PŘEDMLUVA
Co znamená „dělat matematiku“?
„Můžu vám ukázat pár čísel, abychom mohli diskutovat věcně.“ Tak zní nádherná věta, kterou je vyzbrojen každý zkušený politik z oblasti financí, jenž přijde do televizní diskuse. Chtěl jsem ji použít i jako název této knihy, avšak můj vydavatel přišel s nicotným argumentem, že je to pro takový účel příliš dlouhé. Jako kompromis jsme se shodli na názvu Matematika vám to spočítá. Ukázat pár čísel – a pak? Tak je každý uvidí. No a? Také jsem chtěl knihu nazvat Co je matematika?, ale tak už se jmenuje známá kniha Richarda Couranta a Herberta Robbinse, o které by se dalo ledacos vykládat. Třeba to, že Courant zvolil tento strhující název na doporučení Thomase Manna. Bez ohledu na to, že mně při hledání názvu knihy Thomas Mann již pomoci nemohl, nechtěl jsem psát klasickou knihu o matematice jako Courant a Robbins, v níž se vykládá matematika včetně matematických koncepcí, myšlenek, úvah, výzkumů a výsledků. V mé knize by mělo jít o dělání matematiky. Chceme se zabývat lidmi, kteří se skrývají za čísly, a místy, na kterých se matematika dělá. Mělo by jít o boj s přesností, o vytrvalost, o chyby, o lásku k detailu a také o velké emoce
11
PŘEDMLUVA: CO ZNAMENÁ „DĚLAT MATEMATIKU“?
– a o problémy, kvůli kterým se vyplatí bojovat, o uznání a o ocenění. Tato kniha je cestou do světa matematiků, a to není izolovaný tajný svět. Svět matematiky je náš svět. Matematika není v žádném případě něčím vzdáleným, abstraktním, co se až ve škole naučíme znát a nenávidět – matematika vytyčuje rohové praporky a brankové čáry hřiště, na němž se zcela nenuceně pohybujeme. Nevstupujeme na ně až tehdy, když se učíme počítat „jedna, dvě, tři“. Už vás někdy napadlo, že nás matematika provází od prvního zavazování tkaniček až po umělý kolenní kloub? Matematika se skrývá doma, v komunikaci, v dopravě a v předpovědi počasí (zejména pokud vyjde). Svět matematiků není také ničím cizím. V této knize naleznete všechna témata, o kterých píší každý den noviny a časopisy, protože jsou zajímavé: VIP, příběhy, cestování, politika, věda a technika, trocha esoteriky, počasí, složité hádanky, výhled do budoucnosti. V hlavních bodech jsem se pochopitelně řídil svými vlastními zájmy, zálibami a také averzemi. Nakreslil jsem tedy obraz fascinujícího a širokého světa matematiky, jak to vnímám já. Berte to jako dobrodružnou cestu s osobním průvodcem. Takže: Vítejte na palubě!
12
KAPITOLA 1
Na číselné ose
„Vše je číslo.“ Toto heslo pythagorejců hlásá víru, že zákonitosti světa lze vyjádřit a zvládat pomocí čísel. Vlastně tomu věříme dodnes, a ne bezdůvodně. Jsou-li ale čísla tak zásadní, musíme si položit otázku: Čím jsou a co je jejich úkolem? Tato otázka možná zní hloupě nebo naivně, ale není taková. Právě takto ji formuloval matematik Richard Dedekind, muž zabývající se teorií čísel. Neexistuje na ni jednoduchá odpověď. Ani nemůže. Může být pravda, že zákonitosti tohoto světa lze vyjádřit čísly, ale „jednička, dvojka, trojka“ k tomu samozřejmě nestačí. Neboť již tak zvaná přirozená čísla (jedna, dvě, tři atd.), která považujeme za tak nádherně konkrétní a pochopitelná, nás staví před problémy. Nejen filozofické, ale i zcela praktické. Proto ještě jednou. Co jsou čísla? Něco, co označuje počet? Je potom 1–2 číslo? A co třeba –1? A co √2? Je to něco, co vyjadřuje určitou hodnotu? A je „nekonečno“ číslo? Něco, s čím můžeme počítat? Interval, ve kterém můžeme řešit rovnice? Potom je „imaginární jednotka“ i = √–1 číslo! Jako kdyby odpověď na tuto otázku nebyla již dost zmatená, zdá se, že matematikové nemají nikdy dost a objevují čísla stále nová. Nebo jsou snad také někdy spokojeni?
13
K APITOLA 1: NA ČÍSELNÉ OSE
3 – Umějí včely počítat? V lednu 2009 přinesly několikery německé noviny zprávu s titulkem „Včely umějí počítat do tří“. Zjistili to vědci z BEEgroup na univerzitě ve Würzburgu. Vzpomínám si ale, že jsem se nedávno setkal s titulkem, že včely dokážou počítat do čtyř. Co se to děje? Tentokrát má paměť neselhala, což potvrzuje mnohem obsáhlejší a spolehlivější paměť Googlu: „Včely umějí počítat do čtyř“, informoval v říjnu 2008 například server netzeitung.de. Nechme na moment stranou, že je pro nás už tak dost podivuhodné, že včely vůbec počítat dokážou, ať do tří nebo do čtyř. Ignorujme také mystiku, která čísla obklopuje. Například trojka je jako každé z malých čísel plná symboliky: pojem „Svatá Trojice“ kupříkladu vyjadřuje, že Otec, Syn a Duch svatý jsou jedním božstvím, tedy velmi zkráceně „tři rovná se jedna“. To nabízí nejrůznější možnosti diskuse, zde se ale tímto tématem nebudeme zabývat. Trojka pro nás nebude ničím jiným než číslem. Co ale znamená? Zmíněné novinové zprávy se odvolávají na různé výzkumy různých vědců. Při prvním pokusu byly včely trénovány, aby přiletěly na tabulky, na kterých byly vyobrazeny tři objekty. Zde dostaly odměnu v podobě cukrové vody. Včely se naučily, že potrava je pouze na tabulkách se třemi objekty, ale ne na tabulkách se čtyřmi nebo šesti objekty, a to nezávisle na tom, zda šlo o obrázky jablek a květin nebo o červené a černé body. Vědci z toho vyvodili, že si včely vytvořily „abstraktní“ představu čísla 3 a dokážou ho odlišit i od čísla 4 – protože přece létaly na tabulky se třemi objekty a ne na tabulky se čtyřmi, pěti nebo šesti objekty.
14
3 UMĚ JÍ VČELY POČÍTAT?
Včely ale nebylo možné vytrénovat k tomu, aby upřednostnily tabulky se čtyřmi objekty před tabulkami s pěti objekty, což vedlo vědce k názoru, že včely nedokážou odlišit 4 od 5 a 5 od 6. Odtud tedy titulek, že včely umějí počítat do tří. Od tvorů s mozkem velikosti sezamového semínka je to obdivuhodný výkon: šimpanzi a lidé dokážou zaznamenat čtyři objekty jedním pohledem, ale ne víc. U pěti nebo více objektů to už prokazatelně nejde, takže je musíme počítat postupně. Máme si tedy představit chytrou včelku Máju a jejího mírně přihlouplého kamaráda Vilíka, jak si potichu mumlají „jedna, dvě, tři…“ a postupně vztyčují prsty? Včely nemají prsty, to víme. A mumlají si také jen ve filmu. K tomu, abychom včely donutili počítat, směřuje následující pokus. Necháme včely létat trubkou z plexiskla se značkami a zkusíme je vytrénovat, aby hledaly potravu u třetí značky. Značky umístíme v různých rozestupech, abychom vyloučili, že je včely budou hledat v určité vzdálenosti. A skutečně, včely se dokážou naučit počítat do tří, tedy létat ke třetí značce. Mohou se také naučit počítat do čtyř, tj. hledat potravu u čtvrté značky. Dál se ale s počítáním u včel dostat nelze, a to ani při trpělivém tréninku. Proto se tedy v německých novinách objevil titulek „Včely umějí počítat do čtyř“ – a čtenáře, který o pár týdnů později narazil na zprávu „Včely umějí počítat do tří“, možná napadla otázka „Umějí počítat novináři?“. Nezávisle na tom informoval profesor Srinivasan, jeden z vedoucích výzkumu, že mezi včelami existují výrazně pomalejší a rychlejší, tedy chytří a trochu hloupější žáci. To nás nepřekvapuje. (Vilíka máme rádi i tak.)
15
K APITOLA 1: NA ČÍSELNÉ OSE
Vědí ale včely, co je číslo 3 skutečně? To je hluboká filozofická otázka, kterou nemůžeme přenechat včelám. Ke spolehlivým základům matematiky patří, že matematici mohou na takovéto otázky nabídnout čisté a jasné odpovědi a koncepce. Také je dnes mají. Nebyly ale známy například již ve starověku ani nebyly objasněny ve starém Řecku v nekonečných dialozích a debatách: až na konci 19. století rozlišil Georg Cantor ve své teorii množin kardinální a ordinální čísla. První popisují velikost množin (množina obsahuje jeden nebo dva nebo tři nebo více prvků, jde tedy o počet), druhá získáme při uspořádání (a poté spočítání): jakou pozici má prvek v posloupnosti? To je ohromný rozdíl, dokonce i když počítají včely. Ztroskotají na tom jen novináři a jejich titulky. Není to zkrátka tak jednoduché. A přesto: mělo by nás ohromit, že včely umějí počítat do čtyř? Vlastně ne. Mnohem působivější je přece „včelí tanec“, při kterém dělnice tančí v geometrickém obrazci, aby sdělily ostatním polohu zdroje potravy. Tanec v sobě skrývá vše: úhel přímky určené kličkami pohybu odpovídá úhlu vůči slunci, kterým se včely musejí vydat, aby našly cestu k bufetu. Včelám je evidentně bližší geometrie než aritmetika. Jak vidíte, matematika je tak rozmanitá, že každý může uplatnit svůj talent…
5 – Dokážou kuřata sčítat? Ještě jeden titulek, který podkopává naši údajnou nadvládu v oblasti matematiky: „Kuřata umějí sčítat – nejméně
16
5 DOK ÁŽOU KUŘATA SČÍTAT?
do pěti.“ Objevila to spolu se svými kolegy italská vědkyně Rosa Ruganiová. Zpráva oběhla svět 1. dubna 2009, někdy s výslovným upozorněním, že nejde o aprílový žert. Televize BBC zprávu zveřejnila na svých internetových stránkách s poutavým titulkem „Baby chicks do basic aritmetic“ (Kuřátka zvládají základní aritmetiku) a doplnila ji fotografiemi roztomilých ptáčat. Jak zpráva uvádí, výsledky výzkumu byly publikovány v renomovaném vědeckém časopise Proceedings of the Royal Society B: Bilogical Sciences. Skutečně jsem po krátkém googlování našel stránku, která se tomuto fenoménu věnuje, on-line zveřejněnou rovněž 1. dubna. Zde se uvádí, že i čerstvě vylíhlá kuřata dokážou v hlavě (kde jinde) spočítat příklady jako „2 + 3 = 5“, což Rosa Ruganiová dokázala důvtipným pokusem. Jsem skeptický – a zneklidněný. Mláďata že umí matematiku? Není to přece jen aprílový žert? Zkusme to brát vážně. Znamená to, že přinejmenším primitivní výpočty, k nimž sčítání patří, jsou snadné nejen pro děti, ale zvládnou je i čerstvě vylíhlá kuřata? Co z toho ale drůbež má? Jednoduchou odpovědí by bylo, že jí to přináší nějakou evoluční výhodu. Já se vážně domnívám, že nám (!) inteligence má přinášet nějakou (?) evoluční výhodu (dokázáno to není!). Ale kuřatům? Na mém blogu „Mathematik im Alltag“ (Matematika všedního dne) na www.wissenslogs.de pod článkem „Küken können rechnen? Hilfe!“ (Kuřata umí počítat? Pomoc!) žádám čtenáře o pomoc a vysvětlení. Jako první se přihlásil někdo, kdo si je naprosto jistý, že paní Ruganiová provádí velmi seriózní výzkum, který jistě přinese další důkazy
17
K APITOLA 1: NA ČÍSELNÉ OSE
o tom, že kuřata jsou chytřejší, než si myslíme. Čtenář se jmenuje Martin Huhn (německy kuře). Vzpomínám si, že už v 80. letech minulého století jistý Luigi Malerba z Itálie napsal: Učené kuře chtělo ostatní kuřata naučit počítat a sčítat. Na zeď kurníku napsalo čísla od 1 do 9 a vysvětlilo, že když se spojí dohromady, je výsledkem větší číslo. Aby vysvětlilo sčítání, napsalo na druhou zeď 1 + 1 = 11, 2 + 2 = 22, 3 + 3 = 33 a tak dále až do 9 + 9 = 99. Kuřata se naučila sčítat a považovala to za velmi užitečné.
Teď nám je vše jasné.
10 – A jméno růže Jeden můj přítel, který je hrdým otcem, mi nedávno vyprávěl, že jeho dvouletý syn už umí počítat do pěti. Jen dvojku nemá rád. Počítá tedy „jedna, (krátká odmlka), tři, čtyři, pět“. Teď by bylo třeba zjistit, co chlapec vlastně myslí slovem „tři“. A musíme to zjistit rychle, než se skutečně naučí počítat. Se stejným problémem se setkáváme i jinde. V letadle není řada sedadel označená číslem 13. Cestující v řadě s číslem 14 ale přesto sedí v třinácté řadě (a cítí se v ní, doufejme, bezpečně). V divadle a opeře končí radost, že jsme získali místa v první řadě, často ihned poté, co zjistíme, že první řada je vlastně sedmá, neboť následuje po řadách A, B, C, AA, BB a CC. (Případně když zjistíme, že pódium je
18
10 A JMÉNO RŮŽE
tak vysoko, že místa v první řadě, která je skutečně první, automaticky znamenají strnutí šíje.) Nebo si vzpomeňte na sci-fi trilogii Stopařův průvodce po Galaxii od Douglase Adamse. Když vyšel její pátý (!) díl, stálo na obálce německého vydání, že jde o knihu, „která dává koncepci trilogie úplně nový význam“. Nepochybně. O fenomén, že se číslům přisuzuje jiný význam, tedy zakopáváme na každém kroku. Přesto bylo na dotyčném otci vidět, že mu synovy „špatné počty“ dělají starosti. Samozřejmě bychom mohli počítat jinak, tedy čísla jinak pojmenovat. Koneckonců máme neměnné představy o významu čísla 7 a o „počítání do sedmi“, které jsou naprosto nezávislé na tom, jak číslo nazveme. Třeba ○○○○○○○. Ale proč potom čísla nazýváme tak, jak je nazýváme? A jsou názvy, které jsme číslům dali, vůbec důležité? „Copak je po jméně? Co růží zvou, i zváno jinak vonělo by stejně,“ říká se ve hře Romeo a Julie. Platí to i pro čísla? Pohled do historie v každém případě ukazuje, že naše soustava čísel, indicko-arabská poziční desítková číselná soustava, není samozřejmá, že má alternativy a že i o ní můžeme vést spory a diskuse. Příběh nuly „Objev nuly“ zní jako maličkost, je ale důle-
žitým kulturním mezníkem s pravděpodobně dramatičtějšími důsledky, než jaké mělo objevení Ameriky (Kryštofem Kolumbem v roce 1492) nebo penicilinu (Alexandrem Flemingem v roce 1928). Objevitele nuly neznáme, byla totiž v průběhu historie lidstva objevena minimálně třikrát, a to vždy s jiným významem: Babylóňané kolem roku 700 před naším letopočtem používali znak tří klínů jako „znak
19
K APITOLA 1: NA ČÍSELNÉ OSE
pro prázdnou pozici“; Olmékové a později Mayové ve Střední Americe používali (dávno před objevitelskými plavbami Kryštofa Kolumba) znak nuly ve svých kalendářích a později v dvacítkové početní soustavě; a do třetice nulu vynalezli v 5. století v Indii. Zde se používala nejen jako číslo a symbol, ale i jako číslice v desítkové soustavě, v níž se také počítalo. Neznámému Indovi proto vděčíme za naši poziční číselnou soustavu, ve které „2 001“ označuje číslo se dvěma tisíci, nula stovkami, nula desítkami a jednou jednotkou, tedy něco zcela jiného než „201“ nebo třeba „21“. Indická poziční soustava přišla, samozřejmě s modifikacemi v číslicích, ale beze změny principu, do střední Evropy přes arabsko-islámský svět. Podle legendy přitom sehrál důležitou roli matematik Gerbert z Aurillacu (nazývaný také Gerbert z Remeše; cca 945–1003), který byl v letech 999 až 1003 papežem Silvestrem II. – možná ale to, že papež používal pro své výpočty abakus (kuličkové počítadlo), není pravda. Ve 12. století vstoupil překladem arabské početnice do západního světa systém arabských číslic, prosadil se ale až pod vlivem Leonarda z Pisy (zvaného Fibonacci; cca 1170–1240), jehož hlavní dílo Liber abaci vzniklo v roce 1202. K „prostému lidu“ v Německu dorazila desítková soustava, a s ní také nula, až na začátku 16. století, kdy Adam Ries (cca 1492–1559) vedl v saském Annabergu početní školu, kterou později převzal jeden z jeho synů. Jeho druhá početnice Rechenung auff der linihen vnnd federn (Počítání na linách a perem) učila počítání nejen na abakusu (na „linách“), ale také v indicko-arabské desítkové soustavě (což se psalo „perem“). Kniha se
20
