Pár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných
Pavel Řehák
(verze 18. října 2016)
2
Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k předmětům Matematická analýza 5, 6. Jeho cílem není (a ani nemůže být), aby obsahoval vše, co se na přednáškách probírá. Spíše se snaží stručně a přehledně zachytit nejdůležitější pojmy a fakta, případně jsou zde detailněji popsány některé vybrané pasáže, což nám pak při přednáškách „ušetří čas“ . V kombinaci s poznámkami z přednášek (kde zejména podrobněji komentujeme probíranou látku, doplňujeme ji, kreslíme obrázky, uvádíme množství příkladů a aplikací a diskutujeme) by tento text měl tvořit postačující zdroj k přípravě na zkoušku. Je samozřejmě vítána i samostatná iniciativa studentů, kdy sami čerpají i z jiných zdrojů (přičemž požadavky na rozsah znalostí jsou zřejmé z obsahu textu a přednášek). Velmi doporučuji si nejprve osvěžit elementy z integrálního počtu funkcí jedné proměnné a částečně též základní teorii funkcí více reálných proměnných (zejména pojem grafu a jeho přibližného nákresu pomocí řezů vhodnými rovinami). Existuje řada dalších zajímavých a důležitých témat, která se v rámci integrálního počtu funkcí více proměnných běžně probírají, avšak vy je zde nenajdete. Vzhledem k celkovému zaměření studia a s ohledem na časovou dotaci, může náš kurs totiž podat pouze velmi stručné přiblížení této disciplíny. Budu vděčný každému, kdo mne upozorní na nepřesnosti či chyby v textu Některé nepřesnosti — jde vlastně spíš o zjednodušení — jsou ovšem záměrné, vzhledem k výše zmíněnému „informativnímu“ charakteru celého kurzu. Brno, 18. října 2016, Pavel Řehák
3
Obsah 1 Dvojný integrál přes obdélník 1.1 Konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Poznámky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 8
2 Trojný integrál přes kvádr 11 2.1 Konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Poznámky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Měřitelné množiny, Jordanova míra 13 3.1 Přístup přes integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Trochu názornější přístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Další fakta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Integrály na měřitelných množinách 17 4.1 Definice a některá fakta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 Vztah mezi integrálem a mírou, vlastnosti . . . . . . . . . . . . . 18 5 Výpočet integrálu, Fubiniova věta 21 5.1 Integrace přes obdélník a kvádr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2 Integrace přes normální množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Transformace 23 6.1 Transformace dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.2 Transformace trojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Literatura
27
5
Kapitola 1
Dvojný integrál přes obdélník Začneme jednoduchým případem, kdy integračním oborem je (uzavřený) obdélník A = {[x, y] ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Můžeme se motivovat třeba snahou o určení objemu tělesa T = {[x, y, z] ∈ R3 : [x, y] ∈ A, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}, kde f je (na A) spojitá a nezáporná funkce dvou proměnných.
1.1
Konstrukce
Uvažujme funkci f , která je ohraničená na A. Interval ha, bi rozdělme na podintervaly hx0 , x1 i, hx1 , x2 i, . . . , hxk−1 , xk i, x0 = a, xk = b a interval hc, di rozdělme na podintervaly hy0 , y1 i, hy1 , y2 i, . . . , hyn−1 , yn i, y0 = c, yn = d. Proložíme-li hraničními body těchto podintervalů přímky, které jsou rovnoběžné s osou x resp. y, vznikne nám tak dělení (označme jej D) obdélníku A na podobdélníky. Nechť D značí množinu všech takových dělení. Dále označme Mij =
sup
f (x, y),
mij =
[x,y]∈Aij
inf
f (x, y),
[x,y]∈Aij
kde Aij = hxi−1 , xi i × hyj−1 , yj i. Definujme tzv. horní součet S(D, f ) =
X
Mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
i,j
a tzv. dolní součet s(D, f ) =
X
mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ).
i,j
7
8
Kapitola 1
Jestliže m ≤ f (x, y) ≤ M na A pro nějaká m, M (což vzhledem k ohraničenosti f máme zaručeno), pak jistě platí m(b − a)(d − c) ≤ s(D1 , f ) ≤ S(D2 , f ) ≤ M (b − a)(d − c), kde D1 , D2 ∈ D jsou libovolná dělení. Můžeme tedy bez obav definovat tzv. horní dvojný integrál (funkce f přes množinu A) ZZ f (x, y) dx dy = inf S(D, f ) D∈D
A
a tzv. dolní dvojný integrál (funkce f přes množinu A) ZZ f (x, y) dx dy = sup s(D, f ). D∈D
A
RR RR Definice 1.1. Jestliže A f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy, pak tuto hodA notu nazýváme dvojným integrálem funkce f přes množinu A; označujeme ji ZZ f (x, y) dx dy. A
Říkáme, že funkce f je integrovatelná v Riemannově smyslu.
1.2
Poznámky
• Lze ukázat: Jestliže je funkce f spojitá na A, potom je zde integrovatelná. Požadavek spojitosti lze oslabit ve smyslu, že stačí spojitost na A s výjimkou nejvýše konečného počtu bodů nebo bodů tvořících konečný počet po částech hladkých křivek. Později zmíníme ještě další vylepšení. • Podobně jako v integrálním počtu funkcí jedné proměnné platí: Jestliže funkce f je integrovatelná na A, potom ZZ lim I(Dl , f, Vl ) = f (x, y) dx dy, l→∞
A
kde Dl je libovolná nulová posloupnost dělení, Vl je nějaký výběr při dělení Dl a I je příslušný integrální součet. Připomeňme, že nulová posloupnost dělení znamená, že normy těchto dělení jdou k nule, kde norma dělení D se definuje jako kDk = maxi,j {xi − xi−1 , yj − yj−1 }. Výběrem při dělení D máme na mysli libovolně vybranou množinu reprezentantů [ξi , ηj ] ∈ Aij pro i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n. Příslušný integrální součet pak znamená X f (ξi , ηj )(xi − xi−1 )(yj − yj−1 ) i,j
a má zřejmý geometrický význam.
Kapitola 1
9
• Integrální součet uvedený v předchozím bodu může být použit při alternativní (a ekvivalentní) definici dvojného integrálu. V této definici zkoumáme limitu součtu při normě dělení jdoucí do nuly. Existence limity musí být nezávislá na výběrech.
10
Kapitola 1
Kapitola 2
Trojný integrál přes kvádr Zde můžeme postupovat analogicky jako v předchozí kapitole. Představivost pro geometrickou motivaci však už poněkud selhává. Opět začneme jednoduše. Uvažujme tedy případ, kdy integračním oborem je (uzavřený) kvádr A = {[x, y, z] ∈ R3 : a1 ≤ x ≤ b1 , a2 ≤ y ≤ b2 , a3 ≤ z ≤ b3 }.
2.1
Konstrukce
Uvažujme funkci f , která je ohraničená na A. Interval ha1 , b1 i rozdělme na podintervaly hx0 , x1 i, hx1 , x2 i, . . . , hxl−1 , xl i, x0 = a1 , xl = b1 , interval ha2 , b2 i rozdělme na podintervaly hy0 , y1 i, hy1 , y2 i, . . . , hyn−1 , yn i, y0 = a2 , yn = b2 a interval ha3 , b3 i rozdělme na podintervaly hz0 , z1 i, hz1 , z2 i, . . . , hzm−1 , zm i, z0 = a3 , zm = b3 . Proložíme-li hraničními body subintervalů roviny rovnoběžné s rovinami x = 0, resp. y = 0, rexp. z = 0, vznikne nám tak dělení (označme jej opět D) kvádru A na menší kvádry. Nechť D značí množinu všech takových dělení. Dále označme Mijk =
sup
f (x, y, z),
mijk =
[x,y,z]∈Aijk
inf
f (x, y, z),
[x,y,z]∈Aijk
kde Aijk = hxi−1 , xi i × hyj−1 , yj i × hzk−1 , zk i. Definujme tzv. horní součet S(D, f ) =
X
Mijk (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )(zk − zk−1 )
i,j,k
a tzv. dolní součet s(D, f ) =
X
mijk (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )(zk − zk−1 ).
i,j,k
11
12
Kapitola 2
Díky analogickému argumentu jako u integrálu přes obdélník jsou množiny horních resp. dolních součtů (uvažované vzhledem ke všem dělením) omezené. Můžeme tedy definovat tzv. horní trojný integrál (funkce f přes množinu A) ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = inf S(D, f ) D∈D
A
a tzv. dolní trojný integrál (funkce f přes množinu A) ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = sup s(D, f ). D∈D
A
RRR RRR Definice 2.1. Jestliže f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dx dy dz, A A pak tuto hodnotu nazýváme trojným integrálem funkce f přes množinu A; označujeme ji ZZZ f (x, y, z) dx dy, dz. A
Říkáme, že funkce f je integrovatelná f Riemannově smyslu.
2.2
Poznámky
• I v tomto případě platí: Jestliže je funkce f spojitá na A, potom je zde integrovatelná. Požadavek spojitosti lze oslabit ve smyslu, že stačí spojitost na A s výjimkou nejvýše konečného počtu bodů nebo bodů tvořících konečný počet po částech hladkých křivek nebo bodů tvořících konečný počet po částech hladkých ploch. Později zmíníme ještě další vylepšení. • Jestliže funkce f je integrovatelná na A, potom ZZZ lim I(Dk , f, Vk ) = f (x, y, z) dx dy dz, k→∞
A
kde Dk je nulová posloupnost dělení, Vk je nějaký výběr při dělení Dk a I je příslušný integrální součet. • Integrální součet uvedený v předchozím bodu může být použit při alternativní (a ekvivalentní) definici trojného integrálu. V této definici zkoumáme limitu součtu při normě dělení jdoucí do nuly. Existence limity musí být nezávislá na výběrech. • Podobnými úvahami jako v předchozích odstavcích lze sestrojit n-rozměrný integrál Z Z ···
f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn
A
funkce y = f (x1 , . . . , xn ) přes n-rozměrný kvádr.
Kapitola 3
Měřitelné množiny, Jordanova míra Vzniká přirozená otázka, jak postupovat v případě, kdy integrační obor není obdélník. V této kapitole si budeme všímat těch množin, přes které budeme schopni našimi prostředky integrovat. Zejména zavedeme pojem míry a měřitelné množiny. Tím — zhruba řečeno — dáme přesný formální smysl (intuitivně) známým pojmům obsah či objem.
3.1
Přístup přes integrál
Nejdříve zaveďme jeden pomocný pojem. Nechť M ⊂ R2 . Potom definujeme funkci χM : R2 → R (tzv. charakteristickou funkci množiny M ) předpisem ( 1 pro [x, y] ∈ M ξM (x, y) = 0 pro [x, y] 6∈ M.
Definice 3.1. Omezená množina M ⊂ R2 se nazývá měřitelná (přesněji Jordanovsky měřitelná), jestliže pro nějaký uzavřený obdélník A ⊃ M existuje integrál z charakteristické funkce χM na obdélníku A. Potom klademe ZZ m(M ) = χM (x, y) dx dy; A
m(M ) je tzv. (Jordanova) míra množiny M .
Poznámka 3.1. (i) Nezáleží na tom, který uzavřený obdélník A ⊃ M vybereme. Zřejmě jich existuje nekonečně mnoho. (ii) Analogicky zavádíme m(M ) pro M ⊂ R3 . 13
14
3.2
Kapitola 3
Trochu názornější přístup
Uvažujme opět omezenou množinu M ⊂ R2 . • Sestrojme v rovině tzv. síť řádu n, n ∈ N ∪ {0} pomocí přímek rovnoběžných s osami x, y, které procházejí body [k2−n , 0] resp. [0, k2−n ], k ∈ Z. • Síť řádu n nám rozdělí rovinu na tzv. čtverce řádu n, z nichž každý má zřejmě míru (tj. obsah) rovnu 4−n . • Tzv. elementární množinu řádu n definujeme jako sjednocení konečného počtu čtverců téhož řádu n s disjunktními vnitřky. • Tzv. jádro řádu n množiny M (ozn. Jn (M )) definujeme jako elementární množinu vytvořenou všemi čtverci řádu n obsaženými ve vnitřku M ◦ . • Tzv. obal řádu n množiny M (ozn. On (M )) definujeme jako elementární ¯ je množinu vytvořenou všemi čtverci řádu n, jejichž průnik s uzávěrem M neprázdný. Platí ¯ ⊆ On (M ) Jn (M ) ⊆ M ◦ ⊆ M ⊆ M a m(Jn (M )) ≤ m(Jn+1 (M )), m(On (M )) ≥ m(On+1 (M )), n ∈ N ∪ {0}, kde m značí míru (obsah) dané elementární množiny. (S výpočtem obsahů elementárních množin jistě není problém.) Všimněte si, že jsme takto obdrželi jisté posloupnosti, které jsou omezené a monotonní. Tedy máme zaručenu existenci limit a lze bez obav definovat m∗ (M ) = lim m(Jn (M )), n→∞
m∗ (M ) = lim m(On (M )); n→∞
m∗ (M ) se nazývá vnitřní Jordanova míra množiny M a m∗ (M ) se nazývá vnější Jordanova míra množiny M . Vždy platí 0 ≤ m∗ (M ) ≤ m∗ (M ).
Definice 3.2. Je-li m∗ (M ) = m∗ (M ), nazývá se množina M (Jordanovsky) měřitelná a číslo m(M ) = m∗ (M ) = m∗ (M ) nazýváme (Jordanovou) mírou.
3.3
Další fakta
• Množina M je měřitelná ve smyslu Definice 3.1, právě když je měřitelná ve smyslu Definice 3.2. Míry z těchto definic jsou totožné. • Podobně lze (ať už přes integrál či geometrickými úvahami) sestrojit m(M ), kde M ⊂ R3 (krychle řádu n atd.)
Kapitola 3
15
• Všechny geometrické útvary, které známe z elementární geometrie, jsou měřitelné a jejich míra je rovna jejich obsahu resp. objemu. • Jordanova míra má i pro ostatní útvary — měřitelné množiny — vlastnosti, které jsou charakteristické pro „elementární“ obsah resp. objem, např. m(A ∪ B) = m(A) + m(B), kde A ∩ B = ∅, m(M ) ≥ 0, m(A) ⊆ m(B) pro A ⊆ B. • Může se stát, že tentýž útvar má různou míru v prostorech různé dimenze. Např. v R je míra úsečky s koncovými body a, b, a < b, rovna b − a. Avšak táž úsečka v R2 (tj. {[x, y] : a ≤ x ≤ b, y = 0}) má míru nula; lze ji chápat jako obdélník s délkami stran b − a, 0. Podobně např. čtverec v rovině vs. čtverec v prostoru. • Množina M ⊂ Rn je měřitelná, právě když míra hranice množiny M je nulová. • Existují množiny Jordanovsky neměřitelné. • (Terminologie, kterou později využijeme) Říkáme, že vlastnost, která platí všude v množině M s výjimkou množiny nulové míry, platí skoro všude (s.v.) v M.
16
Kapitola 3
Kapitola 4
Integrály na měřitelných množinách 4.1
Definice a některá fakta
Díky teorii z předchozích odstavců můžeme pohodlně definovat integrál i na jiných množinách než obdélník resp. kvádr. Jak uvidíme dále, následující způsob zavedení integrálu není jediný.
Definice 4.1. Řekneme, že funkce f je integrovatelná na mno2 žině existuje integrál RR (přes množinu, v množině) M ⊂ R , jestliže 2 f (x, y)χ (x, y) dx dy pro nějaký obdélník A ⊂ R takový, že M ⊂ A. M A Klademe ZZ ZZ f (x, y) dx dy := f (x, y)χM (x, y) dx dy. M
A
Následují jednoduché podmínky zaručující existenci integrálu.
Věta 4.1. Jestliže M ⊂ R2 je měřitelná množina, f : M → R je na M ohraničená a s. v. spojitá, potom f je na M integrovatelná.
Poznámka 4.1. (i) Nezáleží na tom, který vhodný obdélník A, M ⊂ A ⊂ R2 , v definici vybereme. (ii) Lze definovat integrál (přes měřitelné množiny) i z funkcí, které nejsou definovány všude v M , ale jen s. v. v M . (iii) Riemannův integrál přese měřitelnou množinu M ⊂ R2 lze též názorným způsobem zkonstruovat, podobně jako integrál přes obdélník. Při dělení integračního oboru totiž vznikají buďto obdélníky (které jsou zřejmě měřitelné) anebo množiny, které sice nejsou obdélníky, ale jsou průnikem dvou měřitelných 17
18
Kapitola 4
množin (a proto jsou měřitelné). Následně sestrojujeme horní a dolní součty, horní a dolní integrál atd. (iv) Někde v literatuře (viz i předchozí bod) lze nalézt např. tuto definici ZZ X f (x, y) dx dy = lim f (ξi , ηj )m(Mij ), kDk→0
M
kde kDk je norma dělení (tj. kDk = maxi,j {xi − xi−1 , yj − yj−1 }), Mij ⊆ M je „podstava“ vzniklá při dělení a (ξi , ηj ) je reprezentant vybraný z Mij ; požaduje se, aby limita existovala nezávisle na výběru bodů (ξi , ηj ). (v) Definici a všechny ostatní úvahy lze přirozeně formulovat pro funkci f : R3 → R nebo i ve vyšší dimenzi.
4.2
Vztah mezi integrálem a mírou, vlastnosti
Platí tyto vztahy mezi integrálem a mírou ZZ m(M ) = dx dy, M ⊂ R2 M
a ZZZ m(M ) =
dx dy dz, M ⊂ R3 .
M
U prvního ze vzorců je užitečné si uvědomit, že objem tělesa s výškou rovnou jedné je vlastně roven obsahu jeho podstavy. Podobně to funguje i v druhém případě, pouze o dimenzi výš. RR f (x, y) dx dy Nyní uvedeme několik vlastností dvojného integrálu. Místo M RR píšeme stručně f. M
RR • Jestliže existují fi pro i = 1, . . . , n, kde c1 , . . . , cn ∈ R, potom existuje M RR (c1 f1 + · · · + cn fn ) a platí M
ZZ
ZZ (c1 f1 + · · · + cn fn ) = c1
M
• Jestliže existují
M
RR M
f,
RR
g a f ≤ g na M , pak ZZ f≤ M
RR
f , pak existuje
M
g. M
RR
|f | a platí
M
Z Z Z Z f ≤ |f |. M
fn . M
M
ZZ
• Jestliže existuje
ZZ f 1 + · · · + cn
M
Pozor: z integrovatelnosti |f | neplyne integrovatelnost f .
Kapitola 4
19
• Jestliže existuje
RR
f a K1 ≤ f (x, y) ≤ K2 pro [x, y] ∈ M , potom
M
ZZ K1 m(M ) ≤
f ≤ K2 m(M ) M
a existuje c ∈ hK1 , K2 i tak, že ZZ f = Cm(M ). M
• Nechť M = M1 ∪ · · · ∪ Mn a Mi ∩ Mj = ∅ pro i, j = 1, . . . , n, i 6= j. Potom ZZ ZZ ZZ f= +··· + f, M
existuje-li buď
RR M
f nebo
RR
M1
Mn
f pro všechna i = 1, . . . , n.
Mi
Poznámka 4.2. (i) Všechna uvedená tvrzení lze RR ve smyslu „skoro RR zobecnit všude“ . Např.: jestliže f ≤ g s. v. na M , potom g (za předpokladu f ≤ M
M
existence integrálů). V posledním tvrzení (o aditivitě vzhledem k integračnímu oboru) lze místo Mi ∩ Mj = ∅ uvažovat m(Mi ∩ Mj ) = 0 a množina M se liší od množiny M1 ∪ · · · ∪ Mn jen o množinu míry nula atd. (ii) Všechna uvedená tvrzení lze přirozeně formulovat i pro funkce tří proměnných (tj. pro trojné integrály).
20
Kapitola 4
Kapitola 5
Výpočet integrálu, Fubiniova věta Základní myšlenka výpočtu integrálů v Rn , n = 2 resp. n = 3, spočívá v převedení na výpočet dvou resp. tří jednoduchých integrálů, tj: dvojný integrál
dvojnásobný integrál,
trojný integrál
trojnásobný integrál.
To je možné díky tzv. Fubinově větě, kterou budeme diskutovat pro různé případy.
5.1
Integrace přes obdélník a kvádr
Uvažujme obdélník A = {[x, y] ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Pro jednoduchost předpokládejme, že f je spojitá na A (ve skutečnosti lze tento předpoklad oslabit). Potom ZZ
Z
b
Z
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dy a
A
!
d
Z
d
Z
dx =
c
!
b
f (x, y) dx c
dy.
a
Toto tvrzení má názorný geometrický význam. Stačí si popřemýšlet nad situací, kdy těleso, jehož objem zjišťujeme, vhodně rozřežeme na tenké plátky. Případ trojného integrálu přes kvádr A = {[x, y, z] ∈ R3 : a1 ≤ x ≤ b1 , a2 ≤ y ≤ b2 , a3 ≤ z ≤ b3 } je obdobný. Jestliže f je spojitá na A, potom ZZZ
Z
b1
Z
b2
Z
f (x, y, z) dx dy dz = A
!
b3
f (x, y, z) dz a1
a2
! dy dx.
a3
Pořadí integrace lze také zaměnit. Jen je třeba opět dávat pozor na to, abychom integrovali v příslušných mezích vzhledem k správné proměnné. 21
22
Kapitola 5
5.2
Integrace přes normální množiny
Nyní se pokusíme odpovědět na přirozenou otázku, jak postupovat při výpočtu integrálu v případě, že integračním oborem není obdélník resp. kvádr. Budeme uvažovat tzv. normální množiny. Sami si zdůvodněte, proč jsou takové množiny měřitelné. Uvažujme množinu M = {[x, y] ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)}, kde g, h jsou spojité funkce na ha, bi a g(x) ≤ f (x) pro x ∈ ha, bi; říkáme, že M je normální vzhledem k x (pozor: terminologie se může lišit v závislosti na literatuře). Předpokládejme, že f je spojitá na M (tento předpoklad lze ve skutečnosti zeslabit). Potom ZZ
b
Z
Z
f (x, y) dy
f (x, y) dxdy =
dx.
g(x)
a
A
!
h(x)
Pečlivě dbejte na to, která proměnná je integrační. Zejména musí nutně platit, že vnější integrál má meze konstantní. Výsledkem totiž má být číslo. Podobně postupujeme, pokud integrační obor je množina normální vzhledem k y. Je dobré si uvědomit, že v podstatě všechny běžné rovinné útvary jsou normální množiny anebo je lze napsat jako sjednocení konečně mnoha normálních množin (při integraci přes takové množiny pak můžeme využít aditivitu vzhledem k integračnímu oboru). Fubiniovu větu lze chápat také jako tvrzení, které nám říká, jak zaměnit pořadí integrace v dvojnásobném integrálu. Případ trojného integrálu je analogický. Uvažujme množinu M = {[x, y, z] ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x), h1 (x, y) ≤ z ≤ h2 (x, y)}, kde g1 , g2 , h1 , h2 jsou spojité na příslušných množinách a splňují zde nerovnosti g1 ≤ g2 a h1 ≤ h2 . Jestliže f je spojitá na M , potom ZZZ
Z
b
Z
g2 (x)
Z
f (x, y, z) dx dy dz = A
!
h2 (x,y)
f (x, y, z) dz a
g1 (x)
! dy
dx.
h1 (x,y)
Podobně postupujeme v případě kdy integračním oborem je množina normální vzhledem k jiným souřadným osám. Poznamenejme, že trojný integrál lze „rozdělit“ na jednoduchý a dvojný integrál, kde integrujeme přes projekci. Pochopitelně lze obdobné úvahy provádět i pro obecný n-rozměrný intgrál.
Kapitola 6
Transformace Z kurzu věnovanému integrálnímu počtu funkce jedné proměnné víme, že substituce je velmi užitečnou integrační metodou. Teorii v této kapitole lze chápat jako vícedimenzionální rozšíření.
6.1
Transformace dvojného integrálu
Uvažujme uzavřené oblasti, jejichž hranice jsou tvořeny konečným počtem jednoduchých po částech hladkých uzavřených křivek. Předpokládejme, že se oblast B (v proměnných u, v) zobrazí pomocí rovnic x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) vzájemně jednoznačně na oblast A (v proměnných x, y). Dále předpokládejme, že funkce ϕ, ψ mají v B spojité parciální derivace a že pro tzv. Jakobiův determinant (Jakobián) platí ∂ϕ ∂ϕ ∂u ∂u ∂ψ ∂ψ 6= 0 ∂u
∂v
v B. Potom za předpokladu spojitosti funkce f na A (spojitost lze zeslabit) platí ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (ϕ(u, v), ψ(u, v))|J(u, v)| du dv. A
B
Poznámka 6.1. Absolutní hodnota Jakobiánu v bodě nám udává faktor, kterým zobrazení zvětšuje či zmenšuje objem v blízkosti bodu. To je důvod, proč se objevuje v substituční formuli. Máme tuto přibližnou rovnost . m(F (M )) = |J(u, v)|m(M ) pro „malé“ množiny M , přičemž (u, v) ∈ M . Jednou z nejdůležitějších substitucí je transformace do polárních souřadnic. Klademe x = u cos v, y = u sin v, 23
24
Kapitola 6
u ≥ 0, v ∈ h−π, πi (příp. v ∈ h0, 2πi). Pro Jakobián platí cos v J(u, v) = sin v
−u sin v =u u cos v
a tedy ZZ
ZZ f (x, y) dx dy =
A
f (u cos v, u sin v)u du dv. B
Poznámka 6.2. (i) Všimněte si, že uvedená transformace převádí kruh (se středem v počátku) na obdélník. Na co se převede mezikruží či kruhová výseč? (ii) Lze provést různé modifikace, které lze i zkombinovat. Např. substituce x = au cos v, y = bu sin v převádí množinu ohraničenou elipsou s poloosami a, b na obdélník. Substituce x − x0 = u cos v, y − y0 = u sin v převádí kruh (se středem v [x0 , y0 ]) na obdélník.
6.2
Transformace trojného integrálu
Předpokládejme, že se (uzavřená) oblast B ⊂ R3 (v proměnných u, v, w) zobrazí pomocí rovnic x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = k(u, v, w) vzájemně jednoznačně na (uzavřenou) oblast A ⊂ R3 (vproměnných x, y, z). Dále předpokládejme, že funkce g, h, k mají v B spojité parciální derivace a že pro tzv. Jakobiův determinant (Jakobián) platí
∂g ∂u
∂g ∂v
∂g ∂w
∂h ∂u
∂h ∂v
∂h ∂w
∂k ∂u
∂k ∂v
∂k ∂w
6= 0
v B. Potom za předpokladu spojitosti funkce f na A (spojitost lze zeslabit) platí
ZZZ f (x, y, z) dx dy dz A
ZZZ =
f (g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w))|J(u, v, w)| du dv dw. B
Poznámka 6.3. Opět platí, že faktor |J(u, v, w)| „vyrovnává“ změnu míry integračních oborů při substituci a . m(F (M )) = |J(u, v, w)|m(M ) pro „malé“ množiny M , (u, v, w) ∈ M .
Kapitola 6
25
Následují dva velmi důležité speciální typy transformací. Transformace do cylindrických souřadnic: Klademe x = u cos v, y = u sin v, z = w, u ≥ 0, −π ≤ v ≤ π. Pro Jakobián platí J(u, v, w) = u. Transformace do sférických souřadnic: Klademe x = u cos w cos v, y = u cos w sin v, z = u sin w, u ≥ 0, −π ≤ v ≤ π, −π/2 ≤ w ≤ π/2. Pro Jakobián platí J(u, v, w) = u2 cos w. Poznámka 6.4. (i) Transformace do cylindrických souřadnic převede válec na kvádr. Transformace do sférických souřadnic převede kouli na kvádr. (ii) Obě transformace lze modifikovat, např. tak, aby eliptická válcová plocha byla převedena na kvádr, resp. elipsoid byl převeden na kvádr. Rovněž lze modifikovat ve smyslu posunutí mimo počátek.
26
Kapitola 6
Literatura [1] L. E. Garner, Calculus and Analytic Geometry, Dellen Publ. Comp., 1988. [2] J. Kalas, J. Kuben, Integrální počet funkcí více proměnných, PřF MU Brno, 2009 [3] J. Nagy, E. Nováková, M. Vacek, Integrální počet, SNTL, Praha 1984. [4] M. Ráb, Zobrazení a Riemannův integrál v E n , SPN, Praha, 1988. [5] K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky I, 7. vydání, Prometheus, Praha, 2000. [6] G. B. Thomas, R. L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, Addison–Wesley, 1998.
27
