PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR. Ormándlaky Zsolt FIZIKA II. 1. kiadás PÉCS, 2006

PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR

Ormándlaky Zsolt

FIZIKA II. 1. kiadás

PÉCS, 2006.

A jegyzetet lektorálták: Dr Tarnik István villamosmérnök, mérnök-tanár, főiskolai docens Dr Nyitray Gergely fizikus, egyetemi adjunktus

2

Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

BEVEZETÉS Ebben a jegyzetben az SI mértékrendszert használjuk, melynek alkalmazása - az egyes nemzetközi ajánlásokon túlmenően - az MSZ 4900 jelű szabványelőírás alapján kötelező. A mértékrendszer alapmennyiségei és ezek mértékegységei a következők: Az alapmennyiségek megnevezése

A mértékegység jelölése

A mennyiség szokásos betűjelölése

méter

m

x, y, z, s, h, l, … stb.

kilogram

kg

m

szekundum

s

t

Áramerősség

amper

A

I

Hőmérséklet

kelvin fok

K

T

mól

mól

n

kandela

cd

Iv

Síkszög

radián

r

α, β, γ, δ, … stb.

Térszög

szteradián

sr

Ω, Θ, Φ, … stb.

megnevezése

Hosszúság Tömeg Idő

Anyagmennyiség Fényerősség A kiegészítő mennyiségek megnevezése

A

további

mértékegységük

fizikai pedig

mennyiségek

az

az

alapmennyiségek

alapmennyiségekből mértékegységeivel

származtathatók, mindig

kifejezhetők.

SI Az

alkalmazásban ezt a szabályosságot gyakran elfedi azoknak a mértékegységeknek a használata, amelyeket a rövidebb írásmód érdekében használunk, egyenértékűen az alapmennyiségekkel való leírás helyett. Például: 2

2

m m m J 1 kg⋅ 2 =1 N , 1 kg⋅ 2 =1 N⋅m=1 J , 1 kg⋅ 3 =1 =1 W , s s s s

2

1 kg⋅

m W =1 =1 V 3 A A⋅s

A fizikai számításoknál az eredményt a mérőszám és a mértékegység együttese jelenti. Az összefüggésekbe beírt mérőszámokhoz tartozó mértékegységek egyértelműen meghatározzák az eredményül kapott mérőszám mértékegységét. Természetesen, ha a képletbe való helyettesítéskor következetesen SI egységek szerinti mérőszámokat használunk, akkor az eredményül kapott mérőszámhoz a fizikai mennyiség SI egysége járul. Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

3

1. HIDROSZTATIKA A hidrosztatika a fizikának az a részterülete, amely a nyugvó közeggel foglalkozik. A közeg nyugvó, ha tömegének bármely önkényesen kiválasztott részére igaz, hogy annak sebessége zérus. Ez a feltétel teljesül, ha a kezdeti állapotban a tömegrész nyugalomban van, és ezt követően a rá ható erők eredője nulla. E területen leggyakrabban a következő fogalmakat használjuk. Súlyerő: G=m⋅g

[

m kg⋅ 2 = N s

]

Sűrűség: =

dm dV

[ ] kg 3 m

A folyadékok összenyomhatatlanok, tehát - a hőtágulást elhanyagolva - sűrűségük állandó. Fajsúly: =

dG dm =g⋅ = g⋅ dV dV

[ ] N m3

Nyomás: p=

dF dA dF ⋅ = ⋅n dA dA dA A

[ ] N m2

1

N =1 Pa m2

105 Pa=1 bar

A képletben dA a felületelemet, dA a felületelem-vektort, n A a felületelem egységvektorát jelenti. Mint látható, a nyomás skalár mennyiség. Értékét úgy kapjuk meg, hogy az erőnek a felületre merőleges összetevőjét elosztjuk a felület nagyságával. Jellegzetes nyomásérték - a Föld légkörének súlyából származó - tengerszinten mérhető normál nyomás: p0=1,013 .105 Pa = 760 Hgmm=760 torr A nyomás felületre hatva a felületre merőleges irányú erőt hoz létre. dF = p⋅dA= p⋅dA⋅n A [ N ]

4


1.1. A FELÜLETI FESZÜLTSÉG A folyadék molekulái között ható kohéziós erők hatására - egyéb erők híján - a folyadék a térfogatához tartozó minimális nagyságú felülettel járó alakot, tehát gömbalakot vesz fel. Ezt a felületi feszültség biztosítja. A felületi feszültség hatása a folyadéktérfogat alakjára, egyéb erők mellett is abban nyilvánul meg, hogy a folyadéktömeg felszínén - a körülmények szerinti - lehető legkevesebb molekula legyen. A felületi feszültség jellemző az anyagra, jele: α . F

=

L/2

Δs

F W F⋅ s = = L  A L⋅ s

[

J N = m2 m

]

1.2. A HIDROSZTATIKAI NYOMÁS A folyadékoszlop súlyából származó nyomást hidrosztatikai nyomásnak nevezzük p h=⋅g⋅h

ahol :



[ ] kg 3 m

,

g

[ ms ]

,

h [ m]

,

p h [ Pa ]

1.3. A FELHAJTÓERŐ Arkhimédesz törvénye kimondja, hogy a folyadékba merülő testre felhajtóerő hat, amely éppen egyenlő a kiszorított folyadék súlyával. A felhajtóerő iránya a súlyerő irányával ellentétes. F felh=g⋅ folyadék⋅V kiszorított

2. HIDRODINAMIKA 2.1. A HIDRODINAMIKA ALAPFOGALMAI A hidrodinamika tárgya az áramló összenyomhatatlan közegek fizikája. Az áramlás lehet az időben állandó és változó. Az időben állandó áramlást stacionáris áramlásnak nevezzük. Az áramlás stacionáris, ha az áramlási tér tetszőleges pontjában az áramlási sebesség az időben állandó. 2.1.1. A TÖMEGÁRAMLÁSI INTENZITÁS A tömegáramlási intenzitás, az áramás irányára merőleges felületen az időegység alatt átjutó tömeg mennyiségét fejezi ki. I m=


m t

[ kgs ] 5

2.1.2. A TÉRFOGATÁRAMLÁSI INTENZITÁS A térfogatáramlási intenzitás, az áramás irányára merőleges felületen az időegység alatt átjutó tömeg térfogatát adja. V v⋅t⋅A I v= = =v⋅A t t

[ ] m3 s

Fennáll továbbá:  m=⋅V ,

tehát

I m =⋅I v =⋅v⋅A

2.1.3. A FOLYTONOSSÁGI TÖRVÉNY A közeg összenyomhatatlanságából következik az, hogy bármely időszakban a tetszőlegesen kijelölt térrészbe beáramló tétfogat nagysága megegyezik a térrészből kiáramló térfogat nagyságával. Például: az ábrán látható cső bármely szakaszára belátható, hogy adott időszakban a belépő és a kilépő térfogatok nagysága megegyezik. A3 A2 A1 v1

A1 ⋅v 1 ⋅t = A 2 ⋅v 2 ⋅ t= A3 ⋅v 3 ⋅ t ,

v2

v3

tehát: A1 ⋅v 1 = A2 ⋅v 2 = A3 ⋅v 3 ,

I v = Ai⋅v i =konstans

A folytonossági törvény általános alakja az áramlási tér bármely zárt térfogatrészére a következőképpen írható fel:

∮ v⋅dA=0 V

Az áramlás során súrlódási veszteségek keletkeznek. A veszteségek hatása a gyakorlati esetek egy részében elhanyagolható, ekkor az áramlást veszteségmentesnek tekinthetjük. A veszteséges áramlásnak két változatát kell megkülönböztetnünk. a./ Lamináris, vagy réteges áramlás, amelyre az jellemző, hogy a folyadékrétegek egymáson surlódással elcsúsznak, de áramlási örvények nem keletkeznek. b./ Turbulens, vagy örvényes áramlás, amelyre az jellemző, hogy az áramlási irányba

6


való mozgáshoz örvénylő mozgás társul. Az örvények jelentősen megnövelik a belső súrlódások következtében fellépő áramlási veszteséget. Az áramlási keresztmetszet mentén a sebességek változását a következő ábrán láthatjuk.

v

v

v

Veszteségmentes áramlás

Réteges áramlás

Örvényes áramlás

2.2. A VESZTESÉGMENTES ÁRAMLÁS 2.2.1. BERNOULLI TÖRVÉNYE

g

A2

p2 v2

ρ v1

A1 p1

h2 h1

Az ábra az áramlási csatorna tetszőlegesen kiválasztott részletére vonatkozik. A veszteségmentes áramlás azt jelenti, hogy a külső munka teljes egészében a rendszer energiájának növelésére fordítódik. Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

7

Vizsgálatunk vonatkozzék Δt időszakra. Írjuk fel a környezet által végzett munka és a rendszer energiaváltozásának egyenlőségét! p1 ⋅A1 ⋅v 1 ⋅ t− p 2 ⋅A2 ⋅ t= E h  E m  E h  E m =⋅A 2 ⋅v 2 ⋅ t⋅g⋅h 2 −⋅A1 ⋅v 1 ⋅ t⋅g⋅h10,5 ⋅⋅A2 ⋅v 2 ⋅t⋅v 22−0,5 ⋅⋅A1⋅v 1 ⋅ t⋅v 12 Tudjuk, hogy a folytonossági törvény alapján : A1 ⋅v 1 ⋅ t= A 2 ⋅v 2 ⋅t Élve az egyszerűsítés lehetőségével: 2

2

p1 − p 2 =⋅g⋅h2 −⋅g⋅h10,5 ⋅⋅v 2−0,5 ⋅⋅v 1

azaz: p10,5 ⋅⋅v 12 ⋅g⋅h1 = p 2 0,5 ⋅⋅v 22⋅g⋅h 2

A kapott eredmény az áramlási csatorna két önkényesen választott helyének jellemzői közötti kapcsolatot mutatja, ezért az alábbi általánosabb formában is felírható: 1 2 pi  ⋅⋅v i ⋅g⋅hi =állandó 2

Ezt a formulát Bernoulli törvényének nevezzük. A baloldalon szereplő tagok összege az áramlási csatorna bármely pontján egyező eredményre vezet. A tagok fizikai tartalmuk szerint felfoghatók nyomásoknak, de akár energiasűrűségeknek is. Az utóbbi szemlélet előnye, hogy a tétel állítása az energia megmaradás törvényének egyik változataként közvetlenül belátható. TAGOK

pi

Nyomások sztatikai nyomás Energiasűrűségek

nyomási energiasűrűség

1 2 ⋅⋅v i 2

⋅g⋅hi

Mértékegységek

dinamikai nyomás hidrosztatikai nyomás

N =Pa m2

mozgási energiasűrűség

N⋅m J = 3 m3 m

helyzeti energiasűrűség

A törvény az összenyomhatatlan, vagy a jelenség során gyakorlatilag összenyomhatatlannak tekinthető, közegek stacionárius /időben állandó/ veszteségmentes áramlására érvényes.

2.3. A VESZTESÉGES ÁRAMLÁS A veszteséges áramlás esetében, amíg egy kiválasztott térfogatrésznyi közeg az áramlási csatorna 1. pontjából az áramlási csatorna 2. pontjába jut, energiájából veszít. Ezt a veszteséget -célszerűen- térfogategységre vonatkoztatva adjuk meg. A veszteséges áramlás során

8


tehát a közeg energiasűrűsége csökken. Az energiasűrűségek összege a 2. helyen kisebb, mint az 1. helyen volt. 1 1 p1 ⋅⋅v 12 ⋅g⋅h1  p 2  ⋅⋅v 22⋅g⋅h 2 2 2 Az energiasűrűség csökkenését, vagyis az áramlási nyomásveszteséget jelöljük Δp-vel! A 2. hely összes energiasűrűsége -a veszteség miatt- Δp értékkel kisebb, tehát írható, hogy: 1 1 2 2 p1 ⋅⋅v 1 ⋅g⋅h1 = p 2  ⋅⋅v 2⋅g⋅h 2 p 2 2

Ezzel az egyenlőséggel kezelhetjük a veszteséges áramlási eseteket. Természetesen fontos kérdéssé válik az áramlási nyomásveszteség megállapítása. Az összefüggés alkalmazásánál tisztán kell látnunk az áramlási úton kiválasztott két hely közötti sorrendiséget, hiszen a közeg tovahaladásával csökken annak energiája. A veszteséges áramlás lehet réteges, és lehet örvényes. Az áramlási nyomásveszteség a közeg áramlási sebességétől az első esetben lineárisan, a másodikban közelítőleg négyzetesen függ. A nyomásveszteség azt a munkát jelenti, amelyet a közeg egységnyi térfogatú részének az 1. helyről a 2. helyre juttatásához -a veszteségek miatt- be kell fektetnünk. Ez a munka a belső súrlódások révén hővé alakul át. 2.3.1. LAMINÁRIS, VAGY RÉTEGES ÁRAMLÁS A közegek kis sebességű áramlásakor az egymáshoz közeli részecskék egyedi sebességei azonos irányúak, nagyságuk -a súrlódás miatt- eltérő. A szomszédos rétegek egymáson elcsúsznak. Ebben az áramlási módban örvények nem keletkeznek. Csővezeték esetén, a cső fala mentén lévő folyadékmolekulákra adhéziós erő hat, ezért ezek a cső falához tapadnak. A következő réteg ehhez képest megcsúszva mozog. A további molekularétegek -a cső falától távolodva- egyre nagyobb sebességűek. Tekintsük a folyadéktér elemi térfogatnyi részét! A térfogatelemet határoló alsó és felső sík legyen merőleges arra az irányra, amely mentén a sebesség megváltozásának egységnyi távolságra eső része a legnagyobb! Ezt az irányt ábránkon a z tengely jelöli.

z v dF

dA dF

Ahhoz, hogy a kiszemelt hasáb felső síkján nagyobb sebesség lehessen, a jelölt dA felület megcsúsztatásához dF erő szükséges. Az erő és a felület hányadosa a csúsztatófeszültség,


9

amit τ-val jelölünk. A csúsztatófeszültség arányos a sebességnek a hely szerinti deriváltjával. Az arányossági tényezőt dinamikai viszkozitásnak nevezzük, és η-val jelöljük. =

dF dv =⋅ dA dz

ahol :

[  ]=

N m2

[  ]=

és

Ns m2

A lamináris áramlás esetén az R sugarú gömbre ható közegellenállási erőt a Stokestörvényből kapjuk. F k =6⋅⋅⋅R⋅v Láthatjuk, hogy ebben az áramlási esetben a közegellenállási erő a sebességgel lineárisan arányos. Az r sugarú csővezetékben áramló közegre a veszteség miatt tapasztalt nyomásesést a következő képlet szolgáltatja:  p= I V

8 ⋅⋅l ⋅r 4

=R á⋅I V

ahol :

Ns [ R á ]= 5 m

és

m3 [ I V ]= s

Itt Rá a csővezeték áramlási ellenállása, amely lamináris áramlás esetén nem függ a térfogatáramlás intenzitásától. 2.3.2. TURBULENS, VAGY ÖRVÉNYES ÁRAMLÁS A sebesség növelésével az áramlási térben lévő különböző sebességű részecskék keveredése miatt örvények keletkeznek. Az örvények révén a részecskék haladási átlagsebessége a teljes keresztmetszetben közel egyenlővé válik. A cső falához közeli részecskék mozgása ekkor is akadályozott. A turbulencia miatt az áramlási veszteség jelentősen megnő, és nagysága az áramlási sebességgel nem lineárisan, hanem közel négyzetesen arányos. A turbulens áramlásra vonatkozó közegellenállási erőt az alábbi tapasztalati képletből számíthatjuk: 2 F k =k⋅An⋅⋅v A képletben An a testnek az áramlás irányára merőleges keresztmetszete, ρ a közeg sűrűsége. A k arányossági tényező, jó közelítésben csak a test alakjától függ, ezért alaktényezőnek nevezzük. Az alaktényező értéke néhány gyakorlati esetre a következő: Körlap: Gömb: Félgömb /konvex/: Félgömb /konkáv/: Áramvonalas test:

k=1 k=0,4 k=0,3 k=1,2 k=0,04

A műszaki alkalmazások céljából bevezetjük a kinematikai viszkozitás fogalmát. Ennek jele: υ, definiálása a következő:  Ns m3 m s m3 m2 = ahol : [  ]= 2 =kg 2 2 = s  m kg s m kg

10


A gyakorlatban el kell döntenünk, hogy az adott esetben a lamináris vagy a turbulens áramlásra vonatkozó összefüggések használata indokolt. Ebben a kérdésben az úgynevezett Reynolds szám ismerete ad eligazítást. ℜe =

v⋅d 

azaz :

ℜe =

sebesség⋅átmérő kinematikai viszkozitás

, amely dimenziótlan mennyiség

A kritikus Reynolds szám nagysága: 2320. A kritikus értékig az áramlás lamináris, fölötte pedig turbulens. A csővezetékben turbulens módon áramló közeg áramlási nyomásveszteségét az alábbi képlet szolgáltatja: 0,3164 ⋅⋅l⋅v 2  p= 4 ahol : [  p ]=Pa  ℜe⋅2 ⋅d Mivel a Reynolds szám a sebesség és az átmérő függvénye, érdemes elvégezni az alábbi átalakítást: 0,3164 ⋅⋅l⋅v 2 0,3164 ⋅⋅l⋅v 1,75  p= = −0,25  ⋅2 ⋅d 1,25 4 v⋅d ⋅2 ⋅d 



Tehát a nyomásveszteség a sebesség 1,75 hatványával egyenesen, és az átmérő 1,25 hatványával fordítottan arányos. 2.3.2.1. Az egyenértékű átmérő Az előző bekezdésekben közölt összefüggések használatával csupán a d átmérőjű – és annak szelvényét teljesen kitöltő – csőben áramló közeg áramlási nyomásveszteségét tudjuk meghatározni. Az áramlási keresztmetszet egyéb geometriai kialakítása esetén, a szelvényhez a veszteségek szempontjából egyenértékű átmérőt rendelünk. Az egyenértékű átmérő alkalmazásával általánossá tehetjük a d átmérőjű csőre vonatkozó számítási eljárásunkat. Az egyenértékű átmérő meghatározása A turbulens áramlás veszteségeit a belső örvényes mozgásssal kapcsolatos súrlódás, és a cső fala mentén fellépő csúszási súrlódás okozza. Az utóbbi attól függ, hogy milyen nagy felületen érintkezik a közeg a cső falával. Azonos áramlási keresztmetszet mellett ez a felület az áramlási szelvény alakjától és a szelvény kerületének attól a szakaszától függ, ahol a közeg a fallal érintkezik. Az egyenértékű átmérő meghatározásához vessük össze egy körkeresztmetszetű és egy tetszőleges szelvényű test palástján fellépő, mozgást akadályozó erők nagyságát. (A palástmenti erők vizsgálatánál közömbös, hogy a test halad az álló közegben, vagy a közeg áramlik az álló csőfal mentén.) Feltételezzük, hogy mindkét test ugyanolyan közegben halad, sebességük és hosszuk egyező nagyságú.


11

τ ΔFk

Ap

τ

Apk v

Ak

ΔF

d

v

l

k A

l

A sebesség fenntartásához ΔFk, illetve ΔF erőt kell biztosítanunk. A p=d⋅⋅l

A p =k⋅l

 F k = A p⋅=d⋅⋅l⋅

 F = A p⋅=k⋅l⋅

 pk =

 F k d⋅⋅l⋅⋅4 4 = =l⋅ 2 Ak d d ⋅

 p=

F k =l⋅⋅ A A

A nyomásveszteség akkor egyenlő, ha Δpk = Δp, vagyis: 4 k = d A

amiből :

d =d e =

4 ⋅A k

Ekkor az A keresztmetszettel és k kerülettel jellemzett test esetében adódó nyomásveszteség egyenlő a d átmérőjű testre számítottal. Az egyenletből meghatározható átmérőt az A keresztmetszetű és k kerületű szelvény egyenértékű átmérőjének nevezzük. Az egyenértékű átmérőt a Reynolds szám és a nyomásesés kiszámításához használjuk. Az áramlási intenzitást azonban, a tényleges A keresztmetszettel kell számítani!

Tehát:

v⋅d e ℜe = 

és

 p=

0,3164 ⋅⋅l⋅v 2

 ℜe⋅2 ⋅d e 4

de,

I v = A⋅v

Az egyenértékű átmérő fenti, egyszerű meghatározása turbulens áramlás esetén érvényes, amikor is -a csőfal közvetlen környezetét leszámítva- a részecskék átlagsebessége, a teljes szelvényben közel azonos. A lamináris áramlás belső súrlódási veszteségei az egymáson elcsúszó, különböző sebességű közegrétegek alakjától, nagyságától függenek. A dinamikai viszkozitástól és szelvény alakjától függő, a lamináris áramlás esetén érvényes egyenértékű átmérő számítására a szakirodalomban találunk eligazítást.

12


2.3.2.2. A levegő és a víz viszkozitási adatai = 20 °C esetén a levegő dinamikai viszkozitása:

ηlev=18,41.10-6 Ns/m2

= 20 °C esetén a levegő kinematikai viszkozitása: υlev=15,273.10-6 m2/s A levegő sűrűsége ezen a hőmérsékleten: ρlev=1,205 kg/m3 = 20 °C esetén a víz dinamikai viszkozitása: ηvíz=10-3 Ns/m2 = 20 °C esetén a víz kinematikai viszkozitása: υvíz=10-6 m2/s A viszkozitás változik a hőmérséklettel! Az alábbi táblázat a víz viszkozitásának változását mutatja a hőmérséklet függvényében. A változás igen erőteljes!

A víz dinamikai viszkozitásának adatai 0...100 °C tartományban!  [°C]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

η[10-3 Ns/m2] 1,790 1,305 1,000 0,801 0,653 0,549 0,471 0,406 0,330 0,315 0,282

3. HŐSZIGETELÉS ÉS PÁRADIFFÚZIÓ 3.1. A HŐSZIGETELÉS 3.1.1. A HŐSZIGETELÉSSEL KAPCSOLATOS FOGALMAK ÉS ANYAGJELLEMZŐK 3.1.1.1. A hőátadási tényező Jele: α , mértékegysége:[W/m2 .K] A hőátadási tényező a szilárd felület 1 m2-nyi részén 1 K fok hőmérséklet különbség hatására a környező közegnek átadott -vagy attól átvett- hőteljesítmény nagyságát adja. Az adhéziós erők, a szilárd felület mentén, egy igen vékony közegréteget mozgásukban akadályoznak. Ez a réteg a hőáramlást akadályozza. A tényező nagysága függ a felület és a közeg anyagának tulajdonságaitól és a közeg áramlását befolyásoló környezeti körülményektől.

1m2


α [W/m2K]

13

A szokásos épületszerkezetek és a levegő között a jellegzetes hőátadási tényezők a következők: - belső falfelület: α = 8,1 W/m2 .K - külső falfelület: α = 23,3 W/m2 .K - tetőfelület: α = 23,3 W/m2 .K - padlófelület: α = 5,8 W/m2 .K - mennyezet: α = 10,5 W/m2 .K - padlás padlózata: α = 11,6 W/m2 .K 3.1.1.2. A hővezetési tényező Jele: λ , mértékegysége:[W/m.K] A hővezetési tényező a szilárd anyagok egyik anyagjellemzője. Értéke megadja annak a hőteljesítménynek a nagyságát, amely 1m vastagságú réteg 1m2-nyi részén, 1 K fok hőmérséklet különbség hatására áramlik át.

λ [W/m.K]

1m2 1m

3.1.1.3. A hőátbocsátási tényező Jele: k , mértékegysége:[W/m2 .K] A hőátbocsátási tényező adott vastagságú réteg hővezetési jellemzője.

2

1m

k [W/m2 .K]

 k= d

és

1 d m 2 ⋅K = =r [ ] k  h W

d

3.1.1.4. Az 1 m2 felületre vonatkoztatott hővezetési ellenállás Jele: rh , mértékegysége:[m2 .K/W] Az 1 m2-re vonatkoztatott hővezetési ellenállás a hőátbocsátási tényező reciproka. Ezt -másképp- hőtechnikai ellenállásnak nevezzük. A hőszigetelések szokásos elrendezésére jellemző az, hogy a hő több rétegen áramlik át. A hőáramlás iránya szerint sorbakapcsolódó rétegek hőellenállásai összeadódva adják a rétegrend eredő hőtechnikai ellenállását. A szilárd felületre tapadó levegőréteg 14


hőtechnikai ellenállását a hőátadási tényező reciprokaként vesszük figyelembe. Több réteg esetén tehát, az eredő hőtechnikai ellenállást az alábbi összefüggés adja: i=n

r he =

1 1 1 1 1 1     ... =∑ r belső k a k b k c k d  külső i=1 hi

3.1.1.5. Az eredő hőátbocsátási tényező Jele: ke , mértékegysége:[W/m2 .K] Adott rétegrend hőátbocsátási jellemzője. Számértéke az eredő hőtechnikai ellenállás reciprokával egyenlő. 3.1.1.6. A hőáramsűrűség

Jele: q , mértékegysége:[W/m2] A hőáramsűrűség a rétegrend 1 m2 keresztmetszetén - az adott hőmérséklet különbség hatására - átáramló hőteljesítményt adja meg. A hőáramsűrűség ismeretében az egyes rétegekre jutó hőmérséklet különbség - másnéven, hőfokesés - igen könnyen kiszámítható. q=

 = ⋅k e r he

,és az egyes rétegekre jutó hőmérséklet különbség:

 i =q⋅r hi

A hőfokesések összege a rétegrendre jutó teljes hőmérséklet különbséggel egyenlő.

3.2. A PÁRADIFFÚZIÓ 3.2.1. A páradiffúzióval kapcsolatos fogalmak és jellemzők 3.2.1.1. A páradiffúziós tényező

Jele: δ , mértékegysége:[g/s.m.Pa] Az anyag páradiffúziós tényezője, az az anyagjellemző, amely megadja, hogy az 1 m vastagságú réteg, 1 m2-nyi keresztmetszetén, 1 s alatt, 1 Pa páranyomás különbség hatására hány gramm vízpára áramlik át.

1m

PÁR A δ [g/ ÁRAM s∙m∙ Pa]

1m2 Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

15

3.2.1.2. Az 1 m2 felületre vonatkoztatott páradiffúziós ellenállás Jele: rv , mértékegysége:[m2 .Pa . s /g]

d

AP

ÁR A irán ÁRAM ya

r v=

d 

[

m2 ⋅Pa m2 ⋅Pa⋅s = g g s

]

1m2

Az 1 m2 felületre vonatkoztatott páradiffúziós ellenállást páratechnikai ellenállásnak nevezzük. Abban az esetben, ha a páraáram több anyagrétegen halad át, az egyes rétegek páratechnikai ellenállásai összeadódva adják a rétegrend eredő páratechnikai ellenállását. r ve =

d i=n d d1 d2 d3   ... n =∑ i 1  2  3 n i=1 i

3.2.1.3. A páraáram sűrűség Jele: g , mértékegysége:[g/m2 . s]

g=

p r ve

[

g/s g = 2 2 m m ⋅s

]

 pi =g⋅r vi

Továbbá :

, és

i=n

i=n

i=1

i=1

∑ g⋅r vi =∑  pi = p

A páraáram sűrűség ismeretében az egyes rétegekre jutó páranyomás esést egyszerűen számíthatjuk.

Néhány épületszerkezeti anyag hőtechnikai és páratechnikai adata: ANYAG megnevezés Javított mészhabarcs Kevéslyukú tégla Vasbeton födémlemez

[ ]

W  m⋅K 0,87 0,70 1,55

[

]

g/s  m⋅Pa

[

m2 ⋅Pa Rv g/s

0,024 . 10-6

]

Jellemző rétegvastagság 1,5~2 cm

.

-6

12~25 cm

.

-6

~1,5 cm

0,037 10 0,008 10

1,2 . 106

Bitum. csupaszlemez Izopanel

0,047

0,08 . 10-6

~10 cm

Polisztirol hab

0,047

0,02. 10-6

~10 cm

16


ANYAG

[ ]

W  m⋅K

megnevezés Párakiegyenlítő réteg

[

g/s  m⋅Pa

[

]

m 2 ⋅Pa Rv g/s

0,186

]

Jellemző rétegvastagság 0,2~0,5 cm

.

6

Bitumen melegen 2x

5,8 10

PVC fólia

62,0 . 106

Szalag parketta

0,21

0,018 . 10-6

Csempe burkolat

1,05

0,016 . 10-6

Hajópadló

0,19

0,02 . 10-6

~2,5 cm

Poroton téga

0,31

0,033 . 10-6

~30 cm

BETONYP lemez

0,26

.

0,08 10

-6

6~12 mm

Ásványgyapot

0,042

0,14 . 10-6

5~20 cm

1,5~2 cm

1,2 . 106

Diszperzit 2x

A különböző rendeltetésű épületeken túl, az ipar területén igen sokféle változatban megfogalmazódnak a hőszigeteléssel és a páradiffúziós ellenállással kapcsolatos követelmények. Egyrészt a technológiai folyamatok optimális megvalósítása, másrészt az ember számára egészséges légállapot fenntartása, és nem utolsósorban az energiatakarékosság szempontjai ezekből a követelményekből fakadó műszaki feladatokat folyamatosan napirenden tartják. 3.2.2. A VÍZGŐZ-LEVEGŐ KEVERÉK FIZIKAI TULAJDONSÁGAI, ÉS JELLEMZŐI 3.2.2.1. A vízgőz-levegő keverék tömegaránya Jele: x Tekintsünk V térfogatú keveréket, melyben mv a vízpára, és ml a levegő tömege!

x=

m0 m v v p p 18 p v = = ⋅ v= ⋅ =0,622 ⋅ v m l l m 0 p l 28,9 p l pl VÍZ

ebben felhasználtuk , hogy

LEVEGŐ

=

p⋅m0 T⋅k

Itt pv és pl a keverékben lévő közegek parciális nyomását jelenti. A parciális nyomások összege a keverék nyomása, azaz:

Ezzel:

pv x=0,622 ⋅  pk − pv 


, ahol

pk = pv  pl

 p k − p v = p l

17

3.2.2.2. A relatív telítettség Jele: ψ A keverék relatív telítettsége, a keverék tömegarányának és a telítési tömegaránynak a hányadosa. pv 0,622 ⋅  p k − p v  p v  p k − p vt  x = = = ⋅ xt p vt p vt  p k − p v  0,622 ⋅  p k − p vt 

3.2.2.3. A relatív nedvesség Jele: φ A keverék relatív nedvessége a V térfogatban jelenlévő víz tömegének és a telítési állapotban lehetséges víz tömegének hányadosa. =

m v v p v = = mt t p vt

Ha 50 ° C , akkor

, mert p k ≃105 Pa

≈

és

p v  p vt 10 4 Pa

3.2.2.4. A vízgőz telítési páranyomásának változása a hőmérséklet függvényében  [°C]

-20

-15

-10

-5

-2

0

2

4

6

p t [Pa]

103

165

259

401

517

610

705

813

934

 [°C]

8

10

12

14

16

18

20

22

24

p t [Pa]

1073

1228

1402

1598

1817

2063

2338

2643

2983

 [°C]

26

28

30

32

34

36

38

40

3360

3779

4241

4753

5318

5939

6623

7374

p t [Pa]

18


3.3. A RÉTEGREND PÁRATECHNIKAI ELLENŐRZÉSE A különböző relatív páratartalommal és hőmérséklettel bíró tereket többrétegű falszerkezet választja el egymástól. A falon a hőmérséklet különbség hatására hőmunka, a parciális páranyomás különbség hatására pedig vízpára áramlik át. A telítési páranyomás adatait összevetve a rétegek mentén változó hőmérséklet és páranyomás értékeivel, ellenőriznünk kell, hogy a pára valóban átjute a rétegeken. Adott hőmérsékletnél a telítési páranyomást meghaladó páranyomás fizikailag nem lehetséges. Ha a réteghatárra a számítás szerint ilyen eredményt kapunk, azt nem fogadhatjuk el! A páraáramlásról új fizikai képet kell alkotnunk. Ekkor a réteghatáron a tényleges páranyomás a telítési páranyomás lesz. A páraáram egy része folyadékként kicsapódik. A páraáram sűrűség a kicsapódási hely után kisebb lesz! A páraáramsűrűségeket a tényleges nyomásértékek különbségei szerint lehet meghatározni. Az épületek falazatának szokásos anyagait a kicsapódó pára károsítja és hőszigetelő tulajdonságaikat lerontja. Emiatt csak olyan rétegrend engedhető meg, amelynél párakicsapódás nem következik be! A páratechnikai számítás ennek igazolására szolgál. 3.3.1. AZ ELLENŐRZÉS LÉPÉSEI Kiszámítjuk a hőáramsűrűséget és az állandónak feltételezett páraáramsűrűséget. Ezek ismeretében meghatározzuk az egyes rétegekre jutó hőfokeséseket és páranyomás eséseket. q=

b−k r he

 i =q⋅r hi

g=

p b− p k r ve

 pi =g⋅r vi

, ahol

pb=b⋅p tb

,

p k = k⋅p tk

A belső tér adataiból rendre levonva a hőfok és a nyomáseséseket kapjuk a réteghatárok adatait. A képletekben a b és k indexek a belső és külső tér adataira utalnak Eredményeinket ábrázoljuk a rétegeken való áthaladás függvényében. Ebben az ábrában a hőmérséklet értékekhez tartozó telítési páranyomás-függvényt is felvesszük. Utóbbi a belső és külső térben fölötte van a tényleges páranyomás értékének. Páralecsapódás nincs, ha a tényleges páranyomást sehol sem haladja meg a telítési páranyomás értéke. pt

TELÍTÉSI PÁRANYOMÁS

p

TÉNYLEGES PÁRANYOMÁS



HŐMÉRSÉKLET

belül


1

2

3

4

kívül

rétegek

19

3.4. HŐTECHNIKAI ÉS PÁRATECHNIKAI KÖRÖK VILLAMOS MODELLEZÉSE A hőmunka átáramlása a hőtechnikai ellenállásokon, és a pára átáramlása a páratechnikai ellenállásokon, analógiába hozható a villamos töltések áramlásával. Tekintsünk néhány elrendezést, amelyekhez a szokásos áramköri rajzjelekkel, de a megfelelő hőtechnikai mennyiségek betűjeleivel, megrajzoljuk az analóg villamos áramkört. Az állandó teljesítményű hőforrásnak ideális áramgenerátor, az állandó hőmérsékletű hőforrásnak ideális feszültséggenerátor, a hőtechnikai ellenállásnak villamos ellenállás felel meg. 3.4.1. AZ ÉPÜLETBEN ÁLLANDÓ TELJESÍTMÉNYŰ HŐFORRÁS ÜZEMEL a./ A belső légtér levegője mozgásában akadályozott (nyugvó)

PA

k1

A

B Pf

k2

k1

PF

C

B

A

PB

C k2

k3

k3

PC

b./ A belső légtér levegője mozgásban van (keveredik)

A A

PA k1

B Pf

PB k2

PC

B

k1

PF

C

C



k2

k3

k3

3.4.2. AZ ÉPÜLETBEN ÁLLANDÓ HŐMÉRSÉKLETŰ HŐFORRÁS ÜZEMEL a./ A belső légtér levegője mozgásában akadályozott (nyugvó)

PA

k1

A

B f PC

20

C

k2

F

C

B

A

PB

k1

k2

k3

k3 Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

b./ A belső légtér levegője mozgásban van (keveredik)

A PA

A

B

k1

PB k2

f

k1

F

C PC

C

B

k2

k3

k3

3.4.3. A RÉTEGRENDRE ALKALMAZHATÓ ANALÓG KAPCSOLÁSI RAJZOK A többrétegű falazat esetén - 1 m2-re vonatkoztatva - az alábbi vázlatokkal dolgozhatunk: a./ A hőáram sűrűségre vonatkozó rajzok rh1

rh2

rh3

q 1

2

rh4 3

rh1 k

rh2

rh3

rh4

b 1

2

3

q k

b./ A páraáram sűrűségre vonatkozó rajzok Az állandó páraáram sűrűséget biztosító páraforrásnak ideális áramgenerátor, az állandó páranyomást biztosító páraforrásnak ideális feszültséggenerátor felel meg. g rv2 rv2 rv3 rv3 pb g pk pt1(1)

pt2(2)

pk pt1(1)

pt2(2)

Az a./ és b./ alatti rajzok összetartoznak! A réteghatárok hőmérsékleteitől függenek a telítési páranyomások nagyságai. A kapcsolási rajzban ezt a hatást a Zener diódák képviselik. Az első és az utolsó hőtechnikai ellenállás a belső és a külső légréteg hatását képviseli. E rétegeknek páratechnikai ellenállásuk nincs. A belső légrétegen keletkező hőfokesés miatt, a belső felületen a páralecsapódás nem zárható ki. 3.4.4. A LÉGÁLLAPOT VÁLTOZÁS ÁTMENETI FÜGGVÉNYEI A stacionárius áramlási folyamatok mellett fordítsunk figyelmet azokra az átmeneti folyamatokra, amelyek adott hőkapacitású és adott párakapacitású rendszer jellemzőinek időbeli változását mutatják, amikor az új feltételek hatására a rendszer új egyensúlyi állapotába megy át! Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

21

a./ Belső hőforrás nincs, de kezdetben a belső hőmérséklet eltér a külső hőmérséklettől. Rhe T hő =R he⋅C hő

ΔQhő Chő

(t)

k

, ha

t =0

akkor : −

t =k 0−k ⋅e

=0

t T hő

b./ Belső páraforrás nincs, de kezdetben a belső páranyomás eltér a külső páranyomástól. Rve T p =R ve⋅C p

Δmp Cp

p(t)

, ha

t=0

pk

akkor : −

pt = p k  p 0− p k ⋅e

p= p0

t Tp

Tehát, ha t→∞ , és - egyik belső forrás sincs, akkor : b =k és

pb =pk

, továbbá b=k lesz,

- csak belső hőforrás van, akkor: b >k és

pb =pk

,

így

b <k lesz,

- a belső térben folyamatos hőelvonás (negatív hőforrás) van, akkor: b <k és pb =pk , emiatt b >k lesz, ami a páralecsapódás lehetőségét jelenti! Ez a helyzet jellemzi a pinceterek nyári mikroklímáját. A folyamatos hőelvonást a pincetér levegőjénél hidegebb talajkörnyezet végzi.

3.4.5. A PÁRALECSAPÓDÁS MEGAKADÁLYOZÁSA A RÉTEGRENDBEN ELHELYEZETT HŐFORRÁSSAL A rétegrend két oldalán lévő légtér hőmérsékletének és páranyomásának eltérése, a hő-, és páraforrások jelenléte vagy hiánya, számos kombinációt jelent. Adott rétegrend esetén a párakicsapódás elkerülése csak az elvileg lehetséges esetek és adatok szűkített körében bíztosítható. A páratechnikai számításokat a konkrét használati módhoz tartozó legkedvezőtlenebb adatok alapján kell elvégezni. Például, egy lakott épület használati módjához tartozik az, hogy télen fűtik. A páralecsapódás oka az, hogy a felület -vagy a réteghatár- hőmérséletéhez tartozó telítési páranyomás kisebb, mint a környezetében lévő vízgőz-levegő keverék parciális páranyomása. A feladat, ennek az állapotnak az elkerülése. Az egyéb körülmények szélsőséges változása mellett mindig sikeresen alkalmazható a felület temperálása. A felület mentén eloszló hőforrást alkalmazunk. Ennek teljesítményét a felület mentén elhelyezett relatív páratartalom érzékelő szabályozza. Bevált gyakorlati megoldásként a temperálásra villamos fűtőkábelt használhatunk. Példaként tekintsük a pinceterek sajátos problémáját! A talajkörnyezet nyáron 10 - 20 ° C-al hidegebb, mint a szabad légtér. A szabad légtér relatív páratartalma ingadozó, esős napokon tartósan 80 - 90 %-ot is elérheti. A parciális páranyomás kb. 3000 Pa. A külső tér és a pince belső falfelülete között számottevő páratechnikai ellenállás nincsen. A talaj miatt a pince falazatának hőmérséklete

22


kb. 10 ° C , ahol a telítési páranyomás 1228 Pa. A melegebb kinti levegő a pincébe jutva lehül és a pince hideg felületein folyamatos lesz a párakicsapódás. A pince szellőztetése könnyíti a pára bejutását. A falazat -a talajnedvesség kizárása céljából- nedvesség átjutás elleni szigetelést tartalmaz, amely mindkét irányban hatákony a páraforgalom fékezésében. Javít a viszonyokon a hőszigetelő réteg alkalmazása, vagy a levegő folyamatos szárítása is. Előző segít abban, hogy a beáramló hő hatására emelkedjék a felületi hőmérséklet, az utóbbi pedig a levegő nedvességtartalmát csökkenti, ha a további párabejutást akadályozzuk. Belátható, hogy e két hatás csak egymás rovására bontakozhat ki. A legfontosabb probléma az, hogy a pince használatához tartozó berendezés, bútorozás akadályozza a felületek menti egyenletes légmozgást, így a felület egyes részein -különösen a sarkokban- a nyugvó levegő hőszigetelő hatása érvényesül. A hideg felületrészeken a páralecsapódás ezekkel a módszerekkel nem zárható ki. A felület hőmérsékletének vezérlésével -nyugvó légrétegek esetén is- kizárható a páralecsapódás. A belső tér páranyomása egyensúlyba jut a külső páranyomással, ezzel a párabeáramlás megszűnik. A megoldás kis energiaigényű, ha a temperált felület és a talaj közé hőszigetelő réteget építünk be. Előnyös, ha ez egyúttal nagy páratechnikai ellenállást is képvisel, mert a pincetérben nyáron magasabb a páranyomás, télen pedig, -ha a pince fűtetlen- alacsonyabb, mint a talajban. A vezérléssel elérhetjük azt, hogy a temperáló fűtés hőjéből a szabad légtér nem részesül, mert a falfelület hőmérséklete néhány fokkal alacsonyabb lehet, mint a szabad tér hőmérséklete. A felület temperálás müködését a következő rajzon is nyomon követhetjük. Rhk

k

Rht>>Rhk

F≈k

g=0

t

Rvk

pk

Rvt>>Rvk pF < pFt pF = pk

pt

4. HANGTERJEDÉS ÉS HANGGÁTLÁS 4.1. REZGÉSTANI ALAPFOGALMAK Az időben periodikus fizikai folyamatokat rezgéseknek nevezzük. A periodikus rezgés harmonikus, ha a változó mennyiségei szinuszos függvényekkel írhatók le. Az időbeli periodicitást egyaránt jellemzi, a periódusidő ( T ), a frekvencia ( f ), és a körfrekvencia ( ω ). 4.1.1. A MECHANIKAI REZGÉS LEÍRÁSA A rugalmatlan tömeg ( m ) és a tömegtelennek tekintett rugó ( D )együttesét vizsgáljuk. A tömeg vízszintes síkon mozog, ahol a sebességével arányos erő ( Fr ) fékezi. A fékezési tényező jele: r. A tömegre ezen kívül még a rugóerő ( Frugó ), és egy további kényszererő ( Fk ) hat. A rugó feszítettlen állapotával jellemezhető rezgéstani középhelyzettől mért kitérést jelöljük ξ-vel!


23

Fk(t)

F k t F rugóF r =m⋅a

Fr a

Frugó

F k t − D⋅−r⋅v=m⋅a

v

D

, F rugó =−D⋅ , F r =−r⋅v d v= dt

, és

, a=

d 2 dt 2

2

azaz :

ξ(t)

m

d  d F k t =m⋅ 2 r⋅  D⋅ dt dt

A kapott differenciálegyenlet formailag teljesen megegyezik a villamos RLC körre felírható alábbi egyenlettel. R

L

C

di q dq u G t = L⋅ i⋅R , és i= dt C dt 2 d q dq 1 azaz : uG t = L⋅ 2 R⋅  ⋅q dt C dt

+ q(t)

i(t)

uG(t)

Az analógia szerint a következő megfelelkezéseket állapíthatjuk meg: F t  u t 

,

v t i t 

,

t  q t 

,

m L

,

1 C D

,

rR

4.1.1.1. A rezgőrendszer differenciálegyenletének néhány speciális megoldása a./ Fk(t)=0, r=0, ξ(0)=0 esetén: t = A⋅sin0 ⋅t

ahol : 0=



v t =v max⋅cos 0 ⋅t

v max = A⋅0

a t =a max⋅−sin0 ⋅t 

a max = A⋅02

D m

Ez, a magára hagyott rendszer rezgését írja le, ha a veszteségek elhanyagolhatók. b./ Fk(t)=0, r≠0, ξ(0)=0 esetén:   t = A0 ⋅e− t⋅sincs⋅t

, ahol

cs =  02−2

és

=

r 2 ⋅m

[] 1 s

Feltéve , hogy :

0

A magára hagyott rendszer rezgése - a veszteségek miatt - csillapodik. A csillapodás mértékére a Tcs=2π/ωcs periódusidőközzel vett kitérések hányadosa a legkézenfekvőbb jellemző. 24


E viszonyszám természetes alapú logaritmusát, logaritmikus dekrémentumnak nevezzük. Ennek nagysága: Tcs . δ. Képezzük a t és (Tcs+t) pillanatokban érvényes kitérések hányadosát ! A0 ⋅e− t⋅sin0 ⋅t t  1 ⋅T = = −⋅T =e −tT  tT cs  A0 ⋅e ⋅sin0 ⋅T cs t  e cs

Tehát :

cs

cs

⋅T cs =ln

t  tT cs 

c./ Fk(t)=Fkmax . sin( ωk . t ) , r≠0 esetén: A tranziens lecsillapodása után - álladósult állapotban - a rezgés frekvenciáját az ωk körfrekvencia határozza meg. t = A k⋅sink⋅t

Ahol : =arctg

r k⋅m−

és

D k

Ak =



F kmax



k⋅ r 2 k⋅m−

D k



2

A kényszerrezgés sajátos jelensége a rezonancia, melynek feltétele az, hogy a kényszererő frekvenciája és a rendszer sajátfrekvenciája egyenlő legyen, azaz ωk=ω0 teljesüljön. A rezonancia fennállása esetén a tömegre ható erő maximuma a kényszererő maximumának sokszorosa lehet. Ez a mechanikai szerkezetekre különösen veszélyes igénybevételt jelenthet, és anyagkifáradást, vagy törést okozhat. Akusztikában ez egyaránt lehet bántó zaj forrása, vagy a kívánt frekvenciájú jel célszerű kiemelésének, erősítésének alapja. A rezgő rendszer jósági tényezője az erők arányát számszerűen megadja. Ezt Q0 -al jelöljük. Q 0=

Fm m⋅a max 0 ⋅m  D⋅m = = = F kmax F kmax r r

4.2. A FREKVENCIA SPEKTRUM A jel legkézenfekvőbb leírási módja, a változóknak az idő függvényében való megadása. A jel terjedése, visszaverődése, csillapodása a frekvenciától függ, ezért az összetett jelek jellemzésére igen hasznos, ha megadjuk azt, hogy az adott jel milyen amplitúdóval és milyen frekvenciával rendelkező szinuszos jelek összegeként állítható elő. Azt a függvényt amelynek független változója a frekvencia, függő változója pedig az adott frekvenciájú komponens amplitúdója, a jel frekvencia spektrumának nevezzük. a./ A periodikus jelnél a frekvencia spektrum diszkrét: f 1=


1 T

és

f k =k

1 T

25

b./ Az aperiodikus jelnél a frekvencia spektrum folytonos: y(t)

A(f) Ugrás függvény

t

f

y(t)

A(f) Impulzus függvény

t

T

2/T

1/T

y(t)

3/T

f

A(f) Dirac delta : t

lim  t 0

∫ y t  dt=1 0

t

f

A zenei hangok sorában a legkisebb frekvenciájú összetevő jelenti az alaphangot. A továbbiak kis egész számok arányában nagyobb frekvenciájúak. 1:2, 1:3, 2:5, 5:6. A zenei alap „a” hang frekvenciája például 440 Hz. Egy oktáv távolság kétszeres frekvenciát jelent. A közeli frekvenciájú hangok együttesét hallgatva a frekvenciák számtani átlagának megfelelő hangot, továbbá a frekvenciák különbségével rendelkező hangot hallunk. Legyen a két frekvencia : f 1 , és

f

2

Amit hallunk :

f 3=

f 1 f 2

2

,

f lebegési=∣ f 1− f 2∣

Ugyanis: A⋅sin1 tsin2 t =2 ⋅A⋅cos

1−2  2 t ⋅ sin 1 t 2 2

A következő ábrán ez a függény látható, A=1 választás mellett. A burkológörbe változása a lebegési frekvenciának felel meg.

26


y(t) 2 1,5 1 0,5

t

0 -0,5 -1 -1,5 -2

4.3. A HANG TERJEDÉSE HOMOGÉN KÖZEGBEN A hang mechanikai rezgés, amely rugalmas közegben terjed. A hangforrás a rugalmas közeg molekuláit egyensúlyi helyzetükből kimozdítja. Emiatt -helyileg- a közeg sűrűsége és nyomása a rezgés ütemében változik. A részecskemozgás, a nyomás- és sűrűségingadozás a rugalmas közegben -meghatározott sebességgel- tovaterjed. A jel terjedése az energiának a részecskék közötti folyamatos átadódását jelenti. A hang a gázokban és a folyadékokban longitudinális, a szilárd testekben longitudinális és transzverzális hullámok formájában terjed. A terjedési sebességet c-vel, a frekvenciát f-el a hullámhosszúságot λ-val jelölve írhatjuk, hogy: c= f ⋅

Például :

c lev=340

m s

20 ° C −on ,

c víz =1440

m , s

c acél =5850

m s

A jel homogén közegben a hangforrástól sugárirányban terjed. A hangforrástól többszörös hullámhossznyi távolságban, a terjedés irányára merőleges felületrészt síknak tekintve síkhullám terjedésről beszélhetünk. A síkhullámban a részecskesebesség és a nyomás egymással fázisban vannak. Effektív értékeik hányadosa a közeg akusztikai jellemzője, amelyet akusztikai hullámimpedanciának nevezünk. Z 0=

Például :

Z 0 lev=408

Ns m3

p eff =⋅c v eff

,

[

kg m N⋅s ⋅ = 3 m3 s m

Z 0 víz =144 ⋅10

4

Ns m3

] ,

Z 0 acél =456 ⋅10

5

Ns m3

4.3.1. A HANGTÉR JELLEMZŐ FÜGGVÉNYEI A síkhullámként terjedő hang jellemző függvényei térben és időben periodikusak. A térbeli periodicitásra a hullámhossz, az időbeli periodicitásra a periódusidő jellemző. A terjedési irányban


27

mért utat x-el, a terjedési sebességet c-vel a hullámhosszat λ-val, a részecske sebességet v - vel, a részecske kitérést ξ - vel, a nyomást p-vel, és a periódusidőt T-vel jelöljük. Írjuk fel, és ábrázoljuk a t=0 pillanatban a p(x,t) , v(x,t) , ξ (x,t) függvényeket!

[

p  x , t  = p max sin 2 

[

v  x , t  =v max sin 2 





t x − T 

t x − T 

[

  x , t = max −cos 2 



]

ξ , v, p

v(x,t)

ξ (x,t)

]

t x − T 

p(x,t)

Δ x=c . Δ t

x

]

t=0

A függvények haladó hullámokat írnak le. Az ábrán a haladásra a Δx=c .Δt felirat utal. Szokásos a függvények megadása oly módon is, hogy a λ=c . T egyenlőséget alkalmazzuk. Így, például a nyomásfüggvény, az alábbi alakot ölti: p  x , t = p max⋅sin

 

2 x t− T c

vagyis , x= x 1 helyen : p  x 1 , t = p max⋅sin

x 2  t−t 1  , t 1= 1 T c

4.3.2. A HANGJEL MENNYISÉGI JELLEMZŐI A tényező, a mérték és a szint fogalma A műszaki gyakorlatban a fizikai mennyiségek közvetlen használata mellett, az azonos jellegű fizikai mennyiségek arányának, vagy az arányszám logaritmusának használata is jelentős teret kap. A két érték hányadosát -általánosan- tényezőnek nevezik. U1 U2

,

I1 I2

,

P1 P2

,

p1 p2

,

v1 v2

,

stb.

A két érték hányadosának logaritmusával előállított számérték elnevezése: mérték. ln

U1 [ N ≡ Néper ] U2

,

ln

I1 [N ] I2

,

1 P1 [N ] 2 P2

, 10 ⋅lg

P1 [ dB ] P2

,

20 ⋅lg

U1 [ dB ] U2

stb.

Láthatjuk, hogy teljesítmény arány logaritmusának szorzója fele akkora, mint azon mennyiségek arányából képzett hányados logaritmusának szorzója, amelyeknek négyzetével arányos a teljesítmény. Ennek az a magyarázata, hogy így azonos impedancián a teljesítményekből számított logaritmikus mérték mérőszáma megegyezik az impedanciára jutó feszültségek, vagy áramok arányának logaritmikus mértékével. 28


 

2

Például:

P1 I 12 ⋅Z 0 I I 10 ⋅lg =10 ⋅lg 2 =10 ⋅lg 1 =20⋅lg 1 P2 I2 I2 I 2 ⋅Z 0

A két érték hányadosának logaritmusával előállított számérték elnevezése: szint, akkor ha a nevező megállapodás szerint választott értékű. Ebben az esetben a megállapodás szerint választott értékhez a zérus szint tartozik. Ennél nagyobb értékek pozitiv szintűek, a kisebbek negatív szintűek. Így bármely mennyiség -egyértelműen- dB-ben, vagy N-ben is megadható. A zérus szint választásának csupán gyakorlati indokai vannak. A vezetékes híradástechnikában pl. P0=1mW, mert telefon esetében ez a teljesítmény az érthető jel teljesítményének az alsó határa. Mivel ezen a területen a 600 Ohmos illesztési impedancia vált általánossá, az ehhez tartozó feszültséget választották zérus szintűnek. U0=0,775 V. A vezetéknélküli híradástecnikában az antenna jel zérus szintjéül az 1µV-ot választották. Az antenna jelszint megadásánál ezért a dBµV jelölést használják. Az akusztikában a hallásküszöb indokolja a P0=10-12 W választást. A levegő akusztikai hullámimpedanciája 408 Ns/m3 , ez meghatározza a zérus szintű hangnyomás effektív értékét, ami p0=2.10-5 Pa. A logaritmikus számításhoz gyakran szükségünk van az alábbi összefüggésekre: 10≃e 2,3

,

ln x=2,3025851 ⋅lg x

,

1 dB=0,115 N

,

1 N =8,7 dB

4.3.2.1. A hangnyomás A hangnyomás itt a statikus levegőnyomásra szuperponálódó nyomásingadozást jelenti. Egyetlen frekvenciájú jel esetén ez szinuszos változású. Jellemzésül a szinuszos jel effektív értékét választjuk. Az effektív értékre utaló index kiírásától általában eltekinthetünk. Amikor kivételesen a csúcsértéket használjuk, akkor kiírjuk az erre utaló indexet. Tehát: peff=p [Pa]. Több, különböző frekvenciájú jel eredő hangnyomásának kiszámítása:



p eff = p12 eff  p 22 eff  p32 eff .... p 2n eff 4.3.2.2. A hangnyomás szint L=20 ⋅lg

p eff [ dB ] p0

,

ahol :

p 0=2 ⋅10−5 Pa

4.3.2.3. A hangintenzitás, vagy hangerősség J = p eff⋅v eff⋅cos 


[ ] W m2

, Síkhullámban : =0

29

A síkhullámban tehát alkalmazhatjuk az alábbi összefüggéseket:

J = p eff⋅v eff

;

és

p Z 0= eff =⋅c v eff

;

2 p eff J= =v 2eff⋅Z 0 Z0

4.3.2.4. A hangerősség szint L J =10 ⋅lg

J [ dB ] J0

,

ahol :

J 0=10−12

W m2

4.3.2.5. A hangteljesítmény P= J⋅A [ W ]

4.3.2.6. A hangteljesítmény szint L P=10 ⋅lg

P P0

,

ahol :

−12

P 0=10

W

4.4. HANGVISSZAVERŐDÉS, HANGGÁTLÁS 4.4.1. IRÁNYTÖRÉS ÉS VISSZAVERŐDÉS A hanghullámok az akusztikailag különböző közegek határán részben visszaverődnek, részben megtörnek. A szögeket a beesési merőlegestől számítjuk.

c1 α1

α2 α1

30

c2

sin1 c1 = sin 2 c 2 A törési és visszaverődési tulajdonságok alapján akusztikai lencsék, és egyéb képalkotásra alkalmas eszközök készithetők. Pl. ultrahang alkalmazások. A hang energiája fókuszálható.


A hang visszaverődését a reflexiós tényező, a visszavert és a beeső jel nyomásviszonyával írja le. Z02

Z01

A reflexió tényező:

pbe

2

p ∣Z −Z 01∣ r= v = 02 pbe Z 02 −Z 01

pv

A reflexió nagymértékű, ha Z01 és Z02 megválasztani a hang terjedését akadályozó anyagokat.

2

r=

pv

2 pbe

=

Jv J be

jelentősen eltér. Ennek megfelelően kell

- Léghang gátlásához, kemény, nehéz anyagokat, - folyadékhang gátlásához, lágy anyagot, - testhang gátlásához szintén lágy anyagot célszerű használni. 4.4.2. A HANG ÁTJUTÁSA RÉSEN

l >> λ

l << λ c

c

A mélyhangok átjutnak a fal mögé

100 Hz → λ ≈ 3 m 10 kHz → λ ≈ 3 cm

Árnyékhatás érvényesül

4.4.3. A HANG ÁTJUTÁSA A HANGGÁTLÓ FALAZATON

Átvezetési tényező :

Ját

Jbe

Veszteségi tényező :

J át J be J = veszt J be

=

Jv =r 2 J be J  J veszt = át J be

Visszaverődésitényező :

Jv Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

Jveszt

Elnyelési tényező :

=

31

Hangelnyeléskor a belső súrlódás emészti fel az energiát. A felsorolt tényezők nevezőiben egységesen a beeső hangintenzitás szerepel. Ez lehetőséget ad a tényezők közötti alábbi kapcsolatok felírására.

=1

=

,

,

=1

,

2

r =

=1−r

,

2

,

r=  1−

A visszaverődési tényező a helyiségek akusztikája szempontjából meghatározó. A szélső értékekhez az alábbi fogalmakat rendelik: ρ=0 :

„süketszoba” ,és

ρ=1 :

„zengőszoba”.

Az átjutási tényező a fallal elválasztott helyiségek közötti áthallásról tájékoztat. A hanggátlási mérték az átjutási tényező reciprokával kapcsolatos fontos gyakorlati fogalom, amit a következőképpen számítunk: 2 p be Z0

 

2

J be pbe pbe 1 [ dB ] R=10 ⋅lg =10 ⋅lg =10 ⋅lg 2 =10 ⋅lg =20 ⋅lg J át p át p át  p át Z0

4.5. A ZAJ FOGALMA ÉS JELLEMZŐI A zaj általános fogalma szubjektív megítélést rejt, ugyanis zajnak minősítünk minden nemkívánt hanghatást. A nemkívánt hanghatás hallgatása kényszer, ezért a környezetünk komfortját rontja, egyféle környezetszennyezésnek tekinthető. A zaj jellemzői: - intenzitása - frekvencia tartománya - időbeli lefolyása Zaj forrásául szolgálhat minden környezetünkben lévő rugalmas test, amely hallható frekvenciájú rezgésekre képes.

4.5.1. A HANGOSSÁG FOGALMA A hangosság szubjektív fogalom, egysége a phon (ejtsd: fón). Egy hangjel hangosságának phon értéke megegyezik, az azonos hangosságúnak ítélt 1 kHzes jel dB-ben mért hangnyomásszint értékével. 32


A hangosság fogalmában szereplő „megítélés”, az átlagos hallásérzékenység szerint történik. Ezáltal a hangosság objektív adatként jellemzi a hangjelet. Egyik jellegzetes hangosságérték a 0 phon , ami az átlagos hallásküszöböt jelenti. A hangosság másik jellegzetes értéke a fájdalomküszöb, amelyhez a 120 phon rendelhető. A következő ábra az azonos hangosságű hangjelek hangnyomás szintjeit mutatja a frekvencia függvényében. A görbéket - alakjukra utalva - „ V ” görbéknek nevezik.

L[dB]

AZONOS HANGOSSÁGÚ GÖRBÉK

140 120

120 phon

100

100 phon 80 phon

80

60 phon

60

40 phon

40

20 phon

20

0 phon

0

f [Hz] 10

100

1k

10 k

4.5.2. ZAJÁRTALMAK Az ártalmak részben a vegetatív idegrendszert, részben a hallást károsítják. A halláskárosodás kezdeti stádiumában először a 4-6 kHz-es sávban megemelkedik a hallásküszöb, és a hallásérzékenységben -úgynevezett- kút keletkezik. A mechanikai rezgések a hallhatóságtól függetlenül is károsíthatnak. Az egyes testrészek rezonanciája egészségkárosodásra vezet az adott frekvenciájú jel esetén. Például:

3-6 Hz: 20-30 Hz: 7 Hz: 5-9 Hz: 60-90 Hz: 100-200 Hz:

csípő, fej, váll fej, nyak az agy bioáramai máj, lép, gyomor szemgolyó állkapocs

Az egészségkárosodás tünetei igen sokfélék lehetnek: nyelési fájdalom, idegrendszeri kimerülés, szívritmuszavar, érrendszeri és ízületi elváltozások, légzési nehézségek, a nyálelválasztás csökkenése, stb. Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

33

A munkahelyi zajkorlátozás alapgondolata az, hogy 40 éven át, napi 8 órás munkarend mellett, a munkahelyi zaj elviselése ne okozzon halláskárosodást. Ez ehhez tartozó hangossági korlát a 80 phon. Az alvó ember fokozottabban, kb. 30 dB-el , érzékenyebb a zajra. A rezgéskárosodás elkerülésére előírják, hogy az oktávsávonként mért és súlyozottan összegzett effektív gyorsulásértékek átlaga kisebb legyen, mint 44 m/s2.

a átl =



n

∑ ai2⋅wi2 i=1

A környezeti zaj szintjét dB(A)-ban mérik. A zajszint meghatározásánál, - megközelítőleg - az átlagos hallásérzékenység szerint súlyozzák a zaj különböző frekvenciájú összetevőit. A mérés elvi vázlatát a következő ábra mutatja: Erősítő

<

„A” szűrő

dB(A)

Az „A” típusú szűrő karakterisztikája

aA[dB] 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 10

f [Hz] 100

1k

10 k

A zajszintet, mint a hangosság szerint súlyozott nyomászintet, az alábbi összefüggéssel határozzuk meg:

34


L A=20 ⋅lg

p A szűrővel [ dB  A ] p0

A zajszint megengedhető legnagyobb értékét szakmai ajánlások részletezik. Ezeket az iránymutató értékeket a munkavédelmi és környezetvédelmi előírások - esetenként - a törvény rangjára emelik. Néhány példa a zajszint megengedhető legnagyobb értékére: a./ Munkahelyek: Fokozott szellemi munka: Irodai munka: Leíró iroda, ügyféltér:

50 dB(A) 60 dB(A) 70 dB(A)

b./ Szabadterek: Ipariterület: Ipari- és lakóterület: Lakóterület: Üdülőterület:

NAPPAL 70 dB(A) 60 dB(A) 50 dB(A) 45 dB(A)

ÉJJEL 70 dB(A) 50 dB(A) 40 dB(A) 35 dB(A)

Az egyes hallási funkciókhoz, a hangnyomásszint-frekvencia síkon, meghatározott „hallásfelület” tartozik. A zene és a beszéd jelátvitelének műszaki követelményeit a „hallásfelület” eredendően meghatározza. A NORMÁL ÉRZÉKENYSÉGŰ FÜL HALLÁSFELÜLETE

A beszéd és a zene hangnyomásszint eloszlása

L[dB] 140

FÁJDALOMKÜSZÖB

120 100 80

ZENE

60

BESZÉD

40 20 HALLÁSKÜSZÖB

0

f [Hz] 10


100

1k

10 k 35

A beszéd átviteléhez 60 ± 10 phon hangosság és 150 Hz - 5 kHz tartozik. Ez elegendő az érthetőséghez, és - a hangszínen keresztül - a beszélő felismeréséhez. A jó zenei átvitel ennél nagyobb dinamikát és frekvenciasávot kíván meg. Itt 60 ± 25 phon hangosság és legalább 50 Hz - 10 kHz frekvenciatartomány átvitele a követelmény.

5. A TERMODINAMIKA ALAPJAI 5.1. A KINETIKUS GÁZELMÉLET A kinetikus gázelmélet jelentősége A gázhalmaz viselkedésével kapcsolatos ismeretek - a XIX. sz. első feléig - tapasztalati tények és megfigyelések leírásaként álltak rendelkezésre. Ebben az időben a természettudományok etalonját a newtoni mechanika jelentette. A gázhalmazra vonatkozó, ehhez fogható elmélet korábban nem született. A fejlődés - ekkor már, a fizikusok többsége által gyanított - energiamegmaradás tételének felismeréséhez közelített. A tételt - végül is -James Prescott Joule (1841), és Hermann von Helmholtz (1847) fogalmazta meg. A hő mibenlétének, és a nagyszámosságú halmaz belső energiájának helyes elképzelését a tudományos világ az 1840-es évek elején még felhördüléssel elutasította, azonban a következő évtizedekben - mint az energiamegmaradás tételével összhangban lévő elméletet - teljesen elfogadta. A század második felében már egymást kiegészítve fejlődött a kinetikus gázelmélet, a klasszikus statisztika, és a makroszkópikus termodinamika, olyan emberek közreműködésével, mint Robert Mayer, Rudolf Clausius, James Clark Maxwell, William Thomson - a későbbi Lord Kelvin - és Ludwig Boltzmann. A kinetikus gázelmélet jelentősége abban áll, hogy a nagyszámosságú halmazra következetesen alkalmazza a makroszkópikus testek mechanikáját. A molekulák világának történéseit átlagképzésekkel, statisztikai módszerekkel kezelve jut el a halmazzal kapcsolatos makroszkópikus fogalmakhoz, a „felszínhez”. Ezzel bevezeti azt a szemléletet, hogy a közvetlen tapasztalataink mögött a mikrovilág igen bonyolult - kutatandó - törvényei rejtőznek. 5.1.1. A KINETIKUS GÁZELMÉLET ALAPJAI A gázhalmaz V térfogatban található és N db m0 egyedi tömegű molekulából áll. A molekulák különböző sebességűek. Ábrázoljuk a sebesség függvényében az 1 m/s széles sávba eső sebességű molekulák számát. Ezt a függvényt Maxwell-Boltzmann féle sebességeloszlási függvénynek nevezzük.

 dN dv 

v=

⋅dv=dN  dN dv 

 v⋅dv= ∞

v v

36

∫ v⋅dv = N 0

v+dv


Tekintsük a molekulák azon részhalmazát, amelyek sebessége a jelölt v és (v+dv) értékek közé esik. Ezek száma dN, és sebességük nagysága v. A molekulák mozgása valamennyi irányban egyformán valószínű. Az egyszerűség érdekében tekintsük úgy, hogy csak ±x, ±y, és ±z irányú sebességek vannak. Így +x irányba dN/6 db molekula halad v sebességgel. Egységnyi térfogatban ebből, dN/6V db található. Ezek +x irányba haladva, Δt idő alatt v . Δt utat futnak be. Ebben az időszakban az x irányra merőleges A felületbe ütközik: dN ⋅A⋅v⋅ t db , melyek ekkor, egyenként 2 ⋅m0 ⋅v nagyságú lendületváltozást szenvednek. 6 ⋅V A lendületváltozások össszege az A felületre ható erőlökéssel egyenlő: dN 2 ⋅m0 ⋅v⋅ ⋅A⋅v⋅t=dF⋅ t 6 ⋅V

,

dN dF =m0 ⋅v 2 ⋅ ⋅A 3 ⋅V

tehát :

Mivel dN halmaz dF erőhatást eredményez az A felületen, a teljes N halmaz által létrehozott erő, a dF elemi erők összegzésével kapható meg. N

F =∫ dF = 1

 

m0 ⋅A ∞ 2 dN m ⋅A v ⋅ ⋅dv= 0 ⋅ v 2á⋅N ∫ 3 ⋅V 0 dv 3 ⋅V

 v 2á : a sebességnégyzetek átlaga

Mert nincs kitüntetett sebességirány, belátható: 1 2  v á =v 2xá v 2yá v 2z á 3

  v  =v 2

A továbbiakban

á

á

jelölést használjuk.

Az eddigiek alapján írható:

p=

F 1 2 = ⋅⋅ v á A 3

,

=

N⋅m0 V

,

v á =   v á = 2



3 ⋅p 

Továbbá: 1 p⋅V = N⋅m0 ⋅v 2xá =N⋅2 ⋅ ⋅m0 ⋅v 2xá = N⋅2 ⋅ x 2


, ahol :

1 1  x = ⋅m0 ⋅v 2xá = ⋅k⋅T 2 2 37

Tehát: p⋅V = N⋅k⋅T

,

f f E b= ⋅N⋅k⋅T = ⋅p⋅V 2 2

−23

k =1,38 ⋅10

,

J K

A képletekben megjelenő εx és f a következőket jelentik :  x =egy részecskének, egy szabadsági fokára jutó, átlagos belső energiája f =a szabadsági fokok száma, egyatomos gáz esetében: f =3 kétatomos gáz esetében: f =5 többatomos gáz esetében: f =6

5.1.2. GÁZTÖRVÉNYEK Az általános gáztörvényt az alábbi formákban használjuk: p⋅V = N⋅k⋅T =n⋅N A⋅k⋅T =n⋅R⋅T =

, ahol

N A=6,02 ⋅10 23

M : móltömeg ,

R=8,314

m ⋅R⋅T M

J általános gázállandó , K⋅mól

n=

db mól

N m = NA M

és

R=k⋅N A

Avogadro szám −23

k =1,38 ⋅10

J Boltzmann állandó K

A gyakorlati alkalmazásokban - előzetesen rögzített feltételek fenállása esetén - a további összefüggések is igen előnyösen alkalmazhatók: a./ Legyen: N=konstans p⋅V =N⋅k =állandó T

,

azaz

p ⋅V p1 ⋅V 1 p 2 ⋅V 2 = =...= i i =állandó T1 T2 Ti

=

N⋅m0 V

, tehát :

b./ Legyen: m0=konstans p⋅V k = =állandó , T⋅N⋅m0 m0

és

p p1 p = 2 =...= i =állandó 1 ⋅T 1 2 ⋅T 2 i⋅T i

A gáz normál állapotát a T0=273 K és p0=1,013.105 Pa adatok jellemzik. A normál állapotban, minden gáz mólnyi mennyisége azonos térfogatot tölt ki.

38


T0 3 3 V 0=R⋅ =0,0224 m =22,4 dm p0

Ezzel , a gáz normál sűrűsége :

0 =

M N A⋅m 0 = V0 V0

A normál állapotban érvényes sűrűség a gáz anyagjellemzője, hiszen közvetlenül az adott gáz móltömegétől függ. A fizikai táblázatok a gázok normál állapotban érvényes sűrűségét közlik. A gáz mindig kitölti a rendelkezésére álló térfogatot, tehát sűrűsége változó. Tetszőleges p, T jellemzőjű gázállapotban a sűrűséget a normál állapoti sűrűségből könnyen meghatározhatjuk. p p = 0 ⋅T 0 ⋅T 0

, amiből :

p T =0 ⋅ ⋅ 0 p0 T

A gáz sűrűsége - állandó hőmérsékleten - a nyomással egyenes arányban, - állandó nyomás esetén pedig - a hőmérséklettel fordított arányban változik. Általános esetben tehát: 2=1 ⋅

p2 T 1 ⋅ p1 T 2

vagyis :

2=1 ⋅

p2 p1

ha

T 2=T 1

T 2=1 ⋅ 1 T2

, és

amikor

p 2 = p1

5.2. A TERMODINAMIKA I. FŐTÉTELE A temodinamika I. főtétele az energiamegmaradás törvényének érvényesülését fejezi ki a gázhalmazra vonatkoztatva. Legyen a gázhalmazzal közölt hőmunka Q , a gáz által végzett tágulási munka Wtág , és a halmaz belső energiájának megváltozása ΔEb . Mindhárom mennyiség lehet pozitív vagy negatív értékű. Közöttük az alábbi összefüggés áll fenn:

Wtág A

LM

A

Z

Q= E bW tág

G

Á

ZH

ΔEb Q

Q=c⋅m⋅T

,

 E b=

f N⋅k⋅T 2

2

W tág =∫ p⋅dV

mert ,

dW = p⋅dV

1

A gáz állapotváltozását p(V) diagramon ábrázolva a tágulási munka az állapotváltozás görbéje alatti területtel szemléltethető. Adott gázhalmaz esetén a p-V sík minden pontjához a gáztörvény által meghatározott hőmérséklet tartozik. Tekintsünk egy tetszőleges állapotváltozási szakaszt. A gáz a kezdeti 1. sz. állapotából a 2. sz. állapotába megy át.


39

p (T2) (T1) 1.

Q 1−2=W tág 1−2 E b 1−2

2.

V2

W tág1−2 =∫ p⋅dV V1

Wtág 1-2 V

f  E b1−2= ⋅N⋅k⋅T 2−T 1=c v⋅m⋅T 2−T 1  2

V2 V1 A belső energia megváltozása az állandó térfogaton vett fajhő szerint számítható ki, ugyanis ekkor a melegítésre fordított hőmunka csak a belső energiát növelheti, mert állandó térfogaton tágulási munka nincs.

5.2.1. AZ ÁLLAPOTVÁLTOZÁSOK SPECIÁLIS ESETEI 5.2.1.1. Izochor állapotváltozás dV=0 → dWtág=0 f Q v = E b=c v⋅m⋅T = ⋅N⋅k⋅T 2

f N⋅k f N⋅k f k cv= ⋅ = ⋅ = ⋅ 2 m 2 N⋅m0 2 m0

5.2.1.2. Izobár állapotváltozás p=kons. → Wtág=p . ΔV f f 2 Q p = E bW tág =c p⋅m⋅ T = ⋅N⋅k⋅ T  N⋅k⋅ T = ⋅N⋅k⋅T 2 2 f 2 N⋅k f 2 N⋅k f 2 k c p= ⋅ = ⋅ = ⋅ 2 m 2 N⋅m0 2 m0 Írjuk fel cp és cv arányát! =

c p f 2 = cv f

Tehát :

f =3  =1,666 ,

f =5  =1,4 ,

f =6  =1,333

Adott tömeg azonos nagyságú hőmérséklet változásához tartozó hőmunkák arányát a κ adja meg. =

40

Q p Q v  E b  Eb = =1 Qv Qv Qv

, vagyis :

−1 1  E b=Q v⋅−1=Q p⋅ =Q p⋅1−   


5.2.1.3. Izoterm állapotváltozás T=kons. → dEb=0 , QT=Wtág V2

V2

V1

V1

Q T =W tág =∫ p⋅dV = N⋅k⋅T ∫

V 1 dV = N⋅k⋅T⋅ln 2 V V1

5.2.1.4. Adiabatikus állapotváltozás dQ=0 → Wtág=- ΔEb W tág =− E b=−c v⋅m⋅T Az adiabatikus állapotváltozás feltétele tehát az, hogy a gázhalmaz és a környezete között hőmunka átadás ne történhessen. Kézenfekvő lehetőségként kínálkozik az ideálist minél jobban megközelítő hőszigetelés alkalmazása a gázhalmaz és a környezete között. A gyakorlatban a feltétel többnyire nem így teljesül! Az igen gyors, - sokszor robbanásszerű változás - biztosítja azt, hogy hőmunka ne adódjék át. Az adiabata sajátossága az alábbi kapcsolat: p⋅V  =const. és mert,

p⋅V = N⋅k , T

p=

N⋅k⋅T , az adiabatán érvényes: T⋅V −1=állandó V

5.2.1.5. Az állapotváltozások speciális eseteinek szemléltetése a p(V) diagramon Legyen a halmaz molekuláinak száma állandó! A diagram közvetlenül mutatja a p=konstans és a V=konstans egyeneseket. Az izoterma alakja a gáztörvényből egyszerűen megállapítható. 1 p V = N⋅k⋅T 1 ⋅ V

, ahol

T 1=konstans

Tehát az izotermák - a p(V) diagramon - elsőfokú hiperbolaként jelennek meg. Az adiabatákat hasonlóan származtatjuk a

p.Vκ=const. formulából.

pV =

const. V

Mivel κ > 1 , ezért az adiabatáknak magasabb fokú hiperbola felel meg. Az adiabata - a p(V) diagram adott helyén - mindig meredekebb, mint az izoterma.


41

Speciális állapotváltozások a p(V) diagramon

p(V)

V=konst. IZOCHOR T=konst. IZOTERMA p= kons. IZOBÁR

κ

p.V =konst. ADIABATA

V

5.3. A CARNOT-FÉLE KÖFOLYAMAT A hőenergiának mechanikai energiává való átalakulását a Carnot-féle körfolyamat tanulmányozásával érthetjük meg. Az állapotváltozások olyan sorozatát, amelynek során a gáz végül ismét a kiindulási állapotába jut vissza, körfolyamatnak nevezzük. A Carnot-féle körfolyamat ennek az a speciális esete, amely két izotermikus és két adiabatikus szakaszból áll. Mind a négy szakaszt reverzibilisnek, azaz megfordíthatónak tekintjük. Mivel a gyakorlatban valamekkora mértékű irreverzibilitás mindig fellép, a Carnot-féle körfolyamatot idealizáltnak nevezhetjük. Az izotermikus expanzió során a gáz a T1 hőtartályból Q1 hőenergiát vesz fel. Az adiabatákon sem hőmunka felvétel, sem hőmunka leadás nincsen. Az izotermikus kompresszió szakaszában a gáz a T2 hőtartálynak Q2 hőenergiát ad le. A hőmunkák különbsége mechanikai energiává alakul át. A p(V) diagramon ábrázolt expanziós szakaszok alatti terület, a gáz által végzett tágulási munkát mutatja. A kompressziós szakaszok alatti terület a környezetnek a gázon végzett munkáját jelenti. A körfolyamatban - ezek előjeles összegét - az egy ciklusból nyerhető mechanikai munkának nevezzük, és Wmech jelöléssel látjuk el.

p(V)

a

Q1 T1 Q2 d

b Wmech

T2 c V

42

Az a−b izotermán felvett hő : V Q 1 =N⋅k⋅T 1⋅ln b Va A c−d izotermán leadott hő : V Q 2 = N⋅k⋅T 2⋅ln c Vd ---------------------------------------Vb Q1 T 1 V a = ln Q2 T 2 V c Vd


−1 A b−c adiabatára : T 1 ⋅V −1 b =T 2 ⋅V c

A a−d adiabatára :

T 1 ⋅V

−1 a

=T 2 ⋅V

−1 d

Vb Vc = . Va Vd

vagyis:

Q1 T 1 = Q2 T 2

Tehát:

Az ideális körfolyamat termodinamikai hatásfoka:

id =

W mech Q 1−Q 2 Q T = =1− 2 =1− 2 Q1 Q1 Q1 T1

Eredményünk tanúsága szerint, a termodinamikai hatásfok ideális esetben sem érheti el a 100 %-ot. A hőmérsékletek aránya akkor lehetne zérus, ha a T2 hőmérséklet nulla lenne, vagy pedig a T1 hőmérsékletet végtelen nagynak választhatnánk. Gyakorlatilag olyan körfolyamat nem valósítható meg, amelyben a felvett hőenergia teljes mértékben mechanikai energiává átalakul át. 5.3.1. A HŐERŐGÉPEK TERMODINAMIKAI HATÁSFOKA Azokat a berendezéseket, amelyeknek az a rendeltetésük, hogy a hőenergiát mechanikai energiává alakításák át, hőerőgépeknek nevezzük. A hőerőgépekben célszerűen termodinamikai körfolyamatot valósítunk meg. A gép működése ciklikus, vagyis a körfolyamatot újra és újra ismétli. Minden egyes ciklusból - ideális esetben - Wmech=Q1-Q2 munka nyerhető. Legyen az egy másodperc alatt megvalósult ciklusok száma: n , így az egy másodperc alatt nyert munka - vagyis a hőerőgép teljesítménye - P=n˙Wmech . A hőerőgépek alkatrészeinek súrlódása, továbbá a körfolyamatban használt valóságos gáznak az ideálistól többé-kevésbé eltérő vislkedése azt eredményezi, hogy a hőenergia egy része - a veszteségek miatt - közvetlenül jut át a melegebb T1 hőtartályból a hidegebb T2 hőtartályba. Ennek a mozzanatnak a figyelembe vételével beláthatjuk, hogy a tényleges termodinamikai hatásfok csak kisebb lehet mint az ideális körfolyamatra levezetett érték. A felvett hőmunkának azt a részét, amely közvetlenül jut át a hidegebb oldalra, jelöljük ΔQval!

ΔQ

p(V) a

Q '1=Q 1Q

Q1 T1

d

'

=

b

mert :

Wmech T2

Q '2=Q 2 Q

Q '1−Q '2

Q '2

= =1− ' id Q '1 Q '1 Q1 ' ' Q 1−Q 2=Q 1−Q 2 de Q '1Q 1

Tehát irreverzibilis körfolyamat esetén:

Q2

Q '2

c V Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

W mech

és

Q

' 1



T2 T1

, és emiatt :

' id

43

5.3.2. A HŐERŐGÉP ÉS A HŐSZIVATTYÚ ELVI ÖSSZEHASONLÍTÁSA A hőszivattyú - lényegét tekintve - a hőerőgéppel ellentétes irányú körfolyamatot valósít meg. Mechanikai munka bevitelével, a hidegebb helyről elvont hőmunkát a melegebb helyre adja le. A HŐERŐGÉP ELVE

p(V)

Q1

A HŐSZIVATTYÚ ELVE

Wmech

Q2

p(V)

Q1

Wmech

Q2

V

V

Az egy ciklushoz tartozó eredő tágulási munka a hőerőgép esetében pozitív, a hőszivattyúnál negatív előjelű. A p(V) diagramon ábrázolt körfolyamat zárt görbéje által bezárt terület, arányos a mechanikai energia nagyságával. A Carnot-féle körfolyamatot véve alapul, a hőerőgépre megismert összefüggéseket - értelemszerűen - a hőszivattyúra is alkalmazhatjuk. HŐERŐGÉP

HŐSZIVATTYÚ

p(V)

p(V)

ΔQ T1

Q1

Q2

ΔQ T1

Wmech

Q2

V Q 2W mech=Q 1 W mech T =1− 2 Q1 T1

Q '1=Q 1  Q Q '2=Q 2 Q

44

Wmech T2

T2

id =

Q1

V

Q 2W mech =Q 1

*id =

W mech T 1 =1− 2 = Q1 T 1 Ny id

Q '1=Q 1 −Q Q '2=Q 2 −Q


id =

W mech

'

Q Ny id  Ny= 1 W mech

Q '1

Az irreverzibitás mértékétől függő ΔQ hőmunkarész mindkét esetben hátrányos. A hőszivattyúnál az Ny: nyereségi szám fejezi ki a folyamat hasznosságát, ami a hőerőgépre érvényes hatásfok reciproka. A hőszivattyú akkor hatékony, ha a meleg oldalon leadott hő a befektetett mechanikai munka többszöröse. Ez azonnal belátható, ha a hőszivattyús fűtésre gondolunk, ahol a légtérből, vagy a talajból elvont hőmunkát a magasabb hőmérsékletű fűtendő térben hasznosítjuk.

5.4. AZ ENTRÓPIAVÁLTOZÁS VIZSGÁLATA

 dQT 

dS =

Az entrópiaváltozás definíciója:

rev

p(V)

A gázhalmazra, mint nyitott rendszerre:

Q1

T1 Q2 T 2

a./ Reverzibilis körfolyamat esetén: Q1 = S 1 entrópia növekedés , T1 Q1 Q 2 Mivel , = ,  S 1= S 2 . T1 T2

Q2 = S 2 T2

V

entrópia csökkenés

Általánosítva :

∮ rev

dQ =∮ dS =0 T

b./ Irreverzibilis körfolyamat esetén: Q '1 Q '2  T1 T2

Általánosítva :

∮

irrev

dQ 0=∮ dS T

,

∮

vagyis :

irrev

dQ ∮ dS T

Tekintsünk most egy általános körfolyamatot, mely egy reverzibilis és egy irreverzibilis szakaszból áll!

p(V) 2

rev.

1

irrev.

− S 21irrev ∫

2

2

V Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

1

2

dQ dQ dQ rev ∫  irrev ∫ 0  S 12=rev ∫ 1 T 2 T 1 T  S 21=− S 12

1

dQ 0 T

Összefoglalva :

1

irrev ∫

; azaz :

2

dQ ≤dS T

;

dQ  S 21 T

dQ≤T⋅dS

45

5.4.1. A MAGÁRA HAGYOTT, VAGY ZÁRT RENDSZER ENTRÓPIÁJA A magára hagyott, vagy zárt rendszer a környezetéből nem kaphat hőmunkát, azaz dQ=0. Az előbbi - összefoglaló - megállapításunkat erre az esetre alkalmazva azt találjuk, hogy a zárt rendszer entrópiája, a benne zajló irreverzibilis állapotváltozások hatására, csak növekedhet. 0≤d S

Külső hatás nélkül a rendszer - a benne zajló spontán változások által - a korábbinál valószínűbb állapotába kerül. Ennek során a rendszer entrópiája növekszik. Ez a törvény a természetben végbemenő folyamatok irányát adja meg. Ezt a törvényt a termodinamika II. főtételének nevezzük. A termodinamikai valószínűség - jele: W - és az entrópia változás kapcsolatát a következő összefüggés írja le:  S =S 2−S 1=k⋅lnW 2−k⋅lnW 1=k⋅ln

W2 W1

5.4.2. AZ ENTRÓPIAVÁLTOZÁS SZÁMÍTÁSA

2

 S =S 2−S 1=∫ 1

 dQT 

rev

Az ideális gázra vonatkozó állapotváltozások mindegyike reverzibilis, tehát az elemi hőmunka - a termodinamika I. főtétele alapján - a következő formába írható át: f N⋅k⋅T dQ=dE bdW tág = ⋅N⋅k⋅dT  ⋅dV 2 V dQ f 1 N⋅k dS = = ⋅N⋅k⋅ ⋅dT  ⋅dV T 2 T V

2

,

T V f  S =S 2−S 1=∫ dS = ⋅N⋅k⋅ln 2  N⋅k⋅ln 2 2 T1 V1 1

Az entrópiaváltozás nagysága csak a végállapotok jellemzőitől függ, tehát körfolyamat esetén az entrópiaváltozás előjeles összege zérus. A halmaz egyedeinek száma a gyakorlati számításokat igen kényelmetlenné teszi, ezért hasznosak lehetnek a további egyenértékű átalakítások, melyekhez a következő összefüggésekre lesz szükségünk: f f c v⋅m= ⋅N⋅k= ⋅n⋅R 2 2

46

, tehát

2 N⋅k = ⋅c v⋅m f

, továbbá

cv=

cp 

, ahol =

f 2 f


Ezeket felhasználva:  S =S 2−S 1=c v⋅m⋅ln

T2 2 V T V f 2  ⋅c v⋅m⋅ln 2 = ⋅c p⋅m⋅ln⋅ 2  ⋅c p⋅m⋅ln 2 T1 f V 1 f 2 T 1 f 2 V1

5.4.2.1. Az entrópiaváltozás számítása a speciális állapotváltozások eseteiben a./ Izoterm szakaszra:

T1=T2

 S =S 2−S 1= N⋅k⋅ln b./ Izochor szakaszra:

V2 2 V V 2 = ⋅c v⋅m⋅ln 2 = ⋅c p⋅m⋅ln 2 V1 f V 1 f 2 V1

V1=V2

T T T f f  S =S 2−S 1= ⋅N⋅k⋅ln 2 =c v⋅m⋅ln 2 = ⋅c p⋅m⋅ln 2 2 T1 T 1 f 2 T1 c./ Izobár szakaszra: p=állandó, ezért: V2 T2 = V1 T1

 

 S =S 2−S 1=

 

T T T T f 2 1 ⋅N⋅k⋅ln 2 = 1 ⋅c v⋅m⋅ln 2 =⋅c v⋅m⋅ln 2 =c p⋅m⋅ln 2 2 T1 f T1 T1 T1

d./ Adiabatikus szakaszra:

dQ=0 ,így

dS=0 ,és ΔS=0

e./ Halmazállapot változás esetén: Tá=állandó. Az átalakulási hőmunka: dQ= Lá˙dm dQ L á⋅dm = Tá Tá


,

 S =S 2−S 1=

L á⋅m Tá

47

6. A MOLEKULÁRIS STATISZTIKA A molekuáris, vagy klasszikus statisztika a fizika XX. századi fejlődésének egyik jelentős sajátosságát fémjelzi. Korábban a fizika törvényeit determinisztikus jellegűnek tekintették. A XX. században szemléletváltás történt. A természeti folyamatok mélyebb okai, ezek kimeríthetetlen sokasága, arra intette a kutatókat, hogy a végtelenül bonyolult anyagi világ megismert törvényeit ne tekintsék abszolút véglegesnek, tovább már nem pontosíthatónak, hanem csak egy állomásnak a megismerés végtelen folyamatában. Ennek megfelelően, törvényeket helyesebb a valószínűség oldaláról értékelni. Az egyedi eseményekben a törvény érvényesülése eléggé valószínű ahhoz, hogy a gyakorlati tevékenységünkben számíthassunk rá. Tehát a törvény nem feltétlenül abszolút pontos, de a mindennapi emberi tevékenység számára hasznosítható kutatási eredményeket testesít meg. A termodinamika II. főtétele a természeti folyamatok irányát adja meg. A statisztikai szemlélettel élve erre törvényre úgy tekinthetünk, hogy a jövőbeli esemény nagy valószínűséggel ennek az iránynak megfelelő lesz. A törvény azt állítja, hogy a zárt rendszer entrópiája a benne zajló spontán változások miatt csak növekedhet. Statisztikai megközelítésben ezt úgy értjük, hogy a zárt rendszer entrópiájának növekedése sokkal valószínűbb, mint a csökkenése. Fontos, hogy az entrópia csökkenése sem lehetetlen, csak éppen igen kis valószínűséggel következhet be. A molekuláris statisztika a nagyszámosságú molekulahalmazra alkalmazza a statisztikai számításokat, és számszerűsíti az események jövőbeli bekövetkezésének valószínűségét. Megmutatja azt, hogy a korábban determinisztikusnak tekintett törvény milyen eséllyel érvényesül. A szemléletváltozás nem tagadja a korábbi évszázadok természettudósainak erőfeszítése árán elért eredményeket, csupán pontosít, és további kutatási területek művelésére ösztönöz.

6.1. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ALAPJAI A valószínűségszámítás tárgyát a véletlen tömegjelenségek vizsgálata képezi. Egy jelenség bekövetkezése lehet: a./ Determiniszikus -biztos, szükségszerű- , mert feltételei azt meghatározzák. b./ Sztohasztikus -véletlenszerű- , mert figyelembe vett feltételei azt egyértelműen nem határozzák meg. A feltételek teljes köre ebben az esetben nem ismeretes.

6.1.1. A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA P=

kedvező esetek száma összeslehetőség száma

, így tehát :

0≤P≤1

A biztos esemény: P=1, a lehetetlen esemény pedig: P=0 valószínűségű.

48


6.1.2. A KLASSZIKUS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS AXIÓMÁI a./ Az elemi események száma véges. b./ Az elemi események valószínűségei egyezőek. 6.1.3. A KLASSZIKUS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ALAPTÖRVÉNYEI a./ Az egymástól független események vagylagos bekövetkezésének valószínűsége az egyedi valószínűségek összege: P  AB =P  A P  B 

b./ Az egymástól független események együttes bekövetkezésének valószínűsége az egyedi valószínűségek szorzata: P  A⋅B  =P  A⋅P  B 

6.1.4. A LEHETŐSÉGEK SZÁMÁNAK MEGHATÁROZÁSA a./ Permutáció n különböző elem meghatározott sorrendje, az elemek egy permutációja. A lehetséges permutációk száma: P n =n !

, ahol n !=1⋅2 ⋅3 ⋅...⋅  n−1⋅n

b./ Ismétléses permutáció n elem között n1, n2, … ,nk darab azonos elem található. Ekkor a lehetséges permutációk száma: P nk =

n! n1 !⋅n2 ! ...⋅n k !

c./ Variáció n különböző elemből kiválasztott k darab elem permutációja, az adott n elem k-ad osztályú variációja. Ezek lehetséges száma: V kn =

n!  n−k  !

, ahol :

k n

d./ Ismétléses variáció Amikor n különböző elemből kiválasztott k darab elem között egyezők is lehetnek, akkor a k elem permutációja az adott n elem k-ad osztályú ismétléses variációja. Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

49

Ezek lehetséges száma: k

V n i =n

k

, ahol k n

is megengedett

e./ Kombináció n különböző elem közül k különböző elem kiválasztása, az adott n elem k-ad osztályú kombinációja. Ezek lehetséges száma:



n! C kn = n = k k !⋅ n−k  !

, ahol

k n

f./ Ismétléses kombináció n különböző elem közül k darab elem kiválasztása - amelyek között egyezőek is lehetnek - az adott n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját jelenti. Ezek lehetséges száma:

 nk −1 ! C kn i = nk −1 = k !⋅ n−1 ! k





, ahol

k n

is megengedett

A faktoriálisok értékének kiszámítása - a szokásos kalkulátorokkal -, közvetlenül csak 69!-ig lehetséges, mert 70! már nagyobb, mint a 10100 . Tehát 69!=1,711224524˙1098 fölött a hatványkitevőket külön kell kezelnünk. További segítséget jelent a Stirling-formulaként ismeretes alábbi összefüggés használata:

 

N !≃  2 ⋅⋅N⋅

ln N !≃ N⋅ln

N e

N

vagyis :

lg N !≃ N⋅lg

N 1  ⋅lg  2 ⋅⋅N  e 2

N 1 1  ⋅ln  2 ⋅⋅N =N⋅ln N − N  ⋅ln  2 ⋅⋅N  e 2 2

A Stirling-formula alkalmazásával, például : 69 !≃1.70916⋅10

98

A formula jelentőségét a logaritmizálás lehetősége adja, mert a faktoriálisok értékének nagyságrendja gyorsan növekszik. Például:

50

100!=9,3326.10157 1000!=4,03.102567 1500!=4,812.104114

lg 100!=157,9 lg 1000!=2567,6 lg 1500!=4114,68


6.2. A MAXWELL-BOLTZMANN STATISZTIKA A gázhalmazra vonatkozó klasszikus statisztika tárgya az N darab részecskéből álló gázhalamaz. Minden egyes molekula - adott pillanatban - meghatározott helyen van és meghatározott impulzus vektorral rendelkezik. Megállapítva valamennyi egyed helyét és impulzusát, a gázhalmaz egyik mikroállapotának leírását kapjuk. A gáznak minden egyes, individualizált molekulája helyével és impulzusával megadott állapotát, a gáz MIKROÁLLAPOTÁNAK nevezzük. A geometriai teret felosztjuk:  x⋅ y⋅ z cellákra. Az impulzus teret felosztjuk:  p x⋅ p y⋅ p z cellákra Annak a valószínűségét, hogy egy individualizált molekula , helyileg az adott térfogati cellában van, úgy kapható meg, hogy vesszük a térfogatcella és a teljes térfogat hányadosát. Ettől független annak a valószínűsége, hogy a molekula épp az adott impulzus-térbeli cellában tartózkodik. Annak a valószínűsége, hogy az individalizált molekula, adott pillanatban a kijelölt térfogati cellában van, és ugyanakkor -impulzusát tekintve pedig- a kijelölt impulzus-cellában található, a következőképpen adható meg: w=

 p x⋅ p y⋅ p z  x⋅ y⋅ z ⋅ V 

,ahol  : a rendszer összimpulzusától függő állandó.

Az egy molekula adott helyen, adott impulzussal való létét ez az elemi valószínűség adja meg. A kétféle cellarendszert formálisan egyesítve, hatdimenziós cellákban is gondolkodhatunk. Mivel a halmaz egyedeinek elhelyezkedése egymástól független esemény, egy mikroállapot valószínűségét úgy kapjuk, hogy az elemi valószínűséget N-szer összeszorozzuk. Tehát, egy mikroállapot bekövetkezésének valószínűsége: w N Fontos továbbá az, hogy minden mikroállapot egyformán valószínű! Ez az állítás meglepőnek tűnhet, de ne felejtsük el, hogy számunkra a molekulák megkülönböztethetlenek. Makroszkópikusan akkor találjuk újnak a gáz állapotát. ha az egyes cellákban lévő egyedek száma megváltozik. Emiatt be kell vezetnünk a makroállapot fogalmát. A gáznak az egyes cellákban lévő molekulái számával megadott állapotát, a gáz MAKROÁLLAPOTÁNAK nevezzük. Egy makroállapotot - általában - sok különböző mikroállapot valósít meg. A k cellában összesen N egyed található. Egy makroállapot bekövetkezésének valószínűsége, az azt megvalósító mikroállapotok valószínűségeinek összege. Mindegyik mikroállapot valószínűsége egyező, tehát egy mikroállapot valószínűségét annyiszor kell vennünk, amennyi az adott makroállapotot megvalósító mikroállapotok száma. Ezt a számot az ismétléses permutáció adja meg, és az adott makroállapot termodinamikai valószínűségnek szokás nevezni. A fentiek szerint: az N1, N2,.....Nk eloszlással jellemzett makroállapot előfordulásának valószínűsége:


51

N! ⋅w N =W⋅w N N 1 !⋅N 2 !⋅...⋅N k ! N! W= a termodinamikai valószínűség N 1 !⋅N 2 !⋅...⋅N k ! W w=

ahol ,

A gáz állapotváltozásának vizsgálata során gyakori kérdés az, hogy két makroállapot valószínűsége milyen arányszámra vezet. Az arány kiszámításakor elegendő a két állapot termodinamikai valószínűségének használata. Abban az esetben, amikor az új állapot nagyobb valószínűségű, az állapotváltozás során az entrópia növekszik.  S =S 2−S 1=k⋅ln

W2 W1

ahol :

k =1,38 ⋅10−23

J K

: Boltzmann állandó

A termodinamikai valószínűség legnagyobb értéke akkor adódik, amikor a nevező a lehető legkisebb értékét veszi fel. 6.2.1. A LEGVALÓSZÍNŰBB TÉRBELI ELOSZLÁS A térbeli elhelyezkedést tekintve minden olyan eloszlás megengedett, ahol a cellákban lévő egyedek számának összege N. A legnagyobb termodinamikai valószínűséghez az egyenletes térbeli eloszlás tartozik. A halmaz egyedeinek nagy száma miatt a makroszkópikus szemlélet számára az egyenletes eloszlás - bár csak a leggyakrabban előforduló eset - szinte kizárólagosnak tűnik. A legegyenletesebb eloszláshoz csak egyetlen makroállapot tartozik, ha a halmaz egyedeinek száma maradék nélkül osztható a cellák számával. Máskülönben több makroállapot található azonos értékű maximális valószínűséggel. Ezek közötti átmenet nem jár entrópia növekedéssel. A makroszkópikus szemlélet számára az egyenletes eloszlás észlelése azért is természetes, mert a legegyenletesebb eloszláshoz közeli eloszlásokhoz igen sok makroállapot tartozik. A kismértékű egyenetlenség észlelése a mérési pontosság függvénye. Tehát az egyenletes eloszláshoz közeli állapotok tapasztalására alapozva az a kijelentés, hogy „a gáz a rendelkezésére álló térfogatot egyenletesen tölti ki” csak közelítőleg érvényes. Az azonos egyenetlenségű makroállapotok előfordulási valószínűségei egyenlőek. Az adott egyenetlenséghez tartozó makroállapotok vagylagos előfordulásának valószínűsége annyiszor nagyobb, mint egy makroállapot valószínűsége, amennyi az azonos egyenetlenségre vezető különböző makroállapotok száma. Ezt a számot jelöljük F-el! A gáznak a különböző kitöltöttségű cellák darabszámával jellemzett állapotát a gázhalmaz adott egyenetlenségű állapotának nevezzük. Legyen a cellák száma: k . A cellákból a különböző kitöltöttség szerint k1, k2, … , kj, …, kf számosságú csoportokat képzünk. Tehát k1+ k2 +… +kj … +kf =k . F=

52

k! k 1 !⋅k 2 !⋅…⋅k j !⋅…⋅k f !

Ezzel az egyenetlenség valószínűsége:

W F =F⋅W⋅w N


6.2.2. A LEGVALÓSZÍNŰBB ELOSZLÁS A SEBESSÉGTÉRBEN A sebességtérbeli eloszlásnak ki kell elégítenie az energiaösszegre vonatkozó feltételt! Tehát a maximális termodinamikai valószínűséget csak olyan N1, N2,..., Nk eloszlások körében kereshetjük, amelyekre nézve fennáll a következő egyenlőség: i=N

E b= ∑ i=1

1 ⋅m ⋅v 2 2 i i

Tegyük fel, hogy a feltételt kielégítő első esetben valamennyi molekula azonos sebességvektorral rendelkezik. Ennél valószínűbb a második eset, ahol csak a sebességvektorok abszolút értéke egyező, de irányuk szerint egyenletesen eloszlanak. Ezzel egyező energiájú további - valószínűbb - állapothoz jutunk, ha pl. egy molekula kétszeres és ezzel együtt négy molekula félszeres sebességű állapotba megy át. Az említett öt molekula összenergiája az új állapotban egyezik a korábbi értékkel. 1 1 1 4 4 1 2 2 5 ⋅ ⋅mo⋅v 2= ⋅m o⋅ 2 ⋅v  4 ⋅ ⋅mo  0,5 ⋅v  = ⋅mo v 2 ⋅mo⋅0,25 ⋅v 2=2⋅mo⋅v 2 ⋅mo⋅v 2 2 2 2 2 2 2

vy

vy a./

vy c./

b./ N db

N db (N-5) db

v

v

vx

v

vx

vx

vz Ehhez hasonló sebességváltozások vezetnek az energetikailag lehetséges legvalószínűbb sebességeloszláshoz, amelynek sűrűségfüggvényét Maxwell-Boltzmann nyomán a következőképpen írhatjuk le.

i =

dN i 3

 dv i 



= N⋅



3

mo⋅v 2

− mo ⋅e 2 ⋅k⋅T 2 ⋅⋅k⋅T

db 3  m/ s

A sűrűségfüggvényből a sebességeloszlási függvényt úgy kapjuk meg, hogy a v sebesség környezetében kijelölt dv vastagságú gömbhéj térfogatban lévő molekulák dN számát elosztjuk a gömbhéj dv méretével.


53

vy

vy dNi vi

dN

(dvi)

3

dv

v

vx

vx vz



2

dN 4 ⋅⋅v ⋅dv⋅i 2   v = = =4 ⋅⋅N⋅v ⋅ dv dv

ρi

mo 2 ⋅⋅k⋅T



2

3

⋅e

−

m o⋅v 2 ⋅k⋅T

db m/ s

ρ

273 K

H2 gáz

H2 gáz

273 K

1273 K

1273 K v

v [m/s] 1500

3000

6.2.2.1. A sebességeloszlási függvény vizsgálata

2



  v =4 ⋅⋅N⋅v ⋅



mo⋅v

3

2

− mo ⋅e 2 ⋅k⋅T 2 ⋅⋅k⋅T

db m/ s

A függvény változói: N, mo , T és v. Az ábrázolást - általában - v változó szerint végezzük, az egyéb változókat paraméterezésre használjuk. A sebesség változásával a függvény szélsőhellyel rendelkezik. A maximum helyét jelöljük vMel! A szélsőhely kereséséhez írjuk át a kifejezést egyszerűbb alakra!

2



  v =4 ⋅⋅N⋅v ⋅



mo⋅v 2

3

− mo −k ⋅v ⋅e 2 ⋅k⋅T =k 1 ⋅v 2 ⋅e 2 ⋅⋅k⋅T

2

2

d −k ⋅v −k ⋅v −k ⋅v =2 ⋅k 1 ⋅v⋅e −k 1 ⋅v 2 ⋅2 ⋅k 2 ⋅v⋅e =2 ⋅k 1 ⋅v⋅e ⋅1−k 2 ⋅v 2 dv 2

2

54

2

2

2

2


A szélsőhelyen:

d =0=1−k 2 ⋅v 2M dv

v 2M =

1 2 ⋅k⋅T = k2 mo

, és

vM =





2 ⋅k⋅T 2 ⋅p = mo m

A sebességek átlaga és a négyzetes átlagsebesség ennél nagyobb értékű. vM =



2 ⋅k⋅T , mo

vk =



2 2 ⋅k⋅T ⋅ =1,13 ⋅v M ,   mo

v á =   v 2 á =



3 ⋅k⋅T =1,225 ⋅v M mo

A sebességeloszlási függvény ismeretében a valószínűséggel kapcsolatos kérdésekre is választ találunk. Példaképpen vizsgáljuk meg a következő két kifejezés tartalmát!



 v 2 ⋅dv=4 ⋅⋅dv⋅v ⋅ N



3

m o⋅v 2

− mo ⋅e 2 ⋅k⋅T 2 ⋅⋅k⋅T

Ez az összefüggésnek az eredménye kétféleképp is értelmezhető: a./ Megadja, hogy egy kiszemelt molekula mekkora valószínűséggel található meg a v sebesség dv széles környezetében. b./ Megadja, hogy a halmaz molekuláinak mekkora hányada rendelkezik v és v+dv közötti sebességgel. Tekintsük a következő arányt:   v 1   v 2 a./ A hányados megadja, hogy hányszor több molekula rendelkezik v1±0,5 m/s sebességgel, mint v2±0,5 m/s sebességgel. b./ A hányados megadja, hányszor valószínűbb, hogy sebességének értéke v1±0,5 m/s, mint az, hogy v2±0,5 m/s sebességű.

egy

kiszemelt

molekula

7. A TÖMEG-ENERGIA EKVIVALENCIA A XIX.-XX. század fordulójára a fizika fejlődése olyan problémákat tárt fel, amelyek a newtoni abszolút tér és idő fogalmát megkérdőjelezték. Az egyre pontosabb mérések arra az eredményre vezettek, hogy a különböző inerciarendszerekből ítélve a fény sebessége állandó. Ez azt jelenti, hogy egy fizikai jelenséghez kapcsolódó távolság és időadatok az egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó koordinátarendszerekből ítélve különbözőek. Ebből következik, hogy nincs kitüntetett - abszolútnak tekinthető - koordinátarendszer. Az eredmények egységes rendszerbe Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

55

foglalása Einstein érdeme, aki azt - speciális relativitéselméletként - 1905-ben publikálta. A relativitáselméletből Einstein levezeti - a róla elnevezett - E=m∙c2 összefüggést, aminek általános tételként való deklarálása, ekkor még csak zseniális megsejtésnek tekinthető. Egy évvel később, 1906-ban Max Planck - ezen a gondolati úton továbbhaladva - már felírta a relativisztikusan is érvényes mozgásegyenleteket. Ezeket a nagysebességű részecskék ütközésével kapcsolatos mérések a gyakorlatban igazolták. F=

d  m⋅v  dt

, ahol

m=



m0 1−

, és a lendület:

v2 2 c

Itt , m0 : a nyugalmi tömeg, és

c=3 ⋅108

m s

p=m⋅v=



m0 ⋅v 1−

v2 2 c

: a fénysebesség.

7.1. A TÖMEG-ENERGIA EKVIVALENCIA LEVEZETÉSE Tekintsük a tömeg gyorsításának elemi mozzanatát, és írjuk fel az ehhez szükséges munkát, ami a kinetikus energia megváltozásával egyenlő! (t)

(t+dt) v+dv

v

F m

dE kin =F⋅ds=

s

m+dm

ds



d  m⋅v  dv ⋅v⋅dt=v⋅ m⋅dvv⋅dm =dm⋅v vm⋅ dt dm



A deriválást külön elvégezve:

  dv dm

Behelyettesítve:

−1

=

dm d = dv dv

  m0

2

1−



v 2 c

=

1 1 − ⋅m0 ⋅−2 ⋅v ⋅ 2 2 c



2

1−

  2

v v ⋅ 1− 2 2 c c

=

m⋅v c 2−v 2



c 2−v 2 dE kin=dm⋅v⋅ vm⋅ =dm⋅ v 2c 2−v 2=c 2 ⋅dm m⋅v

56


A kinetikus energia növekedése tehát, a tömeg növekedésével jár együtt. A nyugalmi tömeghez m0·c2 nyugalmi energia rendelhető, a mozgó tömeg teljes energiája pedig m·c2.

E=m⋅c 2

,

E 0=m0 ⋅c 2 ,

E kin=E−E 0=m⋅c 2−m0 ⋅c 2= m−m0⋅c 2= m⋅c 2

7.2. A MOZGÁSI ENERGIA PONTOS ÉRTÉKE Az eddigiek alapján a teljes mozgási energia így írható fel: E kin= m⋅c 2= m−m0⋅c 2=m0 ⋅c 2

  1

v2 1− 2 c

−1

Abban az esetben, amikor v << c , közelítésül a jól ismert mozgási energia képletét kapjuk. E kin=m0 ⋅c

2

  







1 1 v2 1 2 −1 ≈m0 ⋅c −1 ≈m0 ⋅c 1 ⋅ 2 −1 = ⋅m0 ⋅v 2 2 2 2 c 2 1 v v 1− ⋅ 2 1− 2 2 c c 1

2

A tömeg a sebességgel együtt változik. A kis sebességeknél használt mozgási energia képlet - szigorúan véve - mindig tartalmaz hibát. A hiba nagysága azonban csak v > 0,1·c esetben válik jelentőssé.

7.3. A NUKLEÁRIS ENERGIA A kémiai elemek atommagjai - a legegyszerűbb modell szerint - protonokból és neutronokból - azaz nukleonokból - épülnek fel. A magfizikai mérések azt mutatják, hogy a mag tömege kisebb, mint az abban lévő nukleonok szabad tömegének összege. A különbséget tömeghiánynak nevezzük. A tömeghiánynak megfelelő energia szabadul fel a magok keletkezésekor, és ekkora energia kell ahhoz, hogy a mag szabad nukleonokra essen szét. Ezt az energiát a mag kötési energiájának nevezzük. Az egy nukleonra jutó kötési energia nagysága jellemző a magra, a könnyű és nehéz magoknál kisebb, a középnehéz magoknál a legnagyobb értékű. Amikor a könnyű magok magfúzióval, vagy a nehéz magok maghasadással középnehéz maggá alakulnak át, akkor növekszik a tömeghiány és kötési energiák különbsége - nukleáris energiaként - felszabadul. E k = m⋅c 2 ,

 m=[ Z⋅m p A−Z ⋅m n ]−M mag

Ahol: Δm: tömeghiány

Z: rendszám A: tömegszám

Eköt : kötési energia

Mmag: magtömeg

Szabad tömegek:

mp= 1,6724·10-27 kg mn= 1,6747·10-27 kg


c: fénysebesség

57

A nyerhető nukleáris energia kiszámításához, az átalakulásban résztvevő nukleonok eredeti és új kötési energiáit kell megállapítanunk. Ezek különbsége adja az eredményt. E nukl =E köt2−E köt1 Az atomfizikában gyakran használják az eV (elektronvolt) energiaegységet, így a kötési energiát is többnyire ebben adják meg. 1 eV =1,6 ⋅10

−19

As ⋅1 V =1,6 ⋅10

−19

J

A maghasadáskor keletkező középnehéz magok az elbomló mag neutronjainak egy részét nem képesek befogadni. A szabaddá váló nagyenergiájú neutronok lassításával a hűtőközeg révén hőenergiához jutunk. Az intenzív neutronsugárzás az aktív zónában található atommagok egy részéből - maghasadás nélkül - radioaktiv izotópokat hoz létre, továbbá a maghasadással keletkező új atommagok többsége is radioaktív. Az hasadásos atomreaktorok üzemének legfontosabb veszélyforrása a radioaktív anyagok esetleges kiszabadulása. A fúziós energiatermelés két könnyű mag egyesítése útján jöhet létre. A magokat igen nagy sebességgel kell ütköztetni. Ez a sebesség - láncreakcióra alkalmas módon - csak hőmozgással érhető el. A termikus aktíváláshoz 107-108 K hőmérséklet fenntartása szükséges. E plazma állapotú anyag mágneses mezőbe zárva tárolható, ahol az elektromosan töltött részecskéket önmagába záródó pályákon tartják. Az ipari méretű fúziós energiatermelés megvalósítására - nemzetközi összefogással - intenzív kutató-fejlesztő munka folyik. A fúzió nyersanyaga, a deutérium, a tengervízben gyakorlatilag kimeríthetetlenül rendelkezésre áll. A fúzió során nem keletkeznek hosszú felezési idejű radioaktív szennyezőelemek. A világ energiagondjainak megoldását - a szennyezés veszélye nélkül - a fúziós energiatermeléstől remélhetjük.

7.4. AZ ATOMMAGOK BOMLÁSI FOLYAMATA A radioaktív atommagok - spontán átalakulások során - a minimális energiájú állapot felé tartva, olyan maggá alakulnak át, amelyben a nukleonok erősebben kötöttek. A feleslegessé váló energia radioaktív sugárzással távozik. a./ α sugárzás: kétszeres pozitív töltésű részecskék, 2He4 hélium magok távoznak. b./ β sugárzás: amely nagy sebességű elektronokból áll. c./ γ sugárzás: nagy energiájú elektromágneses hullámok, melyek frekvenciája akár a 1021 Hz-et is elérheti. A bomlási folyamat gyorsaságának megadására a felezési időt ( Tf ), vagy a bomlási állandót ( λ ) használhatjuk. Az elbomlatlan magok számát N-el a bomlás kezdete óta eltelt időt t-vel jelölve az alábbi összefüggések érvényesek: −

N t = N 0 ⋅2 58

t Tf

, vagy

N t = N 0 ⋅e−⋅t

, ahol

⋅T f =ln 2=0,693 Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

A bomlások felezési ideje - a 10-7 s és 1010 év között - igen különböző nagyságú lehet.

8. FÉNYTAN Fénynek nevezzük azt az elektromágneses sugárzást, amelynek hullámhossza 10-8 m és 3·10-4 m közé esik. Az elektromágneses sugárzás energiája az f frekvenciától függően kvantált, ezért a fény kettős természetű.

8.1. A FÉNY, MINT RÉSZECSKE A fény részecske természetét a foton fogalma jelöli. A foton energiája, és az ehhez rendelhető fotontömeg, valamint a foton lendülete a következőképpen adható meg. E f =h⋅f ,

mf=

h⋅f c2

,

p f =c⋅m f =

h , 

h=6,625 ⋅10−34 Js

Planck állandó

A fény részecske természete nyilvánul meg - például - az ütközésekben, a fénynyomás jelenségében, a gravitáció hatására bekövetkező fényelhajlásban és a fotoemisszió jelenségében.

8.2. A FÉNY, MINT HULLÁM A fény terjedési sebessége a különböző optikai közegekben eltérő. Adott frekvenciájú fénysugár hullámhossza a fény terjedési sebességével együtt változik. c1= f ⋅1 ,

c 2= f ⋅2 ,

... ,

ci = f ⋅i

A hullámhossz szerint megkülönböztetünk: a./ Ultraibolya sugárzást, λ = 10 nm … 380 nm b./ Látható sugárzást,

λ = 380 nm … 760 nm

c./ Infravörös sugárzást, λ = 760 nm … 300 μm A fény hullámtermészetének igazolásául szolgálnak - például - az interferencia jelenségek és a fény törési törvénye. Huygens elv: A fény akadálynak ütközve, elemi gömbhullámok formájában terjed tovább. A gömbhullámok forrásaitól távolodva, azok közös burkolófelülete adja a hullámfrontot. Fermat elv: A fénysugár két pont között olyan pályát fut be, amelyhez a minimális futási idő tartozik.


59

Snellius-Descartes törvény. Az előző elvekkel összhangban, ez a törvény a fénysugárnak a különböző optikai közegek határfelületén történő áthaladásakor bekövetkező irányváltozását, törését írja le. Az ábra egy fénynyaláb törését mutatja. A hullámfront - mindkét közegben - merőleges a terjedési irányra. A két szélső sugár a közeghatár x távolságra lévő pontjain halad át. A baloldali sugár Δt idő alatt c1·Δt, a jobboldali sugár c2·Δt utat fut be. Az utak aránya alapján: c1 ⋅ t x⋅sin1 sin1 = = , c 2 ⋅ t x⋅sin 2 sin 2

MLLÁ U 1. H RONT F

α1

c2·Δt

c1 c1·Δt

x HU 2. FR LLÁ ON M T -

α1

c1 sin1 = c 2 sin 2

Tehát:

KÖZEGHATÁR α2

α2

c2

A fénysebességek hányadosa a 2. közegnek az 1. közegre vonatkoztatott törésmutatója. Tetszőleges közegpárosítás esetén ezt az egyes közegeknek a vákuumra vonatkoztatott törésmutatóiból határozzuk meg. c0 c1 n c c sin1 =n 21= 20 = 2 = 1 = c2 n10 c 0 c 2 sin 2 c1

Teljes visszverődés léphet fel, ha: n 21 1 A kritikus beesési szög : Amikor  2=90 ° , 1 =1 kr =arctg n 21 A teljes visszaverődés feltétele: 11 kr

8.2.1. A KÉPALKOTÁS TÖRVÉNYE A gömbfelületekkel határolt vékony lencsék, és a gömbtökrök az optikai tengellyel párhuzamosan érkező fénysugarakat úgy téritik el, hogy azok az optikai tengely egy pontjában - a fókuszpontban - keresztezik egymást, vagy úgy szóródnak, mintha ebből a pontból indultak volna ki. Ernyőn felfogható - valódi - kép keletkezik, ha a tárgy egy pontjából induló fénysugarak ismét találkoznak. Látható - virtuális - kép keletkezik, ha a tárgy egy pontjából kiinduló fénysugarak széttartását a képalkotó eszköz úgy módosítja, hogy azok a szemünkbe jutva a képpontból kiindulónak látszanak. 60


A lencse, vagy tükör optikai tengelyre illeszkedő középpontját, optikai középpontnak nevezzük. Ettől a helytől mérjük az f fókusztávolságot, a t tárgytávolságot, és a k képtávolságot. A képméretet K-val, a tárgyméretet T-vel jelöljük. Ezek hányadosa a nagyítás, melynek jele N. 1 1 1 =  f t k

N=

,

K k = T t

,

A dioptria: D=

1 f

[ 1m ]

A fókusztávolság vékony lencsénél:



1 1 1 = nlencse−közeg −1⋅  f r1 r 2



, r 1 és r 2 a gömbfelületek sugara ,, ha domború ,−ha homorú.

A fókusztávolság gömbtükörnél: f=

R 2

,

R : a tükör sugara

; , ha a tükör homorú , −, ha a tükör domború.

-A fókusztávolság előjele gyüjtőeszköznél pozitív, szóróeszköznél negatív. -A képtávolság valódi kép esetén pozitív, virtuális kép esetén negatív. -A tárgytávolság mindig pozitív.

9. A VILÁGÍTÁSTECHNIKA ALAPJAI A világítástechnika a látás feltételeit biztosító technikai eszközök és berendezések gyártásával, létesítésével és üzemeltetésével foglalkozó műszaki tudományterület. A világítástechnika alaptudománya a fotometria. A fotometria a fénytannak az az ága, amely a vizuális fényérzeten alapuló fénytechnikai hatásokkal, továbbá ezek mérési és méretezési kérdéseivel foglalkozik. Az elektromágneses sugárzás teljesítmény eloszlása: Eλ (λ) A fényforrások az elektromágneses teljesítményt véges hullámhossz tartományban szolgáltatják. A teljesítmény eloszlási függvény az 1 nm széles sávban kisugárzott teljesítményt adja meg a hullámhossz függvényében. Az emberi szem számára ebből - látható fényként - csak a 380760 nm sávba eső rész hasznosítható. Eλ [W/nm]

λ [nm] 380


760

61

9.1. FOTOMETRIAI ALAPFOGALMAK A láthatósági függvény: Vλ (λ) A látható fény hullámhossz tartományán belül az emberi szem fényérzékenysége változó. Az érzékenység világos környezetben (fotopos látás) 555 nm, sötét környezetben (szkotopos látás) 510 nm hullámhossz esetén a legnagyobb. A láthatósági függvény megadja azt, hogy adott hullámhossznál a szem érzékenysége a maximális érzékenységnek mekkora hányada. V'λ

1

Vλ

λ [nm]

0 510

380

555

760

A fényenergia és a fényteljesítmény: Qv, Pv A vizuális, vagy fényenergia az elektromágneses energiának, az emberi szem által fényként felfogott része. A fényenergia időegységre jutó része a fényteljesítmény. P v=

dQ v ∞ =∫ E ⋅V d  dt 0  

[W ]

A fényáram: Φ [lm] ∞

=K f⋅∫ E ⋅V  d 

[ lm ] , ahol

K f =680

0

lm : fényáram egyenérték W

A fényáram - mint a világítástechnika legfontosabb alapmennyisége - a vizuális teljesítménynek lumen egységben kifejezett értéke. A lumen egység használata hangsúlyossá teszi a fényforrás által kisugárzott elektromágneses teljesítmény és a vizuális teljesítmény közötti különbséget. Világítási célra - közvetlenül - csak a fényteljesítmény használható! A gyakorlatban általánosan használt villamos fényforrások jellegzetes fényáram adatai közül tekintsük a következőket: Izzólámpa:

62

40 W , 100 W, 200 W,

430 lm 1380 lm 3100 lm

Fénycső:

Higanygőzlámpa:

HgLI 250 W, 13 klm

Nátriumlámpa:

TC 250 W, TC 400 W,

18 W, 36 W, 58 W,

1200 lm 3000 lm 5000 lm

25,5 klm 48 klm Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

A fényerősség: I [cd] A fényforrás rendeltetése az, hogy a rendelkezésre álló egyéb energiát fényenergiává alakítsa át. A fényenergia célszerű térbeli elosztására a fényforrások - általában - nem képesek, ezt a feladatot a különböző fényirányító rendszerű lámpatestek valósítják meg. A fényerősség, vagy fényintenzitás, az egységnyi térszögbe ( Ω ) kibocsátott fényáram nagyságát adja meg. A fényerősség így a térbeli irányhoz rendelt mennyiség. I=

d d

[ lmsr =cd

 candela 

]

A megvilágítás: E [lx] A megvilágítás nagyságát az egységnyi felületre jutó fényáram adja. A számítás pontos elvégzéséhez nélkülözhetetlen a felület helyzetének és a lámpatestek geometriai elhelyezésének, valamint fényeloszlási adatainak ismerete. E=

[

d dA

lm =lx 2 m

 lux 

]

A munkafelület, járófelület helyzete szerint a megvilágítást - többnyire -vízszintes felületre kell megállapítani. Ilyenkor horizontális megvilágításról beszélünk. Azonban az útvilágításnál az akadályok, gyalogosok megvilágítása, vagy az épületek homlokzatának megvilágítása a függőleges sík megvilágítását igényli. Ez a vertikális megvilágítás. A felület egy kiválasztott pontjának megvilágításában - általában - több lámpatest vesz részt. Ezek egyedi megvilágításai egyszerű összeadással adják az eredő megvilágítást. Egyetlen lámpatest hatását a következő módon számítjuk ki.

φ

Iφ

h

r

dAn =dA⋅cos  ,

dAn

E=

φ

dA

d =

dAn r2

d d d = ⋅cos = ⋅cos  dA dAn d ⋅r 2 I I E = 2 ⋅cos = 2 ⋅cos3  r h

A fényeloszlási adatokat - valamely függőleges síkban - a lámpatest középpontján átfutó függőlegeshez mért φ szög szerint szokás megadni. Abban az esetben, ha a megvilágítandó felület függőleges, az Ev vertikális megvilágítást számítjuk ki. dA n =dA v⋅sin ,


d =

dA n r

2

,

E v=

I I d d 2 = ⋅sin= 2 ⋅sin= 2 ⋅sin⋅cos  dA v dA n r h

63

A fénysűrűség: L [cd/m2] A fénykibocsátó felületi pont fénysűrűségének értelmezése: L=

dI  dA n

[ ]

dI  : a világító dA felületből a szembe érkező fényerősség dAn :a világító dA felület látási irányra merőleges vetülete

cd 2 m

A látótérben azok a felületek, amelyek a környezethez viszonyítva nagy fénysűrűségűek, - például a fényforrások, a csillogó és tükröző felületek - zavarják a látást, mert káprázást okoznak. A megvilágítást biztosító világítótesteket úgy kell kialakítani és elhelyezni, hogy a káprázás zavaró hatása ne rontsa a világítás komfortját. A mesterséges világításra vonatkozó szabványok a káprázáskorlátozást különböző részletességgel szabályozzák. A fő nézési irány függőleges síkjában a korlátozás szigorúbb, mint más függőleges síkokban. A helyiségek káprázásmentességi igényszintjét - azok rendeltetése alapján alacsony, közepes vagy magas kategóriába sorolják, és a káprázási szög függvényében előírják a megengedhető maximális fénysűrűség értékét.

φ

φ

Iφ

Tilt

o tt

75°

ε

terü

let

45°

φ: káprázási szög ε : látószög

1500

5000

L [cd/m2]

A fényforrások fénysűrűsége a közvetlen rálátás mellett nagy érték: - izzóknál 2·106 … 20·106 cd/m2 - fénycsöveknél 3000 … 15000 cd/m2 A lámpatestek búrájával vagy fényterelő rácsrendszerével a fénysűrűséget a megengedhető érték alá csökkentik. Fényhasznosítás: [lm/W] A fényhasznosítás a fényforrás által szolgáltatott fényáram és az ennek létrehozásához felhasznált villamos teljesítmény hányadosa. A fényhasznosításban jelentős különbségeket találunk.

64

- izzólámpák:

5-20 lm/W

- fénycsövek:

30-60 lm/W

- higanylámpák:

35-70 lm/W

- nátriumlámpák:

60-120 lm/W


Színhőmérséklet A színhőmérséklet a fényáram minőségére jellemző fogalom. Kelvin fokban kifejezett számértéke azt a színérzetet jelöli, amelyet az azon a hőmérsékleten izzó feketetest sugárzása kelt. A kellemes színérzethez szükséges megvilágítás a színhőmérséklettel növekszik. Ha adott színhőmérséklet mellett a megvilágítás kicsi, a fényt hidegnek, ha túl magas, akkor természetellenesen melegnek érezzük. A határértékeket a Kruithoff-diagram tartalmazza.

KRUITHOFF DIAGRAM

Megvilágítás [lux] 50000 20000 10000 5000

TERMÉSZETELLENES

2000

KELLEMES

1000 500 200 100 50

HIDEG

20 10 5 1

1,2

1,5

2

2,5

3

4

5

6

8

10

Színhőmérséklet [1000 K]

Színvisszaadás, színhűség A helyes színfelismeréshez az átlagosnak tekinthető nappali fény spektrális eloszlásának megfelelő mesterséges fény szükséges. Ha a fényforrások sugárzásának spektruma ettől eltérő, akkor a megvilágított tárgyak színét másnak érzékeljük, mint a természetes világítás esetén. A fényforrásokat ezért, színvisszaadási kategóriákba sorolják.

A színhűséget biztosító világítási

berendezés fényforrásai és azok üzeme költségesebb. A megvilágítás időbeli egyenletessége: εΦ A fényforrások által szolgáltatott fényáram periódusidőn belüli legkisebb, és legnagyobb értékének hányadosa. - izzó-, xenonlámpa: ~1,0 - fénycsöveknél: 0,3-0,6 - higanylámpáknál: 0,12-0,25 - nátriumlámpáknál: 0,19-0,25


65

Az időben periodikusan változó megvilágítás részben fárasztja a szemet, továbbá a mozgó gépalkatrészek mozgásának helyes megítélését nehezíti. A hátrányos hatás jelentősen csökkenthető azáltal, hogy a fényforrások táplálására fázisban különbözően eltolt feszültségeket alkalmazunk. További lehetőség a nagyfrekvenciás elektronikus előtét használata. A megvilágítás térbeli egyenletessége: ε A megvilágítás a megvilágított felületen pontról-pontra változó értékű. A látási funkció mindig véges nagyságú felülethez kötődik, melyen a megvilágítás átlagos értékét kellő egyenletességgel kell biztosítani. Három egyenletességi tényező haszálatával találkozhatunk. 1 =

E min E átl

,

 2=

E átl E max

,

3 =

E min E max

,

3=1⋅2

Leggyakrabban a középegyenletességnek nevezett, ε1 tényezőt használjuk. A maximális megvilágítási érték korlátozását a szem adaptációs időigénye indokolja. A TV és fénykép felvételek szempontjából az ε3 tényező jut fontos szerephez, melyet határegyenletességnek neveznek. A közepes igényű mesterséges megvilágítás egyenletességi követelményei: - munkahelyek, irodák, üzletek, tantermek, stb. ε1 < 0,3 és, ε2 < 0,3 - a munkafelület és a környezet átlagos megvilágitásának aránya kisebb legyen, mint 3. - a munkafelület és a látótér távoli felületei átlagos megvilágitásának aránya kisebb legyen, mint 10. - az egymáshoz kapcsolódó belső terek, közlekedők átlagos megvilágításának aránya ne haladja meg a 3-at. Reflexió tényezők: ρ A fényforrásból kilépő fényáram - felülethez érkezve - részben elnyelődik, részben visszaverődik. A visszaverődő és a beeső fényáram hányadosát reflexió tényezőnek nevezzük. A beltéri világítás számításánál a mennyezetre, a padlóra és a falakra általában kölönböző reflexió tényezőket kell tekintetbe venni. A lámpatestek világítási hatásfoka: ηl A lámpatestből kilépő fényáram és a beépített fényforrások fényáramának hányadosát lámpatest világítási hatásfokának nevezzük.

a

A helyiség világítási hatásfoka: ηh Ez a hatásfok a megvilágítandó felületre érkező fényáram, és a helyiségben üzemelő lámpatestek eredő fényáramának hányadosát adja meg. A világítás hatásfoka: ηv Egyszerűsített számítási eljárásoknál a megvilágítandó felületre jutó hasznosított fényáram és a világítótestekbe beépített fényforrások fényáramának arányát használjuk. v =l⋅h Ezt az arányszámot a világítás hatásfokának nevezzük. 66


9.2. VILÁGÍTÁSTECHNIKAI SZÁMÍTÁSOK A mesterséges világítás követelményei a./ Kellő megvilágítási szint biztosítása b./ A megvilágítás térbeli és időbeli egyenletessége c./ Káprázás mentesség d./ Színfelismerés, színérzet e./ A berendezés esztétikus megjelenése f./ Gazdaságos létesítés, karbantartás, üzemeltetés A világítástechnikai számítások jellemzője, hogy valamennyi adat rendelkezésre állása csak a végleges építészeti kialakítás - pontos geometriai és reflexió adatok - után áll rendelkezésre. A beruházások tervezésénél, gyakran - pl. az előzetes pénzügyi döntés előkészítésének időszakában ezen részletes adatok nélkül kell, a célnak megfelelő pontosságú - becslés értékű - számításokat végeznünk. A pontos és részletes számítás, adat és időigényes, ezért a létesítmény rendeltetésétől is függ az elvárt pontosság. A belső terek reflexiói a felületi kialakításon túl, a bútorozástól, továbbá a használat során bekövetkező elszennyeződéstől és a karbantartás tényleges szinvonalától is függenek. Összefoglalva kijelenthetjük, hogy a becslés teljes kiküszöbölése gyakorlatilag lehetetlen. Az egyes módszerek közötti különbség - főként - a becsült adatok részarányában mutatkozik. 9.2.1. A WATT-MÓDSZER E módszer a beruházási programterv készítésének időszakában rendelkezésre álló igen kevés adat alapján, a létesítmény világítási energiaigényének megállapítására és a világítási berendezés kivitelezési költségének becslésre alkamas. Szakmai táblázatokból, vagy korábban megvalósult létesítmények fajlagos adataiból származtatjuk azt a teljesítményt, amely 1 m2 felület 100 lx megvilágításához szükséges. Legyen a létesítmény alapterülete A [m2], a megkívánt átlagos megvilágítás Eátl [lx]. A kiszámítható teljesítményigény, ezek alapján: E P= p⋅ átl ⋅A [W ] 100

, ahol p

[

W m ⋅100 lx 2

]

A létesítmény rendeltetése alapján a lámpatestek egységteljesítményét becsülve azok darabszámát megállapítjuk. Az egy lámpatestre jutó becsült vezeték és szerelvény igényt is figyelembe véve - a járatos árak alapján - megállapítjuk a várható költséget. 9.2.2. AZ EGYSZERŰSÍTETT HATÁSFOK-MÓDSZER Ez a gyors eljárás jól használható a gyakran ismétlődő - szokványosnak nevezhető geometriák, felületkiképzések, lámpatestípusok és elrendezések esetén. A becslés abban áll, hogy a reflexiókat és a lámpatestek világítási hatásfokát átlagosnak tekintjük. Ennek indoka az, hogy adott időszakban, a hasonló rendeltetésű épületek létesítésénél, a műszaki-gazdasági optimum közel Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

67

azonos anyagok, technológiák és világítótestek alkalmazására vezet. A tapasztalati adatok eléggé részletesek ahhoz, hogy az átlagostól való eltérés jellegére tekintettel - kellő tapasztalat birtokában azokat megfontoltan, esetleg kissé módosítva alkalmazzuk. A világítási kategória függvényében a világítás hatásfokát, és az egyenletességet biztosító lámpatest távolság világítási magasság arányt a következő táblázatból vesszük: VILÁGÍTÁSI KATEGÓRIA

A

B

C

D

E

A világítási kategória elnevezése

közvetlen

főleg közvetlen

szórt

főleg közvetett

közvetett

A világítás hatásfoka : ηv

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

lámpatáv./vil. magasság : d/h <

0,7

0,85

1,0

1,15

1,3

A világítási magasság az a függőleges távolság, amely a megvilágított felület és a lámpatest középpontja között mérhető. A világítás hatásfoka - mint tudjuk - a lámpatest hatásfokának és a helyiség világítási hatásfokának szorzata. Ennek táblázatbeli értékétől - indokolt esetben - kissé eltérhetünk. Mérlegelve a lámpatípus elhasználódásának ütemét és a tisztítás, karbantartás feltételezhető szinvonalát, megbecsüljük a karbantartási tényező nagyságát: b=0,5 … 0,8 között. Az A alapterületű helyiségben az átlagos megvilágitási igényhez először a beépítendő fényforrások eredő fényáramát, majd ennek egy lámpatestre jutó részét számítjuk ki. ö =n⋅1=

E átl⋅A v⋅b

,

n

A 2 [ d / h⋅h ]

, 1 =

ö n

,

P=n⋅P 1

Ezután kiválasztjuk a lámpatestet, majd annak teljesítményfelvételét a darabszámmal szorozva megkapjuk a helyiség világítóberendezésének teljesítményigényét. 9.2.3. A FINOMÍTOTT HATÁSFOK-MÓDSZER (LiTG-módszer) A módszer hasonló az előzőhöz, de a lámpatest és a helyiség világítási hatásfokát külön-külön veszi figyelembe. A lámpatest világítási hatásfoka gyártmányadat, amit a gyártó közöl. A helyiség világítási hatásfokát ( ηh ) a módszerhez kidolgozott táblázatból állapítjuk meg. Ennél a lépésnél a következő öt változó szerint kell megkeresni az adatot: - a világítás kategóriája, - a mennyezet reflexió tényezője: ρm - a fal reflexió tényezője: ρf - a padló reflexió tényezője: ρp - a helyiségtényező: k k=

68

a⋅s h⋅ as 

, ahol a és s : a helyiség hossza és szélessége, h : a világítási magasság.


Látható, hogy a módszer pontossága csak akkor biztosítható, ha valamennyi szükséges adat rendelkezésünkre áll. A lámpatestkiosztásnál - a fényeloszlási karakterisztika alapján - az egyenletességi és a káprázásmentességi követelményt ellenőrizve állapítjuk meg a d/h viszonyt. ö =n⋅1=

E átl⋅A l⋅h⋅b

,

n

A 2 [ d / h ⋅h ]

, 1 =

ö n

,

P=n⋅P 1

A karbantartási tényező itt is becsült érték. Az előírt megvilágítási szintet a minimális elvárásként értelmezzük. A gazdaságos lámpatestek egységteljesítményének választéka és a bizonytalan körülmények mérlegelése mellett, mindig a nagyobb megvilágítási értéket jelentő változat mellett döntsünk! 9.2.4. PONTRÓL-PONTRA MÓDSZER A megvilágítandó felületet - választott finomsággal - elemi részekre bontjuk. A felületrészek középpontjaira egyenként kiszámítjuk valamennyi lámpatest hozzájárulását a megvilágításhoz, és végül ezeket a részmegvilágításokat összegezzük. A módszer igen nagyszámú számítást igényel. Általános alkalmazását a számítógépes technika elterjedése tette lehetővé. Adott felületi P pont megvilágítása i=1 … n db lámpatest hatására a következő:

i-edik lámpatest

hi

φi Iφi

ri

(i+1)-edik lámpatest

Iφ(i+1)

E Pi =

P

I i r

2 i

⋅cos i =

I i h

2 i

⋅cos3 i

i=n

E P =∑ E P i i=1

Kültéren, nagy csarnokokban - jellemzően közvetlen megvilágítási módnál - ahol a felületre jutó reflektált fényhányad elhanyagolható, e módszer alkalmazása pontos eredményre vezet. Beltéren, a mennyezet és egyéb felületek reflexiója jelentős fényáramot juttat közvetetten a megvilágítandó felületre. A közvetett megvilágítási hányadot - ilyen esetekben - becsléssel állapítják meg, és egyenletes értékkel hozzáadják a közvetlen megvilágítás pontról-pontra módszerrel számított értékéhez. A pontról-pontra módszer részletes fényeloszlási adatokat használ, tehát a tényleges lámpatest és a pontos geometriai elrendezés alapján ad pontos eredményt. A fejlett számítógépes programok - a számítás adatait és eredményeit - táblázatos és szemléletes grafikus formában feldolgozva közlik. Rendszerint mód van a dokumentáció kívánt részletességű kinyomtatására is. Megjegyezzük, hogy a mesterséges világítás az emberi környezet lényeges építő eleme, és az alapvető látási funkció kiszolgálásán túl, a belsőépítészet fontos része. Hasonlóan az emberi környezet szebbé tételét szolgálják a díszvilágitási berendezések, az emlékművek, szökőkutak városközpontok esztétikai értékeinek kiemelésével. A települések közvilágítása, az út és parkvilágítások - a biztonság mellett - a környezeti komfort fontos meghatározói. Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

69

10. PÉLDÁK 10.1. HIDROSZTATIKA 10.1.1. PÉLDA Az ábra egyszerű folyadéksűrűségmérő egyensúlyi helyzetét ábrázolja vízben és a víznél kisebb sűrűségű folyadékban. A mérési tartomány 0,7 kg/dm3...1 kg/dm3. A kellően pontos leolvasáshoz 15 cm hosszú skála szükséges. Mekkora legyen a jelölt keresztmetszet, ha a kiszorított térfogat, - víz esetén - 21 cm3?

Skálahossz 15 cm

A=?

15 cm x

ρvíz

ρ<ρvíz

A felhajtóerők egyenlők, mert az mindkét esetben az úszó súlyával egyezik meg. víz⋅V⋅g=⋅V  x⋅A ⋅g A=

,

tehát :

víz⋅V =⋅V ⋅x⋅A





víz⋅V −⋅V V⋅ víz − V víz = = ⋅ −1 x  x⋅ x⋅

Mivel x max =15 cm

,

A=





21 1 ⋅ −1 =0,6 cm2 15 0,7

10.1.2. PÉLDA A háromszárú közlekedőedényben a víz fölé száranként eltérő sűrűségű folyadékokat rétegeztünk. Az adatok alapján határozzuk meg x1, x2 és x3 nagyságát! p0 g

ρ1

p0 h

ρ2

x1 pA

A

p0 h ρ3 x2

ρ

h x3

ADATOK: g≈10 m/s2 h=0,2 m pA=1,03 bar p0=1 bar ρ=1 kg/dm3 ρ1=0,7 kg/dm3 ρ2=0,8 kg/dm3 ρ3=0,9 kg/dm3

Az egyensúlyi állapotból belátható, hogy az A-val jelölt szinten - mindegyik szár esetén azonos a nyomás. Ezt a nyomást a légnyomás és az A szint fölötti folyadékszakaszok hidrosztatikai nyomásainak összege adja. 70


p A− p0−1 ⋅g⋅h=⋅g⋅x 1

, ahol

x 10

p A− p0−2 ⋅g⋅h=⋅g⋅x 2

, ahol

x 20

p A− p 0−3 ⋅g⋅h=⋅g⋅x 3

, ahol

x 30

Az egyenletekből egyenként kiszámíthatjuk x1 , x2 és x3 értékét. p A− p 0−1 ⋅g⋅h 3 ⋅103−0,7 ⋅103 ⋅10 ⋅0,2 x1= = =0,3−0,14=0,16 m 3 ⋅g 10 ⋅10 Továbbá:

x 2=0,3−0,16=0,14 m

x 3=0,3−0,18=0,12 m

10.1.3. PÉLDA A tengeralattjáró tömege 120 tonna, vízkiszorítása 160 m3, a haladásra merőleges keresztmetszete 20 m2, alaktényezője 0,2. A víz sűrűsége 1000 kg/m3. a./ Mekkora a vízkamrák térfogata? b./ Mekkora mechanikai teljesítmény szükséges 36 km/h sebességű haladáshoz? a./ A víz alatti tartózkodás a lebegési állapotot igényli. Ennek az a feltétele, hogy a felhajtóerő és a súlyerő megegyezzék. Legyen Δmv a vízkamrákat kitöltő víz tömege! F f =G , vagyis: V⋅v⋅g = m m v⋅g

 m v =V⋅v −m

,ebből:

A vízkamrák térfogata: V v =

 mv m 120 ⋅103 =V − =160− =40 m3 3 v v 10

b./ A közegellenállási erő: F k =k⋅v⋅A⋅v 2=0,2 ⋅103 ⋅20 ⋅10 2 =4 ⋅105 N Az állandó sebességű haladáshoz ugyanekkora mechanikai tolóerő szükséges. Ebből a mechanikai teljesítmény kiszámítható: P=F⋅v=4 ⋅105 ⋅10=4 ⋅10 6 W =4000 kW

Megállapíthatjuk, hogy teljesítményigény a haladási sebesség harmadik hatványával arányos: 2

P=F⋅v=F k⋅v=k⋅v⋅A⋅v ⋅v=kons.⋅v


3

71

10.1.4. PÉLDA Ugyanazt a cseppentőt használva hányszor nagyobb egy csepp víz térfogata, mint egy csepp alkohol térfogata? A felületi feszültségi tényezők: αalkohol=0,022 N/m , αvíz=0,073 N/m A sűrűségek: ρalkohol=0,79 kg/dm3 , ρvíz=1,00 kg/dm3 A cseppképződés lényege az, hogy a csepp súlya épp meghaladja a cseppentő szájkontúrján eloszló elemi felületi feszültségi erők eredőjét. Ennek nagysága a cseppentő méretétől és a folyadék anyagától függ. F =L⋅

ρ

Az egyensúlyi egyenletből kifejezzük a csepp térfogatát: G=F

⋅g⋅V =⋅L

, azaz

, amiből:

V=

L

⋅L ⋅g

V

g

A térfogatok aránya független L-től és g-től:

G

 v⋅L V v v⋅g  v a 0,073 0,79 = = ⋅ = ⋅ =2,62 V a  a⋅L  a v 0,022 1,00 a⋅g

10.2. HIDRODINAMIKA 10.2.1. PÉLDA Az átemelő szivattyú az ártérről, 250 mm átmérőjű csővezetékkel óránként 720 m3 vizet emel át a folyóba. Az emelési magasság 6 m. Mekkora az áramlási nyomásveszteség, ha a szivattyúegység hatásfoka 60 % és a villamos teljesítményfelvétele 50 kW? (g ≅10 m/s2) 720 m3 I v= =0,2 3600 s

,

d 2 ⋅ 0,25 2 ⋅ A= = =0,04909 m2 4 4

1 2  p sziv = p veszt  ⋅⋅v ⋅g⋅h 2

,

v=

Iv 0,2 m = =4,07437 A 0,04909 s

P mech=P vill⋅=50 ⋅0,6=30 kW

,



,

P mech= p sziv⋅I v



P mech 1 4,07437 2 2 3 30  p veszt = − ⋅⋅v −⋅g⋅h=10 ⋅ − −60 =103 ⋅150−8,3−60 =81,7 kPa Iv 2 0,2 2 72


10.2.2. PÉLDA A levegő áramlási intenzitása: 50 l/s. Adja meg a felszívott folyadék áramlási intenzitását a h magasság függvényében, ha az áramlási ellenállások elhanyagolhatók! A2 Ilev

A1=1 mm2 A 2=15 cm2 m g≃10 2 s kg  f =0,9 dm3 kg lev =1,3 3 m

If h

A1

A3>>A1

f

A külső légtér nyomása: p0, a csőben lévő nyomás: p. Levegőre:

1 2 p0= p ⋅lev⋅v lev 2

1 1 2 2 ⋅lev⋅v lev = ⋅ f⋅v f  f⋅g⋅h 2 2



I f = A1 ⋅v f = A1 ⋅

Folyadékra:

,ahol:

2

1 p0= p f⋅g⋅h ⋅⋅v 2f 2

I lev 50 ⋅10−3 100 m v lev = = = A2 15 ⋅10−4 3 s

,

vf=

If A1



0,5 ⋅lev⋅v lev − f⋅g⋅h 0,5 ⋅1,3 ⋅1111,1−900 ⋅10 ⋅h =10−6 ⋅ =10−6⋅ 1,6−20 ⋅h 0,5 ⋅900 0,5 ⋅ f 3 m I f= , h=[ m ] s

[ ]

10.2.3. PÉLDA A víztároló vízszintje 40 m-el magasabban van a csőtörés helyénél, ahol a 80 mm átmérőjű csövön percenként 5 m3 víz ömlik ki. Mekkora a kifolyó víz sebessége? Mekkora az áramlási nyomásveszteség? (g=9,81 m/s2.) Iv=5 m3/perc,

h=40 m, d=80 mm, v=

 p=⋅g⋅h−

v=?

Δp=?

I v I v⋅4 5 ⋅4 m = 2 = =16,5786 −4 A d ⋅ 60 ⋅64 ⋅10 ⋅ s

1 ⋅v 2=103⋅9,81 ⋅40−0,5 ⋅103 ⋅16,5686 2=103 ⋅ 392,9−137,425 =255,475 kPa 2


73

10.2.4. PÉLDA A szivattyúberendezés hasznos teljesítménye 12 kW. Az emelőmagasság 11 m, 2 a csőátmérő 80 mm, a víz áramlási sebessége 12,5 m/s, g= 9,81 m/s . Mekkora az áramlási nyomásveszteség és mekkora az áramlási intenzitás értéke ? P h=12 kW

,

h=11 m

,

d 2 ⋅ 82 ⋅ A= = =50,26 cm2 4 4

d =80 mm

,

,

v=12,5

m s

,

=103

−4

kg m3

−3

I v =v⋅A=12,5 ⋅50,26⋅10 =63,83 ⋅10

m3 s

Ph 12 ⋅103 3  p sziv = = =190,9859 ⋅10 Pa −3 I v 62,83 ⋅10 ⋅g⋅h=103 ⋅9,81 ⋅11=107,91 ⋅103 Pa

1 ⋅⋅v 2=0,5 ⋅103 ⋅12,5 2=78,125 ⋅103 Pa 2 1 1  p sziv =⋅g⋅h ⋅⋅v 2 p ,  p= p sziv −⋅g⋅h− ⋅⋅v 2 2 2  p=190,9859−107,91−78,125=4,9509 kPa

10.2.5. PÉLDA A víz az 1. helyről a 2. helyre áramlik. A nyomásveszteség 150 kPa. ( g ≈ 10 m/s2 ). ∆h = h2-h1 = ? , ha p1 = p2 ; v1 = 20 m/s ; v2= 25 m/s .

1 1 p1 ⋅v 12 ⋅g⋅h1= p 2  ⋅v 22⋅g⋅h 2 p 2 2 0,5 ⋅⋅ v 12−v 22− p 0,5 ⋅103 ⋅ 400−625−150 ⋅103  h=h 2−h1= = =−26,25 m ⋅g 103 ⋅10

74


10.2.6. PÉLDA Mekkora a higanyszintek különbsége, ha a légáramlás nélküli állapotban a külső és a belső légnyomás egyenlő ? vlev vlev=250 m/s ρlev=1,3 kg/m3 p0=105 Pa ρHg=13,6 kg/dm3 g≈10 m/s2

Δh

p0

Hg

1 2 p0 = p ⋅lev⋅v lev 2

Levegőre :

,

Higanyra :

p0= p Hg⋅g⋅ h

2

 ⋅v 1,3 ⋅6,25 ⋅10 4  h= lev lev = =0,2987 m 2 ⋅ Hg⋅g 2 ⋅13,6 ⋅103 ⋅10

10.3. HŐSZIGETELÉS, PÁRADIFFÚZIÓ 10.3.1. PÉLDA A hőtároló kályha 2,2 m2 felületén 3 óra alatt 4 kWh hőmunkát ad le. ϑb=550 0C és ϑk=25 0C. Mekkora a hőszigetelés anyagának hővezetési tényezője, ha a szigetelés vastagsága 4 cm ? / A felületre tapadó légrétegek hőtechnikai ellenállása elhanyagolható./ A=2,2 m

2

⋅t Q= A⋅ ⋅  d

,

t =3 h

,

Q=4 kWh

,

d =4 cm

=

 =525 ° C

−2

3

, tehát:

,

Q⋅d 4 ⋅10 ⋅4 ⋅10 W = =0,046176 2 m⋅K A⋅t⋅  3 ⋅2,2 ⋅5,25 ⋅10

10.3.2. PÉLDA polisztirol Mekkora a hőáram-sűrűség? Mekkora a páraáram-sűrűség ?

tégla

tégla

ϑb=20 0C ϑk=-2 0C ∝b=8,1W/m2K ∝k=23,3 W/m2K


g q

12 cm

4 cm

12 cm

75

ptb=2338 Pa ptk=401 Pa ϕb=75 % ϕk=90 %

Tégla:

λt=0,7 W/m.K δt=0,037.10-6 g/s.m.Pa

Polisztirol:

λp=0,047 W/m.K δp=0,002.10-6 g/s.m.Pa

r h= r h=

1 2 ⋅d t d p 1    k t  p b

1 0,24 0,04 1 m 2 ⋅K    =0,04290,34280,8510,1234=1,36 23,3 0,7 0,047 8,1 W

q=

b−k 20−−2 W = =16,176 2 rh 1,36 m

2 2 ⋅d t d p 0,24 0,04 6 m ⋅Pa r v=  =  =26,486 ⋅10 g/s t  p 0,037⋅10−6 0,002 ⋅10−6

g=

p rb− p rk ptb⋅b− ptk⋅k 2338 ⋅0,75−401 ⋅0,9 1753,5−360,9 g/s −6 = = = =52,58 ⋅10 6 6 rv rv 26,486 ⋅10 26,486 ⋅10 m2

10.3.3. PÉLDA Számítsa ki annak az irodaháznak a fűtési teljesítményigényét, amelynek adatai a következők! A homlokzat magassága: 12 m ,

Alapterület: 16 . 10=160 m2 ,

b=22 ° C

A homlokzati felületből 40 % a nyílászárók felülete. A homlokzati fal hőátbocsátási tényezője: kh=0,6 W/m2˙K A nyílászárók hőátbocsátási tényezője: kny=1,3 W/m2˙K A legalsó födém hőátbocsátási tényezője: kp=0,8 W/m2˙K A legfelső födém hőátbocsátási tényezője: km=1,1 W/m2˙K A külső levegő hőmérséklete: -15 °C A talaj hőmérséklete: 7 °C A homlokzat teljes felülete:

A hössz =2 ⋅1610 ⋅12=624 m

A homlokzati fal felülete:

A h= Ahössz⋅0,6=374,4 m2

A nyílászárók felülete:

Any = Ahössz⋅0,4=249,6 m2

2

P= Ah⋅k h⋅ b−k  Any⋅k ny⋅ b−k  A⋅k m⋅ b−k  A⋅k p⋅ b−t  76


P=374,4 ⋅0,6 ⋅37249,6 ⋅1,3 ⋅37160 ⋅1,1 ⋅37160 ⋅0,8 ⋅15 P=8311,6812005,7665121920=28749,44 W ≃28,75 kW

10.3.4. PÉLDA A lakóépület belső terében a relatív páratartalom 65 %, a telítési páranyomás 2338 Pa. A külső tér levegőjének relatív páratartalma 85 %, a telítési páranyomás itt 401 Pa. A páraátbocsátó falfelület 150 m2, melynek páratechnikai ellenállása 14,5˙10-6 m2˙Pa˙s/g. Mennyi vízpára távozik a falon át naponta? m v =g⋅A⋅t=

mv=

 pr  ⋅p −k⋅p tk ⋅A⋅t= b tb ⋅A⋅t rv rv

0,65⋅2338−0,85⋅401 1519,7−340,85 ⋅24⋅3,6 ⋅0,15⋅106= ⋅12,96=81,3⋅12,96=1053,65 g −6 14,5 14,5⋅10

10.3.5. PÉLDA Milyen vastag a falazat téglarétege, ha 1,5...1,5 cm vastag kétoldali vakolattal a falazat eredő hőátbocsátási tényezője: ke=0,7 W/m2˙K ? λtégla=0,31 W/m˙K , λvakolat=0,87 W/m˙K , αbelső=8,1 W/m2˙K , αkűlső=23,3 W/m2˙K

1 1 1 2 ⋅d vakolat d tégla =    k e b  k vakolat tégla



d tégla =tégla⋅





1 1 1 2 ⋅d vakolat 1 1 1 2 ⋅1,5 ⋅10−2 − − − =0,31 ⋅ − − − k e b  k 0,7 8,1 23,3 0,87 vakolat



d tégla =0,31 ⋅1,4286 −0,1234−0,0429 −0,0345=0,31 ⋅1,2278=0,3806 m


77

10.3.6. PÉLDA Az előző feladat szerinti falazat 22 m2-nyi részén mennyi az óránként átjutó hőmunka, ha a belső hőmérséklet 25 °C-al magasabb, mint a külső?

Q=q⋅t⋅A=k e⋅ ⋅t⋅A=0,87 ⋅25 ⋅3600 ⋅22=1722,6 kJ =478,5 Wh

10.3.7. PÉLDA A falazat hőátbocsátási tényezője: 1,8 W/m2˙K. A kiegészítő hőszigetelő réteget milyen vastagságúra válasszuk, ha annak hővezetési tényezője: 0,05 W/m˙K , és a javított szerkezettel 0,7 W/m2˙K eredő hőátbocsátási tényezőt kell biztosítani? kj=0,7 W/m2˙K 1 1 d =  k j ke 

ke=1,8 W/m2˙K



d =⋅

,





λ=0,05 W/m˙K

d=?



1 1 1 1 1,8−0,7 − =0,05 ⋅ − =0,05 ⋅ =0,04365 m=4,365 cm k j ke 0,7 1,8 1,8 ⋅0,7

10.3.8. PÉLDA Hőszigetelt csővezeték hőveszteség számítása

rb rk b

k k

r b=200 mm

b=180 ° C

r k =400 mm

k =−5 ° C

 k =23,3

W m 2 ⋅K

=0,045

W m⋅K

l =3 km

Az rb és az rk sugarak között a csővezetéket hőszigetelő réteg veszi körül. A belső felületen a hőszigetelő anyag szorosan a fémcsőre tapad, ezért csak a külső felület és a levegő közötti hőátadási tényező hatását kell tekintetbe venni. A hő sugárirányban haladva változó keresztmetszeteken halad át, ezért először az l hosszúságú és dr vastagságú réteg hőellenállását írjuk fel. dr dr dR h= h = Ar 2 ⋅l⋅r⋅

78

rk

r 1 1 1 R h= dr= ⋅ln k ∫ 2 ⋅l⋅ r r 2 ⋅l⋅ r b b


R he =R h 

1 1 1 = ⋅ln 2   k⋅A k 2 ⋅3000 ⋅0,045 23,3 ⋅2 ⋅0,4 ⋅3000

R he =817,168 ⋅10−6 5,692 ⋅10−6=822,86 ⋅10−6

P v=

  180−−5 = =224,825 ⋅103 W R he 822,86 ⋅10−6

K W

Egy méterre jutó veszteség :

Pv W ≃75 l m

10.3.9. PÉLDA A falazat eredeti 0,7 W/m2˙K hőátbocsátási tényezője hogyan módosul, ha 5 cm vatag 0,045 W/m˙K hővezetési tényezőjű utólagos hőszigetelést építünk be? k= 0,7 W/m2˙K, λ= 0,045 W/m˙K, d=5 cm kj=? 1 1 d 1 0,05 =  =  k j k  0,7 0,045

k j=

,

0,7 ⋅0,045 0,7 ⋅0,045 W = =0,39375 2 0,0450,7 ⋅0,05 0,0450,035 m ⋅K

10.3.10. PÉLDA Az 500 mm átmérőjű távhővezetékre 20 cm vastag, λ=0,05 W/m˙K hővezetési tényezőjű anyagból hőszigetelést készítenek. A külső felület hőátadási tényezője 23,3 W/m2˙K. Mekkora a veszteségi teljesítmény a vezeték 1 km hosszú szakaszán, ha a szállított közeg hőmérséklete 550 °C, a környezeté pedig -8 °C. A felületi légréteg hőtechnikai ellenállása: R hk =

1 1 K = =15,179 ⋅10−6 3 W  k⋅l⋅d k⋅ 23,3 ⋅10 ⋅0,9 ⋅

0,45 r ln 1 1 1 0,25 K r A hőszigetelésé: R hsz = ⋅∫ dr= ⋅[ ln r ]r = 3 =1,871 ⋅10−3 W l⋅⋅2 ⋅ r r l⋅⋅2 ⋅ 10 ⋅0,05 ⋅2 ⋅ k

k

b

b

P veszt =

közeg −körny 5508 558 3 = = ⋅10 =295,836 kW −3 R hk R hsz 1,886179  0,0151791,871⋅10


79

10.3.11. PÉLDA Vasbetonipari érlelőkád hővesztesége Szélesség : sz=12 m

Mélység : m=4 m b=80 ° C W a =0,08 a =10 ° C m⋅K W k =0,05 k =20 ° C m⋅K W  f =0,04  f =210 ° C m⋅K

Hosszúság : h=8 m

Alul : d a =250 mm Körül : d k =200 mm Felül : d f =200 mm

A légréteg és egyéb szerkezeti részek hőszigetelő hatása elhanyagolható. Mekkora a veszteségi hőmunka 8 óra alatt? Az egyes irányokban meghatározzuk a hőteljesítmény adatokat, majd ezek alapján kiszámítjuk a veszteségi hőmunkát.  0,08 P va =sz⋅h⋅ a b−a =12 ⋅8 ⋅ ⋅70=2150,4 W da 0,25  0,05 P vk =2 ⋅ szh⋅m⋅ k b−k =40 ⋅4 ⋅ ⋅60=2400 W dk 0,2  0,04 P vf =sz⋅h⋅ f b− f =12 ⋅8 ⋅ ⋅60=1152 W df 0,2 Q= P va P vk  P vf ⋅t=2150,424001152⋅8=45 619,2 Wh=164,229 MJ

10.3.12. PÉLDA Épület homlokzati falszerkezetének hőátbocsátási és páradiffúziós ellenőrzése

b=75 % b=20 ° C W  1=8,1 m⋅K

1

2

Rétegek S.sz. Megnevezés 1.

Belső légréteg

2.

Javított mészhabarcs

80

4

3

d [m]

5



rh 2.

[W/m K] [m K/W] .

6

7

k =90 % k =−2 ° C W  7=23,3 m⋅K

 . .

rv

[g/m s Pa]

[m Pa.s/g] 2.

-

-

0,123

-

-

0,015

0,87

0,017

0,024 .10-6

0,625 .106 Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

Rétegek

d



rh



rv

3.

Kevéslyukú tégla

0,12

0,7

0,171

0,037 .10-6

3,243 .106

4.

Polisztirol hab

0,04

0,047

0,851

0,002 .10-6

20 .106

5.

Kevéslyukú tégla

0,25

0,7

0,357

0,037 .10-6

6,756 .106

6.

Javított mészhabarcs

0,02

0,87

0,023

0,024 .10-6

0,833 .106

7.

Külső légréteg

-

-

0,043

-

-

i=7

r he =∑ r hi =1,585 i=1

K⋅m W

2

k e=

,

1 W W =0,631 2 0,7 2 r he m ⋅K m ⋅K

i=6

r ve= ∑ r vi =31,457 ⋅10−6 i=2

ptb=2338 Pa ptk =517 Pa

tehát ; megfelelő

2

m ⋅Pa⋅s g

p b=b⋅ptb=1753,5 Pa p k =k⋅ptk =465,3 Pa

, ezzel : , ezzel :

A hőáram sűrűség és a páraáram sűrűség számítása: q=

b−k 20−−2 W = =13,88 2 r he 1,585 m

g=

pb− p k 1753,5−465,3 g = =40,95 ⋅10−6 r ve 31,457 s⋅m 2

Az egyes rétegekre jutó hőfok és nyomásesések:

 i =q⋅r hi ,

és

RÉTEGEK

bent

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

kint

i [°C]

-

1,7

0,24

2,37

11,81

4,96

0,32

0,6

-

pi [Pa]

-

-

25,6

132,8

819

276,7

34,1

-

-

 [°C] p [Pa] pt [Pa]

20

18,3

1753,5 2338

2104

18,06

15,69

3,88

-1,08

1727,9 1595,1

776,1

499,4

806,5

560

2071

1738

 pi =g⋅r vi

-1,4

-2 465,3

544,9

517

A táblázat utolsó két sorát összevetve láthatjuk, hogy a tényleges páranyomás sehol sem éri el az adott hely hőmérséklete által meghatározott telítési páranyomás értékét. Ez azt jelenti, hogy páralecsapódás nincs a szerkezetben, tehát a rétegrend páradiffúzió szempontjából is megfelelő.


81

Az eredmények ábrázolása 2500

pt [Pa]

2250 2000

p [Pa]

1750 1500 1250 1000 750 500 250

 [0,01 °C]

0 -250 bent-1.

1.-2.

2.-3.

3.-4.

4.-5.

5.-6.

6.-7.

7.-kint

réteghatárok

10.4. HANGTERJEDÉS ÉS HANGGÁTLÁS 10.4.1. PÉLDA A falazat hang-átvezetési tényezője 0,14. Mekkora a falazat hanggátlásának mértéke dB-ben ?

=0,14=

J át J be

,

R=10 ⋅lg

J be 1 =10 ⋅lg =10 ⋅lg 7,14=8,5387 dB J át 0,14

10.4.2. PÉLDA A falazat hang-átvezetési tényezője 0,08. Az átjutó hangjel nyomásszintje 40 dB. Mekkora a beeső hangjel effektív nyomása ? 2

=

82

J át p át = 2 =0,08 ; J be pbe

L át

p át =10 20 ; p0

2

p át = p0 ⋅10 ;

pbe=

p át

 0,08

=

2 ⋅10−3 −3 =7,07 ⋅10 Pa 0,2828


10.4.3. PÉLDA A fal hangelnyelési tényezője α=0,2. A fal hanggátlása R=12,7 dB. Mekkora a fal veszteségi tényezője /δ/ , és mekkora a reflexiós tényező /r/ ? =

J vissza J be

,

R=10 ⋅lg

=

J veszt J be

1 

,

,

=

J át J be

R

1 =10 10 

,

=1

,

1 =0,0537 101,27

,

,

=

=

,

r=

p vissza =  pbe

=−=0,2−0,0537=0,1463

r=  =  1−= 1−0,2=0,8944

10.4.4. PÉLDA Az 1,5 W akusztikai teljesítményű hangszóró negyedgömb térbe egyenletesen sugároz. Mekkora a hangerősség szintje a hangszórótól 50 m távolságban? (A levegő akusztikai hullámimpedanciája: 208 N˙s/m3.) 2

2

A negyedgömb felülete: A=R ⋅=50 ⋅=7854 m

P 1,5 W J= = =1,91 ⋅10−4 2 A 7854 m

2

−4

J 1,91 ⋅10 L J =10 ⋅lg =10 ⋅lg −12 J0 10

,

=82,81 dB

10.4.5. PÉLDA Egy műhely zajszintje 70 dB. A vele szomszédos irodahelyiségben 55 dB zajszint engedhető meg. Az iroda saját zaja 45 dB. Mekkora legyen a két helyiség közötti falazat hanggátlása? Lm=70 dB

Li=45 dB

R= L m −L át

,

Lie=55 dB

J át = J ie

− J =J ⋅10 i

0

R=? Lie 10

−10

Li 10



,

R= L m −10 ⋅ln

J át J0

R= L m −10 ⋅ln 105,5 −104,5=70−10 ⋅ln [10 4 ⋅ 31,622−3,162  ]=70− 4014,542 =15,457 dB


83

10.4.6. PÉLDA A falhoz két hangjel érkezik, melyek hangnyomás szintjei: L1=70 dB és L2=75 dB. Az ezekhez tartozó hangátvezetési tényezők: τ1=0,1 és τ2=0,0316. Mekkora a beeső és mekkora az átjutó hangjel eredő hangnyomás szintje? R1=10 ⋅lg

1 1 =10 ⋅lg =10 dB 0,1 1

Lá1= L1−R1=70−10=60 dB

 

L1

2

 

2

L á1

L á2

p át =10 10 10 10 =2 ⋅106 p0

1 1 =10 ⋅lg =15 dB 0,0316 2

L á2=L 2−R 2=75−15=60 dB

,

L2

pbe =10 10 10 10 =107107,5 =107 ⋅4,16 p0

R 2=10 ⋅lg

,

 

2

,

p Lbe=10 ⋅lg be =10 ⋅lg 107 ⋅4,16=76,19 dB p0

 

2

,

p L át =10 ⋅lg át =10 ⋅lg 106 ⋅2=63 dB p0

10.4.7. PÉLDA Az akusztikai falburkolat hangvisszaverési tényezője a frekvencia függvényében a táblázatban megadott módon változik. f[kHz]

0,125

0,25

0,5

1

2

4

ρ

0,52

0,57

0,62

0,76

0,81

0,86

Mindegyik frekvencián egy-egy azonos intenzitású hangjel érkezik a falhoz. Számítsuk ki, hogy a három magasabb frekvenciájú visszavert jel együttesének hangnyomásszintje mennyivel nagyobb, mint a három kisebb frekvenciájú visszavert jel együttesének hangnyomásszintje! Legyen a beeső jelek azonos intenzitása: Jbe , a visszavert nagyobb frekvenciájú jelcsoport eredő intenzitása: Jn , a visszavert kisebb frekvenciájú jelcsoport eredő intenzitása: Jk ! J n = J be⋅ 0,760,810,86 =2,43⋅J be J k = J be⋅ 0,520,570,62 =1,71⋅J be A hangnyomásszint a levegőben megegyezik a hangintenzitás szintjével.  L= L n −L k =L Jn − L Jk =10⋅lg

84

Jn J J 2,43 −10⋅lg k =10⋅lg n =10⋅lg =1,526 dB J0 J0 Jk 1,71


10.4.8. PÉLDA A külső tér felől a falhoz érkező zaj három különböző frekvenciájú összetevőt tartalmaz. Mekkora a belső térben hallható zaj szintje dB(A) egységben? A jelek sorszáma

1

2

3

Lk [dB]

85

76

72

„A”-szűrő csillapítása:

a [dB]

21

3

8

A fal hanggátlása:

R [dB]

16

24

29

A külső jelek szintje:

A megoldáshoz meghatározzuk az átjutó összetevők egyedi zajszintjeit: L A1= L k1−a 1−R1=85−21−16=48 dB  A

L A2= L k21−a 2−R 2=76−3−24=49 dB  A  L A3= L k3−a 3−R 3=72−8−29=35 dB  A  A belső térben összegezzük az egyes komponensek hangerősségeit, amivel egyenértékű a nyomások négyzeteinek összegzése.



L A1

L A2

L A3



p A= p A1 p A2 p A3= p0⋅ 10 10 10 10 10 10 = p 0⋅10 10 10 2

2

2

L A=20⋅lg

2

2

2

4,8

4,9

3,5

= p02 ⋅103 ⋅145,691

pA p 2A 5 =10 ⋅lg 2 =10 ⋅lg 10 ⋅1,45691=10 ⋅5,1534=51,534 dB  A  p0 p0

10.5. TERMODINAMIKA 10.5.1. PÉLDA Az ábrán ideálisnak tekinthető Carnot-körfolyamatot vázoltunk. A T1 izotermán felvett hőmunka 300 J, a temodinamikai hatásfok 35% . T1= 800 K , pa=5 bar

p

a T1 izoterma b c

T2 izoterma

Mekkora Vb ? Mekkora T2 ?

d 0,75 l


V

Vb 85

p a⋅V a = N⋅k⋅T 1

ln

Vb Q1 300 = = =0,8 V a p a⋅V a 0,75 ⋅10−3 ⋅5 ⋅105

id =1−

T2 T1

Q 1= p a⋅V a⋅ln

,

Vb Va

0,8

V b=V a⋅e =0,75 ⋅2,2255=1,669 l

,

T 2=T 1⋅1−id =800 ⋅1−0,35  =520 K

,

10.5.2. PÉLDA Adott gázhalmaz állapotváltozása során a V˙ p2=állandó feltétel teljesül. Mekkora lesz a gáz nyomása és térfogata 200°C-on, ha 40 °C -os állapotban a térfogat 0,5 m3 és a nyomás 2,5 bar? Mekkora a tágulási munka? V˙p2=c2,

T2=473 K,

p⋅V =c 1 T

,

azaz :

T1=313 K, p⋅V =c 1 ⋅T

T 1 ⋅p1=T 2 ⋅p 2

,

V1=0,5 m3, 2

V⋅p =c 2=c 1 ⋅T⋅p=c 2

,

p1 ⋅V 1 p 2 ⋅V 2 = T1 T2

Másként:

V2

V2

W tág =∫ p⋅dV =∫ V1

V1



p2=?

vagyis :

V2=?

T⋅p=const.

T 313 p 2= p1 ⋅ 1 =2,5 ⋅ =1,6543 bar T2 473

,

 

2

V 1 ⋅p12=V 2 ⋅p 22

p1=2,5 bar,

V 2=V 1 ⋅

V 2=V 1 ⋅

,





2 p1 2,5 =0,5 ⋅ =1,142 m3 p2 1,6543

p1 T 2 2,5 473 ⋅ =0,5 ⋅ ⋅ =1,142 m3 p2 T 1 1,6543 313

c2 1  0,5 ⋅6,25 ⋅1010⋅[  V ]V 2 ⋅dV = V 1 ⋅p1⋅∫ ⋅dV = V V 0,5 V V



V2

2 1

1

W tág =0,8839 ⋅10 ⋅[  1,142−  0,5 ]=0,8839 ⋅10 ⋅0,36154=31,956 ⋅10 J 5

86

5

3


10.5.3. PÉLDA

p[bar]

Az ábrán ideális gáz állapotváltozásainak körfolyamatát ábrázoltuk ( f=5, TA=300 K ). A ciklusidő 50 ms. Határozza meg a körfolyamat termodinamikai hatásfokát! Mekkora a nyert mechanikai teljesítmény? Mekkora a felvett és a leadott hőteljesítmény?

B

5

A

1,2

C

V 3

3

1 dm p A⋅V A 1,2 ⋅105 ⋅10−3 J N⋅k = = =0,4 TA 300 K Q felvett=Q AB=W ABt  E ABb=

p B⋅V B 5 ⋅105 ⋅3 ⋅10−3 T B= = =3750 K N⋅k 0,4

,

p A p B f ⋅V B −V A ⋅N⋅k⋅T B −T A=6203450=4070 J 2 2

 p B− p A⋅V B−V A 3,8 ⋅105 ⋅2 ⋅10−3 W mech= = =380 J 2

id =

2

W mech 380 = =0,093366 , azaz : id =9,3366 % Q felvett 4070 P felv=

3 dm

Q felvett 4070 = =81,4 kW t cikl 0,05

,

P leadott =

Q leadott =Q felvett−W mech=3690 J

,

,

P mech=

W mech 380 = =7,6 kW t cikl 0,05

Q leadott 3690 = =73,8 kW t cikl 0,05

10.5.4. PÉLDA Egy gőzturbina termodinamikai hatásfoka 35 % . A hideg oldali hőmérséklete 280 °C. A mechanikai teljesítmény 50 MW. A kazánban előállított gőz hőmérsékletének minimálisan mekkorának kell lennie? Mekkora a hideg oldalon elvonandó hőteljesítmény? η=0,35

T2=273+280=553 K

=0,35id =1−

P 1=

T2 T1

Pm 


,

,

T2 0,65 T1

,

P 2=P 1−P m=P m

Pm=50 MW

T 1

T1=?

Q2=?

T 2 553 = =850,77 K 0,65 0,65

, ami

577,77 ° C

 1 −1=50 ⋅ 0,351 −1=92,857 MW 87

10.5.5. PÉLDA Mekkora ∆S = S2–S1 értéke, amikor a gáz 1. állapotából a 2. állapotába megy át ? ADATOK:

cv= 710

f=5

J

/kg.K

T1=300K

m = 1,2 kg

V1=10 l

T2=1500 K

V2 = 25 l

T2 2 V  ⋅c v⋅m⋅ln 2 T1 f V1

 S =S 2−S 1=c v⋅m⋅ln

f , ahol : c v⋅m= ⋅N⋅k 2

2 J  S =710 ⋅1,2 ⋅ln 2,5 ⋅710 ⋅1,2 ⋅ln5=1371,24312,27=1683,51 5 K

10.5.6. PÉLDA Az 5 m3-es, 27°C-os, 10 bar nyomású nitrogén tartály felrobban. A környezeti nyomás 1 bar. Mekkora a tágulási munka? Mekkora a gáz új hőmérséklete és térfogata? p1=10 bar,

p2=1 bar,

 

p1 V = 2 p2 V1

T1=300 K,



, tehát :

V1=5 m3,

T2=?,

   

p V 2=V 1 ⋅ 1 p2

T 2=T 1 ⋅

1 

=5 ⋅

10 1

V2=?

1 1,4

Wtág=?,

f=5,

κ=1,4

=5 ⋅5,1795=25,897 m3

p 2 ⋅V 2 25,897 =300 ⋅ =155,384 K p1 ⋅V 1 10 ⋅5

f f p1 ⋅V 1 106 ⋅5 W tág =− ⋅N⋅k⋅T 2−T 1=− ⋅ ⋅T 2−T 1=−2,5 ⋅ ⋅155,384−300 =142,884 MJ 2 2 T1 300

10.5.7. PÉLDA A hőszivattyú 2 kW mechanikai teljesítmény felhasználásával a 25 °C hőmérsékletű helyen 20 kW fűtési teljesítményt ad le. A hőszivattyú működését ideálisnak feltételezve határozza meg a hőelvonás helyének hőmérsékletét és a nyereségi számot! Pmech=2 kW, Q1 P1 T 1 = = Q2 P2 T 2 88

,

P1=20 kW, T 2=T 1 ⋅

1=25 °C,

2=?, Ny=?

P 1−P mech P2 18 =1273⋅ =298 ⋅ =268,2 K =−4,8 ° C P1 P1 20 Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

Ny=

P1 20 = =10 P mech 2

NY =

, vagy :

1 = id

1 1 1 = = =10 T2 268,2 1−0,9 1− 1− 298 T1

10.5.8. PÉLDA Mekkora a súlya 50 m3 széndioxid gáznak, ha a hőmérséklete 35 °C, és a nyomása 5,2 MPa ? ( M=44 g , k=1,38˙10-23 J/K , NA=6,02˙1023 db/mól ) p⋅V =

m ⋅R⋅T M

,

m=

p⋅V⋅M 5,2 ⋅106 ⋅50 ⋅44 ⋅10−3 = =4467,5 kg R⋅T 8,314 ⋅308

G=m⋅g =4467,5 ⋅9,81=43826=43,826 kN

10.5.9. PÉLDA

p(V)

Az ábrán ideális Carnot körfolyamat adatai láthatók.

10 bar

T1=750 K Wmech

Wmech=? T2=400 K

η=?

V

és n=? , ha 0,5 l

Pmech=50 kW.

Q 1=N⋅k⋅T 1⋅ln

=1−

Vb V 4 = p⋅V 1⋅ln b =106 ⋅0,5 ⋅10−3 ln =500 ⋅2,07944=1039,72 J Va Va 0,5

T2 400 =1− =0,46666 T1 750

n=


4l

P W mech

W mech=⋅Q 1=0,46666 ⋅1039,72=485,2 J

, és

3

=

50 ⋅10 1 1 =103,05 =6210 485,2 s perc

89

10.5.10. PÉLDA Számítsa ki szakaszonként ∆Q és ∆S értékeit! p f=5 T1=300 K T2=1200 K

p1=1 bar

2 T2 izoterma

p2=4 bar p3=2 bar

1

T1 izoterma 4

N⋅k =

p1 ⋅V 1 105 ⋅0,01 10 = = T1 300 3

V

20 l

10 l

p4=0.5 bar

3

J K

f 25  Q 12= ⋅N⋅k⋅T 2−T 1= ⋅900=7500 J 2 3 V 3 10  Q 23= N⋅k⋅T 2⋅ln = ⋅1200 ⋅ln 2=2772,59 J V2 3 f 25 Q 34 = ⋅N⋅k⋅T 1 −T 2= ⋅−900 =−7500 J 2 3 V 10  Q 41 = N⋅k⋅T 1⋅ln 4 = ⋅300 ⋅ln0,5=−693,15 J V3 3 T f 25 J  S 12= ⋅N⋅k⋅ln 2 = ⋅ln 4=11,55 2 T1 3 K V 10 J  S 23= N⋅k⋅ln 3 = ⋅ln 2=2,31 V2 3 K T f 25 J  S 34= ⋅N⋅k⋅ln 1 = ⋅ln0,25=−11,55 2 T2 3 K V 10 J  S 41= N⋅k⋅ln 4 = ⋅ln0,5=−2,31 V1 3 K

10.6. MOLEKULÁRIS STATISZTIKA 10.6.1. PÉLDA A TOTÓ szerencsejáték az ismétléses variációnak felel meg, ahol n=3, és k=12 Mennyi a totószelvény kitöltési lehetőségeinek száma? 90


12

12

V 3 i =3 =531.441

Az ötös LOTTÓ szerencsejáték a kombinációnak felel meg, ahol n=90, és k=5 Mennyi a lottószelvény kitöltési lehetőségeinek száma?

 

90 ! 86 ⋅87 ⋅88 ⋅89 ⋅90 5.273.912.160 C nk = 90 = = = =43.949.268 5 !⋅85 ! 1 ⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅5 120 5

10.6.2. PÉLDA A gázhalmaz adatai: p=105 Pa, V=50 m3, T=273 K. A térfogatot 4 egyenlő nagyságú részre osztjuk. a./ Számítsuk ki a mikroállapotok valószínűségét! b./ Írjuk fel a legegyenletesebb eloszlás előfordulásának valószínűségét! c./ Mekkora annak a valószínűsége, hogy minden molekula az első térfogatrészben található? d./ Mekkora annak a valószínűsége, hogy minden molekula azonos térfogatrészben található? e./ Hányszorosan valószínűbb az egyenletes eloszlás, mint az egy cellában való előfordulás? Egy darab molekula adott térfogati cellában való elhelyezkedésének a valószínűsége: k =4 ,

V V V = = , k 4

w=

V 1 1 = = =0,25 V k 4

A halmaz molekuláinak száma: 5

N=

p⋅V 10 ⋅50 27 = =1,327 ⋅10 −23 T⋅k 273 ⋅1,38 ⋅10

a./ Mindegyik mikroállapot valószínűsége egyenlő. Ezek nagysága: w N =0,251,327 ⋅10 N

27

27

27

27

lg w = N⋅lg w=1,327 ⋅10 ⋅lg 0,25=1,327 ⋅10 ⋅−0,602  =−0,7989 ⋅10 =−10

Tehát, a mikroállapot valószínűsége:


w N =10−10

26,9

26,9

91

b./ Az egyenletes eloszlás valőszínűsége. A legegyenletesebb eloszlást az a makroállapot jelenti, amelynél mindegyik térfogatnegyedben N/4 molekula található. A molekulák individuálisan nem különböztethetők meg, ezért ezen állapot valószínűsége annyiszor nagyobb, mint a mikroállapotok valószínűsége, ahány különböző mikroállapot képes ezt létrehozni. Ezek számát termodinamikai valószínűségnek nevezzük és az ismétléses permutáció képletével számítjuk ki. Ww= b

N! ⋅w N 4 N ! 4

 

c./ Mekkora annak a valószínűsége, hogy minden molekula az első térrészben van? Ebben az esetben a cellánkénti molekulaszámok: N, 0, 0, 0. Mivel 0!=1 , írható: Ww= c

N! N ⋅w =w N N!

d./ Mekkora annak a valószínűsége, hogy minden molekula együtt található valamelyik térrészben? Most azt vizsgáljuk, hogy az összes molekula vagy az első, vagy a második, vagy a harmadik, vagy a negyedik cellában van egyidejűleg. Tehát négy egymástól független esemény vagylagos bekövetkezésének eredő valószínűségét keressük. Az eredő valószínüség az egyedi valószínűségek összege. Az egyedi valószínűségek egyenlők, értéküket a c./ részben felírtuk. W Fw =4 ⋅W w =4 ⋅w N d

c

Ezt a kérdést általánosabban az adott egyenetlenség előfordulásának valószínüsége szerint is meghatározhatjuk. A cellák száma k=4. Az adott egyenetlenség azt jelenti, hogy a cellákat az azonos kitöltöttség szerint csoportosítjuk. Esetünkben kétféle kitöltöttségű cella van. k1=1 db cella N molekulát tartalmaz és k2=3 db cella üres. Az azonos valószínűségű makroállapotokból - adott egyenetlenséget - F db makroállapot valósít meg. F=

k! , k 1 !⋅k 2 !

W Fw =F⋅W w = d

c

4! ⋅W =4 ⋅w N 1 !⋅3 ! w c

e./ Hányszor nagyobb annak a valószínűsége, hogy az eloszlás egyenletes, mint annak a valószínűsége, hogy a molekulák mind - valamelyik térrészben - együtt találhatók?

92


Ww

b

W Fw

d

N! ⋅w N 4 N ! 4 = = 4 ⋅w N

 

N! N 4⋅ ! 4

 

4

10.6.3. PÉLDA Tekintsünk N=100 db molekulát, amelyek fallal elválasztott két azonos térfogatrészben találhatók úgy, hogy az egyik térrészben 30 db a másikban 70 db molekula van. A válaszfalat eltávolítjuk. a./ Az eredeti eloszlásnál hányszor nagyobb annak a valószínűsége, hogy később egyenletes eloszlást találunk? Ehhez a változáshoz mekkora entrópiaváltozás tartozik? b./ Az egyenletes eloszlásnál hányszor valószínűbb az, hogy az egyik térrészben 49, a másikban pedig 51 db molekula található? a./ Az egyes eloszlások termodinamikai valószínűségeit felírjuk, majd ezek hányadosát vesszük. W I=

100 ! 30 !⋅70 !

,

 S =S II −S I =k⋅ln

W II =

100 ! 50 !⋅50 !

,

W II 30 !⋅70 ! = =3434,9 W I 50 !⋅50 !

W II J =1,38 ⋅10−23 ⋅ln3434,9=1,2356 ⋅10−22 WI K

b./ Az egyenletes eloszlást csak egy makroállapot valósítja meg, az egyenetlent azonban kettő! 100 ! W FII =1 ⋅ 50 !⋅50 !

,

W FIII =2 ⋅

100 ! 49!⋅51 !

,

W FIII 50 !⋅50 ! 50 =2 ⋅ =2 ⋅ =2 ⋅0,98=1,96 W FII 49 !⋅51! 51

A számításunk arra hívja fel a figyelmet, hogy az egyenletes eloszlást megközelítő egyenetlen eloszlások előfordulásának nagyobb a valószínűsége, mint az egyenletes eloszlásé. 10.6.4. PÉLDA Az ábrán - kezdetben - a fallal elválasztott két térrészben kétféle gáz van. N1=8 db oxigénmolekulát, N2=24 db nitrogénmolekulát jelöl. N1 ¼V


N2 ¾V

93

A fal megnyitása után a molekulák szabadon mozoghatnak a teljes térfogatban. Válszoljunk a következő kérdésekre! a./ Mi a valószínűsége annak, hogy N1 az eredeti helyén marad? b./ Mi a valószínűsége annak, hogy N2 az eredeti helyén marad? c./ Mi a valószínűsége annak, hogy mindkét halmaz az eredeti helyén marad? d./ Mi a valószínűsége annak, hogy N1 egyenletesen oszlik el? e./ Mi a valószínűsége annak, hogy N2 egyenletesen oszlik el? f./ Mi a valószínűsége annak, hogy egyidejűleg mindkét halmaz egyenletesen oszlik el? g./ Mennyivel nő az entrópia a fal megnyitásától az f./ állapotig, ha feltételezzük, hogy a fal megnyitása előtt a gázmolekulák a rendelkezésükre álló térfogatrészben egyenletes eloszlást mutattak? A kétféle gáz eloszlása egymástól független eseményként kezelendő, mert bár az egyféle gáz molekuláit a makroállapot szemlélete szerint megkülönböztetni nem tudjuk, ez nem jelenthető ki a különféle gázmolekulákra. A jelölt térfogatrészek nem egyenlők! A számításban négy egyenlő térfogatrészt kell tekinteni, tehát k=4. Jelöljük I. indexszel a helyén maradó halmaz valószínűségeit, és II. indexszel az egyenletesen eloszló gázhalmaz jellemző valószínűségi adatait! a./ N1 az eredeti helyén marad:

W wN I= 1

 

N1! 1 ⋅ N1! k

N1

8

=

1 =1,52587 ⋅10−5 4

b./ N2 az eredeti helyén marad: W w N I= 2

N 2!

  N2 ! 3



⋅ 3

1 k

N2

=

  =3,36 ⋅10

24 ! 1 ⋅ 3 8 !  4

24

−5

c./ N1 és egyidejűleg N2 is az eredeti helyén marad: W w N I⋅W w N I =1,52587 ⋅10−5 ⋅3,36 ⋅10−5=5,12692 ⋅10−10 1

2

d./ N1 egyenletesen oszlik el:

94


W w N II = 1

N 1!

  N1 ! 3



N1

1 k

⋅ 4



8

=

8! 1 ⋅ =0,03845 4  2 ! 4

e./ N2 egyenletesen oszlik el: W w N II = 2

N 2!

  N2 ! 4



⋅ 4

N2

1 k

=

  =8,194 ⋅10 24

24 ! 1 ⋅ 4 6 ! 4

−3

f./ N1 és egyidejűleg N2 is egyenletesen oszlik el: W w N II⋅W w N II =0,03845 ⋅8,194 ⋅10−3=3,151 ⋅10−4 1

2

g./ Az entrópia növekedése a fal megnyitásától az f./ állapotig:  S =k⋅ln

W w N II⋅W w N

2

II

W w N I⋅W w N

2

I

1

1

1,38 ⋅10 23 ⋅ln



3,151 ⋅10−4 5,12692 ⋅10−10

 S =1,38 ⋅10−23 ⋅13,328725=18,393 ⋅10−23



J K

10.6.5. PÉLDA A V térfogatban 200 db nitrogénmolekula található. A térfogatot gondolatban 10 egyenlő részre osztjuk fel. Hányszor nagyobb annak a valószínűsége, hogy valamely 3 térrészben 19 db, valamely további 3 térrészben 21 db és a maradó 4 térrészben 20 db molekulát találunk, mint az egyenletes molekulaeloszlás előfordulásának valószínűsége?

TÉRFOGATRÉSZEK

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

MOLEKULÁK SZÁMA

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N8

N9

N10

I. MAKROÁLLAPOT

19

19

19

21

21

21

20

20

20

20

II. MAKROÁLLAPOT

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

Az első makroállapot termodinamikai valószínűsége kisebb, mint a másodiké. Az első makroállapot szerinti egyenetlenséget azonban további FI-1 számú további makroállapot is megvalósítja, de az egyenletes eloszláshoz csak egyetlen makroállapot tartozik. Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

95

Írjuk fel a két makroállapothoz tartozó egyenetlenségek valószínűségének arányát! 200 ! 10 ! 3 3 3 4 W FI F I W I 3!⋅3!⋅4 ! 19 !  ⋅ 21! 3 ⋅ 20 ! 4  20 !  ⋅ 20 !  ⋅ 20 !  10 ! = ⋅ = ⋅ = ⋅ W FII F II W II 10 ! 200 ! 3!⋅3!⋅4 ! 19!3 ⋅ 21! 3 ⋅ 20 ! 4 10 10 !  20 ! W FI 10 ! 203 = ⋅ 3 =3628,1179 W FII 3!⋅3 !⋅4 ! 21

10.6.6. PÉLDA A táblázatban 150 db molekula 3 térfogati cellában való eloszlásának két makroállapotát adtuk meg. ∆S = SII-SI = ? Cellák: I. állapot: II. állapot:

 S =S II −S I =k⋅ln

1 50 db 60 db

2 30 db 40 db

3 70 db 50 db

W II 70 !⋅30 ! J =1,38 ⋅10−23 ⋅ln =1,38 ⋅10−23 ⋅ln 467,579=8,4836 ⋅10−23 WI 60 !⋅40 ! K

10.6.7. PÉLDA Mekkora az a sebesség, amelynek 1 m/s széles környezetében a CO2 molekulák legnagyobb hányada található, ha T=500 K ?

m0=

M CO NA

2

=

44 ⋅10−3 =7,309 ⋅10−26 kg , −23 6,02 ⋅10

vM =





2 ⋅k⋅T 2 ⋅1,38 ⋅5 ⋅105 m = =434,52 m0 7,309 s

10.6.8. PÉLDA A Maxwell-féle sebességeloszlási függvény alapján állapítsuk meg, hogy a széndioxid gáz 300 K fokos állapotában, hányszor több molekula rendelkezik 500±0,5 m/s sebességgel, mint 1500±0,5 m/s sebességgel! ( M=44 g , k=1,38˙10-23 J/K , NA=6,02˙1023 db/mól )

2



  v =4 ⋅⋅N⋅v ⋅

96



3

m0 ⋅v 2

1 − ⋅ m0 ⋅e 2 k⋅T 2 ⋅⋅k⋅T


−3

M 44 ⋅10 m0 = = =7,309 ⋅10−26 kg 23 N A 6,02 ⋅10

 

2   v 1 500 = ⋅e−0,5 ⋅17,65 ⋅10   v 2 1500

−6

⋅5002 −1500 2

,



−26 m0 7,309 ⋅10 s = =17,65 ⋅10−6 −23 k⋅T 1,38 ⋅10 ⋅300 m

2

1 1 46,27 ⋅106 = ⋅e−0,5 ⋅17,65 ⋅0,25−2,25= ⋅e 17,65 = =5,141 ⋅106 9 9 9

10.6.9. PÉLDA Mekkora sebességnél van a gázhalmaz sebességeloszlási függvényének maximuma, ha a gáz sűrűsége 1,3 kg/m3 és a nyomás 1,625 bar ?

 



2 ⋅p 2 ⋅1,625 ⋅105 2 ⋅16.25 m vM = = =100 ⋅ =500 1,3 1,3 s 

10.7. TÖMEG-ENERGIA EKVIVALENCIA 10.7.1. PÉLDA Mekkora a lendülete és a tömege annak az elektronnak, amelyet 500 kV feszültséggel gyorsítottak ? me0=9,1.10-31 kg qe= -1,6 .10-19 As

 m=



U gy⋅∣q e∣ 5 ⋅105 ⋅1,6 ⋅10−19 8 = = ⋅10−30 kg 2 16 9 c 9 ⋅10

 

2





,



2 m 9,1 m v=c⋅ 1− e =3 ⋅108 ⋅ 1− =2,5878 ⋅108 m 17,9889 s

m=m e  m=17,9889 ⋅10−31 kg

,

p=m⋅v=4,6552 ⋅10−22

kg⋅m s

10.7.2. PÉLDA Mekkora a 107 V feszültséggel gyorsított elektron tömege ? m0=9,1.10-31 kg Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

qe= -1,6 .10-19 As 97

 m=

U gy⋅∣q e∣ 107 ⋅1,6 ⋅10−19 −28 = =0,177777 ⋅10 kg 2 8 2 c 3 ⋅10 

,

−31

m=m0 m=186,88 ⋅10

kg

10.7.3. PÉLDA Mennyi energia szükséges 1 dkg nyugalmi tömegű test 108 m/s sebességre gyorsításához? m=



m0



v 1− c

2

=



0,01



1 1− 3

2

=0,0106066 kg

2

−3

 m=m−m0 =0,6066 ⋅10

,

16

−3

kg

13

W = m⋅c =0,6066 ⋅10 ⋅9 ⋅10 =5,4594 ⋅10 J

10.7.4. PÉLDA A 2He4 mag kötési energiája 28 MeV. Mekkora az atommag tömege? A szabad elemek tömei: mp=1,6724.10-27 kg, mn= 1,6747.10-27 kg.  m=

Ek c

= 2

−13

28 ⋅1,6 ⋅10 9 ⋅1016

=4,97777 ⋅10−29 kg

M =2 ⋅ m p mn− m=2 ⋅1,67241,6747 ⋅10−27 −0,0497777 ⋅10−27=6,6444223 ⋅10−27 kg

10.7.5. PÉLDA A 2He4 mag kötési energiája 28 MeV. A proton nyugalmi tömege 1,6724.10-27 kg, a neutron nyugalmi tömege 1,6747.10-27 kg. Mekkora a mag tömege ? Mekkora gyorsítófeszültség kell ahhoz, hogy a mag tömege a gyorsítás után 7.10-27 kg legyen ? W köt

28 ⋅106⋅1,6 ⋅10−19  m= 2 = =4,97777 ⋅10−29 kg 16 c 9 ⋅10

98


−27

M =2 ⋅m pmn− m=[ 2 ⋅1,67241,6747 −0,0497777 ]⋅10

−27

=6,6444 ⋅10

kg

 m gy = 7−6,6444 ⋅10−27=0,3556 ⋅10−27 kg 2

W gy m gy⋅c 03556 ⋅10−27 ⋅9 ⋅1016 8 U gy = = = =10 V −19 Q 2 ⋅∣q e∣ 3,2 ⋅10

10.7.6. PÉLDA Egy nap alatt a részecskék hány százaléka bomlik el, ha a folyamat bomlási állandója 0,0555555 1/óra ?

N 0− N N =1− =1−e−⋅t =1−e−1,3333 =1−0,263606=0,736394 N0 N0

, azaz

73,6394 %

10.7.7. PÉLDA A felgyorsított elektron 1,5˙10-30 kg tömegű. Mekkora az elektron sebessége, és mekkora volt a gyorsítási feszültség? Nyugalmi állapotban: me = 9,1˙10-31 kg , qe = -1,6˙10-19 As.

m=



m0



1−

v c

2

,

   m0 m

2

v =1− c

U gy⋅∣q e∣=c 2 ⋅ m−m0

2

,



16

,



 

2

  =2,384869 ⋅10 ms

m 9,1 v=c⋅ 1− 0 =3 ⋅108 ⋅ 1− m 15

U gy =

−31

9 ⋅10 ⋅15−9,1 ⋅10 −19 1,6 ⋅10

=

2

8

9 ⋅5,9 ⋅10 4 =331,8 kV 1,6

10.8. FÉNYTAN 10.8.1. PÉLDA A gyűjtőlencse fókusztávolsága 20 cm. Ötszörös nagyítású valódi kép előállítása esetén mekkora távolságot kell biztosítanunk a tárgy és a kép között? f=20 cm, Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

N=5,

k+t=? 99

1 1 1 =  f t k

,

N=

K k = T t

 

1 1 1 1 1 1,2 =  = 1 = f t N⋅t t N t

,

k = N⋅t=5 ⋅0,24=1,2 m

,

t=1,2 ⋅0,2=0,24 m

tk =0,241,2=1,44 m

,

10.8.2. PÉLDA A foton energiája levegőben 3,32˙10-19 J. Mekkora a foton tömege, lendülete, hullámhossza, és frekvenciája? ( A Planck állandó: 6,625˙10-34 Js. ) m=

Ef c2

p=m⋅c=

=

3,32 ⋅10−19 =0,3688889 ⋅10−35 kg 16 9 ⋅20

E f 3,32 ⋅10−19 kg⋅m = =1,1066667 ⋅10−27 8 c s 3 ⋅10

E f 3,32 ⋅10−19 15 f= = =0,5011 ⋅10 Hz −34 h 6,625 ⋅10

8

,

c 3 ⋅10 −7 = = =5,9864 ⋅10 m 15 f 0,5011 ⋅10

1.9. VILÁGÍTÁSTECHNIKA 10.9.1. PÉLDA φ1 = 500 lm

Egy raktárban két izzó világít: A=18 m2

ηvil =0,3

és φ2 = 850 lm.

b = 0,6

Mekkora az átlagos megvilágítás ? E átl =

12⋅vil⋅b 1350 ⋅0,3 ⋅0,6 = =13,5 lx A

18

10.9.2. PÉLDA Egy 120 m2-es eladótér világítását olyan lámpatestekkel kell kialakítani, melyekben egyenként 2 db 58 W-os fénycső üzemel. Egy db fénycső fényárama 5,2 klm. A lámpatestek hatásfoka 65 %, a helyiség világítástechnikai hatásfoka 85 %, a karbantartási tényező: 0,7. Az átlagos megvilágítás 500 lux legyen. Hány darab lámpatest szükséges? 100


összes =

E átl⋅A 500 ⋅120 = =155139 lm=155,139 klm lámpa⋅helyiség⋅b 0,65 ⋅0,85 ⋅0,7

n

összes 155,139 = =14,92 2 ⋅5,2 lámpa



n=15 db

10.9.3. PÉLDA A vízszintes munkafelület adott pontját három lámpatest fénye világítja meg. A lámpatestek a munkafelülettől számítva 3 m magasságban találhatók. Mekkora a felületi pont eredő megvilágítása, ha az egyes lámpatestektől érkező fény intenzitása és irányának a függőlegessel bezárt szöge a következő: ϕ1=40° , I1=800 cd ; ϕ2=30° , I2=1200 cd ; ϕ3=20° , I3=1500 cd

1 E =E 1E 2E 3= 2⋅ I 1 ⋅cos3 1I 2 ⋅cos3 2  I 3 ⋅cos3 3 h

E=

1 ⋅800 ⋅0,44951200 ⋅0,64951500 ⋅0,8297=264,84 lx 2 3

10.9.4. PÉLDA Egy 36 W-os fénycső fényárama 3 klm. A világítás hatásfoka 40 %, a karbantartási tényező: 0,75. Az előtétveszteség fénycsövenként 6 W. Mekkora a fajlagos teljesítményigény W/m2-ben, ha Eátl=450 lx? φ=3 klm

P=36+6=42 W

ηv=0,4

A=1 m 2 megvilágításához szükséges fényáram: 1=

b=0,75

p450=?

E átl⋅A 450 ⋅1 = =1500 lm v⋅b 0,4 ⋅0,75

 1500 W p 450=P⋅ 1 =42 ⋅ =21 2 3000  m

10.9.5. PÉLDA A világítási magasság 6 m. A lámpatestek a mennyezeten, 8 m oldalméretű négyzet sarokpontjaiban találhatók. Mekkora a megvilágítás a négyzet középpontja alatt a munkafelületen, ha a lámpatestek - a fényeloszlási görbéjük szerint - ebben az irányban 180 cd/klm intenzitással sugároznak, és a négy lámpatest mindegyike 17 klm fényáramot adó fényforrást tartalmaz?


101

A sugárzási irány függőlegeshez mért szöge: =arctg

 2 ⋅4 =43,3 ° 6

I 4 ⋅17 ⋅180 E P =4 ⋅ 2 ⋅cos3 = ⋅0,3854=131 lx h 62

10.9.6. PÉLDA Parkvilágítás céljára 4,8 m fénypontmagasságú kandelábereket alkalmazunk. A gömbalakú lámpatest fényeloszlási görbéje a lámpatest függőleges tengelyére illeszkedő valamennyi síkban azonos, tehát a fényeloszlás forgásszimmetrikus. -150

180

150

I(φ) [cd/klm] 60

-120

120

40 20 90

-90

20 40 60

60

-60

80 -30

0

φ [°]

30

A járófelület átlagos megvilágítása legalább 10 lux legyen. A határegyenletesség ne legyen kisebb, mint 0,35. A lámpatestek 1 db TCL 150 W-os fényforrást tartalmaznak, amelyek fényárama 14 klm. Számítsuk ki, hogy a kandeláberek milyen kiosztása felel meg a feltételeknek!

102


Tekintettel arra, hogy a park sétaútjai szabálytalan geometriájúak, az első lépésben egy darab kandeláber világítási hatását számítjuk ki. A továbbiakban meghatározzuk, hogy egy egyenes mentén mekkora maximális távolság lehet két kandeláber között, amely mellett még biztosítható a kellő megvilágítás. A számítást a pontról-pontra módszer szerint végezzük. A reflektált fényhányad gyakorlatilag elhanyagolható.

tg =

I(φ)

φ

E  R =

h

r

R h

I   3 ⋅cos  2 h '

I =I ⋅1

E(R) P

I

'

cd [ klm ]

, 1=14 klm

R A vázlat és a számítási összefüggések alapján - R értékét méterenként növelve eredményeinket a következő táblázatba rendezzük:

R [m]

0

1

2

3

4

5

6

φ [°]

0

11,76

22,6

32

39,8

46

51,3

cos3φ

1

0,938

0,787

0,61

0,45

0,33

0,244

I'(φ) [cd/klm]

15

20

35

41

47

51

60

E(R) [lx]

12,1

11,4

16,73

15,2

12,8

10,2

8,9

R [m]

7

8

9

10

11

12

φ [°]

55,5

59

61

64,3

66,4

68,2

cos φ

0,18

0,136

0,11

0,08

0,064

0,05

I'(φ) [cd/klm]

70

77

77

72

71

70

E(R) [lx]

7,6

6,36

5,14

3,5

3

2

3

Egy kandeláber környezetében - a vízszintes síkon ábrázolva a megvilágítás értékeket - az izolux göréket koncentrikus körökként rajzolhatjuk. Tekintsünk egy egyenest, amely mentén egymástól 20 m távolságra két kandelábert helyezünk el. Az izolux görbék által leolvasható megvilágításértékek összege adja az összekötő egyenes menti eredő megvilágításokat. Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

103

x [m] 6

4

2

0

8

10

12

14

16

20

18

16,73 lx

16,73 lx

12,8 lx

12,8 lx

8,9 lx

8,9 lx

6,36 lx

6,36 lx

3,5 lx

3,5 lx

2 lx

2 lx

x [m]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

E1 [lx]

12,1

11,4

16,73

15,2

12,8

10,2

8,9

7,6

6,36

5,14

3,5

E2 [lx]

0

0

0

0

0

0

0

~1

2

3

3,5

E [lx]

12,1

11,4

16,73

15,2

12,8

10,2

8,9

8,6

8,36

8,14

7

A táblázat utolsó sora mutatja az eredő megvilágítási adatokat, amelyek a következő 10 m-en szimmetrikusan ismétlődnek. Az átlagot az x menti 0, 1, ..., 19 m-re kapott adatokból képezzük. E átl =

12,12 ⋅11,416,7315,212,810,28,98,68,368,14  7 =11 lx 20

E min =7 lx ,

E max =16,73 lx ,

e határ =

E min 7 = =0,418 , E max 16,73

e közép =

E min 7 = =0,636 E átl 11

Parkvilágításunk - a sétautak mentén 20 m-ként telepített kandeláberekkel - az előírt műszaki adatokat teljesíti. A kandeláberek méretük és fénypontmagasságuk révén a környezetbe harmonikusan illeszkednek, a nátriumlámpák használata - kiemelkedő fényhasznosításuknak köszönhetően - az üzemeltetést gazdaságossá teszik.

104


TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. HIDROSZTATIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. A felületi feszültség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A hidrosztatikai nyomás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. A felhajtóerő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5 5 5

2. HIDRODINAMIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1. A hidrodinamika alapfogalmai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1. A tömegáramlási intenzitás. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2. A térfogatáramlási intenzitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3. A folytonossági törvény. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. A veszteségmentes áramlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1. Bernoulli törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3. A veszteséges áramlás. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3.1. Lamináris, vagy réteges áramlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.2. Turbulens, vagy örvényes áramlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2.1. Az egyenértékű átmérő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.2.2. A levegő és a víz viszkozitási adatai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. HŐSZIGETELÉS ÉS PÁRADIFFÚZIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1. A hőszigetelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1. A hőszigeteléssel kapcsolatos fogalmak és anyagjellemzők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1.1. A hőátadási tényező. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1.2. A hővezetési tényező. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.1.3. A hőátbocsátási tényező . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.1.4. Az 1 m2 felületre vonatkoztatott hővezetési ellenállás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.1.5. Az eredő hőátbocsátási tényező . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.1.6. A hőáramsűrűség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. A páradiffúzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1. A páradiffúzióval kapcsolatos fogalmak és jellemzők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1.1. A páradiffúziós tényező . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1.2. Az 1 m2 felületre vonatkoztatott páradiffúziós ellenállás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.1.3. A páraáram sűrűség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.2. A vízgőz-levegő keverék fizikai tulajdonságai, és jellemzői. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2.1. A vízgőz-levegő keverék tömegaránya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2.2. A relatív telítettség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.2.3. A relatív nedvesség. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.2.4. A vízgőz telítési páranyomásának változása a hőmérséklet függvényében . . . . . . . . . . 18 3.3. A rétegrend páratechnikai ellenőrzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.1. Az ellenőrzés lépései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4. Hőtechnikai és páratechnikai körök villamos modellezése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.1. Az épületben állandó teljesítményű hőforrás üzemel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.2. Az épületben állandó hőmérsékletű hőforrás üzemel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.3. A rétegrendre alkalmazható analóg kapcsolási rajzok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4.4. A légállapot változás átmeneti függvényei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4.5. A páralecsapódás megakadályozása a rétegrendben elhelyezett hőforrással . . . . . . . . . . 22 Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

105

4. HANGTERJEDÉS ÉS HANGGÁTLÁS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1. Rezgéstani alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.1. A mechanikai rezgés leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.1.1. A rezgőrendszer differenciálegyenletének néhány speciális megoldása . . . . . . . . . . . . 24 4.2. A frekvencia spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3. A hang terjedése homogén közegben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3.1. A hangtér jellemző függvényei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3.2. A hangjel mennyiségi jellemzői . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3.2.1. A hangnyomás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3.2.2. A hangnyomás szint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3.2.3. A hangintenzitás, vagy hangerősség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3.2.4. A hangerősség szint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3.2.5. A hangteljesítmény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3.2.6. A hangteljesítmény szint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4. Hangvisszaverődés, hanggátlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4.1. Iránytörés és visszaverődés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4.2. A hang átjutása résen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4.3. A hang átjutása a hanggátló falazaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.5. A zaj fogalma és jellemzői . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.5.1. A hangosság fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.5.2. Zajártalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5. A TERMODINAMIKA ALAPJAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. A kinetikus gázelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. A kinetikus gázelmélet alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Gáztörvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. A termodinamika I. főtétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Az állapotváltozások speciális esetei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1.1. Izochor állapotváltozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1.2. Izobár állapotváltozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1.3. Izoterm állapotváltozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1.4. Adiabatikus állapotváltozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1.5. Az állapotváltozások speciális eseteinek szemléltetése a p(V) diagramon . . . . . . . . . . 5.3. A Carnot-féle köfolyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. A hőerőgépek termodinamikai hatásfoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. A hőerőgép és a hőszivattyú elvi összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Az entrópiaváltozás vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. A magára hagyott, vagy zárt rendszer entrópiája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Az entrópiaváltozás számítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.1. Az entrópiaváltozás számítása a speciális állapotváltozások eseteiben . . . . . . . . . . . . .

36 36 36 38 39 40 40 40 41 41 41 42 43 44 45 46 46 47

6. A MOLEKULÁRIS STATISZTIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. A valószínűségszámítás alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. A valószínűség fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. A klasszikus valószínűségszámítás axiómái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. A klasszikus valószínűségszámítás alaptörvényei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4. A lehetőségek számának meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. A Maxwell-Boltzmann statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. A legvalószínűbb térbeli eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. A legvalószínűbb eloszlás a sebességtérben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.1. A sebességeloszlási függvény vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 48 48 49 49 49 51 52 53 54

106


7. A TÖMEG-ENERGIA EKVIVALENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. A tömeg-energia ekvivalencia levezetése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. A mozgási energia pontos értéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. A nukleáris energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Az atommagok bomlási folyamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 56 57 57 58

8. FÉNYTAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8.1. A fény, mint részecske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8.2. A fény, mint hullám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8.2.1. A képalkotás törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 9. A VILÁGÍTÁSTECHNIKA ALAPJAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 9.1. Fotometriai alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 9.2. Világítástechnikai számítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 9.2.1. A watt-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 9.2.2. Az egyszerűsített hatásfok-módszer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 9.2.3. A finomított hatásfok-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 9.2.4. Pontról-pontra módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 10. PÉLDÁK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 10.1. HIDROSZTATIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70 70 70 71 72

10.2. HIDRODINAMIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.6. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 72 73 73 74 74 75

10.3. HŐSZIGETELÉS, PÁRADIFFÚZIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.6. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.7. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.8. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.9. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.10. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.11. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.12. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 75 76 77 77 78 78 78 79 79 80 80

10.4. HANGTERJEDÉS ÉS HANGGÁTLÁS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 10.4.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Ormándlaky Zsolt: Fizika II.

107

10.4.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.4. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.5. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.6. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.7. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.8. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 83 83 83 84 84 85

10.5. TERMODINAMIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.3. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.4. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.5. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.6. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.7. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.8. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.9. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.10. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 86 87 87 88 88 88 89 89 90

10.6. MOLEKULÁRIS STATISZTIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.3. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.4. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.5. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.6. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.7. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.8. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.9. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90 90 91 93 93 95 96 96 96 97

10.7. TÖMEG-ENERGIA EKVIVALENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.3. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.4. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.5. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.6. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.7. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 97 97 98 98 98 99 99

10.8. FÉNYTAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10.8.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10.8.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.9. VILÁGÍTÁSTECHNIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9.3. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9.4. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9.5. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9.6. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

100 100 100 101 101 101 102


PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR. Ormándlaky Zsolt FIZIKA II. 1. kiadás PÉCS, 2006

Recommend Documents