SMA2 – Přednáška 05 Princip virtuálních posunutí Deformační metoda Matice tuhosti prutu pro tah/tlak Matice tuhosti prutu pro ohyb Program EduBeam Příklady
Copyright (c) 2012 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/
1
Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) Skutečný stav
E,A
N
x L
N
u
1
N
x L
N
u
E,A
Virtuální stav
Virtuální práce vnějších posunutí We
δu
N – skutečná síla na prutu u – skutečný posun konce prutu u – virtuální (myšlený) posun, který nezávisí na skutečných posunutích a má libovolnou velikost (nenarušuje lineární systém) N – virtuální síla, která plyne ze zvoleného u
O
EA L
u
W e =N u u Hustota energie deformace
Virtuální práce vnitřních posunutí Wi
E
1
O
W i=∫V d V
2
Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) ●
Pro prut z lineárně elastického materiálu platí L
δ W i=∫V σ δ ε d V =∫ 0
L
Eu δ u EA A d x =∫ 2 u δu d x L L 0 L
δ W e =N δ u
(
L
) (
EA u 0=δW i−δW e =δ u ∫ 2 u d x−N =δ u EA − N =δu ( N i− N ) =0 L 0 L ●
●
)
Z rovnosti vnitřních a vnějších virtuálních prací posunutí plyne obecně podmínka rovnováhy. Pozn. Virtuální posun u prozatím uvažujeme na okraji prutu (uzlu), posun po délce prutu uvažujeme lineární s maximální hodnotou u. Lze však obecněji uvažovat, že u(x) je variace funkce posunutí a tím položit základ pro přibližné řešení úlohy (např. metoda konečných prvků).
3
Srovnání silové a deformační metody Silová metoda (SM)
Obecná deformační metoda (ODM) Princip virtuálních posunutí
Řídící princip
Princip virtuálních sil
Neznámé
Síly, momenty
Posuny a natočení ve styčnících (uzlech)
Základní předpoklad
Rovnováha sil a momentů
Spojitost posunutí a natočení
Počet neznámých (rovnic)
Stupeň statické Stupeň kinematické neurčitosti konstrukce neurčitosti konstrukce
Podmínečné rovnice
Podmínky spojitosti posunů a natočení v odebraných vazbách
Poznámky
Vhodná pro ruční výpočet Snadná algoritmizovatelnost, speciální případ metody konečných prvků
Podmínky rovnováhy sil a momentů ve styčnících
4
Statická a kinematická neurčitost Stupeň statické neurčitosti určuje počet přetvárných podmínek v SM neznámé X1, X2 ...
Stupeň kinematické neurčitosti určuje počet podmínek rovnováhy v ODM neznámé u1, w1, ... u
u
w
w
SUK, 2x KNK 0 rovnic SM, 2 rovnice ODM
SUK, 9x KNK 0 rovnic SM, 9 rovnic ODM
u
1x SNK, 2x KNK 1 rovnice SM, 2 rovnice ODM
2x SNK, 1x KNK 2 rovnice SM, 1 rovnice ODM
3x SNK, 6x KNK 3 rovnice SM, 6 rovnic ODM
7x SNK, 2x KNK 7 rovnic SM, 2 rovnice ODM 5
Matice tuhosti prutu pro tah/tlak ●
Potřebovali bychom odvodit vztah mezi posunem konce prutu u a výslednou normálovou silou na prutu N, abychom se vyhnuli časté integraci po délce prutu. L Eu A EA 0=δW i−δW e =∫V σ δε d V −N δu=δ u ∫ d x −N =δ u u−N L L L 0
(
) (
)
Tuhost prutu v tahu/tlaku. Výsledek integrace hustoty virtuální energie posunutí. Výsledek nezávisí na virtuálním posunu v deformační metodě se u přímo nevyskytuje.
Přeznačení dle konvence deformační metody x z
X
Styčník a
1 ab
ua
ub
(1)
(2)
(1)
(2)
(4)
(5)
(6) T
(3)
(4 )
(5 )
(6) T
R={X ab , Z ab , M ab , X ba , Z ba , M ba } 4
X ba
Styčník b
ua
{ } [
(3 )
r ={u a , w a , ϕa , ub , w b , ϕ b }
ub
]{ }
X ab EA 1 −1 u a = L −1 1 u b X ba
{ }[
Matice tuhosti prutu pro tah/tlak. Singulární, pozitivně semidefinitní symetrická matice, na diagonále čísla vždy > 0.
]{ }
X ab k k u = 11 14 a X ba k 41 k 44 ub
Síla v místě a směru síly 4 od jednotkového posunu v místě a směru síly 1.
6
Matice tuhosti prutu pro ohyb (1)
x
(2)
(3 )
(4)
(5)
1
(6) T
z
2
3
4
5
6 T
R={X ab , Z ab , M ab , X ba , Z ba , M ba }
r ={u a , w a , ϕa , ub , w b , ϕ b }
6
Styčník a wa
M ba
3
M ab
ϕa
Z
Styčník b wb
5
Z ba
2 ab
b
Získání prvků matice tuhosti. Vynucení jednotkového posunu wa. k 62
k 32 w a=1
z
x
(3)
M ab
k 52 k 22
{ }[ Z(2) ab (5)
Z ba
M
(6) ba
k 22 k = 32 k 52 k 62
k 23 k 33 k 53 k 63
k 25 k 35 k 55 k 65
]{ } w(2) a =1
k 26 (3) k 36 ϕ a =0 ) k 56 w(5 b =0 k 66 ϕ(6) b =0
Matice tuhosti prutu pro ohyb. Symetrická pozitivně definitní matice. 7
Alt. 1: Pomocí diferenciální rovnice ohybu 6
M ba = k 62
3 ab
M = k 32
Staticky určitá kce
=
w a=1 2 ab
3
w a=1
2
Z ab
Z =k 52
[
x 5
Z ba
M x=−Z ab x−M ab
Integrace diferenciální rovnice ohybové čáry.
EIw ' '=Z ab x +M ab x2 EIw '=Z ab + M ab x+C1 2 x3 x2 EIw=Z ab +M ab +C1 x+C2 6 2 C2 w (0)=1= → C 2= EI EI w ' (0 )=0 → C 1=0
M ba
a =0
5 ba
Z =k 22
6
M ab
... čtyři okrajové podmínky, čtyři neznámé. 3
2
x x w ( x)=2 3 −3 2 +1 L L
Tzv. Kubická bázová funkce pro posun wa.
]
2
1 L L w ' ( L)=0 = Z ab +M ab L → M ab =−Z ab EI 2 2
[
3
2
]
[ ]
1 L L 1 EI EI 3 1 w ( L)=0= Z ab +M ab + EI =Z ab L − + EI → Z ab =12 3 , M ab=−6 2 EI 6 2 6 4 L L8
Alt. 2: Pomocí silové metody 6
(3)
M ba = k 62
3
M ab = k 32
M ab = X 1
=
w a=1
6
a =0
M ba
x
w a=1 (2 )
2
Z ab =k 22
Z ab = X 2
5
Z ba =k 52
5
Z ba
M0
2
L L δ 11= rad/kNm , δ12 = rad/kN EI 2 EI 3 L δ 22= m/kN 3 EI δ 10=0 rad , δ 20=−1⋅1=−1 m
[
1
–
1
L
1
]{ } { } { } ]{ } { } [ ]{ } [ }
M1 –
2
1 6 L 3 L X1 0 0 + = 6 EI 3 L 2 2 L 3 X 2 −1 0
[ {
M2
2
6 L 3 L X1 0 = 2 3 6 EI 3 L 2 L X2
3
2
M ab = X 1 1 2L −3 L = 2 Z ab= X 2 12 L 4 −9 L 4 −3 L 6L
3
2
1 2L −3 L 0 = 4 6 EI 3 L −3 L 2 6 L
]{ } {
2
−6 EI / L 0 = 3 6 EI 12 EI / L
}
9
Matice tuhosti prutu pro ohyb (bez vlivu smyku) Stav pro wa=1 −6EI M ab =k 32= 2 L
M ba =k 62=
M
−6EI 2 L
–
Stav pro wb=1 M ab =k 35 =
6EI 2 L
M ba =k 65 =
M
–
6EI 2 L
w a=1
w b=1
+ Z ab= k22 =
12EI 3 L
3
2
x x w x=2 3 −3 2 1 L L
Z ba= k52 =
3
−12EI 3 L
Stav pro a=1 M ab =k 33 =
4EI L
–
Z ab= k25 =
M ba =k 63 =
M
2EI L
M ab =k 36 =
2EI L
Z ba= k55 =
12EI 3 L
+ 3
2
Z ba= k53 =
M ba =k 66 =
M – 2
−x x w x= 2 L L
6EI 2 L
Z ab= k26 =
−6EI 2 L
4EI L
b =1 3
−x x w x= 2 2 − x L L
−6EI 2 L
−12EI 3 L
+
Stav pro b=1
a =1
Z ab= k23 =
2
x x w x=−2 3 3 2 L L
+
Z ba= k56 =
6EI 2 L 10
Matice tuhosti prutu pro tah/tlak a ohyb
{ }[ (1 )
X ab Z (2ab)
(3 )
M ab (4 ) X ba Z (5ba)
M (6ba)
EA / L 0 0 −EA / L 0 0 0 12 EI / L 3 −6 EI / L2 0 −12 EI / L3 −6 EI / L2 2 2 0 −6 EI / L 4 EI / L 0 6 EI / L 2 EI / L = −EA / L 0 0 EA / L 0 0 3 2 3 2 0 −12 EI /L 6 EI / L 0 12 EI / L 6 EI / L 2 2 0 −6 EI / L 2 EI / L 0 6 EI / L 4 EI / L
]{ } (1)
ua w(2) a (3)
ϕa (4 ) ub w(5b ) ϕ(6) b 6
Zkráceně pomocí vektorů a matic: {R}=[K ]{r } Vnitřní a vnější energie prutu: Ei =
1 1 T σ εd V = E = {r } [K ]{r } ∫ e ⏟ 2 V 2
X
1 ab
M
M ba
3 ab
4
X ba
{R}
Pro ruční výpočet lze výpočet z uzlových přetvořeních přepsat. Přidejme vliv zadaných koncových momentů a koncových sil na prutu:
w − wa EI M ab =M ab +2 2 ϕ a + ϕb + 3 b L L
(
Z ab= Z ab
) w −w EI −2 3 ϕ +3 ϕ + 6 L ) L ( b
2
a
b
a
Z
w − wa EI ϕ a +2 ϕb +3 b L L
) w −w EI +2 3 ϕ +3 ϕ + 6 L ) L (
M ba =M ba +2 Z ba= Z ba
5
Z ba
2 ab
(
b
2
a
a
b
Pozn. Vliv smykové deformace (Timošenkův, Mindlinův prut) by se v matici tuhosti projevil dalšími členy. Ty jsou standardně obsaženy ve většině programů pro analýzu konstrukcí.
11
Pomůcka – Vzorce a koncové síly/momenty
12
Příklad – Určete průběh M na polorámu pomocí ODM 18 kNm
ϕb
18 kNm
c
b
L1=4 m
M bc
EI=13 500 kNm2
L2=5 m
Z ba
Podmínka momentové rovnováhy ve styčníku b :
Z ab M ab
EI EI 2 ϕb ) , M bc =2 ( (2 ϕb ) L1 L2
M ba +M bc −18=0, 2
8
M ba
3,75 2,4
2,4 8 10 3,75
Zpětná substituce:
EI M ba =2 ( 2 ϕb ) =10 kNm , M ab =5 kNm L1 EI ( 2ϕ b )=8 kNm, M cb =4 kNm L2
4
3,75
EI EI ( 2ϕ b )+2 ( 2 ϕ b ) =18 L1 L2
ϕ b (13 500+10800)=18 → ϕ b=7,407e-4 rad
M bc =2
Z cb
Z bc
M ba
M cb
M ba
a
M ba =2
M bc
2,4
10
M
3,75 5
– +
2,4
5
4
13
Program EduBeam ●
● ● ● ●
Volně šiřitelný software pro 2D lineární analýzu prutových konstrukcí, ODM http://www.oofem.org/wiki/doku.php?id=edubeam:edubeam Napsán v jazyce Python 2.7 Běží na většině OS (Win, Mac, Unix), vytvořen exe pro Win Grafické rozhraní pro vstupy/výstupy, pdf manuál
14
Řešený rám v EduBeamu ●
Vliv smykového zkosení eliminujeme nastavením >>1
b=0,2 m h=0,3 m A=0,06 m2 I y =4,5⋅10
−4
m
4
E=30 GPa
Vstup ●
Výstup M
Globální neredukovaná matice tuhosti konstrukce dof/dof 0, u, 2_Y 1, p, 1_x 2, p, 1_z 3, p, 1_Y 4, p, 3_x 5, p, 3_z 6, p, 3_Y 7, p, 2_x 8, p, 2_z
0, u, 2_Y 24300 -5062.49 0 6749.98 0 3240 5399.99 5062.49 -3240
1, p, 1_x -5062.49 2531.25 0 -5062.49 0 0 0 -2531.25 0
2, p, 1_z 0 0 449999 0 0 0 0 0 -449999
3, p, 1_Y 6749.98 -5062.49 0 13500 0 0 0 5062.49 0
4, p, 3_x 0 0 0 0 360000 0 0 -360000 0
5, p, 3_z 3240 0 0 0 0 1296 3240 0 -1296
6, p, 3_Y 5399.99 0 0 0 0 3240 10800 0 -3240
7, p, 2_x 5062.49 -2531.25 0 5062.49 -360000 0 0 362531 0
8, p, 2_z -3240 0 -449999 0 0 -1296 -3240 0 451295
15
Otázky 1. Z diferenciální rovnice ohybové čáry odvoďte koncové síly a momenty na prutu s jednotkovým natočením pravého konce. 2. Jaký je rozdíl mezi statickou a kinematickou neurčitostí? Ukažte na příkladu staticky neurčitého spojitého nosníku. Namalujte konstrukci, která je staticky neurčitá a kinematicky určitá a konstrukci, která je staticky určitá a kinematicky neurčitá. 3. Jak vypadá průběh momentu na prutu, kde je vynucen posun a bráněno pootočení? Jaký je poměr velikostí momentů na pravé a levé straně? 4. Určete, zda je matice prutu pro tah/tlak 2x2 singulární. Jaká je hodnost matice? Vysvětlete pozadí problému z pohledu mechaniky. 5. Určete, zda je matice prutu pro ohyb 4x4 singulární. Jaká je hodnost matice? Vysvětlete pozadí problému z pohledu mechaniky a jak prut podepřít, aby matice byla regulární. 6. Z jakých podmínek vypočteme neznámé deformace na konstrukci v obecné deformační metodě?
Vytvořeno 02/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer
16
