54
9 Sestavování pohybových rovnic metodami analytické mechaniky Obecná rovnice dynamiky Pro každé těleso kromě pracovních a setrvačných sil uvážíme i pracovní a setrvačné momenty s tím, že setrvačné síly umístíme do těžišť jednotlivých těles a setrvačné momenty vztáhneme k těžištím. Po rozepsání do složek pak pro soustavu N těles můžeme psát N n ( FixP − mi ɺɺ xi ) δ xi + ( FixP − mi ɺɺ yi ) δ yi + ( FizP − mi ɺɺ zi ) δ zi + = ∑ ( Q j + S Q j )δ q j = 0 ∑ P (9.18) ɺɺix )δϕix + ( M iyP − I iyϕɺɺiy )δϕiy + ( M izP − I izϕɺɺiz )δϕiz j = 1 i = 1 + ( M ix − I ix ϕ Rovnice (9.18) jsou rovnice skalární a neobsahují vazbové síly, jde proto o hlavní pohybové rovnice soustavy. Rovnice (9.18) je nazývána obecnou rovnicí dynamiky pro soustavu těles Soustava se pohybuje tak, že algebraický součet virtuálních prací všech pracovních a setrvačných zobecněných silových účinků je v každém okamžiku roven nule. Postup při sestavení pohybové rovnice pomocí obecné rovnicepro rovinou soustavu hmotných těles s jedním stupněm volnosti a časově nezávislých vazbách: 1- Analyzujeme pohyby a do pracovního schématu zakreslíme smysly pohybů a rotací jednotlivých těles. Dále do pracovního schématu zakreslíme všechny pracovní a setrvačné silové účinky. Setrvačné síly umisťujeme do těžišť, setrvačné momenty vztahujeme k těžištím. 2-Analyzujeme vazby, není – li některá ideální, pak příslušný vazební silový účinek zahrneme do pracovních 3- Vybereme základní zobecnělou souřadnici q. 5- Všechna posunutí a pootočení vyjádříme pomocí základního tj. nalezneme vztahy δrk = f(δ q ) a djj =f(δ q). V případě konstantních převodů je pro tento účel možné používat vztahy mezi rychlostmi známé z kinematiky (vztahy mezi virtuálními posunutími jsou v tomto případě stejné jako mezi rychlostmi), podmínky valení apod. V případě nekonstantních převodů na pracovním diagramu zvolíme pevný počátek a na základě geometrických souvislostí vyjádříme souřadnice xk,, yk působišť všech pracovních a setrvačných sil pomocí zvolené zobecněné souřadnice q tj. nalezneme xk ( q ), yk ( q ) . Podobně v místě působišť všech pracovních a setrvačných momentů nalezneme závislosti ϕ j ( q ) . Variací těchto vztahů pak zjistíme vztahy δxk = f(δ q), δyk = f(δ q) a djj =f(δ q) 6- Napíšeme výraz pro celkovou virtuální práci všech pracovních i setrvačných silových účinků. Položíme-li v tomto výrazu koeficient u δ q roven nule, dostaneme pohybovou rovnici dané soustavy. Poznámka: Jak je zřejmé ze vztahu (9.18), obecnou rovnici dynamiky je možné používat i pro soustavy s více stupni volnosti, systém nezávislých pohybových rovnice přitom zjistíme tak, že položíme rovno nule postupně koeficienty u jednotlivých δ q j .
54
55
Příklad 9.2 Na obrázku je soustava nehmotných pák určená ke zvedání břemen. Určete zrychlení aG břemene o hmotnosti m při působení síly velikosti F. Hmotnosti pák a tření zanedbejte.
δ rA = δ rC
δ rB
δ rD
δ rC
δ rD 1.1.1.1.1.1.1 Obr. 9.4 Soustava pák pro zdvihání břemene
Fg s
F
Řešení: Do pracovního schématu zakreslíme působící vnější a setrvačné sily a příslušná virtuální posunutí působišť těchto sil (získáme virtuálním pohybem soustavy). Soustava má 10 volnosti, proto počet nezávislých posunutích je rovno 1. Zvolíme základní posunutí (např. u působící síly tj. δ rB ) a vyjádříme zbylá posunutí pomocí tohoto základního tím, že se soustavou myšleně pohneme. Bodu B udělíme virtuální posunutí δ rB , virtuální posunutí bodu a D je δ rD . Z vlastností podobných trojúhelníků plyne, že δrA = δrB . Dále platí, že δrC = δrA , b a a takže můžeme psát δrC = δrB . Podobně postupujeme dále a zjistíme, že δrD = δrC . Proto b b 2
a platí tedy δrD = δrB . Nyní dosadíme do obecné rovnice dynamiky b
δ A = ∑ ( Fi + s Fi ) δ ri = Fg δ rD + Fδ rA + s Fδ rD = 0
55
56 V našem případě tedy platí (znaménka u jednotlivých členů určíme podle výsledku skalárního součinu!)
δ A = F δ rB − Fg δ rD − maG δ rD = 0 . 2
a Po dosazením za δrD = δrB dostáváme b 2 2 a a F mg ma − − G δ rB = 0 . b b 2
b F − mg a Virtuální posunutí je obecně nenulové tj. δ rB ≠ 0 . Platí tedy aG = m
Příklad
Obecná rovnice dynamiky je v tomto případě ( mg − ma ) δ x + ( − Iα ) = 0 δx a Dosadíme-li kinematické rovnice δϕ = a α = dostáváme r r a ( mg − ma ) − I r δ x = 0 Virtuální posunutí závaží δ x je obecně nenulové, proto platí že výraz v hranaté závorce je roven nule. Odtud dostáváme pro hodnotu zrychlení závaží vztah mg a= I m+ r
56
57
Lagrangeovy rovnice II Z pohybových rovnice integrací vznikly vztahy pro práci A, výkon P, Ek, Ep,.Můžeme však postupovat obráceně tj. k pohybovým rovnicím můžeme dojít na základě derivování skalárních veličin A, P, Ek, Ep,. To je případ Lagrangeových rovnic II. Má-li soustava n0 volnosti, pak pomocí Lagrangeových rovnic II dostaneme systém pohybových rovnic pomocí výrazu d ∂ Ek ∂ Ek ∂ E p ∂ E D + + = Qj , (9.37) − d t ∂ qɺ j ∂ q j ∂ q j ∂ qɺ j kde j=1, 2, …n, Ek je celková kinetická energie soustavy, Ep je celková potenciální energie 1 N soustavy, E D = ∑ bi vi2 je Rayleighova dissipativní funkce a Qj jsou zobecněné síly 2 i =1 příslušné k zobecněným souřadnicím qj. V případě konstantních převodů můžeme Qj určit z rovnosti výkonu skutečně působících nepotenciálových silových účinků Psk = ∑ Fi .v i + ∑ M k . ωk a výkonu práce sil zobecněných Pzob = ∑ Q j qɺ j . Postup při sestavování pohybových rovnic pomocí Lagrangeových rovnic II pro rovinnou soustavu s jedním stupněm volnosti a konstantními převody: 1) Ověříme zda soustava má 10 V a konstantní převody 2) Do pracovního schématu zakreslíme směry všech posunutí a pootočení určujících polohu jednotlivých těles soustavy. Ze souboru všech posunutí a pootočení vybereme nezávislou souřadnici q. Dále do pracovního schématu zakreslíme nepotenciálové pracovní síly Fi a pracovní momenty Mj (v případě neideálních vazeb síly tření zahrneme mezi pracovní síly). 3) Zjistíme převodní vztahy mezi rychlostmi a vyjádříme všechny translační popř. rotační rychlosti pomocí qɺ . Stejné převody platí i mezi souřadnicemi. 4) Za pomoci převodních vztahů pro soustavu určíme závislosti celkové Ek = Ek ( qɺ , q ) , E p = E p ( q ) a ED ( qɺ ) 5)
Do rovnosti
∑Q
qɺ = ∑ Fi .v i + ∑ M k . ωk dosadíme
zobecněnou sílu Q 6) Dosadíme do L.R. II
57
převodní
vztahy
a
určíme
58 Postup při sestavování pohybových rovnic pomocí Lagrangeových rovnic II pro rovinnou soustavu s n0 volnosti a nekonstantními převody: 1) Zjistíme pro soustavu počet stupňů volnosti a ze souboru všech posunutí a pootočení vybereme nezávislé („základní“) souřadnice qj 2) Do pracovního schématu zakreslíme nepotenciálové pracovní síly Fi a pracovní momenty Mk (v případě neideálních vazeb síly tření zahrneme mezi pracovní síly). Ve zvolené souřadné soustavě vyjádříme souřadnice působištˇ pracovních silových účinků pomocí zobecněných souřadnic tj. definujeme xi ( q j ), yi ( q j ) a ϕ k ( q j ) . Derivací těchto vztahů podle času pak získáme vyjádření všech rychlostí pomocí rychlostí zobecněných. Dále najdeme vyjádření virtuálních posunutí δ xi , δ yi a δϕ k pomocí virtuálních pohybů δ q j pomocí variací n n ∂ xi ∂ yi ∂ ϕk δ q j , δ yi = ∑ δ q j , δϕ k = ∑ δ qj . j =1 ∂ q j j =1 ∂ q j j =1 ∂ q j 3) Za pomoci převodních vztahů mezi souřadnicemi a rychlostmi určíme závislosti celkové Ek = Ek ( qɺ j , q j ) , E p = E p ( q j ) a E D ( qɺ j ) n
tj. používáme vztahy δ xi = ∑
5)
Zobecněné
síly
určíme
Qj
z rovnosti
virtuální
práce
δ Ask = ∑ Fxi δ xi + ∑ Fyi δ xi + ∑ M k δϕ k skutečně působících nepotenciálových silových n
účinků
a virtuální práce δ Azob = ∑ Q j δ q j zobecněných sil tj položíme δ Ask = δ Azob . j =1
Zobecněné síly Q1,Q2…Qn přitom dostaneme po dosazení za δ xi , δ yi a δϕ k jako koeficienty u δq1, δq2....δqn. Některé zobecněné silové účinky mohou být přitom nulové. 6) Dosadíme do L.R. II
58
59 y
Příklad 9.5. Těleso o hmotnosti m je zvedáno horizontální silou P smýkáním po dvou dokonale hladkých přímkách (viz. obr.9.6). Sestavte hlavní pohybovou rovnici.
A
e
T
e
yT
ϕ
B
P
xT xB
Obr.9.6. Schématické znázornění zadání k příkladu 9.5.
Řešení. Těleso má jeden stupeň volnosti. Za zobecněnou souřadnici zvolíme úhel ϕ , protože pomocí něj určíme snadno polohy působišť pracovních a setrvačných sil. Platí
(
)
1 1 m vT2 x + vT2 y + IT ω 2 , E p = mgyT , kde ω = ϕɺ , vT x = xɺT , vT y = yɺT . 2 2 Z obrázku je zřejmé, že xT = e cos ϕ , xɺT = − e ϕɺ sin ϕ , yT = e sin ϕ , yɺT = e ϕɺ cos ϕ , Po dosazení do Lagrangeovy funkce dostáváme 1 L = EK − E p = ( IT + me 2 ) ϕɺ 2 − mg sin ϕ . 2 Zobecněnou sílu určíme z rovnosti virtuálních prací nepotenciálních pracovních a zobecnělých sil Qδϕ = Pδ x B . Velikost virtuálního posunutí δ xB dostaneme variací souřadnice xB tj. xB = 2e cos ϕ , δ xB = −2e sin ϕ δϕ , takže potom pro zobecněnou sílu dostáváme Q = 2 Pe sin ϕ . Po dosazení do L.R. II a úpravách dostaneme vlastní pohybovou rovnici ( IT + me 2 ) ϕ − 2 Pe sin ϕ + Ge cos ϕ = 0 . EK =
59
x
60
60
61 Dom. cv. 1. Závaží hmotnosti m3 je zavěšené na nehmotné niti přes jednoduchý kladkostroj dle obr. Hmotnosti kladek jsou m1, a momenty setrvačnosti k jejich osám otáčení jsou I1, I2. Vypočítejte zrychlení závaží m3, jestliže je volně spustíme směrem dolů.
G G3 − 1 2 a = g ⋅ 2 3 i G i2 G3 + G2 ⋅ 22 + 1 ⋅ 1 − 12 r2 4 r1
61
