ t t2 −a2
pro x > 0 nebo x < 0
dt pro |x| < |a|
2. února 2005
Přehled základních vzorců pro Matematiku 2
6
• integrace rozkladem na parciální zlomky - pro funkce typu
Pn (x) Qm (x) ,
kde Pn a Qm jsou polynomy
P˜n n (x) ˜ (x) (a) pokud n ≥ m, pak existují polynomy Rn−m a P˜n˜ (˜ n < m) takové, že QPm (x) = Rn−m − Qm (x) a řešíme rozklad pro podíl polynomů, kde polynom ve jmenovateli Qm (x) má vyšší stupeň než polynom v čitateli Pn (x) (b) polynom Qm (x) má jednoduché reálné kořeny x1 .x2 , . . . , xm pak existují reálná čísla A, B, C, . . .
Pn (x) A B C = + + + ... Qm (x) x − x1 x − x2 x − x3 koeficienty A, B, C, . . . určíme porovnáním koeficientů u týchž mocnin proměnných nebo podle Pn (x2 ) Pn (x3 ) 1) vztahů A = QP0n (x (x1 ) , B = Q0 (x2 ) , C = Q0 (x3 ) , . . . m
m
m
(c) polynom Qm (x) má reálné kořeny, z nichž některé jsou vícenásobné: x1 je α-násobný, x2 je β− násobný kořen . . . , pak existují reálná čísla A1 , A2 , . . . , Aα , B1 , B2 , . . . , Bβ , C1 , C2 , . . . A1 A2 Aα B1 Bβ C Pn (x) = + +...+ +...+ + +... α + 2 β Qm (x) (x − x1 ) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − x3 ) (x − x1 ) (x − x2 ) (d) polynom Qm (x) má jednoduché komplexní kořeny x1 , x2 , . . . , xm/2 a k nim vždy kořeny komplexně sdružené x ¯1 , x ¯2 , . . . , x ¯m/2 , pak existují reálná čísla P1 , P2 , . . . , Q1 , Q2 . . . Pn (x) P1 x + Q1 P2 x + Q2 = 2 + 2 + ... Qm (x) x + p1 x + q 1 x + p2 x + q 2 kde platí p2i − 4qi < 0 a řešením rovnic x2 + pi x + qi = 0 jsou komplexně sdružené kořeny xi a x ¯i . (e) polynom Qm (x) má vícenásobné komplexní kořeny x1 , x ¯1 jsou α-násobné kořeny, x2 , x ¯2 jsou β− násobné kořeny . . . , pak platí Pα x + Qα Pn (x) P1 x + Q1 Pα+1 x + Qα+2 P2 x + Q2 = 2 + + ... α + 2 + ... + Qm (x) x + p1 x + q 1 x2 + p2 x + q2 (x2 + p1 x + q1 ) (x2 + p1 x + q1 ) • příklady na rozklad parciálních zlomků (a)
3 x3 +12 x2 +7 x+2 x2 +4 x+3
−2 x+2 = 3 x + (x+1)(x+3) = 3x + a porovnáním koeficientů dostaneme
A +B 3 A +B (b)
3 x+1 (x−3)2
=
A1 x−3
+
A2 (x−3)2
=
A1 (x−3)+A2 (x−3)2
A1 −3 A1 (c)
A1 A2 B1 = x−1 + (x−1) 2 + x+1 + a porovnáním koeficientů dostaneme
A1 A1 −A1 −A1 (d)
+A2 +2A2 +A2
= −2 = 2
B (x+3)
+
=⇒
= 3x +
A (x+3)+B (x+1) (x+1)(x+3)
A = 2 B = −4
a porovnáním koeficientů dostaneme
+A2
3 x3 +10 x2 −x (x2 −1)2
A (x+1)
= 3 = 1
B2 (x+1)2
+B1 −B1 −B1 +B1
=
+B2 −2B2 +B2
=⇒
A1 A2
= =
3 10
A1 (x−1)(x+1)2 +A2 (x+1)2 +B1 (x−1)2 (x+1)+B2 (x−1)2 (x−1)2 (x+1)2
= 3 = 10 =⇒ = −1 = 0
A1 A2 B1 B2
= 4 = 3 = −1 = 2
A(x2 −4 x+13)+(P x+Q)(x+1) (x+1)(x2 −4 x+13)
7 x2 −10 x+37
A = x+1 + x2P−4x+Q x+13 = a porovnáním koeficientů dostaneme x3 −3 x2 +9 x+13
A +P −4 A +P 13 A
= 7 A = 3 +Q = −10 4 =⇒ P = +Q = 37 Q = −2
ddsdsasdfghgfh fb Blanka Šedivá
2. února 2005
