Přednáška 8 Od principů symetrie k základním interakcím

Pavel Cejnar

Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK

Přednáška 8

Od principů symetrie k základním interakcím Fyzika jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 2015

Symetrie a grupy Weylova definice symetrie "A thing is symmetrical, if there is something that you can do to it, so that after you have finished doing it, it still looks the same as it did before you did it." Hermann Weyl (1885-1955)

Maurits Cornelis Escher (1898-1972)

Symetrie a grupy Weylova definice symetrie "A thing is symmetrical, if there is something that you can do to it, so that after you have finished doing it, it still looks the same as it did before you did it." Hermann Weyl (1885-1955)

Teorie grup

Euler (1707-83) Gauss (1777-1855) Abel (1802-29) Galois (1811-32) von Dyck (1856-1934) Lie (1842-99) Cartan (1869-1951) …………

g1, g2 ,......... , na níž je definována binární operace („násobení“) g , g   g  g  g 1 2 3 2 1

Grupou nazýváme množinu G  s následujícími vlastnostmi:

1.

g 3  ( g 2  g1 )  ( g 3  g 2 )  g1

(asociativita)

2. g  1  1  g  g

(jednotkový element)

3. g 1  g  g  g 1  1

(inverzní elementy)

Ne nutně:

g1  g2  g2  g1

(komutativita)

g1

G g3

g2

Symetrie a grupy Weylova definice symetrie "A thing is symmetrical, if there is something that you can do to it, so that after you have finished doing it, it still looks the same as it did before you did it." Hermann Weyl (1885-1955)

Teorie grup

Euler (1707-83) Gauss (1777-1855) Abel (1802-29) Galois (1811-32) von Dyck (1856-1934) Lie (1842-99) Cartan (1869-1951) …………

Příklad: rotační symetrie čtverce Prvky: g(φ) = otočení o φ=n ∙90◦ Operace: skládání otočení

2 3

3

1

1 1

–1

g2 ≡ g(180º) = g2

4

2

4 3

4 g1 ≡ g(90º) = g3

4

2

1

g1

–1

g3

3 3

2 g3 ≡ g(270º) = g1–1

4

G

2

1 g4 ≡ g(360º) = 1

g2

Lieovy grupy Spojitě nekonečné množství prvků rozlišených parametry: 





 g ( 2 ) g (1 )  g (3 ) Požadavek diferenco   1  vatelnosti zobrazení:  g ( )  g ( ) 



  (1 , 2 ,, n )

Sophus Lie (1842-99)

Realizace pomocí unitárních operátorů v nějakém Hilbertově prostoru:    g(3 )  g ( 2 )  g ( 1 ) n ˆ  Gˆ  generátory: G      ˆ k k i Gk k   hermitovské operátory (reálná vlastní čísla)    k 1 ˆg (3 )  gˆ (2 ) gˆ (1 ) gˆ ( )  e



Grupa → Algebra: grupa U(1) operace z  gˆ z neměnící | z |2 |z|



gˆ  ei

generátor:

Gˆ  1

1 parametr:



Gˆ , Gˆ    n

komutační relace:

k

l

grupa U(2) Operace  z1       z generátory:

m 1

Gˆ k Gˆ l Gˆ l Gˆ k



2





gˆ

klm

Gˆ m

 z1  neměnící    z2 

strukturní koeficienty

| z1 |2 | z2 |2

1 0 ˆ  0 1 ˆ  0  i  ˆ 1 0  ˆ  G1    G2    G3    G0   0 1 1 0 i 0   0  1 3 [Gˆ 0 , Gˆ k ]  0, [Gˆ k , Gˆ l ]   2i klmGˆ m i  Gˆ kk

gˆ  e

k 0

4 parametry: (0 , 1 , 2 , 3 )

m

1) Zákony zachování a prostoročasové symetrie 2) Vnitřní symetrie a tvar fundamentálních interakcí

Noetherové teorém

Emmy Noether (1882-1935)

Každé spojité třídě symetrií fyzikálního systému odpovídá nějaký zákon zachování.  symetrie vzhledem k Lieově grupě o n parametrech generuje n zachovávajících se veličin E. Noether, Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse 1918, 235–257; "Invariante Variationsprobleme"

symetrie

veličina

n

translace v prostoru posun v čase rotace v prostoru

hybnost energie moment hybnosti

3 1 3

Noetherové teorém

Emmy Noether (1882-1935)

Každé spojité třídě symetrií fyzikálního systému odpovídá nějaký zákon zachování.  symetrie vzhledem k Lieově grupě o n parametrech generuje n zachovávajících se veličin Důkaz vychází z Lagrangovy formulace dynamiky: Pro systém se spočetnou množinou stupňů volnosti (lze přímo zobecnit i na kontinuum)

L(q , q ,t ) … lagrangián q  (q1 , q2 ,) … zobecněné souřadnice

d L L  dt q q

pohybové rovnice

1) Transformace zobecněných souřadnic q  q~ (q ,  ) , kde ζ je spojitý parametr   

d 0 L(q~ , q~ , t )   [ qL d  d L

q~ 



d  dt 

dt q

2) Posun času

~ t  t  t 

d ~ 0 L(q , q , t )  d

L t



d dt

d ]   qL ~ dt  q

~ L q q 

, kde η je spojitý parametr

L   [ qL q  qL   d L dt q

q~ 

0 zákon zachování

hamiltonián

d q ]   ( qL q  L )  0 dt H

Zákony zachování v kvantové fyzice Otázka platnosti zákonů zachování v kvantové fyzice: Nemají zde jen statistický charakter? F.A. Scott, Phys. Rev. 48 (1935) 391 V roce 1914 James Chadwick (v roce 1932 pak objevitel neutronu) zjistil, že spektrum elektronů emitované z β radioaktivních jader je spojité. To se zdálo být ve sporu se zákonem zachování energie: A Z

Q 210Bi

mc2

= „Radium E”

E Wolfgang Pauli & Niels Bohr A Z1

Niels Bohr

mc

2

(dopis Heisenbergovi, 1928):

“Gamow has late occupied himself thoroughly with the continuous β-ray spectra; but every search for other solutions has hitherto strengthened my conviction that the difficulties lie very deep… . In spite of Pauli’s warnings, I am also still prepared for a further limitation of the applicability of the energy concept.”

(1900-58)

(1885-1962)

sledují káču

Zákony zachování v kvantové fyzice Otázka platnosti zákonů zachování v kvantové fyzice: Nemají zde jen statistický charakter? F.A. Scott, Phys. Rev. 48 (1935) 391 V roce 1914 James Chadwick (v roce 1932 pak objevitel neutronu) zjistil, že spektrum elektronů emitované z β radioaktivních jader je spojité. To se zdálo být ve sporu se zákonem zachování energie: A Z

Zbytek energie převezme (anti)neutrino

Q 210Bi

mc2

= „Radium E”

E Wolfgang Pauli & Niels Bohr

(anti)neutrino Wolfgang Pauli

A Z1

mc

2

(dopis Meitherové a Geigerovi, 1930):

“Dear Radioactive Ladies and Gentlemen,… I have hit upon a desperate remedy to save … the law of conservation of energy. Namely, the possibility that there could exist in the nuclei electrically neutral particles, that I wish to call neutrons, which have spin 1/2 …. The mass of the neutrons should be … not larger than 0.01 proton masses. The continuous beta spectrum would then become understandable by the assumption that in beta decay a neutron is emitted in addition to the electron such that the sum of the energies of the neutron and the electron is constant... I agree that my remedy could seem incredible because one should have seen those neutrons very earlier if they really exist. But only the one who dare can win …”

(1900-58)

(1885-1962)

sledují káču

Zákony zachování v kvantové fyzice Otázka platnosti zákonů zachování v kvantové fyzice: Nemají zde jen statistický charakter? Ne! Zákony zachování v Q fyzice striktně platí! Stejně jako v klasické fyzice se odvíjejí od symetrií… Symetrie kvantového systému vůči spojité grupě G znamená, že operace grupy komutují s evolucí systému: n

i Gˆ k k k 1

i 

[e, e

Hˆ t

  , t

 gˆ ( )

H

]  0  0  [Gˆ k , Hˆ ] k

i ˆ  Ht



gˆ   gˆ e

gˆ 

ˆ  Gˆ komutuje Pokud nějaký operátor A k ˆ s Hamiltoniánem H, pak se rozdělení psti pro naměření různých hodnot dané veličiny nemění => A se zachovává !

e



i ˆ  Ht

gˆ

gˆ 

e



i ˆ  Ht



Momenty náhodné veličiny (m=1,2,3…): Am

 e iHt /  (0) Aˆ m e iHt /  (0)    (t )  (t )

P (a)

 (t )

 e iHt /  (0) e iHt / Aˆ m (0)   (0) Aˆ  (0)  A m

A2



 A

m  ( 0)

A



2 

a



Spojité prostoročasové symetrie Fundamentální symetrie „našeho“ prostoru a času Poincarého grupa Obsahuje transformace, které nemění časoprostorový interval

(Δ s )2 = (c Δ t )2 – (Δ x )2 zachování momentu hybnosti (3 generátory = moment hybnosti) + Lorentzovy transformace („boosts“)

Rotace v prostoru

(3 generátory)

+ Translace v čase a prostoru

generuje jen triviální zákon zachování (poloha těžiště v t=0)

zachování energie a hybnosti Podgrupa 1

(4 generátory = energie & hybnost)

Lorentzova grupa

Rotace v prostoru + Lorentzovy transformace Podgrupa 2

Rotační grupa Rotace v prostoru

(„boosts“)

Henri Poincaré (1854-1912)

Hendrik Lorentz (1853-1928)

Skaláry, čtyřvektory… Nejjednodušší veličiny zaručující symetrii vůči operacím Poincarého  grupy jsou skaláry, např. skalární polní funkce  (x )

Lorenzovsky invariantní jsou však i výrazy obsahující čtyřvektory tvořící skalární kombinace   0,1,2,3 čas-souřadnice

a derivace:    (ct , x )  x  x  (ct , x )

        ,     ,   c  t  x  x c  t         energie-hybnost: 



1 c



 E, p   p  

p  

1 c

elmg. čtyřpotenciál:





 E,  p 

   1 1  A  c V, A cV, A  A



 hustota-proud:   (c , j )  j  j  (c , j )

Transformace čtyřvektoru:    

Pterophyllum Scalare Koi

a  a

matice transformace

sčítací konvence

Skalárem je např. výraz:

x x

x x

  (ct ) 2  | x |2  

Totéž platí pro všechny další čtyřvektory, takže skaláry jsou    např.:

A A

j j   

Další složitější kombinace, jako např.:  v

 A  j

Bispinory…

Diracova rovnice:

 [i   mc] ( x )  0 

Objekty, pro něž transformace Poincarého grupy mají tvar:

 0         S ( )  0   1    1       matice odvozená    Lorentzovy 2  2  z matice        transformace     3   3 

 0 ct   1 x   2 y   3 z    00     10    20    30

Transformace při prostorových rotacích má jednu zvláštnost: Rotace o 360◦ např. kolem osy z

e



i 

1    2  

Jˆ3 2

180°

  01  11   21  31

  02  12   22  32

   03    13     23     33 

 0     1     2    3

(ct , x, y, z )   x 4-vektor

souřadnice-času

bispinor

částice se spinem ½

 

180° 540° 360°

360°= 0° bosony

fermiony 720°=0°

© M.C. Escher

struktura podobná Möbiově pásce

Diskrétní časoprostorové symetrie „Zrcadlení“: P = inverze prostoru T = inverze času C = nábojové sdružení

Každá z těchto předpokládaných symetrií je narušena ve slabých

interakcích

P

symetrie: experimentální důkaz narušení prostorové parity při β rozpadu atomového jádra [madam Wu, 1957] „P zrcadlo“ spin spin

emitovaná částice

60

Co 

60

emitovaná částice

jádro

jádro

Ni  e   e

CP

symetrie: experimentální důkaz narušení kombinované parity při rozpadech neutrálních mezonů [Cronin, Fitch 1964] mezon

antimezon

„CP zrcadlo“

q2

q2 q1

q1 rozpad

CPT

oscilace

rozpad

 T symetrie je sama také narušena (potvrzeno 2012)

symetrie však podle současných teorií platí:

Cˆ  Pˆ  Tˆ  1ˆ

1) Zákony zachování a prostoročasové symetrie 2) Vnitřní symetrie a tvar fundamentálních interakcí

Lagrangovský formalismus pro pole 

Uvažujme skalární pole dané polní funkcí  ( x ) času a souřadnic.  (operátorové funkci) V kvantové teorii přecházíme k operátoru ˆ  ( x ) působící v Hilbertově prostoru stavů pole. Dynamika pole je určena jeho lagraniánem:

L( ,  )

Po dosazení polní funkce Ψ(xμ) dostaneme hustotu lagrangiánu



L( x )





Integrací přes prostor získáme lagrangovu funkci času L(t )  d x L( x )





Integrací přes celý časoprostor získáme akci S  d x L( x ) 4

3

Euler–Lagrangovy rovnice (odvozené z principu minima akce):

 L  L      [   ]     

Příklad: komplexní skalární pole

[

Cf. EL rovnice klas.mechaniky

d L L  dt q q

„kinetický“ člen



]

„potenciální“ (hmotový) člen

L      ( )  1 2

2  [     ( mc ) ]  0 

*

1 2

mc 2 

*

Klein-Gordonova rovnice

Kalibrační symetrie Klasická elektrodynamika: Výpočet elektrické intenzity a magnetické indukce pomocí skalárního & vektorového potenciálů

   B   A    E  V  t A

Výsledky invariantní vůči transformaci

   A  A  f V  V  t f

Historické milníky kalibrační invariance: J.C. Maxwell (1864) – klasická elektrodynamika… Hermann Weyl (1919) – v kontextu obecné relativity Vladimir Fok (1926) Fritz London (1927) kvantová mechanika Hermann Weyl (1928)

Kalibrační symetrie Klasická elektrodynamika: Výpočet elektrické intenzity a magnetické indukce pomocí skalárního & vektorového potenciálů

   B   A    E  V  t A

Výsledky invariantní vůči transformaci

A  A  f

Pohyb nabité kvantové částice v elmg. poli p - v rovnicích zaměň:

*

p   i  i  eA 

Např. Klein-Gordonova rovnice:

[(  i e A ) (   i e A )  ( mc )2 ]   0 Kalibrační transformace pole A ( x  ) mění řešení ( x  ) => není to symetrie Rovnice je ale invariantní vůči  e  i f ( x ) kombinaci transformací:   

*

& ( x )  ( x ) e

lokální změna fáze nabitého pole

Kalibrační symetrie 

Elmg.pole A se při kalibrační transformaci mění standardním způsobem, čímž dojde ke kompenzaci členů vzniklých derivováním exponenciály

Aby polní rovnice byly invariantní vůči této transformaci, musíme přejít ke kovariantním derivacím

  D    i e A

A  A  f Im ei



Re ei



Kalibrační transformace

= lokální fázové otočení

i   ( x )  ( x ) e Obrázky: F. Wilczek, Nature 433 (2005) 239

e 

f ( x)

Kalibrační symetrie Důsledky:

 kvantová elektrodynamika

(QED)

Elmg. interakce

1) Společně s komplexním (nabitým) polem

 se vždy objevuje také

elmg. pole

A



2) Interakce mezi oběma poli je určena tvarem kovariantní derivace Např. pro Klein-Gordonův lagrangián L  1     *  1 ( mc ) 2  * : 2

  D    i e A





2







L int~ ieA    *   *    e 2A A|  | 2     j  c ,  j 

základní vertex elmg. interakce

Poznámka: Člen je kompenzací kalibrační neinvariance členu Aμjμ – je to jistá zvláštnost skalárního pole, která nenastává u pole Diracova. Elementární skalární částice jsou neutrální, proto se interakční vertex odpovídající tomuto členu neobjevuje mezi fundamentálními interakcemi…

Kalibrační symetrie Důsledky:

 kvantová elektrodynamika

(QED)

Elmg. interakce

1) Společně s komplexním (nabitým) polem

 se vždy objevuje také

elmg. pole

A



2) Interakce mezi oběma poli je určena tvarem kovariantní derivace Např. pro Klein-Gordonův lagrangián L  1     *  1 ( mc ) 2  * : 2

  D    i e A





2







L int~ ieA    *   *    e 2A A|  | 2     j  c ,  j 

základní vertex elmg. interakce

3) Kalibrační symetrie & teorém Noetherové => zákon zachování el.náboje

Kalibrační symetrie Zobecnění:

 kvantová chromodynamika Silné interakce

(QCD)

Kvarky mají kromě el.náboje také barvu – hraje roli „náboje“ pro silné interakce. Kvarky mohou mít 3 barvy: červená, modrá, zelená. Antikvarky mají 3 antibarvy: anti červená, anti modrá, anti zelená. Částice, které se z kvarků skládají, jsou navenek bezbarvé – proto silná interakce působí jen na malých vzdálenostech. Silné interakce mezi kvarky  R    R  iG      jsou odvozeny ze zobecněné kalibrační transformace: U  e  B     B       G  G     G   G 

Z historie kvarků: Predikce – M. Gell-Mann (1964), G. Zweig (1964) Barva – O. Greenberg (1964), M.-Y. Han, Y. Nambu (1965)

Murray Gell-Mann (*1929)

Kalibrační symetrie Zobecnění:

 kvantová chromodynamika Silné interakce

(QCD)

Kvarky mají kromě el.náboje také barvu – hraje roli „náboje“ pro silné interakce. Kvarky mohou mít 3 barvy: červená, modrá, zelená. Antikvarky mají 3 antibarvy: anti červená, anti modrá, anti zelená. Částice, které se z kvarků skládají, jsou navenek bezbarvé – proto silná interakce působí jen na malých vzdálenostech. Silné interakce mezi kvarky  R    R  iG      jsou odvozeny ze zobecněné kalibrační transformace: U  e  B     B       G  G     G   G 

G  f 0 ( x  ) I  f1 ( x  ) 1    f8 ( x  ) 8 již zahrnuto v obyč. kalib.transformaci

............ Gell-Mannovy matice

(generátory unitárních transformací v dim=3)

Symetrie vůči této transformaci vyžaduje existenci 8 typů kalibračních polí. Tato pole zprostředkují silné interakce. Jejich kvanta jsou gluony, které existují v 8 superpozicích stavů „barva-antibarva“

Kalibrační symetrie Zobecnění:

 kvantová chromodynamika Silné interakce

(QCD)

Kvarky mají kromě el.náboje také barvu – hraje roli „náboje“ pro silné interakce. Kvarky mohou mít 3 barvy: červená, modrá, zelená. Antikvarky mají 3 antibarvy: anti červená, anti modrá, anti zelená. Částice, které se z kvarků skládají, jsou navenek bezbarvé – proto silná interakce působí jen na malých vzdálenostech. Silné interakce mezi kvarky  R    R  iG      jsou odvozeny ze zobecněné kalibrační transformace: U  e  B     B       G  G     G   G 

G  f 0 ( x  ) I  f1 ( x  ) 1    f8 ( x  ) 8 již zahrnuto v obyč. kalib.transformaci

............ Gell-Mannovy matice

(generátory unitárních transformací v dim=3)

Díky zobecněné kalibrační symetrii se barva zachovává.

Symetrie vůči této transformaci vyžaduje existenci 8 typů kalibračních polí. Tato pole zprostředkují silné interakce. Jejich kvanta jsou gluony, které existují v 8 superpozicích stavů „barva-antibarva“

Kalibrační symetrie a slabé interakce Slabých interakcí se účastní kvarky a/nebo leptony (elektron, mion, taon, neutrina). Základem je výměna intermediálních bosonů W± a Z0. Tyto interakce způsobují např. β± rozpady jader.

základní vertex

Z historie slabých interakcí: 1 e2  1930: W. Pauli postuluje existenci neutrina 4 0 c (potvrzeno 1952 C. Cowanem a F. Reinesem) 1933: E. Fermi vytváří první (zatím nesprávnou) kvantově polní teorii β rozpadu 1957: Bruno Pontecorvo předpovídá oscilace neutrin (prokázáno v různých formách 1998-2012) 1968: S. Glashow, A. Salam, S. Weinberg odvozují teorii elektroslabých interakcí s využitím intermediálních bosonů W± a Z (prokázány 1983)

Enrico Fermi (1901-1954)

q

q β– rozpad neutronu

rozptyl elektronu na kvarku/neutrinu

slabý rozpad pionu

t

Kalibrační symetrie a slabé interakce Slabých interakcí se účastní kvarky a/nebo leptony (elektron, mion, taon, neutrina). Základem je výměna intermediálních bosonů W± a Z0. Tyto interakce způsobují např. β± rozpady jader.

základní vertex

Nelze také slabé interakce odvodit z kalibrační symetrie? Zdá se že ne! Intermediální bosony mají nenulové klidové hmoty (80-90 x hmota protonu), zatímco kvanta kalibračních polí musí být nehmotná (jako fotony a gluony) Člen polního lagrangiánu odpovídající klidové energii kvant pole není invariantní vůči kalibrační transformaci mc 2 





A A

A  A    f

q

q β– rozpad neutronu

rozptyl elektronu na kvarku/neutrinu

slabý rozpad pionu

t

Higgsův mechanismus V roce 1964 byl navržen způsob, jak zkonstruovat hmotné kalibrační pole. Předpokládá interakci kalibračního pole Aμ se skalárním Higgsovým polem Φ Peter Higgs (*1929) François Englert (*1932)

Higgsův mechanismus byl zabudován již do elektroslabé teorie Glashowa, Salama aWeinberga, ale experimentální důkaz byl podán až v roce 2013.

Sheldon Glashow Steven Weinberg (*1932) Abdus Salam (1926-96) (*1933) Rozpad Higgsova bosonu na 4 leptony (zaznamenáno 18.5.2012 detektorem ATLAS na LHC v CERN)

Higgsův mechanismus V roce 1964 byl navržen způsob, jak zkonstruovat hmotné kalibrační pole. Předpokládá interakci kalibračního pole Aμ se skalárním Higgsovým polem Φ Peter Higgs (*1929) François Englert (*1932)

Předpokládaný lagrangián Higgsova pole: , kde V má tvar mexického klobouku, *  1 např: V (|  |)  1 2 |  |4  1  2 |  |2 2 

L       V (|  |)

4

2

Stav s nejmenší energií (vakuum) není Φ = 0 ale |  |  / 

Higgsův lagrangián v této formě nemá standardní kvantově polní interpretaci („soustava oscilátorů“). Srovnej např. s Klein-Diracovým lagrangiánem: 2 2 L  12    *  12 ( mc ) |  | 

Re 

 Im 

Higgsův mechanismus V roce 1964 byl navržen způsob, jak zkonstruovat hmotné kalibrační pole. Předpokládá interakci kalibračního pole Aμ se skalárním Higgsovým polem Φ Peter Higgs (*1929) François Englert (*1932)

Předpokládaný lagrangián Higgsova pole: , kde V má tvar mexického klobouku, *  1 např: V (|  |)  1 2 |  |4  1  2 |  |2 2 

L       V (|  |)

4

2

Stav s nejmenší energií (vakuum) není Φ = 0 ale |  |  / 

Požadavek kalibrační symetrie Higgsova pole: 

zavedení kalibračního pole Aμ

     (pole, které bude „zhmotněno“)  (   i q A ) * (    i q A ) *

Spontánní narušení symetrie:

  Re   

(přechod do jednoho z ekvivalentních vakuí) Im   0 :  Im   (   i q A )(   ) (    i q A )(   )          ( q ) 2 A A hmotový člen kalibračního pole

Ψ

Re 

!!!

Higgsův boson… a co dál?

Alaska Highway Photo Album @ www.explorenorth.com/

kvantová temná hmoty gravitace hmota temná neutrin energie

asymetrie supersymetrie? strunové teorie? hmoty a antihmoty

Supersymetrie? Sjednocení časoprostorových a vnitřních symetrií není v netriviální formě možné v rámci obyčejných grup/algeber (Coleman-Mandulův teorém, 1967), ale v rámci zobecněných, tzv. gradovaných grup/algeber, lidově supergrup/superalgeber. Nejjednodušší superalgebra se skládá ze 2 sektorů, sudého (bosonového) a lichého (fermionového), mezi nimiž platí následující komutační [●,●] a antikomutační {●,●} relace: [ sudý, sudý ] = sudý

[ sudý, lichý ] = lichý {lichý, lichý } = sudý Podle SUSY teorií má mít každý fermion bosonového partnera a naopak: známé částice…

…a jejich

SUSY

partneři

© S. Harris

pozorovány všechny… …nepozorován žádný

Kvarky, neutrina, mezony. Všechny tyhle prokleté částice, co se nedají uvidět, mě dohnaly k pití. Ale TEĎ už je vidět MŮŽU!

La nature crée des symétries? Non!

Symétries créent la nature! *

Další čtení: • D. Griffiths, Introduction to Elementary Particles (Harper & Row, 1987) • D. McMahon, Quantum Field Theory Demystified (McGraw-Hill, 2008) • H.J. Lipkin, Lie Groups for Pedestrians (North-Holland, 1965)…

*

„Příroda vytváří symetrie? Ne! Symetrie vytvářejí přírodu!“

(překlad do francouzštiny: odpovědnost Google)