Problémy nekonečen od Řecka po moderní matematiku

1

E-LOGOS ELECTRONIC JOURNAL FOR PHILOSOPHY/2000 ISSN 1211-0442 ------------------------

Problémy nekonečen od Řecka po moderní matematiku Ondřej Krakovič

Stále je nutno se vracet do historie, k myšlenkám těch, kteří se jimi zabývali bytostně a viděli v jejich rozvíjení možnosti řešení kruciálních problémů. Přestože se mohou pokusy těchto mužů zdát neužitečné a zdánlivě naplňující volný čas a poskytující zábavu, můžeme jen pokorně hodnotit výkon jejich duchů. Ne nadarmo byly myšlenky dotýkající se nekonečného odsouvány rychle na vedlejší, nedůležitou kolej, případně též proto, že řešení byla nedosažitelná a proto obávaná. Celá obava pramení z touhy člověka zasáhnout paprskem svého myšlení celkovost, pojmout v jednom aktu, či konečném počtu aktů myšlení záležitost, jíž se mysl zaobírá. Ať už je tomu tak z očekávané únavy při neustálém soustředění na jednu záležitost, nebo z intuitivní snahy dosíci cíle, celku oklikou, přeskokem, vyhýbaje se nekonečnému regresu. Tato intuitivní ekonomizace myšlení má svou podstatu v konečnosti člověka. Přesto je lidskou touhou konečnost překonat a dosáhnout nekonečna; a ať je pod tímto názvem skryto cokoli, má vždy podtext totality universa. Důležitý a bohatý inspirační zdroj zanechali svým následovníkům Parmenidés a jeho žák Zénón. Parmenidés rozehrál problém jednoho a mnohého tak, že rozhodl ve prospěch jednoho, a tím vykázal pohyb ze sféry ontologie. Z tohoto rozhodnutí, ovšem důkladně promyšleného, vyplynulo mnoho nesnází s ohledem na sféru δόξα. Má-li být jedno jakožto bytí, a ne mnohé jako výraz sféry zdání, myslitelné, neboť tak je jedině možné obhajovat princip bytí jako jednoho, pak jedno nesnese mnohost. Je-li mnohost, pak jedině jen proto, že nám byla vmetena v mysl na cestě, po „níž se zmítají lidé neznalí ničeho, dvojhlaví, neb jim bezradnost v hrudi řídí bloudící jejich mysl a oni se ženou hluší a zároveň slepí, ti zmatenci, nesoudné davy, pro které bytí a nebytí touž je věcí i různou, pro které také ve všech věcech je zpáteční cesta.“1 Nechci ovšem zůstat pouze u tohoto metaforického „důvodu“. Pečlivá a sofistikovaná (odvozeno od „sofisma“) argumentace vede k mnoha jazykovým výkrutům a nesnázím, čemuž za důkaz dáno Platónovo ποµνήµα Parmenidés, hlavně druhá, rozsáhlejší část (počínajíc 137 c). V ní jsou postupně probírány hypotézy o jednom a jejich důsledky v literárně ztvárněném hovoru Parmenida s Aristotelem, jmenovcem slavného Platónova a člověkem, který dle Parmenidova soudu bude nejméně zabíhat do zbytečností a nejlépe odpovídat tak, jak si to myslí. Celé toto dialektické cvičení volí Parmenidés jako ukázku pro mladého Sókrata, který se pokusil napadnout učení o jednom v souvislosti se Zénónovým výkladem, učiněným též v jejich společnosti. Jeho pokus však ztroskotal, neboť mířil k úplnému zamítnutí dialektiky jako způsobu sloužícímu k rozřešení otázek, které by vedly právě k tomuto zamítnutí. Ve dvou hypotézách se pokouší Platón ústy Parmenidovými (řekněme, že velmi zdatně) vyvodit závěry jak pro jedno, tak pro mnohé věci. Hypotézy jsou 1

Parmenidés, Zl. B6 ze Simplikia, in: Zlomky předsókratovských myslitelů, vybral a přeložil K. Svoboda, ČAVaÚ, Praha 1944, s.36. Kurzívu jsem vložil.

2 stanoveny takto: 1. Jedno jest. a 2. Jedno není.2 Od těchto tvrzení je odvozeno, co z nich plyne pro jedno samo i pro „jiné věci“ (jak překládá Novotný). Pro věc tohoto článku je důležité si povšimnout, že přes konečný výsledek dialogu („Budiž tedy řečeno i toto i to, že jak se podobá, ať jedno jest nebo ať není, i ono samo i jiné věci i v poměru k sobě samým i v poměru navzájem ve všem všudy i jsou i nejsou a jeví se i nejeví se.“3) je stále přítomen ohled celku, který zastřešuje, či je po něm žádáno, aby zastřešoval úvahy týkající se libovolného problému. Lidská práce směřuje k završení, k uzavření v celek, i když během činnosti je neustále v cestě mnoho částečností. Je to jako rozprostřený uzlík s jednotlivostmi, které svážu uzlem v jednotu. (Tato metafora bude později užitečná pro pohled na to, co je to množina.) Mým hlavním cílem je pohled na traktování nekonečna v matematice, především o vyjasnění problému diskrétního a spojitého, která jsou s matematickým nekonečnem spojena. Důležitým konceptem bude pojem množiny, díky němuž všechen humbuk kolem matematického nekonečna vzniknul. Bude tedy nutné na okamžik zabrousit do historie matematiky a dobrat se založení teorie čísel a množin. Exkurs bude stručný a proveden pohledem matematického laika, proto si nekladu nároky na logickou exaktnost výkladu a prosím čtenáře o shovívavost. Hned zpočátku musím předeslat důležité rozlišení, které může být zdrojem mnoha nedorozumění v oblasti dotýkající se nekonečného. Rozlišení ilustruji na textu pocházejícím od B. Russella. Cituje pasáž z Hegelovy Malé logiky (§ 100) tvrdí, že „mimo tuto obecnou spojitost nemá (kontinuita – vložil jsem) žádný zvláštní vztah k matematickému významu kontinuity, jak můžeme hned vidět z faktu, že totiž nemá žádný poukaz k uspořádání.“4 První odstavec § 100 Malé logiky parafrázuje následovně: „ Když si připomeneme, že kvantita a velikost (quantity and magnitude) znamenají ‘kardinální číslo‘, můžeme se domnívat, že toto tvrzení vyústí v následující: Mnoho členů uvažovaných tak, že mají nějaké kardinální číslo, musí být příslušníky jedné třídy; pokud jsou každý z nich toliko příkladem pojmu třídy, jsou od sebe neodlišitelné a z tohoto pohledu je nazýván celek, který je jimi tvořen, spojitým (continuous, kontinuierlich); avšak v ohledu jejich mnohosti (maniness) musejí být různými případy pojmu třídy, a z tohoto aspektu je celek, který je jimi tvořen, diskrétním.“5 Matematika si tak sama svými prostředky zužuje pole působnosti, neboť v úvodním odstavci uvedené lapání nekonečného spočívalo nikoli v takto axiomatizované nekonečnosti, s kterou lze pracovat, nýbrž v hledání totality bez ohledu na to, zda je diskursivně či intuitivně nahlédnutelná.6 Přesto však že si matematikové a logikové positivní vědy kladou taková ohraničení, jsou v jejich myšlenkách přítomny koncepty, které se těžko snášejí s formalizací vědy. Tato omezení vyjdou najevo při rozšiřování množin na množiny množin a hledání absolutního nekonečna. Na začátku jsem zmínil strach antiky před nekonečností a neurčitostí. Vrátím se k pythagorejcům, abych mohl stručně přejít od problémů vzniklých při práci s konečnými čísly k problémům, které se vynoří u nekonečných čísel. Přijmeme-li předpoklady pythagoreismu, že 1) vše je matematická forma a 2) neexistuje nic nekonečného, pak cokoliv 2

Viz Platón: Parmenidés, překlad František Novotný, OIKOYMENH, edice OIKÚMENÉ, Praha 1996. op. cit. 166 c, s. 87. 4 Bertrand Russell: The Principles Of Mathematics, Routledge, London 1992, Chapter XLII, § 325, s. 346. 5 ibid. § 325, s. 346. Kurzíva je původní. 6 K tomu srovnej G.W.F. Hegel: Malá logika, Nakladatelství Svoboda, Praha 1992, přeložil Jaromír Loužil, kap. a. Čistá kvantita, ss.189–193, zvláště konec § 99: „Ostatně po tom všem, co jsme zde vyložili, musíme označit ono velmi časté hledání všech rozdílů a vší určitosti předmětného světa jen ve sféře kvantity za jeden z předsudků, který nejvíc škodí exaktnímu a důkladnému poznání. Jistěže je např. duch více než příroda, zvíře více než rostlina, ale když se zastavíme pouze u tohoto „více“ nebo „méně“ a nepostoupíme dál k tomu, abychom tyto předměty pochopili v jejich zvláštní, v tomto případě především kvalitativní určitosti, dozvíme se o nich a jejich rozdílech velice málo.“ 3

3 je vyjádřitelné buď jako nějaké přirozené číslo, nebo jako vztah mezi několika přirozenými čísly. Proto pokud se prokáže ve světě nějaké záležitost, kterou nelze vyjádřit pomocí konečného počtu přirozených čísel, pak bude nutno se předpokladů vzdát nebo je opravit. Rudy Rucker popisuje7 úsměvně historku objevu iracionálního čísla √2, v níž příliš veselý Hippasus načrtával Pythagorovi, sedíce v člunu na moři, čtverec s úhlopříčkou a na základě uznávané Pythagorovy věty vyvodil, že poměr úhlopříčky čtverce a jeho strany nemůže být poměrem. Pythagoras se pak prý vrátil řka, že Hippasus se „utopil v moři“. Přes tento ohromující objev bylo lze pouze modifikovat předpoklady a udržet πειρον „v mezích rozumu“, neboť tato iracionální čísla jsou zkonstruovatelná v geometrii. Musím však rozlišit pohled dnešní a pohled tehdejších učenců. Zatímco dnes my běžně předpokládáme, že nějaké reálné číslo odpovídá každé délce a že všechny operace, jako násobení a hledání druhé odmocniny, jsou rozšířeny i na reálná čísla a můžeme tedy nevědomě přecházet z mluvy o reálných číslech k mluvě o délkách, pak pro Řeky zde vězely propasti neprobádané – jako by přeskakovali jen po číselných zlomcích nevědíce, že množina racionálních čísel má, dnešními slovy řečeno, takovou hustotu, že lze mezi libovolná dvě racionální čísla vykonstruovat nespočetné množství čísel iracionálních. Většina z nás dnešních lidí zasažených současnou vědou však přijímá tyto teoreticko–matematické koncepty spíše s vírou, než z přesvědčení o jejich nutnosti být. Zajímavé na přívlastku „reálný“ pro číslo je to, že znamená jakousi n

a x +a x 0

1

n −1

+ Κ + a n −1 x + a n = 0 ,

idealitu. Řetězec cifer napravo od desetinné čárky (uvažme podobu n.r1 r2…, kde n je přirozené číslo a každé z ri je číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9) nemůže být nikdy vypsán úplně (i když lze za vypsatelné považovat určité formy iracionálních čísel — o tom se zmíním později). Máme-li tedy určité pravidlo, jak identifikovat racionální čísla (jako čísla s konečným nebo periodicky nekonečným desetinným rozvojem), můžeme zkonstruovat umělá čísla, jejichž desetinný periodický rozvoj je neperiodický. Obtíže však nejsou překonány, protože stanovením pravidla pro identifikaci racionálních čísel jsme ještě nezískali nutně pravidlo pro identifikaci iracionálních čísel (mohla by se vyskytnout ještě nějaká jiná od obou zmiňovaných druhů odlišná čísla). Jsou totiž čísla, která není možno získat konečným počtem kroků (ať už výpočtových, či v geometrické konstrukci). Tato iracionální čísla byla nazvána transcendentními, zatímco ostatní (nejen iracionální) jsou tzv. algebraická. Transcendentní čísla nelze získat řešením žádné algebraické (polynomické) rovnice s racionálními koeficienty. Tedy kořeny rovnice kde ai jsou racionální čísla, se nazývají algebraickými čísly. Čísla se nazývají transcendentními, protože, jak to nazval L. Euler, překračují moc algebraických metod. Mnoho algebraických iracionálních čísel bylo známo už Řekům, že však jsou čísla, u nichž je podezření, že nejsou ani algebraická. Podezření vycházelo z problémů, které se týkaly konstruovatelnosti geometrických útvarů pomocí pravítka a kružítka. Jde o tři starověké problémy: zdvojení krychle, trisekce úhlu a kvadratura kruhu. Jejich řešení bylo objeveno už ve starověku, ale vědělo se také, že nesplňují požadavek na konstrukci pomocí pravítka a kružítka. Teprve až na konci 19. století bylo dokázáno v souvislosti s důkazem transcendentnosti čísla π, že konstruovatelná jsou pouze algebraická čísla. Jako první důkaz existence transcendentního čísla byl důkaz, který podal Joseph Liouville v roce 1844. Vycházeje z několika vět o aproximaci algebraických iracionálních čísel racionálními čísly, zjistil, že libovolné číslo ve tvaru a1 a2 a3 + + + Κ , 1! 2! 10 10 10 3 ! 7

Srov. Rudy Rucker: Infinity and the Mind (The Science and Philosophy of the Infinite), Princeton University

4 e x1 kde ai jsou dané číslice od 0 do 9, je transcendentní. Velkým krokem kupředu v nalézání dalších transcendentních čísel byl důkaz Charlese Hermtiea z roku 1873 toho, že číslo e je transcendentní. Po obdržení tohoto výsledku Hermite napsal Carlu Wilhelmu Borchardtovi (1817–1880): „Neodvažuji se ukázat transcendenci čísla π. Pokud se to podaří jiným, nebude šťastnějšího člověka nad jejich úspěchem, než jsem já, avšak věř mi, můj drahý příteli, že je to nemůže nestát nějaké úsilí.“8 Že číslo π je transcendentní, bylo v podezření už u Adrien-Marie Legendrea, z jehož domněnky vzešlo dělení iracionálních čísel na algebraická a transcendentní. Až Ferdinand Lindemann (1852 až 1939) toto dokázal v roce 1882 metodou, která se podstatně nelišila od Hermitovy. Lindemann tvrdil, že pokud jsou x1, x2,…, xa různá algebraická čísla, reálná nebo komplexní, a p1, p2,…, pa algebraická čísla ne všechna rovna nule, pak se suma

p1e x1 + p 2 e x2 + Κ + p n e xn nemůže být 0. Vezmeme-li n = 2, p1 = 1 a x2 = 0, vidíme, že nemůže být algebraické pro nějaké x1, které je algebraické a nenulové. Protože x1 může být 1, e je transcendentní. Bylo známo, že eiπ + 1 = 0 odtud plyne, že číslo iπ nemůže být algebraické. Pak π není, protože i = √(-1) je, a součin dvou algebraických čísel je číslo algebraické. Důkaz toho, že π je transcendentní, odstranil poslední bod ze slavných konstrukčních problémů geometrie.9 Ještě odbočím k důkazu toho, že čísla e a π jsou iracionální. Předmětu se ujal Leonhard Euler. Mimo jiné odvodil, že každé racionální číslo může být vyjádřeno jako konečný souvislý zlomek. Jak lze dospět k souvislému zlomku? Ukázkou10 budiž jeho první užití Raphaelem Bombellim v jeho díle Algebra (1572), kde jimi aproximoval druhé odmocniny. Pro aproximaci čísla √2 píše 2 = 1+

1 . y

Odsud lze nalézt y = 1 + √2. Přičtením jedničky k oběma stranám předchozí rovnice získáme spolu s druhou y = 2 +

1 . y

Odsud znovu dostaneme 1

2 = 1+

2 +

1 y

.

A protože y je dáno, máme opět 1

2 =1+ 2+

.

1 2+

1 y

Opakováním substituce hodnoty y obdržel Bombelli nekonečný souvislý zlomek, který se ve stručnosti zapisuje jako 2 = 1+

1 1 1 Κ . 2 + 2 + 2 +

Euler pomocí nekonečného souvislého zlomku získal e −1 = 1+

1 1 1 1 1 1 1 1 Κ 1+ 2 + 1+ 1+ 4 + 1+ 1+ 6 +

Press, Princeton, New Jersey 1995, s. 57. 8 Morris Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York 1972, s. 981. 9 Viz Morris Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Oxford 1972, s. 982.

5 a ukázal tak, že e je iracionální. V práci o souvislých zlomcích pokračoval Johann Heinrich Lambert (1728–77), kolega Eulerův a Lagrangeův v Berlínské Akademii Věd, a dokázal, že pokud je x racionální číslo různé od nuly, pak ex a tg (x) nemohou být racionální.Odtud dokázal, že nejen ex pro kladné celé x je iracionální, ale také že všechna racionální čísla mají iracionální přirozený logaritmus. Z výsledku o tg (x) plyne, protože tg (π/4) = 1, že ani π/4, ani π nemohou být racionální. V knize Arithmetica Infinitorum (1655) od Johna Wallise je representováno 4/π jako nekonečný součin 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ Κ 11 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅Κ

.

Takto byl ukončen zápas o status iracionálních čísel. Avšak jak si můžeme být jisti, že takové umělé desetinné rozvoje jsou vskutku čísla? Co přesně znamená 0,12345…? Rozumění tomuto „číslu“ je takové, že zastupuje nekonečnou řadu 1/10 + 2/100 + 3/1000 + 4/10000+ + 5/100000 + …. Jsme v pokušení říci, že dané reálné číslo, jako 0,12345…, může být myšleno jako bod na idealizované reálné číselné linii. Problém s tímto přístupem je ten, že dosud nebylo vysvětleno, odkud „reálná číselná linie“ pochází. Problémem se zabývali před více než sto lety Georg Cantor a Richard Dedekind. Cantor definoval reálné číslo prostě jako nekonečnou posloupnost číslic. Reálné číslo bylo takto ztotožněno s onou řadou či součtem posloupnosti desetin. Dedekind definoval reálné číslo v pojmech nekonečných množin. Jeho přístupem bylo charakterizovat reálné číslo jako řez [L,R] racionálních čísel. Například druhá odmocnina dvou by byla representována řezem [{a/b: a2/b2 < 2},{a/b: a2/b2 > 2}]. Hlavní věcí ohledně Dedekindovy definice reálného čísla je, podobně jako u Cantorova pojetí, že reálné číslo je vyjádřitelné samo nekonečnou množinou. „Pointa je v tom, že jediným způsobem, jak získat stabilní representaci pojmu „dané reálné číslo“, je representovat reálná čísla jako aktuálně nekonečné množiny.“ „Jakmile si uvědomíme, že iracionální čísla jsou ve svém základu nekonečnostmi, v tom, že mohou být plně založena jen na teorii nekonečných množin, pak je přirozené začít se ohlížet na nekonečně velká, neboli transfinitní čísla.“12 Množinou míní (protože je to primitivní pojem) Cantor souhrn určitých a oddělených objektů, kterým se může zaměstnávat mysl a o níž můžeme rozhodnout, zda do ní daný objekt patří, nebo nepatří. Cantor se dále pokoušel rozlišit nekonečné množiny co do „velikosti“ a, podobně jako Bolzano navrhoval ve svém díle Paradoxien des Unendlichen (1854), rozhodl, že vzájemně jedno–jednoznačné zobrazení by mělo být tímto principem. Dvě množiny, které mohou být vzájemně jedno–jednoznačně zobrazeny jedna na druhou, jsou ekvivalentní, neboli mají stejnou mohutnost. (Později se z pojmu „mohutnost“ stal pojem „kardinální číslo“.) Dvě množiny mohou mít nestejnou mohutnost. Jestliže z dvou množin prvků M a N, může být N zobrazeno vzájemně jedno–jednoznačnou korespondencí na nějakou podmnožinu množiny M, avšak M nemůže být takto vzájemně jedno–jednoznačně zobrazena s podmnožinou množiny N, pak mohutnost množiny M je větší než mohutnost množiny N. Samozřejmě se Cantor zabýval především množinami čísel a ilustruje svůj pojem ekvivalence, čili mohutnosti pomocí těchto množin. Zavedl termín „spočetný“ pro jakoukoli množinu, která může být vzájemně jedno–jednoznačně zobrazena na množinu kladných celých čísel. Toto je nejmenší nekonečná množina. V roce 1874 dokázal, že množina racionálních čísel je spočetná a rovněž 10

Srov. cit. dílo, ss. 254, 255, 459 a 460. V této knize je rovněž uveden transformovaný popis tohoto zlomku, a to od Lorda Williama Brounckera (1620–84), prvního presidenta Královské společnosti, v podobě souvislého zlomku 11

4 1 9 25 49 Κ . = 1+ π 2 + 2 + 2 + 2 +

12

Rudy Rucker: Infinity and the Mind (The Science and Philosophy of the Infinite), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1995, ss. 63 a 64.

6 je spočetná množina všech algebraických čísel, která jsou řešením algebraické rovnice n-tého stupně s celočíselnými koeficienty. Cantor rovněž podal důkaz, že neexistuje vzájemně jedno–jednoznačné zobrazení množiny reálných čísel na množinu přirozených čísel. Spočívá na jeho diagonalizačním schématu a dnes je nejčastěji uváděným důkazem pro toto tvrzení. Protože jsou reálná čísla nespočetná a algebraická čísla spočetná, musí pak být transcendentní čísla iracionální. To je Cantorův nekonstruktivní existenční důkaz, který lze srovnávat s Liouvilleovou přímou konstrukcí transcendentních iracionálních čísel.13 Georg Cantor poté sledoval tento koncept mohutnosti množiny a vytvořil teorii kardinálních a ordinálních čísel. Sám zdůrazňoval, že tato jeho teorie transfinitních čísel se odlišuje od pojetí nekonečnosti v případech, kdy se hovoří o proměnných zmenšujících se či zvětšujících se nade všechny meze. Dvě množiny, které jsou vzájemně jedno–jednoznačně zobrazeny na sebe, mají stejnou mohutnost, neboli kardinální číslo. Pro konečné množiny je kardinální číslo obvyklý počet prvků v množině. Kardinální číslo množiny celých čísel označil jako ℵ0. Protože množina reálných čísel nemůže být dána do vzájemně jedno– jednoznačné korespondence s celými čísly, musí mít množina reálných čísel odlišné kardinální číslo, které je označena jako c, dle prvního písmenka slova continuum. A platí na základě výše řečeného c > ℵ0. Abychom získali kardinální číslo větší než nějaké dané, uvažme libovolnou množinu M, která je representována oním daným kardinálním číslem. Pak uvažujme množinu N všech podmnožin množiny M. je nyní jasné, že můžeme sestrojit vzájemně jedno–jednoznačné zobrazení množiny M na nějakou podmnožinu množiny N, neboť například lze vzít jednoprvkové podmnožiny množiny N, které sestávají právě z prvků množiny M. je však nemožné sestrojit vzájemně jedno–jednoznačnou korespondenci mezi prvky množiny M a všemi prvky množiny N. Proveďme úvahu sporem. Nechť toto zobrazení je možné. Uvažujme všechna m∈M taková, že podmnožiny množiny A, které jsou tímto zobrazením spojeny s m∈M, neobsahují právě prvky m, s nimiž jsou ve vztahu tímto předpokládaným vzájemně jedeno–jednoznačným zobrazením. Budiž η množina všech těchto m. η je samozřejmě členem množiny N. Cantor tvrdí, že η nenáleží do tohoto předpokládaného zobrazení. Neboť kdyby η korespondovalo s některým m∈M, a pak by η obsahovalo m, bylo by to v rozporu s vymezením η. Na druhé straně kdyby η neobsahovalo m, pak by mělo, protože η bylo podle definice množinou všech těch m, která nebyla obsažena v odpovídající podmnožině množiny N. Odtud plyne, že předpoklad, že je vzájemně jedno–jednoznačná korespondence mezi prvky množiny M a množiny N, která sestává ze všech podmnožin množiny M, vede ke sporu. tedy kardinální číslo množiny sestavené ze všech podmnožin nějaké dané množiny je větší než kardinální číslo právě této dané množiny.14 Cantor definoval součet dvou kardinálních čísel jako kardinální číslo množiny, která je sjednocením disjunktních množin, které jsou představovány sčítanci. Součin dvou kardinálů α a β, bereme-li množinu M jako zastoupenou číslem α a množinu N zastoupenou číslem β a vytvoříme-li dvojice prvků (m,n), kde m∈M a n∈N, je roven kardinálu množiny všech těchto možných dvojic. máme-li množinu M o m prvcích a množinu N o n prvcích, pak kardinální číslo mn je přiřazeno množině variací m prvků n-té třídy s opakováním ze všech prvků m. Na základě takto definovaných operací dokázal, že

2ℵ0 = c.

13

Srov. Morris Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Oxford 1972, ss. 994–997. 14 Srov. Morris Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Oxford 1972, ss. 999, 1000.

7

Nyní jsem dospěl k finální části práce, neboť zde nám vystoupí problémy s nekonečnostmi, o nichž jsem hovořil na začátku. Jsou to sice nekonečnosti jistého druhu a pojednám je stručně a v omezené míře, vzhledem k mým omezeným znalostem o této záležitosti. Pokusím se však ukázat zdroj omezenosti. Důležitým konceptem bude ordinální číslo. V tomto případě je nesmírně důležitý pojem uspořádání množiny, protože se na něj ordinální číslo bezprostředně váže. Množina je prostě uspořádaná, jestliže libovolné dva její prvky mají určený rád; jsou-li m1 a m2 její prvky, pak buď platí m1 < m2, nebo m1 > m2. Dále prosté uspořádání je transitivní. Ordinální číslo uspořádané množiny M je typ uspořádání v množině. Dvě uspořádané množiny jsou podobné, pokud existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi nimi a pokud, když m1 odpovídá n1 a m2 odpovídá n2 a platí m1 < m2, pak n1 < n2. Tyto množiny mají stejné ordinální číslo. Pro konečné množiny, nezáleží na tom, jakého jsou uspořádání, je ordinální číslo stejné jako počet prvků a symbol pro něj může být chápán rovněž jako kardinální číslo množiny čísel v množině. Ordinální číslo množiny kladných celých čísel v jejich přirozeném uspořádání (tj. uspořádaná množina (1, 2,…, n,…)) je značeno ω. Na druhé straně je množina kladných celých čísel v sestupném pořádku, tj. (…, n,…, 2, 1) označena symbolem *ω. Množina celých čísel včetně nuly při obvyklém uspořádání má ordinální číslo *ω + ω. Součet dvou ordinálů je ordinální číslo první uspořádané množiny plus ordinální číslo druhé uspořádané množiny ale tak, že není porušeno uspořádání. Tudíž ordinální číslo množiny 1, 2, 3, …, 1, 2, 3, 4 je ω + 4, zatímco ordinální číslo množiny 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, … je ω. Jsou to obě od sebe různé množiny, protože způsob uspořádání v každé z nich se liší! Mají ale stejné kardinální číslo ℵ0. Taktéž je nutno odlišit pravostranné a levostranné násobení; je totiž 2⋅ω = ω, protože je celkem omega dvojek, čehož uspořádání je stejné jako množiny přirozených čísel, ale ω⋅2 ≠ ω, protože dvě množiny omega představují jiný typ řádu než množina s řádem omega. Ordinální čísla můžeme seřadit do následující posloupnosti 0, 1, 2, …, ω, ω + 1, ω + 2, …,ω⋅2, ω⋅2 + 1, ω⋅2 + 2, …,ω⋅3, …,ω2, ω2 + 1, ω2 + 2, …,ω2⋅2, ..., ω2⋅2 + 1, …, ω3, …,ωω, …. Řada zde samozřejmě nekončí, protože lze sestrojit množiny uspořádání ještě vyššího, jako například

ωω

ωω

Ν

.

Je důležité si všimnout, že tyto různé „nekonečnosti“ jsou tvořeny diskursivně, bez chaosu; vše je vskutku uspořádané. Takto lze tvořit ještě bláznivější ordinální čísla, jejich kardinálním číslem je však stále ℵ0. Je možné získat větší kardinální čísla? Ukazuje se, že ano. Zatímco všechny množiny třídy Z2, tedy s ordinály ω a výše konstruované pouze pomocí ω, mají kardinalitu rovnou ℵ0, má množina Z2 jinou kardinalitu; množina je nespočetná a Cantor zavedl kardinální číslo ℵ1. Pak je dokazováno, že kardinál ℵ1 je bezprostředně následující po ℵ0. Lze pokračovat dále tak, že uvažuje množinu všech množin mohutnosti ℵ1 a dospějeme k mohutnosti množiny, která je nutně větší (tj. nelze najít vzájemně jedno–jednoznačnou korespondenci prvků) a označuje se ℵ2. Tato hierarchie ordinálních a kardinálních čísel může pokračovat do nekonečna. Konečně, je-li ℵ0 mohutnost dané množiny, pak kardinální číslo množiny všech jejích podmnožin je ℵ0

2 .

Cantor dokázal, že

2ℵ0 = c,

8 kde c je kardinální číslo kontinua. Na druhé straně sám zavedl ℵ1 pomocí ordinálních čísel a dokázal, že ℵ1 je bezprostředně následující kardinál po ℵ0. Proto ℵ1 ≤ c, avšak otázku, zda ℵ1 = c, známou jako hypotézu o kontinuu, nedokázal Cantor ani přes urputné úsilí zodpovědět. Pěknou ilustrací vztahu mezi ℵ0 a ℵ1 je tzv. Hilbertův hotel15, jímž osvěžoval své populární přednášky David Hilbert. Tento hotel má nekonečně mnoho pokojů. Paradoxní na něm je, že poté, co se naplní, pojme více a více osob, aniž by libovolné dvě osoby sdílely pokoj. Tak tomu je až do doby, kdy kardinální číslo množiny všech hostů je stejné jako kardinální číslo množiny všech pokojů, tedy ℵ0. Těžké na představivost — ta sem má v podstatě zakázaný vstup! Jak vidno, nekonají se v oblasti transfinitních čísel žádné nepředvídanosti. Přesto mají matematikové jakousi entitu nazývanou absolutní nekonečno Ω, ke kterému se nedá nijak přiblížit (říká se „zdola“), stále uniká dosažení. Skoro je vzýváno jako božský princip teorie množin. Myslím si ale, že tím nikterak nevykračuje matematik ze své chtěné principiální postulované omezenosti.

15

Srov. Rudy Rucker: Infinity and the Mind (The Science and Philosophy of the Infinite), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1995, ss. 73 a 78.