P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě. Přednášky jsou každý pátek, cvičení tedy vždy předcházejí přednášky

1. týden P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě. Přednášky jsou každý pátek, cvičení tedy vždy předcházejí přednášky. 1) Pojmy: Diferenciální rovnice, obyčejná dif. rovnice, řád rovnice, řešení rovnice (na neprázdné množině, intervalu), „integrální křivka“ – integrál dif. rovnice, počáteční podmínky, Cauchyova úloha. Ukázky rovnic mat. fyz. a jejich řešení. Pojmy: Cauchyova úloha řešitelná, jednoznačně řešitelná, maximální řešení na intervalu. Věta o existenci a jednoznačnosti řešení rovnice y   f ( x, y ) . Věta o pevném bodě, Piccardovy iterace – pohádkovou formou. 2) Separovatelné dif. rovnice p ( x)  q ( y ) y   0 . Věta o existenci řešení a unicitě pro tento typ rovnice. Počáteční úloha p ( x)  q ( y ) y  0, y ( x0 )  y0 , Formule



x x0

y

p() d    q() d   0 . Rovnice tvaru y0

p1 ( x)q2 ( y )  p2 ( x) q1 ( y ) y   0 .

Cv Úlohy typu: „Ukažte, že daná funkce řeší dif. rovnici“, řešení rovnic typu: y  f , y   0 , y ( n )  f , x 

|t x| tx

, x  | tt  xx | , x 

t | t | x | x |

. Řešení rovnic typu: p ( x)  q ( y ) y   0 , případně

p1 ( x)q2 ( y )  p2 ( x) q1 ( y ) y   0 .

2. týden P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě Dokončení z minulého týdne. Úvod do obecné teorie lineárních dif. rovnic n-tého řádu. Pojmy, symboly a označení: Lineární zobracení L[ y]  y ( n )  p1 ( x) y ( n1)    pn ( x) y na prostoru n-krát spojitě diferencovatelných funkcí na intervalu I Cn ( I ) , zopakovány stručně pojmy lineární zobrazení, lineární závislost, báze, dimenze, jádro. Počáteční

(Cauchyova) úloha L[ y ]  q ( x ) , y ( k 1) ( x0 )  bk , k  1,, n . Struktura řešení y  yˆ  ker ( L ) s odkazem „Jak je známo z UA“, y  ker ( L )  L[ y ]  0 , partikulární řešení. Uvedena věta o existenci a unicitě, věta dim Ker ( L)  řád( L) . Princip superpozice jako důsledek linearity. Definována Wronského matice a yn ( x )   y1 ( x)    , W[ y , , y ]( x)  det [ y , , y ]( x) a  wronskián, [ y1 , , yn ]( x)    1 n 1 n  ( n 1) ( n 1)  y1 ( x)  yn ( x)  souvislosti s lin. nezávislostí. Uvedeny příklady lin. nezávislých funkcí na , {e1x , e2 x }, 1   2 ; {ex , xex } ; {x 2 , x | x |} na  , (na   jsou LZ). Technika řešení rovnic 1. řádu, y  p ( x) y  q ( x), y ( x0 )  y0 na intervalu J,variace konstanty. Obecné  p ( t ) dt q( x) y1  0 , yˆ  y1  y1 ( x ) dx , uvedena formule řešení y ( x )  yˆ ( x )  cy1 ( x ) , kde y1  ke  

x

y ( x)   U ( x, )q() d   U ( x, x0 ) y0 , kde U (, )  e x0

  p () d

.

Cv Úlohy na separovatelné dif. rovnice 1. řádu včetně počáteční podmínky, lin. Dif. rovnice 1. řádu včetně poč. podm. Variace konstanty. Příklady vybírám ze skript J. Tkadlece, //newton/home/math1/common/veronika/m2/000DRLT.ps.

3. týden P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů s konstantními reálnými koeficienty. Pravidla pro sestavování fundamentálního komplexního a reálného systému. Metoda variace konstant. Pojem kvazipolynom, určení part. řešení dif. rov. s kvazipolynomiální pravou stranou využitím translačního pravidla a operátorových polynomů, odhadem. Cv Řešení lineárních dif. rovnic s konstantními koeficienty. (1) Stanovení báze řešení homog. rovnice, (2) určení part. řešení variací konstant, metodou odhadu, (3) zapsání formule pro obecné řešení rovnice, (4) stanovení volných parametrů, řeší-li se počáteční úloha.

4. týden P Soustavy lin. dif. rovnic s konstantními koeficienty, x  x  q (t ) . Zápis rovnice

x( n )  p1 (t ) x( n1)    pn (t ) x  q(t ) ve tvaru soustavy. Pojmy a symboly: matice soustavy a11  a1n  

 , aik   , pravá strana q (t ) 

an1  ann

q1 (t )

x1

, x   . Charakteristický polynom q n (t ) xn 

 ( )  det(  )  det(   ) ,       , char. vektor u příslušející k char. číslu , u  0, u  0 .

Uvedena konstrukce fund. syst., jsou-li známy kořeny char. polynomu ()  (  1 )l1 (   k )lk a jejich násobnost. Zmínka o eliminaci pro soustavy 2x2. Počáteční úloha x  x  q (t ), x (t )  x , 0

0

variace konstant. Zmínka o konstrukci fund. syst. tvořeného reálnými vekt. funkcemi. Cv Řešení rovnic s kvazipolynomiální pravou stranou odhadem nebo užitím pravidla translace, L[ D ]Q (t )e t  e t L[ D   ]Q (t ) . Hledání partikulárních řešení metodou odhadu.

5. týden P Laplaceova transformace. Zdůrazňuji, že p je komplexní číslo (v aplikacích se to jinak nedělá, ale derivuji a integruji, jakoby p bylo reálné. Značení: L [ f ]  L [ f (t )]  F , L [ f ]( p )  F ( p ) . Zmínil jsem se o komplexních funkcích reálné i komplexní proměnné, analytickém prodloužení. Předměty standardního

typu ( t  0  f (t )  0 ), Heavisidova funkce H(t), obrazy funkcí: H, e t , sin, cos, t n , sinh, cosh. Limitní věta

lim F ( p)  0 , derivace obrazu F ( n ) ( p )  (1) n L [t n f (t )]( p ) .

Re( p ) 

Cv Hledání partikulárních řešení metodou odhadu, není-li co dělat, je možno řešit homogenní soustavy dif. rov. s konstant. koef. včetně počáteční podmínky.

6. týden P Přednáška odpadá Cv ==TEST 1== Laplaceova transformace: Které z funkcí jsou a které nejsou předměty st. typu, jaký mají index růstu…, výpočet obrazů podle definice, ilustrace vět o posunutí, obrazy podle pravidel…

7. týden P Linearita transformace, věta o posunutí ve vzoru a v obraze L [ f (t  a )]( p )  e  apL [ f (t )]( p ) ,  ap at L [ f (t ) H (t  a )]( p )  e L [ f (t  a )]( p ) , L [e f (t )]( p )  L [ f (t )]( p  a ) , věta o změně měřítka, 

derivování a integrování obrazu L [tf (t )]( p)   dpd L [ f (t )]( p) , L [ f t(t ) ]( p)   L [ f (t )](q) dq , obraz p t

derivace a integrálu L [ f ]( p )  pL [ f ]( p )  f (0) , L [  f ( ) d ]( p)  1p L [ f ]( p) . 0

Cv Výpočet obrazů s pomocí pravidel a elementárního slovníku korespondencí, řešení dif. rovnic s impulsem na pravé straně. (možno dovyložit elementy L -1[rac _ Funkce( p)] ).

8. týden P Laplaceův obraz periodické funkce, konvoluce a její L obraz, inverzní L transformace rac. funkcí, značení: L -1[ F ( p)](t )  f (t ) , L -1[ F ( p)]  f , L -1[ F ]  f . Řešení lineárních diferenciálních rovnic s nespojitou pravou stranou, integrodiferenciální rovnice. Číselné posloupnosti a řady. Opakování ze zimy  Definice posloupnosti, limity, konvergence, základní vlastnosti limity (limita součtu, součinu…). Konvergence „po složkách“.

Cv Úlohy s Laplaceovou transformací, řešení dif. rovnic s impulsem na pravé straně.

9. týden P Definována nekonečná řada, součet řady, pojem konvergence řady, BC-podmínka, BC-test konvergence, prozkoumána geometrická řada, divergence harmonické řady. Odvozena nutná podmínka konvergence a některé elementární vlastnosti: (Věta 9.5, Důsledek 9.4, Věta 9.6, 9.7 viz FunSeqSer.pdf , http://math.feld.cvut.cz/hekrdla/Teaching.htm). Definována absolutní konvergence, uvedeno srovnávací kritérium konvergence. Cv Úlohy na sčítání řad typu

 (a n

n

 an  k ) ,

q

n

, vyšetřování konvergence pomocí dostupných kritérií.

n

10. týden P Kritéria konvergence: srovnávací, limitní podílové - d´Alembertovo, integrální, limitní odmocninové – Cauchyovo, Leibnizovo. Pojem přerovnání nekonečné řady, přerovnání absolutně konv. řady (důkaz), ukázka přerovnání neabsolutně konvergentní řady. Definována posloupnost a řada funkcí, bodová konvergence, stejnoměrná konvergence (suprémová norma funkce). Uvedeny věty o integraci a derivaci posloupnosti a řady funkcí. Mocninné řady, Taylorovy řady. Cv Vyšetřování konvergence číselných řad, vyhledávání oborů konvergence funkčních řad.

11. týden P Dokončení mocninných řad. Trigonometrické řady, trigon. polynom, Fourierovy řady v reálném i komplexním tvaru (vykládám 

najednou),

a0 2

   ak cos(kt )  bk sin(kt )   k 1

c k  (ak  jbk ) , c0  1 2

a0 2



 ck e jkt  lim

k 

n 

n

c e n

k

jkt

, ck  12 (ak  jbk ) ,

, integrování a derivování trig. řad, standardní periodické prodloužení,

Cv Vyšetřování konvergence číselných řad, vyhledávání oborů konvergence funkčních řad.

12. týden P Konvergence Fourierovy řady podle středu, Parsevalova rovnost, Besselova nerovnost, …

Cv Vyhledávání poloměru a oboru konvergence mocninné řady, v  včetně hranice, vpouze vnitřek. Taylorovy rozvoje element. funkcí, racionálních funkcí. Taylorovy řady hledejte prostřednictvím známých rozvojů funkcí ex, sin(x), cos(x), 11 x a pomocí derivování a integrování, např. ln(1  x)   

x

1 0 1t

dt   

x  0



 t n dt   xn1 . n 0

n1

n 0

13. týden P Rezerva

Cv ===TEST 2=== Výpočet koef. Fourierovy řady (reálný i komplexní tvar). Výpočet koef. Fourierovy řady sudé a liché funkce (reálný i komplexní tvar), periodická prodlužování, sinový (kosinový) tvar řady, diskuse nad konvergencí nalezené řady. ===zápočet===